ANALISIS DE FRECUENCIA EN ANALISIS DE FRECUENCIA EN HIDROLOGIA HIDROLOGIA

Distribución General de Valor Extremo

Los valores extremos son valores máximos y mínimos seleccionados de un conjuntos de datos.

Las distribuciones de valores extremos seleccionados de conjuntos de muestras de cualquier distribución de probabilidad convergen en una de las tres formas de distribución de valor extremo, llamadas:

• Tipo I: Gumbel, g=1.14• Tipo II: Frechet g<=1.14• Tipo III: Weibull g>=1.14

• Función de Distribución de probabilidad para la GEVFunción de Distribución de probabilidad para la GEV

/1

-1-exp=F(x) x

Donde:, y son parámetros que deben ser determinados.

Los tres casos limitantes son:

1. = 0 Distribución de Valor Extremo Tipo I (Gumbel)

Rango:

Estimación de parámetros:

-x-exp--x-exp1=f(x)

x- 5772.0x

ˆ6=ˆ

2. < 0 Distribución de Valor Extremo Tipo II (Frechet)

Rango:

3. > 0 Distribución de Valor Extremo Tipo III (Weibull)

Rango:

/1

-1-exp=f(x) x

x)/(

/1

-1-exp=f(x) x

)/(x

Distribución GumbelDistribución Tipo I (Gumbel)La función de distribución acumulada es:

Donde α es el parámetro de forma y β el parámetro de localización (valor central).Haciendo uso de una variable reducida, y:

y =α (⋅ x −β )La ecuación 4.91 queda:

Esta distribución, se debe aplicar sólo a valores extremos de caudales

La asimetría es constante: (g = 1.139)

Para calcular el coeficiente de frecuencia, k, de la distribución Gumbel tipo I (valores extremos),se parte de la ecuación de densidad de probabilidad de Gumbel, expresada como:

Distribución Gumbel

Desde el punto de vista del diseño hidrológico se trabaja con tablas de valores de k, Para ello se debe definir la “ variable reducida” .La distribución de probabilidad de una variable que puede ser igualada o excedida es:

Donde y es la variable reducida.El valor de y se relaciona con los datos por la siguiente ecuación

Distribución Gumbel

Distribución Gumbel

Esta ecuación es equivalente a la ecuación 4.45 del factor de frecuencia. Comparando las ecuaciones 4.45 y la 4.98 se tiene: la ecuación 4.99

El valor de la variable reducida se encuentra con la siguiente ecuación:

La tabla de valores de k (Tabla 4.15), se calcula así: se obtiene primero los valores de y para diferentes períodos de retorno, (TR) mediante la ecuación 4.100. Luego, con la longitud del registro, N (en años), se obtienen en la tabla 4.14, yn, σn y de la ecuación 4.99 se obtienen los valores de k que figuran en la Tabla 4.15

Ejemplo 4.15Calcular el factor de frecuencia para un período de retorno de 200 años y una muestra de 50 años, haciendo uso de la distribución de probalidad de valores extremos Gumbel tipo I.

Solución:Para TR = 200 años, se calcula el valor de la variable reducida y, así:

Para N = 50 años, en la tabla 4.14, se tiene:

Sustituyendo los anteriores valores en la ecuación 4.99 o de la Tabla 4.15 se tiene: