INTRODUCCIÓN

El álgebra es uno de los pilares básicos sobre los que se construye la matemática, por lo que el conocimiento de sus principios es fundamental para el estudio de todas las ramas y aplicaciones de ésta.

Su lenguaje es sencillo pero se requiere su completa comprensión ya que como se establece antes algebra es uno de los pilares básicos de la ciencia exacta, es decir, las matemáticas.

El lenguaje que utiliza letras y números unidos mediante los signos de las operaciones aritméticas, se denomina lenguaje algebraico, permite simplificar teoremas o problemas matemáticos mostrando generalidades, La idea de esto es manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir

En este trabajo se pretende dar una inducción a dicho lenguaje mediantes diversos postulados y conceptos fundamentales que se deducen a un punto de partida de esta determinada rama de las matemáticas y esta asociado con el significado de ciertas palabras o expresiones básicas. Una palabra se define describiéndola en términos de otras palabras que a su vez son capaces de descripción posterior o bien son aceptadas como conocidas.

ALGEBRA

El algebra es una ciencia cuyo objeto es simplificar y generalizar las cuestiones relativas a los números.

En algebra, lo mismo que en aritmética, se efectúan operaciones con los números, pero el modo de representarlos difiere en ambas ciencia. En aritmética solo se hace uso de los siguiente símbolos comúnmente llamados arábigos 0 1, 2, 3, 4, etc. Para escribir los números; mientras que en algebra para representarlos se usan letras como a, b, x, y, etc., las cuales se llaman literales.

Fundamentos del algebra

Cada una de las diferentes ramas de las matemáticas tiene una estructura lógica construida a partir de ciertas preposiciones fundamentales conocidas como postulados.

Allí se deducen, en forma de teoremas, las propiedades de las figuras geométricas, tomando como punto de partida ciertos conceptos primitivos elementales (introducidos sin definición), definiciones y postulados, siendo cada teorema una consecuencia lógica de uno o más de los teoremas precedentes o de los postulados.

El punto de partida de una determinada rama de las matemáticas esta asociado con el significado de ciertas palabras o expresiones básicas. Una palabra se define describiendo0la en términos de otras palabras que a su vez son capaces de descripción posterior o bien son aceptadas como conocidas.

Y a que estamos en completa libertad para escoger los términos que vamos a aceptar sin definición. Es natural, y es lo acostumbrado, restringir tal selección a los conceptos más sencillos y fundamentales y que, además, no conduzcan posteriormente a contradicciones.

En la aritmética fue contar el numero de objetos de un conjunto, y quien para este propósito se usaron ciertos símbolos designados por 1, 2, 3,4,…, y llamados números naturales. Nosotros daremos a tales números el nombre de enteros y positivos,

POSTULADO 1.N Admitimos la existencia de los números enteros y positivos, l0os cuales se emplean al contar el número de objetos de un conjunto y que se designa por los símbolos 1, 2, 3,4,…,.

El siguiente paso en la aritmética consiste en la determinación del numero total de objetos al reunir dos o mas conjuntos de objetos esto requirió la operación llamada adicción. En particular, para la determinación del número total de objetos en dos o mas conjuntos del mismo numero de elementos se empleo la operación llamada multiplicación.

POISTULADO 2. Existen dos operaciones con los números enteros y positivos llamadas adición y multiplicación y designadas por medio de los símbolos + y X respectivamente.

Tomando estos dos postulados como punto de partida es posible crear todo el sistema de números utilizado en el algebra.

LENGUAJE ALGEBRAICO

Si con los números enteros y positivos se efectúan las operaciones de adicción y multiplicación los resultados obtenidos son también números enteros y positivos. Evidentemente, los dos postulados fundamentales del algebra restringen todo cálculo a los números enteros y positivos y a las dos operaciones de adición y multiplicación. Para quitar esta restricción y satisfacer la necesidad de disponer de otros números, como los números negativos y los fraccionarios, se hace necesario introducir otros conceptos.

Ahora representemos por a y b a dos números enteros y positivos dados, los cuales vamos a sumar y sea c su suma. Entonces tenemos la igualdad y afirmamos que representa la solución del siguiente problema. Dados dos números enteros y positivos a y b, hallar su suma c.

(1) a+b=c

Ahora consideremos el problema inverso, es decir, dada la suma c de dos números enteros y positivos a y b y dado uno de ellos a, encontrar el otro b. Esta nueva operación se representa del símbolo – y escribimos la solución en la forma

(2) b=c-a

En donde se afirma que b es el resultado de restar a de c. Las relaciones (1) y (2) son equivalentes, siendo posible obtener en cualquiera de ellas a partir de la otra.

Es importante el de que en un sistema de números restringido a los enteros y positivos es imposible restar un número mayor de otro menos. Para hacer posible la sustracción en este c aso, se introducen los nuevos números llamados números enteros y negativos y designados por los símbolos -1,-2,-3,-4…

En particular, si restamos un numero entero de si mismo, obtenemos el importante numero cero designado por el símbolo 0.

(3) A-A=0

Ahora vamos a considerar la operación de multiplicación ya postulada. Sean a y b las representantes de dos números enteros dados que vamos a multiplicar entre si y sea c la representación de su producto.

(4) aXb=c

En la cual a y b se llaman factores de c y afirmamos que dicha relación representa la solución del siguiente problema: dados dos números enteros a y b, hallar su producto.

Consideremos ahora el problema inverso. La resolución de este problema requiere una operación que sea inversa de la multiplicación y es la llamada división. Escribimos la solución en la forma

(5) B=c/a

Que establece que b es el resultado de dividir c entre a. C se llama el dividendo, a el divisor, y b el cocient5e.

Es importante observar que en un sistema de números limitado a, los números enteros, no siempre es posible efectuar la operación de dividir. Así, si dividimos el entero 6 entre el entero 3, el resultado es 2 o sea otro entero. Pero intentamos dividir el entero 5 entre el entero 3, la operación no es posible ya que no existe ningún numero entero multiplicado por el entero tres de un producto igual al entero 5. Para hacer que en este caso, y en otros análogos, la división sea posible, se introducen nuevos números llamados números fraccionarios o fracciones y que

representan como se indica en el segundo miembro de la igualdad (5), llamándose numerados entero c y denominador al entero a.

Habiendo incluido las fracciones de nuestro sistema de números, la operación de dividir expresa en la igualdad (5), es posible en todos los casos con unas solo excepción a saber, cuando el divisor a es cero.

Nuestro sistema de números esta formado por los números enteros positivos y negativos, el cero y los números fraccionarios positivos y negativos.

DEFINICION. Se dice que un numero es racional si puede ser expresado en la forma p/q en donde p es cualquier nu7mero entero positivo o negativo, o cero, y q es cualquier numero positivo o negativo.

Los números enteros son números racionales. Por ejemplo, 5= a 5/1 igual a 10/2. Consideremos ahora el caso especial de la multiplicación en que todos los factores que se van a multiplicar son iguales. Así, s9i multiplicamos el numero a por si mismo, obtenemos el producto aa, el cual generalmente escribimos en la forma a2 . En general, el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a, se escribe en la forma an, recibiendo el numero entero y positivo n el nombre de exponente. En este caso decimos que hemos elevado el número a la enésima potencia, operación que recibe el nombre de potenciación.

Esta operación se escribe en la forma

(6) an=b

Y representa la solución al siguiente problema: Dados el número a y el numero entero y positivo n hallar el numero b que es la enésima potencia de a. Consideremos ahora el problema inverso, es decir, dados el numero b y el entero y positivo n hallar el número a cuya enésima potencia es igual a b. La resolución a este problema requiere una operación que es inversa de la potenciación llamada radicación. La solución se escribe en la siguiente forma

(7) A=nb

La cual establece que a en una raíz enésima de b. Por esta razón la operación de r4adicacion también es llamada extracción de raíz. En la igualdad (7), el símbolo se llama radical y el entero n sollama índice de raíz.

Hemos llegado ahora a una importante etapa en el desarrollo del sistema de números usados en algebra. Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación, cuando se aplican a números racionales producen resultados únicos que son también números racionales es decir, no requieren ampliación de sistema de números.

Sin embargo, esto no es cierto para la radicación. Por ejemplo la raíz cuadrada de 4 no tiene un resultado único pues puede se +2 o-2 ya que (-2)2=4, o sea, lo mismo que (2)2. En este caso los resultados aunque no son únicos son todavía racionales. Sin embargo consideremos ahora la raíz cuadrada positiva de dos la cual puede ser escrita simplemente 2 no es difícil de mostrar que este numero no puede ser expresado en la forma p/q de modo que llene el requisito de la definición de numero racional. Un numero como este se llama irracional. El sistema de números racionales junto con todos los números irracionales positivos y negativos constituyen el sistema de números reales del algebra. La radicación no sería posible en algunos casos si nos limitarnos al sistema de números racionales. Fue esto lo que nos hizo añadir los nu8meros irracionales a nuestro sistema numérico. Ahora trataremos hallara la raíz cuadrada de -4, es decir, queremos hallar un numero a tal que a2 es igual a-4.Como una propiedad fundamental del sistema de los números reales que es que el cuadrado de cualquier numero real (positivo o negativo) es un numero real positivo, resulta evidente que el numero a no puede pertenecer al sistema de números reales. Para ser `posible esta relación es necesario introducir una nuevo clase de números. Séase cualquier numero positivo lo cual equivale a que –c sea un numero negativo y que ± -c no sea numero real. Podemos escribir

(8) ± -c=± c-1

En esta relación ± -c es un numero real lo que significa que si queremos dar algún significado a ± -c, debemos dar significado o sea definir a -1.

DEFINICION. La cantidad -1 se llama la unidad imaginaria, la cual se representa del símbolo i y tiene la propiedad de que i2 es igual a -1.

Según esta definición la relación (8) puede ser escrita en la forma:

±-c=±ci

Ya que ±-c es un número real lo cual podemos representar por medio del número real b resultando que el número real bi representa una nueva clase de números que definimos así:

DEFINICION: Un numero de la formas bi en donde b es cualquier numero real e i es la unidad imaginaria se llama un numero imaginario puro.

DEFINICION. Un numero de la forma a+bi, en donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria, se llama un numero complejo. Podemos hacer una observación muy significativa respecto al número complejo a+bi. Si a es igual a cero pero b es ≠ de cero, a+bi toma la forma bi, lo cual significa que los números imaginarios puros son un caso especia de los números complejos. Si b es igual a cero, a+bi toma la forma a, y por lo tanto representa un numero real. Según este punto de vista un número real es simplemente un caso particular de un número complejo por lo cual se

dice que el conjunto de todos los números reales es un subconjunto del conjunto de números complejos

Conclusión

Podemos concluir que el lenguaje algebraico es un sistema de números y letras que permiten hacer mas sencillo los problemas de la vida cotidiana mostrando generalidades.

Usando como ya se sabe operaciones básicas representadas por símbolos de números enteros positivos reales, números enteros negativos, números racionales, números irracionales, por medio de la adicción, sustracción, división, potenciación y radicación.

Todo esto para llegar a un resultado común exacto.

Bibliografía

Lehmann, Charles H.

Álgebra=College algebra/Charles H.

Lehmann .—México : Limusa,2006.

464 p. : il ;15.5 cm.

ISBN-10: 968-18-0116-04

ISBN-13: 978-968-18-0116-8

Rústica

1.-Ágebra

I.- De Hoyos, Tomás, tr.

LC:QA154 Dewey: 512- dc21