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L’épreuve expérimentale de travaux pratiques

en Terminale S

I.R.E.M. de Bordeaux

Eric BARBAZO Jean Michel PUYOU barbazo@wanadoo.fr uyoup@aol.com

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L’épreuve expérimentale de TP en Terminale S

La nouvelle épreuve du baccalauréat de type expérimental est une initiative singulière tant dans la pratique d’enseignement qu’elle imposera aux professeurs que dans la place que va dorénavant devoir occuper l’apprentissage des TICE1 dans les savoirs des élèves. La demande institutionnelle est sans équivoque : il s’agit d’évaluer chez les élèves la capacité à mobiliser les TICE pour résoudre une problème mathématique : pertinence et maniement de l’outil, conjecture et démonstration.

Une pratique d’enseignement modifiée : Mettre les élèves en situation de recherche

expérimentale est une nouveauté pédagogique non négligeable dans la tradition de l’enseignement des mathématiques. La volonté est claire : l’élève doit être en mesure de résoudre un problème posé avec au préalable, la recherche d’une conjecture ou la réalisation d’une expérimentation suivies le cas échéant par la validation théorique de la recherche effectuée. Les TICE vont donc être un outil de conjecture, de recherche, d’essais. Cela pose évidemment la question de la place de l’activité expérimentale dans le cours de mathématiques durant l’année scolaire : Soit elle est déconnectée du cours théorique, avec des T.P. préparés séparément, au risque de voir se créer une sous-matière dans laquelle l’ordinateur règne en maître, soit les TICE doivent être incorporés d’une manière encore plus prégnante dans l’ensemble de l’horaire et des chapitres2 pour qu’ils ne se cantonnent pas à une catégorie d’exercices dont ils ne constitueraient qu’un alibi justifiant leur utilisation. Cette question se pose d’ailleurs pour leur introduction depuis la classe de seconde.

Des savoirs élèves hors champs mathématiques : L’utilisation de logiciels

informatiques et leur évaluation vont induire indéniablement un savoir différent des élèves. En effet, si l’étude de la convergence d’une suite ou la recherche d’un lieu géométrique sont expérimentées avec des logiciels, l’apprentissage des compétences informatiques devient une composante importante du savoir à acquérir. Là encore, l’épreuve expérimentale a la volonté de tester les capacités des élèves dans l’utilisation des TICE. La multiplicité des logiciels libres ou non, accroît la difficulté de la mise en place de cet apprentissage. De plus, beaucoup de logiciels n’utilisent pas de notations mathématiques standards à l’instar des tableurs où l’écriture d’une suite prend la forme A2 = 2*B1+A1. Les images mentales en sont donc profondément modifiées et l’impact de ces notations n’est pas à négliger.

L’enjeu de ce papier est d’expliciter la réflexion menée à l’IREM de Bordeaux sur les

différents types d’exercices qui peuvent présenter un intérêt qui satisfasse tout le monde : tout d’abord le professeur dans la conscience qu’il doit avoir de continuer à « faire des mathématiques et non de la physique » dans cet enseignement différent qu’il devra conduire. Ensuite l’élève qui doit trouver une « plus value » dans son apprentissage, en appréhendant d’une manière informatisée des notions mathématiques parfois mal assimilées et pour lesquelles l’ordinateur peut apporter d’autres visions. A l’égard du rôle que doivent dorénavant jouer les TICE dans l’apprentissage des mathématiques de la filière scientifique, filière concernée au premier plan par cet outil, la problématique soulevée est la suivante :

L’utilisation des TICE doit elle seulement se cantonner à une activité de

conjectures, d’expériences ou d’illustrations qui laisseront ensuite la place aux démonstrations mathématiques pures ?

1 Les TICE sont les ordinateurs avec les logiciels mathématiques et tableurs ainsi que les calculatrices. 2 L’utilisation de plus en plus courante des Tableaux interactifs ou du vidéo projecteur le permet.

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Y a-t-il au contraire d’autres types d’activités possibles dans lesquelles les TICE peuvent d’une part préserver leur apport d’expérimentation et d’autre part avoir en plus une action décisive sur la manière d’engager une démonstration théorique qui doit résoudre le problème posé ?

Il est question ici de présenter une typologie d’exercices qui répondent à cette

problématique, sans esprit de hiérarchiser l’intérêt informatique qu’ils apportent ou la pertinence mathématique qu’ils contiennent. Il s’agit davantage de proposer quatre approches de Travaux pratiques qui ont chacune leur place dans le cursus d’apprentissage des élèves depuis la classe de seconde jusqu’à la classe terminale. Pour chaque typologie, des exemples3 sont donnés pour clarifier la position et indiquer notamment le rôle de l’outil informatique dans chacune des situations.

Les quatre typologies sont les suivantes, avec des intersections bien évidemment non vides deux à deux :

1. Les exercices illustratifs4 : ils forment principalement à l’utilisation des logiciels, à l’élaboration d’une conjecture, à l’illustration d’une notion. La démonstration théorique en est complètement dissociée. 2. Les exercices résolubles grâce à l’informatique : Les TICE apportent non seulement la conjecture mais des pistes et des idées pour la démonstration qui doit suivre. c’est un enjeu majeur mais difficile, on va le voir. 3. Les exercices qui s’informatisent après une étude mathématique : Il s’agit de répondre à un problème réalisable informatiquement seulement après une étude mathématique. C’est donc un moyen de faire des Travaux pratiques mathématiques avec au préalable une feuille et un stylo. 4. Le calcul formel au service de l’apprentissage des mathématiques : utiliser l’informatique pour ce à quoi elle est destinée : elle apporte davantage de fiabilité, de rapidité et laisse la place au raisonnement en évacuant les difficultés techniques qui ne sont pas évaluées à ce moment là.

1. Les exercices illustratifs : C’est dans cette catégorie que vont se trouver la très grande

majorité des activités déjà proposées pour des TP. Ils répondent à la demande institutionnelle et ont essentiellement deux rôles :

apprendre l’utilisation des logiciels et donc tester les capacités des élèves d’une part : il s’agit des exercices de construction de figures géométriques avec un logiciel de géométrie dynamique, des calculs de grandeurs sur ces figures, du calcul des valeurs d’une fonction, etc.

émettre une conjecture ou illustrer une notion d’autre part : faire apparaître et conjecturer un lieu géométrique, montrer la stabilisation d’une fréquence au cours de 1000 lancers, conjecturer la convergence d’une suite, le nombre et les valeurs approchées des solutions d’une équation, etc.

3 Tous les exemples travaillés ne peuvent être présentés ici. 4 La terminologie employée n’est pas définitive dans la réflexion. L’adjectif n’a pas de sens péjoratif ici.

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Pour cette typologie d’exercices, le logiciel ne donne pas l’idée d’une démonstration possible. Lorsque la conjecture est trouvée, l’exercice est souvent dirigé pour conduire la démonstration qui valide la conjecture. Deux exemples pour illustrer le propos, mais les nombreux TP testés cette année ressortissent de cette catégorie :

On considère un cercle ! de diamètre [AB] et de centre O . Pour tout point M du cercle,

on considère les images M1 et M2 de M par les rotations de centre A et B et d’angle 2

!

On note I le milieu de [M1M2]. Quelle est la nature du triangle MOI ? Quel est le lieu géométrique du milieu I de [M1M2] ?

Le lieu est conjecturé facilement en traçant la figure avec un logiciel de géométrie dynamique. La démonstration utilise une méthode soit avec les nombres complexes pour les élèves ne faisant pas spécialité soit avec une similitude pour les élèves de spécialité.

On considère la suite définie par 1

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n

n

uu

+ = + et 01u = . Conjecturer le comportement

de la suite et démontrer la conjecture. Conclusion partielle : ces exercices ont leur pertinence puisqu’ils répondent à la demande de ce que doit être la séance expérimentale. La formation d’un élève qui doit arriver in fine à utiliser les logiciels adaptés au problème posé n’est pas une banalité pédagogique. Ces exercices ont donc une place légitime mais qui ne doit pas masquer la réalité : la démonstration mathématique est complètement déconnectée de l’utilisation des TICE. L’usage de l’informatique est intéressante dans la souplesse qu’elle apporte dans les calculs ou les tracés qui se faisaient « à la main » avant leur utilisation. Elle n’est pas décisive dans le traitement mathématique du problème posé. Ces remarques sont valables pour une très grande majorité des problèmes de lieu posés.

2. Les exercices résolubles grâce à l’informatique : Il ne faut leurrer personne ici non plus quant à la dénomination d’exercices « résolubles grâce à … ». Les exercices présentés sont tout à fait faisables sans utilisation de l’ordinateur. L’idée est de montrer ici que pour certains exercices proposés, l’usage d’un logiciel peut permettre à l’élève d’une part d’émettre une conjecture mais également d’obtenir une piste pour réaliser la démonstration. C’est la différence clé avec la typologie précédente. La difficulté majeure est de trouver des exercices pertinents mais sans avoir l’intention de prétendre « inventer la roue ».

On considère un segment [AB] et un point M mobile sur le segment. On trace les triangles équilatéraux AMP et BQM et on note I le milieu du segment [PQ]. Quel est le lieu géométrique de I ?

Fig. 1

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La construction géométrique avec un logiciel de géométrie dynamique constitue une partie intéressante d’un TP. La conjecture se fait sans aucune difficulté. (fig. 1)

En revanche, le point essentiel ici est que la démonstration peut être induite par

l’exploration de la figure en faisant bouger le point M.

En effet, La manipulation du logiciel permet de faire apparaître un point particulier C, dont on peut aisément penser qu’il va jouer un rôle dans la démonstration (fig. 2)

Ainsi, l’élève a la possibilité

d’élaborer sa démonstration en complétant la figure, puisque le parallélogramme MQCP et l’homothétie qui est utile pour résoudre le problème en découlent ensuite.

Un deuxième exemple numérique avec l’étude d’une suite.

Trouver l’expression de la suite 1

2 1n nu u n+ = + + et

00u = .

L’écriture des termes de la suite avec un tableur fait aisément conjecturer que 2

nu n= .

La démonstration par récurrence en découle. Le tableur a un avantage certains de calculs d’un nombre de valeurs suffisamment grand qu’un calcul manuel aurait rendu fastidieux.

Un troisième exemple (sujet de baccalauréat 1921)

On considère un point F et une droite (D). Quel est le lieu géométrique du symétrique de F par rapport au centre des cercles passant par F et tangents à D ? La construction de la figure avec un logiciel est ici un exercice en soi même s’il met en

jeu la connaissance de propriétés largement à la portée des élèves de terminale. L’apport supplémentaire réside dans le fait que ces propriétés conduisent l’idée de la

démonstration, si on cherche le lieu du point P en calculant ses coordonnées.

Fig. 1

Fig. 2

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En effet, après avoir introduit un repère dont l’axe des abscisses est la droite horizontale passant par M et l’axe des ordonnées la droite verticale contenant F, l’élève détermine les coordonnées du centre I du cercle en écrivant

0IK MF?=uuruuur

. Cette idée est donnée par la construction car c’est bien grâce à la médiatrice de [MF].qu’on a construit I avec le logiciel.

On trouve ensuite les coordonnées de P

qui sont 2

2 ;x

P xb

æö ÷ç ÷ç ÷ç ÷çèø donc P appartient à la

parabole (lieu conjecturé aisément avec le

logiciel) d’équation 2

4

xy

b= .

Conclusion partielle : Ces exemples ont pour objet de montrer que l’élève peut essayer

de s’emparer du logiciel pour essayer de trouver un moyen de démonstration. Emploi donc pertinente non seulement dans l’utilisation pour créer une figure mais également dans le sens où la manipulation du logiciel devient pertinente. Ces exercices ne sont pas que des exercices classiques de lieu qui « montrent » le lieu, ou de comportement de suites qui « donnent une idée du résultat ». La difficulté indéniable est de trouver suffisamment de situations qui ne sont ni trop artificielles ni trop complexes.

3. Les exercices qui s’informatisent après une étude mathématique : Le point de vue se veut ici différent dans la conception même du déroulement de la séance de Travaux pratiques telle qu’elle est institutionnellement demandée. En effet, il s’agit de proposer une démarche inverse, sans esprit iconoclaste mais qui consiste à réaliser une figure qui ne peut être réalisée qu’après une étude mathématique. Autrement dit, le problème est en premier lieu d’ordre informatique et résoluble à l’issue d’une étude théorique mathématique.

Un premier exemple élémentaire de construction pour illustrer le propos : Construire

avec Cabrigéomètre, un cercle tangent à une droite donnée et passant par un point donné. Les propriétés doivent être d’abord étudiées pour pouvoir réaliser la figure. On peut le comparer aux exercices d’analyse et synthèse qui ont eu leur moment de gloire.

Un deuxième exemple plus élaboré : On considère la parabole à d’équation 2

y x= dans un repère orthonormé. Par

un point M quelconque, on trace les deux tangentes à Ã . Quel est le lieu

géométrique des points M pour lesquels les tangentes sont perpendiculaires ?

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La réalisation de la figure avec un logiciel dynamique met en jeu tout d’abord des connaissances mathématiques qui permettent de répondre à la demande et définissent ainsi l’objectif essentiel de cet exercice. C’est à dire que la figure ne sera réalisée qu’après réflexion mathématique sur la façon de tracer les deux tangentes perpendiculaires, car les grapheurs ne tracent pas les tangentes comme on le souhaite ici. De plus, si on réalise les tangentes passant par un point M quelconque, le lieu n’est pas déterminé car le point n’est pas construit en liaison avec ce lieu. Il faut d’abord tracer une tangente à la parabole avec Geoplan par exemple, puis trouver des conditions pour pouvoir tracer la deuxième tangente. Autrement dit, travailler sur l’utilisation d’équation de la tangente, caractérisation de la perpendicularité de deux droites en liaison avec la fonction « variable réelle libre » du logiciel.

Les étapes sont les suivantes :

• On trace la courbe à d’équation 2y x= à l’aide de la fonction 2( )f x x= . On définit une

variable réelle a puis le point ( ; ( ))A a f a .

• On écrit l’équation de la tangente 1T à Ã en A : 2 ( ) ( )y a x a f a=-+ et on la trace avec

le logiciel. La seconde tangente 2T à Ã doit être perpendiculaire à

1T . Son coefficient

directeur doit alors être 1

2a

-. On peut définir pour cela la variable

1

2b

a

-= et écrire

l’équation de 2T avec b . Attention, le point commun à la courbe et à la tangente a alors

pour coordonnées ;2 2

b bf

! "! "# $# $% &% &

.

• On définit le point M intersection de 1T et

2T puis on réalise sa trace. Le lieu est donc

conjecturé après un travail conséquent sur des notions mathématiques à la portée des élèves de terminale.

Quant à la démonstration, elle peut être analytique et est d’ailleurs déconnectée de ce qui

précède ce qui nous renvoie aux exercices illustratifs du début. Un troisième exemple : On considère les courbes Δ d’équation x

y e= et Γ d’équation lny x= dans un repère orthonormé. Par un point A d’abscisse a de Δ on trace la tangente Ta à Δ. Pour quelles valeurs de a, la droite Ta est elle aussi tangente à Γ ?

Dans cet exercice, les compétences informatiques mises en jeu sont les suivantes :

• Construire la courbe représentative d’une fonction • Tracer la tangente à une courbe en un point de celle-ci. • Rechercher graphiquement une valeur approchée de la solution d’une équation. Par ailleurs, les compétences mathématiques sont les suivantes : • Ecrire une équation de la tangente à la courbe représentative d’une fonction. • Interpréter une tangente comme position limite d’une sécante.

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• Et surtout, déterminer une équation dont les solutions seront les abscisses des points cherchés et qui fournit la courbe d’une troisième fonction qui détermine les points cherchés.

La réalisation d’une première figure avec un traceur de courbes est sans difficulté. En déplaçant le point A sur la courbe Δ, on constate que la tangente Ta est aussi tangente à Γ pour deux positions de A . On peut lire les abscisses de

1A et

2A .

La résolution mathématique du

problème fait arriver à la résolution

de l’équation

1

1

1

a

a

be

ae

a

!=""

#+" =

" $%

donc a

construire une nouvelle courbe Η

d’équation 1

1

xy

x

+=

-.

Ainsi, si la calculatrice permet de déterminer la valeur approchée des coordonnées des points B, D, E et C, l’étude mathématique permet quant à elle de déterminer la construction de ces points sur la courbe en vert, réalisable alors avec le logiciel et de vérifier le résultat conjecturé.

Conclusion partielle : L’avancée des performances des logiciels et calculatrices risquent

bien entendu de mettre à mal l’aspect principal de ces exercices, à savoir l’étude mathématique au service de l’utilisation du logiciel. En effet, si un logiciel peut tracer à la demande deux tangentes à une courbe avec des propriétés données à l’avance, l’exercice sur la parabole est éventé. On peut toutefois affirmer que pour le moment, l’étude mathématique joue un rôle de premier plan dans ces exercices et est nécessaire pour une utilisation des logiciels manipulés.

4. Le calcul formel : La volonté est ici d’utiliser l’informatique pour ce à quoi elle est destinée. En effet, que peut on demander à un ordinateur ou une calculatrice sinon de faire plus vite, avec une efficacité technique plus grande et un résultat somme toute fiable, des calculs soit techniques soit qui ne sont pas utiles dans leurs déroulement à la compréhension du problème posé ? Le calcul formel est un outil qui doit être intégré au lycée. Faire faire du calcul formel n’est pas faire disparaître le calcul du lycée mais utiliser un calcul débarrassé de contraintes inutiles ponctuellement. L’exemple est le suivant :

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Démontrer que l’orthocentre d’un triangle dont les trois sommets sont sur

l’hyperbole équilatère est également sur l’hyperbole. Autre façon de le dire pour le lier avec la typologie précédente qui pourrait faire un TP très complet, trouver le lieu géométrique de l’orthocentre d’un triangle dont les trois sommets sont sur

l’hyperbole 1

yx

= .

Deux possibilités s’offrent à l’élève lorsqu’il fait la figure par exemple avec Geoplan : • Les hauteurs peuvent être tracées avec l’outil « droites perpendiculaires » aux côtés

opposés. • On trace une hauteur et on trace la droite passant par un autre sommet et le point

d’intersection avec l’hyperbole. Pour les calculs, il s’avère que c’est cette solution la mieux adaptée.

La procédure informatique est simple : On définit trois réels libres dans un intervalle a , b et c et les trois points ( ), ( )A a f a , ( ), ( )B b f b et ( ), ( )C c f c . On peut ainsi faire varier les

points sur l’hyperbole. On trace les hauteurs issues de deux points et on conjecture le résultat.

Résolution du problème avec une calculatrice formelle

Le problème concerne trois points donc trois paramètres en jeu dont on sait qu’ils déstabilisent les meilleurs élèves en calculs théoriques.

L’équation de la hauteur D issue de A est 0AM BC?=uuuruuur

soit 1 1 1

( )( ) 0x a c b ya c b

æöæö÷÷çç--+--= ÷÷çç ÷÷÷÷ççèøèø.

La fonction Solve d’un logiciel de calcul formel permet d’écrire cette équation sous la

forme 2

1:

abcx a bcD y

a

-+= ou 0b c-= . La seconde condition n’est pas réalisée car

B C? .

On détermine l’abscisse du point d’intersection M de D et H avec la fonction Solve. 2

1 1,

abcx a bcSolve x

a x

æö -+ ÷ç ÷=ç ÷ç ÷çèø. On trouve x a= ou

1x

abc=- . La première condition est

éliminée. Sans calcul on trouve l’ordonnée y abc=- , donc 1;I abc

abc

æö ÷ç-- ÷ç ÷÷çèø

On vérifie que les vecteurs ICuur

et ABuuur

sont orthogonaux en utilisant le produit scalaire.

Une autre façon plus immédiatement pensée chez les élèves revient à calculer les équations de deux hauteurs et de résoudre le système. Avec la fonction Solve, il est facile d’arriver au même résultat.

Conclusion partielle : L’élimination des difficultés des calculs avec des paramètres est

incontestablement la première réalité de cet exercice. Mathématiquement, le problème ne fait

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appel qu’à la résolution d’équations à une inconnue qui relève largement du niveau des élèves. Les calculs techniques n’apportent rien à cet exercice qui peut s’avérer fastidieux s’ils sont mal pris engagés. La place est donc laissée au raisonnement qui conduit à la résolution du problème.

Conclusion générale L’évaluation des capacités à mobiliser des compétences informatiques est indispensable

pour former les bacheliers scientifiques. L’apprentissage d’une démarche scientifique basée sur la conjecture, l’expérimentation et la nécessité de valider les résultats trouvés sont parties incontournables d’un apprentissage scientifique.

Il semble néanmoins important de ne pas limiter les TICE au seul rôle décrit ci-dessus : L’outil informatique doit permettre de faire évoluer la pensée de l’élève en le conduisant sur des pistes de démonstration : utiliser l’informatique pour démontrer. Il doit également faire progresser l’élève dans la recherche mathématique de résolution

des problèmes : faire des mathématiques pour informatiser. Il doit enfin pouvoir contribuer à éliminer des contraintes inutiles et néfastes au

déroulement du raisonnement : utiliser le calcul formel.