Arhitektura BU - Beograd - Poliedri - Predavanje 1

POLITOPIPOLITOPI

POLIGONI I POLIEDRI

Prof. dr Ljiljana Petruševski

POLIGONIPOLIGONI


POLURAVAN

Prava deli svaku ravan kojoj pripada na dva disjunktna pripada na dva disjunktna dela-skupa tačaka. Svake dve tačke istog skupa se nalaze sa iste strane prave, a svake dve tačke iz različitih skupova se nalaze sa raznih strana prave. Unija svakog od tih skupova i svakog od tih skupova i prave je poluravan.


UGAO

Unija dve poluprave sa zajedničnom početnom tačkom S je ugaona linija. Ugaona linija deli ravan kojoj

q

Ugaona linija deli ravan, kojoj te poluprave pripadaju, na dvadisjunktna dela, pri čemu ona sama ne pripada ni jednom od njih.Unija jedne od tih oblasti i ugaone linije je ugao .Jedna ugaona linija određuje p Jedna ugaona linija određuje dva ugla. Tačka S je teme ugla, a poluprave su kraci ugla.

S

p


Skup duži u istoj ravni takvih da je krajnja tačka svake duži

MNOGOUGAO - POLIGON

Skup duži u istoj ravni takvih da je krajnja tačka svake duži istovremeno krajnja tačka još samo jedne duži obrazuju zatvorenu izlomljenu liniju koja se naziva mnogougaona (ili poligonalna) linija.

Deo ravni koji ograničava mnogougaona linija je unutrasnjost te Deo ravni koji ograničava mnogougaona linija je unutrasnjost te linije.

Unija mnogougaone linije i njene unutrašnjosti je mnogougao (ili poligon).(ili poligon).


MNOGOUGLOVI - POLIGONI

Izlomljena zatvorena poligonalna linija se može posmatrati kao zatvorena linija koja se može nacrtati jednim potezom bez dizanja olovke sa papira. U tom slučaju, proizvoljno teme poligona se može uzeti za početnu tačku a poligonalna linija predstavlja niz duži uzeti za početnu tačku, a poligonalna linija predstavlja niz duži, takvih da je završna tačka prethodne duži istovremeno početna tačka naredne, pri čemu je završna tačka poslednje duži tog niza istovremeno početna tačka prve duži. p p



Duži, od kojih se sastoji mnogougaona (poligonalna) linija, su stranice mnogougla (poligona).

Stranice sa zajedničkom krajnjom tačkom su susedne stranice Stranice sa zajedničkom krajnjom tačkom su susedne stranice. Ostale stranice su nesusedne .


Uglovi koje obrazuju susedne stranice mnogougla su uglovi


Uglovi koje obrazuju susedne stranice mnogougla su uglovi mnogougla, a temena tih uglova su temena mnogougla.

Dva temena koja pripadaju istoj stranici mnogougla su susedna temena. Temena koja ne pripadaju istoj stranici su j p p j jnesusedna temena.

Svaka duž koja spaja dva nesusedna temena mnogougla je dijagonala mnogougla.j g g g



Mnogougao dobija naziv prema broju stranica odnosno prema broju temena. Mnogougao sa n strana je n-tougao.

trougao četvorougao dvanaestougao sedmougao


KONVEKSNI MNOGOUGLOVI-POLIGONI

Mnogougao je konveksan ukoliko svaka duž koja spaja njegove dve proizvoljne tačke pripada tom mnogouglu. U suprotnom slučaju mnogougao je konkavan. slučaju mnogougao je konkavan.



Svaka dva susedna temena odredjuju pravu kojoj pripada stranica mnogougla odredjena tim temenima kao krajnjim tačkama. Konveksan mnogougao se nalazi sa jedne strane svake takve prave d l ži j d j l i d dj j t k odnosno ceo leži u jednoj poluravni odredjenoj takvom pravom.



Konveksan mnogougao se može predstaviti kao presek konačno mnogo

l i d dj ih poluravni odredjenih pravama koje sadrže njegove stranice.


PROSTI I SLOŽENI POLIGONI

Poligon je prost ako nesusedne stranice nemaju zajedničkih tačaka. U suprotnom slučaju je složen (seče sam sebe).

prost prost prost složen


PROSTI I SLOŽENI POLIGONI

POLIGONI

P i li i Sl ž i li iProsti poligoni Složeni poligoni

Konveksni poligoni Nekonveksni poligoniKonveksni poligoni Nekonveksni poligoni


REGULARNI POLIGONI

Poligon čije su sve stranice i svi uglovi medjusobno jednaki je regularan poligon.


Prost regularan poligon je konveksan Uobičajen naziv za takav

KONVEKSNI REGULARNI POLIGONI - PRAVILNI POLIGONI

Prost regularan poligon je konveksan. Uobičajen naziv za takav poligon, u našem jeziku, je pravilan poligon ili pravilanmnogougao.


( )n 01802 ⋅−=α

nPRAVILNI POLIGONI

Ugao pravilnog mnogougla zavisi od broja stranica odnosno broja temena.

090 0108 0120120

0135


NEKONVEKSNI REGULARNI POLIGONI NEKONVEKSNI REGULARNI POLIGONI -ZVEZDASTI REGULARNI POLIGONI

Zvezdasti regularni poligoni su nekonveksni regularni poligoni čija nekonveksni regularni poligoni čija se temena poklapaju sa temenima konveksnih regularnih poligona a stranice su im njihove medjusobno jednake dijagonale.


ZVEZDASTI REGULARNI POLIGONI

Generisanje zvezdastih regularnih poligona

Petougaoni zvezdasti poligon

- pentagram

Sedmougaoni zvezdasti poligon

- heptagram

Sedmougaoni zvezdasti poligon

heptagram


p g heptagram - heptagram

REGULARNI POLIGONI

Regularni poligon karakteriše jednočlani niz brojeva:Regularni poligon karakteriše jednočlani niz brojeva:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

qp⎭⎩ q

gde je p jednak broju temena odnosno broju stranica poligona

np =pa q uzajamno prost sa p (najveći zajednički delilac p i q je 1) i

pq <2

q <

gde se q može tumačiti kao “preskok” u procesu generisanjazvezdastih regularnih poligona.


g p g

REGULARNI POLIGONI

U št l č j

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

qp

U opštem slučaju

i⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

qpp

⎭⎩ q

p

⎭⎩ − qp

karakterišu iste regularne poligone, pa vrednosti

2pq <

i vrednosti se ne moraju uzimati u razmatranjepqp≤<

iscrpljuju sve mogućnosti

i vrednosti se ne moraju uzimati u razmatranje.pq ≤<2

Vrednost daje jednu liniju – duž. 2pq =


2

REGULARNI POLIGONI

1=q

4petougao

4=q

2=q

5=p 3=qt


pentagram

REGULARNI POLIGONI

2

7=p

2=q2=q

7=p3=q

7=p1=q

3=q

Dva različita heptagrama


Dva različita heptagrama

1REGULARNI KONVEKSNI POLIGONI 1=q

{ }3 { }4 { }5 { }6

{ } { }{ }7 { }8 { }9 { }10


{7/2} {7/3}

REGULARNI NEKONVEKSNI (ZVEZDASTI) POLIGONI

{5/2} {7/2} {7/3}

{8/3} {9/2} {9/4}


ZVEZDASTE FIGURE – kombinacije poligona

1=q6=p

1=q

2=q

Komentar: p deljivo sa q.

{ }2/6 nije regularan (zvezdasti) poligon

2pq <

Heksagramska forma

{ }2/6 nije regularan (zvezdasti) poligon.

{ }2/6 je zvezdasta figura.Zvezdasta figura je unija podudarnih pravilnih poligona sa temenima koja se poklapaju sa temenima nekog pravilnog mnogougla


koja se poklapaju sa temenima nekog pravilnog mnogougla.

pq <ZVEZDASTE FIGURE 2

q <

8=p1 2 3=q

8=p 8=p1=q 2=q 3=q

Regularan prost konveksan poligon

Zvezdasta figura Regularan zvezdasti poligon

D ličit kt k f


Dve različite oktagramske forme

R l i li i

ZVEZDASTE FIGURE

9=p 1=q3=q

Regularni poligoni

9=p2=q

3q9=p4=q

Zvezdasta figura


Tri različite eneagramske forme

ZVEZDASTI REGULARNI POLIGONI I ZVEZDASTE FIGURE


PENTAGRAM

Različite interpretacije pentagrama


PENTAGRAM


ZVEZDASTE FIGURE

3=q9=p

Različite interpretacije

qp

interpretacije zvezdaste figure


POLIGONI

POLIGONI

Regularni poligoni Neregularni poligoni

Konveksni regularni

Nekonveksni regularni Prosti poligoni Složeni poligoni

Prosti regularni

Složeni regularni

gpoligoni poligoni

Konveksni poligoni Nekonveksni poligoniregularni poligoni

regularni poligoni

Pravilni poligoni Zvezdasti l i li i


regularni poligoni

STELACIJA POLIGONA

Stelacija poligona je proces generisanja novog poligona koji se sastoji u produžavanju ivica do preseka svake sa ostalima j p j podnosno do formiranja novog poligona ili kombinacije poligona.

Dobijena nova figura je stelacija originala.


STELACIJA POLIGONA

Stelacijom trougla i četvorougla ne nastaju g jnovi poligoni.

Stelacijom petougla {5/2}

Stelacijom petougla nastaje pentagram.


STELACIJA POLIGONA

Stelacijom šestougla nastaje heksagramska ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

26

{7/3}

zvezdasta figura. ⎭⎩

{7/2}

Dve različite stelacije

{7/3}

jsedmougla daju dva različita heptagrama.


STELACIJA POLIGONA

Dve različite stelacije osmougla daju dve različite oktagramske forme.

⎬⎫

⎨⎧ 8g

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

3

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

28⎭⎩ 2


STELACIJA POLIGONA

Tri različite stelacije devetougla daju tri različite eneagramske forme.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

29

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

39

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

49


⎭⎩ 2 ⎭⎩ 3 ⎭⎩ 4

STELACIJA POLIGONA


CONVEX HULL – 2D

Konveksni omotač (konvex hull) skupa tačaka S je najmanji konveksan skup koji sadrži tajk t č k Sskup tačaka S.


CONVEX HULL – 2D

1x 2x

3x4x

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==≥∈∈= ∑ ∑k k

iiiiiiconvex ,...,k,,,R,Xxx)X(H 2110 αααα


⎭⎩ = =i i1 1

CONVEX HULL – 2D

1x 2x1 2

x{ }10 21212211 =+≥+ ββββββ ,,,xx

Sx,x,x,x ∈4321

3x

4x{ }10 43434433 =+≥+ ββββββ ,,,xx

( ) ( ){ }10 21214433122111 =+≥+++ γγββββγββγ ,,,xxxx( ) ( ){ }10 21214433122111 +≥+++ γγββββγββγ ,,,xxxx

{ }10 212144332211 =+≥+++ αααααααα ,,,xxxx


CONVEX HULL – 2D

1x 3x

2x

4x{ }10 212144332211 =+≥+++ αααααααα ,,,xxxx


CONVEX HULL – 2D

Proširenje skupa tačaka


CELULARNI KOMPLEKS – RAZLAGANJE NA POLIGONE

Skup konveksnih poligona predstavlja razlaganje ravni ili nekog njenog dela ako je

2RM ⊆iM

zajednička ivica ili prazan skup i

ji MM ∩

MM

Konveksni poligoni nazivaju se

MMi =∪

MKonveksni poligoni nazivaju se ćelijama, a zajedno čine celularni kompleks ili kompleks ćelija.

iM


TRIANGULACIJA

Ukoliko su svi poligoni trouglovi, kompleks se naziva triangularnim, a samo razlaganje se naziva triangulacijom.


VORONOI DIJAGRAM

{ }nx,...,x,xS 21=

Voronoi diagram, zavistan od konačnog skupa tačaka S je ixskupa tačaka S, je razlaganje ravni na voronoi ćelije:

ix

( ) ( ){ }ijjii xx,x,xdx,xdRx)x(vo ≠≤∈= 2


( ) ( ){ }ijjii xx,x,xdx,xdRx)x(vo ≠≤∈

VORONOI DIJAGRAM

{ }S { }nx,...,x,xS 21=


Voronoi ćelija tačke Sxi ∈

( ) ( ){ }ijjii )(

ix ix


VORONOI DIJAGRAM

{ }nx,...,x,xS 21=65

3

2R

Voronoi diagram, zavistan od konačnog skupa tačaka S, je

l j i

1 4

22Rrazlaganje ravni

na voronoi ćelije:



VORONOI DIAGRAM - DELAUNAY TRIANGULACIJA

65

{ }nx,...,x,xS 21=

3

6Delauney kompleks (ili triangulacija), zavisna od S, je razlaganje konveksnog omotača (convex hull) tog

2

3omotača (convex hull) tog skupa tačaka na Delauney ćelije (trouglove) čija su temena tačke skupa S koje

i d j d i i 1 4pripadaju susednim voronoi ćelijama čije se ivice sustiču u istoj tački.






VORONOI DIAGRAM


VORONOI DIAGRAM






Documents

Arhitektura BU - Beograd - Poliedri - Predavanje 1