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COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con nivel Pre-Universitario …¡ Álgebra
Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821
1
POLINOMIOS
1) calcular el coeficiente del polinomio
M= , si su grado
absoluto es 8 y el grado relativo de „y‟ es
1.
Solución::
Primero grado relativo.(GR) de „Y‟
3a – b=1, de donde b=3a-1………(I)
Segundo grado absoluto (GA)
3a+2b+3a-b=8, de donde
6a+b=8……..(I)
Remplazando (I) en (II)
6a +3a-1=8, 9a=9
a=1, de donde b=3a-1 para ello b=2
Nos pide: =1 Rpta.
2) calcular „m.n‟, si el grado absoluto es
igual a 20 del polinomio
P(X;Y)=4 -
, y su grado relativo de „y‟ es 8.
Solución:
GA (grado absoluto es el mayor)
m+n+1=20…..(I)
GR (grado relativo)
n - 2=8, de donde n=10 remplazando en
la ecuación (I) m+10+1=20, m=9
Nos pide (m.n)=90
3) hallar el coeficiente del monomio:
R(X)=2n √ √ , si es de segundo
grado.
Solución:
Método práctico solo trabajamos con la
variable debida que solo nos importa el
grado. =2, de donde n=7 pero
nos pide coeficiente (2n)=14
4) calcular el valor de „x+y‟, en el
monomio. P=√ √ , si se sabe que:
G.A.=5 además: x=3y-1
Solución:
Otra vez trabajamos solo con los
exponentes.
=5, de donde
x+3y-2=15, x+3y=17 de la condición
x=3y-1
Tenemos 3y-1+3y=17
6y=18, y=3 , x=8 nos pide (x+y)=11 Rpta.
5) si la expresión: √ , es de
grado cero, calcular „n+4‟.
Solución:
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Una vez más solo trabajamos con las
variables.
=0, de donde
n=24 nos pide „n+4‟=28 Rpta.
6) hallar el coeficiente del monomio:
R(x,y,z)=4mp , si su grado
relativo a „x‟ es 2, su grado relativo a „y‟
es 1 y su grado absoluto es 5.
Solución:
Otra vez trabajando solo con sus
exponentes de las variables.
GR(X)=2,=2 tenemos que n=4
GR(y)=1, =1 donde m=9
Para GA=5 tenemos
+p=5, de donde p=2
7) Nos pide 4mp=4.9.2=72 Rpta.
Sabiendo que el polinomio:
N(x,y)=
, es de
grado absoluto 36 y la diferencia entre el
grado relativo de „x‟ y el menor
exponente de „y‟ es 12. Calcular el valor
de „m+n‟.
Solución:
Para el GA (es la mayor suma de
exponentes de cada término)
4m+2n+2=36……… (I)
Por otro ladoGR(x)-Menor expo.(y)=12
3m+n+1-(m+n-1)=12, donde 2m+2=12
m=5 remplazando en la primera
ecuación
4(5)+2n+2=36, donde n=7
Nos pide (m+n)=12 Rpta.
8) si el grado de „M‟ es 16 y el menor
exponente de „y‟ en el polinomio „M‟ es 6.
Hallar el valor de „3m+n‟.
M=
Solución:
GA=16, m+n+9=16 de donde
m+n=7…(I)
Menor expo (y)=6, de donde n-3=6
n=9, remplazando en la ecuación (I) así
tenemos m+9=7, m=-2
Nos pide (3m+n)=3(-2)+9=3 Rpta.
9) si en el monomio
P(x,y) √ , el
grado relativo a „x‟ es 3, hallar el grado
absoluto.
Solución:
Otra vez utilizando solo los exponentes
de las variables.
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=3, n=-13 nos pide el
absoluto será +5-n=21 Rpta.
10) de las siguientes proposiciones,
indicar con (V) si es verdad y con (F) si
es falsa.
I. el grado de P(x)= es 12.
(F), el grado es 6 debido a que cero
multiplicado por cualquier número es
cero.II. en todo polinomio, el grado absoluto
siempre es igual al grado relativo con
respecto a una de sus variables.(F)
III. el coeficiente principal del polinomio
P(x,y)= , es 72.
Esta dado por el coeficiente de la
variable de mayor grado en cada termino
Coe. Pri.= =72 (v)
IV. la suma de coeficientes del polinomio
P(x,y)= , es 3.
Para la suma de coeficientes (x,y)=(1,1)
P(1,1)=
=3 (v)
FFVV
11) si el grado absoluto del polinomio
P(x,y)= , es 22 y el grado
respecto a la variable „x‟ es 7, hallar m.n
Solución:
GA=22, 2m+n+3=22 de donde 2m+n=19
GR(x)=7, 2m-1=7 de donde m=4
remplazando a 2m+n=19
2.4+n=19, n=11
Nos pide m.n=44 Rpta.
12) dados los polinomios.
P(x)=( )
Q(x)=
(
) y R(x)=7x+4.
Si el grado del polinomio producto de los
tres polinomios es 25, entonces el valor
de „n‟, es:
Solución:
Sabemos que en una multiplicación se
suma. =25
P(x) su grado es
Q(x) su grado es 2.
R(x) su grado es 1. Remplazando a la
ecuación+2+1=25, llamaremos
entonces +2a=24, factorizando
a(a+2)=24, tenemos a=4
Entonces , n=2 Rpta.
13) determine la suma d coeficientes en
P(x)= +6
Solución:
Sabemos que suma de coeficientes se
calcula con P(1), para x=1
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P(1)= +6=67 Rpta.
14) Determinar la suma de coeficientedel polinomio:
P(X)= +13
Solución:
Para la suma de coeficiente se calcula
con P(1)= +13
P(1)=589 Rpta
15) El término independiente y
coeficiente principal de:
P(X)=
Son iguales. Hallar el grado de P(x):
Solución:
Termino independiente se calcula con
P(0); entonces P(0)=coef. Princ…….(I)
Remplazando para T.I
P(0)=
P(0)=(3)(n+2)(n)(1)
Para coeficiente Princ.
P(x)=1.8.3.6
Remplazando a la ecuación (I)
3n(n+2)=3.8.6
n(n+2)=6.8
n=6
el grado es: 2+n+4+n=18 Rpta
16) Siendo P(X)=3x+1 la suma siguienteP(0)+P(1)+P(2)+…..+P(20);es:
Solución:
Para P(0), P(0)=1
Para P(1), p(1)=4
Para P(2), p(2)=7
Para P(20), P(20)=61
Remplazando:
1+4+7+……..+61, sabiendo que la
razón es 3, y hay 21 términos la suma es:
S=
Donde a1=primer término, an=ultimo
termino y n es número de términos
S= =651 Rpta
17) Si se cumple:
P(-7)=4-15 y P(F(x)+3)=8x-11
Hallar F(-4)
Solución:-7=F(x)+3=F(x)+10
Remplazando en el original:
P=4(F(x)+10)-15
8x-11=4F(x)+40-15
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8x-36=4F(x)
2x-9=F(x)F(x)=2x-9
Nos pide Hallar F(-4):
F(-4)=2(-4)-9
F(X)=-17 Rpta
18) Siendo P(x)=2x-1. Hallar el valor de:
P(P(P……P(P(x))…….))
100 Factores
19) Si P(x)= +…….+
Determinar el valor de la siguiente
expresión:
E=
Solución:
P(x)= +…….+, es una
suma notable. =P(x)
Primero. P(x-1)=
P(x-1)=
Segundo. P(x)=
Tercero.
P( )=
P( )=
Ahora remplazamos en E
E=
E=
E=1/6 Rpta.
20) Determinar el grado de:
N(x)= ….
20 Factores
Solución:
7+8+9+…………………………….
Primero hallemos =+(n-1)r, donde Ultimo termino
=primer termino
n=número de términos
r=razón 7+(20-1)1=26
Para la suma es:
S=
S=
S=330 Rpta.
21) Determinar el grado de la expresión
E(x)=6 8P(x).Q(x)
Si P(x) es de cuarto grado y Q(x) es de
tercer grado.
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Solución:
Supongamos P(x)= , Q(x)= el gradosolo trabaja con el exponente y no
depende la coeficientes.
Primer término. 4(4)=16
Segundo termino. 3(6)=18
Tercer término. Por ser producto se
suma 4+3=7, de todo ello se ve suma y
diferencia por lo tanto es el mayor entre(16,18 y 7)
Rpta. 18
22) Hallar „‟6m+7n‟‟ en la expresión:
P(x,y)=
; Además se sabe
que: G.A(P)=53 ; G.
(P)=20
Solución:
GA=53, =53
26m+2n=106, 13m+n=53……….(I)
Para GR(x)=20, =20
8m+8n=40, m+n=5 de donde n=5-m….(II)
De (II) en (I) 13m+5-m=53, 12m=48 de
donde m=4 y n=5-m, n=1
Nos pide 6(4)+7(1)=31
23) Calcular el grado de:
E=
; sabiendo que P(x)
es de quinto grado y Q(x) es de tercergrado.
Solución:
Sea P(x)=, Q(x)=
5(4)+-6(3)
20+5-18=7 Rpta.
24) Si la expresión:
P(x)=[] ; es de grado 8.
Hallar el valor de „‟n‟‟
Solución:
7+20(2n+3)+12(3n-1)-35(2n)-13(5)=8
n=13 Rpta.
25) Si el grado de la expresión:
P(x,y)= es 36. Hallar el valor
de „‟n‟‟
Solución:
n+2+3n+4+2(5)=36, n=5 Rpta.
26) El grado absoluto del monomio:
P(x,y,z)=2
es 114. Calcular 5a+15b+20c
Solución:
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GA=114, sabemos que el absoluto es la
suma de todos sus exponentes de las
variables en un término y es el mayor.
3a+4b+5c+2a+3b+13c+a+11b+6c=114
6a+18b+24c=114, a+3b+4c=19 a todos
5(a+3b+4c)=5(19), 5a+15b+20c=95
Rpta.
27) Hallar „‟a+b‟‟ en el polinomio:
P(x,y)=
Además se sabe que: GA(P)=33;
G(P)-G(P)=6.
Solución:
Para el absoluto es el mayor
GA=33, 2a+2b+9=33….. (I)
Para los relativos
GR(x)-GR(y)=6, 2a+b+3-(b+7)=6
2a-4=6, a=5 remplazando en (I)
2(5)+2b+9=33, b=7 nos pide
(a+b)=(5+7)=12 Rpta.
28) Si el grado de la expresión:
P(x)= ; Es 108. Calcular el valor de „‟‟‟
Solución:
m+2+(m+2)(m-2)=108
m+2+ =108
+m=110, m(m+1)=10(11) de donde
m=10 nos pide
=100 Rpta.
29) ¿Cuántos factores se debe de tomar
en la expresión?
P(x)= …..
Tal que P(x) sea de grado 572.
Solución:
2+6+12+20+………….+ =572
La suma es:-2+-3+-4+-5+………-n=572,
ordenando. -
(2+3+4+5+…+n)=572
Es suma notable =572
=572
n(n-1)(n+1)=1716
(n-1)(n)(n+1)=(11)(12)(13) comparando.
n-1=11, n=12 es el número de términos
como empieza de 2 restamos posición 1
entonces es 12-1=11, hay 11 términos
Rpta.
30) Si; P(x)= Hallar el termino
independiente de P(x).
Solución:
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Para T.I.=P(0), así tenemos.
P(0)= -(0+2)(0-3)
P(0)=32-27+6
P(0)=11 Rpta.
31) Calcular la suma de coeficientes de:
P(x)=
Solución:
Para suma de coeficientes es P(1):
P(1)= +5
P(1)=0-1+1+5=5 Rpta.
32) Si el monomio√ √ es de tercer
grado. Hallar el valor de „‟m‟‟
Solución:
1+ =3
m=22 Rpta.
33) Hallar la suma de los coeficientes del
polinomio completo
P(x)=
Solución:
Primero factorizando.
P(x)=c
P(x)=
como es completo:
c=1, b=2 y a=3 entonces suma de
coeficientes es 2(a+b+c)+abc=18 Rpta.
34) En la siguiente identidad de
polinomios
23
El valor de a+b+c+d, es:
Solución:
23
Dónde: comparando por términos como
semejantes 23=3c+2, c=7
a=-2, d=8, b=c, c=7
Nos pide (a+b+c+d)=20
35) sea:
P(x,y)=
El grado relativo a x es 12 y el grado
absoluto es 18. Hallar GR(Y)
36) Hallar la suma de los coeficientes delpolinomio ordenado en forma
decreciente
P(x)=
37) Determinar el término
independiente del polinomio:
P(x)=
….+mx+(m+n)
Que es completo, ordenado y de grado 7.
PRACTICA I
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38) El grado del polinomio
P(x,y,z)= , es10, Hallar la suma de los coeficientes.
39) Construir un polinomio de segundo
grado, si el coeficiente de „‟X‟‟ y del
termino independiente son iguales.
Además P(1)=7 y P(2)=18 Hallar el
coeficiente de
40) Si el polinomio
P(x,y)=
Hallar „‟m‟‟
41) Si , . Hallar los valores de „‟a‟‟
42) Si el polinomio
P(x,y)= es
homogéneo de grado 16. Hallar „‟m-n‟‟
43) Si el grado del polinomio
√ , es 8. Hallar el valor
de „‟m‟‟
44) Si el grado del polinomio
P(x)= es 49. Hallar √
45) Hallar el grado absoluto del
polinomio
P(x)=
………..
52 factores
46) En el polinomio
P(x,y)= . Hallar lasuma de sus coeficientes.
47) Si el polinomio
P(x)= es
Mónico. Hallar el valor de „‟n+a‟‟
01._ Hallar la proposición no
incorrecta de las siguientes expresiones:
a) Toda expresión algebraica es unpolinomio.
b) El grado de un polinomio en “x” solose define por el mayor exponente deesta variable.
c)
Si un binomio es un monomioentonces sus términos de dicho binomio son semejantes.
d) El grado absoluto de:
, es 10
e) Todo polinomio completo en una variable implícitamente es ordenado.
02._ Sea: , además
; . Hallar
“mn”.
a) 15 b)20 c)25 d)30 e)12
03._ Hallar la suma de los
coeficientes del siguiente polinomio.
a) 24 b) 38 c) 36 d) 75 e) 52
372245 yx3 yx4 yx2)x(P
3 n 3 m 2 mn
P x, y 4 x y z
G.A. P 11 G.R. x G.R. y 5
n52
n3n nx4nx3nx2) x(P
PRACTICA II
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04._ Sean:
I) ;
II) ;
Si los grados absolutos de y
son 8 y 4 respectivamente.
Hallar el coeficiente de .
a)18 b)32 c)40 d)30 e)24
05._ Hallar el coeficiente del monomiode grado 21:
a) 221 b) 240 c) 241
d) 245 e) 441
06._ Si: , ,
. Hallar: m/n.
a)5 b)23 c)
d) e)
07._ Si:
Se reduce a un monomio de 8vo grado,halle “n”.
a)4 b) 8 c) 6 d) 5 e) 2
08._ Hallar el coeficiente de
, cuyo
y
a)81 b) 16 c) 20
d) e)
09._ Halle “a” si el monomio es desegundo grado:
a)4 b) 8 c) 6 d) 7 e) 2
10._ Sea el polinomio:
, cuyo
y además se cumple que:
.
Calcular “ ”
a)6 b) 5 c)23 d)11 e)31
11._ Si: [P.Q.R]º=289.¿Halle “n+1”?
a)6 b) 8 c) 4 d) 7 e) 2
12._ Calcular “ ”, si el polinomio:
Es de grado absoluto 20;
b c 2b 1 b 3
P x, y 2 x y
c 2 c 4Q x, y x y
P x ,y Q x, y
P x ,y
nm25npnmn y xp y xm5) y ; x(P
G.A. Q 15
G.R. x1
G.R. y
2 n 5 m 4
Q x,y 16 x y
5
23
23
5
5
23
242n
423n232n
) x) x((
x] x) x[() x(S
nm 3m 2n 5m n1
P x, y 9 x y2
G.A. 20 G.R. x 14
81
16
16
81
31a
5a2a
x
x x) x(M
m n 1 n m n 3 n 2Q x;y 7x y 6x y
G.A. 21
G.R. x G.R. y 7
3m n
nnnn nnn ]3 x7 x3[) x(P
2n
]1 x7 x3[) x(Q
nn
1 x11) x(R
mn
m 1 n 2 m 2 n 1 m 3 n 2
P x, y 4x y 6x y 6x y
G.R. x 8.
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11
a)71 b)70 c)68 d)69 e)72
13._ Se tiene el polinomio:
Donde el grado relativo de “x” es 5
¿hallar la suma sus coeficientes?
a)12 b)11 c)10 d)18 e)14
14._ el grado relativo a “x” vale 12,
siendo el grado absoluto del polinomio
18. Hallar el grado relativo a “y”.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
15._ Se tiene el polinomio:
Donde el grado relativo de “x” es al
grado relativo de “y” como 4/3
¿Hallar la suma de coeficiente del
polinomio?
a)23 b)26 c)22 d)20 e)28
16._ En el polinomio:
Se verifica que y que el
menor exponente de “y” es 5. Calcular elgrado absoluto del polinomio.
a)21 b)15 c)31 d)37 e)17
17._ Si el grado absoluto de:
Es igual a la mitad de la suma de los
exponentes de todas sus variables.
Calcular el grado relativo de “y”
a)1 b) 3 c) 5 d)7 e) 9
18._ El grado del polinomio:
;
Es 48. Calcular el valor de “n”.
a)10 b)12 c)14 d)16 e)18
19._ Señale el grado de:
a)20 b)32 c)23 d)19 e)24
20._ Se tienes dos polinomios P y Q si el
polinomio P es de grado 10 respecto a“x”. En el polinomio Q el grado respecto
a “x” es 5 grados menos que el grado
respecto a “y” .Hallar el grado respecto a
“y” en el polinomio P, siendo:
a)16 b)15 c)12 d)19 e)18
21._ Calcule “m” en:
Sabiendo que el coeficiente principal del
producto es igual al término
independiente del mismo.
7a51a43a y ax y x5 y x3) y ; x(P
7k4k6k5k2k3k y x y x2 y kx) y ; x(P
m n 2 m 3 m n 5 m 4 m n 6 m 23x y x y 2x y
G.R. x G.R. y 15
ba1ba2ba2 y x y x3 y x) y ; x(P
3n 3 2P(x) = (x + 1)(x + 5)
52
2 4
3 2 4 63
x y x 1 xyE x, y
x 1 x xy y
n1m1n1m1n1m yx7 yx3 yx) y;x(P222
3n1m2nm6n7m yx9 yx5 yx2) y;x(Q
m 3
m m 1 2 2F x 3x x 1 mx x 3 x 192
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a) 2 b) 3 c) 5 d)12 e) 4
22._ Si el término independiente y el
coeficiente principal del polinomio son
iguales. Hallar el grado del polinomio:
a)12 b)13 c)10 d) 8 e)18
23._ Hallar la suma de coeficientes del
siguiente polinomio:
a)7 b) 9 c)-9 d)10 e)11
24._ Dado el polinomio:
Su término independiente será:
a)3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 8
25._ En el polinomio:
;
Calcular “n” sabiendo que la suma de sus
coeficientes es 99.
a) 2 b) 4 c) 3 d) 6 e) 5
26._ Dado el polinomio:
;
Halle el valor de “n+3”, sabiendo que la
suma de coeficientes y el termino
independiente del polinomio suman 249.
a) 7 b) 6 c) 8 d) 5 e) 3
27._ Determine el grado del polinomio
sabiendo que el grado de:
Es igual a 21 y además
el grado de es igual a 24.
a)6 b) 7 c) 5 d) 3 e) 1
28._ El grado del polinomio es
19. El polinomio tiene grado 28.Hallar el grado de Q(x).
a) 1 b) 2 c)12 d) 4 e) 6
29._ Sean los polinomios M(x) y N(x). El
grado de es 11 y el grado de
es 20. Hallar el grado de N(x).
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5
30._ Si la expresión:
,
Se reduce a un término. Hallar el
coeficiente de dicho término.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e)
31._ Si el grado del siguiente monomio:
Es 8, el valor de “m” es:
a)12 b)10 c) 5 d)11 e) 7
2 n
4 2 n 1 n
P x x 3x 5 6 x x n
2x x n 1 10x 5x 1
101 nP(x 3) (3x 7) (x 3) 6x 1
n nP(x 2) (7x 11) 3x 1 3
nP x 4x 1 x 1 x 3 10
n nP x 1 2x 1 3 x 1
P x
2 3P x Q x
3 2P x Q x
P(x) Q(x)
4
P(x)
3
M(x) N(x)
4
M(x)
4 n 3
8 4P x n 3 x n 4 x
5 36 4 m m
M x 3x 9x x 2x
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32._ Si: ;
Es de grado 32, el coeficiente es:
a)5 b) 2 c) 4 d) 9 e) 6
33._ Hallar “n” si el grado del polinomio:
Es 272.
a) 4 b) 2 c) 0 d)12 e)16
34._ La expresión:
a) Es un trinomio
b) Se puede reducir a un
binomio
c) Se puede reducir a un
monomio
d) Es equivalente a cero
e) No es un polinomio
35._ En el polinomio, donde “n” es
impar:
La suma de coeficientes y el término
independiente suman 1; luego el valor de
“n” es:
a)5 b) 7 c) 9 d)11 e)13
36._ Halle el grado absoluto del
polinomio:
,
a)0 b) 7 c)13 d)12 e)14
37._ Sea el polinomio:
Con si el producto de los grados
relativos de “x” e “y” es 24. El valor de
“n” es:
a)1 b)-2
c) 2 d) 3 e)-3
38._ El siguiente monomio es de grado
99. Calcule “n”.
a)6 b)10 c)12 d)16 e)20
39._ Hallar el grado absoluto de la
expresión, si con respecto a “y” es de 2°
grado:
a)14 b) 8 c) 6 d) 7 e) 9
40._ En la siguiente expresión:
C(x) =
Determinar “n” para que dicha expresión
sea de grado 6.
a)44 b)16 c)40 d)24 e)48
n n3n 2nn nn n n
P x n 1 x x
nn
nnnn
n
nnP x x x 1 x 2
2
45 4 2 2 3E x,y 17x y 11 y x x 2 x xy
n n
P x 1 2x 1 x 2 128 2x 3
a 7a 6 a 5 2a 6 4P x,y x y x y xy
n n
2n 2 n n nP x,y x y xy y x ,
3
2n 1 n 23 x y
n 1
n 3 n 5 n 125x y
4n 1 n
36 5n 4
x x
x
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41._ Halle el grado del monomio:
a) 0 b) 1 c)11 d) 7 e)13
42._ Si el grado de es 44 y el grado
de es 3. Calcular el grado de
sabiendo que P y Q son 2
polinomios de grado desconocido.
a)33 b)42 c)24 d)12 e)1024
43._ Si el siguiente polinomio es de
grado 20:
Encuentre el valor de “n”.
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
44._ Calcular el valor de “n” en:
Si el grado del producto es 210.
a)20 b)15 c)30 d)25 e)35
45._ Hallar el grado del monomio
siguiente:
Si se cumple que:
a)97 b)65 c)57 d)87 e)77
46._ Si el grado de es 13 y el
grado de es 22. Calcular elgrado de: .
a)12 b)13 c)14 d)15 e)16
47._ Si la suma de los monomios T1 y
T2:
Resulta ser otro monomio. Calcular el
valor de “k” en la relación:
a) 4 b) 7 c) 5 d) 6 e) 8
48._ ¿Qué valor debe asignarse a “n” en
la expresión:
De modo que su grado absoluto excede
en 9 al grado relativo a “y”.
a) 2 b) 1 c) 4 d) 9 e) 3
49._ Si la expresión:
Se reduce a un monomio de 8° grado,
halle el valor de “n”.
a)4 b) 3 c) 6 d) 5 e) 2
50._ Halle “h” si en el siguiente
polinomio:
3 6 5 2F(x ; y) = 12x y z
5 2P Q
35Q P
2
2 3P Q ;
n
n 1n
n nn n n
x 12x 7 9x 2x 1
2 3 n(x 1)(x 2)(x 3)...(x n)
a b b a ccM(x,y,z) = x y z
a b b c a c20
a b c
2P(x)Q (x)
2 3P (x)Q (x)
3 2P (x) Q (x)
a d c a1T c – b x y
c– 2 5b2T a – d x y
5 101 2T T kx y
n
n 2 n 1 n n 1x x y y
n 2 3 2n 3 2 4
n 2 4 2[(x ) x ] xS(x)
((x ) x )
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;
Se cumple:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0
51._ Sea el polinomio:
¿Qué valor toma “m” si se cumple en el
polinomio que la suma de coeficientes y
su término independiente suman:
a)-2 b) 1 c) 3 d)-
2
e)-1
52._ En el polinomio:
Se observa que:
Calcular el valor de “n”.
a)1 b)
c) 2 d) 3 e)
53._ Si P x
es un polinomio completo,ordenado y decreciente y de gradoabsoluto 4 hallar el valor de n .
2 2 3
2 4 2 5 3 33 5 4 2 .
m nn n m mn m m m
P x x x x x x
a) 4 b) 5 c) 6
d) 2 e) 3
54._ Si
1 6 2 5 3
, 6 3
m n m n m n
P x y x y x y x y
es un polinomio cuyo grado absoluto es
17, y su grado respecto a “ x ” es 6, calcule
.mn
a) 32 b) 39 c) 34
d) 30 e) 35
55._ Si el grado de 2
. P x Q x es 13, y
el grado de 2 3. P x Q x es 22.
Calcule el grado de 3 3. P x Q x
a) 28 b) 21 c) 20d) 25 e) 27
56._ Hallar la suma de valores de “ n ”
para los cuales la expresión
12810 2
2 2, 4 3
n
n
P x y x y
, sea un polinomio.
a) 3 b) 5 c) 6
d) 4 e) 2
57._ Si el menor grado absoluto que sepresenta en uno de los términos del
polinomio:
66 5 2 6 4, 2 2
nn n n P x y x y nx y xy
es 2.
Halle el grado absoluto del polinomio.
a) 13 b) 15 c) 16
d) 14 e) 12
58._ Dado el polinomio
2 2
( 1) . ( 1) ., , 5 6 5
b a a b a ba b a b b
P x y z x y z , si
se cumple que. . . ; 1. x y z G R G R G R b
Calcular el valor de .a b
a) 3 b) 5 c) 6
d) 4 e) 2
59._ Si el grado del monomio
3 hP(x) (2x 1) 4x 2
coef T.I. 12
m mP(2 x-1 )= (5 x-1 ) + (2 x+ 1 ) - 2 x + 1
mm3
24 2 ?2
2n 2P(x+ 1 ) = (3 x + 2 ) (5x + 7) (4x + 7 )
3 coef 686 Térm.Ind.
3
2
2
3
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5 36 4( ) 3 9 2
m m P x x x x x es 8. Entonces el
valor de 2m , es:
a) 13 b) 15 c) 16
d) 12 e) 14
60._ Si el grado absoluto de
3 1 2 2 2 3 3, 2
n n n n n n P x y x y x y x y
es 11.
Calcular el valor de n .
a) 6 b) 5 c) 3
d) 4 e) 9
61._ Si el grado del polinomio8 2 3 2 3 3
( ) (9 1) (2 3 1) (3 )n n
P x x x x x
Es 47, determinar el valor de:
10( ) ( ) P x coeficiente principal de P x
a) 1 b) 0 c) 3
d) 5 e) 2
62._ Calcular el valor de “ n ” en la
expresión2 1 1
( , ) ( )n n n n n
P x y x x y y
de
modo que el grado absoluto excede en 9
al grado relativo a . y
a) 2 b) 9 c) 3
d) 4 e) 1
63._ Si el grado del polinomio
homogéneo
2 2 1 1 2 2 1, 2
m n m m n m m n m P x y m x y nx y m n x y
. Es 13 y el grado relativo de “ x ” es el
grado relativo de “ y ”como 3 es a 2, halle
la suma de sus coeficientes.
a) 133 b) 129 c) 141
d) 121 e) 143
64._ Determine el grado del polinomio2 2 1 2
( ) 4(3 1) (2 1) 1,n n
P x x x
si se sabe que
la suma de coeficientes de P sea un
término independiente como 43 es a 1.
a) 13 b) 15 c) 11
d) 14 e) 12
65._ Dar la suma de coeficientes del
trinomio
9 2 17 23( , ) ( 3) .
m
m m m P x y m x mx y y
a) 2 b) 8 c) 10
d)4 e) 6
66._ Si el polinomio1 2 2 1 3 2
( , ) 4 6 5m n m n m n
P x y x y x y x y es de
grado absoluto 20 y grado relativo
respecto a “ y ” 8, calcule .mn
a) 60 b) 70 c) 80
d) 90 e) 102
67._ Si el grado absoluto de3 1 2 2 2 3 3
( , ) 2n n n n n n
P x y x y x y x y es 11,
calcular el valor de n .
a)3 b) 5 c) 7
d) 11 e) 9
68._ Hallar el coeficiente del monomio3 2 5 5
( , , ) 4m m n m n
P x y z n x y z si su grado
absoluto es 10 y el grado relativo
respecto a “ x ” es 7.
a)3 b) 5 c) 6
d)2 e) 4
69._ Dado el polinomio:5 3 4 3 4 2
( , ) ( 1) 7 .m m m
P x y m x y x y x y m
Halle la suma de coeficientes para le
mayor valor de m .
PRACTICA III
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1. Cuál o cuáles de las siguientesafirmaciones son verdaderas.
I. El grado relativo de un polinomioestá determinado por menor exponente
de la variable
II. El grado absoluto de un polinomio
en una variable se determina mediante el
término de máximo grado
III. En un polinomio completo y
ordenado en una variable, el número de
términos es uno más que su grado
a)Sólo I b)I y III c)Sólo III
d)I, II y III e)II y III
2. Determinar la verdad o falsedadde las siguientes proposiciones:I. El grado absoluto de un polinomio
puede coincidir con el grado relativo de
una de sus variables.
II. Un polinomio homogéneo puede
ser completo.
III. Todo polinomio completo es
ordenado.
IV. Un polinomio en una sola variable,
puede ser ordenado, completo y
homogéneo.
a) VVFF b) FVFF c)
VVFV
d) FFVF e) VFVF
3. Indicar si las afirmaciones son Verdaderas (V) o Falsas (F).
I) Un polinomio completo siempre es
ordenado.
II) Un polinomio completo de grado “n”
posee (n+1) términos.
III) En un polinomio idénticamente nulo
sus exponentes son iguales a cero.
IV) En un polinomio completo y
ordenado en forma ascendente, el
primer término es el de mayor grado.
a) FVFF b) FVVF c) VVFV
d) FFVV e) VFVF
4. Hallar el grado absoluto de:
7 7 7 7
2 3 4 20x y x y x y ........ x y
a) 1463 b) 1999 c) 1974
d) 2000 e) 9999
5. Sean P(x) y Q(x) polinomios degrados “m” y “n” respectivamente. De lossiguientes enunciados cuáles son
verdaderos:I. El grado del polinomio producto
P x Q x es igual a m n.
II. El grado del polinomio suma P x Q x es igual a m n.
III. El grado del polinomio diferencia P x Q x es menor o igual que el valor
máximo de “m” y “n”.
a) Sólo II b) I y II c) II y III
d) I y III e) I, II y III
6. Señalar el coeficiente del
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18
monomio a a b 2a bS x;y 2 5 a b x y
Si es noveno grado, y de octavo grado
relativo a “y”
a) 50 b) 100 c) 150
d) 200 e) 250
7. Si el grado de la expresiónreducida equivalente a:
3 8 ;
n
x M x x es uno:
Hallar el grado de:
2 8 18 32
" " min
... x
n tér os
P x x x x
a) 50 b) 72 c) 98
d) 128 e) 162
8. Halle “a” si el equivalente de:
5 36 4 a aM(x) 3x 21x x 2x , es un monomio de
grado 8.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
9. Dado el monomio:
2 n3 42 5 2 m
x y x y x y
Si: xGR 2 y GA 5 ; hallar mn
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10. Si la suma de los grados absolutosde los términos de:
b 72b 14
aaax 5ab xy by
es:
210
a 1 .¿Qué
valor asume “b”? a) 13 b) 14 c) 15 d)
16 e) 17
11. Si el grado del polinomio:
n n 2 3
8 2 3 3P x 9x 1 2x 3x 1 3 x
es 47
Determinar: 10 Coef. principal de P x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
12. ¿Qué valor debe asignarse a “n” en
la expresión: n
n 2 n 1 n n 1x x y y
de modo que su grado absoluto excede
en 9 al grado relativo a “y”.
a) 2 b) 4 c) 1 d)9 e) 3
13. Determinar el grado del producto: 2 12 36 80
10 pa réntesis
P x x 1 x 1 x 1 x 1
a) 3025 b) 3045 c) 385
d) 3036 e) 3410
14. Cuántos factores han de tomarse enla expresión:
2 6 12P x x 1 x 2 x 3
Tal que P x sea de grado 330.
a) 10 b) 12 c) 13 d) 9 e) 8
14. Clasificar el polinomio de variables x,y:
n 4 n 3 n 3 n 2 n 2 n 1 n 1 nn 3 x y n 2 x y n 1 x y nx y
Siendo:
1327
12 5n 1 02 4
a) homogéneo b) ordenado
c) irracional d) completo y ordenado
e) completo en y
15. Dado el polinomio: 2m 1 3 m m 2
P x mx 3x m 2 x
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19
Ordenado en forma decreciente, la suma
de sus coeficientes, es:
a) 1 b) 2 c) –1 d) 0
e) 3
16. Si el polinomio x, yP es homogéneo
y la suma de sus coeficientes es 19.
7 b a 2b a 16
x,yP 2a 3 x 2 4 b x y
Hallar el
valor de (a+b)
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
17. Si xP es completo y ordenado
hallar (a + n) si tiene (2n+8) términos.
n 3 n 2 a 4
xP x x ..... x
a) 9 b) 3 c) 10
d) 12 e) 11
18. Si el polinomio homogéneo:m 5 n 3 m 4 n 2
(a;b)P a b a b ... , es ordenado y
completo con respecto a “a”, calcular “m
+ n”. Si es de décimo grado en “a” y
grado quince en “b”.
a)10 b)12 c)11 d)13 e)14
19. El polinomio completo y ordenado:
4n 1 4n 2 4n 2 4n 1
P x, y x x y ... xy y
Que
también es homogéneo, se verifica que la
suma de los grados absolutos de sus
términos
Es 240, según esto halle Ud. Su grado de
Homogeneidad.
a) 20 b) 15 c) 10 d) 5 e) 25
20.
Si el polinomio xP es completo y ordenado. Hallar el número de términos. n 9 n 8 n 7
xP n 2 x n 3 x n 4 x ......
a) 5 b) 7 c) 9 d) 3
e) 10
21. Si se cumple:
d 1 b c a 4 a 1 a
7x dx bx 1 ax 2a 1 x 5x c Hallar el
valor de: a b c d
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
22. ¿Cuál o cuáles de las siguientesproposiciones son falsas?
I) 3 2 2 2 2 2 4
P x, y, z x y x xy xyz 3x y x y z y
es un polinomio homogéneo.
II) 3 2P x 4x 3x 6x x 2 x 8 1 es un
polinomio completo.
III) Q x 4 x 3 2 x 4 x 5 2x x 2 2 x 2 6
es idénticamente nulo.
a) I y II b) III c) II y III
d) solo I e) solo II
1. Reduzca el polinomio “p” si sustérminos son semejantes.
m 2n m 3 2 n 2 p x; y 2m x y 3nx y
mn 0
a) 2 5x y b) 2 2
1 6 x y c) 5 225x y
d) 2 225x y e) 2 5
25x y
PARA CASA
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20
2. Si el grado del polinomio:
n n 2
2 3 5R x 25x 7 100x 1 2x 1
; es 49
Calcular: n 6
a) 10 b) 4 c) 16 d) 5 e) 6
3. Si el monomio: n P x x x x x es de
cuarto grado. Calcular el valor de “n”. a) 64 b) 16 c) 50 d) 78 e) 14. Qué valor debe tomar “n” paraque la expresión adjunta:
3 3 31 1 nx x x x
Sea de segundo grado:
a) 39 b) –39 c) 29 d) –29 e) –
27
5. Sean los polinomios: P x , Q x ; G.A. P G.A. Q
Si el grado de: 3P Q
Q
; es 12 y el grado de
4 P Q es “2”
Determinar el grado de P x a) 1 b) 2 c) 3 d) 4e) 56. Determinar el grado del polinomioP(x) sabiendo que el grado de
2 3
. P x Q x Es 21; además que el grado
de 4 2
. P x Q x es igual a 22
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7
7. Si el grado del siguiente monomio5 3 mm46 x2xx9x3 Es 8
El valor de “m” es:
a) 2 b) 6 c) 9 d) 12 e) 16
8. Si el grado del siguiente monomio
: 5 36 4
333 555 888a a
M y y y y y es 8,entonces el
valor de “a” es: a) 2 b) 6 c) 9 d) 12 e) 169. Calcular “n” si el monomio es de
2do grado:
3 7n 2 3n
21 n 2
x . xM x
x
a) 6 b) 8 c) 10 d) 7 e) 9
10.
Si la expresión:242n
423n232n
)x )x((
x ]x )x[( )x( S
se reduce a un monomio de 8° grado,halle el valor de “n”.
a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6
11. Halle “n” si la expresión:
3 4 52 5 n 2n 3n
M x 2 a x x x
Es de grado “22” a) 22 b) 25 c) 30 d) 40 e) 4512. Si el trinomio:
c cab cba ba xxx ; es
Homogéneo, de gado 10 de qué grado es
el monomio ?z.x.xb cc aa b
a) 7 b) 13 c) 27 d) 33 e) 30
13. Si el polinomio siguiente:
n 2 m n 3 m 1 n 1 m 1
P x;y 2x y 3x y 4x y
Es homogéneo de grado 10 y G.R. x 6 .
Hallar:
m n
n m
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6
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21
14. En el siguiente polinomiohomogéneo
2
a 2b2 a b 256P x, y, z a x 4aby 9bz
Con; a, b 0 la suma de sus coeficienteses:
a) 2 b) –2 c) 3 d) –4 e) 4
15. Dado el polinomio homogéneo:
a 3 b a 3 4 c 2 b 2
P x,y 10x 2ax (x y ) x y
El valor de: “ a b c ” es:
a) 6 b) 8 c) 7 d) 5 e) 9
16. Hallar m p b si el polinomio es
completo y ordenado descendentemente. m 18 m p 15 b p 16
P x 5 x 18 x 7 x
a) 72 b) 18 c) 34 d) 20 e) 70
17. Calcular "mn" en la siguienteidentidad:
2 x 7 m x 2 n x 3
a) 20 b) –8 c) 8 d) 16 e) 24
18. Hallar el número de términos en:
m 7 m 6
m 5
M x m 1 x m 2 x
m 3 x .....
Si es completo.
a) 6 b) 24 c) 9 d) 719. Si se cumple la siguienteidentidad:
a x 3 b x 4 7 2x 3
Calcular: 3
a b
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
20. El grado de polinomiohomogéneo:
3 m 4 2 n 10 6 pT x, y, z mx y z nx y z pxyz
Es 10 entonces la suma de loscoeficientes es:
a) 16 b) 15 c) 13 d) 21e) 23
21. Halle n si:
(2) (4) (6) (2n)P P P ....P 145
Donde (x)
x 1P
x 1
a) 10 b) 24 c) 45 d) 72 e) 145
22. Si el término independiente delpolinomio 2F(3x 2) 9x 6x 10 m es 12.Calcule F(5)
a) 13 b) 27 c) 35 d) 16 e) 31
23. Sabiendo que; x1; y: f(x) =1x
1x
,
Calcular f[f(x)]
a) 3x b) x c) 1 d) 2x e) N.A.
24. Siendo f(x) una función definidatal que:f(x) = f(x-1) + f(x-2)
Además: f(1) = 3 ; f(2) = 4
Calcular: f[f[f(0)]]
a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7
25. Sea f(x) un polinomio que cumplecon f(x+1) = 3 f(x) - 2 f(x-1)
Además f (4) = 1 y f (6) = 4
Calcular f (5)
a) 1 b) 2 c) -2 d) -1 e) 0
26. Si: 2f x x 2x 2 .
Calcular:
VALOR NUMERICO
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M f f 3 f 2 1
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
27. Si: 2f x 4 x 4x 5
Hallar: “ f x ”
a) 2x 4x 5 b) 2
x 4x 5 c)2
x 4x 5
d) 2x 5 e) 2
x 5
28. Si: f x 1 x 3
Hallar:
f x 7 a) 11 b) x 10 c) x 12
d) x 11 e) x 8
29. Si: f x ax b y f 2 11 ; f 2 5
Hallar el valor de: f 3
a) 13 b) 12 c) 16 d) 18 e) 15
30. Si:
2P x 2 x 4x 4
Hallar: E P 3 P 4
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4e) 5
31. Hallar “ f x ” si se conoce que: f x 3 4x 2
a) 4x 6 b) 4x 3 c) 4x 10
d) 4x 10 e) 4x 6
32. Si:
2
5x 1 ; Si : x 3
f x x 1 ; Si : 3 x 5
3x 4 ; Si : x 5
Calcular:
f 9 f 3 f 0
f 9 f 3 f 0
a) 37
30 b) 37
30c) 35
30
d) 35
30e) 34
30
33.
Siendo:21
P ax 3x 1ax 1
Obtener: 1P
2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 0
34. De la expresión:2012 20111
2 41
x P x x
x
Hallar el valor de P 1
P 3
a) 2 b) 4 c) 256 d)0 e) 1
35. Si: 2 3P x 1 x x x
Calcular: P 1 x
a) 1
xb) 1
x 1c) 1
1 xd) 1
x 1e) x
36. Hallar “n” si el grado de:
nn
nn
nn n
n
n )2x.( 1xx
Resulta ser 272.
a) 1 b) 2 c) 16 d) 4 e) 272
37. Dados:2nnn
nnnn
nnn 1x7x3)x(Q;3x7x3)x(P
R(x) 11x+1
Si: grado de 289)x(R.)x(Q),x(P . Calcular el
grado M(x) siendo:
M(x) (11xn + 1)2 (x2n - xn)
PRACTICA IV
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a) 12 b) 6 c) 15 d) 9 e) N.A.
1) Sí 5 3
2 3 2 3 P x x x x x . Hallar
el término independiente de P x .
Rpta. 11
2) Calcular la suma de coeficientes de:
20 7 31 2 5 P x x x x
Rpta. 5
3) Si el monomio2
3 2
m
m
x x
x
es de tercer
grado. Hallar el valor de m .Rpta.22
4) Hallar la suma de los coeficientes delpolinomio completo
a b b c a c P x c x x a x x b x x abc
Rpta. 18
5) En la siguiente identidad depolinomios
5 6 5
23 2 3 2 8b a d c c c
x bx dx cx c x x a
El valor de a b c d , es:
Rpta. 20
6) Hallar la suma de los coeficientes delpolinomio ordenado en formadecreciente
2 1 3 23 2m m m P x mx x m x
Rpta. 3
7) Sea:
1 1 2 2
3 1
, 2 3 7
6
m n m n m n
m n
P x y x y x y x y
x y
El grado relativo a x es 12 y el grado
absoluto es 18. Hallar GR(y).
Rpta. 7
8) Determinar el término independientedel polinomio:
2 1...
n m P x x x mx m n
Que es completo, ordenado y de
grado 7.
Rpta. 12
9) El grado del polinomio 3 2 6, , a b c
P x y z ax y z bx y z cxyz , es10,
hallar la suma de los coeficientes.
Rpta. 0
10) Construir un polinomio desegundo grado, si el coeficiente de x y del término independiente soniguales. Además 1 7 P y 2 18 P .
Hallar el coeficiente de 2 x .Rpta. 3
11) Si el polinomio 2 2 2 2, 10 5 2 P x y m x y nxy x y xy Hallar
n
m .
Rpta. 225
12) Si 4 2 236 6 13a x a a a x , Hallar los
valores de a .Rpta. 2, –3
13) Si el polinomio
2 1 7 2 3, 3
m n n P x y x y x y
es
homogéneo de grado 16. Hallar m n .Rpta. 2
14) Si el grado del monomio
5 36 43 9 2m m x x x x es 8. Hallar el valor de
m .Rpta. 12
15) Si el grado del polinomio
2
2 3 3 53 5 5 7 2 3
n nn m n
P x x x x
Es 49.
Hallar 6n .
Rpta. 4
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16) Hallar el grado absoluto delpolinomio
8 7 10 9 12 11
52
...
factores
P x x y x y x y
Rpta. 3068
17) En el polinomio
9
68 27,
nn
n P x y nx y x y . Hallar la suma
de sus coeficientes.Rpta. 62
18) Si el polinomio
5 2 432
n
n n n P x x nx x x ax es
Mónico. Hallar el valor de n a .Rpta. 4
19) Hallar el coeficiente de
3 2 51, 9
3
nm m n m n
P x y x y
, si su grado
absoluto es 10 y el grado relativo a x es7.Rpta. 1
20) Si 2 2 8, 15 2a b a b b b a a b P x y x y x y x y
es
homogéneo. Hallar el valor de ab a b
.Rpta. 160
21) Hallar el coeficiente den m 3m 2 5m n1
E(x, y) ( ) 9 x y3
, sabiendo que
su grado absoluto es 10 el grado
relativo a x es 7.
Rpta: 1
22) El grado de la expresión
2 4(4) 6(9)
n factores
E(x) x 1 x 1 x 1 ... Es:
Rpta: 22n n 1
2
23) El grado absoluto del polinomio:P(x,y) = (x3 y+x)5(x5 y+x2)5(x7 y+x3)5
…20 factores, es:
Rpta. 2300
24) Qué valor debe asignarse a n en laexpresión:P(x,y) = (xn+2+xn+1 y n+y n+1)n
De modo que su grado absoluto
exceda en 9 al grado relativo de y.
Rpta. n=3.
25) Hallar el valor de n para que el
grado del monomio:41
36 5 4
( )n n
n
x x M x
x
,
sea 1.Rpta. n=8
26) Si el grado de la expresión:2122 )8()5()( mmmmmm
x x x x x P Es 108.
Hallar el valor de m donde m>2.
Rpta. m=7
27) Hallar la suma de todos los valorede n, para que:
2 1 19 6( ) 4 5 3 6
n
n n n P x x x x x ;
Sea un polinomio.
Rpta. 36.
28) Si el menor grado absoluto que sepresenta en uno de los términos delpolinomio:
646256)2(2),(
nnnn xy ynx y x y x P Es
2. Hallar el grado absoluto del
polinomio. Rpta. 13.
29)
Dado el polinomio:
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124112358)(63),(
y x x y x y xbababababaQ De
grado absoluto 22 y grado relativo
respecto a (a) ES igual a 9.Hallar x y
Rpta. -7
30) Dados los polinomios P y Q dondeel grado absoluto de P es 14 y elmenor exponente de x en elpolinomio Q es 10. Indicar cuál es elgrado absoluto del polinomio Q.
m 7 n 2 m 4 n 1 m 2 n 12P x, y 3x y 2x y x y
5
3m 7 n 1 3m 5 n 4 3m 1 n 6Q x, y 4x y 2x y 3x y
Rpta:24
31) Hallar el valor de n si GA(P)=3;GA(Q)=4 y se conoce que el grado
absoluto de la expresión
27 5
35 4
n
n
P Q
P Q
es
igual a 4.Rpta:2
32) Sea 4 5 72 3m m mQ x mx mx mx
,
un polinomio de quinto grado. Señalael coeficiente del término cuadrático.Rpta:27
33) Si 2a b
b a , donde 0, 0a b . Hallar
el valor de:
2 2
2 2
1 3
3 1
a b H
a b
.
Rpta:1
34) Si el monomio2
3 2
m
m
x x
x
es de cuarto
grado. Calcular m .Rpta:28
35) Si los exponentes de las variablesdel polinomio son iguales, reducir la
expresión, siendo 6 42 a b a b
P x a b x ab x b a x Rpta: 5 x
36) Si el grado del polinomio
2
2 3 650 10 200 1 5 1m m
P x x x x
Es 75. Hallar el valor de m . Rpta:15
Nos pide (a + b + c + d)=20
37) Sí2 2
5
3
ab
a b
; que valor se obtiene
para2 2
a b E
b a
Rpta:-1/5
38) Si 2 p q r , pq pr qr , Hallar el
valor de 2 2 2 p q r .
Rpta:4
39) Si 4a b , 5ab . Calcular3 3
2 2
a b E
a b
Rpta:2/3
40) En el polinomio
9
68 27,
nn
n P x y nx y x y
. Hallar la
suma de sus coeficientesRpta:62
41) Encuentre el grado absoluto máximode:
3 2 2 3 6
112
, , 2 4n n n n
n
n
P x y z x y z x y
xy z
Rpta:10
42) Si el polinomio
PRACTICA I productos
notables
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5 2 432
n
n n n P x x nx x x ax
, es
Mónico, determinar el valor de n a Rpta:4
43) En el polinomio
2 21 2 3 3 2 32 2
n n P x x x x , el
término independiente es el doble de
la suma de coeficientes. Determinar
el valor de n .
Rpta:1
44) En el monomio
3 3 35 1 4,
n n P x y x x x y el grado
relativo respecto a x es 3 , hallar el
grado relativo de la variable y .
Rpta:43
45) Si en el polinomio
2 2
2 4 2 65 3n n
P x x x x El
termino independiente es igual a la
suma de coeficientes de P x . Hallar
el coeficiente principal de P x .
Rpta:65
46) Si 3 2 P x x y 23 2 P G x x x ;
hallar 2G .
Rpta. 10/3
47) Si , 0 P x y , donde
2 2 2, 4 20 P x y a xy b x y ax y . Calcular
ab .Rpta. 8
48) Si el grado del producto
2 2 94 2 33 2 3 3 8
n n
P x x x x x
Es 47, el
valor de n es:
Rpta. 4
49) Si 1 5 x x , el valor de 3 3
x x , es:
Rpta. 140
50) Si 2a b y 3ab , el valor de3 3 2 2
M a b a b , es:
Rpta. -1251) Si 3 3 5 x y y 1 1 xy x , el valor de
2
x y , es:
Rpta. 4
52) Si 5a b c y 2 2 2 7a b c , el valorde ab ac bc , es:Rpta. 9
53) Si 0ab , la expresión simplificada
de:
2 22 2 2 2
2 23 3 3 3
4a b a b a b
M a b a b
, es:
Rpta. 4
ab
54) Al efectuar la expresión
21 1 1 1 x x x x M a a a , se obtiene:
Rpta. 4a
55) Sabiendo que 7a b c y 2 2 2 31a b c , el valor de 18 2ab
E
ac bc
, es:
Rpta. 2
56) Al simplificar la expresión
2 2
2 2
ax by ay bx E
x y
, se obtiene:
Rpta. 2 2a b
57) Calcular P(1,1) a partir de:2 2 3 3 1 2 2 3 4( , ) a b a b P x y a x y b x y
2 1 3 2 2 2 3 3
2a b a b
abx y x y
Sabiendo que su grado absoluto es 24
y los grados relativos respecto a x e y
son iguales.
Rpta. 65.
58) Hallar un polinomio de segundogrado cuyo coeficiente de x y eltérmino independiente son iguales,además P(1)=7 y P(2)=18. Dar como
respuesta el coeficiente de x2
.
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Rpta. 3
59) Sabiendo que 2( 1) 1 P x x , el
valor de)3(
)2()0( P
P P E , es:
Rpta. E=4/17
60) Dado el polinomio:2 2( 1) (2 3) (3 2) 32( 2)n n P x x x x Si se
cumple que el término independiente
es 2 veces la suma de los coeficientes
del polinomio P x , el valor de n, es:
Rpta. n=1
61) El polinomio:8 2 3 2 9( ) (9 7) (2 3 1) ( 3)n n P x x x x x
Tiene como
grado 47. Determinar la raíz quinta
del coeficiente principal.
Rpta. 9
1 En la siguiente identidad de polinomios5 6 5
23 2 (3 2) 8 .b a d c c c
x bx dx cx c x x a
El valor de ,b d
a c
es:
a) 3 b) 4 c) -4
d) 5 e) -3
2 Si el polinomio18 15 16
( ) 9 12 15 ,a a b c b
P x x x x es
completo y ordenado en forma
decreciente. Calcular .a b c a) 32 b) 52 c) 72
d) 82 e) 94
3 Si el polinomio2 1 7 2 3
( , ) 5 ( )m n n
P x y x y x y es homogéneo
cuyo grado de homogeneidad es 16.
Determinar los valores de m y n
respectivamente.a) 2,6 b) 6,8 c) 5,8
d) 7,5 e) 6,9
4 Si el polinomio cuartico2 2
( ) ( 3)n
P x a x ax a , es Mónico, halle
el valor de (2 ) ( ). P n P a
a) 28 b) 42 c) 36
d) 0 e) 26
5 Si el polinomio2 9
( , ) (2 3) (2 4 )b a b a
P x y a x y b x y es
homogéneo y la suma de sus coeficientes
es 9, hallar el valor de .ab a) 28 b) 42 c) 28
d) 42 e) 16
6 Si el polinomio2 2 1 2 2
( ) 2 (2 1) (2 2) ....a a a
P x ax a x a x es
completo y de (4 )a términos, hallar el
valor de “a ”. a) 3 b) 5 c) 6
d) 2 e) 4
7 5._ Determinar el grado relativo de
8 16( , ) a a b b P x y ax abx y by respecto a “ y ”, sabiendo que es
homogéneo.a) 33 b) 3 c) 20
d) 24 e) 22
8 Si 2 2 6 6( , ) ,
a b a ba a
P x y a x bx y ax y
es un
polinomio homogéneo, hallar la suma de
sus coeficientes.a) 7 b) 5 c) 6
d) 4 e) 5
9 Si 3 2 1 1 3 1( ) 4 5 ,
m n m n P x x y x y
es
homogéneo y la relación de los
exponentes de “ x ” en sus dos términos
es como 3 a 1, el valor de
( )m n Es:
POLINOMIOS ESPECIALES
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28
a) 4 b) 7 c) 1
d) 26 e) 3
10 Dado el siguiente polinomio ordenado y
completo:1 2 3 1
( ) ( 1) ( 2) (2 1) ( 1) 1m m q p
P x n x m x p x q x
, la suma de coeficiente, es:a) 14 b) 13 c) 14
d) 12 e) 10
1._ Si: calcular:
M=
a)40 b)35 c)20 d)30 e)15
02._ Efectuar:
a)
b)
c)
d)
e)0
03._ Si: x + y=4; Calcular:
E=
a)6 b)-4 c)-3 d)-6 e)2
04._ Si: √
Entonces es:
a)6 b)-7 c)-9 d)12 e)10
05._ Si:
Hallar:
a)243 b)240 c)728 d)120 e)3
06._ Sabiendo que: ; determine
el valor de:
a)49 b)36 c)25 d)18 e)23
07._ Determine:
a)(a-2)(a+2) b) √ c)(a-√ )(a+√ ) d) e)(a-√ )(a+2)
08._ Si: entonces es:
a)27 b)6 c)12 d)0 e)4.3758
09._ Hallar el V.N. de:
Si: mn=2 y m+n=√ .
a)2 b)1 c)√ d)3 e)4
10._ si:
Calcular:
a)12 b)13 c)√ d)√ e)11
11._ si: , el valor
de: ,es:
a)3 b)4 c)5 d)6 e)2
12._ calcular:
Si:
a)2 b)3 c)1 d)4 e)6
13._ calcular:
√
√
PROD. NOT. I
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29
a)x-3 b)3 c)x d)-3 e)√
14._calcular: a) b) c) d) e)
15._ la expresión simplificada de: es:a) b) c)
d)
e)
16._ hallar el V.N. de: Para: √ √
√
a)0 b)10 c)47 d)50 e)40
17._ sabiendo que: x + y + z = 1Calcular:
a)1 b)-1 c)-3 d)3 e)2
18._ si: x + y + z = 3xy + yz + xz = 0calcular:
a)3 b)2 c)-2 d)-1 e)1
19._ calcular el producto abc, sabiendoque: a)no se puede determinar
b)80 c)70 d)60 e)75
20._ sabiendo que:
Calcular: abc, además:
a) b) c) d) e) _ sabiendo que: Calcular:
a)1/3 b)3 c)2 d)1/2 e)1
22._ evaluar:√ a)2 b)4 c)8 d)16 e)32
23._ si: √ √ √ √
Calcular:
a)4 b)
√ c)2 d)
√ e)
√
24._ si: √ √
Calcular: √ √ a)2 b) c)1 d) e)0
25._si: √ √
√ √
Calcular el valor de:
a)1 b)0 c)m+n d) e)n-1
26._ reducir: a) b)m c)m+3 d)m+4 e)m+8
27._ determinar el valor numérico de:
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30
Siendo:√ √ √ √ a)1 b)-1 c)2 d)-2 e)√
28._ si: a + b + c = 0, reducir:
a)1 b)0 c)3 d)-1 e)2
29._ si se tiene como suma ¨s¨ y producto ¨p¨ de dos cantidades x, y,entonces:
es igual a:
a) b)
c)
d)
e)
30._ siendo que: Calcular:
a)0 b)n c)
d)n-1 e)
31._ sean ¨a¨ y ¨b¨ números realespositivos, tales que: y 0 1
a) b) c)
d) e)
32._ si:
Calcular:
a)2 b)1/2 c)3 d)1 e)0
33._ si: x + y + z = 6, calcular:
a)1 b)2 c)3 d)4 e)6
34._ hallar el valor numérico de:
Para: √ √ √ a)4 b)5 c)6 d)7 e)8
35._ dado: Hallar el valor de ¨M¨:a)2ª b)2b c)-2ab d)
e)
36._ dado el polinomio:
Obtener: . √ √ /
a)0 b)217 c)216 d)215 e)218
37._ el valor numérico de:
;
Para x = 999 es:a)19990 b)991000 c)100000d)999000e)998000
38._ si: √ √
Calcular:
a)√ b)√ c)0 d)2 e)1
39._ si:
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Dónde:
Calcular:
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
62) En las siguientes igualdadesmarcar con (V) si es verdadera o con(F) si es falsa.
I)
2 2 3 3 x y x xy y x y
II) 2 2 4 21 1 1 x x x x x x
III) 2 2 2 2 2 x y z x y z xy yz xz
La secuencia correcta, es:
Rpta. FVV
63) Al reducir la expresión
3 3 3 3
4 4
x y x y x y x y M
x y
, se
obtiene:
Rpta. 264) Reducir
5 6 ... 9 10 120 P x x x x x
Sabiendo que 2 15 58 0 x x .
Rpta. 56
65) Si 2 10 24 49mx m x es un trinomiocuadrado perfecto, el valor de m , es:Rpta. 25
66) Para 6x 3 . ¿Cuánto vale laexpresión?
2 2 4 2
8 4 8
x x 1 x x 1 x x 1
x x 1 x 1
Rpta:80
67) El equivalente de
2 4
x 1 x 1 x 1 x 1 ... ,
n factores, es:
Rpta:n 12
x 1
68) Sabiendo que1
x 3x
, determinar
el valor de:
1 1
x xx x1 1
A x ( ) x ( )x x
Rpta:20
69) Si x 2 3 2 3 y
y 3 2 2 3 2 2 calcular el valor de4 4x y .
Rpta:52
70) De los siguientes productos
I) 6 3 2 4 6 3 2 4 x x y y x x y y
II) 2 23 1 3 1 x x x x
III)
2 23 9 3 9 x x x x
IV) 1 1 x x x x
Los que corresponden a la identidad
de Argand, son:
Rpta: I, II y IV
71) En las siguientes igualdades marcar
(V) si es verdadera y con (F) si esfalsa según que corresponde
I) 2 2
2a b a b a b
II) 2 2 2 2
2a b c a b c ab ac bc
III) 3 3 3 3
3a b c a b c a b a c b c
IV) 27 8 5 6 3 2
Rpta: FFVV
PRACTICA I
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72) Simplificar la expresión:
2 2 4 2 2 4 2 23 3a b a a b a a b a b a b Rpta:
2 2a b
73) Sí 3 3; x y x y . Hallar
2 x y
xy
Rpta:-3
74) El valor de m, para que elpolinomio:
2532),( 22 y ymxy x y x P ,
Sea equivalente al producto de dos
trinomios lineales, es:Rpta. 7
75) El resultado de efectuar:
22
22
66
22
y y x y x
y xS
, empleando
identidades es:
Rpta. 22 y x
01._ Dado:
Determine:
a) 1 b)-2 c)3 d)2 e)-1
02._ Siendo:
Calcular el valor reducido de:
a) 1 b)2 c)4 d) e)
03._ Halle:
a) 8 b)4 c)3 d)2 e)1
04._ Si: .Halle:
a)24 b)63 c)52 d)41 e)84
05._ Si:
Reduce:
a) 2 b)1 c)b d)ab e)a
06._ Calcular: , si se verifica:
a)12 b)14 c)18 d)16 e)11
07._ Si: ; ;
a) 2 b)18 c)24 d)32 e)26
08._ La suma de dos números es 2 y lasuma de sus cubos es 5 .Hallar la sumade sus cuadradosa) 0 b)2 c)5 d)1 e)3
09._ Si:
Calcule:
a) 0 b)2 c)3 d)6 e)7
10._ Si , calcule el valor de
a b1;
b a a, b 0
4 4
2 2
a b
a b
ab2
a b
2 2 2(a b) a b
Ea b
3
2
1
2
n 1
nn 1 n 1
a b;
a b
n N n 2
x41 x2 33 x x
a b c a b c
ab
2 2R a b
3 3a b 40
ab 2
3 3
x y 280 x y 10 xy ?
2x 3x 2 0
x x 1 x 2 x 3 2 2
2x 1 2x
2 4
3
x 1 x 1
x
c
a
b
PRACTICA II
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a) b) c)
d) e)
11._ Si: ;
Calcule:
a)10 b)2 c)8 d)15 e)32
12._ Halle , si:
a) 1 b)2 c)5 d)4 e)3
13._ El área de un cuadrado de lado “a +
b” es 8 veces el área de un triángulo de
base “a” y altura “b” calcule:
a) 4 b)-2 c)-3 d)1 e)3
14._ Si se cumple que:
Reduzca:
a) 3 b)5 c)4 d)7 e)9
15._ Si: ;
Calcule:
a) 2 b)5 c)4 d)8 e)1
16._ Si:
Calcular:
a) 1 b)2 c)5 d)4 e)3
17._ Si: , calcule:
a) 3 b)1 c)-1 d)-2 e)3
18._ Si: , ,
Determinar el valor de “ ”
a) 6 b)7 c)5 d)4 e)3
19._ Si:
20._ Calcule:
a)160 b)150 c)360
d)720 e)320
20._ Halle “m” si la expresión
algebraica:
Es un trinomio cuadrado perfecto.
a) 1 b)2 c)5 d)4 e)3
21._ Si se cumple que:
2 6 3 6 4 6
4 6
2 2x a 12a x a a 0
2 2 2
2
a x mx 3m 6a
6c a 2cx
3 )] x/ y [()] y / x[(
5 y x
5.0 xy
4 4
2 22 2 2 2
a b a b
4a b 4a b
x y2
y x
7x 2y x 3yE 3
x y
x b x b b x b 0
x b x b
235C
5232B
325U
.U.B.C
UBCE
333
x y z 1
3 3 3
2
x y z 3xyzE
x y z 3 xy xz yz
3 3x y 133 xy x y 70
x y
ab bc 8
bc ac 9
a,b,c CR
ac ab 5
2 2 2a b c 14
M abc 6 c 6 b 6 a
8436 my y x5m4 x9
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22._ Calcule:
a)16 b)12 c)15 d)7 e)5
Si: , calcular:
a) a b)1 c)3 d)2 e)4
23._Reducir a su mínima expresión:
a) 4ac b) 4bc c) 4ab
d) e)
24._ Si:
Calcule:
a) 9 b)4 c)8 d)6 e)2
25._ Hallar:
Si:
a)-8 b)-9 c)-10 d)-11 e)11
26._ Hallar el valor de “m” si se sabe que
la expresión:
Es un trinomio cuadrado perfecto.
a)20 b)22 c)26 d)25 e)24
27._ Si:
…(I)
…(II)
…(III)
Halle:
a)16 b)25 c)36 d) 9 e)11
28._ Por cuanto hay que multiplicar a:
, para obtener:
a) 8 b)4 c)2 d)6 e)0
29._ Reducir:
a) b) c)
d) 4 e) 0
30._ Sean números que verifiquen
.
Calcule el valor de
a)45 b)69 c)81 d)112 e)213
31._ Teniendo en cuenta:
Reducir:
a) n b)2n c)3n d)4n e)5n
32._ Si:
Halle:
a) b)2n c)0 d)2 e)1
x y z xy yz zx xyz2
2 3 4
3 3 3E x y z
a 4 b4
b a 3
a 6bS
3b a
a b c a b c b a c a b c
22b
22a
x
16)2 x()2 x( 22
1 x
1 x
1 x
1 xE
2 2 2L x 2y y 2z z 2x
2 2 2x y z 5 xy xz yz 9
2P(x) mx 10 m 24x 49
a b c 6
2 2 2a b c 14
3 3 3a b c 36
2 2 2E a b c
)ba( 44
)ba)(ba()ba)(ba( 3333
2 2 2E a b a c b c 2
a a b b c b c a c
a b a b a c
a;b
a b 15 ab 9
2a b
2n n 1 ; n R
2 482 4 8
1 1 1 1L n n n
n n n n
nnmnm
nmnm
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35
m
33._ Reducir:
a) ab b) 4ab c) 8ab
d) 16ab e) 32ab
34._ Si: , donde:
, y , el valor de
, es:
a)8 b)9 c)10 d)11 e)14
35._ Con:
Halle el valor de:
a) b) c)
d) e)
36._ Halle:
Para:
a)28 b)24 c)26 d)22 e)20
37._ Conociendo:
Según ello reducir:
a) abc b) 36 c) 14
d) 14 e)
38._ Siendo x; y son números reales que
cumplen , calcule el valor
de:
a) b)1 c)2 d)3 e)
39._ Siendo:
Hallar:
a) 4 b) 16 c) 33
d) e) 2
40._ Del gráfico:
Calcular el coeficiente entero positivo
luego de reducir la expresión:
41._ Dadas las condiciones:
Hallar:
a) 4 b) 16 c) 64
d) e) 2
42._ Sabiendo que:
2 2 22 2
a 2b a 2b a 16b 4b a
2a b c 4 ac bc
a b c 0
2 22a b b aE 2
c a b c
abc 0 a b c 1
2 2 2 3 3 3a b c a b c
N2 3
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
246 x9 x6 xE
33 6767 x
a 4 b 9 c 0
2 2 2a 2b 2b 3c 3c a
ab bc ac
a b c
2 2x y 5 2x 4y
x y
y
3
2
2
3
3 3ab 100 10 1
3a b 1 10
3ab a b
332
3333 )cb3()cab3()bac3()cba(
2 2 2a b c 2
a b c 1 ab ac bc 32
a b c ?
316
a
c
b
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,el valor de:
, es:
a) 1 b)4 c)2 d)3 e)5
43._ Si:
Halle:
a) 2 b)4 c)6 d)3 e)1
44._ Si:
Calcule:
a) ab b)
c) a
d) b e)
45._ Si se cumple que:
Calcular el valor de:
a) 4 b)2 c) d)3 e)5
46._ Si:
Calcule:
a)2 b)3 c)9 d)1/2 e)1/4
47._ Si:
Hallar:
a) 8 b)1 c)2 d)6 e)4
48._ Sí ;
Halle:
a) 2 b) 3 c) 5 d) 1 e) 0
49._ Sabiendo que: , con:
Reduzca:
a) 2 b)-1 c)0 d)1 e)4
50._ Si:
Halle:
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
51._ Si:
Halle:
a) 1 b) 2 c)1 d) 5 e) 7
52._ Si se cumple que:
Reduzca:
a) 3 b)2 c)1 d)-3 e)-1
2a b c d 4 a b c d
a c b cEd b d a
1) y z)( y x(
z
y z
z x 2
222
x
y z
z
y x
y
xz
x x
f x a b f 3 1
3f 1
f 4 f 7
1
ab
2ab
2n 2n 2na b c 0
n n na b c
C
bc ac ab
2 2 2 2a b c a b c
2 2 2
abc a b c
ab bc ca
0b,a,62a
b
b
a
3ab
baM
2
a b c 3 ab ac bc a, b,c R
8a 5b 2c
a b c
3a = 1 a 1
5a + a + 1
a b 1
2 2 3 36 a b 4 a b
2a b c d 4 a b c d
c d
2 a b4
1 1 1 1
a b c a b c
3 3 3
3
a b c
(a b c)
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53._ Si:
Calcule: , sabiendo que:
a)4 b)3 c)5 d)2 e)10
54._ Conociendo: .Halle:
a)30 b)20 c)25 d)45 e)35
55._ Si:
Encuentre:
a)4/3 b)1/5 c)2/5 d) 3 e)1/7
56._ Si se cumple que:
a+b+c 0,
Calcular el valor numérico de:
a) 3 b)2 c)1 d) e)
57._ Si:
Reduzca:
a) 2 b) 5 c) 9 d)12 e)15
58._ Sean:
a,b,c/ a + b + c = abc
Simplificar:
a)1 b)2 c)3 d)-1 e)-2
59._ Al reducir:
Resulta:
a) b) c)
d) e)
60._ Si:
Halle:
a) 3 b) 1 c) 7 d)xy e)
61._ Efectuar:
a)-3 b)-4 c)-2 d)-1 e)-5
4x y 5 2y xy 5
2 2x y x, y R
01 x3 x2
x x
1 x
1
x
x
1 x
x
1 xE
3 3 3
a b c 24 ... I
2 2 2
a b c 12... II
ab bc ac 12... III
1 1 1E
ab bc ac
3 3 3a b c 3abc
2011
20102011 2011 2011
a b cE
a b c
1
2
1
3
E L I 0
2 2 2
2 2 2E L 2I E I 2L L I 2EE L I
1 1 ab 1 1 bc 1 1 aca a b b b c c a c
4 42 2
2 2
a b a bE 16a b
a b
4a b 4a b a b
4a b
x y 3 xy
2 2
1 1xy
x y
2 2(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) (x 7 x 1 1)
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62._ Si: ; es un trinomio
cuadrado perfecto, calcule:
a) 8 b) 4 c) 2 d)32 e)64
63._ Efectuar:
a) 9 b)2 c)4 d)3 e)6
64._ Si:
Halle:
a)16 b) 8 c)6 d) 3 e) 4
65._ Si:
E equivale a:
a) b)
c) d)
66._ Si , entonces el
valor de:
, es:
a) 1 b)2 c)3 d)4 e)0
67._ Si: a + b = 3
Reduzca:
a)-1 b)2 c)3 d)4 e)-2
68._ Si: y
Halle:
a b) c)
d) e)
69._ Si se cumple que:
Calcule:
a)-3 b)1 c)3 d)-2 e)2
70._ Si:
Halle:
a) 1 b)1 c) 0 d) 2 e)2
71._ Si se verifica:
Calcule el valor de:
a)16 b)20 c)21 d)25
2
f x ax bx c
28 b
a c
2 2 2(3x 2) (4x 6) (5x 6)
2 2 2 3 3 32 2a b c a b c a b c 4
7 17
abc ?
2 22 2 2 2 2 2 2E x y z E x y z x y z
x y z 2 xy xz yz
2 2 2x y z
xy xz yz
1 1 1 1+ + =
a b c a + b + c
6 6 6 6
3 3 3 3 3 3
a b c a b cE
a b b c a c
2 2(a c) (b c) 9
(a c)(b c)
1 1 1a b c 0
abc 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
a a 2b b b 2c c c 2aE
a b c a b c
a b c a b
a b c
a c b c
2(a b) a b 1 (a 1)(b 1)
2 2
2 2
(a b) (a b)
a b
5a 5c ac 0
5a c
a 5 5 c a c
3 3a b 124
a b 4
2 2(a b) (a b)
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39
72._ Si: ;
Calcular:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
73._ Si se verifica que:
(a + b + c)2 = 3(ab + bc + ac)
Encuentre el valor numérico queadquiere:
a) 1 b)2 c)3 d)4 e)5
74._ Si: ; con ;
Evalúe:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
75._ Si: a + b + c = 0
a) 1 b)2 c)3 d)5 e)-3
76._ Efectuar:
a) x – y b)
c) d)
e)
77._ Reducir:
a) ab b) 4ab c) 8ab
d) 16ab e) 32ab
78._ Si:
; Evalúe:
a)45 b)47 c)49 d)51 e)53
79._ Si se verifica:
el valor de: , es:
a) 2 b)4 c)1 d)5
80._ Si: ; halle:
a) b) c)
d)√ e)√
81._ Si:
Calcular el valor numérico de:
a)17 b)35 c)70 d)42 e)76
82._ Si se cumple:
Calcular:
a 2 3 b 1 2 3; c 3 3
a a 1 a 1 b b 1 b 1 c c 1 c 1E
a bc 1 b ac 1 c ab 1
6
56 6 6
(a b c)Y
a b c
a b c 3 a 0 b 1 c 2
3 33a b 1 c 2
a b 1 c 2
2 2 2a(b c) b(a c) c(a b)
abc
y y y y 4 y 4yE x x x x x 1 x
3y 3yx x
6y 6yx x
2y 2yx x
2 2x y
2 2
a b c a b c 4 a b 2 a b c a b c
2 2
ab 5
5a b
8 8a b
b a
n n
n n
a b7
b a
n n
n n
2 2
a bx
a .b
x 2 23 2x
8
x 2S
2x
3 5 7
a b 3 ; ab 2
4 4L a b
a ac b bc ; a b
a b cJ
bc ac ab
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a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
83._ Tres números reales x, y, z verificanla igualdad:
con esto, evaluar la expresión:
a)-2 b)2 c)-1 d)-3 e)1
84._ Si: tal que:
Hallar el valor de:
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
85._ Dados:
Calcular:
a) 1 b)2 c)3 d)-1 e)-2
86._ Si:
Evaluar:
a)22 b)33 c)44 d)66 e)88
87._ Reducir:
a) 3 b)9 c)
d)27 e)
88._ Si el grado del polinomio:
es 47
Determinar:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
89._ Dadas las condiciones:
Hallar el valor de: x – y
a)13 b)11 c)2 d)3 e)5
90._ Si:
Determine:
a)1 b)3 c)2 d)3/2 e)2/3
91._ Si:
Reduzca:
a) 2 b)3 c)4 d)5 e)6
92._ Si:
2 2 2x y z 14 2(x 2y 3z)
2 2 2x y z
Mxy
x,y,z
2 2 2x y z 14 2 x 2y 3z
3 3 3
x y z xyz
x y z
3 3
xy(x y) 1
x y 4
x yW
xy
3 3xy 100 10 1
2 2 3x y 10 1
4 4E x y x y
3 3 3(x y) (y z) (z x)
9(x y)(y z)(z x)
1
3
1
9
n n 2 3
8 2 3 3P x 9x 1 2x 3x 1 3 x
10 Coef. principal de P x
3 3x y 945
x y 15
a b c 5
2 2 2a b c 7
3 3 3a b c 8
1
1 1 1L a b c
2 2 2 2a d c b
4 4 4 4
2 2 2 2
a c b d
a c b d
2x z z
1z y x y z y
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Hallar:
a) 1 c) 3 d) 4 e) 5 b) 2
93._ Siendo:
Calcule:
a)11 b)14 c)26 d)44 e)70
94._ Si:
Además:
Halle:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
95._ Si:
Simplifique:
a) 3 b)1 c)2 d) e)
96._ Si: y , entonces el
valor de: , es:
1._ si en una división:
P(x) = eldividendo; Q(x) =
el divisor
S(x) el cociente y R(x) el residuo,resolver la siguiente ecuación:Q(x) – S(x) + R(x) = 0a)2 b)4 c)1 d)6 e)5
2._ si la división: es
exacta, calcular: a – ba)6 b)5 c)7 d)9 e)8
3._calcular: (m + n), si: , esuna división exacta.a)-2 b)-1 c)2 d)3 e)0
4._ hallar () si la división es exacta:
a)81 b)82 c)83 d)84 e)805._ si la división:(
) +
Es exacta, el
valor de “p + q”, es: a)11 b)1 c)9 d)-1 e)-2
6._ si la división:
deja como resto .Hallar “m + n + p” a)6 b)5 c)7 d)9 e)8
7._ hallar “n”, si el polinomio
, es divisible entre a)3 b)1 c)4 d)2 e)5
8._ hallar “a”, si el residuo de la divisiónes -16
a)-1 b)-2 c)-3 d)1 e)2
2 2 2z x x y z y
R y z x
2 2 2
ab ac bc 11
a b c 14
2 2 2L (2a b) (2b c) (2c a)
x y z 0
y z z x x y9
x y z
x z yS
z y x
2 2 2a b c ab bc ac
6
56 6 6
a b cE
a b c
1
3
1
2
x 2 1 y 2 1
5 4 6 7
4 5 8 7
x y 1 x y 1M
x y 1 x y 1
DIVISION POR HORNER
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9._ reconstruir la siguiente división porel método de Guillermo Horner.
5 (a + 6) 6b c 0-1 2 -a -b -3
Dar como respuesta: a)-4 b)1 c)10 d)8 e)6
10._ en la siguiente división:
el residuo
obtenido es de grado cero e igual a: . Calcular
a)13 b)12 c)18 d)10 e)11
1._ hallar la suma de los coeficientes queresulten de efectos de efectuar lassiguientes divisiones:
I)
II)
a) b) c) d) e)
2._ si al polinomio , se ledivide entre x + 1, se obtiene un cocientede grado “m”, término constante “b” y residuo “a”. Hallar “m + b + a”
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
3._ hallar la suma de coeficientes del
cociente en la siguiente división:
a)4 b)3 c)2 d)5 e)-3
4._ al dividir:
; el cociente del termino de 4to grado es:a)-3 b)3 c)2 d)27 e)-1
5._ encuentre el término independiente
del cociente:
a)-2 b)-1 c)2 d)1 e)0
6._ cual es el valor de “a”, si al dividir elpolinomio: ,entre x – 1, la suma de coeficientes delcociente es 161 y el residuo 16.a)-3 b)3 c)2 d)27 e)-1
TEOREMA DEL RESTONIVEL I
1._ calcular el valor de “a”, si elpolinomio , es divisiblepor x + 1a)4 b)5 c)2 d)1 e)3
2._ hallar “k”, para que el polinomio:
, sea divisible por
x + y
a)0 b)-31 c)20 d)32 e)-32
3._ hallar el resto en la división:
a)x – 1 b)x + 1 c)x – 2 d)x + 2 e)x + 3
4._ calcular el resto de:
a)14 b)13 c)12 d)15 e)16
POR RUFFINI
NIVEL I
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5._ determinar el resto de la división:
a)20 b)19 c)18 d)17 e)16
6._ calcular el resto de dividir:
a)129 b)513 c)257 d)255 e)128
7._ el resto de dividir:
es:
a)17 b)16 c)15 d)19 e)18
8._ hallar “m”, si la división deja porresto
a)80 b)70 c)60 d)50 e)20
9._ hallar el resto al dividir: , es
exacta, los coeficientes del resto suman:a)x + 2 b)2x + 1 c)2x – 1 d)x + 1e)x – 1
10._ si la división: , es
exacta, los coeficientes del resto suman:a)-2 b)-1 c)2 d)1 e)0
NIVEL II
TEOREMA DEL RESTO
1._ calcular el resto de dividir:
a)-14 b)6 c)21 d)-12 e)-10
2._ hallar el resto:
a)128 b)256 c)3 d)64 e)257
3._ calcular el resto:
a)x + 1 b)x + 2 c)x + 3 d)x + 4 e)x + 5
4._ hallar “n” si el resto de dividir: ;es 64
a)3 b)4 c)5 d)6 e)7
5._ calcular el resto de dividir:
a)127 b)513 c)257 d)423 e)136
6._ halle el resto en:
a)x + 8 b)2 c)8 d)x + 4 e)2x + 8
7._ calcule el resto de la división:
a)x – 10 b)x – 12 c)x + 1 d)x + 12e)x + 10
8._ hallar el resto de la división:
a)32 b)16 c)8 d)4 e)64
9._ calcular el resto en la división:
a)2x – 1 b)2x – 5 c)2x – 4 d)4xe)5
10._ el resto de la división: ;es:
a)2x + 3 b)26x + 31 c)26x – 31d)31x + 26 e)31x – 26ex.Adm.2012 I
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11._ en el esquema de la división depolinomio por el método de Horner:
2 a -b c -d em 6 -4-n 0 0
-3 22 0 -1 -4 3
El valor de “a + b + c + d + e + m + n” es: a)25 b)20 c)17 d)19 e)23 Ex.ord.2010
12._ en la división:
La suma de coeficientes del cociente es36, el valor de “m” es: a)-1 b)-7 c)7 d)-10 e)101ªOP 2010
13._ si al dividir los polinomiosP(x)= entreQ(x)= , se obtiene un residuode (a + 2)x + (a + 3); el valor de (a + b)es:a)-5 b)5 c)-3 d)3 e)-4 Ex.1ª OP2010
14._ si al dividir los polinomiosP(x)= entreQ(x)= , se obtiene un residuoigual a (b + 6)x + (4 – a /2). El valor de( ) , es:a)16 b)20 c)22 d)18 e)14 Ex.1ªOP2009
15._ el resto de dividir: Entre es x + n + 3 hallarel valor de “n” a)4 b)6 c)-2 d)8 e)12
16._ si la división de
Entre
deja por residuo
. Hallar “w + h + m” a)14 b)24 c)-2 d)-12 e)-32
17._ si al dividir el polinomioP(x)= , entreQ(x)= , se obtiene un residuode la forma (e + 2)x + (e + 3), el valor de“e + n” es: a)4 b)3 c)-2 d)-5 e)12
18._ si la división de Entre deja como resto , hallar “m + n” a)14 b)13 c)-2 d)-12 e)-32
19._ los coeficientes de un polinomiocompleto de cuarto grado son númerosenteros consecutivos; si se divide dichopolinomio entre (x – 1) el resto es 35,
entonces el coeficiente del términocuadrático del coeficiente, es:a)3 b)7 c)11 d)8 e)2
20._ los coeficientes de un polinomiocompleto de cuarto grado son númerosenteros consecutivos; si se divide dichopolinomio entre (x - 2) el resto es 119.Calcular el coeficiente del término linealdel cociente.
a)20 b)24 c)32 d)25 e)2821._ si al dividir entre (x – 1) la suma de los coeficientesdel cociente es 176 y el residuo 20,entonces el valor de m es:a)13 b)11 c)16 d)2 e)9
22._ si al dividir entre (x – 1) la suma de los coeficientesdel cociente es 1064 y el residuo 56
entonces el valor de “r” es:
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a)13 b)11 c)7 d)2 e)9
DIVISION DE POLINOMIOS:
76) Hallar el residuo de dividir:
4113
)9)(8)(7)(6)(5)(4(2
x x
x x x x x x
Rpta. 5
77) Hallar el valor de a, si al dividir:14)43()1()3()( 81
a xa xa xa x P nn Entre
1 x , el resto es 4.Rpta. 51
78) Los restos de dividir de P(x) porlos binomios 1 x y 2 x sonrespectivamente 8 y -7. Hallar el restode dividir P(x) entre 22 x x .Rpta. 35 x
79) Calcule el valor de a para que la
suma de coeficientes del cociente sea161, talque el resto es 16.
1
2251
x
abbxax
Rpta.3
80) Calcular m si el resto de ladivisión:
23 5
2
x mx
x
Es igual al resto de la
división22 1
2
x x
x
.
Rpta. 3
81) Calcular el residuo de la división:2 2 2(3x ) 2(2x) mx 3m
3x 2
Si el cociente evaluado en cero es 3.
Rpta. 9
82)
En la división:4 3ax ax ax 1 Entre 2x x 1
El residuo es 4.
Hallar la suma de coeficientes del
dividendo.
Rpta. 10
83) En el esquema de la división de
polinomios por el método de Hornner2
6 4
0 0
3 2
2 0 1 4 3
a b c d e
m
n
Hallar a b c d e m n
Rpta:19
84) Si en la división
39 383 1 3 4 14
1
a x a x a x a
x
El resto
es 4 , hallar la suma de coeficientes
del cociente
Rpta:315
85) Calcular m n , si la división es
exacta 4 3 2
6 4 4 8 x x mx n x x Rpta:16
86) Si al polinomio 5 33 6 3 x x x se ledivide entre 1 x , se obtiene uncociente de grado m , terminoindependiente b y residuo a . Hallarm b a .Rpta:4
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87) Para efectuar una división según elmétodo de Ruffini se planteó el
siguiente esquema
2
4 3
2 8
4
b a
x a a c m
b d n
Determinar el resto
Rpta:11
88) ¿Cuál es el valor de a, si al dividir
elPolinomio ax263+5bx+5b-a entre x-1,
la suma de los coeficientes del
cociente es 1330 y el residuo 30?
Rpta. 5
89) En el siguiente esquema de Ruffini4 ? 6 ? 8
? 4 ? 15 ?
? ? ? ?
Hallar la suma de los coeficientes del
cociente.
Rpta:2
90) Dividir
5 4 3 23 3 3 2 3 5 3 2 9 x x x x x
x
Luego,
hallar el valor del cociente cuando x
toma el valor de 4.
Rpta:3
91) Al dividir n P x nx x n , entre
1Q x x , el resto es:
Rpta: 2 1n
92) Al efectuar la división en x delresiduo es 6 7 x . Determinar ab .
Rpta:6
93)
Encontrar la relación entre p y qpara que al dividir 3 3 2 x px q entre
2 x a el residuo sea cero.
Rpta: 3 2 p q
94) Hallar un polinomio de segundogrado de la forma 2P x 4x bx c tal
que al ser dividido entre 2 1 x el
resto es cero, y al ser dividido entre 2 x el resto es 5.
Rpta: 24 4 3 x x
95) Cuando el polinomio
4 3 28 P x x mx nx qx p Se divide
entre 22 1 x x se obtiene un cociente
cuyos coeficientes van disminuyendo
de uno a uno a partir del primero y un
residuo idéntico a 5 1 x . Calcularm n p q
Rpta:16
NIVEL II
01. Calcular “ a b ” si la división esexacta:
4 3 2
2
x 2x 3x ax b
x 2x 5
a) 10 b) 20 c) 25 d) 40 e) 45
02. Hallar “ a b n ”, si la división: 5 4 3 2
3
x 2x 4x 19x ax 12 b
x 7x 5
Deja por residuo: 2mx 2x 6
a) 32 b) 32 c) 31
d) 31 e) 30
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03. Calcular (m + n), si:6
2
2x mx n
x 2x 1
,
es una división exacta.a) -2 b) -1 c) 2 d) 3 e) 0
04. Calcular A y B, si la división:5 2
3 2
3x 48x Ax B
x 2x 4x 8
Deja como resto: 5x 2
a) –54; 200 b) –53; 194 c) 4; 35
d) 53; 194 e) 53; –194
05. Si la siguiente división:4 3 2 2 3 4
2 2
x 3x y x y axy by
x xy 2y
Tiene como resto: 3 42xy 3y
Calcular: b aE a b
a) 0 b) –5 c) 4 d) –2 e) –3
06. Si al dividir:4 3
2
2 + 5 + Ax + 2Ax x
- x + 1x, el
resto resulta un T.I., el valor es:a) –5 b) –2 c) –3 d) –1 e) 2
07. Al efectuar la división siguiente:5 4 3
3 2
2x 7x 3x 5x 1
x 3x 4x K
, se obtiene un residuo
de primer grado, hallar el residuo.
a) 14x + 1 b) 14x + 3 c)3x + 14
d) 14x – 2 e)4x + 2
08. Calcular “A+B” en la siguientedivisión exacta:
4 3 2
2
4 17 10
3 2
Ax Bx x x
x x
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
09.
calcular (A – B) si la división esexacta:4 3 2
2
12x Ax Bx 31x 15
4x 5x 3
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
10. De acuerdo al esquema de Horner:2 a b c d e f
m 4 12
n p 3
q 9
0 0
4 1 3 0 10 1
Hallar la suma de coeficientes dedividendo.
a) 9 b) 10 c) 7 d) 8
e) 6
11. Reconstruir la siguiente división por
el método de Horner. 5 a 6 6b c 0
1
2 a b 3
Dar como respuesta: a b c
a) –4 b) 1 c) 10 d) 8 e) 6
METODO DE RUFFINI1. Encuentre el términoIndependiente del cociente:
3 2x 4x 1
x 1
a) 1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 3
2. Hallar la suma de coeficientes delcociente en la siguiente división:
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4 3 26x 13x x 2x 17
2x 5
a) 10 b) 12 c) 13 d) 20 e) 23
3. Al dividir: 5 4 3 2
ax 2bx 3c a x a 2b x 2b a x a
x 1
La suma de coeficientes del cociente es54.Calcular el residuo.a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19
4. En el siguiente esquema deRuffini:
y78 x 2
m 16 z 2 w
a b c d 8
Hallar: “ a b c d ” a) 6 b) 7 c) 8 d)9 e) 10
5. Indicar la suma de coeficientes delcoeficiente a dividir:
4 3 23 13 10 5 1
3 1
x x x x
x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6. En el esquema (Ruffini)C 1 F 4 5
1D 1 2 A
3
C 3 E B 3
Calcule: A B C D E F
a) 2 b) 5 c) 9 d) 11
e) 12
7. En el esquema de Ruffini:a 1 b 2 c 3
n 3 m 10 p n
a 4 5 12 1 q
Halle: “ an b c m n p q ”
a) 13 b) 9 c) 6
d) 16 e) 27
8. Hallar el residuo de la división de:3 2
6x 5x px 1
2x 1
Sabiendo que su cociente toma el valor
numérico de 53 para x = 5.
a) 1 b) 4 c) –3 d) –4 e) 5
9. En la siguiente división:40
(2x n)x 5
x 1
Determinar el resto para que a la suma
de coeficientes del cociente sea 93.
a) 15 b) 11 c)9 d) 13
e) 18
10. Calcular “a” si la suma decoeficientes del cociente es 200, talqueél, resto es 16.
322ax 4bx 4b 2a
x 1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
11. Calcular (a + b) si la suma de loscoeficientes del cociente es 256 y el restoes 24.
61a.x 2b.x 2b a
x 1
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13
e) 14
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12. Dividir por Ruffini y dar comorespuesta la suma de coeficientes del
cociente.nn.x x n
x 1
a) n2 b) n –1 c) n2 – 1
d) n - 2 e) n3
TEOREMA DEL RESTO
1. El resto de la división:298 959 243 2 2 2
, :3
+ + x x x xes
x +
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10
e) 11
2. Calcule el resto de dividir:
2 2
2 2 2 2 2 28 6
2
4
1
a b a b a b x x
x
a) 2x b) x-1 c) x d) 0 e)
4x
3. Hallar el resto de la división:
7 7 7x a x a
x 2a
a) 7a b) 0 c) 7
2a
d) 7126a e) 7
128a
4. Calcular el resto de dividir:4 3 2
2
x 3x x 4
x 4
a) –8 b) 8 c) 16–12x
d) 12x+6 e) x
5.
Hallar el resto de dividir: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Entre
2x 7x 11
a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2
6. Hallar el resto de:102 53
4 4 4
4
x 3x 6 x 3x 4 2x 6x 14
x 3x 5
a) 4 b) -4 c) 5 d) -5 e) 6
7. Calcular el resto de dividir:41 1641
2
(x + 2 + (x+ 1) )x
+ 2x - 1x
a) 129 b) 513 c) 257
d) 255 e) 128
8. Hallar el residuo de:2n + 2 2n
2
-x x
(x - 1)(x + 1)
a) 1 b) –1 c) x+1 d) x–1 e) x2
9. Calcular "k" sabiendo que la
división:
3
2 2 2
x y z kxyz k x y y z x z
x y z xy yz zx
Es
exacta.
a) 3 b) –3 c) 9 d) –9 e) 1
10. Hallar el resto al dividir:
82 63 24 3
2
x 2 4 x 2 5 x 2 3 x 2 7
x 4x 5
a) x 2 b) 2x 1 c) 2x 1
d) x 1 e) x 1
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50
11. Determine el resto de:
500 2
2
x 1 x x 1 x 2 x
x 2x 2
a) 2x 13 b) 2
x 1 c) 0
d) 3x 15 e) 2x 2
12. Si se divide:21 7
2
4 + 7 + 8x x
+ x + 1xel resto
es:
a) 7x - 12 b) x-12 c)
x+ 12d) 7x + 12 e) 7x
13. Calcular el resto de:15 5
2
- 1x
+ x + 1x
a) 2 1 x b) x+1
c) x-1
d) x-2 e) -(x+2)
14.
Hallar el valor de “a + b + c” si elresto de la división indicada siguiente:
2xxx2
3x5cxbxax23
345
Es: 7x2 + 8x – 3
a) 21 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
15. Calcular “n” si el residuo de la
división:
2
nn
)2x(1)5x)(1x(nx)1x()3x(
es igual a: 2(1 – 18x); n es par.
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
16. En la división siguiente:
bxx
axbx6bxx3x22
2345
Se sabe que el resto es 2x + 3; además lasuma de coeficientes del cociente es
mayor que 15. Calcular ba a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5
17. En la siguiente división:
1x
5x)nx2( 40
Determinar el resto para que la suma decoeficientes del cociente sea 93.
a) 15 b) 11 c) 9 d) 13 e) 18
18. Hallar el valor de “a” si al dividir:
1xx...xxx 215a16a17a Entre x – 1, se observa que la suma de loscoeficientes del cociente es igual a 90
veces su resto.
a) 133 b)155 c) 160
d) 163 e) 165
19. Qué valor adquiere: n 19
k 1
, si la
división19
2
x nx k
x 2x 1
, sea exacta.
a) 1 b) 2 c) 19 d) 38 e) 4
20. Hallar el resto de la división:
2x
10xxxx2xx2
245678
a) 40 b) 40 2x c) 40 3x
d) 40 4x e) 4x
NIVEL III
Método de horner
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51
1 De las siguientes proposiciones indicar verdad (V) o falso (F) según
corresponda. El grado del dividendo es igual al
grado del cociente más el gradodel divisor.
El grado del divisor es mayor oigual que el grado del resto.
El grado mínimo del resto es uno.a) VFV b) VFF c) FFF
d) FVF e) VVV
2 El resto de dividir5 4 3 2( ) 3 2 7 ( 3) ( 3) P x x x x n x n entre
3 2( ) 2 1Q x x x x es ( ) 3. R x x n Hallar
el valor de ( 2).n a) 17 b) 10 c) 13
d) 11 e) 12
3 Al dividir 5 2( ) 3 P x x x mx n entre
2( ) 2Q x x x deja como resto
( ) 2 3. R x x Hallar el valor de .mn a) 5 b) 0 c) 6
d) 6 e) 7
4 Si la división1 1
2 2 2 2( ) 3 2 5 6
n n n
P x x x x x x
entre1
2 2( ) 2 1, 1
n n
Q x x x n
deja como resto
( ). R x Halle el resto de dividir ( ) R x entre( 1). x
a) 10 b) 0 c) 6d) 1 e) 2
5 Si la división ( ) / ( ) P x Q x deja como resto2
( ) 2 6, R x mx x siendo5 4 3 2 3
( ) 2 4 19 12 ( ) 7 5. P x x x x x ax b Q x x x
Hallar el valor numérico de( 30).a b m a) 4 b) 0 c) 3
d) 1 e) 2
6 Indique la suma de coeficientes delcociente luego de dividir
4 3 2
( ) ( 1) ( 1) ( ) 3 P x x a x a b x b a x b entre 2
( ) .Q x x ax b a) 3 b) 5 c) 1
d) 4 e) 2
Método de ruffini 1 Al dividir
5 4 3 2( ) ( 3) 3( 3) 2( 3) 5( 3) 2 9 P x x x x x x
entre“ x ” indicar el valor de: (1).q
a) 3 b) 5 c) 4
d) 1 e) 2
2 Si al dividir 835 5mx nx n m entre ( 1) x
la suma de los coeficientes del cocientees 176 y el residuo es 20. Hallar el valorde “ m ”. a) 3 b) 5 c) 1
d) 4 e) 2
3 Hallar el valor de “ n ” si la división3 2 2
( ) P x amx apx anx bmx bpx bn entre
( )Q x ax b , deja como ( ) 20 . R x b a) 8 b) 5 c) 10
d) 6 e) 12
4 Luego de dividir de30 20 10
( ) 18 7 10 8 P x x x x entre5
( ) 3 1Q x x la suma de los coeficientes
del cociente, es:
a) 8 b) 5 c) 7
d) 9 e) 0
5 Obtener el residuo luego de dividir2 2 2
( ) (3 ) 2(2 ) 3m
P x x x mx entre
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52
( ) 2 3 .Q x x Si el cociente evaluado en
cero resulta ser 3.
a) 3 b) 5 c) 6
d) 0 e) 9
6 Luego de dividir de4 3 2
( ) 8 2 9 4 16 P x x x x mx entre
( ) 3 4.Q x x la suma de los coeficientes
del cociente es 36. Hallar el valor de “ m
”. a) 8 b) 10 c) 10
d) 12 e) 12
Teorema del resto1 hallar el resto luego de dividir
425 424( ) 27 81 5 19 P x x x x entre
( ) 3.Q x x
a) 3 b) 5 c) 1
d) 4 e) 2
2 indicar el resto luego de dividir2 2 2
( ) ( 1)( ) ( 5 6) P x x x x x x entre2
( ) 2 4.Q x x x
a) 13 b) 25 c) 21
d) 14 e) 20
x x x
x x
3 hallar el resto al dividir257 257 16
( ) ( 2) ( 1) P x x x x entre2
( ) 2 1.Q x x x
a) 263 b) 265 c) 251
d) 264 e) 257
4 el resto de dividir
6( ) 27 ( 7)( 1)( 2)( 4) P x x x x x entre
( ) ( 3) 27.Q x x x
a) 63 b) 65 c) 61
d) 64 e) 62
5 hallar el resto al dividir
3 2( ) 64 ( 2)
n P x x x entre
( ) ( 1)( 3).Q x x x
a) 13 +53 b) 5 +53 c) 5 +54
d) 54 +51 e) 52 3
x x x
x x
6 si el polinomio 2 2( ) ( 1) 1
n n P x x ax bx
es divisible por el producto ( 1)(2 1). x x
Calcular el valor de “ b ”.a) 3 b) 5 c) 1
d) 4 e) 2
FACTORIZACION:
1._ la suma de los factores primos de:P(x) = , es:a)4x – 1 b)4x c)6x d)6x – 1 e)6x – 1
2._ la suma de los factores primos de:P(x) = , es:
a)9x + 4 b)7x c)9x – 1 d)7x – 1 e)6x – 2
3_ la suma de coeficientes de uno de losfactores primos de:P(x;y) = ; es:
a)7 b)5 c)9 d)3 e)8
4._ factorice:P(y ; x) = E indique el factor primo de mayor sumade coeficientesa)5x + 2y + 7 b)4x + 6y + 2c)5x + 6y + 7 d) 5x + 9y + 3e)5x + 3y + 2
5._ factorice:
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P(x) = eindique la suma de sus factores primos.
a) b) c) d) e)
6._ al factorizar: , la sumade coeficientes de uno de los factoresprimos, viene a ser:a)-1 b)-4 c)2 d)-3 e)0
7._ factorizar:
M(a; b)= e indicar unfactor primoa) a + b +2 b) b – 2 c) a + b – 4d) a + 2 e)b + 2
8._ factorizar:P(x ; y) = indicar la suma de sus términosindependientes que resulta al factorizar.a)1 b)2 c)-1 d)-2 e)0
9._ al factorizar el polinomio:P(x) = La suma de los factores primos es:a)2x + 1 b)3x + 4 c)4x + 2 d)3x + 1e)4x
10._ al factorizar: Indique la suma de los términosindependientes de los factores primos.
a)7 b)-2 c)4 d)2 e)-7
11._ indicar la suma de los términosindependientes de sus factores primosen: a)1 b)-1 c)3 d)-3 e)5
12._ al factorizar:P(x) =
, se
obtiene una expresión de la forma:
, con a>m;
Z
Hallar: “a + b + c + m + n + p” a) 11 b)-1 c)0 d)8 e)4
13._ factorizar:P(x) =
y dar como respuesta la suma de susfactores primos lineales.a)5x – 3 b)4x – 1 c)4x + 3 d)4x e)5x +314._ al factorizar:
P(x) = , el factor primode menor suma de coeficientes, será:a) b) c) d) e)
15._ factorizar:P(x) =(x + 1) (x + 2)(x + 3) + (x + 2) (x +1) + (x + 1)a)
b)
c) d) e)
16._ factorice:P(x;y)= Indique el factor primo de mayor sumade coeficientes.a)2x + y – 3 b)3x – 5y c)2x + 5y – 3d)2x + 5y e)3x + y
17._ factorice:P(x;y;z) = Indique la suma de sus factores primos.a)x + y + z + 5 b)x 2y + zc)2x + y + z + 5 d)2x + 2y +z + 5e)x + 2y + 5
18._ factorice:P(x)= Indique el factor primo de mayor suma
de coeficientes:
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a) b)3x + 1 c) d)x + 1 e)5x + 3
19._ factorice:P(x,y)= Indique la suma de factores primos:a) b) c) d) e)
20._ dado el esquema de aspa simple:P(x)=
4
-1
n -(n-3)
Indique el factor primo con menor sumade coeficientes:a) b)2x + 1 c) d)2x – 1e)x + 2
21._ factorizar e indicar un factor primo:
a)(a + b + c + d) b)(a – b – c – d)c)(a – b – c + d) d)(a + b + c – d)e)(a – b + c + d)
22._ factorizar: V(x)= a)x(x + 1)( + x – 1) b)x c) d) e)
23._ factorizar:E=(x + 1)(x – 7)(x + 2)(x - 6) + 16Dar como respuesta la suma decoeficientes de un factor primo.a)-11 b)-12 c)-14 d)-13 e)-15
24._ luego de factorizar:P(x) = toma laforma:P(x) =
, hallar: a + b
a)-1 b)2 c)4 d)1 e)3
25._ luego de factorizar:P(x)=
entonces la suma de los términosindependientes de sus factores primoses:a)0 b)2 c)-3 d)3 e)-2
PRACTICA Nº 01
1._al factorizar, indicar la diferencia delos términos independientes
a)5 b)6 c)7 d)8 e)9
2._ al factorizar: ,determinar la suma de los cuadrados delos términos independientes de losfactores primos.a)25 b)26 c)27 d)28 e)29
3._ indicar un factor primo de:
a) b) c) d) e)
4._ indicar el cuadrado de la suma de lostérminos independientes de los factoresprimos de: a)15 b)16 c)17 d)18 e)19
5._si
Se transforma en un producto indicado,uno de sus factores primos, es:a)
b) c) d) e) 6._
PRACTICA N2
FACTOR COMUN
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01._ Factorizar:
Indicando un factor primo:a) b)x – y c)x + 2y d)x – 2y e)x + 8y
02._ Factorizar: Indicar el número de factores lineales.a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
03._ Al factorizar:abc + ab + ac + bc + a + b + 1Uno de los Factores es:a)(a + b) b)(b + c) c)(a + 1) d)(a + c)e)(abc + 1)
04._ Factorizar:
Señale el número de factores
primos.a)2 b)3 c)4 d)5 e)6
05._ Señale el número de factoresprimos en: a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
06._ Indicar el número de factoresprimos en:
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
07._ Dar la suma de factores primos en: a)2m+n-q b)2(m+n+p+q) c)m+2n-qd)m+2n+2p e)2m-n+p
08._ Factorizar:
Indicar un término de un factor primo.a)2x b)3x c)-2x d)-6x e)10x
09._ Al factorizar: Uno de los factores primos es:a)a+2 b)x-2 c)x-a d)a+x e)a-1
10._ Indicar un factor primo de:
a)x-1 b)ax+1 c)x-a d)ax-a+1 e)x+1-a
11._ indique el número de factoresprimos de: a)2 b)1 c)4 d)3 e)5
12._ dar uno de los factores obtenidos alfactorizar:
a) b)xy+1 c) d)
13._ la suma de los coeficientes de unode los factores primos en: ,es:a)2 b)3 c)4 d)5 e)0
14._ factorizar:
Indicar el factor primo quemas se repite.a)x+1 b)x+2 c)x+5 d)x+3 e)x+9
15._ factorizar: e indicar un factor primo.a)a+b+1 b)a+b+2 c)b-2 d)b+2 e)a-4
MET: IDENTIDADES
ASPA SIMPLE
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56
16._ factorizar y dar la suma de factoresprimos en:
a)4x-3 b)2x-1 c)6x-2 d)4x+3 e)2x+117._ la suma de los coeficientes de unfactor primo es: a)4 b)2 c)3 d)13 e)15
18._ indique la suma de los coeficientesde uno de los factores primos de: a)1 b)4 c)8 d)9 e)5
19._ factorizar: ;señale el número de factores primos:a)2 b)3 c)4 d)5 e)6
20._ al factorizar: seobtienen como factores primos a: (ax+b)
y (cx-d) entonces, el valor de ¨a + b +c +d¨, es:a)12 b)13 c)14 d)15 e)16
21._ si el polinomio sefactoriza en la forma: ( )( )donde A,B,C y D son numeros enterospositivos con A C y las flechasrepresentan operaciones aritméticas,hallar el valor de: ( )a)11 b)9 c)17 d)8 e)10
22._ el número de factores primos queposee:
a)3 b)4 c)5 d)6 e)7
23._ al factorizar: un factor primo es:a)x+3 b)x+2 c)3x-2 d)3x-5 e)x-2
24._ la diferencia positiva de los factoresprimos de:
, es:
a)5x b)4x c)x-1 d)2x e)x-2
25._ halla el número de factores primosque se obtiene al factorizar: a)4 b)5 c)6 d)7 e)8
26._ un factor primo del polinomio:
,es:a)x+y+1 b)3x+1 c)y+1 d)3x+2y+1e)3x-y+1
27._ la suma de los coeficientes de unode los factores primos de:
28._ proporcione un factor de:
29._ factorice: eindique la diferencia de sus factoresprimos.a)x+2y-3 b)2x+y+1 c)x+y d)x+y-2e)x+3y+1
30._ factorice:
E indique el factor prima de mayor sumade coeficientes.a)x+2y+z b)x+y+2z c)x+2y+3zd)x+y+3z e)x+2y+2z
31._ al factorizar:
ASPA DOBLE
ASPA DOBLE ESPECIAL
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la suma decoeficientes de uno de sus factores
primos viene a ser:a)19x b)7x c)10x d)12x e)6x
32._ al factorizar: , la suma decoeficientes de uno de sus factoresprimos es:a)8 b)2 c)7 d)-3 e)-5
33._ al factorizar: , indicar elcoeficiente lineal de uno de sus factoresprimos.a)4 b)5 c)-5 d)1 e)-2
34._ al factorizar: , la suma de susfactores primos es:a)
b) c) d) e)
35._ señalar el factor primo cuadráticode mayor suma de coeficientes en: a)
b)
c) d) e)
36._ factorice: eindique un factor primo.a)
b)
c)
d)
e)
37._ factorizar: , e indicar elfactor de mayor suma de coeficientes.a)
b) c) d) e)
38._ indicar el factor primo de: a)x+1 b)x+7 c)x+3 d)x-7 e)x+2
39._ al factorizar el polinomio: Indicar la suma de sus factores primoslineales:
a)3x+4 b)3x-4 c)2x+1 d)2x-1 e)4x+3
40._ factorizar: E indicar el factor primo:a)x-1 b)x-3 c)x-2 d)x-4 e)x+4
41._ dado el polinomio: , si alfactorizar se expresa como:
P(x)=( Calcule
a)1 b)1/2 c)-1/2 d)2 e)-2
42._ calcule abc(a + b + c) de laidentidad: a)50 b)80 c)75 d)64 e)144
DIVISORES BINOMICOS
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43._ la suma de sus coeficientes primosde:
, es:a)4x+3 b)6x+5 c)5x+2 d)5x-3 e)6x-3
44._ al factorizar: Indicar la suma de los términosindependientes de sus factores primos.a)-8 b)-10 c)-12 d)-14 e)-1545._ si: es factor de
.
Calcule ¨m + n¨a)2 b)7 c)8 d)9 e)5
46._ factorizar: ;señalar el termino independiente de unode los factores primos.
a)-3 b)3 c)2 d)4 e)-4
47._ factorizar: ; señalarel coeficiente cuadrático de un factorprimo:a)5 b)-5 c)-2 d)4 e)2
48._ factorizar: ;señale el producto de los términos de unfactor.
a) b) c) d) e)
49._ factorizar:(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 hallar elcoeficiente lineal de un factor primo.a)3 b)5 c)7 d)-5 e)6
50._ factorizar:(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)+24
Señalar la suma de los factores primoslineales.
a)2x-1 b)2x+1 c)3x+2 d)2x-3 e)2x+7
51._ la suma de los factores primos quese obtienen al factorizar: a)6x+1 b)6x c)6x+5 d)6x-1 e)6x-5
52._ indicar un factor de: a)
b) c) d) e)
53._ indicar el factor primo cuadráticode mayor suma de coeficientes, despuésde factorizar: a)
b) c) d) e)
FACTORIZACION
96) La suma de los factores primos delpolinomio
2P(x) 5 x 3 4 x 3 12 , es:
Rpta. 6 14 x
97) El número de factores delpolinomio
3 2P(x) 2x 5x 3x , es:
Rpta. 8
98) La suma de los coeficientes de unode los factores primos del polinomio
2 2P(x, y) x y 5xy 24
Rpta. –7
ARTIFICIOS
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99) La suma de los divisores binomiosdel polinomio
5 3 2
P(x) x 25x x 25 , es:Rpta. 3 1 x
100) La suma de los factores binomiosdel polinomio
2
2 2P(x) x x 18 x x 72 , es:
Rpta. 4 2 x
101) Uno de los factores del polinomio2 2P(x, y) 5x y 10x 2y 4xy , es:
Rpta. 5 x y 102) La suma de los coeficientes de uno
de los factores primos del polinomio2 2P(x, y) x 4x y 6y 5 , es:
Rpta. 1
103) El número de factores delpolinomio
4 3 2P(x) x 4x 10x 12x 9 , es:
Rpta. 3
104) La suma de los factores linealesdel polinomio
4 3 2P(x) x x 7x 13x 6 , es:
Rpta. 3x
105) La suma de los divisores binomiosdel polinomio
3 2P(x) 30x 7x 7x 2 , es:
Rpta. 10 2 x
106) ¿Cuántos factores de primer grado
admite: 2 2 2
a b c b c a c a b ?
Rpta:3
107) Después de factorizar7 5 4 3 220 2 64 40 128a a a a a Uno de los
factores primos es:
Rpta: 4a
108) Factorizar: 2 4 1 1 2 2 3 2 x x x x
Rpta: 38 1 x
109) Después de factorizar:
22 27 15 3 21 5m m m m , la suma de
los factores primos lineales, es:
Rpta: 2 7m
110) Factorizar 5 4 22 1 x x x
Rpta: 2 3 21 2 1 x x x x x
111) Uno de los factores primos delsiguiente polinomio 5 1 P x x x , es:
Rpta: 2 1 x x 112) La suma de los factores primos del
polinomio: 5 4 3 24 16 12S a a a a a a , es:
Rpta: 5 4a
113) Uno de los factores primos de 5 3 2 P x x x x , es:
Rpta: 2 1 x x
114) Hallar la suma de los factores
primos de 3 2
x a b c x ab ac bc x abc Rpta:
3 x a b c 115) El polinomio 33 21 18 x x al
factorizar tiene la forma a x b x c x d , donde b c d .
Calcular a b c d
Rpta:5
116) Cuántos divisores tiene la
siguiente expresión 1 2 3 4 1 P x x x x x
Rpta:3
117) Hallar el número de factoresprimos de 7 7, 64 P a b a b ab
Rpta:6
118) Indicar el término independientede uno de los factores primos deltrinomio
2, 3 7 7 31 P x y x y x y
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Rpta:8 ó 5
119) Factorizar 2 26 11 4 8 14 8a ab b a b
Rpta: 3 4 2 2 4a b a b 120) El factor primo de mayor suma de
coeficientes de 1 2 7 6 7 E x x x x , es:
Rpta: 25 7 x x
121) La suma de los factores primos de12 6
1 x x x x , es:Rpta: 62 2 x
x
122) Determinar el número de factores
primos de
22 2 2 2 2 2 2 2 E a b ab a b a c b c Rpta:3
123) Uno de los factores primos de 5 1 P x x x , es:
Rpta: 3 2 1 x x
124) El factor primo de menos suma decoeficientes del polinomio
4 2 2, 6 10 16 P x y x y x y , es:
Rpta: 2 2 x y
125) El número de factores primoslineales de 5 4 3 25 7 8 4 P x x x x x x ,
es:Rpta:3
126) La suma de los divisores binomiosdel polinomio:
13412)( 23 x x x x P , es:
Rpta. 17 x
127) Después de factorizar:4)1()1(4)1()1(13 323 aaaaa
Uno de los factores primos es:
Rpta. (3 1)a
128) La suma de los factores primos de8 6 4 22 16 8 1 x x x x , es
Rpta. 4 2(3 2 ) x x
129) Señale el factor primo de menorgrado de: 5 4 2( ) 2 1 P x x x x , es:
Rpta. 12 x x
130) Reducir:3 3 3 3
4 4
( )( ) ( )( )
( )
a b a b a b a b E
a b
Para ba Rpta. 2.
131) Al factorizar el polinomio:2 2 2 2( , , ) 2 3S a b c a ac bc b ab Uno de
sus factores, es:
Rpta. a b
132) Al factorizar el polinomio:4 2( ) 16 24 9 P x x x x ,
La suma de los coeficientes de los
términos cuadráticos de los factores
primos del polinomio, es:
Rpta. 2
133) Simplificar:2 2 3 3 2 2
4 2 2 4 12
( )( )( )( )
( )
a b a b a b a ab b
a a b b b
Rpta. 12a
134) Factorizar el polinomio:6 5 4 2( ) 4 21 20 4 P x x x x x
Rpta. )23)(27(2323 x x x x
135) Uno de los factores del polinomio:8 4 2( ) 5 6 5 P x x x x , es:
Rpta. 2 1 x x
136) Luego de factorizar, indicar unfactor primo de :
])()[(2),,(22
z y x z y x z y x P
)2(5 222 xy z y x
Rpta. z y x 33
137) El número de factores primos delpolinomio:
122)( 2345 x x x x x x P , es:
Rpta. 2 factores primos.
138) Uno de los factores primos del
polinomio:
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30301451015115),( 22 y x y xy x y x P , es:
Rpta. 3015 y x
139) Indicar el número de factoresprimos de:
221)1(3)57()( 222 x x x x x P .Rpta. 3
140) Factorizar e indicar un factorprimo del polinomio:
abcbacacbcbacba P 8)()()(),,(222
Rpta. ca
141) ¿Cuál no es un factor de2 2(1 ) ( ) E mx m x ?
Rpta. xm 142) Si ))(( d cbad cba
))(( bad cbad c .
Calcular22
22
d c
ba M
Rpta. 1
143) Dar la suma de sus términos delos factores primos de:
222222 )()(4 d cbabcab
Rpta. )(2 d cba 144) La diferencia de los factores
primos de:
)6)(4)(3)((40)(4
a xa xa xa xa x P Es:
Rpta. 26a
145) En el campo de númerosracionales ¿Cuántas de las siguientesproposiciones son verdaderas?
I El polinomio 225 )2)(1(3)( x x x P tiene
dos factores primos.
II El binomio 1)( 2 x x P , es un factor
primo.
III El trinomio 1522 x x , no tiene dos
factores primos.
IV El binomio 4)(4 x x P , tiene tres
factores primos.
Rpta. 2
NIVEL II
ASPA SIMPLE
01
02
03
04
05
215x 14x 8
2
2x 3a 2b x a a b
4 2x 1 13 x 1 36
272 x y z x y z
2
4 2 4 2x x 1 3x 3x 15
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06
07
08
09
10
11 Halle la suma de los factores primos de
la expresión:
a)10x b)18x c)13x d)14x e)12x
12 Halle la suma de los factores primos de
la expresión:
13 Halle la suma de los factores primos de
la expresión:
a) 8x+3 b) 8x+4 c) 8x+2
d) 8x+5 e) 8x+6
14 Halle la suma de los factores primos de
la expresión:
a) 8x+3 b) 8x+4 c) 8x+2
5 3 2x 2x 5x 10
11 2 9 4 7 6144a b 436a b 100a b
12 8 4 6 2a 6a 5a 2a 6a 1
3 2 2 2xyz x y z z xyz
2
2m 3n p 14m 21n 7p 18
36 x109 x25) x(P 24
3 x2 x8) x(P 2
60) x4 x3(19) x3 x4() x(P 222
60) x4 x3(19) x3 x4() x(P 222
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d) 8x+5 e) 8x+6
15 Halle el número de factores compuestos
de la expresión:
a) 3 b)4 c) 2 d) 5 e) 1
16 Halle el número de factores compuestos
de la expresión:
a) 6 b) 4 c) 8 d) 5 e) 0
17 Halle el número de factores primos de la
expresión:
ASPA DOBLE
01
02
03
04
05
06
07
5 x2 x) x1() x(P 24
2 x21)1 x(3)5 x7 x() x(P 222
1 x2 x2 x x) x(P245
2 2 26x 7xy 2y 11xz 6yz 4z
2 2 210a 18ab 4b 11ac 11bc 6c
2 2 4 4
15x 7xy 2y 23x 2y 4
5 2 4 2 3 4 3 3 3 29m n 3m n m n 3m n 2m n
2 210x 17xy 3y 5x y
2 215x 151xy 10y 45x 301y 30
221xy 39y 56x 92y 32
a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 1
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08
09
10
11 Halle el número de factores primos de laexpresión:
a) 3 b)4 c) 2 d) 5 e) 6
12 Halle un factor primo de la sgte
expresión:
13 Halle un factor primo de la sgte
expresión:
a) 7x-y b) 9x-y c) 7x+y
d) 4x-y e) 5x-y
14 Halle un factor primo de la sgte
expresión:
a) 7y+5 b) 9y+3 c) 2y+7
d) 3y+8 e) 5y+2
15 Halle el número de factores compuestosde la expresión:
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
16 Halle el total de factores primos de:
a) 2 b) 4 c) 1 d) 5 e) 3
17 Halle la suma de los valores de “a” para
que la expresión:
2 2 2m n 4p 2mn 3mp 3np
2 26a 12ab 6b ab 29b 26a 28
2 2 2 2 2 220 m n 3m n 18 m n
1 y 2 x4 y xy 4 x3) y ; x(P 22
3 y 5 x26 y 2 xy 11 x9) y ; x(P 22
y x5 y 3 xy 17 x10) y ; x(P 22
32 y 92 x56 y 39 xy 21) y ; x(P 2
4 x20 x21 x4 x) x(P 2456
pn8mp2p3n4m)n;m(P222
2 y)3a(x y)7a(xy)3a(x10)x(P 22
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Pueda descomponerse en dos factores
primos.
a)12 b)14 c)17 d)18 e)16
ASPADOBLE ESPECIAL
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
4 3 2x 7x 19x 36x 18
4 3 2x 5x 9x 11x 6
4 2x 8x 12x 5
4 3 2x 4x 6x 7x 2
4 3 22x 3x 3x 3x 1
4 3 2 2 3 45x 14x y 8x y xy 2y
4 32x 3x 1
4 3 2
12z 56z 89z 56z 12
7 5 4 3 2a 20a 2a 64a 40a 128
2 2y 1 y 4 3 2y 3
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Hallar el número de factores primos de
la expresión:
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 0
12 Hallar un factor primo de la expresión:
a)x2+5x+2 b)x2+5x+5 c)x2+5x+1
d)x2+5x+3 e)x2+5x+7
13 Hallar el número de factores algebraicos
de la expresión:
a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 1
14 Hallar el número de factores compuestos
de:
a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6
15 Hallar el número de factores algebraicosde:
a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6
16 Halle el valor de “a” de manera, que:
Tenga raíz cuadrada exacta.
a) 1 b) 3 c) 4 d) 7 e) 917 Hallar el valor numérico de uno de los
factores primos cuando: x=2 de la
expresión factorizada:
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 0
FACTOR COMUN
01
02
03
04
05
10 x14 x11 x4 x) x(P 234
1 x6 x7 x6 x) x(P 234
3 x8 x8 x13 x10) x(P 234
32 x8 x4 x2 x) x(P 234
5 x12 x8 x) x(P 24
a x6 x7 x2 x) x(P 234
17)2 x( x3)1 x() x(P 24
abc ab ac bc a b c 1
a b a c b d c d
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7x x y x y x y x y x y xy y
2 2ab x y xy a b
10 9 4 3 2x 2x x 2x 3x 6x
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67
3 3 3 2 2 2 2 2 2x y z x y x z y x y z z x z y
06
07
08
09
10
10._ Factorizar:
Indicando el número de factores
algebraicos que presenta dicha
expresión.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
11 Hallar el número de factores compuestos
de la expresión:
a) 6 b) 8 c) 2 d) 1 e) 4
12 Factorizar:
Indicando el número de factores
compuestos que presenta dicha
expresión.
a)58 b)52 c)60 d)56 e)50
13 Hallar el número de factores algebraicos
de:
a) 9 b) 8 c) 1 d) 2 e) 3
14 Hallar el número de factores básales que
presenta la expresión:
a) 6 b) 8 c) 2 d) 1 e) 4
15 Hallar el número de factores primos de
la expresión:
6 6 2 4 3 2 4 3a b a b a b b a ab
7 6 5 4 3 2x x x x x x x 1
ax by cz bx cy az cx ay bz
4 2 3 3 2 4mn 5m n 4m n 20m
234 y 12 xy 8 y x9 x6) y ; x(P
)ac(b)cb(a)c,b,a(P 2222
634436 nppnpnpn)p;n(P
22ba xy y xab) y ; x(P
4x4x3x4x3x2x
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68
a) 1 b) 3 c) 2 d) 5 e) 4
16 Indicar la suma de coeficientes de los
factores primos de:
a) 6 b) 8 c) 2 d) 0 e) 4
DIVISORES BINOMICOS
01
02
03
04
05
06
07
Halle el número de factores primos
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
08 Hallar la suma de los coeficientes de uno
de los factores primos de la siguiente
expresión:
pmpmpnpn nmnnmm)p,n,m(P
)ba(c)ac(b)cb(a)c,b,a(P 222
5 4 2x 4x 10x x 6
5 4 3 2
x 5x 7x x 8x 4
3 22x 3x 3x 1
3 212x 8x 3x 2
6 5 4 3 2a 5a 6a 2a 9a 7a 6
3 22x x 3x 2
3 2
10x 3x 6x 1
6 x x) x(P 3
3 x6 x2 x) x(P 23
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69
a) 2 b) 3 c) 1 d) 5 e) 6
09 Hallar el número de factores primos de
la expresión:
a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8
10 Hallar el número de factores primos de
la expresión:
a) 2 b) 4 c) 3 d) 7 e) 8
11 Hallar el número de factores compuestos
de la expresión:
a)16 b)19 c)18 d)12 e)14
12 Factorizar:
Indicando la suma de los factores primos
de dicha expresión:
a) 7x+9 b) 5x+3 c) 6x+5
d) 5x+3 e) 7x+2
13 Factorizar:
Indicando la suma de los factores primos
de dicha expresión:
a)5x b)3x c)7x d)4x e)2x
EJEMPLOS
01
02
03
04
05
2 x x2 x5 x2) x(P 234
8 x4 x6 x x) x(P 234
4 x8 x x7 x5 x) x(P 2345
2 x3 x8 x12) x(P 23
1 x x9 x13 x8 x12) x(P 2345
4 2x x 1
4 4a 4b
4 2 2 4a a b b
4 2 2 4x x y 49y
4 4 4m n 64p
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70
06
07
08
09
10
Hallar el número de factores primos de
la expresión:
a) 7 b) 4 c) 2 d) 1 e) 3
11 Hallar un factor de.
a) b b)b+c c)2c d) c e) a
12 Hallar el número de factores compuestos
de la expresión:
a) 1 b) 8 c) 2 d) 6 e) 3
13 Hallar el número de factores primos de
la expresión:
a) 1 b) 8 c) 2 d) 6 e) 3
14 Hallar el número de factores primos de
la expresión:
a) 1 b) 8 c) 2 d) 6 e) 3
15
5x x 1
5x x 1
4 3 28x 2x 13x 2x 8
5 4 3 23x 5x 3x 3x 5x 3
6 5 4 3 2x 4x 3x 8x 3x 4x 1
222 n4mn4p4m)p;n;m(P
babacbacba
222244 y x3) y x( xy 2 y x) x(P
1 x x2 x2 x x) x(P 2345
1 x4 x3 x2 x) x(P 2456
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71
Hallar el número de factores primos de
la expresión:
a) 1 b) 8 c) 2 d) 6 e) 3
16 Señalar la suma de coeficientes de
Uno de los factores de:
a)10 b) 2 c) 8 d) 7 e) 6
COMBENIENTE AGRUPAR
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 Hallar un factor de:
a) x2+x-3 b)x2+2x-3 c)x2+x+2
d)2x2+x+1 e)x2+5x+2
12 Señalar un factor de:
13 Hallar un factor de:
a) x+3 b) x+1 c) x+2
d) x+4 e) x+5
14 Halle el número de factores primos de laexpresión:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
15 Halle el número de factores primos de la
expresión:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
16 Halle el número de factores primos de la
expresión:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
17 Halle el número de factores primos de la
expresión:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
22222222 z y x4)a x() y z()z; y ; x(P
abc8)ba(c)ac(b)bc(a 222
x 1 x 2 x 3 x 4 1
x 2 x 3 x 2 x 1 3
2x 1 x 3 x 5 63
1 x x 1 x 2 x 3
x 1 x 2 x 3 x 4 24
22 2x x 1 3x 3x 15
2x 1 x 2 x 3 x 6 7x 28x 1
2 2x 2 x 4x 6 15
2
2 2 2x x x 5x 6 x 3x 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2a x 1 a x 2 a x 3 a x 4 36
31 x2 x3 x2 x) x(P
154 x3 x2 x1 x) x(P
244 x3 x2 x1 x) x(P
27)4 x( x5)3 x)(1 x()2 x( 2
1 x28 x7)6 x)(3 x)(2 x)(1 x( 2
361)9 x( x46)7 x)(5 x)(4 x)(2 x( 222222
)a6 x)(a4 x)(a3 x)(a x(a40 4
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REDUCCION A DIFERENCIA DE
CUADRADOS
Hallar la suma de uno los factores
primos de la siguiente expresión:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
01 Halle el número de factores primos de la
expresión:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
02 Hallar la suma de uno los factores
primos de la siguiente expresión:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4
03 Halle el número de factores primos de la
expresión:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
04 Halle el número de factores primos de la
expresión:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
05 Halle el número de factores primos de la
expresión:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
06 Halle el número de factores primos de la
expresión:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
SUMAS Y RESTAS ESPECIALES
07
Halle la suma de los coeficientes de uno
de los factores primos de la siguiente
expresión:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
01 Halle el número de factores compuestos
de la expresión:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
02 Halle el número de factores compuestos
de la expresión:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
25 x x) x(P 24
1 x x) x(P 24
4224 b9ba2a)b;a(P
44 y 4 x) y ; x(P
44 y 81 x4) y ; x(P
324n)n(P 4
16 x17 x16) x(P 48
1 x x) x(P 5
1 x x) x(P 45
2m)1m()m(P 5
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03 Halle la suma de los coeficientes de uno
de los factores primos de la siguienteexpresión:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
04 Halle la suma de los coeficientes de uno
de los factores primos de la siguiente
expresión:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
05 Halle el número de factores compuestos
de la expresión:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
06 Halle el número de factores primos de la
siguiente expresión:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
RADICACION:
1._ √
2._
√
3._
√
4._ √
5._ √
6._ √
7._ √ √ √
8._ √
9._ √
10._ √
11._ √
12._
√
13._ √
14._ √
15._ √
16._
√
17._ √
18._ √
19._ √
20._
√ √
1 x x) x(P 57
1 x x) x(P 57
1 x x) x(P 810
545 y y x x) y ; x(P
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21._
√
22._ √
23._ √
24._ √
25._ √
26._ √ √
27._ √ √
28._ √ √ . ._ √
29._ √
30._
√
31._ √
32._ √
33._
√
34._ √
35._ √
36._ hallar “x” en: √ 37._ calcular la raíz cuadrada de:
38._
E = √
√ √ √
39._
√ √ (√ ) √
CASO II
1._ √ √ √
2._ √ √ √
3._ √ √ √
4._ √ √ √
5._ √ √ √
6._ √ √ √
7._ √ √ √
8._ √ √ √
9._ √ √ √
10._
√ √ √ 11._ si x>1; transformar:
Luego indicar el producto de radicalessimples:
CASO III
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1._ √
2._ √
3._ √
4._ calcular la raíz cubica de: 7+5√
5._ √
6._ hallar la raíz cubica de: 170-78
√
7._ calcular: x= √ √
8._ calcular: x= √ √
9._ hallar la raíz cubica de: 9
√ √
10._ hallar la raíz cubica de: 14√ √
11._ √ √ √
12._ la raíz cubica de: 72+32√
Problemas de Aplicación
1. Hallar los valor de (a+b+c) ena b c 2a b 3c a11 11 22 33 33
Si son radicales homogéneos
A) 3b B) 5a C) 2a D) 9b E) 11a
2. Transformando a radicales simples:
4 2 4 2 15 Obtenemos:
a) 5 3 b) 5 3
c) 5 3 d) 5 3
e) 3 2
3. Simplificar:
8 2 12 11 120 7 40
a) 3 5 b) 2 5 c)
5
d) 5 e) 5 5
4. descomponer en radicales simples:4
7 4 3
a) 2 3 b) 13
2
c) 3 1
2 2
d) 15
2 e) 1
32
5. Simplificar:11 4 7 16 6 7 11 96 5 24
a) 5 2 b) 1 2 c) 2 3
d) 4 3 e) 5 3
6. Simplificar:
9 4 2 2 3 8 12 8 2
13 4 10 11 2 10 15 10 2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4e) 5
7. Efectuar:
E 7 2 6 8 2 12
a) 1 b) 2 1 c)
2 1
d) 3 2 e) 3 2
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d) 3x 2 e) 3x 2
19. Luego de transformar a radicalessimples:
3 6 4 2x 4x x 8x 16x 1 Señale uno de
ellos: x 1
a) 3x 4x 1 b) 3
x 4x 1
2
c) 3x 4x 1 d) 3
x 4x 1
2
e) 3x 6x 1
2
20. Simplificar:2 2E 2x 1 2 x x 2 2x 3 2 x 3x 2
a) 22 2 x 1 b) 2
2x 2 x 1
c) 2 2x d) 3x 1
e) 2x x 1
21. Transformar a radicales simples:3 2 5 4E x x 2 2 x x 1
a) 2 2x x 1 x x 1
b) 2 3x x 1 x x 1
c)2 2
x x 1 x x 1 d) 3 2 3x x 1 x x 1
22. Efectuar:
9 40 11 8 11 8 21 320
a) 3 b) 4 c) 6 d) 2 e) 5
23. Hallar el valor de:3 3
E 20 14 2 20 14 2
a) 2 b) 4 c) 9 d) 8 e) 10
24. Calcular la suma 3 3E 26 675 26 675
a) 3 2 b) 1 c) 2 5
d) 3 5 e) 4
25. la transformación a radicalessimples de: 3
38 17 5 es:
a) 2 3 b) 3 2 c) 2 5
d) 5 2 e) 3 5
Racionalización:1._√ -------------------------------------
√ -----------------------------------
√ ------------------------------------√ -----------------------------------√ √ ------------------------------- √ ---------------------------------- -------------------------------√ -------------------------------
------------------------------------
√ -------------------------------
2.- ------------------------------------
---------------------------------
--------------------------------- √ ------------------------------------ ---------------------------------- ------------------------------------√ -----------------------------------
-----------------------------------
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-----------------------------------
-----------------------------------
-3._√ √ -------------------------------------
-- √ √ --------------------------------------
---√ √
--------------------------------------
-- √ √ --------------------------------------
--√ √ √ --------------------------------------
- √ -------------------------------------√ ----------------------------------------
-
√ √ ------------------------------------
- √ --------------------------------------
-- √ ---------------------------------------
---4._ √ √
-----------------------------------
√ √ √ ---------------------------------√ √ √ ----------------------------------√ √ √ -------------------------------√ √ √ -------------------------------
- √ √ √ √ --------------------------
-
√
√ √ √ √ -----------------------------
---- √ √ √ √ ---------------------------√ √ √ ----------------------------------
- √ √ √ --------------------------------
-5._√ √
= ----------------------------------
√ √ ----------------------------------√ √ ---------------------------------√ ------------------------------------- √ ------------------------------------√ √ √ -------------------------√ √ -------------------------------
√ √ √ --------------------------
√ √ √ -------------------------√ √ ---------------------------
6._ al racionalizar el denominador de:
E=√ , se obtiene:
a)√ b)√
c)√ d)√
e)√
7._ el denominador racionalizado de:
E= , es:a)6a b)3abc c)2b d)2ab e)abc8._el denominador racionalizado de:
E=√ es:
a)6a b)3a c)2b d)2ab e)3ab9._ al racionalizar el denominador de:
E=√ √ , el resultado es:
a)
√
b)
√
√
c)
√
d)
√
√
e)√ √
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10._ racionalizar: E=
√
a) √ b) √ c) √ d) √ e) √ 11._ racionalizar: E= √
a) √ b)√
c)√ d)√
e)√
12._ al racionalizar y simplificar la
expresión:√ ; se obtiene:
a)√ b)√
c)√ d) √
e)√
13._ al racionalizar y simplificar la
expresión: √ ; se obtiene:a) √ b)√ c)√
d)√ e)√
14._ racionalizar√ √
a)a + b b)a – b c)√ d)√ √
e) √ √
15, _ el denominador de:√ √ √ √
a)10 b)12 c)6 d)1 e)0
16._ el denominador racionalizado de :E = √ √ es:
a)14 b)13 c)12 d)11 e)1017._ el denominador de la fracción √ es:
a)12 b)9 c)17 d)5 e)1518._ racionalizar el denominador de la
expresión:
√
a)3(√ √ ) b)√ √ c) 2(√ √ ) d) 2√ √
e)(√ √
19._ racionalizar: E= √ √ √ ;
indicar el denominador:a)22 b)12 c)2 d)3 e)6
20._ hallar el equivalente de:
√
√
a)√ b)2 -√ c) 1√ d) 2 +√
e) √
21._ el denominador racional de:
, es:
a)3xy b)xy c)2y d) e) 22._ el denominador racional de: , es:
a)2xy b)2x c)2y d) e) 23._ el denominador racionalizado de: , es:
a)6a b)3abc c)2b d)2ab e)abc
24._ el denominador racionalizado de :E= √ , es:
a) 6a b) 3a c) 2b d) 2ab e) 3ab25._al reducir la siguiente expresión; el
denominador racionalizado es:
E = √ √ √ √
a)1 b)2 c)3 d)4 e)526._ al racionalizar y simplificar la
fracción √ √ √ , el denominador racionales:a)5 b)4 c)6 d)2 e)3
27._ racionalizar√ √ √ √
a)√ b)√
c) √ d) √ e)x – 128._ al racionalizar la expresión:
√ el denominador es:
a)x – 25 b)x + 9 c)x – 9 d)x – 25 e)129._ racionalizar e indicar el
denominador racionalizado en:√ √ √ √
a)6 b)5 c)4 d)3 e)230._ indique el denominador luego de
racionalizar:√ √ √
a)12 b)14 c)16 d)15 e)35
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80
31._ al racionalizar el denominador y
simplificar la expresión E =
√ √ √ √
resulta:
a)21√ b)94 c)42√ d)47 e)74Ex. Adm. 201132._ el denominador racional de la
fracción irracional E=√ √ es:
a)5 b)10 c)8 d)1 e)2 Ex. Adm. 201033._ el denominador racional de:√
√ , es:
a) 10 b)7 c) 11 d)1 e)834._ el denominador racional de: √ √ √ , es:
a)1 b)2 c)3 d)4 e)535._ el denominador racionalizado de:√ √ √ es:
a)1 b)2 c)3 d)4 e)836._ indicar el denominador
racionalizado en: W= √ √ √ a) 12 b)9 c)9 d)3 e)137._ racionalizar e indicar el
denominador racionalizado√ √
a)1 b)2 c)3 d)4 e)538._ el denominador racionalizado de:
E=√ √ , es:
a)3 b)6 c)9 d) 12 e)139._ el denominador racional de:
√ √ , es:
a) 10 b)7 c) 11 d)1 e)840._ el denominador racional de: √ √ √ , es:
a)1 b)2 c)3 d)4 e)541._ al racionalizar el denominador de√
√ √ , el número es de la forma
√ √ , el valor de a + b es:a)7 b)5 c)2 d)6 e)4
42._ el denominador racionalizado de
√ √ √ , es:
a)7 b)5 c)2 d)6 e)443._ al racionalizar la siguienteexpresión: √ √ √ √ √ √ √ √
Se obtiene√ √ ; A>B, hallar el valor de
C:a) 16 b) 17 c) 19 d) 20 e) 1844._ después de racionalizar
E= √ √ , el denominador es:
a) 12 b) 13 c)-2 d) 14 e)245._ al racionalizar el denominador de la
expresión √ √ √ , se obtiene:
a)√ √ b) √ √
c) √ √
d) √ √ e) √ √
46._ el denominador de la fracción:
E=
√ √ √
a)6 b)9 c) 11 d)5 e) 1347._ al racionalizar la expresión: √ , el denominador es:
a) 21 b) 11 c) 13 d) 10 e) 14
ECUACIONES LINEALES:
1._ el valor de ¨x¨ que satisface la
ecuación
, es:
a)5 b)6 c)-5 d)7 e)12._ si k , el valor de ¨n¨ para que la
ecuación sea incompatible,
es:a)5/2 b)2/3 c)2/5 d)1 e)23._ si la ecuaciónmx + (3-n)x = 5x + 2m – 10 + n tieneinfinitas soluciones, entonces el valor dem – n, es:
a)2 b)3 c)1 d)-2 e)54._ hallar a – b para que la ecuación
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81
(5a + 7)x – 5b+12 = 0, sea compatibleindeterminado
a)19/5 b)-19/5 c)12/5 d)-12/5 e)15._ resolver ;
a a)a-b b)a+b c)a d)b e)ab6._ si la ecuación es compatible indeterminada, entoncesel valor de ¨k¨, es:a)1 b)2 c)-1 d)3 e)5
ECUACIONES CUADRATICAS:
1._ si una de las raíces de la ecuación es -2, entonces el valorde ¨k¨, es:2._ si las ecuaciones cuadráticas y Tienenlas mismas raíces entonces el valor de¨m.n¨, es:
3._ si las ecuaciones cuadráticas y Presentanlas mismas soluciones, entonces el valorde ¨k + p¨, es:4._ si las ecuaciones cuadráticas y tienen raíz común.El producto de las raíces no comunes, es:5._ el valor de ¨k¨ para que la ecuación
Tengaraíces reales e iguales, es:6._ hallar el conjunto de valores de ¨k¨
para que la ecuación: Tenga raícesreales, es:7._ hallar el conjunto de valores de ¨k¨
para que la ecuación: No tengaraíces reales, es:
8._ hallar ¨m¨ en la ecuación:
Para que la suma delos cuadrados de sus raíces sea 40
9._ hallar la suma de los cuadrados delas raíces de la ecuación: Sabiendo que sus raíces son reciprocas.10._ el valor de ¨k¨ para que la ecuación tenga raíces simétricas es:
11._ hallar el valor de ´k´ para que la
ecuación tenga
raíces reciprocas.
12._ si los cuadrados de las dos raícesreales de la ecuación suman 9, entonces el valor de ¨c¨ es:13._ si p y q son las raíces de la ecuación . Hallar una ecuacióncuadrática cuyas raíces sean 14._ las raíces p y q de la ecuación son tal que
. Hallar el
producto de todos los valores de ¨k¨.
15._ si p y q son las raíces de la ecuación , tales que . El producto de los valores de ¨m¨ es:16._ dada la ecuación de raíces . Si ,entonces el valor de .
ECUACIONES:
1._ Determine la suma de los valores que
pueda tomar p para
Que la ecuación 21 1 0 p x px
Tenga una sola solución si p es un
número real y diferente
De -1.a) 3 b) 5 c) 6
d) 4 e) 2
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2._ Si 1 2 x x son raíces de la ecuación2
2 4 0, x x
Calcule el valor de:1 2
1 1
3 3 E
x x
a) -3 b) -5 c) -4
d) -1 e) -2
3._ Qué valor debe tener n en la
ecuación2
48 0, x nx
Para que una raíz sea el triple de la otra.a) 13 b) 15 c) 16
d) 11 e) 12
4._ Dada la ecuación
24 2 2 0, x kx x
La suma de los valores de “k” que hacen
Que dicha ecuación tenga raíces reales e
iguales, es:a) -3 b) -5 c) -4
d) -2 e) -1
5._ Si una de las raíces de la ecuación
2 25 8 3 0 x n x n Es -3, la otra raíz
es:a) 3 b) 7 c) 4
d) 2 e) 1
6._ Hallar el mayor valor de “ m ”
Para que una de las raíces de la ecuación 2 2
3 2 1 0, x m x m Sea el triple de la
otra.
a) 3 b) 5 c) 6
d) 4 e) 2
7._ Si la ecuación 236 0 x nx
Admite como raíces 1 2 x x donde:
1 2
1 1 5 ,12 x x Encontrar el valor de “ n ”.
a) 13 b) 15 c) 16
d) 14 e) 12
8._ Si p q son las raíces de la ecuación2
0, x mx n el valor de2 2
p q , es:
2 2 2
2 2
a) 2 b) 4 c) 4
d) e) 2
m n m n m n
m n m n
9._ Formar la ecuación cuadrática cuyas
raíces son:3 1 1 3 2 2 2
a) 2 2 0 b) 2 2 0 c) 2 2 0 x x x x x x
2 2d) 2 2 0 e) 1 0 x x x x
10._ Si la ecuación cuadrática
24 6 2 0 p q x p q x
Es
incompatible,
Calcule el valor de 2 2 p q .a) 23 b) 25 c) 26
d) 24 e) 22
11._ El conjunto solución de los valores
de k para que
La ecuación
25 3 4 5 0k x kx k
No tenga raíces
reales,
Es:
a) 4,4 b) 2,2 c) 2,
d) 2, e) 4,
12._ Para qué valor de “ b ” la ecuación
3 5 1 6 2 7,bx x a x a Es compatible
indeterminada.
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a) 3 b) 5 c) 6
d) 4 e) 2
13._ El valor de b para que la ecuación12 3 10
2 6 ,3
x abx a
Sea compatible
determinada, es:
a) R - {-2} b) R - {3} c) R - {2}
d) R - {-3} e) R
14._ Dada la ecuación:
2 2
3 10 3 10:
2 24 4 x x x x
Indicar un (V) si es verdad o un (F) si es
falsa de las
Siguientes proposiciones:
I. La ecuación es compatible.
II. La ecuación es compatible
indeterminado.
III. La ecuación es incompatible
IV. La única solución es x = 2.a) VFVV b) FVFV c) VVVV
d) FFVF e) FFFF
15._ Si 1 2 x x son las raíces de la
ecuación:
23 2 5 0. x m x m
Determine uno de los valores de m de
modo que:
2 2
1 1 2 25 28 x x x x
a) -3 b) -5 c) -4
d) -1 e) -2
16._ Hallar la suma de los cuadrados de
las raíces de la ecuación
22 2 4 4 2 0k x k x k . Sabiendo
Que las raíces son reciprocas.
82 83 83a) b) c)
13 13 9
82d)13
82e)9
17._ Si la ecuación
29 4 9 4 5 0m x m m x m
Admite raíces reciprocas. Hallar el valor
de “ m ”.
2 8 9a) b) c)
3 13 83
d) 2
2
e) 9
18._ Si la ecuación 22 5 0, x k x k se
conoce
Que una raíz excede a la otra en 3
unidades el
Valor de k es igual a:
a) -3 b) -5 c) -4d) -1 e) -2
19._ El mayor valor de “ k ” para que la
ecuación
22 8 15 x k x Tenga raíces reales e
iguales, es:a) 3 b) 5 c) 6
d) 4 e) 2
20._ El conjunto de valores de “ m ” paraque la ecuación
28 4 0mx x no tenga soluciones
reales, es:
a) 4,4 b) 2,2 c) 2,
d) 2, e) 4,
NIVEL II
1.- Dada la ecuación cuadrática2ax bx c 0 , ¿Cuál o cuáles de las
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siguientes proposiciones son verdaderas?
I. La ecuación es compatibledeterminada, si a=0, b=0 y c=0.
II. La ecuación es incompatible, sia=0, b=0 y c 0 .
III. La ecuación no tiene raíces reales,si 2
b 4a c 0 .
IV. La ecuación tiene raíces iguales
imaginarias, si 2 b 4a c 0
a)II y IV b)Sólo II c)II y III
d)I y II e)II, III y IV
1. Señalar que ecuación tiene raícesreales e iguales:a) 2
x 3x 2 0
b) 2x 5x 4 0
c) 2x 2x 3 0
d) 22x 7x 3 0
e) 29x 30x 25 0
2. Para qué valor de “p” la ecuación:2
(p 1)x 2px p 3 0 , tiene dos raíces realese iguales?
a) 3
2 b) 1
3c) 2
3d) 2
3 e) 3
2
3. Si las raíces de la ecuación: 2m 5 x 7x 1 0
Son reales y diferentes, indique el mayor valor entero de “m”.
a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6
4. Si las raíces de la ecuación: 2
x 2x m 3 0
Son conjugadas complejas, señale el
menor valor entero de “m”.
a) –2 b) –1 c) 0 d)1 e)2
5. Para qué valor de “n” eldiscriminante deLa ecuación: 2
x 8x n 0 , es igual a 20.
a) 44 b) 11 c) 3 d) 22 e) 17
6. Determinar el valor de “m” en: 2
x 5x m 1
4x 3 m 2
Si las raíces tienen igual valor absoluto y con signo contrario (simétricos).
a) 2 b) 6 c) 10 d) 12 e)14
7. Si la ecuación: 23mx 6m 1 x m 4 0
Tiene raíces recíprocas. Señalar una deellas.
a) 1/2 b) 2/3 c)3/4
d) 4/5 e) 5/6
8. Siendo 1 2x x las raíces de cadaecuaciónIndicar cuántas relaciones nos e
cumplen:
21 23 6 1 0 2 x x x
21 25 4 0 4 x x x x
21 22 9 3 0 9/2 x x x x
21 25 3 5 0 1 x x x x
21 23 9 0 3 x x x x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
* En cada una de las siguientespreguntas las ecuaciones tienen porraíces “ 1 2x ,x ”
9. Si: 1x y 2x son raíces de la ecuación:2
2x x 3 0
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Calcular: 1 2
1 2
x x
x x
a) 0,5 b) 0,25 c) 1 d) 2 e)1/3
10. Ecuación: 22x 6x 5 0
Calcular: 2 21 2M x x
a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e)2
11. Ecuación: 23x 9x 4 0
Calcular: 3 31 2M x x
a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19
12. Ecuación: 25x 6x 7 0
Calcular:
1 2
1 2
2 x 2 xM
1 x 1 x
a) 5/4 b) 4/5 c) 5/6
d) 6/5 e) 7/5
13. Ecuación: 23x 4x 5 0
Calcular: 1 2
2 1
x x 1Mx x 15
a) –2 b) –1 c) 0
d) 1 e) 2
14. Si la suma de los cuadrados de lasraíces es 34 en la ecuación:
2x 8x K 0
Indicar una de sus raíces.
a) –3 b) 3 c) –7 d) 7
15. Calcular la menor raíz de laecuación:
22x K 1 x K 1 0
Cuyas raíces difieren en 1.
a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2
16. Dada la ecuación: 2x 10x m 0 , si
la suma de los cuadrados de sus raíces es40. Hallar “ 2m 1”
a) 39 b) 49 c) 59 d) 69 e) 79
17. Hallar la suma de las raíces e laecuación 22k 2 x 4 4k x k 2 0 si el producto
de sus raíces es 1:
a) 10
3
b) 3
10
c) 3
10 d) 10
3 e) 10
7
18. Hallar ecuaciones de segundo gradoconociendo sus raíces: Raíces: 1 2x 1 x 2 …………
Raíces: 1 2x 3 x 4 ………….
Raíces: 1 2x 0 x 5 ………… Raíces: 1 2x 6 x 6 ……….
Raíces: 1 2x 2/3 x 3/2 19. Forman una ecuación de segundogrado sabiendo que sus raíces son:
12
x3
y 2
1x
5
a) 217x 11x 2 0 b) 2
12x 8x 3 0
c) 25x 17x 1 0 d) 2
15x 7x 2 0
e)2
3x 3x 1 0 20. Las raíces de la ecuación de segundogrado son: 2 3 5 ; dicha ecuación es:a) x2 – 10x + 13 = 0 b) x2 + 10x – 13 = 0
c) x2 + 10x + 13 = 0 d) x2 – 10x – 13 = 0
e) x2 + 10x + 12 = 0
21. Cuántas proposiciones siguientesson verdaderas:I. Sean 1 2x y x las raíces de la
ecuación cuadrática ; Si: 1 2x .x 1 ,entonces las raíces son simétricas.
II. Toda ecuación cuadrática siempre
Tiene una solución real.
III. Dadas m y n raíces de la ecuacióncuadrática entonces dicha ecuación es:
2x (m n)x mn 0
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IV. La suma de raíces de la ecuacióncuadrática: 2
2x 6x 7 0 es 3
a) 1 b) 4 c) 3 d) 2
e) 0
22. Cuántas de las siguientesproposicionesSon verdaderas:
I. La ecuación: 23x 5x 6 0, tiene
raíces
Reales diferentes.
II. La ecuación: 2ax bx c 0, es
incompatible,
si a 0, b 0 y c 0.
III. Si 1x y 2x son las raíces de la
ecuación: 2ax bx c 0, entonces
1 2
1 1 b
x x c .
IV. Si 1
2y 3
2 son las raíces de una
ecuación cuadrática, entonces laecuación, es: 2 3
x x 04
.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 0 e) 1
23. Cuantas proposiciones siguientesson verdaderas:I. Sean 1 2x y x las raíces de la
ecuación cuadrática ; Si: 1 2x .x 1 ,entonces las raíces son simétricas.
II. Toda ecuación cuadrática siempretiene una solución real.
III. Dadas m y n raíces de la ecuacióncuadrática entonces dicha ecuación es:
2x (m n)x mn 0
IV. La suma de raíces de la ecuacióncuadrática: 2
2x 6x 7 0 es 3
a) 1 b) 4 c) 3 d) 2
24. Para qué valor de “a”, la ecuación: 22a 3 x 3ax 4a 1 0
Tiene raíces iguales.
a) 1 b) 2 c) 3 d)4 e)5
25. Dada la ecuación: 2x 10x m 0 , si
la suma de los cuadrados de sus raíces es40. Hallar “ 2m 1”
a) 39 b) 49 c) 59 d) 69 e) 7926. Si las raíces de la ecuación: 2m 4 x 5x 1 0
Son reales y diferentes, indique el mayor valor entero de “m”.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4e) 5
27. Si las raíces de la ecuación: 2
x 10x m 5 0 Son complejas conjugadas, señale elmenor valor entero de “m”.
a) 22 b) 21 c) 20 d) 19 e) 18
INECUACIONES:PARTE I
1._
2._ 3(x-1) + 2(4-x) 5 – 2x
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3._ 4x - 1x + 5<1 – x
4._ <x + 55 – 2x
5._ x – 1<7 – 2x
6._
PARTE II1._ + 10x + 210
2._ - 2x – 15>0
3._ - 7x - 30
4._ + 11x + 2<0
5._ 5
6._ - 12x + 36>0
7._ + 10x + 250
8._ - 16x + 64<0
9._
- 10x + 1
0
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10._ + 12x + 90
PARTE III
1._ + 2x + 5>0
2._ - 2x + 7<0
3._ + x + 50
4._ + x + 20
5._ ( + x + 4)( )
6._ - 10
7._ ( + 3x + 7)( )>
8._ ( - x + 1)( )
PARTE IV
1._
2._ <0
3._
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4._ x
5._
6._
7._
8._
9._
10._
EXAMENES UNSAAC
1._ el conjunto solución de la inecuación
a) <-3,7> b) R-<-3,7> c) R-
d) R-<-3, e) R- 2._ el conjunto solución de lainecuación:
x , xR-{0} es:
a) R-<0, b) <-U c) <-U<0, d) e) <0, 3._ el conjunto solución de la
inecuación: , es:
a)<1,3> b) c) d)<-3,-1>e)R 4._ el conjunto solución de lainecuación: Es:
a) <-
b)
c) <-
d) <-
e) <- 5._ el conjunto solución de lainecuación:
x , es:
a) b) c) d) e)<- 6._ la suma de los valores enteros de “x”que verifican la desigualdad.
3x – 2<x + 67x – 6, es:a)4 b)6 c)5 d)7 e)9
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7._ el conjunto solución de lainecuación:
, es:a) R b) c) R-{-2/3} d) R-{2/3} e){2/3}8._ el conjunto solución de lainecuación: , es:
a) <-√ √ > b) R c) d) <1,2>e) <-2,-1>9._ el conjunto solución de lainecuación:
, es:
a) {3/10} b) {-3/10} c) R d) e) R-{-3/10}10._ el conjunto solución de lainecuación: , es:
a) [2/5,+> b) [-5/2,+ c) <-
d) [5/2,+
> e) <-
,5/2]
11._ el conjunto solución de la
inecuación: , es:a) {4} b) <- ,4] c) [4,+ > d) e) R-{4}12._ la suma de los valores enteros queno se encuentran en el conjunto soluciónde la inecuación:( ) ( )>0, es:a)4 b)5 c)3 d) 15 e)913._ el menor número entero que
satisface la inecuación: , es:
a)-3 b)-2 c)2 d)-1 e)314._ el conjunto solución de lainecuación: , es:a) R b) c) R-{-2/3} d) R-{2/3} e){2/3}15._ hallar la suma de los números
enteros que satisfacen la inecuación:
, es:
a)10 b)12 c)14 d)18 e)2416._ indique cuantos enteros verifican lainecuación: , es:
a)3 b)6 c)5 d)0 e)1BANKITO DOMINGO SAVIO1._ hallar el intervalo de solución de:(x-5)(x-4)(X+1)(X+3) 2._ hallar el intervalo de solución de:
3._ determinar la suma de los valoresenteros que satisfacen la inecuación. ,4._ la inecuación: , tiene por solución elintervalo?5._ el conjunto solución de lainecuación:
, es:
6._ la solución de la inecuación: , es:7._ hallar el conjunto solución de lainecuación: 8._ el conjunto solución de lainecuación: 9._ el conjunto solución de lainecuación:
10._ determinar el intervalo de soluciónde: 11._ resolver: 12._ resolver: 13._ resolver:
14._ resolver:
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15._ el conjunto solución de:
16._ el conjunto solución de lainecuación: 17._ hallar el conjunto solución de:X (3x+2) < 18._ resolver:
19._ hallar el complemento de intervaloal cual pertenece “x” en:
BANKITO UNSAAC
1._ el conjunto solución de la inecuación es:
2._ el mayor valor entero positivo de¨x¨, que verifica a la desigualdad
es:
3._ si
4._ si , hallar el valor de ¨m¨
talque
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
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k)
l)
2._ el conjunto solución de lainecuacion, es:
a)
b)
c)
d)
e) ||
f)
| |
g) || | | ||
h) || | | ||
i) ||||||
VALOR ABSOLUTO
1._ resolver:
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| | a) {-1,5} b) {0,5} c) {5,-4} d) {4,5} e)
2._ al resolver la ecuación:| | , el valor de “x” es: a)0 b)-1 c)2 d)-4 y 2 e)-43._ el conjunto solución de:| | | | , es:a){-5,-3} b){-5,2} c){-5,-1/3} d){-2,5}e){-3,-2}4._ el conjunto solución de:| | , es:a) <-5,-2> b) [-5,-2] c) [-8,-2] d) [-8,-5]
e) [-2,-5>5._ la solución de:| | , es:a)<- > b)<- ]U[2,+> c)[2,+>d){2} e)[1,2]6._ dar el conjunto solución de:| | | | , es:a)[1,2] b)<- c)<1,2>d)<-
e)<1,2]
7._ resolver:
|| a) {3} b) {-3,3} c) {-1} d) {6,-3} e){3,8}8._ calcular la suma de los cuadrados delas raíces de la ecuación: || a)4 b)9 c) 10 d) 13 e)59._ resolver:
|| ||
a){2,0} b){-2,-1,0} c){0,2,3} d){-2,0,2}e){-3,-2,1}10._ el conjunto solución de lainecuación:| | || || || , es:11._ si x <0,3>, calcular:
K=||||
a)8 b) 11 c)3 d)-5 e)-612._ resolver la igualdad:
| | ||
a) {-1,3/5} b) {2,3/4} c) {3/4} d) {-1/2,1} e) {3/5}
13._ las soluciones de la ecuación son:|| a)-1,0 b)-2,-1 c)-2,0 d)-1, 0,1 e) 0,114._ ¿Cuántos valores satisface lainecuación?| | | | a)3 b)2 c)4 d)1 e)515._ al resolver la ecuación:|| , Se obtiene como c.s. a ?
a){-6,6} b){6} c){-6,0,6} d){0,6} e){-
6,-1,1,6}16._ resolver:|| | | || Dar lasuma de las soluciones.a)3/2 b)5/2 c)1 d)-1 e)-217._ hallar la suma de elementos de c.s.de:|| | | | | a)0 b)-1 c)2 d)3 e)-418._ la suma de elementos de c.s. de:
| | a)5 b)-1 c)2 d)0 e)119._ hallar la suma de cuadrados de los
valores enteros que satisfacen laecuación:| | || a)2 b)3 c)4 d)5 e)620._ la suma de las raíces de la ecuación:
||
||
a)0 b) 11 c)-1 d)1 e)6
21._ el conjunto solución que obtiene alresolver:| | | | a){1,7} b){2,6} c){1,2,6,7} d){1,2,7} e){-2,6}22._ resolver:| | 23._ el conjunto solución de:
| |
24._ resolver:
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a) {3/7,5} b)3 c)-3/7 d) {5/7,3/7}e) {5/7,2/7}
25._ resolver:| | 26._ resolver:| | 27._ resolver:| | | | 28._ resolver:| | | | | | 29._ resolver
| | | | | | | | | | NIVEL II
1._ el valor de ¨x¨ que satisface laecuación, es:a) | |
b) | |
c) | | | |
d)
e) | |
f) | | | |
g) | | | | | | | |
h) | | | |
i) | | | |
j) | | | |
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k) | | | |
l) | | | |
m) | | | |
n)
| | | |
o) | | | | | | | |
p) | | | | | | | | | |
q) | | | | | | | |
r) | | | | | | | |
s) | | | | | | | |
t) | | | | | | | |
u) | | | | | | | | | | | |
2._ la suma de las de las raíces| | | | 3._ | | 4._
| |
2._ el conjunto solución de la inecuacióncon v.a.
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a) | | b)
| |
c) | | d) | | e) | | f) | | g) | | h) | | i) || | |
j) | | | | k)
| | | |
l)
| | | |
m) | | | | | | | | n) || | | | | o) | | | | | | p) | | | | q) | | | | r) | | | | s) | | | | t)
| | | | | | | |
u) | | | | | | | | | | v) | | | | || 2._ el conjunto solución de la inecuación| | | | | | | |,es:3._ el conjunto solución de la inecuación| | | | | | | |,es:
4._ el conjunto solución de la inecuación| | | | | | | |, es:
5._ el conjunto solución de la inecuación| | | | | | | |,es:6._ el conjunto solución de la inecuación| | | | | | | |,es:
7._ el conjunto solución de la inecuación
| | | | | | | |,es:
8._ el conjunto solución de la inecuación| | | | | | | |,es:9_ resolver:| | | | | |
GEOMETRIA ANALITICA:1._ hallar la distancia entre los puntos
A(3;1) y B(6;4)
a)3
√ b)2 c)5 d)3 e)4
2._ si: A=(1;1), B=(5;1) y C=(1;4); son los vértices de un triángulo; entonces elsemiperímetro de dicho triangulo es:a)6 b)7 c)8 d)9 e)103._ si el punto R(n;n+1) equidista de
A(2;1) y B(-6;5). Hallar “n”a)4 b)-4 c)6 d)5 e)-64._ si la distancia entre los puntos (3;5)
y (-6;a) es 9.El valor de “a” es:
a)5 b)12 c)10 d)9 e)85._ calcular el área del triángulo cuyos
vértices son los puntos: A(2;-3), B(3;2) y C(-2;5).a)10 b)12 c)14 d)16 e)186._ la pendiente de la recta que pasa porlos puntos A(x , x + 1) y B(1 , -2); es 3.Hallar “x” a)1 b)2 c)3 d)0 e)57._ hallar la ecuación de la recta que
pasa por el punto (3 , 4) y cuyapendiente es -1/5.a)x – 5y – 23 = 0 b)5y – x + 23 = 0c)x + 5y – 3 = 0 d)x – 5y – 23 = 0e)x – 5y – 24 = 08._ ¿cuál es la ecuación de la recta quepasa por los puntos (1 , 2) y (-3 , 10)?a)y + x – 2 = 0 b)y + 2x = 4c)y + x = 3 d)x – y = 7 e)y = 2x + 39._ hallar la ecuación de la recta que
pasa por el punto (1 , 4) y es paralela a larecta
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2x – 5y + 7 = 0a)5y - 2x + 4 = 0 b)2x + 5y + 18 = 0
c)2x – 5y + 18 = 0 d)4x + 10y – 3 = 0e)2x – 5y + 8 = 010._ si la recta con pendiente -3 pasapor los puntos (0 , 0) y (a , b); y la recta con pendiente 2, pasa por los puntos(a , b) y (3 , 1), el valor de “a - b” es: a)-4 b)4 c)2 d)5 e)-211._ hallar la distancia del punto (5 , 8) ala recta L:3x + 4y – 12 = 0a)35 b)7 c)5 d)11 e)13
12._ hallar el valor de “n”, si la distanciade la recta L:4x – 3y = n, al puntoP=(-2 , 1) es de 2 unidades.a)-20 b)-15 c)15 d)-21 e)20
CIRCUNFERENCIA
Nivel I1._ hallar la ecuación de lacircunferencia con centro C(4 ; -2) y
radio r=5.a)
b) c) d) e) 2._ hallar el centro y el radio de lacircunferencia a)(3 , 4) y 4 b)(-3 , 4) y 16
c)(-3 , -4) y 4 d)(3 , 4) y 16e)(3 , -4) y 43._ determinar la longitud de lacircunferencia cuya ecuación es: a)11 b)4 c)6 d)7 e)8 4._ si “m” es igual a 2, hallar la longituddel diámetro de la circunferencia deecuación:
a)2 b)4 c)24 d)36 e)12
5._ hallar la suma de los componentesdel centro de la circunferencia cuya
ecuación es:C: a)1 b)2 c)-2 d)-1 e)06._ hallar la ecuación de lacircunferencia de centro en (2 , 2) y quepasa por el punto (4 , 5)a)
b) c) d)
e) 7._ hallar la ecuación de lacircunferencia cuyos extremos de sudiámetro son los puntos (2 , 3) y (-4 ,5)a)
b) c) d) e)
8._ hallar la ecuación de la
circunferencia cuyo centro está sobre eleje X positivo, pasa por el origen decoordenadas y tiene como diámetro 10unidades.a)
b) c)
d) √ e)
9._ la ecuación de la circunferencia cuyocentro esta sobre el eje “X” y que pasapor los puntos (1 , 3) y (4 , 6) es:a)
b) c) d) e) 10._ una circunferencia pasa por elpunto (4 , 5), su radio es 5 unidades y sucentro esta sobre el eje “Y”; la ecuaciónde la circunferencia es:
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a) b)
c) d) e) 11._ hallar la ecuación de lacircunferencia concéntrica a lacircunferencia, ; cuyo radioes un tercio del radio de estacircunferencia.a)
b) c) d) e) 12._ hallar la ecuación de la rectatangente a la circunferencia: ; en el puntoP=(2 , 5)a)3x – 4y = 26
b)4x – 3y = 0c)d)e)
13._ los puntos extremos de una cuerdade una circunferencia son: A=(2 , 7) y B=(4 ,1). La ecuación de estacircunferencia que tiene su centro en eleje “Y” es: a)
b) c) d)
e)
14._ hallar la ecuación de lacircunferencia con centro en el origen decoordenadas, si es a la vez tangente a larecta de ecuación:L:3x – 4y = -20.a)
b) c) d)
e)
15._ si la ecuación de la circunferenciaestá dada por:
, halle lasuma de las componentes del centro.a)1/2 b)3/2 c)-3/4 d)-1/2 e)4/3
nivel II1._ la ecuación de la circunferencia concentro en (2 , 3) y que pasa por (3 , 5),es:a)
b)
c) d) e) 2._ halle la ecuación de la circunferenciaQue pasa por (2 , -1) y de centro (0 , 4)a)
b) c) d)
e)
3._ determinar la ecuación de lacircunferencia de radio 4 con centro enla intersección de las rectas
y a)
b) c) d) e)
4._ la longitud de una circunferencia
cuya ecuación es:a)4 b) c)8 d)10e) 5._ si la circunferencia De radio 3 es concéntrica a lacircunferencia: Calcular: D + E + Fa)10 b)-10 c)4 d)-4 e)6
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6._ hallar la ecuación de lacircunferencia cuyo centro se encuentra
sobre el eje X y que pasa por los puntos(2 , 4) y el origen.Rpta: 7._ la ecuación de la circunferencia decentro en el eje Y, que pasa por lospuntos (2 , 1) y (5 , 4), es:Rpta: 8._ la ecuación de la circunferencia decentro (-2 , 5) y que es tangente a la rectax = 2, es:
Rpta: 9._ la ecuación de la circunferencia decentro (2, -3) y tangente a la recta y = -5,es:Rpta: 10._ la ecuación de la circunferencia decentro (2 , 5) y que es tangente a la rectaL:3x + 4y – 6 = 0; es:Rpta: 11._ la ecuación de la circunferencia de
centro (-4 , -1) y que es, tangente a larecta L:3x + 2y – 12 = 0, es:Rpta: 12._ la ecuación de la circunferencia decentro (1 , -2) y que es tangente a la rectaL:x – y – 1 = 0, es:Rpta: 13._ la ecuación de la circunferencia quepasa por los puntos (5 , 0) y (1 , 4) cuyocentro está en la recta L:x + y – 3 = 0, es:
Rpta: 14._ la ecuación de la circunferencia quepasa por los puntos (3 , -2) y (-1, -6) cuyocentro está en la recta L:x – 3y + 3 = 0,es:Rpta: 15._ la ecuación de la circunferencia quepasa por el punto (3 , 2) y cuyo centroestá en la intersección de las rectas:
Rpta:
16._ la ecuación de la circunferencia quepasa por los puntos (2 , 1) , (1 , -1) y
(0 , -1); es:Rpta: 17._ si al recta x – y + 3 = 0 es tangente ala circunferencia enel punto Q(a , b). hallar ¨a + b¨Rpta:-1/318._ una recta es tangente a lacircunferencia en el punto (-5 , 6) la pendiente de larecta tangente, es:
Rpta:-4/319._ la ecuación de la circunferencia quepasa por los puntos (0 , 1) y (-1 , 2) y quees tangente al eje X,. es:Rpta: 20._ la ecuación de la circunferencia quees tangente al eje X en (4,0) y que pasapor el punto (7,1), es:Rpta: 21._ la ecuación de la circunferencia que
es tangente al eje Y en (0 , 3) y que pasapor el punto (-2 , -1), es:Rpta: 22._ hallar el mayor valor de ¨K¨ paraque la ecuación represente una circunferencia de
radio √ unidades.Rpta:623._ el menor valor de ¨k¨ para que larecta L:3x – 2y + k = 0 sea tangente a la
circunferencia , es:Rpta:-3824._ el menor valor de ¨k¨ para que larecta L:4x – 3y + k – 5 = 0 sea tangente ala circunferencia ,es:Rpta:-2225._ hallar la ecuación de lacircunferencia concéntrica
y quees tangente a la recta 5x- 12y -1 = 0
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26._ si la gráfica de la circunferencia:
Pasa por elpunto (3 , k), el mayor valor de ¨k¨, es:27._ hallar la ecuación de lacircunferencia concéntrica con y que estangente al eje Y.28._ hallar la ecuación de lacircunferencia que pasa por (5 , 1) y cuyocentro es el punto de intersección de lasrectas:
29._ hallar la ecuación de lacircunferencia concéntrica con y que pasa porel punto (1 , 2)PARABOLA
1._ la ecuación de la parábola de focoF(1 , 3) vértice V(-2 , 3) es:
a) b) c) d) e) 2._ hallar la ecuación de parábola cuyo
vértice es V(3 , 8) y foco es F(3 , 4)a)
b)
c)
d) e )3._ hallar la ecuación de la parábola con
vértice en el origen de coordenadas y directriz L:x + 6 = 0a)
b) c) d)
e)
4._ halla la ecuación de la parábola con vértice en (-2 , -4), eje focal paralelo al
eje “Y”, con d=(V,F)=1. a)
b) c) d) e) 5._ hallar la suma de los componentesdel vértice de la parábola: .a)2 b)3 c)4 d)5 e)6
6._ la longitud del ancho focal en laparábola , es:a)2/3 b)3/4 c)3 d)2 e)3/87._ determinar la ecuación de unaparábola con vértice en (2 , 2) que pasapor el punto (-4 , 4) y tiene el eje focalparalelo al eje “Y”· a)
b)
c)
d) e) 8._ la suma de los componentes del focode la parábola: , es:a)2 b)4 c)6 d)8 e)109._ hallar las coordenadas del foco de laparábola: a)(-1/2 , -1) b)(-3 , -1) c)(-7/2 , -1)d)(-2 , -1) e)(-1 , -2)10._ hallar la ecuación de la parábola
con vértice en el origen de coordenadas y foco en el punto (0 , 3).a)
b) c) d) e) 11._ hallar la longitud del lado recto(ancho focal) de la parábola con vérticeen el origen, eje focal coincidente con el
eje “X” y que pasa por el punto (-2 , 4).a)2 b)4 c)6 d)8 e)10
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12._ la ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas
simétricas con respecto a eje “Y” y quepasa por el punto (4 , -8) es:a)
b) c) d) e) 13._ el vértice de una parábola es (-2 , 3)pasa por el punto (-4 , 5) y su eje focal esparalelo al eje “X”; el foco es:
a)(-6 , 3) b)(-3 , 5/2) c)(-3 , 3)d)(-5/2 , 3) e)(-3/2 , 3)14._ hallar la ecuación de la parábolacuyo eje es paralelo al eje “X” y que pasapor los tres puntos (0 , 0) , (8 , -4) y (3 ,1)a)
b) c) d)
e)
ELIPCE
1._ dada la ecuación de la elipse: La suma desus coordenadas del centro de la elipsees:a)3 b)-1 c)2 d)0 e)12._ hallar la ecuación de la elipse si el eje
focal es paralelo al eje “X”, cuyo centroestá en el origen si la longitud de lossemiejes mayor y menor son 5 y 4respectivamente:
a) b)
c) d)
e)
3._ hallar la ecuación de la elipse si el
centro está en C(3 , 2), uno de los focos
es (7 , 2) y el vértice correspondiente es
(9 , 2)
a)
b)
c)
d)
e)
4._ dada la ecuación de la elipse: , hallar suexcentricidad.a)3/7 b)3/5 c)3/4 d)1/2 e)2/55._ la longitud del eje mayor de la elipse
, es:
a)6 b)4 c)9 d)13 e)56._ dada la ecuación de la elipse: , eltriple de la longitud de su lado recto es:a)18 b)16 c)12 d)9 e)157._ una elipse tiene su centro en elorigen y su eje mayor coincide con el eje“X”. hallar su ecuación sabiendo que
pasa por los puntos: A(√ ) y B(2 ;
√ )
a) b)
c) d)
e)
8._ los vértices de una elipse son lospuntos (4 , 0) ; (-4 , 0) y sus focos (3 , 0);(-3 , 0). Hallar al ecuación de la elipse.a) b) c)
d)
e)
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102
9._ si
, es la ecuación de una elipse, entonces
la longitud del semieje mayor es:a)1 b)2 c)3 d)4 e)510._ si: , esla ecuación de una elipse, calcular lasuma de las longitudes del eje mayor y eje menor.a)8 b)9 c)12 d)5 e)411._ hallar la longitud del lado recto de laelipse:
.a)6 b)7 c)8 d)5 e)412._ si: , representala ecuación de una elipse,Calcular: ¨c + e¨
a)6 b)7 c)8 d)5 e)
13._ encuentre los vértices de la elipse:
a)(5 , 0) y (5 , 4) b)(5 , 0) y (5 , 6)c)(0 , 5) y (6 , 0) d)(0 , 5) y (6 , 5)e)(-5 , 0) y (-5 , 6)
FUNCIONESFunciones I1._ si ¨f¨ representa una función donde. Entonces la suma de los elementos delrango es:a)12 b)88 c)44 d)24 e)382._ dada la función siguiente:F= hallar el valor dela siguiente expresion:
C = a)6 b)8 c)10 d)12 e)163._ indicar el dominio de: :
4._ hallar el rango de la función:
√ :
5._ calcular el dominio de la siguientefunción:
:
6._ si ̈ F¨ es una función definida por:F= Entonces la suma de los elementos delrango es:a)6 b)11 c)8 d)13 e)97._ sea la función ¨F¨, tal que: f(x)=2x +1, si Dom(f)=
, halle la suma
de los elementos del Ran(f).a)30 b)31 c)32 d)33 e)608._ sea la función ¨f¨ , tal que: f(x)=3x +2,Si x halle la suma de elementos derangoa)25 b)31 c)42 d)51 e)629._ dada la relación:
{ | | | | ( √ ) }halle el
valor de ¨x - y¨ para que ¨f¨ sea función.a)24 b)20 c)12 d)14 e)1810._ la función f(x) = , toma suminimo valor ¨a¨ cuando X es igual a¨b¨. halle: aba)8 b)-8 c)4 d)-1 e)-411._ si (2, 5) es un punto que pertenece ala grafica de la función f(x)= ,calcule m + 3, si (5 , m) tambiénpertenece a la grafica de la función f.a)29 b)0 c)6 d)3 e)712._ si el conjunto de pares ordenados: Representa una función. Halle Domf Ranf a) b) c) d) e) 13._ si el conjunto de pares ordenados:
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103
Es una función, calcule la suma deelementos del rango, a
0.
a)4 b)3 c)0 d)1 e)214._ hallar el dominio de: √ √
Y dar como respuesta la suma de valoresenteros de su dominio.a)5 b)20 c)39 d)15 e)015._ sea f una función real tal que: ; x ⟨
⟩
a + b = ?
a)0 b)4 c)8 d)12 e)16
16._ indique el dominio de la función: √ √
a)⟨⟩ b)* * c)* * d) ⟨⟩
e) * *
17._ el dominio de la función realdefinida por:
F(x)= | |, es:
a)
b)
c)
d)
e) 18._ hallar el rango de la función:f(x)= , x a) b) c) d) e) 19._ el rango de la función de la funciónreal definida por:
f(x)=
20._ hallar el rango de la función g tal
que: g(x)= 21._ hallar el rango de la función:
F(x)=
22._ hallar el rango de la función real
definida por: f(x)= 3- √ , es:23._ si ¨f¨ es una función de finida por:
F(x)= √ – 3 entonces:Dom(f)
Ran(f), es:
24._ hallar el rango de la siguiente
función: f(x)= √ ⟨⟩
25._ sea la función real:
F(x)= -
√ , hallar la suma de los
elementos enteros de: Dom(f)Ran(f)a)-1 b)-3 c)-2 d)3 e)226._ hallar el mayor valor entero derango de la función:
F(x)= √ ⟨√ ⟩ a)-1 b)0 c)-2 d)-3 e)127._ hallar el dominio de la función:
F(x)=* ||+
28._ sea:
F(x)= . Una funciónreal, la suma de los elementos del rangode la función es:a)-1 b)0 c)3 d)-3 e)129._ hallar el dominio de la función:
F(x)= √ 30._ hallar el rango de:F(x)= 4x-3; x 31._ sea la función:
F(x)= -3, de Ran(f)= , hallar eldominio:32._ hallar el dominio de la función:
F(x)=
33._ hallar el dominio de la función:
F(x)=
Hallar el rango de la función:
H(x)= ⟨⟩
34._ hallar el rango de la función:F(x)= 35._ si la función real:F(x)=√ Proporcione ¨n¨a)-3/2 b)5/2 c)-3/4 d)-2/3 e)-3/536._ halle el dominio de la función:
F(x)=
√
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104
Funciones II1._ sea F una función constante, tal que:
, halle el valor de:
f(24)+f(31)+f(44)a)3 b)9 c)12 d)18 e)212._ si se sabe que f es una funciónconstante: Si a,b,c R, entonces el valor de(a+b+c), es:
a)6 b)8 c)0 d)12 e)163._ calcular el valor de: E= a – b – p,sabiendo que la siguiente función es dela identidad: a)3 b)1 c)5 d)6 e)2
4._ el rango de la función real ¨f¨
definida por √ , es:
a)
* +b)
c)
d)
e) 5._ resolver: ⟦ ⟧
a) * + b)* * c)⟨ ⟩ d)+ +
e) ⟨⟩ 6._ sea la función f cuya regla decorrespondencia es: | |
.hallar (1)
a)1 b)-1 c)0 d)2 e)-27._ sea f una función real definido por: | |
El valor de: ⟦⟧ es:a)15 b)30 c)50 d)25 e)458._ el rango de la función:
| | , es:
a)
*
+b)
c)
⟨
⟩
d)+ + e) ⟨⟩ 9._ dada la función: ,el valor de f(-3), es:
a)15 b)30 c)50 d)25 e)4510._ dadas las funciones , calcule: a)5 b)10 c)15 d)12 e)17
11._ si: ⟦⟧ .hallar:
a)1 b)0 c)4 d)5 e)312._ dada la función: || el valor de , es:a)-5 b)-10 c)-4 d)2 e)713._ si:
calcular: a)0 b)1 c)-1 d)3 e)614._ dada la función: el valor de , es:a)15 b)20 c)25 d)12 e)1615._ sea la función f cuya regla decorrespondencia es:
| | hallar: f(1)a)1 b)0 c)3 d)5 e)-1
16._ si: ⟦⟧ hallar:
f(3/2)a)1 b)0 c)3 d)5 e)-117._ dada la función:
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105
el valor de , es:a)20 b)10 c)-5 d)12 e)4
18._ dada la función: hallar: f(1/2)a)20 b)12/5 c)-5 d)12 e)419._ dada la función: ⟦ ⟧ | | Hallar:f(1/3)a)-10/3 b)-1 c)-5/3 d)10/3 e)-11/3
20._ dada la función: 5x – 3y + 7 = 0, ⟨, hallar el rango de dichafunción:a) ⟨ b) ⟨⟩ c) d) ⟨ e) ⟨⟩ 21._ si ,
- es una función identidad,
entonces el valor de E = a + b + c,es:22._ si es una función lineal, entonces el valordeE = a + b + c, es:23._ sea ¨f¨ una función lineal, tal quef(2)=4; f(3)=9. El valor de f(-2), es:24._sea ¨f¨ una función cuadrática, talque f(-1)=2; f(1)=4 y f(-2)=6. El valor def(2), es:
25._ dada la función real ¨f¨ de variablereal, definida por | | El valor de ⟦⟧, es:26._ dada la función ¨f¨ definida por |⟦ ⟧|
, el valor de f(-1/2), es:
27._ la función real ¨f¨ definida por
, con
tiene como
rango:28._ el dominio de la función real ¨f¨
definida por ||||, es:
29._ el dominio de la función real ¨f¨
definida por || || ,es:30._ el rango de la función real ¨f¨
definida por
√ √ , es:
31._ el rango de la función real ¨f¨definida por ⟦⟧ ,es:32._ el rango de la función real ¨f¨
definida por ⟦⟧, es:33._ dada la función real ¨f¨ definida
por .la suma de elementos
de su rango, es:34._ el rango de la función real ¨f¨
definida por ⟦⟧⟦⟧ ||⟦⟧ , con ⟨⟩, es:35._ el rango de la función real ¨f¨definida por | | , es:36._ el rango de la función real ¨f¨definida por ||, es:37._ el rango de la función real ¨f¨definida por || , es:38._ el rango de la función real ¨f¨definida por
| | | |, es:
39._ el rango de la función real ¨f¨definida por , es:40._ el rango de la función real ¨f¨definida por , es:41._ el rango de la función real ¨f¨definida por | | ,es:
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42._ el rango de la función real ¨f¨definida por
| | ,
es:43._ el rango de la función real ¨f¨
definida por ||||, es:
44._ dada la función real ¨f¨, definidapor
, el rango, es:
45._ en la función real ¨f¨, definida por
, elrango, es:
FUNCIONES III1._f= g= hallar la suma de los elementos delrango de la función compuesta: FoG2._dada las funciones:
hallar la suma de los elementos delrango de la función 3._ f(x) = x – 2 g(x) = x + 7 , hallar
X+1 , x+5 , x+2 , x+3 , x+44._ f(2x+3)=4x+1 g(x)=
hallar
, , , ,
5._ f(x)= , hallar
6._ hallar lasuma de elementos del rango de ¨h¨ talque G = HoF7._ f(x+2)=3x-2 en una función real
8._ sea f(x)= determinar
9._ si f(2x+1)=4x-3 es una función real;
el valor de
* +, es
10._ g(x-1)=3x+1 hallar 11._ lasuma de elementos de rango de la
función , es:
12._ la suma delos elementos del rango de la funciónFoG, es:
13._ ; es:
14._ hallar 15._ hallar el rangoFoG
16._f(x)=2x-3;_ g(x)=
halle
17._ ¨f¨ es una función, halle la suma delos elementos del rango.18._ indicar el dominio
19._ rango
√
20._ dominio
21._ rango √
22._ rango √
23._ rango √
FUNCION EXPONENCIAL
24._ el rango de la función real ¨f¨definida por
, es:
25._ el dominio de la función real ¨f¨definida por √ , es:
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26._ dada la función real ¨f¨ definida
por
, hallar Dom(
)
27._ dada la función real ¨f¨ definida por , hallar Dom( )
28._ el rango de la función real ¨f¨definida por | | , es:29._ el rango de la función real ¨f¨
definida por , es:30._ el rango de la función real ¨f¨definida por
, es:
31._ el rango de la función real de
variable real ¨f¨ definida por , es:32._ el rango de la función real ¨f¨
definida por , es:33._ el rango de la función real ¨f¨
definida por ,es:34._ el rango de la función real ¨f¨
definida por
,
es:35._ el rango de la función real ¨f¨
definida por , es:36._ el rango de la función real ¨f¨
definida por , es:37._ el rango de la función real ¨f¨
definida por
, es:38._ el rango de la función real ¨f¨
definida por , es:39._ el rango de la función real ¨f¨
definida por , es:40._ el rango de la función real ¨f¨
definida por || , es:41._ el rango de la función real ¨f¨
definida por || , es:
42._ el rango de la función real ¨f¨
definida por
|| , es:43._ el rango de la función real ¨f¨
definida por ||, es:44._ el rango de la función real ¨f¨
definida por ||, es:45._ el rango de la función real ¨f¨
definida por ||, es:46._ el rango de la función real ¨f¨
definida por
||, es:
FUNCION LOGARITMICA:
47._ , el dominio def(x) es:a) b)⟨⟩ c)⟨⟩ d) e) 48._ dada la función de una variable realdefinida por con , setiene que:
I) la función f es creciente.II) si , entonces III) ) si , entonces Cuantas son verdaderas:a)solo II b)II y III c)solo III d)I y IIIe)I y II
49._ determine
el dominio:50._ el dominio de la función es:
51._ el dominio de la función real , es:52._ el dominio de la función real f,
definida por
53._ el dominio de la función real f,
definida por , es:
54._ el dominio de la función real f,
definida por , es:
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55._ el dominio de la función real f,definida por
, es:56._ el dominio de la función real f,definida por 57._ el dominio de la función real f,definida por 58._ el dominio de la función real f,definida por
, es:
59._ el dominio de la función real f,definida por , es:
60._ el dominio de la función real f,definida por , es:
61._ el dominio de la función real
, es:
62._ el dominio de la función real , es:
63._ el dominio de la función real f definida por , es:
64._ el rango de la función real f definida por , es:65 el rango de la función real f definida
69._ dada la función real f definida por
, hallar el
dominio de f.70._ la función inversa de la funciónlogarítmica f definida por ; x ,es:71._ dada la función real f definida por Hallar la funcióninversa de f.72._ sea la función
, hallar
Dom(f)73._ dada la función real f definida por si x ,
entonces el rango de f, es:74._ el dominio de la función f de
variable real, definida por
,es:
75._ el dominio de la función
, es: