Libro de Probabilidad y estadística

I NSTI T UT 0 TECNOLOGICO DE TEPIC

Probabilidad y Estadistica

Jesus Olaz Olaz

Erv1AIL: [email protected]

Impreso en el Instituto Tecnol6gico de Tepic Agosto del 2000

v JesUs Diaz Diaz INTRODUCCION

Este manual introduce al lector a la probabilidad y estadistica de una manera informal

mediante aplicaciones sencillas. Sacrifica el rigor matematico y utiliza tenninos comunes

buscando la facilidad de comprensi6n de los conceptos y presenta ejemplos procurando siempre que estos sean problemas domesticos 0 de feicil comprensi6n.

Este manual pretende ser directo, claro y preciso, esta estructurado de manera tal, que cada

tema inicia con su parte te6rica, enseguida. resalta las f6rmulas propias del tema, describe

cada terrnino de las f6rmulas, y continua con la aplicaci6n de las mismas mediante la

soluci6n de problemas explicando su soluci6n. Asi tam~ien cada vez que se considera necesario, dentro de un rectangulo de lineas punteadas presenta Tip's que nos proporcionan

ideas muy importantes, puntos medulares para el entendimiento cabal del tema.

EI manual tambien promueve el uso de la computadora. En el capitulo 1 presenta un

software que titule "aprendamos a contar". Este Software es un tutorial muy interaetivo

donde el alumno aprendera las diversas tecnic.as de contar a la vez que se divierte. Asi

mismo en el capitulo 3 se presenta un ejercicio con su respectivo programa para calcular la media aritmetica, la varianza y la desviaci6n estandar mediante el uso del paquete excel.

Las matematicas que se utilizan son muy basicas por 10 que este texto tambien es muy accesible para estudiantes de preparatoria y de otras licenciaturas.

EI objetivo que persigue este trabajo, es pues, proporcionar una guia completa a los estudiantes del curso de ''Probabilidad'' que se imparte en los Institutos Tecnol6gicos y que

sirva de texto de consulta a los alumnos de preparatoria y de otras licenciaturas buscando

facilitarles el proceso de iniciarse en esta disciplina.

JesUs Diaz Diaz INTRODUCCION

INDICE

PRESENTACION Pagina iv

UNlOAD UNO . Tecnicas de conteo Pagina 1

1.1 Introduccion 1.2 Principio fundamental de conteo 1.3 Diagramas de 3rbo1 1.40 Exponencial 1.5 Notaci6n Factorial 1.6 Permutaciones

1.6.1 De "n" objetos tornados todos a la vez 1.6.2 De "n" objetos tornados una parte "r" ala vez 1.6.3 Con repeticiOn 1.6.4 Circulares

1.7 Combinaciones 1.8 Particiones ordenadas 1.9 Software "Aprendamos a contar" 1.10 Recomendaciones didacticas y bibliognificas del capitulo 1.11 Resumen

UNIDAD DOS. Teoria de las probabilidades Pagina 35

2.1 Introduccion 2.2 Conjuntos 2.3 EI concepto clcisico de la probabilidad 2.4 La probabilidad interpretada a traves de la frecuencia relativa 2.5 EI concepto de probabilidad subjetiva 2.6 Espacios muestrales y eventos 2.7 Postulados de la probabilidad 2.8 Probabilidades y posibilidades 2.9 RegIa de la adici6n 2.10 Eventos independiente y dependientes 2.11 Probabilidad condicional e independencia 2.U RegIa de la multiplicaci6n 2.13 Teorerna de Bayes 2.14 Probabilidad utilizando Aruilisis combinatorio 2.15 Recomendaciones Didacticas y bibliognificas del

capitulo 2.16 Resumen

,-

ii JesUs Diaz Diaz INfRODUCCION

UNIDAD TRES. Estadistica descriptiva Pagina 76

3. 1 Introducci6n 3.2 Manejo de datos

3.2.1 Distribuciones de frecuencia y terminologia 3.2.2 Gnificos de rama y hoja 3.2.3 Presentaciones gr3ficas

3.2.3.1 Histograma y poligono de frecuencias 3.2.3.2 Gnifico de barras 3.2.3.3 Gnifico circular 0 de pastel 3.2.3.4 Ojiva mayor y menor que

3.3 Medidas de tendencia central 3.3. 1 Notaci6n sumatoria 3.3.2 Media aritmetica 3.3.3 Mediana 3.3.4 Moda 3.3.5 Media geometrica 3.3.6 Media Ponderada 3.3.7 Cuartiles deci1es y percentiles

3.4 Medidas de dispersi6n 3.4.1 Desviaci6n media 3.4.2 Varianza 3.4.3 Desviaci6n eSUindar

3.5 Uso de la PC en la soluci6n de problemas de estadistica descriptiva

3.6 Recomendaciones didacticas y bibliogr3ficas 3.7 reswnen

UNlOAD CUATRO. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad discreta

4.1 Introducci6n. 4.2 Distnbuciones de probabilidad 4.3 Valor esperado de variables aleatorias discretas. 4.4 Varianza y desviaci6n eSUindar de una distribuci6n de

probabilidad discreta. 4.5 EI proceso de Bernoulli 4.6 Distribuci6n Binomial. 4.7 Distribuci6n geometrica. 4.8 Distribuci6n hipergeometrica. 4.9 Distribuci6n Poisson 4.10 Aproximaci6n de Poisson a la binomial 4. 11 Aplicaci6n de tablas para la soluci6n de

distribuciones binomiales y de Poisson 4.12 Recomendaciones didacticas y bibliognificas del capitulo. 4.13 Resumen.

Pagina 120

iii JesUs Diaz Diaz INTRODUCCION

UNIDAD CINCO. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad continua. Pagina 153

5.1 Introduccion. 5.2 Distribuciones de probabilidad continua y funcion de

densidad. 5.3 Distribucion unifonne continua 5.4 Valor esperado y varianza para una distribucion

uniforme continua 5.5 Distribucion normal

5.5. 1 Construcci6n de la curva normal estandar 5.5.2 C31culo de areas bajo la curva normal esuindar

5.6 Aproximacion de la normal a la binomial 5.7 Recomendaciones didacticas y bibliognificas del

capitulo 5.8 Resumen

APENDICE Pagina 180

Tabla L Distribuciones Binomiales Tabla 2. Distribucion Poisson Tabla 3. Distribucion normal est

iv JesUs Diaz Diaz INTRODUCCION

PRESENTACION.

Nuestra vida es un continuo decidir en un clima de incertidumbre.

Continuamente lomamos decisiones, algunas de mayor y otras de menor importancia, pero

por 10 general en elIas queda inmiscuida una cierta dosis de azar, por 10 que siempre existe el riesgo y la incertidumbre de no lomar la mejor decision.

El estudio de la probabilidad ciertamente no nos permite predecir el futuro con total

certidumbre, pero si nos proporciona herramientas para analizar esta incertidumbre y con

ello reducir en 10 posible errores de decision ante problemas complejos.

El crecimiento mundial de la poblacion y con ello de la industria, el comercio y de todas las

actividades humanas, ha requerido cada vez mas de la investigacion y como consecuencia

del desarrollo y la aplicacion creciente de la probabilidad y la estadistica, al grado tal, que en la actualidad la inmensa mayoria de las carreras profesionales la incluyen en su reticula.

El sistema Nacional de Institutos Tecnologicos del pais, no podia ser la excepcion. En lodas

las carreras que ofrece incluye la probabilidad y la estadistica que se imparte en 1, 2, 3 0 4

semestres, seg(In la carrera de que se trate.

La probabilidad y la estadistica siendo una herramienta basica indispensable para los

economistas ha tornado mi atenci6n, y al cabo de diez alios de experiencia docente impartiendo el curso de ''Probabilidad'' en el Instituto Tecnologico de Tepic, he observado

en los alumnos de grupos propios y no propios, cierta dificultad para entender los conceptos

y la aplicacion de la probabilidad. Este hecho me ha motivado, luego de consultar muy

diversa bibliografia, a escribir este manual hecho 'justo" para dicho curso y que a su vez pueda ser un texto de consulta para los estudiantes de preparatoria y de otras licenciaturas.

-i

JeWs Diaz Diaz UNIDADI Ti&:nicasdeconteo

~

"" sUNIDAD UNO I~

.'"

~ - ~1

TECNICAS DE CONTEO.

1. 1 Introducci6n

1.2 Principio fundamental del conteo.

1.3 Diagramas de arbol.

1.4 Exponencial.

1.5 Notaci6n Factorial. 1.6 Permutaciones:

1.6.1 De "n" objetos tornados todos a la vez. 1.6.2 De "n" objetos tornados solo una parte "r" ala vez. 1.6.3 Con repetici6n. 1.6.4 Circulares

1.7 Combinaciones.

1.8 Particiones ordenadas

1.9 Software "Aprendamos a eontar"

1.10 Recomendaciones didacticas y bibliografia del capitulo. 1.11 Resumen.

JesUs Diaz Diaz UNIDAD I TOCnicas de conteo 2

1.1 INTRODUCCION

En nuestra vida cotidiana continuamente tenemos que "contar". Frecuentemente son

conteos simples como contar monedas, en el banco las personas de la fila que llegaron

antes, el numero de aspirantes que solicitamos determinado empleo etc. Pero en muchas

otras ocaciones seran conteos mas complejos que no podemos realizar directamente, y en estos casos necesitaremos utiJizar tecnicas especiales de conteo para obtener el resultado.

Entonces, saber contar no solo significa saber enumerar los elementos de un conjunto y saber cuantos son estos. Saber contar significa saber calcular todos los posibles resultados

que podemos obtener cuando un conjunto tamafio "n":

a. - Es tornado 0 reacomodado todo a la vez.

b.- Es tornado 0 reacomodado una parte a la vez.

c.- Requiere que todos los subconjuntos resultantes guarden determinado orden. d. - Ha sido acomodado en posicion lineal 0 circular.

e.- Presenta algunas otras particularidades.

...............................................................................................

.

.

.

.

: Para aprender a contar Fijate muy bien en los puntos clave teoricos para que : .

.

: facilmente comprendas como formular las soluciones de los diversos problemas. Cada : .

.

: tecnica tiene sus caracteristicas muy claras, que si las analizas bien, te llevan a entender : .

.

: facilmente como plantear las soluciones a los diversos problemas de conteo. : .

.

.

.

.

: Las matematicas que usaremos no representaran problema ya que son matemliticas : .

.: basicas. : .

.

.

.

.

...................................................................................... .

3 JesUs Diaz Diaz UNIDAD I Ta:nicas de conteo

1.2 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO. Llamado

tambien LLENADO DE CAJAS.

Se aplica cuando tenemos un experimento que puede resolverse de "01" formas, y

enseguida, un segundo experimento que puede resolverse de "n2" formas. Entonces el total

de formas en que pueden resolverse ambos experimentos es:

- Total de formas posibles.

Esta regia puede enenderse para 3 0 mas experimentos.

Y se usa cuando solo nos interesa calcular el numero total de posibles resultados. (no nos interesa enlistarlos).

........................................................

EJEMPW 1.1. Si entre dos compafieros propuestos, (Ivan y Alin), escogeremos al jefe de grupo, y entre (Benjamin, Luis y Carlos) escogeremos un tesorero. i,De cuantas formas puede quedar formada la pareja Gefe de grupo y tesorero)?

Deberemos decidir dos veces: La primera para elegir jefe de grupo y la segunda para elegir tesorero. Por tanto hacemos dos

cajas y colocamos en elias el numero de opciones que tenemos para decidir.

Opci6n Jefede tesorero No. grupo

Caja 1 caja2 1.- Ivan y Benjamin 2.- Ivan y Luis 3.- Ivan y carlos 4.- Alin y BenjaminX = 6opdones 5.- Alin y Luis 6.- AIin y Carlos

D D Jefe de grupo Tesorero

4 JesUs Diaz Diaz UNIDAD I TaEcas de contro

_................................................. ................................. ......... ~ .

~ TIP EL LLENADO DE CAJAS es muy eficiente cuando un problema nos . ~

.

impone restricciones que nos limitan el total de posibles arreglos.............................................................................

:

EJEMPLO 1.2. i,Cmintos niuneros de dos dfgitos puedo formar usando los numeros { 4, 5, 6, 7 Y8 } si el primero NO puede ser [4 0 5 ]

a. - si puedo repetir los digitos? b.- No puedo repetirlos

Solucion al inciso a:

* Es un experimento donde tomaf(~ dos decisiones, una para seleccionar el primer digito y la otra decision para seleccionar el segundo digito. Por tanto hare dos cajas y en ellas anotare la cantidad de opciones que tengo.

-* en la primera no puedo usar [4 ni 5 ] por 10 que solo puede estar alguno de los numeros [ 6, 7 u 8], (3 opciones ). Y en la segunda puede estar cualquiera de los numeros [ 4, 5, 6, 7 u 8], (5 opciones )

Primer digito

Segundo dhrito

3 opciones x

5 opciones ~ 15 Diferentes nUmerosu=>

6 Y4, 6 Y 5 6 Y 6 6 Y 7 6 Y 8

7y4 7y5 7y6 7y7 7y8

8y4 8y5 8y6 8y7 8y8

Solucion al inciso b:

.* Hacemos igual que en el inciso (a), excepto que al colocar el segundo digito no podemos repetir el primero por 10 que disponemos de (5 - 1) = 4 opciones

6 Y4 6 Y 5 6~ 6 y 7 6 Y 8

~ X ~~ 12 Diferentes nllrneros ~----"- 7y4 7y5 7y6 N 7y8 8 Y4 8 Y 5 8 Y6 8 y 7 ~8

5 JesUs Diaz Diaz UNIDAD I TOCnicas de conteo

EJEMPLO 1.3.- Queremos marcar todos los muebles y los equipos del Instituto Tecnol6gico [TEC] para el control del activo fijo. Queremos hacerlo con calcomanias que tendn'm: primeramente dos de las 26 letras del alfabeto, y en seguida tres digitos. si las

letras no deben repetirse en la misma calcomania y los digitos si pueden repetirse pero el

primero no debe ser cero, l,CUilOtas calcomanias diferentes pueden hacerse?

* Tengo que colocar dos letras y enseguida tres numeros, es decir, hare cinco cajas.

* Para la primer letra (primer caja) dispongo de 26 opciones de colocar una letra

* Para la segunda letra ( segunda caja) solo tengo 25 opciones ya que no debo repetir la que haya colocado en la primer caja.

* En la 3er caja no puedo colocar el cero. Sera un nfunero del lal 9. Tengo 9 0pclOnes

* En las cajas 3 y 4 ya no hay restricciones. En cada una colocare un digito de entre el cero y el nueve ya que si pueden repetirse. Entonces en carla caja tengo 10 opClOnes.

ler. Letra r. Letra ler. Digito 2. Digito 3er. Digito

~ X ~ X ~ X ~ X ~~ 585,000 etiQuetas

EJEMPLO 1.4 Una persona decide comprar un auto. de cuantas maneras puede escogerlo

si el distribuidor Ie ofrece: a.- de dos 0 cuatro puertas, b.- cinco diferentes

colores, C.- estilndar 0 automatico, d.- austero 0 de lujo. * Debera tomar cuatro decisiones por tanto haremos cuatro cajas.

* Caja 1.- dos opciones (2 64 puertas), Caja 2.- 5 opciones de color, caja 3.- Dos opciones del sistema de transmisi6n (estindar 0 automatico). Caja 4, Dos opciones (austero 0 de lujo)

No. Puertas Color Transmision AccesoriosDxDxDxD ~ 4000';00..

6 JesUs Diaz Diaz UNlDAD I T&:nicas de conteo

1.3 DIAGRAMAS DE ARBOL.

Cuando no solo queremos calcular el total de posibles resultados de un experimento, sino

que deseamos obtener el Iistado de todos esos arreglos, el Diagrama de Arbol, es un

metodo que nos guia perfectamente para no duplicar ni omitir resultados.

EJEMPLO 1.5. Chelo (C) y Jesus (1) jugaran tres partidas de ajedrez. Elabore UDa lista de cOmo pudiera quedar el marcador final si no hay empates.

-* ler. Juego. Puede ganarlo (C 6 J) , por tanto hacemos dos ramas partiendo de ''0''.

-* 2. Juego. Este juego, al igual que el anterior, puede ser ganado por "c 6 r. Entonces abriremos dos ramas "c 6 r despues de carla posible resultado deljuego 1

-* 3er. Juego 19ualmente puede ser ganado por "c 6 r, Abriremos dos ramas despues de cada posible resultado del juego 2.

* Finalmente siguiendo las lineas desde "0" hasta cada final del juego 3 obtenemos cada posible resultado.

ler. Juego 2. Juego 3er. juego I 1 I I --------~ C-C-C1 1

: :/C I

1 C~J --------~ C-C-JI I --------~ C - J - C I c

7 JesUs Diaz Diaz UNIDAD I Ticnicas de conteo

EJEMPLO 1.6.

Eduardo y Oscar son candidatos a presidente, Xavier y Susi son candidatos a secretario, y

Sonia, Adriana y Tatiana son candidatos a tesorero. Elabore una lista de todos los

posibles resultados de los tres puestos.

-'" Presidente, puesto que pudiera ganar Eduardo u Oscar, partiendo de "0" abrimos dos ramas

-* Secretario: Primero suponemos que gane Eduardo y entonces secretario pudiera ser Xavier 0 Sus~ por tanto abrimos dos ramas. Pero el que gano "presidente" pudo haber sido Oscar y entonces, de Oscar abrimos dos ramas para Xavier 0 Susi.

-* Tesorero. Igualmente, despues de cada opci6n de ganador como secretario, abriremos tres ramas ( Sonia, Adriana y Tatiana) ya que cualquiera de las tres puede ganar como tesorera.

-* Finalmente seguiremos cada camino desde "0" hasta el fin de cada rama y obtendremos todos los posibles resultados de la elecci6n (presidente, secretario y tesorero)

Todos los posibles resultados ~__A~ _

"de S " T / Pre "d S . "-PreSI nte ecretano esorero Sf no. Tesorero

:1

D D D 1

Xavier Sonia1 1 Sonia -------. Eduardo Xavier Adriana Xavier Tatiana'er~~:========::::EdwKdo 1 I 1

1 : Sonia - - - - - - -. EdwKdo( Susi Sonia : Susi ~Adriana - - - - - - -. Eduardo Sosi Adriana 1 ~Tatiana - - - - - - -. EdwKdo Susi Tatiana

o 1 1 1 1

1 1

1 1 Sonia Oscar Xavier Sonia Oscar Xavier Adriana~ Xavier~~= =~~~:< Oscar Xavier Tatiana 1 1 Oscar 1 14I Sonia - - - - - - - Oscar Susi Sonia 1 I 1 Susi Adriana - Oscar Susi Adriana

I I Tatiana Oscar Susi Tatiana I I -------.

- - - - - -

JesUs Diaz Diaz UNIDAD I TOCnicas de contro 8

EJEMPLO 1.7.

AI final del tomeo de fut-beis, se disputaran el primero y segundo lugar entre Sistemas e

Informatica, y eI tercero y cuarto entre Arquitectura, Bioquimica y Electrica. Mediante un

diagrama de ilrbol elabore la lista de todos los posibles resultados.

*.- Primer lugar.- Puede ganarlo Sistemas (S) 6 Informatica (I). Por tanto del punto "0" abrimos dos ramas que correspondenin a los dos posibles ganadores.

*.- Segundo lugar.- En seguida de cada posible primer lugar, colocaremos el segundo lugar. Si primero fuera Sistemas, Segundo sera Informatica y viceversa.

*.- Tercer lugar.- Puede obtenerlo ya sea Arquitectura (A), Bioquimica (B) 6 Electrica (E) Entonces partiendo de cada posible segundo lugar, abrimos tres ramas que seran los posibles tercer lugar.

*.- Cuarto lugar.- Partiendo de cada posible tercer lugar abrimos dos ramas que seran el posible cuarto lugar

*.- Finalmente siguiendo desde "0" basta cada Ultima rama elaboramos la lista de resultados posibles.

ler. Lugar r.Lugar 3er. Lugar 4. Lugar Todos los posibles resultados I I

-------. S I A BA~B I E

-------. S I A E I - -.I - - - - S I S I B AB~A

-------.: E S I B E I

S I E AE~A -------. -------.I0 B S I E B

I

-. I S A BA~B : E -------. I S A E

I S I

-------. I S B AB~A E -------. I S B EI

I

-------. I S E AE~A I I

B -------. I S E B


1.4.- EXPONENCIAL.

Se usa cuando necesitamos tomar una "n" sene de decisiones en secuencia pero con la

condicioo de que cada vez que vayamos a decidir tengamos exactamente el mismo

Romero de opciones "m"

donde:Se obtiene IImediante

m = Num. de opciones al decidir. n n = Nfun.. de veces que debo decidir. m

EJEMPLO 1.8.

i... De cuantas formas puedo resolver un examen que consiste en cinco preguntas donde a

cada una debere contestar (verdadero 0 falso ) ?

*.- Es un claro caso de solucion exponencial ya que debo tomar 5 decisiones en secuencia, una decision para cada pregunta. Y cada vez que decido tengo exactamente eI mismo numero de opciones de solucion (verdadero 0 falso), (2opciones).

m =opciones en carla decision = 2

n =NUm. de veces que decidire = 5

25 -entonces mn = = 32 diferentes soluciones aI examen.

*.-Puede ser tambien resuelto por llenado de cajas. Son cinco las veces que vamos a decidir, por tanto hacemos cinco cajas y en cada una de ellas anotamos 2, que son las opciones de soluci6n, (verdadero 0 falso)

~ X ~ X ~ X ~ X ~ - 32 diferentes soluciones.

10 JesUs Diaz Diaz UNlDAD I Ticnicas d.e conteo

EJEMPLO 1.9.

" De cuantas diferentes formas puedo llenar una quiniela de pronosticos deportivos si anoto

para cada juego solamente en una de las casillas ( local, empate 0 visitante) ?

Semanalmente en el fut bol mexicano se llevan a cabo 14 juegos.* Estas quinielas consisten en atinar los resuhados de cada uno de los * juegos, considerando para cada juego: que gane el equipo local, que haya empate 0 que gane el visitante.

*. - Entonces para cada juego hay tres opciones de decision. Y tendremos que decidir 14 veces.

*.- Es por tanto un caso de solucion exponencial.

m=3 n 314n= 14-, entonces: m = = 4'782,969 diferentes Quinielas.

*.- Para bacerlo por llenado de cajas necesitamos 14 cajas, una por cada juego, y dentro de cada una colocamos un 3 que SOD las opciones de soluci6n, local, empati: 0 visitante.

1.5 NOTACION FACTORIAL.

Es una operacion que mucho se utiliza en los c8lculos que se realizan en las operaciones de

contoo. El factorial de un numero se denota por ( n! ) y se lee (n factorial) y es igual:

o! - n (0-1) (0-2) (0-3) .... (o-o)!

Donde por definicion ( O! ) = 1

11 JesUs Diaz Diaz UNlDAD I TOCnicas de conteo

EJEMPLO 1.10.- Calcular el factorial de 5.

5! = 5 (5-1) (5-2) (5-3) (5-4) (5-5)! = 5 X 4 X 3 X 2 X 1 X O! =120

EJEMPLO 1.11.- Calcular 61..

6! = 6 (6-1) (6-2) (6-3) (6-4) (6-5) (6-6)! = 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1X O! = 720

EJEMPLO 1.12.- Calcular el factorial de 8.

Simplemente: 8! = 8 X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 40,320

EJEMPLO 1.13.- Calcular 65! /60! Dejamos fijo el numero menor,* 60!, y desarrollamos el mayor hasta igualarlo. Entonces eliminamos.

65! 65X64X63X62X6lX~ 991'186,560

60!

EJEMPLO 1.14. Calcular. 8! - 31. * - Para solucionar (8!-3!) Primero

desarrollamos los factoriales de 8! Y de 3!, despues efectuamos la resta.

(8X7X6X5X4X3X2Xl) - (3X2Xl) = *.- Si fuera ( 8 - 3 )!, primero restamos (8-3)! queda 5! = 120

= (40,320) - ( 6 ) = 40,314

12 JesUs Diaz Diaz UNIDAD 1 TOCnicas de conteo

1.6 PERMUTACIONES.

Pennutar significa cambiar una cosa por otra, 0 tambien significa, "variar la disposici6n u

orden en que se encuentran dos 0 mas elementos, esto es intercambiando lugares"

Mediante las diversas tecnicas de permutaciones calcularemos todos los posibles

resultados que se puedan obtener at seleccionar uno, varios e inclusive todos los elementos

de un conjunto, seg(m interese.

.. --------------- .....................................................

TIP Siempre que usemos pennutaciones, obtendremos resultados donde nos interesa el orden de los elementos en cada subconjunto resultante, y

solo obtendremos el numero total, .!!!! Ia Iista que pudieramos

obtener con un diagrama de arbol.

1.6.1 PERMUTACIONES DE "0" OBJETOS, TOMADOS TODOS A LA VEZ.

IISe obtiene mediante

nPn - n! Donde n = at nfunero de elementos que se desean permutar.

" Se utiliza cuando tenemos un conjunto de "n" elementos y deseamos saber de cuantas formas pudieran ser reacomodados, si en cada arreglo siempre consideramos a todos los elementos. Por tanto, 10 que importa, es el orden en que aparezcan. (no es 10 mismo ser primero que segundo ni viceversa)

13 JesUs Dia.z Diaz UNIDAD I Tocnicas de conteo

EJEMPLO 1.15.

En el concurso anual de ciencias basicas que organiza e1 Tec. de Tepic, quedan como

finalistas los representantes de la Prepa 1, el colegio Colon, la Prepa 13 y Cetis 100. iDe

cuantas diferentes formas pudieran quedar ocupados los cuatro lugares?

* Puesto que se consideran cuatro lugares y son cuatro participantes, todos tendran un lugar. Entonces 10 que importa solamente es el orden en que queden al final.

Tenemos cuatro elementos considerados los cuatro a la vez por 10 tanto:

~4= 4! ( 4 x 3 x 2 xl) = 24 posibles resultados.

ler. lugar 2 logar 3er lugae

1. 2. 3. 4. Puede tambien resolverse por llenado de cajas. Hacemos 4 PI C.C PI3 C cajas. La primera pueden ocoparla cualquiera de los cuatro. La segunda cualquiera de los tres restantes, Ia tercera PI c.c C P13 cualquiera de los dos que quedan y la Ultima el que falt6. PI C P13 c.c

PI C C.C P13 c.c PI P13 C

Y asi basta obtener los 24 resultados

posibles. La lista total ya sabemos

como obtenerla mediante un diagrama

de arbol.

EJEMPLO 1.16.

iDe cmlntas maneras pudiera formarse la lista de los diez estudiantes que individualmente,

uno a uno, entren al examen oral de la unidad uno de probabilidad yestadistica?

*.- En cada lista que se pueda formar siempre figuraran los diez alumnos, pOf tanto es

nPn = n! lOPIQ= 10! = 3'628,800 una permutacion (nPn), diez tornados todos ala

* Tambien podemos solocionarpor cajas: Diez cajas. Anotamos l0X9X8X7X5X4X3X2XI= 3'628,800


EJEMPLO 1.17.

i,En cuantas formas puede un juez acomodar a seis corredores en la linea de salida?

nPn = 6P6 = 6! 720 * En cada posible arreglo debeni considerar a los seis corredores, 10 que variara sera el carril en que se encuentren. Es entonces nPn, 6P6

*.- POT llenado de cajas hacemos 6 cajas y anotamos 6X5X4X3X2Xl = 720

EJEMPLO 1.18.

EI director de la escuela ha citado para manana a las doce horas a diez catedraticos en la

sala de juntas de la direcci6n. Si todos Uegaran a la cita en distinto momento, i,de cuantas formas pudiera ser el orden en que llegaran?

En cada posible arreglo seran considerados siempre los diez * catedrciticos.

*.- La que importa es el orden en que vayan llegando.

*.- Por tanto es una nPn.

nPn = IOPlO = lO! - 3'628,800

POT llenado de cajas, hacemos diez cajas y anotamos. 1OX9x8x7x6x5x4x3x2x1= 3 '628,800

15 JesUs Diaz Diaz UNmAD I Tecmcas de conteo

EJEMPLO 1.19

Para el concierto del 20 Aniversario del grupo Nipeneucami, 6, profesores del Tee.

compran 6 localirlades numeradas, seguidas en la misma fila De cuiuttas formas pueden

acomodarse si: a.- No existen condiciones; aSI que cada elemento puede tomar cualquier asiento.

b.- Entre ellos hay una pareja que desea sentarse junta. c. - Son tres parejas y han de sentarse juntos cada pareja.

a.- Son seis elementos tornados tOOos a la vez. Entonces sera J>6 = 6! = 720 formas

b.- Supuesto que la pareja debe ir junta, si cambiamos a uno, el otro no puede quedar separado. Por tanto los podemos considerar a ambos como un solo elemento en relaci6n a los demas. Y entonces sera ~5 = 5! = 120.

Pero tambien en cada arreglo si intercambiamos entre sl a la pareja, segwran estando juntos y no altera las condiciones del problema. Esto puede lograrse de zPz =2!=2

Entonces el total de arreglos sera: 5P5 zPz = (5!) (2!) = (120) (2) = 240 arreglos.

c.- Carla pareja debe estar junta, entonces carla pareja la consideramos como un solo elemento y as~ por parejas, podemos realizar 3P3 = 3! = 6 cambios.

Pero tambien si intercambiamos los elementos de carla pareja entre st, 10 podemos hacer de zPz = 2!=2 arreglos por cada pareja.

Entonces el total de arreglos que podemos lograr sera:

(JP3) (zpz) (zpz) (zpz) = 3! 2! 2! 2! = (6) (2) (2) (2) = 48 diferentes arreglos. Por parejas pareja pareja pareja

1 2 3

16 JesUs Diu Diu UNIDAD I Ticn.icas de centeo

1.6.2 PERMUTACIONES DE "0" OBJETOS TOMADOS UNA PARTE "r" A LA VEZ.

Se utiliza cuando tenemos un conjunto de "n" elementos y queremos saber cuantos diferentes arreglos podemos formar si tomamos una parte "r" de dichos elementos. (Como en cualquier permutacion, el orden es importante)

Se obtienen II mediante n! n = Numero de elementos del

nPr= conjunto. (n - r) , r= Cantidad de elementos que

esperamos en

II cada subconjunto

EJEMPLO 1.20.

Si en el concurso nacional de ciencias basicas de los Tecnol6gicos, en su ultini'a etapa

quedaran los representantes de los Tee's de Tepic, LeOn, Durango, Culiacan, Toluca,

Apizaco y Morelia, {,oomo pudieran ser ocupados los tres primeros lugares ?

*.- Son (n=7) participantes, de los cuaIes cualquier de elIos ocupara el ler. Lugar, otto el segundo y otro el tercero; es decir en carla posible arreglo solo figuraran (r=3) participantes, por tanto es un caso de nPr = 7P3

*.- El orden es importante ya que no es 10 mismo quedar en primero que en segundo 0 tercero. Por ejemplo, un posible resultado puede ser [T,L,D] otro arreglo puede ser [L,T,D], 0 cualquier diferente orden y/o equipos ganadores.

7! 7! *.- Puede ser resuelto tambien por Uenado de Cajas

(7-3)! 4! 210 *.- Hacemos tres cajas y en cada una anotamos el

mon. de opciones.

7 X 6 X 5 210

17 JesUs Diaz Diaz UNIDAD r TOCnicas de conteo

EJEMPLO 1.21.

Una compaitia en expansion solicita dos personas para trabajar en su departamento de ventas, uno como gerente y el otro como jefe de vendedores. Si se presentan siete aspirantes que reunen los requisitos para ocupar cualquiera de los dos puestos y entre ellos

se hani la seleccion, "de cmintas formas pueden quedar ocupados los dos puestos?

*.- De "n=7 aspirantes", "r = 2 serim contratados", uno para gerente y el otro como jefe de vendedores.

*.- Entre muchos posibles resultados, uno pudiera ser [gerente Paulina y jefe de vendedores Angel]. Pero tambien pudiera ser [gerente Angel y jefe de vendedores Paulina].

*.- Puesto que no es igual ser gerente que jefe de vendedores, entonces, el orden en que se seleccionen es muy importante. Y por ende es una permutacion nP r , 7P2 .

7! 42 Posibles resultados

(7-2)

*.- Pudieramos resolverlo por llenado de cajas: Hacemos dos cajas. Una para seleccionar gerente la otra para seleccionar jefe de vendedores. Para la primera tenemos 7 opciones, para la segunda 7 menos UNO que sera el gerente, entonces tenemos 6 opciones. ~ r7l

LJx ~ = 420PCIONES


EJEMPLO 1.22.

El peri6dico ''1 Financiero" en cada edici6n, publica la lista de las diez empresas que mas

titulos accionarios negociaron en la Bolsa Mexicana de Valores. Si tienes dinero y deseas

realizar tres importantes inversiones en tres de esas empresas, i,cuilntos posibles arreglos,

al seleccionar las tres empresas que mas te interesen, puedes hacer para elegir tu inversi6n?

*.- Entre" n = 10 opciones" escogeremos "r = 3 empresas" en orden de importancia. Por tanto, se trata de una permutaci6n nPr = lOP 3.

10!

nPr lOP3= - 720 Opciones (1O-3)!

*.- Tambien por cajas: *.- Hacemos tres Qijas, (para escoger el titulo 1, e12 y el 3) y anotamos en la primera, 10opciones, en la segunda 10-1=9 opciones, y en la tercera 9-1 =8 opciones. ~x = 720 Opciones

EJEMPLO 1.23. El director de la escuela de Economia recibe tres solicitudes para designaci6n de asesor de

tesis, de igual numero de tesistas. J)e cmintas maneras pudiera hacer la designaci6n, de no mas de una tesis por catedratico, si hay seis catedrilticos disponibles?

*.- Seleccionara tres eatedraticos para que cada uno atienda a un tesista.

* - Es importante el orden en que realice la asignaci6n, ya que no es 10 mismo asesorar a un tesista que a otro, ni es 10 mismo ser asesorado por un catedrAtico que por otro. Entonces sera una permutacion nPr, &3

6! = 120 formas

(6 - 3)!


1.6.3 PERMUTACIONES CON REPETICION.

Se utiliza cuando tenemos un conjunto de "n" elementos, el cuill contiene uno 0 mas subconjuntos de elementos identicos entre si, y queremos calcular el total de posibles permutaciones que podemos hacer con sus elementos pero, "que cada cambio que

hagamos, verdaderamente 10 percibao ouestros seotidos" Obtendremos el resultado mediante:

Se obtiene mediaote II

O!

(Ot!) (O2!) (03!)(Or!)

II

doode: o = Total de elementos

01, 02, 03, 0r= Cada subconjunto de elementos

identicos entre si.

EJEMPLO 1.24.

Rento un local comercial que en su exterior tiene un letrero de cuatro letras luminosas

individuales que forman la palabra [] ~ [U ~Como no deseo gastar dinero en un nuevo anuncio, cambiare de orden las letras para obtener un nuevo nombre para el negocio. l,Cmintos diferentes nombres puedo obtener?

* Si decido intercambiar la segunda letra con la cuarta, es decir la primer A" por la segunda "A", obtendre exactamente la misma palabra "CASA". Estos cambios no S1fVen.

* Si cambio la primer letra por la segunda obtengo "ACSA". Ahora si percibo el cambio. Pero si en esta nueva palabra, "ACSA", cambio la primer "A" por la segunda "A" no 10 percibire, volvere a obtener "ACSA".

* Si quiero obtener el total de cambios que verdaderamente perciba, 10 puedo calcular mediante una permutaci6n con repetici6n. que elimina justamente todas las repeticiones.

JesUs Diaz Diaz UNlDAD I Ticnicas de conteo 20

0= Nfun. de elem.

01= Una vez "c" 02= Dos veces "A"

03 = Una vez "S"

=

=

4

1

2

1

n! 4! = 12 posibles oombres difereotes.

( l! )( 2! ) (I! )

EJEMPLO 1.25.

Un soldado desde una colina hace senales a la tropa que se encuentra en el valle, mediante

[dos banderas rojas, dos azules y una verde colocadas en linea horizontal], l,cmintas diferentes senales puede enviar

*.- Un posible arreglo puede ser [~~A,A,V,], Si cambia la primer raja con la segunda roja, la tropa no percibira el cambio. E igualmente sucedera si intercambia entre si las azules.

*.- Entonces, si el soldado intercambia elementos iguales entre si, la tropa no 10 percibir~ Pero si intercambiamos elementos diferentes, entonces si 10 notaran. Por ejemplo, si cambio el primer rojo con el primer azul obtengo [ A, R R A V].

* De 10 anterior conc1uimos que 10 que vamos a calcular son todos aquellos intercambios entre elementos diferentes para obtener arreglos nQ repetidos, es decir, que sean cambios que puedan percibir ouestros sentidos. La logramos mediante una Permutacion con repeticion.


o! = Total de banderas = 5 5!

01 = Dos banderas rojas = 2 - 30 senates

02 = Dos banderas azUles = 2 (nl!) (n 2) ( n3 ) ( 2!) (2!) ( I! ) 03 = Una bandera verde = 1

EJEMPLO 1.26.

En una gran ferreteria de nueva creacion contratan 18 empleados para atender el mostrador.

Todos ellos muestran aptitudes para el puesto. Se eligen 8 para atender el primer tumo,

otros 8 atendenin el segundo turno y los 2 restantes senin relevos. "De cmintas formas

pudiera el gerente asignar los horarios a los 16 fijos y a los 2 relevos?

* Aqui 10 que importa es si el trabajador queda en el ler. turno, 2. turno 0 relevo, ya que Ia actividad de los empleados en cada tumo es la misma. Por tanto el orden en que sea seleccionado dentro de cada grupo careee de importancia.

* - Entonces de n = 18 trabajadores, tenemos tres grupos: n1 = 8, n2 = 8 Y n3 = 2.

* - Uno de los arreglos pudiera ser que los trabajadores de relevo fueran Jorge y Anam, 0 ~ Esta repetici6n no tiene sentido ya que los dos harian 10 mismo. Y de igual forma sucede entre los empleados de 1. y 2. turno entre si. Por tanto aplicamos una permutaciOn con repeticion, para e1iminar todos los arreglos repetidos.

Total de empleados = 0= 18 n! Ernpleados 1er. tumo=

Empleados 2. tuno =

01=

02=

8

8 nt! n2! n3!

Ernpleados de relevo= 03= 2 =

18!

(8!) (8!) (2!) = 1 '969,110

22 JesUs Diaz Diaz UNlOAD I TOCnicas de conteo

1.6.4 PERMUTACIONES CIRCULARES.

Se utiliza cuando los elementos estan acomodados en fonna circular y deseamos saber de

cuantas formas pudieramos reacomodarlos.

II Se obtiene mediante (n-l)!

EJEMPLO 1.27. Tres personas juegan una partida de domino en tomo de una mesa redonda. l,De cuantas fonnas diferentes pudieran acomodarse?

*.- E1 problema indica claramente que estim en fonna circular. Por tanto aplicaremos (n-1)!.

Num. de elementos = 3. entonces: (n - 1)1 = (3 - I)! = 2! =2 formas

B En la opcion 1, a la izquierda *c del jugador "A" esta el jugador "B" y a la derecha esta "C".

* - En la opcion 2, a la izquierda A l------lOpcion 1 del jugador "A" esta el

jugador "c" y a la derecha

*.- Cualquier otro arreglo que se pretenda tendra las caracteristicas de alguno de los anteriores.

*.- Estos dos ejemplos muestran que aim cuando cambiamos de silla a los tres a la vez, mantienen las caracteristicas [-~:b,:,-.._!_~J de las opciones 1 y 2. ci

De A: izq~"C:ab-echa B derechaC

(repetici6n de la opci6n 2) (Repetici6n de la opcion 1)

23 JesUs Diaz Diaz UNIDAD I TtDlica8 d.e conteo

............................................................

*.- Si las mismas tres personas del problema anterior estuvieran sentadas en linea, por ejemplo, en tres asientos seguidos en un cine, entonces pudieran acomodarse de : n! = 3! = 6 diferentes arreglos

[A,B,C,], [A,C,B], [B,A,C,], [B,C,A], [C,A,B], [C,B,A,] = 6 formas

~ TIP. Cuando tenemos "n" elementos en forma lineal, tornados todos a la vez ,

podemos reubicarlos de n! formas, por que existen en cada arreglo dos extremos que nos dan mas opciones de diferencia. Mientras que si estos : mismos "n" elementos estim colocados en forma circular, no hay extremos, : .

: solo habra un elemento como punto de referencia. : :Por tanto solo habra (n-1)! posibles arreglos. .: :............................................ ............................................. ~

EJEMPLO 1.28.

Cinco personas se sentaran en tomo a un mesa.

a.- i,De cuantas formas pueden acomodarse.

b.- i,De cuantas si dos de elias son pareja y desean sentarse juntos.

a.- Es soluci6n simple. Cinco en forma circular = (5-1 )! = 4! = 24 formas.

b.- En estos casos, si cambio de lugar a '1''', D, tendra que cambiarse a su lado. Y si cambio a "D", F se ira junto. Por tanto, a D y F debemos considerarlos como uno solo y asi tendremos solo cuatro elementos en forma circular que se pueden reacomodar de (o-l)! = (4-1)! = 6 formas. Pero ademas en cada arreglo, si cambiamos entre si a F y D podemos hacerlo de 2! = 2 formas.

......... D ~Entonces la soluci6n sera: .. .

...

0 Cambio: global de F y D

( 4 - I)! (2)! = 3! 2! (6) (2) = 12 dif~rentes arreglos donde F y D, queden juntos.


EJEMPLO 1.29.

En la feria de Tepic, se exhibiran alrededor de una plataforma redonda 26 autom6viles, todos diferentes. 4 de la VolksWagen, 6 de la For~ 5 de la Nissan, 6 de la Chrysler y 5 de la Chevrolet. loDe CU{lOtas diferentes formas pudiera asignarseles lugares si se desean juntos los de cada marca entre si?

*.- Primero consideraremos cada grupo de autom6viles de cada marca como un solo elemento ya que deben quedar juntos y a donde se mueva uno debera moverse el grupo entero. Entonces tenemos 5 grupos en forma circular: (5 - 1 )! = 4! = 24 arreglos.

*.- Tambien debemos considerar que si movemos autom6viles entre los de su mismo grupo, (Ford entre Ford, VW entre WV etc.) no se altera el problema. Por tanto tambien podemos mover: Los VW= 4!, los Ford =6!, los Nissan = 5!, los Chrysler = 6! Y los Chevrolet = 5!.

Entonces el total de arreglos que podemos obtener sera

(5 -I)! (4)! (6)! (5)! (6)1 (5)! = (24) (24) (720) (120) (720) (120) =

Por mareas VW Fordo Nissan Chrysler Chevrolet = 4.29981696 X IOU

Diferentes arreJ!los

* - Si el problema no hubiera sido planteado en fonna circular, si no que los autom6viles fueran a exhibirse en forma lineal, entonces la soluci6n seria:

(5 )! (4)! (6)! (5)! (6)! ( 5 )! = 2.14990848 X 1013 diferentes arreglos mal'Call VW Ford Nissan Chrysler Chevrolet

JesUs Diaz Diaz UNIDAD I Ttrnicas de conteo 25

1.7 COMBINACIONES.

Se utilizan cuando tenemos un conjunto de "n" elementos y deseamos seleccionar todos los subconjuntos posibles tamafio "r" [ donde "r" es menor 0 igual que"n"], pero en esta selecci6n, el orden en que aparezcan no importa.

........

IISe obtiene mediante nl

nCr = rl ( n

..........

n= Num. de elementos del conjunto.

r= Num. de elementos de cada sobconjunto resultante

r ) 1 ..........................

.

.

TIP. En las PERMUTACIONES, dijimos que el orden en que aparecen los ~ elementos en los resultados es muy importante, [Paulina presidente, Jorge : : secretario!! Jorge presidente, Paulina secretario]. Es muy importante el orden, por que . la actividad, ganancia 0 importancia. es diferente. . .

.

: Las COMBINACIONES, se aplican cuando el orden carece de importanci~ como seria :

el seleccionar entre 10 personas a 2 para exponer la siguiente clase. Si fueran : seleccionados [Gabi y Anahi 6 l\naW , 8at1t]" no tendria sentido la repetici6n :

: del dato ya que son las mismas dos personas para realizar y/o ganar : .: exactamente 10 mismo. Asi entonces En las COMBINACIONES eI orden en : .

que aparecen los elementos en cada remltado carece de impomncia . .

..................................................................................................

EJEMPLO 1.30.

Deseo pintar mi recamara y para ella necesito tres litros de pintura. Tengo 1 litro azUl, otro

rojo y otro verde..,Pero quiero que todo quede del mismo color, asi que decido revolverlo. i,De cuantas fonnas puedo hacerlo?

*.- No importa el orden en que revuelva 3! 3! cada color, [primero azul, luego rojo y luego

verde !LPrimero verde, luego rojo y luego azul, = 1 forma etc.] finalmente obtendre el mismo

resultado, un cafe muy obscuro. EI 3! (3-3 )! 3r(0)' [O! = 1] orden en que 10 baga no importa

26 JesUs Diaz Diaz UNIDAD I Ticnicas de conteo

EJEMPLO 1.31.

Llegan a la vez 16 alumnos al centro de computo a solicitar una PC para trabajar. En ese momento hay 6 disponibles en la sala "A" , otras 4 en la sala ''B'' y en la siguiente hora se

desocupanin otras 6 para los restantes. l,De cuantas formas pudiera asignarse tumo a estos

alumnos?

*.- Si observamos, el orden en cada grupo que se forme carece de importancia, 10 que importa es en que grupo va a quedar carla alumno. Es decir si por ejemplo Jorge quedara en el grupo de la sala "A", nada importaria que fuera el [ 1., 2.~ .....o 6.] de la lista. Por 10 tanto 10 resolvemos por combinaciones.

*.- Nos resultaran tres combinaciones. La primera 16C6 para calcular las fonnas de como seleccionar de los 16 a 6 para la sala "A". La segunda lOC4 , para calcular las formas de cOmo seleccionar de los 10 restantes, 4 para la sala ''B''. Y finalmente 6C6 = 1 formas de los que esperaran hasta la siguiente hora.

*.- Para que se complete el problema, deben ocurrir las tres cosas anteriores POf tanto multiplicaremos los resultados parciales para obtener el resultado final.

16! 1O! 4!

6! ( 16-6 )! 4! ( 1O-4)! 4! ( 4-4 )!

[ 8008] [210] [1] = 1'681,680 formas

.....................................................................................

.

.

. ~ TIP. - En casos como el ejercicio anterior, que para completar un problema debe ~ .

: suceder algo Y enseguida otra cosa Y luego otro resultado, esa 00 intermedia podemos : : interpretarla como indicaci6n de que hay que multiplicar los resultados oarciales. : .

.

.

.

: En otros casos donde se presentan varios resultados posibles, puede suceder que el : problema quede resuelto si sucede el primer resultado (0) el segundo resultado (0) el .

tercer resultado. En esos casos esa (0) intermedia podemos interpretarla como una . indicaci6n de que debemos s-umar los resultados parciales ya que son opciones de : solucion y con cualquiera de ellosquedara resuelto el problema

EI caso de la adicion de resultados se ilustra en el ejercicio siguiente. ............................................................................................... .

------

27 Jesus Diaz Diaz UNJDAD I TOCnicas de conteo

EJEMPLO 1.32.

El rector de la Universidad piensa encargar un trabajo de investigaci6n a tres catedrirticos de la Universidad. Escogera entre 10 catedniticos de la escuela de Economia (, entre ocho catedraticos de las escuela de Comercio, pero no de ambas escuela "Cuantas opciones tiene

para escoger?

*.- Lo que importa en este problema es de que escuela son los escogidos y quienes seran, pero carece de importancia el orden en que sean seleccionados ya que la actividad y la responsabilidad sera igual. Si por ejemplo escoge a (A,ByC 6 a B,CyA6 a C,AyB etc.) es un mismo resultado puesto que son las mismas personas solo que en diferente orden.

*- Entonces seran dos combinaciones. La primera lOC3, que senin las opciones en la escuela de Economia y, sC3que seran las opciones en la escuela de Comercio.

*.- Finalmente como el problema se completa si escoge de la escuela de Economia 6 de Comercio, la 6 intermedia indica SUMAR los resultados parciales.

10! 8!

(120) + (56) = 176 formas + 3!(10-3)! 3! ( 8-3 )!

EJEMPLO 1.33.

Un estudiante tiene que escoger y resolver 10 de 12 preguntas de un examen.

a. "cuantas opciones para escoger tiene? b.- "cuantas si la 1 Y2 son obligatorias?

a.- Las que escoja, no importa en el orden que sea senin las mismas preguntas. Por tanto es una combinaci6n. 12C10 = 66 opciones

b.- 1 Y2 obligatorias. Entonces solo tiene que escoger 8 de las 10 restantes. lOCS = 45 opciones

JesUs Diaz Diaz . UNIDAD I TOCnicas de conteo 28

EJEMPLO 1.34.

Si de entre diez presidentes previamente seleccionados, Zedillo decide invitar a seis de ellos

para hablar de las relaciones comerciales de sus paises. l,De cuantas formas puede

seleccionarlos si?:

a.- Cualquiera puede ir.

b.- Entre los diez figuran Castro Ruz y Clinton y no debe invitar a ambos a la vez

C.- De cuantas maneras si decide invitar a Clinton y al primer ministro de Canada.

a.- No importa el orden en la lista de invitados, por tanto es una combinaci6n. lOC6 = 210 diferentes grupos.

b.- Puesto que no puede invitar a la vez a Castro y a Clinton tiene 3 opciones. e. Invita a Castro y no invita a Clinton. Tendril que reservar lugar a Castro, y Ie quedanin solo cinco lugares. Ademas borrara a Clinton de la lista de invitados posibles por 10 que solo tiene para escoger entre 8. sCs = 56 2a Invita a Clinton y no invita a Castro. Ahora reserva lugar a Clinton y elimina a Castro de la lista de invitados posibles. Asi puede escoger sCs = 56. 3a No invita ni a Castro ni a Ointon. Ahora solo tiene 8 posibles invitados y Ie quedan los seis lugares. Ahora puede escoger sC, = 28

3Como no puede suceder las tres opciones a la vez, es decir sucede la 18 . 6 la 28 6 la

8 . La 6 intermedia me indica que debo sumar los resultados parciales.

gCS + gCS + gC6 = 56 + 56 + 28 = 140 opciones.

c.- En este caso como decide invitar a Clinton y al primer ministro de Canada, les asignara su lugar, y solo Ie quedaran 4 lugares mas y 8 posibles invitados de donde seleccionara los cuatro restantes

sC4 = 70 opciones

29 JesUs Diaz Diaz UNlOAD I TOCnicas de conteo

1.8 PARTICIONES ORDENADAS.

Si tengo un conjunto de "n" elementos y 10 voy a repartir todo en "nl, n2, n3, ....nr " subconjuntos, (dentro de los cuales el orden de los elementos carece de importancia), puedo solucionarlo mediante varias combinaciones, pero mas facilmente mediante una partici6n

ordenada. Se obtieoe II mediante Doode:

O! oh 02, 0).... 0 0 son cada

subconjunto de elementos que se va a repartir

Ot! 2! 03!.Or!

II EJEMPLO 1.35.

De un grupo de 10 alumnos seleccionare 3 para exponer el terna uno; 2 para el tema dos; 2

para el tema tres; y los 3 restantes expondnin el terna cuatro. (,Cuantos diferentes grupos puedo formar?

*.- Tengo un conjunto "n = 10 alumnos". Y repartire trabajo a todos.

* - Formare cuatro grupos. "nl = 3; n2 = 2; ll] = 2; I4 = 3".

AI interior de cada subconjunto el orden carece de importancia Por ejemplo, si* fueran seleccionadas para exponer el tema 3 [Angel y Gabi] 6 r

30 JesUs Diaz Diaz UNlDAD I TOCnicas de coateo

EJEMPLO 1.36. Se inscribe en un torneo de fitt beis 12 equipos. uno de ellos es representante de esta aula. para una primera ronda, cada equipo jugani con los 11 equipos oponentes. de cuantas formas puede terminar esta ronda con 6 ganados, 3 empates y 2 perdidos?

*. EI orden en que ganen 6, empaten 3 y pierdan 2, carece de importancia. (Si pierden los primeros dos 6 el 7 y 9 6 el 1 y 3 etc. para el resultado cuenta 2 empatados sin importar el orden en que haya sucedido. Yes 10 mismo en los perdidos y ganados).

*.- En cada posible arreglo contaremos todos los n = 11 juegos. Donde hay n1 = 6 ganados n2 = 3 ernpates, y n3 = 2 perdidos.

*.- Resolvemos entonces por Particiones ordenadas.

11 ! 39'916,800 4620formas

6! 3! 2! 8640

Podemos resolver por combinaciones:

*.- Seleccionamos todas las formas en que pudieron ganar 6 de 11 juegos; luego todas las formas en que pudieron empatar 3 de 5 juegos restantes y finalmente los 2 perdidos.

[114] [sC3] [Z~] = 46i X 10 X 1 = 4620 formas.

EJEMPLO 1.37. Ocho alumnos de informatica y ocho de sistemas Began al mismo tiempo al centro de c6mputo y pide cada uno una computadora, hay seis disponibles en ese momento, en la siguiente hora se desocuparan cinco y en el resto del dia no habra mas disponibles. Si 10 sortean, l,de CUl:intas formas pudieran quedar los grupos?

* Los 16 alumnos formaran tres grupos donde ninguno sobra, y el orden dentro de los grupos carece de importancia.

Por tanto puede resolverse por Particiones Ordenadas. Este problema es similar at resuelto por combinaciones en el punto 1.6

n = 16, n1 = 6, n2= 5, n3= 5

6!

16!

5! 5! 2'018,016 grupos

31 UNlOAD J Tecnica.s de cmteo

1.9 SOFTWARE"APRENDAMOS A CONTAR"

REQUERIMIENTOS:

El programa requiere para su instalacion una PC ffiM 0 1000.10 compatible.

EI sistema operativo debe ser Windows 95 0 98.

El monitor: 64~ X480 a 256 colores. 0 bien 800 X 600 a 256 colores

Los demas requerimientos son los propios del sistema operativo.

INSTALACI6N:

En realidad no es necesario instalar el programa, ya que este puede ejecutarse desde el disquete que acompafta a este libro, pero si decides instalarlo en tu disco duro

simplemente baz 10 siguiente:

Abre el explorador de Windows

Dirigete at menu archivo y selecciona nuevo

Haz clic 0 enter en la opcion carpeta

Teelea un nombre para la carpeta: Probabilidad y presione enter

Ahora selecciona la unidad A .

Arrastra el archivo: Probabilidad_l.exe desde la unidad "A" basta la carpeta que acabas de crear en la unidad "c"

32 Jesus Diaz Diaz UNIDAD I Tecnicas de conleo

NAVEGACION:

Durante el programa encontraras paginas casi en blanco y algUnos botones en elias, presionalos y averigiia que sucede, no te preocupes, explora y divien:ete mientras

aprendes, algunos personajes te ayudaran durante el recorrido....

EJECUCION:

Ds doble die en el archivo Probabilidad_1.exe en la unidad "A", 0 si' copiaste el

programa en algun directorio de tu disco duro entoces:

* Da doblt die en el archivo probabilidad _l.exe de la carpeta de tu disco duro.

Una vez hecho esto veras una pantalla como esta, que te ofi'ece tres opciones:

OPcrON INTRODUCCION:

Esta opcion es importante si quteres

aprender las bases te6ricas de las

t&micas de contar ya que te muestra algunas definiciones y tips que te serim

muy utiles y frecuentemente necesarios

para poder comprender los temas propios

de las tecnicas de contar.

OPOON TE Te lleva

directamente al indice de ternas, donde podnls practicar las diversas tecnicas de

cornaro Una vez ahi, selecciona tu opcion

y luego selecciona el boton de ver terns.

Bienvenido a;

.-

33 JesUs Diaz Diaz UNIDAD I Ticn.icas de conteo

OPCION SALIR: Cuando desees abandonar el programa simplemente selecciona Salir.

1. 10 RECOMENDACIONES DIDACTICAS Y BmLIOGRAFiA DEL

CAPITULO.

Luego de haber analizado esta unidad, es recomendable resolver los ejercicios propuestos en:

FREUND John E. "Estadistica elemental" Ed. Pentice Hill, sa edici6~ Mexico 1994, p.p.99-103.

WALPOLE Myers "Prob. y Estadistica" Ed. Me Graw Hill 6a edici6~ Mexico 1999, p.p. 2S-27

FREUND Williams Perles "Estadistica para la Administraci6n. Con

enfoque moderno" Ed. Prentice Hall, sa edici6~ Mexico 1990, p.p. 102-IOS

BmLIOGRAFIA DEL CAPITULO.

Ademas de los tres anteriores:

WIMER Richad C. ''Estadistica'' Ed. Ceesa, 1a ediei6~ Mexico 1996.

LIPSCHUTZ Seymour ''Probabilidad'' Ed. Me Graw Hill.

LIPSCHUTZ Seymour ''Teoria de conjuntos y temas afines", Ed. Me Graw Hil

JesUs Diaz Diaz

1.11 RESUMEN. Ante un problema de conteo pregimtate primero I, imports el orden en que aparecen los resultados?

SI. Entonces sera

una Permutaci6n

;,Importa

Elorden?

NO.Entonces sera

una combinaci6n

Jesus Diaz Diaz

LtENADO DE CAJAS, Se titiliza principalmente euatido el problema nos impone restricciones Por ejemplo: i,Cuantos nUmeros de tres digitos puedo formar si debe aparecer el 7 en todos ellos?

DIAGRAMA DE ARBOt. Se utiliza cuando se desea obtener la Usta de todos los posibles arreglos. Por ejemplo: Elabore la lista de todos los posibles resultados de un examen de 8 preguntas a las que debera contestar V 6 F.

EXPONENCIAL,- Se utiliza cuando necesitamos tomar decisiones en secuencia y en todas tenemos igual numero de opciones. EJemplo: Calcule los posibles resultados de un examen de 8 preguntas a las que debera contestar V6 F.

PERMUTACIONES nPn.- Se utillza cuando queremos calcular el total de arreglos que resulta de intercambiar todos los elementos de un conjunto "n" considerando siempre todos a la vez. Por ejemplo: Calcule el total del orden en que diez alunmos pueden pasar a hacer examen oral.

PERMUTACIONES nP,.;- Se utiliza cuando de un conjunto "n",queremos calcular el total de arreglos que resulta de seleccionar una parte "r" de Sus elementos a la vez. Por ejemplo: calcule el total de posibles listas en que de diez alwnnos de la clase, podemos escoger un presidente y un secretario.

pERMUTACIONES CON REPETICION.- Se utiliza cuando tenemos un conjunto de "n" elementos donde hay subconjuotos identicos entre si, y quiero calcular el total de arreglos diferentes, que verdaderamente Diis sentidos persiban diferencia entre los difereotes atreglos. Por ejemplo: 8i cambio las letras de la palabra ORO cuantos verdaderos cambios puedo obtener? Cambiar una "0" por otra "0", no se notana, sma repetici6n.

PERMUTACIONES CIRCULARES. Se utiliza cuando los elementos estan acomodados en forma circular 0 fortttando una figura tal, que no existen extren10S como en la forma lineal. Por ejemplo. iJ)e cuantas diferentes formas pudieran tomar lugar 8 personas alrededor de una mesa?

COMBINACIONES.- Se utiliza cuando de un conjunto de "n" elementos, seleccionamos de el una parte "r". Los seleccionados obtendran 10 mismo, harao 10 mismo paganin 10 mismo, es decir el orden no in1portaPor ejemplo: La direcci6n de la escuela otorgara tres becas completaS en el Tee. de Monterrey a los tres prin1eros mas altos prontedios de los egresados de infornuitica este semestre. Da 10 mismo ser 10 , 20 6 30 , el premio es igual.

PARTICIONES ORDENADAS,-Se utiliza cuando un conjunto de "n" elementos se va a repartir todo. Por ejemplo: De un grupo de 12 egresados de Ing. Quimica, 3 hanln sus practicas profesionales en una empresa local, 4 en una de Guadalajara y 5 en una empresa de Monterrey. i,De cuaotas formas pueden quedar conformados los grupos?

Dnidad I T&:nicas de Conteo 34

35 JesUs Diaz Diu UNIDAD II Teoria de las probahilidades

UNIDAD DOS 2

TEORIA DE LAS PROBABILIDADES.

2.1 Introducci6n.

2.2 Conjuntos. 2.3 EI concepto chisico de probabilidad.

2.4 La probabilidad interpretada a traves de la frecuencia

relativa.

2.5 EI concepto de probabilidad subjetiva. 2.6 Espacios muestrales yeventos.

2.7 Postulados de la probabilidad.

2.8 Probabilidades y posibilidades.

2.9 Regia de la adici6n.

2. 10 Eventos independientes y dependientes.

2.11 Probabilidad condicional e independencia.

2.12 Regia de la multiplicaci6n.

2.13 Teorema de Bayes.

2.14 Probabilidad utilizando anaIisis combinatorio.

2.15 Recomendaciones didacticas y bibliografia del capitulo. 2.16 Resumen.

JesUs Diaz Diaz UNIDAD II Teoria de las JX'obabilidades 36

2.1 INTRODUCCION.

Nuestra vida es un continuo decidir en un cHma de incertidumbre.

Continuamente tomamos decisiones, algunas de mayor y otras de menor importancia, pero

por 10 general en ellas queda inmiscuida una cierta dosis de azar, por 10 que siempre existe

el riesgo y la incertidumbre de no tomar la mejor decision.

Este riesgo que debemos correr cada vez que tomamos una decision se incrementa

mientras menos conozcamos del problema y por el contrario, se reduce mientras mayor

informacion tengamos de el 0 de la solucion de problemas similares.

El estudio de la probabilidad ciertamente no nos permite predecir el futuro con total

certeza, pero si nos proporciona herramientas para analizar esta incertidumbre. El amilisis

probabilistico utilizando la informacion conocida, busca facilitamos la toma de decisiones

por diversos metodos aplicables ante diferentes situaciones, y con ella, reducir en 10 posible

errores de decision ante problemas complejos.

El estudio de la probabilidad se inicia hacia el siglo XVI por la necesidad de los jugadores de los juegos de azar, de un metoda que les permitiera apostar con menor riesgo ante las diversas situaciones del juego. Y por ella recurren a los matematicos en busca de estrategias optimas. A Girolamo Cardano (1501-1576) Fisico, Astronomo y Matemcitico, se Ie atribuye la primera discusion sobre probabilidad en su "Manual para tirar los dados",

pero un gran numero de matematicos como, Pascal Leibniz, Bernoulli y muchos mas, no menos importantes, han participado en el desarrollo de la probabilidad y la estadistica tanto

descriptiva como inferencial. Y es basta este siglo donde estas toorias han tornado

verdadera fuerza inmiscuyendose como herramienta indispensable de todas las ramas del

saber; Politica, negocios, pronosticos, investigacion, etc.

JesUs Dlaz Dlaz UNlDAD II Teoriade las JX'Obabilidades 37

2.2 CONJUNTOS.

Revisaremos aqui algunos t6picos de la Teoria de Conjuntos por que este simbolismo y su nomenclatura nos permitini explicar y entender la Probabilidad en forma mas sencilla, mas

precisa y menos propensa a ambigiiedades. Los temas que tocaremos, son los justamente necesarios para nuestro prop6sito.

CONJUNTO. Es una lista 0 colecci6n de objetos. A estos objetos se les llama ELEMENTOS.

Los conjuntos se denotan mediante una letra mayliscula como A, B, N, R, W, etc. Mientras que los Elementos se denotanin por letras minusculas como a, b, n, r, W, etc.

Si deseamos definir, por ejemplo, el conjunto A con la enumeraci6n de sus elementos que fueran los numeros enteros que se encuentran entre 2 y 6, sera: A = { 2,3,4,5,6}. Los elementos se escriben uno a uno entre llaves y separados con una coma. Esta notaci6n se

llama Forma Tabular de un conjunto. Pero tambien podemos hacerlo mediante la definicion por comprensi6n Hamada constructiva de un conjunto, que enuncia las propiedades que tienen sus elementos. Asi el ejemplo anterior A = { x I 2 ~ x ~ 6 ; X EZ} 10 leeremos, A es el conjunto de los numeros x tal "I "que x es un numero mayor 0 igual a 2 y menor 0 igual a 6, y x pertenece "E" a los enteros "Z".

Si por ejemplo el elemento {c} es parte del conjunto B, podemos escribir c E B, [y se lee: el elemento c pertenece al conjunto B]. Si c no pertenece a B, entonces escribimos cllB.

SUBCONJUNTO "c". Cada elemento, 0 cada grupo de elementos que puedan formarse

de un conjunto es un subconjunto "c" de dicho conjunto; Asi un conjunto puede tener uno o varios subconjuntos. Por ejemplo si A= {a,b,c,d,e} Y si B={a,b,c}, C{a,c,e}, D{b,d}, E{a,b,c,d,e} entonces [B,C,D,E c AJ.

38 JesUs Diaz Diaz UNIDAD II Teona de las probabitdades

Para analizar mas facilmente la relaci6n en~re conjuntos frecuentemente recurrimos a los DIAGRAMAS DE VENN-EULER, que consisten en un rectangulo que simboliza el

universo y dentro del cuill, cada conjunto que se quiera analizar se representa mediante un circulo. Si hay mas de un conjunto, los circulos estanin separados si no tienen elementos en comun, 0 bien, pueden tener una parte de ellos encimados (intersectados), si tienen elementos en comun.

A

Fig. 2.1. No tienen elementos en com(m Fig. 2.2 Si tienen elementos en comUn

En el estudio de la probabilidad frecuentemente recurrimos a algunas operaciones con

conjuntos tales como Union ''u'', Interseccion "n" y Complemento" AC ".

LA UNION" u ", Es el equivalente a la adici6n en aritmetica. La union de A con B, es

el conjunto de todos los elementos que pertenecen a (A 6 a B, 6 a ambos) y se denota por: (A u B).

EJEMPLO: Si A = ~ 1,2,3 ~ YSl B = ~ 4,5 ~ entonces:

( A u B ) ~ 1,2,3,4,5 ~ es decir, la union contendra tanto los elementos de A Como deB.

1,2,3 A

4,5

B

Fig 2.3. (A u B ) = ~ 1,2,3,4,5 ~

39 JesUs DI.az Diu UNIDAD II Teoria de las p-obahilidades

LA INTERSECCION, la conforman todos aquellos elementos que se encuentran tanto en A como enB.

EJEMPLO: Si A = ~ 1,2,3,4,5 ~ YSl B = ~ 3,4,5,6,7 ~ entonces:

( A n B ) = ~ 3,4,5 ~ por que 3,4 y 5 se encuentran tanto en A como en B.

6,7 B

Si en problemas como el presente, (Fig. 2.4) deseamos conocer la Union de A y B entonces: (AuB) = ~ 1,2,3,4,5 ,6,7 ~

Fig. 2.4. ( An B ) = ~ 3,4,5 ~

COMPLEMENTO DE A, (AJ = Lo forman todos aquellos elementos que !!.Q se encuentran en el conjunto A.

EJEMPLO: Si el universo 10 forman los numeros del ~ 1 aI 10 ~ Y Sl A = ~ 3,4,5 ~ entonces el complemento de A es:

(AJ = ~ 1,2,6,7,8,9, 10 ~ ~ 1,2,6,7, 8,9,10~

3,4,5 A

Fig.2.5.... A

40 JesUs Diaz Diaz UNIDAD II Teona de las JI'Obabilidades

2.3 CONCEPTO CLASICO DE LA PROBABILIDAD

Este concepto surge del estudio de los juegos de azar y es aplicable en los casos en que el experimento puede tener solamente ciertos resultados bien definidos, donde "todos estos

posibles resultados, son igualmente probables". Entonces la determinacion de la

probabilidad de un suceso estani definida par:

m Donde: peA) == -

n m =Num. total de posibles resultados a favor.

.n == Todos los posibles resultados (tanto de acierto como de no acierto).

....................................................................

Observese que ests definicion tiene una restriccion muy importante Y8 que solo .

puede emplearse cuando todas las probabilidades son igualmente probables y que :

exists un nomero fin ito de posibles resultados como sucede en los juegos de azar.

.................................................................................................

EJEMPLO 2.1.- Si lanzo un dado perfectamente bien balanceado que probabilidad tengo de que caiga en 3.

*.- Puesto que el dado tiene 6 caras, existen n = 6 posibles resultados.

*.- solo una de las caras tiene el nUmero 3 portanto solo hay m=1 posible resultado de acierto.

*.- Cada lanzamiento que haga del dado, siempre existira la misma probabilidad para cada una de las caras, 1/ 6.

m 1 P(3) = =-- = 0.16667

n 6

41 JesUs Diu Diu UNJDAD II Teoria d.e las probabilid.ad.es

EJEMPLO 2.2. Si en el aula de clases hay 32 alumnos, (18 hombres y 14 mujeres), y selecciono perfectamente al azar un alumno:

a.- l,que probabilidad tiene cada uno de ser seleccionado?

b.- l,que probabilidad existe de que resulte seleccionada una mujer?

a.- *.- Hay 32 alumnos. Entonces n = 32 posibles resultados. m 1 ~P(A)=-- =-- =0.03125

*.-Las opciones de ser seleccionado cada uno n 32 senm. m = 1 opciones. Entonces:

b.- *.- Siguen siendo n =32 posibles resultados (todos tienen la misma probabilidad). m 14

f--\ P(M) =-= -- = 0.43750 *.- Ahora los resultados posibles a favor son Y n 32 cualquier mujer. Entonces m = 14 opciones

EJEMPLO 2.3.

De una baraja de 52 cartas saco una al azar. l, que probabilidad existe que sea un rey?

* Hay un resultado posible por cada carta

Entonces n =52 posibles resultados.

* La baraja tiene 4 reyes. Por tanto, seriul m = 4 ~ m 4 P(K) =- = -= 0.07692 n 52 posibles resultados de acierto.

42 JesUs Diaz Diaz UNlOAD II Teoria de las p-obabilidades

EJEMPLO 2.4. La maestra del curso de probabilidad han!. un examen oral a 32 alumnos. Pero el dia de hoy

solo alcanzara a examinar a 16 de ellos. Si 8 de los 32 alumnos no estudiaron, Y si realiza

una seleccion perfeetamente al azar, que probabilidad hay de que:

a.- " Solo a 2 de los 8 que no estudiaron les toque examen este dia?

b.- " Que de los que no estudiaron a ninguno les toque hoy?

3.- * Ya que la seleccion es aleatoria, cada resultado puede considerarse igualmente probable.

* El total de formas en que la maestra puede seleccionar a los 16 de los 32 que examinara el dia de hoy es: nCr = 32C16 = 601 '080.,390 diferentes formas = n.

* Los posibles resultados de acierto seran todos aquellos que se obtienen de seleccionar 2 de los 8 que no estudiaron [gC2], y 14 de los 24 que S1 estudiaron h4C14], para completar los 16 que examinara. Entonces, los resultados a favor seran:

*.- Puesto que deben ser seleccionados 2 de los 8 que no estudiaron Y 14 de los 24 que si estudiaron, entonces la Y intermedia indica que debemos multiplicar ambos resultados parciales para obtener todos los posibles resultados de acierto.

m 54'915,168 = 0.09136

n 601 '080,390

b- *.- El total de posibles selecciones sigue siendo 32C16 = 601 '080,390 = n

*.- Ahora los posibles resultados de acierto seran seleccionar [0 de 8] que no estudiaron [8Co] = 1 Y [16 de 24] que si estudiaron [24C16] = 735.471.

*.- 19ual que el inciso (a), la Y indica multiplicacion, entonces: [8CO] bC16] = [1] [735,471] = 735,471 = m

m 735,471 = 0.00122

n 601 '080,390

43 JesUs Diaz Diaz UNlDAD II Teoria de las probabilidades

2.4 LA PROBABILIDAD INTERPRETADA A TRAVES DE

LA FRECUENCIA RELATIVA.

"Cuando un experimento se realiza un gran numero veces en condiciones similares, la

probabilidad de acierto, estara dada por la relacion del total de resultados de acierto

observados, dividido por el numero total de observaciones"

Niun de resultados observados a favor P(A)=

Ninn. total de observaciones realizadas.

..........................................................................

: En la actualidad este concepto es el mas aceptado cuando bacemos investigaciOn. En infmidad de casos las probabilidades no siempre son igualmente probables. Y en estos casos es cuando solo la observaci6n y el arullisis de pruebas repetidas nos permite calcular las probabilidades del evento.

..........................................................................................

Por ejemplo: Si cuidando todos los detalles necesarios, sembramos una semilla de naranja, podremos esperar solo dos resultados, que gennine 0 que no germine; Pero 10 anterior !!!! signifiea que la probabilidad de que germine sea 1 de 2 posibles resultados = 1/2. Para

poder obtener la probabilidad de que germine cualquier semilla de naranja, necesitamos hacer muchas pruebas,. es decir, sembrar una gran cantidad de semilias, observar cuantas

de elIas germinan, y luego realizar el cillculo mediante la formula anterior.

Num de semilIas germinadas en la prueba. P (germine) =

Nu.m. total de semilias sembradas para la prueba.

.................................................................................................

: La LEY DE LOS GRANDES NUMEROS aJU'lIla que si un experimento se continua repitiendo sin : ~ aJterar sus condiciones, la proporcion de aciertos se acercani a la probabilidad del evento. ; . ~ ........................................................................................... ~

- ~-- ---------- -- -

44 JesUs Diaz Diaz UNIDAD II Teoria de las IX"Obabilidades

EJEMPLO 2.5. Si un inspector de control de calidad en una empresa que produce tornilleria, observa que

una determinada maquina que ha venido trabajando correctamente, y que seg6n las estadisticas, en los ultimos tres meses ha producido 326,000 unidades diarias, de las cuales

en promedio, 765 han estado defectuosas (10 que se considera aceptable). l,Con esta informaci6n, que probabilidad de efectividad en el trabajo pudieramos establecer para dicha maquina?

*.- Por cada 326,000 unidades producidas arroja en promedio 765 piezas defectuosas, seg6n la realidad observada. Por tanto [326,000 - 765 1 = 325,235 piezas buenas diarias.

* Aqui la informaci6n surge de la observaci6n de pruebas repetidas. Entonces es un caso de probabilidad interpretada a traves de su frecuencia relativa.

Piezas buenas diarias 325,235 P ( piezas aceptables ) = 0.9976 de efectividad

Producci6n diana 326,000

EJEMPLO 2.6. Un mayorista recibe en sus bodegas un cami6n que Ie surtira 8000 cajas de lapices, cada una debe traer 50 lapices. El mayorista decide investigar si el contenido es el correcto y

para ello selecciona al azar 500 cajas de la carga, cuenta los lapices y resulta que 26 cajas no tienen los 50 lapices. l,Que probabilidad hay que si toma cualquier otra caja del cami6n, no tenga esta el contenido correcto?

* - Es el caso de pruebas repetidas. Se realizan 500 pruebas y se obtienen 26 resultados de acierto (Son aciertos poT que 10 que se buscaba era errores en el contenido).

26 resultados de acierto P ( menor contenido ) = 0.052 en la muestra y para cualguier

500 pruebas sucesivas otra caia en el cami6n.

JesUs Diaz Diaz UNlOAD II Teoria de las probabilidades 45

....................................................................... _ ..

. .

; *.- Lo anteri-or se llama muestrear. Y cuando la muestra es aleatoriamente bien ;. .

1 seleccionada y en una proporci6n de elementos adecuada al total de la poblaci6n, j 1 todos los resultados del amilisis de la muestra podemos generalizarlos a todo el 1

~ conjunto del emil fue tomada dicha muestra. ~ .....................................................................................................................................................................

2.5 EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD SUBJETIVA.

Es la estimacion personal de la probabilidad de ocurrencia de un evento. Esta medici6n se

basa en el poco 0 mucho conocimiento de las condiciones en que se desarrolla un

experimento, pero no es mas que una simple suposici6n de probabilidades basada en la

intuici6n personal.

Por ejemplo si en un partido America Vs Chivas, preguntamos a los aficionados sobre la probabilidad de ganar que asignan a los equipos contendientes, pudieramos escuchar una

gran cantidad de opiniones diferentes. Esto es por que las respuestas senin solo la intuici6n

personal de cada aficionado.

2.6 ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS.

EI espacio muestral (S) es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. Por ejemplo si de 10 peliculas que deseo ver, rento solo una, mi espacio muestral sera igual al numero de peliculas {l,2,3, .... ,1O} =10 opciones. Pero si rento tres, ahora el tamafio de mi espacio muestral sera IOC] = 120 opciones. Y si decido rentar 5 peliculas, ahora el espacio muestral constara lOC5 = 252 opciones, y el espacio muestral

sena la lista de los 252 posibles resultados.

A cada posible resultado tambien se Ie llama punto muestral de tal manera que el primer

ejemplo tiene 10 puntos muestrales (diez posibles resultados), el segundo tiene 120 puntos muestrales y el tercero tiene 252 puntos muestrales.

JesUs Diaz Diaz UNlDAD II Trona de las (I"Obabilidades 46

Un EVENTO, en estadistiea, es cualquier subconjunto del espacio muestral. Este subeonjunto puede incluir desde cero, una parte, 0 todos los elementos del espacio muestral. Por ejemplo en el problema anterior, si en las 10 pelieulas esta incluida, "Regreso al futuro ", si seleeeiono una pelicula al azar, "que probabilidad tengo, de que

resulte seleccionada dieha einta?

EI evento, sera el punto muestral ["Regreso al futuro" ]. Por tanto la probabilidad de aeierto de este evento sera :

Suma de puntos muestrales de aeierto 1 Probabilidad de "Regreso al futuro" = =0.1

Suma de puntos del espacio muestral 10

Otro evento seria, siguiendo el ejemplo anterior, el seleeeionar al azar de entre las 10, una pelieula. "Que probabilidad existe que la seleeeionada no sea "Regreso al futuro"?

Ahora el evento sera, todas aqueUos puntos muestrales que no son la pelieula "regreso al

futuro" y la probabilidad de exito de no seleecionarla sera:

Probabilidad de coalqnier pelicuJa Suma de puntos muestrales de acierto 9 excepto "regreso al futuro"

= = 0.9 Suma de puntos del espacio muestral 10

2.7 POSTULADOS DE LA PROBABILIDAD.

Volviendo al ejemplo anterior: De un conjunto de 10 pelieulas seleceionare al azar una de eUas "que probabilidad tengo de que la seleeeionada pertenezea al conjunto de las diez?

Por logiea debera pertenecer. EI evento sera eualquier punto muestral de las 10 eintas. Por tanto:

47 JesUs Diaz Diaz UNIDAD II TeOilade las p-obabilidades

10Suma de puntos muestrales de acierto Probabilidad de seleccionar cualquiera de las 10 peliculas = !

Suma de puntos del espaeio muestral 10

........................................ .................................. ~ .

Entonces: Cuando un evento definitivamente es seguro que sueeda., por que no haya :

opci6n de 10 eontrario, su probabilidad sera igual a 1, 0 bien 100%.:. Es decir, todo . espacio muestral "S" tiene probabilidad

.~~. ~~~~.~.~: ..1 r..CSJ;:.l..l POSTULADO I Por el eontrario, si la pregunta del problema anterior fuera: De entre un conjunto de 10 pelieulas seleeeionare al azar una de elias, mue probabilidad tengo de seleccionar una que

no pertenezea al grupo del eual fue extraido?

Por 16giea debera perteneeer al grupo del eual fue extraido. Y entonees:

Sumadepumosmuestralesdeacierto oProbabilidad de que no perteneua at gmpo donde foe extraido -= !!

Suma de pumos del espacio muestral 10

_.......................................................................... .

: Cuando un evento definitivamente no puede suceder, por que no haya opcion de 10 : .

.

: contrario, su probabilidad sera i".al a cero....................................................................................................

:

La probabilidad de acierto de un evento se denota con una letra mayuscula: P ( A ).

........................................................................

.

: La probabilidad de cualquier evento, jamas sera menor que cero y jamas sera : : mayor que uno. :

..................... l.!:::::===O=

48 JesUs Diaz Diaz UNlOAD II Teoriade las p-obabilidades

Total de puntos muestrales de no acierto de A Complemento de A

P ( AC ) fo que es igua/ Total de puntos del espacio muestral Total de puntos del espacio muestral

_........................................................................

~

.

: podemos concluir que: P (A) + P (A) = P (8). Y como P ( 8) = 1 entonces: .

~ P(AC )=l-P(A) y P(A)=l-P(AC ). .

~ ............................................................................................

_..................................................................................

La probabilidad de que suceda (A 0 B), es decir que suceda uno de los dos eventos cuando estos son mutuamente excluyentes: P (A U B) = P (A) + P(B)

Se anali.zari mas adelante en eI punto 2.9

~ : 11 POSTULADO 3 ~ .. ~ I'

2.8 PROBABILIDADES Y POSffiILIDADES.

Las posibilidades no es sino otra forma de escribir las probabilidades.

Como ya vimos, una probabilidad es:

Total de posibles resultados de acierto Total de puntos muestrales a favor P(A)= -------

Total de posibles resultados puntos muestrales de acierto + puntos muestrales de no acierto

La posibilidad de ( A ) es solamente tomar el denominador de la ecuaci6n anterior y enfrentar [los resultados a favor Vs los resultados en contra] de tal manera que se escribira:

.,).. Se lee "es a": ) PosibiJidad (A) = total de puntos muestrales a favor "total de puntos muestrales en contra.

49 JesUs Diaz Diaz UNIDAD II Teoriade las p-obabilidades

EJEMPLO 2.7. Si estimamos en 52% la probabilidad de que la Prepa 1 gane primer lugar en la disciplina de Quimica, en el proximo concurso de Ciencias Basicas que organiza anualmente el TEC. i,cuaI seria la posibilidad de triunfo?

52 52

P (Prepa 1 ) ; Separamos el denominador en resultados a favor y en contra =-100 ( La cantiOOd a favor es igual aI numerador) 52 +48

Entonees enfrentando los resultados a

favor con los resultados en contra Posibilidades. ( Prepa 1 ) = 52: 48 0 bien [52 a 48 J ohtenemos:

EJEMPL02.8

i, Cuilles son las posibilidades de aprobar cierto examen si las probabilidades estimadas son

.85? 85 85

P( A ) = 0.85 entonees Posibilidad de (A) = [85: 1510 bien [85 a 15 J 100 85 + 15

EJEMPLO 2.9.

Si el problema anterior estuviera planteado at reves: Cuales son las probabilidades de

aprobar cierto examen si las posibilidades estimadas son [85: 15 ]?

Sabemos que el primer OOto [ 85 ] son las opciones a favor y que el [15] senin las opciones en contra y que 1a suma de ambos deberan ser todos los posibles resultados. Es decir, el denominador de la ecnaci6n de probabiliOOd

Opciones a favor 85 85 P(A)=---- =0.85

A favor + en contra 85 + 15 100

50 JesUs Diaz Diaz UNIDAD II Teoriade las probabilidades

EJEMPLO 2.10. Si un analista financiero en una entrevista dijera que para el final del siguiente trimestre las posibilidades de que el dalar repunte contra el peso en mas de 50 centavos es [4: 2]. Que las posibilidades que cuando mucho repunte hasta 50 centavos es [1: 8 ], que la posibilidad de que se mantenga sin cambios es [ 1 : 10]. Y la posibilidad que repunte el peso es [ 1 : 23] ~Podemosconfiar en sus declaraciones?

Las cuatro opciones que presenta, son todas las que pueden suceder: [a) repunte el dalar mas de 50 centavos. b) repunte el dalar no mas de 50 centavos. c) se mantenga sin cambios. d) repunte el peso.] Por 10 anterior, la suma de las probabilidades debera ser igual a la probabilidad del espacio muestral, es decir igual a 1

a.- Repunte el d61ar mas de 50 centavo

POSffiILIDAD DE (A) = [4 : 2 ]; 4

P(A) = 4 + 2

4 -- =

6

0.66667

b.- Repunte el dolar no mas de 50 centavos.

POSffiILIDAD DE (B) = [ 1 : 8 ]; P(B) = 1

1+8

1

9

= 0.11110

c.- Que se mantenga sin cambios.

1 1 POSffiILIDAD DE (C) = [ 1 : 10]; P(C) = - = 0.09090

1+10 11

JesUs Diaz Diaz UNIDAD II Teoria de las ~abilidades 51

d.- Repunte el peso.

1 1 POSIBILIDAD DE (D) = [ 1 : 23 ], P(D) = = 0.04160

1 + 23 24

SUMA DE (a + b + c + d) = 0.91027:to P(S) 0 bien 0.91027 :to 1

La suma de las probabilidades de los incisos (a+b+c+d), supuesto que no hay mas opciones, deberia ser iguaI a la probabilidad del espacio muestraI P(S) =1, Yno 10 es.

Por tanto sus declaraciones no SOD cone:ruentes.

2.9 REGLA DE LA ADICION.

La regia de la adici6n se utiliza cuando deseamos conocer la probabilidad de que ocurra

alguno de dos 0 mas eventos, 0 bien varios a la vez, cuando se realiza un solo experimento

U observaci6n. P (A 6 B 6 C 6 ....)

El calculo se realiza seglin sean los eventos. Estos pueden ser mutuamente excluyentes, 0

no mutuamente excluyentes.

Los eventos son MUTUAMENTE EXCLUYENTES si no tienen elementos en comun 0

si no pueden ocurrir a1 mismo

tiempo.

En estos casos 1a probabilidad se calcula:

Fig. 2.6. Mutuamente excluyentes Poede suceder A 0 pnede snuder B. pero no ambos &1& vez.

P(A 6 B) = P(A) + P(B). 6 10 que es 10 rnismo P(A U B) = P(A) + P(B).

JesUs Diaz Diaz UNlDAD II Teena de las pubabilidade:s 52

Cuando los eventos presentan elementos comunes entre si y pueden ocurrir al mlsmo

tiempo se dice que son NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES.

Y en estos casos se calcula con:

P(A 6 B) = P(A) + P(B) - P(AnB) o bien: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AnB)

Fig. 2.7

(A 6 B, no se excluyen. Puede suceder A

opuede suceder B, pero tambien pueden suceder a la vez en A y B en AnB.)

...................................................... .............................................

~

.

: En el caso excluyentes consideramos la probabilidad de que suceda (A) 0 que : : suceda (B), estos se excluyen, puesto que no tienen elementos en comllO no pueden :

~ suceder a la vez. ~

I* ::e:e:::),D:u::::::S(B;i:::~:S:::: ::b:~;;; ::~::rm~~ I resta una vez (AnB) para no duplicar el dato ya que al calcular (A), inc1uimos los . ~ elementos de su intersecci6n con (B). Y al calcular (B) volvemos a incluir los ~ .

: elementos de la intersecci6n : :...........................................................................................................................................................................: .

~ TIP. Podemos distinguir mcilmente que debemos aplicar la regla de la adici6n . ~ .: cuando hagamos una sola observaci6n 0 ensayo y tengamos varias opciones de acierto. : .

: Ademas al plantear P (A 6 B), la (6) indica c1aramente (SUMAR); P(A) + P(B) : ................................................................................................. :.

EJEMPLO 2.11.

Si selecciono al azar, una carta de un mazo de 52 cartas "Que probabilidad tengo de haber tornado un As (A) 6 un Rey (K).

.----------------,

Es un solo ensayo ( solo una carta extraere), y gano con mas de un posible resuhado, (cualquier As 0 Rey). Lo anterior me indica que debo aplicar la regia de la adicion

* Puesto que no pueden suceder a la vez un As y un Rey en una sola carta, es clara la indicaci6n que debera ser para eventos excluyentes

53 JesUs Diaz Diaz UNIDAD II Toona de las probabilidades

4 4 8

P(A6K) = P(A+P (K) = - + = 52 52 52

2 Simplemente la [ 6 ] intermedia en = P(A6K) me indica adici6Jt Tambien

13 puede plantearse P (AuK) = P(A) + P(K)

A., 2., 3. , 4. , 5., 6. , 7. , 8., 9., 10. , J ., Q., K. I A., 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9., 10., J. , Q., K. A ... , 2... , 3 "', 4 ... , 5... , 6 ... , 7... , 8... , 9... , 10... , J... , Q... , K... A., 2., 3., 4., 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , J. , Q., K.

TABLA 2.1

Espacio muestral de una baraja de 52 cartas. [son: 4 de cada nfunero; 13 de cada figura; J,Q,K son monos

EJEMPLO 2.12.

Si selecciono al azar una carta de un mazo de 52 cartas l.que probabilidad tengo de haber

tornado un As 0 un coraz6n rojo?

* Es un solo ensayo ( solo una carta extraere), y gano con mas de un posible resultado, (cualquier As 0 .). Lo anterior me indica que debo aplicar la regia de la adicion

Puesto que sf pueden suceder a la vez un As y un en una sola carta [Ia carta A.] (fig. 2.8), es clara la indicaci6n que debera ser para eveotos 0.0 excluyeotes, ya que pueden suceder a la vez, no se excluyen.

4 13 1 16 4 P(Ao .) =P(A)+P(.)-P(A.)= -- + =

II EI resultado 4/13 realmente debe interpretarse como:

P(A,o.,6 ambos)

52 52 52 52 13

Cuando contamos los Ases, contamos 4, inclusive el A., y enseguida al contar los. contamos 13, es decir, volvemos a contar el A.. Por tanto debernos restar una vez el A.. Esto sucede siempre que existe interseccion entre los eventos. Empleamos la formula para eveotos 00 excluyeot-es ya que no se excluyen, pueden suceder a la vez como en este caso que puede salir la carta A., donde se cumple que salga un As y a la vez, se cumple que tambien salga un .

54 JesUs Diaz Diaz UNlDAD II Teona de las II"Obahilidades

EJEMPLO 2.13. Si selecciono al azar una carta de un mazo de 52 cartas que probabilidad tengo de haber tornado un "" 6 un.?

* Es solo un ensayo (tomar una carta) y espero cualquiera de dos posibles eventos ["" 6 un .]. Lo anterior indica que debo aplicar la regia de la adicion.

* No puede suceder a la vez "" y. Lo cwil implica para eventos excluyentes.

13 13 26 1

P("" 6 .) = P("" ) + P( ) = -- + 52 52 52 2

Recordemos que simplemente la 0 intermedia, P("" 0.). nos indica que debemos sumar

EJEMPLO 2.14.

Selecciono al azar 125 alumnos a la entrada del Tee, encontrando que 53 de ellos lIevan

Matematicas, 68 lIevan Programaci6n y ninguno de los entrevistados lIevan ambas

materias. Si selecciono de entre esos 125 alumnos, uno at azar, l.CuaI es la probabilidad

que lIeve:

a) l.Matematicas?, b) l.Programaci6n?, c) l.Matematicas 6 Programaci6n? d) l.ninguna de elias?

Opciones a favor 53

a.- P(M)= --- 0.424 Total de posibles resultados 125

Opciones a favor

Ni Mate. ni Pro!mIIIUICi6n. 4 b.- PcP) = 0.544 figura 2.8 Total de posibles resultados 125

53 68

55 JesUs Diaz Diaz UNIDAD 11 Teoria de las probabi.lid.ades

Para el inciso c, acierto si selecciono un alwnno que este cursando Matematicas 0 Programaci6n, (M 6 P). La ( 6 ) intermedia me indica que debo sumar P(M) + P(P) Ycomo ninguno de los 125 alumnos cursa a la vez matematicas y programaci6n, no existe intersecci6n por 10 que debo aplicar la regIa de la adici6n para eventos excluyentes

53 68 121 c. - P( M 6 P) = P(M) + P (P) = - + ---=0.968

125 125 125

Opciones a favor 4 d.- P (Ninguna de ellas) = = 0.032

Total de posibles resultados 125

EJEMPLO 2.15

Seleccionamos al azar 100 alumnos a la entrada del Tec. y encontramos que 53 de ellos Bevan Matematicas , 68 lIevan Programaci6n y que 25 de los 100 lIevan ambas materias. Si

de entre esos 100 alumnos seleccionamos uno al azar ~cual es la probabilidad de que al menos lIeve una de esas dos materias?

Cuando se pide "al menos una de esas materias" implica que puede ser Matenuiticas 0 Programaci6n, pero pueden ser tambien ambas materias, es decir:

P(solo matematicas)+P( sol

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Libro de Probabilidad y estadística