Libro Estructura I Parte

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI ESTRUCTURAS

ESTRUCTURA

Desarrollo

1.- Espesor de la Losa

Consideraciones:

a) Ocupaciones

b) Luces

𝑳𝒐 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟔 𝑳 𝟏 −𝟐𝒄

𝟑𝑳

𝑾′

𝒇′𝒄𝟏𝟒𝟎𝟎

+ 𝒒 𝐴. 𝐶. 𝐼.

donde:

t = espesor de losa (cm)

L = luz centro a centro entre apoyos (>) (m)

c = ancho de un apoyo (m) (0.40 ; 0.50)

w’ = Cm + Cv ( 1tn/m2) = (1000 kg/m2) ( bodega = 1300 kg/m2)

fć = resistencia cilíndrica del hormigón 210 kg/cm2

Espesor tentativa recomendadas en losas planas

Luces hasta Espesor Observaciones

3.00 m

4.00 m

5.50 m

7.00 m

8.00 m

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35 – 0.40

Losas inaccesibles de garajes o similares de un piso.

Depende de la carga

N pisos Espesor min. Observaciones

Hasta 5

8

12

18

20

25

30

35

Por efecto de luces de acuerdo al cuadro anterior, los espesores de losa plana aumentan.

Código

Cv = 250 kg/cm2

600 kg/cm2 peso de carga de losa 0.40

850 kg/cm2


W’ = 1000 k/cm2

L = 7.70 m

C = 0.50 m

á𝒓𝒆𝒂 = 7 5.8 + 7.70

2 = 47.25 𝑚2

P = 5 x 47.25 x 1.00 = 236.25 Tn.

𝑷 = 𝑨𝒈.𝑮 ∴ 𝑨𝒈 = 𝑷

𝑮 =

236.25 x 103

50= 4720 𝑐𝑚2 = 4720𝑐𝑚2

l = 68.7 ≈ 70 cm.

se asume G = (40 – 60) k/cm3 G = [21(210) + 34 (0.01)(2800)] = 53.62 K/cm2

C = 0.70 m ; f’c = 210 kg/cm2

𝒕 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟔 𝑳 𝟏 −𝟐𝑪

𝟑𝑳

𝑾′

𝒇′𝒄𝟏𝟒𝟎

+ 𝟗𝒄𝒎

𝒕 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟔 𝒙 𝟕. 𝟖𝟎 𝟏 −𝟐(𝟎. 𝟕𝟎)

𝟑(𝟕. 𝟕𝟎)

𝟏𝟎𝟎𝟎

𝟐𝟏𝟎𝟏𝟒𝟎

+ 𝟗𝒄𝒎 = 𝟐𝟗 𝒄𝒎.

t = 35 cm, asumimos este peralte para no rediseñar de nuevo.

7,00 7,00

7,50

5,80

7,00

7,00


2. - LOSAS PLANAS

ancho 2.1.- Vigas bandas 2t – 3t

2.2.- Aliviamiento 20 x 40 x 30

2.3.- Nervios de 0.10 y separación entre nervios 0.40

2.4.- 5 losas

1 Inaccesible.

2.5.- El edificio servirá para uso de oficinas.

3.- El edificio será de hormigón armado

Datos.-

f'c = 210 kg/cm2 * resistencia de N será a los 28 días.

fy = 2800 kg/cm2

4.- La estructura tendrá como elementos horizontales losas planas; como elementos

verticales columnas y diafragma.

5.- Las normas de diseño y cálculo son tomadas del Código Ecuatoriano de la

construcción.

CAPÍTULO II

Determinación de cargas.

1.- Carga muerta

Peso de la losa (35 cm) A/m2

Volumen de bloques = 4(40 x 40 x 30) = 0.19 m3

Volumen de hormigón = (1 x 1 x 0.35) – 0.19 = 0.16 m3

Peso de bloques = 0.19 m3 x 0.9 tn/m3 = 0.17 tn.

Peso de losa por macizado = 1.15 ( 0.55) = 0.63 tn/m2

0.10 0.40

0.10

0.40

0.10


Comprobación = 1.12 – 1.18

W losa = 1.15 [ 1.400 ( t - 0.05) +110 ]

= 1.15 [ 1.400 ( 0.35 - 0.05) +110 ] = 609 kg/m2

= 621 kg/m2

Losas entre piso

Carga muerta

Peso de losa = = 630 kg/m2

Enlucido = 0.02(1800 kg/m3) = 36 kg/m2

Baldosa = 0.05 (2.000) = 100 kg/m2

Pared = = 200 kg/m2

Total Carga = = 966 kg/m2

Cm = 966 kg/m2

Cv = 250 kg/m2 * según INEN código

Ct = 1216 kg/m2 * peso de carga vertical

* en carga sísmica total el código recomienda

Ct = sísmica = Cm + 0.25 Cv

= 966 + 0.25 ( 250) = 1028 kg/m2

Ct (v) = 1220 kg/m2

Ct sísmica = 1030 kg/m2

Losa de cubierta

Carga muerta = 630 kg/m2

Peso de losa = 630 kg/m2

Peso de impermeabilización y caída de agua = 100 kg/m2

Cm = 766 kg/m2

Cv = 100 kg/m2

Ct (v) = 866 kg/m2

Carga total sísmica = Cm + 0.25 Cv

= 766 + 0.25 (100) = 791 kg/m2

Carga total vertical = 870 kg/m2

Carga total sísmica = 790 kg/m2


CAPÍTULO III

Prediseño de columnas

1.- Columnas interiores se la diseña a carga vertical (compresión).

2.- Columnas exteriores.

2.1. Esquineras (flexocompresión)

2.2. Laterales.

Prediseño 𝑷 = 𝑨𝒈 𝟎. 𝟐𝟏𝒇´𝒄 + 𝟎. 𝟑𝟒. 𝝆. 𝒇𝒚 𝒆𝒍á𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝝆 = 𝟎. 𝟎𝟏

Compresión 𝑷 = 𝑨𝒈 𝟎. 𝟐𝟏𝐱𝟐𝟏𝟎 + 𝟎. 𝟑𝟒𝐱𝟎.𝟎𝟏𝐱𝟐𝟖𝟎𝟎 = 𝟓𝟑. 𝟔𝟐 𝑨𝒈

𝑨𝒈 =𝑷

𝟓𝟑. 𝟔𝟐 ∗ 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑦 𝑠𝑖𝑠𝑚𝑖𝑐𝑎

𝑨𝒈 =𝟏. 𝟑 𝑷

𝟓𝟑. 𝟔𝟐=

𝑷 𝒌𝒈

𝟒𝟏. 𝟑=

𝑷 𝑻𝒏

𝟎. 𝟎𝟒𝟏. 𝟑𝑻𝒏/𝒎𝟐= 𝒄𝒎

CUADRO DE TIPO DE COLUMNAS

columna Área contribuyente tipo forma

Esq

uin

eras

1 A

1 D

4 A

4 A

28.86

14.43

13.78

6.36

I

II

II

III

C

R

R

C

Lat

eral

es

1 B

1 C

4 B

4 C

2 A

3 A

2 D

3 A

38.8

32.75

18.55

15.64

35.10

28.86

16.20

13.32

IV

IV

V

V

IV

VI

V

VII

R

R

R

R

R

R

R

R

Inte

rio

res

2 B

3 B

3 C

47.25

38.85

32.75

VIII

IX

IX

C

C

C


CUADRO DE PREDISEÑO DE COLUMNAS

Tipo I (1-A) A = 28.86

# de pisos Carga Vertical

Carga Acumulada

Ag (cm2) Dimensión (cm x cm)

Observaciones

5

4

3

2

1

0.87

1.22

1.22

1.22

1.22

25.11

60.32

95.53

130.74

165.95

607.95

1460.00

2313.00

3165.00

4018.00

30x30

40x40

50x50

60x60

65x65

Chequeo a Flexión

Tipo II (1-D) A = 14.43

12.55

30.16

47.76

65.87

82.97

304

760

1156

1582.70

2009

30x30

30x30

30x40

35x45

40x50

Chequeo a Flexión

𝑨𝒈 =𝑷

𝟎. 𝟎𝟒𝟏𝟑=

𝑻𝒎

𝑻/𝒄𝒎𝟐 (𝑹𝒆𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒉𝒐𝒓𝒎𝒊𝒈ó𝒏)

Tipo I

P5 = 0.87 (28.86) = 25.11 Tn

𝑨𝒈 =𝟐𝟓. 𝟏𝟏

𝟎. 𝟎𝟒𝟏𝟑= 𝟔𝟎𝟕. 𝟗𝟓 𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏 = 𝟐𝟗. 𝟐𝟔 = 𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎

Tipo III (4-D) A = 6.36

# Piso Carga Vertical t/m2

Carga Acumulada

(Tn)

Ag (cm2) Dimensión (cm x cm)

Observaciones

5

4

3

2

1

0.87

1.22

1.22

1.22

1.22

5.53

13.29

21.05

28.81

36.57

134

321.70

509.70

696.60

885.40

30x30

30x30

30x30

30x30

30x30

Chequeo a Flexión


Tipo IV (1-B) A = 38.80

33.76

81.09

128.43

175.76

223.10

817.30

1963.40

3109.60

4255.70

5401.90

30x40

40x50

50x60

60x70

70x80

Chequeo a Flexión

Tipo V (4-B) A = 18.55

16.14

38.77

61.40

84.03

106.66

890

938.70

1486.70

2034.70

2582.60

30x30

30x30

35x40

40x50

45x55

Chequeo a Flexión

Tipo VI (3-A) A = 28.86

25.11

60.32

95.53

130.74

165.95

607.95

1460.47

2312.90

3165.50

4018

30x30

35x40

45x50

55x60

60x70

Chequeo a Flexión

Tipo VII (3-A) A = 13.32

11.59

27.88

44.09

60.34

280.59

674.06

1067.54

1461.01

30x30

30x35

35x40

40x45

Chequeo a Flexión

Tipo VIII A = 47.25

44.11

98.75

156.40

214.04

271.69

995.34

2391.10

3786.86

5182.63

6578.39

30x30

45x60

55x60

70x70

80x80

Chequeo a Flexión


2 t

0.20

t

2t - 3t

t

0.20 - 0.30

Tipo IX A = 38.85

33.80

81.20

128.59

175.99

223.39

818.39

1966

3113.64

4261.27

5408.90

30x30

40x40

55x55

65x65

75x75

Chequeo a Flexión

CHEQUEO A FLEXIÓN

COLUMNA (1-A): quinto piso, sentido y

* adopción de banda en ó volado

* adopción de banda en interior

𝑲 =𝑱

𝑳=

𝒅𝒎𝟒

𝒎

𝑱𝒄 =𝒃𝒉𝟑

𝟏𝟐=

𝟑 𝟑 𝟑

𝟏𝟐= 𝟔. 𝟕𝟓 𝒅𝒎𝟒

𝑱𝒚 =𝒃𝒉𝟑

𝟏𝟐=

𝟐𝟒. 𝟓 𝟑. 𝟓 𝟑

𝟏𝟐= 𝟖𝟕. 𝟓𝟒 𝒅𝒎𝟒

𝑲𝒄 =𝟔. 𝟕𝟓

𝟐. 𝟐𝟓= 𝟑

𝑲𝒗 =𝟖𝟕. 𝟓𝟒

𝟕. 𝟕𝟎= 𝟏𝟏. 𝟑𝟕

7/4 +2(0.35)= 2.45

t = 0.35

L/4 +2t

t

2.252.60 30/30

245x35

1.7 7.70

2t - 3t

2.5 t

P = L + L²/2

P = (L + L'/2)w W = tn/m²


PROCESO PARA TOMAR AREA DE APORTACIÓN Y P CONTRIBUYENTE

Volado (1.A)

𝐴 = 𝐿1

2+ 𝐿4

𝐿5

2+ 𝐿3

𝐴 = 4

2+ 1.5

4.5

2+ 1.7

P = A x W

Centro (2.B)

𝐴 = 𝐿1 + 𝐿2

2

𝐿5 + 𝐿4

2

𝐴 = 4 + 5

2

1.5 + 5

2

A, P = A x W Carga para flexión (1.A) sentido x

Extremo (3.C)

𝐴 = 𝐿2

2

𝐿6

2 𝑃 =

𝐿5

2+ 𝐿3 𝑊

𝐴 = 5

2

5

2 𝑃 =

4.5

2+ 1.7 8.7

* para carga libre (rigides) CV * para carga sísmica (rigidez) CS, diseño

(Luz libre) (Luz entre ejes)

CONTINUACIÓN DEL EJERCICIO:

CARGA P

𝑷 = 𝟕

𝟐+ 𝟏. 𝟕 𝟖. 𝟕 = 𝟒. 𝟓𝟐 𝒕/𝒎

𝑴𝒆 =𝑷𝒍𝟐

𝟏𝟐=

𝟒. 𝟓𝟐(𝟕.𝟕)𝟐

𝟏𝟐= 𝟐𝟐. 𝟑𝟑 𝒕. 𝒎

𝑴𝒗 =𝑷𝒍𝟐

𝟐=

𝟒. 𝟓𝟐(𝟏. 𝟕)𝟐

𝟐= 𝟔. 𝟓𝟑 𝒕. 𝒎

1.70

4.50

5.0

1.50 4.00 5.00

A B C

1

2

3

L3

L4L1 L2

L5

L6

W =0.87

1.5 4.0

𝜃 =𝑚

Σ𝐾=

𝑑𝑒𝑠𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙

m = 22.33 – 6.53

m = 15.8


𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′

𝑴 𝒗 = 𝟐𝟐. 𝟑𝟑 + 𝟏𝟏. 𝟑𝟕 𝟏. 𝟏𝟎 = 𝟗. 𝟖𝟐 𝒕𝒎

𝑴𝒗′ = −𝟐𝟐.𝟑𝟑 +𝟏𝟏. 𝟑𝟕

𝟐 𝟏. 𝟏𝟎 = −𝟏𝟔.𝟏𝟎 𝒕𝒎

𝑴𝒄 = 𝟎 + 𝟑 −𝟏.𝟏𝟎 = −𝟑. 𝟑 𝒕𝒎

𝑴𝒄′ = 𝟎 +𝟑

𝟐 𝟏. 𝟏𝟎 = 𝟏. 𝟔𝟓 𝒕𝒎

* con los datos de Mc = 3.3

Diseñamos

Pc = 22.33

Comprobamos: el abaco R3 40.75

Se aceptan las dimensiones cuando si:

𝜌 ≤ 4% 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜

𝜌 ≥ 4% 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛

𝜌 ≤ 1% 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒

* ver abaco de última resistencia ( Ing. José Chacón Ing. Diego Andrade Jativa)


CHEQUEO:

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟐𝟐.𝟑𝟑

𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎= 𝟎. 𝟎𝟒𝟐 𝒕/𝒄𝒎𝟐

= 0.042 x 14.22 lbs/pls2

= 0.60 ksi

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝐱𝟑. 𝟑𝟑𝐱𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎= 𝟎. 𝟎𝟐𝟏 𝒕/𝒄𝒎𝟐

= 0.021 x 14.22 = 0.30 lbs/pls2

con:

f’c = 210 kg/cm2

fy = 2300 kg/cm2

según abaco R3, 40, 75

𝝆 ≤ 𝟏. 𝟐 %

CHEQUEO A FLEXION

Columna 1-A (Tipo I) sentido y

𝑲𝒄𝒊 =𝑰

𝑳 𝑰 =

𝒃𝒉𝟑

𝟏𝟐=

𝟒(𝟒)𝟑

𝟏𝟐= 𝟐𝟏. 𝟑𝟑 𝒅𝒎𝟒

𝑲𝒄𝒊 =𝟐𝟏. 𝟑𝟑

𝟐. 𝟐𝟓= 𝟗. 𝟒𝟖

Ps = 25.11 tn Pi = 60.32 tn

𝑷 = 𝟕

𝟐+ 𝟏. 𝟕 𝟏. 𝟐𝟐 = 𝟔. 𝟑𝟒 𝒕/𝒎


𝟏𝟐=

𝟔. 𝟑𝟒(𝟕.𝟕)𝟐

𝟏𝟐= 𝟑𝟏. 𝟑𝟐 𝒕. 𝒎


𝟐=

𝟔. 𝟑𝟒(𝟏. 𝟕)𝟐

𝟐= 𝟗. 𝟏𝟔 𝒕. 𝒎

𝜽 =𝒎

𝑲

m = 32.32 – 9.16 = 22.16


Mv = 31.32 + 11.37(-0.93) + 0 = 20.75 tm

Mv’ = -31.32 + 11.37(0.93) + 0 = -20.75 tm

Mcs = 0 +3(-0.93) + 0 = - 2.79 tm

Mci = 0 +9.48(-0.93) = - 8.816 tm

según abaco R3 0,75 (superior)

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟐𝟓.𝟏𝟏

𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟔𝟕 𝒕/𝒄𝒎𝟐

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏.𝟕𝐱𝟐.𝟕𝟗𝐱𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎= 𝟎. 𝟎𝟏𝟖 𝒙 𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟓

𝒕

𝒄𝒎𝟐

(𝒊𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓)

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟔𝟎.𝟑𝟐

𝟒𝟎𝒙𝟒𝟎= 𝟎. 𝟎𝟔𝟒 𝒙 𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟏 𝒕/𝒄𝒎𝟐

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝐱𝟖. 𝟖𝟐𝐱𝟏𝟎𝟎

𝟒𝟎𝐱𝟒𝟎𝐱𝟒𝟎= 𝟎. 𝟎𝟐𝟑 𝒙 𝟏𝟒.𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟑 𝒕/𝒄𝒎𝟐

𝑰𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝝆 < 1.2%

𝑺𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝝆 < 1%

CHEQUEO A FLEXIÓN

Tipo II (I – D) 5to piso; sentido x

sección de banda t = 0.35

𝒃 = 𝟕. 𝟕

𝟒+ 𝟐𝒕 = 𝟐. 𝟔𝟎 𝒎

𝑷 = 𝟕.𝟕

𝟐+ 𝟏. 𝟕𝟎 𝟎. 𝟖𝟕 = 𝟒. 𝟖𝟑 𝒕/𝒎

𝑲𝒄 =𝒃𝒉𝟑

𝟏𝟐𝑳=

𝟑 𝟑 𝟑

𝟏𝟐 𝟐. 𝟐𝟓 = 𝟑

𝑲𝒗 =𝒃𝒉𝟑

𝟏𝟐𝑳=

𝟐𝟔. 𝟐 𝟑. 𝟓 𝟑

𝟏𝟐 𝟒. 𝟖 = 𝟏𝟗. 𝟓



𝟏𝟐=

𝟒. 𝟖𝟑(𝟒.𝟖)𝟐

𝟏𝟐= 𝟗. 𝟐𝟕 𝒕. 𝒎

* Comprobación en abaco P= 12.55 tn


𝑴 𝒗 = 𝟗. 𝟐𝟕 + 𝟏𝟗. 𝟓 −𝟎. 𝟒𝟏 = 𝟏. 𝟐𝟖 𝒕𝒎

𝑴𝒄 = 𝟎 + 𝟑 −𝟎.𝟒𝟏 = −𝟏. 𝟐𝟑 𝒕𝒎

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟏𝟐.𝟓𝟓

𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎= 𝟎. 𝟎𝟐𝟒 𝒙 𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟒 𝒕/𝒄𝒎𝟐

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝐱𝟏. 𝟐𝟑𝐱𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎= 𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟕 𝒙 𝟏𝟒.𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟏 𝒕/𝒄𝒎𝟐

𝝆 < 1%

CHEQUEO A FLEXIÓN

Tipo II (I – D) 4to piso; sentido x


𝟏𝟐=

𝟔. 𝟕𝟕(𝟒. 𝟖)𝟐

𝟏𝟐= 𝟏𝟐. 𝟗𝟗𝟖 𝒕. 𝒎

𝑴𝒗 = 𝟑. 𝟎𝟓𝟑 𝒕. 𝒎

𝑴𝒄𝒔 = 𝟑 𝟎. 𝟓𝟏 = −𝟏. 𝟓𝟑 𝒕. 𝒎

𝑴𝒄𝒊 = 𝟑 −𝟎. 𝟓𝟏 = −𝟏. 𝟓𝟑 𝒕. 𝒎


Cs

M = -1.53 P = 12.55 Pi = 30.16

Superior

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏.𝟕𝐱𝟏.𝟓𝟑𝐱𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎= 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟔 𝒙 𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟒

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟏𝟐.𝟑𝟓

𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟒

𝝆 < 1%

Inferior

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝐱𝟏. 𝟓𝟑𝐱𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎= 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟔 𝒙 𝟏𝟒.𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟒

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟑𝟎.𝟏𝟔

𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟖𝟏

𝝆 < 1%

CHEQUEO A FLEXIÓN

Tipo III (4-D) 5to piso x (sentido) P = 5.53 tn

𝒃 =𝟓. 𝟑𝟎

𝟒= 𝟏. 𝟑𝟑

𝑷 = 𝟓. 𝟑𝟎

𝟐 𝟎. 𝟖𝟕 = 𝟐. 𝟑𝟏

𝒃 =𝟑𝟒

𝟏𝟐(𝟐𝟐𝟓)= 𝟑. 𝟎

𝑲𝒗 = 𝟏𝟑. 𝟑 (𝟑. 𝟓)𝟑

𝟏𝟐(𝟒. 𝟖)= 𝟗. 𝟗𝟎


𝟏𝟐=

𝟐. 𝟑𝟏(𝟒. 𝟖)𝟐

𝟏𝟐= 𝟒. 𝟒𝟒 𝒕. 𝒎


𝑴𝒗 = 𝟒. 𝟒𝟒 + 𝟗. 𝟗𝟎 −𝟎.𝟑𝟒𝟒 = 𝟏. 𝟎𝟑 𝒕𝒎

𝑴𝒄 = 𝟎 + 𝟑 −𝟎.𝟑𝟒𝟒 = −𝟏. 𝟎𝟑 𝒕𝒎


𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝐱𝟏. 𝟓𝟑𝐱𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎= 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟔 𝒙 𝟏𝟒.𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟒

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟑𝟎.𝟏𝟔

𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟖𝟏

𝝆 < 1%

CHEQUEO A FLEXIÓN

Tipo III (4-D) sentido x ; 4to piso

P5 = 5.53 tn Pi = 13.29 tn

𝑷 = 𝟓. 𝟑

𝟐 𝟏. 𝟐𝟐 = 𝟑. 𝟐𝟑

𝑴𝒗 =𝑾𝑳𝟐

𝟏𝟐=

𝟑. 𝟐𝟑 𝟒. 𝟖 𝟐

𝟏𝟐= 𝟔. 𝟐𝟎

𝑴𝒇 = 𝑴𝒆 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′

𝑴𝒗 = 𝟔. 𝟐𝟎 + 𝟗. 𝟗𝟎 −𝟎.𝟑𝟗 = 𝟐. 𝟑𝟒

𝑴𝒄𝒊 = 𝟎 + 𝟑 −𝟎. 𝟑𝟗 = −𝟏. 𝟏𝟕

𝑴𝒄𝒔 = 𝜽 + 𝟑 −𝟎. 𝟑𝟗 = −𝟏. 𝟏𝟕


Superior

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟏𝟕𝐱𝟏. 𝟕𝐱𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟏

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟓. 𝟓𝟑𝒙𝟏.𝟕

𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟓

𝝆 < 1%

Inferior

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝐱𝟏. 𝟏𝟕𝐱𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟏

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟏𝟑.𝟐𝟗

𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟔

𝝆 < 1%

CHEQUEO A FLEXIÓN

Tipo IV (1-B) sentido y ; 5to piso

P = 33.76 tn

𝒃 = 𝟕 + 𝟕

𝟒 = 𝟑. 𝟓

𝑷 = 𝟕 + 𝟕

𝟐 𝟎. 𝟖𝟕 = 𝟔. 𝟎𝟗

𝑲𝒗 = 𝟑𝟓 (𝟑. 𝟓)𝟑

𝟏𝟐(𝟕. 𝟕𝟎)= 𝟏𝟔. 𝟐𝟒

𝑲𝒄 = 𝟑𝟎 (𝟑. 𝟎)𝟑

𝟏𝟐(𝟐. 𝟐𝟓)= 𝟕. 𝟕𝟏

𝑴 =𝑷𝑳𝟐

𝟏𝟐=

𝟔. 𝟎𝟗 𝟕. 𝟕 𝟐

𝟏𝟐= 𝟑𝟎

𝑴𝒗 =𝑷𝑳𝟐

𝟐=

𝟔. 𝟎𝟗 𝟏. 𝟕 𝟐

𝟐= 𝟖. 𝟖


𝑴𝒇 = 𝑭𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + ∆𝒃

𝑴𝒗𝒊 = 𝟑𝟎 + 𝟏𝟔. 𝟐𝟒 𝟎.𝟗𝟏 + 𝟎 = 𝟏𝟓. 𝟐𝟐

𝑴𝒄 = 𝟎 + 𝟕. 𝟏𝟏 −𝟎. 𝟗𝟏 = −𝟔. 𝟒𝟕

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟑𝟑.𝟕𝟔

𝟑𝟎𝒙𝟒𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟔𝟖

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝒙𝟔. 𝟒𝟕𝒙𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟒𝟎𝐱𝟒𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟑

𝝆 = 𝟏. 𝟕𝟓𝟎% < 4 % ; 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠ó𝑛

Inferior

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝐱𝟏. 𝟏𝟕𝐱𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟏

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟏𝟑.𝟐𝟗

𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟔

CHEQUEO A FLEXIÓN


P = 81.09 tn

𝑷 = 𝟕 + 𝟕

𝟐 𝟏. 𝟐𝟐 = 𝟖. 𝟓𝟒

𝑲𝒄𝒊 = 𝟒𝟎 (𝟓.𝟎)𝟑

𝟏𝟐(𝟐. 𝟐𝟓)= 𝟏𝟖. 𝟓𝟐

𝑴 =𝑷𝑳𝟐

𝟏𝟐=

𝟖. 𝟓𝟒 𝟕. 𝟕 𝟐

𝟏𝟐= 𝟒𝟐. 𝟏𝟗


𝟐=

𝟖. 𝟓𝟒 𝟏. 𝟕 𝟐

𝟐= 𝟏𝟐. 𝟑𝟒

𝑴 = 𝑴𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + ∆𝒃

𝑴𝒗 = 𝟒𝟐. 𝟏𝟗 + 𝟏𝟔. 𝟐𝟒 −𝟎. 𝟕𝟏 = 𝟑𝟎. 𝟔𝟔


𝑴𝒄𝒊 = 𝟎 + 𝟕𝟖. 𝟓𝟐 −𝟎. 𝟕𝟏 = −𝟏𝟑. 𝟏𝟓

𝑴𝒄𝒔 = 𝟎 + 𝟕. 𝟏𝟏 −𝟎. 𝟕𝟏 = −𝟓. 𝟎𝟓

P5 = 33.76 tn Pi = 81.09 tn

Superior

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟑𝟑.𝟕𝟔

𝟑𝟎𝒙𝟒𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟔𝟖

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝒙(𝟓. 𝟎𝟓)𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟒𝟎𝐱𝟒𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟖

𝝆 = 𝟏. 𝟎𝟐% < 4 %

Inferior

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟖𝟏.𝟎𝟗

𝟒𝟎𝒙𝟓𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟖

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝐱𝟏𝟑. 𝟏𝟓𝐱𝟏𝟎𝟎

𝟒𝟎𝐱𝟓𝟎𝐱𝟓𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟐

𝝆 = 𝟏. 𝟔𝟐% < 4 %

CHEQUEO A FLEXIÓN

Tipo V (4-B) sentido y ; 5to piso

P = 16.14 tn/m

𝒃𝒂𝒏𝒅𝒂 𝑷 = 𝟕 + 𝟕

𝟐 = 𝟑. 𝟓

𝑷 = 𝟏𝟒

𝟐 𝟎. 𝟖𝟕 = 𝟔. 𝟎𝟗 𝒕𝒏/𝒎

𝑲𝒗 = 𝟑. 𝟓 (𝟑. 𝟓)𝟑

𝟏𝟐(𝟓. 𝟑𝟎)= 𝟐𝟑. 𝟓𝟗

𝑲𝒄 = 𝟑. 𝟎 (𝟑.𝟎)𝟑

𝟏𝟐(𝟐. 𝟐𝟓)= 𝟑. 𝟎


𝑴𝒆 =𝑷𝑳𝟐

𝟏𝟐=

𝟔.𝟎𝟗 𝟓.𝟑 𝟐

𝟏𝟐= 𝟏𝟒. 𝟐𝟔

𝑴𝒇 = 𝑴𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + ∆𝒃

𝑴𝒗 = 𝟏𝟒. 𝟐𝟔 + 𝟐𝟑. 𝟓𝟗 𝟎. 𝟓𝟒 = −𝟏. 𝟓𝟐

𝑴𝒄 = 𝟎 + 𝟑 𝟎. 𝟓𝟒 = 𝟏. 𝟔𝟐

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟏𝟔.𝟏𝟒

𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟒𝟑

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝒙(𝟏. 𝟔𝟐)𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟓

𝝆 < 1 %

CHEQUEO A FLEXIÓN


P5 = 16.14 tn Pi = 38.77 tn

𝑷 = 𝟏𝟒

𝟐 𝟏. 𝟐𝟐 = 𝟖. 𝟓𝟒

𝑴𝒆 =𝑷𝑳𝟐

𝟏𝟐=

𝟖. 𝟓𝟒 𝟓. 𝟑 𝟐

𝟏𝟐= 𝟏𝟗. 𝟗𝟗

𝑴 = 𝑴𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + ∆𝒃

𝑴𝒗 = 𝟏𝟗. 𝟓𝟗 + 𝟐𝟑. 𝟓𝟗 −𝟎. 𝟔𝟔 = 𝟒. 𝟎𝟐𝟏

𝑴𝒄𝒊 = 𝟎 + 𝟑 −𝟎. 𝟓𝟔 = −𝟏. 𝟗𝟖

𝑴𝒄𝒔 = 𝟎 + 𝟑 −𝟎. 𝟓𝟔 = −𝟏. 𝟗𝟖


Superior

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟏𝟔.𝟏𝟒

𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟒𝟑

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝒙𝟏. 𝟗𝟖𝒙𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟖

𝝆 > 1%

Inferior

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟑𝟖.𝟕𝟕𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐

𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎= 𝟏. 𝟎𝟒𝟏

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝐱𝟏. 𝟗𝟖𝐱𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟖

𝝆 > 1 %

CHEQUEO A FLEXIÓN

Tipo VI (3-A;) sentido x ; 5to piso

P = 25.11 tn

𝒃 = 𝟓.𝟖𝟎 + 𝟓. 𝟑𝟎

𝟒 = 𝟐. 𝟕𝟖

𝑷 = 𝟓. 𝟖𝟎 + 𝟓. 𝟑𝟎

𝟐 𝟎. 𝟖𝟕 = 𝟒. 𝟖𝟑


𝑲𝒗 = 𝟐𝟕.𝟖 (𝟑.𝟓𝟎)𝟑

𝟏𝟐(𝟕.𝟎)= 𝟏𝟒. 𝟏𝟗

𝑲𝒄 = 𝟑. 𝟖 𝟑.𝟖 𝟑

𝟏𝟐 𝟐. 𝟐𝟓 = 𝟑

𝑴𝒄 =𝑷𝑳𝟐

𝟏𝟐=

𝟒. 𝟖𝟑 𝟕 𝟐

𝟏𝟐= 𝟏𝟗. 𝟕𝟐𝟐 𝒕. 𝒎


𝟐=

𝟒. 𝟖𝟑 𝟏. 𝟕 𝟐

𝟐= 𝟔. 𝟗𝟖 𝒕. 𝒎

𝑴𝒇 = 𝑴𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + ∆𝒃

𝑴𝒗𝒊 = 𝟏𝟗. 𝟕𝟐𝟐 + 𝟏𝟒. 𝟗 −𝟎.𝟕𝟏𝟏 = 𝟗. 𝟐𝟎 𝒕. 𝒎

𝑴𝒄 = 𝟎 + 𝟑 −𝟎.𝟕𝟏𝟏 = −𝟐. 𝟏𝟒 𝒕. 𝒎

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟐𝟓.𝟏𝟏

𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟔𝟕

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝒙(𝟐. 𝟏𝟒)𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟗

𝝆 < 1 %

CHEQUEO A FLEXIÓN

Tipo VI (3-A;) sentido x ; 4to piso

𝑷 = 𝟓. 𝟖𝟎 + 𝟓. 𝟑𝟎

𝟐 𝟏. 𝟐𝟐 = 𝟔. 𝟕𝟕 𝒕𝒏/𝒎

𝑲𝒄𝒊 = 𝟑. 𝟓 𝟒. 𝟎 𝟑

𝟏𝟐 𝟐. 𝟐𝟓 = 𝟖. 𝟑𝟎


𝟐=

𝟔. 𝟕𝟕 𝟏. 𝟕 𝟐

𝟐= 𝟗. 𝟕𝟖 𝒕. 𝒎

𝑴𝒇 = 𝑴𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + ∆𝒃

𝑴𝒗 = 𝟐𝟕. 𝟔𝟓 + 𝟏𝟒. 𝟗 −𝟎. 𝟔𝟖 = 𝟏𝟕. 𝟓𝟐 𝒕. 𝒎

𝑴𝒄𝒔 = 𝟎 + 𝟑 −𝟎. 𝟔𝟖 = −𝟐. 𝟎𝟒 𝒕. 𝒎

𝑴𝒄𝒊 = 𝟎 + 𝟖. 𝟑 −𝟎. 𝟔𝟖 = −𝟓. 𝟔𝟒𝟒 𝒕. 𝒎


Superior

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟐𝟓.𝟏𝟏

𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟔𝟕

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝒙𝟐. 𝟎𝟒𝒙𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟖

𝝆 < 1%

Inferior

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟔𝟎.𝟑𝟐𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐

𝟑𝟓𝒙𝟒𝟎= 𝟏. 𝟎𝟒𝟐

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝐱𝟓. 𝟔𝟒𝟒𝐱𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟓𝐱𝟒𝟎𝐱𝟒𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟒

𝝆 < 1 %

CHEQUEO A FLEXIÓN

Tipo VII (3-D) sentido y ; 5to piso

P = 25.11 tn

𝒃 = 𝟒.𝟖𝟎

𝟒 = 𝟏. 𝟐𝟎

𝑷 = 𝟒. 𝟖𝟎

𝟐 𝟎. 𝟖𝟕 = 𝟐. 𝟎𝟗 𝒕𝒏/𝒎


𝑲𝒗𝟏 = 𝟏𝟐 (𝟑.𝟓𝟎)𝟑

𝟏𝟐(𝟓.𝟑𝟎)= 𝟖. 𝟎𝟗

𝑲𝒗𝟐 = 𝟏𝟐 𝟑. 𝟓 𝟑

𝟏𝟐 𝟓. 𝟖 = 𝟕. 𝟑𝟗

𝑲𝒄 = 𝟑 𝟑 𝟑

𝟏𝟐 𝟐. 𝟐𝟓 = 𝟑. 𝟎

𝑴𝒇 = 𝑴𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + ∆𝒃

𝑴𝒗𝟏 = −𝟓. 𝟖𝟔 + 𝟕. 𝟑𝟗 𝟎. 𝟎𝟓𝟑 = −𝟓. 𝟒𝟕 𝒕. 𝒎

𝑴𝒗𝟐 = 𝟒. 𝟖𝟗 + 𝟖. 𝟎𝟗 𝟎. 𝟎𝟓𝟑 = 𝟓. 𝟑𝟐 𝒕. 𝒎

𝑴𝒄 = 𝟎 + 𝟑 𝟎. 𝟎𝟓𝟑 = 𝟎. 𝟏𝟓𝟗 𝒕. 𝒎

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟏𝟏.𝟓𝟗

𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟏

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝒙(𝟎. 𝟏𝟓𝟗)𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟒

𝝆 < 1 %

CHEQUEO A FLEXIÓN

Tipo VII (3-D) sentido y ; 4to piso

𝑷 = 𝟒. 𝟖𝟎

𝟐 𝟏. 𝟐𝟐 = 𝟐. 𝟗𝟑 𝒕𝒏/𝒎

𝑴𝒗𝟏 =𝑷𝑳𝟐

𝟏𝟐=

𝟐. 𝟗𝟑 𝟓. 𝟖 𝟐

𝟏𝟐= 𝟖. 𝟐𝟏 𝒕. 𝒎

𝑴𝒗𝟐 =𝑷𝑳𝟐

𝟏𝟐=

𝟐. 𝟗𝟑 𝟓. 𝟑 𝟐

𝟏𝟐= 𝟔. 𝟖𝟔 𝒕. 𝒎

𝑴𝒇 = 𝑴𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + ∆𝒃

𝑴𝒗𝟏 = −𝟖. 𝟐𝟏 + 𝟕. 𝟑𝟗 𝟎. 𝟎𝟔𝟑 = −𝟕. 𝟕𝟒𝟒 𝒕. 𝒎

𝑴𝒗𝟐 = 𝟔. 𝟖𝟔 + 𝟖. 𝟎𝟗 𝟎. 𝟎𝟔𝟑 = 𝟕. 𝟑𝟕𝟎 𝒕. 𝒎

𝑴𝒄 = 𝟎 + 𝟑 𝟎. 𝟎𝟔𝟑 = 𝟎. 𝟏𝟖𝟗 𝒕. 𝒎


Superior

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟏𝟏.𝟓𝟗

𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟏

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝒙𝟎. 𝟏𝟖𝟗𝒙𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟕

𝝆 < 1%

Inferior

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟐𝟕.𝟖𝟖𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐

𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎= 𝟎. 𝟕𝟓

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝐱𝟎. 𝟏𝟖𝟗𝐱𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟕

𝝆 < 1 %

CHEQUEO A FLEXIÓN

Tipo VIII (2-B) sentido y ; 5to piso

P = 41.11 tn

𝒃 = 𝟏𝟒

𝟒 = 𝟑. 𝟓

𝑷 = 𝟏𝟒

𝟐 𝟎. 𝟖𝟕 = 𝟔. 𝟎𝟗 𝒕𝒏/𝒎


𝑲𝒗𝟏 = 𝟑𝟓 (𝟑.𝟓𝟎)𝟑

𝟏𝟐(𝟕.𝟕)= 𝟏𝟔. 𝟐𝟒

𝑲𝒗𝟐 = 𝟑𝟓 𝟑. 𝟓 𝟑

𝟏𝟐 𝟓. 𝟖 = 𝟐𝟏. 𝟓𝟔

𝑴𝒆𝟏 = 𝟔. 𝟎𝟗 𝟕. 𝟕 𝟐

𝟏𝟐= 𝟑𝟎. 𝟎𝟗

𝑴𝒆𝟐 = 𝟔. 𝟎𝟗 𝟓. 𝟖 𝟐

𝟏𝟐= 𝟏𝟕. 𝟎𝟕

𝑴𝒗𝟏 = −𝟑𝟎. 𝟎𝟗 + 𝟏𝟔. 𝟐𝟒 𝟎. 𝟑𝟐 = −𝟐𝟒. 𝟖𝟗 𝒕. 𝒎

𝑴𝒗𝟐 = 𝟏𝟕. 𝟎𝟕 + 𝟐𝟏. 𝟓𝟔 𝟎. 𝟑𝟐 = 𝟐𝟑. 𝟗𝟔 𝒕. 𝒎

𝑴𝒄 = 𝟎 + 𝟑 𝟎. 𝟑𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟔 𝒕. 𝒎

𝑴𝒇 = 𝑴𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + ∆𝒃

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟒𝟏.𝟏𝟏

𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟏. 𝟏𝟎𝟒

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝒙(𝟎. 𝟗𝟔)𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟖𝟔

𝝆 < 1 %

CHEQUEO A FLEXIÓN

Tipo VIII (2-B) sentido y ; 4to piso

P5 = 41.11 tn Pi = 95.75 tn

𝑷 = 𝟕𝒙𝟏. 𝟐𝟐 = 𝟖. 𝟓𝟒 𝒕𝒏

𝑲𝒄 = 𝟒𝟓 𝟓. 𝟎 𝟑

𝟏𝟐 𝟐. 𝟐𝟓 = 𝟐𝟎. 𝟖𝟑

𝑴𝒗𝟏 =𝑷𝑳𝟐

𝟏𝟐=

𝟖. 𝟓𝟒 𝟕. 𝟕 𝟐

𝟏𝟐= 𝟒𝟐. 𝟏𝟗

𝑴𝒗𝟐 =𝑷𝑳𝟐

𝟏𝟐=

𝟖. 𝟓𝟒 𝟓. 𝟖 𝟐

𝟏𝟐= 𝟐𝟑. 𝟗𝟒

𝑴𝒇 = 𝑴𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + ∆𝒃

𝑴𝒗𝟏 = −𝟒𝟐. 𝟏𝟗 + 𝟎. 𝟑 𝟏𝟔. 𝟐𝟒 = 𝟑𝟕. 𝟑𝟐 𝒕𝒎

𝑴𝒗𝟐 = 𝟐𝟑. 𝟗𝟒 + 𝟐𝟏. 𝟓𝟔 𝟎. 𝟑 = 𝟑𝟎. 𝟒𝟎 𝒕𝒎


𝑴𝒄𝒊 = 𝟎 + 𝟐𝟎. 𝟖𝟑 𝟎. 𝟑 = 𝟔. 𝟐𝟒 𝒕𝒎

𝑴𝒄𝒔 = 𝟎 + 𝟑 𝟎. 𝟑 = 𝟎. 𝟗 𝒕𝒎

Superior

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟒𝟏.𝟏𝟏

𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟏. 𝟏𝟎

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝒙𝟎. 𝟗𝒙𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝐱𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒.𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟒

𝝆 < 1%

Inferior

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟗𝟓.𝟕𝟓𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐

𝟒𝟓𝒙𝟓𝟎= 𝟏. 𝟎𝟑

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝐱𝟔. 𝟐𝟒𝐱𝟏𝟎𝟎

𝟒𝟓𝐱𝟓𝟎𝐱𝟒𝟓𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟓

𝝆 < 1 %

Sección escogida 35 x 40

𝑲 = 𝟑. 𝟓 𝟒. 𝟎 𝟑

𝟏𝟐 𝟐. 𝟐𝟓 = 𝟖. 𝟐𝟗𝟑

𝑴𝒗𝟏 = −𝟒𝟐. 𝟏𝟗 + 𝟏𝟔. 𝟐𝟒 𝟎. 𝟑𝟕 = 𝟑𝟔. 𝟏𝟖 𝒕𝒎

𝑴𝒗𝟐 = 𝟐𝟑. 𝟗𝟒 + 𝟐𝟏. 𝟓𝟔 𝟎. 𝟑𝟕 = 𝟑𝟏. 𝟗𝟐 𝒕𝒎

𝑴𝒄𝒔 = 𝟎 + 𝟑 𝟎. 𝟑𝟕 = 𝟏. 𝟏𝟏 𝒕𝒎

𝑴𝒄𝒊 = 𝟎 + 𝟖. 𝟑 𝟎. 𝟑𝟕 = 𝟑. 𝟎𝟕𝟏 𝒕𝒎

Según abaco R3,40,75

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟗𝟓.𝟕𝟓

𝟑𝟓𝒙𝟒𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟏. 𝟔𝟓

𝟏. 𝟕𝑴

𝑨𝒈𝒕=

𝟏. 𝟕𝒙𝟑. 𝟎𝟕𝟏𝒙𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟓𝐱𝟒𝟎𝐱𝟑𝟓𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟑

𝝆 = 𝟏. 𝟏% < 4 % (𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛)


CHEQUEO A FLEXIÓN

Tipo IX (3-B) sentido x ; 5to piso

P = 33.10 tn

𝒃 = 𝟑. 𝟓

𝑷 = 𝟏𝟒

𝟐 𝟎. 𝟖𝟕 = 𝟔. 𝟎𝟗 𝒕𝒏/𝒎

𝑲𝒗𝟏 = 𝟑𝟓 (𝟑. 𝟓𝟎)𝟑

𝟏𝟐(𝟕. 𝟎)= 𝟏𝟕. 𝟗

𝑲𝒗𝟐 = 𝟑𝟓 𝟑. 𝟓 𝟑

𝟏𝟐 𝟕 = 𝟏𝟕. 𝟗

𝑴𝒆 = 𝟔. 𝟎𝟗 𝟕 𝟐

𝟏𝟐= 𝟐𝟒. 𝟖𝟕 𝒕𝒎

𝑴𝒇 = 𝑴𝒊 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′

𝑴𝒗𝟏 = −𝟐𝟒. 𝟖𝟕 + 𝟎 = −𝟐𝟒. 𝟖𝟕 𝒕. 𝒎

𝑴𝒗𝟐 = 𝟐𝟒. 𝟖𝟕 + 𝟎 = 𝟐𝟒. 𝟖𝟕 𝒕. 𝒎

𝑴 = 𝟎

𝝆 < 1 %

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟑𝟑.𝟏𝟎

𝟑𝟎𝒙𝟑𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟖𝟗

CHEQUEO A FLEXIÓN

Tipo IX (3-B) sentido x ; 4to piso; P = 33.10 tn; P = 81.20 tn

P = 7 x 1.22 = 8.54 tn

𝑴𝒄 = 𝟎

𝑷 = 𝟖𝟏. 𝟐𝟎 𝒕𝒏

𝟏. 𝟕𝑷

𝑨𝒈=

𝟏. 𝟕𝒙𝟖𝟏.𝟐𝟎

𝟒𝟎𝒙𝟒𝟎𝒙𝟏𝟒. 𝟐𝟐 = 𝟏. 𝟐𝟑

𝝆 < 1


4.- FUERZA SÍSMICA O CORTE BASAL

4.1.- Introducción

Por efecto del movimiento sísmico (movimiento del suelo), se generan sobre esta

estructura unas fuerzas horizontales en el pie de las columnas, la misma que se reparte

en forma triangular, en los diferentes niveles en altura.

Esta repartición en altura es un análisis estático y que corresponde al primero en modo

de vibración, en mayores de 10 pisos

ANÁLISIS DINÁMICO

Fuerzas

Externas

1er. modo 2do. modo

3er. modo superposición


1.- Debe realizarse la interación de pórticos con diagrama o con diagonales.

2.- Los diagramas o diagonales deben resistir la fuerza sísmica total.

3.- Los pórticos dúctiles deben resistir por los menos un 25% de la fuerza sísmica total

(0.8)

(a) (b) (c)

4.- Edificios con pórticos especiales dúctiles (0.67)

5.- Tanques elevados (debe tomarse en cuenta el peso del contenido del tanque) 2.50

6.- Otras estructuras no indicadas antes (2)

7.- Puentes ASSHTO

Coeficiente:

C = depende del periodo de vibración del edificio

Periodo de vibración.- Tiempo que se demora en realizar un ciclo completo.

𝐶 =1

15 𝑡1

𝐶 ≤ 0.12

𝐶𝑠 ≤ 0.14

𝑡 =0.09𝑕𝑛

𝐷

𝑡 = 0.1 𝑁


ANÁLISIS ESTÁTICO

V = I.K.C.S.W

Donde;

I; K; C; S; se encuentran tabulados en el INEN

W = peso total sísmico del edificio = CM + 0.25CV

Desplazamientos según código

𝐴𝑟 = ≤ 0.005 (𝑕 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑝𝑖𝑠𝑜)

hc = 3 cm Ar = 1.5 cm

Ar = desplazamiento permisible

donde ;

I = factor que depende de la importancia de la ocupación

CUADRO.-

Tipo de Ocupación I

Servicios esenciales 1.5

Cualquier edificio donde la ocupación, no más de 300 hab. en un local (salón)

1.25

Todo lo demás 1.0

K = valor que representa la rigidez del edificio

Tipo o disposición de los elementos resistentes

K

1.- Sistema aporticados, excepto 1.00

2.- Edificio con sistema en cajón 1.33

3.- Pórticos dúctiles con diagramas o diagonales que cumplen tres condiciones:


donde:

D = mayor dimensión en la dirección del sismo

hn = altura más importante del edificio

n = número de pisos (sólo se aplica en edificios de pórticos dúctiles)

En el análisis dinámico, 𝑡 = 0.2 𝑊

𝑅

donde;

W = peso de la estrctura

R = rigidez lateral

𝑅 =𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛

𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜

𝑅 =𝐹

∆

S = a = factor que depende del suelo ==> periodo de vibración del suelo

ts = período de vibración del suelo

𝑻𝟏/𝒕𝟑 𝑺/≥ 𝟏

≤ 1 1 +

𝑇1

𝑇𝑠− 0.5

𝑡1

𝑡𝑠

2

≥ 1 1.2 + 0.6

𝑡1

𝑡𝑠− 0.3

𝑡1

𝑡𝑠

2

𝑆 = 1.5

Fuerza sismica

DISTRIBUCIÓN V EN ALTURA

Ft = 0.07 t , V (cortante)

𝐹𝑡 = 0 𝑡 ≤ 0.7 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 < 7 𝑝𝑖𝑠𝑜𝑠 𝐹𝑡 = 0

𝑡1 = 0.1 𝑁

𝐹𝑖 = 𝑉 − 𝐹𝑡 𝑊𝑖 𝑕𝑖

𝛴𝑤𝑖𝑕𝑖𝑖=𝑖𝑕 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑛𝑡𝑒𝑙


Ft = fuerza concentrada del latigueo

Wi = peso del nivel concentrado

hi = altura cumulada

* en edificio, grandes de altura Ft = se considera de 2 a 3 modos.

Centro de Rigidez.- Es el punto eje sobre el cual gira el V de piso

DESARROLLO DEL PROBLEMA

V = I K C S W

W = 20.5 x 20.5 x 8.87 = 636.62 tn (cubierta)

W = 20.5 x 20.5 4.22 = 512.7 tn (entre piso)


𝐼 = 1.00

𝐾 = 0.80

𝐶 =1

15 𝑡

𝑡 = 0.09 𝑕𝑛

𝐷

𝑡𝑥 ,𝑦 = 0.09 15.6

18.8= 0.32 𝑠𝑒𝑔.

𝐶𝑥 ,𝑦 =1

15 0.32= 0.12 ≤ 0.12

S = 1.5

CS = 0.12(1.5) = 0.18

V = 1 x 0.8 x 0.14 (2416.42) = 270.64 tn corte basal total

REPARTICIÓN DEL CORTE BASAL V EN ALTURA

t = 7sg Ft = 0

t < de 7 pisos

t = 0.1 N N = 7 pisos

𝑭𝒊 =𝟐𝟕𝟎. 𝟔𝟒

𝟔𝟏. 𝟏𝟐 𝑾𝒊 𝒉𝒊

𝑭𝒊 = 𝟒. 𝟑𝟗 𝑾𝒊 𝒉𝒊

Piso Wi hi Wi hi Fi

1 0.87 5.20 4.52 19.85

2 1.22 7.80 9.52 41.81

3 1.22 10.40 12.69 55.74

4 1.22 13.00 15.86 69.66

5 1.22 15.60 19.03 83.58

Σ 61.62 270.64


5.- FORMACIÓN DE PÓRTICOS

5.1.- Cálculo de las rigideces de pórtico con columna

𝐾 =𝐼

𝐿 ; 𝐾 = 4

𝐼

𝐿 ; 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎

5.2.- Cálculo de rigideces con diafragma

𝐾 = 𝑅𝐼

𝐿 ; 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎

desarrollo;

CÁLCULO DE LAS RIGIDECES DE PÓRTICO CON COLUMNAS

PÓRTICO A SENTIDO Y

𝐾 =𝑏𝑕3

12 𝐿 𝐾 =

𝐼

𝐿 𝐼 =

𝑏𝑕3

12

Cálculo de la Rigidez de columna.- C1 = 62.4 ; C2 = 31.20 ; C3 = C4 = C5

Planta Baja

𝐾1 =6.5(6.5)3

12(5.20)= 28.61; 𝐾2 =

7(8)3

12(5.20)= 57.44; 𝐾3 =

6(7)3

𝐶1= 32.58; 𝐾4 =

5(4)3

𝐶1= 5.13

𝐾5 =6(6)3

𝐶2= 41.54; 𝐾6 =

6(7)3

𝐶2= 65.96 ; 𝐾7 =

5.5(6)3

𝐶2= 38.08; 𝐾8 =

4.5(3.5)3

𝐶2= 6.18

𝐾9 =5(5)3

𝐶3= 20.03; 𝐾10 =

5(6)3

𝐶3= 34.62 ; 𝐾11 =

4.5(5)3

𝐶3= 18.03; 𝐾12 =

4(3)3

𝐶3= 3.46

𝐾13 =4(4)3

𝐶4= 8.21; 𝐾14 =

4(5)3

𝐶4= 16.03 ; 𝐾15 =

3.5(4)3

𝐶4= 7.18; 𝐾16 =

3(3)3

𝐶4= 2.60

𝐾17 =3(3)3

𝐶5= 2.60; 𝐾18 =

3(4)3

𝐶5= 6.15 ; 𝐾19 =

3(3)3

𝐶5= 2.60; 𝐾20 =

3(3)3

𝐶5= 2.60

Cálculo de la rigidez de viga 𝒃 =𝟕

𝟒+ 𝟐 𝟎. 𝟑𝟓 = 𝟐. 𝟏𝟓

𝐾1−2 =24.5(3.5)3

12(7.7)= 11.37; 𝐾2−3 =

24.5(3.5)3

12(5.8)= 15.10; 𝐾3−4 =

24.5(3.5)3

12(5.30)= 16.52

* el proceso del cálculo de rigideces, fue mediante constantes


Cálculo de la rigidez del pórtico con columnas

PÓRTICO B (SENTIDO Y)

Rigidez de columna


Planta Baja

𝐾1 =7(8)3

𝐶1= 57.44;𝐾2 =

6(7.5)3

𝐶1= 40.56;𝐾3 =

7.5(7.5)3

𝐶1= 50.71;𝐾4 =

4.5(5.5)3

𝐶1= 12.0

Plantas Superiores

𝐾5 =6(7)3

𝐶2= 65.96;𝐾6 =

5.5(6)3

𝐶2= 38.08 ; 𝐾7 =

6.5(6.5)3

𝐶2= 57.21; 𝐾8 =

4(5)3

𝐶2= 16.03

𝐾9 =5(6)3

𝐶3= 34.62; 𝐾10 =

4(5.5)3

𝐶3= 21.33 ; 𝐾11 =

5.5(5.5)3

𝐶3= 29.33; 𝐾12 =

3.5(4)3

𝐶3= 7.18

𝐾13 =4(5)3

𝐶4= 16.93; 𝐾14 =

3.5(4)3

𝐶4= 7.18 ; 𝐾15 =

4(4)3

𝐶4= 8.21; 𝐾16 =

3(3)3

𝐶4= 2.60

𝐾17 =3(4)3

𝐶5= 6.15; 𝐾18 =

3(3)3

𝐶5= 2.60 ; 𝐾19 =

3(3)3

𝐶5= 2.60; 𝐾20 =

3(3)3

𝐶5= 2.60

Cálculo de la rigidez de viga 𝒃 =𝟕+𝟕

𝟒= 𝟑. 𝟓

𝐾1−2 =3.5(3.5)3

12(5.8)= 16.24; 𝐾2−3 =

3.5(3.5)3

12(7.7)= 21.56; 𝐾3−4 =

3.5(3.5)3

12(5.30)= 23.59

* las rigideces en el resto de las vigas es igual


PÓRTICO D SENTIDO Y

𝐾 =𝑏𝑕3

12 𝐿 𝐾 =

𝐼

𝐿 𝐼 =

𝑏𝑕3

12


Planta Baja

𝐾1 =5(4)3

𝐶1= 5.13; 𝐾2 =

4.5(5.5)3

𝐶1= 12; 𝐾3 =

4.5(5)3

𝐶1= 9.01; 𝐾4 =

3(3)3

𝐶1= 1.30

Plantas Superiores

𝐾5 =4.5(3.5)3

𝐶2= 6.18; 𝐾6 =

4(5)3

𝐶2= 16.03 ; 𝐾7 =

4(4.5)3

𝐶2= 11.68; 𝐾8 =

3(3)3

𝐶2= 2.60

𝐾9 =4(3)3

𝐶3= 3.46; 𝐾10 =

3.5(4)3

𝐶3= 7.18 ; 𝐾11 =

3.5(4)3

𝐶3= 7.18; 𝐾12 =

3(3)3

𝐶3= 2.60

𝐾13 =3(3)3

𝐶4= 2.60; 𝐾14 =

3(3)3

𝐶4= 2.60 ; 𝐾15 =

3(3.5)3

𝐶4= 4.12; 𝐾16 =

3(3)3

𝐶4= 2.60

𝐾17 =3(3)3

𝐶5= 2.60; 𝐾18 =

3(3)3

𝐶5= 2.60 ; 𝐾19 =

3(3)3

𝐶5= 2.60; 𝐾20 =

3(3)3

𝐶5= 2.60

Cálculo de la rigidez de viga 𝒃 =𝟒.𝟖

𝟒= 𝟏. 𝟐 𝑪 =

𝟏𝟐(𝟑.𝟓)𝟑

𝟏𝟐= 𝟐. 𝟔

𝐾1−2 =𝐶

(7.7)= 5.59; 𝐾2−3 =

𝐶

(5.8)= 7.39; 𝐾3−4 =

𝐶

(5.5)= 2.09

PÓRTICO 1 SENTIDO X

Cálculo de la Rigidez de columna

Planta Baja.- C1 = 62.4 ; C2 = 31.20 ; C3 = C4 = C5

𝐾1 =6.5(6.5)3

𝐶1= 28.61; 𝐾2 =

8(7)3

𝐶1= 43.97 = 𝐾3 = 43.97; 𝐾4 =

4(5)3

𝐶1= 8.01

𝐾5 =6(6)3

𝐶2= 41.54; 𝐾6 =

7(6)3

𝐶2= 48.46 = 𝐾7 = 48.46; 𝐾8 =

3.5(4.5)3

𝐶2= 10.22

𝐾9 =5(5)3

𝐶3= 20.09; 𝐾10 =

6(5)3

𝐶3= 24.04 = 𝐾11 = 24.04; 𝐾12 =

3(4)3

𝐶3= 6.15


𝐾13 =4(4)3

𝐶4= 8.21; 𝐾14 =

5(4)3

𝐶4= 10.26 = 𝐾15 = 10.26; 𝐾16 =

3(3)3

𝐶4= 2.60

Cálculo de la rigidez de viga 𝒃 =𝟕.𝟕𝟎

𝟒+ 𝟐 𝟑. 𝟓 = 𝟐. 𝟔𝟑 𝑪 =

𝟐𝟔.𝟑(𝟑.𝟓)𝟑

𝟏𝟐= 𝟗𝟑. 𝟗𝟕

𝐾𝑎−𝑏 =𝐶

(7)= 13.42; 𝐾𝑏−𝑐 =

𝐶

(7)= 13.42; 𝐾𝑐−𝑑 =

𝐶

(4.8)= 19.58




𝐾1 =7(6)3

𝐶1= 24.20; 𝐾2 =

7.5(7.5)3

𝐶1= 50.71; 𝐾3 =

7.5(7.5)3

𝐶1= 50.71; 𝐾4 =

5(4.5)3

𝐶1= 7.30

𝐾5 =6(5.5)3

𝐶2= 32; 𝐾6 =

6.5(6.5)3

𝐶2= 57.21 ; 𝐾7 =

6.5(6.5)3

𝐶2= 57.21; 𝐾8 =

4.5(4)3

𝐶2= 9.23

𝐾9 =5(4.5)3

𝐶3= 14.6; 𝐾10 =

5.5(5.5)3

𝐶3= 29.33 ; 𝐾11 =

5.5(5.5)3

𝐶3= 29.33; 𝐾12 =

4(3.5)3

𝐶3= 5.50

𝐾13 =4(3.5)3

𝐶4= 5.50; 𝐾14 =

4(4)3

𝐶4= 8.21 ; 𝐾15 =

4(4)3

𝐶4= 8.21; 𝐾16 =

3.5(3)3

𝐶4= 3.03

𝐾17 =3(3)3

𝐶5= 2.60; 𝐾18 =

3(3)3

𝐶5= 2.60 ; 𝐾19 =

3(3)3

𝐶5= 2.60; 𝐾20 =

3(3)3

𝐶5= 2.60

Cálculo de la rigidez de viga 𝒃 =𝟓.𝟖+𝟓.𝟑

𝟒= 𝟐. 𝟕𝟖 𝑪 =

𝟐𝟕.𝟖(𝟑.𝟓)𝟑

𝟏𝟐= 𝟗𝟗. 𝟑𝟑


(7)= 14.19; 𝐾𝑏−𝑐 =

𝐶

(7)= 14.19; 𝐾𝑐−𝑑 =

𝐶

(4.8)= 20.69




𝐾1 =4(5)3

𝐶1= 8.01; 𝐾2 =

5.5(4.5)3

𝐶1= 8.03; 𝐾3 =

5.5(4.5)3

𝐶1= 8.03; 𝐾4 =

3(3)3

𝐶1= 1.30

𝐾5 =3.5(4.5)3

𝐶2= 10.22; 𝐾6 =

5(4)3

𝐶2= 10.26 ; 𝐾7 =

5(4)3

𝐶2= 10.26; 𝐾8 =

3(3)3

𝐶2= 2.60

𝐾9 =3(4)3

𝐶3= 6.15; 𝐾10 =

4(3.5)3

𝐶3= 5.50 ; 𝐾11 =

4(3.5)3

𝐶3= 5.50; 𝐾12 =

3(3)3

𝐶3= 2.60


𝐾12 = 𝐾13 = 𝐾14 = 𝐾15 = 𝐾16 = 𝐾17 = 𝐾18 = 𝐾19 = 𝐾20 = 2.60

Cálculo de la rigidez de viga 𝒃 =𝟓.𝟑𝟎

𝟒= 𝟏. 𝟑𝟑 𝑪 =

𝟏𝟑.𝟑(𝟑.𝟓)𝟑

𝟏𝟐= 𝟏𝟑. 𝟓𝟖


(7)= 1.94; 𝐾𝑏−𝑐 =

𝐶

(7)= 1.94; 𝐾𝑐−𝑑 =

𝐶

(4.8)= 2.83


PÓRTICO 1 (SENTIDO X)

CUADRO DE RIGIDECES



CUADRO DE RIGIDECES



CUADRO DE RIGIDECES



CUADRO DE RIGIDECES


PÓRTICO A (SENTIDO Y)

CUADRO DE RIGIDECES


PÓRTICO B (SENTIDO Y)

CUADRO DE RIGIDECES


PÓRTICO C (SENTIDO Y)

CUADRO DE RIGIDECES


PÓRTICO D (SENTIDO Y)

CUADRO DE RIGIDECES


RIGIDECES CON DIAFRAGMA

DEFORMACIÓN POR FLEXIÓN Y CORTE DEL DIAGRAMA

Aplicando el método de la superposición

1.- Estado de carga 2.- Estado de carga

sumando tenemos: 𝒎 =𝑴

𝑳𝒛 +

𝑴′

𝑳𝒙

𝑽 = −𝑴

𝑳+

𝑴′

𝑳=

𝑴′ −𝑴

𝑳


TEOREMA DE CÁSTILIANO

𝜹 = 𝒎𝒅𝒎

𝒅𝒙𝒅𝜽 + 𝒗

𝒅𝒗

𝒅𝒙𝒅𝒄

donde:

𝜹 = 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑔𝑖𝑟𝑜

M = momento

x = carga que produce la deformación

dG = área diferencial del diagrama de masas elásticas por flexión

* para una sección de masa constante

dc = área diferencial del diagrama de masas elásticas por corte

E = modulo de elasticidad a flexión

Ao = área efectiva al corte

G = modulo de elasticidad de corte

𝑑𝐺 =𝑑𝑠

𝐸𝐽𝑜

𝑑𝑐 =𝑑𝑠

𝐴𝑜𝐺

𝑑 = 𝜃

𝑥 = 𝑀

𝛿 = 𝜃′

𝑥 = 𝑀′


d = δ

𝑑𝑚

𝑑𝑀=

𝑧

𝐿

𝑑𝑣

𝑑𝑀= −

𝑦

𝐿

𝜃 = 𝑚𝑑𝑚

𝑑𝑀𝑑𝜃 + 𝑣

𝑑𝑣

𝑑𝑀𝑑𝑐

𝜃 = 𝑀𝑧

𝐿+

𝑀′𝑥

𝐿 𝑧

𝐿𝑑𝐺 +

−𝑀 + 𝑀′

𝐿 −

1

𝐿 𝑑𝑐

𝜃′ = 𝑀𝑧

𝐿+

𝑀′𝑥

𝐿𝑥

𝑥

𝐿𝑑𝐺 +

−𝑀 + 𝑀′

𝐿

1

𝐿 𝑑𝑐

**

𝜃 =𝑀

𝐿2 𝑧2𝑑𝐺 +

𝑀′

𝐿2 𝑥𝑧 𝑑𝐺 +

𝑀

𝐿2 𝑑𝑐 −

𝑀′

𝐿2 𝑑𝑐

𝜃′ =𝑀


𝑀′

𝐿2 𝑥2 𝑑𝐺 −

𝑀

𝐿2 𝑑𝑐 +

𝑀′

𝐿2 𝑑𝑐

**

𝜃 = 𝑀 1

𝐿2 𝑧2𝑑𝐺 +

1

𝐿2 𝑑𝑐 + 𝑀′

1

𝐿2 𝑥𝑧 𝑑𝐺 −

1

𝐿2 𝑑𝑐

𝜃′ = 𝑀 1

𝐿2 𝑥𝑧 𝑑𝐺 −

1

𝐿2 𝑑𝑐 + 𝑀′

1


1

𝐿2 𝑑𝑐

𝜃 = 𝛼 𝑀 + Σ 𝑀′

𝜃′ = 𝛼′ 𝑀′ + Σ 𝑀

𝛼𝐷 =1

𝐿2 𝑧2𝑑𝐺 +1

𝐿2 𝑑𝑐

𝛼′𝐷 =1

𝐿2 𝑥2𝑑𝐺 +1

𝐿2 𝑑𝑐

Σ𝐷 =1

𝐿2 𝑥𝑧 𝑑𝐺 −1

2 𝑑𝑐

𝜃 = 𝛼𝐷𝑀 + Σ𝐷𝑀′

𝜃′ = 𝛼′𝐷𝑀 + Σ𝐷𝑀


donde:

𝒛𝟐𝒅𝑮 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛

𝒙𝟐𝒅𝑮 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑌

𝒙𝒛𝒅𝑮 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎

Diafragma de sección rectangular constante

1

𝐿2 𝑧2 𝑑𝐺 =

1

𝐿2𝑑𝑦𝑦´ =

1

𝐿2𝑥

1

𝐸𝐽𝑜 𝐿3

3 =

𝐿

3𝐸𝐽𝑜

1

𝐿2 𝑥2 𝑑𝐺 =

1

𝐿2𝑦𝑦 =

1

𝐿2

1

𝐸𝐽𝑜

𝐿3

3 =

𝐿

3𝐸𝐽𝑜

1

𝐿2 𝑥𝑧 𝑑𝐺 = −𝐽𝑦 𝑦 + 𝐴𝑥 𝑧 = −

1

𝐸𝐽𝑜 𝐿3

12

𝐿

𝐸𝐽𝑜

𝐿2

4 =

1

𝐿2 𝑥𝑧𝑑𝐺

=1

12

𝐿3

4𝐸𝐽𝑜−

𝐿3

12𝐸𝐽𝑜 =

𝐿

6𝐸𝐽𝑜

𝒅𝑪 =𝒅𝒔

𝑨. 𝑮

𝑪.𝟏

𝑨. 𝑮 𝒅𝒔 =

𝟏

𝑨. 𝑮=

𝑳

𝑨𝒇𝑮

𝑪 =𝑳. 𝒇

𝑨. 𝑮

donde:

𝑨𝒐 = á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑨𝒐 = 𝑨

𝒇

𝑨 = á𝑟𝑒𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝒇 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎

𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝒇 =𝟔

𝟓= 𝟏. 𝟐


𝜶′ = 𝜶 =𝑳

𝟑𝑬𝑱𝒐 𝜺 =

𝑳

𝟔𝑬𝑱𝒐 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛

𝜶𝑫 =𝑳

𝟑𝑬𝑱𝒐+

𝟏

𝑳𝟐.𝑳𝒇

𝑨𝑮= 𝜶′𝑫 =

𝑳

𝟑𝑬𝑱𝒐+

𝒇

𝑳𝑨𝑮

𝜶𝑫 =𝑳

𝟑𝑬𝑱𝒐 𝟏 +

𝟑𝑬𝑱𝒐𝒇

𝑳𝟐𝑨𝑮

𝟑𝑬𝑱𝒐𝒇

𝑳𝟐𝑨= 𝑸 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒

𝜶𝑫 = 𝜶′𝑫 =𝑳

𝟑𝑬𝑱𝒐(𝟏 + 𝑸)

𝜺𝑫 =𝑳

𝑮𝑬𝑱𝒐−

𝟏

𝑳𝟐 𝑳𝒇

𝑨𝑮 =

𝑳

𝑮𝑬𝑱𝒐−

𝒇

𝑳𝑨𝑮

RIGIDEZ DE DIAFRAGMA

𝑲′ =𝜶′𝑫

𝜶𝜶′𝑫 − 𝜺 𝑫𝟐 𝑲 =

𝜶𝑫

𝜶𝜶′𝑫 − 𝜺 𝑫𝟐 𝕒𝑫 =

𝜺𝑫

𝜶𝜶𝑫 − 𝜺 𝑫𝟐

DIAFRAGMA DE SESIÓN RECTANGULAR CONSTANTE

𝒂𝜶′ − 𝜺𝟐 = 𝑳

𝟑𝑬𝑱𝒐 𝟏 − 𝑸

𝟐

− 𝑳

𝟔𝑬𝑱𝒐− 𝟏 − 𝟐𝑮

𝟐

=

=𝑳𝟐

𝟗𝑬𝟐𝑱𝒐𝟐 𝟏 + 𝟐𝑸 + 𝑸𝟐 −

𝑳𝟐

𝟑𝑮𝑬𝟐𝑱𝒐𝟐 𝟏 − 𝟒𝑸 + 𝟒𝑸𝟐

=𝑳𝟐

𝟑𝑮𝑬𝟐𝑱𝒐𝟐 𝟒 + 𝟖𝑸 + 𝟒𝑸𝟐 − 𝟏 + 𝟒𝑸 − 𝟒𝑸𝟐

=𝑳𝟐

𝟑𝑮𝑬𝟐𝑱𝒐𝟐 𝟏𝟐𝑸 + 𝟑 =

𝑳𝟐

𝟏𝟐𝑬𝟐𝑱𝒐𝟐 𝟏 + 𝟒𝑸

𝜺𝑫 =𝑳

𝑮𝑬𝑱𝒐 𝟏 −

𝑮𝑬𝑱𝒐𝒇

𝑳𝟐𝑨𝑮 =

𝑳

𝑮𝑬𝑱𝒐 𝟏 − 𝟐𝑸

𝜶𝑫

𝜺𝑫

Constante de barra de diafragma


𝑲 = 𝑲′ =𝑳

𝟑𝑬𝑱𝒐 𝟏 + 𝑸

𝟏𝟐(𝑬𝑱𝒐)𝟐

(𝟏 + 𝟒𝑸)

𝕒 =𝑳

𝑪𝑬𝑱𝒐𝒙

(𝟏 − 𝟐𝑸)

(𝟏 + 𝟒𝑸)𝒙𝟏𝟐(𝑬𝑱𝒐)𝟐

𝑳𝟐

𝒃 =𝒌 + 𝒂

𝑳 ; 𝒃′ =

𝒌′ + 𝒂

𝑳 ; 𝒕 =

𝒃 + 𝒃′

𝑳

Según Maning tenemos lo siguiente:

M = Mf + Kθ + aθ’ + bθ

V = bθ – bθ’ + t a

𝒃 = 𝒃′ = 𝟒𝑬𝑱𝒐

𝑳 𝟏 + 𝑸

𝟏 + 𝟒𝑸 +

𝟐𝑬𝑱𝒐

𝑳 𝟏 − 𝟐𝑸

𝟏 + 𝟒𝑸

𝒃 =𝟐𝑬𝑱𝒐

𝑳𝟐 𝟏 + 𝟒𝑸 𝟐 + 𝟐𝑸 + 𝟏 − 𝟐𝑸

𝒃𝑫 =𝑮𝑬𝑱𝒐

𝑳𝟐 𝟏 + 𝟒𝑸 = 𝒃′𝑫

𝒕𝑫 =𝟐𝒃

𝑳=

𝒃 + 𝒃′

𝑳 𝒃′ = 𝒃 = 𝟐𝒃

𝒕𝑫 =𝟏𝟐𝑬𝑱𝒐

𝑳𝟑 𝟏 + 𝟒𝑸

𝑲 = 𝑲′ =𝟒𝑬𝑱𝒐

𝑳 𝟏 + 𝑸

𝟏 + 𝟒𝑸

𝕒 =𝟐𝑬𝑱𝒐

𝑳𝒙

(𝟏 − 𝟐𝑸)

(𝟏 + 𝟒𝑸)

𝑲

𝑲′

a

Rigideces a

flexión 𝒃

𝒃′

Rigideces a flexión empuje 𝒕

Rigideces a empuje


USO TABLAS

TABLA 4 (RIGIDES DE DIAFRAGMA)

L = altura entre ejes

h = ancho del diafragma

e = espesor

𝑸 =𝟑𝑬𝑱𝒐𝒕

𝑳𝟐𝑨𝑮 𝒇 =

𝟔

𝟓= 𝟏. 𝟐 𝑮 = 𝟎. 𝟒𝑬 𝑱𝒐 =

𝒆𝒉𝟑

𝟐 𝑨 = 𝒉. 𝒆

𝑸 =𝟑

𝟒 𝒉

𝑳 𝟐


𝑳 𝟏 + 𝑸

𝟏 + 𝟒𝑸


𝑳 𝟏 +

𝟑𝟒

𝒉𝑳

𝟐

𝟏 + 𝟑 𝒉𝑳 𝟐

𝝀 = 𝒉

𝑳 𝟐

𝒓𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒚 𝒂𝒏𝒄𝒉𝒐.

𝑲 =𝟒𝑬𝑱𝒐

𝑳 𝟒 + 𝟑𝝀

𝟒 + 𝟏𝟐𝝀 =

𝑬𝑱𝒐

𝑳 𝟒 + 𝟑𝝀

𝟏 + 𝟑𝝀 𝑹 =

𝟒 + 𝟑𝝀

𝟏 + 𝟑𝝀

𝑲 = 𝑲′ = 𝑹𝑬𝑱𝒐

𝑳


𝑳 𝟏 − 𝟐𝑸

𝟏 + 𝟒𝑸


𝑳 𝟏 −

𝟑𝟐

𝒉𝑳

𝟐

𝟏 + 𝟑 𝒉𝑳

𝟐

𝕒 =𝑬𝑱𝒐

𝑳 𝟐 − 𝟑𝝀

𝟏 + 𝟑𝝀 𝑨 =

𝟐 − 𝟑𝝀

𝟏 + 𝟑𝝀

𝕒 = 𝑨𝑬𝑱𝒐

𝑳


Para vigas que concurren al diafragma * vigas con doble cartela simetrica Taba # 1

𝑸 =𝑳

𝑬𝑱𝒐

𝑲 = 𝑲′ = 𝑹 𝟑 + 𝑪𝟐

𝑪𝟐 =

𝑹𝑬𝑰

𝑳

𝕒 =𝑬𝑰

𝑳 𝟑 − 𝑪𝟐

𝑪𝟐 = 𝑨

𝑬𝑰

𝑳

Tabla 2 *Viga con una cartela donde:

𝑲 =𝑹𝑬𝑰

𝑳 𝑲′ =

𝑹′𝑬𝑰

𝑳 𝕒 = 𝑨

𝑬𝑰

𝑳


Tabla 3 * Viga con dos cartelas asimétricas

𝑸 =𝑱𝒐

𝑱 𝑲 =

𝑹𝑬𝑰

𝑳 𝑲′ =

𝑹𝑬𝑰

𝑳 𝕒 = 𝑨

𝑬𝑰

𝑳

* en adelante los cálculos servirán para la carga sísmica

PÓRTICO EQUIVALENTE


Rigideces de viga que concurren al diafragma

Momento de Inercia del diafragma

𝑰 =𝒃𝒉𝟑

𝟏𝟐 𝒙 =

𝚺𝐱 𝑨

𝑨

𝑰𝒙𝒙 = 𝑰𝟏 + 𝑰𝟐 + 𝑨𝟏𝑨𝟐

𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 𝑪𝟐

𝑰𝟏 =𝟐𝟎(𝟐)𝟑

𝟏𝟐= 𝟏𝟑. 𝟑𝟑 𝑰𝟐 =

𝟐(𝟏𝟖)𝟑

𝟏𝟐= 𝟗𝟕𝟐 𝚺 𝑰 = 𝟗𝟖𝟓. 𝟑𝟑 𝒅𝒎𝟒

𝑰 𝒙𝒙 = 𝟗𝟖𝟓. 𝟑𝟑 + 𝟐𝟎𝐱 𝟐 𝐱 𝟐 𝐱 𝟏𝟖

𝟐𝟎 𝐱 𝟐 + 𝟐𝐱𝟏𝟖 𝟏𝟎−𝟐 = 𝟐𝟖𝟖𝟎. 𝟎𝟕 𝒅𝒎𝟒

𝑰 𝒚𝒚 = 𝟐𝟖𝟖𝟎. 𝟎𝟕 𝒅𝒎𝟒

Tabla 2

Viga (C – D) sentido x

𝒓 =𝟏

𝟓. 𝟕= 𝟎. 𝟏𝟕𝟓 = 𝟎. 𝟏𝟖 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 2. − 𝑹 = 𝟖. 𝟕𝟔 𝑹′ = 𝟒. 𝟖𝟕𝟖 𝑨 = 𝟒. 𝟎𝟒𝟓

𝒃𝒂𝒏𝒅𝒂 =𝟕. 𝟕𝟎 + 𝟓. 𝟖

𝟒= 𝟑. 𝟑𝟕𝟓 𝒅𝒎 ; 𝑰𝒗 =

𝟑𝟑. 𝟕𝟓(𝟑.𝟓)𝟑

𝟏𝟐= 𝟏𝟐𝟎. 𝟓𝟖

𝑲 =𝑹𝑬𝑰

𝑳=

𝑹𝑰

𝑳 𝑲′ =

𝑹′𝑰

𝑳 𝕒 =

𝑨𝑰

𝑳


𝑲 =𝟖. 𝟕𝟗𝟔 𝐱 𝟏𝟐𝟎. 𝟓𝟖

𝟓. 𝟕𝟎= 𝟏𝟖𝟔. 𝟎𝟕

𝑲′ =𝟒. 𝟖𝟕𝟖 𝐱 𝟏𝟐𝟎.𝟓𝟖

𝟓. 𝟕𝟎= 𝟏𝟎𝟑. 𝟏𝟗

𝕒 =𝟒. 𝟎𝟒𝟓 𝐱 𝟏𝟐𝟎. 𝟓𝟖

𝟓. 𝟕𝟎= 𝟖𝟓. 𝟔𝟎

Viga (C – B)

𝒓 =𝟏

𝟔. 𝟏𝟎= 𝟎. 𝟏𝟕𝟓 = 𝟎. 𝟏𝟖 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟐. − 𝑹 = 𝟖. 𝟎𝟎𝟏 𝑹′ = 𝟒. 𝟕𝟔𝟐 𝑨 = 𝟑. 𝟕𝟒𝟏

𝑲 =𝟖. 𝟎𝟎𝟏 𝐱 𝟏𝟐𝟎. 𝟓𝟖

𝟔. 𝟏𝟎= 𝟏𝟓𝟖. 𝟏𝟔

𝑲′ =𝟒. 𝟕𝟔𝟐 𝐱 𝟏𝟐𝟎.𝟓𝟖

𝟔. 𝟏𝟎= 𝟗𝟒. 𝟏𝟑

𝕒 =𝟑. 𝟕𝟒𝟏 𝐱 𝟏𝟐𝟎. 𝟓𝟖

𝟔. 𝟏𝟎= 𝟕𝟑. 𝟗𝟓

Viga ( A - B) 𝑲 =𝟒 𝐱 𝟑𝟑.𝟕𝟓 𝐱 𝟑.𝟓𝟑

𝟏𝟐 𝐱 𝟕= 𝟔𝟖. 𝟗𝟏

Rigidez del Diafragma * aplicando la tabla 4 a las formulas

𝑹 =𝟒 + 𝟑𝝀

𝟏 + 𝟑𝝀=

𝟒 + 𝟑 𝟎. 𝟓𝟗

𝟏 + 𝟑 𝟎. 𝟓𝟗 = 𝟐. 𝟎𝟖𝟑

𝕒 =𝟐 − 𝟑𝝀

𝟏 + 𝟑𝝀=

𝟐 − 𝟑 𝟎. 𝟓𝟗

𝟏 + 𝟑 𝟎. 𝟓𝟗 = 𝟎. 𝟎𝟖𝟑

𝑹 =𝟒 + 𝟑 𝟎. 𝟏𝟓

𝟏 + 𝟑 𝟎. 𝟏𝟓 = 𝟑. 𝟎𝟔𝟗

𝕒 =𝟐 − 𝟑 𝟎. 𝟏𝟓

𝟏 + 𝟑 𝟎. 𝟏𝟓 = 𝟏. 𝟎𝟔𝟗

𝑲 =𝑹𝑰

𝑳=

𝟐. 𝟎𝟖𝟓 𝒙 𝟐𝟖𝟖𝟎. 𝟎𝟕

𝟐. 𝟔= 𝟐𝟑𝟎𝟕. 𝟑𝟖

𝕒 =𝟎. 𝟎𝟖𝟑 𝒙 𝟐𝟖𝟖𝟎.𝟎𝟕

𝟐. 𝟔= 𝟗𝟏. 𝟗𝟒

𝑲 =𝟑. 𝟎𝟔𝟗 𝒙 𝟐𝟖𝟖𝟎. 𝟎𝟕

𝟓. 𝟐𝟎= 𝟏𝟔𝟗𝟗. 𝟖𝟎

𝕒 =𝟏. 𝟎𝟔𝟗 𝒙 𝟐𝟖𝟖𝟎.𝟎𝟕

𝟐. 𝟓𝟎= 𝟓𝟗𝟐. 𝟎𝟖


Rigidez de columna C1 = 62.4 ; C2 = 31.20 ; C3 = C4 = C5

𝐾1 =8(7)3

𝐶1= 43.974; 𝐾2 =

7.5(6)3

𝐶1= 103.84; 𝐾4 =

5.5(4.5)3

𝐶1= 32.12

𝐾5 =7(6)3

𝐶2= 193.84; 𝐾6 =

6(5.5)3

𝐶2= 127.96; 𝐾8 =

5(4)3

𝐶2= 41.04

𝐾9 =5(5)3

𝐶3= 96.16; 𝐾10 =

5.5(4)3

𝐶3= 45.12 ; 𝐾12 =

4(3.5)3

𝐶3= 22.0

𝐾13 =5(4)3

𝐶4= 41.04;𝐾14 =

4(3.5)3

𝐶4= 22.0; 𝐾16 =

3(3)3

𝐶4= 10.40

𝐾17 =4(3)3

𝐶5= 13.84;𝐾18 =

3(3)3

𝐶5= 10.40 ; 𝐾20 =

3(3)3

𝐶5= 10.40


CUADRO DE RIGIDECES CON DIAFRAGMA DE VIGA Y COLUMNA;

SENTIDO X


Viga (1 – 2)

𝒓 =𝟏

𝟖. 𝟔= 𝟎. 𝟏𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟖 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟐. − 𝑹 = 𝟔. 𝟔𝟓𝟗 𝑹′ = 𝟒. 𝟓𝟒𝟓 𝑨 = 𝟑. 𝟐𝟎𝟐

𝑲 =𝟓. 𝟔𝟓𝟗 𝐱 𝟏𝟎𝟓. 𝟒𝟎

𝟖. 𝟔= 𝟖𝟏. 𝟔𝟏 𝒃 =

𝟕 + 𝟒. 𝟖

𝟒= 𝟐. 𝟗𝟓 𝒎 = 𝟐𝟗. 𝟓 𝒅𝒎

𝑲′ =𝟒. 𝟓𝟒𝟓 𝐱 𝟏𝟎𝟓. 𝟒

𝟖. 𝟔= 𝟓𝟓. 𝟕𝟎 𝑰𝒗 =

𝟐𝟗. 𝟓(𝟑. 𝟓)𝟑

𝟏𝟐= 𝟏𝟎𝟓. 𝟒𝟎

𝕒 =𝟑. 𝟐𝟎𝟐 𝐱 𝟏𝟎𝟓. 𝟓𝟎

𝟖. 𝟔𝟎= 𝟑𝟗. 𝟐𝟒

Viga (2 –3)

𝒓 =𝟏

𝟒. 𝟗= 𝟎. 𝟐𝟎 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟐. − 𝑹 = 𝟗. 𝟔𝟖𝟖 𝑹′ = 𝟓 𝑨 = 𝟒. 𝟑𝟕𝟓

𝑲 =𝟗. 𝟓𝟖𝟖 𝐱 𝟏𝟎𝟓. 𝟒𝟎

𝟒. 𝟗𝟎= 𝟐𝟎𝟖. 𝟑𝟗

𝑲′ =𝟓 𝐱 𝟏𝟎𝟓. 𝟒

𝟒. 𝟗𝟎= 𝟏𝟎𝟕. 𝟓𝟓

𝕒 =𝟒. 𝟑𝟕𝟓 𝐱 𝟏𝟎𝟓. 𝟒𝟎

𝟖. 𝟔𝟎= 𝟗𝟒. 𝟏𝟏

Viga (3 –4)

𝑲 =𝟐𝟗. 𝟓(𝟑. 𝟓)𝟑

𝟑 𝐱 𝟓. 𝟑𝟎= 𝟕𝟗. 𝟓𝟓 ∗∗ 𝑹𝒊𝒈𝒊𝒅𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂 𝒍𝒂𝒔 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒂𝒔 𝒐𝒓 𝒔𝒖 𝒔𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒂

Rigideces de columna C1 = 15.6 ; C2 = 7.8 ; C3 = C4 = C5

𝐾1 =7(8)3

𝐶1= 229.74; 𝐾3 =

7.5(7.5)3

𝐶1= 202.82; 𝐾4 =

4.5(5.5)3

𝐶1= 47.99

𝐾5 =5(7)3

𝐶2= 263.85; 𝐾7 =

6.5(6.5)3

𝐶2= 228.85; 𝐾8 =

4(5)3

𝐶2= 64.10

𝐾9 =5(6)3

𝐶3= 138.46; 𝐾11 =

5.5(5.5)3

𝐶3= 117.32 ; 𝐾12 =

3.5(4.0)3

𝐶3= 28.72

𝐾13 =4(5)3

𝐶4= 64.10; 𝐾15 =

4(4)3

𝐶4= 32.82; 𝐾16 =

3(3)3

𝐶4= 10.38

𝐾17 =3(4)3

𝐶5= 24.62; 𝐾19 =

3(3)3

𝐶5= 10.38 ; 𝐾20 =

3(3)3

𝐶5= 10.38

𝐾 =4 𝐼

12𝐿


CUADRO DE RIGIDECES CON DIAFRAGMA DE VIGAS Y COLUMNAS;

SENTIDO Y


6.1 FACTORES F POR EL MÉTODO APROXIMADO

𝑭 = 𝟏 +𝟐𝚺𝑲𝒗𝑸

𝚺𝐊𝐯 ∗ 𝑐𝑜𝑛 𝑝ó𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠

K + a = rigides asimétrica anticimetrico

1.- Giro simétrico

M = Kθ + aθ

M = Kθ + a(-θ)

M = θ(K – a)

2.- Giro antisimétrico

M = Kθ + aθ

M = (K+ a) θ


Σ K = Σ Kv + Σ (Kc + a)

Σ (Kc + a) = (Kc + a) = Kc + a + Kc + a

𝓤 =𝚺 𝒌𝒄 + 𝕒

𝚺𝑲> 1

𝑄 =𝒰 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

𝒰 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟

𝐹 = 1 + 2 𝐾𝑣1𝒬1 + 𝐾𝑣2𝒬2 + 𝐾𝑣3𝒬3

𝐾𝑣1 + 𝐾𝑣2 + 𝐾𝑣3

FACTOR F EN EL DESARROLLO DEL PROBLEMA

Pórtico 1.- 5to piso, sentido x

𝐹 = 1 + 2 𝐾𝑣1𝒬1 + 𝐾𝑣2𝒬2 + 𝐾𝑣3𝒬3

𝐾𝑣1 + 𝐾𝑣2 + 𝐾𝑣3

𝐹 = 1 + 2 13.42𝑥0.70 + 13.42𝑥0.88 + (19.5𝑥0.82)

13.42 + 13.4 + 19.58 = 2.61 < 3


4to piso, sentido x

𝐹 = 1 + 2 13.42𝑥0.78 + 13.42𝑥0.88 + (12.58𝑥0.76)

46.42 = 2.60 < 3

3er piso, sentido x


2do piso, sentido x

𝐹 = 1 + 2 12.34 + 12.92 + 14.24

46.42 = 2.70 < 3

1er piso, sentido x

𝐹 = 1 + 2 12.49 + 12.92 + 13.66

46.42 = 2.68 < 3



𝐹 = 1 + 2 14.9𝑥0.56 + 14.9𝑥0.853 + (20.69𝑥0.623)

50.49 = 2.50 < 3

4to piso, sentido x

𝐹 = 1 + 2 14.9𝑥0.78 + 14.9𝑥0.89 + (20.69𝑥0.94)

50.49 = 2.76 < 3


3er piso, sentido x

𝐹 = 1 + 2 14.9𝑥0.97 + 14.9𝑥0.94 + (20.69𝑥0.62)

50.49 = 2.64 < 3

2do piso, sentido x

𝐹 = 1 + 2 14.70 + 14.48 + 13.62

50.49 = 2.70 < 3


1er piso, sentido x

𝐹 = 1 + 2 14.72 + 14.35 + 13.36

50.49 = 2.70 < 3


𝐹 = 1 + 2 1.47 + 1.746 + 2.20

6.71 = 2.61 < 3


4to piso, sentido x

𝐹 = 1 + 2 1.62 + 1.80 + 2.39

6.71 = 2.73 < 3

3er piso, sentido x

𝐹 = 1 + 2 1.69 + 1.84 + 2.776

6.71 = 2.88 < 3


2do piso, sentido x

𝐹 = 1 + 2 1.79 + 1.87 + 2.50

6.71 = 2.84 < 3

1er piso, sentido x

𝐹 = 1 + 2 1.803 + 1.88 + 2.21

6.71 = 2.76 < 3


Pórtico A.- 5to piso, sentido y

𝐹 = 1 + 2 11.21 + 6.42 + 9.52

42.99 = 2.26 < 3

4to piso, sentido y

𝐹 = 1 + 2 10.92 + 8.27 + 15.70

42.99 = 2.62 < 3


3er piso, sentido y

𝐹 = 1 + 2 10.70 + 11.09 + 10.7607

42.99 = 2.51 < 3

2do piso, sentido y

𝐹 = 1 + 2 16.15 + 20.59 + 10.50

61.39 = 2.54 < 3


2do piso, sentido y

𝐹 = 1 + 2 18.95 + 20.40 + 12.63

61.39 = 2.69 < 3

1er piso, sentido y

𝐹 = 1 + 2 20.30 + 21.007 + 13.42

61.39 = 2.71 < 3


Pórtico D.- 5to piso, sentido y

𝐹 = 1 + 2 3.109 + 6.458 + 5.003

21.05 = 2.39 < 3

4to piso, sentido y

𝐹 = 1 + 2 6.44 + 7.20 + 3.65

21.05 = 2.64 < 3


3er piso, sentido y

𝐹 = 1 + 2 5.59 + 5.52 + 4.76

21.05 = 2.51 < 3

2do piso, sentido y

𝐹 = 1 + 2 6.11 + 6.58 + 5.49

21.05 = 2.73 < 3


1er piso, sentido y

𝐹 = 1 + 2 5.02 + 6.29 + 5.43

21.05 = 2.59 < 3


RIGIDECES SUCESIVAS

Cadena Abierta.- Es un método exacto de resolución de sistemas de ecuaciones.

Vigas Continuas.- Ecuaciones de los tres giros, ecuaciones de deformaciones.

giros Cálculo de deformaciones.- desplazamientos (incógnitas) * Para resolver las incógnitas planteamos sistemas de ecuaciones (condiciones de

deformación)

** Buscamos método de soluciones de ecuaciones y unos de esos métodos es el de

cadena abierta y giros adelantados, otro método es del Análisis matricial.

Ecuación de Maney:

M = Mf + Kθ + aθ’

M’ = M’f + K’θ + aθ

𝑴 = 𝑴′𝒇 =𝑷𝑳𝟐

𝟏𝟐

M’1 = M’f + K1’θ + a1θi

M2 = Mf2 + K2θ + a2θd

* aplicando la ecuación de equilibrio M’1 + M2 = 0

M’1 + M2 = 0 = (M’f + Mf2) + (K’1+K2)θ + a1θi + a2

Incognitas = θ1 , θi , θd = ?

Sumatoria de momentos que concurren al nudo * método del Ing. Alejandro Segovia

M’f1 + Mf2 = ΣMf = m = momento desequilibrante

Sumatoria de rigideces que concurren al nudo

K1 + K2 = ΣK = A = característica inicial.

Δx , Δy, Δz = deformación lineal

θx , θy, θz = deformación angular


Ecuación de deformación

a1θi + Aθ + a2θd + m = 0

Deducción de la ecuación con cuatro apoyos

Matriz 2 de rigideces

a1θi + Aθ + a2θd + m = 0

𝑨 = 𝚺𝑲 ; 𝒎 = 𝚺𝑴𝒇 ; 𝑴𝒇 =𝑷𝑳𝟐

𝟏𝟐 ; 𝑴𝒗 =

𝑷𝑳𝟐

𝟐

Matriz de rigidez de la estructura

Sistema de ecuaciones simultaneas simetricas

1) A1θ1 + a1θ2 + m1 = 0

2) a1θ1 + A2θ2 + a2θ3 + m2 = 0

3) + a2θ2 + A3θ3 + a3θ4 + m3 = 0

4) a3θ3 + A4θ4 + m4 = 0

θ1 θ2 θ3 θ4 m = 0

A1 a1 0 0 m1 = 0

a1 A2 a2 0 m2 = 0

0 a2 A3 a3 m3 = 0

0 0 a3 A4 m4 = 0


De 1) 𝜽𝟏 =−𝒎𝟏−𝒂𝟏𝜽𝟐

𝑨𝟏 remplazando 2) 𝒂𝟏

−𝒎𝟏−𝒂𝟏𝜽𝟐

𝑨𝟏 + 𝑨𝟐𝜽𝟐 + 𝒂𝟐𝜽𝟑 + 𝒎𝟐 = 𝟎

Reducción de 1) 𝑨𝟏𝜽𝟏 + 𝒂𝟏𝜽𝟐 + 𝒎𝟏 = 𝟎

𝜽𝟏 = −𝒎𝟏

𝑨𝟏−

𝒂𝟏𝜽𝟐

𝑨𝟏

Valor conocido

𝜃1𝐶 = −

𝑎1

𝐴1𝜃2 𝜃1 = 𝜃1

𝑃 + 𝜃1𝐶

𝜽𝟏 remplazo en 2)

𝒂𝟏 𝜽𝟏𝑷 −

𝒂𝟏

𝑨𝟏𝜽𝟐 + 𝑨𝟐𝜽𝟐 + 𝒂𝟐𝜽𝟑 + 𝒎𝟐 = 𝟎

𝑨𝟐 −𝒂𝟏

𝟐

𝑨𝟏 𝜽𝟐 + 𝒎𝟐 + 𝜽𝟏

𝑷𝒂 + 𝒂𝟐𝜽𝟑

𝑆2𝜃2 + 𝑉2𝑃 + 𝑎2𝜃3 = 0

𝜃2 = −𝑉2

𝑃

𝑆2−

𝑎2

𝑆2𝜃3 = 0

𝜃2𝑃 = −

𝑉2𝑃

𝑆2 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜

𝜃2𝐶 = −

𝑎2

𝑆2𝜃3

𝜽𝟐 = 𝜽𝟐𝑷 −

𝒂𝟐

𝑺𝟐𝜽𝟑 𝟐) 𝒓𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒐 𝟑)

𝒂𝟐 𝜽𝟐𝑷 −

𝒂𝟐

𝑺𝟐𝜽𝟑 + 𝒂𝟑𝜽𝟑 + 𝒂𝟑𝜽𝟒 + 𝒎𝟑 = 𝟎

𝑨𝟑 −𝒂𝟐

𝟐

𝑺𝟐 𝜽𝟑 + 𝒎𝟑 + 𝒂𝟐𝜽𝟐

𝑷 + 𝒂𝟑𝜽𝟒 = 𝟎

𝑆3𝜃3 + 𝑉3𝑃 + 𝑎3𝜃4 = 0

𝜃3 = −𝑉3

𝑃

𝑆3−

𝑎3

𝑆3𝜃4

𝜽𝟏𝑷 = −

𝒎𝟏

𝑨𝟏

𝜽𝟏 = 𝜽𝟏𝑷 −

𝒂𝟏

𝑨𝟏𝜽𝟐

𝑆2 = 𝐴2 −𝑎1

2

𝐴1 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑎𝑐𝑡. 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙.

𝑈2 = 𝑚2 + 𝑎1𝜃1𝑃 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑞. 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙.

𝜃2 = 𝜃2𝑃 + 𝜃2

𝐶

𝑆3 = 𝐴3 −𝑎2

2

𝐴2 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜.

𝑈2𝑃 = 𝑚3 + 𝑎2𝜃2

𝑏 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜.


𝜃3𝑃 = −

𝑉3𝑃


𝜃3𝐶 = −

𝑎3

𝑆3𝜃4

𝜽𝟑 = 𝜽𝟑𝑷 −

𝒂𝟑

𝑺𝟑𝜽𝟒 𝒓𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒐 𝟏) 𝒆𝒏 𝟒)

𝜽𝟑 𝜽𝟑𝑷 −

𝒂𝟑

𝑺𝟑𝜽𝟒 + 𝒂𝟒𝜽𝟒 + 𝒎𝟒 = 𝟎

𝑨𝟒 −𝒂𝟑

𝟐

𝑺𝟑 𝜽𝟒 + 𝒎𝟒 + 𝒂𝟑𝜽𝟑

𝑷 = 𝟎

𝜃4 = 𝜃4𝑃 + 𝜃3

𝐶

𝑆4𝜃4 + 𝑉4𝑃 = 0

𝜃4 = −𝑉4

𝑃


Cálculo de las características normales

Nudo inicial

𝑺𝟏 = 𝑨𝟏

nudos intermedios i = 2 …..4

𝑺𝒊 = 𝑨𝒊 −𝒂𝟐 𝒊 − 𝟏

𝟑 𝒊 − 𝟏

Cálculo de los desequilibrantes normales

Nudo inicial

𝑽𝟏𝑷 = 𝒎𝟏

nudos intermedios

𝑉𝑖𝑃 = 𝑚𝑖 + 𝑎 𝑖 − 1 𝜃𝑃 𝑖 − 1 ; 𝑖 = 2 … .4

𝑉2𝑃 = 𝑚2 + 𝑎1𝜃1

𝑃 ; 𝑖 = 2

𝑉3𝑃 = 𝑚3 + 𝑎2𝜃2

𝑃 ; 𝑖 = 3

𝑉4𝑃 = 𝑚4 + 𝑎3𝜃3

𝑃 ; 𝑖 = 4

𝜃3 = 𝜃3𝑃 + 𝜃3

𝐶

𝑆4 = 𝐴4 −𝑎3

2

𝐴3 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜.

𝑈4𝑃 = 𝑚4 + 𝑎3𝜃3

𝑃 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜.

𝑺𝟐 = 𝑨𝟐 −𝒂𝟏

𝟐

𝑺𝟏; 𝒊 = 𝟐

𝑺𝟑 = 𝑨𝟑 −𝒂𝟐

𝟐

𝑺𝟐; 𝒊 = 𝟑

𝑺𝟒 = 𝑨𝟒 −𝒂𝟑

𝟐

𝑺𝟑; 𝒊 = 𝟒

1)

2)


3) Cálculo de los giros 4) Giros complementarios

𝜃𝑖𝑃 = −

𝑣𝑖𝑃

𝑆𝑖 ; 𝑖 = 1 … .4

𝜃1𝑃 = −

𝑣1𝑃

𝑆1 ; 𝑖 = 1

𝜃2𝑃 = −

𝑣2𝑃

𝑆2 ; 𝑖 = 2

𝜃3𝑃 = −

𝑣3𝑃

𝑆3 ; 𝑖 = 3

𝜃4𝑃 = −

𝑣4𝑃

𝑆4 ; 𝑖 = 4

5) Giro Definitivo

𝑖 = 1 … . 𝑛 − 1

APLICACIÓN DE CADENA ABIERTA PARA VIGAS CONTINÚAS

𝑴 =𝑷𝑳𝟐

𝟏𝟎=

1.2 4.5 2

10= 2.43 𝑡. 𝑚

𝒅 = 𝑴

𝑹𝒃=

243000

16(30)= 22.5 𝒉 = 22.5 + 5 = 27,5 = 30 𝑐𝑚 𝒅 = 𝟐𝟓 𝒉 = 𝟑𝟎

Peso de carga muerta = 1.42 tn/m

Rigides

𝐾 =𝐼

𝐿

𝑰 =𝒃𝒉𝟑

𝟏𝟐=

3(3)3

12= 6.75 𝑑𝑚4

𝜽𝒊𝑪 = −

𝒂𝒊

𝑺𝒊𝜽 𝒊 + 𝟏 𝑖 = 1, 2(𝑛 − 1)

𝜃1𝐶 = −

𝑎1

𝑆1𝜃2 ; 𝑖 = 1

𝜃2𝐶 = −

𝑎2

𝑆2𝜃3 ; 𝑖 = 2

𝜃3𝐶 = −

𝑎3

𝑆3 𝜃4; 𝑖 = 3

𝜽𝒊 = 𝜽𝒊𝑷 + 𝜽𝒊

𝑪

Datos

f'c = 210 kg/cm2

fs = 1400 kg/cm2

k = 16 kg/cm2

𝑲𝟏 =6.75

4.5= 1.50 𝒂𝟏 = 0.75

𝑲𝟐 =6.75

3.5= 1.92 𝒂𝟐 = 0.96

𝑲𝟑 =4.0

3.5= 1.69 𝒂𝟑 = 0.84


Matriz de Rigidez

Momentos de empotramiento


𝟐=

1.42 1.2 2

2= 1.02 𝑡. 𝑚

𝑴𝒇𝟏 = 𝑴′𝒇𝟐 =𝑷𝒍𝟐

𝟏𝟐=

1.42 4.5 2

12= 2.42 𝑡. 𝑚

𝑴𝒇𝟑 = 𝑴′𝒇𝟒 =1.42 3.5 2

12= 1.45 𝑡. 𝑚

𝑴𝒇𝟒 = 𝑴′𝒇𝟓 =1.42 4.0 2

12= 1.89 𝑡. 𝑚


𝟐=

1.47(1.5)2

2= 1.60 𝑡. 𝑚

Signo de Croos ⤼ ⤽ ; M = t.m

Ecuación de equilibrio de deformación o ecuación de los tres giros

m = desequilibrio o estado de carga actual

𝒂𝒊𝜽𝒊 + 𝑨𝜽 + 𝒂𝒅𝜽𝒅 + 𝒎 = 𝟎

𝜽𝟏 𝜽𝟐 𝜽𝟑 𝜽𝟒 +m = 0

1.5 0.75 1.38=0

0.75 3.42 0.96 -0.95=0

0.96 3.61 0.84 0.44=0

0.34 1.09 -0.29=0


MEMORIA DE DESARROLLO

Si = A1

𝟏) 𝑺𝒊 = 𝑨𝟏 −𝒂𝒊 − 𝟏

𝑺𝒊 − 𝟏 (𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠)

𝟐) 𝜽𝒑𝒊 =𝑽𝒊

𝑷

𝑺𝒊; 𝑖 = 1. 𝑛 𝜃𝑝𝑛 = 𝜃𝑛 =

𝑉𝑛𝑆𝑖

𝟑) 𝑽𝒊𝑷 = 𝒎𝒊 + 𝒂 𝒊 − 𝟏 𝜽𝑷 𝒊 − 𝟏 ; 𝑖 = 2, 𝑛 𝑉𝑖 = 𝑚𝑖

𝟒) 𝜽𝒊𝑪 = −

𝒂𝒊

𝑺𝒊𝜽 𝒊 + 𝟏 𝑖 = 1; …… ; 𝑛 − 1

𝟓) 𝜽𝒊 = −𝜽𝒊𝑷 + 𝜽𝒊

𝑪 … . ; 𝑖 = 1 ; 𝑛 − 1

Características

𝑺𝟐 = 𝑨𝟐 −𝒂𝟏

𝟐

𝑺𝟏= 3.42 −

0.752

1.5= 3.045

𝑺𝟑 = 𝑨𝟑 −𝒂𝟐

𝟐

𝑺𝟐= 3.61 −

0.262

3.048= 3.5023

𝑺𝟒 = 𝑨𝟒 −𝒂𝟑

𝟐

𝑺𝟑= 1.69 −

0.8452

3.3025= 1.4741

Etapa preparatoria

𝜽𝟏𝑷 = −

𝑽𝟏𝑷

𝑺𝟏= −

1.380

1.50= −0.92 𝑽𝟐

𝑷 = 𝒎𝟐 + 𝒂𝟏𝜽𝟏𝑷 = −0.95 + 0.75 −0.92 = −1.64

𝜽𝟐𝑷 = −

𝑽𝟐𝑷

𝑺𝟐= −

−1.54

3.045= 0.5326 𝑽𝟑

𝑷 = 𝒎𝟑 + 𝒂𝟐𝜽𝟐𝑷 = 0.44 + 0.96 0.5386 = 0.957

𝜽𝟑𝑷 = −

𝑽𝟑𝑷

𝑺𝟑= −

0.997

3.3023= −0.2893 𝑽𝟒

𝑷 = 𝒎𝟒 + 𝒂𝟑𝜽𝟑𝑷 = 0.29 + 0.845 −0.2893 = −0.5345

𝜽𝟒𝑷 = 𝜽𝟒 = −

𝑽𝟒𝑷

𝑺𝟒= −

−0.5345

1.4741= 0.3626


ETAPA COMPLEMENTARIA

𝜽𝟑𝑪 = −

𝒂𝟑

𝑺𝟑𝜽𝟒 = −

0.845

3.3073 0.3626 = −0.0926

𝜽𝟑 = 𝜽𝟑𝑷 + 𝜽𝟑

𝑪 = −0.2893 − 0.0926 = −0.3819

𝜽𝟐𝑪 = −

𝒂𝟐

𝑺𝟐𝜽𝟑 = −

0.960

3.045 −0.3819 = 0.1204

𝜽𝟐 = 𝜽𝟐𝑷 + 𝜽𝟐

𝑪 = 0.5386 + 0.1204 = 0.6590

𝜽𝟏𝑪 = −

𝒂𝟏

𝑺𝟏𝜽𝟐 = −

0.750

1.500 0.6590 = −0.3295

𝜽𝟏 = 𝜽𝟏𝑷 + 𝜽𝟏

𝑪 = −0.92 − 0.3295 = −1.2495

Comprobación

Nudo 2

𝒂𝟏𝜽𝟏 + 𝑨𝟐𝜽𝟐 + 𝒂𝟐𝜽𝟑 + 𝒎𝟐 = 𝟎

0.75(-1.2495) + 3.42(0.659) + 0.96(-0.3819) + (-0.95) = 0

CÁLCULO DE LOS MOMENTOS APLICANDO LA ECUACIÓN DE MANEY

M = Mf + Kθ + aθ’

M’ = Mf’ + K’θ + aθ

Tramo 1) M1 = 2.4 + 1.5(-1.2495) + 0.75(0.659) = 1.02 tm.

M’1 = -2.4 + 1.5(0.659) + 0.75(-0.3819) = -2.349 tm.

Tramo 2) M2 = 1.45 + 1.92(0.659) + 0.96(-0.3819) = 2.349 tm.

M’2 = -1.45 + 1.92(-0.3819) + 0.96(0.659) = -1.551 tm.

Tramo 3) M3 = 1.89 + 1.69(-0.3819) + 0.845(0.3626) = 1.551 tm.

M’3 = -1.89 + 1.69(0.3626) + 0.845(-0.3819) = -1.60 tm.


TEORÍA ELÁSTICA

𝑽𝟏 = 𝟏. 𝟒𝑫 + 𝟏. 𝟕𝑳 𝑽𝟏 = 𝟏. 𝟒 𝑪𝑴 + 𝟏. 𝟕 𝑪𝑽

𝑪𝑴 + 𝑪𝑽

𝑴𝒖 = 𝒇𝟏𝑴(𝑫+𝑳) = 𝟏. 𝟓 − 𝟏. 𝟔 𝑽𝒖 = 𝒇𝟏𝑽(𝑫+𝑳)

2do Ejemplo

PÓRTICO DE UN PISO SIN DESPLAZAMIENTO (CADENA ABIERTA)

𝑲 =𝑰

𝑳 𝑲 =

𝒃𝒉𝟑

𝟏𝟐𝑳 𝑴 =

𝑷𝑳𝟐

𝟏𝟐 𝑴𝒗 =

𝑷𝑳𝟐

𝟐


Comprobación

Nudo 2

𝒂𝟏𝜽𝟏 + 𝑨𝟐𝜽𝟐 + 𝒂𝟐𝜽𝟑 + 𝒎𝟐 = 𝟎

1.77(-0.28755) + 13.4604(0.12359) + 2.2857(-0.06665) -1 = 0.00003 = 0


Momentos de Viga:

Mv1 = 2.53 + 3.556(-0.28755) + 1.778(0.12359) = 1.724 tm

M’v1 = -2.53 + 3.556(0.12359) + 1.778(-0.28755) = -2.602 tm

Mv2 = 1.53 + 4.5714(0.12359) + 2.2857(-0.06665) = 1.943 tm

M’v2 = -1.53 + 4.5714(-0.06665) + 2.2857(0.12359) = -1.552 tm

Mv3 = 2.0 + 4(-0.06665) + 2.0(0.08705) = 1.905 tm

M’v3 = -2.0 + 4(0.08705) + 2.0(-0.06665) = - 1.795 tm

Mv4 = 1.125 + 5.339(0.08705) + 2.6665(0) = 1.589 tm

M’v4 = - 1.125 + 5.339(0) + 2.6665(0.08705) = - 0.892 tm

Momentos de Columnas:

Mc1 = 0 + 2.25(-0.28755) + 1.125(0) = - 0.647 tm

M’c1 = 0 + 2.25(0) + 1.125(-0.28755) = - 0.324 tm

Mc2 = 0 + 5.333(0.12359) + 0 = 0.659 tm

M’c2 = 0 + 0 + 2.6662(0.12359) = 0.3295 tm

Mc3 = 0 + 3.339(-0.06665) + 1.125(0) = -0.355 tm

M’c3 = 0 + 0 + 1.125(-0.06665) = -0.175 tm

Mc4 = 0 + 2.25(0.02705) + 1.125(0) = 0.19586 tm

M’c4 = 0 + 0 + 1.125(0.02705) = 0.09793 tm


ECUACIÓN DE DESPLAZAMIENTO (PORTICO CON DESPLAZAMIENTO)

PÓRTICOS SIMÉTRICOS

Cuando se realiza en estado de carga vertical no sufre desplazamientos.

Cuando se realiza en estado de carga sísmica si sufre desplazamientos.

PÓRTICOS NO SIMÉTRICOS.

Se realiza a estado de carga vertical y sísmica sufre desplazamiento.


𝑷 + 𝑸 = 𝚺 𝑯′

𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝑲𝜽 + 𝒂𝜽′ + 𝒃𝚫

𝑴′ = 𝑴′𝒇 + 𝑲′𝜽′ + 𝒂𝜽 + 𝒃𝚫

𝑷 + 𝑸 = Σ𝐻´𝑓 + Σ(𝑀𝑓 + 𝐾𝜃 + 𝑎𝜃′ + 𝑏Δ + 𝑀´𝑓 + 𝐾′𝜃 + 𝑎𝜃 + 𝑏′Δ)

𝑯′ = 𝐻′𝑜 + (𝑀𝑓 + 𝐾𝜃 + 𝑎𝜃′ + 𝑏Δ + 𝑀´𝑓 + 𝐾′𝜃 + 𝑎𝜃 + 𝑏′Δ)

𝑯′ = 𝐻′𝑜 +𝑀𝑓 + 𝑀′𝑓

𝐿 +

𝐾 + 𝑎

𝐿 𝜃 +

𝐾 + 𝑎

𝐿 𝜃′ +

𝑏 + 𝑏′

𝐿 Δ

𝑯′ = 𝑯𝒇 + 𝒃𝜽 + 𝒃′𝜽′ + 𝒕𝚫

𝚺𝑯′ = 𝚺𝑯′𝒇 + 𝚺(𝒃𝜽 + 𝒃′𝜽′) + 𝑻𝚫

𝑷 + 𝑸 = 𝚺 𝑯′

𝑷 + 𝑸 = 𝚺 𝑯′𝒇 + 𝚺(𝒃𝜽 + 𝒃′𝜽′) + 𝑻𝚫

𝐻 = 𝐻𝑜 −𝑀 + 𝑀′

𝐿

𝑄 = 𝑀𝑓 + 𝑀′𝑓

𝐻′ = 𝐻′𝑜 −𝑀 + 𝑀′

𝐿


𝑸 = 𝑯𝒇 + 𝑯′𝒇

𝑸 = 𝚺(𝑯𝒇 + 𝑯′𝒇)

(𝑸 = 𝚺𝑯′𝒇) = 𝚺𝑯 𝒇

𝑷 + 𝚺𝑯𝒇 =

S = fuerza de pisos

𝑺 = 𝚺 𝒃𝜽 + 𝒃′𝜽′ + 𝑻𝚫 𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐜𝐨𝐫𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞

ECUACIÓN DE LOS 5 GIROS

Mi M´d

MS

MÍ

MdMí

M´S

MI

𝑀′ 𝑖 + 𝑀𝑑 + 𝑀′𝑆 + 𝑀𝐼 = 0

𝑀′ 𝑖 = 𝑀′𝑓𝑖 + 𝐾′ 𝑖𝜃 + 𝑎𝑖𝜃𝑖

𝑀 𝑑 = 𝑀𝑓𝑑 + 𝐾 𝑑𝜃 + 𝑎𝑑𝜃𝑑

𝑀′𝑠 = 𝑀′𝑓𝑆 + 𝐾 𝑠𝜃 + 𝑎𝑆𝜃𝑆 + 𝑏′Δ𝑆

𝑀 𝐼 = 𝑀𝑓𝐼 + 𝐾

𝐼𝜃𝐼 + 𝑎𝐼𝜃𝐼 + 𝑏𝐼Δ𝐼

𝟎 = 𝚺𝑴𝒇 + 𝑨𝜽 + 𝒂𝒊𝜽𝒊 + 𝒂𝒅𝜽𝒅 + 𝒂𝒔𝜽𝒔 + 𝒂𝑰𝜽𝑰 + 𝒃𝑺𝚫𝑺 + 𝒃𝑰𝚫𝑰

𝑺 = 𝚺 𝒃𝜽 + 𝒃′𝜽′ + 𝑻𝚫


Ecuaciones de equilibrio por deformación

Giros .- Deformaciones Angulares

Desplazamientos.- Deformaciones lineales

𝑺 = 𝑷 + 𝚺𝑯𝒇

𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎𝑠: 𝑲 =𝟒𝑰

𝑳; 𝒂 =

𝑲

𝟐 ; 𝒃 =

𝑲 + 𝒂

𝑳 ; 𝒃′ =

𝑲′ + 𝒂

𝑳; 𝒕 =

𝒃′ + 𝒃

𝑳

𝑨 = 𝚺𝑲 ; 𝒎 = 𝚺𝑴𝒇 ; 𝑺 = 𝚺𝑷 + 𝚺𝑯𝑭

𝒎 + 𝑨𝜽 + 𝒂𝒊𝜽𝒊 + 𝒂𝒅𝜽𝒅 + 𝒂𝑺𝜽𝑺 + 𝒂𝑰𝜽𝑰 + 𝒃′𝑺𝚫𝑺 + 𝒃𝑺𝚫𝑰 = 𝟎


Chequeo en caso de programa S. Simetricas Δ1 Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Δ2 Θ5 Θ6 Θ7 Θ8 Δ3 Θ9 Θ10 Θ11 Θ12 +m=0

-S = 0

T1 b1 b2 b3 b4 -S1=0

b1 A1 V1 b'5 a5 +m1=0

b2 V1 A2 V2 b'6 a6 +m2=0

b3 V2 A3 V3 b'7 a7 +m3=0

b4 V3 A4 b'8 a8 +m4=0

b'5 b'6 b'7 b'8 T2 b5 b6 b7 b8 -S2=0

a5 b5 A5 V5 b'9 a9 +m5=0

g a6 b6 V5 A6 V6 b'10 a10 +m6=0

a7 V6 A7 V7 b'11 a11 +m7=0

a8 V7 A8 b'12 a12 +m8=0

b'9 b'10 b'11 b'12 T2 b9 b10 b11 b12 -S3=0

a9 b9 A9 V9 +m9=0

a10 b10 V9 A10 V10 +m10=0

a11 b11 V10 A11 V11 +m11=0

a12 b12 V11 A12 +m12=0


RESOLUCIÓN DE PÓRTICOS, POR RIGIDECES SUCESIVAS Y GIROS ADELANTADOS

Haciendo un resumen de lo anterior

tenemos que en un pórtico como el de la

figura A a estado de CARGA VERTICAL si es

simétrico, tanto en claro como en carga no

sufre desplazamiento, existe entonces en

equilibrio.

Cuando el pórtico es no simétrico, es decir

cargas diferentes en bandos el pórtico sufre

desplazamiento.

La estructura sometida a un estado de carga

SÍSMICA sufre desplazamiento

Pórticos no simétricos

SIMPLIFICACIONES POR SIMETRÍA

𝑴𝒇 = 𝑴′𝒇 =𝑷𝑳𝟐

𝟏𝟐

* viga elásticamente sustentada a carga simétrica.

𝑴 = 𝑴𝒇 = 𝑲𝜽 + 𝒂𝜽 = 𝑴𝒇 + 𝑲𝜽 − 𝒂𝜽 =

𝑴𝒇 + 𝑲 − 𝒂 𝜽 = 𝑴𝒇 + 𝑲𝑺𝜽 ; 𝑲𝑺 = 𝑲 − 𝒂

𝑴′ = 𝑴𝒇 + 𝑲′𝜽 + 𝒂𝜽 = 𝑴′𝒇 − 𝑲𝜽 + 𝒂𝜽 = −𝑴𝒇 − 𝑲 − 𝒂 𝜽 = − 𝑴𝒇 + (𝑲 − 𝒂)𝜽


SIMPLIFICACIÓN DE PÓRTICOS CON NÚMERO IMPAR DE TRAMOS

La simplificación de pórticos consiste en tomar la mitad del pórtico, debido a su

simetría, abreviamos el cálculo.

Pórtico simétrico y carga vertical simétrica.

* momento 𝑀𝑓 =𝑃𝐿2

2

12 ; el tramo se tomará totalmente (L2)

* La viga ésta elásticamente empotrada

Simplificación de pórticos con número par de tramos


Simplificación por antimetría.-

𝑴 = 𝑴𝒇 + (𝑲 + 𝒂)𝜽

𝑲𝒂 = 𝑲 + 𝒂 = 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎

𝑀 = 𝑀𝑓 + 𝐾𝜃 + 𝑎𝜃′ = 𝑀𝑓 + 𝐾𝜃 + 𝑎𝜃 = 𝑀𝑓 + 𝐾 + 𝑎 𝜃 = 𝑀𝑓 + 𝐾𝑎𝜃

𝑀′ = 𝑀′𝑓 + 𝐾𝜃′ + 𝑎𝜃 = 𝑀′𝑓 + 𝐾𝜃′ + 𝑎𝜃 = 𝑀𝑓 + 𝐾𝜃 + 𝑎𝜃 = 𝑀𝑓 + 𝐾 + 𝑎 𝜃 = 𝑀𝑓 + 𝐾𝑎𝜃

Simplificación en pórticos simétricos a carga antimetrica y número impar

de tramos

=


con numero par de tramos

𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝑲𝜽 + 𝒂𝜽′ + 𝒃𝚫

𝑴′ = 𝑴′𝒇 + 𝑲′𝜽′ + 𝒂𝜽 + 𝒃𝚫

𝑽 = 𝑽𝒇 + 𝒃𝜽 + 𝒃′𝜽 + 𝒕𝚫

𝑽′ = 𝑽′𝒇 + 𝒃𝜽 − 𝒃′𝜽′ − 𝒕𝚫

𝒕 =𝒃 + 𝒃′

𝑳 ; 𝒂 =

𝑲

𝟐 ;

𝒃 =𝑲 + 𝒂

𝑳 ; 𝒃′ =

𝑲′ + 𝒂

𝑳

Pórtico simétrico a carga vertical simétrica


Cuadro de rigides

𝑲 =𝒃𝒉𝟑

𝟏𝟐𝑳

Cuadro de momentos

𝑴𝒇 = 𝑴′𝒇 =𝑷𝑳𝟐

𝟏𝟐

Matriz de rigidez

𝑨 = 𝚺𝑲 ; 𝒂 =𝑲

𝟐 ; 𝑺𝒄 = 𝑨 −

𝒂𝟐

𝑺𝒊 ; 𝑨𝒏𝒕. = 𝑨 + 𝒂𝒔 + 𝒂𝒊

𝑨 = 𝚺𝑲 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑙 𝑛𝑢𝑑𝑜

𝒎 = 𝚺𝑴𝒇 (𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑀𝑓 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑙 𝑛𝑢𝑑𝑜)


Ecuación de los 5 giros

𝒂𝑺𝜽𝑺 + 𝒂𝑰𝜽𝑰 + 𝑨𝜽 + 𝒂𝒊𝜽𝒊 + 𝒂𝒅𝜽𝒅 + 𝒎 = 𝟎

𝑨 = 𝑲𝒊 + 𝑲𝒅 + 𝑲𝑺 + 𝑲𝑰

𝑨 = 𝑲𝒊 + 𝑲𝒅 + 𝒂𝑺 + 𝑲𝑰𝒂𝑰

Ant.= A + cs + a2

Cadena abierta

𝑎𝑖𝜃𝑖 + 𝑎𝑑𝜃𝑑 + 𝐴𝑛𝑡 𝜃 + 𝑚 = 0

𝑎𝑆𝜃𝑆 + 𝑎𝐼𝜃𝐼 + 𝐴𝜃 + 𝑎𝑖𝜃𝑖 + 𝑎𝑑𝜃𝑑 + 𝑚 = 0

𝑎𝑖𝜃𝑖 + 𝑎𝑑𝜃𝑑 + 𝐴 + 𝑎𝑠 + 𝑎𝐼 𝜃 + 𝑚 = 0 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑐𝑖ó𝑛)

𝑎𝑖𝜃𝑖 + 𝑎𝑑𝜃𝑑 + 𝐴𝜃 + 𝑚 + 𝑎𝑆𝜃𝑆 + 𝑎𝐼𝜃𝐼 = 0

Corrección de nudos externos

𝑺𝒊 = 𝑨 𝒊+𝟏 −𝒂𝟐

𝑨𝒊


Comprobación con la ecuación de los 5 giros.

Nudo 3.

𝒂𝑺𝜽𝑺 + 𝒂𝑰𝜽𝑰 + 𝑨𝜽 + 𝒂𝒊𝜽𝒊 + 𝒂𝒅𝜽𝒅 + 𝒎 = 𝟎

2.605(0.05230) + 1.4065 (-0.09231) + 13.357(-0.0611) + 2.667(-0.01623) + 1.125 = 0

Momentos aplicando las ecuaciones de Maney

Vigas:


𝑴′ = 𝑴′𝒇 + 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽

Columnas:

𝑴 = 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′

𝑴′ = 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽


Cuadro de momentos


DIAGRAMA DE MOMENTOS

PÓRTICOS CON DESPLAZAMIENTO MÉTODO C

* Pórtico de un solo tramo y simétrico

** Las vigas deben ser de sección constante o

variable.

*** Columnas de sección constante y altura igual

para cada piso.

0.345

-1.272


Ecuaciones de Maney

𝑴 = 𝑲𝜽 + 𝒂𝜽′ + 𝒃∆

𝑴′ = 𝑲′𝜽′ + 𝒂𝜽 + 𝒃′∆

Análisis de tramo de columna

𝑴 = 𝑲𝜽 +𝑲

𝟐𝜽′ +

𝟏.𝟓𝑲

𝑳∆

𝑴′ = 𝑲𝜽′ +𝑲

𝟐𝜽 +

𝟏. 𝟓𝑲

𝑳∆

Donde:

𝑴 = 𝑲𝜽 +𝑲

𝟐𝜽′ + 𝑲𝑺

𝑴′ = 𝑲′𝜽′ +𝑲

𝟐𝜽 + 𝑲𝑺 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑴𝒂𝒏𝒆𝒚

ECUACIONES DE CORTANTES

𝑺 = 𝚺 𝒃𝜽 + 𝒃′𝜽′ + 𝑻𝚫 T = Σt (sumatoria de todos los t de columnas del piso)

𝚫 =𝑺 − 𝚺 𝒃𝜽 + 𝒃′𝜽′

𝑻 𝑡 =

𝑏 + 𝑏′

𝐿=

1.5𝐾

𝐿+

1.5𝐾

𝐿

1

𝐿=

3𝐾

𝐿2

𝑏 =𝐾 + 𝑎

𝐿=

𝐾 +𝐾2

𝐿

𝑏′ =𝐾 + 𝑎

𝐿=

𝐾′ + 𝑎

𝐿=

1.5𝐾

𝐿


𝚫 =𝑺

𝟑𝑲𝑳𝟐

−𝚺

𝟏. 𝟓𝑲𝑳 𝜽 +

𝟏. 𝟓𝑲𝑳 𝜽′

𝟑𝑲𝑳𝟐

𝚫 =𝑺

𝟑𝑲𝑳𝟐

−

𝟏. 𝟓𝑲𝑳 (𝜽 + 𝜽′)

𝟑𝑲𝑳𝟐

=𝑺𝑳𝟐

𝟑𝑲−

𝑳(𝜽 + 𝜽′)

𝟐

𝟏. 𝟓𝚫

𝑳=

𝟏. 𝟓

𝑳 𝑺𝑳𝟐

𝟑𝑲−

𝑳 𝜽 + 𝜽′

𝟐

𝑺 =𝑺𝑳

𝟐𝑲− 𝟎. 𝟕𝟓 𝜽 + 𝜽′

Remplazando en la ecuación de Maney tenemos

𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝑲𝜽 +𝑲

𝟐𝜽′ + 𝑲

𝑺𝑳

𝟐𝑲− 𝟎. 𝟕𝟓 𝜽 + 𝜽′

𝑴 = 𝑴𝒇 +𝑺𝑳

𝟐 + 𝑲 − 𝟎. 𝟕𝟓𝑲 𝜽 +

𝑲

𝟐− 𝟎. 𝟕𝟓𝑲 𝜽′

𝑴 = 𝑴𝒇 +𝑺𝑳

𝟐 + 𝟎. 𝟐𝟓𝑲𝜽 − 𝟎. 𝟐𝟓𝑲𝜽′

𝑴 = 𝑴𝒔 + 𝑪𝜽 + 𝑪𝜽′

* Ms = momento de empotramiento debido a la fuerza de piso

𝑴𝒔 = 𝑴𝒇 +𝑺𝑳

𝟐 𝒚 𝑪 =

𝑲

𝟒

para M’, tenemos:

𝑴′ = 𝑴𝒇′ + 𝑲𝜽′ +𝑲

𝟐𝜽 + 𝑲

𝑺𝑳

𝟐𝑲− 𝟎. 𝟕𝟓 𝜽 + 𝜽′

𝑴′ = 𝑴𝒇′ +𝑺𝑳

𝟐 + 𝑲 − 𝟎. 𝟕𝟓𝑲 𝜽′ +

𝑲

𝟐− 𝟎. 𝟕𝟓𝑲 𝜽′

𝑴′ = 𝑴𝒇′ +𝑺𝑳

𝟐 + 𝟎. 𝟐𝟓𝑲𝜽′ − 𝟎. 𝟐𝟓𝑲𝜽

𝑴′ = 𝑴′𝒔 + 𝑪𝜽′ − 𝑪𝜽′


ECUACIÓN DE EQUILIBRIO DE MOMENTO

𝑀𝑣 + 𝑀′𝑠𝑣 + 𝑀𝐼 = 0

𝑴𝒗 = 𝑴𝒇 + 𝑲 + 𝒂 𝜽

𝑴′𝒔 = 𝑴′𝒔 + 𝑪𝒔𝜽 − 𝑪𝒔𝜽𝒔

𝑴𝑰 = 𝑴𝒔 + 𝑪𝑰𝜽 − 𝑪𝑰𝜽𝑰

𝜽 = 𝑴𝒇 + 𝑴′𝒔 + 𝑴𝑺 + 𝑲 + 𝒂 + 𝑪𝒔 + 𝑪𝑰 𝜽 − 𝑪𝑺𝜽𝑺 − 𝑪𝑰𝜽𝑰 donde;

𝒎 = 𝚺𝑴𝒇 = 𝒎𝒇 + 𝑴′𝒔 + 𝑴𝒔 𝑨 = 𝚺𝑲 = 𝑲 + 𝒂 + 𝑪𝒔 + 𝑪𝑰

−𝑪𝑺𝜽𝑺 + 𝑨𝜽 − 𝑪𝑰𝜽𝑰 + 𝒎 = 𝟎 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝑴𝒆𝒕ó𝒅𝒐 𝑪 𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒆𝒔 𝒈𝒊𝒓𝒐𝒔

Ejemplo


Cálculo de los Momentos de empotramiento


𝟐 ; 𝑴𝒔 = 𝑴𝒇 +

𝑺𝑳

𝟐 ; 𝑴𝑭 = 𝟎 ; 𝑴𝒔 = 𝑴′𝒔 =

𝑺𝑳

𝟐

Cálculo de los giros (cadena abierta o ecuación de los tres giros)

𝑨 = 𝚺𝑲 = 𝑲 + 𝒂 + 𝑪𝒔 + 𝑪𝑰 −𝑪𝑺𝜽𝑺 + 𝑨𝜽 − 𝑪𝑰𝜽𝑰 + 𝒎 = 𝟎


CÁLCULO DE LOS MOMENTOS FINALES

Ecuaciones de Maney 𝑴′ = 𝑴′𝒔 + 𝑪𝜽′ − 𝑪𝜽′ 𝑴 = 𝑴𝒔 + 𝑪𝜽 + 𝑪𝜽′


Comprobación

𝑺 =𝚺𝑴𝒄

𝑳 𝑺 = 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝒑𝒊𝒔𝒐

𝑺𝟒 =𝟑. 𝟖𝟒𝟑 + 𝟐. 𝟒𝟎𝟕

𝟐. 𝟓= 𝟐. 𝟓 𝑻𝒏

𝑺𝟑 =𝟔. 𝟑𝟔𝟎 + 𝟒. 𝟖𝟗𝟎

𝟐. 𝟓= 𝟒. 𝟓 𝑻𝒏

𝑺𝟐 =𝟖. 𝟐𝟖𝟓 + 𝟕. 𝟑𝟒𝟎

𝟐. 𝟓= 𝟔. 𝟐𝟓 𝑻𝒏

𝑺𝟏 =𝟖. 𝟑𝟓𝟔 + 𝟏𝟒. 𝟖𝟗𝟔

𝟑. 𝟔= 𝟕. 𝟕𝟓 𝑻𝒏


2DO TRABAJO PÓRTICO SIMÉTRICO A CARGA HORIZONTAL

Simplificación antimetrica

factores F 2.5 – 3.00

𝐹 = 1 + 2 Σ𝐾𝑣𝑄

Σ𝐾𝑣

𝐹 Σ𝐾𝑣 + 𝐾 + 𝑎

Donde

F1= 2.92

F2=2.91

F3= 2.94


Aplicación del pórtico equivalente

𝑆 = Σ𝑃 + Σ𝐻𝐹

F debe estar entre (2.5 – 3.00)

Cálculo de los momentos Ms


𝟐= 𝑴′𝒔

𝑴′𝒔 = 𝑴𝒔 =𝑺𝑳

𝟐

Momentos Ms = M’s

Cálculo de θ por cadena abierta

Cálculo de los desplazamientos

𝜹 =𝑺𝑳

𝟐𝚺𝑲𝒄= 𝟎. 𝟕𝟓(𝜽 + 𝜽′)

𝜹𝟏 = 𝟎. 𝟓𝟗𝟒𝟏 ; 𝜹𝟐 = 𝟎. 𝟖𝟑𝟔𝟏 ; 𝜹𝟑 = 𝜹𝟏 = 𝟎. 𝟕𝟐𝟒𝟎


Calculo de los momentos por desplazamiento

Cálculo de los giros y momentos por las ecuaciones de Maney


Momentos

Cuadro de momentos: resumen


Diagrama de momentos


PÓRTICO NO SIMÉTRICO A CARGA VERTICAL

𝑷 = 𝟏. 𝟐𝟏𝟔𝑻

𝒎𝟐 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒑𝒊𝒔𝒐 𝑷 = 𝟎. 𝟖𝟔𝟔

𝑻

𝒎𝟐(𝒕𝒆𝒓𝒓𝒂𝒛𝒂)

Cálculo de Momento de empotramiento

𝒎 = 𝚺𝑲 𝑴𝒇 =𝑷𝑳𝟐

𝟏𝟐 𝑴𝒗 =

𝑷𝑳𝟐

𝟐


Momentos de empotramiento


Calculo de los giros

42.53 75.38

74.825

47.54

45.72

32.35

24.61

24.70

A=

11.4

2.285 0

03.208

03.208

a = 6.70

1.5

0

2.7

75

4.1

6

7.5

95

2.11252.1133

-0.1358-0.1357

0.0286

2.7706 2.7595

-0.11497-0.11446

0.075970.07877

2.4638 -0.05647-0.05831

0.08334

An=30.35

82.02

81.42

53.68

52.698

38.49

36.97

22.54

19.96

a = 6.70 a = 9.77

0.02820.20380.2177

a = 6.70 a = 6.70 a = 9.77

a = 6.70 a = 6.70 a = 9.77

78.23 126.80

126.23

03.2082.0039 -0.02564

-0.025240.06415

132.94

132.58

a = 6.70 a = 6.70 a = 9.77

92.76 147.275

03.2082.4639 -0.02799

-0.028550.00968

153.415a = 6.70 a = 6.70 a = 9.77

10

.415

1.9726

25

.00

An=110.645

0.010320.01018

0.0025560.002414

16

.945

An=176.23

0.06494-0.000293-0.000264

33

.055

147.990

0.00063010.0007274

-1.873-1.7886-1.7886

0.026440.02828

-2.63-2.4085-2.4107

0.030410.03047

-2.63-2.22681 -0.018176

-2.63-1.9485-1.9485

0.010518

-2.63-2.2823 0.011034

0.01182

2.7

75

An=56.09 An=63.068 An=26.729

7.5

95

-0.018537

0.010533

153.110

-1.663-1.5545-1.5545

0.057620.056706

1.5

0

25.54

23.729

-2.335-2.1448-2.1449

0.072340.07232

1.5

0

27.30

26.30

-2.335-2.0932-2.098

0.069190.07005

32.60

31.88

-2.335-1.9287-1.9257

0.0560100.055914

34.10

33.48

-2.335-2.1026 0.05823

0.05874

16

.945

7.3

8

An=182.58 An= 38.41

33

.055

4.1

5


Cuadro de Momentos

Vigas: 𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝑴′𝒇 + 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽 Columnas: 𝑴 = 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽


Cálculo de a Fuerza de Piso S Método C

𝑺 =𝚺 𝑴𝒄+𝑴′ 𝒄

𝑳

Columnas: 𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝑴′𝒇 + 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽 Vigas: 𝑴 = 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽

134.9538

138.3858136.2840

158.0685154.2716

191.3670187.7448

205.1285193.7959

m-0.1014 0.00759

-0.0481 0.000233-0.0448

-0.1794 - 0.001256-0.173977

0.0663 - 0.0004550.093979

-0.0593 0.000187-0.03630

- 4.2

75

- 10.4

2-

23

.34

25

- 46.1

3-

37.5

875

𝛿 =𝑆𝐿

2𝐾− 0.75 𝜃 − 𝜃′

𝛿5 =−0.1014

17.1− 0.75 0.000759

+ 0.000233

= −0.006674

𝛿4 =0.0053

41.68− 0.75 0.000233

+ 0.001256

= 0.002046

𝛿3 =−0.1261

93.37− 0.75 0.0012

− 0.000455

= 0.002634

𝛿2 =−0.0598

184.52− 0.75 −0.000455

+ 0.000187

= −0.000123

𝛿1 =0.0005

150.35− 0.75 0.000187

= −0.000137

desplazamiento


Cuadro de Momentos (por desplazamiento)

Columnas: 𝑴 = 𝑲𝜹 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝑲′𝜹 + 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽 Vigas: 𝑴 = 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽


Cuadro de momentos finales o carga vertical


Diagrama de momentos

4to piso alto

5to piso alto

3er piso alto

2do piso alto

1er piso alto

planta baja


FACTOR F POR EL MÉTODO ELÁSTICO


𝑺 = 𝚺 𝒃𝜽 + 𝑻𝚫 para un solo piso

K = K’

𝒃 = 𝒃′ =𝑲 + 𝒂

𝑳=

𝟏. 𝟓𝑲

𝑳 𝒕 =

𝒃 + 𝒃′

𝑳=

𝟐𝒃

𝑳=

𝟑𝑲

𝑳𝟐

𝑻 = 𝚺𝒕 𝑻 = 𝚺 𝟑𝑲

𝑳𝟐 =

𝟑

𝑳𝟐𝚺𝑲𝒄

𝑺 = 𝟏. 𝟓𝑲

𝑳𝜽 +

𝟑𝚫

𝑳𝟐𝚺𝑲𝒄

𝜹 =𝟏. 𝟓𝚫

𝑳 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜

𝑺 =𝟏. 𝟓

𝑳𝚺 𝑲𝒄. 𝜽 + 𝟐𝜹𝚺𝑲𝒄 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝ó𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑜

𝑝𝑖𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝜽 = 𝜽𝒃 + 𝜽𝒊𝜹

𝜽 = 𝜽𝒊𝜹

Remplazando en la ecuación de cortante tenemos:

𝑺 =𝟏. 𝟓

𝑳𝚺 𝑲𝒄𝜽𝒊𝜹 +

𝟐𝜹

𝑳𝚺𝑲𝒄

𝑺 =𝟏. 𝟓

𝑳𝚺 𝑲𝒄𝜽𝒊 + 𝟐𝜹𝚺𝑲𝒄


(1)

𝜹 =𝚺𝑳

𝟏. 𝟓𝚺 𝒌𝒄𝜽𝒊 + 𝟐𝚺𝑲𝒄

Desplazamiento en pórticos de un solo piso 𝜃𝑖= giro de influencia

𝜃𝑖 → 𝛿 = 1

Columnas

Mf = Kδ = K

Mf = Kδ = K

Pórtico Equivalente

* a este pórtico le aplicamos el método C

Con la fórmula de método C, calculamos δ

𝜹 =𝑺𝑳

𝟐𝚺𝑲𝒄− 𝟎. 𝟕𝟓 𝜽 + 𝜽′ =

𝑺𝑳

𝟐− 𝟎. 𝟕𝟓𝜽

El desplazamiento del pórtico usando el método de C


𝛿 =𝑆𝐿

2Σ𝐾𝑐− 0.75 −

𝑆𝐿2

𝐹Σ𝐾𝑣 +Σ𝐾𝑐

4

2 𝜹 =𝑺𝑳

𝟐𝚺𝑲𝒄+

𝟒. 𝟓 𝑺𝑳

𝟒𝑭𝚺𝑲𝒗 + 𝚺𝑲𝒄

Igualando las ecuaciones (1) y (2) tenemos:

𝑆𝐿

2Σ𝐾𝑐

1.5𝑆𝐿

4𝐹Σ𝐾𝑣 + Σ𝐾𝑐=

𝑆𝐿

1.5Σ 𝐾𝑐𝜃𝑖 + 2Σ𝐾𝑐

𝑆𝐿 4𝐹Σ𝐾𝑣 + Σ𝑘𝑐 + 1.5 2Σ𝐾𝑐 𝑆𝐿

8𝐹Σ𝐾𝑐Σ𝐾𝑣 + 2 Σ𝐾𝑐 2=

𝑆𝐿


4𝐹Σ𝐾𝑣 + Σ𝑘𝑐

8𝐹Σ𝐾𝑐Σ𝐾𝑣 + 2 Σ𝐾𝑐 2=

1


4𝐹Σ𝐾𝑣 + 4Σ𝐾𝑐 1.5Σ 𝐾𝑐𝜃𝑖 + 2Σ𝐾𝑐 = 8𝐹Σ𝐾𝑐Σ𝐾𝑣 + 2 Σ𝐾𝑐 2

𝐹 = Σ𝐾𝑐 2 + Σ𝐾𝑐 𝛴 𝐾𝑐𝜃𝑖

Σ𝐾𝑣 + Σ𝐾𝑐𝜃𝑖= −

Σ𝐾𝑐

Σ𝑘𝑣 Σ𝐾𝑐 + Σ 𝐾𝑐𝜃𝑖

Σ 𝐾𝑐𝜃𝑖

𝑭 = −𝚺𝑲𝒄

𝚺𝒌𝒗 𝚺𝑲𝒄 + 𝚺 𝑲𝒄𝜽𝒊

𝚺 𝑲𝒄𝜽𝒊

𝑀 = 𝐾𝛿 + 𝐾𝜃 + 𝑎𝜃′

𝛿 = 1 𝑀𝑓 = 𝐾

* para pórtico de un solo piso


* para pórtico de más pisos

𝜮𝑲 = 𝑲𝒗𝟏 + 𝑲 + 𝒂

Kv1 Kv2

K+a K+a K+a

K+a K+a K+a

K+a K+a K+a

K+a K+a K+a

K K K


RESUMEN DE MOMENTOS O CARGA VERTICAL

Vigas 1era etapa 𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝑴′𝒇 + 𝒌𝜽′ + 𝒂𝜽 2da etapa 𝑴 = 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝒌𝜽′ + 𝒂𝜽 Columnas: 1era etapa 𝑴 = 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽 2da etapa 𝑴 = 𝑲𝜹 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝑲𝜹 + 𝒌𝜽′ + 𝒂𝜽

La sumatoria de la segunda etapa, nos da momentos definitivos existen dos etapas de

pórticos:

Pórticos con desplazamientos; y Pórticos sin desplazamientos

Ejemplo de pórticos sin desplazamiento.-

Si el pórtico no desplaza, solo sufre giro (efectos); es decir las deformaciones son las

incógnitas:

* los giros se producen uno por cada nudo.

** los desplazamientos se producen uno por cada piso

*** el nudo se considera indeformable


Carga Vertical 𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ + 𝒃𝚫 𝑴′ = 𝑴′𝒇 + 𝒌′𝜽 + 𝒂𝜽 + 𝒃′𝚫 Carga Sismica 𝑴 = 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝒌′𝜽 + 𝒂𝜽

Ejemplo de Pórticos a carga vertical.- (no sufren desplazamientos), podemos hacer la

simplificación por simetría.

Pórtico con número impar de tramos (no sufren desplazamiento)


Viga 𝑴 = 𝑴𝒇 + 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝑴′𝒇 + 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽 Columna 𝑴 = 𝒌𝜽 + 𝒂𝜽′ 𝑴′ = 𝒌′𝜽′ + 𝒂𝜽 sin desplazamiento Con numero par de tramos (no sufre desplazamiento)


3.) Cálculo de rigideces

4.) Cálculo de momento de empotramiento a carga vertical en vigas

𝑀′𝑓 = 𝑀𝑓 =𝑃𝐿2

12

5.) Cálculo de la matriz de rigideces A = ΣK

6.) Cálculo de giros θ y θ’ por giros adelantados

𝒎 + 𝑨𝜽 + 𝒂𝒗𝒅𝜽𝒅 + 𝒂𝒗𝒊𝜽𝒗𝒊 + (𝒂𝑪𝑺𝜽𝑺 + 𝒂𝑪𝑰𝜽𝑰) = 𝟎

* cadena abierta resuelve la ecuación de los tres giros

7.) Cálculo de momentos finales por medio de las ecuaciones de Maney.


Pórticos no simétricos a carga vertical

1.) Este pórtico si se desplaza y se calcula en dos etapas.

2.) Calculo de rigideces

1era etapa (sin desplazamiento)

P = p

Δ = 0

2da. Etapa (desplazamiento)

P = 0

Δ = Δ

3.) Etapa P = P Δ = 0

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Libro Estructura I Parte