Licenciatura en Matemáticas Grado en Matemáticas Guia de las

FACULTAD DE MATEMÁTICAS

UNIVERSIDAD DE MURCIA

Licenciatura en MatemáticasGrado en Matemáticas

Guia de las TitulacionesCurso 2009 – 2010

MURCIA, SEPTIEMBRE DE 2009

Guía de la Licenciatura y el Grado en MatemáticasUniversidad de MurciaCurso académico 2009-2010

Todos los derechos reservados.

Queda prohibida, salvo excepción prevista en la Ley, cualquier forma de reproducción, distribución, comunicaciónpública y transformación de esta obra sin contar con autorización de los titulares de la propiedad intelectual. Lainfracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (arts. 270 yss. del Código Penal).

c© del texto: los editores.

Editado por la Facultad de Matemáticas (Universidad de Murcia)

1a edición, septiembre de 2009

Compuesto con TEX usando LATEX.

Impreso por Compobell S.L., Murcia

Impreso en España – Printed in Spain

Presentación

La Facultad de Matemáticas de la Universidad de Murcia elabora esta Guía de la Licenciatura y delGrado en Matemáticas para el curso 2009-2010 con el objetivo de que sirva como herramienta informa-tiva de las titulaciones y de los distintos servicios que presta la Facultad. En concreto la guía contieneinformación acerca de:

La Facultad: sus órganos de gobierno, servicios, representación de los alumnos, plan de accióntutorial, etc.

La Licenciatura y el Grado en Matemáticas: sus competencias y planes de estudios y el proceso detransición entre ambas titulaciones.

Los programas de movilidad de estudiantes en los que participa la Facultad de Matemáticas.

El calendario académico, los horarios de clases y el calendario de exámenes de las titulaciones parael curso 2009-2010.

La programación detallada, para el curso 2009-2010, de cada una de las asignaturas de las titula-ciones: sus objetivos, temario, metodología, bibliografía, criterios de evaluación, etc.

Toda la información de esta guía, aumentada y actualizada, se puede obtener en la página web de laFacultad de Matemáticas:

www.um.es/fmath

http://www.um.es/fmath

Índice

1. La Facultad de Matemáticas 11.1. Órganos de Gobierno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Dependencias y Servicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Representación Estudiantil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. ASEMAT, Asociación de Estadística y Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5. Máster y Doctorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6. Profesorado y Departamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. La Licenciatura y el Grado 32.1. Licenciatura y Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. Mecanismos de coordinación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3. Plan de Acción Tutorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4. Competencias de la Licenciatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5. Competencias del Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Plan de Estudios de la Licenciatura en Matemáticas 83.1. Primer Ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2. Segundo Ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3. Intensificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4. Libre Configuración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4. Plan de Estudios del Grado en Matemáticas 12

5. Programas de movilidad e intercambio 135.1. Séneca-Sicue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2. LLP (Longlife Learning Programme) - Sócrates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.3. ISEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.4. Normativa de la Facultad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6. Calendario Académico 16

7. Horarios del Curso 2009-2010 177.1. Primer Curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.2. Segundo Curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.3. Tercer Curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.4. Cuarto Curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.5. Optativas de Primer y Segundo Ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.6. Optativas de Segundo Ciclo, bloque A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.7. Optativas de Segundo Ciclo, bloque B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.8. Asignaturas de Libre Configuración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

8. Exámenes del Curso 2009-2010 218.1. Convocatoria de Febrero 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218.2. Convocatoria de Junio 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228.3. Convocatoria de Septiembre 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

9. Asignaturas de Primer Curso (Grado) 241568.Funciones de una variable real I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241569.Álgebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271570.Conjuntos y números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291571.Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331572.Introducción al software científico y a la programación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351573.Funciones de una variable real II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381574.Geometría afín y euclídea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401575.Topología de espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431576.Elementos de probabilidad y estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461577.Programación orientada a objetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

10. Asignaturas de Segundo Curso de la Licenciatura 510A5. Geometría Proyectiva y Formas Cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510A6. Análisis Matemático II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540A7. Métodos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610A8. Probabilidades y Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670A9. Ampliación de Topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

11. Asignaturas de Tercer Curso de la Licenciatura 771A0. Geometría Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771A1. Ecuaciones Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821A2. Métodos Estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871A3. Ecuaciones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911A4. Introducción al Análisis Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

12. Asignaturas de Cuarto Curso de la Licenciatura 1011A5. Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011A6. Análisis Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031A7. Análisis Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071A8. Ecuaciones en Derivadas Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101A9. Geometría y Topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142A0. Cálculo Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

13. Asignaturas optativas abiertas a primer y segundo ciclo 1242A1. Optimización Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243A1. Introducción a la Teoría de Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263A2. Aproximación a la Historia de las Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283A3. Medida e Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323A4. Ampliación de Ecuaciones Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354A1. Álgebra Conmutativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414A4. Topología de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

14. Asignaturas optativas de segundo ciclo (bloque A) 1462A6. Grafos y Optimización Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1462A7. Técnicas de Muestreo y Control de Calidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1482A8. Optimización No Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1503A7. Álgebra Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534A5. Teoría de Números Algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4A9. Lógica Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575A7. Geometría de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

15. Asignaturas optativas de segundo ciclo (bloque B) 1632A3. Análisis Multivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1632A4. Modelos Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1652A5. Modelos de Investigación Operativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1672A9. Teoría de la Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1693A8. Ampliación de Ecuaciones en Derivadas Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714A0. Métodos Matemáticos para la Mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744A6. Geometría Algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765A0. Seminario de Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785A3. Álgebras de Banach y Teoría Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795A5. Geometría Diferencial Avanzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

16. Asignaturas de Libre Configuración 1833FE. Probabilidad para las Finanzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1833FW. Taller de Matemática Divulgativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

17. Cuadro de profesores por asignatura 188

18. Direcciones y Teléfonos 191

Guia de la Licenciatura en Matemáticas La Facultad de Matemáticas 1

1. La Facultad de Matemáticas

La Facultad de Matemáticas es el Centro encargado de la gestión administrativa y de la organizaciónacadémica de las enseñanzas conducentes a la obtención de los títulos de Licenciado en Matemáticas,Graduado en Matemáticas, Máster en Matemática Avanzada y Doctor en Matemáticas.

Los departamentos, cada uno de los cuales engloba una o más áreas de conocimiento, son los encar-gados de desarrollar las enseñanzas de las asignaturas correspondientes a sus áreas de conocimiento.

1.1. Órganos de Gobierno

El Decano es la máxima autoridad académica de la Facultad, representa a ésta, preside la Junta deFacultad, ejecuta sus acuerdos y ejerce el gobierno ordinario del Centro. En estas tareas es asistido por suequipo decanal, cuya composición actual es la siguiente:

Decano: Francisco Esquembre Martínez ([email protected], 86888-3534, 86888-3669).Secretario: Alberto del Valle Robles ([email protected], 86888-4167).Vicedecano de Organización Académica:Antonio Linero Bas ([email protected], 86888-3583).Vicedecano de Alumnos, Formación Continua y Extensión Universitaria:Manuel Andrés Pulido Cayuela ([email protected], 86888-3619).Vicedecano para la Calidad:José Antonio Pastor González ([email protected], 86888-4170).

La Junta de Facultad es el órgano de gobierno colegiado de la Facultad, y en ella están representadoslos profesores, los alumnos y el personal de administración y servicios. Su composición y funcionamientose rigen por los Estatutos de nuestra Universidad y por su propio Reglamento de Régimen Interno.

1.2. Dependencias y Servicios

Las dependencias y servicios de la Facultad de Matemáticas comparten edificio con el Aulario Generaldel Campus de Espinardo, y son entre otras las siguientes:

Conserjería (planta 0). Es atendida por Manuel Pintado, Roberto Abad y Teresa Rodríguez.Decanato (primera 1). Alberga los despachos del equipo decanal y de la Secretaria del Decano,Maria Teresa Orenes, que lo asiste en la gestión administrativa y económica del Centro.Secretaría (planta 1). Es atendida por Salvador Sánchez y Paloma Poveda, que apoyan al equipodecanal en la gestión académica del Centro, y en particular tramitan las matrículas y los expedientes.Biblioteca (planta 2). Abierta en horario de mañana y tarde, contiene la mayor parte de los librosde la Facultad y del Departamento de Matemáticas, libremente accesibles desde sus 100 puestos delectura. Existe un servicio de préstamo de libros bajo ciertas condiciones, así como la posibilidadde que los alumnos soliciten nuevas adquisiciones de libros.Espacios de trabajo en grupo (planta 2). Disponen de mesas y pizarras que permiten a los alumnosde la Facultad trabajar en grupos pequeños.Salón de Actos (planta 0). En él tienen lugar los actos académicos organizados por la Facultad deMatemáticas y por los Departamentos de Matemáticas y de Estadística e Investigación Operativa.Salas de ordenadores (planta S). En las ADLA (aulas de docencia y libre acceso) Milano yMosquitero se desarrollan las clases prácticas de la Licenciatura; fuera de los horarios de clases,los alumnos pueden hacer reservas de sus puestos de trabajo en las Secretarías Virtuales. En laplanta 0 se encuentra el ADLA Merla, que no es gestionada por la Facultad.

mailto:[email protected]





2 Profesorado y Departamentos Universidad de Murcia

Aulas y seminarios. La Facultad dispone para el desarrollo de sus actividades docentes ordina-rias de las aulas y seminarios del segundo piso y de un aula en la planta baja. Algunas de estasactividades se desarrollan también en los seminarios de los Departamentos.Delegación de Alumnos (planta 0). En ella desarrollan su actividad de representación los delegadosde curso y de centro. Junto a ella se encuentra el despacho de ASEMAT.

1.3. Representación Estudiantil

Los órganos colegiados de gobierno de la Facultad y los Departamentos son la Junta de Facultad y losConsejos de Departamento, respectivamente. En ellos, un 30 % de sus miembros son representantes delalumnado. Las convocatorias de elecciones para cubrir esta representación se realizan tan pronto como sedispone de listas definitivas de alumnos.

También en ese momento se elige un delegado y un subdelegado en cada curso, y un delegado y unsubdelegado de Facultad, que asumen la representación de los alumnos de la Facultad en el Consejo deEstudiantes de la Universidad de Murcia (CEUM, http://www.um.es/ceum/index.html), cuyopresidente forma a su vez parte del Consejo de Gobierno de la Universidad.

1.4. ASEMAT, Asociación de Estadística y Matemáticas

Fue creada en enero de 1998 y consiguió la denominación de Junior Empresa en noviembre de 1999,convirtiéndose así en la primera Junior Empresa europea dedicada a las Matemáticas.

Sus socios son estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas de la Universidad de Murcia, y sufinalidad es dotarlos de una formación complementaria y ayudarlos a introducirse en el mundo laboral.Para ello funciona como una empresa en todos sus aspectos, ofreciendo como tal una serie de serviciosrelacionados con las Matemáticas y la Estadística.

1.5. Máster y Doctorado

La Facultad de Matemáticas también organiza el Máster de Matemática Avanzada y los Estudios deDoctorado (http://www.um.es/fmath/Posgrado), distinguidos con la Mención de Calidad delMinisterio de Educación en todas las convocatorias desde que fue instaurada en el curso 2003–2004.

1.6. Profesorado y Departamentos

El profesorado que imparte las asignaturas de las titulaciones de la Facultad está altamente cualificado.Se compone principalmente de doctores pertenecientes a los cuerpos docentes de la Universidad que de-sarrollan una actividad investigadora de calidad (http://www.um.es/investigacion/grupos).

Los departamentos a los que pertenecen estos profesores son los siguientes:

Estadística e Investigación Operativa: Está ubicado en la Facultad de Matemáticas. Su Directores D. Félix Belzunce Torregrosa y su Secretaria es Da. Josefa Marín Fernández.Física: Está ubicado en la Facultad de Química. Su Director es D. Juan Manuel Bueno García y suSecretario es D. Juan Pedro Montávez Gómez.Ingeniería de la Información y las Comunicaciones: Está ubicado en la Facultad de Informática.Su Director es D. Luis Daniel Hernández Molinero y su Secretario es D. Gregorio Martínez Pérez.Matemáticas: Está ubicado en la Facultad de Matemáticas. Su Director es D. Pedro Antonio GuilAsensio y su Secretario es D. Matías Raja Baño.

http://www.um.es/ceum/index.html

http://www.um.es/fmath/Posgrado

http://www.um.es/investigacion/grupos

Guia de la Licenciatura en Matemáticas La Licenciatura y el Grado 3

2. La Licenciatura en Matemáticas y el Grado en Matemáticas

2.1. Licenciatura y Grado

El sistema universitario español está inmerso en un proceso de adaptación al Espacio Europeo de Edu-cación Superior (EEES) cuyo objetivo principal es facilitar la movilidad y el reconocimiento de estudiosentre universidades del continente.

Este cambio no afecta sólo a la duración de los estudios, sino también a la manera de medir el trabajodesarrollado por el alumno y a la metodología docente. En particular, el Sistema de Transferencia deCréditos Europeos (ECTS) mide el trabajo global del alumno, incluyendo tanto las horas de clases comolas horas de trabajo individual y en grupo, de asistencia a tutorías, preparación de exámenes, etc.

En consonancia con este proceso, y tras la aprobación del proyecto que la Facultad elaboró siguiendolas directrices del Libro Blanco del Título de Grado en Matemáticas, este curso comienza la implantacióndel Grado en Matemáticas y la consiguiente extinción de la Licenciatura en Matemáticas.

En concreto se implanta el primer curso del Grado y se extingue el primer curso de la Licenciatura:esto significa que no se imparte docencia de las correspondientes asignaturas, aunque seguirá habiendoexámenes extraordinarios durante dos cursos (éste y el siguiente).

La Facultad de Matemáticas viene participando desde el curso 2005/2006 en diversas Experiencias deInnovación Educativa encaminadas a ir implantando gradualmente los cambios que exige la adaptaciónal EEES, por lo que la puesta en marcha del nuevo título se afronta con naturalidad y confianza.

En esta guía se muestra un resumen de los planes de estudios y competencias de ambos títulos. En laweb http://www.um.es/fmath/estudios.php se puede encontrar información más detalladay en particular el proyecto de Grado, que incluye:

Una descripción de los objetivos del título y de las competencias que deben adquirir los titulados.

Un análisis de los recursos necesarios para la adecuada impartición de las enseñanzas.

Una previsión de los resultados de los alumnos (tasas de abandono, graduación y eficiencia).

Una descripción del Sistema de Garantía Interna de la Calidad de la Facultad.

Un calendario de implantación y un procedimiento de adaptación de los alumnos de la Licenciatura.

En particular, los objetivos del grado son:

Conocer la naturaleza, métodos y fines de los distintos campos de la Matemática junto con ciertaperspectiva histórica de su desarrollo.

Reconocer la presencia de la Matemática subyacente en la Naturaleza, en la Ciencia, en la Tec-nología y en el Arte. Reconocer a la Matemática como parte integrante de la Educación y la Cultura.

Desarrollar las capacidades analíticas y de abstracción, la intuición y el pensamiento lógico y rigu-roso a través del estudio de la Matemática.

Capacitar para la utilización de los conocimientos adquiridos en la definición y planteamiento deproblemas y en la búsqueda de sus soluciones tanto en contextos académicos como profesionales.

Preparar para posteriores estudios especializados, tanto en una disciplina matemática como encualquiera de las ciencias que requieran buenos fundamentos matemáticos.

Facilitar la inserción en el mercado laboral: docencia universitaria y no universitaria, administraciónpública, banca, finanzas y seguros, consultoría, informática y telecomunicaciones, industria.

http://www.um.es/fmath/estudios.php

4 Plan de Acción Tutorial Universidad de Murcia

2.2. Mecanismos de coordinación

La Facultad de Matemáticas debe nomnbrar un coordinador en cada uno de los cursos del Grado (ac-tualmente sólo el primero) y, en el marco de los proyectos de innovación educativa, también ha designadocoordinadores para cada uno de los cursos de la Licenciatura con asignaturas troncales y obligatorias (se-gundo, tercero y cuarto). La coordinación “vertical” la desempeña el coordinador de Grado y coordinadorde experiencias de innovación educativa:

Coordinador de 1er Curso: Prof. Pedro José Harrero Piñeyro.

Coordinador de 2o Curso: Prof. Antonio José Pallarés Ruiz.

Coordinador de 3er Curso: Prof. Miguel Ángel Meroño Bayo.

Coordinador de 4o Curso: Prof. Víctor Jiménez López.

Coordinador vertical: Prof. Alberto del Valle Robles.

2.3. Plan de Acción Tutorial

La Facultad desarrolla un Plan de Acción Tutorial para sus estudiantes, cuyos objetivos son:

- Dar información a los alumnos sobre servicios, normativas, posibilidades de empleo, etc.

- Facilitar la integración de los alumnos de nuevo ingreso.

- Promover la responsabilidad y el compromiso de los estudiantes hacia su formación académica.

- Orientar a los alumnos para la mejora de su rendimiento académico.

- Supervisar los resultados académicos que van alcanzando los estudiantes.

- Orientar a los alumnos en la gestión de sus itinerarios curriculares.

La organización del Plan de Acción Tutorial comprende cuatro acciones:

Acogida de los alumnos de nuevo ingreso; presentación de la Facultad y de los distintos serviciosque les ofrece la Universidad.

Tutorización académica, mediante la asignación de un tutor a cada alumno y la realización de en-trevistas entre ambos para desarrollar los objetivos del Plan de carácter académico.

Orientación profesional, que incluye charlas impartidas por personal especializado y presentacionesde potenciales empleadores.

Coordinación y evaluación del Plan, mediante el nombramiento de un Coordinador que organizala asignación de tutores, supervisa el desarrollo del plan y presenta un informe anual a la Junta deFacultad.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Competencias de la Licenciatura 5

2.4. Competencias de la Licenciatura

La siguiente lista de competencias se elaboró a partir de la que establece el Libro Blanco; en las guíasde las asignaturas se citan por el código que las acompaña:

COMPETENCIAS TRANSVERSALES INSTRUMENTALES

TI1 Capacidad de análisis y síntesisTI2 Capacidad de organización y planificaciónTI3 Comunicación oral y escrita en la lengua nativaTI4 Conocimiento de una lengua extranjeraTI5 Conocimientos de informática relativos al ámbito de estudioTI6 Capacidad de gestión de la informaciónTI7 Resolución de problemasTI8 Toma de decisiones

COMPETENCIAS TRANSVERSALES PERSONALES

TP1 Trabajo en equipoTP2 Trabajo en un equipo de carácter interdisciplinarTP3 Trabajo en un contexto internacionalTP4 Habilidades en las relaciones interpersonalesTP5 Reconocimiento a la diversidad y la multiculturalidadTP6 Razonamiento críticoTP7 Compromiso ético

COMPETENCIAS TRANSVERSALES SISTÉMICAS

TS1 Aprendizaje autónomoTS2 Adaptación a nuevas situacionesTS3 CreatividadTS4 LiderazgoTS5 Conocimiento de otras culturas y costumbresTS6 Iniciativa y espíritu emprendedorTS7 Motivación por la calidadTS8 Sensibilidad hacia temas medioambientales

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS DISCIPLINARES

ED1 Conocimientos disciplinares de ÁlgebraED2 Conocimientos disciplinares de Análisis MatemáticoED3 Conocimientos disciplinares de EstadísticaED4 Conocimientos disciplinares de GeometríaED5 Conocimientos disciplinares de Historia de las MatemáticasED6 Conocimientos disciplinares de InformáticaED7 Conocimientos disciplinares de LógicaED8 Conocimientos disciplinares de Métodos Numéricos

6 Competencias de la Licenciatura Universidad de Murcia

ED9 Conocimientos disciplinares de modelos matemáticos en otras cienciasED10 Conocimientos disciplinares de Probabilidades y EstadísticaED11 Conocimientos disciplinares de TopologíaED12 Conocimientos disciplinares de Investigación operativaED13 Conocimientos disciplinares de otras disciplinas científicas

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS PROFESIONALES

EP1 Creación de modelos matemáticos para situaciones realesEP2 Resolución de modelos utilizando técnicas analíticas, numéricas o estadísticasEP3 Visualización e interpretación de solucionesEP4 Participación en la implementación de programa informáticosEP5 Diseño e implementación de algoritmos de simulaciónEP6 Identificación y localización de errores lógicosEP7 Argumentación lógica en la toma de decisionesEP8 Aplicación de los conocimientos a la prácticaEP9 Transferencia de la experiencia matemática a un contexto no matemático

EP10 Análisis de datos utilizando herramientas estadísticasEP11 Diseño de experimentos y estrategiasEP12 Utilización de herramientas de cálculoEP13 Participación en la organización y dirección de proyectos

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS ACADÉMICAS

EA1 Conocimiento de los procesos de aprendizaje de las matemáticasEA2 Ejemplificación de la aplicación de las matemáticas a otras disciplinas y a problemas realesEA3 Capacidad de mostrar la vertiente lúdica de las matemáticasEA4 Expresión rigurosa y claraEA5 Razonamiento lógico e identificación de errores en los procedimientosEA6 Generación de curiosidad e interés por las matemáticas y sus aplicacionesEA7 Capacidad de relacionar las matemáticas con otras disciplinas

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS (OTRAS)

EO1 Capacidad de críticaEO2 Capacidad de adaptaciónEO3 Capacidad de abstracciónEO4 Pensamiento cuantitativo

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Competencias del Grado 7

2.5. Competencias del Grado

Se reproducen las del proyecto de Grado; en las guías de las asignaturas se citan por su código:

COMPETENCIAS TRANSVERSALES DE LA UNIVERSIDAD DE MURCIA

CTUMU1 Ser capaz de expresarse correctamente en español en el ámbito de la Matemática.CTUMU2 Comprender y expresarse en un idioma extranjero en el ámbito de la Matemática, particular-

mente en inglés.CTUMU3 Ser capaz de gestionar la información y el conocimiento en el ámbito de la Matemática, in-

cluyendo saber utilizar como usuario las herramientas básicas en TIC.CTUMU4 Considerar la ética y la integridad intelectual como valores esenciales de la práctica profe-

sional.CTUMU5 Ser capaz de proyectar los conocimientos, habilidades y destrezas adquiridos para promover

una sociedad basada en los valores de la libertad, la justicia, la igualdad y el pluralismo.CTUMU6 Ser capaz de trabajar en equipo y relacionarse con otras personas del ámbito de la Matemática

o cualquier otro ámbito.CTUMU7 Desarrollar habilidades de iniciación a la investigación.

COMPETENCIAS GENERALES DEL TÍTULO

CGM1 Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposi-ciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitirlos conocimientos matemáticos adquiridos.

CGM2 Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Ma-temática.

CGM3 Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático en términos de otros ya conocidos, yser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.

CGM4 Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada,y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlascon demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razona-mientos incorrectos.

CGM5 Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS DEL TÍTULO

CGM6 Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técni-cas, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de lasrestricciones de tiempo y recursos.

CGM7 Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando lasherramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.

CGM8 Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visua-lización gráfica, optimización u otras para experimentar en Matemáticas y resolver problemas.

CGM9 Desarrollar programas que resuelvan problemas matemáticos utilizando para cada caso el en-torno computacional adecuado.

CGM10 Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos.CGM11 Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados

e ideas matemáticas.

8 Primer Ciclo Universidad de Murcia

3. Plan de Estudios de la Licenciatura en Matemáticas

El Plan de estudios de Licenciado en Matemáticas está estructurado en dos ciclos, con una cargalectiva global de 300 créditos y una duración de 5 años.

Las asignaturas que lo configuran y su distribución temporal aparecen en los cuadros que siguen. Decada una se indica su duración (anual A, de primer cuatrimestre C1 ó de segundo cuatrimestre C2), sunúmero total de créditos y, si es necesario, su tipo, que puede ser:

T Troncal: Materia obligatoria en todas las Licenciaturas en Matemáticas de España.OB Obligatoria de Universidad: Materia obligatoria en esta Licenciatura.OP Optativa: Materia que el alumno puede elegir en los términos que se indicarán.

De los 300 créditos totales, 30 deben ser de libre configuración (véase el apartado 3.4). Por razonesde organización de horarios, y para completar el currículum con asignaturas de la titulación, se recomiendaque el alumno elija estos créditos entre las asignaturas optativas de este Plan de Estudios.

3.1. Primer Ciclo

El Primer ciclo, de tres años, incluye 168 créditos de materias troncales y obligatorias de universidad(comunes a todos los alumnos) y 12 créditos de libre configuración. Las asignaturas optativas abiertas aprimer y segundo ciclo (véase la tabla más adelante) tienen horarios compatibles con los del tercer curso.

La distribución por cursos de las asignaturas troncales (T) y obligatorias (OB) es la siguiente:

Primer CursoCódigo Asignatura Tipo Créd. Dur.

0A0 Álgebra Lineal y Geometría Euclídea T 15 A0A1 Topología T 6 C20A2 Análisis Matemático I T 18 A0A3 Informática T 9 A0A4 Álgebra Básica OB 12 A

Este curso 2009-2010 ya no se imparte docencia de las asignaturas de primer curso. Seguirá habiendoexámenes extraordinarios los cursos 2009-2010 y 2010-2011.

Segundo CursoCódigo Asignatura Tipo Créd. Dur.

0A5 Geometría Proyectiva y Formas Cuadráticas T 9 A0A6 Análisis Matemático II T 15 A0A7 Métodos Numéricos T 15 A0A8 Probabilidades y Estadística T 12 A0A9 Ampliación de Topología OB 9 A

Tercer CursoCódigo Asignatura Tipo Créd. Dur.

1A0 Geometría Diferencial T 15 A1A1 Ecuaciones Diferenciales T 7,5 C11A2 Métodos Estadísticos OB 9 A1A3 Ecuaciones Algebraicas OB 9 A1A4 Introducción al Análisis Complejo OB 7,5 C2

Créditos de libre configuración 12

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Segundo Ciclo 9

3.2. Segundo Ciclo

Para acceder al Segundo Ciclo el alumno deberá tener superados al menos 120 créditos corres-pondientes a materias troncales y obligatorias del Primer Ciclo.

En el Segundo Ciclo, de dos años, el alumno debe cursar 45 créditos de materias troncales, 57 dematerias optativas y 18 de libre configuración. Las materias troncales corresponden al cuarto curso:

Cuarto CursoCódigo Asignatura Tipo Créd. Dur.

1A5 Álgebra T 9 A1A9 Geometría y Topología T 9 A2A0 Cálculo Numérico T 9 A1A6 Análisis Funcional T 6 C11A7 Análisis Complejo T 6 C11A8 Ecuaciones en Derivadas Parciales T 6 C2

Créditos de asignaturas optativas OP 15

Las asignaturas optativas se distribuyen en tres grupos según sus horarios de clase y si se recomiendacursarlas durante el Segundo Ciclo. Las que no se imparten este curso 2009-2010 se han señalado con (*):

Optativas abiertas a Primer y Segundo Ciclo – Horario compatible con 3er y 4o curso

Código Asignatura Créd. Dur.

4A1 Álgebra Conmutativa 6 C13A3 Medida e Integración 6 C12A1 Optimización Lineal 6 C14A4 Topología de Superficies 6 C13A4 Ampliación de Ecuaciones Diferenciales 6 C24A2 Análisis de Fourier (*) 6 C23A2 Aproximación a la Historia de las Matemáticas 6 C22A2 Inferencia No Paramétrica (*) 6 C23A1 Introducción a la Teoría de Números 6 C2

Optativas de Segundo Ciclo, bloque A – Horario compatible con la Troncalidad de 4o curso

Código Asignatura Créd. Dur.2A6 Grafos y Optimización Discreta 7,5 C13A5 Inglés Científico (*) 4,5 C14A9 Lógica Matemática 7,5 C15A0 Seminario de Álgebra 6 C12A7 Técnicas de Muestreo y Control de Calidad 6 C15A4 Topología Algebraica (*) 7,5 C15A1 Ampliación de Algebra Conmutativa (*) 6 C23A6 Didáctica de las Matemáticas en la Enseñanza Secundaria (*) 4,5 C25A7 Geometría de Riemann 7,5 C22A8 Optimización No Lineal 7,5 C24A5 Teoría de Números Algebraicos 6 C2

10 Intensificaciones Universidad de Murcia

Optativas de Segundo Ciclo, bloque B – Horario incompatible con la Troncalidad de 4o curso

Código Asignatura Créd. Dur

3A7 Álgebra Computacional 7,5 C14A8 Álgebra Homológica (*) 6 C13A8 Ampliación de Ecuaciones en Derivadas Parciales 6 C13A9 Análisis Numérico de las Ecuaciones en Derivadas Parciales (*) 6 C15A2 Espacios Localmente Convexos (*) 6 C14A3 Física (*) 6 C15A6 Geometría de Subvariedades (*) 6 C12A5 Modelos de Investigación Operativa 6 C12A4 Modelos Lineales 7,5 C12A9 Teoría de la Probabilidad 6 C1

5A3 Álgebras de Banach y Teoría Espectral 6 C23A0 Ampliación de Modelos de Investigación Operativa (*) 6 C22A3 Análisis Multivariante 7,5 C24A6 Geometría Algebraica 7,5 C25A5 Geometría Diferencial Avanzada 6 C24A0 Métodos Matemáticos para la Mecánica 6 C24A7 Representaciones de Grupos (*) 6 C2

3.3. Intensificaciones

El Plan de Estudios prevé la obtención de intensificaciones bien en Matemática Fundamental o bienen Estadística e Investigación Operativa.

Cada intensificación tiene asociadas ciertas asignaturas optativas divididas en dos bloques como semuestra a continuación. Un título de Licenciado en Matemáticas reflejará una intensificación cuando sehayan cursado al menos 57 créditos de las asignaturas vinculadas a ella, de los cuales al menos 51 debenser del bloque 1.

Intensificación en Estadística e Investigación Operativa

Bloque 1 Bloque 2Ampliación de Modelos de I.O. Álgebra ComputacionalAnálisis Multivariante Ampliación de Ecuaciones DiferencialesGrafos y Optimización Discreta Ampliación de EDPsInferencia No paramétrica Análisis Numérico de las EDPsModelos de Investigación Operativa Aproximación a la Historia de las Matem.Modelos Lineales Didáctica de las Matemáticas . . .Optimización lineal Inglés CientíficoOptimización No Lineal Introducción a la Teoría de NúmerosTécnicas de Muestreo y Control de Calidad Medida e IntegraciónTeoría de la Probabilidad Métodos Matemáticos para la Mecánica

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Libre Configuración 11

Intensificación en Matemática FundamentalBloque 1 Bloque 2Álgebra Computacional Análisis MultivarianteÁlgebra Conmutativa Didáctica de las Matemáticas . . .Álgebra Homológica Inglés CientíficoÁlgebras de Banach y Teoría Espectral Optimización LinealAmpliación de Álgebra Conmutativa Optimización No LinealAmpliación de Ecuaciones Diferenciales Teoría de la ProbabilidadAmpliación de EDPsAnálisis de FourierAnálisis Numérico de las EDPsAproximación a la Historia de las MatemáticasEspacios Localmente ConvexosFísicaGeometría AlgebraicaGeometría de RiemannGeometría de SubvariedadesGeometría Diferencial AvanzadaIntroducción a la Teoría de NúmerosLógica MatemáticaMedida e IntegraciónMétodos Matemáticos para la MecánicaRepresentaciones de GruposSeminario de ÁlgebraTeoría de Números AlgebraicosTopología AlgebraicaTopología de Superficies

3.4. Libre Configuración

Los alumnos pueden obtener créditos de libre configuración, previa solicitud a la Comisión de Con-validaciones de la Facultad, por las siguientes vías:

Cursando asignaturas ofrecidas como optativas en la titulación de Matemáticas.

Cursando asignaturas pertenecientes a una titulación distinta y ofrecidas a libre configuración.

Cursando asignaturas, seminarios u otras actividades académicas específicamente dirigidas a la libreconfiguraciónen las condiciones del acuerdo de Junta de Gobierno de 18 de marzo de 1997.

Obteniendo Créditos por equivalencia, previstos en el Plan de Estudios por:

– Prácticas en Empresas, Instituciones públicas o privadas, etc.

– Estudios realizados en el marco de convenios internacionales suscritos por la Universidad.

– Otras actividades.

Más información en http://www.um.es/estudios/libre-configuracion/index.php.

http://www.um.es/estudios/libre-configuracion/index.php

12 Libre Configuración Universidad de Murcia

4. Plan de Estudios del Grado en Matemáticas

El Plan de estudios del Grado en Matemáticas tiene una carga lectiva global de 240 créditos, de losque 30 son optativos. Está estructurado en 4 cursos y todas sus asignaturas son cuatrimestrales, por lo quepuede entenderse como estructurado en 8 cuatrimestres que hemos denotado C1, C2, . . . , C8.

Todas las asignaturas tienen una carga de 6 créditos, salvo el Trabajo de Fin de Grado que tiene 12.Su distribución temporal aparecen en el cuadro que sigue.

Este año académico 2009-2010 sólo se imparten las asignaturas de primer curso.

Primer Curso – C1 Primer Curso – C2Cód Asignaturas Cód Asignaturas1568 Funciones de una variable real I 1573 Funciones de una variable real II1569 Álgebra lineal 1574 Geometría afín y euclídea1570 Conjuntos y números 1575 Topología de espacios métricos1571 Física 1576 Elementos de probabilidad y estadística1572 Introducción al software científico y a la

programación1577 Programación orientada a objetos

Segundo Curso – C3 Segundo Curso – C4Cód Asignaturas Cód Asignaturas1578 Funciones de varias variables I 1583 Funciones de varias variables III1579 Funciones de varias variables II 1584 Ecuaciones diferenciales ordinarias1580 Ampliación de álgebra lineal y geometría 1585 Grupos y anillos1581 Cálculo numérico en una variable 1586 Análisis numérico matricial1582 Optimización lineal 1587 Topología de superficiesTercer Curso – C5 Tercer Curso – C6Cód Asignaturas Cód Asignaturas1588 Funciones de variable compleja 1594 Geometría global de superficies1589 Geometría de curvas y superficies 1596 Ecuaciones algebraicas1590 Teoría de la probabilidad 1597 Laboratorio de modelización1592 Grafos y optimización discreta 1593 Ecuaciones en derivadas parciales y series

de Fourier1591 Métodos numéricos de las ecuaciones

diferenciales1595 Ampliación de probabilidad y procesos

estocásticosCuarto Curso – C7 Cuarto Curso – C8Cód Asignaturas Cód Asignaturas1598 Inferencia estadística1599 Análisis funcional 1612 Trabajo de Fin de Grado (12 créds)1600 Álgebra conmutativaCód Asignaturas optativas Cód Asignaturas optativas1605 Prácticas externas 1605 Prácticas externas1601 Códigos correctores y criptografía 1606 Álgebra no conmutativa1602 Geometría de Riemann 1607 Fundamentos de la matemática1604 Optimización no lineal 1608 Estadística multivariante1603 Métodos numéricos y variacionales de las

ecuaciones en derivadas parciales1611 Teoría cualitativa de las ecuaciones dife-

renciales ordinarias1609 Geometría y relatividad1610 Matemática de los mercados financieros

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Programas de movilidad e intercambio 13

5. Programas de movilidad e intercambio

Los alumnos de la Licenciatura en Matemáticas pueden realizar parte de sus estudios en otras uni-versidades españolas o extranjeras. Los cursos realizados serán reconocidos por la Universidad de Mur-cia siempre que se realicen dentro de los programas de intercambio en los que participa la Facultad deMatemáticas.

El coordinador de estos programas es el profesor Manuel A. Pulido Cayuela ([email protected]).

A continuación se relacionan los principales programas de intercambio en los que participa la Facultadde Matemáticas y la normativa al respecto. En cada uno se citan las páginas web de la Universidad enlas que se puede encontrar información actualizada sobre las plazas ofrecidas y el procedimiento paraparticipar. Hay información adicional en http://www.fmath.um.es/estudiarfuera.php.

5.1. Séneca-Sicue

http://sicue.um.es http://www.um.es/internacionales/sicue/

Es un programa de intercambio y movilidad entre universidades españolas. Actualmente la Facultadde Matemáticas tiene convenio con las universidades:

Universidad DuraciónUniversidad Autónoma de Madrid 9 mesesUniversidad de Almería 9 mesesUniversidad de Cantabria 9 mesesUniversidad de Extremadura 9 mesesUniversidad de Granada 9 mesesUniversidad de Zaragoza 9 mesesUniversidade de Santiago de Compostela 9 mesesUniversitat Autònoma de Barcelona 9 mesesUniversitat de València 9 mesesUniversitat Politècnica de Catalunya 9 meses

5.2. LLP (Longlife Learning Programme) - Sócrates

http://erasmus.um.es http://www.um.es/internacionales/europa/

Es un programa de intercambio y movilidad entre universidades europeas, que funciona así:

La beca Erasmus permite cursar parte de los estudios de Matemáticas en una universidad europeacon pleno reconocimiento de los estudios realizados.

Supone no tener que pagar la matrícula en la universidad de destino y una ayuda para pagar losgastos adicionales que supone vivir en el extranjero.

El plazo para solicitarla suele ser en noviembre y hay que hacerlo a través de la página web delServicio de Relaciones Internacionales de la Universidad de Murcia. En esta misma página se en-cuentran los requisitos generales para poder solicitarla y mucha más información adicional. LaFacultad de Matemáticas tiene una normativa complementaria que aparece expuesta al final de esteapartado.

Actualmente la Facultad de Matemáticas tiene convenio con las universidades siguientes:


http://www.fmath.um.es/estudiarfuera.php

http://sicue.um.es

http://www.um.es/internacionales/sicue/

http://erasmus.um.es

http://www.um.es/internacionales/europa/

14 Normativa de la Facultad Universidad de Murcia

Universidad Ciudad País Idioma DuraciónUniversität Bielefeld Bielefeld Alemania Alemán 9 mesesJohannes-Kepler Universität Linz Linz Austria Inglés 9 mesesVrije Universiteit Brussel Bruselas Bélgica Inglés 9 mesesUniversiteit Antwerpen Amberes Bélgica Inglés 9 mesesUniverzita Mateja Bela Banská Bystrica Eslovaquia Inglés 4 mesesUniversité Montpellier II Montpellier Francia Francés 9 mesesUniv. Pierre et Marie Curie (Paris VI) París Francia Francés 9 mesesAristoteleo Panepistimio University Tesalónica Grecia Griego 9 mesesUniversity of Bristol Bristol Gran Bretaña Inglés 9 mesesUniversità degli estudi di Padova Padua Italia Italiano 9 mesesUniversità degli estudi di Palermo Palermo Italia Italiano 9 mesesUniv. d. e. di Modena e Reggio-Emilia Modena Italia Italiano 9 mesesAkademia Górniczo-Hutnicza Krakow Cracovia Polonia Inglés 9 mesesPolitechnika Lodzka Lodzka Polonia Inglés 9 mesesSilesian University in Opava Opava Rep. Checa Inglés 9 mesesUniversitatea Babes Bolay Cluj-Napoca Rumanía Inglés 9 mesesAdnan Menderes University Aydin Turquía Inglés 9 meses

5.3. ISEP

http://isep.um.es http://www.um.es/internacionales/eeuu/

Es una red de más de 255 universidades repartidas por 39 países de todo el mundo, con 25 años deexperiencia en el intercambio de estudiantes. El programa permite la movilidad de estudiantes de gradoy posgrado entre la Universidad de Murcia y más de 120 instituciones de los Estados Unidos, repartidaspor todo el país, con una oferta que abarca la mayoría de las áreas de estudio. ¿Cómo funciona?

El programa ISEP es un intercambio recíproco, no una beca. Sin embargo, proporciona importantesbeneficios económicos.

El participante se matricula en la Universidad de Murcia siguiendo el proceso habitual y estudia enuna universidad estadounidense gratuitamente. (El precio de la matrícula en los EE.UU. suele estarentre 9.000 y 18.000 euros, dependiendo de la institución.). También es necesario pagar las tasas departicipación de ISEP.

El estudiante de la Universidad de Murcia abona los gastos de alojamiento y manutención en Mur-cia, mientras que recibe estos beneficios de forma gratuita en la institución de destino.

Estas plazas podrán verse apoyadas económicamente según acuerdos que se alcancen con otrasinstituciones u organizaciones, tales como la Comunidad Autónoma de la Región de Murcia.

Los estudios cursados son reconocidos en la Universidad de Murcia.

5.4. Normativa de la Facultad sobre los programas de movilidad

1. REQUISITOS MÍNIMOS. Para poder participar en cualquier programa de movilidad y teneracceso al reconocimiento de estudios es necesario tener aprobado el primer curso completo y haberaprobado asignaturas por un valor de al menos 120 créditos.

http://isep.um.es

http://www.um.es/internacionales/eeuu/

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Normativa de la Facultad 15

2. SELECCIÓN. Si el número de solicitudes supera el de plazas disponibles tendrán preferencia losalumnos con mayor nota media en las asignaturas cursadas al hacer la solicitud.

3. RECONOCIMIENTO DE ESTUDIOS. La Facultad de Matemáticas reconocerá los estudioscursados por el alumno en la universidad de destino según la Normativa para Reconocimiento deEstudios cursados por Estudiantes de la Universidad de Murcia en otras Instituciones de EnseñanzaSuperior a través de Programas de Movilidad y Convenios Internacionales, aprobada por el Consejode Gobierno de la Universidad de Murcia el 23 de mayo de 2004; y según las siguientes normasinternas de la Facultad de Matemáticas:

(a) Máximo número de créditos. La suma de créditos de asignaturas convalidadas no superará los60 créditos.

(b) Contenidos de las asignaturas convalidadas.• En el caso de asignaturas troncales, obligatorias y optativas se procurará, en la medida de

lo posible, que los contenidos de las asignaturas cursadas en las universidades de destinosean similares a las de las asignaturas por las que se convalidan.• La Comisión de Reconocimiento de Estudios podrá convalidar, hasta un máximo de 7.5

créditos, asignaturas de contenido matemático cursadas que no tengan un equivalente enel plan de estudios por asignaturas optativas de contenido diferente.

(c) Créditos de libre configuración• Hasta un máximo de 20 créditos por equivalencia podrán ser convalidados sin necesidad

de una asignatura de la Universidad de Murcia que los respalde, y serán contabilizadosen el expediente del alumno como créditos de libre configuración.• De los anteriores, se podrán conceder un máximo de 4.5 créditos por un curso de idioma

distinto de las lenguas oficiales de España.• La Comisión de Reconocimiento de Estudios establecerá en cada caso el valor del número

de créditos de libre configuración de las asignaturas cursadas en la universidad de acogi-da.

(d) Asignaturas troncales y obligatorias. La suma de los créditos de las asignaturas troncalesconvalidadas no puede superar los 36 créditos.

4. CALIFICACIONES.

La conversión de calificaciones ECTS a la calificación habitual de las universidades españolasse regirá por la siguiente tabla:

ECTS UNIVERSIDAD DE MURCIAA 9, 10, Matrícula de Honor

B, C 7, 8D, E 5, 6

FX, F <5

La Comisión de Reconocimiento de Estudios establecerá el criterio que considere oportunopara asignar una Matrícula de Honor cuando la calificación ECTS sea A.Cuando las calificaciones otorgadas por la universidad de acogida sean distintas de las ECTS,la Comisión de Reconocimiento de Estudios y el tutor del convenio establecerán la correspon-dencia con el sistema de calificaciones de la Universidad de Murcia.

5. CASOS EXCEPCIONALES. A petición justificada del alumno, la Comisión de Reconocimientode Estudios podrá aceptar una solicitud que no cumpla alguno de los requisitos establecidos en lasnormas anteriores.

16 Normativa de la Facultad Universidad de Murcia

6. Calendario Académico para el Curso 2009-2010

Los días 18 de septiembre (Apertura del Curso) y 28 de enero (Santo Tomás de Aquino) serán nolectivos e inhábiles para la actividad administrativa. El día 22 de octubre no se impartirá docencia conmotivo de los actos de bienvenida universitaria.

Las Facultades de Matemáticas, Informática, Química y Biología celebrarán la festividad de San Al-berto Magno el viernes de la semana que incluye el 15 de noviembre.

Para los Grados, el primer cuatrimestre comienza el 28 de septiembre y acaba el 22 de enero, y elperiodo de exámenes va del 23 de enero al 13 de febrero.

Primer Cuatrimestre (69 días lectivos)Semana Fechas (LU-VI) Días lectivos Días no lectivos

1 21 sep - 25 sep 52 28 sep - 2 oct 53 5 oct - 9 oct 54 12 oct - 16 oct 4 L-12, Fiesta Nacional5 19 oct - 23 oct 4 J-22, Bienvenida Univ.6 26 oct - 30 oct 57 2 nov - 6 nov 58 9 nov - 13 nov 4 V-13, San Alberto Magno9 16 nov - 20 nov 5

10 23 nov - 27 nov 511 30 nov - 4 dic 512 7 dic - 11 dic 3 L-7, Constitución; M-8, Inmaculada13 14 dic - 18 dic 514 21 dic - 22 dic 2

23 dic - 6 ene Navidad15 7 ene - 8 ene 216 11 ene - 15 ene 5

16 ene - 13 feb Exámenes (actas 19 feb)Segundo Cuatrimestre (71 días lectivos)

Semana Fechas (LU-VI) Días lectivos Días no lectivos1 15 feb - 19 feb 52 22 feb - 26 feb 53 1 mar - 5 mar 54 8 mar - 12 mar 55 15 mar - 19 mar 4 V-19, San José6 22 mar - 26 mar 5

27 mar - 11 abr Semana santa7 12 abr - 16 abr 58 19 abr - 23 abr 59 26 abr - 30 abr 5

10 3 may - 7 may 511 10 may - 14 may 512 17 may - 21 may 513 24 may - 28 may 514 31 may - 4 jun 515 7 jun - 8 jun 2 X-9 Día de la Región

10 jun - 9 jul Exámenes (actas 16 jul)1 sep - 13 sep Exámenes (actas 21 sep)

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Horarios del Curso 2009-2010 17

7. Horarios del Curso 2009-2010

7.1. Primer Curso (Grado) Aula 2.05

Primer Curso – Primer CuatrimestreLUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES

09:00-10:00 FÍSICA SOFTW CTFCO ÁLGEBRA FÍSICA FÍSICA

10:00-11:00 ÁLG. LINEALy PROGRAM (t) LINEAL

CONJUNTOS

11:00-12:00 CONJ y NÚM SOFTW CTFCO CONJ y NÚM ÁLG. LINEALy NÚMEROS

12:00-13:00 FUNC 1 VBLE Iy PROGRAM (p)

FUNCIONES DE FUNC 1 VBLE I

13:00-14:001 VBLE REAL I

Álgebra lineal, Conjuntos y números, Física, Funciones de una variable real I, Introducción al softwarecientífico y a la programación.

Primer Curso – Segundo CuatrimestreLUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES

09:00-10:00 FUNCIONES DE PROGRAMACIÓN PROB y ESTAD ELEM PROBAB PROB Y ESTAD

10:00-11:00 1 VBLE REAL II O. OBJETOS (t)FUNCIONES DE

y ESTADÍSTICAGEOMET AFÍN

11:00-12:00 TOPOLOGÍA DE PROGRAMACIÓN1 VBLE REAL II

TOPOL E.M.y EUCLÍDEA

12:00-13:00ESP. MÉTRICOS O. OBJETOS (p)

GEOMET AFÍN TOPOL E.M.

13:00-14:00y EUCLÍDEA

Elementos de probabilidad y estadística, Funciones de una variable real II, Geometría afín y euclídea,Programación orientada a objetos, Topología de espacios métricos.

7.2. Segundo Curso (Licenciatura) Aula 2.07 bis

Segundo Curso – Primer y Segundo CuatrimestreLUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES

09:00-10:00 ANÁLISIS II ANÁLISIS II ANÁLISIS II MÉTODOS ANÁLISIS

10:00-11:00 M. NUMÉRICOS M. NUMÉRICOS M. NUMÉRICOSNUMÉRICOS MATMÁTICO II

11:00-12:00 G.PROYECTIVA PROBABILIDAD A. TOPOLOGÍA A. TOPOLOGÍA A. TOPOLOGÍA

12:00-13:00 PROB+ESTAD.y ESTADÍSTICA

PROB+ESTAD. G.PROYECTIVA G.PROYECTIVA

Ampliación de topología, Análisis Matemático II, Geometría proyectiva y formas cuadráticas, Métodosnuméricos, Probabilidades y estadística.

18 Cuarto Curso Universidad de Murcia

7.3. Tercer Curso (Licenciatura) Aula 2.06

Tercer Curso – Primer CuatrimestreLUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES

09:00-10:00 MÉTODOS

10:00-11:00ESTADÍSTICOS

GEOMETRÍA MÉT. ESTAD. GEOM. DIF. ECUACIONES

11:00-12:00 EC. ALGEB.DIFERENCIAL

EC. ALGEB. EC. ALGEB.DIFERENCIALES

12:00-13:00 GEOM. DIF. EC. DIFERENC. EC. DIFERENC. EC. DIFERENC. GEOM. DIF.

Ecuaciones algebraicas, Ecuaciones diferenciales, Geometría diferencial, Métodos estadísticos.

Tercer Curso – Segundo CuatrimestreLUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES

09:00-10:00 MÉTODOS

10:00-11:00ESTADÍSTICOS

GEOM. DIF. MÉT. ESTAD. GEOM. DIF. EC. ALGEB

11:00-12:00 GEOM. DIF. INTR. ANÁLISIS EC. ALGEB. EC. ALGEB. GEOMETRÍA

12:00-13:00 INT. COMPLEJOCOMPLEJO

INT. COMPLEJO INT. COMPLEJODIFERENCIAL

Ecuaciones algebraicas, Geometría diferencial, Introducción al análisis complejo, Métodos estadísticos.

7.4. Cuarto Curso (Licenciatura) Aula 2.04

Cuarto Curso – Primer CuatrimestreLUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES

09:00-10:00 ÁLGEBRA

10:00-11:00 GEO+TOP. ÁLGEBRA GEO+TOP. ÁLGEBRA GEO+TOP.

11:00-12:00 A. FUNCIONAL A. FUNCIONAL A. FUNCIONAL A. FUNCIONAL A. COMPLEJO

12:00-13:00 A. COMPLEJO A. COMPLEJO CÁLCULO A. COMPLEJO C. NUMÉRICO

13:00-14:00NUMÉRICO

Álgebra, Análisis complejo, Análisis funcional, Cálculo numérico, Geometría y topología.

Cuarto Curso – Segundo CuatrimestreLUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES

10:00-11:00 GEO+TOP. ÁLGEBRA GEO+TOP. ÁLGEBRA GEO+TOP.

11:00-12:00 ÁLGEBRA EC DERIVADAS CÁLCULO EDPs C. NUMÉRICO

12:00-13:00 EDPsPARCIALES NUMÉRICO

Álgebra, Cálculo numérico, Ecuaciones en derivadas parciales, Geometría y topología.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Optativas de Primer y Segundo Ciclo 19

7.5. Optativas de Primer y Segundo Ciclo (Licenc.) Horario compatible con 3o y 4o

Optativas de Primer y Segundo Ciclo – Primer CuatrimestreLUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES

09:00-10:00 TOP. SUPERF.

MED+INTEG.

TOP. SUPERF.

MED+INTEG.

TOP. SUPERF.

MED+INTEG.

TOP. SUPERF.

MED+INTEG.

13:00-14:00 OPTIM. LINEAL

ÁLG. CONMUT.

OPTIM. LINEAL

ÁLG. CONMUT.

OPTIM. LINEAL

ÁLG. CONMUT.

OPTIM. LINEAL

ÁLG. CONMUT.

Álgebra conmutativa, Medida e integración, Optimización lineal, Topología de superficies.

Optativas de Primer y Segundo Ciclo – Segundo CuatrimestreLUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES

09:00-10:00 APX. HISTORIA APX. HISTORIA APX. HISTORIA APX. HISTORIA

13:00-14:00 I. T. NÚMEROS

AMPL.EC.DIF

I. T. NÚMEROS

AMPL.EC.DIF

I. T. NÚMEROS

AMPL.EC.DIF

I. T. NÚMEROS

AMPL.EC.DIF

Ampliación de ecuaciones diferenciales, Aproximación a la historia de las matemáticas, Introducción a lateoría de números.

7.6. Optativas de Segundo Ciclo, bloque A (Licenc.) Horario compatible con 4o

Optativas de Segundo Ciclo, bloque A – Primer CuatrimestreLUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES

09:00-10:00

GRAFOS+O.D.

LÓGICA (08:30)

GRAFOS+O.D.

LÓGICA

GRAFOS+O.D.

LÓGICA (08:30)

GRAFOS+O.D.

LÓGICA

GRAFOS+O.D.

13:00-14:00 MUESTREO+C.C.

SEM. ÁLGEBRA

MUESTREO+C.C.

SEM. ÁLGEBRA

MUESTREO+C.C.

SEM. ÁLGEBRA

MUESTREO+C.C.

SEM. ÁLGEBRA

Grafos y optimización discreta, Lógica matemática, Seminario de álgebra, Técnicas de muestreo y controlde calidad.

Optativas de Segundo Ciclo, bloque A – Segundo CuatrimestreLUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES

09:00-10:00 T. NÚM. ALGEB. T. NÚM. ALGEB. T. NÚM. ALGEB. T. NÚM. ALGEB.

13:00-14:00 GEO. RIEMANN

OPT.NO-LINEAL

GEO. RIEMANN

OPT.NO-LINEAL

GEO. RIEMANN

OPT.NO-LINEAL

GEO. RIEMANN

OPT.NO-LINEAL

GEO. RIEMANN

OPT.NO-LINEAL

Geometría de Riemann, Optimización no lineal, Teoría de números algebraicos.

20 Asignaturas de Libre Configuración Universidad de Murcia

7.7. Optativas de Segundo Ciclo, bloque B (Licenc.) Horario incompatible con 4o

Optativas de Segundo Ciclo, bloque B – Primer CuatrimestreLUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES

10:00-11:00 T.PROBABLIDAD

AMPL.EDPs

T.PROBABLIDAD

AMPL.EDPs

T.PROBABLIDAD

AMPL.EDPs

T.PROBABLIDAD

AMPL.EDPs

11:00-12:00 MOD. LINEALES MOD. LINEALES MOD. LINEALES

12:00-13:00 MODELOS I.O.

ÁLG. COMPUT.

MODELOS I.O.

ÁLG. COMPUT.

MOD. LINEALESMODELOS I.O.

ÁLG. COMPUT.

MODELOS I.O.

ÁLG. COMPUT.

13:00-14:00 MOD. LINEALES

Álgebra Computacional tiene 1 hora semanal más que se acordará con los alumnos matriculados.

Álgebra computacional, Ampliación de ecuaciones en derivadas parciales, Modelos de investigación op-erativa, Modelos lineales, Teoría de la probabilidad.

Optativas de Segundo Ciclo, bloque B – Segundo CuatrimestreLUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES

10:00-11:00 GEO.DIF.AVZDA GEO.DIF.AVZDA GEO.DIF.AVZDA GEO.DIF.AVZDA

11:00-12:00 M.M.MECÁNICA

ÁLG. BANACH

M.M.MECÁNICA

ÁLG. BANACH

M.M.MECÁNICA

ÁLG. BANACH

M.M.MECÁNICA

ÁLG. BANACH

12:00-13:00 GEOM. ALGEB.

MULTVARIANTE

GEOM. ALGEB.

MULTVARIANTE

GEOM. ALGEB.

MULTVARIANTE

GEOM. ALGEB.

MULTVARIANTE

GEOM. ALGEB.

MULTVARIANTE

Álgebras de Banach y teoría espectral, Análisis multivariante, Geometría algebraica, Geometría diferen-cial avanzada, Métodos matemáticos para la mecánica.

7.8. Asignaturas de Libre Configuración

Asignaturas de Libre ConfiguraciónLUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES

13:00-14:30 PROB.FINANZAS(anual)

PROB.FINANZAS(anual)

16:30-18:00 T.MAT.DIVULG.(2o cuat)

T.MAT.DIVULG.(2o cuat)

Probabilidad para las finanzas, Taller de matemática divulgativa.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Exámenes del Curso 2009-2010 21

8. Exámenes del Curso 2009-2010

8.1. Convocatoria de Febrero 2010

Este calendario incluye las modificaciones aprobadas por la Junta de Facultad el 3 de diciembre de2009.

Las asignaturas anuales celebran en la misma fecha el examen parcial y el final (si lo hay), salvo laasignatura Álgebra de 4o curso, que celebrará el examen final el 18 de enero y el parcial el 12 de febrero,señalado con (P).

LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES SÁBADO

18

4o Álgebra

Álg ComputacModelos IOÁlg Banach TEMét Mat Mecán

19

Álg ConmutativaOptimiz LinealSemin ÁlgebraTéc Muestr CC

20

Ampl Ecuac DifIntro Teo NúmGeo de RiemannOptim No Lineal

21

Medida e IntegTopol Superf

22

1o Topología

Ap Historia MatTeo Núm AlgebAmpl EDPsGrafos y ODLógica Matem

23

25

2o Anál Mat II

Geo Dif AvanzAnál MultivarGeo Algebraica

26

4o Ec Deriv Parc

27

C1 Conj y Núm

1o Álgeb Básica

3o Ec Diferenc

28 29

2o Mét Numér

4o Cálculo Num

30

1

C1 Soft + Program

1o Informática

3o Mét Estadíst

Teo Probabilidad

2

2o Prob y Estad

4o An Funcional

3 4

C1 Variable Real I

1o Anál Mat I

3o Int An Compl

5

4o An Complejo

6

8

C1 Física

3o Geo Diferenc

9

2o Ampl Topol

4o Geo y Topol

10

Modelos Lineales

11

C1 Álgeb Lineal

1o Álg Lin + GE

3o Ecuac Algeb

12

2o Geo Proy + FC

4o Álgebra (P)

13

Entrega de actas: 19 de febrero

22 Convocatoria de Junio 2010 Universidad de Murcia

8.2. Convocatoria de Junio 2010


Los exámenes parciales de las asignaturas anuales están señalados con (P).


7 8 9 10

2o Prob Estd (P)

4o Cálc Num (P)

11

C2 Geo Afín Eucl

3o Ec Diferenc

Anál Multivar

12

Álg ComputacModelos IOÁlg Banach TE

14

2o Geo Proy (P)

4o Álgebra (P)

15

C2 Program O.O.

3o Int An Compl

Mét Mat Mecán

16


17

2o Mét Num (P)

18

C2 Prob y Estad

3o Mét Estd (P)

Optim No Lineal

19

Ampl Ecuac DifIntro Teo NúmGeo de Riemann

21

2o Anál II (P)

4o Ec Deriv Parc

22

C2 Topol E.M.

3o Geo Difer (P)

23

Medida e IntegTopol SuperfGrafos y ODLógica Matem

24

2o Amp Top (P)

4o Geo y To (P)

25

C2 Variable Real II

3o Ec Algeb (P)

26

Ap Historia MatTeo Núm AlgebAmpl EDPsTeo Probabilidad

28

2o Prob y Estad

4o An Funcional

29

C1 Conj y Núm

1o Álgeb Básica

3o Mét Estadíst

30

2o Geo Proy + FC

4o Álgebra

1

C1 Soft + Program

1o Informática

2

2o Mét Numér

4o Cálculo Num

3

Modelos LinealesGeo Dif AvanzGeo Algebraica

5

C1 Variable Real I

1o Anál Mat I

3o Geo Diferenc

6

2o Anál Mat II

4o An Complejo

7

C1 Física

1o Topología

8

2o Ampl Topol

4o Geo y Topol

9

C1 Álgeb Lineal

1o Álg Lin + GE

3o Ecuac Algeb

10

Entrega de actas: 16 de julio

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Convocatoria de Septiembre 2010 23

8.3. Convocatoria de Septiembre 2010



30 31 1

4o Ec Deriv Parc

2

C2 Topol E.M.

1o Topología

3o Geo Diferenc

Álg ComputacModelos IOÁlg Banach TEMét Mat Mecán

3

C1 Álgeb Lineal

2o Ampl Topol

4o Geo y Topol


4

C2 Geo Afín Eucl

1o Álg Lin + GE

3o Ecuac Algeb

6

C1 Física

2o Mét Numér

4o An Funcional

7

C1 Conj y Núm

1o Álgeb Básica

3o Mét Estadíst

Ampl Ecuac DifIntro Teo NúmGeo de RiemannOptim No Lineal

8

C2 Prob y Estad

2o Prob y Estad

4o Cálculo Num

Medida e IntegTopol SuperfGrafos y ODLógica Matem

9

C1 Soft + Program

1o Informática

3o Int An Compl

Ap Historia MatTeo Núm AlgebAmpl EDPsTeo Probabilidad

10

C2 Program O.O.

2o Anál Mat II

4o An Complejo

Modelos LinealesGeo Dif AvanzAnál MultivarGeo Algebraica

11

C1 Variable Real I

1o Anál Mat I

3o Ec Diferenc

13

C2 Variable Real II

2o Geo Proy + FC

4o Álgebra

14 15 16 17 18

Entrega de actas: 21 de septiembre

24 Funciones de una variable real I Universidad de Murcia

9. Asignaturas de Primer Curso (Grado)

Las guías de las asignaturas del Grado se elaboran a través de SUMA, el entorno virtual de la Univer-sidad de Murcia, y a la hora de editar esta guía no estaban disponibles en su totalidad. Aquí se incluyensus apartados principales, pero el alumno interesado deberá consultar las versiones definitivas a través deSUMA y, si es posible, a través de la página web de la Facultad.

1568. Funciones de una variable real I(1er Cuatrimestre, 6 créditos ECTS. Consúltese la guia oficial en SUMA)

Profesorado Área /Departamento

DespachoFacultad

Teléf. e-mail Horario detutorías

José ManuelMira Ros

Análisis Matem. /Matemáticas

1.12Matem.

868883982

[email protected]

M 13-14 y 16-18X 13-14

LuisOncina Deltell


S.11Matem.

868887660

[email protected]

L,M,J 12-14

Presentación de la asignaturaEl Análisis Matemático en una variable está destinado al estudio de las funciones reales de una varia-

ble real y está distribuido, como consecuencia de la normativa de la Universidad de Murcia, en dos asignat-uras de 6 créditos cada una (Funciones de una variable real I y II) ubicadas en primer curso y desarrolladas,respectivamente, en los cuatrimestres C1 y C2.

El núcleo esencial del conjunto es el cálculo diferencial e integral, y en torno a este núcleo se vanconfigurando otros elementos que le dan consistencia y fundamento o que sirven para ilustrar la enormeutilidad, para una gran variedad de problemas, de los conceptos y técnicas desarrollados en la asignatura.

La asignatura profundiza, fundamenta y completa conocimientos que los alumnos poseen sobre estamateria y sirve de cimiento e instrumento para el estudio de otros temas más avanzados del AnálisisMatemático que se abordarán en cursos posteriores.

Objetivos:

Es objetivo transversal de las dos asignaturas introducir a los alumnos en el método y en el lenguajematemáticos combinando la práctica con la presentación explícita del mismo. Los alumnos debenhabituarse a saber analizar, comprender y reproducir demostraciones de algunos teoremas impor-tantes, así como a discutir con ejemplos y contraejemplos la función de las hipótesis en la tesis y aidentificar errores en razonamientos incorrectos.

Estudiar las propiedades más interesantes para el Análisis: continuidad, derivabilidad e integrabili-dad así como el empleo de series de potencias en la representación de las funciones.

Manejar con soltura distintas clases de funciones que intervienen en las matemáticas y en la mode-lización de fenómenos y saber utilizar el cálculo diferencial e integral en relación con su estudio.

Saber relacionar la intuición geométrica con los conceptos y teoremas formales para integrar ade-cuadamente el aprendizaje.

Iniciar al alumno en los métodos del Análisis Matemático, y específicamente en los relacionadoscon la noción de convergencia y sus aplicaciones.

Visualizar y resolver problemas con funciones utilizando aplicaciones de cálculo simbólico y nu-mérico y de representación gráfica de funciones, particularmente Maxima.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Funciones de una variable real I 25

Conocimientos previos necesariosNo se requieren conocimientos previos distintos de los programados en Bachillerato.

Competencias específicas de la asignatura

Conocer y saber utilizar las propiedades de los números reales y de los otros conjuntos numéricos,en particular el manejo de desigualdades.Saber discutir la existencia de límites de sucesiones en relación con la propiedad de Cauchy, lamonotonía, o el teorema de Bolzano-Weierstrass.Capacidad de relacionar la existencia de límite funcional con la continuidad y con los límites desucesiones. Conocer y saber utilizar los teoremas relativos a funciones continuas en intervalos:propiedad de los valores intermedios, máximos y mínimos absolutos y continuidad uniforme.Adquirir el concepto de derivada y las destrezas necesarias para el cálculo de derivadas de funcionesconcretas. Saber aplicar el cálculo de derivadas para el análisis del comportamiento y el dibujode funciones y para la resolución de problemas concretos que pueden ser abordados mediante elanálisis de ciertas funciones.Calcular y estudiar extremos de funciones.Saber utilizar algún programa informático específico para realizar cálculos simbólicos.Saber utilizar aplicaciones informáticas con recursos gráficos y numéricos para visualizar las pro-piedades de continuidad y derivabilidad de las funciones reales, y para plantear y resolver problemasconcretos.

Programa de la Asignatura

1. Números reales y complejos. Definición axiomática de R. Primeras propiedades. Potencias yraíces. Valor absoluto. El cuerpo de los números complejos.

2. Sucesiones y series numéricas. Sucesiones convergentes. Sucesiones monótonas. Subsucesiones yteorema de Bolzano-Weierstrass. Sucesiones de Cauchy. Completitud de R y C. Series numéricas.Criterios de convergencia para series de términos positivos. Propiedades asociativa y disociativapara series. Convergencia absoluta e incondicional.

3. Funciones continuas y límites. Continuidad en un punto y continuidad global. Teorema de Bolzanoy propiedad de los valores intermedios. Continuidad y monotonía. Función inversa. Continuidaduniforme.

4. Derivadas. Concepto de derivada. Regla de la cadena. Teoremas de Rolle y del incremento finito.Extremos de funciones derivables. Teorema de la función inversa. Regla de L’Hospital.

Estimación del volumen de trabajo del estudiante (ECTS)Estimación de las horas de trabajo que un alumno debe dedicar para superar la asignatura por curso:

Actividad Presencial Personal TotalLecciones magistrales 27 49 76Talleres de problemas 20 29 49Prácticas informáticas 3 2 5Trabajos individuales 0 10 10Evaluación 7 0 7Tutorías 3 0 3TOTALES 60 90 150

26 Funciones de una variable real I Universidad de Murcia

Temporalización o cronograma

Distribución aproximada de las horas presenciales que se emplearán en cada tema.

Tema Contenidos Horas1 Números reales y complejos 82 Sucesiones y series numéricas 153 Funciones continuas y límites 104 Derivadas 17

Criterios básicos de evaluación

La evaluación se realiza mediante un examene final escrito tradicional con teoría (30 % del total)y problemas (70 % del total) y mediante la evaluación continua, que comprende la entrega de tareasindividuales y la realización de controles escritos.

Por la evaluación continua el alumno recibirá entre 0 y 2 puntos en total, que se añadirán a la pun-tuación obtenida en el examen final. Para aprobar la asignatura hay que alcanzar 5 puntos con un mínimode 2.5 puntos en el apartado de problemas del examen final.

En la primera convocatoria extraordinaria se realizará un examen de toda la asignatura con las mis-mas características del examen final. Una vez calificado se aplicará el incremento correspondiente a laevaluación continua, de la misma forma que en la convocatoria ordinaria.

La evaluación en otras convocatorias extraordinarias se realizará sobre la única base de un examenglobal.

Bibliografía Básica

1. Ortega, J.M.; Introducción al Análisis Matemático; UAB ; 1993.

2. Fernández Viña, J.A. ; Sánchez Mañés, E.; Ejercicios y complementos de Análisis Matemático I;Tecnos ; 1979.

3. Demidovich, B. P.; 5000 problemas de Análisis Matemático; Paraninfo; 1998.

Bibliografía Complementaria

1. Cascales, B; Mira, J.M.; Sánchez-Pedredro, S. Análisis Matemático I(http://ocw.um.es/ciencias/analisis-matematico-i)

2. Mira, J.M. Informática para universitarios(http://ocw.um.es/transversales/informatica-para-universitarios)

3. Mira, J.M. Manualico para Maxima (http://webs.um.es/mira/maxima/manualico.php)

4. Maxima, un sistema de álgebra computacional (http://maxima.sourceforge.net/es/)

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Álgebra lineal 27

1569. Álgebra lineal(1er Cuatrimestre, 6 créditos ECTS. Consúltese la guia oficial en SUMA)


DespachoFacultad


JuanMartínez Hernández

Álgebra /Matemáticas

1.04Matem.

868883533

[email protected]

M,J 13-14M,J 17-19

El profesor participa en el Proyecto de Tutoría Electrónica

Presentación de la asignaturaEl Álgebra Lineal es un pilar básico de las Matemáticas y de la Ciencia en general. Sus conceptos y

métodos, básicos o avanzados, se requieren para el desarrollo de numerosas ramas del Álgebra, el Análi-sis, la Geometría, la Estadística, o la Investigación Operativa, lo que justifica plenamente su inclusióncomo asignatura básica del primer cuatrimestre del Grado. En esta asignatura se desarrollarán los concep-tos y herramientas básicos del álgebra lineal. En asignaturas posteriores de la titulación los estudiantesnecesitarán usar estos conocimientos y deberán también desarrollar a partir de ellos otros más sofistica-dos, por lo que tan importante como manejar los métodos debe ser comprender bien los conceptos quehay detrás de ellos. Un objetivo general de la asignatura, compartido con otras del primer cuatrimestre, esel de introducir a los alumnos en el método y en el lenguaje matemáticos: Deben ir avanzando progresiva-mente en su capacidad de leer, analizar, comprender y reproducir razonamientos, distinguiendo las ideasbásicas de los aspectos más rutinarios, e identificando posibles errores. Así mismo, han de desarrollar ungrado de experiencia e intuición relativas a las nociones básicas de la asignatura que les permita afrontarcuestiones sencillas con pequeñas demostraciones, ejemplos o contraejemplos. El objetivo más específicoconsiste en desarrollar las competencias de la asignatura que se detallan más adelante.

Conocimientos previos necesariosEs recomendable un cierto dominio de los conceptos básicos de Álgebra Lineal que incluye el currícu-

lum de Bachillerato (dependencia lineal, matrices y sistemas de ecuaciones), aunque todos estos conceptosserán tratados con detalle en la asignatura.


Manejar las operaciones elementales en las filas y en las columnas de una matriz, y usarlas paratriangularizar matrices por eliminación Gaussiana, para discutir y resolver sistemas de ecuacioneslineales, para calcular rangos, determinantes e inversas de matrices, y para manipular subespaciosvectoriales.

Manejar el cálculo y las propiedades de los determinantes. Usarlas para resolver sistemas de Cramery para calcular rangos e inversas de matrices.

Conocer la definición y ejemplos básicos de espacios vectoriales.

Manejar los conceptos de (in)dependencia lineal, conjunto generador y base. Determinar bases ydimensiones de (sub)espacios vectoriales. Determinar coordenadas de vectores y ecuaciones decambios de coordenadas.

Encontrar ecuaciones cartesianas y paramétricas de subespacios. Calcular intersecciones y sumasde subespacios.

Determinar el carácter lineal de una aplicación. Encontrar ecuaciones matriciales, núcleos, imá-genes y composiciones. Calcular imágenes e imágenes inversas de subespacios y vectores.

28 Álgebra lineal Universidad de Murcia

Calcular los vectores y valores propios de matrices y endomorfismos. En su caso, calcular formasdiagonales, bases de vectores propios y matrices de paso. Saber aplicar la diagonalización para laresolución de problemas matriciales.

Calcular formas de Jordan y matrices de paso en casos sencillos.


1. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales, expresión matricial.Sistemas equivalentes, operaciones elementales. Método de Gauss-Jordan, rango por filas, discusióny resolución de sistemas. Operaciones con matrices, matrices invertibles, matrices elementales.Equivalencia y rango.

2. Espacios vectoriales. Espacios y subespacios vectoriales. Combinaciones lineales, sistemas gene-radores. Dependencia e independencia lineal. Bases, dimensión, coordenadas. Cambios de coorde-nadas. Operaciones con subespacios. Sumas directas. Espacios cociente.

3. Aplicaciones lineales. Aplicaciones lineales; núcleo e imagen. Revisión de los sistemas de ecua-ciones lineales. Determinación y representación matricial de aplicaciones lineales. Composición deaplicaciones y producto de matrices. Revisión de la equivalencia y rango de matrices. Teoremas deisomorfía. Espacios de aplicaciones lineales, formas lineales, espacio dual.

4. Determinantes. Aplicaciones multilineales. Aplicaciones determinante; existencia y unicidad.Cálculo de inversas y rangos, regla de Cramer, ecuaciones de subespacios.

5. Diagonalización de endomorfismos y matrices. Vectores y valores propios. Diagonalización deendomorfismos y matrices. Aplicaciones. Introducción a las formas de Jordan de matrices.


Actividad Presencial Personal TotalClases de teoría 28 28 56Clases de problemas 8 24 32Talleres de problemas 12 12 24Prácticas con ordenador 3 0 3Tutorías, trabajos 5 10 15Pruebas de evaluación 4 16 20TOTALES 60 90 150

Temporalización o cronogramaDistribución aproximada de las horas presenciales que se emplearán en cada tema.

Tema Contenidos Horas1 Sistemas y matrices 102 Espacios vectoriales 123 Aplicaciones lineales 124 Determinantes 65 Diagonalización 10

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Conjuntos y números 29

Criterios básicos de evaluaciónEl aprendizaje se valorará según el siguiente esquema:

Instrumento Criterios de calidad PonderaciónTareas entregadas Corrección en las respuestas, buen uso del lenguaje

matemático, cita de fuentes, revisión con el profesor, en-mienda de errores.

15 %

Examen de control Corrección en las respuestas, rigor en la teoría, buen usodel lenguaje matemático, revisión con el profesor

15 %

Examen final Corrección en las respuestas, rigor en la teoría, buen usodel lenguaje matemático, revisión con el profesor

70 %


1. Merino, Santos. Álgebra Lineal con Métodos Elementales. Thomson, 2006.2. Moreno. Una Introducción al Álgebra Lineal Elemental. Autor, 1990.3. Anzola, Caruncho. Problemas de Álgebra 3: Espacios vectoriales. Autores, 1981.


1. Castellet, Llerena. Álgebra Lineal y Geometría. Reverté, 1994.2. de Burgos. Curso de Álgebra y Geometría. Alhambra, 1992.3. Hernández. Álgebra y Geometría. Addison-Wesley, 1998.

1570. Conjuntos y números(1er Cuatrimestre, 6 créditos ECTS. Consúltese la guia oficial en SUMA)


DespachoFacultad


José RamónCaruncho Castro


1.14Matem.

868883586

[email protected]

M 11-12:30 y 16-19J 11-12:30

Presentación de la asignaturaLa asignatura “Conjuntos y números” tiene, de forma genérica, un doble objetivo: Por una parte, pre-

tende introducir las nociones básicas de la Teoría de Conjuntos que sirven de lenguaje común a todas lasramas de la Matemática, haciendo énfasis en el rigor lógico y en la falta de ambigüedad que le caracterizanen contraposición con el lenguaje natural. Por otra parte, la asignatura presenta contenidos muy básicossobre números y polinomios.

Sus principales objetivos son: Conocer y manejar las nociones básicas de la teoría de conjuntos: ál-gebra de Boole de conjuntos, aplicaciones, relaciones de orden, relaciones de equivalencia y conjuntoscociente. Introducir al alumno en el método demostrativo y el rigor lógico. Conocer las propiedades bási-cas y saber operar en los distintos conjuntos numéricos. Conocer, manejar y saber aplicar las propiedadesde divisibilidad de los números enteros y de los polinomios con coeficientes reales o complejos.

30 Conjuntos y números Universidad de Murcia

Conocimientos previos necesariosLos propios del acceso a la titulación.


Manejar el lenguaje proposicional, el razonamiento lógico y técnicas de demostración básicas.Conocer y manejar el álgebra de conjuntos.Saber estudiar las propiedades básicas de las aplicaciones entre conjuntos (inyectividad, suprayec-tividad, biyectividad). Saber encontrar la inversa de una aplicación biyectiva en casos sencillos.Saber determinar la aplicación compuesta de varias aplicaciones. Saber determinar la imagen di-recta e inversa de un subconjunto por una aplicación.Saber identificar una relación de equivalencia, encontrar la clase de un elemento e identificar elconjunto cociente.Saber identificar una relación de orden y encontrar sus elementos distinguidos (cotas, máximos ymínimos, supremo e ínfimo, etc.).Conocer y manejar nociones elementales de combinatoria.Conocer los conceptos de grupo, anillo y cuerpo.Conocer y manejar los principales conjuntos de números, y distinguir sus propiedades relativas aoperaciones, relaciones de orden y cardinalidad.Saber operar con números complejos.Saber resolver problemas mediante el principio de inducción.Conocer el concepto de conjunto numerable y no numerable.Conocer y manejar las propiedades de divisibilidad y factorización de los números enteros. Enparticular: saber calcular el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de un conjunto denúmeros enteros, saber aplicar el algoritmo de Euclides y calcular los coeficientes de la identidadde Bézout y saber resolver ecuaciones diofánticas lineales.Conocer y manejar las relaciones de congruencia en números enteros. En particular: conocer laspropiedades de la suma y el producto de clases de restos, resolver ejercicios de aplicación de lascongruencias, conocer el teorema chino de los restos y resolver sistemas de congruencias lineales.Conocer y manejar las propiedades de divisibilidad y factorización de los polinomios con coe-ficientes reales o complejos. En particular: saber calcular el máximo común divisor mediante elalgoritmo de Euclides, saber calcular raíces de polinomios en ciertos casos. Conocer el teoremafundamental del álgebra.


1. Conjuntos

a) Conjuntos y elementos. Relaciones de pertenencia y contenido. Igualdad de conjuntos.Partes de un conjunto. Operaciones con subconjuntos. Pares ordenados. Producto cartesianode conjuntos. Relaciones binarias.

b) Aplicaciones. Definición de aplicación. Tipos de aplicaciones. Imágenes directas e inversas.Composición de aplicaciones. Aplicación inversa de una aplicación biyectiva.

c) Relaciones de orden. Conjuntos ordenados. Elementos singulares de un conjunto ordenado.Conjuntos bien ordenados.

d) Relaciones de equivalencia. Concepto de relación de equivalencia. Clases de equivalencia.Conjunto cociente. Relaciones de equivalencia y particiones.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Conjuntos y números 31

2. Números

a) Los números naturales. Axiomas de Peano. Definición por recurrencia. Operaciones connúmeros naturales. Conjuntos finitos e infinitos. Introducción a los problemas combinatorios:variaciones, permutaciones y combinaciones.

b) Los números enteros. Construcción de Z. Operaciones en Z; divisibilidad. Números primos,el teorema fundamental de la Aritmética. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.Algoritmo de Euclides. Identidad de Bézout. La ecuación diofántica lineal en dos variables.

c) Cuerpos numéricos. Concepto de grupo, anillo y cuerpo. El cuerpo de los números racionales.Sucesiones de números racionales: los números reales. El cuerpo de los números complejos.Operaciones con números complejos.

3. Congruencias

a) Clases de restos. Relación de congruencia. Clases de restos. Suma y producto de clases derestos y sus propiedades. Pequeño teorema de Fermat; aplicaciones. Congruencias lineales ysistemas de congruencias lineales. Teorema chino de los restos.

4. Polinomios

a) Polinomios. Polinomios con coeficientes reales y complejos. División entera. Máximo comúndivisor y mínimo común múltiplo. Algoritmo de Euclides. Identidad de Bézout. Raíces de unpolinomio. Polinomios irreducibles. Factorización de polinomios en R y C. Enunciado delteorema fundamental del Álgebra.

Estimación del volumen de trabajo del estudiante (ECTS)

Estimación de las horas de trabajo que un alumno debe dedicar para superar la asignatura por curso:

Actividad Presencial Personal TotalClases de teoría 36 36 72Clases de ejercicios 9 18 27Talleres de problemas 8 8 16Tutorías, trabajos 2 8 10Pruebas de evaluación 5 20 25TOTALES 60 90 150


Distribución aproximada de las horas presenciales que se emplearán en cada tema.

Tema Contenidos Horas1 Conjuntos 232 Números 203 Congruencias 64 Polinomios 6

32 Conjuntos y números Universidad de Murcia


Instrumento Criterios de calidad PonderaciónTareas entregadas Corrección en las respuestas, uso correcto del lenguaje

matemático, revisión y enmienda de errores15 %

Examen de control Corrección en las respuestas, rigor en la teoría, uso correctodel lenguaje matemático, revisión con el profesor

10 %

Participación en clase Participación activa, interés de las intervenciones 5 %Examen final Corrección en las respuestas, rigor en la teoría, uso correcto

del lenguaje matemático70 %

La nota será la mejor entre la nota del examen final y el resultado de aplicar la ponderación señalada.


1. V. Fernández Laguna. Teoría básica de conjuntos. Anaya, 2004.

2. S. Lipschutz. Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw Hill, 1964.

3. F. Zaldívar. Fundamentos de álgebra. Universidad Autónoma Metropolitana, 2005.


1. A. Raya, A. Ríder, R. Rubio. Cuerpos numéricos. Netbiblo, 2007.

2. J. Dorronsoro, E. Hernández. Números, grupos y anillos. Addison-Wesley, 1996.

3. R.S. Irving. Integers, polynomials and rings. Springer, 2004.

4. M. Queysanne. Álgebra básica. Vicens Vives, 1979.

5. Á. del Río, A. del Valle, J.J. Simón. Álgebra básica. DM, 2000.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Física 33

1571. Física(1er Cuatrimestre, 6 créditos ECTS. Consúltese la guia oficial en SUMA)


DespachoFacultad


JoséMargineda Puigpelat

Electromagn. /Física Química

868887374

[email protected]

Gregorio JoséMolina Cuberos

Electromagn. /Física Química

868887533

[email protected]

Presentación de la asignaturaLa asignatura está dedicada a plantear los principios básicos de la Mecánica Newtoniana, y a abordar

a partir de ellos el estudio de sistemas físicos de relevancia.La asignatura profundiza, fundamenta y completa conocimientos anteriores que los alumnos poseen

sobre esta materia y sirve de instrumento para el planteamiento de modelos físicos sencillos. Los sistemasoscilantes, los sistemas planetarios y la propagación de ondas serán los sistemas físicos en que se aplicaránlos conceptos y leyes básicos desarrollados en el curso.

Conocimientos previos necesariosEs recomendable que el alumno haya cursado la Física de Bachillerato.


Utilizar las matemáticas para describir el mundo físico mediante la elección de modelos adecuados.

Conocer los principios de la mecánica newtoniana.

Adquirir conocimientos básicos relativos al concepto de campo como realidad física y mecanismode interacción de la materia.

Conocer los fundamentos de la propagación de una onda y los fenómenos ondulatorios.

Aprender a aplicar los conceptos de la mecánica en diferentes situaciones.

Contrastar la solución obtenida a partir de un modelo con el fenómeno real que se describe.

Aprender la diferencia entre los objetivos y metodología de la física y las matemáticas.


1. Introducción al estudio de la Física. Método experimental. Magnitudes físicas fundamentales.Unidades.

2. Estudio del movimiento. Descripción del movimiento: magnitudes cinemáticas. Componentes dela velocidad y la aceleración. Resolución numérica de la ecuación de movimiento. Sistemas dereferencia y relaciones de transformación.

3. Leyes de Newton. Enunciado de las Leyes de Newton y sus aplicaciones. Interacciones fundamen-tales. Fuerzas macroscópicas.

4. Trabajo y Energía. Oscilaciones. Definición y relaciones entre trabajo y energías cinética y po-tencial. Discusión de curvas de Energía. Oscilaciones mecánicas.

34 Física Universidad de Murcia

5. Sistemas de partículas. Leyes de conservación. Centro de masas. Energía y momento angular.Leyes de conservación. Colisiones. Aplicación a sistemas de muchas partículas.

6. Medios Continuos. Elasticidad. Fluidos. Presión y temperatura. Modelo cinético del Gas Ideal.

7. Fuerzas centrales. Interacción Gravitatoria. Interacciones centrales: sus propiedades. Sistemasde dos partículas. Trayectorias. Aplicación al estudio de la interacción gravitatoria: Leyes de Kepler.

8. Introducción al estudio de las ondas. Propagación de ondas: sus ecuaciones. Propiedades de lasondas y fenómenos característicos (interferencia, difracción, polarización).

Metodología didácticaActividades formativas y su relación con las competencias que debe adquirir el estudiante:

Presentación en el aula de los conceptos, fenómenos y formalismo propio de la materia, con apoyoen libros de texto, material en SUMA y medios audiovisuales.

Resolución y discusión de problemas y presentación de entregables.

Tutorías de seguimiento, donde se comentará y valorará el trabajo desarrollado por el alumno.

Prácticas de Física (en laboratorio virtual o experimental) en que el alumno, partiendo de un guión,reliza observaciones y valora y/o justifica los resultados del experimento.

Realización de exámenes, que contempla tanto los controles a realizar en horario de clase, como unexamen final en la fecha establecida por el centro.


Actividad Presencial Personal TotalClases magistrales 24 32 56Seminarios 18 32 50Prácticas 9 9 18Tutorías 3 0 3Evaluación 6 17 23TOTALES 60 90 150


Tema Contenidos Horas1 Introducción al estudio de la Física 42 Estudio del movimiento 73 Leyes de Newton 74 Trabajo y Energía. Oscilaciones 75 Sistemas de partículas. Leyes de conservación 76 Medios Continuos 77 Fuerzas centrales. Interacción Gravitatoria 78 Introducción al estudio de las ondas 7

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Introducción al software científico y a la programación 35

Criterios básicos de evaluaciónEvaluación continua de las actividades propuestas, basada en:

Entregables sobre resolución de problemas. Se evaluará la claridad en la exposición escrita y oral(en su caso), la corrección del lenguaje formal, el análisis de la información y de los resultados, lacapacidad para abordar el estudio de situaciones análogas a las planteadas en clase y la calidad delos procedimientos y resultados obtenidos. Ponderación: 30 %.Exámenes escritos teórico-prácticos de los bloques temáticos tratados en clase, donde se valorarála asimilación y la expresión de los conocimientos adquiridos, correspondientes a las competenciasespecíficas de la asignatura. Ponderación: 60 %.Prácticas de Física, en que se evaluarán tanto la realización como el análisis de los resultadosobtenidos, y la calidad de los entregables que correspondan. Ponderación: 10 %

1572. Introducción al software científico y a la programación(1er Cuatrimestre, 6 créditos ECTS. Consúltese la guia oficial en SUMA)


DespachoFacultad


GregorioMartínez Pérez

C. Comput. e Intel. Artif. /Ing. Info. y Comunic.

1.12Inform.

868887646

[email protected]

Juan AntonioSánchez Laguna


E.24Inform.

868888505

[email protected]

M,J,V16:30-18:30

Los profesores participan en el Proyecto de Tutoría Electrónica

Presentación de la asignaturaEl uso de ordenadores facilita el que los estudiantes comprendan mejor temas complejos de matemáti-

cas pues permite entender mejor los procesos y facilitar los cálculos tediosos. Lo estudiantes de matemáti-cas deben de dar un paso más adquiriendo competencias en el manejo de software científico-matemáticoque le ayude en la resolución de problemas de su ámbito. Las herramientas disponibles son muy diversas,como las orientadas al análisis de datos y estadística, al cálculo numérico y simbólico, al procesamientode texto científico, las enfocadas a simulación de sistemas, visualización y gráficos, y, por supuesto, lasdestinadas a la programación utilizando lenguajes bien implantados en el mercado laboral.

Esta asignatura se marca como objetivo general que el alumno adquiera las competencias relacionadasal conocimiento general de todas las herramientas mencionadas haciendo especial hincapié en el sistemaalgebraico computacional Maxima, el entorno para computación estadística y gráfica R, el manejo de ho-jas de cálculo Impress y Excel, la creación de documentos científicos de alta calidad tipográfica utilizandoel lenguaje LATEX, así como el diseño de algoritmos y su programación en un lenguaje imperativo basadoen el lenguaje de programación JAVA.

La asignatura se estructura en tres partes. En la primera se enseña el manejo de herramientas concretasde software científico matemático. En la segunda se introducen los aspectos generales del diseño de algo-ritmos, el tratamientos de tipos de datos primitivos y compuestos y estructuras de control. En la tercerase enseñan aspectos mas avanzados relacionados con el manejo de funciones (abstracción operacional),la recursividad y el estudio de algoritmos clásicos de búsqueda y ordenación.

36 Introducción al software científico y a la programación Universidad de Murcia

Conocimientos previos necesariosManejo a nivel de usuario de un ordenador y de Internet.


Conocer distintos tipos de software científico para matemáticos: software estadístico, de cálculonumérico, matricial y simbólico, compiladores de texto científico, herramientas de simulación, vi-sualización y representación gráfica.Distinguir entre problema, algoritmo y programa.Conocer un lenguaje algorítmico.Resolver problemas usando algoritmos.Conocer los distintos paradigmas de los lenguajes de programación: procedural o imperativo, ori-entado a objetos, funcional, declarativo, script).Conocer las diferencias entre compiladores e intérpretes.Conocer un lenguaje de programación imperativo.Manejar tipos de datos básicos y estructurados.Programar algoritmos básicos de ordenación y búsqueda.


1. Software científico-matemático. Tipos de problemas en el ámbito matemático. Herramientas parala resolución de problemas matemáticos.

2. Creación de documentos técnicos. Tipos de procesadores de texto. Definición de tipo de docu-mento (DTD) y documentos basados en marcas. TEXy LATEX. Composición de documentos enLATEX: paquetes, estructura, expresiones matemáticas, tablas y figuras.

3. Hojas de cálculo. Concepto. Edición. Funciones y modelos. Representaciones gráficas.4. Sistemas de computación estadística y gráfica. Paquetes estadísticos: concepto, tipología y com-

ponentes. Paquetes gráficos. Tipos de gráficos. El paquete R. Cálculo escalar, vectorial y matricialen R. Funciones. Introducción a la representación gráfica con R.

5. Sistemas algebraicos computacionales. Concepto y tipos. El sistema Maxima. Expresiones yaritmética. Funciones. Transformaciones algebraicas. Gráficos.

6. Introducción a la Programación. Resolución de problemas. Concepto de algoritmo. Conceptode programa. Ciclo de Vida del Software. Paradigmas de programación. Evolución de la progra-mación. Principios de Diseño de Algoritmos. Concepto de abstracción. División del problema: pro-gramación modular, refinamiento progresivo, diseño top-down. Modelización de los datos: objetos,atributos y relaciones.

7. Variables, Operadores y Expresiones. Tipos de datos simples. Declaración de las variables yconstantes. Identificadores. Ámbito. Inicialización. Operadores aritméticos. Operadores relacionalesy condicionales. Operadores lógicos. Operadores de asignación. Expresiones, sentencias y bloques.

8. Estructuras de Control de Flujo de ejecución. Introducción. Concepto de estructura de control.Estructuras de control condicionales. Sentencia condicional abierta. Sentencia condicional cerrada.Anidamiento de sentencias condicionales. Sentencia de selección múltiple. Estructuras de controliterativas. Bifurcación.

9. Abstracción Operacional. Declaración. Definición. Invocación. Paso de parámetros: por valor ypor referencia. Devolución de valores.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Introducción al software científico y a la programación 37

10. Tipos de Datos Estructurados. Introducción. Vectores. Matrices.11. Algoritmos de Ordenación y Búsqueda. Busqueda secuencial. Búsqueda binaria no recursiva.

Ordenación por inserción directa. Ordenación por intercambio directo: método de la burbuja.12. Recursividad. Concepto. Tipos de Recursividad. Ventajas e inconvenientes.


Actividad Presencial Personal TotalClases de teoría 22 20 42Talleres de problemas 2 2 4Prácticas con ordenador 28 60 88Tutorías 4 0 4Pruebas de evaluación 4 8 12TOTALES 60 90 150

Criterios básicos de evaluaciónLa asignatura se divide en dos partes, una de teoría y otra de prácticas. Cada una de ellas tiene un

peso final en la asignatura del 50 % y se podrán aprobar por separado, siempre con una calificación igualo superior a cinco. Las calificaciones se mantendrán durante dos convocatorias.

Para la parte de teoría, durante el desarrollo del primer cuatrimestre, se llevarán a cabo dos pruebas deevaluación continua. Si ambas se superan con una nota≥ 3 y la media entre las dos es≥ 5, se consideraráaprobada la parte teórica de la asignatura. No se guardarán las calificaciones de las pruebas de evaluacióncontinua más allá del primer cuatrimestre. En caso de que no se cumplan las condiciones anteriores, o queel alumno no siga el método de evaluación continua, se realizará un examen final en convocatoria oficial.Dicho examen se considerará superado en caso de obtener una calificación ≥ 5.

En la parte práctica, y durante el primer cuatrimestre, el alumno tendrá que desarrollar dos boletinesde prácticas para los que se realizará evaluación continua. Si ambos se superan con una nota ≥ 3 y lamedia entre las dos es ≥ 5, se considerará aprobada la parte práctica de la asignatura. No se guardarán lascalificaciones de los boletines de prácticas más allá del primer cuatrimestre. En caso de que no se cumplanlas condiciones anteriores, o que el alumno no siga el método de evaluación continua, se realizará unúnico boletín final de prácticas en las siguientes convocatorias oficiales. Dicho boletín final de prácticasse considerará superado en caso de obtener una calificación ≥ 5. En cada convocatoria los ejercicios delboletín serán diferentes a los del anterior y serán publicados en SUMA.


1. Joyanes L. Fundamentos de Programación. McGraw Hill, 2002.2. Arnow, D., Weiss, G. Introducción a la programación con Java. Un enfoque orientado a objetos.

Addison Wesley, 2000.3. Eckel B. Thinking in Java. Prentice Hall, 2002.


1. Java 2 Platform Standard Edition 5.0 API Specification (http://java.sun.com/j2se/1.5.0/docs/api/)

38 Funciones de una variable real II Universidad de Murcia

1573. Funciones de una variable real II(2o Cuatrimestre, 6 créditos ECTS. Consúltese la guia oficial en SUMA)


DespachoFacultad


SalvadorSánchez-PedreñoGuillén


1.06Matem.

868883536

[email protected]

L 16-18M 16-19V 13-14

AntonioAvilés López


1.20Matem.

868888420

[email protected]

M,X 11-13M 17-19

Presentación de la asignatura

El Análisis Matemático en una variable está destinado al estudio de las funciones reales de una vari-able real y está distribuido, como consecuencia de la normativa de la Universidad de Murcia, en dosasignaturas de 6 créditos cada una (Funciones de una variable real I y II) ubicadas en primer curso ydesarrolladas, respectivamente, en los cuatrimestres C1 y C2.

El núcleo esencial del conjunto es el cálculo diferencial e integral, y en torno a este núcleo se vanconfigurando otros elementos que le dan consistencia y fundamento o que sirven para ilustrar la enormeutilidad, para una gran variedad de problemas, de los conceptos y técnicas desarrollados en la asignatura.

La asignatura profundiza, fundamenta y completa conocimientos que los alumnos poseen sobre estamateria y sirve de cimiento e instrumento para el estudio de otros temas más avanzados del AnálisisMatemático que se abordarán en cursos posteriores.

Conocimientos previos necesarios

Se recomienda una cierta familiaridad con los contenidos de la asignatura “Funciones de una variablereal I”.


Comprender el significado de los desarrollos de Taylor y saber utilizarlos para realizar cálculosaproximados del valor de una función, o para la discusión de problemas en los que esté involucradocomparaciones de funciones en términos de tamaños relativos (limites, convergencia de series eintegrales impropias) o en la posibilidad de describir funciones mediante series de potencias («poli-nomios infinitos»).

Conseguir las destrezas necesarias para evaluar integrales y calcular áreas, utilizando el teoremafundamental del cálculo, el cambio de variable, la integración por partes y las técnicas de cálculode primitivas, incluyendo el cálculo de ciertas integrales impropias.

Capacidad para discutir la convergencia de integrales impropias.

Saber utilizar algún programa informático específico para realizar cálculos simbólicos.

Saber utilizar aplicaciones informáticas con recursos gráficos y numéricos para visualizar el signifi-cado geométrico de desarrollos de Taylor, desigualdades, estudio local de funciones, suma aproxi-mada de series o integrales impropias convergentes, etc.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Funciones de una variable real II 39


1. Fórmula de Taylor y aplicaciones. Fórmula de Taylor. Funciones convexas. Estudio local defunciones. Asíntotas. Dibujo de gráficas.

2. Cálculo integral. Integral de Riemann. Teorema fundamental del cálculo. Regla de Barrow. Inte-gración por partes. Cambio de variable en integrales definidas. Integración de funciones racionales,trigonométricas e irracionales sencillas. Aplicaciones de la integral definida.

3. Series de potencias y funciones elementales. Series de potencias. La función exponencial realy compleja. Las funciones trigonométricas. Medida de los ángulos.Criterios de convergencia porcomparación. Integrales y series numéricas: criterio de la integral. Criterios de Dirichlet y Abelsobre convergencia de series e integrales no absolutamente convergentes.

4. Integrales impropias. Criterios de convergencia por comparación. Integrales y series numéricas:criterio de la integral. Criterios de Dirichlet y Abel sobre convergencia de series e integrales noabsolutamente convergentes.


Actividad Presencial Personal TotalLecciones magistrales 27 49 76Talleres de problemas 20 29 49Prácticas informáticas 3 2 5Trabajos individuales 0 10 10Evaluación 7 0 7Tutorías 3 0 3TOTALES 60 90 150


Tema Contenidos Horas1 Fórmula de Taylor y aplicaciones 122 Cálculo integral 143 Series de potencias y funciones elementales 144 Integrales impropias 10

Criterios básicos de evaluaciónLa evaluación se realiza mediante un examene final escrito tradicional con teoría (30 % del total)

y problemas (70 % del total) y mediante la evaluación continua, que comprende la entrega de tareasindividuales y la realización de controles escritos.

Por la evaluación continua el alumno recibirá entre 0 y 2 puntos en total, que se añadirán a la pun-tuación obtenida en el examen final. Para aprobar la asignatura hay que alcanzar 5 puntos con un mínimode 2.5 puntos en el apartado de problemas del examen final.

En la primera convocatoria extraordinaria se realizará un examen de toda la asignatura con las mis-mas características del examen final. Una vez calificado se aplicará el incremento correspondiente a laevaluación continua, de la misma forma que en la convocatoria ordinaria.

La evaluación en otras convocatorias extraordinarias se realizará sobre la única base de un examenglobal.

40 Geometría afín y euclídea Universidad de Murcia


1. Demidovich, B. P.; 5000 problemas de Análisis Matemático; Paraninfo; 1998.

2. Fernández Viña, J.A. ; Sánchez Mañés, E.; Ejercicios y complementos de Análisis Matemático I;Tecnos ; 1979.

3. Ortega, J.M.; Introducción al Análisis Matemático; UAB ; 1993.

4. Spivak, M.; Calculus; Reverté.


1. Cascales, B; Mira, J.M.; Sánchez-Pedredro, S. Análisis Matemático I(http://ocw.um.es/ciencias/analisis-matematico-i)

2. Maxima, un sistema de álgebra computacional (http://maxima.sourceforge.net/es/)

3. Mira, J.M. Informática para universitarios(http://ocw.um.es/transversales/informatica-para-universitarios)

4. Mira, J.M. Manualico para Maxima (http://webs.um.es/mira/maxima/manualico.php)

1574. Geometría afín y euclídea(2o Cuatrimestre, 6 créditos ECTS. Consúltese la guia oficial en SUMA)


DespachoFacultad


Albertodel Valle Robles


0.02Matem.

868884167

[email protected]

L,M,X,V13-14:30

JoséAsensio Mayor


1.15Matem.

868883586

[email protected]

M,X,J 12-13M,X 16:30-18


Presentación de la asignaturaEn esta asignatura se presentan las nociones y resultados elementales de la Geometría Afín y la Ge-

ometría Euclídea, sobre la base de los conceptos y métodos que se estudian en la asignatura “ÁlgebraLineal”, de la cual ésta es una continuación natural.

En asignaturas posteriores de la titulación los estudiantes necesitarán usar estos conocimientos y de-berán también desarrollar a partir de ellos otros más sofisticados, por lo que tan importante como manejarlos métodos debe ser comprender bien los conceptos que hay detrás de ellos.

Un objetivo general de la asignatura, compartido con otras del segundo cuatrimestre, es que los estu-diantes vayan asentando su dominio del método y el lenguaje matemáticos. Así mismo, han de desarrollarun grado de experiencia e intuición relativas a las nociones básicas de la asignatura que les permitanafrontar cuestiones sencillas con pequeñas demostraciones, ejemplos o contraejemplos.

El objetivo más específico consiste en desarrollar las competencias de la asignatura que se detallan enel apartado correspondiente.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Geometría afín y euclídea 41

Conocimientos previos necesariosEs recomendable dominar los conceptos y métodos que se estudian en la asignatura "Álgebra Lineal".


Conocer la noción de espacio afín y saber operar con sus elementos básicos, tanto en abstracto comoen términos de coordenadas en un sistema de referencia cartesiano: Puntos, vectores, variedadeslineales afines, paralelismo e incidencia.

Conocer la noción de espacio vectorial euclídeo y saber operar con sus elementos básicos, tanto enabstracto como en términos de coordenadas en una base ortonormal: Productos escalares, normas,ángulos, ortogonalidad de vectores y de subespacios, proyección ortogonal.

Conocer la noción de espacio afín euclídeo y saber operar con sus elementos básicos, tanto en abs-tracto como en términos de coordenadas en un sistema de referencia ortonormal: Puntos, vectores,distancias entre puntos y variedades, variedades ortogonales, proyección ortogonal.

Desarrollar la intuición geométrica relativa a los conceptos anteriores y aprender a combinarla conel rigor en los argumentos.

Plantear y resolver problemas geométricos relativos a los contenidos de la asignatura, especialmenteen el plano y en el espacio, distinguiendo el contexto afín del afín euclídeo y usando métodosvectoriales o coordenadas en un referencial conveniente.

Conocer la noción de aplicación afín y su su representación matricial. Conocer ejemplos de trans-formaciones afines y ser capaz de encontrar sus ecuaciones en un referencial.

Conocer la noción de transformación ortogonal y su representación matricial en una base ortonor-mal. Saber clasificar transformaciones ortogonales en dimensiones 2 y 3, determinando sus elemen-tos fundamentales.

Conocer la noción de isometría y su representación matricial en un referencial ortonormal. Saberclasificar isometrías en dimensiones 2 y 3, determinando sus elementos fundamentales.


1. Espacios afines. Espacios afines. Sistemas de referencia y coordenadas. Variedades lineales afines:paralelismo, intersecciones y sumas. Ecuaciones de variedades.

2. Aplicaciones afines. Aplicaciones afines; representacion matricial. Transformaciones afines: trasla-ciones, homotecias, proyecciones y simetrías.

3. Espacios vectoriales euclídeos. Producto escalar, normas y ortogonalidad. Bases ortogonales.Ortogonalidad de subespacios, complemento ortogonal, proyeccion ortogonal.

4. Transformaciones ortogonales; ángulos. Transformaciones y matrices ortogonales, transforma-ciones positivas y negativas. Clasificación en dimensión menor o igual que 3. Ángulos, orientación.Producto vectorial.

5. Espacios afines euclídeos. Isometrías. Espacios afines euclídeos, variedades perpendiculares, dis-tancia entre puntos y variedades. Isometrías, expresiones matriciales, clasificación en dimensiónmenor o igual que 3.

42 Geometría afín y euclídea Universidad de Murcia


Actividad Presencial Personal TotalClases de teoría y problemas 36 52 88Talleres de problemas 12 12 24Prácticas con ordenador 3 0 3Tutorías, trabajos 5 10 15Pruebas de evaluación 4 16 20TOTALES 60 90 150


Tema Contenidos Horas1 Espacios afines 92 Aplicaciones afines 93 Espacios vectoriales euclídeos 94 Transformaciones ortogonales; ángulos 125 Espacios afines euclídeos; isometrías 9


Instrumento Criterios de calidad PonderaciónTareas entregadas Corrección en las respuestas, buen uso del lenguaje

matemático, cita de fuentes, revisión y enmienda de errores.15 %

Examen de control Corrección en las respuestas, rigor en la teoría, buen uso dellenguaje matemático, revisión con el profesor

15 %

Examen final Corrección en las respuestas, rigor en la teoría, buen uso dellenguaje matemático, revisión con el profesor

70 %

Para aprobar será necesario tener un 3,5 (sobre 10) en el examen final. La nota del acta será la mejor entrela nota del examen final y el resultado de aplicar la ponderación establecida en el apartado "Evaluacióndel aprendizaje".

Bibliografía Básica1. Castellet, Llerena. Álgebra Lineal y Geometría. Reverté, 1994.2. de Burgos. Curso de Álgebra y Geometría. Alhambra, 1992.3. Anzola, Caruncho. Problemas de Álgebra 6: Geometría Afín y Euclídea. Autores, 1981.

Bibliografía Complementaria1. Hernández. Álgebra y Geometría. Addison-Wesley, 1998.2. Merino, Santos. Álgebra Lineal con Métodos Elementales. Thomson, 2006.3. Pichaud, Revuz. Geometría. Continental, 1976.4. Raya, Ríder, Rubio. Álgebra y geometría cuadrática. Thomson, 2006.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Topología de espacios métricos 43

1575. Topología de espacios métricos(2o Cuatrimestre, 6 créditos ECTS. Consúltese la guia oficial en SUMA)


DespachoFacultad


Pedro JoséHerrero Piñeyro

Geometría y Top. /Matemáticas

1.19Matem.

868884171

[email protected]

L 16:30-19:30M,V 9:30-11:00


Presentación de la asignaturaPara el estudiante del Grado en Matemáticas que inicia el segundo cuatrimestre, los conceptos asoci-

ados a la topología basada en una métrica no son nuevos. Las ideas de convergencia, continuidad, abierto,. . . ya se han estudiado de forma incipiente en el bachillerato, y de manera más intensa en la asignatura“Funciones de una variable real I”. Se trata ahora, pues, de introducir de forma sistemática y rigurosalos conceptos de distancia y de topología asociada a un espacio métrico y, a partir de aquí, estudiar losprincipales conceptos topológicos en este tipo de espacios, ideas que se encuentran en la base de otrasmaterias posteriores.

Estamos ante una introducción a la Topología a través de la teoría de los espacios métricos y, por otraparte, ante la adquisición de conceptos básicos y necesarios para el estudio de otras asignaturas del Grado.

La topología, en concreto la topología de los espacios métricos y, en particular, de los espacios eu-clídeos, es básica en la formación de un matemático; y se hace necesaria para el desarrollo de otrasmaterias ulteriores, como Análisis Matemático en Varias Variables, Ecuaciones Diferenciales, Topologíay Geometría Diferencial, Análisis Funcional, Funciones de Variable Compleja, Métodos Numéricos, etc.

Objetivos:

Conocer y manejar el concepto de distancia y de espacio métrico.

Conocer y manejar con soltura los conceptos topológicos asociados a los espacios métricos: tiposde subconjuntos, continuidad, convergencia, compacidad, conexión, completitud, . . .

Introducir al alumno en el método demostrativo y desarrollar el pensamiento lógico y riguroso.

Resolver problemas en los que intervienen los conceptos estudiados y ser capaces de expresar conrigor, tanto oralmente como por escrito, los razonamientos que intervienen en la resolución.

Atender, fundamentalmente, a los métodos e ideas, más que a los contenidos y resultados concretos.

Lograr un grado de madurez científica y una predisposición que le permita enfrentarse al plantea-miento y resolución de problemas diversos, no estrictamente de naturaleza topológica.

Despertar en el alumno la capacidad de aplicar teorías generales a situaciones concretas, sintetizan-do resultados parciales y deduciendo otros más globales.

Conocimientos previos necesariosEs necesario que el alumno conozca los conceptos fundamentales sobre la teoría de conjuntos, el

concepto de aplicación y sus diferentes tipos, conjunto finito e infinito, numerabilidad, . . . así como losconjuntos numéricos standard; en especial las propiedades de los números reales, sucesiones, funciones,. . . Es decir, los conocimientos correspondientes a las asignaturas de primer cuatrimestre “Conjuntos ynúmeros” y “Funciones de una variable real I”.

44 Topología de espacios métricos Universidad de Murcia


Utilizar los conceptos básicos asociados a la noción de espacio métrico.

Reconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topología métrica.

Construir ejemplos de espacios métricos usando las nociones de subespacio métrico y espacio métri-co producto.

Saber calcular la adherencia, el interior y la frontera de subconjuntos de algunos espacios métricos,en particular, de los espacios euclídeos.

Determinar cuándo una función entre espacios métricos es continua y, en particular, cuándo es unhomeomorfismo.

Identificar los subconjuntos conexos de la recta real y, en general, de los espacios euclídeos.

Relacionar los conceptos de conexión y continuidad en un espacio métrico.

Identificar los subconjuntos compactos de la recta real y, en general, de los espacios euclídeos.

Relacionar los conceptos de compacidad y continuidad en un espacio métrico.

Conocer las propiedades más sencillas de los espacios métricos completos.

Relacionar los conceptos de completitud y compacidad en los espacios métricos.

Saber caracterizar diferentes propiedades y conceptos topológicos mediante el uso de sucesiones,particularmente la continuidad, la adherencia, y los subconjuntos cerrados y compactos.


1. Espacios métricos. Distancia. Espacio métrico. Distancias en R y Rn. Ejemplos de espacios métri-cos. Subespacio métrico. Distancia a un conjunto y distancia entre conjuntos. Bolas. Topologíaasociada a una métrica. Conjuntos abiertos y cerrados. Propiedades. Producto de espacios métricos.

2. Subconjuntos destacados en la topología métrica. Adherencia, interior y frontera. Conjuntosdensos y espacios separables. Puntos aislados y de acumulación. Adherencia, interior y fronterarelativos. Sucesiones. Convergencia. Caracterización mediante sucesiones de los puntos adherentesy puntos frontera.

3. Funciones continuas. Continuidad de funciones entre espacios métricos. Continuidad en un punto.Continuidad global. Caracterización de la continuidad mediante sucesiones. Principales propiedadesde las aplicaciones continuas. Aplicaciones abiertas, cerradas y homeomorfismos. Aplicacionescontinuas en subespacios. Continuidad uniforme. Isometrías.

4. Espacios compactos. Espacio y subespacio compacto. Subconjuntos compactos de la recta realy del espacio euclídeo Rn. Compacidad secuencial. Teorema de Heine-Borel-Lebesgue. Relaciónentre la compacidad y las funciones continuas. Propiedad de la intersección finita.

5. Espacios métricos completos. Sucesiones de Cauchy. Los espacios euclídeos Rn. Relación entrela completitud y la compacidad. Teorema de encaje de Cantor, Teorema de Baire, Teorema delpunto fijo. Completado de un espacio métrico.

6. Espacios conexos Espacios métricos conexos. Propiedades. Componentes cconexas. Los subespa-cios conexos de la recta real. Conexión y continuidad. Conexión por caminos.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Topología de espacios métricos 45


Actividad Presencial Personal TotalClases de teoría 20 20 40Clases de problemas 17 25 42Talleres de problemas 12 18 30Tutorías, trabajos 4 9 13Pruebas de evaluación 7 18 25TOTALES 60 90 150


Tema Contenidos Horas1 Espacios métricos 82 Subconjuntos destacados 123 Funciones continuas 104 Espacios compactos 125 Espacios métricos completos 86 Espacios conexos 7


Instrumento Criterios de calidad PonderaciónTareas entregadas Precisión y corrección del lenguaje. Claridad, coherencia

y orden de los razonamientos. Manejo y relación de losconceptos y resultados utilizados. Correcta resolución.

10 %

Controles (dos) Precisión y corrección del lenguaje. Claridad, coherenciay orden de los razonamientos. Manejo y relación de losconceptos y resultados utilizados. Correcta resolución.

20 %

Examen final Precisión y corrección del lenguaje. Claridad, coherenciay orden de los razonamientos. Manejo y relación de losconceptos y resultados utilizados. Correcta resolución.

70 %

Para aprobar la asignatura en la convocatoria de junio será necesario obtener una calificación igual supe-rior a 3.5 puntos en el examen final y obtener al menos cinco puntos según la ponderación establecida.

En las restantes convocatorias del mismo curso académico la calificación del alumno será la mejorentre la calificación del examen y la media ponderada del párrafo anterior.


1. J.M. DIAZ MORENO; Introducción a la Topología de los Espacios Métricos ; Servicio de Publica-ciones de la Universidad de Cádiz Cádiz; 1998.

2. M. MACHO-STADLER; Topología de Espacios Métricos ;; http://www.ehu.es/∼mtwmastm/Docencia.html.

46 Elementos de probabilidad y estadística Universidad de Murcia


1. E. BUJALANCE y J. TARRES; Problemas de Topología ; UNED Madrid ; 1989.2. G. FLEITAS MORALES y J. MARGALEF ROIG; Problemas de Topología General ; Alhambra

Madrid ; 1970.3. PEDRO J. HERRERO y PASCUAL LUCAS; Topología ; Ed. Diego Marín Murcia; 2002.4. S. LIPSCHUTZ; Topología General Serie Schaum; McGraw-Hill México; 1970.5. W.A. SUTHERLAND; Introduction to Metric and Topological Spaces ; Oxford Sci. Publ. ; 1975.6. M. O. SEARCÓID; Metric Spaces ; Springer-Verlag ; 2007.7. S. SHIRALI y H. VASUDEVA; Metric Spaces ; Springer-Verlag ; 2006.

1576. Elementos de probabilidad y estadística(2o Cuatrimestre, 6 créditos ECTS. Consúltese la guia oficial en SUMA)


DespachoFacultad


María JoséFernández Sáez

Estadística e IO /Estadística e IO

2.15Matem.

868883639

[email protected]

L,X,J 10-12

NoemíZoroa Alonso


2.09Matem.

868883633

[email protected]

L,M,X 10-12

Presentación de la asignaturaEsta asignatura esta destinada a introducir al alumno en los fundamentos de la probabilidad y en su

aplicación a la modelización matemática de fenómenos aleatorios reales. Se le dará un enfoque adecuadoa los alumnos del Grado en Matemáticas. Sus contenidos son básicos para el posterior estudio del restode asignaturas de probabilidad y estadística de este grado.

Conocimientos previos necesariosEl alumno debe tener conocimientos generales de series e integrales y en particular tener habilidad en

el cálculo de sumas de series e integrales.


Conocer el concepto de espacio de probabilidad y las reglas de cálculo probabilístico.Conocer el concepto de independencia entre sucesos y el de probabilidad condicionada.Calcular probabilidades en distintos espacios discretos.Definir el espacio de probabilidad asociado a un problema.manejar variables aleatorias y conocer su utilidad para la modelización de fenómenos reales.Reconocer situaciones reales en las que aparecen las distribuciones probabilísticas básicas másusuales.Sintetizar y analizar descriptivamente conjuntos de datos.Conocer los estimadores más usuales y sus propiedades probabilísticas básicas.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Elementos de probabilidad y estadística 47


1. Introducción a la combinatoria. Introducción. Combinatoria. Binomio de Newton y fórmula deLeibniz.

2. Espacio de probabilidad. Sigma-álgebras de sucesos. Propiedades de la familia de sucesos. Lim-ites de sucesiones monótonas. Sigma álgebra de Borel en R. Función de probabilidad. Primeraspropiedades de la función de probabilidad. Propiedades de límite de la función de probabilidad.

3. Probabilidad condicionada. Definición. Propiedades. Teorema de la probabilidad total, de la prob-abilidad compuesta y de Bayes. Independencia entre sucesos. Teorema de Borel-Cantelli.

4. Distribuciones en R. Distribuciones de tipo discreto y tipo continuo. Funciones monótonas. Fun-ción de distribución en R.

5. Variable aleatoria de una dimensión. Definición de variable aleatoria. Distribución de una vari-able aleatoria.

6. Esperanza matemática de variables aleatorias de tipo discreto y continuo. Esperanza matemáti-ca de variables aleatorias, casos discreto y continuo. Propiedades. Momentos. Existencia y relaciónentre momentos. Desigualdad de Tchebychev. Otras características de las distribuciones. Desigual-ad de Schwarz.

7. Modelos básicos de distribuciones de probabilidad. Distribución de Bernoulli, distribución Bi-nomial, distribución Normal. Otras distribuciones de interés.

8. Introducción a la inferencia estadística. Introducción. Concepto de muestra, estadístico y dis-tribución en el muestreo. Estudio de algunos estadísticos de interés. Aplicaciones.


Actividad Presencial Personal TotalClases magistrales 50 65 115Prácticas con ordenador 4 2 6Tutorías 2 0 2Evaluación 5 22 27TOTALES 61 89 150


Tema Contenidos Horas1 Introducción a la combinatoria 32 Espacio de probabilidad 103 Probabilidad condicionada 64 Distribuciones en R 55 Variable aleatoria de una dimensión 46 Esperanza matemática 97 Modelos básicos de distribuciones 48 Introducción a la inferencia estadística 9

48 Elementos de probabilidad y estadística Universidad de Murcia

Criterios básicos de evaluaciónLa calificación correspondiente a la convocatoria de junio se obtendrá de la siguiente forma:Se realizará un examen de control y un examen final, la fecha del examen de control se anunciará

oportunamente, el examen final se realizará en la fecha establecida en Junta de Facultad. El examen finalincluirá toda la materia dada en el curso, salvo en la parte teórica de la cual se eliminarán los contenidosteóricos incluidos en el control si en éstos se ha obtenido una calificación igual o superior a 6 puntos.

La calificación final de la asignatura se obtendrá como la media ponderada del control (40 %) y elexamen final (60 %). Si la calificación anterior es mayor o igual a 4, ésta podrá incrementarse en unmáximo de un punto debido a la evaluación positiva de los trabajos entregados por el alumno y a laparticipación en los talleres de problemas.

La calificación de la asignatura en las otras convocatorias del mismo curso académico será la corres-pondiente al examen final.

La realización de las prácticas es obligatoria para superar la asignatura.


1. Rohatgi, V.K.; An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics. Wiley-Inter-science, 1976.

2. Ross, S.M.; Topics in Finite and Discrete Mathematics. Cambridge University Press, 2000.

3. Zoroa, P., Zoroa, N.; Elementos de probabilidades. DM, 2008


1. Feller, W.; Introducción a la teoría de las probabilidades, Volúmenes I y II. Limusa, 1973.

2. Montero, J.; Pardo, L.; Morales, D.; Quesada, V.; Ejercicios y problemas de cálculo de probabili-dades. Díaz de Santos, Madrid, 1988.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Programación orientada a objetos 49

1577. Programación orientada a objetos(2o Cuatrimestre, 6 créditos ECTS. Consúltese la guia oficial en SUMA)


DespachoFacultad


Juan AntonioSánchez Laguna


E.24Inform.

868888505

[email protected]

M,J,V16:30-18:30

GregorioMartínez Pérez


1.12Inform.

868887646

[email protected]


Presentación de la asignaturaEsta asignatura es una introducción a la programación orientada a objetos. La asignatura es eminen-

temente práctica, por lo que la realización de ejercicios y la utilización de ordenadores en laboratoriotiene una gran importancia. En esta asignatura se estudia el paradigma orientado a objetos como solu-ción a los problemas que aparecen al tratar de resolver problemas complejos usando exclusivamente laprogramación estructurada o procedural. Se da una introducción de los conceptos de clase y objeto y setratan los distintos aspectos relativos a la programación orientada a objetos: Abstracción, Encapsulación,Ocultación, Polimorfismo y Herencia. Como lenguaje de referencia se utiliza Java.

Conocimientos previos necesariosManejo básico de las funcionalidades generales de un ordenador: exploradores de archivos, naveg-

adores de internet, programas de compresión de documentos, procesadores de textos, etc.


Conocer un lenguaje de programación orientado a objetos (Java).Diferenciar Clases de Objetos.Diseñar clases.Diferenciar entre función y método.Utilizar paso de objetos por referencia.Aplicar herencia en el diseño de clases.Diferenciar entre heredar e implementar interfaces.Documentar las aplicaciones realizadas.


1. Clases y Objetos. Introducción, necesidad, conceptos básicos. El ciclo de vida de un objeto: defini-ción, declaración, construcción, uso y destrucción.

2. Miembros y Métodos. Concepto de clientela. Diferencia entre funciones y métodos. El objeto this.Métodos y miembros estáticos. El método estático main. Construcción y clientela.

3. Ocultación y Sobrecarga. Mecanismos de control de acceso. Ocultación a nivel de paquete y declase. Sobrecarga de constructores y de métodos.

4. Herencia. Jerarquías de clase. Concepto de subtipo. Reescritura de métodos. Polimorfismo. Uso de"super". Pérdida y recuperación de tipo. El supertipo Object. Mecanismos de ocultación específicosde la herencia. Clases y métodos abstractos.

5. Interfaces. Implementación vs Herencia. Implementación múltiple. Herencia de interfaz. Herenciae interfaces.

50 Programación orientada a objetos Universidad de Murcia


Actividad Presencial Personal TotalClases de teoría 22 10 32Talleres de problemas 8 2 10Prácticas con ordenador 22 60 82Ejercicios prácticos 0 10 10Pruebas de evaluación 8 8 16TOTALES 60 90 150


Tema Contenidos Horas1 Clases y Objetos 102 Miembros y Métodos 103 Ocultación y Sobrecarga 104 Herencia 105 Interfaces 10

Criterios básicos de evaluaciónLa asignatura se divide en dos partes, una de teoría y otra de prácticas. Cada una de ellas tiene un

peso final en la asignatura del 50 % y se podrán aprobar por separado, siempre con una calificación igualo superior a cinco. Las calificaciones se mantendrán durante dos convocatorias.

Para la parte de teoría, durante el desarrollo del segundo cuatrimestre, se llevarán a cabo dos pruebasde evaluación continua. Si ambas se superan con una nota ≥ 3 y la media entre las dos es ≥ 5, seconsiderará aprobada la parte teórica de la asignatura. No se guardarán las calificaciones de las pruebasde evaluación continua más allá del segundo cuatrimestre. En caso de que no se cumplan las condicionesanteriores, o que el alumno no siga el método de evaluación continua, se realizará un examen final enconvocatoria oficial. Dicho examen se considerará superado en caso de obtener una calificación ≥ 5.

En la parte práctica, y durante el segundo cuatrimestre, el alumno tendrá que desarrollar dos boletinesde prácticas para los que se realizará evaluación continua. Si ambos se superan con una nota ≥ 3 y lamedia entre las dos es ≥ 5, se considerará aprobada la parte práctica de la asignatura. No se guardaránlas calificaciones de los boletines de prácticas más allá del segundo cuatrimestre. En caso de que nose cumplan las condiciones anteriores, o que el alumno no siga el método de evaluación continua, serealizará un único boletín final de prácticas en las siguientes convocatorias oficiales. Dicho boletín finalse considerará superado en caso de obtener una calificación ≥ 5. En cada convocatoria los ejercicios delboletín serán diferentes a los del anterior y serán publicados en SUMA.

Bibliografía Básica1. Joyanes L. Fundamentos de Programación. McGraw Hill, 2002.2. Arnow, D., Weiss, G. Introducción a la programación con Java. Un enfoque orientado a objetos.

Addison Wesley, 2000.3. Eckel B. Thinking in Java. Prentice Hall, 2002.

Bibliografía Complementaria1. Java 2 Platform Standard Edition 5.0 API Specification (http://java.sun.com/j2se/1.5.0/docs/api/)

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Asignaturas de Segundo Curso de la Licenciatura 51

10. Asignaturas de Segundo Curso de la Licenciatura

0A5. Geometría Proyectiva y Formas Cuadráticas

Código Tipo Curso Créditos Trabajo Duración Idioma0A5 Troncal 2o 9 225 horas Anual Español


DespachoFacultad


AntonioÁlvarez Dotú


1.02Matem.

868883677

[email protected]

M,X,J 10-12 (C1)L,J 10-12 y V 9-11 (C2)

Presentación de la asignaturaLa geometría de primer curso, además de introducir las estructuras geométricas fundamentales, se cen-

tra en las variedades lineales, conjuntos de puntos representados por ecuaciones algebraicas de grado uno.Esta asignatura de segundo curso está dedicada a la Geometría Proyectiva y a las Variedades Cuadráticas,en particular las cónicas y las cuádricas, que son conjuntos de puntos representados por ecuaciones alge-braicas de grado dos (ecuaciones cuadráticas). La Geometría Proyectiva es un marco unificador en el queel lenguaje del Álgebra Lineal permite interpretar la Geometría Afín considerada en el primer año, y queademás proporciona un instrumento adecuado para el estudio de las formas cuadráticas. Por otra parte,no es menos interesante el estudio de la Geometría Proyectiva teniendo en mente su origen histórico deproporcionar un modelo matemático para el estudio de la perspectiva.

Objetivos

Plantear el problema de la representación plana de objetos tridimensionales y establecer la Geome-tría Proyectiva como el modelo matemático apropiado para su resolución.Presentar de un modo accesible los aspectos fundamentales de la Geometría Proyectiva y su relacióncon la Geometría Afín.Realizar un estudio sistemático de las cónicas y las cuádricas en los espacios proyectivo, afín y afíneuclídeo.

Conocimientos previos necesariosLos contenidos de la asignatura Álgebra Lineal y Geometría Euclídea de Primer Curso.

Competencias de la titulación a las que contribuye la asignaturaTI1, TI7, TP6, TS1, ED1, ED4, EP3, EO3


Calcular las ecuaciones de subespacios, cambios de coordenadas y aplicaciones proyectivas.Hallar el enunciado dual de uno dado.Encontrar los elementos invariantes de una proyectividad para dimensiones dos y tres.Calcular razones dobles y saber utilizarlas para clasificar homografías.Clasificar por congruencias matrices simétricas.Identificar el tipo afín de una cónica o una cuádrica dada.Determinar los invariantes métricos y encontrar la ecuación reducida de una cónica o una cuádrica.

52 Geometría Proyectiva y Formas Cuadráticas Universidad de Murcia


1. Geometría Proyectiva.

a) INTRODUCCIÓN. Motivación histórica. Representación tridimensional plana. Revisión brevede los espacios afines y las aplicaciones afines.

b) ESPACIOS PROYECTIVOS. DUALIDAD. Espacios proyectivos. Subespacios proyectivos; op-eraciones. Recta y plano proyectivos. Incidencia. Coordenadas homogéneas. Ecuaciones desubespacios. El Principio de Dualidad. Coordenadas de hiperplanos.

c) COLINEACIONES Y PROYECTIVIDADES. Aplicaciones proyectivas. Homografías. Proyec-ciones cónicas: Perspectividades. El teorema de Desargues.

d) RELACIÓN ENTRE EL ESPACIO AFÍN Y PROYECTIVO. Inmersión del espacio afín en elespacio proyectivo.Homogeneización. Estructura afín del complemento de un hiperplano.Deshomogeneización. Relación entre los subespacios afines y proyectivos. El grupo afín comosubgrupo del grupo proyectivo. El teorema de Pappus.

e) RAZÓN DOBLE. CLASIFICACIÓN DE HOMOGRAFÍAS. Coordenadas paramétricas sobre unarecta. Razón doble de cuatro puntos alineados. Relación con la razón simple. Proyectividadesentre espacios proyectivos de dimensión uno. Cuaternas armónicas. La construcción armónica.Proyectividades entre espacios proyectivos bidimensionales.

2. Formas cuadráticas.

a) FORMAS BILINEALES Y FORMAS CUADRÁTICAS. Formas bilineales y cuadráticas. Ortog-onalidad en espacios bilineales. Bases ortogonales. Diagonalización por congruencia de ma-trices simétricas. Clasificación de las geometrías ortogonales sobre los reales y complejos.Clasificación ortogonal de las formas cuadráticas.

b) CUÁDRICAS EN ESPACIOS PROYECTIVOS. Variedades cuadráticas en espacios proyectivos.Intersección de una variedad cuadrática con una recta. Ecuación de una variedad cuadrática.Polaridad asociada a una cuádrica proyectiva. Variedad tangente desde un punto a una cuádri-ca. Clasificación proyectiva de las cuádricas. Clasificación de las variedades cuadráticas realesen dimensión baja.

c) ESTUDIO AFÍN Y MÉTRICO DE LAS CUÁDRICAS. Cuádricas en el espacio afín. Ecuación deuna cuádrica afín. Clasificación afín de las cuádricas. Cuádricas afínes en dimensión 2 y 3.Estudio particular de las cónicas. Estudio particular de las cuádricas en el espacio.

Metodología didácticaLa parte teórica se desarrollará mediante exposición por parte del profesor. Esta parte estará comple-

mentada con pequeñas pruebas, no más de cuatro en el año académico, realizadas en horas de clase quepermitan al alumno ir comprobando el ritmo de aprendizaje, la claridad de conceptos y la capacidad deexposición de resultados. Se utilizará el horario de tutorías para comentar con los alumnos los aspectosmás destacados en la corrección. La parte práctica consistirá en la resolución en el aula de ejercicios yproblemas en relación con los contenidos del programa y el desarrollo de talleres de resolución de proble-mas que se realizarán periódicamente (una vez cada dos semanas aproximadamente). A lo largo del cursose distribuirán relaciones de problemas y ejercicios con objeto de que los alumnos puedan ejercitarseen resolver los problemas con anterioridad a su tratamiento en el aula. Entre estos, se marcarán algunosque habrán de ser entregados voluntariamente y que el profesor comentará de forma individual con cadaalumno.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Geometría Proyectiva y Formas Cuadráticas 53


Actividad / Horas Presenciales Personales TotalesLecciones magistrales 52 78 130Problemas dirigidos 18 47 65Tutorías 14 0 14Sesiones de evaluación 16 0 16TOTALES 100 125 225Relación Trabajo/ECTS 225/9 = 25


Clases Clases SemanasTema Contenidos Teo Prob (prev.)1a Introducción 5 2 1-31b Espacios proyectivos. Dualidad 10 3 3-71c Colineaciones y proyectividades 4 3 7-91d Relación entre los espacios afín y proyectivo 4 2 10-111e Razón doble. Clasificación de homografías 10 4 12-162a Formas bilineales y formas cuadráticas 12 5 16-222b Cuádricas en espacios proyectivos 10 3 22-262c Estudio afín y métrico de las cuádricas 9 4 26-30

Criterios básicos de evaluaciónHabrá dos exámenes parciales (EP) divididos en teoría (T) y práctica (P), uno por cada cuatrimestre,

no obstante se realizarán pruebas cortas (PC) a lo largo del curso, tras finalizar algunos de los temas,durante las horas de clase. En los exámenes parciales se valorará con un 40 % la parte teórica y con un60 % la parte práctica.

La nota de la asignatura se calculará fundamentalmente en base al resultado de los exámenes parciales.Sin embargo, los ejercicios entregados a lo largo del curso (E) supondrán el 15 % de la nota final y laspruebas arriba mencionadas contarán un 15 % de la nota final.

En resumen, la calificación final (CF) se obtendrá de la siguiente forma:

CF = 15 %E + 15 %PC + 70 %EP donde EP = 50 %T + 50 %P


1. ANZOLA y CARUNCHO, Problemas de Algebra Tomo 7, 1981.2. BURGOS, J., Algebra Lineal y Geometría, Alhambra Madrid, 1987.3. GARCÍA HERNÁNDEZ, J.L., Geometría Proyectiva y Formas Cuadráticas, Texto-Guía, Universi-

dad de Murcia, 2003.4. MONTESDEOCA DELGADO, A., Geometría Proyectiva. Cónicas y Cuádricas, Textos Universi-

tarios Tenerife, 2001.5. RODRIGUEZ-SANJURJO, J.M. y RUIZ SANCHO,J.M., Geometría Proyectiva, Addison- Wesley,

19986. SANTALO, L.A., Geometría Proyectiva, Eudeba Buenos Aires, 1966.

54 Análisis Matemático II Universidad de Murcia


1. ARTIN, E., Geometric Algebra, Interscience New York, 1957.

2. BERGER, E.y otros, Problems in Geometry, Springer-Verlag, 1984.

3. COXETER, H.S.M., Projective Geometry, Springer-Verlag, 1987.

4. FRENKEL,J., Géomètrie pour l’élève-professeur, Hermann, 1973.

5. GRUEMBER-WEIR, Linear Geometry, Springer, 1977.

6. PUERTA,F., Algebra Lineal, Universitat Politècnica de Barcelona, 1986.

7. SAMUEL, P., Projective Geometry, Springer-Verlag, 1988.

0A6. Análisis Matemático II



DespachoFacultad


GabrielVera Botí


1.08Matem.

868883538

[email protected]

L,X 12-14J 18-20

MatíasRaja Baño


0.01Matem.

868884166

[email protected]

L,X,J 12-14

Presentación de la asignaturaAnálisis Matemático II es una asignatura troncal de 15 créditos dedicada esencialmente al estudio de

las funciones de varias variables reales. El núcleo de la asignatura está dedicado al Cálculo Diferenciale Integral junto con los requisitos topológicos que le dan fundamento. En esta asignatura se completay culmina el estudio de los contenidos de carácter troncal referentes al cálculo diferencial e integraliniciados en la asignatura Análisis Matemático I de primer curso. Las materias que se enseñan en estaasignatura son de reconocida utilidad como herramienta básica en diversos campos del saber científico(Física, Ingeniería, Economía, Estadística, Informática...)

Objetivos

Un objetivo transversal de esta asignatura es que los alumnos continúen practicando y perfeccionan-do el lenguaje y el método propio de las Matemáticas. Además de comprender las demostracionesde los teoremas, se pretende que los alumnos aprendan a detectar el papel de las hipótesis medianteejemplos y contraejemplos adecuados.

Otro objetivo transversal de la asignatura es iniciar a los alumnos en el conocimiento y manejo dela geometría analítica tridimensional. Este objetivo se abordará al analizar e interpretar geométri-camente diversos conceptos y resultados, y al plantear y resolver problemas clásicos de naturalezageométrica.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Análisis Matemático II 55

Conocer las nociones básicas del Análisis Matemático que son importantes para el estudio de ésta yotras asignaturas del área: convergencia y continuidad uniforme, norma en un espacio de funciones,completitud. Conocer y manejar los fundamentos sobre límites y continuidad de funciones realesde varias variables reales.

Conocer los fundamentos y el formalismo del Cálculo Diferencial de funciones vectoriales de variasvariables reales y saber utilizarlo para resolver problemas clásicos (geométricos y de optimización).

Conocer los fundamentos del Cálculo Integral, para funciones reales de varias variables reales, ysaber aplicarlo para el cálculo de áreas y volúmenes y otros problemas clásicos.

Conocer los fundamentos de la integración sobre dominios curvos (integral curvilíneas y de super-ficie) y los resultados básicos del Análisis Vectorial, donde confluyen el Cálculo Diferencial y elCálculo Integral.

Adquirir destreza en la modelización y resolución de problemas de la vida real que se puedanabordar combinando técnicas del cálculo diferencial e integral.


− Los conceptos básicos de topología en el ámbito de los espacios métricos que se enseñan en laasignatura de primer curso Topología (troncal de 6 créditos).

− El cálculo diferencial y el cálculo integral, para funciones reales de una variable real, que se enseñaen la asignatura de primer curso Análisis Matemático I (troncal de 18 créditos).

− Aplicaciones lineales, matrices, determinantes y los nociones básicas de la geometría euclídea quese enseñan en la asignatura de primer curso Álgebra Lineal y Geometría Euclídea (troncal de 15créditos).

Competencias de la titulación a las que contribuye la asignaturaTI1, TI7, TP6, TS1, TS2, TS3, ED2, ED9, EP3, EP6, EP12, EA4, EA5, EA6, EO1, EO3


Distinguir entre la convergencia puntual y la convergencia uniforme. El alumno debe ser capaz deaveriguar los intervalos de la recta real sobre los que converge uniformemente una sucesión o seriede funciones concreta (que puede depender de un parámetro).

Analizar propiedades de regularidad de funciones de varias variables (continuidad, continuidaduniforme, grado de diferenciabilidad, analiticidad, convexidad...)

Razonar con inversas locales y con funciones definidas implícitamente.

Conocer la noción de espacio tangente a una curva o superficie y saber obtener sus ecuacionescuando ésta viene dada en forma explícita, implícita o paramétrica.

Conocer la noción general de subvariedad diferenciable de Rn y la de espacio tangente a la mismaen un punto.

Plantear y resolver problemas de optimización con y sin restricciones de ligadura, haciendo énfasisen el planteamiento de problemas que modelizan situaciones reales.

Manejar adecuadamente los sistemas de coordenadas curvilíneas usuales (coordenadas polares,cilíndricas, esféricas... ) y utilizarlos para efectuar cambios de variable en operadores diferencialessencillos (p.e. Laplaciano en coordenadas polares) y para calcular integrales múltiples.


Aplicar las técnicas de cálculo integral de varias variables (integración reiterada y cambio de vari-able) para calcular integrales múltiples.

Resolver problemas que impliquen el cálculo de integrales, procedentes de las aplicaciones ge-ométricas y físicas del cálculo integral: volúmenes de sólidos (en particular de revolución), cálculode masas y centros de masa, momentos de inercia.

Saber utilizar el cálculo diferencial e integral de funciones vectoriales de variable real para resolverproblemas clásicos de naturaleza física y geométrica (movimiento planetario, longitudes de curvasparamétricas, cálculo del centro de masa de un alambre).

Conocer los resultados básicos del análisis vectorial clásico (integrales de línea y de superficie) ysaber aplicarlos e interpretarlos en el lenguaje de la Física.

Conocer y saber aplicar las condiciones que permiten intercambiar el orden de dos procesos suce-sivos de paso al límite. Entender el papel que desempeña la convergencia uniforme en estos prob-lemas.

Conocer y saber utilizar los resultados básicos sobre continuidad, y derivabilidad de funcionesdefinidas como mediante series o integrales que dependen de un parámetro.

Saber utilizar algún programa de representación gráfica de curvas y superficies en el espacio or-dinario para interpretar geométricamente los conceptos básicos de la materia (visualización delcomportamiento local de una función, de los puntos estacionarios en los problemas de extremoscon ligaduras, de recintos de integración...)


1. Introducción.Diversas formas de describir analíticamente curvas y superficies. Curvas y superficies de nivel.Introducción a los sistemas de coordenadas curvilíneas.

2. Sucesiones y series de funciones.Convergencia puntual y convergencia uniforme. Condición de Cauchy y criterio de Weierstrass.Teoremas sobre continuidad, derivabilidad e integrabilidad del límite de una sucesión de funciones.Versiones para series.

3. Espacios métricos y espacios normadosNormas en Rn. Noción general de espacio normado. Normas en C[a, b]. Normas equivalentes.Topología de un espacio normado. Espacios completos. Conjuntos compactos.

4. Límites y continuidadLímite funcional. Condición de Cauchy. Continuidad en un punto y continuidad global. Extremosde funciones reales continuas en conjuntos compactos. Continuidad uniforme y convergencia uni-forme. Espacios normados de dimensión finita. Norma de una aplicación lineal continua.

5. Integral de Riemann de funciones de varias variablesFunciones integrables Riemann en un intervalo. Propiedades de la integral. Integrabilidad de lasfunciones continuas. Conjuntos medibles Jordan y definición de la integral sobre estos conjuntos.Los conjuntos de contenido nulo y su papel en el cálculo integral. Conjuntos de medida nula ycaracterización de las funciones integrables.

6. Técnicas de cálculo integral y aplicacionesIntegración iterada y cambio de variable. Cálculo de integrales dobles y triples. Aplicaciones ge-ométricas y físicas del cálculo integral.


7. Funciones definidas por integralesIntegrales impropias. Paso al límite bajo la integral. Continuidad y derivabilidad de las integralesdependientes de un parámetro.

8. Funciones vectoriales de variable real.Cálculo diferencial para funciones vectoriales de variable real. Teorema del incremento finito ydesarrollo de Taylor. Longitud de un arco de curva. Integral respecto al arco.

9. Aplicaciones diferenciables.Funciones de varias variables: Derivada según un vector y derivadas parciales. Aplicaciones diferen-ciables. Condición suficiente de diferenciabilidad. Regla de la cadena. Gradiente. Interpretacionesgeométricas. Teorema del incremento finito.

10. Diferenciabilidad de orden superiorFunciones varias veces diferenciables. Derivadas parciales de orden superior. Permutabilidad delorden de las derivaciones. Desarrollo de Taylor para funciones de varias variables. Funciones con-vexas.

11. Funciones inversas e implícitasTeorema de la función inversa. Cambios de variable y coordenadas curvilíneas. Funciones implíci-tas. Noción de subvariedad de Rn. Espacio tangente.

12. OptimizaciónExtremos sin restricciones. Extremos condicionados: Método de los multiplicadores de Lagrange.Aplicaciones geométricas.

13. Integral de líneaCampos de vectores y formas diferenciales. Integración curvilínea: Independencia del camino yexistencia de función potencial. Teorema de Green. Aplicaciones.

14. Cálculo vectorialÁrea de una superficie. Integración de funciones sobre superficies. Integración de campos y formasdiferenciales sobre superficies. Teoremas clásicos del Análisis Vectorial.

Metodología didácticaLa asignatura está organizada en dos partes, que corresponden a los dos cuatrimestres. Los temas 1-7

corresponden al primer cuatrimestre y los temas 8-14 al segundo, aunque debido a la asimetría en loscuatrimestres es posible que la exposición del tema ocho comience en el primer cuatrimestre. La teoríase desarrollará mediante clases magistrales en pizarra. La parte práctica se distribuirá en dos tipos desesiones: clases de pizarra donde se enseñará a los alumnos las diferentes estrategias para abordar losproblemas característicos de la asignatura, y talleres de problemas en sesiones de dos horas semanales,donde los alumnos harán ejercicios y resolverán problemas bajo las indicaciones y supervisión de losprofesores.

A principio de curso se entregará a los alumnos una relación de ejercicios y problemas, clasificadospor temas. Algunos se resolverán en clase, para ilustrar aspectos teóricos de interés, otros se abordaránen los talleres de problemas y se seleccionarán unos pocos para que los alumnos los entreguen resueltos.Entre estos ejercicios figurarán algunos referentes a redacción de textos matemáticos, bien escribien-do con detalle la demostración de un resultado importante (particularizándolo o generalizándolo), biencompletando alguna demostración incompleta de la que se les haya proporcionado un esquema, o bien,realizando una crítica minuciosa de algún texto redactado de forma ambigua e imprecisa. En las horas detutoría se corregirán y supervisarán individualmente los trabajos entregados. Como herramienta de apoyopara esta asignatura, tanto en clases teóricas como en clases prácticas, se usará el programa DpGraph,


muy apropiado para visualizar en el espacio gráficas de funciones, recintos de integración y problemas deoptimización.


Actividad / Horas Presenciales Personales TotalesLecciones magistrales 80 95 175Resolución de problemas 25 60 85Talleres de problemas 38 30 68Trabajos individuales 0 40 40Entrevistas individuales 10 5 15Consultas tutorías 10 5 15Controles 8 8Exámenes parciales 9 9Examen final 5 5TOTALES 185 235 420Relación Trabajo/ECTS 420/15 = 28


Clases Clases SemanasCapítulo Contenidos Teo Prob (prev.)1 Introducción 3 4 1-22 Sucesiones y series de funciones 5 5 2-43 Espacios métricos y normados 7 4 4-64 Límites y continuidad 7 6 6-95 Integral de Riemann 7 4 9-116 Técnicas de cálculo integral 6 9 11-147 Funciones definidas por integrales 6 2 14-168 Funciones vectoriales de variable real 4 3 16-179 Aplicaciones diferenciables 7 7 17-2010 Diferenciabilidad de orden superior 7 5 20-2211 Funciones inversas e implícitas 7 6 22-2512 Optimización 5 7 25-2713 Integral de línea 6 3 27-2914 Cálculo vectorial 5 3 29-30


Criterios básicos de evaluaciónLa evaluación versará sobre la adquisición de los conocimientos, habilidades y destrezas fijados en el

correspondiente apartado. La evaluación continua —más abajo detallada— y las tutorías personalizadaspermitirán a estudiantes y profesores obtener información del proceso de aprendizaje y, eventualmente,introducir las acciones necesarias para mejorarlo.

El proceso de evaluación se realiza en dos formas: mediante exámenes escritos tradicionales y medi-ante evaluación continua.

1. Se realizarán dos exámenes parciales escritos, realizados al finalizar cada uno de los cuatrimestres y,eventualmente, un examen final. El examen final deberán realizarlo sólo los alumnos que no hayansuperado globalmente la asignatura. Versará sobre la asignatura entera o la parte no superada, segúnla situación de cada cual, explicitada en un listado que se publicará al efecto.

Los exámenes constarán de teoría (40 % del total) y problemas (60 % del total).

Cada uno de los exámenes se calificará de 0 a 10 puntos, y la nota que corresponde a este apartadoes la media de las notas obtenidas en los parciales (o las eventuales recuperaciones en el examenfinal). Para superar la evaluación parcial y/o final se tendrá que alcanzar un mínimo de 2,5 puntosen el apartado de problemas.

2. La evaluación continua se realizará bajo dos formas.

a) La entrega de ejercicios o trabajos individuales corregidas y calificadas por el profesorado;tales entregas se realizarán en fechas que serán oportunamente señaladas. Cada una de lasentregas será calificada de 0 a 10 puntos.

b) La realización de al menos dos controles escritos (uno por cuatrimestre) con una duración dedos horas, en fechas que se anunciarán convenientemente. Cada uno de estos controles serácalificado de 0 a 10 puntos.

Por este apartado de evaluación continua, en cada cuatrimestre, el alumno recibirá entre 0 y 2 puntosen total, que se añadirán a la puntuación obtenida en el apartado de problemas de cada parcial. Enel final se añadirá la media de la puntuación obtenida en esta evaluación continua.

La adición de estos puntos por evaluación continua se realizará de acuerdo con la siguiente tabla,que indica la puntuación añadida en cada control, sinedo n el número de controles totales que serealicen:

Puntuación obtenida Puntos a sumar0 ≤ x < 4 0

4 ≤ x < 60, 7

n

6 ≤ x < 81, 1

n

8 ≤ x < 101, 5

n

De esta forma se obtienen como máximo 1,5 puntos. Los puntos restantes hasta 0,5 se obtienenproporcionalmente a partir de la media obtenida en los ejercicios entregados y a la valoración queel profesorado haga del grado de adquisición de la competencia de expresión rigurosa y clara,fundamentalmente a través de la calidad y rigor de la redacción escrita.


Para poder obtener la calificación correspondiente a esta evaluación continua el alumno debe re-alizar al menos el 75 % de los controles y entregar al menos las dos terceras partes de los ejerciciospropuestos.

El hecho de que la evaluación continua se realice por cuatrimestres permitirá eliminar un parcialaunque en el correspondiente examen no se haya alcanzado una calificación de cinco o superior.Además, una puntuación en algún control de siete puntos o superior, podrá permitir la eliminaciónde alguna pregunta en el parcial correspondiente. La materialización de esta posibilidad no es au-tomática, sino que será decisión de los profesores de la asignatura, en base al nivel de adquisiciónde la correspondiente competencia que el alumno haya mostrado en el control.

Para aprobar la asignatura hay que alcanzar 5 puntos.En la convocatoria de septiembre se realizará un único examen de toda la asignatura con las carac-

terísticas generales del examen final. Una vez calificado se aplicará el incremento correspondiente a laevaluación continua, de la misma forma que en la convocatoria de junio.

En la convocatoria de febrero (abierta exclusivamente a alumnos que ya cursaron la asignatura en elcurso académico 2007–08, sin superarla), se realizará un examen escrito que será el único elemento deevaluación.


1. F. Bombal, L. Rodríguez y G. Vera. Problemas de Análisis Matemático. 3 vol. AC. Madrid 1987.(Sig. 26-65,0/1, 26-213, 26-29,0/4, 26-30,0/4, 26-31,0/5 )

2. J.A.Fernández Viña. Análisis Matemático, Vol II y III Tecnos. Madrid 1992. (Signat. 26B5,0/6,26B9,0/3, 26B10,0/4, 26B6,0/3, 26-328, 26-244, 26B13,0/3)

3. J. E. Mardsen, A. J. Tromba. Cálculo Vectorial. Pearson 1998. (Sig. 53A26,0/2)

4. G. Vera. Lecciones de Análisis Matemático II. Distribuidos en SUMA. 2005.


1. J. A. Abia, J. García y C. Marijuán. Cálculo diferencial en Rn. Los autores. Valladolid 1998.

2. T. A. Apostol. Análisis Matemático. Seg. Ed. Reverté. Barcelona 1976. (Sig. 26B8,0/6, 26-271)

3. T. A. Apostol. Calculus. Seg. Ed. Reverté. Barcelona 1986. (Sig. 26-22,0/5)

4. G. H. Edwards. Advanced Calculus of Several Variables. Academic Press 1973.

5. J. A. Facenda y F. J. Freniche. Integración de funciones de varias variables. Pirámide. Madrid 2002.(Sig. 26B33 a 26B37)

6. C. Fernández, Fco. J. Vázquez y J. M. Vegas. Cálculo Diferencial de Varias Variables. Thomson.Madrid 2002.

7. W. H. Fleming. Functions of Several Variables. Springer-Verlag 1977. (Sig. 26B29,0/1 )

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Métodos Numéricos 61

0A7. Métodos Numéricos



DespachoFacultad


Antonio JoséPallarés Ruiz


1.10Matem.

868883559

[email protected]

M,X 12:30-14:30J 17-19


Presentación de la asignaturaLa asignatura «Métodos Numéricos» está dedicada al desarrollo de programas que resuelvan proble-

mas matemáticos utilizando un entorno computacional. De forma más concreta, se aborda la resoluciónnumérica de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, y la interpolación y ajuste defunciones.


− De la asignatura «Informática» (0A3): conocimientos básicos sobre el manejo de ordenadores y lasprimeras nociones del lenguaje de programación JAVA.

− De «Álgebra Básica» (0A4): conocimientos básicos del anillo de polinomios de una variable.

− De «Álgebra Lineal y Geometría Euclídea» (0A0): conocer el lenguaje matricial para representarsistemas de ecuaciones y transformaciones lineales entre espacios vectoriales.

− De «Análisis Matemático I» (0A2): los resultados fundamentales del cálculo diferencial de fun-ciones de una variable real.

− De «Topología» (0A1): manipular los conceptos básicos de la topología de los espacios métricos.

Competencias de la titulación a las que contribuye la asignaturaTI2, TI5, TI6, TI7, TI8, TP6, TS1, TS2, TS3, TS7, ED8, EP4, EP5, EP6, EA4, EA5, EO1, EO4


GENÉRICAS

Conocer las técnicas básicas del cálculo numérico y su traducción a «algoritmos». Utilizar el for-malismo y el rigor matemático para el diseño, análisis y verificación de éstos.

Saber implementar los algoritmos en un lenguaje de programación estructurada.

Utilizar los algoritmos de resolución numérica para programar métodos numéricos aplicables aproblemas de forma efectiva.

Aprender a valorar y comparar distintos métodos en función del problema a resolver, el coste oper-ativo y la presencia de errores.

Evaluar los resultados y obtener conclusiones tras un proceso de cálculo.

En coordinación con las asignaturas de la titulación relativas a programación y cálculo numérico,emplear un mismo lenguaje de programación («JAVA» en la promoción actual) para implementarlos algoritmos y garantizar la destreza de nuestros titulados en su utilización.

62 Métodos Numéricos Universidad de Murcia

ESPECÍFICAS

Identificar, localizar y controlar errores en procesos lógicos y numéricos.

Usar las fórmulas explícitas y el método de las diferencias divididas para calcular los polinomiosinterpoladores de Lagrange y Hermite.

Resolver numéricamente ecuaciones no lineales de una variable con métodos iterativos elementalesy analizar su convergencia. Implementar en el ordenador estos métodos y comparar su eficacia enla resolución de casos prácticos.

Aproximar los ceros de polinomios con coeficientes complejos con métodos específicos para esteproblema. Implementarlos en el ordenador y analizar su eficacia.

Utilizar polinomios interpoladores para resolver ecuaciones no lineales.

Calcular los splines cúbicos natural y sujeto que ajustan una determinada nube de puntos.

Comprender el funcionamiento del algoritmo de Remez para calcular el polinomio de mejor aprox-imación uniforme.

Valorar la eficacia comparada de cada uno de los métodos de interpolación y aproximación estudi-ados.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando métodos directos del Álgebra Lineal, imple-mentar estos métodos en el ordenador y comparar su estabilidad y eficacia.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando métodos iterativos, analizar su convergencia,implementar estos métodos en el ordenador y compararlos entre sí y con los métodos directos.

Aproximar los valores propios y vectores propios de una matriz.

Resolver sistemas sobredeterminados de ecuaciones aplicándolos al ajuste de nubes de puntos pormínimos cuadrados mediante diversos tipos de funciones.

Resolver numéricamente sistemas de ecuaciones no lineales con los métodos de punto fijo, Newtony descenso rápido. Analizar y comparar su convergencia. Programar en el ordenador la resoluciónde casos prácticos.


1. PRESENTACIÓNGuía de la Asignatura. Metodología docente y criterios de evaluación. Modelización de prob-lemas como ecuaciones: resolución aproximada y errores.Temporalización: 1HTe

2. CÁLCULO EN UNA VARIABLE

a) Computación. Números y su representación. Errores. Números de máquina. Redondeo. Cál-culos estables e inestables. Problemas mal condicionados. Algoritmos: forma, evaluación ycomplejidad. Algoritmos iterativos y condiciones de parada. PRÁCTICAS I Y II.Temporalización: 8HTe + 2HPb + 4HLab

b) Interpolación. Polinomios interpoladores. Existencia y unicidad. El método de las diferen-cias divididas de Newton. Polinomio interpolador de Hermite. Estimación del error para elpolinomio interpolador de Hermite. Convergencia de los polinomios interpolantes, el contrae-jemplo de Runge. Splines cúbicos y curvas de Bezier. PRÁCTICAS III Y IV.Primer examen parcial teórico.Temporalización: 10HTe + 3HPb + 6HLab + 3.5 HEv


c) Ecuaciones no lineales. Métodos iterativos elementales: bisección, regula Falsi, Newton y dela secante. Teorema del punto fijo de Banach. Atractores y repulsores. Orden de convergenciade una sucesión. Aceleración de Aitken. Método de Steffensen. Polinomios, evaluación depolinomios, localización y aproximación de raíces, métodos de Laguerre y de separación deSturm.

PRÁCTICAS V Y VI.Temporalización: 13HTe + 4HPb + 6HLab

d) Aproximación en norma uniforme. El teorema de aproximación de Weierstrass. Polinomiosequiosciladores. Existencia del polinomio de mejor aproximación. El algoritmo de Remez. Elteorema de Marcinkiewicz. PRÁCTICA VII. Segundo examen parcial teórico y primer examenparcial práctico.Temporalización: 8HTe + 1HPb + 4HLab + 7 HEv

3. ANÁLISIS MATRICIAL

a) Introducción y Complementos de análisis matricial. Sistemas de ecuaciones lineales, ma-trices, aplicaciones lineales. Origen de los problemas del análisis numérico matricial. Normasmatriciales, normas subordinadas y sus propiedades. Convergencia de matrices. Análisis delerror, complejidad y condicionamiento.

PRÁCTICA VIII.Temporalización: 8HTe + 2HPb + 2 HLab

b) Métodos directos para resolver sistemas lineales. Método de Gauss, importancia del pivo-teo, métodos de pivote parcial y pivote total, cálculo del determinante y de la matriz inversa.Factorización LU. Factorización QR, método de Householder. Matrices diagonalmente domi-nantes. Matrices simétricas, método de Choleski. PRÁCTICAS IX, X Y XI .Temporalización: 10HTe + 3HPb + 6HLab

c) Métodos iterativos para resolver sistemas lineales. Métodos iterativos, convergencia. Méto-dos de Jacobi, Gauss-Seidel y relajación. Estudio de la convergencia de los métodos iterativospara matrices diagonalmente dominantes y tridiagonales.

PRÁCTICA XII. Tercer examen parcial teórico y primer examen parcial práctico.Temporalización: 6HTe + 1HPb + 2HLab + 3.5 HEv

d) Métodos de aproximación de valores y vectores propios. El teorema de Greschgorin. Méto-do de la potencia y la potencia inversa. El método de Jacobi. El método de Householder y lafactorización QR para matrices simétricas. PRÁCTICA XIII.Temporalización: 6HTe + 2HPb + 4HLab

e) Aproximación por mínimos cuadrados. Sistemas de ecuaciones lineales sobredetermina-dos. Ecuaciones normales. Ejemplos ilustrativos. PRÁCTICA XIV.Temporalización: 4HTe + 1HPb + 2HLab

f ) Sistemas de ecuaciones no lineales. Iteraciones de punto fijo. Aceleración de Gauss-Seidel.Metodo de Newton para resolución de sistemas. Métodos quasi-Newton. Método del descen-so más rápido. PRÁCTICA XV. Segundo examen parcial teórico y segundo examen parcialpráctico.Temporalización: 6HTe + 1HPb + 4HLab + 7HEv


Programa de Prácticas

I. (1 sesión): Fenómenos extraños ("expedientes X"). Erratas, errores e iteraciones.

II. (1 sesión): Funciones, números complejos y polinomios.

III. (1 sesión): Dibujo de gráficas bidimensionales.

IV. (2 sesiones): Interpolación polinómica y "splines".

V. (1 sesión): Resolución de ecuaciones no lineales.

VI. (2 sesiones): Localización de ceros de polinomios.

VII. (2 sesiones): Implementación del algoritmo de Remez. Comparación entre la aproximación de fun-ciones por polinomios mediante interpolación y aproximación.

VIII. (1 sesión): Operaciones elementales con matrices.

IX. (1 sesión): Método de Gauss. Cálculo de determinantes e inversas.

X. (1 sesión): Factorización LU. Matrices tridiagonales

XI. (1 sesión): Factorización QR. Comparación de métodos directos.

XII. (1 sesión): Métodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones.

XIII. (2 sesiones): Valores y vectores propios.

XIV. (1 sesión): Aproximación por mínimos cuadrados. Sistemas sobredeterminados.

XV. (2 sesiones): Sistemas de ecuaciones no lineales. Newton y descenso rápido

Metodología didáctica

La metodología combinará la clase magistral (en pizarra o con cañón de video) con la interpelación alos alumnos en clase haciéndolos participar en la resolución de cuestiones y problemas, para ello al iniciode cada unidad temática se pondrá a su disposición una guia de la misma que incluye los contenidos atratar y los ejercicios y actividades a realizar.

La parte práctica consistirá fundamentalmente en la programación en JAVA de algoritmos para laresolución de los ejercicios propuestos por el profesor. Para estas prácticas todos los alumnos utilizaránun mismo entorno de programación. El alumnado asistirá al laboratorio en sesiones de 2 horas semanales.La asistencia a las prácticas es obligatoria.

Utilizaremos el entorno virtual SUMA para comunicaciones profesores-alumnos y para compartir losdocumentos de la asignatura: presentaciones, apuntes, relaciones de ejercicios, prácticas, algoritmos y lostrabajos de los alumnos;



Bloque Título Clases Clases Practicas SemanasTema Contenidos Teo Prob (prev.)

1 PRESENTACION

1 Guia de la asignatura. Introducción 1 0 12 CÁLCULO EN UNA VARIABLE

2.a Computacion 8 2 4 1-32.b Interpolación 10 3 6 4-82.c Ecuaciones no lineales 13 4 6 8-122.b Aproximación uniforme 9 1 4 12-15

3 ANÁLISIS MATRICIAL

3.a Complementos de análisis matricial 8 2 2 16-193.b Métodos directos 10 3 6 19-233.c Métodos iterativos 6 1 2 23-253.d Valores y vectores propios 6 2 4 25-273.e Aproximación por mínimos cuadrados 4 1 2 28-293.f Sistemas no lineales 4 1 4 29-30


Actividad / Horas Presenciales Personales TotalesPresentación de la asignatura 1 0 1Lecciones magistrales 80 120 200Resolución de problemas 20 40 60Trabajos individuales 20 20Prácticas con ordenador 40 25 65Consultas tutorías 4 4Exámenes prácticas (2) 7 0 7Exámenes parciales (4) 14 0 14Examen final 4 0 4TOTALES 170 205 375Relación Trabajo/ECTS 375/15 = 25

Criterios básicos de evaluaciónSe puede aprobar la asignatura por el sistema de evaluación continua, o en los exámenes globales de

Junio, Septiembre o Febrero. En cada uno de los casos la calificación final se obtendrá haciendo la notamedia ponderada de la parte teórica (60 %) y la parte práctica (40 %). Para aprobar se requiere que la notamedia sea al menos 5 y la de cada uno de los dos bloques (antes de la ponderación) al menos 3.5. Elalumno que haya suspendido pero haya obtenido en alguno de los bloques nota superior a 3.5 tiene hastala convocatoria de Febrero (inclusive) el derecho, pero no la obligación, de conservar la nota de dichobloque y examinarse sólo del otro. Al alumno que haya aprobado por el sistema de evaluación continuay quiera subir nota se le brinda la posibilidad de examinarse en el examen final de Junio. En ese caso sesustituirá la nota la del examen global. Si ésta es inferior a la obtenida por en la evaluación continua semantendrá la anterior.


Para la evaluación continua se realizarán cuatro exámenes parciales teóricos escritos uno a la mitaddel primer cuatrimestre, otro en el periodo de exámenes de Febrero, otro el hacia la mitad del segundocuatrimestre y otro en el periodo de exámenes de Junio) y dos exámenes parciales prácticos (uno en el pe-riodo de exámenes de Febrero y otro en el antes de finalizar el periodo lectivo del segundo cuatrimestre).Los exámenes parciales teóricos constarán de preguntas de teoría (50 %) y problemas (50 %). Ademásde preguntas sobre la parte de teoría correspondiente al parcial, cada examen parcial teórico incluirácuestiones sobre contenidos básicos de la materia cubierta por los parciales realizados por anterioridad.Los exámenes prácticos incluirán supuestos de programación en JAVA relacionados con los algoritmosexplicados en clase y trabajados en las sesiones de prácticas.

Para calificar la asignatura por parciales se usará como nota de la parte teórica la suma de las notasde los exámenes parciales escritos, puntuados respectivamente con un máximo de 1.75, 2.25, 2.75 y 3.25puntos. Cada uno de los parciales incluirá preguntas por valor de 1.75 puntos de la parte de materia nuevay el resto de la puntuación corresponderá a preguntas de la materia cubierta por los parciales anteriores.Como nota de prácticas se usará la media de los exámenes parciales de prácticas (60 %) y las calificacionesde cuatro de las prácticas que se realizarán durante el curso, anunciadas con la suficiente antelación (40 %).Se contempla la posibilidad de subir hasta un 15 % de la nota teórica entregando trabajos voluntarios quese anunciarán oportunamente (también se valorarán las intervenciones de mérito en clase). La nota deprácticas podrá también subirse hasta un 15 % presentando unas prácticas voluntarias que oportunamentese detallarán. En los exámenes globales de Junio, Septiembre y Febrero se usará como nota de la parteteórica la de la parte escrita del examen y como nota de prácticas la de la parte práctica del examen.

Valor/Total Actividad Fecha prevista 1

4 % 1a Entrega práctica semana 7hasta 10.5 % 1er parcial semana 8 o 9

4 % 2a Entrega práctica semana 15hasta 13.5 % 2o parcial 29/01/2010

hasta 100 % Examen de FEBRERO (alumnos de 2a matrícula o +) 29/01/2010

hasta 12 % 1er parcial práctico semana 164 % 3a Entrega práctica semana 23

hasta 16.5 % 3er parcial semana 24 o 254 % 4a Entrega práctica semana 30

hasta 19.5 % 4o parcial 17/06/2010hasta 12 % 2o parcial práctico 04/06/2010

hasta 100 % Examen Final (JUNIO) 02/07/2010hasta 100 % Examen Final (SEPTIEMBRE) 06/09/2010


1. BURDEN, R. y FAIRES, J. D., Análisis Numérico (7a ed.), Thomson, Madrid, 2002. 65-105

2. CIARLET, P. G., Introduction a l‘analyse numérique matricielle et á l’optimisation, Masson, París,1990. 65-13

3. KINCAID, D. y CHENEY, W., Análisis Numérico. Las Matemáticas del Cálculo Científico, Addi-son-Wesley Iberoamericana, Wilmington, 1994. 65-18, 65-81, 65-86

1Las fechas para las entregas de las prácticas son provisionales, las definitivas se coordinarán con el resto de las asignaturasdel curso y aparecerán publicadas en SUMA/internet

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Probabilidades y Estadística 67


1. AUBANELL, A., BENSENY, A. y DELSHAMS, A., Útiles básicos de Cálculo Numérico (3a ed.),Labor, Barcelona, 1993. 65-20

2. CIARLET, P. G., MIARA, B. y THOMAS, J. M., Exercices d‘analyse numérique matricielle etd’optimisation avec solutions (2a ed.), Masson, París, 1995. 65-22

3. ATKINSON, K. E., An introduction to Numerical Analysis (2a ed.), John Wiley & Sons, NuevaYork, 1989. 65-19

4. CROUZEIX, M. y MIGNOT, A. L., Analyse Numérique des équations différentielles (2a ed.), Mas-son, París, 1992. 65-23

5. FAIRES, J. y BURDEN, R., Métodos numéricos (3a ed.), Thomson, Madrid, 2004. E078,519

6. GARCÍA MERAYO, F. y NEVOT LUNA, A., Análisis Numérico. Más de 300 ejercicios resueltosy comentados, Paraninfo, Madrid, 1993. 65-17

7. HÄMMERLIN, G. y HOFFMANN, K. H., Numerical Mathematics, Springer-Verlag, Nueva York,1991. 65-89

Software para Prácticas

Lenguaje de programación JAVA, SUN Inc. (de libre distribución sin fines comerciales)

NetBeans, SUN Inc. (editor y compilador de JAVA de libre distribución sin fines comerciales)

0A8. Probabilidades y Estadística



DespachoFacultad


María JoséFernández Sáez


2.15Matem.

868883639

[email protected]

L,X,J 10-12

NoemíZoroa Alonso


2.09Matem.

868883633

[email protected]

L,M,X 10-12

Presentación de la asignaturaEsta asignatura está destinada a introducir los conceptos básicos de la Probabilidad y la Estadística

Matemática, y se le dará una orientación adecuada a la Licenciatura en Matemáticas.

ObjetivosQue el alumno adquiera los conceptos básicos de la Probabilidad y sepa aplicarlos a la resolución de

problemas. Así deberá utilizar con soltura los conceptos de probabilidad, variable aleatoria, independen-cia, esperanza matemática y convergencia de sucesiones de variables aleatorias. Tendrá además un primercontacto con la Estadística y los problemas de inferencia.

68 Probabilidades y Estadística Universidad de Murcia


Conocimientos generales básicos de Combinatoria, Álgebra Lineal y Análisis Matemático.

Competencias de la titulación a las que contribuye la asignatura

TI1, TI3, TI7, TP6, TS1, TS2, ED3, ED10, EP1, EP2, EP3, EP7, EP8, EP9, EP10, EA2, EA3, EA4,EA5, EA6, EA7, EO3, EO4


Definir el espacio de probabilidad asociado a un problema.

Calcular probabilidades y probabilidades condicionadas de sucesos.

Estudiar límites de sucesiones de sucesos y de sus probabilidades.

Aplicar los teoremas de la probabilidad total, compuesta y de Bayes a problemas de urnas, barajas,dados, etc.

Obtener la distribución de variables aleatorias determinando su función de distribución y, en sucaso, su función puntual de probabilidad o de densidad.

Calcular a partir de una distribución de probabilidad en Rk las distribuciones de probabilidadmarginales y condicionadas.

Conocer los conceptos de independencia entre sucesos y entre variables aleatorias. Reconocer situa-ciones de independencia y de dependencia y saber trabajar adecuadamente en ellas.

Obtener a partir de la distribución de una variable aleatoria la distribución de una transformada deesta.

Obtener características de variables aleatorias dadas, como medias, varianzas y otros momentos, asícomo medianas, cuartiles, etc.

Calcular rectas y curvas de regresión.

Calcular funciones generatrices asociadas a una distribución de probabilidad, en particular su fun-ción característica.

Obtener características de una distribución a partir de alguna de sus funciones generatrices.

Conocer las distribuciones básicas de tipo discreto, Bernoulli, binomial, multinomial, etc., y saberreconocer cuando un determinado experimento sigue uno de los modelos estudiados.

Conocer las distribuciones de tipo continuo básicas como la normal, de Poisson, beta, etc.

Estudiar la convergencia casi segura, en probabilidad, en distribución y en media de orden p desucesiones de variables aleatorias.

Manejar herramientas para determinar si una sucesión de variables aleatorias satisface la ley débilde los grandes números, la ley fuerte o el teorema central del límite.



1. Introducción a la combinatoria. Introducción. Combinatoria. Binomio de Newton y fórmula deLeibniz.

2. Axiomática. Contenido intuitivo. Axiomática. Nomenclatura.

3. Sigma-álgebras de sucesos. Familias de conjuntos. Propiedades de la familia de sucesos. Limitesde sucesiones monótonas. Sigma-álgebra de Borel en R y en Rk.

4. Función de probabilidad. Función de probabilidad. Primeras propiedades. Propiedades de límitede la función de probabilidad.

5. Probabilidad condicionada. Definición. Propiedades. Teorema de la probabilidad total, de la prob-abilidad compuesta y de Bayes.

6. Independencia. Independencia entre sucesos. Teorema de Borel-Cantelli. Independencia entrefamilias. Pi-sistemas y d-sistemas.

7. Funciones beta y gamma.

8. Distribuciones en R y en Rk. Medida de Lebesgue. Integral de Lebesgue. Distribuciones de tipodiscreto y tipo continuo. Distribuciones singulares. Descomposición de Lebesgue.

9. Función de distribución. Funciones monótonas. Función de distribución en R. Ejemplo de dis-tribución singular en R. Función de distribución en R2 y en Rk.

10. Variable aleatoria de una dimensión. Distribución de una variable aleatoria. Transformación devariable aleatoria. Variables aleatorias con valores infinitos.

11. Variables aleatorias de k dimensiones. Distribución de una variable aleatoria de k dimensiones.Transformación de variable aleatoria. Independencia de variables aleatorias.

12. Distribuciones marginales y condicionadas. Definición de distribuciones marginales y condi-cionadas en los casos discreto y continuo. Caso de independencia.

13. Distribuciones condicionadas. Definición general de distribución condicionada. Casos particu-lares. Convolución.

14. Esperanza matemática. Esperanza matemática de variables aleatorias simples. Esperanza ma-temática de variables aleatorias no negativas. Esperanza matemática de variables aleatorias convalores reales.

15. Esperanza matemática (continuación). Convergencia de sucesiones de funciones monótonas.Esperanza matemática de variables aleatorias con valores complejos. Teoremas de límite. Conver-gencia débil y completa. Integral de Lebesgue abstracta. Teoremas de Helly.

16. Momentos (1 dimensión) Existencia y relación entre momentos. Desigualdad de Tchebychev.Otras características de las distribuciones.

17. Momentos (k dimensiones). Definiciones. Desigualad de Schwarz. Rectas de regresión. Curvasde regresión.

18. Funciones generatrices. Introducción. Función generatriz de probabilidad. Función generatriz demomentos. Función generatriz de momentos factoriales.

19. Función característica. Primeras propiedades. Teorema de inversión. Derivabilidad de la funcióncaracterística. Teoremas de continuidad.

20. Algunas distribuciones de tipo discreto.

21. Algunas distribuciones de tipo continuo.


22. Convergencia de sucesiones de variables aleatorias. Convergencia casi segura, en probabilidad,en distribución y en media de orden p. Relación entre los distintos tipos de convergencia.

23. Leyes de los grandes números y teorema central del límite. Introducción. Ley débil de losgrandes números. Ley fuerte de los grandes números. Teorema central del limite.

24. Introducción a la inferencia estadística.

El esquema temporal que acompaña a los temas del programa se corresponde con el desarrolloteórico del mismo.


Clases Clases SemanasTema Contenidos Teo Prob (prev.)1 Introducción a la combinatoria 2 1 12 Axiomática 2 1 23 Sigma-álgebras de sucesos 3.5 1 34 Función de probabilidad 2.5 1 45 Probabilidad condicionada 2 2 56 Independencia 5 2 67 Funciones beta y gamma 1.5 1 78 Distribuciones en R y en Rk 4 2 89 Función de distribución 5.5 2 9-1010 Variable aleatoria de una dimensión 3.5 2 1111 Variables aleatorias de k dimensiones 4 2 12-1312 Distribuciones marginales y condicionadas 3 2 1413 Distribuciones condicionadas 1.5 1 1514 Esperanza matemática 6.5 3 16-1715 Esperanza matemática (continuación) 5 2 1816 Momentos (1 dimensión) 2.5 2 1917 Momentos (k dimensiones) 2.5 2 2018 Funciones generatrices 2.5 2 2119 Función característica 4 2 22-2320 Algunas distribuciones de tipo discreto 4 1 2421 Algunas distribuciones de tipo continuo 4 1 2522 Convergencia de sucesiones de variables aleatorias 3 2 26-2723 Leyes de los grandes números. Teorema central del límite 4 2 28-2924 Introducción a la inferencia estadística 2 1 30

Metodología didácticaLa teoría se expondrá con ayuda de la pizarra o con cañón de video, y se incluirán ejemplos o ejercicios

sencillos que faciliten su comprensión.Las clases de problemas podrán ser de dos tipos: Talleres de problemas en los que la resolución

de los problemas se realizará fundamentalmente por los alumnos bajo la guía del profesor, y clases deproblemas en las que en general será el profesor el que lleve a cabo el desarrollo de los problemas con elfin de introducir nuevas técnicas y enfoques.



Actividad / Horas Presenciales Personales TotalesPresentación de la asignatura 1 1Lecciones magistrales 80 100 180Resolución de problemas 30 40 70Trabajo en grupo 10 10 20Trabajos individuales 0 10 10Entrevistas individuales 1 1Consultas tutorías 3 3Controles 3 9 12Exámenes 7 20 27TOTALES 137 189 326Relación Trabajo/ECTS 326/12 = 27,2


CONSIDERACIONES GENERALES

- La asignatura se podrá aprobar por curso o en los exámenes finales de junio, septiembre o febrero.

- Para cualquier promedio que se haga habrá que tener una calificación mínima en cada parte de trespuntos, salvo que se especifique algo diferente.

- Los exámenes finales incluirán toda la materia y constarán de una parte de teoría y otra de prob-lemas. En el examen final de junio los alumnos que hayan obtenido en teoría o problemas unacalificación por curso de 3 puntos o más podrán examinarse, si así lo desean, unicamente de laparte complementeria (problemas o teoría respectivamente). La calificación final será la media delas calificaciones de teoría y problemas.

- Todos los exámenes de teoría que se realicen constarán de una parte de preguntas cortas (defini-ciones, enunciados de teoremas, conocimientos básicos en general) y otra parte de desarrollo queincluirá demostraciones de teoremas, temas completos o parte de ellos, etc.

- Los exámenes de problemas incluirán siempre toda la materia explicada hasta el momento.

EVALUACIÓN POR CURSO

- En la evaluación por curso se evaluaran por separado los conocimientos teoricos y los prácticospara, finalmente, realizar la media de ambas calificaciones. A lo largo del curso se realizarán cuatroexámenes de teoría y tres de problemas.

- Calificación de teoría: Los exámenes teóricos serán de dos tipos, dos exámenes parciales teóricos,uno del primer cuatrimestre y otro del segundo que en principio incluirán toda la materia del cu-atrimestre correspondiente, y dos pruebas teóricas adicionales que se realizarán unos 15 días antesdel fin de cada cuatrimestre. Los alumnos que en una de las pruebas teóricas alcancen una califi-cación de al menos seis puntos eliminarán en la parte de desarrollo teórico del parcial correspondi-ente la materia que se haya incluido en dicha prueba adicional. Para estos alumnos la calificaciónteórica del cuatrimestre se obtendrá como la media ponderada entre la calificación obtenida en la


prueba teórica (80 %) y la calificación del parcial (20 %). Los alumnos que en una prueba teorícaadicional obtengán una calificaión entre 4.5 y 6 tendrán como calificación teórica del cuatrimestrela máxima nota entre la obtenida en el parcial y la media ponderada de la calificación del parcial(70 %) y la nota de la prueba (30 %). Si un alumno obtiene en una prueba teoríca una nota inferiora 4.5 su calificación teórica correspondiente al cuatrimestre será la del parcial.

- La calificación teorica por curso será la media de las calificaciones teóricas cuatrimestrales.

- Calificación de problemas: Habrá tres exámenes de problemas a lo largo del curso, dos en las mis-mas fechas que los dos parciales teóricos y uno adicional hacia la mitad del curso. Estos exámenesincluiran problemas de toda la materia dada hasta el momento. La calificación por curso de prob-lemas se obtendrá como la media de las notas del primer parcial la prueba adicional y el segundoparcial . Si esta nota es superior a 3 puntos, se podrá incrementar en un máximo de un punto con laentrega de problemas propuestos por el profesor.


1. Feller, W.; Introducción a la teoría de las probabilidades, Volúmenes I y II. Limusa, 1973.

2. Tucker, H.; Introducción a la teoría matemática de las probabilidades y la estadística matemática.Vicens-Vivens, 1976

3. Zoroa, P., Zoroa, N.; Elementos de probabilidades. DM, 2008


1. Cacoullos, T.; Exercises in probability. Springer-Verlag, 1989.

2. Cramer, H.; Métodos matemáticos en estadística. Aguilar, 1953.

3. Kingman, J. F.; Taylor, S. J.; Introduction to measure and Probability. Cambridge Unversity Press.Cambridge, 1973

4. Kolmogorov, A. N.; Fundations of the theory of probability. Chelsea, Nueva York, 1956

5. Lijoletov, I. I.; Matzkevitch, I. P.; Problemas de matemática superior, teoría de probabilidades yestadística matemática. Paraninfo, 1977

6. Loeve, M.;Teoría de la probabilidad. Tecnos, Madrid, 1976.

7. Montero, J.; Pardo, L.; Morales, D.; Quesada, V.; Ejercicios y problemas de cálculo de probabili-dades. Díaz de Santos, Madrid, 1988.

8. Mood, A.; Graybill, F.; Introducción a la teoría de la estadística. Aguilar, Madrid, 1978

9. Quesada, V.; García, A.; Lecciones de cálculo de probabilidades. Díaz de Santos, Madrid, 1996

10. Zoroa, P., Zoroa, N.; Introducción a la probabilidad y la medida, Volúmenes I y II. PPU, 1991

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Ampliación de Topología 73

0A9. Ampliación de Topología

Código Tipo Curso Créditos Trabajo Duración Idioma0A9 Obligatoria 2o 9 256 horas Anual Español


DespachoFacultad


Luis JoséAlías Linares


0.15Matem.

868884180

[email protected]

AlejoBarrio Blaya


[email protected]

Presentación de la asignaturaLa asignatura Ampliación de Topología consiste, como su propio nombre indica, en una extensión de

los conocimientos adquiridos por el alumno en la asignatura troncal de primero Topología. Es una materiaobligatoria que tiene una duración de 9 créditos. Es por ello que el alumno ha de manejar con bastantesoltura los conceptos aprendidos en este primer curso. A grandes rasgos, en esta asignatura se llevan a lamáxima abstracción dichos conceptos sin olvidar su motivación en base a ejemplos concretos en espaciossencillos.

Objetivos

Conocer y manejar muy bien el concepto de espacio topológico y todas las propiedades funda-mentales. Entender este objeto matemático en sí mismo y como base para la construcción de otrosobjetos más complejos en materias estudiadas a lo largo de la carrera.

Lograr una gran capacidad de abstracción, necesaria para comprender esta materia en particular.

Aprender bien el lenguaje matemático, siendo capaz de leer y escribir con claridad y con todo elrigor lógico necesario. Empezar a desarrollar la capacidad de expresión oral en dicho lenguaje.

Conocimientos previos necesariosEs necesario manejar con soltura los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos: el álgebra

de Boole de conjuntos, aplicaciones y sus diferentes tipos, el producto cartesiano, relaciones de orden,relaciones de equivalencia y conjuntos cociente, cardinales, etc. También hay que conocer bien la rectareal con su topología usual y los espacios métricos más básicos estudiados en la asignatura Topología.

Competencias de la titulación a las que contribuye la asignaturaTI1, TI7, TP1, TP6, TS1, ED4, ED11, EP7, EA4, EA5, EO3


Comprender el concepto abstracto de espacio topológico como generalización de los casos espe-ciales conocidos - la recta real, el espacio euclídeo, espacios métricos -

Conocer y manejar bien el concepto de entorno de un punto.

Construir espacios topológicos usando las nociones de base y subbase para una topología.

Conocer los axiomas de numerabilidad y separación más sencillos.

74 Ampliación de Topología Universidad de Murcia

Manejar con soltura el concepto de subespacio topológico de un espacio dado distinguiendo per-fectamente los abiertos del subespacio y del espacio.

Conocer la topología del orden asociada a un orden simple como generalización de la topologíausual de la recta real.

Utilizar con soltura los conceptos básicos de conjunto cerrado, clausura, interior y frontera de unconjunto, puntos de acumulación y puntos aislados.

Asimilar muy bien el concepto de aplicación continua entre espacios topológicos con sus distintascaracterizaciones y comprender la idea de homeomorfismo entre dos espacios como una dobleidentificación entre puntos y entre abiertos de los dos espacios.

Ser capaz de construir algunas aplicaciones continuas y algunos homeomorfismos.

Conocer y saber distinguir bien la topología producto y la topología por cajas sobre un productode espacios topológicos. Manejar los ejemplos más importantes. Reconocer cuándo una aplicaciónsobre un producto es continua.

Conocer la topología uniforme sobre un producto y compararla con las topologías producto y porcajas. Relación con la convergencia uniforme.

Asimilar el concepto de espacio topológico cociente como una herramienta para construir espaciostopológicos a partir de otros. Entenderlo intuitivamente como la acción de pegar. Identificar algunosespacios cociente más importantes.

Manejar con soltura el concepto de espacio conexo y espacio conexo por caminos. Saber calcularlas componentes conexas y las componentes conexas por caminos de un espacio topológico dado.Relacionar los conceptos de conexión y continuidad.

Conocer los conceptos de conexión local y conexión local por caminos.

Entender muy bien la propiedad de compacidad y compacidad local. Relacionarlo con la con-tinuidad de aplicaciones y apreciar la importancia de este invariante topológico. Saber compactificarun espacio que no es compacto.

Comprender el concepto de grupo fundamental asociado a un espacio topológico y su utilidad comoherramienta para distinguir espacios topológicos entre sí.


1. Espacios topológicosTopología sobre un conjunto. Entornos. Comparación de topologías. Base para una topología.Topología generada por una base. Subbase para una topología. Axiomas de numerabilidad. Latopología del orden sobre un conjunto. La topología producto de dos espacios. Subespacios to-pológicos.

2. Propiedades básicas. Aplicaciones entre espacios topológicosConjuntos cerrados. Clausura e interior de un conjunto. Puntos límite. Axiomas de separación. Apli-caciones continuas entre espacios topológicos. Homeomorfismos y embebimientos. Aplicacionesabiertas y cerradas. Algunos procedimientos para construir aplicaciones continuas.

3. La topología productoGeneralización de la topología producto. La topología producto y la topología caja. Topologíasiniciales.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Ampliación de Topología 75

4. Topología y métricaConcepto de distancia. Topología métrica. Espacios métricos y espacios metrizables. Comparaciónde topologías métricas. La topología uniforme.

5. La topología cocienteAplicaciones cociente. Conjuntos saturados. La topología cociente. Espacio cociente. Aplicacionescontinuas y espacios cociente. Topologías finales.

6. Espacios conexosSeparación de un espacio. Espacios conexos. Ejemplos. Construcción de espacios conexos. Espa-cios conexos por caminos. Componentes y componentes conexas por caminos. Espacios localmenteconexos y espacios localmente conexos por caminos.

7. Espacios compactosRecubrimientos. Espacios compactos. Ejemplos. Primeras propiedades. La propiedad de la inter-sección finita y caracterización de compactos. Espacios sucesionalmente compactos. Espacios deLindelöf. Compacidad local. Compactificación por un punto. Teorema de Tychonoff.

8. El grupo fundamental de un espacio topológicoHomotopía por arcos. Composición de arcos. Lazos. El grupo fundamental. Aplicaciones recubri-doras. El grupo fundamental del círculo. Retracciones. El grupo fundamental del plano agujereado.El grupo fundamental de la esfera. Grupos fundamentales de algunas superficies.

Metodología didácticaLa asignatura se desarrollará en el aula en base a las siguientes actividades:

Teoría mediante clases magistrales en la pizarra.

Prácticas. Consistirán en talleres de problemas y en clases de problemas, donde se expondrán ydiscutirán los problemas propuestos.

Además, a lo largo del curso, el profesor propondrá a cada alumno trabajos y problemas que se en-tregarán por escrito en el plazo indicado. Estos trabajos serán revisados con el alumno en horario detutorías.


Actividad / Horas Presenciales Trabajo TotalesPersonal

Presentación de la asignatura 1 1Lecciones magistrales 45 45 90Resolución de problemas 40 80 120Trabajo en grupo 4 8 12Entrevistas individuales 2 2Controles 4,5 3 7,5Exámenes 7 7 14Examen final 3 6 9,5TOTALES 107 149 256Relación Trabajo/ECTS 256/9 = 28,5

76 Ampliación de Topología Universidad de Murcia


Clases Clases SemanasCapítulo Contenidos Teo Prob (prev.)1 Espacios topológicos 6 6 1-42 Propiedades básicas 7 6 5-93 La topología producto 3 5 9-114 Topología y métrica 6 6 12-155 La topología cociente 3 5 16-186 Espacios conexos 6 6 18-227 Espacios compactos 7 6 22-268 El grupo fundamental 7 5 27-30

Criterios básicos de evaluaciónSe realizarán dos exámenes parciales y un examen final en las fechas marcadas por la Facultad de

Matemáticas. Además se realizarán tres controles de una hora y media de duración cada uno. Para realizarestos controles no debería ser necesaria ninguna preparación extraordinaria por parte del estudiante, sólorequerirá del trabajo constante y diario necesario para seguir la asignatura.

La asignatura será evaluada en los siguientes términos: una evaluación continua que supondrá el 30 %de la nota final y una calificación correspondiente a los exámenes parciales o, eventualmente, al examenfinal, que será el otro 70 % de la nota final.

La evaluación continua constará de una nota que reflejará la participación y respuestas a preguntas enclase, la calificación obtenida en los controles, la participación en talleres de problemas y, eventualmente,la calificación obtenida en los trabajos y problemas entregados.

Fechas de los controles: 10 de diciembre, 10 de marzo y 12 de mayo.En Septiembre se evaluará del mismo modo, guardándose por tanto la nota de la evaluación continua

para dicha convocatoria.


1. J. R. Munkres; Topología ; Prentice Hall ; 2002.


1. M. A. Armstrong; Basic Topology ; Springer-Verlag ; 1983.2. R. Ayala, E. Domínguez y A. Quintero; Elementos de la topología general ; Addison-Wesley

iberoamericana ; 1997.3. E. Bujalance y J. Tarrés; Problemas de Topología ; Cuadernos de la UNED ; 1989.4. J. Dugundji; Topology ; Allyn and Bacon ; 1966.5. G. Fleitas Morales y J. Margalef Roig; Problemas de Topología General ; Alhambra ; 1970.6. S. Lipschutz; Topología general ; McGraw-Hill ; .7. M. García Marrero, J. Margalef Roig, C. Olano de Lorenzo Cáceres, E. Outerelo Domínguez y J.

L. Pinilla Ferrando; Topología * ; Alhambra ; 1975.8. J. Margalef Roig, E. Outerelo Domínguez y J. L. Pinilla Ferrando; Topología **, *** y **** ;

Alhambra ; 1980.9. W. S. Massey; A Basic Course in Algebraic Topology ; Springer-Verlag ; 1991.

10. S. Willard; General Topology ; Addison-Wesley ; 1970.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Asignaturas de Tercer Curso de la Licenciatura 77

11. Asignaturas de Tercer Curso de la Licenciatura

1A0. Geometría Diferencial



DespachoFacultad


Miguel ÁngelMeroño Bayo


0.14Matem.

868884179

[email protected]

M,J 12-15

Presentación de la asignaturaEsta asignatura está dedicada al estudio de la Geometría Diferencial de Curvas y Superficies. La

historia de la Geometría Diferencial comienza con las curvas; conceptos tales como la tangente a unacurva se remontan a Euclides, Arquímedes o Apolonio. Es el propio Euclides quien, en la Definición 5 desu famoso Elementos, introduce la noción de superficie: “una superficie es aquello que sólo tiene longitudy anchura”, estableciendo así la idea esencial de que una superficie es un objeto 2-dimensional, es decir,que puede describirse por dos variables. Sin embargo, se podría decir que fue Euler (1760) quien fundó laTeoría de Superficies en R3.

Esta asignatura es el primer contacto que tiene el alumno con la geometría diferencial. Será importanteuna buena comprensión de los contenidos que aquí se introducen para poder abordar el resto de asignaturasque oferta el área de Geometría y Topología, tanto de carácter obligatorio como optativo.

Conocimientos previos necesariosPara poder seguir la asignatura con aprovechamiento son necesarios conocimientos de álgebra lin-

eal (nociones y resultados básicos sobre espacios vectoriales, matrices y aplicaciones lineales), cálculode varias variables (incluidos los teoremas de la función implícita e inversa) y topología (conceptos yresultados básicos en compacidad, completitud, conexión, etc.) Un cierto conocimiento de ecuacionesdiferenciales podría ser útil en la segunda parte de la asignatura, aunque no es en absoluto imprescindible.

Competencias de la titulación a las que contribuye la asignaturaTI1, TI3, TI5, TI7, TP1, TS1, TS2, TS3, ED4, ED11, EP3, EP6, EP8, EA4, EA5, EA6, EA7, EO1,

EO3


Saber parametrizar una curva por la longitud de arco, así como calcular su curvatura y torsión.

Saber resolver problemas de caracterización de curvas utilizando el diedro o triedro de Frenet.

Conocer algunas de las curvas más importantes, sus principales propiedades y saber distinguirlas.

Conocer y saber aplicar los resultados principales de la Teoría de Curvas: el Teorema Fundamentalde la Teoría de Curvas (planas y en el espacio) y la desigualdad isoperimétrica.

Conocer y saber manejar los conceptos fundamentales de la Teoría de Superficies: superficie regu-lar, diferencial, plano tangente, orientabilidad, primera y segunda formas fundamentales y curvat-uras.

78 Geometría Diferencial Universidad de Murcia

Conocer algunos de los tipos superficies más importantes, conocer sus propiedades principales ysaber distinguirlas.

Saber distinguir entre los distintos tipos de curvaturas que se definen en una superficie.

Conocer las diferentes clases de puntos que pueden aparecer en una superficie (elípticos, hiperbóli-cos, parabólicos, planos y umbilicales).

Conocer y aplicar con precisión el resultado principal de la Teoría de Superficies: el TeoremaEgregium de Gauss.

Saber integrar funciones sobre superficies y calcular áreas de regiones.

Conocer las curvas especiales que nos podemos encontrar en una superficie: líneas de curvatura,curvas asintóticas y geodésicas.

Conocer y saber manejar la aplicación exponencial y entender la sencilla idea geométrica que seesconde tras ella.

Conocer diversas caracterizaciones de las geodésicas y saber aplicarlas, para así poder distinguireste tipo de curvas sobre las superficies.

Saber aplicar los resultados principales de existencia de geodésicas y el Teorema de Hopf-Rinow.

Saber utilizar el Teorema de Gauss-Bonnet.


1. Curvas en el plano y en el espacio

a) Preliminares. Preliminares algebraicos. Curvas parametrizadas. Longitud de arco. Curvasregulares. Parametrización por la longitud de arco.

b) Teoría local de curvas planas. Diedro de Frenet. Curvatura con signo. Fórmulas de Frenet.Teorema fundamental de la teoría de curvas planas. Comparación de una curva con la rectatangente en un punto. Comparación de dos curvas tangentes en un punto.

c) Teoría local de curvas en el espacio. Triedro de Frenet. Curvatura y torsión. Fórmulas deFrenet. Teorema fundamental de la teoría de curvas en el espacio.

d) Teoría global de curvas planas. El índice de rotación de una curva plana. Curvas convexas.El teorema de los cuatro vértices. La desigualdad isoperimétrica.

2. Superficies en el espacio

a) Preliminares. Concepto de superficie regular. Superficies de nivel. Cambios de coordenadas.

b) Diferenciabilidad. Funciones diferenciables definidas sobre una superficie. Propiedades.Aplicaciones diferenciables entre dos superficies. Propiedades. Difeomorfismos entre superfi-cies.

c) El plano tangente. Curvas diferenciables en una superficie. Definición de vector tangente.El plano tangente a una superficie en un punto. La primera forma fundamental.

d) La diferencial. La diferencial de una función diferenciable. Propiedades. El gradiente deuna función diferenciable. Puntos críticos. Test de la primera derivada para puntos críticos.La diferencial de una aplicación diferenciable entre superficies. Propiedades. La regla de lacadena. El teorema de la función inversa.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Geometría Diferencial 79

3. Curvatura de superficies en el espacio

a) Orientación de superficies. Campos de vectores sobre una superficie. Superficies orienta-bles. Sentido de rotación en una superficie orientada. Estructura compleja. Bases positiva-mente orientadas y bases negativamente orientadas.

b) La segunda forma fundamental. La aplicación de Gauss de una superficie orientada. Imagenesférica. El operador forma o endomorfismo de Weingarten. Propiedades. La segunda formafundamental.

c) Curvaturas normales. Aceleración de una curva en una superficie. Aceleración intrínseca yaceleración extrínseca. Propiedades. Curvatura normal. Secciones normales. Relación entre lacurvatura normal y la curvatura de la sección normal.

d) Curvaturas principales. Curvaturas principales y direcciones principales asociadas. La fór-mula de Euler. Líneas de curvatura. Caracterización.

e) Curvatura de Gauss y curvatura media. La curvatura de Gauss y la curvatura media co-mo invariantes algebraicos del operador forma. Puntos umbilicales. Interpretación geométrica.Expresión local de las curvaturas de Gauss y media. Superficies totalmente umbilicales. Car-acterización de las superficies totalmente umbilicales.

f ) Curvatura geodésica. Triedro de Darboux. Curvatura geodésica. Relación entre la curvaturageodésica, la curvatura normal y la curvatura de la curva como curva en el espacio. Torsióngeodésica. Fórmulas de Darboux. Curvas asintóticas y líneas de curvatura.

4. El Teorema Egregium de Gauss

a) Isometrías. Longitudes de curvas y primera forma fundamental. Geometría intrínseca y ge-ometría extrínseca. Isometrías locales. Isometrías.

b) Fórmulas de Gauss y de Weingarten. Expresión local. Los símbolos de Christoffel. Lasfórmulas de Gauss. Las fórmulas de Weingarten.

c) Las ecuaciones de compatibilidad y el Teorema de Gauss. La ecuación de Mainardi-Codazzi. La ecuación de Gauss. El Teorema Egregium. Isometrías y curvatura de Gauss.

d) El teorema fundamental de la teoría de superficies. El Teorema de Bonnet.

5. Superficies minimales

a) Integración en superficies. Elemento de área de una superficie. Integración de una funcióncon respecto al elemento de área. Una interpretación geométrica de la curvatura de Gauss.

b) Superficies minimales. Variaciones y variaciones normales. Variaciones de soporte com-pacto. Una interpretación variacional de la curvatura media. Las superficies minimales comosolución a un problema variacional.

6. Geodésicas en superficies

a) El transporte paralelo. Campos de vectores a lo largo de una curva. La derivada covariante.Paralelismo. Campos paralelos a lo largo de una curva. Teorema de existencia y unicidad decampos paralelos. El transporte paralelo.

b) Geodésicas. Definición de geodésica. Primeras propiedades. Teorema de existencia y unici-dad de geodésicas.

c) La aplicación exponencial. La aplicación exponencial en un punto. Coordenadas normalesy coordenadas polares geodésicas. El lema de Gauss. Aplicaciones. El Teorema de Minding.

80 Geometría Diferencial Universidad de Murcia

7. El Teorema de Gauss-Bonnet

a) El Teorema de Gauss-Bonnet (versión local). El ángulo de rotación orientado entre doscampos de vectores a lo largo de una curva. La curvatura geodésica total. La fórmula deGauss-Bonnet. Aplicaciones.

b) El Teorema de Gauss-Bonnet (versión global). El Teorema de Gauss-Bonnet y la carac-terística de Euler.

8. Completitud y Teorema de Hopf-Rinow

a) Superficies completas. Distancia intrínseca en una superficie. Propiedades minimizantes delas geodésicas. Completitud geodésica y completitud métrica.

b) El Teorema de Hopf-Rinow. El Teorema de Hopf-Rinow. Superficies geodésicamente com-pletas. Compacidad y completitud. Curvas divergentes. Completitud y longitud de curvas di-vergentes.

9. Fórmulas de variación. El Teorema de Bonnet

a) Una caracterización variacional de las geodésicas. Variación de una curva y campo varia-cional. La primera fórmula de variación de la longitud de arco. Las geodésicas como soluciónde un problema variacional.

b) El Teorema de Bonnet. Segunda fórmula de variación de la longitud de arco. El Teorema deBonnet.

Metodología didácticaLa asignatura se desarrollará en el aula en base a las siguientes actividades:

Teoría mediante clases magistrales en la pizarra (TE).

Práctica. Se fundamentará en el trabajo en grupo a modo de talleres de problemas (G). Las clasesde problemas (P) se dedicarán a exponer y discutir los problemas resueltos en la pizarra.

Además, a lo largo del curso, el profesor podrá proponer a cada alumno trabajos y problemas que seentregarán por escrito en el plazo indicado. Estos trabajos serán revisados con el alumno en horario detutorías.


Actividad / Horas Presenciales Personales TotalesLecciones magistrales 86 86 172Resolución de problemas 38 76 114Trabajo en grupo 24 24 48Trabajos individualesPrácticas con ordenador 2 0 2Entrevistas individuales 2 2Controles 8 16 24Examen final 3 10 13TOTALES 163 212 375Relación Trabajo/ECTS 375/15 = 25

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Geometría Diferencial 81


Bloque / Título / Clases Clases Trab Tuto- SemanasTema Contenidos Teo Prob Grupo rías (prev.)

I.1 Curvas 16 8 4 0 1-6II.2 Superficies en el espacio 15 7 4 0 6-11II.3 Curvatura 10 4 4 1 11-15II.4 El teorema Egregium de Gauss 4 2 1 0 15-16

III.5 Superficies minimales 7 2 2 0 17-19III.6 Geodésicas 15 7 4 0 19-24IV.7 El teorema de Gauss-Bonnet 8 3 2 0 24-26IV.8 Completitud 7 3 2 1 27-29IV.9 Fórmulas de variación 4 2 1 0 29-30

Criterios básicos de evaluaciónSe realizarán dos exámenes parciales, el primero en febrero y el segundo en junio. En el caso de su-

perar en ambos exámenes una nota mínima de 3 puntos, la nota final será la media aritmética de ambasnotas aumentada en un máximo de 3 puntos obtenidos por el trabajo realizado durante el curso (talleres deproblemas, controles breves y problemas o trabajos individuales). Dicha nota no superará en ningún casola puntuación de 10. La asignatura se superará con una nota de 5. En el examen final se podrá recuperarun parcial. En cualquier otro caso, el alumno tendrá que realizar el examen final de toda la asignatu-ra (en la nota final también se considerará el trabajo realizado durante el curso de la forma expresadaanteriormente).


1. M. P. do Carmo, Geometría Diferencial de Curvas y Superficies, Alianza Editorial, 1995, 53A13.

2. S. Montiel y A. Ros, Curvas y Superficies, Proyecto Sur D. L., 1997, 53A20.


1. L. A. Cordero, M. Fernández y A. Gray, Geometría Diferencial de Curvas y Superficies con Math-ematica, Addison-Wesley, 1995, 53A17.

2. A. Gray, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, CRC Press, 1993, 53A18.

3. J. McCleary, Geometry from a Differentiable Viewpoint, Cambridge University Press, 1994, 53C63.

4. R. S. Millman y G. G. Parker, Elements of Differential Geometry, Prentice-Hall, 1977, 53A4.

5. B. O’Neill, Elementary Differential Geometry, Academic Press, 1966, 53-122.

6. J. A. Thorpe, Elementary Topics in Differential Geometry, Springer-Verlag, 1985, 53A19.

82 Ecuaciones Diferenciales Universidad de Murcia

1A1. Ecuaciones Diferenciales

Código Tipo Curso Créditos Trabajo Duración Idioma1A1 Troncal 3o 7’5 225 horas Cuatrim. (1o) Español


DespachoFacultad


FranciscoBalibrea Gallego


0.12Matem.

868884176

[email protected]

L,M,X,J13-14:30


Presentación de la asignaturaEn esta asignatura se plantea un primer contacto con una materia relevante desde el punto de vista

histórico y actual como son las ecuaciones diferenciales. En este primer curso consideramos la clasemás sencilla de tales ecuaciones, como son las ecuaciones diferenciales ordinarias, es decir un tipo deecuaciones donde la incógnita consiste en una función derivable de una sola variable independiente, queen todos los puntos de un intervalo (puede ser no acotado) satisface dicha ecuación. Cuando la funcionque se trata de encontrar depende de varias variables independientes, entonces tenemos una ecuación enderivadas parciales que es el objeto de otra asignatura en el Plan de Estudios.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, han sido y son de gran importan-cia para el desarrollo de otras ramas de las Matemáticas y su conexión con las Ciencias Experimentales,Económicas, Sociológicas e Ingenierías es indudable, convirtiéndose en muchos casos en el procedimien-to habitual para describir y estudiar los modelos que permiten conocer algunos de los fenómenos mássignificativos asociados a tales ciencias.

El estudio de las ecuaciones diferenciales es una hermosa aplicación de las ideas y procedimientosdel Cálculo Diferencial e Integral a nuestra vida cotidiana. Hasta podría decirse que dicho Cálculo fuedesarrollado para que los principios que gobiernan muchos fenómenos naturales pudieran ser expresadosen su lenguaje.


− Conocer el Cálculo Diferencial e Integral de funciones reales de variable real (que se ha podidoconseguir en la asignatura Análisis Matemático I

− Manejar con soltura algunas nociones de Topología adquiridas cursando las asignaturas de Topolo-gía de los cursos primero y segundo y una parte del curso de Análisis Matemático II

− Saber aplicar lo estudiado en Algebra Lineal y Geometría Euclídea

− Conocer las formas diferenciales de grado uno.

Competencias de la titulación a las que contribuye la asignaturaTI7, TP1, TS1, ED2, ED9, EP1, EP2, EP3, EP8, EA2, EA6, EA7


Conocer qué es una ecuación diferencial ordinaria, su geometría y ser capaz de distinguir entrevarios tipos.

Estudiar distintos modelos que se plantean en las Ciencias Experimentales, Sociológicas e Inge-niería y aprender a realizar interpretaciones sobre los mismos.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Ecuaciones Diferenciales 83

Distingur entre las distintas aproximaciones al estudio y resolución de las soluciones de una ecua-ción diferencial ordinaria: resolución explícita o por cuadraturas (históricamente importante peromuy limitada), estudio cualitativo y estudio numérico.

Resolver por cuadraturas ciertas familias de ecuaciones diferenciales.

Conocer los resultados más importantes sobre existencia de ecuaciones (aunque no sepamos re-solverlas), unicidad de soluciones o no, dependencia de parámetros y condiciones iniciales y pro-longación de soluciones de una ecuación diferencial ordinaria.

Conocer como por medio de desarrollos en serie se puede construir familias de funciones de graninterés en la Matemática Aplicada tales como la funciones de Bessel y los polinomios ortogonales(Legendre, Hermite, Tchebychev y Laguerre).

Manejar las diferentes nociones asociadas a una ecuación diferencial ordinaria: solución, órbita,trayectoria, campos vectoriales, cambios de variable, ecuaciones autónomas y no autónomas, prob-lemas de valores iniciales y de contorno.

Saber resolver diferentes clases de ecuaciones diferenciales: primer orden lineales y no lineales,variables separables, homogéneas, reducibles a homogéneas, reducibles a lineales, exactas, factoresintegrantes.

Ser capaz de plantear ecuaciones diferenciales para la resolución ciertos problemas de la Física, delas Ciencias Sociales, Ingeniería, etc, de resolverlas cuando se pueda y de interpretar los resultadosobtenidos.

Conocer y saber resolver las ecuaciones lineales de coeficientes constantes y órdenes superiores auno, tanto homogéneas como no homogéneas. Analizar los circuitos sencillos de corriente alternay continua y la dinamica de muelles, junto con el fenómeno de la resonancia.

Conseguir un alto conocimiento de las ecuaciones lineales de coeficientes variables y manejar consoltura los métodos de búsqueda de soluciones por desarrollos en serie. Introducir por este últimométodo, las funciones de Bessel y algunos polinomios ortogonales.

Apreciar la necesidad de disponer teoremas de existencia y unicidad de soluciones de ecuacionescuando dichas soluciones no se puedan obtener explícitamente. Conocer los teoremas de Picard-Lindelöf, Peano y Cauchy (soluciones analíticas reales).

Comprender los problemas con condiciones de contorno en los extremos de un intervalo acotado ysus aplicaciones. Manejo de las funciones de Green en problemas de contorno.


1. Introducción. Diferentes tipos de ecuaciones en Matemáticas. Primeras definiciones. Solución deuna ecuación, órbita y trayectoria de un punto. Campos de direcciones. Método de las isoclinas.Problema de Cauchy para las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Sistemas de ecuacionesdiferenciales ordinarias (SEDO). Breve análisis histórico sobre las (EDO) y los (SEDO).

2. Métodos de resolución de EDO. Variables separables. Ecuaciones homogéneas y reducibles a ho-mogéneas. Ecuaciones lineales de primer orden. Ecuaciones de Bernouilli y de Ricatti. Ecuacionesexactas y factores integrantes. Cambios de variable en EDO. Ecuaciones de primer orden dadas enforma implícita.

3. Aplicaciones de las EDO de primer orden. Ley de desintegración radiactiva. Ley de enfriamientode Newton. Reacciones quimicas. Crecimiento de poblaciones. Trayectorias de vuelo. Caída librecon resistencia de medio. La braquistócrona. La catenaria. Aplicaciones geométricas de las EDOde primer orden.


4. Ecuaciones y sistemas diferenciales lineales. Introducción. Teoremas de existencia y unicidad. Es-tructura y naturaleza de las soluciones. Matrices fundamentales. Sistemas lineales no homogéneos.Variación de las constantes. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n. Teoría general. El caso nohomogéneo. Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. El caso no homogéneo.Exponencial de una matriz. El Método de los coeficientes indeterminados. Resolución de sistemaspor el método de eliminación.

5. Aplicaciones de las ecuaciones y los sistemas diferenciales lineales. Leyes de Kepler, vibracionesen sistemas mecánicos, vibraciones en sistemas eléctricos. Resonancia.

6. Teoría de existencia y unicidad. Prolongación. Dependencia de parámetros y de valores iniciales.Existencia y unicidad de soluciones. Equivalencia entre ecuaciones diferenciales y ecuaciones inte-grales. Teorema de Picard-Lindelöf local para funciones lipschitzianas. Aproximaciones de Picard.Teorema de Peano local y consecuencias. Teoremas global de Picard sobre existencia y unicidad desoluciones. Teorema global de Peano sobre existencia. Prolongación de soluciones. Comportamien-to en los extremos de las soluciones no prolongables. Dependencia de las soluciones con relación avalores iniciales y a parámetros. Equivalencia. Lema de Gronwall. Lema de Hadamard.

7. Soluciones obtenidas por series de potencias. Búsqueda directa de soluciones de ecuaciones pordesarrollo en serie. Funciones analíticas de varias variables reales y propiedades. El teorema deCauchy de existencia y unicidad de soluciones en el caso analítico real. Demostración del teoremaen dos dimensiones.

8. Aplicaciones. Estudio de la ecuación diferencial de Hermite. Definición de los polinomios de Her-mite. Su papel en la Mecánica Cuántica.

9. Estudio y resolución de ecuaciones lineales de segundo orden del tipo R(t)y”(t) + P(t)y’(t) + Q(t)y(t)= 0. Puntos regulares, singulares, singulares regulares e irregulares de tales ecuaciones y solucionesen serie de potencias alrededor de los mismos. El punto del infinito. Método de Frobenius. Ecua-ciones indiciales.

10. Aplicaciones. Ecuaciones de Bessel, Legendre y Laguerre. Introducción y propiedades de las fun-ciones de Bessel de primera y segunda especie y de los polinomios de Legendre y Laguerre.

11. La transformada de Laplace. Ecuaciones lineales de segundo orden completas cuyo segundo miem-bro son funciones discontinuas, deltas de Dirac o combinación de las mismas. La transformada deLaplace, propiedades. La inversa de la transforma de Laplace. La transformada de Laplace y la con-volución de funciones. Aplicación de la transformada de Lapace a la resolución de sistema linealesde ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes.

12. Problemas de contorno. Teoría de Sturm. Función de Green. Problemas de frontera con dos pun-tos. Teoremas de existencia y unicidad. Condiciones de Dirichlet-Picard. Condiciones separadas.Condiciones generales. Problemas de Sturm-Liouville. Función de Green para ecuaciones con val-ores en la frontera con condiciones de Dirichlet-Picard y Sturm-Liouville. (2HTe + 2HPb)

Metodología didácticaLas actividades presenciales de esta asignatura consistirá en clases de teoría, clases de problemas y

algunas sesiones de trabajo en grupo con el fin de resolver problemas.La parte teórica se desarrollará mediante clases magistrales usando fundamentalmente la pizarra y

complementando con medios audiovisuales.Las clases de problemas tendrán dos modalidades. La primera consistirá en la resolución detallada

por parte del profesor de algunos de los problemas recogidos en relaciones disponibles en SUMA desdelos primeros días del curso. La segunda consistirá en problemas que los alumnos resolverán en la pizarra

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Ecuaciones Diferenciales 85

de entre algunos señalados previamente por el profesor. En tal caso, sólo se dará algunas indicaciones deresolución.

En las sesiones de trabajo en grupo, los alumnos distribuídos en gupos de máximo cuatro, resolveránproblemas que el profesor les propondrá al comienzo de tales sesiones y propondrá otros adicionales paraser resueltos por los grupos y explicados a todos los demás compañeros en las sesiones ordinarias deproblemas. Algunos de dichos problemas serán entregados al profesor para su revisión que se realizará enentrevistas con los respectivos grupos.

Usando el paquete Mathematica, se propondrá a los alumnos diversos ejercicios prácticos conocidoscomo laboratorios y que serán presentados en clase a través e métods audiovisuales.


Actividad / Horas Presenciales Personales TotalesPresentación de la asignatura 1 1Lecciones magistrales 45 49 94Resolución de problemas 25 47 72Trabajo en grupo 10 10 20Trabajos individualesPrácticas con ordenador 3 3Entrevistas individuales 2 2Controles 4 4 8Examen final 5 20 25TOTALES 95 130 225Relación Trabajo/ECTS 225/7,5 = 30


Bloque / Clases Clases Trab Tuto- SemanasTemas Teo Prob Grupo rías (prev.)1-4 21 11 4 0 1-45-6 13 4 2 0 4-77-10 13 6 4 1 7-1111-12 6 4 2 0 11-13


Los alumnos recibirán una nota de evaluación subjetiva por parte del profesor de la labor realizadadurante el curso que oscilará entre cero y tres puntos.

Se realizará un examen final de la asignatura que se calificará de cero a diez puntos. Se consideraráaprobado el alumno que obtenga en total cinco o más puntos después de la suma de la calificaciónobtenida en la evaluación subjetiva y el examen. Para poderse aplicar la nota subjetiva se necesitaobtener en la calificación del examen final una nota de al menos tres puntos.



1. Balibrea F. y Linero A., Apuntes de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, SUMA.

2. Guzman, M. de, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Teoría de la Estabilidad y Control, EditorialAlhambra 1975, 34-16, 0/4.

3. Simmons, F., Ecuaciones Diferenciales. Con Aplicaciones y Notas Históricas, Editorial McGrawHill, Segunda Edición, 1993.

4. Hirsch, A.M. y Smale, S., Ecuaciones Diferenciales,Sistemas Dinámicos y Algebra Lineal, AlianzaUniversidad Textos, (1983), 34-2, 0/3.

5. Braun, M., Differential Equations and Their Applications, Texts in Applied Mathematics, Volume11, Springer-Verlag, Fourth Edition, 1993, EO36

6. Jiménez López, V., Ecuaciones Diferenciales. Cómo Aprenderlas. Cómo Enseñarlas, Universidadde Murcia, 2000, 34-50, 0/2.

7. Coddington, E. y Levinson, N., Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955,EO24


1. Sotomayor, J., Liçoes de equaçioes diferençiaes, IMPA, Brasil, 1979.

2. Guzman, M. de, Peral, I. y Walias, M., Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Edito-rial Alhambra, 1978, 34-16. 0/4

3. Kiseliov, A., Krasnov, M. y Makarenko, G., Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias,Editorial Mir, 1979, 34-15, 0/3.

4. Pérez García, V. y Torres, P., Problemas de Ecuaciones Diferenciales, Editorial Ariel Practicum,2001, 34-63, 34-84.

5. Balibrea, F. y Jiménez López, V. Ecuaciones Diferenciales para las Ciencias Químicas y Físicas,ICE Universidad de Murcia, Diego Marín, Murcia, 2000, 34-58,114-115.

6. López Rodríguez, M. Problemas Resueltos de Ecuaciones Diferenciales, Thomson, 2006.

7. Blanchard, P.; Devaney, R. y Hall, G. R. Ecuaciones Diferenciales, International Thomson, Edi-tores, 1999, 34-42, EO36.

8. Aguilar, G. y Fernández-Ferreirós, A. Ecuaciones Diferenciales. Prácticas con Mathematica,Colección Textos Docentes, Prensas Universitarias de Zaragoza, 1997, 24-40, 0/1, 34-88.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Métodos Estadísticos 87

1A2. Métodos Estadísticos

Código Tipo Curso Créditos Horas Duración Idioma1A2 Obligatoria 3o 9 225 Anual Español


DespachoFacultad


José MaríaRuiz Gómez


2.08Matem.

868883632

[email protected]

L,X 11-14

FélixBelzunce Torregrosa


2.02Matem.

868883618

[email protected]

M,X 16-18X 12-14

Presentación de la asignaturaLa asignatura Métodos Estadísticos es una asignatura troncal de primer ciclo con nueve créditos, de

los cuales son teóricos y el resto prácticos. La Estadística es una rama de las Matemáticas imprescindibleen la formación, tanto básica como aplicada, de cualquier matemático y esta asignatura proporciona alos alumnos su primer contacto con la Estadística matemática. El núcleo de la signatura está dedicado alestudio de distribuciones muestrales, estimación paramétrica y por intervalos de confianza y por último alestudio de los contrastes de hipótesis paramétricos.

Los objetivos generales de la asignatura son:

Conseguir que el alumno adquiera una madurez de conocimientos suficientes en los conceptos ymétodos de esta materia, de forma que pueda ser autosuficiente en la aplicación y justificación delos mismos y le sirvan de fundamento para estudios posteriores en otras asignaturas de Teoría de laProbabilidad y Estadística Matemática.

Mostrar la importancia de la Estadística en otras ramas del conocimiento científico (Ciencias Ex-perimentales, Ciencias de la Salud, Economía, etc.)

Desarrollar la capacidad del alumno para resolver problemas reales y despertar en los mismos,la capacidad para aplicar los conocimientos dados en la resolución de problemas reales en éstasCiencias.

Conocimientos previos necesariosEs conveniente que el alumno haya cursado las asignaturas de Análisis Matemático I y II; Álgebra

Lineal y Geometría; Calculo Numérico y Probabilidad y Estadística.

Competencias de la titulación a las que contribuye la asignaturaTI1, TI2, TI3, TI7, TP1, TP2, TP6, TS1, TS2, TS3, TS7, ED1, ED2, ED3, ED6, ED8, ED9, ED10


Utilizar la correlación como indicador de dependencia funcional.

Conocer las características fundamentales del modelo normal multidimensional.

Capacidad de relacionar el modelo normal con los conceptos de independencia e incorrelación.

Conocer el concepto de muestra aleatoria simple y estadístico.

Saber relacionar la función de distribución empírica y la distribución poblacional.

Conocer las características de los estadísticos más importantes.

88 Métodos Estadísticos Universidad de Murcia

Conocer y utilizar el Teorema de Fisher.Saber utilizar técnicas de simulación para la obtención de distribuciones aproximadas de estadísti-cos.Conocer los conceptos de estimador y estimación, así como las propiedades fundamentales de losestimadores.Saber relacionar las distintas propiedades de los estimadores.Conseguir las destrezas necesarias para obtener estimadores insesgados de mínima varianza.Obtener estimadores por distintos métodos.Utilizar técnicas para reducir la varianza de un estimador.Conocer e interpretar los intervalos de confianza.Manejar distintos métodos para obtener intervalos de confianza óptimos y utilizarlos en distintosmodelos de probabilidad.Adquirir la idea general de contraste de hipótesis paramétrico.Conocer, relacionar y distinguir los errores de tipo I y tipo II.Saber construir contrastes óptimos, tanto para hipótesis simples como hipótesis compuestas, unilat-erales y bilaterales.Utilizar los resultados anteriores para obtener contrastes paramétricos en poblaciones con distribu-ciones usuales.Relacionar los intervalos de confianza con los contrastes de hipótesis.


1. Resumen de conceptos previos. Introducción. Función característica n dimensional y propieda-des. Matriz de covarianzas y propiedades. Distribución normal multivariante: Función característicay función de densidad. Independencia e incorrelación. Distribución de combinaciones lineales devariables aleatorias normales.

2. Introducción a la Inferencia Estadística. Introducción. Muestra aleatoria simple. Muestras or-denadas. Función de distribución empírica. Propiedades. Momentos muestrales. Distribuciones as-intóticas de estadísticos. Distribuciones de algunos estadísticos de interés. Teorema de Fisher yconsecuencias. Métodos de simulación.

3. Estimación paramétrica puntual. Introducción. Propiedades deseables de los estimadores. Méto-dos de construcción de estimadores: Método de los momentos y método de máxima verosimilitud.

4. Cotas para la varianza de un estimador. Teorema de Cramer-Rao. Estimadores eficientes. Fa-milia exponencial. Estimación de la varianza. Bootstrap y Jackknife.

5. Estimadores basados en estadísticos suficientes. Estadísticos suficientes. Teorema de factor-ización. Teorema de Rao-Blackwell. Completitud. Teorema de Lehmann-Scheffé.

6. Estimación por intervalos de confianza. Introducción. Definiciones. Métodos de construcción deintervalos de confianza: Método basado en la función pivote y método de Neyman. Intervalos deconfianza para los parámetros de algunos modelos usuales.

7. Contrastes de hipótesis paramétricas. Introducción. Planteamiento general de los contrastes dehipótesis. Elementos de un test de hipótesis. Contraste de hipótesis simple y alternativa simple:Teorema de Neyman-Pearson.

8. Contrastes de hipótesis compuestas. Test unilaterales.Familias con cociente de verosimilitudmonótono. Test bilaterales.Test de la razón de verosimilitudes. Contrastes de hipótesis para algunosmodelos paramétricos usuales.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Métodos Estadísticos 89


I. Introducción al programa estadístico Minitab.

II. Estudio exploratorio de datos. Obtención de muestras.

III. Cálculo de probabilidades.

IV. Inferencia para una población.

V. Inferencia para dos poblaciones.

Metodología didácticaLas actividades presenciales de la asignatura consistirán: En clases de teoría (45 horas) se desarrol-

larán, en general, en la pizarra y/o con transparencias. Las clases de problemas (20 horas) se resolveranalgunos de los problemas que se entregarán al alumno antes de terminar la teoría correspondiente. Se-siones de trabajo en grupo (15 horas) done se resolverán los problemas restantes entregados a los alumnosy se plantearan cuestiones y dudas por parte de los mismos. En la microaula se realizarán 10 horas deprácticas utilizando el paquete estadístico Minitab, en las mismas se plantearán problemas reales de otrasciencias como medicina, economía, etc.


Actividad / Horas Presenciales Personales TotalesPresentación de la asignatura 1 1Lecciones magistrales 45 45 90Resolución de problemas 20 40 60Trabajo en grupo 12 12 24Prácticas con ordenador 10 10 20Entrevistas individuales 2 2Controles 3 10 13Examen final 3 12 15TOTALES 96 129 225Relación Trabajo/ECTS 225/9 = 25


Bloque / Clases Clases Clases Trab SemanasTemas Teo Prob Práct Grupo (prev.)1 3 2 0 1 1-22 7 3 0 2 2-43-5 16 7 0 4 5-156 4 2 2 1 27-307-8 15 6 8 4 16-26

90 Métodos Estadísticos Universidad de Murcia

Criterios básicos de evaluaciónSe realizará una primera prueba de los tres primeros temas (P1), una segunda prueba al finalizar el

tema siete (P2) y una tercera prueba al finalizar el tema diez (P3). En esta tres pruebas se plantearancuestiones de teoría y problemas.Además se valorarán los trabajos presentados por los alumnos (P4) y lasprácticas realizadas (P5). En todos los casos para las puntuaciones PI, 0≤ PI ≤ 10, I = 1, ..5.

Si P1>3.5, P2>3.5 el alumno realizará la tercera prueba y si

NF = 0.15P1 + 0.30P2 + 0.30P3 + 0.15P4 + 0.10P5 > 5

el alumno aprobara la asignatura con la nota NF.Si el alumno no aprueba así la signatura, todavía tiene la opción de aprobar en la convocatoria de

junio, febrero o septiembre. Para ello realizar á el examen de los diez temas del programa, si la nota deese examen es NE, el alumno aprobará la asignatura si NE>3.5 y 0.75NE+0.15P4+0.10P5>5.


1. Rohatgi, V.K. (1976). An introduction to probability theory and mathematical statistics. Wiley.

2. Rohatgi, V.K. and Ehsanes,A.K. (2000) An introduction to probability and statistics. Wiley.

3. Vélez Ibarrola, R.; García Pérez, A. (1993). Principios de Inferencia Estadística. UNED.


1. Casella, G. y Berger, R.L. (1990). Statistical Inference. Wadsworth and Brooks.

2. Cristóbal, J.A. (1996). Inferencia Estadística. Prensas Universitarias de Zaragoza.

3. Garcia Nogales,A. (1998). Estadística Matemática. Universidad de Extremadura.

4. DeGroot, M.H. (1988). Probabilidad y Estadística. Addison-Wesley Iberoamericana.

5. Lehmann, E.L. y Casella, G. (1998). Theory of point estimation. Springer.

6. Lehmann, E.L. (1986). Testing statistical hypothesis. Wiley.

7. Mood, A.M. y Graybill, F.A. (1975). Introducción a la teoría de la estadística. Aguilar.

8. Peña, D. (1992, 1993). Estadística: Modelos y Métodos, vol. I. Alianza.

9. Rohatgi, V.K. (1984) Statistical Inference. Wiley.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Ecuaciones Algebraicas 91

1A3. Ecuaciones Algebraicas

Código Tipo Curso Créditos Trabajo Duración Idioma1A3 Obligatoria 3o 9 252 horas Anual Español


DespachoFacultad


José LuisGarcía Hernández


1.03Matem.

868883678

[email protected]

LX 12:30-13:30M 11-13:30V 12-13:30

Presentación de la asignaturaLa asignatura de Ecuaciones Algebraicas supone un 15 % de la carga lectiva total del tercer curso de

la Licenciatura y tiene como objetivo general el aprendizaje de las técnicas algebraicas adecuadas para elestudio de las ecuaciones polinómicas en una variable y de las propiedades de sus raíces.


− Teoría elemental de conjuntos: Manejo operativo del lenguaje de la teoría elemental de conjuntos.Conjuntos, subconjuntos, aplicaciones, relaciones de equivalencia, relaciones de orden.

− Aritmética: Se espera que el alumno conozca las propiedades aritméticas básicas de los númerosenteros, racionales, reales y complejos.

− Álgebra lineal: Manejo operativo de las herramientas fundamentales del Álgebra lineal. Espaciosvectoriales, bases, dimensión, aplicaciones lineales.

− Álgebra básica: Conocimientos básicos sobre estructuras algebraicas elementales: grupos, anillos(en especial, anillos de polinomios), cuerpos.

Competencias de la titulación a las que contribuye la asignaturaTI1, TI2, TI4, TI7, TP6, TS1, TS2, ED1, ED5, EP6, EP8, EA4, EA5, EO3


Conocer las herramientas algebraicas necesarias para el estudio de las ecuaciones polinómicas, ysaber operar con esas herramientas: anillos, cuerpos, polinomios y grupos.

Conocer la relación entre ecuaciones polinómicas, extensiones de cuerpos y grupos y utilizarla paraobtener propiedades de las ecuaciones en función de las extensiones de cuerpos y los grupos.

Aplicar dichos conocimientos al cálculo de las raíces de polinomios y a la resolubilidad de ecua-ciones por radicales.

Utilizar las propiedades del cuerpo de cocientes de un dominio. Utilizar las propiedades aritméticasde los dominios euclídeos y de los dominios de factorización única. Conocer las propiedades de lospolinomios con coeficientes en un dominio de factorización única.

Profundizar en el manejo operativo de los polinomios en una o varias variables. Conocer y aplicarprocedimientos para determinar la irreducibilidad de polinomios en una o varias indeterminadas y,en su caso, factorizarlos. Ser capaz de expresar polinomios simétricos en función de los polinomiossimétricos elementales.

92 Ecuaciones Algebraicas Universidad de Murcia

Conocer y manejar bien las propiedades de los grupos, en especial de los grupos cíclicos y abelianos.Saber calcular los retículos de subgrupos y de subgrupos normales de algunos grupos. Conocerde forma operativa las propiedades de los grupos de permutaciones. Saber descomponer una per-mutación en producto de ciclos disjuntos.

Saber calcular el polinomio irreducible de un elemento algebraico. Saber calcular el grado y unabase de una extensión finita. Ser capaz de construir una extensión de cuerpos que contenga una raízde un polinomio dado, y operar en dicha extensión. Ser capaz de determinar propiedades de unaextensión de cuerpos: algebraica, separable, normal.

Saber calcular el cuerpo de escisión de un polinomio. Comprender el concepto de clausura alge-braica. Ser capaz de encontrar la clausura normal de una extensión.

Saber decidir si una extensión es de Galois. Ser capaz de calcular el grupo de Galois de una exten-sión finita. Manejar con soltura la correspondencia de Galois y el teorema fundamental de la teoríade Galois. Utilizarlo para deducir propiedades de una extensión finita y para calcular sus cuerposintermedios.

Conocer las propiedades de las raíces de la unidad y de las raíces primitivas de la unidad. Manejarcon soltura las extensiones ciclotómicas como un ejemplo simple de extensión de cuerpos. Sabercalcular polinomios ciclotómicos. Conocer la conexión de las propiedades de la función de Eulercon las propiedades de las raíces de la unidad y de las extensiones ciclotómicas.

Conocer y utilizar la norma y traza en una extensión finita separable y saber aplicar el Teorema 90de Hilbert. Conocer las propiedades básicas de las extensiones cíclicas. Comprender la conexiónentre las extensiones radicales y los grupos resolubles.

Ser capaz de encontrar el grupo de Galois de una ecuación algebraica y utilizarlo para determinarsu resolubilidad por radicales y, en su caso, resolverla. Ser capaz de resolver por radicales ecua-ciones de grado tres y cuatro. Ser capaz de decidir sobre la irresolubilidad por radicales de algunasecuaciones.

Resolver problemas sobre constructibilidad con regla y compás. Conocer los teoremas clásicossobre constructibilidad con regla y compás.

Ser capaz de resolver problemas que conecten los conceptos de la asignatura.


1. Grupos Grupos, subgrupos, subgrupos normales, grupos cociente. Grupos cíclicos. Grupos simétri-cos y grupos alternados. El teorema de Abel. Grupos resolubles.

2. Anillos Anillos e ideales. Dominios. Cuerpos. El cuerpo de cocientes de un dominio. Divisibilidady dominios de factorización única.

3. Polinomios Propiedades del anillo de polinomios en una indeterminada. Divisibilidad en anillosde polinomios sobre un DFU. Raíces de polinomios. Derivadas y raíces múltiples.

4. Polinomios en varias indeterminadas Anillos de polinomios en varias indeterminadas sobre uncuerpo. Polinomios simétricos y teorema fundamental. Las fórmulas de Cardano-Vieta.

5. Extensiones de cuerpos Extensiones algebraicas y trascendentes. Polinomio irreducible de unelemento. Grado de una extensión. Extensiones finitas y extensiones algebraicas simples.

6. Los teoremas fundamentales de la teoría de ecuaciones Teorema de Kronecker. Cuerpos alge-braicamente cerrados. Existencia y unicidad de clausuras algebraicas. Cuerpo de escisión de unafamilia de polinomios. Introducción a los cuerpos finitos.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Ecuaciones Algebraicas 93

7. Extensiones normales y separables Extensiones normales y clausura normal. Grado de separa-bilidad. Extensiones separables. Propiedades de las extensiones separables.

8. El teorema fundamental de la teoría de Galois Grupo de Galois de una extensión. La correspon-dencia de Galois. Los teoremas fundamentales de la teoría de Galois. El teorema de Lagrange delas irracionalidades accesorias. El teorema del elemento primitivo.

9. Extensiones ciclotómicas Raíces de la unidad. Extensiones ciclotómicas. Polinomios ciclotómi-cos. Períodos de la ecuación ciclotómica.

10. Construcciones con regla y compás Números constructibles y su caracterización. Problemasclásicos de construcciones con regla y compás. Construcción de polígonos regulares.

11. Extensiones cíclicas y radicales Norma y traza en extensiones finitas separables. Teorema 90 deHilbert. Extensiones cíclicas. Extensiones radicales y sus grupos de Galois. Extensiones de cuerposfinitos.

12. Resolución por radicales de ecuaciones polinómicas El grupo de Galois de un polinomio. Res-olución por radicales de ecuaciones de grado menor que 5. Ecuaciones irreducibles de grado primo.La ecuación general de grado n.

Metodología didácticaLa metodología empleada en la asignatura se basa en las actividades que se describen a continuación:CLASES TEÓRICAS. Son sesiones en donde el profesor expone los contenidos teóricos de la materia.

Se dedicará a estas clases teóricas un total de 60 horas.CLASES DE PROBLEMAS. Cada tema incluirá una lista de ejercicios y problemas, que los alumnos

deben intentar resolver. Un total de 27 horas se dedicarán a la resolución en clase de los problemas de esaslistas. Además, se especificarán algunos de los problemas de cada lista para que los alumnos los resuelvany los expongan en clase o los entreguen por escrito, para su corrección y evaluación.

TUTORÍAS. Para poder seguir adecuadamente la materia, será conveniente que el alumno acuda alas tutorías en el horario propuesto. Durante estas sesiones, los estudiantes podrán analizar con el pro-fesor aquellas dudas o aspectos del tema que no hayan quedado suficientemente aclarados en las clases.Asimismo, durante este tiempo los alumnos podrán solicitar consejo y discutir con el profesor acercade la bibliografía específica del tema, así como recabar cualquier otra información relacionada con laasignatura.


Actividad / Horas Presenciales Personales TotalesPresentación de la asignatura 1 1Lecciones magistrales 60 60 120Resolución de problemas 27 54 81Controles 2 2Consultas tutorías 8 8Exámenes 8 32 40TOTALES 106 146 252Relación Trabajo/ECTS 252/9 = 28

94 Ecuaciones Algebraicas Universidad de Murcia


Clases Clases SemanasTema Contenidos Teo Prob (prev.)1 Grupos 7 3 1-42 Anillos 4 2 4-73 Polinomios 5 3 7-94 Polinomios en varias indeterminadas 3 2 9-115 Extensiones de cuerpos 6 3 11-146 Teoremas fundamentales ecuaciones 5 2 15-177 Extensiones normales y separables 4 2 17-198 Teorema fundamental de Galois 6 2 19-219 Extensiones ciclotómicas 5 2 22-2410 Construcciones con regla y compás 3 1 24-2511 Extensiones cíclicas y radicales 4 2 26-2712 Resolución de ecuaciones por radicales 6 3 28-30


Se realizarán dos exámenes parciales y un examen final en las fechas y horas marcadas por la Facultadde Matemáticas. Además, se realizarán dos ejercicios de control, de una hora de duración cada uno y enhorario de clase, uno en cada uno de los cuatrimestres.

Al terminar el curso, cada alumno tendrá las notas de los dos exámenes parciales y de los dos ejerciciosde control. Llamaremos E a la nota media de los exámenes parciales y C a la nota media de los ejerciciosde control.

Además, tendrá una nota por los problemas entregados (si han sido al menos 5), que llamaremos P .La nota final de curso será la mayor entre las cuatro siguientes:

a) E b) 0’1 C + 0’9 E c) 0’05 P + 0’95 E d) 0’1 C + 0’05 P + 0’85 E

Si la nota final de curso es mayor o igual que 5 (y la nota de cada examen parcial es, por lo menos,igual a 3) esa será la calificación del alumno en la convocatoria de junio. Si la nota final de curso esinferior a 5, el alumno debe realizar el examen final de toda la asignatura en la convocatoria de junio.

Si E2 es la nota del examen final en la convocatoria de junio, la calificación correspondiente será, denuevo, la mayor entre:

a) E2 b) 0’1 C + 0’9 E2 c) 0’05 P + 0’95 E2 d) 0’1 C + 0’05 P + 0’85 E2


1. Notas del curso en SUMA.

2. J. Asensio, J.R. Caruncho y J. Martínez, Ecuaciones Algebraicas, Universidad de Murcia-DM,Murcia, 2000. 12-12, 12-13.

3. A. del Río, Ecuaciones algebraicas, http://www.um.es/adelrio/Docencia.php.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Introducción al Análisis Complejo 95


1. J. R. Bastida, Field extensions and Galois theory, Addison-Wesley, 1984. 12F5,6,7,12.2. P. M. Cohn, Algebra (vol. 2), Wiley and Sons, 1986. 10-8, 0/1.3. M. H. Fenrick, Introduction to the Galois correspondence, Birkhäuser, 1992. 12F13.4. J. B. Fraleigh, A first course in abstract algebra 4th Ed, Addison-Wesley, 1999. 10-19.5. L. Gaal, Classical Galois theory with examples, Chelsea P. C., 1979.6. I. Gozard, Théorie de Galois, Ellipses, 1997.7. T. W. Hungerford, Algebra, Springer-Verlag, 1989. 10-15, 0/3.8. I. Kaplansky, Fields and rings 2nd Ed, Chicago Univ. Press, 1972. 10-202.9. P. J. McCarthy, Algebraic extensions of fields, Dover, 1991. 12-7.

10. J. Rotman, Galois Theory, Springer-Verlag, 1990. 12-36.11. I. Stewart, Galois Theory, Chapman and Hall, 1987. 12F212. J. P. Tignol, Galois theory of algebraic equations, Longman, 1983. 12-19.13. F. Zaldívar, Teoría de Galois, Anthropos, 1996.

1A4. Introducción al Análisis Complejo

Código Tipo Curso Créditos Trabajo Duración Idioma1A4 Troncal 3o 7’5 188 horas Cuatrim. (2o) Español


DespachoFacultad


GabrielVera Botí


1.08Matem.

868883538

[email protected]

M,X,J 13-14M 15-20

Presentación de la asignaturaLa asignatura Introducción al Análisis Complejo está diseñada para proporcionar a los alumnos un

primer contacto con la derivación e integración complejas que, junto con las técnicas de series de po-tencias, proveen de unas herramientas potentísimas para el tratamiento de muchos problemas físicos ymatemáticos. Éste fue el origen del desarrollo, y la razón por la cual, la variable compleja alcanzó ungran éxito rápidamente a lo largo del siglo XIX, desde Cauchy hasta Weierstrass, pasando por Riemann.Sus métodos son ampliamente utilizados en otras ramas de las matemáticas. Incluso hoy en día, cuan-do se han abierto innumerables líneas de investigación en matemáticas, tanto abstractas como aplicadas,la teoría de funciones analíticas permanece tan impresionante como siempre, y es todavía un modelo aseguir. La potencia de los resultados de la teoría de funciones analíticas se ve ensalzada por la belleza desus demostraciones y por la precisión con la que encajan todas y cada una de sus partes esenciales.

El núcleo del curso que presentamos es la teoría de Cauchy de integración compleja y sus aplica-ciones. Hemos apostado, sin duda, por un tratamiento sistemático de las series de potencias como principalproveedor de suficientes funciones que el alumno pueda manipular. Aunque en una segunda asignatura deAnálisis Complejo trataremos en profundidad las funciones de variable compleja como transformacionesdel plano complejo en sí mismo, en esta primera asignatura también abordamos este último punto devista.

96 Introducción al Análisis Complejo Universidad de Murcia

Conocimientos previos necesariosLa asignatura tratará de hacerse de la forma más autocontenida posible. Partimos de que el alum-

no ha cursado las asignaturas: Topología (Troncal, primer ciclo, 6 créditos), Análisis Matemático I y II(Troncales, primer ciclo, 18 y 15 créditos).

Competencias de la titulación a las que contribuye la asignaturaTI1, TI3, TI7, TP1, TP6, TP7, TS1, TS3, TS7, ED2, EP2, EP3, EP6, EP12, EA1, EA4, EA7, EO1,

EO3, EO4


GENÉRICAS:

Conocer y asimilar los fundamentos de la teoría de funciones de variable compleja: la teoría deCauchy y sus consecuencias.

Saber abstraer problemas concretos sobre cálculos de integrales reales y sumas de series, para serresueltos con técnicas de variable compleja.

Conocer y comprender las demostraciones de los resultados centrales de la teoría, y adquirir de-streza en su aplicación.

ESPECÍFICAS:

Conocer en profundidad las propiedades de las series de potencias y las reglas formales para ma-nipularlas.

Utilizar las series de potencias para definir las funciones elementales de variable compleja. Conocerlas propiedades de estas funciones y aprender a manejar correctamente ramas uniformes de susinversas (logaritmos, raices, arc sen,arc tg etc.)

Para las funciones de variable compleja dadas mediante una fórmula en términos de las funcioneselementales obtener dominios donde estén definidas y dominios donde se puedan definir ramas desus inversas. Para este tipo de funciones y para las ramas de sus inversas aprender técnicas paraobtener desarrollos en serie de potencias.

Conocer el concepto de función analítica (como función que localmente admite un desarrollo enserie de potencias), su comportamiento local, las propiedades de sus ceros, y el principio de identi-dad o prolongación analítica. Relacionar las noción de función analítica compleja con el de funciónanalítica real. Reconocer funciones analíticas y aplicar el principio de identidad en situacionesconcretas.

Relacionar la derivabilidad compleja con la diferenciabilidad real mediante las condiciones deCauchy-Riemann y utilizar estas condiciones para calcular en situaciones concretas la función ar-mónica conjugada de otra dada.

Entender el papel fundamental que desempeña la integral de línea para demostrar que la clase delas funciones analíticas coincide con la clase de las funciones derivables en sentido complejo (holo-morfas). Conocer los resultados básicos de la teoría de Cauchy que se desprenden de este hecho(desigualdades de Cauchy, teoremas de Liouville, Morera, Weierstrass) y algunas de aplicacionesnotables de los mismos como la demostración del teorema fundamental del álgebra, y el estudio dela analiticidad de funciones definidas mediante integrales.

Entender el concepto topológico de índice o número de vueltas de un camino cerrado alrededor deun punto, el papel que desempeña la homotopía en relación con este concepto y con la noción deabierto simplemente conexo. Saber demostrar las versiones generales (homológicas y homotópicas)de los teoremas de Cauchy y con ellos la existencia de desarrollos de Laurent.


Conocer la noción de singularidad aislada de una función analítica y aprender a clasificar las singu-laridades aisladas. Conocer la noción de residuo en una singularidad aislada y utilizar las técnicasde las series de potencias y de Laurent como estrategia para el cálculo del residuo.

Entender que las singularidades aisladas de las funciones analíticas contienen toda la informaciónnecesaria (mediante el valor del residuo) para el cálculo de sus integrales curvilíneas a lo largo decaminos cerrados, y de esta forma comprender el papel que desempeña la versión general de losteoremas de Cauchy en la demostración del teorema de los residuos.

Conocer las demostraciones de algunas de las consecuencias teóricas más notables del teorema delos residuos: Principio del argumento y teorema de Rouché. Saber utilizar el principio del argu-mento como estrategia para obtener abiertos maximales donde se pueda asegurar que una funciónholomorfa concreta tiene raíces o logaritmos holomorfos.

Conocer las aplicaciones clásicas del teorema de los residuos al cálculo de integrales reales y a lasumación de series, aprendiendo a desarrollar las estrategias adecuadas para los diferentes tipos deproblemas.


1. El plano complejo

a) El cuerpo de los números complejos Operaciones en el cuerpo C de los números complejos.El plano complejo: Partes real e imaginaria de un número complejo; Conjugados; Valor abso-luto. Forma polar de un número complejo. Raíces. Potencias de base y exponente complejos.Representación geométrica de sumas y productos. Rectas, semiplanos y circunferencias en elplano complejo. El plano ampliado: La compactificación C de C con el punto del infinito, laesfera de Riemann.

b) Series de Potencias Series en C: equivalencia entre convergencia absoluta e incondicional ysumabilidad. Series de potencias: Radio de convergencia. Reordenación de series. Productode convolución de series.

2. Funciones de variable compleja

a) Holomorfía Derivación compleja. Funciones holomorfas. Cálculo de derivadas. Regla de lacadena y derivada de la función inversa. Relación entre derivabilidad y R-diferenciabilidad:ecuaciones de Cauchy-Riemann. Noción de Función armónicas. Introducción de las variablesz y z.Conservación de ángulos.

b) Funciones elementales Funciones analíticas: Ceros de las funciones analíticas, principiode prolongación analítica. La función exponencial. Funciones trigonométricas e hiperbólicas.Argumentos y logaritmos de funciones continuas. Determinación de ramas de inversas defunciones trigonométricas e hiperbólicas.

3. La teoría de Cauchy

a) Integración compleja Integral de Riemann de funciones complejas. Formas diferencialescomplejas. Integración curvilínea. Propiedades. Caracterización de las formas diferencialescerradas y exactas.


b) Teorema y fórmula de Cauchy: desarrollos en serie El teorema de Cauchy-Goursat. Ver-sión elemental de la fórmula integral de Cauchy. Analiticidad de las funciones holomorfas.Desigualdades de Cauchy. Teorema de Liouville. Teorema fundamental del álgebra. Teoremade Morera. Teorema de Weierstrass. Principio del módulo máximo.

c) Versión homológica de los teoremas de Cauchy Índice de un camino cerrado. Propiedadesdel índice. Índice y homotopía. Aplicaciones. Cadenas y ciclos. Índice de un ciclo. Homología.Versiones homológicas de la fórmula y del teorema de Cauchy. Versión homotópica del teo-rema de Cauchy. Desarrollos de Laurent.

4. Singularidades aisladas y teorema de los residuos

a) Teorema de los Residuos Singularidades aisladas. Clasificación de las singularidades ais-ladas. Teorema de Casorati-Weierstrass. Definición de residuo. Teorema de los residuos. Cál-culo de algunos residuos. Singularidades en el infinito. Residuo en el infinito.

b) Aplicaciones del teorema de los Residuos Funciones meromorfas. Principio del Argumento.Teorema de Rouché. Integrales impropias: Cálculo de integrales. Sumación de series.


Las actividades presenciales de la asignatura para el alumno consistirán en clases de teoría (52 %, TEen el programa), clases de problemas (12 %, P), sesiones de trabajo en grupo para resolver problemas(24 %, G), entrevistas personales (2,7 %, TU), y exámenes (8 %)

Las clases de teoría se desarrollarán principalmente mediante lecciones magistrales en pizarra conapoyo de medios audiovisuales.

Para la parte práctica, clases de problemas y sesiones de trabajo en grupo, se entregará a los alum-nos, a principio de cada tema una relación de ejercicios y problemas. Parte de ellos se propondrán a losalumnos para que preparen su resolución por grupos y los expongan en las sesiones de trabajo. Tambiénse propondrán problemas para que los alumnos (de forma individual) los entreguen resueltos por escritoy en las horas de tutorías se corregirán y supervisarán individualmente las soluciones entregadas.


Actividad / Horas Presenciales Personales TotalesPresentación de la asignatura 1 1Lecciones magistrales 39 53 92Resolución de problemas 9 18 27Trabajo en grupo 18 18 36Trabajos individuales 9 9Entrevistas individuales 2 2Controles 3 5 8Examen final 3 10 13TOTALES 75 113 188Relación Trabajo/ECTS 188/7,5 = 25



Bloque Título Clases Clases SemanasTema Contenidos Teo Prob (prev.)

1 EL PLANO COMPLEJO

1.a Los números complejos 3 11.b Series de potencias 3 2 2

2 FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

2.a Holomorfía 4 2 3-42.b Funciones elementales 6 2 4-6

3 TEORÍA DE CAUCHY

3.a Integración compleja 3 6-73.b Teorema y fórmula de Cauchy 5 2 7-93.c Versión homológica de los teoremas de Cauchy 7 4 9-12

4 SINGULARIDADES AISLADAS Y TEOREMA DE LOS RESIDUOS

4.a Teorema de los residuos 4 2 12-134.a Aplicaciones del teorema de los residuos 4 2 14-15


La asignatura será evaluada en los siguientes términos: una evaluación continua (EC) que podráaumentar la nota final entre 0 y 2 puntos y un examen final (EF ) que se calificará de 0 a 10 puntos.

La Nota final será igual a EC más EF (en caso de sobrepasar el 10, ésta sería la nota)Durante el curso se realizarán un control escrito a mitad del cuatrimestre, y un examen final (EF ).

A la vista de los resultados el profesor acordará la materia que cada alumno ha superado, de la que nonecesita volver a examinarse en el examen final y la calificación correspondiente.

La calificación de la evaluación continua EC se obtendrá de la valoración de las actividades propues-tas: Exposición en clase de soluciones a problemas, exposición oral de resultados básicos y redacción deproblemas propuestos (2 entregas de trabajo individual y 2 de trabajo en grupo).

En Septiembre se evaluará del mismo modo, guardándose por tanto la nota EC de la evaluacióncontinua para dicha convocatoria.

Valor/Total Actividad Fecha prevista2

2 % 1a Entrega ejercicioshasta 35 % Control intermedio4 % 2a Entrega ejercicios4 % 3a Entrega ejercicios5 % 4a Entrega ejercicios5 % Exposiciones oraleshasta 100 % Examen de FEBRERO (2a matricula o +) 21/01/2008hasta 100 % Examen Final (JUNIO) 20/06/2008hasta 100 % Examen Final (SEPTIEMBRE) 06/09/2008

2Las fechas de entrega de ejercicios y las exposiciones orales se fijarán de forma coordinada con las demás asignaturas delcurso y se harán públicas en internet/SUMA



1. L. V. Ahlfors, Complex analysis, third ed., McGraw-Hill Book Co., New York, 1978, 30-10.

2. J. B. Conway, Functions of one complex variable, second ed., Graduate Texts in Mathematics,vol. 11, Springer-Verlag, New York, 1978, 30-23, 517.5 CON fun.

3. W. Rudin, Análisis real y complejo, tercera ed., McGraw-Hill, 1988, 28-9.


1. A. I. Markushevich, Theory of functions of a complex variable. Vol. II, Revised English editiontranslated and edited by Richard A. Silverman, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1965,30-83. Traducción al castellano Teoría de las funcciones de variable compleja MIR, Moscu, 1978,30-8.

2. T. Needham, Visual Complex Analysis, Oxford University Press, 1999, 30-89/94/95.

3. D. Feyel and A. de la Pradelle, Ejercicios sobre las funciones analitícas,con soluciones. Paraninfo,Madrid, 1980, 30-12.

4. G. Vera, Introducción al análisis complejo. SUMA, 2000.

5. L. I. Volkovyski, G. L. Lunts, I. G. Aramanovich, Problemas sobre la teoria de funciones de vari-able compleja; 3a. ed. MIR, Moscu, 1984, 30-26/27/67.

Material adicional y Recursos

FC. Programa para representar funciones complejas, de G. Vera.http://www.rinconmatematico.com/libros.htm . Distintos manuales útiles.http://math.fullerton.edu/mathews/complex.html. Complex Analysis Project for UndergraduateStudents.http://math.wlu.edu/CPSoft.html Complex Plot. Programa para representar funciones complejas.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Asignaturas de Cuarto Curso de la Licenciatura 101

12. Asignaturas de Cuarto Curso de la Licenciatura

1A5. Álgebra

Código Tipo Curso Créditos Trabajo Duración Idioma1A5 Troncal 4o 9 250 Anual Español


DespachoFacultad


José RamónCaruncho Castro


1.14Matem.

868883586

[email protected]

M 11-12:30 y 16-19J 11-12:30

Presentación de la asignaturaEsta asignatura está dedicada al estudio de la teoría de módulos y de anillos no conmutativos. En la

asignatura de Ecuaciones Algebraicas el alumno ha estudiado los conceptos básicos de la teoria de grupos(grupos simétricos, p-grupos, teoremas de Sylow, grupos resolubles), por lo que la asignatura de Álgebrase centra esencialmente en el estudio de módulos (con especial énfasis en módulos sobre DIP) y al estudiode algunos tipos de anillos (no conmutativos).

Objetivos

Conocer las propiedades básicas de los funtores Hom y producto tensor.

Conocer y manejar los teoremas de estructura de módulos sobre DIP.

Aplicar los teoremas de estructura al estudio de una aplicación lineal (endomorfismo).

Conocer las propiedades y teoremas básicos de los anillos noetherianos y artinianos.


− Conceptos básicos de Álgebra (conjuntos, apicaciones, grupos y anillos).

− Conceptos básicos de Álgebra Lineal (espacios vectoriales, matrices, determinantes).

Capacidades y destrezas a adquirir por el alumno

Conocer y aplicar los teoremas de isomorfía y correspondencia.

Conocer el comportamiento de los funtores Hom y producto tensor respecto a sucesiones exactas,productos y sumas directas.

Conocer y saber aplicar el teorema de estructura de módulos finitamente generados sobre DIP.

Aplicar la teoría de módulos finitamente generados sobre DIP al estudio de un endomorfismo de unespacio vectorial de dimensión finita.

Conocer las propiedades de los anillos noetherianos y artinianos.

102 Álgebra Universidad de Murcia


1. Anillos. Ideales. DFUs, DIPs y DEs.2. Módulos. Teoremas de isomorfía y de la correspondencia.3. Sumas y productos directos de módulos.4. El funtor Hom; compartamiento respecto a sumas, productos directos y sucesiones exactas.5. Módulos libres. Módulos proyectivos.6. Módulos sobre dominios de ideales principales. Módulos finitamente generados sobre DIP.7. Teoría de formas canónicas. Equivalencia y semejanza de matrices.8. Producto tensorial de módulos. Adjunción de Hom y el producto tensor. El producto tensor y las

sucesiones exactas. Módulos planos.9. Anillos noetherianos y artinianos.

Metodología didácticaLa parte teórica se desarrollará mediante clases en la pizarra.La parte práctica consistirá fundamentalmente en la resolución de problemas previamente propuestos

que los alumnos desarrollarán en la pizarra con la ayuda e indicaciones del profesor.Los alumnos deberán entregar periódicamente una serie de problemas propuestos previamente.Cada alumno deberá exponer en la pizarra alguna cuestión (teórica o práctica) propuesta con an-

telación por el profesor.

Estimación del volumen de trabajo del estudiante (ECTS)La siguiente tabla estima el tiempo que, para cada actividad y por término medio, necesita un alumno

para superar la asignatura:

Actividad / Horas Presenciales Personales TotalesLecciones magistrales 63 90 153Resolución de ejercicios 18 35 53Trabajos para entregar 0 10 10Consultas en tutoría 3 0 3Exámenes parciales 6 25 31TOTALES 90 160 250Relación Trabajo/ECTS 250/9 = 27,8

Temporalización o cronogramaLa siguiente no incluye las horas de consultas en tutoría ni los exámenes parciales.

Tema Título Horas1 Anillos 52 Módulos 103 Sumas y productos directos 74 El funtor Hom 115 Módulos libres y proyectivos 76 Módulos sobre DIPs 157 Formas canónicas 128 Producto tensorial, módulos planos 79 Anillos noetherianos y artinianos 7

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Análisis Funcional 103

Criterios básicos de evaluaciónLa asignatura se podrá superar de dos formas:

1) Mediante la evaluación continua del trabajo realizado por el alumno. Dicha evaluación se realizarámediante dos exámenes parciales (P1 y P2) y los trabajos y exposiciones realizadas por el alumno a lolargo del curso (EC). La nota EC se conservará hasta septiembre.

La asignatura se aprobará si la nota de cada parcial es igual o superior a 3,5 puntos y si se da lasiguiente desigualdad, en cuyo caso NF será la nota final:

NF = 20 % (EC) + 40 % (P1) +40 % (P2) ≥ 5

2) Mediante un examen final de la asignatura.


1. Adkins, W.A. y Weintraub, S.H.; Algebra. An Approach via Module Theory ; Springer ; 1992.2. Hartley, B. y Hawkes, T.; Rings, Modules and linear Algebra ; Chapman and Hall ; 1994.3. Hilton, P. y Wu Y.; Curso de álgebra moderna ; Reverté ; 1977.4. Hungerford, T.; Algebra ; Springer ; 1989.


1. Anderson, F. W. y K. R. Fuller; Rings and categories of modules ; Springer ; 1992.2. Cohn, P. M.; Algebra, vol. 1 y 2 ; Wiley ; 1977.3. Jacobson, N.; Basic Algebra I,II ; Freeman ; 1974.

1A6. Análisis Funcional

Código Tipo Curso Créditos Trabajo Duración Idioma1A6 Troncal 4o 6 170 Cuatrim. (1o) Español


DespachoFacultad


JoséOrihuela Calatayud


1.09Matem.

868883539

[email protected]

M,X,V 12-14

Presentación de la asignaturaSe podrían dar muchas definiciones de Análisis Funcional. Su nombre sugiere aquella parte de las

Matemáticas que trata con funciones, pero esto significa prácticamente todo el Análisis Matemático. Si-guiendo a Dieudonné diremos que:

«El Análisis Funcional es la rama de las Matemáticas que estudia los espacios vectorialestopológicos y las aplicaciones u : Ω −→ F de una parte Ω de un espacio vectorial topológi-co E en un espacio vectorial topológico F , donde estas aplicaciones se supone que verificanciertas condiciones algebraicas y topológicas».

104 Análisis Funcional Universidad de Murcia

Un momento de reflexión muestra cómo esta definición cubre una gran parte del Análisis Moderno, comopor ejemplo, los espacios de Hilbert y de Banach, la teoría espectral, las distribuciones, la teoría de lasecuaciones en derivadas parciales, etc.

Los objetos que se consideran en Análisis Matemático, espacios euclídeos, funciones continuas, difer-enciables, integrables, holomorfas, etc., están claramente diferenciados. Sin embargo, poseen también unaserie de características que hacen posible analizar algunas de sus propiedades de forma unificada, con unaeconomía de medios y con una comprensión global de las mismas. Algunos de los puntos de vista nove-dosos del Análisis Funcional son la búsqueda de buenas estructuras de clasificación para los objetos delAnálisis Matemático, el estudio abstracto de las propiedades de éstas y la utilización de aplicacioneslineales continuas como herramientas para modelizar problemas. Los espacios de Banach y de Hilbert,objeto de estudio de esta asignatura, constituyen estructuras de clasificación de objetos matemáticos tanútiles como puedan ser las estructuras que se manejan en otras ciencias.

Objetivos

Conocer y saber utilizar el teorema de la proyección en espacios de Hilbert y la existencia de baseshilbertianas para abordar cuestiones de aproximación y optimización.

Utilizar el teorema espectral en espacios de Hilbert para resolver algunos sistemas lineales infinitosy ecuaciones diferenciales o integrales.

Conocer, utilizar y aplicar los Principios Fundamentales del Análisis Funcional (el teorema deHahn-Banach, el Principio de la Acotación Uniforme y el teorema de la Gráfica Cerrada).

Conocimientos previos necesariosLa asignatura tratará de hacerse de la forma más autocontenida posible. Partimos de que el alumno

ha cursado las asignaturas: Álgebra Lineal y Geometría Euclídea (Troncal, primer ciclo, 15 créditos),Topología (Troncal, primer ciclo, 6 créditos), Análisis Matemático I y II (Troncales, primer ciclo, 18 y15 créditos) e Introducción al Análisis Complejo (Obligatoria, primer ciclo, 7,5 créditos). En cuanto aMedida e Integración, no presupondremos que el alumno está familiarizado con ella, por lo que se leentregará un resumen a principio de curso para que pueda manejar, casi en plan axiomático, la integral deLebesgue, a la que se dedicarán dos o tres clases para dar una visión panorámica de la misma.


Enmarcar, en el contexto de los espacios de Banach, los espacios de sucesiones, espacios de fun-ciones continuas, espacios de funciones diferenciables u holomorfas, etc., que el alumno ha encon-trado anteriormente en otras asignaturas de Análisis Matemático, estableciendo, en particular, lasdesigualdades de Hölder y Minkowski.

Reconocer normas concretas que derivan de un producto escalar, utilizando como test la Ley delParalelogramo.

Utilizar la existencia de mejores aproximaciones en espacios de Hilbert como herramienta paraobtener soluciones aproximadas de ecuaciones. Derivar, del teorema de la proyección, resultadosclásicos de aproximación, como el teorema de Müntz-Szasz.

Analizar la conexión existente entre el problema de mejor aproximación y ciertos problemas varia-cionales sobre la existencia de mínimo en determinadas formas cuadráticas, para utilizarlo comoherramienta en la justificación analítico-funcional de la existencia y unicidad de solución del prob-lema de Dirichlet general.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Análisis Funcional 105

Introducir el concepto de base hilbertiana y manipular coordenadas en espacios de dimensión in-finita para resolver ecuaciones.Construir una base hilbertiana del espacio L2([−π, π]).Presentar bases hilbertianas formadas por polinomios ortogonales, y utilizarlas para obtener fórmu-las de cuadratura Gaussiana.Obtener bases hilbertianas en el espacio de Bergman A2(Ω).Manipular ejemplos concretos de operadores, elegidos, bien porque tienen un comportamiento sim-ple, comprensible y susceptible de modelización de situaciones más complejas, bien porque sonimportantes en las aplicaciones.Representar operadores en espacios de dimensión infinita mediante matrices infinitas.Entender el concepto de espectro para un operador T y relacionarlo con la resolución de ecuacionesdel tipo Tx = y, para y y T dados, lo cual está conectado a su vez con la invertibilidad de T .Distinguir entre los distintos tipos de operadores y clasificarlos por propiedades de ellos mismos ode sus adjuntos. Manipular ejemplos de operadores de rango finito, compactos, autoadjuntos, etc.Discutir algunas aplicaciones del teorema espectral a la resolución de determinados tipos de ecua-ciones integrales, con aplicaciones al problema de Sturm-Liouville y a ecuaciones que se reducen asistemas de Sturm-Liouville.Resolver el problema de Dirichlet en un cuadrado.Establecer el teorema de extensión de Hahn-Banach y utilizarlo como herramienta para estudiarcuestiones abstractas de aproximación y separación de conjuntos convexos.Estudiar el teorema de la Categoría de Baire y sus consecuencias en espacios de Banach: el teoremade la Acotación Uniforme y el teorema de la Gráfica Cerrada.Manejar los tres Principios Fundamentales del Análisis Funcional para deducir la existencia delímites de Banach, existencia de funciones continuas con series de Fourier puntualmente diver-gentes, métodos de sumabilidad, equivalencia entre holomorfía débil y holomorfía fuerte para fun-ciones con valores en espacios de Banach, continuidad de los coeficientes asociados a una base deSchauder, etc.Estudiar las normas uniformemente convexas como extensiones de las normas asociadas a pro-ductos escalares. Calcular el dual de los espacios Lp(µ). Clasificar los espacios clásicos c0, c, `p,C(K), etc., desde el punto de vista de la reflexividad.


1. Espacios de Hilbert

a) Espacios de Hilbert. Espacios de Hilbert. Distancia de un punto a un subespacio. El teoremade la proyección. Bases hilbertianas. Series de Fourier: teoría en L2(T). Bases hilbertianas enespacios de funciones. El teorema de representación de Riesz. Aplicaciones del teorema deRiesz. Problemas variacionales cuadráticos.

b) Operadores lineales acotados en espacios de Hilbert. Operadores lineales acotados enespacios de Hilbert. Invertibilidad de operadores. Funcionales sesquilineales y operadores ad-juntos. Algunas clases especiales de operadores. Operadores compactos.

c) Teoría espectral elemental en espacios de Hilbert. Valores propios y subespacios propios.Existencia de valores y vectores propios. Teoría espectral para operadores compactos autoad-juntos. Teoría espectral para operadores integrales. El problema de Sturm-Liouville. Otrosdesarrollos del teorema espectral.

106 Análisis Funcional Universidad de Murcia

2. Espacios de Banach

a) Espacios de Banach y sus duales. Espacios normados y espacios de Banach. Espaciosnormados y espacios de Banach: ejemplos. Espacios de dimensión finita: proyecciones casi-ortogonales. Duales de algunos espacios de Banach. El teorema de Hahn-Banach. Aspectosgeométricos del teorema de Hahn-Banach. Aplicaciones del teorema de Hahn-Banach. Lastopologías débil y débil∗: una introducción. Un apunte sobre reflexividad. Espacios de Ba-nach uniformemente convexos.

b) Propiedad de Baire y consecuencias en espacios de Banach. El principio de la AcotaciónUniforme. Aplicaciones del principio de la Acotación Uniforme. El teorema de la GráficaCerrada. Aplicaciones de los teoremas de la Gráfica Cerrada y la Aplicación Abierta. Basesen espacios de Banach. Sucesiones básicas en espacios de Banach.

Metodología didácticaLa parte teórica se llevará a cabo mediante exposiciones en la pizarra, por parte del profesor, de los

distintos temas del programa. Introduciremos al alumno en esta materia a través de ejemplos concretos,para, a partir de ahí, llegar a una teoría elegante y precisa, que será aplicada, a su vez, a situaciones conc-retas para proporcionar nuevos e importantes ejemplos que modelizan problemas físicos y/o resuelvenproblemas clásicos de ecuaciones diferenciales.

La parte práctica consistirá fundamentalmente en la resolución en el aula de problemas y ejercicios deaplicación de los contenidos ya estudiados, ejercicios que los alumnos irán recibiendo de forma periódicadurante el desarrollo del curso. Opcionalmente se requerirá a los alumnos para que ilustren medianteordenador las partes del curso que conllevan un análisis numérico.

Estimación del volumen de trabajo del estudiante (ECTS)La siguiente tabla estima el tiempo que, para cada actividad y por término medio, necesita un alumno

para superar la asignatura:

Actividad / Horas Presenciales Personales TotalesLecciones magistrales 38 76 114Resolución de ejercicios 19 19 38Trabajos para entregar 10 10Consultas en tutoría 5 5Exámenes parciales 3 3TOTALES 65 105 170Relación Trabajo/ECTS 170/6 = 28,3

Temporalización o cronogramaEstimación de las horas presenciales que se dedicarán a cada uno de los temas del programa:

Tema Título Horas1a Espacios de Hilbert 191b Operadores lineales acotados 81c Teoría espectral 182a Espacios de Banach 82b Propiedades de Baire 4

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Análisis Complejo 107

Criterios básicos de evaluaciónLa evaluación consistirá en un examen en el día y hora previamente anunciadas. El examen constará

de teoría, cuestiones y problemas, con 1/3 de la nota en cada una de las partes.Se realizarán también tres controles con un par de cuestiones cada uno tras haber desarrollado las

partes principales de la asignatura. Los alumnos que realicen aceptablemente los tres controles programa-dos sumarán hasta 1,5 puntos a la calificación del examen para obtener su nota final.


1. B. Cascales and J. M. Mira. Análisis funcional. ICE - Universidad de Murcia - DM. Murcia, 2002.2. J. B. Conway. A course in functional analysis. GTM, vol. 96, Springer. New York, 1985.3. I. Gohberg and S. Goldberg. Basic operator theory. Birkhäuser. Boston, Mass, 1981.4. P. D. Lax. Functional Analysis. Wiley. New York, 2002.5. B. V. Limaye. Functional analysis. Wiley Eastern Ltd. New Delhi, 1981.6. E. Zeidler. Applied Functional Analysis. App. Math. Sciences, 108-109. Springer. New York, 1995.

1A7. Análisis Complejo



DespachoFacultad


GabrielVera Botí


1.08Matem.

868883538

[email protected]

M,X,J 13-14M 15-20

Presentación de la asignaturaEn esta asignatura, troncal de 6 créditos se continua con el estudio de las funciones complejas de

variable compleja iniciado en la asignatura Introducción al Análisis Complejo.

Objetivos

Estudio de las propiedades de las funciones analíticas como transformaciones del plano complejo.Estudio detallado de las sucesiones de funciones holomorfas y de las familias normales como he-rramienta para establecer el teorema de Riemann sobre representación conforme.Aplicación de la teoría de funciones analíticas al estudio de las funciones armónicas de dos variablesy en particular a solución del problema de Dirichlet en el Disco.Aplicación de procedimientos especiales de representación de funciones holomorfas y meromorfaspara el estudio de funciones clásicas como la función Γ de Euler y la función ζ de Riemann.

Conocimientos previos necesariosLa asignatura Análisis Complejo depende fuertemente de la teoría de funciones de variable compleja

que se enseña en la asignatura de tercer curso Introducción al Análisis Complejo (troncal de 7.5 créditos),por lo que se recomienda que los alumnos la cursen inmediatamente después de ésta.

108 Análisis Complejo Universidad de Murcia


Conocer las propiedades de las funciones analíticas que tienen repercusión en los problemas de re-presentación conforme: Teoremas de la aplicación abierta, de la función inversa, del módulo máxi-mo, y en especial el Lema de Schwarz.Resolver problemas concretos de transformaciones conformes: Cálculo de fórmulas para la trans-formación inversa y obtención de isomorfismos conformes ente abiertos concretos.Utilización de algún programa informático para visualizar transformaciones conformes.Estudiar las propiedades básicas de la topología natural en el espacio de las funciones holomorfasy conocer criterios sencillos para establecer que una familia de funciones holomorfas es normal.Conocer con detalle las ideas implícitas en la demostración del teorema de Riemann y las aplica-ciones del teorema a la topología del plano (caracterización de los abiertos simplemente conexos).Aplicar los resultados sobre funciones analíticas y representación conforme al estudio de las fun-ciones armónicas de dos variables y a la solución del problema de Dirichlet en abiertos sencillos.Conocer las aplicaciones clásicas de la teoría de funciones analíticas y armónicas al estudio de loscampos planos de vectores con sus diversas interpretaciones en lenguaje físico (movimiento de unfluido en régimen estacionario bidimensional, problemas bidimensionales de transmisión de caloro de campos electrostáticos...).Conocer las técnicas de representación de funciones concretas mediante productos infinitos, de-sarrollos de Mittag-Leffler e integrales dependientes de un parámetro con el fin de profundizar enestudio de las funciones especiales clásicas (Γ de Euler y ζ de Riemann).El alumno deberá conocer y comprender las demostraciones de los resultados centrales de la teoría,adquirir destreza en su aplicación a situaciones concretas y en la resolución de problemas clásicossobre sucesiones de funciones holomorfas, representación conforme, funciones armónicas y re-presentación de funciones (mediante productos infinitos, desarrollos de Mittag-Leffler e integralesdependientes de un parámetro).


1. Funciones holomorfas dadas por series y productos

a) Desarrollos de Mittag-Leffler. Desarrollos en serie de funciones meromorfas. Desarrollosde Mittag-Leffler de las funciones (π/ senπz)2 y π cotg πz.

b) Productos infinitos. Productos infinitos y factorización de funciones holomorfas. Repre-sentación de funciones mediante series, integrales y productos infinitos.

c) Funciones especiales. Función Gamma y función ζ de Riemmann.

2. Las funciones derivables como transformaciones

a) Teorema del módulo máximo. Inversión local de funciones holomorfas. Teorema de la apli-cación abierta. Teoremas del módulo máximo. Lema de Schwarz.

b) Transformaciones conformes. Transformaciones conformes. Transformaciones de Möbius.Estudio de algunas transformaciones conformes particulares.

c) Familias normales, teorema de Riemann. Topología en el espacio de las funciones holomor-fas. Familias normales. Teoremas de Montel y de Vitali. Teorema de Riemann. Aplicaciones.

3. Funciones armónicas

a) Funciones armónicas y problema de Dirichlet. Funciones armónicas, problema de Dirichleten el disco. Sucesiones de funciones armónicas, solución general del problema de Dirichlet.

b) Desigualdades de Harnack. Fórmula de Jensen.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Análisis Complejo 109

Metodología didácticaLa teoría se desarrollará mediante clases magistrales en pizarra (tres clases semanales). Los alumnos

contarán con los apuntes del curso: se proyectaran los enunciados de los resultados presentados y lasdemostraciones se completarán en la pizarra. Para la parte práctica (una clase semanal) se entregará a losalumnos, a principio de curso una relación de ejercicios y problemas, clasificados por temas, de modo quese puedan resolver aplicando los contenidos desarrollados en el correspondiente tema. Parte de ellos seresolverán en el aula. Parte de los restantes se propondrán para que los alumnos los entreguen resueltos porescrito y en las horas de tutorías se corregirán y supervisarán individualmente las soluciones entregadas.Como herramienta de apoyo para esta asignatura, tanto en clases teóricas como en clases prácticas seusará algún programa apropiado para visualizar en la pantalla del ordenador transformaciones del planocomplejo.


Actividad / Horas Presenciales Personales TotalesPresentación de la asignatura 1 1Lecciones magistrales 42 42 84Resolución de problemas 15 30 45Controles 2 2Preparación Entrega problemas 9 9Consultas tutorías 3 3Exámenes 3 15 18TOTALES 66 96 162Relación Trabajo/ECTS 162/6 = 27


Clases Clases SemanasTema Contenidos Teo Prob (prev.)1a Desarrollos de Mittag-Leffler 6 2 1-21b, 1c Productos Infinitos. Funciones especiales 9 3 3-52a Teorema del Módulo Máximo 3 1 6

Control 12b Transformaciones conformes 6 2 7-82c Familias normales y teorema de Riemann 8 3 9-113a Funciones armónicas y problema de Dirichlet 9 3 12-14

Control 13b Desigualdades de Harnack. Fórmula de Jensen 2 1 15

Criterios básicos de evaluaciónSe realizará un examen final donde las preguntas de carácter teórico se valorarán con cuatro puntos,

y las de carácter práctico (resolución de problemas) con seis puntos. Esta calificación se podrá mejorarhasta en un 25 % de la nota con la entrega de problemas y las notas de controles: habrá tres entregas deproblemas y dos controles; los controles serán aproximadamente a principio-mediados de Noviembre yen el mes de enero a la vuelta de vacaciones.

110 Ecuaciones en Derivadas Parciales Universidad de Murcia


1. L. V. Ahlfors, Complex analysis, third ed., McGraw-Hill Book Co., New York, 1978, An introduc-tion to the theory of analytic functions of one complex variable, International Series in Pure andApplied Mathematics.

2. J. B. Conway, Functions of one complex variable, second ed., Graduate Texts in Mathematics,vol. 11, Springer-Verlag, New York, 1978.

3. A. I. Markushevich, Theory of functions of a complex variable. Vol. II, Revised English editiontranslated and edited by Richard A. Silverman, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1965.

4. W. Rudin, Análisis real y complejo, tercera ed., McGraw-Hill, 1988.

5. D. Feyel and A. de la Pradelle, Ejercicios sobre las funciones analíticas, Paraninfo, Madrid, 1980,Con soluciones. Translated from the French by Emilio Romero Ros.

6. G. Vera; Lecciones de Análisis Complejo ; Apuntes en SUMA ; 2004.

1A8. Ecuaciones en Derivadas Parciales



DespachoFacultad


VíctorJiménez López


0.11Matem.

868884177

[email protected]

M,X,J12:30-14:30

Presentación de la asignaturaEs objetivo de esta asignatura es introducir al alumno, de manera muy elemental, en el análisis de las

ecuaciones en derivadas parciales, campo de conocimiento muy antiguo en la historia de las Matemáticas ygenerador de muchos problemas y teorías actuales. Es una teoría que tiene muy significativas conexionescon el mundo de la Física, conexiones que procuraremos poner de relieve siempre que sea posible, enparticular en lo que se refiere a la génesis e inspiración de muchos problemas en Matemáticas.

Se estudian las ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. Es ésta una teoría de marcadocarácter geométrico que puede ser abordada con cierta profundidad en este curso. Después se trata elproblema de las ecuaciones de segundo orden lineales y de coeficientes variables, que a través de cam-bios de variable pueden reformularse en expresiones más sencillas (las llamadas formas normales). Enocasiones estas ecuaciones pueden atacarse (en lo concerniente al problema de Cauchy) usando desar-rollos en serie de potencias. Se abordan por separado los tres grandes grupos de ecuaciones de este tipo:elípticas, parabólicas e hiperbólicas, a través de tres ejemplos paradigmáticos provenientes de la FísicaMatemática: la ecuación de Laplace, la ecuación del calor y la ecuación de ondas. Se hace particular énfa-sis en los problemas de contorno para los tres tipos de ecuaciones pues son los más interesantes desde elpunto de vista práctico y se dispone para su resolución de herramientas muy útiles, entre las que destacapor encima de todas el método de separación de las variables. Este método requiere manejar con solturalas series de Fourier y (en menor medida) la transformada de Fourier, por lo que serán estudiadas concierto detenimiento.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Ecuaciones en Derivadas Parciales 111

Objetivos

Estudiar la física de algunos fenómenos que conducen a ecuaciones en derivadas parciales y de-ducirlas.

Conocer qué cantidad de soluciones cabe esperar de una ecuación dada y qué condiciones garanti-zan la unicidad de soluciones.

Conocer el método de las características para las ecuaciones de primer orden y dominar las técnicasde resolución de dichas ecuaciones, tanto en lo concerniente a la solución general como para elproblema de Cauchy.

Conocer los cambios de variable necesarios para reducir una ecuación lineal de segundo orden concoeficientes variables a su forma normal y poder clasificar tales ecuaciones, resolviéndolas cuandosea posible usando desarrollos en serie de potencias.

Conocer en profundidad las propiedades básicas de las series de Fourier y la transformada de Fou-rier y su utilidad para resolver problemas de contorno.

Conocer en profundidad los métodos de separación de variables que conducen a soluciones dadaspor series en problemas de contorno. Resolver con detalle los problemas de la cuerda vibrante, elde la transmisión del calor a través de una varilla y el de determinar la temperatura estacionaria enuna lámina.

Saber comprobar que las series formales obtenidas son verdaderas soluciones de las correspondien-tes ecuaciones.


− Haber cursado las asignaturas de Análisis Matemático I y II.

− Haber cursado la asignatura de Ecuaciones Diferenciales.

− Conocer algunas nociones básicas de Análisis Complejo.


Concebir la materia que se explica, no como una serie de recetas aisladas aplicables a cada clase deecuaciones, sino como un conjunto coherente de ideas.

Saber deducir las ecuaciones del transporte, de ondas, de Laplace y del calor.

Obtener de forma explícita, cuando sea posible, las soluciones de las ecuaciones que se manejan enel curso.

Entender la fundamentación geométrica de las ecuaciones en derivadas parciales de primer orden.

Reconocer cuando un problema geométrico puede traducirse a una ecuación de primer orden.

Manejar con soltura los cambios a las formas normales.

Manejar con soltura las series de potencias en dos variables para poder resolver, en casos sencillos,problemas de Cauchy para ecuaciones de segundo orden.

Manejar con soltura las series de Fourier y la transformada de Fourier.

Entender y aplicar con soltura el método de separación de las variables para algunos problemas decontorno.

Comprender y saber distinguir cuando un problema (ecuación, más condiciones iniciales, máscondiciones de contorno) está bien planteado y cuando está impropiamente planteado.

112 Ecuaciones en Derivadas Parciales Universidad de Murcia


1. Introducción a las ecuaciones en derivadas parcialesDefiniciones básicas. Definiciones de ecuación en derivadas parciales y sus soluciones. Orden deuna ecuación. Ecuaciones lineales y quasi-lineales.

Información general acerca de la variedad de soluciones. Solución general de una ecuación. Prob-lemas de Cauchy y problemas de contorno. Cambio de variable. Ejemplos ilustrativos. Problemasbien planteados.

2. Ecuaciones en derivadas parciales de primer ordenPrimeros ejemplos. La ecuación del transporte. Problemas geométricos que conducen a ecuacionesde primer orden.

Ecuaciones cuasilineales de primer orden de funciones de dos variables. Planteamiento del proble-ma. Significado geométrico de las ecuaciones cuasilineales de primer orden. Curvas características,la curva dato y la condición de transversalidad. El problema de Cauchy: existencia y unicidad.Métodos de resolución.

3. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales de segundo ordenReducción a la forma canónica. Ecuaciones elípticas, parabólicas e hipérbolicas. Clasificación delas ecuaciones lineales de segundo orden. Reducción a la forma canónica en el caso de dos variables.

Resolución de ecuaciones de segundo orden mediante desarrollos en serie. El problema de Cauchy.Funciones analíticas reales. El teorema de Cauchy-Kowalevsky. Búsqueda de soluciones mediantedesarrollos en serie.

4. El método de separación de variables: una introducción a los problemas de contornoLos modelos de la cuerda vibrante y la transmisión del calor. La ecuación de la cuerda vibrante. Laecuación del calor. La ecuación del estado estacionario o de Laplace.

Introducción a las series de Fourier trigonométricas. Coeficientes y series de Fourier trigonométri-cos. Algunas propiedades de los coeficientes de Fourier. Convergencia absoluta y uniforme de lasseries de Fourier y sus derivadas. La clase D y la convergencia puntual. La identidad de Parseval.Series de Fourier coseno y seno.

Introducción a la transformada de Fourier. La clase DR. la fórmula integral de Fourier. La trans-formada de Fourier. La transformada inversa de Fourier. Transformadas coseno y seno de Fourier.Convolución e identidad de Parseval.

El método de separación de variables para las ecuaciones lineales de segundo orden en dos vari-ables. La separación de variables. Ejemplos ilustrativos.

Una ecuación hiperbólica: la cuerda vibrante con posición y velocidad inicial arbitrarias. Con-strucción formal de la solución. Verificación y reversibilidad de la solución. Unicidad y continuidadde la solución con respecto a los datos.

Una ecuación parabólica: la transmisión del calor en una varilla. Formulación del problema. Con-strucción formal de la solución. Verificación y irreversibilidad de la solución. El principio del máx-imo para la ecuación del calor. Unicidad y continuidad de la solución con respecto a los datos.

Una ecuación elíptica: la temperatura en el estado estacionario en una lámina circular. Formu-lación del problema. Cambio a coordenadas polares. Construcción formal de la solución. Verifi-cación de la solución. El principio del máximo para la ecuación de Laplace. Unicidad y continuidadde la solución con respecto a los datos.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Ecuaciones en Derivadas Parciales 113


La metodología combinará la clase magistral con la resolución individual y con carácter voluntariode ejercicios propuestos con la suficiente antelación. En general, serán mejor calificados los ejerciciosresueltos correctamente por menos alumnos.


Actividad / Horas Presenciales Personales TotalesPresentación de la asignatura 1 1Lecciones magistrales 40 40Resolución de problemas 15 45Controles 2 2Consultas tutorías 3 3Exámenes 4 20 24TOTALES 65 105 170Relación Trabajo/ECTS 170/6 = 28,3


Clases Clases SemanasTema Contenidos Teo Prob (prev.)1 Introducción a las EDPs 2 1 12 EDPs de primer orden 10 5 2-53 Introducción a las EDPs de segundo orden 10 3 6-94 El método de separación de variables 20 6 9-15


La calificación de la asignatura en la convocatoria de julio se calculará a partir de un una pruebapreliminar que se realizará a mediados del cuatrimestre (con materia de los dos primeros capítulos delcurso) y del examen final, obteniéndose una calificación máxima de 10. La prueba preliminar tendráun peso del 30 % en la calificación final. El examen final constará de dos partes, con pesos respectivosdel 30 % y 70 % en la calificación final. La primera parte cubrirá los mismos contenidos que la pruebapreliminar; si el alumno la responde se ignorará la calificación de la prueba preliminar; si no la respondese utilizará para su calificación la de la prueba preliminar. La segunda parte del examen final tambiénincluirá preguntas de los dos primeros capítulos.

A la anterior calificación podrá sumarse un máximo de 2 puntos por los trabajos voluntarios presen-tados. Se considerará como aprobado al alumno que consiga cinco o más puntos como suma final y almenos 1 punto en el total de la parte de ejercicios de los exámenes.

En el resto de las convocatorias la asignatura se evaluará a partir de un único examen global, en el quedeberá obtenerse para aprobar una calificación igual o superior a cinco, de la que 1 punto al menos debecorresponder a la parte de ejercicios.

Todos los exámenes contendrán un 50 % de preguntas de teoría y un 50 % de ejercicios.

114 Geometría y Topología Universidad de Murcia


1. BROMAN, A., Introduction to Partial Differential Equations. From Fourier Series to Boundary-value problems, Dover, Nueva York, 1989.

2. CALUS, I. M, FAIRLEY, J. A., Series de Fourier y Ecuaciones en Derivadas Parciales, Paraninfo,Madrid, 1973.

3. PERAL ALONSO, I., Primer Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales, Addison-Wesley / Uni-versidad Autónoma de Madrid, Wilmington, 1995.


1. COLTON, D., Partial Differential Equations. An Introduction, Random House, Nueva York, 1988.2. HANNA, J. R., Fourier Series and Integrals of Boundary Value Problems, Wiley-Interscience, 1982.3. JOHN, F., Partial Differential Equations. 4a edición, Springer-Verlag, Nueva York, 1982.4. LOGAN, J. D., Applied Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Nueva York, 1998.5. LÓPEZ, G., Partial Differential Equations of First Order and Their Applications to Physics, World

Scientific, Singapur, 1999.6. MYINT-U, T. Partial Differential Equations of Mathematical Physics. 2a edición, North-Holland,

Nueva York, 1989.7. TOLSTOV, G.P., Fourier Series, Dover, Nueva York, 1976.8. WEINBERGER, H., Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales con Métodos de Variable Com-

pleja y de Transformaciones Integrales, Reverté, Barcelona, 1970.

1A9. Geometría y Topología



DespachoFacultad


PascualLucas Saorín


0.08Matem.

868884173

[email protected]

L,X,V 12-14


Presentación de la asignaturaEsta asignatura está dedicada a iniciarse en el estudio de las variedades diferenciables, como genera-

lización natural del concepto de superficie, que ya debe conocer el estudiante tras el estudio en tercercurso de la asignatura Geometría Diferencial. Cuando trabajamos con superficies de R3, o en general consubvariedades del espacio euclídeo Rn, estamos disfrutando de la ventaja de la simplicidad conceptual; engeneral, estamos más cómodos tratando con subespacios de Rn que con espacios métricos o topológicosarbitrarios. Sin embargo, esta aproximación a las variedades diferenciables tiene la desventaja de queimportantes ideas están algunas veces ocultas por el familiar ambiente de Rn. Por esta razón, y tras habermotivado las variedades diferenciables con las superficies k-dimensionales de Rn, nos introduciremos en

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Geometría y Topología 115

el estudio general de este concepto. La idea fundamental consiste en eliminar la dependencia del espacioeuclídeo ambiente.

El aspecto global de la Geometría Diferencial tiene su origen en el mismo punto de partida de laTopología Algebraica con H. Poincaré (1854–1912), y su desarrollo inicial está estrechamente ligado ala figura de E. Cartan (1869–1951), quien al poner en escena la teoría general de conexiones (método dela referencia móvil) coloca el carácter global de la Geometría Diferencial en su punto álgido, restandoal aspecto local el protagonismo propio de la época, y estableciendo las diferencias de ambos aspectos,global y local, que aún admitiendo estudios por separado, de las interrelaciones entre ambos se extrae lagran riqueza de resultados propios de la Geometría Diferencial.

Fue este interés por el estudio de las propiedades globales sobre una variedad lo que obligó a puntuali-zar adecuadamente las definiciones básicas. El primer intento serio fue el libro de O. Veblen (1880–1960)y J.H.C. Whitehead (1904–1960) Foundations of Differential Geometry (1932), cuya idea esencial era lade definir rigurosamente las relaciones entre la variedad y los sistemas de coordenadas que se introducenen ella para su estudio, haciendo una clara distinción entre ambos conceptos. Se formula por primeravez de manera explícita que las variedades que estudia la Geometría Diferencial son un conjunto de doselementos: primero, la variedad como conjunto de puntos, para cuya definición y tratamiento la Topologíasuministra los útiles y los medios necesarios; y segundo, un cierto conjunto de “sistemas de coordenadasadmisibles” que permiten el estudio “diferencial” de la variedad y entre los cuales deberán existir ciertasfórmulas de transformación, o ciertas relaciones de equivalencia, que los vinculen entre sí y permitanpasar de unos sistemas a otros.

Esta idea se fue puliendo y simplificando hasta llegar a la definición actual de variedad diferenciable, lacual es el resultado de sucesivos perfeccionamientos debidos principalmente a H. Whitney (Differentiablemanifolds, Ann. of Math., 37 (1936), 645–480), C. Chevalley (Theory of Lie groups, Princeton, 1946),S.S. Chern (Topics in differential geometry, Princeton, 1951) y G. De Rham (Variétés différentiables,Hermann, Paris, 1955). A partir de mediados de los años 50 la definición de variedad diferenciable es yausual en todos los textos de Geometría Diferencial.


− Geometría y topología de curvas y superficies en R3.− Conocimientos básicos de topología general, en especial sobre conexión, compacidad y continuidad.− Conocimientos básicos de álgebra lineal y de cálculo diferencial e integral en varias variables.


Utilizar los conceptos básicos asociados a la noción de variedad diferenciable.Conocer y manejar los conceptos de subvariedades e immersiones.Conocer y manipular los campos de vectores sobre una variedad.Saber integrar campos de vectores y manejar grupos uniparamétricos.Conocer y utilizar con soltura las uno-formas.Conocer y desenvolverse con soltura en tensores y campos de tensores.Utilizar y manejar las derivaciones tensoriales.Conocer y manipular con soltura las formas diferenciales, la diferencial exterior y el producto inte-rior.Conocer y utilizar las variedades diferenciables con borde.Saber integrar formas diferenciables en variedades.Conocer y utilizar el teorema de Stokes.



Capítulo I: Variedades diferenciables y subvariedades.Atlas diferenciable sobre una variedad topológica. Estructura diferenciable. Definición de variedaddiferenciable. Ejemplos. Funciones diferenciables. Vectores en Rn como derivadas direccionales.Definición de vector tangente. Espacio tangente. Covectores y espacio cotangente. Funciones difer-enciables. Definición de aplicación diferenciable. Difeomorfismos y difeomorfismos locales. Var-iedades difeomorfas. La diferencial de una aplicación diferenciable. Matriz jacobiana y rango deuna aplicación diferenciable. La regla de la cadena. El teorema de la función inversa. Curvas y vec-tores velocidad. Subvariedades y subvariedades regulares. Inmersiones, embebimientos y sumer-siones. El teorema de la función implícita. Ejemplos.

Capítulo II: Campos de vectores y campos de tensores.El fibrado tangente. Campos de vectores diferenciables. Expresión en coordenadas y criterios dediferenciabilidad. Campos de vectores a lo largo de una aplicación. Campos tangentes sobre unasubvariedad. Curva integral de un campo de vectores. Existencia y unicidad de curvas integrales.Curva integral maximal. Campos de vectores completos. El flujo de un campo. Grupos uniparamétri-cos de transformaciones. El corchete de Lie y su interpretación geométrica. El fibrado cotangente.Uno-formas diferenciables. Expresión en coordenadas y criterios de diferenciabilidad. La diferen-cial de una función diferenciable. Definición de tensor sobre un espacio vectorial. El producto ten-sorial. Álgebra de tensores. Contracción tensorial. El pullback de un tensor covariante. Propiedades.Definición de campo de tensores sobre una variedad. El producto tensorial. Expresión en coorde-nadas y criterios de diferenciabilidad. Componentes tensoriales.

Capítulo III: Derivaciones tensoriales y formas diferenciales.Definición de derivación tensorial. Interpretación como derivación sobre el álgebra de los campos detensores diferenciables. El producto conmutador o corchete de dos derivaciones tensoriales. El álge-bra de Lie de las derivaciones tensoriales. Carácter local de las derivaciones. La regla del producto.Construcción de derivaciones tensoriales. La derivada de Lie. Tensores simétricos y antisimétricossobre un espacio vectorial. Formas. Los operadores simetrización y antisimetrización. Producto ex-terior de formas. El álgebra exterior o álgebra de Grassmann sobre un espacio vectorial. Camposde tensores simétricos y antisimétricos. Formas sobre una variedad. El producto exterior de formasdiferenciales. El álgebra exterior sobre una variedad. Homomorfismo inducido por una aplicacióndiferenciable. La diferencial exterior de una variedad: existencia y unicidad local, globalización.Derivaciones y antiderivaciones sobre el álgebra exterior de una variedad. La diferencial exterior yel pullback. El producto interno. La derivada de Lie de formas diferenciales. Formas diferencialescerradas y exactas. Integral de línea de una uno-forma. Uno-formas exactas e integrales de líneaindependientes del camino. El lema de Poincaré.

Capítulo IV: Integración en variedades.Orientación en espacios vectoriales. Orientación en variedades. Variedades orientables. Criterios deorientabilidad. Ejemplos. Difeomorfismos que conservan o invierten la orientación. Elementos devolumen y orientación. Cartas y atlas en sentido generalizado. Estructuras diferenciables en sentidogeneralizado. Variedades diferenciables con borde. El borde y el interior. El espacio tangente en unpunto del borde. Vectores tangentes entrantes y salientes. Orientabilidad de variedades con borde yorientación inducida sobre el borde. Fórmula del cambio de variables para la integral de Riemannen Rn. La integral de una n-forma continua de soporte compacto sobre una variedad orientada. Elteorema de Stokes para variedades orientadas. Aplicaciones: el teorema de Green en el plano y elteorema de Cauchy. El teorema de la divergencia. Aplicaciones a la cohomología de de Rham.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Geometría y Topología 117


La metodología empleada en la asignatura combinará convenientemente las actividades que se des-criben a continuación:

Clases teóricas: Son sesiones donde el profesor expondrá (bien en pizarra, bien con transparencias ocon cañón de vídeo) los contenidos teóricos de la asignatura, que complementará con ejemplos,ejercicios y aplicaciones que faciliten al estudiante el aprendizaje de la materia. Los estudiantesdispondrán de material escrito y bibliográfico donde se incluyen los contenidos teóricos, con de-mostraciones de los resultados expuestos (o indicaciones de las mismas), y numerosos ejerciciospropuestos. El estudio previo de dicho material permitirá que el estudiante pueda seguir de formaadecuada y cómoda el desarrollo de la clase.

Clases de ejercicios: El estudiante deberá resolver por su cuenta, al finalizar cada capítulo, una lista deproblemas, algunos de los cuales serán expuestos posteriormente, por los propios estudiantes, en elaula. Además, periódicamente el profesor propondrá uno o varios problemas que el alumno deberáentregar por escrito, en un plazo fijado, para su corrección y evaluación.

Pruebas de control: Se realizarán cuatro controles escritos con una duración de 1 hora. Dichos controles,que se realizarán en horario de clase, no deberían requerir ninguna preparación extraordinaria porparte del estudiante que realice habitualmente las tareas propias de la asignatura. Se realizará unaprueba de control a la finalización de cada capítulo.

Examen final: Además de las pruebas de control anteriores, se realizará un examen final en la fechaestablecida por la Junta de Facultad. Aquellos alumnos que no superen la asignatura en la con-vocatoria de junio, tendrán una nueva oportunidad en la convocatoria de septiembre, en la fechaoficialmente aprobada.


Respecto de las actividades no presenciales, no es fácil determinar el esfuerzo que le supondrá al es-tudiante. Ni todas las actividades presenciales requieren el mismo trabajo personal para ser asimiladas, nitodos los estudiantes necesitan realizar el mismo esfuerzo. No obstante, se estima que cada crédito ECTSpuede suponer unas 30 horas de trabajo por parte del estudiante, contabilizando tanto las actividades pre-senciales como las no presenciales. Teniendo en cuenta lo anterior, el esfuerzo global de la asignaturapuede cifrarse en unas 270 horas de trabajo, de las cuales alrededor de 180 deben dedicarse a las ac-tividades no presenciales o de trabajo personal del alumno. La siguiente distribución es una estimaciónaproximada, que debe ser adaptada a cada estudiante concreto:

Actividad / Horas Presenciales Personales TotalesLecciones magistrales 60 120 180Resolución de ejercicios 12 20 32Trabajos individuales 4 16 20Consultas en tutoría 6 0 6Controles 4 8 12Examen final 4 16 20TOTALES 90 180 270Relación Trabajo/ECTS 270/9 = 30


Temporalización o cronogramaEn la siguiente tabla no se incluyen las horas presenciales de consultas en tutoría (6h.), controles (4h.)

y examen final (4h.).

Capítulo Título Horas1 Variedades diferenciables y subvariedades 242 Campos de vectores y campos de tensores 203 Derivaciones tensoriales y formas diferenciales 164 Integración en variedades 16

Criterios básicos de evaluaciónLa evaluación de la asignatura, en la convocatoria de junio, se basará tanto en la evaluación continua

(EC) como en el examen final de la asignatura (EF):

La evaluación continua, que supondrá el 30 % de la nota final, se calificará de 0 a 10 puntos. Estaráconstituida por los ejercicios y trabajos individuales que se hayan ido entregando periódicamente alprofesor (EJ, 50 %) y por las 4 pruebas de control (PC, 50 %).

El examen final, que supondrá el 70 % de la nota final, se calificará de 0 a 10 puntos. Constará deteoría (30 %) y problemas (70 %).

La nota final (NF) de la asignatura se obtiene como sigue:

NF = 0, 3 ∗ EC + 0, 7 ∗ EF, donde EC = 0, 5 ∗ EJ + 0, 5 ∗ PC.

La evaluación de la asignatura, en la convocatoria de septiembre, se basará en el examen final de septiem-bre (ES), aunque tendrá en cuenta también la evaluación continua. La nota final en este caso será:

NF =

0, 3 ∗ EC + 0, 7 ∗ ES, si ES < EC,

ES, si ES ≥ EC.

Para aprobar la asignatura es necesario obtener al menos 5 puntos y será imprescindible obtener en elexamen final (tanto en junio como en septiembre) al menos 3 puntos.


1. F. Brickell y R. S. Clark (1970): Differentiable Manifolds, An Introduction, Ed. Van NostrandReinhold Co., London.

2. L. Conlon (2001): Differentiable Manifolds, 2nd. edition, Birkhäuser, Basel.

3. J. M. Gamboa y J. M. Ruiz (2006): Iniciación al estudio de las variedades diferenciables, 2a ed.,Ed. Sanz y Torres, Madrid, ISBN 84-96094-77-4.

4. J. Lafontaine (1996): Introduction aux variétés différentielles, Ed. Presses Universitaires, Grenoble,ISBN 2-7061-0654-9.

5. P. Lucas (1999): Variedades diferenciables y topología, Ed. Diego Marín, Murcia, ISBN 84-8425-242-6.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Cálculo Numérico 119

2A0. Cálculo Numérico



DespachoFacultad


AntonioLinero Bas


1.11Matem.

868883583

[email protected]

L,J 10-13

Presentación de la asignaturaLa asignatura consta de dos bloques diferenciados. El primero de estos bloques está dedicado a presen-

tar las principales fórmulas de cuadratura numérica, con un análisis detallado del error cometido en cadauna de ellas. El otro bloque está dedicado a la obtención de soluciones aproximadas de las ecuacionesdiferenciales ordinarias, así como un detallado estudio de las estimaciones del error que se produce encada uno de los métodos de aproximación. Adicionalmente, empezaremos la asignatura con un tema pre-liminar sobre errores y sobre aritmética de la computadora, puesto que ambos aspectos pueden influir demanera importante en los cálculos anteriormente citados. Así, revisaremos los conceptos de error absolu-to, error relativo, y cómo los errores se van propagando en una máquina. Se trata de conocer los posiblesinconvenientes que nos podemos encontrar en la implementación en el ordenador de un algoritmo deaproximación.

Objetivos

Conocimiento del funcionamiento de la aritmética interna del ordenador.

Manejar el lenguaje matemático con completa soltura y seguridad.

Capacidad de implementar los algoritmos estudiados usando un lenguaje de programación moder-no. En concreto, JAVA.

El alumno debe desarrollar la capacidad de abordar por sí mismo la bibliografía y documentaciónmatemáticas, infundiéndole un sentido crítico que le permita evaluar y seleccionar el material didác-tico idóneo.

Inculcar la idea de que, en general, las Matemáticas son una ciencia abierta y en continuo desar-rollo, y que, en particular, en Cálculo Numérico está experimentado un enorme desarrollo comoconsecuencia de los enormes avances que se producen en la tecnología informática.


− El alumno deberá manejar con soltura los temas dedicados a integración y a derivación de los cursosde Análisis I (0A2) y Análisis II (0A6).

− Recordar el tema de errores y de aritmética del ordenador desarrollado en la asignatura de MétodosNuméricos (0A7) del segundo curso de la carrera.

− Conocer los elementos básicos del curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (1A1) (TercerCurso), tanto de métodos de resolución de ecuaciones diferenciales como de la teoría de existenciay unicidad de soluciones.

− De forma accidental aparecerán en la asignatura ciertos resultados básicos de Análisis Funcional(1A6), que dejaremos al cuidado del alumno, ya que esta asignatura (troncal) se desarrolla en elprimer cuatrimestre del Cuarto curso, lo que facilita la labor del alumno.

120 Cálculo Numérico Universidad de Murcia

− Sería conveniente que el alumno estuviera familiarizado con la resolución de ecuaciones linealesen diferencias finitas.

− Conocer los fundamentos del lenguaje de programación JAVA, si bien este último extremo se puedeir subsanando a lo largo del curso.


Seleccionar el método numérico que mejor se ajuste en cada circunstancia al problema planteado.Control de los errores asociados a la aritmética del ordenador y de los errores propios del métodonumérico empleado.Elaborar programas en lenguaje JAVA, e implementarlos con éxito, para obtener aproximacionesnuméricas de integrales y de soluciones de ecuaciones diferenciales.Preparar exposiciones relativas a alguno de los temas complementarios de la asignatura (el poli-nomio pérfido, suma de series divergentes a través del ordenador, propiedades de números deBernouilli, método MIT, barrera de Dahlquist, variantes del método del disparo, ...).


1. ERRORES. ARITMÉTICA DEL ORDENADOR

a) ¿Qué se entiende por Análisis Numérico?b) Representación interna de números realesc) Errores debidos a la realización de cálculos. Pérdida de dígitos significativosd) Cálculos estables e inestables. Condicionamiento de un problemae) Ejercicios de demostraciónf ) Introducción al lenguaje de programación

Temporalización: 5HTe.

2. INTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

a) Introducción.b) Métodos de integración numérica. Interpolación polinómica. Polinomios de Lagrange. Su-

mas de Riemann. Fórmula del punto medio. Fórmula de los trapecios. Fórmula de Simp-son. Fórmulas de Newton-Côtes. Convergencia: Teorema de Pölya. Caso general: Nudos noequidistantes.

c) Representación de Peano para el error de la integración numérica. Caso general. Erroren las reglas compuestas de integración numérica.

d) Métodos de integración numérica de Gauss. Interpolación de Hermite. Introducción a losmétodos de Gauss. Teorema de existencia y unicidad para las fórmulas de Gauss. Ejemplos defórmulas de integración de Gauss. Error y convergencia en los métodos de Gauss. Cuadraturasde Gauss modificadas.

e) Fórmula del error de Euler-Maclaurin. Números de Bernouilli. Polinomios de Bernouilli.Fórmula de Euler-Maclaurin.

f ) Métodos de extrapolación al límite. Extrapolación polinomial de Richardson. Método deRomberg. Un ejemplo de diferenciación numérica.

g) Cuadratura adaptativa. Singularidades. Cuadratura adaptativa. Diferentes tratamientos desingularidades: Cambio de variable de integración, cuadraturas gaussianas, ...Temporalización: 20HTe.


3. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

a) Introducción. Generalidades sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. El problema deCauchy.

b) Método de Euler. Construcción. Interpretación geométrica. Error de truncamiento local. Er-ror de truncamiento global o error de discretización. Efecto de los errores de redondeo.

c) Métodos de un paso. Método de Taylor: Construcción del algoritmo; cota del error de dis-cretización; desarrollo asintótico del error; extrapolación de Richardson.

d) Métodos de Runge-Kutta. Expresión general de los métodos de Runge-Kutta. Estabilidady orden de los métodos de Runge-Kutta. El método clásico de Runge-Kutta de orden 4: Con-strucción, cota del error de discretización.

e) Métodos multipaso. Introducción. Métodos multipaso lineales. Construcción de los métodosde Adams-Bashforth y Adams-Moulton. Orden y constante del error en métodos multipasolineales. Error de truncamiento local y global en un método lineal. Convergencia, consistenciay cero-estabilidad de un método multipaso. Caracterización de la convergencia. Cotas para elerror de truncamiento local y global de un método multipaso lineal.

f ) Métodos predictor-corrector.

g) Problemas de contorno con dos puntos en la frontera. Métodos de disparo. Métodos dediferencias finitas. Métodos variacionales.Temporalización: 25HTe.Los créditos prácticos de que consta la asignatura se desglosan como sigue:

1. Clases Prácticas de Pizarra. Bloque de integración y diferenciación numérica: 5h.

2. Clases Prácticas de Pizarra. Bloque de resolución numérica de E.D.O.: 5h.

3. Prácticas con ordenador: 30 h.


Las primeras sesiones se dedicarán a familiarizar al alumno con el lenguaje de programación JAVA.

I. Práctica 1: Propagación de errores en sucesiones recurrentes.

II. Práctica 2: Comparación de métodos de diferenciación numérica.

III. Práctica 3: Integración por el método de Newton-Côtes.

IV. Práctica 4: Integración de Romberg.

V. Práctica 5: Cuaratura adaptativa.

VI. Práctica 6: Método de Euler.

VII. Práctica 7: Métodos de Runge–Kutta y Runge–Kutta–Fehlberg.

VIII. Práctica 8: Método predictor–corrector.

Metodología didácticaLa metodología consistirá en un par de clases teóricas semanales, y otra hora destinada a práctica con

el ordenador. Este plan se podrá modificar para reforzar la parte práctica o teórica, según la marcha delcurso, de acuerdo a las necesidades de aprendizaje del alumnado.

122 Cálculo Numérico Universidad de Murcia


La siguiente tabla estima el tiempo que, para cada actividad y por término medio, necesita un alumnopara superar la asignatura:

Actividad / Horas Presenciales Personales TotalesPresentación de la asignatura 1 1Lecciones magistrales 48 48 96Resolución de problemas 8 24 32Prácticas ordenador 30 60 90Consultas tutorías 4 4Trabajos individuales 20 20Exámenes 4 18 22TOTALES 95 170 265Relación Trabajo/ECTS 265/9 = 29,4


Clases Clases Clases SemanasBloque Contenidos Teo. Prob. Orden. (prev.)

1 Errores. Aritmética del ordenador 6 1 3 1-32 Integración y diferenciación numérica 20 4 13 4-183 Resolución numérica de E.D.O. 14 3 14 19-30


Habrá un par de exámenes parciales, uno al final de cada cuatrimestre, dedicados solamente a eliminarla parte de la teoría y los problemas. Se realizará un examen final de teoría y problemas, y un examen finalde prácticas.

También se valorará la resolución de problemas en la pizarra y la entrega de prácticas con el orde-nador.


1. AUBANELL, A.; BENSENY, A.; DELSHAMS, A., Útiles básicos de Cálculo Numérico, Ed.Labor Universitaria, 1993.

2. HÄMMERLIN, G. y HOFFMANN, K.-H., Numerical Mathematics, Undergraduate Texts in Math-ematics, Reading in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1991.

3. HENRICI, P., Elementos de Análisis Numérico, Ed. Trillas, Mexico, 1980.

4. KINCAID, D. y CHENEY, W., Análisis Numérico. Las matemáticas del cálculo científico, Addison-Wesley Iberoamericana, 1994.

5. STOER, J. y BULIRSCH, R., Introduction to Numerical Analysis. 2a edición, Springer-Verlag,1991.



1. ATKINSON, K. E., An introduction to numerical analysis, John Wiley and Sons, 1978.

2. BURDEN, R.L. y FAIRES, J.D., Análisis Numérico. 6a edición, International Thomson Editores,1998.

3. COLLATZ, L., The numerical treatment of differential equations. 3a edición, Springer-Verlag,1959.

4. CROUZEIX, M. y MIGNOT, A. L., Analyse numérique des équations différentielles. 2a edición,Ed. Masson, 1989.

5. DAVIS, S. R., Learn Java Now, Microsoft Press, 1996.

6. GARCÍA BERMEJO, J. R., Java 2. Guía en 10 minutos (... o menos), Prentice-Hall, Madrid, 1999.

7. INCE, E. L., Ordinary Differential Equations, Longman, Londres, 1926, Reimpresión en DoverPublications, Inc., 1956.

8. ISAACSON E. y KELLER, H. B., Analysis of Numerical Methods, John Wiley, New York, 1966.

9. KELLER, H. B., Numerical methods for two-point boundary-value problems, London, Blaisdell,1968.

10. LAMBERT, J. D., Numerical methods for ordinary differential systems. The initial value problem,John Wiley and Sons, 1991.

11. NIKOLSKI, S., Fórmulas de cuadratura, Editorial Mir, Moscú, 1990.

12. RITCHEY, T., Java!, New Riders Publishing, 1995.


Lenguaje de programación JAVA, SUN Inc. (de libre distribución sin fines comerciales)

Un entorno de trabajo que permita editar y compilar programas de JAVA. Como NetBeans o Eclipse,ambos de libre distribución sin fines comerciales)

124 Optimización Lineal Universidad de Murcia

13. Asignaturas optativas abiertas a primer y segundo ciclo

2A1. Optimización Lineal

Código Tipo Curso Créditos Duración Idioma2A1 Optativa 1o-2o Ciclo 6 Cuatrim. (1o) Español


DespachoFacultad


BlasPelegrín Pelegrín


2.11Matem.

868883635

[email protected]

MXJ 11-12V 9-12

JoséFernández Hernández


S.04Matem.

868884186

[email protected]

LM 10-12JV 18-19

Presentación de la asignaturaLa asignatura está organizada en clases teóricas y prácticas y cubre los temas relacionados con el

estudio de los problemas de Optimización Lineal (optimizar una función lineal sujeta al cumplimiento deuna serie de restricciones también lineales), de gran utilidad práctica y fundamentales en el estudio deotras técnicas más avanzadas de Investigación Operativa.

Las clases prácticas consistirán en la resolución de los ejercicios correspondientes a las clases teóricas,una parte de los cuales serán resueltos por el profesor y el resto quedarán propuestos para ser resueltospor el alumno. Dichas clases incluyen también el uso del ordenador para la resolución de problemas quecon tal fin se entregarán al alumno. Se pretende que el alumno adquiera los conocimientos fundamentales,tanto a nivel teórico como práctico, en dicha materia.

Objetivos

Desarrollar aptitudes de modelización de problemas lineales continuos y en números enteros.Conocer y saber aplicar los algoritmos básicos para su resolución.Formular y resolver algunos problemas particulares en números enteros.

Conocimientos previos necesariosSe requiere conocimientos previos de álgebra matricial y análisis matemático básico.


Formulación de problemas reales como problemas de Programación Matemática. lineal.Conocer los métodos básicos de optimización lineal.Saber utilizar software científico para resolver los problemas.


1. Introducción y preliminares.

a) Evolución histórica y naturaleza de la Investigación Operativa.b) Problemas que estudia la Investigación Operativa.c) Conjuntos convexos.d) Teoremas de alternativa.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Optimización Lineal 125

2. El Modelo de la Optimización Lineal.

a) Modelos de Programación Lineal.b) Representación de conjuntos poliédricos.c) Algoritmo del Simplex.d) Obtención de soluciones iniciales.e) Variantes del algoritmo Símplex.

3. Dualidad en Programación Lineal.

a) Formulación del problema dual.b) Teoremas de dualidad.c) Algoritmos basados en dualidad.d) Post-Optimización: Análisis de la sensibilidad y paramétrico.

4. Introducción a la Programación Entera.

a) El modelo de la P.L.E. Unimodularidad.b) El problema del transporte.

Metodología didácticaLa parte teórica se desarrollará mediante clases en pizarra.La parte práctica estará dividida en dos puntos, por un lado la resolución en clase de problemas

propuestos sobre los contenidos estudiados, y por otro lado la realización de prácticas de ordenador en lamicroaula que permitan resolver problemas de mayor tamaño.

Criterios básicos de evaluaciónLos criterios que se utilizarán para evaluar a los alumnos en esta asignatura son: examen de teoría

hasta 5 puntos, examen de problemas hasta 4 puntos, prácticas de ordenador hasta 1 puntos.Para aprobar la asignatura se requiere un total de 5 puntos, siendo necesario obtener al menos el 40 %

de la puntuación máxima de teoría y de problemas.


1. Bazaraa M.S., Jarvis J.J. y Sherali H.D.; Programación Lineal y flujo en redes (2a edición)); Limusa; 1998.

2. Goberna, Jornet y Puente; Optimización Lineal ; Mac Graw Hill ; 2004.


1. Hillier F.S. y Lieberman G.J.; Introducción a la Investigación de Operaciones (4a edición en es-pañol); McGraw-Hill ; 1997.

2. Luenberger D.G.; Programación Lineal y No Lineal ; Addison-Wesley ; 1989.3. Pardo L.; Programación Lineal Continua ; Díaz de Santos ; 1987.4. Winston W.L.; Introduction to Mathematical Programming (2nd Ed.); Duxbury ; 1995.5. XPRESS-MP para Windows, User Guide; Dash Associates; Blisworth House Church Lane, Blis-

worth, Northants, NN7 3BX, U.K.; 1994.6. Yi-Long Chang; WinQSB - Decision support software for MS/OM ; Wiley & Sons ; 1998.

126 Introducción a la Teoría de Números Universidad de Murcia

3A1. Introducción a la Teoría de Números



DespachoFacultad


JuanMartínez Hernández


1.04Matem.

868883533

[email protected]

MX 13-14MX 17-19


Presentación de la asignaturaEn esta asignatura se estudian propiedades elementales de los conjuntos numéricos elementales con

especial atención a las propiedades de los números enteros: divisibilidad, números primos, búsqueda desoluciones enteras de ecuaciones, etc.

Objetivos

Recordar las propiedades de divisibilidad en el anillo de los enteros.

Introducir las funciones aritméticas elementales y obtener algunas de sus propiedades.

Recordar el concepto de congruencia, obtener sus propiedades, estudiar y resolver ecuaciones decongruencias sencillas.

Obtener la Ley de Reciprocidad cuadrática y aplicarla al estudio de restos cuadráticos.

Aplicar los conceptos desarrollados a la resolución de determinadas ecuaciones diofánticas sencil-las.

Introducir cuerpos cuadráticos y aplicarlos al estudio de propiedades de los números enteros.

Estudiar propiedades de los cuerpos finitos y aplicarlos al estudio de propiedades de los númerosenteros.

Estudiar la expresión de números como suma de cuadrados.

Adquirir la capacidad de comprender una clase de matemáticas impartida en inglés.

Conocimientos previos necesariosConocimientos básicos de divisibilidad en el anillo de los números enteros y de álgebra básica.


Resolver ecuaciones y sistemas de congruencias (lineales, cuadráticas y polinómicas).

Determinar propiedades de las funciones aritméticas y aplicarlas para obtener propiedades de al-gunos números.

Calcular, en su caso, raíces primitivas e índices y aplicarlos a la resolución de algunas congruencias.

Determinar símbolos de Legendre y Jacobi y aplicarlos al estudio del carácter cuadrático de restos.

Conocer y, en su caso, resolver algunas ecuaciones diofánticas no lineales sencillas.

Aplicar propiedades de cuerpos cuadráticos y finitos al estudio de los números enteros.

Comprender las demostraciones de las leyes de reciprocidad cuadrática y cúbica.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Introducción a la Teoría de Números 127


1. Divisibilidad en el anillo de los números enteros. División entera. Máximo común divisor ymínimo común múltiplo. Ecuaciones diofánticas lineales. Teorema Fundamental de la Aritmética.Algunos teoremas relativos a la distribución de los primos.

2. Funciones aritméticas. Funciones aritméticas. Ejemplos. Números perfectos. El producto de Di-richlet de funciones aritméticas. Fórmula de inversión de Möbius.

3. Congruencias. Aritmética modular. Congruencias lineales. Sistemas de congruencias lineales.Teorema Chino de los Restos. Teoremas de Fermat y Euler. Aplicaciones: Introducción a la crip-tografía. Congruencias polinómicas.

4. La estructura de Z/nZ∗. Unidades. Raíces primitivas e índices. Congruencias módulo una poten-cia de un primo.

5. Restos cuadráticos. Restos cuadráticos. Símbolo de Legendre. La Ley de Reciprocidad Cuadráti-ca. Símbolo de Jacobi.

6. Sumas de cuadrados. La ecuación pitagórica. Números expresables como suma de dos cuadrados.Sumas de cuatro cuadrados. Sumas de tres cuadrados.

7. Sumas cuadráticas de Gauss. Enteros algebraicos. Cuerpos cuadráticos. Sumas cuadráticas deGauss. La ecuación de Pell.

8. Cuerpos finitos. Existencia y unicidad de cuerpos finitos. Aplicación a restos cuadráticos.

9. Restos cúbicos. Caracteres multiplicativos. Sumas de Gauss y de Jacobi. Ley de reciprocidadcúbica.

Metodología didácticaLa parte teórica se desarrollará mediante clases en pizarra.Periódicamente serán distribuidas hojas de problemas y ejercicios de aplicación de los contenidos

teóricos desarrollados, que tendrán que ser resueltos por los alumnos. En las horas de problemas se dis-cutirán las soluciones a los problemas y ejercicios.

Criterios básicos de evaluaciónSe realizarán dos exámenes parciales teóricos de una hora.Cada alumno tendrá que exponer soluciones a varios de los problemas planteados y preparar y explicar

en clase una parte de la asignatura.Antes del examen final se hará pública una lista con los resultados obtenidos durante el curso. Para

calcular este resultado se utilizará el resultado obtenido en los exámenes (40 %), la resolución de proble-mas en el aula (40 %) y la exposión en clase de una parte de la asignatura (20 %). Los alumnos que hayanobtenido una nota global de 5 o más puntos se considerarán aprobados sin necesidad de realizar el examenfinal.


1. D.M. Burton, Elementary number theory, 2nd ed. Wm. C. Brown Publishers, Dubuque, Iowa, 1989.

2. K. Ireland and M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, Springer, 1990.

128 Aproximación a la Historia de las Matemáticas Universidad de Murcia


1. R.B.J.T. Allenby and E.J. Redfern, Introduction to number theory with computing. Edward Arnold,1989.

2. E. Aparicio, Teoría de los Números, Universidad del País Vasco Servicio Editorial, Bilbao, 1993.

3. J. Cilleruelo y A. Cordoba, La teoría de números, Mondadori, 1992.

4. J.R. Goldman, The Queen of Mathematics. A.K. Peters, 1998.

5. G.H.Hardy y E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford at The ClarendonPress London, 1960.

6. R. A. Mollin, Fundamental number theory with applications, CRC Press New York, 1998.

3A2. Aproximación a la Historia de las Matemáticas



DespachoFacultad


Pilardel Pino Arabolaza


2.06Matem.

868883628

[email protected]

LMX 10-12

María ÁngelesHernández Cifre


0.05Matem.

868887661

[email protected]

MJ 11-13J 17-19

MatíasRaja Baño


0.01Matem.

868884166

[email protected]

LXJ 12-14

Juan JacoboSimón Pinero


0.04Matem.

868884169

[email protected]

M 12-14X J 15-17

Presentación de la asignaturaLa asignatura Aproximación a la Historia de las Matemáticas es una materia optativa en el Plan de

Estudios de la Licenciatura en Matemáticas con una extensión de 6 créditos. Se imparte en el segundocuatrimestre y está abierta a primer y segundo ciclo, siendo su horario compatible con el de 3o y con latroncalidad de 4o. Los departamentos encargados de impartir la asignatura son el de Matemáticas y el deEstadística e Investigación Operativa.

Las razones que se pueden aducir para aconsejar, sino justificar, que la Historia de las Matemáticassea un elemento importante dentro de la enseñanza de las Matemáticas son muchas y muy variadas. Porcitar sólo algunas de ellas, permite conocer las cuestiones que dieron lugar a los diversos conceptos, lasintuiciones e ideas de donde surgieron, el origen de los términos, lenguajes y notaciones singulares enque se expresaban, las dificultades que involucraban, los problemas que resolvían, el ámbito en que seaplicaban, los métodos y técnicas que desarrollaban, cómo fraguaban definiciones, teoremas y demostra-ciones, la relación entre ellos para forjar teorías, los fenómenos físicos o sociales que explicaban, el marcoespacial y temporal en que aparecían, cómo fueron evolucionando hasta su estado actual, con qué temasculturales se vinculaban o las necesidades cotidianas que solventaban.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Aproximación a la Historia de las Matemáticas 129

Objetivos

Que el estudiante conozca el pasado matemático para que comprenda el presente matemático, oinvirtiendo los términos, que comprenda el pasado para que conozca el presente.

Poner de manifiesto el proceso dinámico de la actividad científica como desarrollo a veces duro ysinuoso, pero siempre abierto y vivo, en permanente proceso de cambio.

Desentrañar de una forma fascinante la esencia de la Matemática, y no sólo como Ciencia, sinotambién como Arte y como Técnica.

Facilitar la comprensión de la evolución dinámica que han llevado a los conceptos y técnicas queconforman el contenido de la educación matemática actual.

Descubrir la Historia de las Matemáticas como un instrumento esencial para comprender «¿Qué esla Matemática?»

Descubrir que la perspectiva histórica permite dar ua visión panorámica de los problemas matemáti-cos para calibrar con mayor precisión la importancia de los temas, quedando así mejor articuladosdentro del contexto general.

Mostrar a los estudiantes que las Matemáticas no han sido siempre creadas por grandes genios quea partir de unos pocos principios y usando una intuición especial han obtenido los teoremas y susimpecables demostraciones.

Poner de manifiesto la dimensión cultural de las Matemáticas y su notable impacto en la Historiadel Pensamiento.

Mostrar cómo la Historia de las Matemáticas puede jugar un papel primordial en la enseñanza delas Matemáticas, tanto en la educación secundaria como universitaria.

Mostrar los ingentes esfuerzos desplegados por sucesivas generaciones matemáticas en la formaciónde algún concepto nuevo o en la resolución de algún problema importante.

Ilustrar cómo las Matemáticas constituyen una de las grandes manifestaciones del Pensamiento conun desarrollo milenario relacionado estrechamente con los grandes hitos del conocimiento y de lacultura.

Poner de manifiesto que la Historia de las Matemáticas es un punto de convergencia e intimidadentre las Ciencias y las Humanidades.

Ilustrar cómo las Matemáticas tienen vínculos, algunos desde tiempos inmemoriales, con otras dis-ciplinas del Conocimiento, como la Filosofía, la Física, las Artes (Música, Pintura, Arquitectura,etc), la Religión, la Teología y la Mística, la Literatura y la Poesía, etc.

Mostrar que la Historia de las Matemáticas es una fuente inagotable de material didáctico, de ideasy problemas interesantes y también, en un alto grado, de diversión y recreo intelectual.


No se requieren conocimientos específicos de Historia. En cuanto a los prerrequisitos de Matemáticas,es suficiente con los conocimientos que se exponen en un primer curso de una Licenciatura de Ciencias.

130 Aproximación a la Historia de las Matemáticas Universidad de Murcia


Que adquiera los valores científicos y el espíritu crítico. Inducirle a pensar científicamente.Que, como futuro profesional, científico o técnico, desarrolle unas actitudes y unos hábitos meto-dológicos acordes con el método científico.Que descubra la importancia que tiene la Historia de las Matemáticas para mejorar la calidad de latransmisión matemática.Que vean la Historia de las Matemáticas como un campo inagotable de estímulos para mantener suinterés en una autoformación continuada, para perseverar en el estudio de la propia Matemática.


1. El reto de Fermat

a) Aritmética y Álgebra en la Antigüedad y la Edad Media.b) Fermat: el origen del reto. Métodos elementales y los primeros exponentesc) El primer y el segundo casod) La contribución de Sophie Germaine) Kummer y los primos regulares. Números algebraicosf ) Curvas elípticas. Formas modularesg) Esquema de la demostración de Wiles

2. Orígenes del Análisis

a) Cálculo de áreas y volúmenes en la antigüedad. El «método» de Arquímedesb) Los precursores del Cálculo. Problemas de tangentesc) El nacimiento del Cálculo. Newton y Leibnizd) El desarrollo del aparato técnico. Euler y su «Introducción al análisis de los infinitos»e) El siglo XIX y la fundamentación rigurosa del Análisisf ) El siglo XX: teoría de la medida, Análisis funcional y otras tendenciasg) La situación de España. Rey Pastor

3. 2000 años de Geometrías no euclídeas

a) La etapa griega. Introducción: presentación del problema. Euclides y el axioma de las par-alelas. Aristóteles y el problema de las paralelas. Los primeros intentos de probar el axiomade las paralelas. Las «pruebas» de Proclo y Tolomeo.

b) La etapa árabe. Intentos bizantinos de demostración. La teoría de las paralelas de Al-Jawhari. La teoría de las paralelas de Thabit ibn Qurra. Intentos de demostración en el siglo X.La teoría de las paralelas de Ibn Sina. La teoría de las paralelas de Ibn al-Haytham. La teoríade las paralelas de Khayyam.

c) Los siglos XVI y XVII. La teoría de las paralelas de Levi ben Gerson y Alfonso. Intentosde demostración en el siglo XVI. La «demostración» de Cataldi. Las «demostraciones » deBorelli y Vitali Giordano. La teoría de las paralelas de Wallis.

d) Los siglos XVIII y XIX. La teoría de las paralelas de Saccheri. La teoría de las paralelas deLambert. La «demostración» de Bertrand. Las «demostraciones» de Legendre. La teoría delas paralelas de Farkas y Janos Bolyai.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Aproximación a la Historia de las Matemáticas 131

4. Panorámica del desarrollo de la Historia de la Ciencia

a) El surgimiento del pensamiento científico

b) La Ciencia en el mundo islámico y en el Occidente medieval cristiano

c) Desarrollo científico y técnico en el Renacimiento Rasgos del pensamiento científico renacen-tista. Imprenta.

d) Revolución científica La nueva metodología Científica. Sociedades y Revistas científicas.

e) La Ciencia en el siglo XVIII Reconocimiento de la importancia social de la actividad científi-ca. 1a empresa editorial moderna.

f ) Ciencia e industria en el siglo XIX Especialización en las investigaciones científicas. Inser-ción de la Ciencia en el proceso productivo. Planteamientos críticos sobre los fundamentosepistemológicos de la Ciencia.

Metodología didácticaLa parte teórica se desarrollará mediante clases en pizarra y/o con transparencias.La parte práctica consistirá en la elaboración de un trabajo relativo a alguno de los temas propuestos

por los profesores de la asignatura o a cualquier otra cuestión elegida por el propio alumno bajo la autor-ización del correspondiente profesor tutor.

Criterios básicos de evaluaciónEl trabajo práctico tiene carácter obligatorio y una calificación máxima de 4 puntos. A la nota obtenida

en el trabajo se le sumará la obtenida en el examen teórico, que constará de una o varias preguntas de cadauna de las partes.

Cada profesor tendrá un número máximo de alumnos a su cargo para la realización del trabajo, quedependerá del número de alumnos matriculados en la asignatura. La selección de dichos alumnos serealizará por riguroso orden de solicitud.

Para cualquier aclaración o información adicional, consúltese con la profesora coordinadora de laasignatura, Da. Pilar del Pino Arabolaza.


1. E.T. Bell, Historia de las Matemáticas, Limusa, 1992.

2. J.D. Bernal, Historia social de la Ciencia, 2 vols, Barcelona, Península, 1968.

3. C.B. Boyer, The History of the Calculus and its Historical Development, Dover, 1959.

4. C.B. Boyer, Historia de las Matemáticas, Alianza Universidad Textos, Madrid, 1986.

5. Á. del Río, El Reto de Fermat. Nivola, 2005.


1. G. Cardano, Mi vida, Madrid, Alianza editorial, 2001.

2. C. Corrales y C. Andradas, Cuatrocientos años de matemáticas en torno al Último Teorema deFermat, Editorial Complutense, Cursos de verano de El Escorial, Madrid, 1994.

3. W.C. Dampier, Historia de la Ciencia, Madrid, Tecnos, 1972.

4. W. Dunham, Viaje a través de los genios, Madrid, Pirámide, 1993.

132 Medida e Integración Universidad de Murcia

5. A.J. Durán, Historia, con personajes, de los conceptos del cálculo, Alianza Universidad, 1996.6. H.M. Edwards, Fermat’s Last Theorem, Springer-Verlag, 1977.7. C.H. Edwards, The Historical Development of the Calculus, Springer-Verlag, 1979.8. P. Ribemboim, 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem, Springer-Verlag, 1979.9. L.W.H. Hull, Historia y Filosofía de la Ciencia, Barcelona, Ariel, 1984.

10. A. Koyré, Estudios de Historia del pensamiento científico, Madrid, Siglo XXI editores S.A., 1990.11. M. Kline, El Pensamiento Matemático desde la antigüedad a nuestros días, Madrid, Alianza edito-

rial, 1999.12. F. Martin Casalderrey, Las Matemáticas en el Renacimiento italiano, Madrid, Nivola, 2000.13. J. Rey Pastor y J. Babini, Historia de la Matemática, Gedisa, 1985.14. P. Ribemboim, Fermat’s Last Theorem for amateurs, Springer-Verlag, 1997.15. A. Weil, Number Theory. An approach through history, Birkhauser, 1987.

3A3. Medida e Integración



DespachoFacultad


StanimirTroyanski


0.03Matem.

868884168

[email protected]

L,v 12-14M 18-20

Presentación de la asignaturaEsta asignatura corresponde a un curso introductorio a la Teoría de la Medida e Integración, en el que

se hace especial énfasis en la integral de Lebesgue en Rn. La teoría moderna de la medida e integracióntuvo su origen a principios del siglo XX, fundamentalmente, a través de los trabajos de H. Lebesgue. Suintegral evita importantes carencias de la de Riemann y resuelve incongruencias que habían aparecido alestudiar las derivadas e integrales de funciones de variable real, permitiendo demostrar ideas de Fouriersobre aproximación de funciones arbitrarias por senos y cosenos y estableciendo el marco adecuado paraque Kolmogorof pudiese desrrollar posteriormente la moderna teoría de la probabillidad. Hoy en día, lasideas y técnicas de la medida e integral de Lebesgue están bien asentadas, y son numerosas las parcelasde las matemáticas que se benefician de esta teoría: Análisis, Geometría Diferencial, Probabilidades yEstadística, etc. siendo del todo incomprensible que una asignatura como ésta sea considerada optativapara la formación de un Licenciado en Matemáticas.

Objetivos

Adquirir un conocimiento profundo de los conceptos básicos de la Teoría de la Medida e Integraciónasí como de sus teoremas fundamentales.Adquirir experiencia para aplicar la teoría general a situaciones y problemas concretos.Conocer muestras representativas de la conexión de la teoría general con otras materias.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Medida e Integración 133


− De «Análisis Matemático I»(0A2): conocimientos básicos de cálculo diferencial e integral de fun-ciones de una variable real. Conocimientos básicos de la topología de la recta real

− De «Análisis Matemático II»(0A6): los resultados fundamentales del cálculo diferencial de fun-ciones de varias variables reales. La integral de Riemann en Rn.

− De «Topología»(0A1): manipular los conceptos básicos de la topología de espacios métricos.


Utilizar el método de extensión de Carathéodory para construir medidas y en particular la deLebesgue en Rn.

Conocer las propiedades de la medida de Lebesgue en Rn.

Comprender las nociones de medibilidad e integrabilidad Lebesgue.

Relacionar la integrabilidad Riemann y Lebesgue.

Estudiar y utilizar los teoremas de convergencia asociados a la integral de Lebesgue.

Relacionar la integral de Lebesgue con la integral de Riemann-Stieltjes respecto de funciones dedistribución.

Demostrar el teorema de Fubini y aplicarlo a cálculos concretos.

Utilizar el teorema de Fubini para estudiar la convolución de funciones y los teoremas de aproxi-mación de funciones por regularización

Demostrar el teorema del cambio de variable para la integral de Lebesgue.

Utilizar el teorema del cambio de variable para calcular integrales concretas.

Conocer la medida de Hausdorff r dimensional en Rn y sus aplicaciones.

Demostrar el teorema de Radon-Nikodým.

Comprender la noción de esperanza condicional.

Demostrar cómo las funciones monótonas son diferenciables en casi todo punto y sus derivadas sonintegrables.

Establecer el teorema de diferenciación de Lebesgue y el teorema fundamental del cálculo.

Construir los espacios Lp y estudiar sus propiedades.

Calcular el dual del espacio C(K) para K un espacio compacto: teorema de Riesz.

134 Medida e Integración Universidad de Murcia


1. EL MÍNIMO IRREDUCIBLE

a) ESPACIOS DE MEDIDA (10Te, 5HPb)σ-álgebras de conjuntos. Conjuntos de Borel. Espacios de medida. Medidas exteriores yla construcción de Carathéodory. La medida deLebesgue en R. Conjuntos de Borel y con-juntos medibles Lebesgue. La medida de Lebesgue Stieltjes. La medida de Lebesgue enRn.Conjuntos analíticos y conjuntos de Borel.

b) INTEGRACIÓN (10Te, 5HPb)Funciones medibles. Funciones medibles Borel. Integración de funciones simples, de fun-ciones no negativas, de funciones con valores reales. Los teoremas de convergencia: B. Levi óconvergencia monótona, lema de Fatou, teorema de convergencia dominada. Derivación bajoel signo integral. Complementos:subespacios medibles, medidas exteriores asociadas a medi-das, conceptos amplios de integrabilidad, conjuntos no medibles, el conjunto de Cantor y sufunción, la integral de Riemann y la de Riemann-Stieltjes.

2. FUNDAMENTOS

a) EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO (10HTe)Teorema de Vitali en R. Derivación en casi todo punto de funciones monótonas. Diferen-ciación de la integral indefinida.. Teoremas de densidad de Lebesgue. Funciones de variaciónacotada. Funciones absolutamente continuas

b) EL TEOREMA DE RADON-NIKODYM (10HTe)Medidas signadas. Teorema de descomposición de Hahn y Jordan. El teorema de Radon-Nikodym. La esperanza condicional de funciones integrables.

c) ESPACIOS DE FUNCIONES INTEGRABLES (10HTe)Espacios de funciones medibles, estructuras lineal, de orden y multiplicativa. El espacio L1,completitud, estructura reticular y subespacios densos. El espacio L∞ y su dualidad con L1.Los espacios Lp. Convergencia en medidad y en casi todo punto.

d) PRODUCTO DE MEDIDAS (8HTe, 2HPb)Productos finitos de medidas. Medida de Lebesgue en Rr+s como producto de medidas. Teo-rema de Fubini. Convolución de funciones. Regularización y aproximación de funciones porconvolución. Medidas de Radon en Rn. Convolución de medidas.

e) CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRAL (8HTe, 2HPb)Teorema de Vitali en Rn. Teorema de densidad de Lebesgue. Funciones Lipschitzianas yfunciones diferenciables. Transformaciones diferenciables en Rn y fórmula del cambio devariables. Medidas de Hausdorff. Medida r-dimensional en Rn. Medidas de superficie.

f ) INTEGRAL DE DANIELL (10HTe)El teorema de representación de Riesz. Aproximación funcional a la integral de Lebesgue, elmétodo de Daniell.

Metodología didácticaUtilizaremos el aula para promover la discusión con los alumnos sobre los teoremas fundamentales,

sirviéndonos como texto guía las notas del Profesor Dr. Antonio Pallarés que nos podrá ayudar para evitarlas demostarciones demasiado engorrosas, aunque hay que tener en cuenta que es ésta una materia dondelas demostraciones son a veces más importante que el propio teorema que se quiere probar.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Ampliación de Ecuaciones Diferenciales 135

La temporalización de la asignatura cubre hasta 90 horas. Las 30 horas de la primera parte (El mínimoirreducible) se complementarán con otras 30 horas de la segunda parte (Fundamentos) apartados a) d) ye). El resto del programa se llevará a cabo dependiendo de la capacidad de los alumnos con trabajosadicionales fomentando el autoaprendizaje.

Criterios básicos de evaluaciónSe realizará un examen final de la asignatura con un tercio de teoría, un tercio de cuestiones y un tercio

de problemas. Se tendrá en cuenta también la participación en las discusiones de clase y la resoluciónde los problemas planteados a lo largo del cuatrimestre, así como la exposición oral de temas tratadospreviamente por el profesor de la asigatura o los temas propuestos como complementarios.


1. D.L. Cohn; Measure Theory ; Birkhäuser ; 1980.2. A.Pallarés; Teoría de la Medida ; SUMA Campus Virtual UMU ; 1999.


1. J.L. Doob; Measure Theory GTM 143; Springer ; 1994.2. D.H. Fremlin; Measure Theory, vol I and II ; Torres Fremlin England ; 2000-2001.3. J.F.C. Kingman and S.J. Taylor; Introduction to Meausre and Probability ; Cambridge University

Press England ; 1973.4. P.R. Halmos; Measure Theory GTM 18; Springer ; .5. C.A. Rogers; Hausdorff Measures ; Cambridge University Press England ; 1970.

3A4. Ampliación de Ecuaciones Diferenciales



DespachoFacultad


AntonioLinero Bas


1.11Matem.

868883583

[email protected]

L,J 10-13

Presentación de la asignaturaEsta asignatura es la continuación natural del curso dedicado a las Ecuaciones Diferenciales Ordinar-

ias. Ahora abordamos cuestiones cualitativas de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Nos centraremossólo en el estudio de ecuaciones y sistemas diferenciales autónomos. La idea que guía todo el curso esresponder a esta pregunta: ¿Podemos obtener información cualitativa de las soluciones de una ecuacióndiferencial autónoma, aun sin conocer la expresión explícita de dichas soluciones? Para poder respondera esta pregunta es clave la introducción del concepto de sistema dinámico, al cual se ajustan, entre otros,las ecuaciones diferenciales autónomas.

136 Ampliación de Ecuaciones Diferenciales Universidad de Murcia

No existe, al contrario de lo que sucede con el curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, un cuerpode doctrina clásico en lo que respecta a la teoría cualitativa, si bien dentro de estos aspectos estándarespodríamos incluir la teoría cualitativa de los sistemas lineales, el método directo de Lyapunov y el Teoremade Poincaré-Bendixson. Nuestro objetivo es ir desarrollando una teoría de los aspectos cualitativos de lossistemas autónomos de ecuaciones diferenciales (principalmente en el plano) que permitan al final delcurso conocer el comportamiento cualitativo global de ciertos famosos sistemas autónomos, como el delas ecuaciones de Lotka-Volterra, la ecuación del oscilador de van der Pol o la ecuación de Liénard.

Objetivos

Conocimiento de conceptos básicos, sus propiedades elementales, principios y teoremas, etc... Elalumno deberá ser capaz de reconocer las bases científicas e históricas que sirven de motivación alos temas estudiados.

Puesto que la asignatura se encuadra en el cuarto curso de la carrera, creemos que el lenguajematemático ha de ser manejado con completa soltura y seguridad.

Las Ecuaciones Diferenciales constituyen una poderosa herramienta para el tratamiento de prob-lemas planteados por otras disciplinas de las Ciencias. Es importante, desde este punto de vista elconocimiento de las aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales a otras ciencias.

Inculcar la idea de que las Ecuaciones Diferenciales constituyen un campo abierto y en continuodesarrollo.

Promover el autoaprendizaje. Para ello propondremos la redacción de trabajos relacionados con laasignatura, así como exposiciones orales de trabajos en clase. El objetivo final que se pretende lograres doble: Que los alumnos sepan transmitir mensajes correctamente, de forma organizada y coher-ente; e intentar potenciar la capacitación del alumno para la adquisición de nuevos conocimientospor sí mismo.


− Conocimientos estándares de derivación e integrabilidad de los cursos de Análisis I (0A2) y AnálisisII (0A6) (regla de la cadena, teorema de la función inversa, concepto de diferencial, teorema de lafunción implícita, ...).

− Conceptos elementales en espacios métricos (distancia, norma, conjuntos abiertos, cerrados, den-sos, compactos, conexos, espacios de funciones, convergencia puntual y uniforme de funciones,...),que se vieron en los curso de Topología (0A1) (Primer curso) y Ampliación a la Topología (0A9)(Segundo Curso)

− Algunos rudimentos algebraicos vistos en la asignatura de Álgebra Lineal y Geometría Euclídea(0A0) (Primer Curso), relativos a los conceptos de espacio vectorial y base de un espacio vectorial,y a la diagonalización de matrices.

− Obviamente, en este apartado de conocimientos previos, constan los contenidos de la asignaturatroncal de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (1A1). Esto presupone que el alumno ya ha super-ado con éxito el curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.



Reconocer un sistema autónomo de ecuaciones diferenciales y aplicar los conceptos básicos y laspropiedades elementales asociados a tal sistema.

Determinar el comportamiento cualitativo de los sistemas lineales bidimensionales.

Caracterizar y localizar flujos lineales atractores y repulsores para sistemas de ecuaciones linealesde dimensión mayor o igual que tres. Aplicar el criterio de Routh-Hurwitz.

Clasificar topológicamente los sistemas lineales hiperbólicos.

Analizar modelos en los que se pueda aplicar la teoría cualitativa de los sistemas lineales: Porejemplo, la carrera armamentística previa a la Gran Guerra.

Conocer cómo es el comportamiento del flujo de un sistema alrededor de un punto regular.

Aplicar el método de linealización de Lyapunov para averiguar el comportamiento del flujo delsistema alrededor de puntos críticos hiperbólicos.

Aplicar el método directo de Lyapunov para conocer el comportamiento del flujo alrededor depuntos críticos no hiperbólicos. Búsqueda de funciones de Lyapunov.

Aplicar un criterio de estabilidad de órbitas periódicas obtenido a través de la divergencia.

Aplicar la teoría cualitativa local a modelos de ámbitos científicos: péndulo con y sin rozamiento;regulador centrífugo; ...

Localizar puntos críticos, isoclinas horizontales y verticales, e integrales primeras de sistemasautónomos planos.

Localizar mediante métodos indirectos órbitas periódicas de sistemas autónomos planos (Teoremade Poincaré-Bendixson, criterio de Bendixson-Dulac)

Representar diagramas de sistemas autónomos planos

Analizar diagramas de bifurcación de puntos periódicos de familias de funciones continuas delintervalo dependientes de un parámetro.

Clasificar las funciones continuas del intervalo atendiendo a su estructura periódica ó al conceptode caos Li-Yorke.

Analizar la naturaleza de los puntos fijos de funciones derivables del intervalo.

Preparar exposiciones relativas a alguno de los temas complementarios de la asignatura (problemadecimosexto de Hilbert; sistemas de Liénard; Teorema de Sharkovsky; ...).


1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DINÁMICOS CONTINUOS

a) El flujo de un sistema de ecuaciones diferenciales autónomo. Sistemas de ecuacionesautónomos como campos. Soluciones y órbitas. Puntos críticos y regulares. Tipos de órbitas.Espacios y diagramas de fases. Flujos y sistemas dinámicos locales. Conjugación topológicade flujos.

b) Sistemas dinámicos. Definición de sistema dinámico. Sistemas dinámicos continuos y dis-cretos. Órbitas. Puntos estacionarios y órbitas periódicas. Órbitas atractoras. Órbitas establese inestables.Temporalización: 3HTe, 1HPrb.


2. TEORÍA CUALITATIVA DE LOS SISTEMAS DIFERENCIALES LINEALES

a) El caso bidimensional. Caso (a): Valores propios reales y distintos. Caso (b): Valores propioscomplejos conjugados. Caso (c): Valores propios reales e iguales.

b) Conjugación de sistemas lineales y estabilidad. Conjugación de sistemas lineales. Flujosatractores y repulsores. Caracterización de flujos lineales atractores y repulsores. Criterio deRouth-Hurwitz.

c) Clasificación topológica de sistemas lineales hiperbólicos. Sistemas hiperbólicas e índicesde estabilidad. Subespacios estables e inestables. Conjugación topológica de sistemas hiper-bólicos. Complementos: Caracterización de flujos estables e inestables. Subespacio central.Genericidad de los sistemas lineales hiperbó licos.

d) Aplicación a las Teorías Matemáticas de la Guerra: Carrera armamentística previa a laGran Guerra. Descripción del modelo. Naturaleza del sistema bidimensional obtenido.Temporalización: 12HTe, 3HPrb.

3. TEORÍA CUALITATIVA LOCAL

a) Comportamiento asintótico cerca de puntos regulares. Punto regular y punto crítico. Teo-rema del flujo tubular.

b) Comportamiento asintótico cerca de puntos críticos hiperbólicos: método de linealiza-ción de Lyapunov y teorema de Hartman-Grobman. Puntos críticos atractores, establesy asintóticamente estables. Reducción a coordenadas polares. Puntos críticos hiperbólicos.El método de linealización de Lyapunov. Resultados sobre linealización. Teorema de Lineal-ización Global de Hartman. Teorema de Hartman-Grobman. Ejemplos. Complemento: Teore-ma de la Variedad Estable e Inestable, Variedad Central.

c) Comportamiento asintótico cerca de puntos críticos no hiperbólicos: El método directode Lyapunov. Punto crítico no hiperbólico. Funciones definidas positivas y derivadas totales.Estabilidad y estabilidad asintótica por el método directo de Lyapunov. Inestabilidad. Fun-ciones de Lyapunov: Ejemplos y “consejos” de búsqueda de funciones de Lyapunov. Comple-mento: Sistemas gradientes y sistemas hamiltonianos.

d) Comportamiento asintótico cerca de órbitas periódicas planas. Órbitas periódicas. Teore-ma de la curva de Jordan. Órbitas periódicas estables y estables hacia atrás; órbitas periódicasestables por el interior; ejemplos. Secciones locales. La aplicación de Poincaré. Órbitas per-iódicas aisladas y no aisladas: resultados sobre su dinámica. Un criterio de estabilidad de ór-bitas periódicas a través de la divergencia. Complemento: Definición general de la aplicaciónde Poincaré.

e) Aplicación a la Física: Péndulo sin y con rozamiento. Aplicación a la Ingeniería: El reg-ulador centrífugo. Modelo del péndulo con rozamiento. Estudio cualitativo. Modelo delpéndulo sin rozamiento. Estudio cualitativo. Modelo del regulador centrífugo. Estudio cuali-tativo.Temporalización: 15HTe, 5HPrb.

4. TEORÍA CUALITATIVA GLOBAL EN EL PLANO

a) Introducción. Primeros ejemplos. Ejemplos básicos de introducción al tema. Diagrama defases. Enunciado del Teorema de Poincaré-Bendixson.


b) Estudio cualitativo del diagrama de fases: Isoclinas e integrales primeras. Diagramade fases de sistemas autónomos planos. Puntos críticos, órbitas periódicas: localización portanteo. Isoclinas: isoclinas horizontales y verticales. Integrales primeras locales y globales:construcción.

c) Estudio cualitativo del diagrama de fases: Teorema de Poincaré-Bendixson. Criteriode Bendixson-Dulac. Conjuntos ω-límites y α-límites. Propiedades. Teorema de Poincaré-Bendixson. Consecuencias. Criterio de Bendixson-Dulac.

d) Método general para el dibujo de diagramas de fases: Etapas a considerar. Ejemplos.Esquema para el dibujo de diagramas de fases. Ejemplos.

e) Una aplicación a la Ecología: Ecuaciones de Lotka-Volterra. Desarrollo del modelo. Estu-dio del sistema: Análisis cualitativo. Efecto de la pesca en el modelo. Comentarios adicionales.

f ) Otras aplicaciones. Complementos. Sistemas de Liénard. Ecuación de van der Pol. Teoremade Liénard. Otros resultados asociados al sistema de Liénard. El problema decimosexto deHilbert. Generalizaciones de los sistemas de Liénard.Temporalización: 12HTe, 5HPrb.

5. SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS

a) Motivación y definiciones básicas. Sistema dinámico discreto. Iteradas enésimas. Órbitas.Omega-límites. Puntos periódicos. Ejemplo: la familia logística.

b) Estructura periódica. El Teorema de Sharkovsky. El Teorema de Li-Yorke. Orden deSharkovsky. Forzamientos. Segmentos iniciales. Teorema de Sharkovsky. Teorema de Li-Yorke. Extensiones del Teorema de Sharkovsky.

c) Estratificación de las funciones continuas. Caos en el sentido de Li-Yorke. Funcionesde tipo menor, igual o mayor que 2∞. Puntos asintóticamente periódicos. Conjuntos “scram-bled”. Definición de caos en el sentido de Li-Yorke.

d) Introducción a la dinámica de las funciones derivables. Puntos fijos estables, atractores,asintóticamente estables. Puntos fijos hiperbólicos y no hiperbólicos. Condiciones suficientespara la estabilidad de puntos fijos hiperbólicos. Condiciones suficientes para la estabilidad depuntos fijos no hiperbólicos. Derivada schwarziana. Teorema de Singer.Temporalización: 3HTe, 1HPrb.


La metodología combinará la clase magistral (en pizarra, transparencias o con cañón de video) con laparticipación de los alumnos en la resolución de cuestiones, ejercicios y problemas en la pizarra, así comoen el análisis y disección crítica de la teoría vista en las clases magistrales. Como norma general, siempreque sea posible, fijaremos un día de la semana para realizar prácticas (básicamente hojas de problemas-cinco hojas, una por tema- resueltas en la pizarra). Simultáneamente se podrán proponer trabajos indi-viduales de carácter voluntario que serán supervisados en las horas de tutoría. Dichos trabajos versaránprincipalmente sobre complementos de la asignatura o aspectos que sean comentados superficialmente enla parte teórica. Además, cada par de semanas aproximadamente se podrá proponer ejercicios y proble-mas independientes de las hojas de problemas, con el objetivo de que el alumno profundice determinadastécnicas de resolución de problemas y adquiera soltura en el dominio del lenguaje y conceptos propiosdel curso.


Criterios básicos de evaluaciónTendremos en cuenta los siguientes apartados:

a) Al final del cuatrimestre habrá un examen final de la asignatura. Las notas de dicho examen irán de 0 a10. Para superar esta fase, el alumno deberá haber obtenido al menos un 3.

b) Los trabajos propuestos relativos a complementos de la asignatura se valorarán de 0 a 1’5. Paraevaluar dichos trabajos, el alumno podrá entregarlo por escrito o exponerlo de forma oral durante lashoras de tutoría.

c) La entrega de ejercicios semanales y la participación en la resolución de ejercicios en la pizarra sevalorará de 0 a 1.

Con todo esto, la nota final será la suma de todos los apartados comentados anteriormente. Si el alum-no tiene una nota mayor o igual a 5, consideraremos que habrá superado la asignatura. Evidentemente,estamos hablando del desarrollo de una asignatura cuatrimestral (de Febrero a Junio). En el caso de queel alumno no supere la asignatura en este periodo, en las sucesivas convocatorias tendrá que presentarse auna prueba escrita en la que deberá obtener para aprobar una calificación superior o igual a 5.


1. JIMÉNEZ LÓPEZ, V., Ecuaciones Diferenciales: Cómo aprenderlas, cómo enseñarlas, Universi-dad de Murcia, Servicio de Publicaciones, 2000.

2. HIRSCH, M. W. y SMALE, S., Ecuaciones Diferenciales, sistemas dinámicos y álgebra lineal,Alianza Universidad Textos, 1983.


1. AMMAN, H., Ordinary Differential Equations. An Introduction to Nonlinear Analysis, de GruyterStudies in Mathematics 13, de Gruyter, Berlin, 1990.

2. ARNOLD, V., Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Rubiños-1860, S.A., 1995.

3. ARROWSMITH, D. K. y PLACE, C. M., Dynamical Systems, Chapman and Hall, London, 1992.

4. BRAUN, M., Differential Equations and Their Applications. 2a edición, Applied MathematicalSciences 15, Springer-Verlag, New York,1978 (4aedición, 1993).

5. CODDINGTON, E. A. y LEVINSON, N., Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill New York, 1955.

6. DING, T. R.; DONG, Z. H.; HUANG, W. Z. y ZHANG, Z. F., Qualitative Theory of DifferentialEquations, Translations of Mathematical Monographs 101, American Mathematical Society, 1992.

7. ELAYDI, S. N., Discrete Chaos, Chapman and Hall/CRC, 2000.

8. ELSGOLTZ, L., Ecuaciones Diferenciales y cálculo variacional, Ed. URSS, Moscú, 1994.

9. FERNÁNDEZ PÉREZ, C., Ecuaciones Diferenciales-I. Ecuaciones Lineales, Ediciones Pirámide,Madrid, 1992.

10. GRIMSHAW, R., Nonlinear Ordinary Differential Equations, Applied Mathematics and Engineer-ing Science Texts 2, Blackwell Scientific Publications, Oxford, 1990.

11. HOLMGREN, R. A., A first course in discrete dynamical systems, Universitext, Springer-Verlag,1994.

12. NEMYTSKII, V.V. y STEPANOV, V.V., Qualitative Theory of Differential Equations, Dover, NewYork, 1989.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Álgebra Conmutativa 141

13. JORDAN, D. W. y SMITH, P., Nonlinear Ordinary Differential Equations. 2a edición, OxfordApplied Mathematics and Computing Science Series 2, Clarendon Press, 1987.

14. PERKO, L., Differential Equations and Dynamical Systems, Texts in Applied Mathematics 7, Sprin-ger-Verlag, 1991.

15. PONTRIAGUIN, L. S., Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Aguilar, Madrid, 1973.

16. SIMMONS, G. F., Ecuaciones Diferenciales. Con aplicaciones y notas históricas. 2a edición,MacGraw-Hill, Madrid, 1998.

17. SOTOMAYOR, J., Lições de Equações Diferenciais, Projeto Euclides 11. IMPA, Rio de Janeiro,1990.

18. VERHULST, F., Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin,1990.

4A1. Álgebra Conmutativa



DespachoFacultad


ClaudiBusqué Roca


0.13Matem.

868884178

[email protected]

M,X,J 10-12

Presentación de la asignaturaEl Álgebra Conmutativa consiste esencialmente en el estudio de los anillos conmutativos. El interés

en este estudio tiene dos fuentes históricas, la Geometría Algebraica y la Teoría de Números, que siguensiendo sus principales, aunque no sus únicos, campos de aplicación. En esta asignatura se introducen losconceptos básicos sobre anillos conmutativos, destacando su relación con los conceptos correspondientesen Geometría Algebraica y Teoría de Números.

Objetivos

Conocer y manejar con soltura las definiciones, construcciones, ejemplos y resultados básicos quese incluyen en el programa, así como las demostraciones de los resultados principales.

Ser capaz de analizar, encontrando demostraciones o contraejemplos, enunciados sencillos acercade los tópicos incluidos en el programa.

Conocer algunas aplicaciones del Álgebra Conmutativa a la Geometría Algebraica y a la Teoría deNúmeros, que permitan comprender el papel de aquélla como herramienta de gran importancia enel desarrollo de éstas.

142 Álgebra Conmutativa Universidad de Murcia

Conocimientos previos necesariosEn el curso se usan sistemáticamente los conceptos y resultados sobre anillos conmutativos que se

estudian en la asignatura obligatoria de primer curso Álgebra Básica. Todos se repasarán en las primerassesiones del curso, pero una cierta familiaridad previa con ellos facilitará el seguimiento de la asignatura.Ocasionalmente se usarán definiciones y resultados sencillos de Álgebra Lineal y de Topología.


Conocer algunos tipos básicos de anillos, como anillos de restos de Z, extensiones finitas de Zy de Q, anillos de funciones, y otros formados a partir de éstos o de cuerpos arbitrarios usandoconstrucciones típicas: productos, cocientes, fracciones, polinomios, series.

Manipular elementos en esos anillos: decidir si son invertibles (y calcular inversos), cancelables,nilpotentes.

Manipular ideales y otros módulos sobre esos anillos: operar con ellos, encontrar sistemas gener-adores sencillos.

Utilizar los teoremas de isomorfía y de la correspondencia para simplificar el estudio de anilloscociente, y en particular para decidir si un ideal es primo o maximal.

Descomponer variedades sencillas en sus componentes irreducibles.

Calcular descomposiciones primarias y factorizaciones de ideales en casos sencillos.


1. Anillos conmutativos I (anillos). Anillos, dominios y cuerpos. Homomorfismos. Subanillos. Ide-ales; ideales maximales y primos. Anillos cociente; teoremas de isomorfía y de la correspondencia.Divisibilidad y factorización: Dominios Euclídeos, Dominios de Ideales Principales, Dominios deFactorización Única y anillos de polinomios.

2. Anillos conmutativos II (ideales). Producto de ideales. Extensión y contracción de ideales. Idealesmaximales, radical de Jacobson, anillos locales. Ideales primos minimales, radical de un ideal.Espectro primo y dimensión de un anillo.

3. Anillos conmutativos III (fracciones). Conjuntos multiplicativos. Anillos de fracciones y susideales. Localización, propiedades locales.

4. Módulos. Módulos y homomorfismos. Generación finita, lema de Nakayama. Sumas directas ymódulos libres.

5. Anillos noetherianos y artinianos. Condiciones de cadena en módulos. Anillos noetherianos.Teoremas de Hilbert. Anillos artinianos. Teorema de Akizuki-Hopkins. Anillos locales noetherianosy artinianos.

6. Variedades afines y teorema de los ceros. Variedades afines. El teorema de los ceros (Nullstel-lensatz) de Hilbert. Variedades irreducibles, componentes irreducibles de una variedad. Variedadesy topología de Zariski en anillos noetherianos.

7. Descomposición primaria. Ideales primarios e ideales potencia de primo. Descomposiciones pri-marias minimales, existencia en anillos noetherianos. Unicidad en las descomposiciones.

Metodología didácticaEl profesor desarrollará en la pizarra las ideas principales y el alumno deberá trabajar la asignatura de

forma autónoma mediante bibliografía o material suministrado por el profesor.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Topología de superficies 143

Criterios básicos de evaluaciónSobre una base de 100 puntos, se utilizarán los siguientes instrumentos de evaluación:

- Tres pruebas escritas cortas en horario de clase de tipo teórico-práctico. Cada una tendrá un valorde 20 puntos.

- Entrega de ejercicios, con un valor de 40 puntos. Para que sea tenida en cuenta esta parte, cadaalumno deberá explicar en clase al resto de alumnos la resolución de alguno de estos ejercicios.

Aquellos alumnos que no aprueben la asignatura de esta forma podrán realizar un examen final escrito deteoría y ejercicios en la fecha que fije la Junta de Facultad.


1. ATIYAH-MACDONALD. Introducción al álgebra conmutativa. Reverté, 2005.Biblioteca 13-2,0/3 y 13-45. ISBN 84-291-5008-0.

2. REID. Undergraduate commutative algebra. Cambridge Univ. Press, 1997.Biblioteca 13-12,0/1 y 15-124. ISBN 0-521-45255-4 y 0-521-45889-7.


1. MATSUMURA. Commutative ring theory. Cambridge Univ. Press, 1992.Biblioteca 13-1,0/2 y 13-41. ISBN 0-52125916-9 y 0-521-36764-6.

2. SHARP. Steps in commutative algebra (2nd ed.). Cambridge Univ. Press, 2000.Biblioteca 13-21, 13-26, 13-27 y 13-28. ISBN 0-521-39732-4 y 0-521-64623-5.

3. SPINDLER. Abstract Algebra with Applications (Vol. II). Marcel Dekker, 1994.Biblioteca 10-82,0/1. ISBN 0-8247-9159-2.

4A4. Topología de superficies



DespachoFacultad


José AntonioPastor González


S.09Matem.

868884170

[email protected]

LMX 10-12

Presentación de la asignaturaEl concepto de superficie es, con toda seguridad, uno de los más importantes en Geometría y Topología.

En este curso pretendemos desarrollar una serie de técnicas para clasificar las superficies desde un puntode vista topológico, es decir, atendiendo únicamente a la superficie en términos de continuidad y no dedistancias. Nuestra clasificación busca ordenar las superficies con arreglo a propiedades que se conservenbajo aplicaciones continuas (sin cortes, desgarrones ni pegados).

144 Topología de superficies Universidad de Murcia

ObjetivosEntender los invariantes topológicos que caracterizan las superficies. Establecer una clasificación de

las superficies compactas de R3, tanto con borde como sin borde.

Conocimientos previos necesariosTopología general.


Estudiar ciertos invariantes topológicos de superficies.

Manejar con soltura el grupo fundamental y ser capaz de calcularlo para determinados espaciosconcretos.

Adquirir destreza con sumas conexas.

Entender y aplicar la característica de Euler-Poincaré.


1. La topología cociente. Repaso de topología. Topología producto. Topología cociente: definicióny ejemplos de superficies que resultan de esta topología (esferas, cilindros, toros, botellas de Klein,cintas de Möbius y espacios proyectivos).

2. Superficies. Complejos. Superficies. Triangulaciones. Clasificación de superficies. Superficies conborde.

3. La característica de Euler. Invariantes topológicos. Grafos y árboles. La característica de Euler yla esfera. La característica de Euler y las superficies. El problema de los cuatro colores.

4. Homología. El álgebra de cadenas. Homología. Grupos de homología de las superficies. Númerosde Betti y característica de Euler.

5. Homotopía. Relación entre homotopía y homología. El grupo fundamental.

6. Miscelánea. Aplicaciones. 3-superficies. Campos de vectores y la característica Euler. El númerode vueltas o índice y otras aplicaciones relacionadas con la integración.

Metodología didácticaLa parte teórica se desarrollará mediante clases en pizarra y/o con transparencias.La parte práctica consistirá fundamentalmente en la resolución en el aula de problemas y ejercicios

de aplicación de los contenidos desarrollados. Simultáneamente se podrán proponer trabajos individualesde carácter voluntario que serán supervisados en las horas de tutoría.

Criterios básicos de evaluaciónLa evaluación de la asignatura consta de tres apartados: 1) la participación en clase, 2) la entrega de

problemas resueltos y ejercicios señalados por el profesor y 3) la realización de una prueba escrita al finaldel cuatrimestre. La ponderación de estos apartados será, en puntos porcentuales, de 20-30-50.


1. L. Christine Kinsey. Topology of Surfaces. Springer UTM, 1993.

2. J. R. Munkres. Topología, 2a edición. Pearson, 2001.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Topología de superficies 145


1. M. A. Armstrong. Topología Básica. Reverté, 1987.

2. S. Barr. Experiments in Topology. Dover, 1964.

3. D.W. Blackett. Elementary Topology: A combinatorial and algebraic approach. Academic Press,1982.

4. F. Croom. Principles of Topology. Saunders, 1989.

5. P.A. Firby and C.F. Gardiner. Surface Topology, 2nd ed. Ellis Horwood, 1991.

6. C. Kosniowski. A First Course in Algebraic Topology. Cambridge, 1980.

146 Grafos y Optimización Discreta Universidad de Murcia

14. Asignaturas optativas de segundo ciclo (bloque A)

2A6. Grafos y Optimización Discreta

Código Tipo Curso Créditos Duración Idioma2A6 Optativa 2o Ciclo 7’5 Cuatrim. (1o) Español


DespachoFacultad


AlfredoMarín Pérez


2.05Matem.

868883627

[email protected]

MXJ 10-12

Presentación de la asignaturaEl temario de la asignatura Grafos y Optimización Discreta está dividido en dos bloques. El primer

bloque se dedica al estudio de problemas sobre grafos y redes, y el segundo bloque está dedicado alestudio de técnicas de resolución de problemas de Programación Lineal Entera.

La asignatura tiene una carga de 7.5 créditos. Está dividida en clases teóricas y prácticas y prácticasde ordenador. Las clases teóricas y prácticas se desarrollarán en la pizarra y mediante la proyección. Lasprácticas de ordenador se llevarán a cabo en la sala de ordenadores de la Facultad de Matemáticas, usandoprincipalmente el paquete Xpress.

Objetivos

Conocer, identificar, formular y resolver los principales problemas de teoría de grafos y redes.

Formular y resolver los problemas de Programación Lineal Entera, tanto de forma manual comoempleando software.

Conocimientos previos necesariosLos requisitos para el seguimiento adecuado de esta asignatura son conocimientos de Álgebra Lineal

y conocimiento práctico del algoritmo del símplex para la resolución de problemas de ProgramaciónLineal.


Conocer y caracterizar los distintos tipos de grafos y redes.

Resolver el problema de la conexión de un grafo, y aplicaciones del problema.

Formular y resolver problemas de obtención de camino(s) más corto(s) en redes.

Formular y resolver problemas de flujo máximo sobre redes.

Formular y resolver problemas de flujo a mínimo coste sobre redes.

Formular y resolver problemas de emparejamiento máximo en grafos.

Formular y resolver problemas de Programación Entera mediante algoritmos. de ramificación yacotación, y algoritmos basados en hiperplanos de corte.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Grafos y Optimización Discreta 147


1. Conceptos básicos de Optimización en Redes.

2. Conexión.

3. Árboles de unión.

4. Caminos más cortos.

5. Flujo máximo.

6. Flujo a mínimo coste.

7. Emparejamiento máximo.

8. Modelo de Programación Entera.

9. Programación entera binaria.

10. Métodos de ramificación y acotación.

11. Métodos de hiperplanos de corte.

12. Aplicaciones de la Programación Entera.

Metodología didácticaLa parte teórica se desarrollará mediante clases en pizarra y/o con transparencias.La parte práctica constará de (i) resolución en clase de problemas propuestos sobre los contenidos

estudiados y (ii) realización de prácticas de ordenador en la microaula que permitan resolver problemasde mayor tamaño. Simultáneamente se propondrán trabajos individuales de carácter voluntario que seránsupervisados en las horas de tutoría.

Criterios básicos de evaluaciónPara la evaluación de la asignatura se realizará una prueba escrita con contenido teórico (50 %) y

práctico (40 %). La práctica de microaula aportará el restante 10 %.


1. Ahuja, Magnanti, Orlin.; Network flows ; Prentice Hall ; 1993.

2. Beasley; Advances in linear and integer programming ; Oxford Science Publications ; 1996.

3. Christofides; Graph Theory ; Academic Press ; 1975.

4. Gondran y Minoux; Graphs and algorithms ; Wiley ; 1986.

5. Nemhauser y Wolsey; Integer and Combinatorial Optimization ; Wiley ; 1988.

6. Salazar Lecciones de optimización Universidad de La Laguna 2000

7. Salkin y Mathur; Foundations of integer programming ; North-Holland ; 1989.

8. Schrijver; Theory of linear and integer programming ; Wiley ; 1986.

9. Taha; Integer programming ; Academic Press ; 1975.

10. Wolsey; Integer Programming ; Wiley ; 1998.

148 Técnicas de Muestreo y Control de Calidad Universidad de Murcia

2A7. Técnicas de Muestreo y Control de Calidad

Código Tipo Curso Créditos Duración Idioma2A7 Optativa 2o Ciclo 6 Cuatrim. (1o) Español


DespachoFacultad


FélixBelzunce Torregrosa


2.02Matem.

868883618

[email protected]

MX 16-18X 12-14


La asignatura de Técnicas de Muestreo y Control de Calidad pretende presentar los fundamentos yherramientas básicas de los diseños muestrales y el control estadístico de la calidad.

Objetivos

Conocer los fundamentos teóricos de los diseños muestrales en poblaciones finitas, que permitanobtener los diseños muestrales mas usuales como casos particulares.

Conocer la base teórica y de los gráficos de control mas usuales y de los diseños de planes deinspección en el muestreo.

Introducir al alumno en la Teoría de la Fiabilidad.


− Conceptos fundamentales de Teoría de la Probabilidad, así como de modelos de variables usualesen probabilidad: binomial, geométrico, hipergeométrico, Poisson, normal...

− Fundamentos de estimación puntual y por intervalos y contrastes de hipótesis.


Distinguir los diseños muestrales mas usuales, así como determinar en que casos cual es el diseñomás adecuado.

Elegido un diseño muestral, determinar el tamaño de muestra necesario para conseguir una precisiónpredeterminada en la estimación.

Saber determinar que tipo de gráfico de control es necesario usar según el problema planteado ysaber interpretarlo correctamente.

Saber plantear un diseño de inspección muestral.

Saber realizar un análisis básico de datos de tiempo de funcionamiento.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Técnicas de Muestreo y Control de Calidad 149


1. Diagramas de control de Shewhart Introducción. Diagramas de control para variables. Diagramasde control para atributos.

2. Otros diagramas de control para variables Introducción. Diagramas de medias móviles (MA).Diagramas de medias móviles ponderadas exponencialmente (EWMA). Contrastes secuenciales.Diagramas de sumas acumuladas (CUSUM).

3. Inspección por muestreo para atributos Introducción. Diseño de planes de inspección simple.Diseño de planes de inspección doble. Diseño de planes secuenciales.

4. Introducción a la fiabilidad Introducción. Medidas de fiabilidad y estudio de la fiabilidad. Infer-encia sobre fiabilidad.

5. Fundamentos de muestreo en poblaciones finitas Introducción. Estimación de parámetros. Al-goritmos de obtención de muestras. Muestreo con reemplazamiento.

6. Muestreo aleatorio simple Introducción. Estimación de parámetros. Muestreo inverso. Algoritmospara el muestreo aleatorio simple. Muestreo aleatorio simple con reemplazamiento.

7. Muestreo sistemático Introducción. Estimación de parámetros. Muestreo aleatorio simple y mues-treo sistemático. Determinación del error muestral.

8. Muestreo estratificado Introducción. Estimación de parámetros. Asignación de la muestra. For-mación de estratos

9. Muestreo por conglomerados Introducción. Muestreo por conglomerados en una etapa. Muestreopor conglomerados en dos etapas. Muestreo polietápico.


I. Diagramas de control de Shewhart

II. Otros diagramas de control

III. Diseño de planes de inspección por muestreo para atributos

IV. Estudio de fiabilidad

V. Minitab aplicado al muestreo en poblaciones finitas

Metodología didácticaLos contenidos teóricos se desarrollarán mediante clases con transparencias, haciendo uso de la

pizarra para el desarrollo de algunos ejemplos y demostraciones.La parte práctica consistirá fundamentalmente en la resolución en la microaula de problemas de apli-

cación de los contenidos desarrollados.

Criterios básicos de evaluaciónLa evaluación se llevara a cabo a través de un examen de teoría y los distintos trabajos prácticos que

se propondrán a lo largo del curso. El examen de teoría supondrá un 40 % de la nota final y los trabajosprácticos el restante 60 %.

150 Optimización No Lineal Universidad de Murcia


1. Azorín, F. y Sánchez-Crespo, J.L. Métodos y Aplicaciones del Muestreo. Alianza Univ. 19862. Cochran, W.G. Técnicas de Muestreo. C.E.C.S.A. 19813. Derman, C. and Ross, S.M., Statistical Aspects of Quality Control. Academic Press. 19974. Fernández, F.R. y Mayor, J.A. Muestreo en Poblaciones Finitas: Curso Básico. EUB. 19955. Montgomery, D. C. Control Estadístico de la Calidad. Grupo Editorial Iberoamérica. 19916. Peña, D.Estadística: Modelos y Métodos. Vol. 1. Fundamentos. Alianza Editorial. 19957. Pérez, C.1999Técnicas de Muestreo EstadísticoEd. RAMA8. Prat, A.; Tort-Martorell, X.; Grima, P. y Pozueta, L. Métodos Estadísticos: Control y mejora de la

calidad. Ediciones UPC. 19949. Scheaffer, R.L.; Mendenhall, W. and Ott, L. Elementos de Muestreo. Grupo Editorial Iberoamérica.

198710. Shirland, L.E. Statistical Quality Control with Microcomputer Applications. Ed. John Wiley &

Sons, Inc. 199311. Wadsworth, H.M.; Stephens, K.S. y Godfrey, A.B.Modern Methods for Quality Control and Im-

provement. Ed. John Wiley & Sons, Inc. 1986


1. Hedayat, A. y Sinha, B. Design and Inference in Finite Population Sampling. Wiley 19912. Juran, J.M.; Gryna, F.M. y Bingham, R.S. Manual de Control de la Calidad. Reverté 19903. Thompson, J.R. and Koronacki, J.Statistical Process Control for Quality Improvement. Ed. Chap-

man & Hall. 1993

2A8. Optimización No Lineal



DespachoFacultad


BlasPelegrín Pelegrín


2.11Matem.

868883635

[email protected]

MXJ 11-12V 9-12

JoséFernández Hernández


S.04Matem.

868884186

[email protected]

LM 10-12JV 18-19

Presentación de la asignaturaEl estudio de problemas de optimización se presenta con frecuencia en numerosas disciplinas, y su

análisis y resolución se realiza mediante el estudio de un modelo matemático. Esta asignatura cubre lostemas relacionados con problemas de optimización en los cuales la función a optimizar es no lineal o elconjunto factible no es poliédrico.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Optimización No Lineal 151

Está organizada en clases teóricas y prácticas. Las clases prácticas consistirán en la resolución de losejercicios correspondientes a las clases teóricas, una parte de los cuales serán resueltos por el profesor yel resto quedarán propuestos para ser resueltos por el alumno. Dichas clases incluyen también el uso delordenador para la resolución de problemas que con tal fin se entregarán al alumno. Se pretende que elalumno adquiera los conocimientos fundamentales, tanto a nivel teórico como práctico, en dicha materia.

Objetivos

Capacidad para resolver problemas de optimización no lineal sin restricciones.

Capacidad para resolver problemas de optimización no lineal con restricciones, tanto de igualdadcomo desigualdad.

Conocimiento de los métodos que en la actualidad se presentan como más eficientes.

Conocimientos previos necesariosPara el seguimiento de esta asignatura se requiere que el alumno tenga conocimientos previos de

álgebra lineal y análisis matemático. Los conocimientos sobre optimización lineal son complementarios.


Formular un problema de programación no lineal con restricciones.

Conocer y trabajar con los métodos clásicos de optimización sin restricciones.

Conocer y trabajar con los métodos clásicos de optimización con restricciones.

Iniciación al estudio de los métodos de optimización global.

Resolución de problemas mediante el ordenador.


1. Fundamentos de Optimización No Lineal.

a) El modelo de la Programación No Lineal.

b) Elementos de convexidad.

c) Funciones convexas. Generalizaciones.

d) Funciones convexas diferenciables.

e) Máximos y mínimos sobre conjuntos poliédricos.

f ) El concepto de algoritmo en optimización.

2. Algoritmos básicos.

a) Condiciones de optimalidad para problemas sin restricciones.

b) Algoritmos de búsqueda unidimensional.

c) Algoritmos de búsqueda multidimensional.

3. Condiciones de optimalidad para problemas con restricciones.

a) Condiciones de optimalidad sin deferenciabilidad.

b) Condiciones de optimalidad con deferenciabilidad.

152 Optimización No Lineal Universidad de Murcia

4. Métodos de Optimización No Lineal.

a) Métodos de direcciones factibles.

b) Métodos de penalizaciones.

c) Métodos simpliciales.

d) Métodos de optimización global.

5. Optimización dinámica.

a) Introducción a la Programación dinámica.

b) Fundamentos teóricos de la Programación dinámica.

c) Algunas aplicaciones de Programación dinámica.

Metodología didácticaLa parte teórica se desarrollará mediante clases en pizarra.La parte práctica estará dividida en dos partes. Por un lado la resolución en clase de problemas prop-

uestos sobre los contenidos estudiados, y por otro la realización de prácticas de ordenador en la microaulacon problemas de mayor tamaño.

Criterios básicos de evaluaciónLos criterios que se utilizarán para evaluar a los alumnos en esta asignatura son: examen de teoría

hasta 5 puntos, examen de problemas hasta 3.5 puntos, prácticas de ordenador hasta 1.5 puntos.Para aprobar la asignatura se requiere un total de 5 puntos, siendo necesario obtener al menos el 40 %

de la puntuación máxima de teoría y de problemas.


1. Bazaraa M.S., Shetty H.D. y Sherali C.M.; Nonlinear Programming: Theory and Algorithms 2ndedition; John Wiley & Sons ; 1993.

2. Denardo; Dynamic Programming. Models and applications ; Prentice Hall ; 1992.

3. Balbás A, Gil J.A.; Programación Matemática (2a edición); Editorial AC ; 1990.

4. Luenberger D.G.; Programación lineal y No Lineal ; Addison-Wesley ; 1989.

5. Minoux M.; Mathematical Programming: theory and algorithms ; Wiley ; 1986.

6. LINGO, Solver Suite. LINDO Systems Inc. 1995

7. XPRESS-MP para Windows, User Guide. Dash Associates. Blisworth House, Church Lane, Blis-worth, Northants, NN7 3BX, U.K. 1994

8. Wolfram S; Mathematica: A system for doing mathematics by computer. Addison-Wesley. 1991

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Álgebra Computacional 153

3A7. Álgebra Computacional



DespachoFacultad


Ángeldel Río Mateos


1.07Matem.

868883537

[email protected]

MJ 15-18


Presentación de la asignaturaNos centraremos en el estudio de la aritmética computacional enfocada a la criptografía. Los prin-

cipales problemas que abordaremos serán los de la factorización y la primalidad de números enteros. Elcurso tiene conexiones con la teoría de algoritmos y la teoría de la información.

Objetivos

El objetivo general más importante es que el alumno conozca con detalle una aplicación de lasmatemáticas a la tecnología actual. Concretamente, la aplicación de los recursos de la aritmética yla teoría de números a la criptografía.

Detallamos a continuación otros objetivos.Que el alumno profundice en sus conocimientos de aritmética y teoría de números, en particular,en el estudio de los problemas de la primalidad, factorización y logaritmo discreto. Así, deberáconocer los algoritmos más usuales y eficientes para resolver estos problemas.Que el alumno alcance un conocimiento básico sobre la evaluación de algoritmos numéricos; espe-cialmente, sobre las maneras de definir y calcular su eficiencia.Que el alumno conozca el estado actual de la criptografía matemática; en particular, deberá cono-cer el funcionamiento de los criptosistemas de clave pública más usuales, comprender su funda-mentación, sus ventajas o inconvenientes, y tener información sobre criptosistemas actuales declave privada.Que el alumno conozca la manera de desarrollar en la práctica los algoritmos fundamentales de lacriptografía matemática, utilizando algún lenguaje de programación.

Conocimientos previos necesariosConocimientos elementales de las propiedades de los números enteros y de álgebra básica: anillos,

polinomios y grupos abelianos.


Saber evaluar la eficiencia y corrección de algoritmos aritméticos.Saber programar algoritmos aritméticos y criptográficos.Ser capaz de valorar la seguridad de protocolos criptográficos.Conocer algoritmos aritméticos probabilísticos y saber valorar la probabilidad de error en su apli-cación.Estar en condiciones de comprender y valorar los desarrollos futuros en el dominio de los protocoloscriptográficos: firma digital, compra electrónica, autentificación, etc.

154 Álgebra Computacional Universidad de Murcia


1. Algoritmos aritméticos Algoritmo de Euclides. Exponenciación rápida. Raíces primitivas y loga-ritmos discretos. Corrección y eficiencia de algoritmos. Complejidad computacional.

2. Criptografía Criptosistemas. Teoría de la información: entropía y criptosistemas. Clave pública:RSA, Massey-Omura, ElGamal. Firmas digitales y otros protocolos. Clave privada: Rijndael.

3. Primalidad La distribución de los primos. El "pequeño teorema" de Fermat y el teorema de Euler.Pseudoprimos y tests de primalidad probabilísticos. Certificación de primos.

4. Tests de primalidad deterministas Primalidad en casos especiales: test de Lucas-Lehmer. Otrostests de primalidad: APR y AKS.

5. Factorización de enteros El problema de la factorización de enteros. Método de Fermat. Algorit-mos de Pollard y Williams.

6. El problema del logaritmo discreto Cálculo del logaritmo discreto. Algoritmo de Pohlig-Hellman.

7. Curvas elípticas El grupo de una curva elíptica. Primalidad basada en curvas elípticas. Factor-ización con curvas elípticas. Criptografía y curvas elípticas.

Metodología didácticaEl 60 % de las horas de clase, aproximadamente, se dedicará a la exposición de la materia por el

profesor. Otro 20 % de las horas se destina a exposiciones de algunos temas específicos por parte de losalumnos. Finalmente, el 20 % restante corresponde a las clases de prácticas. En estas clases los alumnosdesarrollarán algunos algoritmos explicados en las clases teóricas.

Además, cada alumno deberá hacer una práctica final de curso, consistente en desarrollar completa-mente, y de modo individual, uno o varios de los algoritmos estudiados en el curso.

Criterios básicos de evaluaciónLa evaluación estará basada principalmente en la práctica final de curso; de modo complementario, se

tendrá en cuenta el trabajo del alumno en las exposiciones y las clases prácticas. Los alumnos que quieranmejorar la nota obtenida pueden presentarse a un examen final.


1. D. Bressoud, S. Wagon, A course in computational number theory, Key-College Publishing, Emery-ville, 2000

2. N. Koblitz, A course in number theory and cryptography, 2nd Edition, Springer, 1994

3. S.S. Wagstaff, jr., Cryptanalysis of number theoretic cyphers, Chapman & Hall, 2003


1. H. Cohen, A course in computational algebraic number theory, Springer-Verlag, 1993

2. S.C. Coutinho, Primalidad en tiempo polinomial: una introducción al algoritmo AKS, Instituto deMatemáticas y Ciencias Afines, 2006.

3. R. Crandall, C. Pomerance, Prime numbers. A computational perspective, Springer-Verlag, NewYork, 2001

4. D.E. Knuth, The art of computer programming. Vol. 2: Seminumerical algorithms, Addison-Wesley,Reading, Mass., 1981

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Teoría de Números Algebraicos 155

5. E. Kranakis, Primality and cryptography, Wiley-Teubner, 19866. D.R. Stinson, Cryptography. Theory and practice, 2nd Edition, Chapman & Hall, 2002.

4A5. Teoría de Números Algebraicos



DespachoFacultad




1.02Matem.

868883677

[email protected]

M,X,J 10-12 (C1)L,J 10-12 y V 9-11 (C2)

Presentación de la asignaturaPartiendo de los conocimientos elementales, adquiridos en cursos anteriores, sobre divisibilidad en

dominios, en esta asignatura se pretende realizar una introducción a algunos de los métodos básicos de lateoría de números algebraicos y sus aplicaciones a la resolución de determinadas ecuaciones diofánticas.

Objetivos

Conocer y manejar las propiedades elementales de los anillos de enteros de determinados cuerposde números (cuadráticos, bicuadráticos, ciclotómicos y algunos cúbicos puros).Introducir los Dominios de Dedekind, probar el teorema fundamental de descomposición de idealesen ideales primos y demostrar que los anillos de números son anillos de este tipo.Introducir el concepto de grupo de clases de ideales y utilizar los métodos geométricos para deter-minar el grupo de clases de anillos de enteros sencillos.Obtener el Teorema de las Unidades de Dirichlet.Utilizar los conceptos introducidos para la resolución de determinadas ecuaciones diofánticas.

Conocimientos previos necesariosConceptos básicos de álgebra lineal, grupos abelianos finitamente generados, divisibilidad en domin-

ios, congruencias y teoría de extensiones de cuerpos.Aunque no es estrictamente necesario puede ser conveniente haber cursado previamente la asignatura

de Introducción a la Teoría de Números.


Encontrar anillos de enteros de cuerpos de números sencillos y sus bases enteras.Factorizar en ideales primos de ideales en los anillos de enteros estudiados.Encontrar el número y el grupo de clases de ideales de determinados anillos de números.Encontrar el grupo de unidades en anillos de números sencillos en los que dicho grupo tiene rangouno.Aplicar los conceptos anteriores a la resolución de algunas ecuaciones diofánticas sencillas.

156 Teoría de Números Algebraicos Universidad de Murcia


1. Cuerpos y anillos de números Números algebraicos y enteros algebraicos. Anillo de enteros deun cuerpo de números. Discriminante de un anillo de enteros. Bases enteras. El teorema de la baseespecial. El anillo de enteros de un cuerpo cuadrático.

2. Dominios de Dedekind Dominios de Dedekind. El anillo de enteros de un cuerpo de númeroscomo un anillo de Dedekind. Propiedades de factorización de los dominios de Dedekind. Idealesfraccionarios. Grupo de Clases de un dominio de Dedekind.

3. Descomposición de primos en anillos de enteros Descomposición de primos en anillos de enteros.Ejemplos. El anillo de enteros de los cuerpos ciclotómicos.

4. Métodos Geométricos Retículos. Teorema de Minkowski. Aplicaciones: Teorema de Fermat derepresentación de primos como suma de dos cuadrados, Teorema de Lagrange de los cuatro cuadra-dos, representación geométrica de números algebraicos, constante de Minkowski y cálculo delnúmero de clases de un cuerpo de números.

5. Teorema de las Unidades de Dirichlet Espacio logarítmico. Teorema de las Unidades de Dirichlet.Algunos ejemplos.

6. Aproximación al Teorema de Fermat Consideraciones elementales. Lema de Kummer. Teoremade Kummer. Primos regulares.

Metodología didácticaLa parte teórica la desarrollará fundamentalmente el profesor mediante clases en pizarra y/o con trans-

parencias.A lo largo del curso se propondrá la realización de cuestiones y problemas que se deberán entregar al

profesor, algunos de los cuales, tras ser corregidos por éste, serán expuestos en clase.

Criterios básicos de evaluaciónSe valorarán los trabajos entregados y expuestos a lo largo del curso y, en caso necesario, se deberá

realizar un examen final de la asignatura que constará de cuestiones teóricas y problemas.


1. Marcus, D.; Number Fields ; Springer-Verlag Nueva York ; 1977.

2. Stewart, I.N.; Tall, D.O.; Algebraic number theory 2nd ed.; Chapman and Hall ; 1987.


1. Borevich, Z.I.; Shafarevich, I.R.; Number Theory ; Academic Press New York ; 1966.

2. Esmonde, J.; Ram Murty, M.; Problems in Algebraic Number Theory ; Springer-Verlag New York ;1999.

3. Lang, S.; Algebraic Number Theory ; Addison-Wesley Mass.; 1970.

4. Samuel, P.; Teoría algebraica de números ; Omega Barcelona; 1972.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Lógica Matemática 157

4A9. Lógica Matemática



DespachoFacultad




1.02Matem.

868883677

[email protected]

M,X,J 10-12 (C1)L,J 10-12 y V 9-11 (C2)

Pedro AntonioGuil Asensio


1.01Matem.

868883676

[email protected]

M,J 16:30-18:30X 10-12

El profesor Guil participa en el Proyecto de Tutoría Electrónica

Presentación de la asignaturaLa asignatura se centra en el estudio de la Lógica Proposicional y la Lógica de Primer Orden, con

especial énfasis en sus aplicaciones en las Matemáticas. Este estudio se completa con una introducción ala Teoría de Modelos y sus consecuencias dentro de diversas ramas de la Matemática.

Objetivos

Desarrollar los conceptos básicos de la Lógica Matemática, que permitan al alumno comprendery fundamentar el lenguaje matemático y los razonamientos que se ha acostumbrado a utilizar a lolargo de sus estudios en matemáticas.

Que el alumno comprenda en profundidad la lógica proposicional, así como su papel dentro de lasMatemáticas y la informática.

Familiarizar al alumno con la Lógica de Primer Orden, así como sus consecuencias dentro de lasMatemáticas. En este sentido, se hará un especial énfasis en los Teoremas de Completitud e Incom-pletitud de Gödel.

Introducir al alumno en conceptos básicos asociados a la axiomatización de la Matemática, comoson los de sistemas deductivos, los modelos asociados a una Teoría, la independencia de los axiomaso la decidibilidad.

Conocer las limitaciones de los lenguajes de primer orden en el estudio de teorías mate- Máticas,como por ejemplo la aritmética.

Conocimientos previos necesariosNo se precisan conocimientos mas allá de los proporcionados por el primer ciclo de la carrera.


Saber manejar con soltura los lenguajes proposicionales y de primer orden.

Realizar deducciones sencillas dentro de un lenguaje proposicional o de primer orden.

Conocer las relaciones entre los conceptos de verdad y de deducibilidad es estos lenguajes.

Manejar a nivel básico algunos lenguajes de primer orden asociados a la matemática, como ellenguaje de la aritmética, de conjuntos o de grupos.

158 Lógica Matemática Universidad de Murcia


1. Lenguajes proposicionales: El lenguaje proposicional. Valoraciones de verdad. Sistemas deduc-tivos. Teoremas de Compacidad y de Completitud.

2. Lógica de primer orden: Lenguajes de primer orden. Concepto de interpretación y de verdad. Sis-temas deductivos. Teoremas de compacidad y validez. Teorema de Completitud de Gödel.

3. Introducción a la teoría de Modelos: Teorías. Modelos. El Teorema de Lowënheim-Skolem.

4. Computabilidad: Decidibilidad. Funciones recursivas. Tésis de Church. Teoremas de Indecidibili-dad e Incompletitud. Máquinas de Turing.

Metodología didácticaLa parte teórica se desarrollará mediante clases en pizarra. La parte práctica consistirá en la discusión y

resolución en el aula de problemas y ejercicios sobre los contenidos teóricos desarrollados. Se buscará unaactitud participativa de los alumnos promoviendo su actividad mediante el método de preguntas sucesivas,instándoles a que expongan sus puntos de vista y a que obtengan las conclusiones que se deducen de loexplicado.

Criterios básicos de evaluaciónSe realizará un examen final escrito de teoría y problemas.


1. Y.I. Manin. A Course in Mathematical Logic. Springer-Verlag, 1977.

2. J. Sancho San Román. Lógica Matemática y Computabilidad. Ediciones Díaz de Santos, 1990


1. D.W. Barnes, J.M. Mack.Introducción Algebraica a la Lógica Matemática. EUNIBAR, 1978.

2. J. Bell y M. Machover. A Course in Mathematical Logic. North-Holland, 1977.

3. P. Rothmaler. Introduction to Model Theory. Gordon and Breach Science Publishers, 2000.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Geometría de Riemann 159

5A7. Geometría de Riemann

Código Tipo Curso Créditos Duración Idioma5A7 Optativa 2o Ciclo 7.5 Cuatrim. (2o) Español


DespachoFacultad


María ÁngelesHernández Cifre


0.05Matem.

868887661

[email protected]

MJ 11-13J 17-19

Presentación de la asignaturaLa asignatura Geometría de Riemann es una materia optativa en el Plan de Estudios de la Licenciatura

en Matemáticas con una extensión de 7,5 créditos, de los cuales 5 son teóricos y el resto son prácticos.Se imparte en el segundo ciclo de dicha titulación, siendo su horario compatible con la troncalidad del 4o

curso, y el departamento encargado de impartirla es el de Matemáticas.Son varias, y de diverso tipo, las diferencias entre la Geometría Diferencial, y en particular la Geome-

tría de Riemann, y las otras disciplinas de la Licenciatura en Matemáticas. La palabra geometría es bellay atractiva, más aún cuando la adjetivamos, como hacemos en este caso. Puede ser, sin embargo, quealgunos alumnos piensen que esta materia, al igual que otras asignaturas que ya hayan cursado, se lesimpartirá siguiendo unos axiomas o principios básicos, empezando por tanto prácticamente de cero, yesgrimiendo un cierto paralelismo en cuanto a la exposición de gran parte de los temas. Sin embargo,sabemos que la Geometría Diferencial y de Riemann, incluso al nivel básico de «curvas y superficiesregulares en el espacio euclídeo», utiliza más conocimientos preliminares que otras asignaturas que sesuelen impartir en el mismo curso académico.

Esta abundancia de recursos previos que el alumno tiene que manejar debe ser vista como una síntesisnecesaria de sus conocimientos, algunos de los cuales alcanzan con la Geometría la altura y el honormerecidos. Sin lugar a dudas, el logro de interesantes resultados compensará con creces esta dificultadtécnica puesta de manifiesto desde el mismo comienzo de la explicación en clase.

La Geometría de Riemann surge históricamente como un intento de generalizar la Geometría Diferen-cial de curvas y superficies en R3, cuyo carácter intrínseco viene dado por la primera forma fundamental.Fue Riemann quien generalizó esta idea a espacios abstractos, asociando a cada punto una forma cuadráti-ca, lo que dio origen a lo que hoy conocemos como métricas de Riemann.

Objetivos

El primero, y fundamental, es el de lograr transmitir al alumno la belleza que encierran las var-iedades diferenciables, en particular las variedades de Riemann, y que, por tanto, disfruten de suestudio. Los aspectos globales de las variedades riemannianas, sin duda los más atractivos, necesi-tan un amplia preparación analítica que los alumnos, en ocasiones, encuentran demasiado difícil ytécnica; por ello, y en la medida de lo posible, presentaremos ejemplos y resultados que sean por símismos relativamente completos.

Aunque por razones metodológicas se estudiarán primero los aspectos locales y luego los globales,se ha de procurar que el alumno perciba la íntima relación que existe entre ellos, por lo que el estudiode relaciones entre las propiedades globales y locales de una variedad será otro gran objetivo.

El objetivo directriz, sin embargo, de esta asignatura es hacer ver al alumno la importancia dela estructura riemanniana, tanto por sus orígenes, como por sus contactos con otras ramas de laMatemática y su riqueza de resultados. No es, desde luego, la única en participar de este privilegio,pero estimamos que es la más asequible para quien se inicia en Geometría Diferencial.

160 Geometría de Riemann Universidad de Murcia

Lograr que el alumno se centre más en los métodos que en los contenidos concretos y que adquieraun grado de madurez científica tal que sea capaz de enfrentarse al planteamiento y resolución deproblemas, y a continuar el estudio sobre temas más avanzados.

Despertar en el alumno la capacidad de aplicar las teorías generales a situaciones concretas, sinte-tizando resultados parciales y deduciendo otros más globales.

Conseguir que los alumnos conozcan, al menos, algunas ideas generales sobre las investigacionesmás recientes, de forma que comprueben que la Geometría Diferencial, en particular la Geometríade Riemann, es un fértil campo de investigación y una fuente de actividad humana de gran riqueza.

Que el alumno adopte el hábito de la lectura científica y aprenda a moverse entre ella. Nos estamosrefiriendo no sólo a los libros de texto o monografías, sino también, y en la medida de lo posible, alos artículos de investigación.


− Sólida formación en Álgebra lineal y multilineal, incluyendo la Geometría de espacios afines yespacios euclídeos.

− Amplia base de Análisis Matemático, fundamentalmente de cálculo diferencial e integral (funcionesde varias variables).

− Conocimientos bien asentados de Topología general y variedades diferenciables.

− Aunque no imprescindibles, resultarán muy útiles los conocimientos adquiridos en el estudio de laGeometría Diferencial de Curvas y Superficies.


Utilizar los conceptos básicos asociados a la noción de variedad riemanniana.

Construir distancias en las variedades riemannianas e interpretar éstas como espacios métricos.

Construir y utilizar conexiones simétricas y compatibles con la métrica.

Saber utilizar las expresiones locales en coordenadas para trabajar con las métricas y las conexiones.

Conocer las propiedades minimizantes de las geodésicas.

Conocer el tensor curvatura y sus propiedades más sencillas.

Conocer y utilizar los distintos tipos de curvatura.

Relacionar los conceptos de campos de Jacobi y puntos conjugados.

Conocer los campos de Jacobi en los distintos espacios modelo.

Conocer las propiedades más sencillas de las variedades completas.

Identificar los diferentes espacios modelo y conocer sus principales propiedades.

Entender el concepto de variación y de funcional definido sobre un conjunto de curvas.

Conocer las fórmulas de la primera y la segunda variación de la energía.

Conocer los puntos mínimos o de corte y su relación con los puntos conjugados.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Geometría de Riemann 161


1. Tensores métricos. Primeras definiciones: formas bilineales, productos escalares y productosinternos. Definición de métrica. Isometrías e isometrías locales. Ejemplos de variedades pseudo-riemannianas. Existencia de métricas de Riemann. Longitud de una curva y distancia entre puntos.Las variedades de Riemann como espacios métricos.

2. La conexión de Levi-Civita. Definición de conexión compatible con una métrica. Torsión. Conex-iones simétricas. Existencia y unicidad de la conexión riemanniana o de Levi-Civita (teorema deLevi-Civita). Expresión en coordenadas. Ejemplos.

3. Propiedades minimizantes de las geodésicas. Definiciones. Lema de simetría. El lema de Gauss.Curvas minimizantes y geodésicas. Existencia de entornos totalmente normales. Entornos convexosy fuertemente convexos.

4. Curvatura. El tensor curvatura. Propiedades. El operador curvatura. Curvatura seccional. Espaciosde curvatura constante. Tensores métricamente equivalentes: operaciones de subir y bajar índices;contracciones métricas. Curvaturas de Ricci y escalar. Un lema auxiliar: relación entre la curvaturay la derivada covariante.

5. Campos de Jacobi y puntos conjugados. La ecuación de Jacobi. Campos de Jacobi: definicióny ejemplos. Expresión local de un campo de Jacobi. Existencia de campos de Jacobi. Campos deJacobi en espacios de curvatura constante. Relación entre campos de Jacobi y curvatura seccional.Definición de punto conjugado y ejemplos. Puntos conjugados como puntos singulares de la apli-cación exponencial. Resultados auxiliares. Existencia de campos de Jacobi con extremos prefijados.

6. Subvariedades riemannianas. Campos tangentes y normales a una subvariedad. La conexióninducida. La segunda forma fundamental y el tensor forma: fórmulas de Gauss y de Weingarten.Ecuación de Gauss. Hipersuperficies. Clases especiales de subvariedades.

7. Variedades completas. Variedades extendibles y geodésicamente completas. Completitud geodési-ca. Teorema de Hopf-Rinow. Teorema de Hadamard.

8. Espacios de curvatura constante. Los espacios modelos. Definición. Lema de Schur. Teoremade Cartan: determinación de la métrica a partir de la curvatura. Consecuencias. Estudio del espaciohiperbólico: cálculo de los símbolos de Christoffel, del tensor curvatura y de las geodésicas. Otromodelo del espacio hiperbólico: como hipersuperficie del espacio de Lorentz. Clasificación de losespacios de curvatura constante simplemente conexos. Consecuencias.

9. Variaciones de la energía. Definiciones de variación de una curva y de campo variacional. Rela-ción entre ambos conceptos. Definición de las funciones longitud y energía de una curva y de unavariación. Fórmula de la primera variación. Caracterización de la geodésicas. Fórmula de la segundavariación.

10. Aplicaciones de la fórmula de la segunda variación. Teorema de Bonnet-Myers. Consecuencias.Teorema de Synge-Weinstein.

11. Puntos de corte a lo largo de una geodésica. Puntos mínimos o puntos de corte. Lugar geométricode los puntos de corte. Propiedades.

Metodología didácticaLa parte teórica se desarrollará mediante clases en pizarra y/o con transparencias.La parte práctica consistirá fundamentalmente en la resolución en el aula de problemas y ejercicios

de aplicación de los contenidos desarrollados.

162 Geometría de Riemann Universidad de Murcia

Criterios básicos de evaluaciónPara que se realice un seguimiento y participación en la asignatura, a lo largo del curso se propondrán

diversos problemas para entregar o ser resueltos en clase. Así mismo, los alumnos realizarán exposicionesde algún tema de la asignatura o algún trabajo relacionado con la misma. La realización de estas tareaspor parte de los alumnos tendrá un peso fundamental en la evaluación de la asignatura.

La calificación de la asignatura se completará, si el profesor lo estima conveniente, con la realizaciónde una prueba escrita que constará de varios ejercicios donde el alumno demostrará que sabe aplicarcorrectamente los conocimientos teóricos adquiridos.


1. M. Do Carmo. Riemannian Geometry. Birkhäuser, 1992.

2. J. M. Lee. Riemannian manifolds. An introduction to curvature. Graduate Texts in Mathematics,176. Springer-Verlag, New York, 1997.


1. R. L. Bishop y S. L. Goldberg. Tensor Analysis on Manifolds. Dover, 1980.

2. W. Boothby. An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. AcademicPress, 1986.

3. R. Brickell y R. Clark. Differentiable Manifolds. Van Nostrand, 1970.

4. L. Conlon. Differentiable Manifolds. A First Course. Birkhäuser, 1993.

5. W. Curtis y F. Miller. Differential Manifolds and Theoretical Physics. Academic Press, 1985.

6. I. Chavel. Riemannian Geometry: A Modern Introduction. Cambridge Univ. Press, 1993.

7. S. Gallot, D. Hulin y J. Lafontaine. Riemannian Geometry. Springer-Verlag, 1987.

8. D. Martin. Manifold Theory. Ellis Horwood, 1991.

9. B. O’Neill. Semi-Riemannian Geometry. Academic Press, 1983.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Asignaturas optativas de segundo ciclo (bloque B) 163

15. Asignaturas optativas de segundo ciclo (bloque B)

2A3. Análisis MultivarianteCódigo Tipo Curso Créditos Duración Idioma

2A3 Optativa 2o Ciclo 7’5 Cuatrim. (2o) Español


DespachoFacultad


JorgeNavarro Camacho


2.14Matem.

868883509

[email protected]

Se anunciaráen septiembre

Presentación de la asignaturaEsta asignatura está dedicada al estudio de técnicas para analizar datos estadísticos multivariantes.

Estos conjuntos de datos suelen representar la medición de diversas características en una muestra deindividuos de una determinada población. Tras un análisis inicial de los datos, veremos cómo se puedereducir la dimensión de la muestra perdiendo la menor información posible y obtener conclusiones sobreel conjunto de datos (Análisis de Componentes Principales PCA y Análisis Factorial FA), cómo clasificara los individuos en grupos determinados a priori (Análisis Discriminante DA) o a posteriori (AnálisisCluster CA), y cómo analizar las correlaciones existentes entre diversos grupos de variable (Análisis deCorrelación Canónica CCA). Todos estos métodos se tienen que aplicar mediante ordenadores.

Objetivos

Conocer las técnicas mencionadas y saber aplicarlas para analizar conjuntos de datos reales.Conocer la teoría en la que se basan.Saber resolver problemas sencillos basados en la teoría vista en dichas técnicas.


− Conceptos básicos de probabilidad y estadística incluidos en las asignaturas Probabilidades y Es-tadística (segundo curso) y Métodos Estadísticos (tercer curso).

− Conocimientos básicos de álgebra de matrices, como la diagonalización de matrices reales.


Saber hacer una análisis inicial de un conjunto de datos. Detectar datos atípicos. Bimodalidad. Faltade normalidad. Estudio de correlaciones entre variables.Entender los fundamentos y saber aplicar la técnica ACP, interpretar los resultados y estudiar elnúmero óptimo de componentes.Entender los fundamentos y saber aplicar la técnica FA, interpretar los resultados, estudiar elnúmero óptimo de factores y contrastar si el modelo es correcto.Entender los fundamentos y saber aplicar la técnica DA para clasificar a individuos nuevos en gru-pos dados a priori, calcular la fiabilidad de dichas clasificaciones y estudiar cuáles son las mejoresvariables para aplicar un DA.Entender los fundamentos y saber aplicar las técnicas CA para clasificar a individuos en grupos, cal-cular similaridades entre individuos y estudiar cuáles son las mejores variables para aplicar un CA.Entender los fundamentos y saber aplicar la técnica CCA para estudiar las correlaciones entre gru-pos de variables.

164 Análisis Multivariante Universidad de Murcia


1. Variables aleatorias multidimensionales Definición y función de distribución. Marginales ycondicionadas. Independencia de variables aleatorias. Características. Cambios de variable. Mode-los. Inferencia. Análisis inicial de los datos.

2. Análisis de componentes principales Introducción. Cálculo teórico de las componentes princi-pales. Propiedades. Saturaciones. Interpretación de las componentes. Cálculo práctico de las com-ponentes principales. Reducción de la dimensión. Número significativo de componentes.

3. Análisis factorial Introducción. Modelo teórico. Estimación de los parámetros. Número de fac-tores. Rotaciones. Interpretación de los factores. Puntuaciones factoriales. Validación del modelo.Relaciones con el análisis de componentes principales.

4. Análisis discriminante Introducción. Clasificación teórica. Función discriminante. Clasificacióna partir de una muestra. Técnicas de validación cruzada. Inclusión de variables por pasos.

5. Análisis de correlación canónica Introducción. Desarrollo matemático. Datos cualitativos y vari-ables 0-1. Datos cualitativos y datos cuantitativos.

Metodología didácticaLa parte teórica se desarrollará mediante clases de teoría y problemas en pizarra, cañón de video y/o

transparencias (2 o 3 horas cada semana). Se entregarán apuntes y hojas de problemas.La parte práctica consistirá en la realización con el programa Minitab de los formularios de prácticas

proporcionados con la supervisión del profesor de prácticas (2 o 3 horas cada semana). No se propondrántrabajos fuera de estas horas.

Criterios básicos de evaluaciónSe deberán aprobar las prácticas. Para su evaluación se tendrá en cuenta la asistencia y trabajo del

alumno en las clases de prácticas y la resolución en dichas clases de diversas cuestiones (prácticas) sen-cillas similares a las realizadas en la práctica correspondiente. La evaluación será continua. Se realizaránpequeños controles a la finalización de cada práctica en los que se podrá disponer de todo el materialque se considere necesario (formularios de prácticas, apuntes, etc...). Si fuese necesario, se realizará unexamen final de prácticas para los alumnos que no han superado las prácticas.

Se deberá superar el examen final escrito consistente en cuestiones sobre la teoría a vista en clase y laresolución de problemas de aplicación de dicha teoría similares a los resueltos en las clases de problemas.Se tendrá en cuenta la asistencia a las clases de teoría y problemas.

La nota final será la media de ambas notas cuando se superen ambos exámenes.


1. MARDIA, K.V, KENT, J.T. y BIBBY, J.M.; Multivariate Analysis ; Academic Press ; 1997.

2. RENCHER, A.C.; Methods of Multivariate Analysis ; Wiley ; 1995.

3. PEÑA, D.; Análisis de datos multivariantes; McGraw-Hill ; 2002.

4. ANDERSON, T.W.; An Introduction to Multivariate Statistical Analysis ; Wiley ; 1974.

5. SRIVASTAVA, M.S. y CARTER, E.M.; A Introduction to Applied Multivariate Statistics ; North-Holland ; 1983.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Modelos Lineales 165

2A4. Modelos Lineales

Nombre Modelos LinealesCódigo Tipo Curso Créditos Duración Idioma

2A4 Optativa 2o Ciclo 7’5 Cuatrim. (1o) Español


DespachoFacultad


ManuelFranco Nicolás


S.05Matem.

868884187

[email protected]

L 12:00-15:00y en suma


Presentación de la asignaturaEn esta asignatura se estudia la teoría y aplicación de los Modelos Lineales, a través del Modelo

Lineal de Rango Completo y del Modelo Lineal de Rango no Completo. Estableciendo la necesidad deeste enfoque estadístico para la resolución de problemas reales mediante modelos de regresión lineal,modelos de análisis de la varianza, modelos de análisis de la covarianza y otros modelos clásicos dediseño de experimentos.

Objetivos

Conocer el análisis y diagnóstico del Modelo de Regresión Lineal, y las extensiones de los ModelosLineales de Rango Completo.

Aplicar la teoría de estos Modelos Lineales de Rango Completo a la resolución de problemasteórico-prácticos.

Conocer los Modelos Lineales de Rango no Completo, y utilizar estos modelos para la resoluciónde problemas clásicos de diseño de experimentos.

Conocimientos previos necesariosConceptos básicos de Álgebra Lineal y Análisis Matemático. Teoría elemental de Probabilidad y

Estadística Matemática.


Distinguir los problemas correspondientes a Modelos Lineales y su formulación.

Encontrar los estimadores del Modelo Lineal.

Determinar propiedades de estos estimadores.

Calcular e interpretar los intervalos de confianza y de predicción.

Realizar los contrastes de hipótesis del Modelo Lineal.

Analizar los residuos del modelo.

Ser capaz de afrontar otros modelos más complejos y abordar su análisis y resolución.

166 Modelos Lineales Universidad de Murcia


1. Introducción a los Modelos Lineales.2. Modelos de Regresión Lineal Simple.3. Modelos de Regresión Lineal Múltiple.4. Extensiones de los Modelos de Regresión.5. Modelo Lineal de Rango no Completo.

Metodología didácticaLa teoría se desarrollará mediante clases en pizarra y/o con transparencias y/o con cañón de video.

Las prácticas consistirán fundamentalmente en la resolución mediante ordenador de diferentes problemasde datos reales correspondientes a los distintos tipos de modelos lineales del programa teórico, para ellose manejarán los paquetes estadísticos Minitab y SPSS (entre otros). Asimismo, algunas clases prácticasconsistirán en la resolución en el aula de problemas sobre los contenidos desarrollados.

Criterios básicos de evaluaciónPara superar la asignatura se realizará un examen de teoría y problemas sobre los contenidos del

programa con un valor del 45 % de la calificación final, y el 55 % restante corresponderá a la evaluaciónde las prácticas y los trabajos realizados durante el desarrollo de la asignatura.


1. Draper, N.R. y Smith, H. Applied Regression Analysis, 3rd. John Wiley. 1998.2. Moser, B.K. Linear Models. A Mean Model Approach. Academic Press. 1996.3. Searle, S.R. Linear Models. John Wiley. 1971.4. Seber, G.A.F. Linear Regression Analysis. John Wiley. 1977.


1. Dobson, A.J. An Introduction to Generalized Linear Models. Chapman & Hall. 1990.2. Fernández de Trocóniz, A. Modelos Lineales. Universidad del País Vasco. 1987.3. Golberg, M.A. y Cho, H.A. Introduction to Regresion Analysis. WIT Press. 2004.4. Kleinbaum, D.G.; Kupper, L.L.; Muller, K.E. y Nizam, A. Applied Regression Analysis and Multi-

variate Methods. Duxbury Press. 1998.5. Montgomery, D.C. y Peck, E.A. Introduction to Linear Regression Analysis. Wiley. 1992.6. Peña, D. Estadística Modelos y Métodos. Modelos Lineales y Series Temporales. Alianza Univer-

sidad Textos. 1992.7. Rencher, A.C. Linear Models in Statistics. John Wiley. 2000.8. Sahai, H. y Ageel, M.I. The Analysis of Variance. Birkhäuser. 2000.


MinitabSPSS

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Modelos de Investigación Operativa 167

2A5. Modelos de Investigación Operativa



DespachoFacultad


Manuel AndrésPulido Cayuela


2.03Matem.

868883619

[email protected]

C1: Lu 15:20-17:20C1: Mi 9:30-10:30C2: Lu 16:00-18:00C2: Ju 9:30-10:30y en SUMA


Presentación de la asignaturaLa asignatura esta dividida en cuatro bloques. En el primero se analizan los problemas de optimización

en presencia de varios objetivos, y se estudian diferentes técnicas para resolver los correspondientes mod-elos que se plantean. El segundo está dedicado al estudio de modelos de recorridos en redes de transportey a los problemas de planificación de proyectos, producción, etc. En el tercero se estudian diferentes mod-elos de localización de centros de servicio. El último bloque se dedica al estudio de los problemas decompetencia mediante el uso de la Teoría de Juegos. El objetivo es desarrollar capacidad de formulacióny análisis de los modelos de Investigación Operativa, así como conocer las técnicas necesarias para suresolución.

Las clases prácticas consistirán en la resolución de los ejercicios correspondientes a las clases teóricas,una parte de los cuales serán resueltos por el profesor y el resto quedarán propuestos para ser resueltospor el alumno. Dichas clases incluyen también el uso del ordenador para la resolución de los problemasque con tal fin se entreguen a los alumnos.

Objetivos

Conocer las principales técnicas de resolución de problemas multiobjetivo.

Conocer problemas clásicos de rutas.

Conocer problemas clásicos de localización.

Conocer problemas básicos de teoría de juegos.

Conocimientos previos necesariosEl alumno debe tener conocimientos de algebra lineal, análisis matemático y técnicas de optimización.


Manejo de las principales técnicas multicriterio para la obtención de puntos eficientes.Formulación y resolución de problemas de rutas por arcos y vértices..Análisis de proyectos.Formulación y resolución de problemas de centros y medianas en redes.Análisis de estrategias.Determinación de equilibrios.

168 Modelos de Investigación Operativa Universidad de Murcia


1. Modelos de decisión multicriterio.

a) Conceptos básicos.b) Método de ponderaciones: Método NISE.c) Programación por Metas.d) Programación compromiso.

2. Modelos de Rutas y Planificación.

a) Circuitos Eulerianos. El problema del Cartero Chino.b) Circuitos hamiltonianos. El Problema del viajante de comercio.c) Problemas de rutas de vehículos.d) Diseño de redes de actividades.e) Métodos CPM y PERT.f ) Aplicaciones de análisis de redes de actividades

3. Modelos de Localización.

a) Elementos de un problema de localización.b) Localización de un centro con criterio minisum.c) Localización de un centro con criterio minimax.d) Localización de varios centros.

4. Modelos de competencia.

a) Elementos de Teoría de Juegos.b) Juegos bipersonales de suma cero.c) Computación de estrategias mediante Programación Lineal.d) Juegos bimatriciales.e) Juegos n-personales.

Metodología didácticaLa parte teórica se desarrollará mediante clases en pizarra.La parte práctica estará dividida en dos partes. Por un lado la resolución en clase de problemas prop-

uestos sobre los contenidos estudiados, y por otro la realización de prácticas de ordenador en la microaulacon problemas de mayor tamaño.

Criterios básicos de evaluaciónPara evaluar al alumno se realizará un examen final que constará de las siguiente partes:1.- Prueba escrita sobre contenidos teórico-prácticos del temario. Valor: 7.5 puntos2.- Prueba con el ordenador sobre contenidos prácticos del temario. Valor: 2.5 puntos.Como nota adicional, se valorará con hasta 1 punto la participación del alumno en clase (resolución de

ejercicios, exposición de trabajos, etc.). Para aprobar la asignatura será necesario obtener conjuntamenteuna puntuación no inferior a 5 puntos, obteniendo al menos 3 puntos en el examen escrito y 1 punto en elexamen práctico.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Teoría de la Probabilidad 169


1. Christofides; Graph Theory ; Academic Press ; 1975.

2. Cohon; Multiobjective Programming and Planning ; Academic Press ; 1978.

3. Daskin; Network and Discrete Location ; Wiley ; 1995.

4. Owen; Game Theory ; Academic Press ; 1995.

5. Romero; Teoría de la decisión multicriterio: Conceptos, técnicas y aplicaciones ; Alianza Universi-dad Textos ; 1993.

6. Whitehouse; Systems analysis and design using network techniques ; Prentice-Hall ; 1973.

7. XPRESS-MP para Windows, User Guide; Dash Associates; Blisworth House Church Lane, Blis-worth, Northants, NN7 3BX, U.K.; 1994.

2A9. Teoría de la Probabilidad



DespachoFacultad


NoemíZoroa Alonso


2.09Matem.

868883633

[email protected]

MJV 11-12MJV 13-14

Presentación de la asignaturaEn esta asignatura se pretende ampliar los conocimientos adquiridos por el alumno en la asignatura

troncal de primer ciclo Probabilidades y Estadística, abordar una introducción a los Procesos Estocásticosasí como algunos tipos de procesos específicos, como procesos de Poisson, markovianos, etc.

ObjetivosAmpliar los conocimientos acerca de convergencia de variables aleatorias e introducir los concep-

tos básicos de Procesos Estocásticos y algunos de sus tipos, con objeto de conseguir una formación delalumno mas completa sobre Teoría de la Probabilidad.

Conocimientos previos necesariosSerán utilizados los conocimientos adquiridos en la asignatura Probabilidades y Estadística y en la de

Métodos Estadísticos. También se manejarán conocimientos generales de Combinatoria, Álgebra Linealy Análisis Matemático.


Los conocimientos adquiridos deben capacitar al alumno para la resolución de problemas de cadauno de los temas desarrollados.

170 Teoría de la Probabilidad Universidad de Murcia


1. Convergencia de variables aleatorias

a) Tipos de convergencia y relación entre ellos.b) Convergencias mutuas.c) Convergencia a la ley normal.d) Leyes de los grandes números.e) Teorema de Glivenko-Cantelli.f ) Teorema de las tres series.

2. Distribuciones infinitamente divisibles

a) Función característica. Propiedades.b) Convergencia de funciones características.c) Distribuciones infinitamente divisibles.

3. Introducción a los procesos estocásticos

a) Teorema de Extensión.b) Teorema de Kolmogorov.c) Algunos tipos de procesos.d) Cadenas de Markov.e) Procesos de Poisson.

Metodología didácticaLa teoría se expondrá con ayuda de la pizarra. Se entregarán hojas con enunciados de problemas sobre

la materia explicada en cada una de las partes de Teoría. Con esto se pretende consolidar los conocimien-tos teóricos y estimular el interés personal del alumno en esta materia. Los problemas propuestos seránresueltos en clase con los métodos adecuados, pudiendo servir para la evaluación posterior del alumno lasiniciativas mostradas por cada uno.

Criterios básicos de evaluaciónLas pruebas orales y/o escritas constarán de una parte teórica sobre la materia desarrollada en clase

y una parte práctica consistente en problemas sobre la misma materia. La calificación promediará ambaspartes, teórica y práctica, exigiéndose para poder promediar sobrepasar una calificación mínima en cadaparte, dicha calificación mínima se dará a conocer en la convocatoria del examen. En la calificación finaltambién podrán ser tenidos en cuenta trabajos de curso, teóricos o prácticos propuestos por los profesores.


Apuntes de clase.1. Billingsley, P.; Probability and Measure. John Wiley and Sons, 1979.2. Feller, W.; Introducción a la teoría de las probabilidades, Volúmenes I y II. Limusa, 1973.3. Kingman, J. F. ; Taylor, S. J.; Introduction to Measure and Probability. Cambridge U.P., 1966.4. Tucker, H. G.; A graduate course in probability. Academic Press, 1967.5. Williams, D.; Probability with Martingalas. Cambrige University Press, 1995.6. Zoroa, P.; Zoroa, N.; Elementos de Probabilidades. DM, 2008.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Ampliación de Ecuaciones en Derivadas Parciales 171


1. Billingslley, P.;Convergence of probability measures. Wiley, 1968.

2. Doob, J. L.; Stochstic processes. Wiley, 1953.

3. Loeve, M.; Teoría de la probabilidad. Tecnos, 1976.

4. Quesada, V; Pardo, L.; Curso superior de probabilidades. PPU, 1987.

5. Zoroa, P.; Zoroa, N.; Introducción a la probabilidad y la medida, Vols I y II. PPU, 1991.

3A8. Ampliación de Ecuaciones en Derivadas Parciales



DespachoFacultad


FranciscoBalibrea Gallego


0.12Matem.

868884176

[email protected]

L,M,X,J13-14:30



Esta asignatura está dedicada al análisis de las ecuaciones en derivadas parciales y continua los temasy tópicos que por su longitud no pueden ser abordados en el curso introductorio general de Ecuacionesen Derivadas Parciales. Estos tópicos incluyen la introducción al alumno en las ecuaciones no lineales,especialmente las ecuaciones de ondas y el conocimiento de la teoría de las Distribuciones, sobre todoen su vertiente aplicada, para poner de manifiesto la utilidad de la misma. Igualmente se incluye lastransformaciones integrales de Fourier y Laplace de tanta utilidad en las aplicaciones.

Objetivos

Conocer en profundidad y manejar los métodos de separación de variables en los casos de másde dos dimensiones. Esto implica el manejo de varios sistemas ortogonales de funciones distintosde los sistemas trigonométricos, como los sistemas de Fourier-Bessel, polinomios de Hermite conpeso, funciones transformadas de los polinomios de Legendre con peso, armónicos esféricos, etc.

Aplicar las técnicas de las transformaciones integrales de Fourier y de Laplace a la resolución deproblemas.

Usar la teoría de las distribuciones para resolver proplemas de integrales singulares, medidas, etcen variable real.

172 Ampliación de Ecuaciones en Derivadas Parciales Universidad de Murcia


− Haber seguido un curso previo de Ecuaciones en Derivadas Parciales, en particular, el método deseparación de las variables y el uso de la función de Green.

− Conocer y manejar las series de Fourier trigonométricas.

− Conocer con detalle la resolución por el método de desarrollo en serie de ecuaciones diferencialesordinarias de segundo orden con coeficientes variables.


Ser capaz de construir y manejar con soltura algunas funciones especiales tales como funciones deBessel, polinomos ortogonales (Hermite, Legendre, Laguerre, Tchebychef), la función gamma ylos armónicos esféricos.

Aplicar, eligiendo convenientemente en cada caso, las transformaciones de Fourier, Laplace, trans-formación finita y rápida de Fourier y transformaciones seno y coseno en la resolución de una granvariedad de problemas.

Conocer e interpretar la ecuación de ondas lineal, tanto con los pincipios fuerte y débil de Huygens,el método del descenso de Hadamard y el método de Duhamel.

Entender el significado de distribución y el modo como se puede aplicar a resultados donde elanálisis real clásico no puede llegar. Realizar operaciones con distribuciones.


1. La Ecuación de Ondas La ecuación de ondas en Rn. El método de las medias esféricas y laecuación de Darboux. La ecuación de Euler-Darboux-Poison. Resolución de la ecuación de ondaspara n = 3. El principio fuerte de Huygens. El método del descenso de Hadamard. Resolución dela ecuación de ondas para el caso n = 2. La ecuación del telégrafo.El principio débil de Huygens.El método de Duhamel para resolución de la ecuación de ondas no homogénea.

Temas de ampliación: Resolución de la ecuación de ondas para n > 3 en los casos par e im-par.Ecuaciones de ondas no lineales, solitones y ecuación de Burgers.

2. Funciones Especiales y Problemas de Contorno con más de dos variables Series de Fouriermúltiples. El problema de la membrana vibrante rectangular. La ecuación de Laplace en un cubo.Funciones de Bessel. Series de Fourier-Bessel. El problema de la membrana vibrante circular. Laecuación de Laplace en el cilindro. La ecuación de ondas en el cubo. Polinomios de Legendre.Propiedades. Armónicos esféricos. El problema de Dirichlet y el de Neumann para la ecuación dePoisson en la esfera.

Tema de ampliación: La ecuación de ondas de Helmholtz para el electromagnetismo.

3. Transformadas Integrales La transformada de Fourier en L1 y propiedades. El teorema de Plan-cherel. La transformada de Fourier en L2 y propiedades. Potenciales de Bessel. Solución funda-mental de la ecuación de Schrödinger. Aplicaciones a las ecuaciones de ondas.

La transformada de Laplace. La ecuación resolvente y propiedades. Teorema de inversión. Aplica-ciones al problema de Cauchy en ecuaciones difernciales ordinarias. Un problema de difracción.

Temas de ampliación La transformada de Hopf-Cole. Las transformaciones hodógrafa y de Legen-dre.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Ampliación de Ecuaciones en Derivadas Parciales 173

4. Soluciones Débiles de Ecuaciones en Derivadas Parciales Diversas nociones de soluciones dé-biles. Introducción a la teoría de las Distribuciones. El espacio de las distribuciones. Soporte. Ejem-plos de distribuciones. Derivación. Distribuciones con soporte compacto. Convolución de distribu-ciones. Soluciones de ecuaciones en derivadas parciales en términos de distribuciones.

Temas de Ampliación: Soluciones fundamentales. El teorema de Malgrange-Ehrenpreis. Aplica-ciones.

Metodología didácticaLa parte teórica se desarrollará mediante clases magistrales.La parte práctica consistirá fundamentalmente en la resolución en el aula, de problemas y ejercicios

de aplicación de los contenidos desarrollados. Simultáneamente se propondrá trabajos de aplicación quese resolverán en el aula de ordenadores.

Criterios básicos de evaluaciónLa evaluación de la asignatura se realizará valorando los problemas y ejercicios propuestos semanal-

mente a los alumnos, las exposiciones en la clase de temas propuestos por el profesor y por otro lostrabajos prácticos propuestos en el aula de ordenadores.


1. JOHN, F. Partial Differential Equations (4th ed). Springer-Verlag, 1982.

2. COLTON, D. Partial Differential Equations. An Introduction. Birkhäuser, 1988.

3. EVANS, L. Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 1998.

4. PERAL, I. Primer Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales. Addison-Wesley, 1995.

5. WEINBERGER, H. Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales. Reverté, 1979.


1. FOLLAND, G.B. Partial Differential Equations. Princeton University Press, 1976.

2. BROMAN, A. Introduction to Partial Differential Equations. Dover, 1989.

3. KÖRNER, T.W. Fourier Analysis. Cambridge University Press, 1996.

4. LOGAN, J.D. Applied Partial Differential Equations. Springer, 1998.

5. TOLSTOV, G.P. Fourier Series. Dover, 1962.

174 Métodos Matemáticos para la Mecánica Universidad de Murcia

4A0. Métodos Matemáticos para la Mecánica



DespachoFacultad


FranciscoEsquembre Martínez


1.05Matem.

868883534

[email protected]

L,M,X,J9:30-11:00


Presentación de la asignaturaA lo largo de su historia, la Física ha sido motor y compañera de las Matemáticas. Muchos de los

desarrollos más relevantes de las matemáticas han sido motivados por problemas y teorías de la Física quegeneraron ideas que, posteriormente, se formalizaron por los matemáticos.

El objetivo de esta asignatura es rescatar parte de esa conexión para nuestros licenciados. Se pretendeque los alumnos que se matriculen adquieran unos conocimientos físicos razonables, al menos de la dis-ciplina de la Mecánica, para cualquier licenciado en Ciencias. Confiamos en que este estudio sirva tantocomo motivación y justificación práctica de algunas de las teorías que se aprendieron durante la carrera,como que proporcionen al estudiante conocimientos prácticos que les puedan servir en caso de que sedediquen profesionalmente a actividades en los que se apliquen conceptos de dicha disciplina.

En la asignatura realizamos un estudio introductorio de la Mecánica Newtoniana con el fin de famil-iarizar al estudiante con conceptos básicos y formulaciones que, en otras carreras, se estudian en primercurso. Como elemento distintivo, en ocasiones realizaremos este estudio con mayor rigor que en los cursoshabituales dado que los estudiantes disponen de un mayor bagaje matemático.

Queremos dar un carácter práctico a la asignatura. Por ello, a lo largo del curso los estudiantes re-alizarán en detalle multitud de ejercicios con diversos ejemplos prácticos de sistemas mecánicos.

Objetivos

Familiarizar al estudiante con conceptos de la Mecánica a nivel de Física General.

Desarrollar la capacidad de formular y resolver problemas mecánicos comunes.

Mostrar las conexiones de algunas de las herramientas matemáticas aprendidas con conceptos yproblemas físicos.

Conocimientos previos necesariosPara cubrir los objetivos mencionados se necesita una formación matemática como la que se adquiere

en los cuatro primeros años de la licenciatura en Matemáticas.


Conocer conceptos de Mecánica a nivel de Física General.

Formular y resolver adecuadamente problemas mecánicos mediante la formulación Newtoniana.

Dotar de contenido físico a diversos conceptos estudiados en distintas asignaturas de la licenciatura.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Métodos Matemáticos para la Mecánica 175


1. Cinemática Movimiento rectilíneo. - Movimiento curvilíneo.- Movimiento circular y en relacióncon la Tierra.- Aceleraciones centrífuga y de Coriolis.

2. Dinámica de la partícula Fuerza y momento lineal.- Leyes de Newton.- Torque y momento angu-lar. - Trabajo y energía.

3. Aplicación de las leyes del movimiento Movimiento oscilatorio.- Interacción gravitatoria.

4. Sistemas de partículas Centro de masas.- Momento lineal y momento angular.- Energía.- Movi-miento del sólido rígido.

Metodología didácticaAunque se impartirán clases de tipo magistral cuando sea preciso formalizar desarrollos no suficien-

temente tratados en los libros de texto, se espera de los alumnos que se preparen las clases de modo quese pueda dedicar buena parte de ellas a la discusión de las ideas fundamentales. Además, se realizaránen clase multitud de ejercicios prácticos en los que se espera del estudiante que forme parte activa de lostrabajos. Se estimulará el trabajo y la dicusión en grupos. El profesor monitorizará estos trabajos, queformarán parte de la evaluación del estudiante.

Criterios básicos de evaluaciónSe tendrá en cuenta la participación de los estudiantes en la realización de los problemas a lo largo

del curso, individualmente o en grupos. Esto influirá en la nota final que se obtendrá en un examen finalque tendrá un marcado carácter práctico, en consonancia con la actividad realizada por el estudiante a lolargo del curso.


1. Alonso, M. y Finn, E.J.; Física ; Addison-Wesley Iberoamericana ; 1995.


1. Cualquier libro de Física General basado en el cálculo.

2. Knudsen, J.M. y Hjorth P.G.; Elements of Newtonian Mechanics ; Springer ; 1995.

3. Saletan, E. J. y José J.V.; Classical Dynamics: A Contemporary Approach ; Cambridge UniversityPress ; 1998.

4. Marion, J.B.; Dinámica clásica de las partículas y sistemas ; Reverté ; 1998.

176 Geometría Algebraica Universidad de Murcia

4A6. Geometría Algebraica



DespachoFacultad


Pedro AntonioGuil Asensio


1.01Matem.

868883676

[email protected]

MJ 16:30-18:30X 10-12


Presentación de la asignaturaEl curso se dedicará a una introducción a la geometría algebraica. El tema fundamental es el estudio de

los sistemas de ecuaciones polinómicas sobre cuerpos y de las propiedades geométricas de sus conjuntosde soluciones en los espacios adecuados. En consecuencia, la relación entre conceptos geométricos yalgebraicos está presente en todo el desarrollo del curso.

Objetivos

Que el alumno conozca y comprenda la relación entre los conceptos abstractos del álgebra conmu-tativa y las ideas geométricas que les corresponden.

En relación con el punto anterior, debe comprender en particular el significado geométrico de losideales maximales, primos o radicales en anillos de polinomios, los conceptos de localización odimensión, álgebras finitamente generadas y reducidas, y sus homomorfismos.

Que el alumno conozca la demostración de alguno de los teoremas clásicos de la materia, como elteorema de Bézout sobre intersecciones de curvas planas.

Que el alumno comprenda el concepto de equivalencia birracional de variedades irreducibles ysu relación con el isomorfismo entre cuerpos de funciones. Igualmente, que relacione el conceptogeométrico de punto singular con el algebraico de anillo local regular.

Que el alumno obtenga información sobre el enfoque moderno de la geometría algebraica, a travésde los conceptos de haces y esquemas.

Conocimientos previos necesariosEl alumno debe tener un buen conocimiento del álgebra del primer ciclo de la carrera. No es preciso

que haya seguido la asignatura de "Álgebra conmutativa", puesto que los resultados que sean necesariospara el desarrollo de este curso, se demostrarán o, al menos, se enunciarán explícitamente cuando se vayana utilizar.


Ser capaz de determinar la compatibilidad o incompatibilidad de un sistema de ecuaciones polinómi-cas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado (si es necesario, con auxilio de métodos informáticos).

Saber reducir los sistemas de ecuaciones polinómicas mediante la eliminación de indeterminadas,para identificar sus conjuntos de soluciones.

Obtener la parametrización, cuando es posible, de variedades algebraicas; recíprocamente, obtenerlas ecuaciones implícitas de variedades dadas en forma paramétrica.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Geometría Algebraica 177


1. Conjuntos algebraicos afines2. Funciones regulares3. Bases de Gröbner4. Aplicaciones de las bases de Gröbner5. Conjuntos algebraicos proyectivos y funciones regulares6. Morfismos7. Variedades algebraicas y morfismos8. Anillos locales9. Equivalencia birracional

10. Dimensión de una variedad11. Número de ecuaciones y dimensión12. Espacio tangente y puntos singulares13. Teorema de Bézout14. Haces15. Esquemas

Metodología didácticaAproximadamente el 80 % de las clases serán de contenido teórico y consistirán en la exposición de

los temas del curso por parte del profesor. El resto serán clases prácticas y consistirán en la exposiciónpor parte de los alumnos de problemas previamente propuestos.

Criterios básicos de evaluaciónLa evaluación dependerá, a partes iguales, de dos factores: uno, la resolución de problemas y su

exposición en clase. Otro, un examen final de teoría. Al menos un mes antes de final de curso, el profesorindicará cuáles son los capítulos de la asignatura (entre 4, como mínimo y 6, como máximo) que entraránen ese examen.


1. Brodmann; Algebraische Geometrie. Eine Einführung ; Birkhäuser-Verlag ; 1989.2. Hartshorne; Algebraic Geometry ; Springer-Verlag ; 1977.3. Perrin; Géométrie algébrique. Une introduction ; InterEditions/CNRS Editions ; 1995.


1. Cox, Little, O’Shea; Ideals, varieties and algorithms ; Springer-Verlag ; 1992.2. Eisenbud; Commutative algebra with a view toward algebraic geometry ; Springer ; 1995.3. Harris; Algebraic geometry ; Springer-Verlag ; 1992.4. Kunz; Introduction to commutative algebra and algebraic geometry ; Birkhäuser ; 1985.5. Shafarevich; Basic algebraic geometry ; Springer-Verlag ; 1994.

178 Seminario de Álgebra Universidad de Murcia

5A0. Seminario de Álgebra



DespachoFacultad


Juan JacoboSimón Pinero


0.04Matem.

868884169

[email protected]

M 12-14X J 15-17

Presentación de la asignaturaLa asignatura pretende introducir al alumno en la Teoría de los códigos correctores de errores.

Objetivos

Conocer el problema que da lugar a la teoría de códigos; en particular, los códigos lineales.Conocer y manejar las nociones básicas de la Teoría de códigos lineales.Conocer y manejar las nociones y técnicas de los tipos clásicos de códigos lineales.

Conocimientos previos necesariosEs imprescindible que el alumno tenga conocimientos básicos de álgebra lineal y álgebra abstracta.

Competencias de la titulación a las que contribuye la asignaturaTI1-3, TI6-7, TP6-7, TS1, TS3, TS7, ED1, ED8-10, ED13, EP1, EP8-9, EP12, EA2-3, EA6-7, EO3-4


Conocer la necesidad de la teoría de códigos.Conocer el problema fundamental de la teoría de códigos.Manejar las herramientas de estudio de los espacios vectoriales sobre cuerpos finitos.Manejar con soltura los conceptos relativos a los códigos lineales.Ser capaz de aplicar el conocimiento sobre espacio vectoriales a los códigos lineales.Conocer y manejar las técnicas empleadas en el estudio de los códigos clásicos. Códigos de Ham-ming, Perfectos, BCH, etcétera.Conocer el problema fundamental de los códigos lineales y reconocer sus consecuencias.Conocer el concepto y las técnicas de los códigos MDS.


1. Introducción.2. El problema principal de la teoría de códigos.3. Espacio vectoriales sobre cuerpos finitos.4. Códigos lineales.5. Códigos de Hamming.6. Códigos Perfectos.7. Códigos BCH.8. Códigos cíclicos.9. El problema principal de los códigos lineales.

10. Códigos MDS.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Álgebras de Banach y Teoría Espectral 179

Metodología didácticaLa parte básica de cada tema los dará el profesor en la pizarra. Después se harán discusiones de taller.

Criterios básicos de evaluaciónLa evaluación de la asignatura se hará mediante la realización por parte del alumno de ejercicios que

periódicamente propondrá el profesor; además de la participación en las discusiones. Aquellos alumnosque no superen la asignatura de esta forma, podrán realizar un examen final escrito con cuestiones teóricasy prácticas que se convocará oportunamente.


1. Cary, W. y Vera Pless, Fundamentals of error-correcting codes, Cambridge U. P., 2003.2. Hill, Raimond, A first course in coding theory, Clarendon Press, 1986.3. Roman, Steven, Introduction to coding and information theory, Springer, 1996.


1. Adamek, Jiri, Foundations of coding, John Wiley, 1991.2. Betten, Antoni; Michel Brawn et al., Error-correcting linear codes, Springer, 2006.3. Pretzel, Oliver, Error-correcting codes and finite fields, Clarendon Press, 1992.4. Van Lint, J. H. Introduction to coding theory, Springer, 1982.

5A3. Álgebras de Banach y Teoría Espectral



DespachoFacultad


StanimirTroyanski


0.03Matem.

868884168

[email protected]

MXJ 12-14

Presentación de la asignaturaEsta asignatura sirve para complementar los conocimientos adquiridos en la signatura troncal deAná-

lisis Funcional, presentando las grandes aportaciones del siglo pasado que combinan técnicas del análisiscomplejo, análisis funcional y del álgebra infinito dimensional.

Objetivos

Introducir métodos algebraicos y analíticos para obtener fórmulas para el cálculo con operadoresen espacios de Banach de dimensión infinita.Comprender las dificultades inherentes a la dimensión infinita y los métodos de diagonalización deoperadores simétricos en espacios de Hilbert.Analizar la teoría espectral de Riesz para espacios de Banach y las dificultades para obtener sube-spacios invariantes no triviales de dimensión infinita.

180 Álgebras de Banach y Teoría Espectral Universidad de Murcia

Conocimientos previos necesariosConocimientos básicos del «Análisis Complejo» y del «Análisis Funcional».


Comprender el cálculo operacional o simbólico para un álgebra de Banach, y en particular paraálgebras de operadores.

Entender y manejar las propiedades básicas del espectro.

Analizar con detalle la transformación de Gelfand y sus aplicaciones.

Calcular los caracteres de álgebras sencillas y aplicar criterios de invertibilidad en la transformadade Gelfand.

Comprender la isometría y ∗-isomorfismo de la transformación de Gelfand sobre B∗-álgebras con-mutativas.

Entender las resoluciones de la identidad como herramienta para diagonalizar operadores simétricosno necesariamente compactos en espacios de Hilbert.

Analizar como la compacidad permite obtener resultados aceptables para operadores en espaciosde Banach.


1. Álgebras de Banach y su teoría espectral básica Elementos inversibles, espectro, Teorema deGelfand-Mazur.

2. Teoría de Gelfand sobre álgebras de Banach conmutativas Álgebras de Banach conmutativas.Ideales maximales y homomorfismos complejos. Transformada de Gelfand, Teorema de Wiener.Involuciones, Teorema de Gelfand-Naimark.

3. Teoría espectral de operadores en espacios de Hilbert Aplicaciones a B∗-álgebras no conmu-tativas, conjuntos normales y elementos positivos. Teoría espectral de operadores hermitianos enespacios de Hilbert. Resoluciones de la identidad, representaciones integrales, cálculo simbólico.

4. Operadores compactos en espacios de Banach Operadores lineales compactos en espacios deBanach: espectro, valores y vectores propios. Teorema de Schauder de punto fijo y Teorema deLomonosov para operadores que conmutan con operadores lineales y compactos.

Metodología didácticaUtilizaremos el aula para promover la discusión con los alumnos sobre los teoremas fundamentales,

sirviéndonos como texto guía el curso de Análisis Funcional redactado por los profesores B. Cascales yJ.M. Mira para el comienzo de la asignatura. En el resto suministraremos copias de diversos capítulos delibros como guía.

Criterios básicos de evaluaciónSe tendrá en cuenta la participación en las discusiones de clase y la resolución de los problemas

planteados a lo largo del cuatrimestre, así como la exposición oral de temas tratados previamente por elprofesor de la asignatura.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Geometría Diferencial Avanzada 181


1. J. B. Conway; A Course in Functional Analysis ; Springer New York ; 1990.

2. R. G. Duglas; Banach Algebras techniques in operador theory ; Academic Press ; 1972.

3. N. Dunford, J.L. Schwartz; Linear Operators vol. I y II; Wiley Interscience Publ. Inc. New York ;1963.

4. P.D. Lax; Functional Analysis ; John Wiley & Sons Inc. ; 2002.

5. F. Riesz, B. Sz. Nagy; Leçons d’analyse fonctionelle 6 edition; Gautiers Villars Paris; .

6. W. Rudin; Análisis Funcional ; Reverté Barcelona; 1982.

5A5. Geometría Diferencial Avanzada



DespachoFacultad


José AntonioPastor González


S.09Matem.

868884170

[email protected]

LMXJ 10-12

Presentación de la asignaturaEn esta asignatura se pretende realizar un estudio introductorio de la Teoría de la Relatividad de Albert

Einstein como una de las más bellas aplicaciones de la Geometría Diferencial.

ObjetivosComprender la Teoría de la Relatividad con sus diferentes aplicaciones y sorprendentes consecuen-

cias.


− Imprescindible haber cursado la asignatura Geometría y Topología.

− Recomendable haber cursado (o estar cursando) la asignatura Geometría de Riemann.


1. Relatividad Especial: la geometría de un espacio-tiempo llano. Sistemas de referencia iner-ciales y otros conceptos básicos. El experimento de Michelson-Morley y sus implicaciones. Lospostulados de la Relatividad Especial. La simultaneidad es relativa y más consecuencias de los pos-tulados. Sistemas de coordenadas y definición del intervalo. Las transformaciones de Lorentz. For-malización matemática: el espacio-tiempo de Minkowski. Diagramas espacio-tiempo. La paradojade los gemelos y otras historias relativistas. Orden temporal y causalidad.

182 Geometría Diferencial Avanzada Universidad de Murcia

2. Relatividad General: la geometría de un espacio-tiempo curvo. El Principio de Equivalencia. Lagravedad es una manifestación de la curvatura del espacio-tiempo. Las consecuencias de la teoría deEinstein. La ley universal de la gravitación de Newton. Órbitas en la teoría de Newton. Geodésicas.Las ecuaciones de campo. La solución de Schwarzschild. Órbitas en Relatividad General. Tests dela Relatividad General: deflexión de la luz, lentes gravitatorias, avance del perihelio de Mercurio,ondas gravitatorias y agujeros negros.

3. Cosmología. Los hechos básicos. Dificultades de la cosmología antes de la relatividad. Cosmologíarelativista: el principio cosmológico. El modelo de Milne. La métrica de Robertson-Walker. Mode-los de goma, corrimientos hacia el rojo y horizontes. Comparación con las observaciones. Dinámicacósmica de acuerdo con Newton. Dinámica cósmica de acuerdo con la Relatividad General. Losmodelos de Friedmann. El principio de Mach desde una perspectiva moderna.

Metodología didácticaClases teóricas y prácticas en pizarra. Trabajo en grupo.

Criterios básicos de evaluaciónLa calificación se obtendrá en base a tres aspectos: la participación en clase, la realización de prob-

lemas y la elaboración y exposición de un trabajo relacionado con la materia. Eventualmente se podríarealizar algún control para comprobar la asimilación de la materia y la marcha del grupo.


1. R. L. Faber. Differential Geometry and Relativity Theory. Marcel Dekker, New York, 1983.

2. W. Rindler. Essential Relativity: Special, General and Cosmological. Springer, 1977.


1. J. K. Beem, P. E. Ehrlich y K. L. Easley. Global Lorentzian Geometry. Dekker, 1996.

2. S. W. Hawking y G. F. R. Ellis. The Large Scale Structure of Space-time. Cambridge UniversityPress, 1973.

3. C. W. Misner, K. S. Thorne y J. A. Wheeler. Gravitation. Freeman, 1973.

4. B. O’Neill. Semi-Riemannian Geometry with applications to Relativity. Acad. Press, 1983.

5. R. Resnick. Introducción a la Teoría Especial de la Relatividad. Limusa, 1981.

6. R. K. Sachs y H. Wu. General Relativity for Mathematicians. Springer-Verlag, 1977.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Asignaturas de Libre Configuración 183

16. Asignaturas de Libre Configuración

3FE. Probabilidad para las Finanzas

Código Tipo Curso Créditos Duración Idioma3FE Libre Config. 2o Ciclo 9 Anual Español


DespachoFacultad


José ManuelMira Ros


1.12Matem.

868883982

[email protected]

LXJ 13-14MJ 16-19

JoséOrihuela Calatayud


1.09Matem.

868883539

[email protected]

MXJ 12-14

Presentación de la asignaturaEsta asignatura de libre configuración, con 5,5 créditos teóricos y 3,5 prácticos (1,5 de ellos en mi-

croaula), está dirigida a estudiantes de las siguientes titulaciones:

Licenciado en Matemáticas.

Licenciado en Físicas.

Ingeniero en Informática.

Licenciado en Economía.

Licenciado en Admisintración y Dirección de Empresas.

Licenciado en Investigación y Técnicas de Mercado.

Con la asignación del Premio Nobel de Economía a H. Markowitz, W. Sharpe y M. Miller en 1990,el Comité del Premio Nobel deseaba llamar la atención a la comunidad internacional sobre la emergenciauna nueva disciplina científica, la teoría de las finanzas, durante los últimos cincuenta años. La ingenieríafinanciera surgió con fuerza como nueva disciplina para responder a las turbulencias de unos mercadosmundiales globalizados: flotación de los tipos de cambio, crisis petrolíferas, variaciones del clima, con-vulsiones en los tipos de interés, desplome de valores...

La teoría de las finanzas trata de investigar el comportamiento de los mercados financieros, cómohacerlos más eficientes, y cómo deben ser regulados para facilitar la actividad económica. Progresiva-mente se ha ido llenando de técnicas matemáticas que le confieren hoy el aspecto de una rama más de lamatemática y algunos problemas financieros están orientando hoy la investigación en ciertas ramas de lasmatemáticas.

La ingeniería financiera recibió de nuevo un vigoroso empuje con la concesión del Nobel de Economíade 1997 a M. S. Sholes y R. C. Merton, creadores junto a F. Black de un modelo de apreciación deopciones. Desde 1970-80, la ingeniería financiera, disciplina basada en la computación a gran velocidad yen modelos matemáticos creados por expertos en ciencias exactas, permite diseñar garantías y coberturasque aseguren los precios frente a los eventuales riesgos futuros.

La fórmula de Black-Sholes utiliza el principio de no-arbitraje y ha probado ser de incalculable valorpara las instituciones financieras. El teorema fundamental de asignación de precios a activos financierosprofundiza en el principio de no-arbitraje con técnicas del análisis funcional y teoría de la probabilidad.Hoy sabemos que la condición de no-arbitraje sobre un mercado significa que se debe de comportar comouna martingala para una medida de probabilidad equivalente, y que con dicha medida podremos calcular

184 Probabilidad para las Finanzas Universidad de Murcia

el valor para productos derivados como las opciones. Un nuevo concepto, el de cena gratis con riesgodespreciable, resulta ahora de mayor interés como han puesto de manifiesto F. Delaben y W. Schacher-mayer, éste último fue galardonado por ello con el premio Wittgenstein del gobierno austríaco en 1998. J.Orihuela y W. Schachermayer colaboraron en investigaciones de la teoría de los espacios de Banach entre1987 y 1991. W. Schachermayer se ha comprometido ahora con el grupo de investigación de AnálisisFuncional de la Universidad de Murcia para promover una línea de investigación sobre las aplicacionesdel Análsis Funcional a las finanzas para la que contamos ya con una financiación previa del MEC.

La teoría de las finanzas se ha desarrollado enormemente en los últimos 25 años provocando lasorprendente catálisis de la introducción de cursos de cierto nivel matemático para profesionales nomatemáticos, y muy alejados de la matemática, en universidades de todo el mundo en los años recientes.Aunque las eventuales aplicaciones son concretas, las matemáticas involucradas son bastante abstractas ylos profesionales de las finanzas precisan hoy de conocimientos matemáticos superiores.

ObjetivosIntroduciremos al alumno en las nociones básicas de las teorías de probabilidades, integración de

Lebesgue y cálculo de Itô para analizar con profundidad la fórmula de Black-Sholes de asignación de pre-cio a opciones en los mercados financieros. Analizaremos las matemáticas del arbitraje que hoy permitendescribir con rigor los mercados de futuros y opciones. Los alumnos que completen el curso dispondránde las bases necesarias para abordar estudios posteriores de matemáticas financieras.

Conocimientos previos necesariosIntroduciremos todos los conceptos básicos para abordar la asignatura y la haremos por tanto auto-

contenida. No obstante conocimientos básicos de cálculo diferencial e integral en una variable la haránmás asumible para el alumno.


1. Dinero y mercados (0,5 créditos): Arbitraje y cobertura.

2. Teoría de conjuntos (1 crédito): El infinito y los números reales, σ-álgebras, particiones y fil-traciones. Conjuntos de Borel y funciones medibles, convergencia. Espacios de probabilidad. Op-ciones: primer paso del modelo binomial. Independencia. Procesos estocásticos.

3. Esperanza (1,5 créditos): Variables aleatorias simples, acotadas y positivas, positivas. Variablesaleatorias integrables. Continuidad e integrabilidad. Independencia de variables aleatorias. La inte-gral de Riemann y el teorema central del límite. Funciones convexas y la desigualdad de Jensen.Medidas producto y teorema de Fubini.

4. Esperanza condicional (1 crédito): Opciones de compra y venta en el modelo binomial multi-periodo, la esperanza condicional y el teorema de Radon-Nikodym, la esperanza condicional y lamejor aproximación, la cobertura de opciones.

5. Martingalas (1 crédito) : Martingalas discretas, convergencia de martingalas, martingalas contin-uas. El movimiento Browniano.

6. El modelo de mercado de Bachelier, valoración de opciones (1 crédito): La fórmula de Black-Sholes, la probabilidad de riesgo neutro.

7. Integración estocástica (1 crédito): Convergencia de variables aleatorias, la integral estocásticade Riemann, la integral de Itô. Versión estocástica del teorema fundamental del cálculo: la fórmulade Itô. Cobertura de opciones.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Probabilidad para las Finanzas 185

8. El teorema fundamental de asignación de precios en mercados financieros (0.5 créditos):Ausencia de arbitraje, comida gratis, complejidad infinito dimensional. Teorema de Delbaen ySchachermayer.

9. Prácticas en microaula (1.5 créditos): Análisis numérico de las ecuaciones del arbitraje y de losconceptos y técnicas introducidos a lo largo del curso.

Metodología didácticaSe desarrollarán clases magistrales para acercar al alumno a los objetos matemáticos necesarios de

forma intuitiva, introduciendo las nociones fundamentales desde un nivel básico y elemental. Desarro-llaremos ejercicos y problemas en las clases prácticas. Analizaremos los conceptos, teoremas, y ecua-ciones estocásticas del curso en prácticas con ordenador. Aprovecharemos las visitas a nuestro grupo deinvestigación de especialistas en la materia para que nuestros estudiantes puedan charlar y discutir conellos.

Criterios básicos de evaluaciónLos alumnos desarrollarán exposiciones orales y ante el resto de la clase de materia previamente

introducida en las clases magistrales, materia que habrá sido elegida por ellos mismos para este fin, loque dará lugar a un coloquio posterior donde las intervenciones de todos los asistentes serán evaluadas.Todo ello junto con los problemas y las prácticas realizadas será reflejado en la calificación final de laasignatura.


1. S. DINEEN. Probability Theory in Finance. A Mathematical Guide to the Black-Scholes Formula.American Mathematical Society, Gaduate Text in Mathematics 70, 2005.

2. F. DELBAEN Y W. SCHACHERMAYER. The Mathematics of Arbitrage. Springer Verlag Finance,2006.

3. S. STOJANOVIC. Computational Financial Mathematics using Mathematica. Birkhäuser, 2002.


1. F. DELBAEN Y W. SCHACHERMAYER. Applications to Mathematical Finance (en Handbook ofBanach Spaces, W.B Johnson y J. Lindenstrauss eds., Chapter 9, 367–391). North Holland, 2001.

2. J. C. HULL. Introducción a los Mercados de Futuros y Opciones (4a ed). Pearson, Pretice Hall,2002.

3. M. JOSHI. The concepts and Practice of Mathematical Finance (2a ed). Cambridge UniversityPress, 2004.

4. P. E. PROTTER. Stochastic Integration and Differential Equations (2a ed). Springer Verlag, Appli-cations of Mathematics 21, 2004.

5. S. E. SHREVE. Stochastic Calculus for Finance I and II. Spriger Verlag Finance, 2004.

6. D. WILLIAMS. Probability with Martingales. Cambridge University Press, Cambridge Mathemat-ical Textbooks, 1995.

186 Taller de Matemática Divulgativa Universidad de Murcia

3FW. Taller de Matemática Divulgativa

Código Tipo Curso Créditos Duración Idioma3FW Libre Config. 2o Ciclo 4,5 Cuatrim. (2o) Español


DespachoFacultad


JoséAsensio Mayor


1.15Matem.

868883587

[email protected]

M,X,J 12-13M,X 16:30-18

Albertodel Valle Robles


0.02Matem.

868884167

[email protected]

L,M,X,V13-14:30

PascualLucas Saorín


0.08Matem.

868884173

[email protected]

L,X,V 12-14

SalvadorSánchez-PedreñoGuillén


1.06Matem.

868883536

[email protected]

L 16-18M 16-19V 13-14

Los profesores Asensio, del Valle y Lucas participan en el Proyecto de Tutoría Electrónica

Presentación de la asignaturaEl Taller de Matemática Divulgativa es una asignatura de Libre Configuración que se ofrece a alumnos

de titulaciones científicas de tercer curso en adelante, con preferencia para los alumnos de la Licenciaturaen Matemáticas.

ObjetivosAnalizar, idear, diseñar y elaborar materiales orientados a dar a conocer al público en general el papel

de las matemáticas como una de las ramas del saber que ha contribuido de forma esencial al progresocientífico de la humanidad.

Conocimientos previos necesariosDependiendo de los temas que se traten, puede ser recomendable cierto dominio de algunas técnicas

básicas que se estudian en los dos primeros cursos de la Licenciatura en Matemáticas.


Capacidad de análisis y síntesis.

Capacidad de organización y planificación.

Comunicación oral y escrita.

Capacidad de gestión de la información.

Resolución de problemas.

Trabajo en equipo.

Participación en la implementación de programas informáticos.

Aprendizaje autónomo.

Creatividad.

Visualización e interpretación de soluciones.

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Taller de Matemática Divulgativa 187

Diseño de experimentos y estrategias.

Aplicación de los conocimientos a la práctica.

Capacidad de mostrar la vertiente lúdica de las matemáticas.

Generación de curiosidad e interés por las matemáticas y sus aplicaciones.

Destrezas específicas en distintas áreas de las matemáticas: álgebra, análisis, estadística, geometría,historia de las matemáticas, investigación operativa, matemática aplicada, etc.

Programa de la AsignaturaPuede ser objeto de consideración cualquier tema de matemáticas, tanto clásico como correspondiente

a sus aplicaciones más actuales. Se prestará una especial atención al papel de las matemáticas en el entornocotidiano. A modo de ejemplo, pueden considerarse los siguientes campos:

Teoría de números. Teoría de códigos. Criptografía. Teoría de grupos. Geometría euclídea. Movimien-tos y semejanzas. Cónicas y cuádricas. Geometrías no euclídeas. Geometría de curvas y superficies. Ge-ometría discreta y convexa. Topología. Teoría de la Relatividad. Funciones de variable real. Ecuacionesdiferenciales. Sistemas dinámicos. Análisis de Fourier. Grafos. Programación lineal. Probabilidad. Es-tadística. Teoría de juegos.

Metodología didácticaSe establecerá una relación de temas que serán asignados a los alumnos para su estudio y análisis.

Los alumnos realizarán exposiciones de los correspondientes temas en las que incluirán propuestas demateriales a elaborar, materiales cuya finalidad es la de ser utilizados para la divulgación de los conceptosy propiedades fundamentales del tema, así como de sus aplicaciones. Tras seleccionar algunos de ellos,se trabajará, en grupos, en su diseño y elaboración.

Criterios básicos de evaluaciónDado el carácter eminentemente práctico de la asignatura, para su evaluación se tendrá en cuenta la

asistencia y participación activa en las actividades desarrolladas: preparación y exposición de los temas,diseño y elaboración de los materiales, etc.


Dada la variedad de temas posibles, cualquier texto de matemáticas es susceptible de ser utilizado.Se indican a continuación algunos textos concretos que pueden ser especialmente útiles a la horade seleccionar temas o diseñar materiales:

1. COMAP. Las matemáticas en la vida cotidiana. Addison Wesley Iberoamericana / UAM, 1998.

2. C. ALSINA. Geometría cotidiana, placeres y sorpresas del diseño. Rubes, 2005.

3. B. BOLT Y D. HOBBS. 101 proyectos matemáticos. Labor, 1991.

4. B. BOLT. Aún más actividades matemáticas. Labor, 1989.

5. M. DE GUZMÁN. Aventuras matemáticas, una ventana al caos y otros episodios. Pirámide, 1995.

6. E. BORRÁS, P. MORENO, X. NOMDEDEU. Ritmos (matemáticas e imágenes). Nivola, 2002.


17. Cuadro de profesores por asignatura

Asignaturas troncales, obligatorias y básicas

Asignatura (1o) ProfesoradoFunciones de una variable real I José Manuel Mira Ros

Luis Oncina DeltellÁlgebra lineal Juan Martínez HernándezConjuntos y números José Ramón Caruncho CastroFísica José Margineda Puigpelat

Gregorio José Molina CuberosIntroducción al software científico y a la programación Gregorio Martínez Pérez

Juan Antonio Sánchez LagunaFunciones de una variable real II Salvador Sánchez-Pedreño Guillén

Antonio Avilés LópezGeometría afín y euclídea Alberto del Valle Robles

José Asensio MayorTopología de espacios métricos Pedro José Herrero PiñeyroElementos de probabilidad y estadística Noemi Zoroa Alonso

Ma José Fernández SáezProgramación orientada a objetos Juan Antonio Sánchez Laguna

Gregorio Martínez PérezAsignatura (2o) Profesorado

Geometría Proyectiva y Formas Cuadráticas Antonio Álvarez DotúAnálisis Matemático II Matías Raja Baño

Gabriel Vera BotíMétodos Numéricos Antonio José Pallarés RuizProbabilidades y Estadística Noemi Zoroa Alonso

Ma José Fernández SáezAmpliación de Topología Luis José Alías Linares

Alejo Barrio BlayaAsignatura (3o) Profesorado

Geometría Diferencial Miguel Ángel Meroño BayoEcuaciones Diferenciales Francisco Balibrea GallegoMétodos Estadísticos Félix Belzunce Torregrosa

José Ma Ruiz GómezEcuaciones Algebraicas José Luis García HernándezIntroducción al Análisis Complejo Gabriel Vera BotíAsignatura (4o) Profesorado

Álgebra José Ramón Caruncho CastroGeometría y Topología Pascual Lucas SaorínCálculo Numérico Antonio Linero BasAnálisis Funcional José Orihuela CalatayudAnálisis Complejo Gabriel Vera BotíEcuaciones en Derivadas Parciales Víctor Jiménez López

Guia de la Licenciatura en Matemáticas Cuadro de profesores por asignatura 189

Asignaturas optativas y de libre configuración

Asignatura (Opt. 1-2o ciclo) Profesorado

Álgebra Conmutativa Claudi Busqué RocaMedida e Integración Stanimir TroyanskiOptimización Lineal Blas Pelegrín Pelegrín

José Fernández HernándezTopología de Superficies José Antonio Pastor GonzálezAmpliación de Ecuaciones Diferenciales Antonio Linero BasAproximación a la Historia de las Matemáticas Pilar del Pino Arabolaza

Ma Ángeles Hernández CifreMatías Raja BañoJuan Jacobo Simón Pinero

Introducción a la Teoría de Números Juan Martínez HernándezAsignatura (Opt. 2o ciclo, A) ProfesoradoGrafos y Optimización Discreta Alfredo Marín PérezLógica Matemática Antonio Álvarez Dotú

Pedro Antonio Guil AsensioSeminario de Álgebra Juan Jacobo Simón PineroTécnicas de Muestreo y Control de Calidad Félix Belzunce Torregrosa

Geometría de Riemann Ma Ángeles Hernández CifreOptimización No Lineal Blas Pelegrín Pelegrín

José Fernández HernándezTeoría de Números Algebraicos Antonio Álvarez DotúAsignatura (Opt. 2o ciclo, B) Profesorado

Álgebra Computacional Ángel del Río MateosAmpliación de Ecuaciones en Derivadas Parciales Francisco Balibrea GallegoModelos de Investigación Operativa Manuel Andrés Pulido CayuelaModelos Lineales Manuel Franco NicolásTeoría de la Probabilidad Noemi Zoroa Alonso

Álgebras de Banach y Teoría Espectral Stanimir TroyanskiAnálisis Multivariante Jorge Navarro CamachoGeometría Algebraica Pedro Antonio Guil AsensioGeometría Diferencial Avanzada José Antonio Pastor GonzálezMétodos Matemáticos para la Mecánica Francisco Esquembre MartínezAsignatura (Libre Config.) ProfesoradoProbabilidad para las Finanzas José Manuel Mira Ros

José Orihuela CalatayudTaller de Matemática Divulgativa José Asensio Mayor

Alberto del Valle RoblesPascual Lucas SaorínSalvador Sánchez-Pedreño Guillén


Guia de la Licenciatura en Matemáticas Direcciones y Teléfonos 191

18. Direcciones y Teléfonos

Dirección postal:

Facultad de Matemáticas.Universidad de Murcia. Campus de Espinardo.Apdo. 4021.30080 Murcia. España.

Fax y Teléfonos: 86888+

Fax: 4182Conserjería: 4181Decanato: 3669, 3673Secretaría: 3682, 3674Biblioteca: 3662

Delegación de Alumnos: 4204ASEMAT: 4601

Departamento de Estadística e Investigación Operativa: 3518Departamento de Física: 7375Departamento de Ingeniería de la Información y las Comunicaciones: 4664Departamento de Matemáticas: 3519

Direcciones en internet:

Facultad de Matemáticas: http://www.fmath.um.esASEMAT: http://www.um.es/asemat

Departamento de Estadística e Investigación Operativa: http://www.um.es/dp-estioDepartamento de Física: http://www.um.es/dp-fisicaDepartamento de Ingeniería de la Información y las Comunicaciones: http://www.um.es/diicDepartamento de Matemáticas: http://http://www.um.es/matematicas

Direcciones de correo electrónico:

Facultad de Matemáticas: [email protected]ón de Alumnos: [email protected]: [email protected]

Departamento de Estadística e Investigación Operativa: [email protected] de Física: [email protected] de Ingeniería de la Información y las Comunicaciones: [email protected] de Matemáticas: [email protected]

http://www.fmath.um.es

http://www.um.es/asemat

http://www.um.es/dp-estio

http://www.um.es/dp-fisica

http://www.um.es/diic

http://www.um.es/matematicas








APELLIDOS NOMBRE DEPARTAMENTO TELÉFONO E-MAILABAD LÓPEZ ROBERTO PAS (Conserjería) 86888-4181 [email protected]ÍAS LINARES LUIS JOSÉ Matemáticas 86888-4180 [email protected]ÁLVAREZ DOTÚ ANTONIO Matemáticas 86888-3677 [email protected] MAYOR JOSÉ Matemáticas 86888-3587 [email protected] GALLEGO FRANCISCO Matemáticas 86888-4176 [email protected] TORREGROSA FÉLIX Estadística e IO 86888-3618 [email protected]É ROCA CLAUDI Matemáticas 86888-4178 [email protected] SÁNCHEZ JUAN ANTONIO Estadística e IO 86888-3638 [email protected] CASTRO JOSÉ RAMÓN Matemáticas 86888-3586 [email protected] SALINAS BERNARDO Matemáticas 86888-4174 [email protected] PINO ARABOLAZA Mª PILAR Estadística e IO 86888-3628 [email protected] RÍO MATEOS ÁNGEL Matemáticas 86888-3537 [email protected] VALLE ROBLES ALBERTO Matemáticas 86888-4167 [email protected] MARTÍNEZ FRANCISCO Matemáticas 86888-3534 [email protected]ÁNDEZ HERNÁNDEZ JOSÉ Estadística e IO 86888-4186 [email protected]ÁNDEZ SÁEZ MARÍA JOSÉ Estadística e IO 86888-3639 [email protected]ÁNDEZ IZQUIERDO ÁNGEL Matemáticas 86888-4172 [email protected] NICOLÁS MANUEL Estadística e IO 86888-4187 [email protected]ÍA HERNÁNDEZ JOSÉ LUIS Matemáticas 86888-3678 [email protected] ASENSIO PEDRO A. Matemáticas 86888-3676 [email protected]ÁNDEZ CIFRE Mª ÁNGELES Matemáticas 86888-7661 [email protected] PIÑEYRO PEDRO J. Matemáticas 86888-4171 [email protected]ÉNEZ LÓPEZ VÍCTOR Matemáticas 86888-4177 [email protected] BAS ANTONIO Matemáticas 86888-3583 [email protected]ÓPEZ RODRÍGUEZ MANUEL Matemáticas 86888-4175 [email protected] SAORÍN PASCUAL Matemáticas 86888-4173 [email protected] PUIGPELAT JOSÉ Física 86888-7374 [email protected]ÍN FERNÁNDEZ JOSEFA Estadística e IO 86888-3626 [email protected]ÍN PÉREZ ALFREDO Estadística e IO 86888-3627 [email protected]ÍNEZ HERNÁNDEZ JUAN Matemáticas 86888-3533 [email protected]ÍNEZ PÉREZ GREGORIO Ing. Información 86888-7646 [email protected]ÑO BAYO MIGUEL ÁNGEL Matemáticas 86888-4179 [email protected] ROS JOSÉ MANUEL Matemáticas 86888-3982 [email protected] CUBEROS GREGORIO JOSÉ Física 86888-7533 [email protected] CAMACHO JORGE Estadística e IO 86888-3509 [email protected] DELTELL LUIS Matemáticas 86888-7660 [email protected] BALLESTA Mª TERESA PAS (Decanato) 86888-3669 [email protected] CALATAYUD JOSÉ Matemáticas 86888-3539 [email protected]ÉS RUIZ ANTONIO J. Matemáticas 86888-3559 [email protected] GONZÁLEZ JOSÉ ANTONIO Matemáticas 86888-4170 [email protected]ÍN PELEGRÍN BLAS Estadística e IO 86888-3635 [email protected] PINTADO MANUEL PAS (Conserjería) 86888-4181 [email protected] DE LA VIEJA Á. PALOMA PAS (Secretaría) 86888-3674 [email protected] CAYUELA MANUEL Estadística e IO 86888-3619 [email protected] BAÑO MATÍAS Matemáticas 86888-4166 [email protected]ÍGUEZ ARNALDOS TERESA P. PAS (Conserjería) 86888-4181 [email protected] GÓMEZ JOSÉ MARÍA Estadística e IO 86888-3632 [email protected]ÁNCHEZ LAGUNA JUAN ANTONIO Ing. Información 86888-8505 [email protected]ÁNCHEZ SÁNCHEZ SALVADOR PAS (Secretaría) 86888-3682 [email protected]ÁNCHEZ-PEDRENO GUILLÉN SALVADOR Matemáticas 86888-3536 [email protected]ÍN CASTAÑO MANUEL Matemáticas 86888-3585 [email protected]ÓN PINERO JUAN JACOBO Matemáticas 86888-4169 [email protected] STANIMIR Matemáticas 86888-4168 [email protected] BOTÍ GABRIEL Matemáticas 86888-3538 [email protected] ALONSO C. NOEMI Estadística e IO 86888-3633 [email protected]

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