LISTA DE EXERCICIOS 01

Econometria I - 2014-01

Prof. Jose Raimundo Carvalho

Monitor: Luis Abreu

1. Suponha que Ω seja um conjunto infinito (contavel ou nao). Seja uma famılia de subconjuntos de

Ω definida por F = A ⊂ Ω : A ou A e finito, ou seja, uma famılia composta de subconjuntos de

Ω que sao finitos ou possuem complementos finitos. Mostre que F e uma algebra.

Solucao:

Devemos verificar se F satisfaz as propriedades de algebra:

(i) A ∈ F significa que A e finito ou possui complemento finito. Logo, A possui complemento

finito ou e finito. Assim, A ∈ F .

(ii) Se A,B ∈ F entao um dos seguintes casos se verifica

Caso 1: A e B sao finitos.

Daı, A ∪B e tambem finito e, portanto, A ∪B ∈ F .

Caso 2: O complemento de um dos conjuntos e finito.

Uma vez que Ω\ (A∪B) = A∩ B temos que Ω\ (A∪B) e finito. Com isso, (A∪B) ∈ F .

2. Seja uma sequencia de eventos Ai ∈ F definida em um espaco de probabilidade (Ω,F ,P). Mostre

a seguinte desigualdade (Bonferroni): P(∪ni=1Ai) ≥∑n

i=1 P(Ai)−∑

i<j P(Ai ∩Aj).

Solucao:

Por inducao, mostremos que a desigualdade e verdadeira.

(i) Se n = 2 a desigualdade se verifica, pois

P(A1 ∪A2) = P(A1) + P(A2)− P(A1 ∩A2) (∗)

(ii) Suponha que para algum k ∈ N a desigualdade se verifica, isto e,

P(∪ki=1 Ai

)≥

k∑i=1

P(Ai)−∑

1≤i<j≤kP(Ai ∩Aj) (∗∗)

1

entao,

P(∪k+1i=1 Ai

)= P

((∪ki=1Ai) ∪Ak+1

)(∗)= P

(∪ki=1 Ai

)+ P(Ak+1)− P

((∪ki=1Ai) ∩Ak+1

)(∗∗)≥[ k∑

i=1

P(Ai)−∑

1≤i<j≤kP(Ai ∩Aj)

]+ P(Ak+1)− P

((∪ki=1Ai) ∩Ak+1

)

=

k+1∑i=1

P(Ai)−∑

1≤i<j≤kP(Ai ∩Aj)− P

(∪ki=1 (Ai ∩Ak+1)

)

≥k+1∑i=1

P(Ai)−∑

1≤i<j≤kP(Ai ∩Aj)−

k∑i=1

P(Ai ∩Ak+1) (Teorema 1.8, item g)

=

k+1∑i=1

P(Ai)−∑

1≤i<j≤k+1

P(Ai ∩Aj)

Como querıamos.

3. Uma colecao F de subconjuntos de um conjunto Ω e dita uma classe monotona se as seguintes

condicoes se verificam:

An ∈ F , An ⊂ An+1, n = 1, 2, 3, . . . implica ∪∞n=1 An ∈ F

An ∈ F , An ⊃ An+1, n = 1, 2, 3, . . . implica ∩∞n=1 An ∈ F

Mostre que uma algebra e uma σ-algebra se, e somente se, e uma classe monotona.

Solucao:

(i) Uma algebra e uma σ-algebra se e uma classe monotona.

Sendo F uma algebra, se A ∈ F entao A ∈ F .

Ainda, se An ∈ F para n = 1, 2, 3, . . . , seja Bm = ∪mn=1An para m = 1, 2, 3, . . .

Logo, Bm ∈ F com Bm ⊂ Bm+1 para m = 1, 2, 3, . . . e, sendo F uma classe monotona, segue

que ∪∞n=1An = ∪∞m=1Bm ∈ F .

Portanto, F e uma σ-algebra.

(ii) Uma algebra e uma σ-algebra somente se e uma classe monotona.

Claramente, a primeira condicao se verifica. Resta-nos verificar a segunda condicao.

Sejam An ∈ F com An ⊃ An+1 para n = 1, 2, 3, . . . . De F uma σ-algebra, segue que A ∈ F

para n = 1, 2, 3, . . . e ∪∞n=1An ∈ F . Ainda, ∩∞n=1An = Ω \ (∪∞n=1An) ∈ F .

Portanto, F e uma classe monotona.

4. Sejam A e B em F independentes. Prove que A e B sao independentes (e, consequentemente, A e

B sao independentes e A e B sao independentes).

Solucao:

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Como B = (A ∩B) ∪ (A ∩B) e (A ∩B) ∩ (A ∩B) = ∅, temos que

P(B) = P (A ∩B) + P(A ∩B)

Daı,

P(A ∩B) = P(B)− P(A ∩B)

= P(B)− P(A) · P(B) (A e B independentes)

= [1− P(A)] · P(B)

= P(A) · P(B) (Teorema 1.8, item b)

Logo, A e B sao independentes.

5. Uma urna consiste de r bolas vermelhas e b bolas azuis. Uma bola e escolhida ao acaso (aleatoria-

mente) e sua cor e anotada. Depois disso a bola e retornada a urna juntamente com mais d bolas da

mesma cor. Isso e repetido indefinidamente. Qual a probabilidade de que a segunda bola retirada

seja azul? Qual a probabilidade da primeira bola retirada ter sido azul se a segunda bola retirada

era azul?

Solucao:

Representemos por Xi o resultado do i-esimo sorteio, onde Xi = 0 se a i-esima bola sorteada e

vermelha e Xi = 1 se esta e azul.

Assim,

P(X2 = 1) = P(X1 = 0 ∩X2 = 1) + P(X1 = 1 ∩X2 = 1)

= P(X2 = 1|X1 = 0) · P(X1 = 0) + P(X2 = 1|X1 = 1) · P(X1 = 1)

=b

(r + d) + b· r

r + b+

b+ d

r + (b+ d)· b

r + b

=b

r + b

e

P(X1 = 1|X2 = 1) =P(X1 = 1 ∩X2 = 1)

P(X2 = 1)

=b+d

r+b+d ·b

r+bb

r+b

=b+ d

r + b+ d

6. Sejam Y e X variaveis aleatorias com E(|Y |) <∞ e seja Φ uma aplicacao bijetiva Borel-mensuravel

de R em R. Prove que E(Y |X) = E(Y |Φ(X)) com probabilidade 1.

Solucao:

Como E(|Y |) <∞, temos assegurada a existencia de E(Y ).

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Seja Ω,F ,P o espaco de probabilidade onde as variaveis aleatorias estao definidas. Sejam FX e

FΦ(X) as σ-algebras geradas, respectivamente, por X e Φ(X), onde

FX = ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B, B ∈ B e FΦ(X) = ω ∈ Ω : Φ(X(ω)) ∈ B, B ∈ B

e B e a σ-algebra de Borel. Entao,

Z1 = E(Y |X) e mensuravel em FX e Z2 = E(Y |Φ(X)) e mensuravel em FΦ(X),

o que significa que ∫A

(Y (ω)− Z1(ω))dP(ω) = 0 para todo A ∈ FX

e ∫A

(Y (ω)− Z2(ω))dP(ω) = 0 para todo A ∈ FΦ(X).

Logo, se FX = FΦ(X) segue que para A = ω ∈ Ω : Z1(ω) < Z2(ω), A ∈ FX = FΦ(X) e, portanto,∫A

[(Y − Z1)− (Y − Z2)]dP =

∫A

(Z2 − Z1)dP = E[(Z2 − Z1)I(Z2 − Z1 > 0)] = 0.

A ultima igualdade implica P(Z2 − Z1 > 0) = 0. Similarmente, para A = ω ∈ Ω : Z1(ω) >

Z2(ω) temos P(Z2 − Z1 < 0) = 0. Combinando esses dois casos, encontramos que P(

E(Y |X) 6=E(Y |Φ(X))

)= P(Z1 6= Z2) = 0, ou seja, P

(E(Y |X) = E(Y |Φ(X))

)= 1.

Resta-nos mostrar que FX = FΦ(X).

FΦ(X) = ω ∈ Ω : Φ(X(ω)) ∈ B, B ∈ B = ω ∈ Ω : X(ω) ∈ Φ−1(B), B ∈ B ⊂ FX

pois, sendo Φ Borel-mensuravel, para todo B ∈ B temos que Φ−1(B) ∈ B. Ainda,

FX = ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B, B ∈ B = ω ∈ Ω : Φ(X(ω)) ∈ Φ(B), B ∈ B ⊂ FΦ(X)

pois, sendo Φ bijetiva, para todo B ∈ B temos que Φ(B) ∈ B.

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