Lista2_SMA301

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Lista 2

SMA301 – Cálculo IProf. Fernando Manfio

Assunto: Limites e continuidade

1. Prove, pela definição, que as funções dadas abaixo são contínuas no pontodado.(a) f (x) = 4x− 3, p = 2,(b) f (x) = x2, p = 1,(c) f (x) =

√x, p = 0,

(d) f (x) = 3√

x, p = 1.

2. Prove que f (x) = 1x é uma função contínua.

3. Dê exemplo de uma função definida em R e que seja contínua em todosos pontos de R, exceto em −1, 0, 1.

4. Considere a função f dada por

f (x) =

{1, se x ∈ Q,

−1, se x ∈ Q

Prove que f é descontínua em todo p real.

5. Sabe-se que f é contínua em 2 e que f (2) = 8. Mostre que existe δ > 0tal que para todo x ∈ Dom(f )

|x− 2| < δ ⇒ f (x) > 7.

6. Seja f uma função definida em R e suponha que existe M > 0 tal que|f (x) − f ( p)| ≤ M |x− p|, para todo x ∈ R. Prove que f é contínua em p.

7. Sejam f e g funções definidas em R e suponha que exista uma constante

M > 0 tal que |f (x) − f ( p)| ≤ M |g(x) − g( p)|, para todo x ∈ R. Prove quese g for contínua em p então f também é contínua em p.

8. Seja f uma função definida e contínua em R e que f (x) = 0 para todox ∈ Q. Prove que f (x) = 0 para todo x real.

9. Mostre que f (x) = x + 1

xé contínua em todo ponto p > 0.

1



10. Calcule os seguintes limites:

(a) limx→0

x2

+ 3x− 1x2 + 2

(b) limx→1

√x− 1√

2x + 3−√5

(c) limh→0

(x + h)3 − x3

h

(d) limx→2

x3 − 5x2 + 8x− 4

x4 − 5x− 6

(e) limx→ p

xn − pn

x− p, n ∈ N

(f) limx→

p

n

√x− n

√ p

x− p(g) lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h, onde f (x) = x2 − 3x.

11. Determine L para que a função

f (x) =

x3−8x−2

, se x = 2,

L, se x = 2,

seja contínua no ponto p = 2. Justifique.

12. A função

f (x) = x2+x

x+1 , se x = −1,2, se x = −1,

é contínua em p = −1? E no ponto p = 0? Justifique.

13. Prove que existe δ > 0 tal que

1− δ < x < 1 + δ ⇒ 2− 1

3< x2 + x < 2 +

1

3.

2



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