Probabilidade

No captulo anterior, procuramos conhecer a variabilidade de algum pro-cesso com base em observaes das variveis pertinentes. Nestes trs prximos captulos, continuaremos a estudar os processos que envolvem variabilidade, aleatoriedade ou incerteza, mas procuraremos construir modelos matemticos para facilitar a anlise. Esses modelos normalmente so construdos a partir de suposies sobre o processo, mas podem tambm basear-se em dados observa-dos no passado.

O leitor j deve ter ouvido falar de probabilidade ou de modelos probabils-ticos. H dois aspectos a considerar. O primeiro que intuitivamente as pessoas procuram tomar decises em funo dos fatos que tm maior probabilidade de ocorrer. Veja os seguintes exemplos:

a) se o cu est nublado, ento h chance considervel de chover. Deve-se levar um guarda-chuva ao sair de casa!;

b) se um inspetor de qualidade est observando as peas produzidas por uma mquina, e verifica que elas esto saindo fora do padro, ento ele pode deduzir que existe alta chance de essa mquina con-tinuar produzindo peas fora do padro. Logo, a mquina dever re-ceber ateno especial;

c) se em determinada famlia h muitos casos de doena cardaca, ento h maior chance de pessoas daquela famlia serem afetadas; portan-to, os exames preventivos precisam ser feitos mais freqentemente.

O segundo aspecto a incerteza inerente s decises que podem ser toma-das sobre determinado problema.

a) por mais nublado que o cu esteja, pode no chover, ao menos du-rante o perodo de tempo em que a pessoa estiver fora de casa;

b) algumas peas poderiam estar fora do padro por motivos mera-mente casuais. O processo pode estar funcionando bem;

c) apesar dos vrios precedentes familiares, uma pessoa pode viver a vida inteira sem ter problemas cardacos.

Se for possvel quantificar a incerteza associada a cada fato, algumas deci-ses tornam-se mais fceis. Veja os casos a seguir:

a) Qual deve ser a capacidade instalada de uma usina hidreltrica, em funo da vazo e da precipitao pluviomtrica?

b) Qual deve ser a capacidade do servidor de comrcio eletrnico de uma empresa, em funo da demanda prevista?

No caso (a), se for possvel prever as variaes na quantidade de chuva e, no caso (b), se houver previso da demanda, podemos responder melhor s questes que foram colocadas. A teoria do clculo de probabilidades permite obter uma quantificao da incerteza associada a um ou mais fatos e, portanto, extremamente til no auxlio tomada de decises.

Os modelos probabilsticos so aplicados em situaes que envolvem al-gum tipo de incerteza ou variabilidade. Mais especificamente, consideraremos a presena de algum experimento aleatrio como princpio para a construo de modelos probabilsticos.

Exemplo 4.1 So exemplos de experimentos aleatrios:

a) o lanamento de um dado e a observao da face voltada para cima; no sabemos exatamente qual face vai ocorrer, apenas que ser uma das seis existentes. Alm disso, se o dado for no viciado e o lana-mento imparcial, todas as faces tm a mesma chance de ocorrer;

b) a observao dos dimetros, em mm, de eixos produzidos em uma metalrgica; sabemos que as medidas devem estar prximas de um valor nominal, mas no sabemos exatamente qual o dimetro de cada eixo antes de efetuar as mensuraes;

c) o nmero de mensagens que so transmitidas corretamente por dia em uma rede de computadores; sabemos que o mnimo possvel zero, mas no sabemos nem sequer o nmero mximo de mensa-gens que sero transmitidas.

Nos casos em que os possveis resultados de um experimento aleatrio po-dem ser listados (caso discreto), um modelo probabilstico pode ser entendido como a listagem desses resultados, acompanhados de suas respectivas probabi-

lidades. A Figura 4.1 ilustra as etapas para a construo de um modelo probabi-lstico.

Figura 4.1 Passos para a construo de um modelo probabilstico (caso discreto).

4.1 ESPAO AMOSTRAL E EVENTOS

Seja um experimento aleatrio qualquer.

O conjunto de todos os possveis resultados do experimento chamado de espao amostrai e denotado pela letra grega .

Exemplo 4.2 Seguem alguns experimentos aleatrios com os respectivos es-paos amostrais:

a) lanamento de um dado e observao da face voltada para cima: = {1, 2, 3, 4, 5, 6};

b) retirada de uma carta de um baralho comum (52 cartas) e observa-o do naipe: = {copas, espadas, ouros, paus};

c) o nmero de mensagens que so transmitidas corretamente por dia em uma rede de computadores: = {0, 1, 2, 3, ..-};1

d) a observao do dimetro, em mm, de um eixo produzido em uma metalrgica: = {d, tal que d > 0}.2

O espao amostrai pode ser:

1. finito, formado por um nmero limitado de resultados possveis, como nos casos (a) e (b);

2. infinito enumervel, formado por um nmero infinito de resultados, os quais podem ser listados, como no caso (c); ou

1 Note que no h um limite superior conhecido, mas somente possvel a ocorrncia de valores inteiros.

2 No h um limite superior e, teoricamente, pode haver uma infinidade de valores.

3. infinito, formado por intervalos de nmeros reais, como no caso (d).

Os elementos para se tomar alguma deciso podem corresponder a um con-junto de resultados (ou evento) associados ao experimento aleatrio. Por exem-plo, se o dimetro D de um eixo, em mm, que sai da linha de produo, perten-cer ao conjunto (ou evento) A = {49,0 D 51,0}, ento se decide que ele adequado.

Exemplo 4.3 Seja o experimento do lanamento de um dado. Temos: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. So exemplos de eventos:

A = nmero par do dado = {2, 4, 6}; B = nmero maior que 2 do dado = {3, 4, 5, 6}; C = nmero 6 {6}.

Dizemos que um evento ocorre quando um dos resultados que o compem ocorre. Com respeito ao Exemplo 4.3, se o dado for lanado e ocorrer o nmero 4, ento ocorrem os eventos A e B, mas no ocorre o evento C.

Como um evento um subconjunto do espao amostrai, ento todos os conceitos da teoria de conjuntos podem ser aplicados a eventos. Considerando A e B eventos quaisquer, veja as principais operaes na Figura 4.2.

Exemplo 4.3 (continuao). Sejam:

A = nmero par do dado = {2, 4, 6}; B = nmero maior que 2 do dado = {3, 4, 5, 6}; C = nmero 6 = {6}.

Eventos complementares:

= nmero mpar do dado = {1, 3, 5}; B' = nmero menor ou igual a 2 do dado = {1, 2}; C' = no 6 = {1, 2, 3, 4, 5}.

Algumas unies:

A B = {2, 3, 4, 5, 6}; A C = {2, 4, 6}; A =

Algumas intersees:

A B = {4, 6}; A C = {6}; A = {} = 0.

Eventos so ditos mutuamente exclusivos se e s se eles no puderem ocorrer simultaneamente. Ento, para dois eventos quaisquer, A e B, temos:

A e B so mutuamente exclusivos A B = 0.

No Exemplo 4.3, os eventos = {1, 3, 5} e C = {6} so mutuamente exclusivos, pois eles no podem ocorrer simulta-neamente (observe que C =0).

EXERCCIOS

1. Apresente os espaos amostrais dos seguintes experimentos aleatrios: a) Lanamento de uma moeda honesta e observao da face voltada para

cima. b) Observao da qualidade de peas produzidas, registrando o nmero

de peas defeituosas. c) Contagem do nmero de clientes numa fila nica de banco, que che-

gam durante uma hora. d) Medio da velocidade do vento, em km/h, na pista de um aeroporto. e) Medio da temperatura, em graus Celsius, numa estao meteorolgi-

ca da cidade de Florianpolis.

2. Considere que voc vai cronometrar o tempo, em segundos, para carregar uma pgina da web. a) Represente, em forma de conjuntos, os seguintes eventos:

A = mais do que 5 e, no mximoy 10 segundos; B = mais do que 10 segundos; C = mais do que 8 segundos;

4.2 DEFINIES DE PROBABILIDADE

Intuitivamente, as pessoas sabem como calcular algumas probabilidades para tomar decises. Observe os seguintes exemplos.

Exemplo 4.4

a) Vamos supor que voc fez uma aposta com um amigo. O vencedor ser aquele que acertar a face que ficar para cima, no lanamento de uma moeda honesta.3 Qual a probabilidade de voc ganhar? Intuitivamente, voc responderia que a probabilidade de ganhar igual a 50% (ou 1/2).

3 Usaremos a expresso moeda honesta para referenciar uma moeda perfeitamente equi-librada e lanamentos imparciais. De forma anloga, usaremos o adjetivo honesto para dado, ba-ralho etc.

b) Represente geometricamente (como intervalos na reta dos reais) os conjuntos do item anterior.

b) Voc continua apostando com o mesmo amigo. O vencedor ser aquele que acertar o naipe de uma carta que ser retirada, ao acaso, de um baralho comum de 52 cartas. Qual a probabilidade de voc ganhar?

Novamente, de forma intuitiva, voc responderia que de 25% (ou 1/4).

O que h em comum entre as situaes (a) e (b) do Exemplo 4.4? Refletin-do um pouco, voc observar que em ambas as situaes temos experimentos aleatrios. A cada realizao do experimento apenas um dos resultados poss-veis pode ocorrer. Alm disso, como se supe que a moeda e o baralho so ho-nestos, cada um dos resultados possveis tem a mesma probabilidade de ocorrer.

4.2.1 Definio clssica de probabilidade

Se um experimento aleatrio tem n resultados igualmente provveis, e nA desses resultados pertencem a certo evento A, ento a probabilidade de ocor-rncia do evento A ser:

(4.1)

Exemplo 4.4 (continuao)

a) No caso da moeda, h apenas dois resultados possveis e igualmente provveis, resultando que a probabilidade de ocorrncia de uma das faces ser igual a 1/2 (ou 50%).

b) No caso dos naipes do baralho, h quatro resultados possveis e igualmente provveis, resultando que a probabilidade de ocorrncia de um deles ser igual a 1/4 (ou 25%). Analogamente, podemos con-siderar cada carta do baralho como um resultado. Nesse caso, a pro-babilidade de ocorrer certo naipe de 13/52 = 1/4.

4.2.2 Definio experimental de probabilidade

Muitas vezes, a alocao de probabilidades baseia-se em observaes do passado. Seja um experimento aleatrio com espao amostrai e um evento A de interesse. Suponha que esse experimento seja repetido n vezes e o evento A ocorreu n(A) vezes. A freqncia relativa do evento A dada por:

Exemplo 4.5 Um fabricante de lmpadas fluorescentes precisa especificar o tempo de garantia de um de seus modelos. Embora os projetistas estimem que o tempo mdio de vida do modelo seja de 5.000 horas, no se sabe exatamente como as lmpadas iro comportar-se. E sem esse conhecimento seria temerrio especificar o tempo de garantia.

Ao definir o experimento aleatrio como ligar a lmpada e registrar o tem-po (em horas) que ela funciona, o espao amostrai formado pelo conjunto de todos os valores maiores ou iguais a zero, ou seja:

= {t, tal que t 0}

Seja o evento:

At = a lmpada funcionar at o tempo t

Podemos repetir o experimento com um nmero n suficientemente grande de lmpadas.4 Com os resultados do experimento, podemos calcular as freqn-cias relativas:

4 H mtodos estatsticos para calcular n (tamanho da amostra), conforme ser visto no Captulo 7.

(4.2)

medida que o experimento repetido mais e mais vezes, sob as mesmas condies, a freqncia relativa do evento A tender a ficar cada vez mais pr-xima da probabilidade de ocorrncia do evento A. Mais especificamente:

(4.3)

(4.4)

para diversos valores de t. Essas freqncias relativas podem ser usadas como valores aproximados das probabilidades P(At) e, assim, definir adequadamente o tempo de garantia, de tal forma que ele no seja demasiadamente longo, pois a seria necessrio repor muitas lmpadas (custo financeiro alto), mas tambm no seja muito curto, o que pode gerar a suspeita de um produto com baixa qualidade, acarretando perda de mercado.

Em muitas situaes, impossvel realizar o experimento diversas vezes. Veja o exemplo seguinte.

Exemplo 4.6 Quando estudamos o regime de vazes de um rio, com o objeti-vo de avaliar a viabilidade da construo de uma usina hidreltrica, no pos-svel replicarmos os diversos meses e anos, fenmenos climticos e eventual in-

terveno humana. Nesse caso, bastante comum a utilizao de dados histricos.5 Supondo que as condies atuais e futuras sejam razoavelmente se-melhantes quelas nas quais os dados foram obtidos, podemos ter uma idia so-bre as probabilidades dos eventos de interesse atravs das freqncias relativas dos dados histricos.

4.2.3 Axiomas e propriedades da probabilidade

Independentemente de como so obtidas, usando a definio clssica ou a experimental, as probabilidades atendem a alguns axiomas. Formalmente, seja um experimento aleatrio e um espao amostrai associado a ele. A cada evento Ei (i = 1 ,2, . . . ) associaremos um nmero real denominado probabilida-de de ocorrncia de Ei P(Ei), que deve satisfazer aos seguintes axiomas:

O axioma (a) afirma que uma probabilidade sempre um nmero entre 0 e 1. O axioma (b) afirma que, ao realizar o experimento, sempre vai ocorrer al-gum dos resultados possveis, razo pela qual o espao amostrai chamado de evento certo. J o axioma (c) menos intuitivo. Ele afirma que, ao unir eventos formados por resultados diferentes, a probabilidade de ocorrer essa unio dada pela soma das probabilidades de cada evento.

Para ilustrar os axiomas, retomemos o experimento de lanar um dado e observar o lado voltado para cima. Temos = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ao realizar o experimento, certamente vai ocorrer algum elemento de ; logo, P() = 1. Va-mos considerar, por exemplo, os eventos associados a cada resultado, isto , Ei = i (i = 1, 2, ..., 6). Se for suposto que o dado perfeitamente equilibrado e os lanamentos imparciais (dado honesto), podemos atribuir, pela definio clssica, as seguintes probabilidades: P(Ei) = 1/6 (i = 1, 2, ..., 6). Note que es-ses eventos so mutuamente exclusivos (Ei Ej = , i j) e a probabilidade da unio de quaisquer desses eventos dada pela soma das probabilidades de cada um. Por exemplo, pela definio clssica, Expresso 4.1, temos:

O mesmo valor pode ser obtido pelo axioma (c):

(4.5)

Note que, ao unir A e A' temos o espao amostrai , que tem probabilidade igual a 1. Pelo axioma (c),

temos a expresso do evento complementar. No experimento do dado, temos, por exemplo, P(ocorrer seis)

= P({6}) = 1/6. Pela propriedade do evento complementar: P(no ocorrer seis) = 1 - 1/6 = 5/6.

4. (Regra da soma das probabilidades). Sejam A e B eventos quaisquer, ento:

Note, pelo esquema ao lado, que, ao somar P(A) e P(B), estamos contando duas vezes os pon-tos do conjunto AB. Logo, ao calcular P(A B), necessrio excluir uma vez P(A B).

(4.6)

(4.7)

Seguem algumas propriedades bsicas da probabilidade:

1. P (0 ) = 0 Se o experimento realizado, algum resultado certamente vai

ocorrer (P() = 1). Portanto, nunca ocorre (P() = 0). co-nhecido como evento impossvel.

2. Para o caso discreto, isto , quando os resultados possveis podem ser listados, ento, pelo axioma (c), a probabilidade de qualquer evento pode ser obtida pela soma das probabilidades dos resultados individuais, ou seja, se A = {l9 2, 3, ... }, ento:

No experimento do dado, por exemplo:

Observe que esse processo de calcular probabilidades pode ser usado mesmo quando o espao amostrai no for eqiprovvel.

EXERCCIOS

3. Retira-se, ao acaso, uma carta de um baralho de 52 cartas. Calcule a proba-bilidade de:

a) a carta no ser de ouros; b) ser uma carta de ouros ou uma figura.

4. Depois de um longo perodo de testes, verificou-se que o procedimento A de recuperao de informao corre um risco de 2% de no oferecer res-posta satisfatria. No procedimento B, o risco cai para 1%. O risco de am-bos os procedimentos apresentarem resposta insatisfatria de 0,5%. Qual a probabilidade de pelo menos um dos procedimentos apresentar respos-ta insatisfatria?

5. De um conjunto de cinco empresas, deseja-se selecionar, aleatoriamente, uma empresa, mas com probabilidade proporcional ao nmero de funcio-nrios. O nmero de funcionrios da Empresa A 20; de B 15; de C 7; de D 5 e de E 3. a) Qual a probabilidade de cada uma das empresas ser a selecionada? b) Qual a probabilidade de a Empresa A no ser selecionada?

6. Considere que a probabilidade de ocorrer k defeitos ortogrficos em uma pgina de jornal dada por:

Tomando-se uma pgina qualquer, calcule a probabilidade de: a) no ocorrer erro; b) ocorrer mais do que dois erros.

7. Mostre que:

4.3 PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDNCIA

Muitas vezes, h interesse em calcular a probabilidade de ocorrncia de um evento A, dada a ocorrncia de um evento B. Exemplos:

Qual a probabilidade de chover amanh em Florianpolis, sabendo que choveu hoje?

Qual a probabilidade de um dispositivo eletrnico funcionar sem problemas por 200 horas consecutivas, sabendo que ele j funcionou por 100 horas?

Qual a probabilidade de que um dos trs servidores de correio ele-trnico fique congestionado, sabendo que um deles est inoperante?

Em outras palavras, queremos calcular a probabilidade de ocorrncia de A condicionada ocorrncia prvia de B. Essa probabilidade representada por P(AB) (l-se probabilidade de A dado B).

Exemplo 4.7 Os dados, a seguir, representam o sumrio de um dia de obser-vao em um posto de qualidade, em que se avalia o peso dos pacotes de leite produzidos num laticnio.

Condio do peso Tipo do leite

Condio do peso B (B) C CC) UHT (U) Total

Dentro das especificaes (D) 500 4.500 1.500 6.500 Fora das especificaes (F) 30 270 50 350

Total 530 4.770 1.550 6.850

Retira-se, ao acaso, um pacote de leite da populao de 6.850 unidades. Sejam D e F os eventos que representam se o pacote retirado est dentro ou fora das especificaes, respectivamente. Da mesma forma, B, C eU so eventos que representam o tipo do leite. Pergunta-se:

a) Qual a probabilidade de o pacote de leite estar fora das especifica-es?

Resp.: Como o espao amostrai composto de 6.850 unidades, sen-do que 350 satisfazem ao evento, ento:

b) Qual a probabilidade de o pacote de leite retirado estar fora das es-pecificaes, sabendo-se que do tipo UHT? Resp.: Nesse caso, o espao amostrai ficou restrito s 1.550 unidades de leite UHT. Destas, 50 satisfazem ao evento. Ento:

Note que, se o numerador e o denominador de P(F\U) forem divididos pelo nmero total de unidades, temos:

que a relao usada na definio formal de probabilidade condicional.

Sejam A e B eventos quaisquer, sendo P(B) > 0. Definimos a probabilidade condicional de A dado B por:

(4.8)

Note que no denominador temos a probabilidade do evento que suposta-mente aconteceu, mas calculada nas condies originais do experimento.

Se houver interesse no oposto, isto , na probabilidade de ocorrncia de B condicionada ocorrncia prvia de A, sendo P(A) > 0, temos:

Exemplo 4.8 Seja o lanamento de 2 dados no viciados e a observao das faces voltadas para cima. Suponha que haja interesse nas probabilidades dos se-guintes eventos:

a) Faces iguais, sabendo que a soma menor ou igual a 5. b) Soma das faces menor ou igual a 5, sabendo que as faces so iguais.

Inicialmente, vamos explicitar o espao amostrai desse experimento, que formado por todas as 6 x 6 = 36 possveis combinaes de resultados dos dois dados, ou seja:

(4.9)

importante ressaltar que a operao de interseco comutativa, impli-

I- ESTATSTICA

Considere os eventos:

E1 = faces iguais = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} e E2 = soma das faces menor ou igual a 5 = = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)}.

Calculando

a) A probabilidade de as faces serem iguais, sabendo que a soma me-nor ou igual a 5. Ou seja:

Note que, se o espao amostrai for restringido ao evento conhe-cido, E2, temos 10 resultados possveis, sendo que 2 satisfazem tam-bm ao evento de interesse, El1, o que torna natural a probabilidade condicional ser 2/10.

b) A probabilidade de a soma das faces ser menor ou igual a 5, saben-do que as faces so iguais. Ou seja:

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

4.3.1 A regra do produto

Uma das conseqncias da expresso da probabilidade condicional (4.8) a regra do produto, obtida ao isolar a probabilidade da interseo. Ou seja:

(4.10)

que fornece uma frmula de calcular a probabilidade de ambos os eventos (A e B) ocorrerem. Em (4.10), o evento condicionado B, mas o inverso tambm possvel, pois

(4.11)

Para trs eventos, A, B e C, a regra do produto pode ser escrita como

(4.12)

importante que seja observada a seqncia lgica dos eventos para mon-tar as expresses precedentes.

Exemplo 4.9. Uma caixa contm 4 cartes amarelos e 8 vermelhos. Retira-mos, ao acaso, 2 cartes, um aps o outro, sem reposio, e observamos as co-res dos dois cartes.

a) Qual a probabilidade de que ambos sejam amarelos?

Chamando de Ai o evento que representa carto amarelo na i-sima extrao e Vi o evento que representa carto vermelho na i-sima extrao (i = 1, 2), temos o seguinte espao amostrai:

A probabilidade de interesse P{(Al A2)}, que tambm pode ser colocada em termos de interseo: P(A1 A2), isto , a probabi-lidade de ocorrer amarelo na primeira extrao e amarelo na se-gunda extrao. Para a aplicao da regra do produto, P(A1 A2) = P(A1) . P(A2A1), calculamos:

b) Como alocar probabilidades a todos os elementos do espao amostrai? Nesse caso, podemos construir uma rvore, indicando todas as

situaes possveis (rvore de probabilidades). Veja a Figura 4.3.

Com base na Figura 4.1, podemos calcular as probabilidades de todos os resultados do espao amostrai, como segue:

1- extrao 2- extrao

Figura 4.3 rvore de probabilidades - retiradas sem reposio (A = amarelo; V = vermelho).

Observe que a soma dos quatro resultados possveis igual a 1 (axioma (b) da probabilidade).

c) Qual a probabilidade de ocorrer exatamente 1 carto amarelo? Queremos a probabilidade de ocorrer (A1 ,V2) ou (V1 ,A2). Em

termos da linguagem de conjuntos, queremos a unio dos dois resul-tados (eventos). Como esses eventos so mutuamente exclusivos (no podem ocorrer simultaneamente), ento a probabilidade dada pela soma, ou seja:

4.3.2 Eventos independentes

O Exemplo 4.10 parecido com o exemplo anterior, mas com a amostra-gem feita com reposio. Verifique que os clculos tornam-se mais simples, pois a configurao da urna no se altera na segunda extrao.

Exemplo 4.10 Uma caixa contm 4 cartes amarelos e 8 vermelhos. Reti-ram-se, ao acaso, 2 cartes da caixa, um aps o outro, sendo que o primeiro

d) Considere a retirada de 3 cartes. Qual a probabilidade de que os dois primeiros sejam vermelhos e o terceiro seja amarelo? Desejamos calcular

Os dois primeiros fatores j foram calculados anteriormente. Para calcular P(A3V1 V2) basta considerar a caixa com 2 cartes vermelhos a menos, ou seja, com 4 amarelos e 6 vermelhos. Assim:

carto reposto antes da retirada do segundo (amostragem com reposio), e observa-se a cor dos dois cartes.

A Figura 4.4 apresenta a rvore de probabilidades desse experimento.

1- extrao 2- extrao

Figura 4.4 rvore de probabilidades - retiradas com reposio (A = amarelo; V = vermelho).

Note que nessa situao, P(A2A1)= P(A2V1) = 4/12, ou seja, no importa se saiu carto amarelo ou vermelho na primeira extrao, a probabilidade de sair amarelo na segunda extrao de 4/12 - h independncia entre os eventos. Assim, basta escrever P(A2), sem condicionante.

Dois ou mais eventos so independentes quando a ocorrncia de um dos eventos no influencia a probabilidade da ocorrncia dos outros.

Se dois eventos A e B so independentes, ento:

(4.13) (4.14)

Como conseqncia de (4.14), a regra do produto pode ser simplificada da seguinte forma:

A definio de independncia ainda pode ser ampliada para mais eventos, como segue:

Embora a implicao seja dos dois lados, normalmente as condies do ex-perimento permitem verificar se razovel supor independncia entre os even-tos e, em caso afirmativo, o clculo da probabilidade da interseo pode ser fa-torado nas probabilidades dos eventos independentes.

Quando a populao for bastante grande em relao ao tamanho da amos-tra, mesmo que a amostragem seja feita sem reposio, podemos supor inde-pendncia. Imagine que no experimento do Exemplo 4.9 haja 4.000 cartes amarelos e 8.000 vermelhos. Ao extrair dois cartes, a probabilidade de sair amarelo na segunda extrao de aproximadamente 4/12, independentemente de ter sado amarelo ou vermelho na primeira extrao.

Exemplo 4.11. Considere um sistema composto de n componentes ligados em srie, de tal forma que, se um componente falhar, o sistema todo falha. Esque-maticamente:

Se os componentes operam independentemente e cada um tem probabilida-de p de falhar, qual a probabilidade de o sistema funcionar?

Resp.: (1 -p)n (verifique o porqu; use a regra do produto para eventos independentes).

Essa relao usada para definir formalmente eventos independentes, ou seja:

(4.15)

EXERCCIOS

8. Para testar se um sistema especialista responde satisfatoriamente a um usurio, foram feitas cinco perguntas, cada uma com quatro alternativas de resposta. Se o sistema escolhe as alternativas aleatoriamente, qual a pro-babilidade de ele responder corretamente a todas as cinco perguntas?

9. Com respeito ao Exemplo 4.7, calcule:

4.4 TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL

Exemplo 4.12. Imagine que voc utiliza peas de quatro fornecedores, que tm diferentes desempenhos quanto a sua qualidade. As peas so classificadas como conformes ou no conformes e voc conhece a proporo de peas no conformes de cada fornecedor (p l ,p2, p3 e p4). Considere a formao de um lote com peas dos quatro fornecedores, conforme ilustra a Figura 4.5. Se voc sele-cionar, ao acaso, uma das peas do lote, qual a probabilidade de ela ser no conforme?

Fornecedor: (1) (2) (3) (4)

A resposta seria simples se voc soubesse de qual fornecedor a pea sele-cionada, mas voc no sabe. O chamado teorema da probabilidade total permite solucionar esse problema.

Considere o espao amostrai particionado em k eventos, E1 ,E2, Ek, sa-tisfazendo s seguintes condies:

Seja um evento F qualquer, referente ao espao amostrai . Ento:

ou (4.16)

Naturalmente, algumas P(F|E i) podero assumir valor zero por no haver interseo entre F e Et. O teorema da probabilidade total pode ser interpretado fisicamente como uma medida do peso de cada um dos eventos Eb na contribui-o para formar o evento F.

Exemplo 4.12 (continuao) Os eventos Et representam as procedncias das peas (fornecedores 1, 2, 3 e 4), e o evento F representa pea no conforme. Re-pare que os eventos Et (fornecedores) so mutuamente exclusivos, pois a pea somente pode ser originria de um dos fornecedores; e que o evento F tem in-terseo com cada um deles (uma vez que todos os fornecedores produzem pe-as no conformes).

Suponha a mesma probabilidade para todos os fornecedores, isto ,

Figura 4.6 Partio do espao amostrai em eventos mutuamente exclusivos.

onde os eventos (F Ei) (i = 1, 2, ..., n) so mutuamente exclusivos entre si. Logo:

Usando a regra do produto, temos a seguinte equao, conhecida como o teorema da probabilidade total:

e as probabilidades de no-conformidade para cada fornecedor sejam:

onde P(F) calculado por (4.16).

Exemplo 4.12 (continuao) Sabendo-se que a pea no conforme, qual a probabilidade de que ela tenha vindo do fornecedor 4?

Lembrando que j calculamos P(F) = 0,20, ento, aplicando (4.17), temos:

4.5 TEOREMA DE BAYES

O teorema de Bayes est intimamente relacionado ao teorema da probabi-lidade total. Supem-se as mesmas condies (eventos Et mutuamente exclusi-vos e exaustivos e um evento F qualquer). Basicamente, o teorema de Bayes permite obter a probabilidade de que um dos eventos Et ocorra, sabendo-se que o evento F ocorreu. Para o caso das peas dos quatro fornecedores, o Teorema de Bayes permite responder a questes do tipo: "sabendo-se que a pea no conforme, qual a probabilidade de que tenha vindo do fornecedor 4?"

De maneira geral, usando a expresso (4.8), temos:

Usando a regra do produto (4.10), podemos escrever o chamado Teorema de Bayes:

(4.17)

Ento, usando (4.16), a probabilidade de no conforme dada por:

EXERCCIOS

10. Uma caixa contm trs cartes verdes, quatro amarelos, cinco azuis e trs vermelhos. Dois cartes so retirados da caixa, ao acaso, um aps o outro, sem reposio. Anotam-se suas cores. Calcular a probabilidade de que: a) os dois cartes sejam da mesma cor; b) os dois cartes sejam verdes, sabendo-se que so da mesma cor.

11. Uma rede local de computadores composta por um servidor e cinco clien-tes (A, B, C, D e E). Registros anteriores indicam que dos pedidos de deter-minado tipo de processamento, realizados atravs de uma consulta, cerca de 10% vm do cliente A, 15% do B, 15% do C, 40% do D e 20% do E. Se o pedido no for feito de forma adequada, o processamento apresentar erro. Usualmente, ocorrem os seguintes percentuais de pedidos inadequa-dos: 1% do cliente A, 2% do cliente B, 0,5% do cliente C, 2% do cliente D e 8% do cliente E. a) Qual a probabilidade de o sistema apresentar erro? b) Qual a probabilidade de que o processo tenha sido pedido pelo cliente

E, sabendo-se que apresentou erro?

E X E R C C I O S C O M P L E M E N T A R E S

12. A probabilidade de que Joozinho resolva este problema 0,5. A probabili-dade de que Mariazinha resolva este problema 0,7. Qual a probabilida-de de o problema ser resolvido se ambos tentarem independentemente?

13. Um sistema tem dois componentes que operam independentemente. Supo-nha que as probabilidades de falha dos componentes 1 e 2 sejam 0,1 e 0,2, respectivamente. Determinar a probabilidade de o sistema funcionar nos dois casos seguintes: a) os componentes so ligados em srie (isto , ambos devem funcionar

para que o sistema funcione); b) os componentes so ligados em paralelo (isto , basta um funcionar

para que o sistema funcione).

14. Um sistema tem quatro componentes que operam independentemente, sen-do que cada componente tem probabilidade 0,1 de no funcionar. O siste-ma ligado da seguinte forma:

Determinar a probabilidade de o sistema funcionar.

15. De acordo com certa tbua de mortalidade, a probabilidade de Jos estar vivo daqui a 20 anos de 0,6, e a mesma probabilidade para Manuel de 0,9. Determinar:

a) P (ambos estarem vivos daqui a 20 anos); b) P (nenhum estar vivo daqui a 20 anos); c) P (um estar vivo e outro estar morto daqui a 20 anos).

16. Aps um longo processo de seleo para preenchimento de duas vagas de emprego para engenheiro, uma empresa chegou a um conjunto de 9 enge-nheiros e 6 engenheiras, todos com capacitao bastante semelhante. Inde-ciso, o setor de recursos humanos decidiu realizar um sorteio para preen-cher as duas vagas oferecidas.

a) construa o modelo probabilstico, considerando que se esteja observan-do o sexo (masculino ou feminino) dos sorteados;

b) qual a probabilidade de que ambos os selecionados sejam do mesmo sexo?

c) sabendo-se que ambos os selecionados so do mesmo sexo, qual a probabilidade de serem homens?

17. Est sendo avaliada a qualidade de um lote de peas numa indstria cer-mica, onde esto misturados 30 pisos e 40 azulejos.

a) retira-se uma pea ao acaso do lote e observa-se o tipo de cermica. Construa o modelo probabilstico para esta situao;

b) retiram-se duas peas ao acaso do lote, uma aps a outra, com reposi-o, e observa-se o tipo de cermica. Construa o modelo probabilstico para esta situao;

c) repita o item (b), supondo que no haja reposio;

d) registros anteriores da qualidade indicaram que 1,5% dos azulejos e cerca de 0,7% dos pisos apresentaram defeitos. Retira-se, ao acaso, uma pea do lote. Qual a probabilidade de a pea apresentar defeito?

e) para as condies do item (d), qual a probabilidade de a pea ser piso, uma vez que apresentou defeito?

18. A caixa I tem 8 peas boas e 2 defeituosas; a caixa II tem 6 peas boas e 4 defeituosas; a caixa III tem 9 peas boas e 1 defeituosa.

a) tira-se, aleatoriamente, uma pea de cada caixa. Determinar a probabi-lidade de serem todas boas;

b) escolhe-se uma caixa ao acaso e tira-se uma pea. Determinar a proba-bilidade de ser defeituosa;

c) escolhe-se uma caixa ao acaso e tira-se uma pea. Calcular a probabi-lidade de ter sido escolhida a caixa I, sabendo-se que a pea defei-tuosa.

19. A qualidade de CDs foi avaliada em termos da resistncia a arranho e ade-quao das trilhas. Os resultados de 1.000 CDs foram:

Adequao das trilhas Resistncia a arranho

Aprovado Reprovado

Alta 700 140, Baixa 100 60

Se um CD for selecionado ao acaso desse lote de 1.000 CDs, qual a probabilidade de ele: a) ter resistncia a arranho alta e ser aprovado na avaliao das trilhas? b) ter resistncia a arranho alta ou ser aprovado na avaliao das trilhas? c) ser aprovado na avaliao das trilhas, dado que tem resistncia a arra-

nho alta? d) ter resistncia a arranho alta, dado que foi aprovado na avaliao das

trilhas?

20. Certo sistema funciona somente se houver um caminho fechado de A a B, com componentes que funcionam. Os componentes funcionam indepen-dentemente um dos outros. O sistema esquematizado abaixo, assim como as probabilidades de falha de cada componente:

Calcule a probabilidade de o sistema funcionar.

21. Dois nmeros inteiros so extrados, aleatoriamente e sem reposio, do in-tervalo [- 20, 29]. Esses dois nmeros so multiplicados. Qual a probabi-lidade de o produto ser positivo?

Variveis Aleatrias Discretas

5.1 VARIVEL ALEATRIA

Um conceito de fundamental importncia para a estatstica indutiva o de variveis aleatrias. Para entender esse conceito, imagine que um dado comum vai ser lanado. Tente dizer qual ser o nmero resultante. claro que, antes do lanamento, no podemos dizer qual o nmero que ocorrer, pois o resul-tado depende do fator sorte e, por isso, uma varivel aleatria.

Uma varivel aleatria pode ser entendida como varivel quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatrios.

Outros exemplos de variveis aleatrias so:

a) nmero de coroas obtido no lanamento de duas moedas; b) nmero de itens defeituosos em uma amostra retirada, aleatoria-

mente, de um lote; c) nmero de defeitos em um azulejo que sai da linha de produo; d) nmero de pessoas que visitam um determinado site, num certo pe-

rodo de tempo; e) volume de gua perdido por dia, num sistema de abastecimento; f) resistncia ao desgaste de um tipo de ao, num teste padro;

g) tempo de resposta de um sistema computacional;

h) grau de empeno em um azulejo que sai da linha de produo.

Todos os exemplos acima tm uma caracterstica comum: alm do resulta-do ser quantitativo (valor real), no podemos prev-lo com exatido, pois ele depende de experimento aleatrio.

Embora no exemplo do dado os valores que a varivel aleatria pode assu-mir coincidam com o espao amostrai do experimento, este no um caso ge-ral. No exemplo (a), lanamento de 2 moedas, o espao amostrai mais completo = {(cara, cara), (cara, coroa), {coroa, cara), (coroa, coroa)}, enquanto que a varivel aleatria nmero de coroas assume valores no conjunto {0, 1, 2}. Mas existe uma relao (funo) entre os dois conjuntos, conforme mostra o esque-ma a seguir:

Formalmente, uma varivel aleatria uma funo que associa elemen-tos do espao amostrai ao conjunto de nmeros reais.

As variveis aleatrias podem ser discretas ou contnuas, conforme mostra a Figura 5.1.

Figura 5.1 Variveis aleatrias discretas e contnuas.

Os casos (a) - (d) so exemplos de variveis aleatrias discretas e os casos (g) - (h) so exemplos de variveis aleatrias contnuas. No restante deste cap-tulo, trataremos apenas do primeiro caso.

Cabe observar que as variveis qualitativas tambm podem ser caracteriza-das como variveis aleatrias discretas, desde que as representemos como va-riveis indicadoras 0 ou 1. Por exemplo, ao avaliar azulejos que saem de uma li-nha de produo, cada azulejo pode ser classificado como bom (X = 0) ou defeituoso (X = 1). Nesse caso, a varivel aleatria discreta X est definida como varivel indicadora de item defeituoso.1

5.1.1 Distribuio de probabilidades

Definida uma varivel aleatria discreta, temos a descrio do que pode ocorrer no experimento aleatrio. Em alguns casos e sob certas suposies, te-mos duas informaes:

quais resultados podem ocorrer;

qual a probabilidade de cada resultado acontecer.

Exemplo 5.1 Seja a varivel aleatria X = nmero obtido no lanamento de um dado comum. Se assumirmos o dado perfeitamente equilibrado e o lana-mento imparcial, podemos alocar as seguintes probabilidades aos valores poss-veis de X:

Ou, mais resumidamente, p(j) = 1/6 0 = 1. 2, 3, 4, 5, 6).

1 Se houver mais de duas categorias (por exemplo, A, B e C), podemos usar mais de uma varivel indicadora. No caso de trs categorias, podem ser empregadas as variveis aleatrias X e Y, ondeX = 1 se ocorrer B, eX = 0 caso contrrio; Y = 1 se ocorrer C, e Y = 0 caso contrrio. A ocorrncia de A estaria representada por X = 0 e Y = 0.

A distribuio de probabilidades de uma varivel aleatria X a descri-o do conjunto de probabilidades associadas aos possveis valores de X, con-forme foi ilustrado no exemplo precedente. Observe que a soma das probabili-dades dos valores possveis de X igual a 1 (um).

Se X for discreta, com possveis valores {x1 , x2, ...}, ento a distribuio de probabilidades de X pode ser apresentada pela chamada funo de pro-babilidade, que associa a cada valor possvel xt a sua probabilidade de ocorrncia p(x) ou seja:

Existe certa similaridade entre as distribuies de probabilidades e as dis-tribuies de freqncias vistas no Captulo 3. Contudo, na distribuio de pro-babilidades so mostrados os possveis valores e no os valores efetivamente ob-servados. Alm disso, as probabilidades so, geralmente, alocadas a partir de suposies a respeito do experimento aleatrio em questo, enquanto as fre-qncias so obtidas com efetivas realizaes do experimento.

A Figura 5.2 apresenta grficos que podem ser usados para representar a distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria discreta. O grfico em hastes (do lado esquerdo) tpico para variveis aleatrias discretas. J o grfi-co em forma de histograma (do lado direito) construdo com o cuidado de a rea total ser igual unidade.

Figura 5.2 Representaes grficas da distribuio de probabilidades da varivel aleatria X = nmero obtido no lanamento de um dado comum.

5.1.2 Funo de distribuio acumulada

Outra forma de representar uma distribuio de probabilidades de uma varivel aleatria atravs de sua funo de distribuio acumulada, que de-finida por:

(5.1)

Assim, para todo x e R a funo de distribuio acumulada descreve a probabilidade de ocorrer um valor at x, conforme ilustrado a seguir:

A varivel aleatria X = nmero obtido no lanamento de um dado comum tem a seguinte funo de distribuio acumulada:

Observe que os pontos em que a funo de probabilidade descreve proba-bilidades no nulas correspondem a saltos na funo de distribuio acumulada e, tambm, que a altura de cada salto eqivale ao valor da probabilidade na-quele ponto. Assim, para todo x e R, h uma relao direta entre p(x) e F(x).

5.1.3 Valor esperado e varincia

Na anlise exploratria de dados, discutimos algumas medidas (particular-mente, a mdia, a varincia e o desvio padro - Captulo 3) para sintetizar as informaes sobre distribuies de freqncias de variveis quantitativas. De forma anloga, essas medidas tambm podem ser definidas para as variveis aleatrias, com o objetivo de sintetizar caractersticas relevantes de uma distri-buio de probabilidades. Considere uma varivel aleatria X e sua distribuio de probabilidades:

A mdia ou valor esperado de uma varivel aleatria X dado por:

(5.2)

E a varincia por:

(5.3)

Alternativamente, a varincia pode ser calculada por:2

(5.4)

E o desvio padro dado por:

(5.5)

Retomemos o exemplo da varivel aleatria X = nmero obtido no lana-mento de um dado comum, em que a funo de probabilidade dada por:

e calculemos o valor esperado e a varincia.

Considerando que as probabilidades podem ser interpretadas como limite da freqncia relativa quando o experimento executado muitas e muitas ve-zes, podemos interpretar o valor esperado como a mdia aritmtica dos resulta-dos da varivel aleatria se o experimento pudesse ser repetido infinitas vezes. Assim, se pudssemos lanar o dado infinitas vezes, obteramos, em mdia, 3,5 pontos por lanamento. J a varincia informa sobre a disperso dos possveis valores.

Observe que, no presente exemplo, o valor esperado = 3,5 um nmero que a varivel aleatria no pode assumir. Fisicamente, o valor esperado corres-ponde ao centro de gravidade da distribuio de probabilidades.

Algumas propriedades

Sendo c uma constante e X e Y variveis aleatrias, as seguintes relaes podem ser comprovadas:

As relaes (b) e (g) mostram que ao somar uma constante a uma varivel aleatria, a distribuio de probabilidades deslocada por esta constante, mas a variabilidade preservada. Todavia, ao multiplicar a varivel aleatria por uma constante - relaes (c) e (h) -, o centro da distribuio deslocado na mesma proporo e a variabilidade tambm alterada (ver Figura 5.3).

5.1.4 Variveis aleatrias independentes

Considere que um dado seja lanado duas vezes, sob as mesmas condi-es. Seja X( a varivel aleatria que representa o nmero de pontos obtido no z-simo lanamento ( = 1, 2). Supondo que o dado seja perfeitamente equili-brado e o lanamento imparcial, ento X1 e X2 tm a mesma funo de probabi-lidade, que dada por:

P(j) = 1/6 (j = 1, 2, 3, 4, 5, 6)

Considere, tambm, a varivel aleatria S como o nmero total de pontos obtidos nos dois lanamentos, isto ,

S = X1 + X2

A funo de probabilidade de S pode ser obtida com base em funes de probabilidades de Xl e X2 , resultando em:

Note que, se o primeiro lanamento for realizado e ocorrer o resultado x1 sendo x1 {1, 2, 3, 4, 5, 6}, a funo de probabilidade de X2 permanece a mes-ma, pois o segundo lanamento independe do primeiro. Assim, podemos dizer que X1 e X2 so variveis aleatrias independentes.

No entanto, a funo de probabilidade de S alterada. Por exemplo, se ocorrer o valor 1 (X1 = 1), ento a distribuio de S passa a ser:

Ou seja, X1 e S no so variveis aleatrias independentes. Em geral, X1 X2, Xn podem ser consideradas variveis aleatrias inde-

pendentes se o conhecimento de uma no altera as distribuies de probabili-dades das demais.

Muitas vezes as caractersticas do experimento permitem-nos avaliar se as variveis aleatrias envolvidas so independentes. Essa condio importante, pois a maioria dos mtodos estatsticos desenvolvida na suposio de que as observaes provm de variveis aleatrias independentes.

Considerando a regra do produto, podemos calcular a probabilidade de sair nmero par nos dois lanamentos do dado simplesmente multiplicando a probabilidade de sair par em cada lanamento, ou seja, (1/2) . (1/2) = 1/4. Pode-mos representar o evento sair nmero par nos dois lanamentos do dado por:

{X1 (2, 4, 6), X2 (2, 4, 6)}

E a probabilidade deste evento por:

Para um conjunto de variveis aleatrias X1 X2, ..., Xn, definimos:

Se X e Y so variveis aleatrias independentes, ento:

V(X + Y) = V(X) + V(Y) (5.6) V(X - Y) = VQO + V(Y) (5.7)

Note, por (5.7), que a varincia da diferena de duas variveis aleatrias independentes a soma das varincias de cada varivel aleatria. Isso decorre da propriedade (h) (Seo 5.1.3).

EXERCCIOS

1. Apresente a funo de probabilidade para as seguintes variveis aleatrias: a) Nmero de caras obtido com o lanamento de uma moeda honesta; b) Nmero de caras obtido no lanamento de duas moedas honestas; c) Nmero de peas com defeito em uma amostra de duas peas, sortea-

das aleatoriamente de um grande lote, em que 40% das peas so de-feituosas;

d) Nmero de peas com defeito em uma amostra de trs peas, sortea-das aleatoriamente de um grande lote, em que 40% das peas so de-feituosas.

2. Apresente, sob forma grfica, a distribuio de probabilidades do Exerc-cio 1(d).

3. Apresente a funo de probabilidade acumulada do Exerccio 1(d).

4. Calcule os valores esperados e as varincias das distribuies de probabili-dade do Exerccio 1.

5. Considere que um produto pode estar perfeito (B), com defeito leve (DL) ou com defeito grave (DG). Seja a seguinte distribuio do lucro (em R$), por unidade vendida desse produto:

a) Calcule o valor esperado e a varincia do lucro. b) Se, com a reduo de desperdcios, foi possvel aumentar uma unidade

no lucro de cada unidade do produto, qual o novo valor esperado e a varincia do lucro por unidade?

c) E se o lucro duplicou, qual o novo valor esperado e varincia do lu-cro por unidade?

6. Certo tipo de conserva tem peso lquido mdio de 900 g, com desvio pa-dro de 10 g. A embalagem tem peso mdio de 100 g, com desvio padro de 4 g. Suponha que o processo de enchimento das embalagens controla o peso lquido, de tal forma que se possa supor independncia entre o peso lquido e o peso da embalagem. Qual a mdia e o desvio padro do peso bruto?

5.2 PRINCIPAIS DISTRIBUIES DISCRETAS

Na seo anterior, construmos as distribuies de probabilidades de algu-mas variveis aleatrias, empregando nosso conhecimento para o clculo das probabilidades envolvidas. Nesta seo, estudaremos alguns modelos probabils-ticos padres, que podem ser usados em diversas situaes prticas. O problema passa a ser, ento, determinar qual modelo o mais adequado para a situao em estudo e como aplic-lo adequadamente.

Lembremos que, para identificarmos uma varivel aleatria discreta, te-mos de conhecer quais resultados podem ocorrer e quais so as probabilidades associadas aos resultados. A seguir, vamos ver os principais modelos discretos.

5.2.1 Distribuio de Bernoulli

Talvez os experimentos mais simples so aqueles em que observamos a presena ou no de alguma caracterstica, que so conhecidos como ensaios de Bernoulli. Alguns exemplos:

a) lanar uma moeda e observar se ocorre cara ou no;

b) lanar um dado e observar se ocorre seis ou no;

c) numa linha de produo, observar se um item, tomado ao acaso, ou no defeituoso;

d) verificar se um servidor de uma intranet est ou no ativo.

Denominamos sucesso e fracasso os dois eventos possveis em cada caso.3 O ensaio de Bernoulli caracterizado por uma varivel aleatria X, definida por X = 1, se sucesso; X = 0, se fracasso. A funo de probabilidade de X (Dis-tribuio de Bernoulli) dada por

onde p = P{sucesso}. A distribuio fica completamente especificada ao atribuirmos um valor para p. No exemplo (a), se o lanamento for imparcial e a moeda perfeitamente equilibrada, p = 1/2. Em (b), com suposio anloga, p = 1/6. Outras caractersticas da distribuio de Bernoulli:

5.2.2 Distribuio Binomial

Na maior parte das vezes, so realizados n ensaios de Bernoulli. O interes-se est no nmero X de ocorrncias de sucesso, como nos exemplos a seguir:

a) lanar uma moeda cinco vezes e observar o nmero de caras; b) numa linha de produo, observar dez itens, tomados ao acaso, e

verificar quantos esto defeituosos; c) verificar, num dado instante, o nmero de processadores ativos,

num sistema com multiprocessadores; d) verificar o nmero de bits que no esto afetados por rudos, em um

pacote com n bits.

Nos exemplos precedentes, se for possvel supor:

ensaios independentes; P{sucesso} = p, constante para todo ensaio (0 < p < 1).

3 No presente contexto, o termo sucesso no significa algo bom, mas simplesmente um resultado ou evento no qual temos interesse; e fracasso, o outro resultado ou evento possvel.

Temos, ento, exemplos de experimentos binomiais. Uma varivel aleatria com distribuio binomial de parmetros n e p

pode ser apresentada por:

X = X1 + X2 + ... + Xn (5.11)

onde Xl9 X2, ...,Xn so variveis aleatrias independentes, sendo cada uma delas com distribuio de Bernoulli de parmetro p. Como Xt ser 0 ou 1, dependen-do da ocorrncia ou no de sucesso no i-simo ensaio (i = 1, 2, ..., n), ento a soma X corresponder ao nmero de sucessos. Para especificarmos a funo de probabilidade de X, considere o seguinte exemplo:

Exemplo 5.1 Uma indstria processadora de suco classifica os carregamentos de laranja que chegam a suas instalaes em A, B ou C. Suponha independncia entre as chegadas dos carregamentos, isto , a classificao de um no altera a classificao dos demais. Suponha tambm que a probabilidade p de classifica-o na classe A a mesma para todos os carregamentos. Para os prximos 4 carregamentos, seja X a varivel aleatria que representa o nmero de carrega-mentos classificados na classe A. Vamos calcular a probabilidade de que X assu-ma o valor x, isto , a probabilidade de que x carregamentos sejam classificados na classe A (x = 0, 1, 2, 3, 4).

Para cada carregamento, seja S (sucesso) quando este for classificado na classe A; e seja F (fracasso) quando este for classificado em outra classe. A Figu-ra 5.4 mostra todas as possveis seqncias de resultados, os possveis valores de X e as correspondentes probabilidades.

Resultados possveis de 4 carregamentos:

Explicando as probabilidades da Figura 5.4. O evento X = 0 ocorre quando nenhum carregamento classificado na classe A (FFFF), cuja probabilidade

(1 - p ) ( 1 - p ) ( l - p)( 1 - p ) = (1 - p ) 4 . O evento X = 1 ocorre quando um car-regamento for classificado na classe A (SFFF ou FSFF ou FFSF ou FFFS). Como cada um desses resultados tem probabilidade p( 1 - p)3, a probabilidade do evento X = 1 igual a 4p(l - p)3. As outras probabilidades podem ser obtidas de forma anloga.

Coeficientes binomiais

Na Figura 5.4, podemos observar que no clculo da probabilidade do evento X = 1, contamos de quantas maneiras poderia aparecer um sucesso en-tre as quatro possibilidades, assim encontramos a quantidade quatro, corres-pondente s seguintes seqncias de respostas: SFFF, FSFF, FFSF e FFFS.

Em geral, na distribuio binomial, para calcular a probabilidade do even-to X = x, onde x um valor possvel da varivel aleatria X, precisamos conhe-cer o nmero de maneiras em que podemos combinar os x sucessos entre os n ensaios. Esse valor, conhecido como coeficiente binomial, entra no clculo da probabilidade como um coeficiente das potncias de p e 1 - p, como verifica-mos na Figura 5.4.

Expresso geral da distribuio binomial

Seja X uma varivel aleatria com distribuio binomial de parmetros n e p (sendo 0 < p < 1). A probabilidade de X assumir um certo valor x, pertencente ao conjunto {0, 1, 2,..., n}, dada pela expresso:

(5.13)

Exemplo 5.2 (continuao). Historicamente, 30% dos carregamentos so clas-sificados na classe A, em que podemos supor que a probabilidade p de um car-regamento ser classificado na classe A 0,3. Entre os quatro prximos carrega-mentos, calculemos a probabilidade de exatamente dois serem classificados na classe A.

Temos n = 4 e p = 0,3. Assim, a probabilidade de x carregamentos serem classificados na classe A dada por:

A Tabela 1 do apndice apresenta probabilidades da binomial para n 15 e p mltiplo de 0,05. O Exemplo 5.3 ilustra o uso da tabela.

Exemplo 5.2 Dados histricos mostram que 70% das pessoas que acessam a pgina p23 da internet tambm acessam a pgina p24. Obteremos, atravs da tabela da distribuio binomial, a probabilidade de que, nos dez prximos aces-sos p23, a maioria tambm acesse a p24.

Note que temos um experimento binomial, com n = 10 e p = 0,7 (supondo independncia entre os aces-sos). Usando a Tabela da distribuio binomial, podemos especificar a distribuio de X = nmero de pessoas que tambm acessam a p24. A probabilidade de ocorrer o evento a maioria tambm acessar a p24 corresponde, em termos da varivel aleatria X, ao evento {X > 5}, como ilustramos ao lado. A probabilidade deste evento ser a soma dos resultados individuais, ou seja:

Se X tem distribuio binomial de parmetros nep, ento seu valor espera-do e sua varincia podem ser calculados por:

E(X) = n.p V(X) = n.p. (1 - p)

(5.14) (5.15)

A Figura 5.5 mostra duas distribuies binomiais com a indicao da posi-o dos respectivos valores esperados.

Distribuies binomiais com p = 0,5 so simtricas, mas so assimtricas quando p 0,5. A assimetria aumenta medida que p aproxima-se de zero (as-simetria positiva) ou de um (assimetria negativa).

EXERCCIOS

7. Dados histricos mostram que 5% dos itens provindos de um fornecedor apresentam algum tipo de defeito. Considerando um lote com 20 itens, cal-cular a probabilidade de: a) haver algum item com defeito; b) haver exatamente dois itens defeituosos; c) haver mais de dois itens defeituosos; d) qual o nmero esperado de itens defeituosos no lote? e) e de itens bons?

8. Apresente o grfico da varivel aleatria do Exemplo 5.2 sob a forma de um histograma, indique a posio do valor esperado e represente P(X > 5) como uma rea na figura.

5.2.3 Distribuio hipergeomtrica Considere o problema bsico de inspeo por amostragem, em que obser-

vamos uma amostra de n itens de um lote com N itens, sendo r defeituosos. Avaliamos o nmero X de itens defeituosos na amostra. A varivel aleatria X aparenta ser binomial, mas s realmente binomial se:

a seleo da amostra for aleatria (para garantir a mesma probabili-dade p de sair item defeituoso em todos os ensaios);

com reposio (para garantir independncia entre os ensaios).

A segunda condio no costuma ser satisfeita na prtica. Se a amostra-gem for aleatria, mas sem reposio, a distribuio de X conhecida como hi-pergeomtrica de parmetros N, n e r (ver Figura 5.6).

Amostra com n itens

Figura 5.6 Caso tpico de inspeo por amostragem. Varivel aleatria em estu-do: X = nmero de defeituosos na amostra.

A funo de probabilidade de X expressa por:

(5.16)

com valor esperado e varincia dados por:

(5.17) (5.18)

Exemplo 5.3 Placas de vdeo so expedidas em lotes de 30 unidades. Antes que a remessa seja aprovada, um inspetor escolhe aleatoriamente cinco placas do lote e as inspeciona. Se nenhuma das placas inspecionadas for defeituosa, o lote aprovado. Se uma ou mais forem defeituosas, todo o lote inspecionado. Supondo que haja trs placas defeituosas no lote, qual a probabilidade de que o controle da qualidade aponte para a inspeo total?

Seja X o nmero de placas defeituosas na amostra. Desejamos calcular:

P(X 1) = 1 - P(X = 0)

Usando o modelo hipergeomtrico:

Logo, P(X 1) = 1 - 0,5665 = 0,4335.

importante ressaltar que quando N muito maior do que n, a distribui-o hipergeomtrica pode ser aproximada pela binomial. Muitos autores pres-crevem uma relao n/N 0,05 para que seja possvel fazer a aproximao.4 Nes-se caso, a binomial tem parmetros n e p = r/N .

EXERCCIOS

9. Qual a probabilidade do Exemplo 5.3, se a inspeo completa for feita so-mente quando forem encontradas mais do que uma placa defeituosa na amostra?

10. Calcule o valor esperado e a varincia da varivel aleatria definida no Exemplo 5.3.

5.2.4 Distribio de Poisson

Considere as situaes em que se avalia o nmero de ocorrncias de um tipo de evento por unidade de tempo, de comprimento, de rea, ou de volume. Por exemplo:

4 Observe que se N for muito maior que n, as retiradas, mesmo feitas sem reposio, no iro modificar em demasia as probabilidades de ocorrncias de sucessos (e de fracassos), na se-qncia de ensaios.

a) nmero de consultas a uma base de dados em um minuto; b) nmero de pedidos a um servidor num intervalo de tempo; c) nmero de erros de tipografia em um formulrio; d) nmero de defeitos em um m2 de piso cermico; e) nmero de pulsaes radioativas em um intervalo de tempo, na de-

sintegrao dos ncleos de uma substncia radioativa.

Suposies bsicas:

independncia entre as ocorrncias do evento considerado; os eventos ocorrem de forma aleatria, de tal forma que no haja ten-

dncia de aumentar ou reduzir as ocorrncias do evento, no intervalo considerado.

Para desenvolvermos a distribuio de Poisson, consideremos a varivel aleatria X = nmero de consultas a uma base de dados em um minuto. Ou seja, X a contagem de ocorrncias de consultas no intervalo de tempo [0, 1), como representado a seguir:

Considere o intervalo [0, 1) particionado em n subintervalos de amplitude t = 1/n;

Seja n suficientemente grande para que a probabilidade de ocorrer duas ou mais consultas, em cada subintervalo de amplitude At, seja desprezvel, Assim, considere que em cada subintervalo s possa ocorrer 0 ou 1 consulta. Sendo p a probabilidade de ocorrer uma consulta em t, as probabilidades as-sociadas a X podem ser calculadas, aproximadamente, pela binomial (Expressc 5.13). Ento,

Ento, sendo X a taxa mdia de consultas por unidade de tempo, as proba-bilidades de X podem ser calculadas pela chamada distribuio de Poisson, cuja funo de probabilidade dada por:

Exemplo 5.4 Supondo que as consultas num banco de dados ocorrem de for-ma independente e aleatria, com uma taxa mdia de trs consultas por minu-to, calculemos a probabilidade de que no prximo minuto ocorram menos do que trs consultas.

Seja X o nmero de consultas por minuto. Ento:

A Tabela 2 do apndice apresenta as probabilidades acumuladas da Poisson, isto :

Exemplo 5.4 (continuao) Calculemos a probabilidade de que nos prximos dois minutos ocorram mais do que 5 consultas.

Observe que a unidade de tempo alterou de um para dois minutos. Mas se a taxa mdia de trs ocorrncias por minuto, ento, em dois minutos, a taxa mdia de seis ocorrncias. Logo, no presente problema, = 6 e

Aproximao da binomial pela Poisson

Justificamos a distribuio de Poisson a partir da binomial, fazendo n oo e p 0 (Expresso 5.20). Logo, em experimentos binomiais, quando n for mui-to grande e p for muito pequeno, podemos usar a distribuio de Poisson com:

, = n.p (5.24)

Observe que se n for grande (acima de 100, por exemplo) as combinaes da binomial ficam difceis de serem calculadas. Nesse caso, o uso da aproxima-o Poisson torna-se imprescindvel.

Exemplo 5.5 Seja uma linha de produo em que a taxa de itens defeituosos de 0,5%. Calculemos a probabilidade de ocorrer mais do que quatro defeituo-sos, em uma amostra de 500 itens.

EXERCCIOS

11. Mensagens chegam a um servidor de acordo com uma distribuio de Poisson, com taxa mdia de cinco chegadas por minuto. a) Qual a probabilidade de que duas chegadas ocorram em um minuto? b) Qual a probabilidade de que uma chegada ocorra em 30 segundos?

12. Em um canal de comunicao digital, a probabilidade de se receber um bit com erro de 0,0002. Se 10.000 bits forem transmitidos por esse canal, qual a probabilidade de que mais de quatro bits sejam recebidos com erro?

EXERCCIOS COMPLEMENTARES

13. Um armazm abastecido mensalmente, sendo que a taxa mdia de abas-tecimento 30 unidades/dia, com desvio padro de 3 unidades/dia. A de-manda mdia de 25 unidades/dia, com desvio padro de 4 unidades/dia. Suponha que o abastecimento e a demanda sejam independentes e, alm disso, a demanda e o abastecimento num dia no alteram o abastecimento e a demanda nos dias seguintes. Qual o valor esperado e o desvio padro do excedente de produtos, no perodo de um ms?

14. Suponha que 10% dos clientes que compram a crdito em uma loja deixam de pagar regularmente suas contas (prestaes). Se num particular dia, a loja vende a crdito para 10 pessoas, qual a probabilidade de que mais de 20% delas deixem de pagar regularmente as contas? Suponha que as 10 pessoas que fizeram credirio nesse dia correspondam a uma amostra alea-tria de clientes potenciais desta loja.

15. Em um sistema de transmisso de dados, existe uma probabilidade igual a 0,05 de um lote de dados ser transmitido erroneamente. Foram transmiti-dos 20 lotes de dados para a realizao de um teste de anlise da confiabi-lidade do sistema. a) Qual o modelo terico mais adequado para esse caso? Por qu? b) Calcule a probabilidade de haver erro na transmisso. c) Calcule a probabilidade de que haja erro na transmisso em exatamen-

te 2 dos 20 lotes de dados. d) Qual o nmero esperado de erros no teste realizado?

16. Numa fbrica, 3% dos artigos produzidos so defeituosos. O fabricante pretende vender 4000 peas e recebeu 2 propostas:

Proposta 1: o comprador A prope examinar uma amostra de 80 peas. Se houver 3 ou menos defeituosas, ele paga 60 unidades monetrias (u.m.) por pea; caso contrrio, ele paga 30 u.m. por pea.

Proposta 2: o comprador B prope examinar 40 peas. Se todas forem perfeitas, ele est disposto a pagar 65 u.m. por pea; caso contrrio, ele paga 20 u.m. por pea.

Qual a melhor proposta? (Calcule o valor esperado da venda em cada proposta.)

17. O departamento de qualidade de uma empresa seleciona, aleatoriamente, alguns itens que chegam empresa e submete-os a testes. Para avaliar um lote de transformadores de pequeno porte, o departamento de qualidade selecionou, aleatoriamente, 10 transformadores. Ele vai recomendar a acei-tao do lote se no existir item defeituoso na amostra. Supondo que o processo produtivo desses transformadores gera um percentual de 3% de defeituosos, responda: a) Qual a probabilidade de que o lote venha a ser aceito? b) Ao analisar 8 lotes de transformadores, com amostras aleatrias de 10

itens em cada lote, qual a probabilidade de que, no mximo, um lote seja rejeitado?

18. Na comunicao entre servidores, uma mensagem dividida em n pacotes, os quais so enviados em forma de cdigos. Pelo histrico da rede, sabe-se

que cada pacote tem uma pequena probabilidade, igual a 0,01, de no chegar corretamente a seu destino e, alm disso, o fato de um pacote no chegar ao destino no altera a probabilidade dos demais chegarem corretamente. Um programa corretivo garante o envio correto da mensa-gem quando o nmero de pacotes enviados erroneamente no passar de 10% do total de pacotes da mensagem. Qual a probabilidade de uma mensagem composta de 20 pacotes ser enviada corretamente? Responder usando: a) a distribuio binomial; b) a distribuio de Poisson.

19. Uma central telefnica recebe, em mdia, 300 chamadas na hora de maior movimento, e pode processar, no mximo, 10 ligaes por minuto. Utili-zando a distribuio de Poisson, calcular a probabilidade de que a capaci-dade da mesa seja ultrapassada em dado minuto do horrio de pico.

20. Um piso cermico tem, em mdia, 0,01 defeito por m2. Em uma rea de 10 m x 10 m desse piso, calcule a probabilidade de ocorrer algum defeito.

21. Placas de circuito integrado so avaliadas aps serem preenchidas com chips semicondutores. Considere que foi produzido um lote de 20 placas e selecionadas 5 para avaliao. Calcule a probabilidade de encontrar pelo menos uma placa defeituosa, supondo que o lote tenha 4 defeituosas e que tenha sido realizada: a) uma amostragem aleatria com reposio; b) uma amostragem aleatria sem reposio.

22. Suponha que o nmero de falhas em certo tipo de placa plstica tenha dis-tribuio de Poisson, com taxa mdia de 0,05 defeito por m2. Na constru-o de um barco, necessrio cobrir uma superfcie de 3 m x 2 m com essa placa. a) Qual a probabilidade de que no haja falhas nessa superfcie? b) Qual a probabilidade de que haja mais que uma falha nessa super-

fcie? c) Na construo de 5 barcos, qual a probabilidade de que pelo menos 4

no apresentem defeito na superfcie plstica?

23. Um item vendido em lotes de 200 unidades. Normalmente o processo de fabricao gera 5% de itens defeituosos. Um comprador compra cada caixa por R$ 100,00 (alternativa 1). Um outro comprador faz a seguinte propos-ta: de cada lote, ele escolhe uma amostra de 15 peas; se a caixa tem 0 de-feituoso, ele paga R$ 200,00; 1 defeituoso, ele paga R$ 50,00; mais que 1 defeituoso, ele paga R$ 5,00 (alternativa 2). Em mdia, qual alternativa

mais vantajosa para o fabricante? (Calcule os valores esperados das duas alternativas.)

24. Na produo de rolhas de cortia, no possvel garantir qualidade homo-gnea, devido s variaes internas nas placas de cortia. Em funo disso, um equipamento separa as rolhas que saem da linha de produo em duas categorias: A e B. Os dados histricos mostram que 40% so classificadas como A e 60% como B. O fabricante vende por R$ 100,00 o milhar de ro-lhas da categoria A; e por R$ 60,00 o milhar da categoria B.

Um comprador prope comprar a produo diria da fbrica. Ele far um plano de amostragem, extraindo 8 rolhas aleatoriamente. Se encontrar mais que 5 rolhas da categoria A, ele paga R$ 200,00; caso contrrio, ele paga R$ 50,00. Pede-se:

a) Qual a probabilidade do comprador encontrar mais que 5 rolhas da classe A?

b) Qual o valor esperado da venda do fabricante, por milhar de rolhas vendidas, se ele aceitar a proposta do comprador? Em termos do valor esperado da venda, a proposta do comprador mais vantajosa do que a venda separada por categoria?

c) Qual a varincia da venda do fabricante, por milhar de rolhas vendi-das, se ele aceitar a proposta do comprador?

25. Suponha que as requisies a um sistema ocorram de forma independente e que a taxa mdia de ocorrncias trs requisies por minuto, constante no perodo em estudo. Calcule a probabilidade de:

a) ocorrer mais que uma requisio no prximo minuto; b) ocorrer mais que uma requisio no prximo minuto, sabendo-se que

certa a ocorrncia de pelo menos uma (pois, voc mesmo far uma re-quisio no prximo minuto).

Variveis Aleatrias Contnuas

6.1 CARACTERIZAO DE UMA VARIVEL ALEATRIA CONTNUA

Muitas variveis aleatrias que surgem na vida de um engenheiro ou de um profissional da informtica tm natureza eminentemente contnua, tais como:

tempo de resposta de um sistema computacional;

rendimento de um processo qumico;

tempo de vida de um componente eletrnico;

resistncia de um material etc.

Outras vezes, h variveis aleatrias discretas, com grande nmero de pos-sveis resultados, em que prefervel usar um modelo aproximado contnuo no lugar do modelo exato discreto. o caso de:

nmero de transaes por segundo de uma CPU;

nmero de defeitos numa amostra de 5.000 itens etc.

Para entender as peculiaridades das variveis aleatrias contnuas, imagi-ne o seguinte experimento.

Exemplo 6.1a Um crculo dividido em dois setores de mes-mo tamanho (180 cada um), aos quais so atribudos os n-meros 1 e 2. Um ponteiro preso ao centro do crculo e gira-do, conforme mostra a figura ao lado. Seja a varivel aleatria discreta X = nmero do setor apontado quando o ponteiro pra de girar. A distribuio de probabilidades de X, considerando que todos os pontos sejam equiprovveis, pode ser especificada pela funo de probabilidade da Figura 6.1.

Figura 6.1 Trs formas de apresentao da funo de probabilidade do experi-mento aleatrio do exemplo 6.1a.

A representao com grfico de hastes tpica para variveis discretas. Apresentamos, tambm, um grfico em forma de histograma, em que as proba-bilidades podem ser representadas por rea. No caso do exemplo em questo, as bases dos retngulos so iguais unidade, o que faz com que a rea seja igual altura do retngulo.1

Exemplo 6.1b Considere, agora, o crculo dividido em quatro setores de mes-mo tamanho (90 cada um). A distribuio de probabilidades da varivel alea-tria discreta X = nmero do setor apontado quando o ponteiro pra de girar apresentada na Figura 6.2.

Figura 6.2 Representao grfica da funo de probabilidade do experimento aleatrio do Exemplo 6.1b.

1 Ao representarmos probabilidades por reas, devemos tomar o cuidado para que rea total seja igual unidade.

Exemplo 6.1c Imagine que o crculo seja dividido em 8, 16 e 32 setores. A Fi-gura 6.3 mostra a funo de probabilidade de X em cada caso.

Figura 6.3 Representaes grficas das funes de probabilidade dos experimen-tos aleatrios do Exemplo 6.1c.

fcil verificar que medida que aumentamos o nmero de divises no crculo, o nmero de possveis setores (resultados de uma varivel aleatria dis-creta) vai aumentando, e a probabilidade de cada resultado ocorrer (represen-tada pela rea de um retngulo) vai sendo reduzida. Teoricamente, o crculo pode ser dividido em infinitos setores, o que torna invivel a representao ta-bular ou grfica da distribuio de probabilidades, da forma como fizemos no Exemplo 6.1. Em termos matemticos, teramos:

6.1.1 Funo densidade de probabilidade

Exemplo 6.2 Considere um crculo, com medidas de ngulos, em graus, a partir de determinada origem, como mostra a figura ao lado. Nesse crculo, h um ponteiro que colocado a girar.

Uma alternativa melhor definir uma varivel aleatria contnua, como veremos na seo seguinte.

Seja a varivel aleatria contnua X = ngulo formado entre a posio que o ponteiro pra e a linha horizontal do lado direito. Considerando que no existe regio de preferncia para o ponteiro parar, a distribui-o de probabilidade de X pode ser representada por uma funo que assume um valor constante e positivo em todo o intervalo [0o, 360), de tal forma que as pro-babilidades possam ser representadas por reas sob a curva dessa funo. Como certamente vai ocorrer um re-sultado em [0o, 360), ento a rea sob a funo neste intervalo deve ser igual a 1, e nula fora deste intervalo. A Figura 6.4 ilustra a distribuio de probabilidades de X, atravs da chamada funo densidade de probabilidade, e mostra a relao en-tre uma rea e um evento.

Figura 6.4 (a) Funo densidade de probabilidade da varivel aleatria do Exemplo 6.2; e (b) Probabilidade do evento {0 X < 90}, represen-tada por uma rea.

Note que os eventos associados a uma vari-vel aleatria contnua so intervalos (ou coleo de intervalos) dos nmeros reais. Com base na funo densidade de probabilidade, podemos calcular pro-babilidades de eventos desse tipo. Por exemplo, qual a probabilidade do ponteiro parar no inter-valo [30, 60]? Tomando a rea do retngulo in-dicado na figura ao lado, temos:

Observe que a incluso ou excluso dos extremos no altera a probabilida-de, pois uma linha tem rea nula. Ou seja, para uma varivel aleatria cont-nua, a probabilidade de ocorrer um particular valor igual a zero.

Exemplo 6.3 Seja a varivel aleatria T definida como o tempo de resposta na consulta a um banco de dados, em minutos. Suponha que essa varivel alea-tria tenha a seguinte funo densidade de probabilidade:

Vamos calcular a probabilidade de a resposta demorar mais do que 3 minutos, isto , P(T > 3).

6.1.2 Funo de distribuio acumulada

Como X uma varivel aleatria contnua com funo de densidade de probabilidade f, definimos sua funo de distribuio acumulada por:

(6.2)

Considere a funo densidade de probabilidade do Exemplo 6.3:

Vamos obter a funo de distribuio acumulada. Como a expresso mate-mtica se altera no ponto zero, devemos considerar os dois seguintes casos:

As probabilidades de eventos associados a uma varivel aleatria contnua X podem ser calculadas atravs de uma funo densidade de probabilida-de f que deve satisfazer:

(6.3) (6.4) (6.5)

Retomando o Exemplo 6.3, o clculo de P(T > 3) pode ser feito aplican-do (6.4):

(6.6)

para todo ponto x em que F derivvel.2 Assim, a funo F tambm caracteriza a distribuio de probabilidades de uma varivel aleatria.

6.1.3 Valor esperado e varincia

Uma varivel aleatria contnua X, com funo densidade de probabilida-de f, tem valor esperado e varincia definidos por:

(6.7)

(6.8)

2 No conjunto finito de pontos em que F no derivvel, podemos arbitrar valores para/.

Resumindo, a funo de distribuio acumulada da varivel aleatria T dada por:

Cabe observar que possvel obter qualquer probabilidade atravs da fun-o de distribuio acumulada. Para a < b, temos:

Dada a funo de distribuio acumulada F, podemos obter a funo den-sidade de probabilidade f por:

As interpretaes dessas medidas podem ser feitas de forma anloga ao caso discreto. Alm disso, todas as propriedades enunciadas para o caso discre-to continuam vlidas para o caso contnuo, em especial

(6.9)

Retomando o Exemplo 6.3, em que a varivel aleatria T era caracteriza-da por

EXERCCIOS

1. Seja um ponto escolhido aleatoriamente no intervalo [0, 1]. a) Apresente uma funo densidade de probabilidade para este experi-

mento. b) Obtenha a funo de distribuio acumulada. c) Calcule o valor esperado e a varincia.

2. Um profissional de Computao observou que seu sistema gasta entre 20 e 24 segundos para realizar determinada tarefa. Considere a probabilidade uniforme em [20, 24], isto , todo subintervalo de mesma amplitude em

Obtenha a funo densidade de probabilidade de X.

5. Seja X com funo densidade de probabilidade dada por

Calcule:

6.2 PRINCIPAIS MODELOS CONTNUOS

Nesta seo sero descritos trs modelos contnuos bastante conhecidos.

[20, 24] tem a mesma probabilidade. Como pode ser descrita, grfica e al-gebricamente, a funo densidade de probabilidade? Sob essa densidade, calcule:

3. Com respeito ao exerccio anterior, mas supondo probabilidades maiores em torno de 22 segundos e a densidade decrescendo, simtrica e linear-mente, at os extremos 2C e 24 segundos. Como pode ser descrita, grfica e algebricamente, a funo densidade de probabilidade? Sob essa densida-de, calcule:

Comparando os grficos das funes de densidade de probabilidade dos dois exerccios, voc acha razoveis as diferenas encontradas nos trs itens?

4. Seja X uma varivel aleatria com funo de distribuio acumulada

6.2.1 Distribuio uniforme Relembremos o Exemplo 6.2, onde tnhamos um cr-

culo e um ponteiro que era colocado a girar. A varivel aleatria de interesse era X = ngulo formado entre a posi-o que o ponteiro pra e a linha horizontal do lado direito. Sups-se, tambm, no existir regio de preferncia para o ponteiro parar. Nessas codies, podemos considerar que todo intervalo de mesma amplitude, contido em [0o, 360), tem a mesma probabilidade de ocorrncia. um experi-mento tpico em que a chamada distribuio uniforme apropriada.

Uma varivel aleatria X tem distribuio uniforme de parmetros e , sendo > , se sua densidade especificada por:

(6.10)

Em conseqncia, sua distribuio acumulada dada por (ver Figura 6.5):

(6.11)

Figura 6.5 Representao grfica da funo densidade de probabilidade e da fun-o de distribuio acumulada de uma varivel aleatria com dis-tribuio uniforme em [, ].

O valor esperado e a varincia de uma distribuio uniforme so:

(6.12)

(6.13)

Note que o valor esperado da distribuio uniforme exatamente o ponto mdio do intervalo [, ], ou seja, nessa distribuio fica evidente que repre-senta o centro de gravidade da massa descrita pela funo densidade de proba-bilidade.

6.2.2 Distribuio exponencial

O modelo exponencial tem forte relao com o modelo discreto de Poisson. Enquanto a distribuio de Poisson pode ser usada para modelar o nmero de ocorrncias em um perodo contnuo (de tempo ou de comprimento), a distribui-o exponencial pode modelar a varivel aleatria contnua que representa o intervalo (de tempo ou de comprimento) entre as ocorrncias. Exemplos:

a) tempo (em minutos) at a prxima consulta a uma base de dados; b) tempo (em segundos) entre pedidos a um servidor;

c) distncia (em metros) entre defeitos de uma fita.

A distribuio exponencial pode ser usada quando as suposies de Poisson (independncia entre as ocorrncias e taxa mdia de ocorrncia constante no intervalo considerado) estiverem satisfeitas. A Figura 6.6 ilustra a relao entre as duas distribuies.

Figura 6.6 Relao entre a distribuio de Poisson e a exponencial

Para chegarmos formulao matemtica da distribuio exponencial, va-mos considerar a equivalncia entre os dois seguintes eventos:

Sejam as variveis aleatrias:

Xt = nmero de ocorrncias no intervalo de tempo [0, t); e T = tempo entre as ocorrncias.

Sendo a taxa mdia de ocorrncias por unidade de tempo, ento, consi-derando independncia entre as ocorrncias, Xt tem distribuio de Poisson com parmetro t. E a equivalncia entre os dois eventos pode ser expressa por:

Usando o evento complementar, podemos definir para todo t > 0 a funo de distribuio acumulada de uma varivel aleatria T com distribuio expo-nencial:

(6.14)

Em conseqncia, para t > 0 temos a funo densidade de probabilidade dada por:

(6.15)

Figura 6.7 Representao grfica da funo densidade de probabilidade de uma varivel aleatria com distribuio exponencial.

Em geral, mais fcil partir do complemento de F(t) para calcular as pro-babilidades, ou seja, para t > 0,

(6.16)

Exemplo 6.3 (continuao) Dada a varivel aleatria T = tempo de resposta na consulta a um banco de dados por minutos) com funo densidade de probabilidade

ou seja, uma exponencial com = 2, calcular a probabilidade da consulta de-morar mais que 3 minutos, isto , P(T > 3). Podemos partir da funo de densi-dade, fazendo:

Considere, agora, o clculo da probabilidade P(2 T 3), isto , a prxima consulta ocorrer no inter-valo de 2 a 3 minutos. Podemos fazer

Para uma varivel aleatria T, com distribuio exponencial de parmetro , temos:

(6.17)

(6.18)

Ou podemos usar (6.16), obtendo:

Um exemplo do clculo do valor esperado e da varincia de uma exponen-cial foi feito na Seo 6.1.3. Observe que podemos obter os mesmos resultados com (6.17) e (6.18).

EXERCCIOS

6. O tempo de vida (em horas) de um transistor uma varivel aleatria T com distribuio exponencial. O tempo mdio de vida do transistor de 500 horas. a) Calcule a probabilidade de o transistor durar mais do que 500 horas. b) Calcule a probabilidade de o transistor durar entre 300 e 1000 horas. c) Sabendo-se que o transistor j durou 500 horas, calcule a probabilida-

de de ele durar mais 500 horas.

7. Usando a expresso de probabilidade condicional (Captulo 4), mostrar que para s, t > 0, vale a seguinte relao para uma varivel aleatria T expo-nencial:

P(T > s + t\T > S) = P(T > t)

Essa propriedade conhecida como "falta de memria", pois no im-porta o que aconteceu no passado (T s), mas apenas a partir do momento em que se inicia a observao, que pode ser considerado como o instante zero. Nesse contexto, a distribuio exponencial inadequada para repre-sentar "tempo de vida" de itens que sofrem efeito de fadiga.

6.2.3 Distribuio normal

A normal considerada a distribuio de probabilidades mais importante, pois permite modelar uma infinidade de fenmenos naturais e, alm disso, pos-sibilita realizar aproximaes para calcular probabilidades de muitas variveis aleatrias que tm outras distribuies. muito importante tambm na infern-cia estatstica, como ser observado nos captulos seguintes.

A distribuio normal caracterizada por uma funo de probabilidade, cujo grfico descreve uma curva em forma de sino, como mostra a Figura 6.8. Essa forma de distribuio evidencia que h maior probabilidade de a varivel aleatria assumir valores prximos do centro.

Figura 6.8 Representao grfica da funo densidade de probabilidade normal e a indicao de seus dois parmetros: e .

Dados os pa rmet ros e R e > 0, a funo dens idade de probabilidade da normal d a d a por:

Com certo esforo matemtico, possvel mostrar que o valor esperado e a varincia da distribuio normal so dados por:

A Figura 6.9 most ra diferentes curvas normais , em funo dos valores de e a. As distribuies da Figura 6.8 p o d e m representar , por exemplo, medidas

da dureza de ao produzido sob diferentes condies. A distribuio (1) repre-senta a dureza do ao em u m a si tuao padro; e a distribuio (2), as medidas de dureza do ao aps um processo de melhoria da qual idade, em que aumen-tou a dureza mdia . A distribuio (3) representa as medidas de dureza do ao quando o processo est sob rgido controle; enquan to a distribuio (4) quando fora de controle, o que acarre ta a u m e n t o na variabil idade.

Figura 6.9 Diferentes distribuies normais em funo dos parmetros e

Figura 6.10 Afastamentos da mdia, em unidades de desvio padro, preservam a mesma rea sob a curva normal.

(6.24)

tem distribuio normal com mdia zero e desvio padro unitrio, ou seja, Z : N(0,1), que tambm conhecida como distribuio formal padro. Qualquer rea (probabilidade) sob a densidade de X pode ser avaliada sob a densidade de Z, conforme ilustra a Figura 6.11. Dessa forma, qualquer problema relativo a uma distribuio normal pode ser pensado em termos da distribuio normal padro.

Distribuio de X: Distribuio de Z: normal com = 170e = 10 normal padro

Figura 6.11 Transformao do evento {X > 180}, da distribuio normal de pa-rmetros = 170 e = 10, em um evento da distribuio normal padro: {Z > 1}.

Tabela da distribuio normal padro

Como vimos, as probabilidades de uma varivel com distribuio normal podem ser representadas por reas sob a curva da distribuio normal padro. No apndice, apresentamos a Tabela 3, que relaciona valores positivos de com reas sob a cauda superior da curva. Os valores de z so apresentados com duas decimais. A primeira decimal fica na coluna da esquerda e a segunda deci-mal na linha do topo da tabela. A Figura 6.12 mostra como podemos usar a Ta-bela 3 para encontrar uma rea sob a cauda superior da curva.

Figura 6.12 Ilustrao do uso da tabela da distribuio normal padro (Tabela 3 do apndice) para encontrar P(Z > 0,21).

A rea 0,4168 corresponde probabilidade P(Z > 0,21) = 1 - (0,21), onde representa a funo de distribuio acumulada da normal padro. Ou seja, a Tabela 3 fornece os valores 1 - (z), para z = 0,01, 0,02, ..., 3,00.

Exemplo 6.4 Seja Z uma varivel aleatria com distribuio normal padro. Vamos usar a Tabela 3 para encontrar as seguintes probabilidades:

a) P(Z < 0,42). Esta probabilidade corresponde rea da distribuio normal padro indicada ao lado. Podemos obter esta rea, fazendo a seguin-te operao:

Mais formalmente,

(0,42) = P(Z < 0,42) = 1 - P(Z > 0,42) = 1 - 0,3372 = 0,6628

b) P(Z < 0,42). O esquema seguinte mostra esta probabilidade em ter-mos de rea e como podemos usar a simetria da curva para obt-la na Tabela 3.

Ou seja,

P(Z < - 0,42) = P(Z > 0,41) = 0,3372

c) P ( - 0,42 < Z < 0,42).

Ento, P(- 0,42 < Z < 0,42) = 1 - 2 (0,3372) = 0,3256.

\

Entrando com o valor de rea 0,025 na Tabela 3 do apndice, encontra-mos o valor de z igual a 1,96. Esse processo ilustrado a seguir.

Exemplo 6.5 Na distribuio normal padro, qual o valor de z, tal que P ( - z < Z < z) = 0,95? (Veja figu-ra ao lado.)

Considerando a simetria da curva normal e o fato de a rea total sob a curva ser igual a 1 (um), pode-mos transformar esta pergunta em: Qual o valor de z tal que P(Z > z) = 0,025? A figura ao lado ilustra a equivalncia entre as duas perguntas.

Exemplo 6.6 Suponha que a absoro de gua (%) em certo tipo de piso ce-rmico tenha distribuio normal com mdia 2,5 e desvio padro 0,6. Selecio-nando, aleatoriamente, uma unidade desse piso, qual a probabilidade de ele acusar absoro de gua entre 2% e 3,5%?

Soluo: Primeiramente, precisamos transfor-mar os valores de absoro de gua (x) em valores padronizados (z), por (6.24), isto ,

x - x - 2,5 z = = 0,6

2 - 2 5 Para x = 2, temos: z = = - 0,83 0,6

3,5 -2 ,5 e para x = 3,5, temos: z = = 1,67. 0,6

Usando a Tabela 3 do apndice, encontramos para 2 = 0,83 e z = 1,67 as respectivas reas nas ex-tremidades da curva: 0,2033 e 0,0475 (lembrando que para valores negativos de z, como - 0,83, procu-ramos na Tabela 3 seu valor absoluto, 0,83). fcil observar, pela figura ao lado, que a probabilidade desejada corresponde ao complemento da soma des-sas reas, ou seja:

P(2

9. Suponha que o tempo de resposta na execuo de um algoritmo uma va-rivel aleatria com distribuio normal de mdia 23 segundos e desvio pa-dro de 4 segundos. Calcule: a) a probabilidade de o tempo de resposta ser menor do que 25 segundos; b) a probabilidade de o tempo de resposta ficar entre 00 e 30 segundos.

10. Certo tipo de conserva tem peso lquido (Xx) com mdia de 900 g e desvio pa-dro de 10 g. A embalagem tem peso (X2) com mdia de 100 g e desvio padro de 4 g. Suponha X1 e X2 independentes e com distribuies norfriais. a) Qual a probabilidade de o peso bruto ser superior a 1.020 g? b) Qual a probabilidade do peso bruto estar entre 980 e 1.020 g?

6.3 A NORMAL COMO LIMITE DE OUTRAS DISTRIBUIES

Muitas distribuies de probabilidade aproximam-se da distribuio nor-mal. o caso da binomial quando n grande e da Poisson quando grande.

6.3.1 Aproximao normal binomial

Nos experimentos binomiais, quando n muito grande, o uso da funo de probabilidade binomial impraticvel, pois os coeficientes binomiais tornam-se exageradamente grandes. J vimos que nos casos em que n grande e p mui-to pequeno, podemos usar a distribuio de Poisson para calcular, aproximada-mente, as probabilidades de uma binomial. Quando n grande e p no pr-ximo de 0 ou de 1, a distribuio normal pode ser usada para calcular, aproximadamente, as probabilidades de uma binomial.

A Figura 6.13 apresenta grficos das distribuies de probabilidades bino-miais com n = 1, 10 e 50 e p = 0,5 e 0,2.

Observando a Figura 6.13, verificamos que quando n = 50, a forma da dis-tribuio binomial parecida com a curva de uma distribuio normal. Obser-ve, ainda, que se p = 0,5, a aproximao j parece razovel para n = 10.

De maneira geral, as condies para fazer uma aproximao da distribui-o binomial para a normal so:

1) n grande e 2) p no muito prximo de 0 (zero) ou de 1 (um).

Figura 6.13 Distribuies binomiais para diferentes valores de n e p.

Uma regra prtica, sugerida por vrios autores, considera a aproximao razovel se as duas seguintes inequaes estiverem satisfeitas:

np 5 e (6.25) n( l - p) 5 (6.26)

Os parmetros e da distribuio normal devem-se identificar ao valor esperado e ao desvio padro do modelo binomial, ou seja:

(6.27) (6.28)

Exemplo 6.7 Historicamente, 10% dos pisos cermicos, que saem de uma li-nha de produo, tm algum defeito leve. Se a produo diria de 1000 uni-dades, qual a probabilidade de ocorrer mais de 120 itens defeituosos?

Pelas caractersticas do experimento, a varivel aleatria Y = nmero de defeituosos na amostra tem distribuio binomial com parmetros n = 1000 e p = 0,1. Verificamos, tambm, que as condies 6.25 e 6.26 esto satisfeitas, pois

Considere X uma varivel aleatria normal com mdia = 100 e varincia 2 = 90. Ento:

Correo de continuidade

Ao calcularmos probabilidades de eventos oriundos de experimentos bino-miais como reas sob uma curva normal, estamos fazendo uma aproximao de uma varivel aleatria discreta, que s assume valores inteiros, para uma vari-vel contnua, cujos eventos constituem intervalos de nmeros reais. Nesse con-texto, devemos fazer alguns ajustes, como ilustra o exemplo seguinte.

Exemplo 6.8 Seja Y o nmero de caras obtido em dez lanamentos de uma moeda honesta. Vamos calcular a probabilidade de obter quatro caras usando a distribuio normal.

Pelas caractersticas do experimento, Y tem distribuio binomial com n = 1 0 e p = 0,5. Ento, a mdia e o desvio padro so dados por:

= np = 10(0,5) = 5 e

Considere o evento: ocorrer quatro caras, ou seja {y = 4}.