2 10 8

kpss

ÖABT

Öncebiz sorduk

50 Soruda

SORU30

GüncellenmişYeni

Baskı

İLKÖĞRETİMMATEMATİK

SOYUT CEBİRLİNEER CEBİR

KomisyonÖABT İlköğretim Matematik

Soyut Cebir - Lineer Cebir Konu Anlatımlı

ISBN: 978-605-318-898-8Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.

4. Baskı: 2018, Ankara

Proje-Yayın: Çağla BardakcıoğluDizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel

Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı

Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105

Yenimahalle/ANKARA(0312 394 55 91)

Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 26687

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.netE-ileti: pegem@pegem.net

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Adayları,

ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "İlköğretim Matematik Öğretmenliği Soyut Ce-bir - Lineer Cebir 2. Kitap" adlı yayınımız Soyut Cebir - Lineer Cebir bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) İlköğretim Matematik Öğ-retmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanya-zın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek haya-tınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve de-taylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çö-zümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekil-miştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin soru-larınızı pegem@pegem.net adresine e-posta yoluyla ya da 0507 316 60 66 numa-rasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır.

Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...

Başarılar...

MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER

MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı

Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.

Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel

olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.

Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası

Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40

a. Analiz

b. Cebir

c. Geometri

d. Uygulamalı Matematik

% 28

% 18

% 18

% 16

Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50

Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu

bilgiler 2014-2015-2016-2017 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklik-

leri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

İÇİNDEKİLER

SOYUT CEBİR

1. Sayılar ve Özellikleri ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3

1.1. Rakam ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3

1.2. Sayma Sayıları ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3

1.3. Doğal Sayılar .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3

1.4. Tam Sayılar ....................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................3

1.5. Aralarında Asallık ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3

1.6. Rasyonel Sayılar ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3

1.7. İrrasyonel Sayılar .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3

1.8. Reel Sayılar ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3

1.9. Tek ve Çift Sayılar .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3

1.10. Ardışık Sayılar ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4

1.11. Negatif ve Pozitif Sayılar ile İlgili Özellikler ................................................................................................................................................................................................................................................... 4

1.12. Tam Sayılarda Bölünebilme ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 4

1.13. En Büyük Ortak Bölen ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6

1.14. En Küçük Ortak Kat ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 7

2. Lineer Diophant Denklemleri ve Pozitif Bölenler .......................................................................................................................................................................................................................................................... 8

3. Euler {-Fonksiyonu .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................11

{-Fonksiyonunun Bazı Özellikleri .................................................................................................................................................................................................................................................................................................11

4. Kongrüanslar ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................13

Tam Sayılar ve Modüler Aritmetik ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................13

5. Lineer Kongrüanslar ve Lineer Diophant Denklemleri ........................................................................................................................................................................................................................................17

İki veya Daha Fazla Değişkenli Lineer Kongrüanslar ......................................................................................................................................................................................................................................18

6. İkinci Dereceden Kalanlar...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................19

İkinci Dereceden Kongüranslar ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................19

7. Gruplar ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................28

7.1. Tek İşlemli Cebirsel Yapı Türleri ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................28

7.2. Mertebe ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................30

8. Alt Gruplar ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................31

8.1. Normal Alt Gruplar .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................33

9. Simetrik (Permütasyon) ve Alterne Gruplar .....................................................................................................................................................................................................................................................................34

10. Gruplarda Homomorfizm ve İzomorfizm .................................................................................................................................................................................................................................................................................35

10.1. Homomorfizma .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................35

10.2. İzomorfizma......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................35

11. Bölüm Grupları ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................38

12. Devirli Gruplar .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................39

12.1. Devirli Grupların Alt Grupları .............................................................................................................................................................................................................................................................................................40

12.2. Üreteç Sayısı .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................41

13. Çarpım Grupları .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................41

İzomorf olmayan Abelyan Gruplar .................................................................................................................................................................................................................................................................................................42

vi

14. Halka, Cisim ve Tamlık Bölgesi ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................42

14.1. Alt Halka ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................44

14.2. Sıfır Bölenler ve Tamlık Bölgesi .........................................................................................................................................................................................................................................................................................44

14.3. Bölüm Halkası .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................45

14.4. İdeal ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................45

14.5. Nilpotent Eleman .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................45

15. Polinom Halkası ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................45

16. Cisim ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................46

16.1. Cebirsel Sayı .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................46

16.2. Transandant Sayı ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................46

16.3. Sayılabilir Küme ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................46

Çözümlü Test 1 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................47

Çözümler ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................49

Çözümlü Test 2 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................51

Çözümler ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................53

Çözümlü Test 3 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................55

Çözümler ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................57

Çözümlü Test 4 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................59

Çözümler ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................61

LİNEER CEBİR

1. Vektör Uzayları ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................66

1.1. Tanım ve Aksiyomlar ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................66

2. Alt Vektör Uzayı ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................68

2.1 Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık .......................................................................................................................................................................................................................................................................72

3. İç Çarpım Uzayları ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................74

3.1. İç Çarpım ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................74

3.2. Norm ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................76

4. Ortonormal Baz ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................82

5. Direkt Toplam Uzayı................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................86

6. İç Çarpım Uzaylarının Alt Uzayları ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................87

7. Lineer Dönüşümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................89

8. Matrisler ve Matris Uzayları ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................96

8.1. Matris Toplamı .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................97

8.2. Skaler ile Matris Çarpımı .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................97

8.3. Matris Çarpımı .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................97

8.4. Bir Matrisin Transpozu .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................99

8.5. Kare Matrisler .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................100

8.6. Bir Matrisin Tersi ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................100

9. Elemanter Operasyonlar (Basit İşlemler) ...........................................................................................................................................................................................................................................................................110

10. Determinantlar .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................111

10.1 Sarrus Kuralı ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................112

10.2 Minör ve Kofaktör ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................114

vii

11. Alterne ve Çok Lineer Fonksiyonlar ........................................................................................................................................................................................................................................................................................121

11.1 n-Lineer Fonksiyonlar .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................121

12. Bir Lineer Dönüşümün Determinantı ve İzi ..................................................................................................................................................................................................................................................................121

Determinantlarda Alan ve Hacim Hesabı..........................................................................................................................................................................................................................................................................122

13. Matrislerin Polinomu ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................123

13.1. Karakteristik Değerler ve Karakteristik Vektörler .........................................................................................................................................................................................................................123

13.2. Karakteristik Uzay .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................125

13.3. Karakteristik Polinom ve Karakteristik Denklem .................................................................................................................................................................................................................................125

Çözümlü Test 1 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................128

Çözümler ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................131

Çözümlü Test 2 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................133

Çözümler ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................135

Çözümlü Test 3 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................137

Çözümler ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................140

Çözümlü Test 4 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................142

Çözümler ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................144

Çözümlü Test 5 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................146

Çözümler ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................148

SOYUT CEBİR

3

SOYUT CEBİR

1. Sayılar ve Özellikleri1.1 Rakam Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Kullandığımız onluk sistemdeki rakamların kümesi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dur.Rakamlarla oluşturulan ifadelere sayı denir.

1.2 Sayma Sayıları{1, 2, 3, 4, ...} kümesi sayma sayıları kümesidir.

1.3 Doğal Sayılar N = {0, 1, 2, 3, ...} kümesidir. N+ pozitif doğal sayılar kü-mesini ifade eder.

1.4 Tam Sayılar Z = {..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} kümesidir.Tam sayılar kümesi üç ana bölümden oluşur. Negatif tam sayılar (Z–), pozitif tam sayılar (Z+) ve {0} kümesidir. Ayrıca Z = Z– ∪ {0} ∪ Z+ dır.1.5 Aralarında Asallıkp ve q sıfırdan farklı iki pozitif tam sayı olsun. p ve q sayı-larını ortak olarak bölen en büyük pozitif tam sayı 1 ise p ve q aralarında asaldır denir.

1.6 Rasyonel Sayılar Q = {p/q: p ve q aralarında asal, q ≠ 0} kümesidir.

1.7 İrrasyonel Sayılar

I = Q´ sembolleriyle gösterilir yukarıda tanımlanan p/q tipinde yazılamayan sayılardan oluşur. Yani rasyonel ol-mayan reel sayılara irrasyonel sayı denir.

1.8 Reel Sayılar Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşim kümesidir. R ile gösterilir. R = Q ∪ Q´ dür.

x, y, z ∈ Z olmak üzere,

x . y = 12, y . z = 4 ve x . z = 3eşitliklerini sağlayan x, y, z sayılarının en büyük top-lamı en küçük toplamından kaç fazladır?

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

.

.. .y z

x yzx x z bulunur4

12 3 3& &= = =

Bu ifade x . z = 3 eşitliğinde yerine yazılırsa3z2 = 3 ⇒ z = "1 bulunur.z = 1 için x = 3 ve y = 4 olup x + y + z = 8z = –1 için x = –3 ve y = –4 olup x + y + z = –8 bulunur.8 – (–8) = 16'dır. Doğru seçenek C olarak elde edilir.

a, b, c ∈ N olmak üzere

3a + 6b – c = 24 eşitliğini sağlayan a, b ve c değerle-ri için a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

Katsayısı büyük olana büyük değer verilir. Sayılar aynı olabileceğinden a = 0 = c seçilirse b = 4 bulunur.a + b + c = 4 olur.

a ve b doğal sayılardır.

56 . a = b3

eşitliğini sağlayan en küçük b değeri kaçtır?

Önce sayı asal çarpanlarına ayrılır. 56 = 23.756.a = 23.7.a = b3 tür.Buradan a = 72 seçilirse b = 2.7 = 14 bulunur.

1.9 Tek ve Çift Sayılar2 ile kalansız bölünebilen tam sayılara çift tam sayı, 2 ile tam bölünemeyen tam sayılara tek tam sayı denir. Çift sayılar 2n, tek tam sayılar 2n – 1 ile gösterilir (n ∈ Z).

1.9.1 Tek ve Çift Tam Sayılar İle İlgili Özellikler

1) T " T = Ç 5) Ç . Ç = Ç

2) Ç " Ç = Ç 6) T . T = T

3) T " Ç = T 7) n ∈ N olmak üzere Tn = T

4) T . Ç = Ç 8) n ∈ N+ olmak üzere Çn = Ç'dir.

Tek ve çift sayılarda bölme işlemine ait kural tanımlana-maz. Örneğin 40 çift sayıdır.

, , T240

4040

6040Ç= = sayısı ne tek ne de çifttir.

4

1.10 Ardışık Sayılarn ∈ Z olmak üzere n, n + 1, n + 2, ... sayılarına ardışık tam sayılar denir.

Kural:n ∈ Z+ için

....

nn n

1 2 21

+ + + =+` j

dir.

n ∈ Z olmak üzere 2n – 1, 2n + 1, 2n + 3, ... sayılarına

ardışık tek sayılar denir.

Kural: n ∈ Z+ için

1 + 3 + 5 + ... + 2n – 1 = n2 dir.

n ∈ Z olmak üzere 2n, 2n + 2, 2n + 4, ... sayılarına ardışık çift sayılar denir.

Kural: n ∈ Z+ için

2 + 4 + ... + 2n = n(n + 1) dir.

Kural:Ardışık terimleri arasındaki artış miktarı eşit olan dizide

Terim Sayısı = + 1Son Terim – İlk Terim

Artış miktarı

ve

Terim Toplamı = Terim Sayısı . (Son terim + İlk terim)

2dir.

1.11 Negatif ve Pozitif Sayılar İle İlgili Özellikler1) (–) . (–) = (+) 5) (–) / (–) = (+)

2) (–) . (+) = (–) 6) (–) / (+) = (–)

3) (+) . (+) = (+) 7) (+) / (+) = (+)

4) (+) . (–) = (–) 8) (+) / (–) = (–)

9) n ∈ N olmak üzere (–)2n = (+) dır.

10) n ∈ N olmak üzere (–)2n–1 = (–) dir.

11) n ∈ N olmak üzere (+)n = (+) dır.

1.12 Tam Sayılarda Bölünebilmem, n, r ∈ Z olmak üzere m . n = r olsun. Bu durumda m ve n'ye r'nin bölenleri (çarpanları) r'ye de m ve n'nin bir katı denir. m, r'nin bir böleni ise bu durum m | r ile, aksi takdirde m ) r ile gösterilir.

1.12.1 2 ile bölünebilme: Çift tam sayılar 2 ile tam bö-lünür.

1.12.2 3 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları top-lamı 3 veya 3'ün katı ise sayı 3 ile tam bölünür.

1.12.3 4 ile bölünebilme: Verilen sayının son iki basa-mağı (birler ve onlar basamağı) 4 ile tam bölünebiliyor ise verilen sayı 4 ile tam bölünür.

1.12.4 5 ile bölünebilme: Verilen sayının birler basama-ğı 0 veya 5 ise sayı 5 ile tam bölünür.

1.12.5 7 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları al-tına sağdan sola doğru sırasıyla 3, 2, 1 sayıları yazılır. Bu rakamlar altlarına yazdığımız sayılar ile çarpılır. Daha sonra sağdan sola üçerli gruplar hâlinde alınıp bu gruplar (+), (–) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 7 veya 7'nin katı ise verilen sayı 7 ile tam bölünür.

1.12.6 8 ile bölünebilme: Verilen sayının son üç basa-mağı (birler, onlar ve yüzler basamağı) 8 ile bölünebiliyor ise sayı 8'e tam bölünür.

1.12.7 9 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları top-lamı 9 veya 9'un katı ise sayı 9 ile tam bölünür.

1.12.8 10 ile bölünebilme: Verilen sayının birler basa-mağı 0 ise verilen sayı 10 ile tam bölünür.

1.12.9 11 ile bölünebilme: Verilen sayı sağdan sola doğru sırası ile (+), (–) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 11 veya 11'in katı ise verilen sayı 11 ile tam bölünür.

NOTVerilen bağıntılarda sayı istenilen sayıya tam bölünmüyorsa kalan kolaylıkla bulunur. Örneğin 256 sayısının 5 ile bölümünden kalan 6'nın 5 ile bölümünden kalana eşit ve 1'dir.

Hangi n doğal sayıları için (n + 1)|(n2 + 1) dir.

n2 – 1 = (n – 1)(n + 1) olduğundan ∀ n ∈ N için(n + 1)|(n2 – 1) dir.(n + 1)|(n2 + 1) ve (n + 1)|(n2 – 1) olduğundann + 1|[(n2 + 1) – (n2 – 1)] ⇒ n + 1|2 olur. n ∈ N olduğundan ve n + 1 ≤ 2 olması gerektiğinden n = 0, 1 elde edilir.

Kural:[1, x] aralığında n ile bölünebilen doğal sayıların sayısı

nx& 0 dir.

Kural:a ∈ Z ve m, n ∈ N olsun.

n < m için a

a

2 1

2 1

n

m

+

− dir.

Kural:n ≥ 2 olmak üzere n ve k iki doğal sayı olsun.n – 1|nk – 1 dir.

5

Kural:n bir doğal sayı ve k bir tek sayı olsun.(1 + 2 + ... + n)|(1k + 2k + ... + nk) dır.

Kural:a, b ∈ Z olsun. a sayısı b ile bölündüğünde kalan r ise 2a – 1 sayısı 2b – 1 ile bölündüğünde kalan 2r – 1'dir.

{1, 2, ..., 600} dizisinde 13 ile bölünebilen kaç tane doğal sayı vardır?

13600 46=' 1 adettir.

1000'den küçük kaç doğal sayı 17 ile bölünür?

[1, 1000] kümesinde

171000 58=) 3 ve 0 ∈ N için 17|0 olup toplam 58 + 1 = 59

adet sayı 17 ile tam bölünür.

N = 1 . 2 + 2 . 3 + ... + n(n + 1) sayısının 41 ile bölüne-bilmesi için n en az kaç olmalıdır?

N = 1 . 2 + 2 . 3 + ... + n(n + 1) = (12 + 1) + (22 + 2) + ... + (n2 + n) = (12 + 22 + ... + n2) + (1 + 2 + ... + n)

.n n n n n

n n n6

1 2 12

1

31 2

=+ +

++

=+ +

` ` `

` `

j j j

j j

sayısının 41 ile bölünebilmesi için n(n + 1) (n + 2) çar-panlarından en az biri 41'e bölünmelidir.n + 2 = 41 ⇒ n = 39 olmalıdır.

Teorem:m, n ve r tam sayı olmak üzere,

i) ∀m ∈ Z iken al0 dır.

ii) ∀m ∈ Z için ±1lm ve ±mlm dir.

iii) ml±1 ⇔ m = "1 dir.

iv) mln ise ±ml±n dir.

v) mln ve nlr ise mlr dir.

vi) mln ve nlm ise m = ±n dir.

vii) c ≠ 0 olmak üzere cmlcn ise mln dir.

viii) ve ise ..

mn

mn

m mn n

11

22

1 21 2

dir.

ix) mln ve mlr ise mln+r dir.

Çıkmış Sorular

k m gösterimi k sayısının m sayısını tam bölündüğü-nü ifade eder.

Buna göre a, b ve c tam sayıları için,

I. c a b$ ise c a ve c b 'dir.

II. a b c$ ise a c ve b c 'dir.

III. a b ve b c ise a c 'dir.

yargılarından hangileri daima doğrudur?

A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III

D) II ve III E) Yalnız III

c sayısı a⋅b yi bölüyor ise c a ve c b doğru olmayabilir, 6 2 3$ tür ama 6 2 ve 6 3 yanlıştır. II ve III. öncül doğrudur.

Cevap D

Tanım:(Asal Sayı) : n > 1 tam sayısının kendisinden ve birden başka pozitif böleni yoksa n'ye asal (= prime) sayı denir.

Tanım: (Bileşik Sayı): Asal olmayan sayılara bileşik (= combi-ned) sayı denir.

Tanım: Aralarındaki fark iki olan asal sayılara ikiz asallar denir.

Teorem: Her bileşik sayının en az bir asal çarpanı vardır.

Teorem (Euclid): Asal sayıların sayısı sonsuzdur.