2 10 8

kpss

ÖABT

Öncebiz sorduk

50 Soruda

SORU30

GüncellenmişYeni

Baskı

İLKÖĞRETİMMATEMATİK

ANALİZDİFERANSİYEL DENKLEMLER

Fikret Hemek

ÖABT İlköğretim Matematik Analiz-Diferansiyel Denklemler

ISBN 978-605-318-898-8

Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.

4.Baskı: 2018, Ankara

Proje-Yayın: Çağla Bardakcıoğlu

Dizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel

Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı

Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105

Yenimahalle/ANKARA(0312 394 55 91)

Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 26687

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Adayları,

ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "İlköğretim Matematik Öğretmenliği 1. Kitap" adlı yayınımız Analiz ve Diferansiyel Denklemler bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) İlköğretim Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin sorularınızı pegem@pegem.net adresine e-posta yoluyla ya da 0507 316 60 66 numarasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır.

Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...

Başarılar...

MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLERMATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.

Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.

Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası

Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40

a. Analiz

b. Cebir

c. Geometri

d. Uygulamalı Matematik

% 24

% 16

% 16

% 24

Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50

Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2014-2015–2016-2017 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

İÇİNDEKİLER

ÖN SÖZ .................................................................................................................................................. III

1. KISIMÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARPARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR .................................................................................................................... 5MUTLAK DEĞER FONKSİYONU .......................................................................................................................... 6MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER VE DENKLEMLER ...................................................................................... 8SİGNUM (İŞARET) FONKSİYONU ........................................................................................................................ 10İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ .................................................................................................................. 12TAM DEĞER VE TAM DEĞER FONKSİYONU ...................................................................................................... 13TAM DEĞER FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ .................................................................................................. 13TAM DEĞER FONKSİYONUNUN GRAFİKLERİ ................................................................................................... 16FONKSİYONLARIN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ ................................................................................................... 18

LİMİTLİMİT ...................................................................................................................................................................... 27SAĞ – SOL LİMİT................................................................................................................................................... 27GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİ ........................................................................................................... 29LİMİT İLE İLGİLİ TEOREMLER .............................................................................................................................. 30ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTİ ........................................................................................................... 32MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ ...................................................................................................... 33SİGNUM FONKSİYONUNUN LİMİTİ ..................................................................................................................... 35TAM DEĞER FONKSİYONLARININ LİMİTİ ........................................................................................................... 36BELİRSİZ DURUMLAR 0/0 BELİRSİZLİĞİ ............................................................................................................ 37TRİGONOMETRİK 0/0 BELİRSİZLİĞİ ................................................................................................................... 38∞/∞ BELİRSİZLİĞİ .................................................................................................................................................. 41∞–∞ BELİRSİZLİĞİ ................................................................................................................................................. 420 · ∞ BELİRSİZLİĞİ ............................................................................................................................................... 44ÜSLÜ, ÜSTEL BELİRSİZLİKLERİN ∞/∞ FORMU .................................................................................................. 45SÜREKLİLİK ........................................................................................................................................................... 46SÜREKLİLİK TEOREMLERİ .................................................................................................................................. 47SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ..................................................................................................................................... 47 Kaldırılabilir Süreksizlik ................................................................................................................................. 47 Sıçrama Süreksizliği ..................................................................................................................................... 47 Sonsuz Süreksizliği ....................................................................................................................................... 48 Balzano Teoremi ........................................................................................................................................... 48DÜZGÜN SÜREKLİLİK .......................................................................................................................................... 49

TÜREVTÜREV ................................................................................................................................................................... 59SAĞ–SOL TÜREV.................................................................................................................................................. 60LİMİT – SÜREKLİLİK – TÜREV İLİŞKİSİ ............................................................................................................... 60TÜREV ALMA KURALLARI.................................................................................................................................... 61YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER ................................................................................................................... 76ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ ........................................................................................................ 79 Parçalı Fonksiyonların Türevi ....................................................................................................................... 79MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ .................................................................................................... 80SİGNUM FONKSİYONUNUN TÜREVİ .................................................................................................................. 81TAM DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ ............................................................................................................ 81

vi

TÜREVİN UYGULAMALARI................................................................................................................................... 91 L'Hospital Kuralı ............................................................................................................................................ 91ÜSTEL BELİRSİZLİKLER....................................................................................................................................... 94 1∞, 00, ∞0 Belirsizlikleri ................................................................................................................................ 94TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU .............................................................................................................................. 96POLİNOM – TÜREV İLİŞKİSİ................................................................................................................................. 97DİFERANSİYEL UYGULAMALARI ........................................................................................................................ 97MAKSİMUM – MİNİMUM PROBLEMLERİ ............................................................................................................. 98 Maksimum – Minimum Problemlerinde Kullanılabilecek Kısayollar .............................................................. 101TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ........................................................................................................................ 105 Teğet – Eğim – Türev İlişkisi ......................................................................................................................... 105ARTAN – AZALAN FONKSİYONLAR .................................................................................................................... 110YEREL EKSTREMUM DEĞERLER ....................................................................................................................... 113 Mutlak Maksimum ve Mutlak Minimum Noktası ............................................................................................ 114TÜREV – EKSTREMUM İLİŞKİSİ .......................................................................................................................... 114 Grafikte Maksimum ve Minimum Nokta Yorumu ........................................................................................... 116TÜREVLENEBİLİR BİR FONKSİYONUN EĞRİLİK YÖNÜ .................................................................................... 119ASİMPTOT KAVRAMI ............................................................................................................................................ 124 Düşey Asimptot ............................................................................................................................................. 124FONKSİYONUN GRAFİKLERİ ............................................................................................................................... 127TÜREVLE İLGİLİ TEOREMLER ............................................................................................................................. 128

İNTEGRALBELİRSİZ İNTEGRAL............................................................................................................................................. 147TEMEL İNTEGRAL ALMA KURALLARI ................................................................................................................. 148İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ .......................................................................................................................... 153 Değişken Değiştirme Yöntemi....................................................................................................................... 153ÖZEL DÖNÜŞÜMLER ............................................................................................................................................ 156

a x2 2- İfadesini İçeren İntegraller ............................................................................................................ 156

RASYONEL (KESİRLİ) İFADELERİN İNTEGRALİ ................................................................................................. 159TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ ............................................................................................ 163 İndirgeme Bağıntıları..................................................................................................................................... 165KISMİ İNTEGRASYON ........................................................................................................................................... 166BELİRLİ İNTEGRAL ............................................................................................................................................... 172 Reimann Kavramları ..................................................................................................................................... 172İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMLERİ ....................................................................................................... 174 Belirli İntegralin Özellikleri ............................................................................................................................. 174ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ .................................................................................................. 179İNTEGRALDE ALAN .............................................................................................................................................. 181İNTEGRALDE HACİM ............................................................................................................................................ 182 Kabuk Yöntemi.............................................................................................................................................. 188 Dönel Yüzeyin Alanı...................................................................................................................................... 193 Pappus – Guldin Teoremi.............................................................................................................................. 196

ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARTANIM VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ ............................................................................................................................. 201 Seviye Eğrileri ............................................................................................................................................... 204 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Limit ve Süreklilik ........................................................................................ 204 Süreklilik........................................................................................................................................................ 207 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Türev (Kısmi Türev) .................................................................................... 207 Çok Değişkenli Fonksiyonların 2. Türevi....................................................................................................... 209

vii

Zincir Kuralı ................................................................................................................................................... 210 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Teğet Düzlem Denklemi.............................................................................. 211ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA MAKSİMUM–MİNİMUM ........................................................................ 212 Yerel Maksimum ........................................................................................................................................... 212 Yerel Minimum .............................................................................................................................................. 212 Kritik Nokta – Eyer Nokta .............................................................................................................................. 212 Kritik Nokta İçin 2. Türev Testi ...................................................................................................................... 213 Maksimum–Minumum Problemleri................................................................................................................ 214ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA İNTEGRAL ............................................................................................ 216 Çift Katlı İntegral ........................................................................................................................................... 216 Sınır Değiştirme ............................................................................................................................................ 218 Bölge Değiştirme........................................................................................................................................... 219 Dönüşüm Jakobiyeni (Fonksiyonel Determinantı) ........................................................................................ 220 İki Katlı İntegralin Uygulamaları .................................................................................................................... 221 Hacim Hesabı ............................................................................................................................................... 224ORTALAMA DEĞER TEOREMİ ............................................................................................................................. 226 Kütle Hesabı ................................................................................................................................................. 226AĞIRLIK MERKEZİ ................................................................................................................................................ 227ÜÇ KATLI İNTEGRALLER ...................................................................................................................................... 227

KUTUPSAL KOORDİNATLARKUTUPSAL KOORDİNATLAR ............................................................................................................................... 235KARDİYOİD EĞRİSİ............................................................................................................................................... 237 Gül Eğrilerinin Çizimi..................................................................................................................................... 243

DİZİLER – SERİLERDİZİ ...................................................................................................................................................................... 253 Sonlu Dizi ...................................................................................................................................................... 253 Sabit Dizi ....................................................................................................................................................... 253EŞİT DİZİLER ......................................................................................................................................................... 254ALT DİZİ ................................................................................................................................................................. 254DİZİLERDE DÖRT İŞLEM ...................................................................................................................................... 255DİZİLERDE SINIRLILIK .......................................................................................................................................... 256DİZİLERDE MONOTONLUK .................................................................................................................................. 256ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER ................................................................................................................. 257 Aritmetik Dizi ................................................................................................................................................. 257 Geometrik Dizi .............................................................................................................................................. 258DİZİLERDE LİMİT ................................................................................................................................................... 259 Dizilerde Limit ile İlgili Özellikler .................................................................................................................... 261 Dizilerde En Büyük Alt Sınır (Ebas) – En Küçük Üst Sınır (Eküs) Kavramları .............................................. 262SERİLER ................................................................................................................................................................ 263 Geometrik Seri .............................................................................................................................................. 265 Pozitif Terimli Seriler İçin Yakınsaklık Testleri ............................................................................................... 268 Genel Terim Testi .......................................................................................................................................... 268 İntegral Testi.................................................................................................................................................. 268 p – Testi......................................................................................................................................................... 269 Karşılaştırma Testi ........................................................................................................................................ 269 Karşılaştırma Testinin Limit Formu................................................................................................................ 269 Cauchy – Kök Testi ....................................................................................................................................... 270 D'alambert Oran Testi ................................................................................................................................... 271 Alterne Seriler ............................................................................................................................................... 272

viii

Mutlak Yakınsaklık – Yakınsaklık İlişkisi ....................................................................................................... 272KUVVET SERİLERİ ................................................................................................................................................ 273 Yakınsaklık Yarıçapı ...................................................................................................................................... 273 Yakınsaklık Aralığında Türevlenebilme ve İntegrasyon ................................................................................ 274 Taylor ve Maclaurin Serileri ........................................................................................................................... 275 Önemli Maclaurin Seri Açılımları................................................................................................................... 276ÇÖZÜMLÜ TESTLER ............................................................................................................................................. 291

2. KISIMDİFERANSİYEL DENKLEMLERDİFERANSİYEL DENKLEMLER ............................................................................................................................ 403 Giriş ............................................................................................................................................................... 403 Diferansiyel Denklemlerin Çözümü ............................................................................................................... 404 Genel ve Özel Çözümler ............................................................................................................................... 405 Bir Eğri Ailesinin Diferansiyel Denkleminin Oluşturulması ............................................................................ 407

DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLERDEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER ................................................................................................ 411DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR HÂLE GETİRİLEBİLEN DENKLEMLER .......................................................... 413HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ......................................................................................................... 414 Homojen Diferansiyel Denklemlerin Çözümü ............................................................................................... 414HOMOJEN HÂLE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLİR DİFERANSİYEL DENKLEMLER ......................................................... 415TAM DİFERANSİYEL DENKLEMLER .................................................................................................................... 417İNTEGRASYON ÇARPANI YARDIMI İLE DİFERANSİYEL DENKLEM ÇÖZÜMÜ ................................................ 419LİNEER DENKLEMLER ......................................................................................................................................... 421 Lineer Diferansiyel Denklemin Çözüm Yöntemi............................................................................................ 421BERNOULLİ DENKLEMLERİ ................................................................................................................................. 423RİCCATİ DENKLEMİ .............................................................................................................................................. 424

BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLERBİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ........................................................ 431 Türeve, x'e veya y'ye Göre Çözülebilen Denklemler .................................................................................... 431 Türeve Göre Çözülebilen Denklemler ........................................................................................................... 431 x'e Göre Çözülebilen Denklemler ................................................................................................................. 432 y'ye Göre Çözülebilen Denklemler ................................................................................................................ 432CLAİRAUT DENKLEMİ .......................................................................................................................................... 433LAGRANGE DENKLEMİ ........................................................................................................................................ 434İNDİRGENEBİLİR İKİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ......................................................... 435

YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLERYÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER ..................................................................... 439 Mertebe İndirgeme ........................................................................................................................................ 440 Sabit Katsayılı Denklemler ............................................................................................................................ 441 Farklı Reel Kökler ......................................................................................................................................... 441 Katlı Reel Kökler ........................................................................................................................................... 442 Kompleks Kök ............................................................................................................................................... 442 Homojen Olmayan (2. Yanlı) Lineer Diferansiyel Denklemler ....................................................................... 445 Belirsiz Katsayılar Yöntemi ........................................................................................................................... 445PARAMETRELERİN DEĞİŞİM YÖNTEMİ ............................................................................................................. 449CAUCHY – EULER DENKLEMİ ............................................................................................................................. 451ÇÖZÜMLÜ TESTLER ............................................................................................................................................. 457

1. KISIM

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

5

PARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR

Bir fonksiyonun tanım kümesi alt kümelere ayrılarak o kümelerde farklı kuralları olan fonksiyonlara parçalı ta-nımlı fonksiyon denir.

( )

( ),

( ),

( ),

f x

f x x a

f x a x b

f x b x

<

1

2

3

1

#

#

=

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]

şeklinde yazılabilen f(x) parçalı tanımlı fonksiyondur. b > a olmak üzere; x = a ve x = b değerlerine f’nin kritik noktaları adı verilir. Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken alt aralıklara ait kuralların grafikleri çizilir ve sadece o aralıktaki kısımları alınır.

( ),

,f x

x x

x x2

3 1

1

<2

$- =

- -

-* ise f(x)’in grafiğini çizelim.

Çözüm

f(x - 2) fonksiyonunda x → x + 2 için;

( ),

( ) ,;f x

x x

x xolup

1 1

2 1

<2

$=

- -

+ -*

y

x olur.

4

-1

-1-2

-2

y x 1= -y x 2 2= +^ h

1

Uyarı !, ,y f x k k y f x02= + =^ ^h h in y ekseninde k birim pozitif yönde öte-lenmişidir.

, ,y f x k k y f x02= - =^ ^h h in y ekseninde k birim negatif yönde öte-lenmişidir.

,y f x k k ise y f x02= + =^ ^h h in x ekseninde k birim sola ötelenmi-şidir.

,y f x k k ise y f x01= + =^ ^h h in x ekseninde k birim sağa ötelenmi-şidir.

,y f x y f x=- =^ ^h h x eksenine göre simetriğidir.

,y f x y f x= - =^ ^h h in y eksenine göre simetriğidir.

x

y

y=f(x)

3

2

-1

y f x= ^ h in grafiği verilmiştir. Buna göre y f x 1=- +^ h

fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm

;y f x f x1= +^ ^h h in x ekseninde 1 birim sola ötelenmi-şidir.

x

x

y

y

2

2

-2

2

-2

-2

-1

-1

y=-f(x+1)

y=f(x+1)

elde edilir.

Buradan

6

Tek - Çift Fonksiyonlar

f A B"| için x A iken x A! !- olsun.

• f x f x- =^ ^h h eşitliğini sağlayan fonksiyonlara çift fonksiyon adı verilir.

• f x f x- =-^ ^h h eşitliğini sağlayan fonksiyonlara tek fonksiyon adı verilir.

Uyarı !Tek fonksiyonlar orijin noktasına göre simetriktir.

Çift fonksiyonlar y eksenine göre simetriktir.

NOTHem tek, hem de çift olan sadece sıfır fonksiyondur.

İki tek fonksiyonun çarpımı veya bö-lümü çift fonksiyondur.

Bir fonksiyon çift veya tek olmak zo-runda değildir.

tanf xx

x x

1 2 3

2$

=

-

^^

hh

fonksiyonu için;

tan tanf xx

x x

x

x x f x1 12 3

2

2 3

2$ $ $

- =- -

- -=

-

-=-^

^

_ ^

^

^^h

h

h i

h

hh oldu-

ğundan f x^ h tektir.

cosg xx

x x

1 2

3 4$

=+

^ h fonksiyonu için;

cos cosg xx

x x

x

x x g x1 12

3 4

2

3 4$ $

- =+ -

- -=

+=^

^

^

^^h

h

h

hh oldu-

ğundan g x^ h çifttir.

MUTLAK DEĞER FONKSİYONU;;;

f xf x f x

f xf x f x

00 0

0

2

1

= =

-

^

^

^

^

^

^

h

h

h

h

h

h

Z

[

\

]]]]]]]]]]

şekilde tanımlanan fonksiyonlara mutlak değer fonksiyo-nu adı verilir.

NOTMutlak değer fonksiyonlarının gra-fikleri çizilirken, önce mutlak değer yokmuş gibi fonksiyonun grafiği çizi-lir ve daha sonra x ekseninin altın-da kalan grafiklerin x eksenine göre simetriği alınarak çizim tamamlanır.

f x x2 3= -^ h fonksiyonunun grafiğini çizelim:

ç .y x i in x y ve y x olur2 3 0 3 023

& &= - = =- = =

x

y

y

x

y=2x-3

-3

3

23

23

f x x2 3= -^ h

Bu grafikten

grafiği elde edilir.

7

-41

y=f(x)

y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y f x=- ^ h grafiğini çizelim.

Çözüm

,y f x y f x f x&= =^ ^ ^h h h in mutlak değer fonksiyonu olup y f x=- ^ h fonksiyonunun grafiği ise y f x= ^ h in x eksenine göre simetriğidir.

-4

-4

1

1

Buradan

grafiği elde edilir.

y f x= ^ h

y f x=- ^ h

●

●

●

●

y x= bağıntısının grafiğini çizelim.

Çözüm

.y x y x ve y x tir&= = =-

y=-x

y=xy

x

x y 24$ = bağıntısının grafiğinde koordinatları tam sayı olan noktaların sayısını bulunuz.

x y 24$ =

şeklinde bir grafiği vardır.

Şekilden de görüleceği gibi I. bölgede kaç farklı tamsayılı koordinat varsa bağıntıyı sağlayan noktalar bunun 4 katı kadardır.

24 ün pozitif bölen sayısı; 24 2 3 4 2 83&$ $= = oldu-

ğundan koordinatları tam sayı olan 8 4 32$ = farklı nok-ta vardır.