Lgica e Teoria de Conjuntos 1 1Introduo Lgica e Teoria de
Conjuntos 1.1Teoria de Conjuntos
Umconjuntodesigna-segeralmenteporumaletramaiscula,reservando-seasletras
minsculas para os seus elementos. A expresso simblica x A significa
que x elemento deA . A negao dex A representa-se simbolicamente
porx A E l-se xno pertence aA (ou xno elemento deA ).
Umconjuntopodeserescritoemextenso(quandoonmerodosseuselementosfor
finito e suficientemente pequeno) enumerando explicitamente todos
os seus elementos
colocadosentrechavetaseseparadosporvrgulasouemcompreenso,enunciando
uma propriedade caracterizadora dos seus elementos (isto , uma
propriedade que s os seus elementos possuam). Exemplo TC1
(1)Conjunto das vogais descrito em extenso, { } V= a,e,i,o,u
(2)Conjunto dos nmeros naturais pares descrito em compreenso { } :
para algum 2 p p q q = = N N Conjunto universal e conjunto vazio
Pareceriarazovelqueintuitivamenteseconsiderassecomoconjuntoqualquer
coleco de objectos (reais ou imaginrios). No entanto, tal atitude
conduz a situaes paradoxais. Lgica e Teoria de Conjuntos 2
Seseadoptaraconcepointuitivadeconjuntoentopodedizer-sequealguns
conjuntos so membros de si prprios enquanto que outros no o so. Um
conjunto de
elefantes,porexemplo,noumelefantee,portanto,noumelementodesi
prprio;noentanto,oconjuntode todasasideiasabstractas
,eleprprio,umaideia abstracta, pelo que pertence a si prprio. As
propriedades ser membro de si prprio e
nosermembrodesiprprioparecemserpropriedadesperfeitamenteadequadas
paradefinirconjuntos.Mas,comoseverestaspropriedadesconduzemcriaode
um paradoxo. Suponha-se que se define o conjuntoAcomo sendo o
conjunto de todos os conjuntos que no so membros de si prprio, isto
, { } : A = . Coloca-seaquestodesaberseA ounoelementodesiprprio.SeA
nofor elemento de si prprio,A A , ento satisfaz a propriedade
definidora deAe, portanto, A A ; seApertence a si prprio,A A ento
no satisfaz a propriedade definidora de A e,portanto,A A
.Decadaumadaspossveishiptesespodededuzir-seasua negao, o que
constitui um paradoxo.
Paraeliminarpossibilidadesdestetiposupor-se-,deoraemdiante,queosconjuntos
considerados so todos constitudos por elementos de um
conjuntoUsuficientemente grande, chamado conjunto universal ou
universo do discurso.
EmMatemticahconjuntosqueconstituemmuitofrequentementeosuniversosdo
discurso. Alguns exemplos, dos mais importantes, so: { } : um nmero
real x x = Rnmero { } : um nmero racional x x = Q{ } : um inteiro
nmero x x = Z{ } , , , , 0 1 2 3 = N Lgica e Teoria de Conjuntos 3
Ossmbolosou{}usam-separadenotaroconjuntovazio(conjuntosemelementos)
que pode ser escrito em compreenso por{ } { } : , : x x x x x x = .
Conjuntos finitos e conjuntos infinitos
Umconjuntodiz-sefinitoseforpossvelcontarosseuselementos,ouseja,seforo
conjuntovazioouseforpossvelestabelecerumacorrespondnciabijectivaentreos
seus elementos e os elementos de um conjunto da forma{ } , , , , 1
2 3 n para algumnN. Dir-se- infinito caso contrrio. O conjunto dos
nmeros inteiros positivos inferiores a 100 um conjunto finito
enquanto que o conjunto de todos os nmeros inteiros positivos um
conjunto infinito. SeA
forumconjuntofinito,designar-se-porcardinalidadedeA onmerodosseus
elementos,oqualserepresentaporcard( A )ou#A
.Umconjuntocomcardinalidade igual a 1 diz-se singular. Quando um
conjunto infinito, impossvel defini-lo em extenso; logo, se um
conjunto puder ser definido em extenso, ento certamente ser um
conjunto finito.
Porvezesparadefinircertosconjuntosinfinitosusa-seumanotaoparecidacoma
definio de um conjunto em extenso: o caso de { } , , , , 0 1 2 3 =
N
Refira-sequeasreticnciasrepresentamaquasetotalidadedoselementosdeN
qualquer que seja o nmero de elementos que apaream no incio.
Igualdade de conjuntos Dois conjuntos so iguais se e s se tiverem
os mesmos elementos. SeumconjuntoA forigualaumconjuntoB escreve-seA
B = .Paraverificarsedois
conjuntossoiguaisbastaverificarsetodooelementodeA elementodeB ese
todooelementodeB elementodeA .SetodooelementodeA fortambm elemento
deB(independentemente do facto de todo o elemento deBpoder ser ou
Lgica e Teoria de Conjuntos 4 no elemento deA ) dir-se- que o
conjuntoA estcontido no conjuntoB , o que se denotaporA B
;nestecasotambmsedizqueA umsubconjuntodeB .Seos conjuntosA eB
foremiguaisentoter-se-A B e,simultaneamenteB A ; reciprocamente,
seA B eB A se verificarem simultaneamente ento tem-seA B = . SeA B
eA B dir-se- queA um subconjunto prprio ou uma parte prpria deBe
escreve-seA B . De acordocom estas definies resulta que quaisquer
que sejam os conjuntosAeB [ ] , , see s se e A A A A B A B B A =
Considere-se a prova de, por exemplo,A qualquer que seja o
conjuntoA . A nica
formademostrarqueestainclusofalsaverificarquepossuiumelementoque
nopertenceaA ;oracomonopossuielementosentoestarelaoverifica-se
sempre. 1.1.1Operaes com conjuntos SendoAeBdois conjuntos,
denota-se porA B a unio (ou reunio) deAcomB , que o conjunto cujos
elementos so os elementos deAe os elementos deB . Mais geralmente,
se, , ,1 2 nA A A forem conjuntos ento a sua unio { } : , , ,1
21para algum1 2ni niiA A A Ax x A i n== = =
oconjuntoconstitudopeloselementosquepertencempelomenosaumdos
conjuntos, , , , 1 2iA i n = . AintersecodedoisconjuntosA eB
,denota-seporA B ,oconjuntocujos elementos pertencem
simultaneamente aAeB . Analogamente, se, , ,1 2 nA A A forem
conjuntos ento Lgica e Teoria de Conjuntos 5 { } : , , , .1 21para
algum1 2ni niiA A A Ax x A i n== = = DoisconjuntosA eB
dizem-sedisjuntosseesseA B = ,isto,senopossurem elementos comuns.
Dados conjuntos,iAi I , dizemos que eles so disjuntos dois a dois
se quaisquer, i j I , comi j , se tem i jA A = . A diferena deAeB o
conjunto\ A Bdefinido por { } \ : e A B x x A x B =
ouseja,oconjuntoconstitudopeloselementosdeA quenopertencemaB .Se,
emparticular,sefizerA = U ,ouniversododiscurso,entooconjunto{ } \ :
B x x B = Ud-se o nome de conjunto complementar deBe denota-se
porBou cB . Conjunto das partes de um conjunto
Podemconstruir-seconjuntoscujoselementossoelesprprios,notodoouemparte,
conjuntos. Assim, por exemplo, a letrax , o conjunto{ } , ab , o
conjunto{ } e o nmero 4 podem constituir um novo conjunto que o
seguinte { } { } { }, , , , . 4 x ab
Dadoumconjuntoarbitrrio,possvelconstruirnovosconjuntoscujoselementosso
partes do conjunto inicial. Em particular, sendoAum conjunto
qualquer, denota-se por ( ) A P
oconjuntoconstitudoportodosossubconjuntos(prpriosouimprprios)deA ,
isto , ( ) { } : . A A = P Lgica e Teoria de Conjuntos 6 SeA finito
tem-se( ) ( )( ) cardCard 2AA = P . O produto cartesiano deAporB ,
designa-se porA B e dado por( ) { }, : A B a b a A b B = .
Analogamente, podemos considerar o produto cartesiano denconjuntos:
( ) { }, , , :1 2 1 2 1 1 2 2 n n n nA A A a a a a A a A a A = Por
definio, nA A A A = . Se, , ,1 2 nA A A so conjuntos finitos, ento
( )1 2 1 2card card card cardn nA A A A A A = . Exemplo TC2 Se{ } ,
, A abc = ento( ) { } { } { } { } { } { } { } { }, , , , , , , , ,
, , , A a b c a b ac b c a b c = P oconjuntodas partes deA , com
cardinalidade igual a 8. Teorema (Propriedade Distributiva) Sendo,
, ABCtrs conjuntos arbitrrios, ter-se-: a)( ) A B C b)( ) A B C
Teorema (Leis de Morgan) SendoAeBdois conjuntos arbitrrios,
ter-se-: a)( ) A B A B = b)( ) A B A B = Lgica e Teoria de
Conjuntos 7 Exerccios Teoria de Conjuntos 1.Mostra que seAfor um
subconjunto do conjunto vazio ento= A . 2.Dado um conjunto
arbitrrioA , a)SerAelemento do conjunto{ } A ? b)Ser{ } Aelemento
do conjunto{ } A ? c)Ser{ } Aum subconjunto de{ } A 3.Seja{ } { } 3
2 1 , , = A . Quais das afirmaes seguintes so verdadeiras? a)A 1 ;
b){} A 1 ; c){} A 1 ; d)A 3 ; e){ } A 3 ; f){ } A 3 ; g){ } { } A 3
; h) A ; i) A ; 4.Descreva em compreenso os conjuntos seguintes: {
} , , , , 20 15 10 5 = A{ } , , , , 37 27 17 7 = B{ } 400 399 302
301 300 , , , , , = C{ } , , , , , , , 49 36 25 16 9 4 1 = D{ } , ,
, , , 16 1 8 1 4 1 2 1 1 = E 5.Indique quais dos conjuntos que se
seguem so iguais: { } 2 1 1 , , = A{ } 1 2 1 , , , = B{ } 2 1 0 , ,
= C Lgica e Teoria de Conjuntos 8 { } 2 1 1 2 = , , , D{ } 1 42 2=
= = x ou x x E : 6.Determine em extenso os seguintes conjuntos: { }
{ } 3 2 1 02, , , : = x x x A( ) { }01 IN n Bn = :{ } x x IN x C 13
2220= + = :( )( ) { } 11 2 10< + + = x x IN x D : 7.Diga quais
dos seguintes conjuntos que se seguem so finitos e quais so
infinitos: a)O conjunto das linhas do plano que so paralelas ao
eixo dos' xx . b)O conjunto das letras do alfabeto. c)O conjunto
dos mltiplos de 5. d) O conjunto dos animais existentes na Terra.
e)O conjunto das razes da equao0 19 2 17 425 18 23 38= + + x x x x
. f)O conjunto das circunferncias centradas na origem. 8.Determine
quais dos conjuntos seguintes so iguais: { } Z n n A + = : 1{ } Z m
m B + = : 2 2Z C ={ } Z p p D + = : 2 2{ } Z q Eq = : 5{ } Z r r F
= : 2{ } Z s Gs =+ :15 9.Qual a cardinalidade dos seguintes
conjuntos: { } { } { } { } {} {} { } 1 1 1 1 2 1 , , , , , , , ,
Lgica e Teoria de Conjuntos 9 10.Determine a cardinalidade do
conjunto = 10 q p IN q pqpS , , : 11.Seja{ } 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ,
, , , , , , , , = U oconjuntouniversal.Dadososconjuntos{ } 7 5 3 1
, , , = A , { } 6 5 4 3 2 , , , , = B e{ } 8 6 4 2 0 , , , , = C
,definaemextensoosconjuntos ( ) ( ) ( )( ) U C A B A C B AC A B A C
B A C B C B B A, , , ,, , , , 12.SejamC B A , ,trs conjuntos
quaisquer contidos no universo U. Verifique as seguintes
igualdades: a)U A A = b) = A Ac)A B A d)A B A e)A A =f)B A B A = \
13.Em que circunstncias so verdadeiras as igualdades que se seguem:
B A B A = A B A = B B A = ( ) A B B A = ( ) B A B B A = 14.O facto
de serD B A = implica que sejaA B D = \ ? Se no, o que pode
concluir-se do facto de serD B A = eA B D = \ ? 15.SejamAeBdois
subconjuntos do universo{ } 6 5 4 3 2 1 , , , , , = Utais que Lgica
e Teoria de Conjuntos 10{ } { } { } 2 1 3 4 3 2 1 , \ , , , , , = =
= B A B A B ADetermineB A,eA B \ . 16.Verifique, justificando, se
as afirmaes seguintes so verdadeiras ou falsas. a)SeC A eC B entoC
B A . b)SeA C eB C entoB A C . c)SeB A eC B entoC A . d) SeB A eC B
entoC A . e)SeC B C A = entoB A = . 17.Determinar o conjunto das
partes do conjunto I. {} 1 = AII. { } 2 1, = BIII. { } 3 2 1 , , =
C 18.Sendo{ } 4 3 2 1 , , , = M determinar{ } x M x :
.Quantoselementosteroconjunto das partes deM ?
19.Descreveroselementosdoconjunto( ) ( ) ( ) P P P onde( ) P
designaoconjunto das partes do conjunto vazio . 20.Sejam os
conjuntos{ } { } b a A , =e{ } { } b a b a B , , , = . Determine:
a)B Ab)B Ac)( ) A P(conjunto das partes deA ) d)( ) B A P
21.Determinar o conjunto das partes do conjunto das partes do
conjunto{ } a . 22.Dados dois conjuntosAeB . Verifique que: Lgica e
Teoria de Conjuntos 11 a)( ) ( ) A B A B A = b)( ) B A B A = \
23.Usando um diagrama de Venn apropriado verifique: a)A demonstrao
do teorema da propriedade distributiva; b)A demonstrao do teorema
das Leis de Morgan. 24.SendoR Q P , ,
trsconjuntos,indicarquaisdasafirmaesqueseseguemso verdadeiras.
a)SeP um elemento deQeQ um subconjunto deR , entoP um elemento deR
. b)SeP um elemento deQeQ um subconjunto deR , entoP tambm um
subconjunto deR . c)SeP um subconjunto deQeQ um elemento deR ,
entoP um elemento deR . d) SeP umsubconjuntodeQ eQ umelementodeR
,entoP um subconjunto deR . 25.SendoR Q P , ,trs conjuntos, provar:
a)( ) ( ) R Q P R Q P = \ | \b)( ) ( ) Q R P R Q P \ \ | \ =c)( ) (
) ( ) R Q R P R Q P \ \ \ | \ =
26.Chama-sediferenasimtricadedoisconjuntosA eB aoconjuntoconstitudo
pelos elementos que pertencem aAou aB , mas no a ambos
simultaneamente. a)DenotandoporB A adiferenasimtricadeA eB
,mostrarque ( ) ( ) ( ) ( ) B A B A A B B A B A = = \ \ \ . Lgica e
Teoria de Conjuntos 12b)Representar num diagrama de Venn a diferena
simtrica de dois conjuntosAe Bquaisquer.
c)SeadiferenasimtricaentredoisconjuntosquaisquerA eB forigualao
conjuntoAque poder dizer a respeito deAeB ? d) Verifique se as
igualdades seguintes so verdadeiras ou falsas. I. A A A = II. ( ) A
A A A = 1.2Elementos de Teoria da Deduo
Geralmenteamatemticadivide-seemparteschamadasteoriasmatemticas.O
desenvolvimento de uma qualquer teoria constitudo por trs etapas
fundamentais: (1)a construo dos objectos matemticos da teoria; (2)a
formao de relaes entre estes objectos;
(3)apesquisadasrelaesquesoverdadeiras,ouseja,ademonstraode
teoremas.
Objectosmatemticosso,porexemplo,osnmeros,asfunesouasfiguras
geomtricas;aTeoriadosNmeros,aAnliseMatemticaeaGeometriaso,
respectivamente,asteoriasmatemticasqueosestudam.Osobjectosmatemticos
(provavelmente) no existem na natureza; so apenas modelos
abstractos de objectos
reaismaisoumenoscomplicados.Asrelaesentreosobjectosmatemticosso
afirmaes (ou proposies ou sentenas), verdadeiras ou falsas, que
podem enunciar-se a seu respeito e que, de algum modo, correspondem
a propriedades hipotticas dos objectos reais que eles modelam.
Paraprovarosseusresultadosamatemticausaumdeterminadoprocessode
raciocnio que se baseia na Lgica(bivalente) que adopta como regras
fundamentais de pensamento os dois princpios seguintes: Princpio da
no contradio: Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa (ao mesmo
tempo). Lgica e Teoria de Conjuntos 13 Princpio do terceiro
excludo: Uma proposio ou verdadeira ou falsa (isto , verifica-se
sempre um destes casos e nunca um terceiro). A matemtica, como
qualquer outra cincia, utiliza a sua linguagem prpria constituda
por termos palavras ou smbolos e proposies que so combinaes de
termos de acordo com determinadas regras. Numa teoria matemtica
qualquer podem distinguir-se dois tipos de termos:
(1)termoslgicos,quenosoespecficosdaquelateoriaefazemparteda
linguagem matemtica geral, e (2)termos especficos da teoria que se
est a considerar.
Termoslgicoscomo,porexemplo,varivel,relao,etc.socomunsatodasas
teorias matemticas. Pelo contrrio, ponto, recta e ngulo so termos
especficos da geometria, enquanto que nmero, R R R A tese resulta
agora imediatamente de se multiplicar a desigualdadea b >por0 c
> . Mais formalmente, Teorema Sejam, , abctrs nmeros reais tais
quea b > . Seac bc ento0 c . Lgica e Teoria de Conjuntos
27Demonstrao Aprovaserfeitapelacontra-recproca.Suponha-seque0 c
> .Ento,multiplicando ambososmembrosdadesigualdadea b > porc
obter-se-ac bc > . Consequentemente,0 ac bc c como se pretendia
mostrar. As regras que permitem passar de hipteses feitas e
resultados j demonstrados a novas
proposiessoconhecidasporregrasdeinferncia.Amaisusada,conhecidapor
modus ponens, a seguinte:
p qpq Seaproposiop eaimplicaop q foremverdadeiras,entoq
necessariamente verdadeira. A proposioq logicamente implicada
porpep q o que se escreve , p p q q Deummodogeral., , ,1 2 np p p q
umaregradeinfernciaseesse 1 2 np p p q for uma tautologia. Outras
regras de inferncia, , pp q q modus ponens , p qq r p r , p q q p
modus tollens p p q p q p , pq p q Lgica e Teoria de Conjuntos
281.2.4Lgica com quantificadores 1.2.4.1Variveis e conjuntos
Nodesenvolvimentodequalquerteoriamatemticaaparecemmuitasvezes
afirmaessobreobjectosgenricosdateoriaquesorepresentadosporletras
designadas por variveis. Serepresentarmosporx
umnmerointeiropositivogenrico,podesernecessrio analisar (sob o
ponto de vista lgico) afirmaes do tipo x um nmero primo. Esta
afirmaonoumaproposio,oseuvalorlgicotantopodeserodeverdade
comoodefalsidade.Umaafirmaodestetipodenota-sepor ( ) p x
paramostrar que p dependedavarivelx
obtendo-se,assim,umafrmulacomumavarivel
livre.Aafirmaes(comvariveislivres)associam-seoschamadosconjuntosde
verdade que so os conjuntos de valores para os quais( ) p x
verdadeira. Escreve-se ( ) { }: A x p x = el-seA
oconjuntocujoselementossatisfazem( ) p x ouparaosquais( ) p x
verdadeira. Conjuntos de verdade e conectivas lgicas Suponha-se
queA um conjunto de verdade de uma frmula( ) p xeB o conjunto de
verdade de uma frmula( ) q x . Ento, ( ) { } ( ) { }( ) { } ( ) {
}: :: :A x p x x p xB x q x x q x= = UU O conjunto de verdade da
frmula( ) ( ) p x q x tal que ( ) ( ) { } { } : : x p x q x x x A x
B A B = = U U De modo semelhante, Lgica e Teoria de Conjuntos 29( )
( ) { } { } : : x p x q x x x A x B A B = = U U 1.2.4.2Os
quantificadores universal e existencial Uma frmula( ) p x ,
contendo uma varivelx , pode ser verdadeira para alguns valores dex
pertencentesaouniversododiscursoefalsaparaoutros.Porvezes,pretende-se
dizerqueumadadafrmula( ) p x severificaparatodososelementosdex (do
universo). Escreve-se ento para todo o( ) , x p x ou qualquer que
seja( ) , x p x e representa-se simbolicamente por ( ) xp x O
smbolo designado por quantificador universal. A frmula anterior
equivalente a ( ) x x p x U A quantificao pode ser feita apenas
sobre uma parte de . Assim, seDdesignar um subconjunto prprio de e(
) p xfor uma frmula com uma varivel cujo domnio D , ento ( ) x Dp x
ou( ) x x D p x afirma que( ) p xse verifica para todo ox D .
Se,porexemplo,{ } , , ,1 2 nD a a a =
afrmulaanterior(logicamente)equivalente conjuno( ) ( ) ( )1 2 np a
p a p a . Exemplo TC8 Suponhaque( ) p x afrmula 21 0 x + >
.Ento,( ) x x p x R umaproposio verdadeira, enquanto que( ) x x p x
C uma proposio falsa. Lgica e Teoria de Conjuntos 30Escreve-se ( )
xp x
Parasignificarqueexiste(nouniversododiscurso)pelomenosumelementox
parao qual( ) p xse verifica, o que pode ler-se da seguinte forma
existe pelo menos umxtal que( ) p x . De outra forma,( ) x x p x
Uonde, designa o universo do discurso. O smbolo chamado o
quantificador existencial. SeDfor um subconjunto de e( ) p xfor uma
frmula com uma varivel cujo domnio D , ento( ) xp x ou( ) x x D p x
uma frmula com o quantificador existencial. Se,porexemplo,{ } , ,
,1 2 nD a a a = afrmulaanterior(logicamente)equivalente disjuno( )
( ) ( )1 2 np a p a p a . O valor lgico (de verdade ou falsidade)
de uma proposio quantificada depende do domnio considerado. As duas
proposies 222 02 0x x xx x x = = QQ So falsas enquanto que as duas
seguintes 222 02 0x x xx x x = = RR a primeira falsa, mas a segunda
verdadeira. Interessatambmconsiderarquandoodomniodavariveldafrmula(
) p x o conjunto vazio. Que valor lgico tero as expresses da forma
Lgica e Teoria de Conjuntos 31( ) ( ) e x x p x x x p x Vistoquex
semprefalso,entoaprimeiraexpressoumaproposiosempre
verdadeira.Quantosegundaproposioelatemaformadeumaconjunode
proposies, das quais uma sempre falsa, logo a proposio sempre
falsa.
Porvezesemprega-seoquantificadorexistencialnumasituaosimultneade
unicidade,ouseja,quer-seafirmarnosque( ) xp x masainda queafrmula(
) p xsetransformanumaproposioverdadeirasparaumelementododomniode
quantificao. Neste caso emprega-se a abreviatura ( ) ! xp x Que
significa existe um e s umxtal que( ) p x . Quantificao mltipla
Umafrmulamatemticapodetermaisdoqueumavarivel.Considere-se,por
exemplo, a afirmao para todo o nmero realxexiste um nmero realytal
que5 x y + = simbolicamente,[ ] 5 x y x y + =
,queconstituiumaproposioverdadeira(sendo 5 y x = para cadax R). Se
se trocarem os quantificadores obter-se- [ ] 5 y x x y + =que
significa existe um nmero realytal que para todo o nmero realxse
tem5 x y + = . Lgica e Teoria de Conjuntos 32Esta proposio falsa,
pois no existe nenhum nmero realy , sempre o mesmo, para o qual
todo o nmero realxsatisfaz a equao dada.
Estesexemplosilustramanocomutatividadededoisquantificadoresuniversal,
,e existencial, .
Doisquantificadoresdamesmaespciesosemprecomutativosenquantoquedois
quantificadoresdeespciediferentesogeralmentenocomutativos,isto,asua
permuta conduz a proposies de contedo distinto. Negao de proposies
quantificadas Dadasasproposiescomquantificadores( ) x x p x U e( )
x x p x U pode
sernecessrioanalisar(logicamente)asproposiesquesoanegaodestas,ou
seja,( ) x x p x Uequivale a( ) x x p x Ue ( ) x x p x Uequivale a(
) x x p x U De um modo genrico, tm-se as equivalncias, ( ) ( ) ( )(
) ( ) ( )xp x x p xxp x x p x Conhecidas por segundas leis de
Morgan. Exerccios Lgica 1.Diga, justificando, se as seguintes
frases so ou no proposies (sentenas): a)Se a terra for plana ento
2+2=4. b)No verdade que 3 seja nmero par ou que 7 seja primo.
c)Para algum,22nn n = N . d)Para todos os nmeros reais, , xy x y y
x + = + R . e)Ele muito inteligente. Lgica e Teoria de Conjuntos
33f)Ou sais tu ou saio eu. g)x y y x = 2.Suponha-se que, ,
pqrrepresentam as seguintes sentenas: p 7 um nmero inteiro par q
3+1=4 r 24 divisvel por 8 a)Escreva em linguagem simblica: i.3 1 4
+ e 24 divisvel por 8 ii.No verdade que 7 seja mpar ou 3+1=4 iii.Se
3+1=4 ento 24 no divisvel por 8 Construa as tabelas de verdade das
proposies compostas obtidas. b)Traduza por frases cada uma das
sentenas: i.( ) p q ii.( ) p q iii.( ) ( ) r q
3.Construaastabelasdeverdadedasseguintesfrmulaslgicas(proposies
compostas .Provarqueseac bd > ento c d > . 21.Analise a
validade dos seguintes argumentos:
a)Bomtemponecessrioparaseconseguirumbomjardim.Comoojardimest muito
bonito o tempo tem estado bom. b)Se hoje o tempo estiver bom amanh
faremos um piquenique. Mas hoje o tempo no est bom, logo, amanh no
faremos um piquenique. 22.Sendo, , , pqrsquatro proposies dadas,
estabelecer a validade ou invalidade dos seguintes argumentos: a)(
) , p qp q b)( ) ( ) , p qr q p r c)( ) ( ) ( ) ( ) , p q r q p r
d)( ), q p q p e)p p q f)( ) ( ) ( ) ( ) , , p qq r r p p q g)( ) p
p p h)( ) ( ) ( ) , , p q r q r p p 23.Supondo que, ,et cd
frepresentam as seguintes sentenas: t ver televiso Lgica e Teoria
de Conjuntos 38c ir ao cinema d ter dinheiro f ir de frias
Considere o seguinte argumento: a1. Ele v televiso ou vai ao
cinema; a2. Se no tem dinheiro ento no vai ao cinema; a3. Uma
condio suficiente para ir de frias ter dinheiro; a4. Ele no v
televiso; a5. Logo, ele vai de frias! a)Traduza atravs de proposies
lgicas as afirmaes anteriores. b)Mostre se o argumento valido.
24.Sendo eP Qos conjuntos de verdade de, respectivamente,( ) ( ) ep
x q x , determine osconjuntosdeverdadedasfrmulas( ) ( ) ( ) ( ) (
), , p x q x p x q x ,einterpreteem termos de conjuntos de verdade
as frmulas( ) ( ) ( ) ( ) ep x q x p x q x .
25.Escrevaasfrasesqueseseguemusandonotaolgicanaqualx designaum gato
e( ) p xsignifica xgosta de creme. a)Todos os gatos gostam de
creme. b)Nenhum gato gosta de creme. c)Um gato gosta de creme.
d)Alguns gatos no gostam de creme. 26.Sendo, , A B C
trsconjuntosquaisquer,analiseemtermoslgicos,usando quantificadores,
a proposio seA B ento\ eA C Bso disjuntos. 27.Escreva a proposio
negao da proposio apresentada. a)Algumas pessoas gostam de
matemtica. b)Todas as pessoas gostam de gelado. Lgica e Teoria de
Conjuntos 39c)Algumas pessoas so altas e magras 28.Considere a
proposio ( ) ( ) ( ) ( ) : , ,1 1x yQ t x v yx p xy N N talque,( )
( ) ( ) ' ', , ' ', , ' ' 1 1dividet x x v yx y x p xy x y > = +
eodomniode quantificao o conjunto dos naturais 1N . a)Averige,
justificando, o valor lgico da interpretao seguinte ( ) ( ) ( ) ( )
, , 1 2 1 12 t v p . b)Diga, justificando, qual o valor lgico deQ .
29.Traduzaemlinguagemsimblicaasproposiesqueseseguem,indicandoas
escolhas que so apropriadas para os domnios correspondentes. a) 24
0 x =tem uma raiz positiva. b)Toda a soluo da equao 24 0 x =
positiva. c)Nenhuma soluo da equao 24 0 x = positiva. d)Todos os
estudantes que entendem lgica gostam dela. 30.Considere( ) ( ) ej x
t xos predicados xouve o jogo de futebol e xvai aula de Mat I,
respectivamente.
a)Usandolgicadepredicados,exprimadeformaconvenienteasseguintes
afirmaes: i.Nem todas vo aula de Mat I. ii.Nem todos os que ouvem o
jogo faltam aula. iii.Todos os que faltam aula ouvem o jogo.
b)Sendo eJ T osconjuntosdeverdadede( ) ( ) ej x t x
,respectivamente,formule em termos de conjuntos as trs afirmaes
anteriores. Lgica e Teoria de Conjuntos 4031.Sendo 0N
odomniodaquantificao,indiquequaisdasproposiesquese seguem so
verdadeiras e quais so falsas. a)( ) 2 0x yx y =b)( ) 2 0y xx y
=c)[ ] 10 9x yx y x y < < < d)( ) 100y zy z + =e)( ) 100x
yy x y x > + = 32.Negue a proposio toda a gente tem um parente
de quem no gosta usando a simbologia lgica. 1.3Relaes e Aplicaes
1.3.1Produto cartesiano de conjuntos Osconjuntos{ } , ab ,{ } , ba
e{ } , , aba soiguaisporquetmosmesmoselementos;a ordem pela qual se
escrevem os elementos irrelevante, assim como no tem qualquer
significadoqueumelementoapareaescritoumasvezouvriasvezes.Em
determinadassituaes,necessriodistinguirconjuntoscomosmesmoselementos
colocados por ordens diferentes ou conjuntos nos quais um mesmo
elemento aparece mais que uma vez. Definio SejamAeBdois conjuntos
no vazios. Chama-se produto cartesiano deAporB , e representa-se
porA B , ao conjunto de todos os pares ordenados( ) , abtais quea A
e b B , ou seja, ( ) { }, : A B ab a A b B = . Lgica e Teoria de
Conjuntos 41No caso particular em que se temA B =obtm-se o conjunto
( ) { }, ' : , '2A aa aa A = Designado por quadrado cartesiano deA
. O conceito de produto cartesiano pode ser estendido a mais de
dois conjuntos. Assim, o produto cartesiano denconjuntos, , ,1 2 nA
A A , denotado por 1 2 nA A A definido por ( ) { }, , , :1 2 1 2 1
1 2 2 n n n nA A A x x x x A x A x A = Se, em particular, se tiver
1 2 nA A A A = = = = obtm-se( ) { }, , : , , ,1 2 1para todo1 2nn n
iA A A A x x x A i n = = = que a potncia cartesiana de ordemndo
conjuntoA . Definio Chama-se relao binria deAparaBa todo o
subconjunto no vaziodo produto cartesianoA B .Se,emparticular,forA
B = entodiz-seumarelaobinria definida emA . Exemplo TC9 Sejam dados
os conjuntos{ } , , 1 2 3 A =e{ } , B r s = . Ento ( ) ( ) ( ) { },
, , , , 1 2 3 r s r = R uma relao deAparaB . Lgica e Teoria de
Conjuntos 42 Exemplo TC10 SejamA eB
conjuntosdenmerosreais.Arelao(deigualdade)define-seda seguinte
forma se e s sea b a b = R para todo oa A e todo ob B . Exemplo
TC11 Seja dado o conjunto{ } , , , , 1 2 3 4 5 A B = = . Definindo
a relao(menor que) emA : se e s sea b a b < R ento( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 = R .
DadaumarelaodoconjuntoA paraoconjuntoB chama-sedomnioe contradomnio
de , respectivamente, aos conjuntos assim definidos: ( ) ( ) { }( )
( ) { }: ,: ,x A y y B x yy B x x A x y = = R RR RDI 1.3.2Parties e
relaes de equivalncia SejaA umconjuntonovazio.Chama-separtiodeA
aumafamlia AP de subconjuntos no vazios deAtais que: 1.cada
elemento deApertence a um e um s conjunto de AP . 2.Se 1A e 2A
foremdoiselementosdistintosdapartio AP ento 1 2A A = . Lgica e
Teoria de Conjuntos 43Os elementos de APso designados por blocos ou
clulas da partio Exemplo TC12 Sejadadooseguinteconjunto{ } , , , ,
, , , A abcde f gh = econsiderem-seosseguintes subconjuntos deA : {
} , , ,1A abcd = ,{ } , , , , ,2A ace f gh ={ } , , ,3A aceg = , {
} ,4A bd = , { } ,5A f h = Ento{ } ,1 2A Ano uma partio deAvisto
que 1 2A A ;{ } ,1 5A Atambm no uma partio visto que 1e ee A e A .
A famlia{ } , ,3 4 5 AA A A = P uma partio deA . Definio SejaA
umconjuntonovazioeumarelaobinriadefinidaemA .Arelao 2A R
dir-se-umarelaodeequivalnciaemA sesatisfazerasseguintes
propriedades: a)Reflexividade:[ ] a a A a a Rb)Simetria:[ ] , ab Aa
b b a R Rc)Transitividade:[ ] , , abc A a b b c a c R R R SendoA
umconjuntoe 2A R umarelaodeequivalnciachama-seclassede
equivalnciaquecontmoelementoa A aoconjunto,denotadogeralmentepor [
] a , definido por [ ] ( ) { }: , a x A xa = R onde o elementoa A
diz-se representante da classe. Lgica e Teoria de Conjuntos
44Teorema Sejauma relao de equivalncia definida num conjuntoA .
Ento: (1)CadaelementodeA pertencesuaclassedeequivalncia,isto,[ ] a
a , qualquer que sejaa A ;
(2)AreuniodetodasasclassesdeequivalnciaoconjuntoA ,isto, [ ]a Aa A
= ; (3)Dadosdoiselementos, ab A ter-se-a b R quandoesquandoa
ebpertencerem mesma classe de equivalncia, isto ,[ ] [ ] , ab Aa b
a b = R(4)As classes de equivalncia de dois elementosaebdeApara as
quais falsa a proposioa b Rso disjuntas, isto ,( ) [ ] [ ] , ab A a
b a b = R Definio SejaA umconjuntoeumarelaodeequivalnciaemA
.Chama-seconjunto quocientedeA por,edenota-seporA
R,aoconjuntodetodasasclassesde equivalncia determinadas emApor ,[ ]
{ }: A a a A = RTeorema Sejauma partio de um conjunto no vazio
deAea relao definida emApor e pertencem ao mesmo bloco de a b a b R
P . Ento uma relao de equivalncia. Exemplo TC12 Sejadadooconjunto{
} , , , 1 2 3 4 A = econsidere-seapartio{ } { } { }, , , 1 2 3 4 =
P . Determinar a relao de equivalncia determinada emApela partio .
Visto que os blocos deso{ } , , 1 2 3e{ } 4 , ento ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }, , , , , , , , , , , , , , , , , , , 11
1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 4 4 = R Lgica e Teoria de Conjuntos
45 a relao de equivalncia induzida emApela partio . 1.3.3Relaes de
ordem SejaAum conjunto no vazio e 2A Ruma relao binria qualquer
definida emA . Paraindicarqueoparordenado( ) ,2ab A
pertencerelaoescreve-setambm frequentementea b R , ou seja, ( ) , a
b ab R R quaisquer que sejam, ab A . Exemplo TC13 Se{ } , , , , , 0
1 2 3 4 5 A = Nefor a relaousual emN, ento ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}, , ,
, , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , , , , , , ,
, , ,0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 11 1 2 1 3 1 4 1 52 2 2 3 2 4 2 5 3 3
3 4 3 5 4 4 4 5 5 5= e escreve-se( ) , a b ab quaisquer que sejam,
ab A . Definio Chama-serelaodeordemdefinidanoconjuntoA
aumarelaobinria 2A Rcom as seguintes propriedades:
(1)Reflexividade:[ ] aa A a a R(2)Anti-simetria:[ ] , ab A a b b a
a b = R R(3)Transitividade:[ ] , , abc A a b b c a c R R RSe
adicionalmente,satisfizer a proposio (4)Dicotomia:[ ] , , ab ab A a
b b a R R Lgica e Teoria de Conjuntos 46dir-se- uma relao de ordem
total. Seno for uma relao de ordem total tambm se designa, por
vezes, relao de ordem parcial. Exemplo TC14 1.Sejaa famlia de
conjuntos. A relao emdefinida por A um subconjunto deB uma ordem
parcial. 2.SejaA umsubconjuntoqualquerdenmerosreais.Arelao emA uma
relao de ordem total a chamada ordem natural. 3.A relaodefinida emN
por se e s se mltiplo dex y x y R uma relao de ordem parcial emN.
Definio Sejauma relao de ordem definida emA ; a relao*2A Rdefinida
por[ ] , * ab Aa b a b a b R Rdiz-se uma relao de ordem estrita
definida emA . Definio Chama-seconjuntoordenadoaumparordenado( ) ,
A R ondeA umconjuntono vazio euma relao de ordem (parcial ou total)
emA . Se, para, ab A se tivera b Rdir-se- quebdominaaou
queaprecedeb . SejaumarelaodeordemnumconjuntoA
.Entoarelaoinversa-1,definida por1a b b a R Rquaisquer que sejam os
elementos, ab A , tambm uma relao de ordem. Elementos extremais de
um conjunto ordenado Lgica e Teoria de Conjuntos 47Sendo( ) , A um
conjunto (total ou parcialmente) ordenado d-se o nome de mximo
deAao elemento dea A , se existir, tal que [ ] x x A x a ou seja,a
o mximo deAse dominar todos os outros elementos deA . Note-se
queseaordem nofortotalpodeacontecerquenoexistaum elemento a A
comparvelcomtodososelementosx A nostermosacimaindicados:neste
casoAno possuir mximo. Um elementoa A diz-se maximal de( ) , A se
se verificar a condio [ ] x Aa x x a = ou equivalentemente, [ ] x
Aa x x a . Isto ,a A um elemento maximal de( ) , A se no existir
nenhum outro elemento em Aque o domine estritamente. Chama-se mnimo
deAao elementob A , se existir, que satisfaz a condio [ ] x x A b x
ouseja,b omnimodeA seprecedertodoss outroselementosdeA .Talcomono
caso anterior um conjunto ordenado pode no possuir mnimo. Um
elementob A diz-se minimal se verificar a condio [ ] x Ax b x b =
ou equivalentemente, Lgica e Teoria de Conjuntos 48 [ ] x Ax b x b
. Isto ,b A um elemento minimal de( ) , A se no existir nenhum
outro elemento de A que o preceda estritamente. Exemplo TC15
Oconjunto{ } : 0 1 A x x = < < R
nopossuimximonemmnimonempossuielementos maximais nem minimais.
Teorema SejaA umconjuntoordenadopelarelaode ordem(parcialou total)
.Sea A mximo entoa um elemento maximal e o nico elemento maximal
deA . Seb A mnimo entob um elemento minimal e nico elemento minimal
deA . Definio Seja( ) , A um conjunto ordenado. Chama-se cadeia
deAa um conjunto deAque totalmente ordenado por . Definio SejaA
umconjuntototalmenteordenadopelarelao .Dir-se-que umaboa ordem ou
queA bem ordenado porse todo o subconjunto no vazio deApossuir
mnimo. 1.3.4Funes Definio Lgica e Teoria de Conjuntos 49Sejaf A B
uma relao deAparaB . Se, para todo ox A existir um e um sy B
talque( ) , x y f dir-se-quef umaaplicao(oufuno)deA emB ;para
significar quef uma aplicao deAemBcostuma escrever-se : f A B e,
neste caso, escreve-se( ) y f x =dizendo quey B a imagem porfdex A
. Dada um aplicao: f A B , ao conjuntoAtambm se d o nome de domnio
defe representa-se por( )ff D D(ou, mais simplesmente, porD).
Oconjunto( ) ( ) ( ){ }: f f A y B x x A y f x = = I
designa-seporcontradomnioda aplicaof . Se( ) f A B =dir-se- quef
uma aplicao sobrejectiva (ou aplicao sobreB );aaplicao: f A B
diz-seinjectiva(ounivoca)secadaelementode ( ) f Afor imagem de um s
elemento deA , isto ,f injectiva se e s se ( ) ( ) , ' , ' ' ' xx
xx A x x f x f x oquesignificaqueelementosdistintosdeA
tmnecessariamenteimagensporfdiferentesem( ) f A B .Seaaplicao: f A
B forsimultaneamenteinjectivae sobrejectiva diz-se quef uma aplicao
bijectiva. Duasaplicaes, f g soiguais,escrevendo-sef g =
,seesseforemsatisfeitasas duas condies seguintes (1) f g= D D D ;
(2)( ) ( ) x x f x g x = D . Lgica e Teoria de Conjuntos 50Sejam, ,
ABC trsconjuntosnovaziose: f A B e: g B C duasaplicaesdeAemB eB emC
,respectivamente.Chama-seaplicaocompostadeg comf aplicao : gof A C
definida por( ) ( ) ( )gof x g f x C = . Teorema A composio de
aplicaes associativa. Definio DadoumconjuntoA
chama-seaplicaoidentidadeemA aplicao:AA A iddefinida por( )Ax x =
id qualquer que sejax A . Teorema Sendo: f A B uma aplicao
arbitraria entoof f =Bidefo f =Aid . Sejaaaplicao: f A B eE
umapartedeA .Chama-seimagemdeE porf e representa-se por( ) f Eao
conjunto ( ) ( ){ }: f E y B x x E y f x = = podendo tambm
escrever-se ( ) ( ) { }: f E f x B x E = . Lgica e Teoria de
Conjuntos 51SeFfor uma parte deB , chama-se imagem recproca ou
inversa deFe representa-se por( ) ( ){ }:1f F x A y y F y f x = =
podendo tambm escrever-se equivalentemente ( ) ( ) { }:1f F x A f x
F= . Teorema Se: f A B
forumaaplicaobijectivaacorrespondnciarecproca,queacada y B
associa()1f y,onicoelementodoconjunto{ } ( )1f y,umaaplicao
bijectiva e,1 1B Afof f of = = id id . A aplicao:1f B A chamada
aplicao inversa ou recproca de: f A B . Exerccios Relaes e Funes
1.Seja{ } , , 12 3 A =
.Paracadaumadasrelaesindicadasaseguir,determineos elementos de , o
domnio e o contradomnio dee, finalmente, as propriedades (de
reflexividade, simetria, anti-simetria , transitividade e
dicotomia) que possui : a) a relao < emA . b) a relaoemA . c) a
relaoem( ) A P . 2.Considere o conjunto{ } , , , , S a b cde = .
Lgica e Teoria de Conjuntos 52 a)Paraarelaodeequivalncia( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) { }, , , , , , , , , , , , ,2aa b b c c dd e e a c
ca S = R , determine o conjunto[ ] a
.b)IndiqueosparesordenadosdarelaodeequivalnciainduzidaemS pela
partio{ } { } { }, , , , a b c de 3.Sejauma relao num conjunto no
vazioA . Sendox A define-se a classede x , denotada por[ ] xR, por[
] { } : x y A y x = RR . Sendo{ } , , , 12 3 4 A = e( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) { }, , , , , , , , , , , 12 13 2 1 11 2 3 4 2 = R
determinar[ ] 1R,[ ] 2R,[ ] 3R e[ ] 4R. 4.Mostre que a relao ~
emZdefinida por~sse2para algum emx y x y k k = Z uma relao de
equivalncia e determine[ ]~3 . 5.Sejaumarelaode paraA B eS
umarelaode paraB C .Entoarelao compostao S R a relao constituda por
todos os pares ordenados( ) , actais que ( ) ( ) , , ea b b c R S .
Sendo{ } { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }, , , , , , , , , , , , , ,
, , , , , 12 3 4 A pqrs B a b C pa p b q b ra sa = = = = R e ( ) (
) ( ) { }, , , , , 1 2 4 a a b = Sdetermineo S R.
6.Sejaarelaonoconjunto{ } , , , , , , 12 3 4 5 6 7 A = definidapor(
) ( ) , a b a b R divisvel por 4. determinare 1 R . 7.Sejaa relao
definida em{ } , , , ,22 3 4 5 = N por( ) , a b a R divisor deb .
a)Estudequanto reflexividade, simetria, anti-simetria e
transitividade.
b)Determinartodososelementosminimaisemaximaisdoconjunto 2N ordenado
pela relao . Lgica e Teoria de Conjuntos 538.Diga quais das relaes
que se seguem so equivalncias e, nesses casos, indique o
correspondente conjunto quociente. a)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }, ,
, , , , , , , , , 11 2 2 3 3 4 4 13 3 1b)( ) ( ) ( ) ( ) { }, , , ,
, , , 12 2 2 3 3 4 4c)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }, , , , , , , , ,
, , 11 2 2 12 2 1 3 3 4 4 9.Seja{ } { } , , , , , , , , 12 3 4 5 12
3 4 5 A = , e sejadefinida emApor ( ) ( ) , ,1 1 2 2 1 1 2 2x y x y
x y x y + = + R a)Verifique que uma relao de equivalncia emA .
b)Determine as classes de equivalncia( ) ( ) ( ) , , , , 13 2 4e11
. c)Determine a partio deAinduzida por . 10.Considere a relao 2 Z R
, tal que,, a b Z , ( ) sea b a b R um nmero inteiro no negativo
par. a)Verifique quedefine uma relao de ordem emZ . b) uma relao de
ordem total? Justifique. 11.Seja{ } , , , , , 12 3 4 5 6 A =e: f A
A a funo definida por ( )1 se 61 se 6 x xf xx+ = = a)Determinar() (
) () () ( ), , 3 6 3e2 f f fof f f . b)Mostrar quef injectiva.
Lgica e Teoria de Conjuntos 5412.Mostrarqueafuno: f R Rdadapor( )3f
x x = injectivaesobrejectiva enquantoqueafuno: g R R dadapor( )21 g
x x = noinjectivanem sobrejectiva.
13.SendoNoconjuntodosnmerosnaturaise: f N Nafunodefinidapor ( ) 2 5
f n n = + ,mostrequef
injectivaedeterminarafunoinversa.Serfsobrejectiva? E a funo inversa
ser sobrejectiva? 14.Seja{ } { } { } , , , Y , , , , , , e12 3 4
pqr a b cd = = =e sejam: Y g definida pelo conjunto
dosparesordenados( ) ( ) ( ) { }, , , , , : Y epa q b rc f
definidapeloconjuntodepares ordenados( ) ( ) ( ) ( ) { }, , , , , ,
, 1 1 2 3 a b c d . Escreva a funo compostafogsob a forma de um
conjunto de pares ordenados. 15.Se( ) ( ) e ef x ax b g x cx d fog
gof = + = + = ,determineumaequaoquerelacionea constantes, , , a b
cd . Nmeros Naturais e Induo Matemtica 55 2Nmeros Naturais e Induo
Matemtica 2.1Axiomtica dos Nmeros Naturais 2.1.1Os axiomas de
Dedekind-Peano
AconstruoaxiomticadeDedekind-Peanodoconjuntodosnmerosnaturaisparte
de trs termos primitivos zero, nmero natural e sucessor e de cinco
axiomas que os relacionam: N1 O zero um nmero natural e
representa-se por 0. N2Cadanmero naturalntemum
eumssucessor,representadoporsuc ( ) n ,que tambm um nmero natural.
N3 O zero no sucessor de nenhum nmero natural. N4 Se, mnso dois
nmeros naturais tais que suc ( ) m =suc ( ) nentom n = . N5 SejaAum
conjunto de nmeros naturais. SeAfor tal que(1)0Ae (2)( ) suc n n n
A A Nmeros Naturais e Induo Matemtica 56entoA
oconjuntoconstitudoportodososnmerosnaturaisquedenotado porN.
Exemplo NN1
Mostrar,apartirdaaxiomticadeDedekind-Peano,quetodoonmeronatural
diferente do zero sucessor de um nmero natural. Sendo( ){ }: 0 suc
n n mm n m = = = N N Aento 1.0A(pela definio do conjuntoA )
2.Suponha-seque, 0 n n A .Ento( ) suc n m = paraalgummN .
Consequentemente,( ) ( ) ( )suc suc suc n m = ecomo,porN2,( ) sucm
N ento ( ) sucn A . Dos dois argumentos precedentes,tendo em conta
N5, vem= N Aficandoprovada a afirmao. 2.1.2Aritmtica dos nmeros
naturais Aaritmticadosnmerosnaturaisbaseia-seemduasoperaes:aadioea
multiplicao. A adio de nmeros naturais uma operao interna, denotada
pelo smbolo +, que definida recursivamente por A1[ ] 0 n n n n + =
N , A2( ) ( ) , , suc suc mn mn n m n m + = + N Podendo mostrar-se
que existe uma e s uma operao interna, definida sobreN que satisfaa
A1 e A2. Teorema A adio emN associativa. Nmeros Naturais e Induo
Matemtica 57Teorema A adio emN comutativa.
Amultiplicaodenmerosnaturaisumaoperaointernadenotadapelosmbolo que
se define recursivamente por M1[ ] 0 0 n n n = NM2( ) , , suc mn mn
n m nm n = + N sendo, tambm neste caso, possvel provar que existe
uma e uma s operao interna definida sobre 0Nque satisfaa M1 e M2.
Teorema AmultiplicaoemNdistributivadireitarelativamenteadio,isto, (
) mn p mn mp + = + , quaisquer que sejam, , mn p N. Teorema A
multiplicao emN associativa. Teorema
AmultiplicaoemNdistributivaesquerdarelativamenteadio,isto, ( ) m n
p mp np + = + , quaisquer que sejam, , mn p N. Teorema A
multiplicao emN comutativa. 2.1.3O conjunto ordenado( ) , N Seja
emN a relaodefinida por Nmeros Naturais e Induo Matemtica 58( ) [
]{ }, :2mn p p m p n = + = N N R . Teorema uma relao de ordem total
(em sentido lato) emN. Dadosdoiselementos, mnN quaisquer,sempreque(
) , mn Rusualescrever ( ) oum n n m . Se para, mnN , se tiverm n m
n ento escreve-se( ) oum n n m < > . O par ordenado( ) ,
Ndesigna-se por conjunto ordenado dos nmeros naturais. 2.2Induo
Matemtica O princpio de induo matemtica, decorrente do axioma N5,
pode ser generalizado da seguinte forma: se Z Afor um conjunto bem
ordenado, tal que 1.p A ep o menor elemento deA , 2. [ ] 1 n n p n
n + Z A A ento, { } : A n n p = Z .
Oprincpiodeinduomatemticausualumcasoparticulardesteenunciadono
qual0 p = .
EsteprincpiousadofrequentementeemMatemticaparaprovarproposiesda
forma( )rn n p n N ,onde{ } :rn n r = N Z e( ) p n umafrmulacomuma
varivel livre cujo domnio rN . Considere-se, por exemplo, a
seguinte proposio ( )111 2 32n nn n n + + + + + = N Nmeros Naturais
e Induo Matemtica 59 cuja prova se pode fazer apelando ao princpio
de induo matemtica generalizado. Seja( ) p na frmula ( ) 11 2 32n
nn++ + + + = e N Ao conjunto de verdade de( ) p n . Fazendo1 n =
imediatoprovarque( ) 1 p umaproposioverdadeirae,portanto, 1A
.Suponha-seagoraquenA ,ouseja,queparaumdadointeiro1 n > ,fixado
arbitrariamente, se verifica a proposio( ) p n- hiptese de induo.
Vejamos o que se passa com( ) 1 p n + . Ora ( ) ( ) ( )( )( )( )( )
( )1 2 3 1 1 2 3 11 1211 121 2
2n n n nn nnn nn n+ + + + + + = + + + + + ++= + + = + + + += e,
portanto, da validade da proposio( ) p nresulta a validade da
proposio( ) 1 p n + . IstosignificaquesenA ento1 n + A
.Peloprincpiodeinduopodeconcluir-se que 1= N Ao que significa que(
) p nse verifica para todo o, , 1 2 n = . Exemplo NN2 Sendo0 x um
nmero real pretende-se mostrar que ( )11 1nnn n x x + + N . Por
questes de comodidade denote-se por( ) p na frmula( ) 1 1nnx x + +e
aplique-se a( ) p no mtodo de induo. Nmeros Naturais e Induo
Matemtica 60Para1 n =obtm-se 1 1 o que mostra que( ) 1 p uma
proposio verdadeira.Suponha-se,hiptesedeinduo,quepara1 n >
,arbitrariamentefixado,( ) p n se verifica e considere-se ento( ) 1
p n + : ( ) ( ) ( )( )( ).1111 1 1 1 1 1 1n nn n nnx x xx x x x
xx++++ = + + + + = + + + + Ento da validade de( ) p nresulta a
validade de( ) 1 p n +e, portanto, pelo princpio de induo matemtica
pode afirmar-se que( ) p nse verifica qualquer que seja, , 1 2 n =
. 2.2.1Formas equivalentes do princpio de induo finita
Aversodoprincpiodeinduotalcomofoiestabelecidonaaxiomticade
Dedekind-Peano,muitasvezes,designadaporformafracadoprincpiodeinduo,
poroposioaumaoutraformulaoquelheequivalenteequeconhecidapor
formafortedoprincpiodeinduoou,maissimplesmente,porinduocompleta.A
induo completa tem a seguinte formulao SendoAum conjunto de nmeros
naturais tal que 1.0A2.{ } , , , 0 1 1 n n n n + N A Aento= N A .
Para provar que as duas formulaes so equivalentes necessrio fazer
apelo a uma
propriedadeimportantedoconjuntoNqueconhecidaporprincpiodeboa
ordenao. SejaAum subconjunto qualquer do conjunto ordenadoN. Um
elementoa Adir-se- primeiro elemento deAse e s se verificar a
condio [ ] x x a x A Nmeros Naturais e Induo Matemtica 61 Podendo
verificar-se que quando um tal elemento existe ele nico. Teorema
TodoosubconjuntonovaziodeNpossuiprimeiroelemento. Demonstrao SejaA
Nno vazio e suponha-se, por reduo ao absurdo queAno possui primeiro
elemento. Designando porAo complementar deAemN, considere-se o
conjunto { }:mn m n m A NN . Como 0 no poder pertencer aA (de
contrrio seria certamente o primeiro elemento deA ) ento0 A e,
portanto,0 . Suponha-se agora quek . Da definio de , resulta ento
que os nmeros, , , 12 k pertencem todos aA . Quanto a1 k +no pode
pertencer aApois de contrrio seria o seu primeiro elemento o que
contra a hiptese feita; ento( ) 1 k A + e, portanto,( ) 1 k + .
Visto que a)0, e b)[ ] 1kk k + , ento, pelo axioma N5, segue-se que
= N . Em consequncia vemA = Ne, portanto, A = o que contradiz a
hiptese considerada. Logo,Apossui primeiro elemento.
costumetraduziroresultadodesteteoremadizendoqueNumconjuntobem-ordenado.
Teorema EmNverifica-seoprincpiodeinduocompleta,ouseja,sendoA
umconjuntode nmeros naturais tal que: Nmeros Naturais e Induo
Matemtica 62 1.0 A , 2.{ } , , , 0 1 1nn n A n A + N entoA = N.
Demonstrao SejaA ocomplementardeA .SeA =
entooteoremaesttrivialmente demonstrado e, portanto, suponha-se
queA . Pelo princpio de boa ordenao,Apossui um primeiro elemento
que se designar pork . claro que0 k visto que0 A
porhiptese;poroutrolado,, , , , 0 12 1 k tmquepertenceraA
poisdecontrrio algumdelesseriaoprimeiroelementodeA enok
comosesups.Ento,pela segundacondiodoteorema,ter-se-tambmk A
oquecontradizahiptesede serk oprimeiroelementodocomplementardeA
.Assim,ter-se-necessariamente A e, portanto,A = N. Para completar o
ciclo de implicaes que nos permite concluir a equivalncia dos dois
princpios de induo e do princpio da boa ordenao deN, mostrar-se-
agora que o princpio de induo completa implica a induo fraca.
Teorema Suponha-sequeseverificaemNoprincpiodeinduocompletaesejaA um
conjunto de nmeros naturais tal que: 1.0 A 2. [ ] 1nn n A n A + N
entoA = N. Demonstrao Suponha-se que se verificam as duas condies
acima. Visto que a proposio Nmeros Naturais e Induo Matemtica 63 {
} , , , 0 1nn A n A N evidentemente verdadeira, ento tem-se que{ }
[ ] , , , 0 1 1nn A n A n A + NDonde resulta imediatamente, { } , ,
, 0 1 1nn A n A + N . Peloprincpiodeinduocompletater-se-entoA =
N,ficandodemonstradoo teorema. Suponha-seque( ) p n
umaafirmaosobreonmeronaturaln equer um nmero natural fixado. Ento a
demonstrao por induo de que( ) p nse verifica para todo on r requer
os dois seguintes passos: 1.Verificar que( ) p r uma proposio
verdadeira. 2.Verificarquesek r ese( ) ( ) ( ) ( ) , , , , 1 2 p r
p r p r p k + + soproposies verdadeiras, ento( ) 1 p k +tambm
verdadeira. Exemplo NN3 Mostrar, por induo completa, que qualquer
nmero natural maior do que 1 se pode decompor num produto de dois
factores primos. Seja( ) p na afirmao de que quandon um nmero
natural maior do que 1 se pode
decompornumprodutodefactoresprimos.Oobjectivoagoradodeprovarque ( )
p n um proposio verdadeira qualquer que seja1 n > . 1.() 2 p,
evidentemente, uma proposio verdadeira pois 2 (sendo primo) pode
ser factorizado num produto de factores primos (neste caso com um s
factor). Nmeros Naturais e Induo Matemtica 642.Suponha-seagoraque()
() ( ) , , , 2 3 p p p k soproposiestodasverdadeiras.
Pretende-seentomostrarquedaveracidadedestasproposiesresultaa
veracidade de( ) 1 p k + . Se1 k +for um nmero primo a afirmao
trivialmente verdadeira. Se1 k +no for primo ento um nmero composto
sendo, portanto, possvel encontrar dois inteiros
positivosmentaisque1 k mn + = onde tantomcomon somenoresdoquek .
Pelahiptesedeinduocompleta,tantomcomon sepodemdecompornum produto
de factores primos e, portanto, o mesmo acontece a1 k + . Logo( ) 1
p k + uma proposio verdadeira, como se pretendia mostrar. Exemplo
NN4 Para mostrar que as trs formulaes alternativas da induo
matemtica princpio da induo finita, princpio da boa ordenao e
princpio da induo completa podem ser usadas para resolver o mesmo
tipo de problemas exemplificar-se- a demonstrao da proposio ( )11 2
1 2nn n nn + + + = + N usando o princpio da boa ordenao.
Represente-se por( ) p na frmula( )11 2 12n nn + + + = + . Seja( )
{ }:1A n p n = N .SeA = entoaproposioficaautomaticamente
demonstrada.Suponha-se ento queA .Peloprincpioda boaordenao,Atem
umprimeiroelemento,k .Vistoque( ) 1 p evidentementeverdadeira,ento1
A e, portanto,1 k ,dondesepodeconcluirque 11 k N
.Como,poroutrolado,1 k A ento( ) 1 p k verdadeira. Ento, tem-se o
seguinte, Nmeros Naturais e Induo Matemtica 65 ( ) ( )( )( )11 2 1
1211 12112k k k k kk kk k+ + + + = + = + = + Oquemostraque( ) pk
umaproposioverdadeira.Masistocontraditriocomo facto dekser o
primeiro elemento deA . A contradio resultou de se supor queAera no
vazio o que, portanto, falso. Ou seja,( ) p nverifica-se para todo
o 1nN . Exemplo NN5 Mostrar, usando o princpio da boa ordenao, que2
um nmero irracional. Suponha-se, pelo contrrio, que2 racional; isto
, existem nmeros,1rs Ntais que 2 r s = . Ento, { }:1para algum 2A x
x n n = = N N ser um conjunto no vazio de nmeros naturais (em
particular, conter, por hiptese, o nmeror
).PeloprincpiodaboaordenaooconjuntoA possuirumprimeiro
elemento:suponha-sequek esseelemento.SejamN talque2 k m = .Ento (
)2 1 m k m = um nmero natural menor quem (visto que0 2 1 1 <
< ) e, portanto, ( )2 1 2 q m = menor quek . Mas2 q m k = o que
significa queq N , por um lado, e, por outro lado,q A . Esta
concluso contraditria visto que se encontra emAum elemento menor do
quek . EntoAdever ser vazio e, portanto,2no um nmero racional.
Exerccios - Induo 1.Utilizando o princpio de induo prove que:
Nmeros Naturais e Induo Matemtica 66a)( ) ( ), 4 10 16 6 2 3 1 n n
n n + + + + = + N~ b) ( )( ),2 2 2 21 2 11 2 36nn nn n+ ++ + + + =
N c)( )( ) ( ),112 2 2 21 11 2 3 12nnnnn n++ + + + = Nd)( )( ) ( ).
. . . ,1 2 71 3 2 4 3 5 26nn nn n n+ ++ + + + + = Ne)( )( )( ). . .
,1 21 2 2 3 3 4 13nn nnn n+ ++ + + + + = N 2.Prove as seguintes
proposies: a) ( )23 3 311 22nnnn n + + + + = N b) 11 13 3nnn n + +
N 3.Prove que: a), 2 1 2 3nn n + b)( ) , 1 1 com etal que1nx nx n x
x + + N Rc),21 com2 n n n > + d). . . . , 1 2 3 2 4nn n >
e),1 1 1 121 2 3n nn+ + + + > 4.Utilizando o princpio de induo
prove que: a) 5 n n divisvel por 5n N b)Sen um nmero mpar ento7 1n+
divisvel por 8. Nmeros Naturais e Induo Matemtica 673Determinantes
Aqualquermatrizquadradaestassociadoumelementode,chamado
determinante, usualmente representado por ( ) det ou A A .
Esteelementosurgeatravsdoestudoeinvestigaodesistemasdeequaes
lineares. Antes de definir determinante, necessitamos da noo de
permutao. 6.1Permutaes DefinioUma aplicao biunvoca do conjunto{ } ,
, , 12nS n = sobre si mesma chamada uma permutao. Denotamos a
permutao por ( )1 21 21 2ouonde n innj j j j ij j j = = = Exemplo
D1 Em 3Sexistem 3!=6 permutaes em: 123; 132; 213; 231; 312; 321.
Definio
Consideremosumapermutaopar(ouimpar)casoexistaumnmeropar(ouimpar) de
pares( ) , ikpara os quaisi k > , masiantecedekem . Exemplo D2
Consideremosapermutao=35142em 5S .3e5antecedemesomaioresque1;
portanto (3, 1) e (5, 1) satisfazem a condio anterior, tal como (3,
2), (5, 2) , (4, 2), (5, 4). Existem portanto exactamente 6 pares,
logo uma permutao par. Nmeros Naturais e Induo Matemtica 68
DefinioDefinimos o sinal ou paridade de , denota-se por sgn , por
sgn = 1se par-1 se mpar Exemplo D3 No exemplo anterior, dado que a
permutao par, ento o sgn =1. 6.2Determinantes. Definio e
Propriedades 6.2.1Definio Seja ( )ijA a =uma matriz quadrada de
ordemnsobre um corpo . 11 12 121 22 21 2nnn n nna a aa a aAa a a =
. .. Consideremos um produto denelementos deAtal que um e somente
um, elemento provm de cada linha e um, e somente um , elemento
provm de cada coluna. Tal produto pode ser escrito na forma .....
.1 21 2nj j nja a aIsto , onde os factores provem de linhas
sucessivas; logo os primeiros ndices esto na ordemnatural1,2,...,n
.Agora,comoosfactoresprovemdecolunasdiferentes,a
sequnciadossegundosndicesformaumapermutao 1 2 nj j j = em nS .
Reciprocamentecadapermutaoem nS ,determinaumprodutodaformaacima.
Assim, podemos formar! ndesses produtos, a partir da matrizA .
Definio Odeterminantedeumamatrizquadradadeordemn , ( )ijA a =
,denotadopor ( ) det ou A A
,aseguintesomaefectuadasobretodasaspermutaes 1 2 nj j j = em nS :
Nmeros Naturais e Induo Matemtica 69 ( ) ... .1 21 2sgnnj j njA a a
a = Isto ( ) ( ) ( )( ) ... .1 1 2 2sgnnn nSA a a a =
Diz-sequeodeterminantedamatrizquadradadeordemn ,deordemn e
frequentemente representado por 11 12 121 22 21 2nnn n nna a aa a
aAa a a=. .. 6.2.2Determinantes de 2 ordem Em 2S , a permutao 12
par a permutao 21 mpar. Portanto . .11 1211 22 12 2121 22a aA a a a
aa a= = Assim, ( ) ( )( )4 54 2 5 1 131 2= = 6.2.3Determinantes de
3 ordem Em 3S
,aspermutaes123,231e312sopareseaspermutaes321,213e132so mpares.
Portanto, Nmeros Naturais e Induo Matemtica 7011 12 1321 22 23 11
22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 3231 32 33a a aa a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a= + + Podemos escrever a
expresso anterior da seguinte forma: Que o mesmo que (I) 22 23 21
23 21 2211 12 1332 33 31 33 31 32a a a a a aa a aa a a a a a + .
Podemos recorrer a matrizes de ordem inferior para calcular o
determinante. Para alm disso esta frmula facilmente memorizada
visto que se obtm suprimindo matrizAa primeira linha e
respectivamente, as primeiras, segundas e terceiras colunas.
Odeterminantedeordem2queseobtmsuprimindoaprimeiralinhaeaj -sima
coluna deve ser multiplicado pelo elemento que ocupa a entrada( ) ,
1 j(i.e. o elemento 1ja
);osprodutosobtidosdevemserconsideradoscomsinaisalternadose,finalmente
adicionados. Regra de Sarrus
Estaregrad-nosummodoparadeterminarasparcelaseosrespectivossinais.S
vlida para determinantes de ordem 3.
Estaregradiz-nosqueasparcelaspositivassooprodutodoselementosdadiagonal
principal,etambm,osprodutosdoselementossituadosnosvrticesdetringulosde
basesparalelasaessadiagonal;poroutrolado,asparcelasnegativassooproduto
doselementosdaoutradiagonal,etambm,osprodutosdoselementossituadosnos
vrticesde tringulosdebasesparalelasaessa
diagonal.Estaregrapodeserilustrada pelos diagramas seguintes: ( ) (
) ( )11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31a a a a a a a a a
a a a a a a + Nmeros Naturais e Induo Matemtica 71 Parcelas com
sinal + Parcelas com sinal Exemplo D4 Considere-se( )31 0 32 1 50 2
1A M = R . Ento pela regra de Sarrus, temos A
=1(1)1+2(2)3+0500(1)3(2)51201=3 6.2.4Outra definio de Determinante
Aformula(I)sugere-nosaideiadedefinirmosindutivamenteoconceitode
determinantedeumamatrizquadradasobreumcorpo.Paraefeito,comeamos
porintroduziranotaoseguinte.Seja( )ij nA a M = .Denotaremospor (
)Ai j a matriz que se obtm deAsuprimindo ai -sima linha e aj -sima
coluna. DefinioDefine-se o determinante de uma matriz ijA a = de
ordem1 n + , como: ( ) | ( | ) | | ( | ) | | ( | ) | ( ) | ( | )
|11 21 11 12 1 111 1 1 1 1 2 1 1 1nj nj njA a A j a A a A a A n++
++== = + + +
Nmeros Naturais e Induo Matemtica 72( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) (
)( ) ....( )...( ) .... ...| |1 1 2 21 1 2 2sgnsgn nini j n nSi j n
nSB a a ka ak a a a ak A === 6.2.5Propriedades de Determinantes
Teorema D1O determinante de uma matrizAe da sua transposta TAso
iguais: TA A = . Demonstrao Suponhamos que ( )ijA a = . Ento (
)TijA b = , ondeij jib a = . Portanto, ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
...( ) ...1 1 2 211 2 2sgn sgnnnTn nSnnSA b b ba a a ==
Seja = 1, que a permutao que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ...11 2
2 1 1 2 2 nn n na a a a a a = , nS . =( ) ( ) ( )( ) ...1 1 2
2sgnnn nSa a a = |A| Teorema D2 SejaBa matriz obtida da matrizApor:
1)Multiplicao de uma linha (coluna ) por um escalark ; entoB kA = .
2)Troca entre si de duas linhas (respectivamente, colunas) deA ;
entoB A = . Demonstrao 1)Seai -simalinhamultiplicadapork
,entocadatermoemA multiplicado pork ; ento Nmeros Naturais e Induo
Matemtica 73ou seja,B kA = . 2)Vamos provar o teorema para o caso
em que duas colunas so trocadas. Seja a
transposioquetrocaentresidoisnmeroscorrespondentessduascolunasde A
, que so trocadas entre si. Se ( ) ( )e ij ijA a B b = = , ento (
)ij i jb a= . Portanto, para qualquer permutao . Assim ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ... ( ) ...1 1 1 1 2 2sgn sgnn nn n n nS SB b b a a a =
= Como impar, sgn = sgn . sgn , assim sgn = sgn , ento ( ) ( ) ( )(
) ...1 1 2 2sgnnn nSB a a a = Dadoque,percorretodososelementosde nS
,entotambmpercorretodosos elementos de nS , portantoB A = . Teorema
D3SejaAuma matriz quadrada. 1)SeAtem uma linha (coluna ) de zeros
ento0 A = . 2)SeAtem duas linhas (colunas) idnticas, ento0 A = .
3)SeA triangular superior ou triangular inferior, entoA = produto
dos elementos da diagonal principal. Assim em particularI =1, ondeI
a matriz identidade. Demonstrao 1)Cada parcela emAcontm um factor
de cada linha; ento contm um elemento da linha de zeros. Assim,
cada parcela deA zero, logo0 A = . Nmeros Naturais e Induo
Matemtica 742)SetrocarmosentresiduaslinhasidnticasdeA
,aindaobtemosamatrizA .Logo, pelo teorema D2,A A = , ento0 A = .
3)Suponhamosque ( )ijA a =
triangularinferior,isto,oselementosacimada
diagonalprincipalsozeros,ouseja0ija = ,semprequei j <
.Consideremosum termotdo determinante deA : ( ) ... , ...1 21 2 1
2sgn ondeni i ni nt a a a i i i = = . Suponhamos 11 i .Ento, 11 i
< logo, 110ii = ;portanto,0 t = .Isto,cadatermoparao qual 11 i
zero. Agora,suponhamos 11 i = ,mas 22 i .Ento, 22 i < ;logo
220ia = ;portanto0 t = .Assim, cada termo para o qual 11 i ou 22 i
zero. Analogamente, obtemos cada termo para o qual 11 i ou 22
iou.... ou ni n zero. De acordo com isso, 11 22 nnA a a a = . Ou
seja o produto dos elementos da diagonal.
Teorema D4 SejaB amatrizobtidadamatrizA porsubstituio
deumalinha(coluna)deA pela soma dessa linha (coluna) multiplicada
por um escalar; entoB A = . Demonstrao Suponhamosquec vezesak
-simalinhasomadaj -simalinhadeA .Usandoo smbolopara denotar aj
-sima posio num termo do determinante, temos: ( )( )( ) ( )1 21 2 1
21 21 2 1 2sgnsgn sgnk j nnk n j nn ni i ki ji niSi i ki ni i i ji
niS SB a a ca a ac a a a a a a a a = += + Nmeros Naturais e Induo
Matemtica 75 A primeira soma o determinante de uma matriz, cujask
-simas ej -simas linhas so
idnticas;entopeloteoremaD3,asomazero.Asegundasomaodeterminante deA
. Assim, .0 B c A A = + = Corolrio D5SejaAqualquer matriz quadradan
n . Ento so equivalentes as seguintes afirmaes: 1)A invertvel 2)( )
c A n =3)0 A Teorema D6OdeterminantedeumprodutodeduasmatrizesA eB
igualaoprodutoseus determinantes:. AB A B = . Corolrio D7Seja ( ) (
)ij nA a M = R . Ento,nA A = R . Corolrio D8SeA invertvel ento
11AA= . Nmeros Naturais e Induo Matemtica 76 6.2.6Regra de Laplace
Teorema D9(Regra de Laplace)Seja ( ) ( )ij nA a M = . Ento I.( ) |
( | ) |11ni jijjA a A i j+== (desenvolvimento segundo ai -sima
linha) II.( ) | ( | ) |11ni jijiA a A i j+== (desenvolvimento
segundo aj -sima coluna) Demonstrao1)Trocandosucessivamenteaslinhas
1 2 1 i il l l l (numtotalde1 i permutaes) obtemos a matriz 1 211
12 111 12 111 12 11 2i i inni i i i ni i i nn n nna a aa a aA a a
aa a aa a a + + + =
. . .
. . .
Pelo teorema D2(2), temos que( )11iiA A= . Assim, obtemos ( ) (
) ( ) | ( | ) | ( ) | ( | ) |11 11 11 1 1 1 1n nii j i ji ij i ijj
jA A a A j a A i j + += == = = Uma vez que ( ) ( )1iA j Ai j =isto
estabelece a igualdade 1). Para 2), consideramos a matriz TA . Por
i), temos Nmeros Naturais e Induo Matemtica 77 ( ) | ( | ) | ( ) |
( | ) |1 11 1n nT i j i jij ijj jA b B i j a Aj i+ += == = , uma
vez que ( ) ( )e Tij jib a A i j A j = = . Dado que TA A = , ento (
) | ( | ) |11ni jijiA a A i j+== . Exemplo D5
Nesteexemplo,aplicamosaregradeLaplaceparaoclculodoseguinte
determinante: ( ) ( ).2 3 1 12 0 1 0 02 0 0 04 3 1 0 0 3 0 01 4 3
11 3 3 1 2 2 1 5 1 4 0 3 11 2 1 53 3 3 1 2 1 1 52 3 3 32 3 5 3 34 3
16 3 2 1 5 18(4+2+15+1-20+6)= -1441 1 1+ += = = =
6.3Matriz Adjunta Definies ( )Ai jchamamos o( ) , i j - simo
menor deA ( ) ( )1i jAi j+chamamos o( ) , i j - simo cofactor deA .
Denota-se por ijA . Nmeros Naturais e Induo Matemtica 78 Nesta
notao, a regra de Laplace toma a forma : 1 2 1 21 2 1 2i i in j j
nji i in j j njA a A a A a A a A a A a A = + + + = + + + Observemos
os sinais( ) 1i j + , que acompanham os menores, so alternadamente
+ e que se dispem na forma que se segue, com os + na diagonal
principal . . . .
+ + + ++ + + + Definio Chamamos matriz adjunta deA , denota-se
por* A seguinte matriz *11 11Tnn nnA AAA A=
. .
Esta matriz d- nos a seguinte relao entre a matriz inversa e a
prpria matriz: *nAA A I = Teorema D10Seja( )nA M . EntoA invertvel
sse0 A . Se este o caso, temos *11A AA = . Este resultado muito til
principalmente para matrizes dois por dois. Nmeros Naturais e Induo
Matemtica 79 Exemplo D6 Vamos calcular a inversa da seguinte matriz
. 3 45 1A = . 3 20 17 A = = ; ; ;11 12 21 221 5 4 3 A A A A = = = =
Ento*1 54 3TA = , e a inversa ento 11 4 15 3 17A = . 6.4Sistema de
Cramer A teoria dos determinantes pode ser aplicada resoluo de um
certo tipo de sistemas de equaes lineares.Comefeito,sejaS
umsistemadeequaeslinearesrepresentadomatricialmentepor Ax B =
,onde( )nA M e( )1 nB M ( S temomesmonmerodeincgnitasede
equaes).Se0 A ,ento( ) c A n = e,portanto,S
possveledeterminado,isto
temsoluonica.Umsistemanestascondiesdiz-seumSISTEMADECRAMER.O
resultadoseguintediz-nosqueanicasoluodeS podeserexpressaemtermosde
determinantes. De facto, temos: Teorema D11SejaS
umsistemadeCramerrepresentadomatricialmenteporAx B = ,onde ( ) ( )
( ) ( )1e ij n ij nA a M B b M = = .Seja(1,2,...,n)nanicasoluodeS .
Ento | |11 1 1 1 1 1 121 2 1 2 2 2 21 1j j nj j nn nj n nj n nnja a
b a aa a b a aa a b a aA + + += . . . . . . Nmeros Naturais e Induo
Matemtica 80 Demonstrao Como (1, 2, ... , n) n soluo deS , temos .1
12 2n nbbAb = . . AgoracomoA
invertvel,podemosmultiplicaraigualdadeacima,esquerdae direita, pela
matriz 1A, obtendo - -* .| |1 1 1 12 2 2 2 1 11n n n nb bb bA A A
AM M M M Ab b = = = Assim temos (( ) | ( | ) | ( ) | ( | ) | ) ( )
| ( | ) | ),| |1 21 211 1 1 2 1j j n jj nA j b A j b A n j bA+ + +=
+ + + umavez que * ( ) | ( | ) | 1i jijA A A i j+ = = .
OrapelaregradeLaplace(desenvolvendoodeterminanteemrelaoj -sima
coluna) ( ) | ( | ) | ( ) | ( | ) | ) ( ) | ( | ) |11 1 1 1 1 1 121
2 1 2 2 2 21 21 21 11 1 1 2 1j j nj j nj j n jnn nj n nj n nna a b
a aa a b a aA j b A j b A n j ba a b a a + ++ + + += + + + .
. . . . . Logo os j tm a forma desejada. Nmeros Naturais e Induo
Matemtica 81 Exemplo D7 SejaSo sistema de trs equaes lineares a trs
incgnitassobre 2 3 12 23x y zx y zy z+ = + + = + = Matricialmente,S
representado pelo sistema Ax B = , onde ( )32 3 11 1 20 1 1A M =
Re( )3 1123B M = R . ComoA =2+1+00+43= 4 0,S sistema de Cramer e a
sua nica soluo (1, 2, 3) 3 dada por | |11 3 12 1 23 1 1A = ,| |22 1
11 2 20 3 1A= ,| |32 3 11 1 20 1 3A = Logo, 1=1 2 18 3 2 6 114 2+ +
= , 2 =2941 12 0 0 3 4= + + +, 3= 2349 4 0 0 1 6=+ + + . Exerccios
Determinantes 1.Calcule os determinantes das seguintes matrizes:
Nmeros Naturais e Induo Matemtica 82a) u vw x ,b) 10001 2 102 4
1003 6 , c)0 7 65 8 51 1 0 , d)3 1 0 01 3 1 00 1 3 10 0 1 3 e) 1 3
2 10 1 1 02 3 1 21 0 1 3 f) 0 1 3 11 0 2 11 1 2 18 0 3 1 2.Supondo
que2 1 0 11 2 1a b c= , calcule os determinantes seguintes: , ,1 12
21 1 13 3 1 2 2 2 1 22 1 01 1 2 1 2 1 2 2 2 1a b c a b ca b ca b c
a b c + + 3.Utilizando as propriedades dos determinantes mostre que
: 4.Resolva as seguintes equaes em : ( )322 22a b c a bc a b c b a
b cc a a b c+ ++ + = + ++ + Nmeros Naturais e Induo Matemtica 83
5.Seja( )nA M R . Prove que : a)SeA ortogonal entoA = 1 . b)SeA
anti-simtrica , i.e TA A = en mpar ento0 A = . c)Se( )nB M R
semelhante aAi.e. existe ( )nP M Rtal que 1B P AP= , ento B A = .
6.Considere a matriz( )32 2 10 3 01 1 1A M = R . a)CalculeA
.Osvectores( ) ( ) ( ) , , , , , , , ,1 2 32 0 1 2 3 1 10 1 v v v =
= = constituemuma base de 3? b)Determine a matriz adjunta deA ,
i.e.* A . c)Determine 1A.
7.ProvequeosseguintessistemasdecoeficientesreaissosistemasdeCramere
determine , usando a regra de Cramer, as suas ( nicas ) solues. 2
12 3 122 3 5 2 e2 3 33 03 2 4x z tx y zx y zx y zy z tx y zx y t+ =
+ = + + = + = = + = + = 8.SejaSum sistema no homogneo com1 n
+equaes lineares enincgnitas e seja' Aa sua matriz ampliada.
a)Prove que seS possvel ento' 0 A = . b)Diga, justificando, se o
recproco da alnea a) verdadeiro ., ,1 2 13 1 10 1 1 3 15 3 1 0 0 01
2 1 16 6 40 0 0 1a a a a a aaa a a aaa a a a a aaa a a a a++ + = =
=+ ++ Nmeros Naturais e Induo Matemtica 84
