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Tema 1: Teoría de Conjuntos. Logica proposicional y Algebras de Boole.
• Objetivo específico: Operar con conjuntos y aplicar sus propiedades para resolver problemas reales.
1.1 Teoria de conjuntos
Piensa
Elabora una lista de amigos, y asigna las personas a los conjuntos cuando cumplen con el requisito dado.
A={personas que me hacen reír}
B={personas que siempre han estado dispuestas a ayudar}
C={personas con las que me gustaría salir}
• A una reunión asisten 50 personas, de las cuales 30 cantan, 20 bailan y 10 no cantan ni bailan. ¿Cuántas personas cantan y bailan?
• ¿Y si las que bailan son 25?
• ¿Cuántos enteros positivos menores que 60, no son divisibles entre 2, ni entre 3, ni entre 5?
Ejemplos Motivadores
• En una encuesta realizada a un grupo de 100 estudiantes del Instituto de idiomas se obtuvo el siguiente resultado:
28 estudian español, 30 estudian alemán, 42 estudian francés, 8 español y alemán, 10 estudian español y francés, 5 alemán y francés, 3 estudian los tres idiomas.
¿Cuántos estudiantes tienen el francés como único idioma de estudio?
Ejemplos
Teoría de Conjuntos
• Definición, elementos. • Cardinal de un conjunto, conjunto finito, conjunto
vacio. • Subconjunto. • Igualdad de conjuntos. • Operaciones con conjuntos:
• Unión • Intersección • Complementación • Diferencia
Contenidos
Teoría de Conjuntos
• Por extensión
Cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos
• Por comprensión
Cuando se da una propiedad que la cumplan todos los elementos del conjunto y sólo ellos.
Definición de conjunto: Es una colección de objetos bien definida de cualquier clase.
Teoría de Conjuntos
• Por extensión
A={7}
B={2, -2}
C={c,o,r,e,t}
• Por comprensión
A={x/x-5=2}
B={x/x2 =4}
C={x/x es letra de la palabra “correcto”}
Ejemplos: Definir por extensión los siguientes conjuntos.
2 no pertenece A r pertenece a C m no pertenece C
Teoría de Conjuntos
• Por extensión
D={a, b, c, d, e}
E={2, 4, 6, 8, 10,…}
F={1, 3, 5, 7, 9}
• Por comprensión
D={x/x es una de las 5 primeras letras del alfabeto}
E={x/x es múltiplo de 2}
F={x/x es un número entero positivo, impar menor que 10}
Ejemplos: Definir por comprensión los siguientes conjuntos.
Teoría de Conjuntos
• Ø , conjunto vacio, |Ø| =0
A={7} | A | =1
B={2, -2} | B | =2
C={c,o,r,e,t} | C | =5
E={x/x es múltiplo de 2} | E | = ∞
N={n/n es un número natural} | N | = ∞
Z= {n/n es un número entero} | Z | = ∞
Cardinal de el conjunto A, es el número de sus elementos, y se denota |A|
Teoría de Conjuntos
El conjunto vacio,
Subconjunto,
Igualdad de conjuntos ,
BxAxBA
BxAxBA
/
XX ,
ABBABA ,
ZN
NF
NEE={2, 4, 6, 8, 10,…}
F={1, 3, 5, 7, 9}
Teoría de Conjuntos
Operaciones
Ejemplo
Unión
}:{ BxAxxBA
},,,,,{
},,{,},,,{
iedcbaBA
ieaBdcbaA
Teoría de Conjuntos
Operaciones
Ejemplo
Intersección
}:{ BxAxxBA
}{
},,{,},,,{
aBA
ieaBdcbaA
Teoría de Conjuntos
Operaciones
Ejemplo
Complementación
}:{, Si AxXxxAAXA c
},,,,{
},,,,,,,,{,},,,{
ihgfeA
ihgfedcbaXdcbaA
Teoría de Conjuntos
Operaciones
Ejemplo
Diferencia
}:{ BxAxxBA
},,{
},,{,},,,{
dcbBA
ieaBdcbaA
Teoría de Conjuntos
• Asociativa.
• Conmutativa
• Idempotente
Propiedades
)()(;)()( CBACBACBACBA
ABBAABBA ;
AAAAAA ;
Teoría de Conjuntos
• Elemento Ínfimo
• Elemento universal, U
• Ley de simplificación
• Propiedad distributiva
Propiedades
AUAUUA ;
AAA ;
AABAAABA )(;)(
)()()(;)()()( CABACBACABACBA
Teoría de Conjuntos
Propiedades
Complementario
AAXAA
ABBA
BABA
BABA
AAXX
;
entonces , Si
;;
}:{, Si AxXxxAAXA c
Teoría de Conjuntos
Pero, si los conjuntos A, B y C no son disjuntos
Principio de adición: Si A y B son conjuntos finitos, no
vacíos y disjuntos, (es decir, ) , entonces BA
BABA
B A
CBA
CBCABA
CBACBA
)(
Principio de Inclusión-exclusión
• Conocido también como principio de la criba.
• Establece que si A1, ..., An son conjuntos finitos entonces:
• Cuántos enteros positivos menores que 60, no son divisibles entre 2, ni entre 3, ni entre 5?
Ejemplos
A={divisibles entre 2} B={divisibles entre 3} C={divisibles entre 5}
Problema
De un total de 130 estudiantes, 60 usan lentes, 51 usan zapatos tenis y 30 usan lentes y tenis.
En este conjunto de 130 estudiantes se encuentran 54 estudiante con camisa blanca, de los cuales 26 usan lentes, 21 tenis y 12 lentes y tenis. Todo estudiante que no tiene lentes ni tenis usa pantalón vaquero.
• (a) ¿Cuántos estudiantes usan pantalón vaquero?
• (b) ¿Cuántos estudiantes que no tienen camisa blanca usan lentes pero no tenis?
• (c) ¿Cuántos estudiantes que no usan camisa blanca no tienen lentes ni tenis?