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LOQ 4083 - Fenômenos de Transporte I
Atenção: Estas notas destinam-se exclusivamente a servir como roteiro de estudo. Figuras e tabelas de outras fontes foram reproduzidas estritamente com fins didáticos.
FT I – 12
Escoamento viscoso interno e
incompressível
Prof. Lucrécio Fábio dos Santos
Departamento de Engenharia Química
LOQ/EEL
2 2
Considerações hidrodinâmicas
Quando analisamos um escoamento externo, basta perguntar se o escoamento é laminar ou turbulento. Entretanto, no escoamento interno devemos também indagar a existência de uma região de entrada e de uma região completamente desenvolvida.
Mas, o que são escoamentos internos?
1. Introdução
São aqueles completamente limitados por superfícies sólidas.
3
Escoamentos internos
Ex: escoamentos em tubos, dutos, bocais, difusores, contrações e expansões súbitas, válvulas e acessórios.
Os escoamentos internos podem ser laminares ou turbulentos.
1. Introdução
4
Escoamento Laminar versus Turbulento
Como visto, o regime de escoamento em um tubo é determinado pelo número de Reynolds.
Laminar
< 2.300
Transição
2.300 < Re < 4.000
Turbulento
> 4.000
Regime de escoamento
5
Escoamento laminar
Alguns casos podem ser resolvidos analiticamente
Escoamento turbulento
As soluções analíticas não são possíveis
Devemos nos apoiar em:
o teorias semiempíricas; e
Experiências vividas e Observação
o em dados experimentais
Função do número de Reynolds
6
Figura 1 – Escoamento na região de entrada de um tubo
Região de entrada
Sabe-se que, quando o fluido entra em contato com a superfície, os efeitos viscosos tornam-se importantes e desenvolve-se uma região chamada de camada limite com o avanço do escoamento na direção x.
Vamos considerar o escoamento laminar, no interior de um tubo liso, circular de raio ro e comprido, conforme Figura 1, no qual o fluido entra com uma velocidade uniforme (U).
Região do escoamento invíscido Região da camada limite
Região completamente desenvolvida
Região de entrada hidrodinâmica
7
O desenvolvimento ocorre à custa do retraimento da região com o escoamento invíscido e termina quando a camada limite se torna única no eixo do tubo.
Após a unificação da camada limite, os efeitos viscosos se estendem sobre toda seção reta e o perfil de velocidade não mais se altera com o
crescimento de x. Diz-se então que o escoamento é completamente desenvolvido.
A distância entre a entrada e o ponto do início desta condição é o comprimento de entrada hidrodinâmica.
Região do escoamento invíscido
Região da camada limite
Região completamente desenvolvida
Região de entrada hidrodinâmica
8
Para escoamento laminar, o comprimento de entrada (L) é uma função do número de Reynolds,
μ
DVρ0,06
D
L
média e velocidada V sendo
UVondeAUVAQentão : A
Q V
138D D23000,06 D0,06R L e
ou aproximadamente 140 vezes o diâmetro do tubo.
Assim, o comprimento de entrada pode ser dado por:
Escoamento laminar em um tubo pode ser esperado apenas para: Re < 2300
9
Experiências mostram que o perfil de velocidades médias torna-se plenamente desenvolvido para distâncias entre 25 e 40 diâmetros de tubo a partir da entrada
No escoamento turbulento, a mistura intensa entre as camadas de fluido causa o crescimento mais rápido da camada limite.
Assim, o comprimento de entrada é muito mais curto no escoamento turbulento e sua dependência do número de Reynolds é mais fraca.
Escoamento turbulento
μ
DVρ4,4
D
L
1/6
( turbulento )
10
L
Elemento fluido no instante t Elemento fluido no instante t + Δt
D
(1) (2)
r x
V = u(r)i
Perfil de velocidade
Movimento de um elemento fluido cilíndrico em um tubo
Fluxo
Elemento cilíndrico de fluido
Uma das formas de obter os resultados do escoamento laminar plenamente desenvolvido é a partir da segunda Lei de Newton (F = ma). Assim sendo, considere o esquema apresentado abaixo:
2. Escoamento laminar plenamente desenvolvido em um tubo
11
L
x
r Fluxo
2rP 2rP P
Lr2rx
( 1 ) L
P
r
2 rx
0 rL2 rP PrP rx
22
Aplicando a segunda lei de Newton (F = max) no elemento fluido cilíndrico, que embora esteja em movimento, não está acelerado (ax = 0), o escoamento plenamente desenvolvido no tubo é resultado do equilíbrio entre as forças de pressão e as viscosas.
Diagrama de corpo livre do elemento fluido cilíndrico
A equação (1) representa o equilíbrio de forças necessárias para mover cada partícula fluida através de um tubo com uma velocidade constante.
12
( 2 )
L
P
2
r
dr
dV
C rL
P
4
1 V 1
2
dr
dV rx 1o lei de Newton da viscosidade
L
P
2
r constante
L
P
r
2 rx
rx
rdr
L
P
2
1 dV
Igualando as duas equações acima, tem-se:
Integrando,
Sabe-se que:
13
p/ r = R, V = 0
1
2 C RL
P
4
1 0
R
L
P
4
1 C 2
1
( 3 )
Substituindo a equação 3 na equação 2, temos:
22 RL
P
4
1 r
L
P
4
1 V
22 r RL
P
4
1 V
R
r 1
L4
PR V
22
( 4 )
Condição de contorno: ( 2 ) C r
L
P
4
1 V 1
2
14
Distribuição da tensão de cisalhamento
Derivando a equação (4), obtém-se tensão de cisalhamento:
L
P
2
r
dr
dV rx
( 5 )
Vazão em volume no tubo circular em função da queda de pressão
R
0A
drrV2 A.dV Q
drr2r RL
ΔP
4
1 Q 22
R
0
Substituindo a expressão da velocidade (equação 4), tem-se:
R
r 1
L4
PR V
22
(4)
15
Resolvendo a integral, tem-se a vazão:
( 7 ) L128
PD Q
4
L8
PR Q
4
( 6 )
A equação 7 é utilizada para escoamento laminar (num tubo horizontal) e é
conhecida Lei de Hagen-Poiseuille, em homenagem Hagen-Poiseuille (1839).
ou
16
Velocidade média ( 8 ) R
Q
A
Q V
2
L8R
PR V
2
4
L8
PR V
2
( 9 )
Substituindo a equação (6) na equação (8), tem-se:
4
D
L128
PD
A
Q V
2
4
L32
PD V
2
( 10 )
E, substituindo a equação (7) na equação (8), tem-se
17
Velocidade máxima
Para determinar o ponto de velocidade máxima, fazemos igual a zero e resolvemos para o valor correspondente de ( r ) na equação (4).
drdV
R
r 1
L4
PR V
22
2
2
R
2r
L4
PR
dr
dV
rL2
P
dr
dV
( 4 )
18
V
22
máxL8
PR2
L4
PR
2
2 V
V2 V máx ( 12 )
Condição de contorno:
p/r = 0, dV/dr = 0,
a velocidade é máxima no centro do tubo, portanto temos:
0 1L4
PR V V
2
máx
L4
PR V
2
máx
( 11 )
19
O perfil de velocidade (equação 4) pode ser escrito em termos da velocidade máxima (na linha de centro), como:
R
r 1V V
2
máx
( 13 )
2
V
2
R
r 1
L4
PR V
máx
A equação (13) representa o perfil parabólico para escoamento inteiramente desenvolvido, em regime laminar, num tubo horizontal.
20
Exemplo 01: Um viscosímetro simples e com boa precisão pode ser feito com um tubo capilar. Se a vazão em volume e a queda de pressão forem medidas, bem como se a geometria do tubo for conhecida, a viscosidade de um fluido newtoniano poderá ser calculada a partir da equação 7. Um teste de certo líquido num viscosímetro capilar forneceu os seguintes dados:
Vazão em volume: 880 mm3/s
Comprimento do tubo: 1 m
Diâmetro do tubo: 0,50 mm
Queda de pressão: 1,0 MPa
Determine a viscosidade do líquido.
21
Considerações: 1- Escoamento laminar. 2- Escoamento permanente. 3- Escoamento incompressível. 4- Escoamento completamente desenvolvido. 5- Tubo horizontal.
m
mm10m1 x
s
mm 880 x 128
mm0,50 x m
N10 x 1,0 x
33
44
2
6
[Pa.s] m
s N 1,74x10
2
3
128QL
PD setem,Isolando
4
L128
PD Q
4
Equação básica (7):
22
Movimento de um elemento fluido cilíndrico em um tubo
Ө
Escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo inclinado
Para fazer o ajuste para um tubo inclinado, basta incluir ao modelo de escoamento laminar para tubo horizontal o efeito gravitacional da força peso (W) na direção x (Wx) .
23
Wx = Mgsen = Vgsen = Vsen = r2Lsen
( 1 )
0 rL2 Lsenθrγ rP PrP rx
222
senθ L
P
r
2 rx γ
W
xW
Elemento cilíndrico de fluido
2rP
2rP P
rL2rx
24
( 2 )
rdrsenθγ
L
P
2
1 dV
C rsenθγ L
P
4
1 V 1
2
dr
dV rx 1o lei de Newton da viscosidade
Igualando as duas equações acima, tem-se:
Integrando,
senθγ
L
P
2
r
dr
dV
senθγ L
P
2
r
constante senθγ L
P
r
2
rx
rx
Tendo:
25
Condição de contorno:
Para r = R, V = 0
1
2 C Rsenθ L
P
4
1 0
γ
Rsenθ L
P
4
1 C 2
1
γ
( 3 )
Substituindo a equação 3 em 2, temos:
22 Rsenθγ L
P
4
1 rsenθγ
L
P
4
1 V
22 r Rsenθγ L
P
4
1 V
R
r 1senθ γ
L
P
4
R V
22
( 4 )
26
Distribuição da tensão de cisalhamento
A tensão de cisalhamento é dado por:
senθ γ L
P
2
r
dr
dV rx
( 5 )
Vazão em volume no tubo circular em função da queda de pressão
( 7 )
R
0
22
R
0A
rdr2r Rsenθ γL
ΔP
4
1 rdrV2 A.dV Q
L128
DLsenθ γ P Q
4
L8
RLsenθ γ P Q
4
( 6 )
27
Velocidade média
Combinando as equações (7) e (8), fica:
4
D
L128
DLsenθ γ P
A
Q V
2
4
L32
DLsenθ γ P V
2
( 10 )
( 8 ) R
Q
A
Q V
2
L8R
RLsenθ γ P V
2
4
L8
RLsenθ γ P V
2
( 9 )
( 6 )
L8
RLsenθ γ P Q
4
Combinando as equações (6) e (8), fica:
28
Velocidade máxima
Para determinar o ponto de velocidade máxima, fazemos dV/dr igual a zero e resolvemos para o valor correspondente de r na equação 4.
R
r 1senθ γ
L
P
4
R V
22
2
2
R
2rsenθ γ
L
P
4
R
dr
dV
rsenθ γ L
P
2
1
dr
dV
( 4 )
29
V
L8
RLsenθ γ P2 senθ γ
L
P
4
R
2
2 V
22
máx
V2 V máx ( 12 )
Condição de contorno: Para r = 0, dV/dr = 0, a velocidade é máxima no centro do tubo, portanto temos:
0 1senθ γ L
P
4
R V V
2
máx
senθ γ L
P
4
R V
2
máx
( 11 )
( 4)
30
O perfil de velocidade (equação 4) pode ser escrito em termos da velocidade máxima (na linha de centro), como:
R
r 1V V
2
máx
( 13 )
2
V
2
R
r 1senθ γ
L
P
4
R V
máx
31
Exemplo 02:
Um óleo, com viscosidade dinâmica = 0,4 N.s/m2 e massa específica = 900 kg/m3, escoa num tubo que tem diâmetro interno: D = 20 mm.
a)Qual é a queda de pressão, P = P1 – P2, necessária para produzir uma vazão de Q = 2,0 x 10-5 m3/s se o tubo for horizontal com L = 10 m?
b)Qual deve ser a inclinação do tubo () para que o óleo escoe com a mesma vazão que no item (a), mas com P1 = P2?
c)Para as mesmas condições do item (b), determine a pressão em L = 5 m, sabendo que P1 = 200 kPa.
L128
PD Q
4
L128
DLsenθ γ P Q
4
Equações básicas:
μ
DVρ R e
32
Inicialmente vamos determinar o tipo de regime, se laminar ou turbulento:
solução
m/s 0,0637 V
0,02m
/sm2,0x104
D
4Q V
2
35
2
(Laminar) 2,87 R
0,4kg/m.s
0,02mm/s0637,0900kg/m
μ
DVρ R
e
3
e
μ
DVρ R e
:Porém ?, V
33
kPa 20,4 N/m 20400 P
0,02m
/sm2x1010m0,4kg/m.s128
πD
LQ128 P
L128
PD Q
2
4
35
4
4
μ
a) queda de pressão, P = P1 – P2 ?
Como o escoamento é laminar, podemos calcular a queda de pressão pela equação de Hagen-Poiseuille.
34
0
423
35
44
4
34,13 θ
23,0 senθ
m02,0m/s81,9900kg/m
/sm2x10kg/m.s4,0128
ρgD
Q128
γD
Q128 senθ
L128
DLsenθ γ P Q
b) inclinação do tubo? Para P = 0 e utilizando a equação 6 para tubos inclinados, temos:
35
Lsenθ γ D
LQ128 P P
Lsenθ γ D
LQ128 P P
Lsenθ γ D
LQ128 P
L128
DLsenθ γ P Q
413
431
4
4
c) pressão em L = 5 m ? P = P1 – P3 e usando a equação 6 para tubos inclinados, para P1 = 200 kPa e L = 5m, temos:
0
234
35
2
3
3 34,13sen5ms
m81,9
m
kg900
m02,0
/sm2x10m5kg/m.s4,0128
m
N200x10 P
kPa 200 m
N200x10 P
2
3
3
36
Exemplo 03: Para escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo horizontal, determine a distância radial a partir do eixo do tubo na qual a velocidade iguala-se à velocidade média.
22
R
r 1
x
P
4
R V
Para fluxo laminar completamente desenvolvido em tubo horizontal, temos:
(1)
R
0
2
A
rdrV2R
1 dA V
A
1
A
Q V
A velocidade média é dado pela seguinte equação:
(2)
Combinando as equações (1) em (2), tem-se:
37
22
R
r 1
x
P
4
R V
R
0
2rdrv2
R
1 V(1) (2)
x
P
8
R V
4R
R
2
R
x
P
2
1
4R
r
2
r
x
P
2
1 V
rdrR
r 1
x
P
2
1 V
rdr2R
r 1
x
P
4
R
R
1 V
2
2
42R
0
2
42
R
0
2
R
0
22
2
−
38
Igualando a velocidade do fluido com a velocidade média, temos:
0,707R 2
R r
2
1
R
r
2
1
R
r 1
x
P
8
R
R
r 1
x
P
4
R
V V
2
2
2
222
39
Proposto 01: Água ( = 62,4 lbf/ft3) escoa, de modo plenamente desenvolvido, num tubo com 1 ft de diâmetro. A tensão de cisalhamento na parede é 1,85 lbf/ft2. Determine o gradiente de pressão, , onde x é a direção do escoamento, se o tubo for:
a) horizontal, b) vertical com escoamento ascendente e c) vertical com escoamento descendente.
xP
40
Proposto 02: O perfil de velocidade para escoamento completamente desenvolvido entre placas paralelas estacionárias é dado por
onde a é uma constante, h é o espaçamento entre as placas e y é a distância medida a partir da linha de centro da folga. Desenvolva a razão . Solução:
y 4
ha V(y) 2
2
máx/VV
h
y
x
3
2
V
V
máx
Resposta:
41
Proposto 03: Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas estacionárias. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O espaçamento entre as placas é h = 5 mm. A viscosidade do óleo é 0,5 N/sm2 e o gradiente de pressão é -1000 N/m2/m. Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento sobre a placa superior e a vazão em volume através do canal por metro de largura.
h = 5mm x
y
22
h
2y 1
x
P
8
h V
/s/mm 2,08x10 b
Q 35direita) a (para 2,5N/m 2
yx Resposta:
42
Proposto 04 Um mancal hidrostático deve suportar uma carga de 50.000 N por metro de comprimento perpendicular ao diagrama. O mancal é alimentado com óleo SAE 30 a 35oC e 700 kPa (man) através do rasgo central. Como o óleo é viscoso e a folga é estreita, o escoamento na folga é considerado completamente desenvolvido. Calcule: a) a largura requerida para a plataforma do mancal; b) o gradiente de pressão resultante, dp/dx; c) a altura h da folga, se Q = 1 mL/min por metro de largura. Dado: μóleo (35oC) = 0,15 N.s/m2; υóleo (35oC) = 1,6 x 10-4 m2/s