Løsning af koblede differentialligninger

Når man vælger at løse differentialligninger numerisk, er der ofte tale om koblede

differentialligninger. Man kan sige, at de koblede differentialligninger er differentialligningernes n

ligninger med nubekendte. Dvs., n koblede differentialligninger har udseendet

hvor funktionerne er kendte. I vores tilfælde vil vi dog nøjes med at se på tilfælde

med højst tre koblede differentialligninger

= f1(t,x,y,z) (14)

= f2(t,x,y,z) (15)

= f3(t,x,y,z). (16)

Til løsning af disse ligninger vil vi benytte Eulers metode. Udvidelsen af formel 6 er ligetil og vi får

de numeriske fremskrivningsformler for tre koblede ligninger

Eksempel 2 Lad os se på et system af to koblede ligninger

= p (17)

= -q, (18)

med startværdierne p(0)=q(0)=3. Disse ligninger har de teoretiske løsninger:

og .

t q for h=0,01

p for h=0,01

0,0 3,000 3,000 3,000 3,000

0,5 4,078 4,071 1,187 1,194

1,0 4,158 4,145 -0,916 -0,904

1,5 3,220 3,205 -2,785 -2,780

2,0 1,493 1,479 -3,990 -3,976

2,5 -0,599 -0,608 -4,208 -4,199

3,0 -2,545 -2,547 -3,395 -3,393

I den medfølgende tabel ses det, i hvor stor grad de numeriske løsninger stemmer over ens med de

teoretiske-, selv efter et forholdsvist langt integrationsinterval.

Opgave 6 Radioaktive atomkerner henfalder efter loven

(19)

hvor N er antallet af kerner og er henfaldskonstanten for kernen. I ovenstående har man antaget,

at kernen henfalder til en stabil tilstand. Dette er langtfra altid tilfældet i Naturen. I Naturen kan en

kerne nemt henfalde gennem en række radioaktive mellemtilstande før den lander i en stabil

tilstand. Denne række af henfald kaldes en henfaldskæde. For en henfaldskæde med tre kerner vil

ligningerne for antallet af enkelte kerner N1, N2 og N3 være

(20)

(21)

(22)

Det vides, at den radioaktive isotop henfalder ved -henfald med en halveringstid på 2,16

minutter til , der igen ved -henfald med en halveringtid på 4,79 minutter henfalder til den

stabile isotop . Løs henfaldsproblemet for numerisk vha. de teknikker I har lært. Brug

f.eks. N1(0)=100000 og N2(0)=N3(0)=0 som startværdier. Bemærk, at henfaldskonstanten er det

reciprokke af halveringstiden. Prøv at få tegnet en graf over tidsudviklingen af N1, N2 og N3. Prøv

herefter at ændre lidt på henfaldskonstanterne. Hvad sker der, hvis den ene henfaldskonstant bliver

meget større end den anden?

En anden og vigtig egenskab ved koblede differentialligninger, en egenskab der gør dem meget

anvendte til numeriske løsninger af differentialligninger, er at enhver n-te ordens differentialligning

kan omskrives til nkoblede differentialligninger. F.eks. vil man kunne skrive den anden orden

differentialligning

(23)

om til de to koblede ligninger

(24)

y' = z,

(25)

hvor og .

Opgave 7 Prøv selv vha. de to koblede ligninger (formel 27-28) at regne dig tilbage til den originale anden

ordens differentialligning.

Opgave 8 Den konfluente hypergeometriske differentialligning. Omform den konfluente hypergeometriske

differentialligning

(26)

til to koblede differentialligninger.