166 L ib ro para e l maest ro

Propsito de la sesin. Definir cules eventos son independientes y conocer la forma en que se determinan.

Descripcin del video. Se presentan diferentes ejemplos de situaciones de azar en que se dan eventos independientes. Se recomienda ver el video antes de comenzar con la actividad del libro, pues se muestran de inicio ejemplos muy sencillos en donde la independencia de los eventos es evidente y se concluye presentando situaciones en donde no es claro que lo sean.

Sugerencia didctica. D unos minutos para que los alumnos comenten qu es una situacin de azar, cules conocen y qu conceptos recuerdan de los estudiados en otras secuencias que abordan el tema.

Tal vez, algunos alumnos le propongan los experimentos de lanzar una moneda, lanzar un dado o lanzar un par de dados. Si esto ocurre seria conveniente que hiciera notar a los alumnos que, por ejemplo, el espacio muestral de una moneda es guila o sol (o tal vez acostumbren a decir, cara o cruz), el de un dado son los nmeros del 1 al 6. Cuando les pida que definan algunos eventos relacionados con este ltimo experimento, debe tener cuidado con eventos como: la suma de los nmeros de las caras superiores de los dados es 7 y los nmeros de las caras superiores de los dados que caen son iguales, porque estrictamente hablando cuando sumamos los nmeros de las caras superiores de los dados, los resultados posibles pueden ser 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 y estamos obteniendo un espacio muestral distinto pero equivalente al experimento, pero se recomienda utilizar el que tiene los nmeros que caen en cada cara como se utiliza en el problema 2 del apartado Lo que aprendimos.

Pdales tambin que opinen sobre lo que se plantea en el Para empezar, creen que despus de caer un 6 es ms probable que caiga un nmero entre 1 y 5?

Propsito de la actividad. La situacin que se presenta corresponde a dos experimentos aleatorios simples que la mayora de los alumnos conoce (lanzar un dado y lanzar una moneda). A partir de dichos experimentos se pretende introducir un concepto nuevo: al lanzar una moneda y un dado al mismo tiempo, el resultado de uno no afecta al otro, por eso se les llama eventos independientes. Este concepto, que podra parecer sencillo, puede de hecho ser difcil de comprender para algunos alumnos, por lo que es importante que no les comente en este momento que el resultado de uno no afecta el resultado de otro. Conforme vayan resolviendo la sesin irn avanzando hacia ese sentido.

150

secuencia 27

En est secuencia aprenders a distinguir cuando dos o ms eventos son independientes en una situacin de azar.

CULES SON LOS EVENTOSINDEPENDIENTES?Para empezarCundo dos eventos son independientes?

Tal vez cuando juegas a lanzar un dado y cae varias veces seguidas un mismo valor, por ejemplo el nmero 6, has escuchado decir a alguna persona que si lanzas de nuevo el dado, lo ms probable es que caiga cualquier otro nmero entre 1 y 5. Otros dirn que volver a caer 6. Ser cierto esto? Acaso el dado tiene memoria y recuerda el ltimo resultado?

Consideremos lo siguienteSi se realiza el experimento:

Lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo, y observar la figura y el nmero de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado.

a) Cules de los siguientes resultados corresponden al experimento anterior? Mr-quenlos con una .

SESIN 1

Eventosindependientes

b) Cuntos resultados posibles hay en este experimento?

MAT2 B4 S27.indd 150 9/10/07 12:41:45 PM

Eje

Manejo de la informacin.

Tema

Anlisis de la informacin.

Antecedentes

Los alumnos conocen la nocin de resultados equiprobables, han enumerado los resultados posibles en situaciones aleatorias y expresado su probabilidad. Ahora se pretende que determinen cundo dos o ms eventos son independientes y que calculen su probabilidad.

Sugerencia didctica. Las preguntas de este apartado tienen la intencin de ayudar al alumno a recordar qu es un experimento aleatorio, cul es el espacio muestral del experimento y a leer de diferentes maneras los resultados. Usted puede ayudarles recordndoles los conceptos que estudiaron primer grado en la secuencia 24 Nociones de Probabilidad, en especial la sesin 2.

Respuestas.

a) Los que corresponden son aquellos en los que se muestran posibles resultados al lanzar una moneda y un dado al mismo tiempo.

b) Hay doce posibles resultados, sin embargo, lo importante no es que los alumnos sepan exactamente cuntos son sino que empiecen a reflexionar sobre el experimento, as que permita que den resultados aproximados como "me imagino que pueden ser tantos".

167L ib ro para e l maest ro

151

IIMATEMTICASc) Qu tienen en comn los siguientes pares de resultados que se obtienen al lanzar

la moneda y el dado? Antenlo sobre la lnea de la derecha.

y

y

Al lanzar al mismo tiempo la moneda y el dado, tres eventos que se pueden observar son:

A: en la moneda cae guila.

B: en el dado cae 1.

C: en la moneda cae guila y en el dado cae 1.

a) Si al realizar una vez el experimento en la moneda cae guila y en el dado cae 2,

a cul de los tres eventos es favorable este resultado?

b) Cul es un resultado favorable al even-

to B?

c) Cuntos resultados son favorables al

evento C: en la moneda cae guila y en

el dado cae 1?

d) Cul es la probabilidad del evento C?

e) En el experimento de lanzar al mismo tiempo la moneda y el dado, consideran que

si en la moneda cae guila afecta el resultado que cae en el dado. Por qu?

Manos a la obraI. Completen el siguiente diagrama de rbol que corresponde a todos los resultados

posibles del experimento: lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo.

Recuerden que:

Para obtener la probabilidad clsica de un event

o

se requiere conocer el nmero total de resultad

os

posibles que se pueden obtener en el experimento

y el nmero de resultados favorables del evento.

P(E) = nmero de resultados favo

rables del evento

nmero total de resultados posibles

MAT2 B4 S27.indd 151 9/10/07 12:41:49 PM

Propsitos de la secuencia Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en

que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o ms eventos independientes.

Sesin Propsitos de la sesin Recursos

1Cules son los eventos independientes? Determinar cundo dos eventos son independientes y conocer la forma en que se determinan.

Video Cundo dos eventos son

independientes?

2Dos o ms eventos independientes Determinar cundo dos o ms eventos son independientes.

3Eventos independientes y dependientes Distinguir entre eventos independientes y dependientes.

Interactivo Diagrama de rbol

Eventos independientes Frecuencia y probabilidad Programa integrador 22

Respuesta.

c) En el dado cae 3, en la moneda cae guila.

Propsito de la actividad. Un aspecto importante que deben aprender los alumnos a lo largo de esta sesin es que estn trabajando con un experimento compuesto por dos objetos, el dado y la moneda, y si bien los dos primeros eventos (A y B) se han definido a partir de uno de ellos no significa que solamente se observan los resultados de ese objeto y se olvida el otro. Por ejemplo, el evento A tiene seis resultados posibles que son favorables a l (son todos los resultados posibles en que la moneda cae guila y en el dado cae uno de los seis nmeros de las caras). Observe que los resultados son (guila, 1), (guila, 2), etc., y no se separan. Otro ejemplo de un evento como A y B es: en el dado cae un nmero par, los resultados favorables son: (guila, 2), (guila,4) ,(guila, 6), (sol, 2), (sol, 4), (sol,6). Si sus alumnos contestaron el inciso b) del apartado Consideremos lo siguiente tomando en cuenta slo el resultado del dado (cae 1) y olvidndose del resultado de la moneda; cuando completen el diagrama de rbol (actividad I del apartado Manos a la obra) enfatice la importancia de considerar a los dos objetos pues juntos forman el experimento.

Respuestas.

a) Al evento A.

b) Que en el dado caiga 1 y en la moneda caiga sol. Tambin que en el dado caiga 1 y en la moneda guila.

c) Uno.

d) 112

e) No, no influye, pero tal vez algunos alumnos piensen que s. Pdales que justifiquen sus respuestas y anote en el pizarrn los diferentes argumentos para que al final de la sesin los comparen.

Propsito de la actividad. En esta actividad los alumnos utilizarn el diagrama de rbol como un recurso para enumerar los resultados del experimento. Una vez que se tiene el espacio muestral se determinan las probabilidades de los eventos.

Propsito del interactivo. Utilizar el diagrama de rbol como tcnica de conteo en la resolucin de problemas.

Sugerencia didctica. Si lo considera oportuno puede ocupar el interactivo Diagrama de rbol en la opcin Colecciones diferentes para construir el diagrama completo.

168 L ib ro para e l maest ro

152

secuencia 27

a) En total para este experimento, cuntos resultados posi-

bles hay?

b) En cuntos de esos resultados posibles en la moneda cae

guila? Marqunlos con color rojo en el diagrama

c) En este experimento, cul es la probabilidad del evento

A: en la moneda cae guila?

P(A) = nmero de resultados favorables del eventonmero total de resultados posibles

=

Recuerden que: Todos los resultados sencillos posibles de un experimento forman el espacio muestral o espacio de resultados y se puede presentar en forma de diagrama de rbol o arreglo rectangular.

Cuando se considera alguno o algunos de los resultados posibles se define un evento.Por ejemplo, si se lanza un dado en el que todas sus caras tienen la misma probabilidad de caer y se observa el nmero que cae en la cara superior, dos eventos que se pueden definir son: cae 4 y cae un nmero par.

Los resultados favorables de cada evento, respectivamente, son: {4} y {2,4,6}.Cuando se combinan dos eventos como los anteriores, al nuevo evento se le llama evento compuesto. Por ejemplo, el evento: cae 4 y es un nmero par.

Moneda Dado

guila

Sol

guila, 1

Sol, 1

1

2

3

1

2

3

d) En cuntos de los resultados posibles en el dado cae 1? Mrquenlos con color

azul en el diagrama

e) Cul es la probabilidad del evento B: en el dado cae 1?

P(B) = nmero de resultados favorables del eventonmero total de resultados posibles

=

f) En cuntos de los resultados posibles la moneda cae en guila y el dado en 1, es

decir, caen guila y 1, al mismo tiempo?

Resultadosposibles

Lanzaruna moneda y

un dado al mismo tiempo

MAT2 B4 S27.indd 152 9/10/07 12:41:50 PM

Respuestas.

a) 12

b) En 6.

c) 612

= 12

d) En dos, (guila,1) y (sol,1).

e) 212

= 16

f) En uno, (guila,1).

guila, 2 guila, 3

4 guila, 45 guila, 56 guila, 6

Sol, 2 Sol, 3

4 Sol, 45 Sol, 56 Sol, 6

169L ib ro para e l maest ro

153

IIMATEMTICASg) Cul es la probabilidad del evento C: en la moneda cae guila y en el dado cae 1?

P(C) =

h) Multipliquen las probabilidades de los eventos: en la moneda cae guila y en el dado cae 1.

P(A) P(B)= =

i) Comparen el valor de la probabilidad del evento C: en la moneda cae guila y en el dado cae 1 con el producto de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso anterior. Son iguales o diferentes?

P(en la moneda cae guila y en el dado cae 1) P(en la moneda cae guila)

P(en el dado cae 1) = P(C) P(A) P(B)

A lo que llegamosSe dice que dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno de los eventos no afecta al valor de la probabilidad de ocurrencia del otro. Por lo que, la probabilidad de que los dos eventos ocurran simultneamente es igual al producto de la probabilidad de un evento por la del otro.

Comparen sus resultados.

De acuerdo con lo que leyeron en el apartado A lo que llegamos, son independientes los

eventos: en la moneda cae guila y en el dado cae 1?

II. Nuevamente, consideren el experimento:

Lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo, y. observar la figura y el nmero de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado.

Tambin, utilicen el diagrama de rbol que completaron en la actividad anterior y contesten las siguientes preguntas:

Uno de los eventos que se puede considerar al realizar el experimento, es: en la mo-neda no cae guila.

a) Cules son todos los resultados favorables a este evento?

b) Qu tienen en comn todos esos resultados que anotaron?

c) Cul es la probabilidad del evento: en la moneda no cae guila?

P(en la moneda no cae guila) = nmero de resultados favorables del eventonmero total de resultados posibles

=

MAT2 B4 S27.indd 153 9/10/07 12:41:51 PM

Respuestas.

g) 112

h) 12

16= 1

12

i) Son iguales.

Posibles dificultades. Esta afirmacin puede ser confusa para los alumnos. Use como ejemplo lo que acaban de hacer en el apartado Manos a la obra:

En el inciso g) calcularon la probabilidad del evento caer guila y caer 1 a partir del diagrama de rbol, en el inciso h) multiplica-ron la probabilidad de caer guila por la probabilidad de caer 1 y vieron que en ambos casos se obtiene 112 . Cuando la probabilidad del evento compuesto (cae guila y cae 1) es igual a la que se obtiene al multiplicar la probabilidad de los eventos simples (cae guila y cae 1), se dice que son esos eventos son independientes.

Tambin pueden fijarse en cuntos resultados en el diagrama de rbol estn marcados de rojo y azul a la vez. Se darn cuenta de que nicamente el resultado (guila,1) tiene los dos colores.

Propsito de la actividad. Ahora los alumnos trabajarn con los eventos complementarios de la actividad anterior, que tambin son indepen-dientes.

Respuestas.

a) Son 6, todos los resultados en los que ocurre el evento cae sol.

b) En la moneda cae sol.

c) 612

o 12

170 L ib ro para e l maest ro

154

secuencia 27d) Si renen los resultados favorables de los eventos: en la moneda cae guila y en

la moneda no cae guila, en total, cuntos resultados tienen?

e) Sumen las probabilidades de los eventos: en la moneda cae guila y en la mo-

neda no cae guila.

P(en la moneda cae guila) + P(en la moneda no cae guila)= + =

Otro evento que tambin pueden observar al realizar el experimento, es

en el dado cae un nmero diferente de 1

f) Cules y cuntos son todos los resultados favorables a este evento?

g) Cul es la probabilidad del evento: en el dado cae un nmero diferente de 1?

P(en el dado cae un nmero diferente de 1) = nmero de resultados favorables del eventonmero total de resultados posibles

=

h) Si renen los resultados favorables de los eventos: en el dado cae 1 y en el dado

cae un nmero diferente de 1, en total, cuntos resultados tienen?

i) Sumen las probabilidades de los eventos: en el dado cae 1 y en el dado cae un

nmero diferente de 1.

P(en el dado cae 1) + P(en el dado cae un nmero diferente de 1)= + =

A lo que llegamosEn el caso del experimento:

Lanzar al mismo tiempo una moneda y un dado y observar la figura y el nmero de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado.Se dice que el evento en el dado cae un nmero diferente de 1 es complemento del evento en el dado cae 1, porque todos los resul-tados favorables del primer evento son diferentes a los resultados favorables del segundo evento y al reunirlos forman el espacio mues-tral del experimento.

Por ejemplo: Al realizar una prueba, fracaso es el complemento del evento xito; en el lanzamiento de una moneda, caer guila es el complemento de caer sol; en 10 lanzamientos de una moneda, al menos una guila es el complemento de ninguna guila.

Todo evento tiene un evento complementario y la suma de sus proba-bilidades es igual a 1.

MAT2 B4 S27.indd 154 9/10/07 12:41:51 PM

Sugerencia didctica. Pregunte a los alumnos cul sera el evento complementario de:

Caer 5 en un dado de seis caras.

No caer 5 en un dado de seis caras.

Que llueva.

Sacar 10 en al menos uno de los cinco exmenes.

Analicen el ltimo ejemplo porque puede ser difcil saber cul es el evento complementario cuando dice al menos en. Pueden hacer un diagrama de rbol para averiguar cul es el espacio muestral y obtener as el evento complementario.

Respuestas.

d) Son doce, todos los resultados posibles.

e) 12

+ 12

=1

f) Son diez, (guila,2), (guila,3), (guila,4), (guila,5), (guila,6), (sol,2), (sol,3), (sol,4), (sol,5), (sol,6).

g) 1012

o 56

h) Doce, son todos los resultados posibles.

i) 16+ 5

6

171L ib ro para e l maest ro

155

IIMATEMTICASIII. En la actividad I del apartado Manos a la obra de esta sesin, dos eventos que se

observaron fueron:

En la moneda cae guila y en el dado cae 1.

Y encontraron que son eventos independientes.

En la actividad II del apartado Manos a la obra de esta sesin, trabajaron con los complementos de estos dos eventos:

En la moneda no cae guila y en el dado no cae 1.

a) Creen que estos nuevos eventos son independientes?

Por qu?

El evento en la moneda no cae guila es equivalente a en la moneda cae sol y el even-

to en el dado no cae 1 es equivalente a en el dado cae un nmero diferente que 1.

b) Cul es el producto de la probabilidad del evento: en la moneda cae sol y del

evento: en el dado cae un nmero diferente de 1?

P(en la moneda cae sol) P(en el dado cae nmero diferente de 1) = =

c) Comparen la probabilidad del evento en la moneda cae sol y en el dado cae un nmero diferente de 1 con el producto de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso b).

P(en la moneda cae sol y en el dado cae un nmero diferente de 1) P(en la moneda cae sol)

P(en el dado cae un nmero diferente de 1)

Son iguales o diferentes?

d) Son independientes los eventos: en la moneda cae sol y en el dado cae un

nmero diferente de 1?

Lo que aprendimos1. Considera el experimento y el diagrama de rbol que completaste en la sesin 1 de

esta secuencia para contestar las siguientes preguntas.

Experimento: Lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo, observar la figura y

el nmero de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado.

Si ahora consideras los eventos:

En la moneda cae sol.

En el dado cae 1.

En la moneda cae sol y en el dado cae 1.

MAT2 B4 S27.indd 155 9/10/07 12:41:52 PM

Sugerencia didctica. Nuevamente pida a sus alumnos que se apoyen en el diagrama de rbol para identificar los resultados favorables a los eventos que se definen en estas preguntas.

Respuestas.

a) S son independientes porque la ocurrencia de uno de los eventos no depende de la del otro. Eso puede verificarse multiplicando las probabilidades de cada evento simple y comparando el resultado con la probabilidad del evento compuesto (que es lo que harn en seguida). Sin embargo, permita que los alumnos opinen al respecto y sigan contestan-do.

b) 612

1012

= 60144

= 512

, o bien, 12

56= 5

12.

c) Son iguales.

d) El que las probabilidades que se calcularon en el inciso c) sean iguales quiere decir que el evento en la moneda cae sol y el evento en el dado cae un nmero diferente de 1, son independientes.

Sugerencia didctica. Si lo considera conveniente pida a sus alumnos que copien el diagrama de rbol en sus cuadernos y que marquen los eventos que se sealan a continua-cin para que cuenten los resultados favorables y puedan determinar las probabilidades.

172 L ib ro para e l maest ro

156

secuencia 27

SESIN 2

a) Son independientes los eventos: en la moneda cae sol y en el dado cae 1?

Por qu?

Si los eventos a considerar son:

En la moneda cae guila.

En el dado cae un nmero diferente de 1.

b) Son independientes los eventos: en la moneda cae guila y en el dado cae un

nmero diferente de 1? Por qu?

DOS O mS EVENTOS INDEPENDIENTESConsideremos lo siguienteRealicen el siguiente experimento y contesten las preguntas que se plantean.

Lancen al mismo tiempo dos monedas al aire y observen el resultado.

Anoten el resultado que obtuvieron en el siguiente recuadro:

Moneda 1 Moneda 2

Comparen sus resultados con sus compaeros.

a) Escriban en la siguiente tabla los resultados diferentes que obtuvieron:

Moneda 1 Moneda 2

Si definimos los eventos:

A: Cae sol en la primera moneda.

B: Cae sol en la segunda moneda.

C: Cae sol en ambas monedas.

Recuerden que:

En el experimento de lanzar dos

monedas al aire y observar el

resultado, se estn considerando

dos monedas en las que sus caras

tienen la misma probabilidad de

ocurrir, es decir, son equiprobables

.

En general, cuando en un

experimento de azar ocurre lo

anterior, se dice que las monedas

son no trucadas o legales.

MAT2 B4 S27.indd 156 9/10/07 12:41:53 PM

Respuestas.

a) La probabilidad del evento en la moneda cae sol es 12 , la probabilidad del evento en el dado cae 1 es 16 , la probabilidad del evento en la moneda cae sol y en el dado cae 1 es 112 . Como

12

16 =

112 se puede afirmar que

los eventos son independientes.

b) La probabilidad del evento en la moneda cae guila es 12 , la probabilidad del evento en el dado cae un nmero diferente de 1 es 56 , la probabilidad del evento en la moneda cae guila y en el dado cae un nmero diferente de 1 es 512 . Como

12

56 =

512 se puede

afirmar que los eventos son independientes.

Propsito de la sesin. Determinar cundo dos o ms eventos son independientes.

Propsito de la actividad. Aparentemente distinguir si dos o ms eventos son independien-tes es sencillo, solamente hay que multiplicar las probabilidades de cada evento simple y comparar el producto con la probabilidad del evento compuesto para ver si son iguales; sin embargo hay situaciones en las que no es tan evidente. En esta sesin los alumnos utilizarn las monedas y los dados por separado porque cuando los experimentos se realizan con una misma moneda o dado es ms difcil distinguir que el resultado de cada lanzamiento es independiente del anterior.

Sugerencia didctica. Es importante que realicen los experimentos para que las actividades no consistan slo en hacer clculos; por otra parte, puede pedirles que anticipen sus resultados preguntndoles cosas como qu creen que va a salir al lanzar las dos monedas?, si en la primera cae guila qu creen que va a caer en la segunda?, qu resultado creen que sea ms probable (guila,guila) o (guila,sol)?

Posibles resultados. Aunque hay slo cuatro posibles resultados, es posible que los alumnos consideren resultados repetidos. Cuando terminen la actividad I del apartado Manos a la obra regresen a esta tabla y corrijan si fuera necesario.

173L ib ro para e l maest ro

157

IIMATEMTICASb) Consideran que si cae sol en la primera moneda, este resultado afecta la ocurren-

cia o no ocurrencia del resultado de la segunda moneda?

Por qu?

Manos a la obraI. Completen el siguiente diagrama de rbol con los resultados diferentes que pueden

obtenerse al lanzar dos monedas al aire.

a) En total, cuntos resultados posibles hay?

b) Si en la primera moneda cae sol, qu resultados pue-

den caer en la segunda moneda?

c) Cuntos resultados favorables hay para el evento: cae

sol en la primera moneda?

d) Si en la segunda moneda cae guila, qu resultados

pueden caer en la primera moneda?

e) Cuntos resultados favorables hay para el evento: cae

sol en la segunda moneda?

f) Cul es la probabilidad del evento: caer sol en la primera moneda?

P(caer sol en la primera moneda) =

g) Cul es la probabilidad de caer sol en la segunda moneda?

P(caer sol en la segunda moneda) =

guilaA12

SolS

Lanzar dos monedas

guilaA12

guilaA

(A,A)

Moneda 1 Moneda 2 Resultadosposibles

Recuerden que:

Dos eventos son independientes si

la

ocurrencia de uno de los eventos no

afecta al valor de la probabilidad d

e

ocurrencia del otro. Por lo que la

probabilidad de que los dos evento

s

ocurran simultneamente es igual

al

producto de la probabilidad de un

evento por la del otro.

MAT2 B4 S27.indd 157 9/10/07 12:41:53 PM

Sugerencia didctica. Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos y anote algunas respuestas en el pizarrn para recuperarlas al final de la sesin.

Respuestas.

a) Cuatro.

b) guila o sol.

c) Hay dos resultados posibles.

d) guila o sol.

e) Hay dos resultados posibles.

f) 24

= 12

g) 24

= 12

Propsito del interactivo. Utilizar el diagrama de rbol como tcnica de conteo en la resolucin de problemas.

Sugerencia didctica. Si lo considera oportuno puede ocupar el interactivo Diagrama de rbol, Opciones iguales para construir el diagrama completo.

SolS12

12

SolS12

(A, S)

(S, A)

(S, S)

174 L ib ro para e l maest ro

158

secuencia 27h) Cuntos resultados favorables hay para el evento: cae sol en la primera moneda

y sol en la segunda moneda, es decir, cae sol en ambas monedas?

i) Cul es la probabilidad del evento: cae sol en ambas monedas?

P(cae sol en ambas monedas) =

j) Multipliquen las probabilidades de los eventos: cae sol en la primera moneda y

cae sol en la segunda moneda.

P(cae sol en la primera moneda) P(cae sol en la segunda moneda) =

=

k) Comparen la probabilidad del evento: cae sol en ambas monedas con el produc-

to de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso anterior.

Son iguales o diferentes?

Son independientes los eventos: cae sol en la primera moneda y cae sol en la

segunda moneda?

ii. Ahora, realicen el siguiente experimento:

Lancen una moneda dos veces al aire y observen la sucesin de guila y sol que ob-

tienen.

a) Anoten el resultado que obtuvieron al realizar el experimento en el siguiente recuadro:

Primer lanzamiento Segundo lanzamiento

b) Comparen sus resultados con sus compaeros.

Escriban en la siguiente tabla los resultados diferentes que obtuvieron en su grupo.

Primer lanzamiento Segundo lanzamiento

MAT2 B4 S27.indd 158 9/10/07 12:41:54 PM

Respuestas.

h) Uno.

i) 14

j) 12

12

= 14

k) Las probabilidades son iguales, por lo tanto, el evento en la primera moneda cae sol y el evento en la segunda moneda cae sol son independientes.

Propsito de la actividad. Se pretende que los alumnos identifiquen que lanzar dos monedas no trucadas al aire es equivalente a lanzar dos veces una misma moneda. Tambin es importante que sepan que el evento en el primer lanzamiento cae sol es independiente del evento en el segundo lanzamiento cae sol. Con esta actividad aprendern que en este tipo de experimentos (aleatorios que se repiten en las mismas condiciones) el producto de las probabilidades de los eventos es una potencia en la que el exponente es el nmero de veces que se repite el experimento o el nmero de objetos que se lanzan. Por ejemplo, si se lanzan dos monedas, la potencia ser al cuadrado por que se multiplica dos veces la probabilidad, si se lanzan tres ser al cubo, etc. Si el experimen-to es lanzar la misma moneda dos veces tambin se multiplica dos veces la probabilidad de 12 , entonces el producto ser al cuadrado, si se lanza tres veces ser al cubo, etctera. Por otra parte, con el anlisis y comparacin de estos dos experimentos se establece un antecedente para los contenidos y habilidades que se estudiarn en tercer grado sobre simulacin.

175L ib ro para e l maest ro

159

IIMATEMTICASc) Completen el siguiente diagrama de rbol con los resultados diferentes que pue-

den obtenerse al lanzar una moneda dos veces al aire.

Recuerden que:

Una potencia es una

multiplicacin de un

nmero por s mismo

varias veces.

Primer Lanzamiento Segundo Lanzamiento Resultadosposibles

guilaA12

SolS

Lanzar una moneda dos

veces

guilaA12

guilaA

(A,A)

d) Comparen los resultados posibles que obtuvieron en el diagrama de rbol de este

experimento con los resultados posibles del experimento de las dos monedas que

realizaron en el apartado Manos a la obra. Son iguales o diferentes?

e) Al lanzar una moneda dos veces al aire. Cul es la probabilidad del evento: "caer

sol en el primer lanzamiento"?

P(cae sol en el primer lanzamiento) =

f) Cul es la probabilidad del evento: "caer sol en el segundo lanzamiento"?

P(cae sol en el segundo lanzamiento) =

g) Cul es la probabilidad del evento: "caer sol en ambos lanzamientos"?

P(caer sol en ambos lanzamientos) =

h) Multipliquen las probabilidades de los eventos: cae sol en el primer lanzamiento

y cae sol en el segunda lanzamiento.

P(cae sol en el primer lanzamiento) P(cae sol en el segundo lanzamiento) = =

i) Comparen la probabilidad del evento: cae sol en ambos lanzamientos con el

producto de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso

anterior. Son iguales o diferentes?

MAT2 B4 S27.indd 159 9/10/07 12:41:54 PM

Sugerencia didctica. Los diagramas son iguales porque los resultados de los experimen-tos no varan si se hacen con dos monedas o con una. Pida a los alumnos que opinen por qu creen que sucede esto.

Respuestas.

d) Son iguales.

e) 24

= 12

f) 24

= 12

g) 14

h) 24

24= 4

16= 1

4, o bien, 1

2 1

2 = 1

4

i) Son iguales, por lo tanto, el evento en la primera moneda cae sol y el evento en la segunda moneda cae sol son independientes.

SolS12

12

SolS12

(A, S)

(S, A)

(S, S)

176 L ib ro para e l maest ro

160

secuencia 27Son independientes los eventos: cae sol en el primer lanzamiento y cae sol en

el segundo lanzamiento?

iii. Se lanzan tres monedas (no trucadas) al mismo tiempo y se observa la sucesin de

guilas y soles que caen.

a) Cuntas veces tienes que lanzar una moneda para realizar un experimento equi-

valente a lanzar tres monedas al mismo tiempo?

b) En tu cuaderno, elabora el diagrama de rbol con los resultados diferentes que se

obtienen al lanzar tres monedas al aire. En total, cuntos resultados posibles di-

ferentes hay?

c) Si en la segunda moneda cae guila, qu resultados pueden caer en la tercera

moneda?

Y cules en la primera?

d) Si en la tercera moneda cae sol, qu resultados pueden caer en la segunda mo-

neda?

Y cules en la primera?

e) Cuntos resultados favorables hay para el evento: cae sol en las tres monedas?

f) Cul es la probabilidad del evento: cae sol en las tres monedas?

g) Calcula la probabilidad de los siguientes eventos:

P(cae sol en la primera moneda) =

P(cae guila en la segunda moneda) =

P(cae sol en la tercera moneda) =

h) Multiplica las probabilidades de los 3 eventos que calculaste en el inciso anterior.

P(cae sol en la primera moneda) P(cae sol en la segunda moneda) P(cae sol en la tercera moneda) =

=

i) Compara la probabilidad del evento: cae sol en las tres monedas con el producto

de las probabilidades de los tres eventos que obtuviste en el inciso anterior. Son

iguales o diferentes?

MAT2 B4 S27.indd 160 9/10/07 12:41:55 PM

Respuestas.

a) Tres veces.

b) Ocho resultados diferentes. Si A es guila y S es sol, son los siguientes:

SSS

SSA

SAS

SAA

ASS

ASA

AAS

AAA

c) Sol o guila en cualquiera de los casos.

d) Sol o guila en cualquiera de los casos.

e) Uno.

f) 18

g) 48

o 12

en todos los casos.

h) 48

48

48

= 64512

= 18

o 12

12

12

= 18

i) Son iguales.

j) Son eventos independientes.

177L ib ro para e l maest ro

161

IIMATEMTICASj) Son independientes los eventos: cae sol en la primera moneda, cae sol en la

segunda moneda y cae sol en la tercera moneda?

Comparen sus respuestas y comenten:

a) Si se lanzan las tres monedas al mismo tiempo, cul es la probabilidad de caer

sol en la primera moneda, guila en la segunda y sol en la tercera?

b) Si se lanzan tres monedas, los eventos: cae sol en la primera moneda, cae gui-

la en la segunda moneda y cae sol en la tercera moneda, son independientes?

Por qu?

A lo que llegamosCuando un mismo experimento se repite dos o ms veces, y los even-tos que se observan tienen probabilidades iguales y son independien-tes, entonces el producto de las probabilidades es una potencia.

Lo que aprendimos1. Se lanza una moneda (no trucada) cinco veces consecutivamente, cul de las si-

guientes sucesiones es ms posible que resulte? (A = guila y S = sol)

a) SSSAA

b) ASSAS

c) ASAAA

d) SASAS

e) Las cuatro sucesiones son igual de posibles.

Por qu crees que sucede eso?

2. Se lanzan dos dados (no trucados) de seis caras cada uno, al mismo tiempo. Comple-ta el siguiente arreglo rectangular con los resultados diferentes que pueden obtener-se al lanzar dos dados.

MAT2 B4 S27.indd 161 9/10/07 12:41:56 PM

Respuestas.

a) y b) La probabilidad es la misma en ambos casos, 12

12

12 =

18 porque caer sol en x

lanzamiento es un evento independiente de anteriores o posteriores lanzamientos, ya sea que se realicen con una moneda o con varias.

Sugerencia didctica. Comenten esta informacin en grupo. Explique que el clculo de la probabilidad de los eventos anteriores tambin pueden expresarlo como una potencia, en este caso ( 12 )

3. Plantee varios ejercicios en los que expresen el clculo de la probabilidad como una potencia, por ejemplo:

La probabilidad de que al lanzar tres veces un dado de seis caras salga siempre 5.

La probabilidad de que al lanzar tres veces un dado de seis caras salga 1,2 y 3 en ese orden.

La probabilidad de que llueva el sbado y llueva el domingo.

La probabilidad de que al lanzar cuatro monedas al mismo tiempo en todas caiga guila.

Respuesta. Cualquiera de las cuatro sucesiones puede ocurrir con la misma probabilidad de 12 elevado a la quinta potencia.

Otra manera de interpretarlo es que cada sucesin de guilas y soles es nica, como decir que caigan 5 soles o 5 guilas.

Posibles dificultades. Quiz los alumnos antepongan intuiciones al clculo de probabili-dades, por ejemplo, supuestas rachas en las que cae una moneda.

Son importantes la justificaciones que den, as que pdales que expliquen sus creencias y comntenlas en grupo.

Propsito de la actividad. Ahora se les recomienda que utilicen el arreglo rectangular como otro recurso para analizar qu sucede al lanzar dos dados al mismo tiempo. Tambin puede preguntarles qu sucede al lanzar tres dados y cmo se hara el experimento si se tiene nicamente un dado.

178 L ib ro para e l maest ro

Respuestas.

a) 36 resultados posibles.

b) 636

= 16

c) 636

= 16

d) 136

e) S son independientes porque la probabilidad del evento obtener seis en el primer dado multiplicada por la probabilidad del evento obtener seis en el segundo dado es igual a la probabilidad del evento compuesto obtener seis en el primer dado y obtener seis en el segundo dado.

Propsito de la sesin. Distinguir entre eventos independientes y dependientes.

Propsito de la actividad. Las situaciones A y B plantean dos experimentos aleatorios distintos debido a que al regresar o no regresar la primera pluma a la bolsa, el nmero de resultados posibles cambia por lo que se obtienen dos espacios de resultados diferentes. Los alumnos vern que cambiando las condiciones en las que se realiza un experimento los eventos pueden ser independientes o dependientes.

162

secuencia 27

Segundo dado

1 2 3 4 5 6

Prim

er d

ado

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2 2,1 2,3 2,4 2,5 2,6

3 3,1 3,4 3,5 3,6

4 4,1 4,4 4,5 4,6

5 5,1 5,5 5,6

6 6,1 6,2

a) En total, cuntos resultados posibles hay?

b) Cul es la probabilidad del evento: obtener un seis en el primer dado?

P(obtener un seis en el primer dado) =

c) Cul es la probabilidad del evento: obtener un seis en el segundo dado?

P(obtener un seis en el segundo dado) =

d) Cul es la probabilidad del evento: obtener seis en ambos dados al lanzarlos al

mismo tiempo?

e) Al lanzar dos dados, los eventos, obtener un seis en el primer dado y obtener un

seis en el segundo dado, son independientes? Por qu?

EVENTOS INDEPENDIENTES yDEPENDIENTESConsideremos lo siguienteUn profesor tiene una bolsa con cinco plumas iguales, dos de las cuales ya no pintan. Saca una pluma al azar y se la presta a un alumno; luego ste la regresa a la bolsa. Mo-mentos despus, otro alumno tambin le pide una pluma, luego la regresa a la bolsa.

Cules son los resultados posibles en esta situacin?

SESIN 3

MAT2 B4 S27.indd 162 9/10/07 12:41:56 PM

Sugerencia didctica. Traten de simular esta situacin porque quiz no sea sencillo para los alumnos determinar el espacio muestral.

Si se extrae una pluma y se regresa a la bolsa, en cada extraccin hay 5 resultados posibles, y en las dos extracciones hay 5 5 resultados posibles. Esta situacin tambin est relacionada con la sesin anterior porque es equivalente a 52.

179L ib ro para e l maest ro

163

IIMATEMTICASSituacin A

Si se consideran los eventos:

En la primera extraccin al azar la pluma no pinta.

En la segunda extraccin al azar la pluma no pinta.

En la primera y en la segunda extraccin al azar las plumas no pintan.

Encuentra la probabilidad de los siguientes eventos.

a) En la primera extraccin al azar la pluma no pinta.

b) En la segunda extraccin al azar la pluma no pinta.

c) En la primera y en la segunda extraccin al azar las plumas no pintan.

d) Los eventos: en la primera extraccin al azar la pluma no pinta y en la segunda

extraccin al azar la pluma no pinta, son independientes?

Situacin B

Si ahora al realizar la primera extraccin, el profesor no regresa la pluma a la bolsa.

e) Cules son los resultados posibles que hay?

f) Cul es la probabilidad del evento en la primera extraccin la pluma no pinta?

g) Cul es la probabilidad del evento en la segunda extraccin la pluma no pinta?

h) Y cul es la probabilidad del evento en la primera y en la segunda extraccin las

plumas no pintan?

i) Si en la primera extraccin al azar, la pluma no pinta y no se regresa a la bolsa,

afecta la probabilidad de que en la segunda extraccin la pluma que se saque ya

no sirva? Por qu?

Manos a la obraI. En su cuaderno, elaboren el diagrama de rbol para la situacin A, como muestra en

la siguiente figura, y utilicenlo para contestar las siguientes preguntas.

MAT2 B4 S27.indd 163 9/10/07 12:41:57 PM

Respuestas.

a) Para este evento hay 10 resultados favorables de 25 resultados posibles, por lo que la probabilidad es 10

25 = 2

5 .

b) 1025

= 25

c) Hay cuatro resultados favorables, por lo tanto la probabilidad es 4

25 .

d) S son independientes.

Posibles dificultades. Con esta condicin los resultados posibles cambian porque en la segunda extraccin hay una pluma menos. Tal vez algunos alumnos tengan problemas al enumerar todos los resultados y traten de distinguir cada pluma. Permtales utilizar cualquier recurso del que dispongan para determinar el espacio muestral.

Sugerencia didctica. Es importante que permita a los alumnos explorar la situacin y llegar a sus propias conclusiones, aunque sean errneas. En el apartado Manos a la obra tendrn oportunidad de verificar sus resultados.

Respuestas.

e) Si no se regresa la pluma a la bolsa despus de cada extraccin, entonces para la segunda extraccin habr cuatro resultados posibles (en vez de cinco). Entonces en las dos extracciones habr 5 4 resultados posibles.

f) La probabilidad del evento en la primera extraccin la pluma no pinta es 820 =

25 .

g) La probabilidad del evento en la segunda extraccin la pluma no pinta es 820 =

25 .

h) La probabilidad del evento en la primera y en la segunda extraccin la pluma no pinta es 220 =

110 .

i) Si despus de la primera extraccin la pluma no se regresa a la bolsa s afecta los resultados de la segunda extraccin porque hay un resultado posible menos.

Propsito del interactivo. Utilizar el diagrama de rbol como tcnica de conteo en la resolucin de problemas.

Sugerencia didctica. Si lo considera oportuno puede ocupar el interactivo Diagrama de rbol, Opciones iguales para construir el diagrama completo.

180 L ib ro para e l maest ro

164

secuencia 27

a) En la situacin A, cuntos resultados posibles diferentes hay?

b) En cuntos de esos resultados posibles en la primera extraccin la pluma no pin-

ta?

c) En la situacin A, cul es la probabilidad del evento: en la primera extraccin la

pluma no pinta?

d) En cuntos resultados en la segunda extraccin la pluma no pinta?

Primera extraccin Segunda extraccin Resultados posibles

Extraer de una bolsa dos plumas regresando la primera pluma que

se extrae

No pinta la pluma

No pinta la pluma

S pinta la pluma

S pinta la pluma

S pinta la pluma

No pinta la pluma

No pinta la pluma

S pinta la pluma

S pinta la pluma

S pinta la pluma

No pinta la pluma

No pinta la pluma

No pinta la pluma

S pinta la pluma

S pinta la pluma

S pinta la pluma

(No pinta, no pinta)

(S pinta, no pinta)

MAT2 B4 S27.indd 164 9/10/07 12:41:57 PM

Respuestas.

a) 25.

b) En 10.

c) La probabilidad es 1025

= 25

.

d) En 10, la probabilidad es 1025

= 25

.

181L ib ro para e l maest ro

165

IIMATEMTICASCul es la probabilidad de ese evento?

e) Cul es la probabilidad del evento: en la primera y en la segunda extraccin las plumas no pintan?

f) Comparen la probabilidad del evento: en la primera y en la segunda extraccin las

plumas no pintan con el producto de la probabilidad del evento: "en la primera

extraccin al azar, la pluma no pinta" y la probabilidad del evento: "en la segunda

extraccin al azar, la pluma no pinta". Son iguales o diferentes?

g) En la situacin A, los eventos "en la primera extraccin al azar la pluma no pinta"

y "en la segunda extraccin al azar la pluma no pinta", son independientes esos

eventos?

II. Ahora, completen el siguiente diagrama de rbol que corresponde a la situacin B cuando no se regresa la pluma en la primera extraccin.

Primera extraccin Segunda extraccin Resultados posibles

No pinta la pluma

S pinta la pluma

S pinta la pluma

S pinta la pluma

(S pinta, no pinta)No pinta la pluma

S pinta la plumaExtraer de una bolsa

dos plumas sin regresar la primera pluma que

se extrae

No pinta la pluma

No pinta la pluma

S pinta la pluma

S pinta la pluma

S pinta la pluma

(No pinta, no pinta)

MAT2 B4 S27.indd 165 9/10/07 12:41:58 PM

Propsito del interactivo. Utilizar el diagrama de rbol como tcnica de conteo en la resolucin de problemas.

Sugerencia didctica. Si lo considera oportuno puede ocupar el interactivo Diagrama de rbol en la opcin Muchos recorridos, para construir el diagrama completo.

Respuestas.

e) 425

f) Son iguales.

g) S son independientes.

182 L ib ro para e l maest ro

166

secuencia 27a) En cuntos de estos resultados posibles en la primera extraccin al azar la pluma

no pinta?

b) En la situacin B, cul es la probabilidad del evento: en la primera extraccin al

azar la pluma no pinta?

c) En cuntos de los resultados posibles en la segunda extraccin la pluma no pinta?

d) Cul es la probabilidad del evento: en la segunda extraccin la pluma no pinta?

e) En cuntos resultados posibles en ambas extracciones las plumas no pintan?

f) Cul es la probabilidad del evento: en la primera y en la segunda extraccin las

plumas no pintan?

g) En esta nueva situacin, en la que no se regresa la primera pluma que se extrae,

los eventos: en la primera extraccin la pluma no pinta y en la segunda extrac-

cin la pluma no pinta, son independientes?

Por qu?

iii. En una caja hay 2 chicles de sabor menta y 2 de sabor canela, se saca sin ver un

chicle, se anota su sabor y luego, se regresa. Otra vez se saca un chicle y se anota su

sabor.

Los eventos que se observan son:

El primer chicle que se saca es de sabor canela.

El segundo chicle que se saca es de sabor menta.

El primer chicle que se saca es sabor canela y el segundo chicles es de sabor menta.

a) Cul es la probabilidad del evento: el primer chicle que se saca es sabor canela y

el segundo es de sabor menta?

b) Son independientes los dos primeros eventos? Por qu?

Si al sacar el primer chicle, no lo regresan a la caja y sacan otro chicle.

c) Cul es la probabilidad de que el primer chicle que se saca es de sabor canela?

MAT2 B4 S27.indd 166 9/10/07 12:41:58 PM

Respuestas.

a) 8 de 20 resultados posibles.

b) La probabilidad es 820

o 25

.

c) En ocho.

d) La probabilidad es 820

o 25

.

e) En dos.

f) La probabilidad es 220

= 110

.

g) No son independientes porque el resultado de multiplicar la probabilidad del evento en la primera extraccin no pinta por la probabili-dad del evento en la segunda extraccin no pinta ( 25 25 = 425 ), no es igual a la probabilidad del evento compuesto en la primera y en la segunda extraccin no pinta

( 110 ).

Sugerencia didctica. Puede ser til que los alumnos elaboren un arreglo rectangular o un diagrama de rbol para encontrar las respuestas.

Respuestas.

a) 4 de 16 resultados posibles, as que la probabilidad es 4

16= 1

4.

b) S son independientes.

c) 6 de 12 resultados posibles, as que la probabilidad es 6

12= 1

2.

183L ib ro para e l maest ro

167

IIMATEMTICASd) Cul es la probabilidad de que el segundo chicle que se saca es de sabor menta?

e) Cul es la probabilidad del evento: el primer chicle que se saca es de sabor ca-

nela y el segundo es de sabor menta?

f) En este experimento, son independientes los dos primeros eventos?

Por qu?

A lo que llegamosSe dice que dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia de uno de los eventos afecta el valor de la probabilidad de ocurrencia del otro. Por lo que, la probabilidad de que los dos eventos ocurran simultneamente es diferente que el producto de la probabilidad de un evento por la del otro.

Lo que aprendimos1. Escribe en la lnea de la derecha si los eventos son independientes o dependientes en

cada inciso, y justifica tu respuesta.

a) Se lanzan un par de dados de seis caras. Los eventos son: nmero par en el primer

dado y nmero impar en el segundo dado.

b) Se escogen dos canicas de una urna que contiene 5 canicas rojas y 5 canicas azu-

les, con reemplazo. Los eventos son: la primera canica es roja y la segunda ca-

nica es azul.

2. Para conocer ms ejemplos de situaciones de azar y eventos dependientes e indepen-dientes pueden ver el programa Probabilidad y eventos independientes.

Para saber ms

Sobre otros ejemplos de problemas de eventos independientes, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gmez. El azar y el tringulo de Pascal en Una ventana a la incertidumbre. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

Post Kij, Kjardan. Esa condenada mala suerte. Mxico: SEP/Editorial Motino, Libros del Rincn, 2001.

Explora las actividades de los interactivos Probabilidad. Eventos independientes y Frecuencia y probabilidad con Logo.

MAT2 B4 S27.indd 167 9/10/07 12:41:59 PM

Respuestas.

d) 612

= 12

e) 412

= 13

f) No son independientes.

Sugerencia didctica. Es importante hacer notar a los alumnos que para calcular la probabilidad de la situacin A y la de la situacin B de las actividades I y II, (y las que aparecen en la actividad III), se multiplican las probabilidades de los eventos. Si el resultado de esa multiplicacin es igual a la probabilidad de la interseccin, es decir, cuando ocurren a la vez los eventos considerados, puede afirmarse que son independientes. Si no son iguales, los eventos son dependientes.

Integrar al portafolios. Incluya esta actividad y pida a los alumnos que en la copia que le entreguen se incluyan los procedimientos utilizados.

Respuestas.

a) Son independientes. Los resultados posibles son 36, los resultados favorables del primer evento son 12 y tambin del segundo evento son 12, los resultados favorables del evento compuesto son 9 de 36 resultados posibles. La probabilidad del evento compuesto es 14 y es igual al producto de probabilidades de los eventos simples.

b) Son independientes. Los resultados posibles son 100, los resultados favorables del primer evento son 50, los resultados favorables del segundo evento son 50, los resultados favorables del evento compuesto son 25.

La probabilidad del evento compuesto es 14 y es igual al producto de probabilidades de los eventos simples.

Recuerde que. Los experimentos de azar con reemplazo son aquellos en los que, sin importar el nmero de repeticiones del experimento, siempre hay el mismo nmero de resultados posibles. En este caso, significa que despus de sacar una canica de la urna hay que devolverla antes de hacer la segunda extraccin.

Propsito del programa integrador 22. Mostrar ejemplos de situaciones de azar y distinguir si varios eventos son independientes o no.

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y das de transmisin.

Propsito del interactivo. Ampliar los conceptos de probabilidad abordados en la secuencia.

184 L ib ro para e l maest ro

Eje

Manejo de la informacin.

Tema

Representacin de la informacin.

Antecedentes

Los alumnos ya conocen distintas formas de representacin de la informacin como los polgonos de frecuencias, las grficas de barras y circulares tanto de frecuencia absoluta como de frecuencia relativa. En esta secuencia aprendern a interpretar y utilizar las grficas de lnea.

Propsito de la secuencia Interpretar y utilizar dos o ms grficas de lnea que representan caractersticas distintas de un

fenmeno o situacin para tener informacin ms completa y en su caso tomar decisiones.

Sesin Propsitos de la sesin Recursos

1

Turismo, empleos y grficas de lnea Interpretar y relacionar diferentes grficas de lnea que representan la variacin en el tiempo de uno o ms elementos de una situacin.

Video El turismo: una ocupacin

interesante Interactivo

Grficas de lnea en la estadstica

2

Sabes cuntas personas visitan el estado en que vives? Interpretar y elaborar grficas de lnea en un mismo plano.

Interactivo Grficas de lnea en la

estadstica

3

Cuntos extranjeros nos visitaron? Interpretar y utilizar dos grficas de lnea que corresponden a aspectos diferentes de la misma situacin.

Programa integrador 23

168

secuencia 28

En esta secuencia aprenders a interpretar y utilizar grficas de lnea que representan caractersticas de un fenmeno para obtener infor-macin y tomar decisiones.

TURISMO, EMPLEOS Y GRFICAS DE LNEAPara empezarEl turismo: una ocupacin interesante

Mxico ofrece al mundo una diversidad de atractivos tursticos: playas, zonas arqueol-gicas, eventos recreativos y culturales, etc. La Secretara de Turismo pone a disposicin de todos informacin sobre las cifras de dinero que se recauda mensualmente por la actividad turstica y el nmero de empleos que se generan.

Por ejemplo, en el ao 2005, cerca de dos millones de personas tuvieron un empleo re-lacionado directamente con la atencin al turismo nacional e internacional.

Consideremos lo siguienteLa siguiente grfica presenta la variacin que se dio en el nmero de empleos relaciona-dos con la actividad turstica en nuestro pas en el ao 2005.

SESIN 1

Grficas de lnea

Nmero de empleos relacionados con el turismo en el ao 2005

Meses

N

mer

o d

e em

ple

os

(en

mile

s)

1840

1830

1820

1810

1800

1790

1780

1770

1760

ene feb mar abr may jun jul ago sep oct nov dic

MAT2 B4 S28.indd 168 9/10/07 12:42:30 PM

Propsito de la sesin. Interpretar y relacionar diferentes grficas de lnea que representan la variacin en el tiempo de uno o ms elementos de una situacin.

Descripcin del video. Se da un panorama general de la importancia del turismo para nuestro pas. El video es de introduccin al tema y su objetivo es presentar el contexto a partir de datos y grficas que muestran la evolucin y el crecimiento de esta actividad en las principales plazas tursticas de Mxico.

Sugerencia didctica. Sin duda, el turismo es una de las principales actividades econmicas del pas. Pregunte a sus alumnos si en su localidad hay algn sitio o actividad que atraiga al turismo local o extranjero.

Propsito de la actividad. Hasta este momento, en el eje horizontal de las grficas estadsticas los alumnos haban representado intervalos, en su mayora iguales (del mismo tamao). En esta secuencia los alumnos vern que cuando en el eje horizontal se grfica alguna unidad de tiempo (das, meses, aos, etc.) corresponde a una grfica de lnea.

Respuestas.

a) 1 765 000 empleos en enero y 1 775 000 en febrero.

b) 5 000 empleos.

c) Mayo y junio.

185L ib ro para e l maest ro

169

IIMATEMTICASa) Cuntos empleos gener el turismo en enero de 2005?

Y en febrero?

b) Cunto disminuy el nmero de empleos de abril a mayo de 2005?

c) En qu par de meses consecutivos se dio el mayor aumento en el nmero de

empleos?

Comparen sus respuestas.

Manos a la obraI. Observen la grfica y contesten las siguientes preguntas:

a) Qu datos estn representados en el eje horizontal?

Y en el eje vertical?

b) Cul es el valor mnimo que se representa en el eje vertical?

Y cul es el valor mximo?

c) Cul es la escala utilizada en ese eje?

d) En qu mes se generaron 1 820 000 empleos relacionados con el turismo?

e) Cul es el mes en que se dio el mayor nmero de empleos?

La grfica anterior se llama grfica de lnea y muestra que, durante el ao 2005, hubo tres periodos de incrementos en el nmero de empleos relacionados con el turismo; el primero fue del mes de enero al mes de abril.

f) Cules fueron los otros periodos que tuvieron incrementos en el nmero de em-

pleos?

g) Cul fue el mayor incremento que se dio en el nmero de empleos relacionados

con el turismo?

h) Durante el ao 2005, cuntos decrementos en el nmero de empleos relaciona-

dos con el turismo se dieron?

i) Hubo algn periodo en el que no cambiara el nmero de empleos relacionados

con el turismo?

MAT2 B4 S28.indd 169 9/10/07 12:42:31 PM

Propsito de la actividad. Se pretende que los alumnos lean e interpreten la informacin que presenta la grfica.

En general, para desarrollar en los alumnos la lectura crtica de datos se requiere que los alumnos realicen actividades en las que se consideren los tres niveles de comprensin de los grficos:

a) Leer los datos. Este nivel de comprensin requiere una lectura literal del grfico, no se realiza interpretacin de la informacin conte-nida en el mismo.

b) Leer dentro de los datos. Incluye la interpreta-cin e integracin de los datos en el grfico, requiere la habilidad para comparar cantidades y el uso de otros conceptos y destrezas matemticas.

c) Leer ms all de los datos. Requiere que el lector realice predicciones e inferencias a partir de los datos sobre informaciones que no se reflejan directamente en el grfico.

Posibles dificultades. Quiz los alumnos no lean bien la escala del eje vertical. La informa-cin de dicho eje incluye la leyenda en miles, lo que quiere decir que se han quitado tres ceros a las cantidades para facilitar su lectura, pero a la hora de interpretar la grfica deben considerarse. As pues, si en el eje dice 1 760, en realidad ese nmero es el 1 760 000.

Respuestas.

a) En el eje horizontal, los meses del ao 2005 ; y en el vertical, el nmero de empleos relacionados con el turismo que se generaron en ese ao.

b) Mnimo 1 760 000 y mximo 1 840 000.

c) La escala es en miles.

d) En octubre.

e) En noviembre.

f) Tambin hubo incrementos en los empleos de mayo a julio y de septiembre a noviembre.

g) El mayor incremento de empleos relacionados con el turismo fue de mayo a junio.

h) Dos, de abril a mayo y de noviembre a diciembre. Hubo un periodo en el que no hubo cambios en el nmero de empleos relaciona-dos con el turismo.

i) De julio septiembre (tres meses) no hubo cambios en el nmero de empleos relaciona-dos con el turismo.

j) Se mantuvieron los 1 805 000 empleos existentes.

186 L ib ro para e l maest ro

170

secuencia 28Cuntos meses abarc ese periodo?

j) Cul fue el nmero de empleos que se mantuvo constante?

ii. Completa el siguiente texto eligiendo la respuesta correcta en cada caso:

Comparen sus respuestas con sus compaeros.

A lo que llegamosUna grfica de lnea presenta los cambios o variaciones que se dan en una situacin o fenmeno a travs del tiempo. Por esta razn, en el eje horizontal se representan las unidades de tiempo (que pueden ser aos, meses, das, horas, etctera). En el eje vertical se representa el intervalo en el que vara el fenmeno durante el tiempo en que se analiza.

En general, el cero debe representarse siempre que sea posible sobre el eje vertical, pero si no lo fuera, conviene hacer un corte en el eje vertical.

iii. La siguiente tabla presenta la variacin que se dio en el nmero de empleos genera-dos por la actividad turstica en nuestro pas en el ao 2004.

La grfica de lnea muestra la variacin en el nmero de empleos generados por el

turismo en el ao que inici con un aumento en los primeros2005 / 2000

cuatro meses de a empleos, en el mes de1765 / 1 765 000 1785 / 1 785 000

mayo a 1 780 000, en aumentdisminuy / aument junio / julio

empleos y permaneci constante durante los meses de 200 / 20 000 junio / julio

a (1 805 000 empleos); posteriormente, aument hastaagosto / septiembre

registrar el nmero de empleos en el mes de noviembre,menor / mayor

y finaliz en el mes de diciembre con empleos.1 825 / 1 825 000

MAT2 B4 S28.indd 170 9/10/07 12:42:32 PM

Sugerencia didctica. Cuando se lleve a cabo la comparacin grupal de respuestas, pida a sus alumnos que comparen esta grfica con las que anteriormente han estudiado para que vean que en las grficas de lnea en el eje horizontal siempre hay una unidad de tiempo (por ejemplo, aos, meses o das). Es importante comentar que, al igual que en los polgonos de frecuencias, estamos sealando la frecuencia de alguna variable (nmero de personas, nmero de empleos, etctera), pero hay cuestiones que no sabemos con precisin, por ejemplo, en la grfica podemos ver que entre enero y febrero aument el nmero de empleos, sin embargo, no sabemos cuntos empleos aumentaron el 15 de enero.

Propsito de la actividad. Hay dos propsitos en esta actividad: el primero es elaborar la grfica de lnea que corresponde a los datos presentados en una tabla; y el segundo propsito es que los alumnos usen diferentes escalas, especialmente en el eje vertical.

Sugerencia didctica. Puesto que la mayor dificultad de esta actividad se encuentra en definir la escala y el valor inicial del eje vertical, comente a los alumnos que la escala en la que una de las variables es observada y registrada no es nica. A veces, transformando los valores originales de la variable a una nueva escala se puede lograr que dichos valores sean ms manejables.

2005

1 765 000 1 785 000

disminuy junio

20 000 julio

septiembre

mayor

1 825 000

Propsito del interactivo. Que los alumnos construyan grficas de lnea.

187L ib ro para e l maest ro

171

IIMATEMTICASEmpleos generados por el turismo en el ao 2004

Mes Nmero de empleos

Enero 1 700 000

Febrero 1 705 000

Marzo 1 720 000

Abril 1 725 000

Mayo 1 730 000

Junio 1 740 000

Julio 1 745 000

Agosto 1 750 000

Septiembre 1 755 000

Octubre 1 765 000

Noviembre 1 780 000

Diciembre 1 770 000

a) Ahora grafica el nmero de empleos que gener la actividad turstica cada mes.

MAT2 B4 S28.indd 171 9/10/07 12:42:32 PM

1790

1780

1770

1760

1750

1740

1730

1720

1710

1700

1690

1680

Meses

ene feb mar abr may jun jul ago sep oct nov dic

188 L ib ro para e l maest ro

172

secuencia 28Comparen sus respuestas.

a) Utilizaron la misma escala en el eje vertical?

b) Cules fueron los valores mnimos que utilizaron en el eje vertical?

c) Y cules fueron los valores mximos?

Lo que aprendimosDurante una semana se registr la cantidad de dinero que diariamente se obtuvo en las ventas de una panadera; as qued:

Lunes, $2 600; martes, $ 1 200, mircoles, $3 400; jueves, $2 100; viernes, $5 300;sbado, $5 100; domingo, $4 950.

a) En tu cuaderno traza una grfica de lnea que represente las ventas que se tuvie-ron en la panadera.

b) Describe en tu cuaderno en qu das se obtuvieron las mejores ventas, cundo hubo decrementos y cmo disminuyeron las ventas.

c) Comparen sus respuestas. A partir de qu valor rotularon el eje vertical?

SABES CUNTAS PERSONAS VISITAN EL ESTADO EN QUE VIVES?Para empezarEn la sesin anterior aprendiste a elaborar grficas de lnea y, particularmente, te ente-raste de cuntos empleos relacionados con el turismo se generaron en el ao 2005 en Mxico. Otros aspectos relacionados con el turismo que tambin se pueden presentar a travs de una grfica de lnea son: el nmero de turistas que visitaron un determinado estado durante el ao, ciudades con playa, sitios arqueolgicos, etctera.

Posiblemente el lugar donde t vives es un sitio turstico, quiz es una ciudad que tiene playa, o tal vez, es una ciudad colonial. Tambin puede suceder que vivas cerca de un lugar muy visitado. Cmo podras investigar cuntas personas visitan tu estado? Cules son los sitios tursticos que hay en tu poblacin? Cules conoces? Conoces algunas personas que tengan un trabajo relacionado con la actividad turstica? Si pudieras pro-mover el lugar donde vives, qu informacin recopilaras para hacerlo?

Consideremos lo siguienteLas siguientes grficas de lnea presentan informacin sobre el nmero de habitaciones que se han ocupado por turistas nacionales que visitaron los estados de Guerrero y Quin-tana Roo, en el periodo comprendido entre los aos 2000 y 2005.

SESIN 2

MAT2 B4 S28.indd 172 9/10/07 12:42:33 PM

Sugerencia didctica: Puede suceder que los alumnos utilicen diferentes escalas para graficar la variable del eje vertical, por ejemplo, expresndola en miles como se hace en la grfica del Consideremos lo siguiente, o que escriban cada nmero como aparece en la tabla. Es importante que los alumnos analicen cul es ms conveniente y clara.

Sugerencia didctica. Si hay poco tiempo en clase deje esta actividad como tarea, pero revisen juntos los incisos a), b) y c).

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de su grfica y de la descripcin que hicieron del fenmeno (lo que se les pide en el inciso b).

Propsito de la sesin. Interpretar y elaborar grficas de lnea en un mismo plano.

$6,000

$5,000

$4,000

$3,000

$2,000

$1,000

Das

Vent

a en

pes

os

Panadera "El bolillo y la telera" ventas de la semana

Lunes Martes Mircoles Jueves Viernes Sbado Domingo

Respuestas:

189L ib ro para e l maest ro

173

IIMATEMTICAS

a) Si se quiere construir un hotel en alguno de estos dos estados y se consideran

como referencia la informacin que presentan las grficas de lnea, en cul de los

dos estados recomendaran que lo construyeran?

Por qu?

b) Comparen sus respuestas.

Manos a la obraI. Utilicen la informacin que presentan las grficas de lnea para contestar las siguien-

tes preguntas.

a) En Guerrero, cuntas habitaciones estuvieron ocupadas por turistas en el ao

2001?

b) Cul fue el nmero mximo de habitaciones ocupadas?

c) En qu ao sucedi?

d) En Quintana Roo, en qu ao se ocuparon 2 500 000 habitaciones?

Aos

N

mer

o d

e h

abit

acio

nes

ocu

pad

as

(en

mile

s)

2000 2001 2002 2003 2004 2005

3 400

3 300

3 200

3 100

3 000

2 900

2 800

2 700

2 600

2 500

2 400

2 300

2 200

2 100

2 000

Nmero de habitaciones ocupadas por visitantes nacionales

Quintana Roo

Guerrero

MAT2 B4 S28.indd 173 9/10/07 12:42:33 PM

Posibles respuestas. Tal vez la mayora de los alumnos diga que en Guerrero, porque tiene el mayor nmero de habitaciones ocupadas en el ao 2005 por el turismo nacional. Sin embargo, puede suceder que otros digan que en Quintana Roo precisamente para aumentar el turismo. Algunos tal vez digan que no es suficiente la informacin de la que disponen o den otras razones.

Respuestas.

a) 2 840 000

b) 3 270 000

c) 2005

d) 2004

190 L ib ro para e l maest ro

174

secuencia 28e) Cul fue el nmero mximo de habitaciones ocupadas?

f) En que ao sucedi?

g) Fue el mismo que en el caso de Guerrero?

h) En general, cul de los dos estados, Guerrero o Quintana Roo, tuvo ms habita-

ciones ocupadas por turistas nacionales en el periodo de 2004-2005?

i) En qu ao estos dos estados tuvieron el mismo nmero de habitaciones ocupa-

das?

j) Cuntas habitaciones estuvieron ocupadas?

k) Describan cul ha sido el comportamiento en el nmero de habitaciones ocupadas

por el turismo nacional en el estado de Guerrero.

l) Y cul ha sido el del estado de Quintana Roo?

m) De la siguiente lista, marquen con una X los aspectos que consideran tambin sera necesario analizar para tomar una mejor decisin sobre en cul de los dos estados, Guerrero o Quintana Roo, es ms conveniente construir un hotel.

( ) nmero de hoteles en servicio;

( ) nmero de habitaciones por hotel en servicio;

( ) nmero de turistas extranjeros;

( ) nmero de turistas nacionales;

( ) tipos de transporte;

( ) zonas tursticas que existen (playas, zonas arqueolgicas, ciudades, etc.);

( ) nmero de habitantes;

( ) actividades culturales y recreativas (festivales, ferias, etc);

( ) seguridad y vigilancia.

Comparen sus respuestas.

MAT2 B4 S28.indd 174 9/10/07 12:42:34 PM

Respuestas.

e) 2 910 000

f) 2002

g) No.

h) Guerrero.

i) 2002

j) 2 910 000

Posibles respuestas. Se esperara que los alumnos pudieran describir el comportamiento del fenmeno estudiado observando la grfica, por ejemplo diciendo:

k) A partir del ao 2003 ha aumentado el nmero de habitaciones ocupadas por el turismo nacional. En el ao 2003 el nmero de habitaciones ocupadas por el turismo nacional tuvo un descenso.

l) A partir de 2003 ha descendido el nmero de habitaciones ocupadas por el turismo nacional. Entre los aos de 2002 y 2003 hubo un descenso de alrededor de 350 000 habitaciones ocupadas.

Sugerencia didctica. Pida a dos o tres alumnos que lean sus respuestas a los incisos d) y e) y que las justifiquen. Luego pregunte al resto del grupo si estn de acuerdo o creen que la descripcin no es buena o est incompleta, en cuyo caso, revsenla nuevamente.

Sugerencia didctica. Pregunte a los alumnos si otros aspectos podran complementar la informacin para decidir dnde construir un hotel, y cules seran.

Sugerencia didctica. Es importante sealar aqu que puede haber respuestas distintas entre los alumnos acerca de dnde construir el hotel, pero todos tendran que interpretar las grficas de manera similar.

191L ib ro para e l maest ro

175

IIMATEMTICASA lo que llegamosEn un mismo plano se pueden mostrar dos o ms grficas de lnea que corresponden a conjuntos de datos sobre el mismo aspecto de un fenmeno o situacin para comparar la variacin que existe entre ellos durante un determinado tiempo.

II. La siguiente grfica muestra informacin sobre el turismo extranjero que visita los estados de Guerrero y Quintana Roo de 2000 al 2005.

a) Cuntas habitaciones fueron ocupadas por turistas extranjeros en el estado de

Guerrero durante el ao 2001?

b) Y cuntas habitaciones fueron ocupadas en el estado de Quintana Roo?

c) En cual de los dos estados, Guerrero o Quintana Roo, el nmero de habitaciones

ocupadas por extranjeros ha disminuido a travs de los seis aos?

d) En general, cul de los dos estados es ms visitado por el turismo internacional?

Nmero de habitaciones ocupadas por extranjeros

Aos

N

mer

o d

e h

abit

acio

nes

ocu

pad

as

(en

mile

s)

2000 2001 2002 2003 2004 2005

14 000

13 000

12 000

11 000

10 000

9 000

8 000

7 000

6 000

5 000

4 000

3 000

2 000

1 000

0

Quintana Roo

Guerrero

MAT2 B4 S28.indd 175 9/10/07 12:42:34 PM

Propsito de la actividad. Al analizar el nmero de habitaciones ocupadas por extranjeros, se invierte el comportamiento que se present en la grfica anterior, es decir, Quintana Roo tiene mayor ocupacin. Este es otro aspecto que podra considerarse al momento de tomar una decisin.

Respuestas.

a) 1 200 000

b) 8 400 000

c) En Guerrero.

d) Quintana Roo es ms visitado por extranjeros.

192 L ib ro para e l maest ro

176

secuencia 28e) En el caso de ese estado, cul ha sido el aumento que ha tenido el nmero de

habitaciones ocupadas en el ao 2005 con respecto a las que se ocuparon en el

ao 2000?

f) Utilicen las grficas de esta sesin para describir la forma en que vara el nmero

de habitaciones ocupadas por turistas nacionales o por turistas extranjeros en

Quintana Roo.

iii. A continuacin construye dos grficas de lnea para representar el nmero total de habitaciones ocupadas por turistas nacionales que visitaron el estado de Guerrero y el nmero total de habitaciones ocupadas por turistas extranjeros en ese estado du-rante el periodo de 2000 a 2005.

a) Qu escala es ms conveniente que utilices?

Por qu?

b) Cul de los dos tipos de turistas, extranjero o nacional, tiene mayor nmero de

habitaciones ocupadas por turistas durante estos aos?

c) En qu par de aos consecutivos se tiene el mayor descenso en el nmero de

habitaciones ocupadas?

Extranjeros

Nacional

MAT2 B4 S28.indd 176 9/10/07 12:42:35 PM

Respuestas.

e) Ha habido un incremento de 6 400 000 habitaciones.

f) Se esperara que los alumnos hicieran una descripcin parecida a sta: De acuerdo con el nmero de habitaciones ocupadas, el estado de Quintana Roo es ms visitado por el turismo internacional o extranjero, mientras que el estado de Guerrero es ms visitado por el turismo nacional.

Propsito de la actividad. Elaborar dos grficas de lnea en un mismo plano con la intencin de compararlas. En este caso, corres-ponden a dos conjuntos de datos: habitaciones ocupadas por visitantes extranjeros y ocupadas por visitantes nacionales.

Sugerencia didctica. Nuevamente, hay que ayudar a los alumnos a elegir la escala en el eje vertical de acuerdo a los datos que van a presentar. El valor mnimo puede ser 0 y el mximo 3500, en miles, con una escala de 500 mil; pero acepte otras posibilidades que sugieran los alumnos.

Propsito del interactivo. Las grficas de lnea que se piden en esta actividad pueden presentarse en el mismo plano porque son dos conjuntos de datos que se miden o cuentan con la misma unidad, en este caso, son personas (hay dos poblaciones diferentes, los visitantes nacionales y los extranjeros, pero la unidad para medir ambas variables consideradas es nmero de personas). Por lo tanto, se utilizan los mismos ejes, solamente es necesario distinguir a cada poblacin de alguna de las siguientes maneras:

Diferente tipo de lnea para unir los puntos de cada grfica (las lneas pueden ser de distintos grosores o de diferentes colores cada uno representar a una poblacin)

Diferente tipo de punto, por ejemplo, para sealar la interseccin del mes con el nmero de visitantes, puede utilizarse un crculo para los visitantes nacionales y un tringulo o rombo para los visitantes extranjeros.

Propsito del interactivo. Que el alumno construya grficas de lnea.

Respuestas.

a) No hay una respuesta nica a esta pregunta, permita a los alumnos expresar sus opiniones pero pdales que las argumenten.

b) Nacional.

c) En 2002 y 2003.

Respuesta:

Ao Internacional Nacional

2000 1 400 2 620

2001 1 200 2 840

2002 1 000 2 920

2003 800 2 490

2004 1 000 3 190

2005 800 3 200

3500

3000

2500

2000

1500

1000

5000

2000 2001 2002 2003 2004 2005

193L ib ro para e l maest ro

177

IIMATEMTICASLo que aprendimosLa siguiente tabla muestra la informacin sobre el turismo nacional e internacional que visit las zonas arqueolgicas de nuestro pas.

Nmero de visitantes en zonas arqueolgicas de Mxico (en miles)

Ao Nacionales Extranjeros Total

2000 6 270 3 200 9 470

2001 6 510 2 640 9 150

2002 7 140 2 650 9 790

2003 7 380 2 850 10 230

2004 7 240 3 130 10 370

2005 6 650 2 930 9 580

a) En el mismo eje de coordenadas, representa las tres grficas de lnea que corres-ponden a la informacin que presenta la tabla (turismo nacional, extranjero y

total).

MAT2 B4 S28.indd 177 9/10/07 12:42:35 PM

Propsito de la actividad. En esta actividad debern elaborar una grfica de lnea con tres datos para cada ao. Una vez ms, hay que cuidar la escala y los valores en el eje vertical.

194 L ib ro para e l maest ro

178

secuencia 28b) En qu ao se present el mayor nmero de visitantes nacionales en estas zonas?

Y de visitantes extranjeros?

c) En total, en qu ao se present el mayor nmero de visitantes a estas zonas?

d) Segn la grfica, cul de las siguientes frases representa el comportamiento que

ha tenido el turismo (nacional, extranjero y total) que visita las zonas arqueolgi-

cas de Mxico? Mrcalas con una .

Del ao 2000 al ao 2003, el nmero total de turistas que visitaban las zonas arqueolgicas aumentaba; sin embargo, a partir del ao 2004 ha descendi-do.

En el ao 2003, se present el mayor nmero de turistas nacionales que visi-taron las zonas arqueolgicas.

En el ao 2000, 3 200 turistas extranjeros visitaron las zonas arqueolgicas, lo que representa el mayor nmero de visitantes extranjeros en el periodo de 2000 a 2005.

En el ao 2005, aument el turismo extranjero en las zonas arqueolgicas en Mxico.

CUNTOS EXTRANJEROS NOS VISITARON?Consideremos lo siguienteLas grficas de lnea de la siguiente pgina presentan informacin sobre el nmero de visitantes extranjeros que estuvieron en nuestro pas en el ao 2005 y las cantidades de dinero que gastaron.

a) Qu relacin encuentran entre estas cantidades: nmero de visitantes y dinero

que gastaron?

b) Corresponde el nmero mximo de visitantes con la cantidad mayor de dinero

que gastaron?

c) Una persona est interesada en abrir una tienda de artesanas; de acuerdo con la

informacin que presentan las grficas, cundo le convendra abrirla, en enero,

marzo o diciembre?

Por qu?

d) Consideran qu sera suficiente esta informacin para que decida cundo le con-

viene abrir su tienda?

SESIN 3

MAT2 B4 S28.indd 178 9/10/07 12:42:36 PM

Propsito de la sesin. Interpretar y utilizar dos grficas de lnea que corresponden a aspectos diferentes de la misma situacin.

Posibles respuestas. Es importante tener en cuenta que puede haber distintas respuestas correctas. Pida a los alumnos que las expliquen.

a) En general, se comportan de manera similar, es decir, cuando hay un mayor nmero de visitantes hay mayor gasto, sin embargo en el periodo de mayo a agosto son diferentes.

b) No corresponden.

c) En marzo, porque es un mes en el que hay un buen nmero de visitantes y es cuando se reporta un mayor gasto por parte de los mismos.

d) Las grficas nos ayudan a pensar en qu mes podra abrirse un negocio como se, pero tal vez sea necesario conocer el lugar que visitan o el medio de transporte, adems de conocer dnde se quiere abrir el local.

Sugerencia didctica. Quiz los alumnos contesten en el inciso b) que s corresponde el nmero mximo de visitantes con la cantidad mayor de dinero gastada por que las grficas tienen formas similares. En este momento acepte esta respuesta y posteriormente, cuando terminen de contestar el apartado Manos a la obra, retome la pregunta.

2003

2000

2004

195L ib ro para e l maest ro

179

IIMATEMTICASN

m

ero

de

turi

stas

(e

n m

iles)

Visitantes extranjeros en Mxico en el ao 2005

2 400

2 350

2 300

2 250

2 200

2 150

2 100

2 050

2 000

1 950

1 900

1 850

1 800

1 750

1 700

1 650

1 600

1 550

1 500

1 450

1 400

ene feb mar abr may jun jul ago sep oct nov dic

Meses

Gastos de visitantes extranjeros en Mxico en el ao 2005

Can

tid

ad d

e d

la

res

(en

mill

on

es)

1 400

1 350

1 300

1 250

1 200

1 150

1 100

1 050

1 000

950

900

850

800

750

700

650

600

ene feb mar abr may jun jul ago sep oct nov dic

Meses

MAT2 B4 S28.indd 179 9/10/07 12:42:36 PM

196 L ib ro para e l maest ro

180

secuencia 28

Manos a la obrai. Utilicen los datos que presentan las grficas y contesten las siguientes preguntas:

a) Cuntos extranjeros visitaron nuestro pas en enero de 2005?

b) Cunto dinero se recaud en ese mes?

c) En qu mes de ese ao dejaron ms dinero al pas los turistas?

d) Con la informacin que proporciona la primera grfica de l-

nea podemos saber cuntos visitantes tuvimos el 12 de agosto

de 2005?

Por qu?

e) Es correcto decir que en julio de 2005 hubo 2 150 visitantes extranjeros y que

gastaron 1 050 dlares?

Por qu?

f) De enero a febrero se tuvo un aumento de 18 000 visitantes. En qu par de me-

ses consecutivos se dio el mayor aumento de visitantes?

g) En qu par de meses se dio la mayor disminucin de visitantes?

A lo que llegamosDos o ms aspectos de una misma situacin o un mismo fenmeno se pueden analizar mediante dos o ms grficas de lnea en dos planos diferentes debido a que en el eje vertical se utiliza la escala y rtulos adecuados a cada aspecto.

Recuerden que:

Una grfica de lnea presenta los

cambios o variaciones que se dan

en una situacin o fenmeno a

travs del tiempo. Por esta razn,

en el eje horizontal se representan

las unidades de tiempo (que

pueden ser aos, meses, das,

horas, etc.). En el eje vertical se

anota el rango con que vara el

fenmeno en el perodo de tiempo

en que se analiza.

MAT2 B4 S28.indd 180 9/10/07 12:42:37 PM

Respuestas.

a) 1 810 000 visitantes.

b) 1 050 000 000 dlares.

c) Marzo.

d) No, lo que se sabe es cuntos visitantes hubo en todo ese mes.

e) No, hay que considerar las escalas de las grficas. Efectivamente hubo 2 150 000 visitantes, pero gastaron 1 050 000 000 dlares o 1 050 millones de dlares.

f) De noviembre a diciembre

g) De julio a agosto.

Sugerencia didctica. Aproveche la situacin planteada para que los alumnos recuerden algunos aspectos del sistema de numeracin decimal cuando se trabaja con nmeros grandes. Pida que lean en voz alta el nmero 1 050 000 000 y que escriban en sus cuadernos cmo se lee ese nmero. Tambin puede preguntarles:

cul sera el resultado si a ese nmero se le suman 9 000 000 000?

cunto se le tendra que sumar o restar para que el resultado fuera 1 000 050 000 000?

cmo se lee el nmero 1 000 050 000 000?

Comenten sus respuestas al inciso d). Es importante que tengan claro que no es posible saber cuntos visitantes hubo en un da especfico porque la informacin de la grfica presenta intervalos de un mes.

197L ib ro para e l maest ro

181

IIMATEMTICAS

Lo que aprendimos1. Para conocer las variaciones en el nmero de extranjeros, se consideran los resultados

obtenidos en los aos 2004 y 2005. Las siguientes grficas de lnea presentan esa informacin.

II. De acuerdo con la informacin que presentan las grficas, completen el siguiente prrafo:

Durante el ao de 2005, el nmero de visitantes extranjeros en nuestro pas fue de

turistas y gastaron

de dlares; sin embargo, la cantidad de

dinero que gastaron los visitantes extranjeros en Mxico fue

de dlares y se registr en el mes de .

N

mer

o d

e tu

rist

as

(en

mile

s)

2 450

2 400

2 350

2 300

2 250

2 200

2 150

2 100

2 050

2 000

1 950

1 900

1 850

1 800

1 750

1 700

1 650

1 600

1 550

1 500

1 450

1 400

1 350

1 300

ene feb mar abr may jun jul ago sep oct nov dic

Meses

Visitantes extranjeros en Mxico en los aos 2004 y 2005

Ao 2004

Ao 2005

MAT2 B4 S28.indd 181 9/10/07 12:42:38 PM

22 050 000 12 000

mayor

1 300

marzo

198 L ib ro para e l maest ro

182

secuencia 28a) Cuntos extranjeros visitaron nuestro pas en enero de 2004? Y en enero de

2005?

b) En qu mes de 2005 tuvimos ms visitantes extranjeros? Y de 2004?

c) La tendencia de las variaciones en el nmero de turistas que visitaron nuestro pas

en el ao 2004, se mantiene en el 2005?

d) Considerando esta informacin y la que muestra la grfica de lnea del gasto que

hicieron los turistas, en qu mes ser ms conveniente abrir la tienda de arte-

sanas, en marzo o diciembre?

2. La esperanza de vida al nacer se refiere al nmero de aos que en promedio se espera viva un recin nacido, considerando que a lo largo de su vida estar expuesto a dife-rentes riesgos. En el ao de 1930 en Mxico, la esperanza de vida para una mujer era de 35 aos, mientras que para los hombres era de 33 aos, lo que significa una dife-rencia de 2 aos. Para el ao 2000, la esperanza de vida para una mujer era de 77aos y para el hombre, de 72 aos.

a) Las siguientes grficas de lnea resentan est informacin; en su cuaderno, elabo-ren una tabla que corresponda con est informacin.

Fuente: INEGI. Censo General de Poblacin, 2000.

Esperanza de vida al nacer por sexo en Mxico

Dcadas

A

os

de

vid

a

1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Mujeres

Hombres

MAT2 B4 S28.indd 182 9/10/07 12:42:38 PM

Respuestas.

a) 1 640 000 en enero del 2004 y 1 810 000 en enero del 2005.

b) Diciembre en ambos aos.

c) S se mantiene la tendencia, aunque en el 2005 el nmero de visitantes fue mayor.

d) En marzo, pues aunque no es el mes con mayor nmero de visitantes, es en el que los turistas hacen ms gastos.

Respuestas.

a)

Mujeres Hombres

1930 35 33

1940 40 38

1950 49 45

1960 59 56

1970 63 59

1980 69 63

1990 74 68

2000 77 72

199L ib ro para e l maest ro

183

IIMATEMTICASb) Cul era la esperanza de vida para las mujeres en los aos de 1950 y 1980?

c) En general, cul ha sido el comportamiento en cuanto a la esperanza de vida de

mujeres y hombres en Mxico a travs de los aos?

d) Se ha incrementado o se ha reducido?

e) Entre qu aos present el mayor incremento?

3. Para ampliar lo que saben sobre el uso de las grficas de lnea en la representacin de distintos fenmenos pueden ver el programa Anlisis de datos en grficas de lnea.

Para saber ms

Sobre la variacin en el nmero de turistas extranjeros y nacionales, los empleos relacionados con el turismo, la cantidad de vuelos y pasajeros consulten:http://www.sectur.gob.mxRuta: Estadsticas del Sector-DataTur Publicaciones y documentos Resultadosde la actividad Turstica Seleccionar el reporte ms actual del ao 2007.[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Secretara de turismo.

MAT2 B4 S28.indd 183 9/10/07 12:42:38 PM

Respuestas.

b) 49 aos en 1950 y 69 aos en 1980.

c) Ha aumentado a travs de los aos, aunque siempre la esperanza de vida de las mujeres es ms alta que la de los hombres. El mayor incremento se dio de 1950 a 1960.

d) Se ha incrementado.

e) Entre 1950 y 1960.

Propsito del programa integrador 23. Presentar grficas de lnea que representan variaciones en el tiempo de ciertos fenmenos, interpretarlas y mencionar sus caractersticas.

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y das de transmisin.

200 L ib ro para e l maest ro

Propsito de la actividad. Se pretende que los alumnos anticipen cmo se ver la grfica en un fenmeno de llenado de recipientes.

Por ejemplo, si en un primer momento el nivel del agua sube ms rpido que en un segundo momento, el primer segmento de la grfica tendr una pendiente mayor que la del segundo segmento.

Propsito del interactivo. Hacer experimentos para observar el comportamiento de la grfica del nivel del agua contra el tiempo que tarda en llenarse.

Eje

Manejo de la informacin.

Tema

Representacin de la informacin.

Antecedentes

Anteriormente los alumnos han representado dis