2 10 8

kpss

ÖABT

Öncebiz sorduk

50 Soruda

SORU30

GüncellenmişYeni

Baskı

LİSEMATEMATİK

GEOMETRİİSTATİSTİK ve OLASILIK

Komisyon

ÖABT Lise Matematik Geometri - İstatistik ve Olasılık Konu Anlatımlı

ISBN: 978-605-318-911-4

Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.

5. Baskı: 2018, Ankara

Proje-Yayın: Çağla BardakcıoğluDizgi-Grafik Tasarım: Kezban Yanık

Kapak Tasarımı: Pegem Akademi

Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105

Yenimahalle/ANKARA(0312 394 55 91)

Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 26687

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.netE-ileti: pegem@pegem.net

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Adayları,

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Geometri-İstatistik ve Ola-sılık 3. Kitap" adlı yayınımız Geometri - İstatistik ve Olasılık bölümünü kapsamak-tadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanya-zın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek haya-tınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve de-taylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çö-zümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekil-miştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin soru-larınızı pegem@pegem.net adresine e-posta yoluyla ya da 0507 316 60 66 numa-rasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır.

Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...

Başarılar...

MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER

MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı

Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.

Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel

olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.

Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası

Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40

a. Analiz

b. Cebir

c. Geometri

d. Uygulamalı Matematik

% 28

% 18

% 18

% 16

Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50

Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu

bilgiler 2014-2015-2016-2017 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklik-

leri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

İÇİNDEKİLER

1. BÖLÜM

UZAYDA VEKTÖRLER

UZAYDA VEKTÖRLER ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 5

İki Vektörün Paralelliği................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6

Vektörlerin Lineer Bileşimi ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6

Lineer Bağımlılık – Lineer Bağımsızlık ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6

Standart Birim Vektörleri ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 6

Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6

İki Vektör Arasındaki Açı.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................7

Dik İzdüşüm Vektörü ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................7

Vektörel (Çapraz) Çarpım ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................8

Paralelkenarın Alanı ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................9

Paralelyüzün Hacmi ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................10

Çözümlü Test ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................13

Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................15

UZAYDA DOĞRU ve DÜZLEM DENKLEMİ

UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM DENKLEMİ .......................................................................................................................................................................................................................................................................17

İki Noktası Belli Olan Doğru Denklemi ..................................................................................................................................................................................................................................................................................19

Düzlem ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................20

Çözümlü Sorular - I .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................22

Bir Noktanın Düzleme Uzaklığı .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................25

Çözümlü Sorular - II ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................25

Uzayda İki Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları ve Kesişme Noktasının Bulunması ..................................................................................................................................28

Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı ...........................................................................................................................................................................................................................................................................29

Çözümlü Sorular ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................30

İki Düzlemin Birbirlerine Göre Konumu ve İki Düzlem Arasındaki Açı ...................................................................................................................................................................................34

Bir Düzlem ile Bir Doğru Arasındaki Açı .........................................................................................................................................................................................................................................................................34

İki Düzlemin Açıortay Düzlemi ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................34

Çözümlü Sorular ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................34

Bir Doğrudan Geçen Düzlem Demeti ......................................................................................................................................................................................................................................................................................36

Uzayda Simetri .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................37

Çözümlü Sorular ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................38

Çözümlü Test - 1 ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................43

Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................45

Çözümlü Test - 2 ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................47

Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................49

vi

YÜZEYLER

E3 DE YÜZEY .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................55

KÜRE ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................55

Küre Olma Koşulları ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................56

Kürenin Parametrik Denklemi ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................57

Kürenin Teğet Düzlemi ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................57

SİLİNDİR ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................57

KONİ .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................59

Bazı Kuadratik Yüzeyler ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................63

Çözümlü Sorular ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................63

Silindirin İsimlendirilmesi ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................64

Dönel Yüzeyler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................66

SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................68

KÜRESEL KOORDİNATLAR .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................68

Çözümlü Test ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................69

Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................71

KONİKLER

TANIM ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................75

Genel Konik Denkleminde x.y– li Terimi Yok Etme ...............................................................................................................................................................................................................................................75

ELİPS - HİPERBOL - PARABOL

ELİPS .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................79

Elipsin Denklemi ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................79

Elipsin Teğet ve Normal Denklemleri......................................................................................................................................................................................................................................................................................80

Elipsin Parametrik Denklemi...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................81

HİPERBOL ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................83

Hiperbolün Denklemi .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................83

PARABOL ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................86

Parabolün Denklemi ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................86

Çözümlü Test ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................89

Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................91

Karma Test - 1 ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................93

Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................95

Karma Test - 2 ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................97

Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................99

vii

2. BÖLÜM

İSTATİSTİK VE OLASILIK

TEMEL KAVRAMLAR ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................105

Sayısal Bilgi, Veri, Ölçüm ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................105

Değişken ve Türleri .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................105

Fonksiyon ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................105

Evren ve Örneklem..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................107

İstatistik ve Parametre..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................107

Çözümlü Test ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................108

Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................110

VERİNİN DÜZENLENMESİ VE MERKEZE EĞİLME ÖLÇÜLERİ

VERİNİN DÜZENLENMESİ ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................113

Grafik Çizme ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................113

Merkeze Eğilme (Yığılma) Ölçüleri .........................................................................................................................................................................................................................................................................................114

Mod (Tepedeğer) ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................114

Medyan (Ortanca) ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................114

Aritmetik Ortalama ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................115

Mod, Medyan ve Ortalamanın Karşılaştırılması .....................................................................................................................................................................................................................................116

Ağırlıklı Ortalama ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................117

DEĞİŞME (DAĞILMA) ÖLÇÜLERİ ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................118

Ranj (Açıklık) ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................118

Mutlak Kayma .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................118

Varyans ve Standart Kayma ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................118

Bağıl Değişkenlik Katsayısı ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................120

STANDARTLAŞTIRMA (z ve T PUANLARI) ................................................................................................................................................................................................................................................................120

z Puanı ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................120

T Puanı ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................120

Çözümlü Test ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................122

Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................125

viii

OLASILIK

TEMEL KAVRAMLAR ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................129

Olasılık ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................130

Birleşik Olayların Olasılığı ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................131

Ayrık İki Olayın Birleşiminin Olasılığı ..................................................................................................................................................................................................................................................................................131

Olaylar Arasındaki Bağıntılar .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................132

Bağımsız Olaylar ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................133

TESADÜFÎ DEĞİŞKEN, OLASILIK FONKSİYONU VE BEKLENEN DEĞER ...............................................................................................................................................................136

Tesadüfî Değişkenin Beklenen Değeri ...............................................................................................................................................................................................................................................................................142

Varyansın Hesabı ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................145

Momentler ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................148

Çözümlü Test ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................157

Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................160

OLASILIK DAĞILIMLARI

OLASILIK .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................165

Binom Olasılık Dağılımı .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................165

Poisson Olasılık Dağılımı..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................167

Hipergometrik Olasılık Dağılımı ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................168

Normal Olasılık Dağılımı ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................175

Standart Normal Olasılık Dağılımı ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................176

Çözümlü Test ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................178

Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................181

Çözümlü Deneme - 1 .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................184

Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................187

Çözümlü Deneme - 2 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................190

Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................193

1. BÖLÜM

UZAYDA VEKTÖRLER

5

UZAYDA VEKTÖRLER

R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R} kümesine 3 boyutlu vektör uza-yı denir. Vektörlerin başlangıç noktası orijin olmak üzere, R3 ün her noktasına bir vektör karşılık gelir.

z

y

P(a, b, c)

0

x

, ,a b cOP = ` j ise a, b, c sayılarına OP yer vektörünün bileşenleri denir. P noktasının orijine olan uzaklığına, OP vektörünün normu (uzunluğu) denir ve OP ile gös-terilir.

, , .a b c a b c dirOP OP P 2 2 2&= = = + +` j

AB vektörüne eş, başlangıç noktası orijin olan OP vek-törüne, AB vektörünün yer vektörü denir.

A(x1, y

1, z

1) ve B(x

2, y

2, z

2) ise;

, ,x x y y z z

x x y y z zOP

AB

AB

2 1 2 1 2 1

2 12

2 12

2 12

= − − −

= = − + − + −

`

` ` `

j

j j j

Normu 1 olan vektöre birim vektör denir.

z

y0

x

A(x1, y1,z1) B(x2, y2,z2)

P(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

Çıkmış Sorular

Uzayda A(1, 2, 3), B(2, -1, -4) ve C(m, 2, -1) noktaları veriliyor.

AB AC= olduğuna göre m kaçtır?

A) -27 B) -29 C) 14 D) 29 E) 27

, , , ,mAB AC1 3 7 1 0 4= − − = − −` `j j.

.

d rm

mm olur

AB AC AB AC 01 1 3 0 7 4 0

27 027

ı& $

$

= =

− + − + − − =+ ==−

` ` ` `j j j j

Cevap A

ÖrnekA(1, –1, 1) ve B(2, a, –3) noktaları veriliyor.

AB 26= br olduğuna göre a sayısının alabileceği değerleri bulunuz.

, ,a

a

a

aa a veya a

AB

AB

1 1 4

26 1 1 4 26

1 17 26

1 91 3 2 4

2 2 2

2

2

&

&

&

& &

= + −

= + + + − =

+ + =

+ =+ = = =−

`

``

` `

j

jj

j j

Çıkmış Sorular

Dik koordinat düzleminde verilen u ve v vektör-

leri için u v 8$ = , u v u v 16+ + − = olduğuna göre

u v+ değeri kaçtır?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13

.

u v u v u v

u v u v u v

u u v u v olurv

2

2

4

2 2

2 2

2

2

2

2&

$ $

$ $

$ $

+ = + +

− = + +

=+ − −

Buna göre;

u v u v u v u v 4 816

$ $+ + − + − − =` `j j1 2 3444444444 444444444

u v u vu v u v

u v

216

+ − − =

+ + + + = +

+ .olur9=Cevap B

6

İki Vektörün Paralelliği

, , 0, ,a b aR k b 003d ! !! olmak üzere,

. //a b a bk += dir.

, , , ,a x y z ve b x y z olmak zereü1 1 1 2 2 2= =` `j j

//a bxx

yy

zz

2

1

2

1

2

1+ = = dir.

Örnek

A(2, 4, 2) ve B(6, 2, 4) noktaları ile

, ,v x y x y2 1= − +` j vektörü veriliyor.

// vAB olduğuna göre, (x, y) ikilisini bulunuz.

Çözüm

2

, ,

, ,

//

, , .

v

v

x yx y

x y x y

x y x y

x y olur

AB

AB

2 1

4 2 2

2 1

4 22

21

1 1

&

&− =

+ =−

= −

= − +

−=

−

+=

= −

`

`

` `

j

j

j j4

Vektörlerin Lineer Bileşimi

, , , ...,, , , ..., R ve k k k k RV V V Vn n1 2 33

1 2 3d d

olmak üzere,

. . .. ...u k k kk V V VV n n2 2 3 311= + + + + vektörüne,

, , , ...,V V V Vn1 2 3 vektörlerinin lineer bileşimi denir.

Lineer Bağımlılık – Lineer Bağımsızlık

, , , ...IR de V V V Vn3

1 2 3 vektörleri verilsin.

. . .. ...c c cc V V V V 0n n1 2 2 3 31 + + + + = denklemi yalnız

c1 = c

2 = c

3 ... = c

n = 0 için sağlanırsa bu vektörlere lineer

bağımsız; c1 = c

2 = c

3 ... = c

n = 0 değerlerinden en az

biri sıfırdan farklı olacak şekilde sağlanırsa bu vektörlere lineer bağımlıdır denir.

Uyarı, , ...V V V V1 2 n= & 0, IR3 uzayının bir alt kü-

mesi olmak üzere , , ...det AV V Vn1 2 =b l

olsun.

I. A = 0 ⇔ V kümesi lineer bağımlı,

II. A ≠ 0 ⇔ V kümesi lineer bağımsızdır denir.

Standart Birim Vektörleri

z

y0

x

e3 = 0,0,1` j

e1 = 1,0,0` j

e2 = 0,1,0` j

R3 vektör uzayında üzerinde bulunduğu eksen ile pozitif yönlü birim vektörlere, standart birim vektörler denir.

, ,

, ,

, ,

e i

e j

e k

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

2

3

=

= =

= =

= `

`

`

j

j

j

Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı

Her , RA B 3! için;

, , , ,x y z ve x y zA B1 1 1 2 2 2= =` `j j olmak üzere,

, x x y y z zA B A B< > 1 2 1 2 1 2$ $ $$ = = + +

şeklinde tanımlanan işleme, "R3 de Öklid iç çarpım işle-mi" denir.

Özellikleri

1. ,A A A A A A2

$ $= =

2. A B B A$ $= (değişme özelliği)

3. A B C A B A C$ $ $+ = +` j (çarpmanın toplama üzeri-ne dağılma özelliği)

7

Örnek

, , , ,a ve aA B3 2 2 10= − =` `j j vektörleri veriliyor.

A B 5$ = olduğuna göre a sayısının kaç olacağını bu-lunuz.

Çözüm

..a aaa

A B 53 2 2 10 5

5 255

=

+ − =

=

=

İki Vektör Arasındaki Açı

, RA B 3! verilsin. veA B vektörleri arasındaki açının ölçüsü a olmak üzere,

cosA B A B$ $ $ a= olur.

A B= ise a = 90° için cosa = 0 olduğundan

.A B A B 0+= = olur.

Örnek

, , , ,veA B1 2 3 1 1 2= − = −` `j j vektörleri arasındaki

açının cosinüsünü bulunuz.

Çözüm

. . .

. .

.

cos

cos

cos

A B A B

1 2 6 1 2 3 1 1 2

14 63

2 213

2 2 2 2 2 2i

i

i

=

− − + = − + + + − +

= =

` `j j

Örnek

, , , ,veA B1 1 2 3 1 3 1 4= = − − −` `j j vektörleri ara-sındaki açının cosinüsünü bulunuz.Çözüm

.

.

.

( ) ( ) ( )

..

cos

cos

cos

olur

A BA B

A B

A

B

3 1 3 1 8 6

1 1 2 16

3 1 3 1 4

4 2 3 4 2 3 1624 2 6

6 2 66

21

2 2 2

2 2 2

i

i

i

=

= − − − + =

= + + =

= − + − − +

= − + + +

= =

=

=

` `j j

Örnek

ileA B vektörleri arasındaki açının ölçüsü 45°,

veA B2 2 3= = olduğuna göre,

. 3 2A B A B+ −` `j j iç çarpımının sonucunu bulunuz.

Çözüm

. . . . . . . .

. . .

. . . .

.

cos

olur

A B A B A A A B A B B B

A A B B

3 2 3 3 2 2

3 2

3 8 2 2 3 45 2 9

24 6 1812

°

2 2

+ − = + − −

= + −

= + −

= + −

=

` `j j

Dik İzdüşüm Vektörü

0 Hu

A

B

, , , , ,x y z x y zA B1 1 1 2 2 2= =` `j j vektörleri verilsin.

A vektörünün B vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü

uOH = olsun. ileA B arasındaki açı a olmak üzere;

..

.cos cosdir u

A B

A

A

Ba a= = yazılırsa

.

. .u uA A B

A

B

A BB&= = dik izdüşüm vektörünün

uzunluğudur.

.u uB

B= olacağından

. .uBA B B2= dik izdüşüm vektörünü verir.