CuprinsCuprins....................................................................................................................................21. Rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor eliptice liniare..........................................................4

1.1. Teorema proiectiilor.....................................................................................................41.1.1. Enunţ.....................................................................................................................4

1.1.2. Proprietăţi variaţionale..........................................................................................8

1.2. Aproximarea unui spaţiu normat..................................................................................91.2.1. Aproximarea internă a unui spaţiu normat..........................................................10

1.2.2. Aproximarea externă a unui spaţiu normat.........................................................13

1.3. Aproximarea prin diferenţe finite..............................................................................141.3.1. Ecuaţii de aproximare.........................................................................................14

1.3.2. Teorema de convergenţă.....................................................................................15

1.4. Metoda de calcul al erorii...........................................................................................191.5. Metoda paşilor fracţionari..........................................................................................21

1.5.1. Ecuaţii de aproximare.........................................................................................23

1.5.2. Teoremă de convergenţă şi evaluarea erorii.......................................................24

2. Aplicaţii.............................................................................................................................272.1. Spaţii de funcţii asociate unei mulţimi deschise din Rn.............................................27

2.1.1. Definiţia acestor spaţii........................................................................................27

2.1.2. Proprietăţi ale spaţiilor Sobolev..........................................................................29

2.1.3. Aproximarea unor spaţii funcţionale(I)...............................................................30

2.1.4. Aproximarea spaţiului ............................................................................31

2.1.5. Aproximarea spaţiului ...........................................................................32

2.1.6. Aproximarea unor spaţii funcţionale (II)............................................................36

2.1.7. Aproximarea externă a spaţiului ............................................................38

2.1.8. Aproximarea externă a spaţiului ............................................................40

2.2. Exemplu (I): Problema Dirichlet................................................................................412.2.1. Problema exacta.................................................................................................41

2.2.2. Aproximarea prin diferenţe finite.......................................................................42

2.2.3. Alte tipuri de rezultate.........................................................................................45

2.2.4. Metoda paşilor fracţionari...................................................................................47

2.2.5. Aplicaţii numerice...............................................................................................49

2.3. Exemplu (II): Problema Neumann.............................................................................49

2

2.3.1. Problema exactă..................................................................................................49

2.3.2. Aproximarea prin diferenţe finite.......................................................................51

2.3.3. Metoda paşilor fracţionari...................................................................................52

2.3.4. Aplicaţii numerice...............................................................................................53

3. O ecuaţie eliptică neliniară................................................................................................543.1. Problema exacta....................................................................................................54

3.1.1. Teoremă de existenţă şi unicitate.......................................................................54

3.1.2. Leme....................................................................................................................56

3.1.3. Metoda lui Garlekin............................................................................................57

3.2. Probleme aproximative..............................................................................................613.2.1. Aproximarea externa a spaţiului .....................................................................61

3.2.2. Ecuaţii de aproximare.........................................................................................64

3.2.3.. Metoda paşilor fracţionari..................................................................................68

3.2.4. Aplicaţii numerice...............................................................................................69

3

4

1. Rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor eliptice liniare

1.1. Teorema proiectiilor

În acest paragraf, demonstrăm o teoremă foarte simplă, cunoscută sub numele de

teorema proiectiilor sau teorema Lax-Milgram, şi care implică existenta si unicitatea

soluţiilor în sens slab pentru anumite clase de probleme eliptice liniare.

1.1.1. Enunţ

Fie un spatiu Hilbert real în raport cu produsul scalar notat prin

şi a cărei norma asociată lui este notată prin . Fie dualul lui , care la rândul

său este spaţiu Hilbert real şi a cărei normă este notată cu . Dacă si

, vom nota prin

produsul scalar între şi în dualitatea dintre ’ si sau, cum se mai zice,

definim paranteza de dualitate.

De asemenea, considerăm o formă biliniară si continuă pe

5

şi presupunem că aceasta satisface urmatoarea conditie: , astfel încat

, . (1.1)

Condiţia (1.1) se numeşte condiţia de coercitivitate, iar atunci când aceasta este

satisfăcută, se spune că forma este coercitivă.

Teorema 1.1. Fie un spaţiu Hilbert real şi o formă biliniara continuă şi

coercitivă definită pe . Pentru orice exista un element şi numai unul,

astfel încât:

. (1.2)

Mai mult,, aplicaţia

este liniară şi continuă.

Pentri demonstrarea acestei teoreme, vom da ecuaţiei (1.2) o nouă formă, prin

introducerea operatorului , definit în mod natural prin (1.2). Astfel, pentru dat,

arbirar ales, aplicaţia parţială

este o formă liniară continuă pe şi există deci un element al spaţiului dual pe care îl

notăm cu astfel încât:

, .

Este uşor de verificat că aplicaţia

6

este o aplicaţie liniară a lui în . De altfel, vom demonstra că acesta este un

izomorfism al lui pe , dar mai întâi să observăm că ecuaţia (1.2) este echivalentă cu

,

adică

, (1.3)

egalitatea fiind considerată în dualul .

Dacă demonstram ca operatorul este un izomorfism al spaţiului pe dualul ,

teorema 1 va rezulta de aici imediat.

Propoziţia 1.1. În ipotezele teoremei 1.1., operatorul este un izomorfism al spaţiului

pe .

Demonstraţie. Să aratăm că operatorul , despre care s-a observat mai înainte că este

liniar, este continuu în sensul normei spaţiului dual, i.e. este -continuu. Forma biliniară

fiind continuă, există o constantă astfel ca

de unde

şi deci

ceea ce demonstrează că operatorul este continuu.

Ţinând seama de condiţia (1.1), avem

,

7

de unde

,

ceea ce demonstrează că operatorul este injectiv şi că operatorul este continuu de la

, mulţimea valoriloroperatorului , pe .

Întrucât operatorul este un izomorfism al spaţiului pe , conststăm că

este complet şi deci este subspaţiu închis în dualul . Vom demonstra, pentru a

încheia că de fapt avem , i.e. că operatorul este surjectiv.

Fie spaţiul polar al lui în , i.e. dacă , avem

,

,

şi, deci, în particular:

, (1.4)

ceea ce atrage după sine , conform cu (1.1). În aceste condiţii, spaţiul polar al lui

se reduce la {0} şi rezultă că

.

Propoziţia este astfel demonstrată.

1.1.2. Proprietăţi variaţionale

8

Dacă forma este o formă biliniară simetrică, problema (1.2) este echivalentă

cu o problemă de calcul variaţional.

Propoziţia 1.2. Fie iporezele din teorema 1 şi se presupune în plus că forma este

simetrică. În acest caz, este soluţia problemei (1.2) dacă şi numai dacă, realizeaza

în minimul funcţionalei

. (1.5)

Există, deci un element şi numai unul, astfel că

. (1.6)

Demonstraţie. Fie soluţia problemei (1.2) şi fie . Din inegalitate evidentă

,

ţinând seama de (1.2), rezultă

.

Reciproc, dacă presupunem că realizează minimul în al funcţionalei şi

este elementul generic, atunci

,

oricare ar fi . Explicitând şi simplificând, se gaseşte că se îndeplineşte următoarea

inegalitate

.

Considerând succesiv cazurile şi , se simplifică prin şi, apoi, se face

să tindă către 0, obţinânu-se

9

şi, întrucât este oarecare, este într-adevăr soluţia problemei (1.2).

1.2. Aproximarea unui spaţiu normat

În cele ce urmează, vom considera aproximarea soluţiei a ecuaţiei (1.2) prin

elementele unui spaţiu, altul decât , care ca spaţiu vectorial nu are dimensiune finită.

Această situaţie apare, în particular, atunci când ecuaţia (1.2) este o ecuaţie cu derivate

parţiale şi i se asociază o ecuaţie discrtizată. În acest caz, este un spaţiu funcţional şi

soluţia se aproximează cu funcţii care nu sunt elemente ale spaţiului , de exemplu,

funcţii etejate.

Motivarea definiţiilor care urmează este următoarea: noi vrem să aproximăm

elementele unui spasţiu normat prin acelea care aparţin unei familii de spaţii

normate. Pentru orice , trebuie să comparăm elementele cu elementele

. Când aceste spaţii sunt diferite, se pot concepe două moduri rezonabile pentru a realiza

aceasta comparare:

1) se compară cu o imagine a elementului în ,

unde este un operator definit pe cu valori în V;

2) se compară cu o imagine a elementului în , unde este un operator

definit pe cu valori în .

În general, trebuie să se poată face simultan comparaţii în şi în şi este necesar

ca operatorii şi să fie daţi.

Vom presupune, de fapt, că este o mulţime de forma

10

(1.7)

şi ne interesează trecerea la limită . Aceasta este situaţia pentru metoda cu diferenţe

finite, în caz în care reprezintă pasul reţelei. Definiţiile vor fi adaptate cu uşurinţă la

cazul în care este o mulţime dotată cu un filtru de bază numărabilă şi, în particular, în

cazul în care .

1.2.1. Aproximarea internă a unui spaţiu normat

Definiţia 1.1. Se numeşte aproximare internă a unui spaţiu normat mulţimea

formată dintr-o familie de triplete , , unde:

1) este un spaţiu normat;

2) este un operator liniar continuu din în ;

3) este un operator liniar continuu din în .

Dacă este un spaţiu Hilbert şi dacă spaţiile sunt tot spaţii Hilbert, se spune că

aproximarea este de tip Hilbert.

În cazurile cele mai interesante, spaţiile sunt de dimensiune finită; destul de

adeseori, operatorii sunt injectivi şi operatorii sunt surjectivi.

Operatorii şi se numesc respectiv operatori de

prelungire şi operatori de restricţie; iar operatorii din în el însuşi sunt operatori de

trunchiere.

Notăm prin şi, respectiv, norma în , respectiv în .

11

Definiţia 1.2. Pentru un dat, dacă şi , vom spune că:

1) este eroarea dintre u si ;

2) este eroarea discretă dintre şi ;

3) este eroarea de trunchiere pentru .

Definiţia 1.3. (Aproximaţii stabile).

1. Operatorii de prelungire se numesc stabili, dacă normele lor

sunt majorate independent de .

2. Operatorii de restricţie se numesc stabili, dacă normele lor

sunt majorate independent de .

3. Vom spune că aproximaţia a spaţiului este stabilită, dacă

operatorii de prelungire şi de restricţie sunt stabili,

Să vedem, acum, ce se întămplă cănd .

Definiţia 1.4. (Aproximaţii convergente). Vom spune că aproximaţia a

spaţiului este convergentă dacă, pentru orice , avem

în V în sens tare.

12

Propoziţia 1.3. Fie o aproximaţie stabilă a spaţiului . Pentru ca această

aproximaţie să fie convergentă, este necesar şi suficient ca

pentru toate elementele ale unui subspaţiu dens din .

Demonstraţie. Pentru orice şi pentru orice , există

astfel că .Avem:

unde majorează normele operatorilor , , Trecănd la limita superioară în această

ultimă inegalitate, se obţine

.

Întrucăt este arbitrar de mic, şi propoziţia rezultă de aici.

Considerăm, acum, o familie de elemente :

.

Definiţia1.5.

1. Vom spune că familia converge tare (respective slab) către , dacă

converge tare (respectiv slab) către în , cănd .

2. Vom spune că familia converge discret către , dacă

.

13

1.2.2. Aproximarea externă a unui spaţiu normat

Un alt mod rezonabil de a compara cu constă în a compara o imagine

a lui cu o imagine a lui într-un acelaşi spaţiu . Aceasta conduce la noţiunea de

aproximare externă.

Definiţia 1.6. Se numeşte aproximaţie externă a unui spaţiu normat , muliţmea formată

din:

1) un spaţiu normat şi un izomorfism al lui în ;

2) o familie de triplete , în care, pentru orice , spaţiul

este un spaţiu normat, este o aplicaţie liniară continuă a lui în

, este o aplicaţie liniară continuă an lui în

Definiţia 1.7. Vom spune că o aproximaţie externă a spatiului este convergentă dacă:

1. pentru orice avem

în în sens tare;

2. pentru orice şir de elemente din , astfel încăt

converge slab spre în , avem .

Vom spune că familia converge slab (respectiv tare) către , dacă

converge slab (respectiv tare), în , către . Vom spune că familia converge discret

către , dacă

.

14

1.3. Aproximarea prin diferenţe finite

1.3.1. Ecuaţii de aproximare

Fie un spaţiu spaţiu Hilbert real, o formă biliniară pe , continuă şi

coercitivă, şi fie . Ştim că există un element unic care verifică ecuaţia (1.2.).

În vederea aproximării acestui element , ne dăm o aproximaţie de tip Hilbert

internă, stabilă şi convergentă a spaţiului , fie aceasta . Pentru orice,

ne dăm de asemenea:

1) o formă biliniară continuă pe , coercitivă şi care deci verifica

următoarea condiţie: >0, independente de , astfel încât

(1.8)

2) o formă liniară continuă pe , , astfel încât:

, (1.9)

unde prin se notează şi este idependent de .

Asociem atunci ecuaţiei (1.2) familia de ecuaţii de aproximare următoare:

Pentru dat, să se găsească astfel încât:

. (1.10)

Datorită ipotezelor precedente, teorema proiecţiilor ne permite să afirmăm că

ecuaţia (1.9) admite o soluţie unică; vom spune că este soluţia aproximativă a ecuaţiei

(1.2).

15

Observaţie. Se poate introduce operatorul liniar care aplică spaţiul în şi care

este definit de relaţia

.

Ecuaţia (1.10.) se poate scrie:

. (1.11)

1.3.2. Teorema de convergenţă

Pentru a studia convergenţa şirului către , trebuie să precizăm mai întâi modul

în care formele şi aproximează formele şi . Ipotezele corespunzătoare se numesc

de obicei ipoteze de compatibilitate. Cele pe care le acceptăm noi sunt următoarele:

Dacă familia converge slab spre , când , atunci, pentru orice Vw , avem

. (1.12)

Dacă familia converge slab către , când , atunci, pentru orice avem

= . (1.13)

Pentru orice ,

. (1.14)

Dacă familia converge slab spre v, când , atunci

. (1.15)

Cu ajutorul acestor ipoteze demonstrăm umătoarele rezultate.

16

Teorema 1.2. În ipotezele (1.1), (1.8), (1.9), (1,12) şi (1.14) soluţia a problemei (1.10)

converge slab către soluţia a problemei (1.2), când .

Demonstraţie. Facând în (1.10) şi folosind (1.8) şi (1.9), se obţine:

,

, (1.16)

de unde

. (1.17)

Dat fiind că operatorii sunt stabili, există o constantă care majoreză norma acestor

operatori:

(1.18)

şi astfel

. (1.19)

În aceste condiţii, există şi un şir care converge spre 0, astfel încât

. (1.20)

în în sens slab.

Pentru un dat din , scriem (1.10) cu şi trecem la limită cu şirul ,

folosind (1.12),(1.15) şi (1.20):

,

,

.

17

În sfârşit, avem că

şi întrucât este oarecare, este soluţia ecuaţiei (1.2), .

Se arată la fel că din orice şir extras din se poate extrage un subşir care

converge slab spre în . Aceasta demonsterază că întreaga familie converge slab

către în atunci când .

Teorema 1.3. În ipotezele (1.1), (1.8), (1.9) şi (1.12)-(1.15), soluţia a problemei (1.10)

converge tare şi discret spre soluţia a problemei (1.2), cănd .

Demonstraţie. Teorema 1.2, care se poate aplica, arată că

. (1.21)

Să considerăm atunci expresia

,

Conform cu (1.13), (1.14) şi (1.21) avem

,

.

Conform cu (1.15):

În sfarşit, conform cu (1.15.), (1.24.) şi (1.29) rezultă că

18

Regrupând aceste expresii, obţinem

Împreună cu (1.8), aceasta ne dă

ceea ce dovedeşte că converge discret către . Conform propoziţiei 1.2. aceasta implică

convergenţa tare a lui spre .

1.4. Metoda de calcul al erorii

Punem:

(1.22)

(1.23)

Teorema 1.4. În ipotezele (1.1.), (1.8.) şi (1.9.), dacă este soluţia ecuaţiei (1.2) şi

soluţia ecuaţiei (1.10), avem:

19

, (1.24)

, (1.25)

unde este o constantă care majorează normele operatorilor ph.

Demonstraţie. Avem:

=

=

=

+ ,

Unde am folosit (1.10) cu şi (1.2) cu .

Conform cu (1.22) şi (1.23):

,

si atunci

.

Utilizând (1.8), deducem (1.23).

În cazul schemelor de restricţie prezentate, se poate da o mai bună evaluare a erorii dintre

şi .

20

Teorema 1.5. În cazul schemelor de restricţie, eroarea dintre soluţia u a ecuaţiei (1.2) şi

soluţia a ecuaţiei (1.10) este majorată prin eroarea de trunchiere a lui :

, (1.26)

unde

. (1.27)

Demonstraţie. Pentru orice avem

Şi, în particular, scriem

.

În acest caz rezultă că

,

,

ceea ce demonstrează teorema.

1.5. Metoda paşilor fracţionari

Vom studia o nouă metodă de rezolvare a ecuaţiei (1.2). De fapt, ceea ce urmează se

aplică tot aşa de bine şi la rezolvarea ecuaţiei discretizate (1.10).

Ipotezele adoptate pentru această metodă sunt:

21

Se dau două spaţii Hilbert si , spaţiul fiind inclus în , dens în , iar

injecţia lui în fiind continuă. Notăm prin şi , respectiv şi , produsul

scalar şi norma în , respective în .

De asemenea, se dau spaţii Hilbert , înzestrate cu produsul scalar

care defineşte norma , , astfel încat

, (1.28)

, (1.29)

. (1.30)

Ca şi în subcapitolul 1.1., se poate identifica cu un subspaţiu dens al lui , i.e.:

.

Identificand apoi şi , avem

(1.31)

, unde fiecare spaţiu este dens în următorul şi unde injecţiile sunt continue. Vom

nota prin dualitatea dintre şi ’.

Se dă, ca de obicei, o formă biliniară, continuă,coercitivă pe

, (1.32)

şi presupunem că admite o descompunere de forma

, (1.33)

unde este o formă biliniară continuă coercitivă pe :

22

, (1.34)

Injecţia spaţiului în fiind continuă, din (1.34) rezultă că există o constantă ,

astfel încat

. (1.35)

Numim , respective , operatorul definit prin relaţia

, (1.36)

respective

.

Conform cu (1.33), (1.36) avem:

.

Ştim că pentru dat în există un element unic , astfel încat

, (1.37)

sau înca

(1.38)

şi tocmai acest element vrem să-l aproximăm.

Vom face următoarea ipoteză de regularitate:

(1.39)

1.5.1. Ecuaţii de aproximare

23

Alegem, în mod arbitrar, o descompunere pentru :

, (1.40)

de exemplu, , , .

Pentru orice număr întreg şi pentru orice număr real pozitiv , vom defini prin

recurenţă o familie de elemente ale spaţiului

Pentru început, alegem în mod arbitrar , în . Dacă sunt

cunoscute, este definit ca soluţie în a ecuaţiei

. (1.41)

Această ecuaţie se mai poate scrie sub forma

(1.42)

Existenţa şi unicitatea unei soluţii pentru (1.41) sau(1.42) rezultă simplu din

teorema proiecţiilor.

1.5.2. Teoremă de convergenţă şi evaluarea erorii

Ne propunem să comparăm ultimul element al şirului de la 1.10.

cu soluţia a ecuaţiei (1.37)

Teorema 1.6. In ipotezele (1.28.)–(1.35) şi (1.39), pentru orice număr întreg ,

avem

24

, (1.43)

unde

(1.44)

(1.45)

, (1.46)

(1.47)

De aici reziltă imediat următorul rezultat.

Teorema 1.7. In aceleaşi ipoteze, dacă şi astfel încăt

, (1.48)

atunci

în în sens tare.

Demonstraţia teoremei 1.6. Luăm

.

În acest caz, conform cu (1.42)

.

Rezultă că

.

Se verifică uşor că

25

şi astfel

(1.50)

Pentru dat, adunăm egalităţile (1.50.) corespunzătoare lui . Intrucăt

găsim

(1.51.)

Tinănd seama de (1.35) şi (1.47), vom scrie

(1.52)

şi majorăm membrul al doilea din (1.51) prin

Folosind inegalitatea lui Schwartz:

26

,

putem să majorăm membrul al doilea din (1.51) prin

Cu această ultimă inegalitate şi cu (1.52), inegalitatea (1.51) dă

, (1.53)

Inmulţind (1.53) prin şi adunănd inegalităţile (1.53) pentru ,

se obţin exact expresiile (1.43)- (1.47).

2. Aplicaţii

2.1. Spaţii de funcţii asociate unei mulţimi deschise din Rn

Fie o mulţime deschisă din , de frontieră ; vom asocia acestei mulţimi

deschise diferite spaţii funcţionale utile în cele ce urmează.

2.1.1. Definiţia acestor spaţii

Spaţiul . Pentru , înseamnă spaţiul funcţiilor reale definite pe

şi de putere sumabilă pentru măsura Lebesgue ; se ştie că acest spaţiu este un spaţiu

Banach dacă este înzestrat cu norma

27

Pentru , spaţiul este un spaţiu Hilbert faţă de produsul scalar

şi vom nota

.

Se numeşte spaţiul funcţiilor reale măsurabile în şi esenţial mărginite

pentru măsura Lebesgue. Acesta este un spaţiu Banach pentru norma

.

Spaţii , . Se numeşte (respectiv ) spaţiul

funcţiilor reale indefinite diferenţiabile şi cu suport compact în (respectiv în ).

Se ştie că este dens în fiecare spaţiu , .

Spaţii Sobolev. Notăm prin operatorul de derivare , şi, dacă este un multiindice,

, notăm:

,

;

şi înseamnă operetorul identitate.

DEFINIŢIA 2.1. Pentru orice număr întreg , înseamnă spaţiul de funcţii din

, ale căror derivate în sensul teoriei distribuţiilor de ordin mai mic sau egal cu se

găsesc toate în .

Spaţiul este evident un subspaţiu vectorial al spaţiului ; dacă şi

aparţin lui , punem

.

(2.1)

LEMA 2.1. Spaţiul dotat cu produsul scalar (2.1) este un spaţiu Hilbert.

Demonstraţie. Se vede imediat că (2.1) defineşte pe o formă biliniară simetrică

pozitivă nedegenerată. Să arătăm că este spaţiu complet pentru norma asociată

acestui produs scalar.

Fie un şir Cauchy în . Pentru orice multiindice , , şirul

este şir Cauchy, deci convergent în ; luăm

28

.

Avem atunci

în sensul distribuţiilor în ; întrucăt este un operator continuu în spaţiul distribuţiilor,

avem de asemenea

în acest spaţiu şi astfel , pentru orice , . Aceasta dovedeşte că

şi că şirul converge către în .

DEFINIŢIA 2.2. se numeşte aderenţa spaţiului în spaţiul . Spaţiul

este evident înzestrat cu structura Hilbert indusă de .

Dacă , se demonstrează că

; (2.2)

dar, daca nu este întreg spaţiul Rn , atunci şi sunt, în general, diferite.

Teoremele de urmă care vor fi date mai departe ne dau, dacă frontiera lui este suficient

de regulată, o caracterizare simplă a spaţiului

2.1.2. Proprietăţi ale spaţiilor Sobolev

Vom reaminti, fără demonstraţie, câteva proprietăţi ale spaţiilor Sobolev. Va fi

nevoie să facem ipoteze de regularitate privind frontiera a lui , ca de exemplu:

este o varietate de dimensiune , de clasă C şi mulţimea este situată local

de o singură parte a frontierei. (2.3.)

Presupunem că (2.3) are loc cu

Densitate. este dens în fiecare spaţiu .

Operator de prelungire. Există un operator liniar şi continuu :

si astfel că, pentru orice , restricţia la a lui să fie egală cu .

Teoremă de urmă. Există operatori liniari continui din în ,

astfel încât, pentru orice funcţie , de ori continuu difereţiabilă în , să avem

restricţia lui la ,

29

,

unde este vectorul normal la orientat către exteriorul lui .

Spaţiul este, în acest caz, nucleul aplicaţiei:

.

Spaţiul nu este întreg spaţiul , ci un subspaţiu al lui . Vom

considera în special spaţiul , notat ; acest spaţiu poate fi înzestrat cu

structura Hilbert transportată prin , dar există procedee mai directe pentru studiul său.

Formula lui Green. Să presupunem, acum, că (2.3) are loc cu . Dacă şi

sunt două funcţii de două ori continuu diferenţiabile în , formula lui Green clasică ne dă

.

Dacă şi se află în , se demonstrează că există o formulă a lui Green

generalizată:

, (2.4)

unde este produsul scalar al lui iar este produsul scalar al lui .

Dacă şi , se demonstrează că se mai poate defini ca

element al lui , spaţiul dual al lui . Pentru un astefel de şi pentru

formula lui Green generalizată se scrie astfel:

,

(2.5)

unde înseamnă produsul scalar în dualitate între şi .

2.1.3. Aproximarea unor spaţii funcţionale(I)

În acest paragraf şi în următorul, construim aproximaţii ale spaţiilor

. Aceste paragrafe sunt cu deosebire tehnice şi ni se va întâmpla să

trecem repede peste unele puncte ale demonstraţiilor.

30

În acest paragraf, construim o aproximaţie internă a spaţiilor şi pentru

.

După cum s-a spus mai înainte, este mulţimea vectorilor din Rn de forma

, .

Pentru orice se defineşte:

1) , punctual din Rn de coordinate

2) mulţimea punctelor din Rn de forma

),

unde sunt numere întregi de semn arbitrar ( );

3) , , muklţimea

;

4) mulţimea

,

unde

;

5) funcţia caracteristică a mulţimii ;

6) (sau atunci când nu există niciun pericol de confuzie) operatorul de

diferenţe finit

( baza canonică a lui Rn).

Dcă este un multiindice, notăm prin (sau mai simplu prin )

operatorul

31

În sfârşit, fiecare spaţiu deschis din Rn şi fiecărui număr întreg le asociem

următoarele mulţimi de puncte:

2.1.4. Aproximarea spaţiului

Vom construi o aproximaţie internă stabilă şi convergentă a spaţiului ;

notăm

,

produsul scalar şi norma în .

Spaţiul Vh. Acesta va fi spaţiul de funcţii etajate :

, ,

Evident nu este decât un subspaţiu al lui şi se poate verifica că el este închis; îl

dotăm cu structura Hilbert indusă.

Operatorul ph. Operatorul de prelungire va fi pur şi simplu identitatea; este

evident injectiv şi norma lui este .

Operatorul rh. Operatorul de restricţie va fi definit astfel:

, ,

,

( este deci un operator de medie pe mulţimile ).

PROPOZIŢIA 2.1. Aproximarea precedentă a spsţiului este stabilă şi

convergentă.

Demonstraţie. Se verifică că este operatorul de proiecţie ortogonală al lui pe :

, .

Operatorul este deci surjectiv şi norma sa este :

, (2.6)

32

Întrucât prelungirile au o normă egală cu , aproximaţia considerată este stabilă.

Pentru a demonstra că aceasta este convergentă, este suficient, ţinând seama de propoziţia 1

din 1.3, să arătăm că:

, în în sens tare (2.7)

pentru toate funcţiile ale unui subspaţiu dens din , de exemplu pentru toate

funcţiile continue cu suport compact în Rn.

2.1.5. Aproximarea spaţiului

Notăm aici:

,

produsul scalar şi norma în .

Spaţiul Vh. . Acesta va fi spaţiul funcţiilor etajate :

,

astfel încât

,

Dotăm acest spaţiu cu produsul scalar

,

ceea ce face din el un spaţiu Hilbert.

Operatorul ph. Luăm

,

unde înseamnă produsul de convoluţie în Rn şi este produsul prin ( al

funcţiei caracteristice a mulţimii:

.

Operatorul . Acelaşi ca în 2.1.4.

33

PROPOZIŢIA 2.2. Aproximaţia precedentă a spaţiului este stabilă şi

convergentă.

Demonstraţie. Fie funcţia caracteristică în al intervalulu

si fie şi distribuţiile următoare:

,

,

unde este măsura Dirac în pe .

Vom admite următoarele rezultate care decurg imediat din proprietăţile produselor

de convoluţie:

Pentru orice

,

, i=1,…,n

şi (2.8)

,

, .

Dacă

, , (2.9)

în în sens tare unde

Propoziţia va rezulta imdiat din lema ce urmează:

LEMA 2.2. Operatorii de restricţuie sunt stabili:

, .

(2.10)

Demonstraţie. Conform cu (2.8):

.

Pe de altă parte, avem

. (2.11)

34

şi folosind încă o dată (2.8):

,

de unde rezultă lema.

LEMA 2.3. Operatorii de restricţie sunt stabili:

, .

(2.12)

Demonstraţie. Să observăm pentru început, că operatorii de translaţie de vector

, comută cu :

, (2.13)

unde este definit prin . Întradevăr, dacă :

Acum, ţinând seama că

,

Avem

(2.14)

Împreună cu (2.6) şi întrucât translaţiile sunt izometri ale spaţiului , rezultă că

.

Dar

(2.15)

şi, folosind (2.8) :

.

Astfel :

, ,

şi, împreună cu (2.6), avem de asemenea:

.

35

Lema este stabilită.

LEMA 2.4. Aproximaţia este convergentă.

Demonstraţie. Conform cu (2.8), avem:

.

Folosind propoziţia 1 şi (2.9), se obţine

în în sens tare.

Pe de altă parte, conform cu (2.11), (2.14) şi (2.15):

=

=

Astfel, este de forma , unde:

, ,

, ;

operatorii sunt operatori liniari continui în , de normă mai mică sau cel mult

egală cu , iar pentru orice :

, în în sens tare;

pentru şi aceste proprietaţi rezulta din (2.8) şi (2.9), pentru rezultă din (2.6)

şi propoziţia 1, pentru şi aceasta rezultă din faptu că translaţiile sunt izometrii în

şi din teorema lui Lebesgue.

Se poate atunci verifica imediat că, pentru orice din , avem

, în în sens tare,

şi în particular:

în în sens tare, ceea ce încheie demonstraţia lemei.

2.1.6. Aproximarea unor spaţii funcţionale (II)

36

Aproximarea internă a spaţiului

Produsul scalar si norma spaţiului se notează:

, .

Pentru orice fie , o submulţime din astfel încât :

pentru orice , ; (2.16)

pentru orice compact , avem:

(2.17)

de îndată ce este destul de mic.

Spaţiul . Acesta este subspaţiul din al funcţiilor etajate :

, .

Dotăm spaţiul cu structura Hilbert indusă de :

.

Întrucât mulţimea deschisă este mărginită, dimensiunea spaţiului este finită şi

egală cu numărul de puncte ale lui .

Operatorul . Acesta este operatorul de restricţie la :

Operatorul este injective de normă .

Operatorul . Pentru , este definit de

, .

Este evident că operatorul este surjectiv.

PROPOZIŢIA 2.3. În condiţiile (2.16) şi (2.17), aproximarea de mai înainte a spaţiului

este stabilă şi convergentă.

Demonstratie. Dacă , avem

37

Conform inegalităţii lui Schwarz:

;

ţinând seama de (2.16)

şi astfel

. (2.18)

Întrucât prelungirile au o normă egală cu , aproximaţia considerată este stabilă; pentru a

demonstra că este convergentă este suficient să arătam că

în în sens tare

pentru toate funcţiile ale unui subspaţiu dens din ,de exemplu pentru funcţiile

continue cu support compact în .

2.1.7. Aproximarea externă a spaţiului

Fie cu structura Hilbert obişnuită şi

cu structura Hilbert produs ; aplicaţia

este un izomorfism al spaţiului în .

Spaţiul . Acesta este spaţiul funcţiilor etajate :

,

Se dotează cu produsul scalar de tip Hilbert

.

Spaţiul are o dimensiune finită egală cu numărul al punctului din .

Operatorul . Operatorul de prelungire va fi operatorul

,

38

unde înseamnă, ca mai înainte, restricţia la a unei funcţii definită pe .

Operatorul are o norma mai mică sau egală cu .

Operatorul . Presupunem că mulţimea deschisă este destul de regulată, de

exemplu condiţia (2.3) este satisfăcută cu .

În acest caz, există un operator de prelungire , liniar, continuu din în şi din

în şi astfel încăt

, .

Luăm atunci:

, ,

, .

PROPOZIŢIA 2.4. Aproximaţia precedentă a spaţiului este stabilă şi

convergentă.

Demonstraţie. Folosind propoziţia 2 din 2.1.3, avem

şi întrucăt este continuu:

,

ceea ce demonstrează că restricţiile sunt stabile. Dat fiind ca prelungirile au o normă mai

mică decăt , aproximaţia este stabilă.

Să demonstrăm că aproximaţia este convergentă. Trebuie să arătăm, mai întăi, că

în F în sens tare cănd , adică

,

(i=1,…,n)

în în sens tare. Întrucat aproximaţia este stabilă, este suficient să arătăm aceasta

pentru funcţiile din .

Să demonstrăm, acum, proprietatea 1) relativă la definiţia unei aproximaţii externe

convergente. Presupunem că pentru un şir , convergent către , avem

în F în sens slab;

aceasta înseamnă, dacă :

39

,

în în sens slab. Se verifică uşor că converge către în spaţiul

distribuţiilor pe ; avem deci , ceea ce dovedeşte că, într-adevăr, elemental limită

esta de forma

.

2.1.8. Aproximarea externă a spaţiului

Spaţiul este, ca şi în cele precedente, spaţiul şi aplicaţia

defineşte tot un izomorfism al spaţiului în .

Spaţiul . Acesta este spaţiul funcţiilor etajate :

, ,

Spaţiul are o dimensiune finită egală cu numărul punctelor din ; se

dotează acest spaţiu cu produsul scalar hilbertian:

.

Operatorul . Ca în 2.1.7.

Operatorul . Pentru orice , este definit astfel:

, .

PROPOZIŢIA 2.5. Aproximaţia precedentă a spaţiului este stabilă şi

convergentă.

Demonstraţie. Operatorii de prelungire au norma egală cu şi sunt stabili.Operatorii de

restricţie sunt de asemenea stabili; conform propoziţiei 2.5, avem

,

unde este o constantă independentă de şi de .

Se foloseşte aceeaşi metodă pentru a arăta că în în sens tare, . Să

verificăm condiţia 2) a definiţiei unei aproximaţii externe convergente.

40

Fie un şir care tinde către şi fie un şir astfel încât

în în sens slab.

Dacă , avem deci:

,

în în sens slab. Întrucât funcţiile uh’ şi sunt cu suport compact în , avem de

asemenea

,

(i=1,…,n)

în în sens slab. Deoarece converge spre în spaţiul distribuţiilor pe Rn ,se

vede că

(i=1,..,n) .

Aceasta demonstrează că ; cum este nulă în afara lui , este clar că urma

lui pe este nulă şi astfel . Elementul limită este deci într-adevăr

de forma

, .

2.2. Exemplu (I): Problema Dirichlet.

2.2.1. Problema exacta

Dacă este o mulţime deschisă mărginita din Rn, de frontieră , notăm

şi , aceste spaţii fiind dotate cu structura lui Hilbert obişnuită:

,

, ,

, .

Injecţia spaţiului în este continuă în ( şi este dens în

deoarece conţine pe care este dens în .

41

Forma este aleasă egală cu

.

Este limpede că este o formă biliniară pe şi această formă este

continuă întrucăt, conform inegalităţii lui Schwarz, avem

,

, .

Condiţia de coercitivitate este satisfăcută cu .

Teorema proiecţiilor ne dă:

Pentru dat în , există un şi numai unul în astfel încât

, . (2.19)

Să interpretăm problema rezolvată. Este posibil să facem D în (2.19) şi

atunci găsim

, D ,

ceea ce dovedeşte că

în sensul distribuţiilor în . Pe de altă parte, în virtutea teoremelor de urmă,

înseamnă că urma lui pe frontiera a lui este nulă.

În sfârşit, soluţia u a ecuaţiei (2.19) este soluţia problemei Dirichlet:

(2.20)

2.2.2. Aproximarea prin diferenţe finite

Folosim aproximarea externă a spaţiului considerată în 2.1.8. şi definim

acum formele şi :

,

(2.21)

42

.

(2.22)

Este clar că condiţia (1.16) este realizată cu , în timp ce condiţia (1.17) este

realizată cu .

Să arătăm că (1.20)-(1.23) sunt satisfăcute; pentru (1.20), dacă familia converge slab

către , când , aceasta înseamnă prin definiţie că

,

(2.23)

în în sens slab. Pentru orice , conform propoziţiei 2.3 din 2.1.6, avem

,

(i=1,..,n) (2.24)

în în sens tare ; este clar atunci că

,

şi avem desigur:

.

Condiţia (1.21) este identical cu (1.20) deoarece formele şi sunt simetrice. Pentru orice

, din (2.24) rezultă că

şi aceasta arată că

.

Condiţia (1.22) rezultă de aici. În sfârşit, ţinând seama de (2.23), condiţia (2.23) este

imediată.

Problemă aproximativă. Problema aproximativă (1.18) sau

43

(2.25)

mai poate fi încă explicită. Scriind

necunoscutele sunt numerele întrucât funcţiile , formează o bază a

spaţiului , este suficient să scriem (2.25) cu diferitele funcţii . Obţinem astfel:

(2.26)

Este vorba aici de un sistem liniar de ecuaţii pentru cele necunoscute

. Matricea sistemului este simetrică şi definită pozitiv: într-adevăr, oricare ar fi

numerele , avem

.

Se mai poate da pentru (2.26) şi o altă formă:

şi se mai poate scrie

= .

Întrucât funcţiile şi sunt cu suport compact în , avem

;

se verifică uşor formula de integrare prin părţi “discretă” :

,

şi se obţine atunci

44

sau

,

(2.27)

Rezultat de convergenţă. Teorema 1.2 din (1.3) este aplicabilă; rezultatul cel mai

util este convergenţa tare alui catre şi aceasta înseamnă:

,

în în sens tare.

2.2.3. Alte tipuri de rezultate

Evaluarea apriori a soluţiei aproximative în . Se demonstrează că, dacă

, soluţia a problemei (2.19) aparţine spaţiului şi verifică inegalitatea

. (2.28)

Ne propune să arătăm aici că soluţia a problemei (2.24) verifică de asemenea

inegalitatea

(2.29)

şi să deducem un nou rezultat de convergenţă a soluţiei către .

Vom nota .

Pentru orice funcţie cu valori reale, numim şi funcţiile definite pe aceeaşi mulţime

ca şi astfel încât

45

În particular, dacă , se pot defini şi şi aceste funcţii se găsesc şi ele în spaţiul

. Dacă , se poate defini de asemenea funcţia şi se verifică uşor că

.

Pentru a demonstra că

, , (2.30)

se scrie (2.24) cu ; aceasta este permis, conform celor precedente. Se obţine

,

(2.31)

unde

.

Membrul al doilea din (2.31)este negative sau nul deoarece, pentru aproape orice ,

avem

şi .

Dat fiind că şi că , avem

.

Pe de altă parte, pentru orice :

(2.32)

Pentru a demonstra (2.32), observăm că funcţiile şi sunt constante pe

mulţimile

, ;

este, deci, sufficient ca într-un punct să luăm , , şi pentru un astfel de

punct sunt de considerat patru cazuri, după semnul lui şi semnul lui

.

În cele din urmă, (2.31) ne dă

,

46

ceea ce dovedeşte că funcţia este nulă pe şi de aici rezultă (2.30).

Făcând în (2.24), vom demonstra la fel că

,

si de aici rezultă (2.29).

Convergenţă slabă în . Se ştie că este dualul spaţiului ; atunci,

ţinând seama de (2.29), se vede că există şi un şir astfel încât ,

în în sensul topologiei slabe de dual; aceasta înseamnă că, pentru orice funcţie

, avem

.

Astfel, converge către în sensul distribuţiilor, deci . De asemenea, din orice şir

extras din se poate extrage un subşir care converge către pentru topologia slabă de

dual a spaţiului ; aceasta înseamna că familia converge către pentru topologia

slabă în spaţiul .

2.2.4. Metoda paşilor fracţionari

Spaţiul este dotat cu următoarele produse scalare de tip Hilbert:

,

.

Luăm :

.

Toate conditiile de la 1.6.1 sunt satisfăcute:

.

Schema de aproximare propusă în (1.49) ia forma

47

, ,

(2.33)

unde este o descompunere arbitrară a funcţiei în elemente ale spaţiului .

Pentru a explicita (2.33), procedem ca şi la (2.26). Dezvoltăm pe în baza :

,

şi scriem (2.33) cu hPh wv , :

.

(2.34)

Este uşor de văzut, ca şi pentru (2.26), că sistemul liniar (2.34) are o matrice

simetrică pozitiv definită. Ceea ce este important în acest caz este că sistemul (2.34) se

decuplează în sisteme corespunzătoare cu şi situate pe o aceeaşi paralelă cu axa

numerică . Se verifică că sistemele parţiale au o matrice simetrică tridiagonală pozitiv

definită; rezolvarea lor efectivă este uşoară şi se poate face prin substituţie (metoda lui

Gauss.

2.2.5. Aplicaţii numerice

Consideraţiile precedente şi, în particular, cele de la 2.2.4, au fost aplicate la

rezolvarea numerică a ecuaţiei

,

in , cu

,

,

.

Soluţia exactă este

.

Tabelul următor dă eroarea normalizată:

48

pentru valorile indicate de , în variabilele spaţiale) şi

Timpul de calcul este aproximativ pentru , pentru

pentru .

2.3. Exemplu (II): Problema Neumann

2.3.1. Problema exactă

Dacă este o mulţime deschisă mărginita din Rn, de frontieră , notăm

şi , aceste spaţii fiind dotate cu structura lor Hilbert obişnuit:

,

, ,

, .

Injecţia spaţiului în este continuă în ( ) şi este dens în

deoarece conţine pe care este dens în .

Forma este aceeaşi ca în 2.2:

49

,

astfel că schimbarea de spaţiu constituie singura deosebire faţă de 2.2.1.

Din teorema 1.1. rezulta:

Pentru orice dată în există un şi unul singur în astfel încât

, .

(2.35)

Luând, ceea ce este permis, D ,constatăm în 2.2.1, că verifică ecuaţia

(2.36)

în sensul distribuţiilor în . Din (2.37) rezultă că .

Efectuăm apoi produsul scalar în al fiecăruia dintre membrii ecuaţiei (2.36)

cu ; găsim

.

Dat fiind că , , , putem utilize formula lui Green

generalizată şi obţinem atunci

.

Prin comparaţie cu (2.36), avem deci

(2.37)

Întrucât este arbitrar în şi este o surjecţie a spaţiului pe ,

egalitatea (2.37) arată că

în .

În sfărşit:

Soluţia u a ecuaţiei (2.35) este soluţia problemei Neumann:

(sau ) (2.38)

2.3.2. Aproximarea prin diferenţe finite

50

Aplicăm rezultatele din 1.3. la aproximarea prin diferenţe finite a problemei (2.35)

[sau (2.38)]. Formele şi vor fi următoarele:

(2.39)

(2.40)

Condiţia (1.16) este realizată cu şi condiţia (1.17) este realizată cu .

Condiţiile (1.20)-(1.23) sunt satisfăcute, ceea ce se verifică ca în 2.2.4.

Problema aproximativă. Se pune problema să se găsească astfel încât

, .

(2.41)

Scriind

,

necunoscutele sunt numerele şi aceste numere sunt soluţia sistemului urmă

,

(2.42)

Se verifică la fel ca la (2.26), că matricea sistemului (2.43) este simetrică şi pozitiv definită.

Rezultatul de convergenţă. Fie u soluţia problemei (2.36) şi soluţia problemei

(2.42). Teorema 1.2 din 1.3 poate fi aplicată şi deci converge tare către ; aceasta

înseamnă aici:

,

în în sens tare.

2.3.3. Metoda paşilor fracţionari

51

Ne interesează rezolvarea problemei (2.42) prin metoda paşilor fracţionari.Diferitele

produse scalare pe sunt:

Luăm :

.

Schema de aproximare a ecuaţiei (1.49) se scrie astfel:

, ,

(2.43)

unde este o descompunere arbitrară a funcţiei în elemente ale spaţiului .

Dacă dezvoltăm pe cu ajutorul bazei formate din funcţiile avem

şi, dacă scriem (2.43) cu , observăm că sunt soluţiile sistemului

.

(2.44)

Acest sistem este un sistem liniar pentru funcţiile a căror matrice este simetrică şi

pozitiv definită. Ca şi (2.34), acest sistem este descompus în două sisteme parţiale

corespunzătoare cu , situate pe o aceeaşi paralelă la axa valorilor ; fiecare sistem

parţial are o matrice simetrică, tridiagonală, pozitiv definită, a cărei inversiune nu prezintă

nici o dificultate.

2.3.4. Aplicaţii numerice

Exemplul tratat în acest caz este:

52

în ,

cu

.

Situaţia exactă este

.

Tabelul dă eroarea normalizată:

pentru diferite valori luate de şi .

h=1/20

Timpul de calcul este de aproximativ secunde pentru şi pentru .

53

3. O ecuaţie eliptică neliniară

3.1. Problema exacta.Explicităm aici problema eliptică pe care ne-am propus să o studiem şi demonstrăm

existenţa şi unicitatea soluţiilor acestei probleme.

3.1.1. Teoremă de existenţă şi unicitate

Fie o mulţime deschisă mărginită din Rn , a cărei frontieră este suficient de regulată. Ca şi în cele precedente, şi înseamnă produsul scalar şi norma în .

Numim spaţiul V spaţiul dotat cu norma

.

Este uşor de văzut că este un spaţiu Banach; într-adevăr, dacă este un şir Cauchy în

, atunci este şir Cauchy şi în spaţiile şi şi deci converge în aceste spaţii către

54

limite în mod necesar egale cu o aceeaşi funcţie ; în acest caz, şi converge către

în .

Fie şi următoarele forme definite pe :

Este clar că este o formă biliniară continuă pe ; dacă , atunci

şi asfei încât este bine definită pentru .

Teorema 3.1. Pentru orice funcţie dată în exista o funcţie şi numai una

în astfel încât

,

(3.1)

Această funcţie verifică :

(3.2)

Demonstraţie: a) interpretarea ecuaţiei (3.1). Dacă verifică (3.1), atunci. făcând

D în (3.1), se vede că

si, întrucăt este oarecare în , aceasta înseamnă că

în sensul distribuţiilor în .

Pe de altă parte, înesamnă că sau . Astfel, orice funcţie

din care verifică (3.1) este soluţie a problemei (3.2).

b) Unicitatea solutiei ecuaţiei (3.1). Fie şi două elemente ale spaţiului care

verifică ecuaţia (3.1) şi fie . Avem

55

şi, dacă facem , obţinem

.

Evident, întrucât funcţia este crescătoare, avem

aproape peste tot şi atunci

astfel încât

,

si deci , .

c) existenta unei soluţii a ecuaţiei (3.1).

Aceasta se demonstrează în 3.13; in ceea ce urmează se dau câteva rezultate preliminare.

În acelaşi mod ca la punctual b) se demonstrează că

, .

(3.3)

3.1.2. Leme

LEMA 3.1. Spaţiul V este separabil(adică există o familie numărabilă densă în V).

Demonstraţie . Se consideră spaţiul

şi aplicaţia a spaţiului V în F:

.

Aplicaţia este un izomorfism(nesurjectiv) de spaţii normate.

Se ştie că spaţiile sunt separabile; este deci separabil şi tot aşa este .

Din această lemă rezultă că , ca orice spaţiu normat separabil, posedă şiruri totale

formate din elemente liniar independente.

LEMA 3.2. este o aplicaţie continuă a spaţiului în R.

Demonstraţie. Dat fiind că este o formă biliniară continuă pe

, trebuie să demonstrăm numai că aplicaţia

56

(3.4)

este continuă.

Dar aplicaţia este continuă din în .

Dacă inegalitatea lui Hőlder ne dă

.

Continuitatea aplicaţiei (3.4) rezultă din această ultimă inegalitate.

LEMA 3.3. Fie un spaţiu Hilbert de dimensiune finită şi fie o aplicaţie

continuă a lui în el însuşi astfel încât

(3.5)

pentru .

În acest caz, există , care verifică

.

Demonstraţie. Aceasta este o consecinţă uşor de dedus a unei teoreme clasice,

teorema punctilui fix a lui Brouwer, pentru care se poate găsi o demonstraţie în [1]: “Fie

o sferă închisă a unui spaţiu normat de dimensiune finită şi fie o aplicaţie continuă a

sferei în . Atunci, există cel puţin un punct al lui astfel încât .

Presupunând că nu se anulează în sfera din spaţiul , de centru şi de

rază , aplicaţia

ar fi continuă din în şi ar exista asfel încât

.

Egalând normele din cei doi membri, se vede că şi, luând apoi produsele

scalare cu , se găseşte

,

ceea ce contrazice (3.5).

57

3.1.3. Metoda lui Garlekin

Punerea în lucru a metodei. Fie , un şir liber şi total din spaţiul (lema

1). Numim spaţiul generat de ,şi, pentru orice număr întreg dat, ne

propunem, ca şi în cazul liniar, să găsim astfel încât

, .

(3.6)

Lema proiecţiilor este desigur inoperantă în acest caz şi, pentru a demonstra

existenţa funcţiei care satisface problema (3.6), vom folosi lema 3.3. în comdiţiile

următoare:

X=Vm cu un produs scalar oarecare;

de exemplu, dacă

, .

Întrucât este de dimensiune finită, norma asociată acestui produs scalar este

echivalentă cu orice altă normă; există, deci, o constantă , care depinde de , astfel

că:

, .

Aplicaţia va fi cea care asociază unui element vectorul din :

.

Continuitatea aplicaţiei rezultă cu uşurinţă din lema 3.2.

Pe de altă parte, dacă

,

atunci

58

Rezultă că pentru , cu destul de

mare ( ). Ipotezele din lema 3.3 sunt astfel satisfăcute şi există, deci,

astfel încât , adică

În acest caz, verifică (3.6).

Trecerea la limită. În (3.6), facem ; rezultă

,

(3.7)

;

,

(3.8)

, (3.9)

de unde rezultă că

. (3.10)

Dat fiind că sferele din , sunt slab compacte, rezultă că există un subşir

, asfel în

în în sens slab, (3.11)

în în sens slab, (3.12)

în în sens slab. (3.13)

Se vede imediat că , deoarece (3.11) şi (3.12) implică respective că

converge slab catre şi către în sau, în sensul distribuţiilor pe .

59

Dimpotrivă, nu este deloc evident că şi această dificultate constituie

deosebirea esenţiala de cazul liniar. Pentru a ocoli această dificultate, vom folosi o metodă

care se aplică la o clasă vastă de ecuaţii liniare.

Fie şi fie cel mai mic număr întreg astfel încât ; de îndată ce

, conform cu (3.6) obţinem

şi împreună cu (3.3):

.

Ţinând seama de (3.11) şi de (3.10), avem

;

conform cu (3.12) şi din definiţia convergenţei slabe în , se obţine

.

Obţinem, atunci, limita

. (3.14)

Conform lemei 3.2, fiecare dintre nembrii inegalităţii (3.14) depinde în mod continuu de ,

pentru topologia spaţiului . Întrucât este densă în şi (3.14) este satisfăcută

pentru orice , inegalitatea rămăne adevărata, prin continuitate, pentru orice

.

Acum, dacă este un element dat oarecaer din , scriem (3.14) cu

;

astfel

.

Dacă , dupa împărţirea prin , găsim

şi, când (conform lemei 3.2):

.

Considerând şi cazul , obţinem inegalitatea inversă şi prin comparaţie:

.

Aceasta dovedeşte că verifică (3.1), ceea ce încheie demonstraţia teoremei 3.1.

60

Rezultat de aproximare. Să precizăm cele precedente pentru a găsi un rezultat de

aproximare pentru soluţia .

Putem demonstra, întocmai ca mai înainte, că oice şir extras din conţine un

subşir care converge slab către o soluţie a problemei (3.1), adică către . În aceste condiţii,

întreg şirul converge slab atât în cât şi în către .

Considerând apoi expresia

,

se demonstrează printr-un raţionament asemănător celui folosit în 1.2 că

.

Conform cu (3.3):

şi astfel converge către u în în sens tare.

Observăm, pe de altă parte, că ecuaţia de aproximare (3.6) posedă cel mult o soluţie.

TEOREMA 3.2. Ecuaţia de aproximare (3.6) posedă o soluţie unică .

Când , soluţia converge tare în către soluţia a ecuaţiei (3.1).

3.2. Probleme aproximativeNe vom ocupa de rezolvarea aproximativă a problemei (3.1) printr-o metodă cu

diferenţe finite.

3.2.1. Aproximarea externa a spaţiului

Spaţiul şi operatorul sunt cele definite cu prilejul lemei 3.1 din 3.1:

,

.

Folosind toate notaţiile introduse în 2.1.1. Pentru orice , spaţiul este spaţiul

funcţiilor etajate:

, ,

61

dotat cu norma

.

Spaţiul are o dimensiune finită egală cu nunărul al punctelor din .

Operatorul este definit astfel:

, ,

unde g înseamnă restricţia la a funcţiei .

Operatorul este operatorul de medie definit în 2.3.3: dacă , cu

,

(3.15)

PROPOZIŢIA 3.1. , definesc o aproximaţie externă

stabilă şi convergentă a spaţiului .

Demonstraţie. Operatorii sunt liniari, injective, continui, de normă mai mică sau

cel mult egală cu ; ei sunt deci stabili.

Operatorii sunt deasemenea operatori liniari, continui şi stabili. Şe ştie de mai

înainte că, dacă , avem

,

(3.16)

unde este o constantă care nu depinde de şi de . De altfel, pentru că nulă în afara

lui , avem

.

Din (3.15) şi inegalitatea lui Hőlder se obţine

62

.

Atunci

.

şi deoarece :

.

(3.17)

Inegalitaţile (3.16) şi (3.17) dau

,

(3.18)

ceea ce dovedeşte afirmaţia noastră cu privire la operatorii de restricţie. Am definit deci o

aproximatie stabilă a spaţiului .

Să arătăm că această aproximaţie este convergentă. Trebuie să demonstrăm că,

pentru , are

în şi în sens tare,

în în sens tare

Întrucât V , convergenţele în sunt deja obţinute prin propoziţia 2.5 din

2.1.8. Pe de altă parte, în baza inegalităţii (3.17), este suficient să demonstrăm că

în în sens tare

pentru funcţiile u ale unui subspaţiu dens din , de exemplu

pentru şi în acesta este un lucru uşor.

Condiţia 2) de la definiţia unei aproxia este un lucru uşor.

Condiţia 2) de la definiţia unei aproximaţii externe convergente se verifică uşor

ţinând seama de propoziţia 2.5 din 2.1.8.

Dacă este un şir de elemente din Vh’( 0 astfel încât converge slab în către

63

Atunci

în în sens slab,

în în sens slab,

în în sens slab (i=1,..,n).

De aici rezultă că converge slab în către şi către ;deci

.

Folosind propozitia citată mai înainte, vedem că şi ,

astfel că şi .

3.2.2. Ecuaţii de aproximare

Pentru , notăm:

,

(3.19)

,

.

Ca şi pentru (3.3), observăm că

. (3.20)

Asociem funcţiei f funcţia f , .

În acest caz, problema aproximativă se enunţă astfel:

Să se găsească astfel încăt

, . (3.21)

PROPOZIţIA 3.2. Problema (3.21) posedă o soluţie unică.

Demonstraţie. Unicitatea se demonstrează ca şi pentru (3.1): dacă , sunt

două soluţii ale problemei (3.21) şi dacă , atunci

64

, ;

în particular:

şi împreună cu (3.20):

,

,

ceea ce demonstrează că .

Existenta soluţiei rezultă, ca şi pentru (3.6), din lema 3.3 din 3.1, aplicată în

condiţiile urmatoare:

Luăm cu produsul scalar hilbertian (3.19), aplicaţia este aceea care

asociază funcţiei funcţia

.

Aplicatia este continuă din în şi de aici rezultă că este continuă pe . Pe

de altă parte [funcţiile formează o bază a spatiului , ortogonală pentru produsul

scalar (3.19)], avem

şi aceasta este strict pozitivă dacă , cu destul de mare .

Ipotezele de la leme 3.3 din 3.1 fiind satisfăcute, există , astfel incât sau

, ;

verifică deci problema (3.21).

TEOREMA 3.3. Dacă , soluţia a problemei (3.21) converge slab către

soluţia a ecuaţiei (3.1) şi în afară de aceasta:

în în sens tare, (3.22)

în în sens tare (3.23)

65

Demonstraţie. Făcând în (3.21), se obţine

,

.

Ţinând seama de (2.18), şi astfel:

,

, (3.24)

, ;

(3.25)

. (3.26)

În aceste conditii, există un şir astfel încât

, (3.27)

, (3.28)

(3.29)

Aceasta înseamnă că converge slab în către şi, conform

propoziţiei 1, şi :

, (i=1,…,n). (3.30)

Fie un element oarecare din şi . Scriind (3.21) cu si

folosind (3.20), vedem că

,

. (3.31)

Ţinând seama de propoziţia 3.1 şi de limitele (3.27)-(3.30), este uşor să se treacă la limită în

acestă inegalitate cu şirul . Întrucât converge tare către , rezultă

in si ] în sens tare,

in în sens tare

66

În acest caz:

,

,

converge tare spre f în .

În sfârşit:

, .

Această inegalitate identică cu (3.14) arată că este soluţie a ecuaţiei (3.1) şi astfel .

Din orice şir extras din se poate extrage un subşir care satisfece relaţiile de convergenta

(3.27)-(3.30) cu ( ); aceasta dovedeşte că întreg şirul este convergent in topologiile

respective; converge către în sau; cu terminologia din 1.3, converge slab

către .

Pentru a stabili convergenţele (3.22) şi (3.23), să considerăm expresia

Conform cu (3.21):

şi

.

Se verifică uşor că

;

Astfel, şi, împreună cu (3.20):

;

aceasta înseamnă că

;

(i=1,…,n)

67

şi întrucăt conform propoziţiei 3.1. avem

,

convergenţele (3.22) şi (3.23) sunt stabilite.

3.2.3.. Metoda paşilor fracţionari

Vom adapta metoda pasilor fracţionari la rezolvarea ecuaţiei (3.21) (pentru un

dat).

Introducem formele:

, , ,

cărora le asociem operatori liniari continui în , definiţi astfel:

, .

Fie o descompunere arbitrară a funcţiei în elemente ale spaţiului .

Pentru orice număr intreg şi pentru orice număr real pozitiv , definim prin

recurenţă, o familie de elemente din hV notate:

, , .

Pornim de la un element ales arbitrar în . Dacă sunt

cunoscute, este definit după cum urmează:

dacă , este soluţia în a ecuaţiei

, .

(3.32)

Unicitatea soluţiilor pentru (3.32) este imediată. Existenţa soluţiei ar putea rezulta

din lema 3.3 din 3.1, dar este mai simplu să observăm ca ecuaţia (3.32) este echivalenta cu

sistemul algebric următor:

, , (3.33)

unde este cunoscută, în timp ce rămâne de determinat.

Dacă , este definit ca la soluţia în a ecuaţiei

68

, . (3.34)

Existenţa şi unicitatea soluţiilor ecuaţiilor (3.34) rezultă din teorema proiecţiilor.

Se va observa că ecuaţiile (3.34) sunt liniare şi, de astfel, identice cu ecuaţiile

(2.34). Ecuaţiile (3.33) sunt ecuaţii algebrice de gradul al treilea total decuplate.

Diferenţa dintre ultimul element şi soluţia a problemei (3.21) este evaluată cu

ajutorul următoarei propoziţii.

PROPOZIŢIA 3.3. Pentru orice , :

,

unde

,

,

PROPOZIŢIA 3.4. Dacă şi astfel încât , atunci

.

3.2.4. Aplicaţii numerice

Exemplul tratat ca aplicaţie a metodei precedente este următorul:

în ,

cu

Soluţia exactă este

.

69

Se produc eiferenţe simţitoare în raport cu valorile lui .

Timpul de calcul este aproximativ pentru şi de pentru

.

70

Bibliografie

[1] Dunford, N., Schvartz, T. Linear operators. Pure and Applied Matematics, New York,

Academic Press (1958).

[2] Bourbaki, N.,Espaces vectoriels topologique. Actualités Scient. Ind., Paris, Hermann

(1964).

[3] Hörmander, L., Linear partial differential operators. Berlin-Göttingen-Heidelberg,

Springer-Verlag (1964).

[4] Lions, J. L., Quelqes métodes de resolution des problémes aux limites non linéaires.

Paris, Dunod-Gauthier-Villars (1969).

[5] Aubin, J.-P., Aproximation des espaces de distribution et des opérateurs differentials.

Bull. Soc. Math. De France, Memoire (1967).

[6] Céa, J., Aproximation variationnelle des problems aux limites. Ann. Inst. Fourier, 14

(1964), p. 345-444.

[7] Mignot, A.-L., Méthodes d’aproximation des solutions de certa ins problcmes aux

limites linéaires. Rend. Del Sem. Mat. Padova,vol. XL (1968), p. 1-138.

[8] Morton, K. W., Richtmyer, R. D., Difference methods for initial-value problems.Ney

York, Interscience Publisher (1967).

[9] Raviart, P. A., Sur l’aproximation de certaines écuations d’evolution linéaires et non

linéaires. Journ. de Math. Pures et appliqué es, 46 (1967), p. 11-107 et p. 109-183.

[10] Temam, R., Sur la stabilité et la convergence de la métode des p as fractionnaires,

Annali di Mat. Pura ed appl., vol. LXXIX (1968),p. 191-380.

[11] Cristescu, R. Elemente de analiză funcţională şi introducere în teoria distributiilor.

Editura tehnică, Bucuresti, 1966.

[12] Marinescu, G. Tratat de analiză funcţională. Vol. I, Editura Academiei R.S.R.,

Bucureşti, 1970.

71