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experimento para demostrar la teoria de descartes y pascal.
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- PRACTICA NUMERO 1
DEMOSTRACION DE LA TEORIA DEL LUDION DE DESCARTES
- FECHA: 07/09/15
OBSERVACIONES:
Originalmente entre los S.XIV-XVI buscaban la forma de calcular la temperatura pero no sabían cómo hacer realmente para saberlo. En Venecia, bajo el mecenazgo de los Medicci, muchos como Galileo y Leonardo Da Vinci trataron de lograr un instrumento que sirviera para ello. Tras ellos, Torrichelli prueba con diversos materiales (esferas de cristal huecas mediante un agujero) y con recipientes llenos de agua; y se da cuenta que con las variaciones de temperatura esas esferas descienden en los recipientes.
<<Vivimos en el fondo de un océano del elemento aire, el cual, mediante una experiencia incuestionable, se demuestra que tiene peso. >>
Tras ello muchos continúan estas investigaciones y finalmente Raffaello Magiotti consigue fabricar el antecesor directo al diablillo de Descartes y lo plasma en su obra: "Renitenza Certissima dell Acqva alla compressione" El texto fue el primer informe de la resistencia a la compresión práctica -que Magiotti erróneamente afirmó ser absoluta- de agua a temperatura constante, así como la expansión y contracción de los medios de comunicación de fluido (agua y aire) sometido a cambios de temperatura. Además de las descripciones de varios termómetros, la obra también presenta una ilustración de los buzos de campana tarro y de los diablillos de Descartes.
Ingeniería ambiental mecánica de fluidos VI ciclo
CONTENIDO:
OBJETIVO:
El objetivo de este trabajo es poder demostrar ante el salón de clases, los principios de Arquímedes, pascal, la ley de boyle y el ludión de descartes, y así poder entender con mayor profundidad estas leyes para luego poder desenvolvernos mejor en clases.
CONSIDERACIONES:
En este trabajo, se describe el comportamiento complejo, del denominado ludión o diablillo de Descartes en base a leyes simples
- El principio de Arquímedes y de Pascal
Principio de Arquímedes:
El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado.
La explicación del principio de Arquímedes consta de dos partes como se indica en las figuras:
El estudio de las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido.
La sustitución de dicha porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones.
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Principio de pascal:
El filósofo, matemático y físico Blaise Pascal, nacido el 19 de junio de 1623 en Francia y fallecido el 19 de agosto de 1662, realizó importantes aportes a la ciencia. Uno de sus enunciados más famosos se conoce como principio de Pascal y hace referencia a que la presión que ejerce un fluido que está en equilibrio y que no puede comprimirse, alojado en un envase cuyas paredes no se deforman, se transmite con idéntica intensidad en todos los puntos de dicho fluido y hacia cualquier dirección.
La aplicación de esta ley puede observarse en diversos dispositivos que apelan a la energía hidráulica. De acuerdo a lo advertido por Pascal, el agua que ingresa a un recipiente con las características mencionadas, puede ser expulsada por cualquier agujero que tengan a la misma presión y velocidad.
Para trabajar con el mencionado Principio de Pascal se recurre a la fórmula siguiente:p = p_0 + rho g h. En esta la p es la presión total a la profundidad; la h es la medida en Pascales; la p_0 es la presión sobre la superficie libre del fluido; la rho es la densidad del fluido y la g es la aceleración de la gravedad.
- La ley de Boyle de los gases perfectos:
Relación entre la presión y el volumen de un gas cuando la temperatura es constante.
Fue descubierta por Robert Boyle en 1662. Edme Mariotte también llegó a la misma conclusión que Boyle, pero no publicó sus trabajos hasta 1676. Esta es la razón por la que en muchos libros encontramos esta ley con el nombre de Ley de Boyle y Mariotte.
La ley de Boyle establece que la presión de un gas en un recipiente cerrado es inversamente proporcional al volumen del recipiente, cuando la temperatura es constante.
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TEORIAS:
El ludión o diablillo de Descartes (nombre del cual se desconoce su origen) es normalmente curvado, para provocar que el movimiento ascensional lleve asociado un giro. En colecciones de instrumentos científicos de finales del siglo XIX ya se encuentran ejemplos de este tipo de figura con distintas formas: juglar, guerrero o pequeño diablo. En la práctica, puede usarse como recipiente una botella de refresco, de forma que todas sus paredes, al ser flexibles, funcionan a modo de membrana transmitiendo la presión que ejercemos con las manos.
DESARROLLO:
Esta trabajo tiene como referencia a la flotación de un barco, que estudia las fuerzas sobre un recipiente que contiene una burbuja de aire en su interior, y de las oscilaciones de una boya, que estudia el MAS de una boya que flota en el mar y sobre la cual salta un marinero en el instante inicial.
El diablillo o ludión es un tubo de ensayo de longitud L, de diámetro interior d1 y de diámetro exterior d2 que se llena parcialmente de agua hasta una altura L-l0. Luego, se invierte en un recipiente grande que contiene agua, que está cerrado y conectado por una parte, a un manómetro para medir la presión del aire encerrado en su interior y por otra, a una jeringa que nos permite variar la presión P del aire del recipiente.
Estática del diablillo
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En este apartado, estudiaremos el equilibrio del tubo de ensayo (diablillo) con la burbuja de aire dentro.
Control de la presión
Para variar la presión del aire contenido en el recipiente se emplea una jeringa. Si el volumen total de aire del recipiente y de la jeringa es V0. Al disminuir en x el volumen de la jeringa la presión aumenta de P0 a P. Si suponemos una transformación isotérmica, tendremos que:
P(V0-x)=P0·V0
Si x<<V0 podemos hacer la siguiente aproximación
El incremento de presión ΔP=P-P0 es proporcional a la variación del volumen x de la jeringa o bien, al desplazamiento de su émbolo.
Peso del tubo de ensayo
Después de haber invertido el tubo de ensayo dentro del agua del recipiente, la longitud de la burbuja de aire que se ha formado en el interior del tubo invertido es l=x+z
La base del tubo se encuentra a una altura x por encima de la superficie del agua del recipiente y el agua en el tubo se encuentra a una altura z por debajo de dicha superficie tal como se indica en la primera figura.
Sobre el tubo actúan dos fuerzas: el peso y el empuje
El peso
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El peso del tubo es igual a la densidad del vidrio multiplicado por el volumen del tubo, un recipiente en forma de capa cilíndrica de diámetro interior d1 y exteriord2.
Despreciamos el volumen de la base del tubo.
El área interior A del tubo de vidrio es
El peso del tubo de vidrio es el producto de la densidad del vidrio ρv, por el volumen V de la capa cilíndrica de vidrio y por la aceleración de la gravedad g,
ρv·V·g
El empuje no admite una expresión única y es distinta
Cuando el tubo está parcialmente sumergido x>0
Cuando el tubo está completamente sumergido x≤0
Analizaremos cada uno de los casos por separado
Cuando el tubo está parcialmente sumergido x>0
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El empuje
En el primer caso, el empuje se compone de la suma de dos términos:
El empuje del tubo de vidrio que está parcialmente sumergido una longitud L-x.
ρ·g·V(1-x/L)
El empuje de la burbuja de aire que ha desalojado el agua contenida en el volumen cilíndrico de área A (el área de la sección trasversal del tubo) y de alturas.
ρ·g·A·z
La resultante es la diferencia entre el empuje y el peso
(1)
Siendo ρ=1000 kg/m3 la densidad del agua, g=9.8 m/s2 la aceleración de la gravedad, y ρv la densidad del vidrio, aproximadamente 2300 kg/m3.
Trasformación isoterma
La ecuación fundamental de la estática de fluidos nos permite calcular la presión del aire en la burbuja, que es la presión existente a una
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profundidad z por debajo de la superficie del agua contenida en el recipiente.
P+ρgz
Siendo P la presión del aire en el recipiente.
Si suponemos que en todo momento la temperatura permanece constante, aplicamos la ecuación de los gases ideales a la burbuja de aire:
En la situación inicial, con el tubo en la posición derecha, tenemos un volumen de aire A·l0 a la presión atmosférica P0
En la situación final, con el tubo en la posición invertida dentro del recipiente, tenemos una burbuja de aire cuyo volumen es A·(x+z) a la presión P+ρgz.
Se cumplirá que
P0·l0=(P+ρgz)·(x+z) (2)
Situación de equilibrio
El tubo permanece en equilibrio cuando el peso se igual al empuje o bien, cuando F=0.
Conocida la presión P podemos determinar x y z resolviendo un sistema de dos ecuaciones (1) y (2) con dos incógnitas.
De la segunda ecuación despejamos x
(3)
y la sustituimos en la primera, para despejar z, quedando una ecuación de segundo grado, az2+bz+c=0, con
Se calcula la raíz positiva de la ecuación de segundo grado
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Una vez que se ha calculado z, se determina mediante la ecuación (3), la posición de equilibrio x de la parte superior del tubo de ensayo.
Presión crítica.
Si se incrementa la presión hasta un valor límite P, el tubo de ensayo se va sumergiendo en el agua hasta que la posición de la parte superior del tubo está en el origen xe=0. Si incrementamos un poco más la presión el tubo se hunde completamente.
La presión crítica P se determina poniendo x=0, en la ecuación (1) con F=0 (situación de equilibrio) y despejando P en la ecuación (2).
El tamaño z de la burbuja es independiente de su tamaño l0 inicial, solamente depende de la geometría del tubo de ensayo, de la densidad del vidrio ρv y del aguaρ
Actividades
Se introduce
El tipo de tubo que se va a usar en la experiencia, seleccionándolo en el control de selección titulado Tubos.
Se modifica la altura l0 inicial de la burbuja de aire en el tubo, moviendo con el puntero del ratón la flecha de color rojo, situada al lado de la imagen amplificada del tubo.
Observaremos el tubo en la posición de equilibrio estable F=0, si es que existe. En caso contrario, un mensaje nos lo indica.
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Al lado del tubo, se muestran dos vectores que representan el peso y al empuje, y en la parte superior del recipiente, se muestra el valor de la fuerza F.
Datos de los tubos utilizados, tomados del artículo citado en las referencias
Tubo
Altura L (cm)
Diámetro interior d1(cm)
Diámetro exterior d2 (cm)
Densidad ρv(g/cm3)
1 9.8 1.38 1.6 2.35
2 16.0 1.64 1.64 2.29
3 17.1 4.44 4.97 2.16
4 20.1 1.74 2.00 2.17
La presión atmosférica es P0=101300 Pa. La densidad del mercurio (Hg) es 13.55 g/cm3
Empuje
El empuje se compone de la suma de dos términos:
El empuje del tubo de vidrio que ahora está completamente sumergido
ρ·g·V
El empuje de la burbuja de aire que ha desalojado el agua contenida en el volumen cilíndrico de área A (el área de la sección trasversal del tubo) y de alturas.
ρ·g·A·z
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La resultante de las fuerzas que actúan sobre el tubo es la diferencia entre el empuje y el peso
F=ρgAz+ρgV- ρvgV
Trasformación isoterma
La presión del aire contenido en la burbuja es, para x<0
P+ρg(z+|x|)=P+ρg(z-x)
Suponiendo que el aire experimenta una transformación isotérmica entre el estado inicial y el final, tendremos
P0·l0= (P+ρg(z-x))z
Dinámica del diablillo
De nuevo, escribimos la fuerza que actúa sobre el tubo de ensayo
Relacionamos z y x mediante la ley de Boyle
Tenemos que despejar z de las ecuaciones de segundo grado
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ρgz2+(P+ρgx)z+Px-P0l0=0 x>0ρgz2+(P-ρgx)z-P0l0=0 x≤0
La fuerza F es ahora, una función de la posición x de la base del tubo de ensayo invertido
Para x>0
La fuerza F depende de la posición x, se trata de una fuerza conservativa cuya energía potencial se calcula del siguiente modo
Donde xe es la posición de equilibrio al cual le vamos a asignar una energía potencial cero. Establecemos por tanto, en esta posición el nivel cero de energía potencial Ep(xe)=0.
Para x>0 tenemos que hacer la integral
Donde C1 es una constante de integración que se determina a partir de la condición de que E1(xe)=0, f(x) es una función que se define más abajo.
Para x≤0
La fuerza es
Para calcular la energía potencial, tenemos que hacer la integral
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La fuerza F es una función discontinua en x=0, pero la energía potencial Ep(x) es una función continua de modo que, en x=0 se tiene que cumplir queE1 (0)=E2(0), esta condición determina el valor de la constante C2 de integración.
La función f(x) es una integral que no es inmediata
Esta integral se puede escribir de la forma
Se descompone en la suma de dos integrales
El primer término se integra por partes, y el segundo es una integral inmediata.
El resultado final es
Una de las posibles representaciones gráficas de Ep(x) se muestra en la figura.
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Para presiones bajas del aire contenido en el recipiente, la función potencial tiene un mínimo local en xe>0, que es una posición de equilibrio estable, y un máximo local en una posición xm<0 (equilibrio inestable)
Cuando la presión P se hace igual a la crítica, el máximo y el mínimo coinciden en x=0. Para esta presión y valores superiores de la misma el tubo de ensayo se hunde en el recipiente.
Si en la posición de equilibrio, xe le damos al tubo una velocidad inicial v0, la energía total del móvil es la energía cinética ya que la energía potencial es nula.
La energía E total es constante en todos los puntos de la trayectoria. Si E es menor que el máximo local de la energía potencial, el tubo que sale de la posición de equilibrio xe oscila entre dos posiciones, x1 y x2 determinadas por las raíces de la ecuación trascendente Ep(x)-E=0, abscisas de los puntos de intersección de la curva de la energía potencial y la recta horizontal Ep(x)=E, tal como se indica en al figura.
Cuando la función energía potencial Ep(x) no tiene mínimo local o posición de equilibrio estable, el tubo sale de la posición x=0 con velocidad v0, y como podemos comprobar se hunde en el recipiente hasta que llega al fondo.
Se simula el movimiento del diablillo de Descartes resolviendo numéricamente, mediante el procedimiento de Runge-Kutta, la ecuación diferencial del movimiento, con las condiciones iniciales especificadas.
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DESAROLLO NUMERO 2 (EXPERICENCIA DEL GRUPO):
En la situación inicial, donde no estamos aplicando presión sobre la botella el diablillo contiene, una porción de aire. La densidad del aire es, aproximadamente de 1,3 g/l. El agua es algo menos de mil veces más densa, 1000 g/l. Por lo tanto, dado que el aire es mucho menos denso que el agua, el peso del diablillo, incluyendo el peso del recipiente, es en esta situación menor que el peso del agua desalojada. Por lo tanto, el empuje de Arquímedes es capaz de vencer completamente el peso del diablillo, por lo que lo vemos flotar. De hecho, normalmente la flotabilidad del diablillo en estas circunstancias es tan grande que tiende a pegarse al tapón de la botella. Si la destapamos con cuidado, observaremos que la tendencia natural del diablillo es a flotar con una fracción de masa por encima de la superficie, tal y como sucede con las embarcaciones.
En el cuello del diablillo se crea una superficie de contacto entre el agua de la botella con el aire de su interior. Si se ha llenado correctamente la botella, esta es la única interfaz que aire-agua que contiene la botella.
Diablillo de Descartes
Sin embargo, al apretar firmemente los laterales de la botella estamos sometiendo el contenido a presión extra, que debido al principio de Pascal es transmitida a todas las partes del fluido instantáneamente. Dicha presión no es capaz de comprimir el agua, ya que esta es a efectos prácticos incompresible.
En particular, la presión ejercida se transmite a la interfaz aire-agua dentro del diablillo, y al aire dentro de este. Debido a que el aire si es muy compresible, este reduce su volumen en gran medida. La reducción del volumen del aire se compensa con la entrada de nueva agua dentro del diablillo.
Por tanto, ahora en el interior del diablillo tenemos la misma masa de aire, pero mucha más agua, por lo que el peso total aumenta. Sin embargo, el volumen total del diablillo es el mismo, por lo que el empuje de Arquímedes es constante. Así las cosas, llegará un punto en que el peso del diablillo sea superior al empuje de sustentación, por lo que se hunde hasta el fondo de forma irremediable.
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De hecho, es incluso posible conseguir flotabilidad neutra regulando cuidadosamente la presión ejercida. En este caso, podemos observar el diablillo suspendido a media altura. Dado que la densidad del agua no es constante, sino que aumenta levemente con la profundidad, es posible controlar la altura del diablillo variando lentamente la presión ejercida.
Por último, al liberar de repente la presión ejercida sobre la botella, el aire en el interior del diablillo se expande hasta recuperar su volumen original. De esta forma, la flotabilidad del diablillo se ve restablecida, y este vuelve rápidamente a la superficie. De hecho, como se puede observar en el vídeo de demostración, la flotabilidad del diablillo puede llegar a ser tan grande que su ascensión puede ser muy rápida provocando una violenta (y divertida, por qué no decirlo) colisión con el cuello de la botella.
CONCLUCION Y SUGERENCIAS:
Cuando se presiona la botella lo suficiente, se observa como el bolígrafo desciende hasta llegar al fondo. Al disminuir la presión ejercida, el bolígrafo asciende de nuevo.
Al presionar la botella se puede observar como disminuye el volumen de aire contenido en el interior del bolígrafo. Al dejar de presionar, el aire recupera su volumen original. Esto es consecuencia del principio de Pascal: Un aumento de presión en un punto cualquiera de un fluido encerrado se transmite a todos los puntos del mismo.Antes de presionar la botella, el bolígrafo flota debido a que su peso queda contrarrestado por la fuerza de empuje ejercida por el agua. La disminución del volumen del aire en el interior del bolígrafo, lleva consigo una reducción de la fuerza de empuje ejercida por el agua. Esto es una consecuencia del principio de Arquímedes: Todo cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical ascendente que es igual al peso del fluido desalojado.
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BIBLIOGRAFIA:
Güemez J, Fiolhais C, Fiolhais M. The Cartesian diver and the fold catastrophe. Am. J. Phys. 70 (7) July 2002, pp. 710-714.
J. R. Bertomeu, A. García. Abriendo las cajas negras: colección de instrumentos científicos de la Universitat de València. ISBN 84-370-5488-5
Exposición "Danzad, danzad, diablillos" http://web-ter.unizar.es/cienciate/expo/
Diablillo de Descartes Explicación del funcionamiento del juguete por parte del asesor científico del Parque de las Ciencias de Granada.
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![[El racionalismo de Descartes]](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/586e8a951a28ab722f8bab5b/el-racionalismo-de-descartes.jpg)
