M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 2

1

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATION

MMETODY ETODY

SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATION22

Jaroslav [email protected]

Pavel [email protected]

Katedra Řídicí technikyElektrotechnická fakulta

České vysoké učení technické v Praze

2

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONúvodúvod

Úvod

Matematickénástroje

Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

V tomto semináři ukážeme:

• využití matematických nástrojů z minulé přednášky v algoritmech deterministické identifikace

• použití těchto algoritmů na jednoduchých příkladech a také na reálných datech

3


Metody deterministické 4SID si kladou za cíl určit z posloupnosti naměřených vstupně/výstupních dat:

• řád systému a posloupnost stavů• a nakonec z této posloupnosti stavů určit matice stavového modelu A, B, C, D.

připomenutí z minulapřipomenutí z minula

Stavový model systému (m vstupů, l výstupů, řád n):

Pro odvození deterministické identifikace budeme uvažovat systém bez přítomnosti šumu wk=0 a vk=0

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

4

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONpřipomenutí připomenutí -- maticový tvar maticový tvar

Stavový model v maticovém tvaru:

Up, Uf - Hankelovy matice „minulých“/„budoucích“ vstupních dat

Yp, Yf - Hankelovy matice „minulých“/„budoucích“ výstupních dat

Xp, Xf - časová posloupnost „minulých“/„budoucích“ stavů systému

i - rozšířená matice pozorovatelnostiHi - Toeplitzova matice impulsní odezvyi - reverzovaná matice řiditelnosti

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

počítané z matic A,B,C,D

5


Maticový zápis stavových rovnic systému odpovídá rozepsaným diferenčním rovnicím:Úvod

Matematické

nástroje

Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

indexy značí čas a nikoliv složky vektoru

6


Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

v prvním sloupci

jsou výstupy počítány jako odezva na počáteční stav x0 a posloupnost vstupů:

v druhém sloupci

jsou výstupy počítány jako odezva na počáteční stav x1 a posloupnost vstupů:

atd…

7

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONpřipomenutí - nejednoznačnostpřipomenutí - nejednoznačnost

Stavový model je nejednoznačný vzhledem k volbě báze stavového prostoru.

Jeden systém tak může být popsán nekonečně mnoha stavovými modely, které jsou ovšem svázány podobnostní transformací T.

Libovolná regulární transformační matice popisuje transformaci mezi ekvivalentními stavovými modely.

Výsledek stavové identifikace tak není v maticích A, B, C, D numericky jednoznačný.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

8

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONpřipomenutí - nejednoznačnostpřipomenutí - nejednoznačnost

Stejnou transformaci můžeme napsat i pro již zavedenou matici posloupnosti stavů Xi:

jelikož je transformační matice T nesingulární budou řádkové prostory generované řádky matice Xi a Zi stejné.

4SID algoritmy proto nehledají konkrétní stavovou posloupnost Xi, ale právě prostor generovaný řádky

matice Xi , jehož libovolná báze tvoří platnou stavovou posloupnost. •K nalezení tohoto řádkového prostoru jsou používány geometrické nástroje numerické algebry. •Nejednoznačnost ve volbě báze je dána nejednoznačností stavového modelu vůči podobnostní transformaci.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

9

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONpřipomenutí – geometrická interpretacepřipomenutí – geometrická interpretace

Geometrická interpretace maticových rovnic

Na násobení maticemi i, Hi, Ai, i zleva můžeme nahlížet jako na řádkové úpravy násobených matic. Z tohoto pohledu pak každý řádek matice Yf vzniká jako

lineární kombinace řádků matic Xf a Uf.

i . Xf

Hi . UfYf

Xf

Uf

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

10

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONalgoritmy deterministické identifikacealgoritmy deterministické identifikace

Algoritmy deterministické identifikace:• Průsečíkový algoritmus• Projekční algoritmus• Sjednocující projekční algoritmus (Theorem 2)Odlišují se odolností proti šumu.

Využívají geometrických vlastností vazeb mezi řádkovými prostory matic Up, Uf, Yp, Yf, Xp a Xf popsaných maticovými rovnicemi systému.

Téměř výhradně pracujeme s řádkovými vektory blokových Hankelových matic (časové posloupnosti) a nikoliv např. s vektory vstupů nebo stavů z jednoho časového okamžiku.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

11

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONprůnikový (intersection) algoritmusprůnikový (intersection) algoritmus (1) (1)

Řádkový prostor sekvence stavů Xf lze získat jako průnik mezi řádkovým prostorem minulých dat (Up, Yp) a řádkovým prostorem budoucích dat (Uf, Yf):

Libovolná báze tohoto průnikem vzniklého prostoru tvoří platnou posloupnost stavů. Nejednoznačnost ve volbě báze odpovídá podobnostní transformaci stavového modelu T.

Identifikační metoda pracující na základě velmi jednoduché vlastnosti řádkových prostorů datových Hankelových matic.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

12

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONprůnikový (intersection) algoritmusprůnikový (intersection) algoritmus (2) (2)

K nalezení průniku lze použít například principiálních úhlů a principiálních směrů mezi podprostory počítaných pomocí SVD (minulá přednáška).

Principiální úhly uvažujeme jako zobecnění úhlu mezi dvěma vektory na úhly mezi dvěma podprostory.

Počet principiálních úhlů je roven dimenzi menšího ze dvou podprostorů.

Průnik mezi dvěma podprostory nalezneme jako prostor generovaný principiálními směry odpovídajících nulovým principiálním úhlům.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

13

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONprůnikový (intersection) algoritmusprůnikový (intersection) algoritmus ( (33))

Nalezení průniku za použití principiálních úhlů a principiálních směrů počítaných pomocí SVD:

Singulární rozklad

Matice S má na diagonále kosíny principiálních úhlů mezi principiálními směry danými řádky matice U a VT.

Počet principiálních úhlů blížících se nule udává odhad dimenze průniku a tím také řád systému. Odpovídající principiální směry pak tvoří bázi tohoto průniku a tím i platnou posloupnost stavů systému.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

14

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONprůnikový algoritmusprůnikový algoritmus – – příkladpříklad (1) (1)

SISO systém 3. řádu:

Naměřeno 200 vzorků

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

15

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONprůnikový algoritmusprůnikový algoritmus – – příkladpříklad ( (22))

Volba počtu řádek blokových Hankelových matic:i = 10

Umožní identifikovat systémy až do desátého řádu.

1) Z naměřených 200 vzorků sestavíme datové Hankelovy matice s rozměry:

kde počet sloupců j je zvolen tak, aby byla využita všechna data:

j = (počet vzorků) – 2i = 180

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

16


Dále budeme pracovat s řádkovými prostory těchto matic. V našem případě tedy ve 180-ti rozměrném prostoru.

20 40 60 80 100 120 140 160 180

2

4

6

8

10

20 40 60 80 100 120 140 160 180

2

4

6

8

10

Yf

Hankelovy datové matice (vykresleno pomocí pcolor):

YpÚvod

Matematické

nástroje

Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

17


2) Vypočteme principiální úhly mezi řádkovými prostory minulých dat (Wp) a budoucích dat (Wf):

Vypočteme součin projekčních matic a provedeme jejich singulární rozklad.

Z matice singulárních čísel S vypočteme principiální úhly:

z počtu singulárních čísel blížících se nule odhadneme řád systému.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

PrincpialniUhly = acos(diag(S))*180/pi;

18


Prvních 15 nejmenších principiálních úhlů:

Tři nulové principiální úhly ukazují na prostor průsečíku s dimenzí 3 a tím na systém 3. řádu.

Odpovídající řádky matice U (s normou rovné jedné) pak tvoří posloupnost stavů. Ta je nejednoznačná vůči podobnostní transformaci.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

19


3) Nakonec jsou z posloupnosti stavů, vstupu a výstupu pomocí nejmenších čtverců určeny matice systému A, B, C, D.

Porovnání skutečného a naidentifikovaného systému:

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

20

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONvliv šumuvliv šumu

Začneme-li přidávat k měření šum bude se zhoršovat jednoznačnost odhadu řádu systému.

Minulá a budoucí data budou postupně ztrácet průnik – první tři původně nulové principiální úhly budou růst:

5% šum 10% šum 20% šum

Pomocí SVD můžeme určit aproximaci průniku pro zvolený řád systému.

nárůst šumu měření% k maximální hodnotě výstupu

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

21

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONdůkaz průnikového algoritmu (1)důkaz průnikového algoritmu (1)

Jak je možné, že stačí (zdánlivě) tak málo?:

Ukážeme následující:1. Xf leží v řádkovém prostoru budoucích dat (Wf)

2. Xf leží také v řádkovém prostoru minulých dat (Wp)

3. prostor průniku má dimenzi rovnou řádu systému n

čímž dokážeme, že libovolná báze prostoru vzniklého průnikem minulých a budoucích dat tvoří správnou (přípustnou) posloupnost stavů.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

22

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONdůkaz průnikového algoritmu (důkaz průnikového algoritmu (22))

1. Xf leží v řádkovém prostoru budoucích dat

z maticové rovnice systému

lze budoucí stavy napsat jako

výsledkem násobení maticí zleva je matice jejíž řádky jsou tvořeny lineární kombinací řádků násobené matice.

To ukazuje, že Xf leží v řádkovém prostoru budoucích dat:

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

23


2. Xf leží také v řádkovém prostoru minulých datÚvod

Matematické

nástroje

Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

Ze stavových rovnic:

můžeme Xf zapsat jako:

Což ukazuje, že také Xf leží v řádkovém prostoru minulých dat

24


3. prostor průniku má dimenzi rovnou řádu systému n

Důkaz následující rovnosti je delší.

Omezíme se proto na výčet podmínek, za kterých platí:

• Řádky Hankelových matic Up, Uf jsou lineárně nezávislé. To lze zajistit dostatečným počtem vzorků.

• Řádky matic Xp a Xf jsou lineárně nezávislé. To odpovídá v identifikaci obvyklé podmínce dostatečného vybuzení systému.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

25

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONprůnikový algoritmus - poznámkyprůnikový algoritmus - poznámky

Poznámky:• stavová matice a Hankelovy matice vstupů U a matice výstupů Y mají počet sloupců přibližně rovný počtu naměřených vzorků• řádkové vektory se kterými 4SID pracuje tak mohou mít rozměry v řádech 100, 1000, …• je tak potřeba rozlišovat mezi stavovým prostorem systému a řádkový prostor matice Xi

Stavový prostor – n rozměrný s dimenzí n (n řád systému). Leží v něm všechny stavy tj. sloupce matice Xi .

Řádkový prostor matice Xi – j rozměrný s dimenzí n.

Báze je dána řádky matice Xi

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

26


K nalezení systémových matic stačí vyřešit soustavu rovnic:

Rozměry matic díky odhadu řádu systému známe.

Ui|i resp. Yi|i je jeden blokový řádek vstupních resp. výstupních dat.

Soustava rovnic je přeurčená, avšak pro náš deterministický případ také konzistentní – tudíž není nutné použít metodu nejmenších čtverců.

Z předchozích kroků algoritmu známe: • odhad řádu systému (ze singulárních čísel)• stavovou posloupnost Xf

získání matic stavového modelu (1)získání matic stavového modelu (1)

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

známé známé

27

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONzískání matic stavového modelu (2)získání matic stavového modelu (2)

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

V případě použití deterministické identifikace na zašuměná data je použití metody nejmenších čtverců nutné:

28

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONvlastnosti SVD pro Subspace metodyvlastnosti SVD pro Subspace metody (1) (1)

4SID metody používají singulární rozklad pro zjištění báze řádkového nebo sloupcového prostoru matice a pro jeho aproximaci prostorem nižšího řádu. Pro matici A2 Rm £ n:

kde matice S1 je čtvercová matice s k nenulovými singulárními čísly na diagonále. Pak matice U a V jsou rozděleny následovně:

Potom pro řádkový resp. sloupcový prostor matice A platí:

navíc řádky V1T resp. sloupce U1 tvoří ortogonální bázi

řádkového resp. sloupcového prostoru matice A.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

29


Z hlediska šumu umožňuje SVD jednoduchou aproximaci řádkových/sloupcových podprostorů.

PříkladMatice A má v řádcích 5 vektorů ležících v rovině (x,y).V matici Anoise je k těmto vektorů přidán šum.

Ukážeme, že pomocí SVD lze určit řádkový prostor matice A (nalézt jeho dimenzi a bázi) a také použití SVD pro odstranění šumu z Anoise a nalezení aproximace řádkového prostoru prostorem nižšího řádu.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

30


-2-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-0.5

0

0.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.5

0

0.5

červeně – vektory z řádků matice A

modře – vektory z řádků matice Anoise

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

31


SVD SVD

Pro porovnání vypočteme normálové vektory k rovinám představujícím řádkové prostory matic A a Anoise:

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

32

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONsjednocující projekční algoritmussjednocující projekční algoritmus

Algoritmus bez konkrétního názvu označovaný v literatuře jako „Theorem 2“ podle knihy „De Moor: Subspace Identification for Linear Systems”, ve které byl pod tímto označením zaveden.

Pomocí váhových matic W1, W2 představující volné parametry algoritmu, zahrnuje ostatní deterministické algoritmy.

Je založen na šikmé projekci prostoru budoucích výstupů do prostoru minulých dat podél podél prostoru budoucích vstupů .

kde

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

33

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONstručný princip (1)stručný princip (1)

Stručný princip Podle maticové rovnice systému:

jsou vektory řádkového prostoru blokové Hankelovy matice Yf získány jako suma lineární kombinace vektorů z řádkového prostoru posloupnosti stavů Xf a lineární kombinace vektorů z řádkového prostoru blokové Hankelovy matice Uf.

i . Xf

Hi . UfYf

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

34

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONstručný princip (2)stručný princip (2)

Stručný princip 2Lze ukázat, že vektory posloupnosti stavů lze získat jako lineární kombinaci řádkových vektorů blokových Hankelových matic minulých dat:

vypočteme-li tedy projekci Yf na Wp podél Uf , zbavíme se

tak složky výstupu generované vstupem Uf. Projekcí tak

dostaneme řádkový prostor Xf daný součinem i . Xf, jehož činitele (řádkový a sloupcový prostor) můžeme určit pomocí singulárního rozkladu.

i . Xf

Hi . UfYf

Wp

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

35

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONkroky algoritmu (1)kroky algoritmu (1)

Postup:1) Výpočet šikmé projekce (např. pomocí LS)

2) Singulární rozklad matice řádkového prostoru projekce

kde váhové matice W1 a W2 jsou zvoleny, tak aby:

3) Určení řádu systému podle počtu nenulových singulárních čísel v matici S1

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

36

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONkroky algoritmu (2)kroky algoritmu (2)

4) Výpočet rozšířené matice pozorovatelnosti (sloupcový prostor projekce)

5) Pro posloupnost stavů dostaneme singulárním rozkladem část stavů ležících ve sloupcovém prostor matice W2:

6) Posloupnost stavů nakonec dostaneme jako

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

37

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONpoznámky k algoritmupoznámky k algoritmu

Poznámky:• volba matic W1 a W2 určují výslednou bázi pro stavový

prostor. Transformační matice T je těmito maticemi parametrizována T(W1, W2).

• Sjednocující projekční algoritmus má následující algebraickou interpretaci:

ze které může být vidět, že cílem 4SID algoritmů je nalezení subprostoru stavů. Jeho libovolná báze tvoří potom posloupnost stavů – tato báze (báze řádkového prostoru) je nalezena pomocí SVD.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

38

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONddůkazůkaz (1) (1)

Jak již bylo ukázáno matici posloupnosti budoucích stavů Xf můžeme získat jako lineární kombinaci minulých dat.Ze stavových rovnic:

můžeme Xp zapsat jako:

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

39


Rovnici pro budoucí výstupy Yf potom můžeme přepsat:

ortogonální projekcí obou stran rovnice na prostor kolmý k prostoru budoucích vstupů Uf dostaneme:

Z matice můžeme singulárním rozkladem získat bázi řádkového prostoru Xi neboť i má plnou sloupcovou hodnost (podobně pro bázi col(i) ).

ddůkazůkaz ( (22))

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

40

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONpříklad (1)příklad (1)

Stejná data jako pro průnikový algoritmus:

Naměřeno 200 vzorků

SISO systém 3. řádu:

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

41


0 2 4 6 8 1010

-2

10-1

100

101 Singular Values

Order

příklad (2)příklad (2)

K výstupním datům přidán šum.

Singulární čísla matice

Počet velkých singulárních čísel dává dobrý odhad řádu systému -> n=3.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

42

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONpříklad (příklad (33))

0 50 100 150 200-10

-5

0

5

10výstup systemusimulovaný výstup

0 50 100 150 200-0.05

0

0.05Odchylka simulovaného výstupu [%]

Porovnání skutečného a naidentifikovaného systému:Úvod

Matematické

nástroje

Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

43

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONHydraulický servoválecHydraulický servoválec

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

Použití metod Subspace Identification pro identifikaci reálného systému z naměřených dat.

Parametry válce:

jmenovitý zdvih: 50 mmjmenovitá síla: 125 kN

Parametry servoventilu:

jmenovitý průtok: 240 l/min

perioda vzorkování: 0,5 ms

44

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONnaměřená datanaměřená data

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

0 2 4 6 8 10 12 14-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2Vstupní dataVýstupní data

Hydraulický válec používán k testování silentbloků pro automobily. Vstupní data tak představují změřené nárazy a vibrace při testovací jízdě automobilem.

45

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONodhad řádu systémuodhad řádu systému

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

0 2 4 6 8 1010

-4

10-3

10-2

10-1

100

Singular Values

Order

Odhad řádu systému pomocí singulárních čísel

46

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONstavový model odhadovaného systémustavový model odhadovaného systému

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

Matice identifikovaného systému

Vypočtené chyby pro metodu Subspace identification a pro ARX model:

47

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONporovnání výstupů porovnání výstupů

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Porovnání simulovaných výstupu a reálného výstupu

reálný výstupARX identifikaceSubspace identification

48

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONzávěrzávěr

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

V této přednášce jsme:

• představili jiný přístup k metodám identifikace systémů,

• ukázali základy metod Subspace Identification a především jejich deterministickou část,

• ukázali, že 4SID metody i přes jejich abstraktnost jsou použitelné pro praktické aplikace.

Documents

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 2