M.E.C.T.Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul PreuniversitarInspectoratul Şcolar Judeţean OltC.C.D. Olt

PORTOFOLIU

CURS DE FORMARE

Programul Naţional de Formare vizândDezvoltarea Competenţelor de Evaluare ale Profesorilor din

Învăţământul Preuniversitar de Stat

Cursant:Profesor Matematică MÎINESCU ION CĂTĂLIN

Şcoala cu clasele I-VIII BobiceştiComuna Bobiceşti, judeţul Olt

Septembrie – Octombrie 2008

Cuprins

Capitolul I Proiectarea unei unităţi de învăţare

Capitolul al II-lea Obiective de evaluare pentru unitatea de învăţare

Capitolul al III-lea Instrumentul de evaluare proiectat – test

Capitolul al IV-lea Baremul de corectare şi notare

Capitolul al V-lea Raport de analiză privind administrararea instrumentului de evaluare

Capitolul al VI-lea Analiza baremului de corectare şi notare – optimizare

Capitolul al VII-lea Elemente de deontologie a evaluării în contextul creşterii calităţii actului educaţional – eseu

Capitolul IProiectarea unităţii de învăţare „Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic”

Obiective de referinţă: 1.6, 1.7, 1.8, 2.2, 2.5, 3.2, 3.3, 4.1

Clasa a VII a - GEOMETRIENumăr de ore: 6

Detalieri de conţinut

Ob. de ref.

Ob. operaţ. Activităţi de învăţare Demers didactic/

Resurse

Evaluare

Proiecţii ortogonale pe o dreaptă

1.8

1.8

1.8

1.8, 2.2

Să ştie să utilizeze instrumentele geometrice;

Să ştie să măsoare distanţe;

Să ştie să construiască proiecţii de segmente;

Să găsească relaţia dintre lungimea segmentului şi lungimea proiecţiei sale;

Să construiască proiecţia segmentelor în situaţii variate.

Construirea perpendicularei dintr-un punct pe o dreaptă

Identificarea piciorului perpendicularei şi a distanţei de la un punct la o dreaptă

Construirea proiecţiilor unor segmente pe o dreaptă dată pentru diverse cazuri

Identificarea relaţiei dintre lungimea unui segment şi lungimea proiecţiei lui pe o dreaptă

Construirea proiecţiei unei laturi pe dreapta suport a altei laturi în diferite triunghiuri

Activitate frontală semidirijată

Instrumente geometrice

Activitate individuală

Raportarea rezultatelor şi

Observarea sistematică a elevilor;

Chestionare orală;

3.2

1.8,3.3

sistematizarea lor

Activitate în perechi Raportarea

rezultatelor şi a modului de lucru

1h

Observarea sistematică, chestionarea orală.

Teorema înălţimii

Teorema catetei

1.8 Să identifice triunghiuri dreptunghice;

Recunoaşterea unor triunghiuri dreptunghice dintre mai multe triunghiuri date

Activitate în grup cu observarea şi diferenţierea triunghiurilor primite spre analiză

Observarea sistematică;

1.8

1.7

1.6, 1.7

1.7, 2.2, 2.5

Să recunoască cate-tele, proiecţiile lor pe ipotenuză şi înăl-ţimea din vârful unghiului drept;

Să intuiască triun-ghiuri asemenea şi să demonstreze asemă- narea lor;

să formuleze teorema înălţimii;

să aplice teorema înălţimii;

să intuiască triunghiuri asemenea;

Identificarea şi numirea laturilor unui triunghi dreptunghic, a înălţimii din vârful unghiului drept şi a proiecţiilor catetelor pe ipotenuză

Identificarea unor triunghiuri asemenea în care înălţimea din vârful unghiului drept este latură

Scrierea raportului de asemănare Deducerea formulei din teorema

înălţimii

Calculul unor lungimi de segmente utilizând teorema înălţimii

Identificarea unor triunghiuri asemenea în care o catetă este latură comună

Activitate frontală Dialog euristic

Activitate în perechi şi consemnarea rezultatelor

Activitate în perechi cu consemnarea rezultatelor prin conversaţie euristică

Activitate frontală dirijată – probleme alese de către profesor

Instrumente

Chestionare orală;

Încadrarea în timp şi colaborarea în grup;

Compararea rezultatelor grupelor;

Ev. Frontală;

1.6, 1.7,

3.3

1.7

2.2

3.2

să determine formula din enunţ;

să identifice aspectele comune şi cele diferite din cele două teoreme;

să ştie să aplice teo-remele pentru calcu-lul unor lungimi de segmente

să ştie să justifice paşii parcurşi în rezolvare;

Deducerea formulei din teorema catetei

Compararea formulelor din teorema catetei şi din teorema înălţimii

Precizarea denumirilor acestor teoreme

Calculul unor lungimi de segmente utilizând cele două teoreme

Exprimarea şi argumentarea demersului parcurs pentru rezolvarea sarcinii din fişa de lucru

geometrice Fişă de lucru –

activitate pe grupe – raţionament deductiv

Activitate frontală de sistematizare a informaţiilor obţinute prin activitatea de grup

Conversaţie euristică

Activitate frontală de organizare a informaţiilor obţinute anterior

Fişă de lucru Activitate frontală

de prezentare a modului de lucru

2h

Fişă de lucru;

Compararea rezultatelor grupelor;

Conversaţie

Fişă de evaluare;

Teorema lui Pitagora 2.2, 4.1

Să cunoască relaţia dintre laturile unui triunghi dreptunghic;

Să aplice teorema lui Pitagora în probleme de aflare

Identificarea relaţiei dintre laturile unui triunghi dreptunghic

Utilizarea teoremei lui Pitagora în situaţii de determinare a lungimilor de segmente

Activitate dirijată; introducerea unor puncte de sprijin care favorizează descoperirea de către elevi a relaţiei respective

Activitate frontală –

1.7 a unei laturi într-un triunghi dreptunghic;

se rezolvă la tablă probleme propuse de către profesor (manual, culegeri)

1h

Reciproca teoremei lui Pitagora

1.7

1.8

1.7, 3.1, 3.2

să recunoască enunţul unei teoreme directe şi a uneia reciproce;

să ştie să formuleze reciproca unei teoreme (teorema lui Pitagora)

să ştie să aplice reciproca teoremei lui Pitagora în rezolvarea de probleme.

Repetarea definiţiei reciprocei unei teoreme cu exemple

Formularea reciprocei teoremei lui Pitagora

Demonstrarea ei Aplicarea – exersarea reciprocei

teoremei lui Pitagora

Se insistă pe proprietatea că unghiul drept se opune celei mai lungi laturi

Justificarea pe baza simetriei

Activitate frontală – probleme din manual şi din culegere

1h

Evaluare test de evaluare – probă scrisă

1h

Capitolul al II-leaObiective de evaluare pentru unitatea de învăţare„Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic”

1. elevul trebuie să ştie să utilizeze instrumentele geometrice pentru construirea perpendicularei dintr-un punct pe o dreaptă;

2. să ştie să utilizeze instrumente geometrice pentru măsurarea unor distanţe;3. să ştie să compare lungimea unui segment cu lungimea proiecţiei sale;4. să recunoască proiecţii pe figuri complexe;5. să recunoască proiecţia unei laturi a unui triunghi pe altă latură;6. să ştie să aplice definiţia triunghiului dreptunghic pentru identificarea triunghiurilor

dreptunghice;7. să recunoască cu uşurinţă toate elementele unui triunghi dreptunghic;8. să ştie să utilizeze teorema înălţimii în probleme de aflare a unor lungimi de segmente

din triunghiul dreptunghic;9. să ştie să utilizeze teorema catetei în probleme de aflare a unor lungimi de segmente

din triunghiul dreptunghic;10. să ştie să enunţe diferenţele şi asemănările dintre teorema înălţimii şi teorema catetei;11. să ştie să utilizeze teorema lui Pitagora în probleme de aflare a unor lungimi de

segmente din triunghiul dreptunghic;12. să ştie să aplice reciproca teoremei lui Pitagora în proleme în care trebuie demonstra

că un triunghi este dreptunghic.

Capitolul al III-leaInstrumentul de evaluare proiectat – test

Pregătirea clasei pentru testTestul evaluează o unitate de învăţare de aproximativ 6 ore şi foarte importantă în ceea ce priveşte aplicabilitatea. Credem că se impune firesc prezentarea unui plan după care elevii să se pregătească. Planul conţine:

Proiecţii ortogonale pe o dreaptă şi pe un segment Teorema catetei Teorema înălţimii Teorema lui Pitagora

Cu acest test se urmăresc:

Cunoaşterea şi înţelegerea chestiunilor legate de proiecţii pe o dreaptă şi pe un segment

Cunoaşterea teoremelor catetei şi a înălţimii Cunoaşterea teoremei lui Pitagora Aplicarea acestor teoreme în probleme simple cu triunghiuri dreptunghice Aplicarea acestor teoreme în probleme complexe, cu mai mulţi paşi

Elevii vor primi, pe lângă acest plan succint, explicaţii pe marginea fiecărei teme, privind toate

aspectele pe care trebuie să le aibă în vedere în pregătirea testului: definiţii, enunţuri, exemple, demonstraţii (sau nu), desene, exemple rezolvate în manual şi în clasă, exerciţiile primite ca temă pentru acasă, etc. Profesorul va invita elevii să pună întrebări şi va da toate indicaţiile pe care elevii le vor cere.

Matricea de specificaţiiDupă stabilirea tipului de test, este nevoie de un procedeu care să asigure faptul că testul măsoară obiectivele educaţionale definite anterior şi are o bună validitate de conţinut. În acest scop se construieşte matricea de specificaţii. Pe liniile acesteia sunt enunţate conţinuturile testate. Pe coloane, nivelurile cognitive la care dorim să măsurăm conţinuturile respective. De exemplu: cunoaştere, înţelegere, aplicare, analiză, sinteză, interpretare, rezolvare de probleme, etc.

Evaluatorul stabileşte elementele de conţinut şi comportamentele/ domeniile pe care doreşte să le testeze. Determină apoi, ponderea pe care fiecare domeniu şi element de conţinut o va avea în cadrul testului. În funcţie de acestea vor fi completate celulele matricei, prin înmulţirea liniilor şi coloanelor corespunzătoare.

Se mai obişnuieşte ca, în locul ponderii, să se treacă direct numărul de itemi din fiecare celulă. Se va stabili numărul total de itemi ai testului şi apoi se face transformarea.Cu ajutorul acestei matrice urmează a se scrie obiectivele de evaluare şi itemii corespunzători fiecărui obiectiv. Procesul de proiectare a testului se va încheia cu definirea schemei de notare care stă la baza corectării.

Nu ne-am propus să dezvoltăm aceste idei – care, de altfel se regăsesc detaliate în materialele bibliografice amintite. Dorim doar prezentarea generală a lor şi a unei teme de reflecţie pentru a realiza o evaluare obiectivă şi sub toate aspectele, pentru a forma elevul, pentru a răspunde expectanţelor acestuia şi nevoilor sale. De asemenea, se impune sporirea obiectivităţii în evaluare, lucru şi posibil şi necesar.

Prezentăm matricea de specificaţii pentru testul propus de către noi, la clasă.

Domenii

Elemente

de conţinut

Cunoaştere

şi

înţelegere

Aplicarea cunoştinţelor

Rezolvare

de

probleme

Total

(%)

1. Proiecţii ortogonale pe o dreaptă şi pe un segment

3 2 5

10

2. Teorema lui Pitagora

15 10 25 50

3. Teorema înălţimii 9 6 15 30

4. Teorema catetei 3 2 5 10

Total (%) 30 20 50 100

Test

1. Proiecţia unui pătrat pe o dreaptă este …………………….2. Proiecţia unui dreptunghi pe o lungime a sa este ………………..3. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiei:

A F Înălţimea din vârful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic este medie geometrică între segmentele determinate de piciorul său pe ipotenuză.

4. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, fie AD înălţimea din vârful unghiului drept (D [BC]). Scrieţi o formă echivalentă a relaţiei

.

5. Pentru a afla înălţimea unui triunghi echilateral de latură 5 cm, aplicăm teorema înălţimii. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiei de mai sus şi justificaţi alegerea făcută.

6. Într-un triunghi dreptunghic, proiecţiile catetelor pe ipotenuză au lungimile de 20 cm şi 45 cm. Aflaţi lungimea înălţimii din vârful unghiului drept.

7. Într-un triunghi dreptunghic, lungimea ipotenuzei este de 13 cm, iar raportul dintre lungimile proiecţiilor catetelor pe ipotenuză este de 4/9. Să se afle lungimea înălţimii din vârful unghiului drept.

8. Într-un triunghi dreptunghic cu lungimea ipotenuzei de 1 dm, proiecţia unei catete pe ipotenuză este de patru ori mai „mare” decât proiecţia celeilalte catete pe ipotenuză. Să se afle lungimea înălţimii din vârful unghiului drept.

9. Pentru a demonstra teorema catetei vom folosi ……10. Proiecţiile catetelor pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic au lungimile de 5 cm şi 20

cm. Aflaţi lungimea uneia dintre catete.11. În coloana din stânga sunt prezentate cele trei teoreme de la Relaţii metrice în

triunghiul dreptunghic, iar în dreapta, elemente ale triunghiului care apar în fiecare teoremă. Notaţi în spaţiul liber din prima coloană litera corespunzătoare din coloana a doua.

___ 1. Teorema lui Pitogora

___ 2. Teorema catetei

___ 3. Teorema înălţimii

a) Ipotenuza, o catetă şi proiecţia acelei catete pe ipotenuză

b) Catetele şi înălţimeac) Catetele şi ipotenuzad) Catetele şi proiecţiile lor pe

ipotenuzăe) Înălţimea şi proiecţiile catetelor

12. Încercuiţi litera corespunzătoare răspunsului corect din afirmaţiile de mai jos: Când într-un triunghi dreptunghic cunoaştem două dintre laturi , pe cea de-a treia o putem afla aplicând:

i. Teorema cateteiii. Teorema lui Pitagora

iii. Teorema înălţimii13. Citiţi cu atenţie următoarele propoziţii. Încercuiţi valoarea de adevăr (A sau F) pe care

o veţi atribui fiecăreia dintre ele.

A F

O catetă este egală cu produsul dintre ipotenuză şi proiecţia ei pe ipotenuză.

A Înălţimea din vârful unghiului drept este medie

Fproporţională între proiecţiile catetelor pe ipotenuză.

A F

În teorema lui Pitagora apar toate laturile triunghiului dreptunghic.

A F

Proiecţia vârfului unui unghi ascuţit pe latura opusă într-un triunghi dreptunghic este vârful celuilalt unghi ascuţit.

14. Proiecţiile catetelor pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic au lungimile de 5 cm şi 7 cm. Ipotenuza are ………..cm.

15. Într-un triunghi ABC, se dau AB = 5 cm, AC = 12 cm şi BC = 13 cm. Stabiliţi natura triunghiului.

16. Un triunghi dreptunghic are catetele de lungime 5 şi respectiv 12 cm. Ipotenuza sa are lungimea ………… cm.

17. Diagonala unui dreptunghi are lungimea de 10 cm, iar una dintre laturi este de 7 cm. Este această latură „latura cea mare” sau „latura cea mică” a dreptunghiului?

18. O catetă a unui triunghi dreptunghic are lungimea de 10 cm iar înălţimea din vârful unghiului drept de 8 cm. Să se afle lungimile celeilalte catete şi a ipotenuzei.

19. Lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic isoscel este de 4 cm. Să se calculeze lungimea catetelor.

20. MNPQ este un dreptunghi cu MN = 140 cm şi NP = 80 cm.Fie QA MP, NB MP, A, B MP. Calculaţi AB.

Timpul de lucru este de 90 minute.

Capitolul al IV-leaBaremul de corectare şi notare

1 3p „un segment” 3p

2 3p „lungimea respectivă” 3p

3 3p A 3p

4 3p AD2 = BD DC 3p

5 3p a) F 1p

b) Teorema înălţimii se aplică doar într-un triunghi dreptunghic

2p

6 3p a) Scrierea relaţiei din teorema înălţimii 1p

b) Înlocuirea valorilor din ipoteză 1p

c) Obţinerea rezultatului 30 cm 1p

7 8p a) Realizarea desenului şi scriere corectă a raportului (proiecţia „cea mică” supra proiecţia „cea mare” este egal cu 4/9) 1p

b) Exprimarea uneia dintre proiecţii în funcţie de cealaltă 2p

c) Scrierea faptului că suma proiecţiilor este ipotenuza 1p

d) Înlocuire şi aflarea proiecţiilor de 4 cm şi 9 cm 2p

e) Aplicarea teoremei catetei şi aflarea înălţimii de 6 cm 2p

8 8p a) Realizarea desenului 1p

b) Scrierea relaţiei dintre proiecţii 2p

c) Înlocuire în relaţia care leagă ipotenuza şi cele două proiecţii

2p

d) Aflarea proiecţiilor de 2 cm şi 8 cm (sau 0,2 şi 0,8 dm) 1p

e) Aplicarea teoremei înălţimii şi aflarea înălţimii de 4 cm 2p

9 3p „asemănarea triunghiurilor” 3p

10 4p a) Ipotenuza este suma proiecţiilor, adică 25 cm 1p

b) Aplicarea teoremei catetei 2p

c) Determinarea uneia dintre catete 1p

11 3p c-1, a-2, e-3 3p

12 3p ii 3p

13 3p F, A, A, F 3p

14 3p a) Ipotenuza este suma proiecţiilor 2p

b) Aflarea ipotenuzei 1p

15 5p a) 1Observarea faptului că, dacă ar fi triunghi dreptunghic, ar trebui să verifice relaţia: pătratul celei mai mari laturi să fie egal cu suma pătratelor celorlalte două.

2p

b) 132 = 52 + 122 2p

c) Afirmaţia de mai sus este adevărată, deci triunghiul este dreptunghic.

1p

16 3p a) Realizarea desenului 1p

b) Scrierea relaţiei din teorema lui Pitagora 1p

c) Aflarea ipotenuzei de 13 cm 1p

17 5p a) Observarea triunghiului dreptunghic format de diagonală, latura dată şi încă o latură a dreptunghiului

1p

b) Aflarea celeilalte laturi cu teorema lui Pitagora, de cm.

2p

c) Compararea numerelor 7 şi şi stabilirea celui mai mare

2p

18 8p a) Desenul 1p

b) Aflarea proiecţiei catetei de 10 cm cu teorema catetei (6 cm)

2p

c) Aflarea ipotenuzei cu teorema catetei2, de 50/3 cm 3p

d) Aplicarea teoremei lui Pitagora şi aflarea celeilalte catete de 40/3 cm.

2p

19 4p a) Desenul 1p

b) Catetele triunghiului dreptunghic isoscel sunt egale 1p

c) Scrierea relaţiei din teorema lui Pitagora şi înlocuire 1p

d) Aflarea catetelor de cm. 1p

20 12p a) Desenul 2p1 Este de aşteptat ca elevul să gândească astfel: conform întrebării privind natura triunghiului, este clar că va fi un triunghi particular, adică isoscel, echilateral sau dreptunghic şi, cum isoscel sau echilateral nu este, se poate să fie dreptunghic.2 Sau cu teorema înălţimii şi apoi adunarea celor două proiecţii.

b) Calcularea diagonalei MP cu teorema lui Pitagora, MP = = cm.

3p

c) Teorema catetei NP în ΔMNP şi aflarea lui BP =

cm. 3p

d) BP = AM 2p

e) AB = MP – 2BP, deci AB = cm 2p

Capitolul al V-leaRaport de analiză privind administrarea instrumentului de evaluare

Cei 20 de itemi au fost aşezaţi după temele capitolului, astfel:

Proiecţii ortogonale 1,2

Teorema înălţimii 3 – 7

Teorema catetei 8 – 10

Teorema lui Pitagora 11 – 20

Am considerat că această structurare a testului dă posibilitatea adaptării la cerinţele lui şi a elevilor „mai puţin buni”.

Au fost utilizate mai multe tipuri de itemi cu care elevii sunt deja obişnuiţi:

o De completareo Cu alegere dualăo Cu alegere multiplăo De tip perecheo Subiectivi (rezolvare de probleme)

La aplicarea directă a celor trei teoreme nu am folosit itemii de completare, urmărind întregul demers al elevului în rezolvarea lor, considerând relevante:

o Parcurgerea tuturor paşiloro Aplicarea teoremeloro Realizarea deseneloro Efectuarea înlocuiriloro Efectuarea calculeloro Încadrarea subiectului în contextul adecvato Alegerea strategiei optime

Vor fi anunţate de la început timpul de lucru şi punctajul!

Capitolul al VI-leaAnaliza baremului de corectare şi notare – optimizare

Baremul de corectare şi notare a fost întocmit cu atenţie, urmărind ca detalierea punctajului să fie suficient de fină pentru a conduce la o evaluare cu un minimum de subiectivism. De altfel se presupune că, tema fiind dincolo de mijlocul anului şcolar, profesorul a ajuns să-şi cunoască suficient de bine elevii pentru a putea genera o scală de evaluare detaliată şi mulată pe particularităţile clasei căreia i se administrează testul.

Capitolul al VII-leaElemente de deontologie a evaluării în contextul creşterii calităţii actului educaţional – eseu