M086 LA 1 M106 GRP · Pravac i ravnina u prostoru Hesseov normalni oblik jednadzbeˇ pravca u ravnini Neka je (O;(~i;~j)) pravokutni koordinatni sustav u ravnini. Pravac pu ravnini

M086 LA 1M106 GRP

Tema: Pravac i ravnina u prostoru.

25. 1. 2018.

predavac: Rudolf Scitovski, Darija Markovic asistent: Darija Brajkovic, Katarina Vincetic

www.fizika.unios.hr/grpua/

P 1Pravac i ravnina u prostoru

1 Pravac i ravnina u prostoruHesseov normalni oblik jednadzbe pravca i ravnine

M086 LA 1 , M106 GRP Pravac i ravnina u prostoru. 2/9




Hesseov normalni oblik jednadzbe pravca u ravnini

Neka je (O; (~i,~j)) pravokutni koordinatni sustav u ravnini. Pravac p uravnini odreden je tockom P0 i jedinicnim vektorom normale ~n0 na pravacp koji ima smjer od ishodista O prema pravcu p, a s pozitivnim smjeromosi x zatvara kut α

~n0 = cosα~i+ sinα~j

~r0 radijvektor tocke P0, P = (x, y) proizvoljna tocka na pravcu, a~r = x~i+ y~j njezin radijvektor





(~r − ~r0) · ~n0 = 0 (1)

~r · ~n0 − ~r0 · ~n0 = 0

δ := ~r0 · ~n0 = (r0)n0 > 0 udaljenost ishodista O do pravca p

Hesseov normalni oblik jednadzbe pravca p u ravnini

x cosα+ y sinα− δ = 0 (2)





(~r − ~r0) · ~n0 = 0 (1)

~r · ~n0 − ~r0 · ~n0 = 0








(~r − ~r0) · ~n0 = 0 (1)

~r · ~n0 − ~r0 · ~n0 = 0








Ako je zadan pravac p

ax+ by + c = 0, a2 + b2 6= 0 (3)

onda na jedinstveni nacin mozemo odabrati vektor ~n0 i tocku T0 ∈ p sradijvektorom ~r0 tako da je s

δ = ~r0 · ~n0 > 0

odredena udaljenost pravca p do ishodista O

a1x+b1y+c1 = 0, a1 =a√

a2 + b2, b1 =

b√a2 + b2

, c1 =c√

a2 + b2





Ako je zadan pravac p

ax+ by + c = 0, a2 + b2 6= 0 (3)

onda na jedinstveni nacin mozemo odabrati vektor ~n0 i tocku T0 ∈ p sradijvektorom ~r0 tako da je s

δ = ~r0 · ~n0 > 0

odredena udaljenost pravca p do ishodista O

a1x+b1y+c1 = 0, a1 =a√

a2 + b2, b1 =

b√a2 + b2

, c1 =c√

a2 + b2





Udaljenost tocke do pravca

Neka je Q = (xQ, yQ) tocka izvan pravca p koji je zadan tockom P0 ijedinicnim vektorom normale ~n0. Neka se O i Q nalaze u suprotnimpoluravninama u odnosu na pravac p

~rQ +−−→QQ′ +

−−−→Q′P0 − ~r0 = ~0

~rQ · ~n0 − q + 0− ~r0 · ~n0 = 0xQ cosα+ yQ sinα− δ = q





Udaljenost tocke do pravca

Neka je Q = (xQ, yQ) tocka izvan pravca p koji je zadan tockom P0 ijedinicnim vektorom normale ~n0. Neka se O i Q nalaze u suprotnimpoluravninama u odnosu na pravac p

~rQ +−−→QQ′ +

−−−→Q′P0 − ~r0 = ~0

~rQ · ~n0 − q + 0− ~r0 · ~n0 = 0xQ cosα+ yQ sinα− δ = q





Neka je Q smjestena s iste strane pravca p kao i ishodiste O

~rQ +−−→QQ′ +

−−−→Q′P0 − ~r0 = ~0

~rQ · ~n0 + q + 0− ~r0 · ~n0 = 0xQ cosα+ yQ sinα− δ = −q

Udaljenost tocke Q do pravca p odredena je s

d(Q, p) = |xQ cosα+ yQ sinα− δ|






~rQ +−−→QQ′ +

−−−→Q′P0 − ~r0 = ~0









~rQ +−−→QQ′ +

−−−→Q′P0 − ~r0 = ~0








Hesseov normalni oblik jednadzbe ravnine u prostoru

Neka je (O; (~i,~j,~k)) pravokutni koordinatni sustav u prostoru. RavninaM u prostoru zadana je nekom tockom P0 ∈M i jedinicnim vektoromnormale

~n0 = cosα~i+ cosβ~j + cos γ~k

~r0 radijvektor tocke P0, P = (x, y, z) proizvoljna tocka ravnine, a~r = x~i+ y~j + z~k njezin radijvektor

Hesseov normalni oblik jednadzbe ravnine M u prostoru

x cosα+ y cosβ + z cos γ − δ = 0 (4)





Hesseov normalni oblik jednadzbe ravnine u prostoru

Neka je (O; (~i,~j,~k)) pravokutni koordinatni sustav u prostoru. RavninaM u prostoru zadana je nekom tockom P0 ∈M i jedinicnim vektoromnormale

~n0 = cosα~i+ cosβ~j + cos γ~k

~r0 radijvektor tocke P0, P = (x, y, z) proizvoljna tocka ravnine, a~r = x~i+ y~j + z~k njezin radijvektor

Hesseov normalni oblik jednadzbe ravnine M u prostoru

x cosα+ y cosβ + z cos γ − δ = 0 (4)





Postoji direktna veza izmedu implicitnog oblika jednadzbe ravnine

ax+ by + cz + d = 0, a2 + b2 + c2 6= 0

i Hesseovog normalnog oblika. Oznacimo sa σ =√a2 + b2 + c2.

a1x+ b1y + c1z + d1 = 0, a1 =a

σ, b1 =

b

σ, c1 =

c

σ, d1 =

d

σ

Udaljenost tocke Q = (xQ, yQ, zQ) do ravnine M odredena je s

d(Q, p) = |xQ cosα+ yQ cosβ + zQ cos γ − δ|





Postoji direktna veza izmedu implicitnog oblika jednadzbe ravnine

ax+ by + cz + d = 0, a2 + b2 + c2 6= 0

i Hesseovog normalnog oblika. Oznacimo sa σ =√a2 + b2 + c2.

a1x+ b1y + c1z + d1 = 0, a1 =a

σ, b1 =

b

σ, c1 =

c

σ, d1 =

d

σ

Udaljenost tocke Q = (xQ, yQ, zQ) do ravnine M odredena je s

d(Q, p) = |xQ cosα+ yQ cosβ + zQ cos γ − δ|



Documents

M086 LA 1 M106 GRP · Pravac i ravnina u prostoru Hesseov normalni oblik jednadzbeˇ pravca u ravnini Neka je (O;(~i;~j)) pravokutni koordinatni sustav u ravnini. Pravac pu ravnini