..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

สมการเชิงเสนไมเอกพันธที่มัสัมประสิทธิ์เปนคาคงที่

สมการเชิงเสนไมเอกพันธอันดับ n คือ สมการที่อยูในรูป

y(n) + p1(x)y(n−1) + ...+ pn−1(x)y′ + pn(x)y = r(x) −−− (∗)

และจะมีสมการเชิงเสนเอกพันธที่สอดคลอง คือ

y(n) + p1(x)y(n−1) + ...+ pn−1(x)y′ + pn(x)y = 0 −−− (∗∗)

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 1 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

คำตอบทั่วไปของy(n) + p1(x)y(n−1) + ...+ pn−1(x)y′ + pn(x)y = r(x)

สำหรับคำตอบทั่วไปของสมการ (*) คือ

y(x) = yc(x) + yp(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + ...+ cnyn(x) + yp(x)

โดย yc(x) เปนคำตอบของสมการเอกพันธที่สอดคลอง (**) และ yp(x) เปนคำตอบเฉพาะของสมการ (*)

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 2 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

ขั้นตอนการหา yp(x)

ทำนองเดียวกันกับสมการเชิงอนุพันธอันดับสอง สำหรับสมการเชิงอนุพันธอันดับสูง เรามีวิธีการหา yp(x) อยู 2 วิธี คือ1. วิธีการเทียบสัมประสิทธิ์2. วิธีแปรผันพารามิเตอร

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 3 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

วิธีที่ 1. วิธีการเทียบสัมประสิทธิ์

ทำนองเดียวกันกับสมการเชิงอนุพันธอันดับสอง วิธีนี้จะใชไดเฉพาะสมการเชิงอนุพันธที่อยูภายใตเงื่อนไขตอไปนี้1. สัมประสิทธิ์ของสมการเอกพันธที่สอดคลองของสมการนั้นตองเปนคาคงที่เทานั้น2. พจนของ r(x) เปนฟงกชันที่เกี่ยวของกับฟงกชันพหุนาม ฟงกชันโคซายน ฟงกชัน

ซายน ฟงกชันเอกซโพแนนเชียล หรือเปนผลบวก หรือ เปนฟงกชันผลคูณของฟงกชันดังกลาวเหลานั้น

*** ซึ่งมีหลักเกณฑในการกำหนด yp(x) เชนเดียวกับการกำหนด yp(x) ในเรื่องสมการเชิงอนุพันธอันดับสอง โดยจะตองกำหนดให ไมซ้ำ กับคำตอบใน yc(x)

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 4 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ตัวอยาง 4.9..

......

จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ

y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = e−x

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 5 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 6 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 7 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ตัวอยาง 4.10..

......

จงหา yp(x) ของสมการเชิงอนุพันธ

y′′′ + 2y′′ + y′ = 2− x+ 3xe−x + sin x

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 8 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 9 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 10 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 11 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ตัวอยาง 4.11..

......

จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ

y(4) − 2y′′′ + 14y′′ − 18y′ + 45y = cos x

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 12 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 13 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 14 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 15 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ตัวอยาง 4.12..

......

จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ

y′′′ − 3y′′ + 9y′ + 13y = x cos 3x

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 16 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 17 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 18 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 19 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.แบบฝกหัด..

......

จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธตอไปนี้(i) y′′′ − y′′ − y′ + y = 2e−x + 3

(ii) y′′′ − 3y′′ + y′ + 13y = e2x cos 3x(iii) y(4) − 4y′′ = x2 + ex(iv) y(4) − y = x sin x(v) y(5) − 4y(4) + 3y′′′ − 4y′′ = 2x+ 5 + e−x

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 20 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

วิธีที่ 2. วิธีแปรผันพารามิเตอร

ทำนองเดียวกันกับสมการเชิงอนุพันธอันดับสอง วิธีแปรผันพารามิเตอรนี้เปนวิธีที่แพรหลายกวาวิธีการเทียบสัมประสิทธิ์ เพราะวาสามารถใชไดกับสมการเชิงเสนไมเอกพันธในรูปแบบทั่วๆ ไป คือ สัมประสิทธิ์ไมจำเปนตองเปนคาคงที่

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 21 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

วิธีที่ 2. วิธีแปรผันพารามิเตอร

ผลเฉลยเฉพาะ yp(x) ของสมการเชิงเสนไมเอกพันธ

y(n) + p1(x)y(n−1) + ...+ pn−1(x)y′ + pn(x)y = r(x) −−− (∗)

** อยาลืมวา สัมประสิทธิ์หนา y(n) ตองเทากับ 1 หาไดจากสูตร

yp(x) =y1(x)∫ W1r(x)

W(y1, y2, ..., yn)dx+ y2(x)∫ W2r(x)

W(y1, y2, ..., yn)dx

+ ...+ yn(x)∫ Wnr(x)

W(y1, y2, ..., yn)dx

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 22 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

วิธีที่ 2. วิธีแปรผันพารามิเตอร

yp(x) =y1(x)∫ W1r(x)

W(y1, y2, ..., yn)dx+ y2(x)∫ W2r(x)

W(y1, y2, ..., yn)dx

+ ...+ yn(x)∫ Wnr(x)

W(y1, y2, ..., yn)dx

เมื่อ y1(x), ..., yn(x) เปนคำตอบของสมการเชิงเสนเอกพันธที่สอดคลอง (**) ที่เปนอิสระเชิงเสนตอกันและ Wi คือคาดีเทอรมิแนนทซึ่งไดจากการแทนคอลัมภที่ i ของ W ดวย[0, 0, ..., 0, 1]T

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 23 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ตัวอยาง 4.13..

......

จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ

y′′′ + y′ = sec x

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 24 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 25 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 26 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 27 / 28

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.แบบฝกหัด..

......

จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธตอไปนี้(i) y′′′ − y′′ − y′ + 6 = x(ii) y′′′ + y′ = tan x(iii) y′′′ − y′′ + y′ − y = sec x(iv) y′′′ − y′ = csc x(v) จงหาคำตอบทั่วไปของสมการ x3y′′′ + x2y′′ − 2xy′ + 2y = 2x4, x > 0 เมื่อ

ทราบวา x, x2, 1/x เปนคำตอบของสมการเชิงเสนเอกพันธที่สอดคลอง

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 28 / 28