บทที่ 2 สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (ชุดที่ 2)mathstat.sci.tu.ac.th/~charinthip/main menu/MA214/Chapter2/Ch2-MA214... ·

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

แบบท 6. ตวประกอบปรพนธพจารณาสมการในรป

M ( x , y )dx+ N ( x , y )dy = 0

ถา ∂M∂y = ∂N

∂x แลวสมการไมแมนตรงและไมสามารถแกสมการหาผลเฉลยไดโดยวธทกลาวมาแลวกรณนในบางครงสามารถ คณตลอดสมการดวยฟงกชนบางฟงกชนกจะสามารถแปลงสมการใหเปนสมการแมนตรงได เชนสมการ

ydx+ 2xdy = 0

สงเกตวาถาคณสมการนดวย y แลวจะไดy2dx+ 2xydy = 0

d(xy2) = 0

เปนสมการแมนตรง เราเรยก y วา ตวประกอบปรพนธอาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย (TU) บทท 2 สมการเชงอนพนธอนดบหนง (ชดท 2) เทอม 1/2556 1 / 88

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.บทนยาม 2.6..

......

ถาสมการเชงอนพนธ

M(x, y)dx+ N(x, y)dy = 0

เปนสมการไมแมนตรง เมอคณสมการดวย µ(x, y) แลวได

µ(x, y)M(x, y)dx+ µ(x, y)N(x, y)dy = 0

เปนสมการแมนตรง เรยก µ(x, y) วา ตวประกอบปรพนธ

อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย (TU) บทท 2 สมการเชงอนพนธอนดบหนง (ชดท 2) เทอม 1/2556 2 / 88

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

กอนทจะพจารณาตวอยาง พจารณาสมการไมแมนตรงบางแบบ ซงสามารถหาตวประกอบปรพนธ µ(x, y) ไดโดยการตรวจพนจ สวนใหญขนอยกบคาเชงอนพนธแมนตรงทปรากฏในสมการและมกพบกนเสมอไดแก

d(xy) = xdy+ ydx

d(xy)

=ydx− xdy

y2

d(arctan

(xy))

=ydx− xdyx2 + y2


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ตวอยาง 2.24..

......จงแกสมการ

y(y2 + 1)dx+ x(y2 − 1)dy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

จงหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

y(x4 − y2)dx+ x(x4 + y2)dy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......


y(x2 + y2)dx− ydx+ x(x2 + y2)dy+ xdy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

สมมตใหสมการM(x, y)dx+ N(x, y)dy = 0

เปนสมการไมแมนตรง และ µ เปนตวประกอบปรพนธของสมการขางตน แลวสมการµ(x, y)M(x, y)dx+ µ(x, y)N(x, y)dy = 0

เปนสมการแมนตรง จากเงอนไขความแมนตรง∂µM∂y =

∂µN∂x

ดงนน µ จะสอดคลองกบสมการ

µ∂M∂y +M∂µ

∂y = µ∂N∂x + N∂µ

∂xหรอ

µ

(∂M∂y − ∂N

∂x)

= N∂µ∂x −M∂µ

∂yอาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย (TU) บทท 2 สมการเชงอนพนธอนดบหนง (ชดท 2) เทอม 1/2556 10 / 88

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

ในการแกสมการ

µ

(∂M∂y − ∂N

∂x)

= N∂µ∂x −M∂µ

∂y

หา µ อยนอกเหนอขอจำกดของวชาน เนองจากสมการดงกลาวเปนสมการเชงอนพนธยอย ดงนนจะพจารณาเฉพาะกรณเมอ µ เปนฟงกชนของตวแปรเพยงตวแปรเดยว ใหµ เปนฟงกชนของ x แลว ∂µ

∂y = 0 และ ∂µ∂x = dµ

dx สมการขางตน ลดรปเปน

µ

(∂M∂y − ∂N

∂x)

= Ndµdx

หรอ1

N(∂M∂y − ∂N

∂x)dx =

dµµ


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

ถาใหสมาชกทางซายของสมการ1

N(∂M∂y − ∂N

∂x)dx =

dµµ

เปนฟงกชนของ x แลวเราสามารถพจารณา µ ไดนนคอ ถา

1

N(∂M∂y − ∂N

∂x)

= f(x)

แลวตวประกอบปรพนธสำหรบสมการ


คอµ = exp

(∫f(x)dx

)


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

ในทำนองเดยวกน สมมตวา µ เปนฟงกชนของ y จะสรปไดวา ถา1

M(∂M∂y − ∂N

∂x)

= g(y)

แลวตวประกอบปรพนธสำหรบสมการ


คอµ = exp

(−∫

g(y)dy)

ดงทฤษฎบทตอไปน


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ทฤษฎบท 2.4..

......

พจารณาสมการเชงอนพนธ


ถา 1

N(∂M∂y − ∂N

∂x)

= f(x) เปนฟงกชนของ x เพยงอยางเดยวแลว

µ = exp(∫

f(x)dx)

ถา 1

M(∂M∂y − ∂N

∂x)

= g(y) เปนฟงกชนของ y เพยงอยางเดยวแลว

µ = exp(−∫

g(y)dy)


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......


(2x2 + y)dx+ (x2y− x)dy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

จงแกสมการ

y(2x− y+ 1)dx+ x(3x− 4y+ 3)dy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

จงแกสมการ

3(x2 + y2)dx+ x(x2 + 3y2 + 6y)dy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

จงหาคำตอบของสมการเชงอนพนธ

(x+ y) sin y+ (x sin y+ cos y)y′ = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.แบบฝกหด..

......

จงแสดงวาสมการเชงอนพนธทกำหนดใหเปนสมการแมนตรง และหาผลเฉลยของสมการเหลาน(i) (2xy+ 1)dx+ (x2 + 4)dy = 0

(ii) (ysec2x+ sec x tan x)dx+ (tan x+ 2y)dy = 0

(iii) (3x2y+ 8xy2)dx+ (x3 + 8x2y+ 12y2)dy = 0

(iv) (x− 2xy+ ey)dx+ (y− x2 + xey)dy = 0

(v) ex(y3 + xy3 + 1)dx+ 3y2(xex − 6)dy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.แบบฝกหด (ตอ)..

......

จงแกสมการทกำหนดให(vi) ex(x+ 1)dx+ (yey − xex)dy = 0

(vii) (y2 − 3xy− 2x2)dx+ (xy− x2)dy = 0

(viii) (xy+ 1)dx+ x(x+ 4y− 2)dy = 0

(ix) x4y′ = −x3y− cos ec(xy)(x) (3xy− y2)dx+ x(x− y)dy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

แบบท 7. สมการเชงเสนและสมการแบรนลลสมการเชงเสน.บทนยาม 2.7..

......

สมการเชงอนพนธอนดบหนงเปน เชงเสน ในตวแปรตาม y และตวแปรอสระ x หมายถงสมการในรป

A ( x ) dydx + B(x) y = C(x) −−− (∗)

โดยท A(x), B(x) และ C(x) เปนฟงกชนของตวแปรอสระ xจากสมการ (*) เมอหารตลอดดวย A(x) จะได

dydx + P( x ) y = Q (x)

เมอ P ( x ) = B(x)A( x ) และ Q (x) = C ( x )

A( x )อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย (TU) บทท 2 สมการเชงอนพนธอนดบหนง (ชดท 2) เทอม 1/2556 25 / 88

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.การแกสมการเชงเสนอนดบหนง..

......

ในการแกสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบหนง ทอยในรปdydx + P(x)y = Q(x)

ใหทำการหาตวประกอบปรพนธกอน โดยใชสตร

µ = e∫ P(x)dx

และผลเฉลยทวไปของสมการน คอ

ye∫ P(x)dx =

∫e∫ P(x)dxQ(x)dx+ C

หรอy(x) =

∫µ(x)Q(x)dx+ C

µ(x)อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย (TU) บทท 2 สมการเชงอนพนธอนดบหนง (ชดท 2) เทอม 1/2556 26 / 88

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......


y′ + 2xy = x


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

จงหาคำตอบของสมการเชงอนพนธdydx = sin x− y

x , y(π) = 1


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

จงหาคำตอบของสมการเชงอนพนธdydx +

(2x+ 1

x)y = e−2x


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......


(x2 + 1)dydx + 4xy = x


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......


y2dx+ (3xy− 1)dy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......


y3 sec2 xdx− (1− 2y2 tan x)dy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

สมการแบรนลล.บทนยาม 2.8..

......

สมการซงอยในรปdydx + P(x)y = Q(x)yn ; n = 0 , 1

เรยกวา สมการแบรนลลสงเกตวา ถา n = 0 หรอ n = 1 แลว สมการแบรนลลเปนสมการเชงเสนอยางไรกตาม ในกรณทวไปท n = 0 หรอ n = 1 สมการนสามารถลดรปเปนสมการเชงเสนไดโดยการเปลยนตวแปรดงทฤษฎบทตอไปน


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ทฤษฎบท 2.5..

......

สมมตให n = 0 หรอ n = 1 ถาเปลยนตวแปรโดยให z = y1−n สมการแบรนลลdydx + P(x)y = Q(x)yn

จะลดรปเปนสมการเชงเสนใน z


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

จงแกสมการ dydx + 2xy = −xy4


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......จงแกสมการ

dx− (xy+ x2y3)dy = 0


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

จงแกสมการเพอหาผลเฉลยของสมการdydx − 1

x (y− x) + x2(y− x)2 = 1


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.แบบฝกหด..

......

จงหาผลเฉลยของสมการ(i) dy

dx +3yx = 6x2

(ii) ydx+ (xy2 + x− y)dy = 0

(iii) (cos2x− y cos x)dx− (1 + sin x)dy = 0

(iv) dydx −

yx = − y

x2

(v) (y4 − 2xy)dx+ 3x2dy = 0 , y(2) = 1


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

ทฤษฎการมอยจรงและการมหนงเดยว

พจารณาปญหาเรมตนy′ = f(x, y), y(x0) = y0

เมอ f(x, y) เปนฟงกชนทมขอบเขตในยานใกลเคยงของจด (x0, y0) นนคอ

|f(x, y)| ≤ K

เมอ K ∈ R = {(x, y)||x− x0| ≤ a, |y− y0| ≤ b}


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ทฤษฎบท 2.6 (Sufficient Condition of Existence)..

......

ถา f(x, y) เปนฟงกชนตอเนองบนบรเวณ R แลว สำหรบชวง |x− x0| ≤ ϵ เมอ ϵ ≤ aจะไดวา คำตอบทสอดคลองกบปญหาเรมตน

y′ = f(x, y), y(x0) = y0สามาหาหาไดและถา ∂f

∂y เปนฟงกชนตอเนองบนบรเวณ R แลว สำหรบชวง |x− x0| ≤ ϵ เมอ ϵ ≤ aจะไดวา คำตอบทสอดคลองกบปญหาเรมตน

y′ = f(x, y), y(x0) = y0

สามาหาหาไดและคำตอบทหาไดมเพยงคำตอบเดยวเทานน


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

จงพจารณาสมการปญหาเรมตน

y′ = x2 − y21 + x2 + y2 , y(x0) = y0

วามผลเฉลยหรอไม


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

จงพจารณาสมการปญหาเรมตน

y′ = x2 − y2x2 + y2 , y(x0) = y0

วามผลเฉลยหรอไม


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

ตวอยางการประยกตสมการเชงอนพนธอนดบหนง.การประยกตเกยวกบการถายเทความรอน..

......

กฎการถายเทความรอนของนวตนกลาววาอตราการเปลยนแปลงอณหภมของวตถใดๆ ในแตละขณะเวลา จะแปรผนโดยตรง กบความแตกตางระหวางอณหภมของวตถ และอณหภมของสภาพแวดลอมของวตถขณะนนถาใหเวลา (time) แทนดวย t โดยหนวยอาจเปน วนาท นาท ชวโมง ขนอยกบ สถานการณขณะนนอณหภม (temperature) ของวตถใดๆ ในแตละขณะเวลา แทนดวย T(t) โดยหนวยอาจเปน องศาเซลเซยส องศาฟาเรนไฮ ขนอยกบ สถานการณขณะนนอณหภมของสงแวดลอม (คงทตลอดเวลา หรอ เปลยนแปลงตามกฎทกำหนดไว) แทนดวย Teอาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย (TU) บทท 2 สมการเชงอนพนธอนดบหนง (ชดท 2) เทอม 1/2556 54 / 88

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.การประยกตเกยวกบการถายเทความรอน (ตอ)..

......

เขยนเปนความสมพนธไดdTdt α (T(t)− Te)

เขยนเปนสมการไดเปน dTdt = k(T(t)− Te)

เมอ k คอ สมประสทธการแปรผนอณหภมขณะนน


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

เหลกแทงอนหนงทเพงออกจากเบาหลอ มอณหภม 900 องศาเซลเซยส (สมมตวาอณหภมเทากนตลอดทงแทง) นำมาทงไวทอณหภมหอง 30 องศาเซลเซยส เวลาผานไป4 ชวโมง วดอณหภมแทงเหลกได 610 องศาเซลเซยส จงหาวาตองใชเวลานานเทาใดแทงเหลกจงจะมอณหภมเปน 117 องศาเซลเซยส


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

ปาสำลทำอาชพนวดประคบแผนไทย ตองการทำใหลกประคบรอนพอเหมาะสำหรบประคบรกษาโรคเสนเลอดขอด โดยตองการอณหภมของลกประคบสำหรบตอนเรมประคบเปน 75 องศาเซลเซยส จงนำลกประคบทถกแชในตเยนมอณหภมเปน 0 องศาเซลเซยส เขาเตาอบทสามารถควบคมอณหภมใหคอยๆ เพมขนตามเวลา เปนฟงกชนTe = (30 + 15t) องศาเซลเซยส เมอเวลา t มหนวยเปนนาท สมมตวาในการเปลยนแปลงอณหภมของลกประคบนมสมประสทธแปรผน k = −1

2 จงหาวา ตองตงเวลาในการอบนานเทาใด ลกประคบจงไดอณหภม 75 องศาเซลเซยส และหลงจากนำไปประคบเรอยๆ นานเทาใดลกประคบจงจะมอณหภม 50 องศาเซลเซยส


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.การประยกตเกยวกบการสลายตวของสารกมมนตรงส..

......

การสลายตวของธาตกมมนตรงสชนดหนงๆ จะแสดงลกษณะทแตกตางกนดวยเวลาของการสลายตวทเรยกวา ครงชวต (Half-Life) แทนดวย T1/2 ซงหมายถง ชวงเวลาทธาตกมมนตรงสจะสลายไปเหลอเพยงครงหนงของปรมาณทมอยเดมกฎการสลายตวของธาตกมมนตรงสกลาววาอตราการสลายตวของสารกมมนตรงสในแตละขณะเวลา จะแปรผนโดยตรง กบปรมาณของสารกมมนตรงสขณะนนถาใหเวลา (time) แทนดวย t โดยหนวยอาจเปน วนาท นาท ชวโมง ขนอยกบ สถานการณขณะนนปรมาณของสารกมมนตรงสในแตละขณะเวลา แทนดวย M(t) โดยหนวยอาจเปน กรมกโลกรม ขนอยกบ สถานการณขณะนน


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.กฎการสลายตวของธาตกมมนตรงส (ตอ)..

......

เขยนเปนความสมพนธได dMdt α (M(t))

เขยนเปนสมการไดเปน dMdt = k(M(t))

เมอ k คอ สมประสทธการแปรผนขณะนน


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......สมมตธาตเรเดยมไอโซโทปหนงมคาครงชวตเปน 1600 ป หากเมอตอนเรมตน เรามธาตเรเดยม 10 กรม จะตองใชเวลานานเทาใดจงจะเหลอธาตเรเดยมแคเพยง 3 กรม


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

สมมตมสารกมมนตรงสชนดหนง ซงมอตราการสลายตวทเปนสดสวนตอปรมาณของสารในแตละขณะ ถาเรมตนมสารชนดน 50 มลลกรม และหลงจากนนผานไป 2 ชวโมงพบวาสารนไดสลายไปในปรมาณ 10% ของปรมาณเรมตน(i) จงหารปแบบคำตอบของปรมาณสารในแตละขณะเวลา t ใดๆ(ii) จงคำนวณหาปรมาณสารหลงเวลาผานไป 4 ชวโมง


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.การประยกตทางดานประชากร..

......

ในกรณทเรามองปญหาแบบงายๆ เราอาจเรมจากอาศยความสมพนธ ดงกฎตอไปนอตราการเปลยนแปลงของจำนวนประชากรเปนสดสวนกบจำนวนประชากรทมในแตละขณะถาใหเวลา (time) แทนดวย t โดยหนวยอาจเปน วนาท นาท ชวโมง ขนอยกบ สถานการณขณะนนจำนวนประชากรในแตละขณะเวลา แทนดวย y(t) โดยหนวยอาจเปน ตว คน ขนอยกบสถานการณขณะนน


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.กฎจำนวนประชากร (ตอ)..

......

เขยนเปนความสมพนธได dydt α (y(t))

เขยนเปนสมการไดเปน dydt = k(y(t))

เมอ k คอ อตราการเจรญเตบโตของประชากรขณะนน


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

สมมต ณ เวลาเรมตน ประชากรกระตายในปาละเมาะแหงหนงมจำนวน N0 = 100 ตวเมอเวลา t = 4 เดอน จำนวนกระตายเปน 3

2N0 ถาอตราการเตบโตเปนสดสวนกบจำนวนปจจบน จงคำนวณหาเวลาททำใหประชากรกระตายมจำนวนเปน 5 เทาของจำนวนเรมตน


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.การประยกตเกยวกบการเปลยนแปลงทางเคมหรอสารละลาย..

......

สำหรบปญหาชนดน เราสนใจการทำนายปรมาณสารทถกละลายผสมในภาชนะ โดยทสารชนดทเราสนใจจะไหลเขาและถกผสมอนๆ ในภาชนะ โดยมอตราการไหลเขาและอตราการไหลออกเปนอตราเดยวกนเปาหมายของเรา กคอ การคำนวณปรมาณสารทมอยในภาชนะในแตละขณะเวลา เราจะแทนปรมาณสารในแตละขณะเวลา t ดวย x(t) อตราการเปลยนแปลง x(t) เทยบกบอตราการเปลยนแปลงกบ t คอ dx

dt ซงจะเทากบ ความแตกตางระหวางปรมาณสารทไหลเขา Rin และปรมาณสารทไหลออก Routเขยนเปนสมการไดเปน dx

dt = Rin − Rout


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

ภาชนะใบหนงมทางเปดสองทาง ภายในบรรจสารละลายนำตาล 10 ลตร สามารถทำใหเจอจางไดโดยการปลอยนำบรสทธไหลผานเขาไปในอตรา 0.1 ตอวนาท ปรมาตรของสารละลายในภาชนะถกทำใหคงทไดโดยการปลอยสารละลายใหไหลออกอกทางหนงในอตราเดยวกนกบอตราการไหลเขา ถอวาสารละลายมการทำละลายอยางสมำเสมอทวภาชนะ คอ ความเขมขน (มวล/ปรมาตร) ของเนอสารละลายเทากนทงภาชนะ สมมตวาตอนเรมตน มนำตาล 2 กโลกรม จงหาวานานเทาใด จงจะมนำตาลแค 1 กโลกรม


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.การประยกตเกยวกบการตกอยางอสระของวตถ ไมคดแรงตานอากาศ (Free Fall,Neglecting Air Resistance)..

......

เราจะเรมตนดวยปญหาทางฟสกสงายๆให x(t) แทน ตำแหนงของอนภาคทเวลา t ใดๆ ดงนนความเรวของอนภาคจะถกกำหนดเปน

v(t) = dxdt

ทำนองเดยวกน ความเรงของอนภาคจะถกกำหนดเปน

a(t) = dvdt =

d2xdt2

ดงนน ถาเราพจารณาการตกอยางอสระของวตถ ไมคดแรงตาน ซงความเรงของอนภาคขนอยกบแรงโนมถวงอยางเดยว จงไดวา

a(t) = −g = −9.8m/s2

ในทน ความเรง g ถกมองวาคงท และ −g แสดงถงการเคลอนทลงของวตถ โดยไมคดแรงตานอากาศ ดงนน dv

dt = −g


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.การประยกตเกยวกบการตกอยางอสระของวตถ ไมคดแรงตานอากาศ (ตอ)..

......

ซงเปนสมการแบบแยกตวแปรได ดงนน

v(t) = −gt+ C

ถาเรากำหนดให ความเรวเรมตนเปน v(0) = v0 ดงนนจะไดวา v(t) = −gt+ v0ขณะนถาเราสนใจตำแหนงแตละขณะเวลา x(t) เราจะไดสมการแบบแยกตวแปรไดอกครงเปน dx

dt = v(t) = −gt+ v0

ซงคำตอบของสมการนเปน

x(t) = −g2t2 + v0t+ C1


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.การประยกตเกยวกบการตกอยางอสระของวตถ ไมคดแรงตานอากาศ (ตอ)..

......

ถาอนภาคมตำแหนงเรมตน เปน x(0) = x0 จงไดวา

x(t) = −g2t2 + v0t+ x0

เปนตำแหนง x(t) ของอนภาค ทขณะเวลา t ใดๆ


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

ชายคนหนงยนบนหนาผาสง 60 เมตร โยนกอนหน ขนดวยความเรว 20 เมตร/วนาทกอนหนจะใชเวลาเคลอนทในอากาศนานเทาไรกอนตกถงพน และกอนหนตกถงพนอยใตหนาผาดวยความเรวเทาใด


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.การประยกตเกยวกบการตกอยางอสระของวตถ คดแรงตานอากาศ (Air Resistance)..

......

จากกฎขอทสองของนวตนทกลาววา F = maเมอเราให v(t) แทนความเรวของวตถ จะไดวาmdv

dt = F1 + F2 เมอ F1 = mg และ F2 = k1v หรอ F2 = k1v2เมอ F1 คอ แรงทเกดจากนำหนกของวตถ F2 เปนแรงทเกดจากแรงเสยดทานของอากาศทเกดจากวตถขณะตก k1 และ k2 คอ สดสวนคาคงท ทมเครองหมายตดลบเพราะแรงเสยดทานมทศตรงขามกบความเรวเสมอ และแรงในทนตามระบบ SI มหนวยเปน N = kgm/s2 โดยหนวยของ k1 คอ kg/s สวนคาคงท k2 = −1

2 CpA เมอ p เปนความหนาแนนของอากาศ หนวยเปน kg/m3 และ A คอ พนทหนาตดของวตถทเคลอนทนน C คอ สมประสทธแรงเสยดทานไมมหนวย


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


......

สมมตวา วตถชนหนงกำลงตกจากจดทเรมปลอยซงสงมากๆ ดวยแรงทเกดจากนำหนกw ขนาด 8 ปอนด ทามกลางแรงโนมถวงโลก สมมตวาแรงทเกดจากแรงเสยดทานของอากาศ จะเปน 2 เทาของความเรม v จงหาความเรว v(t) และตำแหนง x(t) ของวตถณ ขณะเวลาใดๆ และพจารณาวาเมอเวลาผานไปนานๆ t → ∞ ความเรวจะเปนอยางไร


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.


Documents

บทที่ 2 สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (ชุดที่ 2)mathstat.sci.tu.ac.th/~charinthip/main menu/MA214/Chapter2/Ch2-MA214... ·