ma an Fungsi, Dan Pertidaksamaan Fungsi Kelas x Best of the Best

LOGARITHM, QUADRATIC EQUATION, FUNCTION, AND

INEQUALITY

THE PROGRAM LESSON OF MATHEMATICS

FOR SENIOR HIGH SCHOOL CLASS X

WROUGHT BY:

MISBACHUL MUNIRUL EHWAN

SMAN 1 AMUNTAI

LOGARITHM, QUADRATIC EQUATION, FUNCTION, AND

INEQUALITY

It’s very easy to apply

Materi Dasar Pembelajaran Logaritma, persamaan, fungsi, dan pertidaksamaan

kuadrat beserta contoh soal

PART 1

Pada pembelajaran kali ini, yang akan kita pelajari

adalah mengenai pengertian logaritma, sifat-sifat

logaritma, dan contoh soal logaritma

MATERI LOGARITMA KELAS X SEMESTER 1

LANJUT

STANDAR KOMPETENSI

Memecahkan Masalah Yang Berkaitan dengan Logaritma

LANJUT

DAFTAR ISI

MENENTUKAN LOGARITMA BILANGAN ANTARA 1 SAMPAI 10 DENGAN MENGGUNAKAN TABEL

LOGARITMA

LOGARITMA BILANGAN LEBIH DARI 10 ATAU ANTARA 0 DAN 1

SIFAT-SIFAT LOGARITMA

SEJARAH DAN PENGERTIAN LOGARITMA

LANJUT

SEJARAH LOGARITMA

Logaritma dikemukakan pertama kali oleh John Napier (1550 – 1617). Pada mulanya, logaritma digunakan untuk mengatasi kesulitan perhitungan dalam penyelidikan ruang angkasa. Dalam perhitungan itu banyak digunakan bilangan-bilangan bernilai besar. Saat ini logaritma banyak digunakan dalam berbagai ilmu. Salah satu contohnya pada perhitungan pertumbuhan bakteri atau peluruhan zat radioaktif.

LANJUT

PENGERTIAN LOGARITMA

• Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui. Jika diberikan persamaan y = ax maka x dapat dicari menggunakan logaritma:

X = aLog y

LANJUT

Contoh:

Ubahlah kedalam bentuk logaritma!

a) 5² = 25

b) 30 = 1

c) 60 = 1

Penyelesaian

d) 5² = 25 5Log 25 = 2

e) 30 = 1 3Log 1 = 0

f) 60 = 1 6Log 1 = 0

LANJUT

UJI KOMPETENSI.1

1) Nyatakan tiap bentuk pangkat dibawah ini dengan memakai notasi logaritma.

a) 34 = 81b) ab = cc) 43 = 64d) 82 = 64e) 54 = 6252) Nyatakan tiap bentuk logaritma berikut ini kedalam bentuk pangkat (eksponen).

f) aLog b = c

g) xLog y = z

h) 3Log 9 = 2

LANJUT

3) Carilah nilai tiap logaritma berikut ini.

a) 5Log 0,04

b) 4Log 2

c) 3Log 81

d) 4Log 64

e) 16Log 2

f) 27Log 3

g) 8Log 4

h) 8Log 2

i) 2Log 8

j) 9Log 1

LANJUT

4) Jika 2Log 5 = p, 5Log 2 = q, dan 5Log 7 = r. Berapa hasil dari 35Log 125 . . .

5) Berapa hasil dari soal berikut ini.

a) 2Log 4 + 2Log 8

b) 3Log 81 – 3Log 3

LANJUT

SIFAT-SIFAT LOGARITMA

LANJUT

CONTOH SOAL1) Himpunan penyelesaian dari persamaan 2log (x2 -2x + 1) = 2log (2x2 - 2) dan

merupakan hasil pengerjaan adalah…

A. -3 B. -2 C. -1 D. 2 E. 3

jawab:

x2 -2x + 1 = 2 x2 - 2

⇔ 0 = 2 x2 - 2 – x2 + 2x - 1

⇔ x2 + 2x - 3 = 0

⇔ (x +3 ) (x – 1 ) = 0

didapat x = -3 atau x=1

ingat bahwa : alog f(x) → syarat f(x) > 0

untuk x =1 → f(x) 0 ; tidak berlaku sehingga yang berlaku x = -3

jawabannya adalah A

LANJUT

SOAL1. 2) 7log2 = p dan 2log 3 = q maka tentukan 6log98

2. 3) Sederhanakanlah !

3. 6Log 3 = 6Log 12

4. 3Log 42 – 3Log 14

5. 5Log 320 – 3 5Log 4

6. 6Log 9 + 2 6Log 2 – 2 6Log 6

7. Log 48 – 2 log 2 – Log 3

8. 4) Jika aLog p = x, aLog q = y, dan aLog r = z, nyatakan logaritma-logaritma berikut ini dalam x, y, z.

9. aLog (pqr)

10. aLog (p³qr²)

11. aLog (apqr²)

LANJUT

Sederhanakanlah!

a. 2Log 45 – 8Log 27

b. 3Log 45 – 9Log 25

c. 2Log 12 – 4Log 6

d. (5Log 9)(9Log 625)

e. 8Log 16

f. 4Log 8 x 2Log 2 x 8Log 64

g. (X+1)Log (x-1) – (x+1)Log (x² - 1)

h. 5Log 1000 – 5Log 8

i. Jika 8Log 5 = p, tentukan nilai logaritma berikut.

a) 4Log 1/5

b) 64Log 125

LANJUT

MENENTUKAN LOGARITMA BILANGAN ANTARA 1 SAMPAI 10 DENGAN MENGGUNAKAN TABEL

LOGARITMA

Untuk keperluan berbagai perhitungan, telah dibuat suatu daftar atau tabel logaritma. Daftar atau tabel logaritma memuat hasil-hasil logaritma atau suatu bilangan dengan bilangan pokok 10. Sebelum menggunakan tabel logaritma ada baiknya kita pahami terlebih dahulu beberapa hal berikut.

1. Dalam tabel logaritma yang ditulis hanyalah bilangan desimal. Bilangan desimal ini disebut mantis (dari kata:mantisse).

2. Lajur-lajur dalkam tabel logaritma terdiri dari atas:

a. Lajur pertama (disebut dengan lajur N), terdiri dari atas ke bawah memuat bilangan-bilangan secara berurutan dari 0 sampai dengan 1000.

b. Baris judul pada jalur kedua sampai dengan lajur ke-11, dari kiri ke kanan berturut-turut diisi dengan angka-angka 0,1,2, . . . . , 7, 8, 9. Lajur yang memuat angka 0 disebut jalur 0, yang memuat angka 1 disebut jalur 1, . . . Demikian seterusnya, lajur yang memuat angka 9 disebut lajur 9.

LANJUT

Pada tiap lajur itu (lajur 0 sampai dengan lajur 9), dari atas ke bawah memuat mantis, yaitu bilangan desimal yang menyatakan hasil logaritma suatu bilangan dengan bilangan pokok 10.

Contoh: Berapa hasil dari Log 1.47 . . .?

“Lihat cara menjawabnyapada halaman SELANJUTNYA”

LANJUT

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.0 .000 004 009 013 017 021 025 029 033 037

1.1 .041 045 049 053 057 061 064 068 072 076

1.2 .079 083 086 090 093 097 100 104 107 111

1.3 .114 117 121 124 127 130 134 137 140 143

1.4 .146 149 152 155 158 161 154 167 170 173

1.5 .176 179 182 185 188 190 193 196 199 201

1.6 .204 207 210 212 215 217 220 223 225 228

1.7 .230 233 336 238 241 243 246 248 250 253

1.8 .255 258 260 262 265 267 270 272 274 276

1.9 .279 281 283 286 288 290 292 294 297 299

2.0 .301 303 305 307 310 312 314 316 318 320

LANJUT

Jadi, hasil dari Log 1.47 adalah 0.167.

Soal:

Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah nilai logaritma-logaritma berikut:

1. Log 3

2. Log8

3. Log 4,371

4. Log 1,32114

5. Log 1,734

6. Log 2,55

LANJUT

MENENTUKAN ANTILOGARITMA SUATU BILANGAN

• Jika nilai logaritma suatu bilangan diketahui, maka bilangan itu dapat ditentukan dengan menggunakan tabel logaritma. Mencari bilingan dengan cara seperti itu disebut antilogaritma. Jadi, suatu tabel logaritma sekaligus juga merupakan tabel antilogaritma. Perlu kita ingat bahwa, jika nilai logaritma suatu bilangan antara 0 dan 1 maka bilangan itu mempunyai nilai antara 1 dan 10.

Contoh:

1. Tentukan bilangan yang logaritmanya adalah:

a) 0,4731

b) 0,132114

c) 0,2552

d) 0,0452

“Untuk menemukan jawaban dari soal diatas, maka kita harus mencari jawaban tersebut di antilogaritma.”

LANJUT

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

.00 100 100 100 101 101 101 101 102 102 102

.01 102 103 103 103 103 104 104 104 104 104

.02 105 105 105 105 106 106 106 106 107 107

.03 107 107 108 108 108 108 109 109 109 109

.04 110 110 110 110 111 111 111 111 112 112

.05 112 112 113 113 113 114 114 114 114 115

.06 115 115 115 116 116 116 116 117 117 117

.07 117 118 118 118 119 119 119 119 120 120

.08 120 121 121 121 121 122 122 122 122 123

.09 123 123 124 124 124 124 125 125 125 126

.10 126 126 126 127 127 127 128 128 128 129

LANJUT

LOGARITMA BILANGAN LEBIH DARI 10

• Nilai logaritma suatu bilangan yang lebih dari 10 dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1:

• Nyatakan bilangan yang akan ditentukan nilai logaritmanya itu dalam notasi baku a x 10n dengan 1 ≤ a < 10 dan n bilangan bulat.

Langkah 2:

• Gunakan sifat logaritma : Log (a x 10n)= Log a + Log 10n

<=> Log (a x 10n) = n = Log a Langkah 3:

• Oleh karena 1 ≤ a < 10 maka Log a dapat dicari dari tabel logaritma. Nilai Log a yang diperoleh dari tabel logaritmatadi dijumlahkan dengan n. Hasil penjumlahan itu merupakan nilai logaritma dari bilangan yang dimaksudkan.

LANJUT

UJI KOMPETENSI. 2

1. Carilah nilai dari tiap logaritma berikut.

a) Log 67,5

b) Log 7.452

c) Log 416,8

d) Log 6.732.000

LANJUT

LOGARITMA BILANGAN ANTARA 0 DAN 1

• Nilai logaritma billangan-bilangan antara 0 dan 1 dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah yang sama seperti dalam hal menentukan nilai logaritma bilangan-bilangan yang lebih dari 10.

Contoh:

1. Carilah nilai dari tiap logaritma berikut ini.

a. Log (0,67)

Penyelesaian

b. Log (0,67) = Log (6,7 x 10-1)

= Log 6,7 – 1

= 0,8261 – 1

= -0,1739

LANJUT

UJI KOMPETISI 3

1. Log (0,132114)

2. Log (0,4731)

3. Log (0,012)

4. Log (0,0456)

5. Log (0,9182)

6. Log (0,001234)

7. Log (0,7465)

8. Log (0,647)

9. Log (0,3274)

10. Log (0,4723)

LANJUT

TEST KEMAMPUAN

Berapa hasil dari log. Di bawah ini ? …1. (x + 4)Log (x-4) – (x + 4)Log (x2 – 16)….

A. X+4B. 1C. -1D. X-4E. X-1

LANJUT

TEST KEMEMPUAN 2

1. Berapa hasil dari Log a = -4,731….A. 3,4B. 0,269 x 5C. 1,86 x 10-5

D. 1,77 x 10-5

E. 1,81 x 10-8

LANJUT

2. Log 10 + ( Log30 – Log 51 ) + Log 17 = . . .a. 3b. 1c. 2d. 4

3. 3Log 36 x 6Log 3 + Log 4 + Log 25 = . . .e. 3f. 2g. 4h. 6

LANJUT

Test kemampuan 3

1. Panjang, lebar, dan tinggi sebuah balok berturut-turut 6,532 cm, 4,345 cm, dan 2,246 cm. Hitunglah volume balok tersebut dengan menggunakan logaritma!

2. Jika log 2 = p dan log 3 = q, maka Log 9/4 adalah …

3. Jika 3Log 2 = m dan 2Log 7 = n, maka hasil dari 14Log 54 adalah …

LANJUT

4. Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, maka 15log 20 = ….5. Nilai x yang memenuhi persamaan 2log.2log (2x+1 + 3) = 1 +

2log x adalah ….6. Penyelesaian pertidaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) <

log (2x + 16) adalah ….7. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 9log ( x2 + 2x ) < ½

adalah ….

LANJUT

QUADRATIC EQUATION, FUNCTION,

AND INEQUALITY

PART 2

Pertidaksamaan Kuadrat

Fungsi Kuadrat

Persamaan kuadrat

PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

0a02 cbxax

Dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x

Contoh

1.

maka: a=1, b= – 1, dan c=2

5.

maka : a= – 1, b=0, dan c= –(n-1)

6.

maka: a=(p – 3), b= –(p+q), dan c=0

022 xx

0)1(2 nx

0)()3( 2 xqpxp

dengan a, b, c R dan

2. –x2 +2px – 3 =0maka: a= – 1, b= 2p, dan c= –3

3. –qx2 + 3x + 2p – 3 =0

maka: a= – q, b= 3, dan c= 2p – 3

4. px2 + 3p – 3 =0

maka: a= p, b= 0, dan c= 3p – 3

LANJUT

Persamaan kuadrat yang berbentuk 02 cbxax

disebut juga persamaan kuadrat bentuk baku.

Ada juga persamaan kuadrat yang dinyatakan tidak dalam bentuk baku.

Contoh:

1. xxx 5)1(3 22 2. 2

3

12

xx

Persamaan-persamaan kuadrat tersebut dapat diubah menjadi bentuk baku dengan cara melakukan manipulasi aljabar.

xxx 5)1(3 22

xxx 533 22 0352 2 xx

1.

LANJUT

23

12

xx

2

33

32

xx

x

xx

x

23

632

xx

x

)3(263 2 xxx

0632 2 xx

2.

LANJUT

AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

1. Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Cara Memfaktorkan

Contoh: Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut

02 cbxax

(ax……) (ax…..) = 0 +

a . c

b

P

QP Q

1. x2 ─ x ─ 6 = 0

(x ) (x ) = 0

x = 3 atau x = ─2 ─ 3

+ 2

+─ 6

─ 1

─ 3 + 2

(2x ) (2x ) = 0

2. 2x2 ─ 3x ─ 5 = 0

2

(2x ─ 5) (x +1 ) = 0

X=2

5Atau x = ─1

+ 2

─ 5 ─ 10

─3+

─ 5

+ 2

a

LANJUT

092 x0)3)(3( xx

3x 3x

4.

atau

(– 3x ) (– 3x ) = 0

3. ─ 3x2 ─ 4x + 4 = 0

– 3

(– 3x + 2) (x +2 ) = 0

X= – 23

2x =

+ 2 – 6

─ 12

– 4+

LANJUT

2. Menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapkan Kuadrat

Contoh:

Jika persamaan kuadrat koefisien dari x2 belum = 1 , maka ubahlah menjadi 1 Sehingga persamaan kuadratnya menjadi bentuk x2 + px + q = 0

x2 + px + q = 0

0q)())((x 22p2

2p

0822 xx

9)1( 2 x

3)1( x

31 x 31 x13 x 13 x

4 x 2x

1.

atau

atau

atau

081)1( 2 x

0)8()( 2

222

22 x

09)1( 2 x

dengan p = 2, q = -8

9)1( x

LANJUT

2. 2x2 –6x –5 = 0

x2 + px + q = 0

0q)())((x 22p2

2p

Karena koefisien dari x2 belum = 1 maka kita bagi 2 (supaya menjadi satu)

x2 –3x – 5/2 = 0

0)()())(( 252

232

23 x

0)()( 25

492

23 x

0)()( 410

492

23 x

0)( 4192

23 x

0)( 4192

23 x

4192

23 )( x

419

23 )( x

219

23 )( x

23

219 x

23

219

1 x2

319

23

219

2 x2

319

dengan p = -3, q = -5/2

LANJUT

3. Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat

Jika diketahui suatu persamaan kuadrat 02 cbxax

, maka akar-akarnya adalah:

a

acbbx

2

42

2.1

Contoh:

0822 xx

)1(2

)8)(1(422 2

2.1

x

2

32422.1

x

2

622.1

x

2

621

x

2

622

x

41 x 22 x

, jadi a=1, b=2, c=-8

atau

atau

LANJUT

• Tampak bahwa akar-akarnya ditentukan oleh nilai dari b2 – 4ac yang disebut dengan diskriminan disingkat D.

• Jenis akar-akar persamaan kuadrat , ditentukan oleh nilai Diskriminannya (D) yaitu D = b2 – 4ac

• Jika D > 0 : mempunyai dua akar real yang berbeda Untuk D berupa bilangan kuadrat ( ) akarnya rasional Untuk D bukan berupa bilangan kuadrat akarnya rasional• Jika D = 0 : mempunyai dua akar real yang sama• Jika D < 0 : akar-akarnya imajiner (khayalan)

LANJUT

1. Tentukan akar persamaan kuadrat 2x2 –3x –9 =0 dengan rumus ABC !Jawaban

LANJUT

SOAL PERSAMAAN KUADRAT 2

1. Dengan cara memfaktorkan, tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut:

a. X2 + 7x + 12 = 0

b. X2 -5x + 4 = 0

c. 2X2 -5x + 3 = 0

d. 4X2 -9x = 0

e. 10X2 +13x - 3 = 0

2. Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut:

a. X2 - 9x + 16 = 0

b. X2 - 4x + 2 = 0

c. 2X2 - 10x + 19 = 0

d. 6X2 + 17x + 12 = 0

e. 3X2 - x - 1 = 0

LANJUT

3. Dengan menggunakan rumus kuadrat, tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut:

a. 2X2 + 6x + 1 = 0b. X2 + 3x + 1 = 0c. 2X2 - 4x + 1 = 0d. X2 + 10x = 0e. X2 + x - 30 = 0

4. Salah satu akar persamaan kuadrat adalah 2. Tentukan nilai k!5. Persamaan kuadrat salah satu akarnya adalah 5. Tentukan nilai m dan

akar lainnya!6. Hasilkali dua buah bilangan adalah 88. Tentukan bilangan-bilangan

tersebut, jika salah satu bilangan 3 lebih besar dari bilangan yang lainnya!

7. Jumlah kuadrat dari suatu bilangan positif dengan empat kali bilangan tersebut adalah 60. Tentukan bilangan-bilangan itu!

LANJUT

1. Pak Musa mempunyai kebun berbentuk persegi panjang dengan luas 192 m2. Selisih panjang dan lebarnya adalah 4 m. Apabila disekeliling kebun dibuat jalan dengan lebar 2 m, maka luas jalan tersebut adalah …m2.

2. Persamaan kuadrat x2 – 5x + 6 = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar – akarnya x1 – 3 dan x2 – 3 adalah ….

3. Diketahui akar – akar persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0 adalah α dan β . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya α³ dan β³ adalah ….

4. Persamaan 2x2 + qx + (q – 1) = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Jika x1

2 + x22 = 4, maka nilai q = ….

5. Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x2 – 9x + c = 0 adalah 121, maka c = ….

6. Akar – akar persamaan 2x2 + 2px – q2 = 0 adalah p dan q. Jika p – q = 6 maka nilai pq = ….

LANJUT

Test kemampuan

a. X2 +2 x + 3 = 0b. X2 -2 x - 3 = 0c. -X2 +2 x - 3 = 0d. -X2 -2 x + 3 = 0e. -X2 +2 x + 3 = 0

LANJUT

1. The equation x2 – 8x + k = 0 has ratio roots 3:1, determine the value of k !

2. If the different between two quadratic equation roots x2 – x + 24 = 0 is 5, so determine the addition roots of that equation

3. Prove that the quadratic equation x2 – (2m + 3)x + 3m + 0, with m€R. Has two real and different roots where every m is a real number.

4. Determine the roots of equation 3x2 + 2x + 6 = 0, by completing quadratic.

5. If quadratic equation 4x2 + 3x + 1 = 0 with the roots are α & β , so determine the value of:α2 + β2

α3 + β3

(α – β)2

UJI KEMAMPUAN

LANJUT

6. If quadratic equation 2x2 – 5x + 3 = 0 with x1 and x2 as its roots. Determine the quadratic equation which the roots

(2x1 + 3) and (2x2 + 3)

7. The quadratic equation which the roots are reprocical with the roots of quadratic equation 3x2 – 2x + 5 = 0 is . . .

• NOTES:• Ratio Roots : perbandingan akar-akar• Addition Roots : Jumlah akar-akar• Prove : Buktikan• Reprocical : Berkebalikan• Different between two quadratic equation roots : X1 – X2

LANJUT

x y Titik

X

Y –3 9 (–3,9)

–2 4 (–2,4)

–1 1 (–1,1)

0 0 ( 0,0)

3 9 ( 3,9)

1 1 ( 1,1)

2 4 ( 2,4)

O

(– 3,9)

(– 2,4)

(– 1,1)

(0,0)

(1, 1)

(2, 4)

(3, 9)y = x2

Grafiknya sebagai berikut

(klik untuk terus)

KLIK untuk terus

1. y = f(x); f: x f(x) = x2, {x|–3<x<3}

y = f(x); f: x f(x) = ax2 + bx + c

KLIK untuk terus

KLIK untuk terus

Dari puncak: x bergeser +1, y bertambah 1, x bergeser + 2, y

bertambah 4

Susunlah tabel pasangan (x, y) untuk – 3 < x < 3, dengan

x dan y bilangan bulat, kemudian tentukan letak

titiknya yang bersesuaian pada bidang koordinat

KLIK untuk terus

Persamaan grafik: y = x2 , {x|–3<x<3}

LANJUT

GRAFIK FUNGSI KUADRATPersamaan grafik y = (x–

p)2

x y Titik(1,1) –3 9 (–3,9)

–2 4 (–2,4)

–1 1 (–1,1)

0 0 (0,0)

1 1 (1,1)

2 4 (2,4)

3 9 (3,9)

X

Y

O

(– 1,1)

(0,0)

(1, 1)

(2, 4)

(3, 9)y = x2 x y Titik

–2 9 (–2,9)

–1 4 (–1,4)

0 1 (0, 1)

1 0 (1, 0)

2 1 (2, 1)

3 4 (3,4)

4 9 (4,9)

y=(x–1)2

Perhatikan, bandingkan

(– 3,9)

(– 2,4)

(0,1)

(1,0)

(2, 1)

(3, 4)

(4, 9)(– 2,9)

(– 1,4)

Bagaimana cara memperoleh grafik y = (x–1)2 dari grafik y = x2?

Coba perhatikan! (klik untuk terus)


(klik untuk terus)

LANJUT

Grafik y = (x – 3)2



Grafik y = (x – p) 2

X

Y

O(0,0)

Perhatikan kembali

grafik y = x2

y = x2

Grafik yang persamaan-nya y = (x – 1)2 diperoleh dari grafik y = x2 digeser 1 satuan

ke kanan.Grafik yang persamaan-nya y = (x – 2)2 diperoleh dari grafik y = x2 digeser 2 satuan

ke kanan.Grafik yang

persamaan-nya y = (x – 3)2 diperoleh dari grafik y = x2 digeser 3 satuan

ke kanan.

Secara umum: Grafik y = (x–p)2 diperoleh dengan menggeser grafik y

= x2 sebesar p satuan ke kanan.

Grafik yang persamaan-nya y = (x + 3)2 diperoleh dari grafik y = x2

digeser – 3 satuan ke kanan atau 3 ke

kiri.

Grafik y = (x +

3)2

LANJUT

GRAFIK FUNGSI KUADRAT

Bagaimana cara memperoleh grafik y = x2 + 2 dari grafik y = x2?

Coba perhatikan!

y = f(x); f: x f(x) = x2 + q

x y Titik

X

Y –3 9 (–3,9)

–2 4 (–2,4)

–1 1 (–1,1)

0 0 ( 0,0)

1 1 (1,1)

2 4 (2,4)

3 9 (3,9)

O

(– 2,4)

(– 1,1)

(0,0)

(1, 1)

(2, 4)

(3, 9)

y = x2

x y Titik –3 11 (–3,11)

–2 6 (–2,6)

–1 3 (–1,3)

0 2 (0,2)

1 3 (1,3)

2 6 (2,6)

3 11 (3,11)

y = x2 +2 (– 3,11)

(– 2, 6)

(– 1, 3)

(0,2)

(1, 3)

(2, 6)

(3, 11)

(– 3,9)

LANJUT

Grafik y = x2 + 3

Grafik y = x2 + 1

Grafik y = x2 + 2

X

Y

O(0,0)

Perhatikan kembali

grafik y = x2y = x2Grafik y = x2 + 1 dapat diperoleh dari grafik y = x2 dengan menggeser 1 satuan ke atas

Grafik y = x2 + qTelah diperoleh:Grafik y = x2 + 2 dapat diperoleh dari grafik y = x2 dengan menggeser 2 satuan ke atas

Grafik y = x2 + 3 dapat diperoleh dari grafik y = x2 dengan menggeser 3 satuan ke atas

Dari langkah di atas: Grafik y = x2 + q dapat diperoleh dari grafik y = x2 dengan menggeser q satuan ke atas(q positif: ke atas q negatif: ke bawah)

Grafik y = x2 – 2

Grafik y = x2 – 2 dapat diperoleh dari grafik y = x2 dengan menggeser – 2 satuan ke atas atau menggeser 2 satuan ke bawah

LANJUT

Titik baliknya (3, 2)

Grafik y = (x – 3)2 +2


X

Y

O(0,0)

Perhatikan kembali

grafik y = x2

y = x2

Berdasar langkah sebelumnya maka untuk memperoleh grafiknya

dari grafik y = x2 :

Geserlah grafik y = x2 ke kanan

sejauh p = 3 satuan

dan ke atas sejauh q = 2 satuan

Grafik y = a(x – p) 2 + q

Grafik y = (x–3)2

+2

LANJUT

GRAFIK FUNGSI KUADRAT

Dengan cara bagaimanakah grafik: y =– x2

diperoleh dari grafik: y = x2 ?

y = f(x); f: x f(x) = –x2

x y Titik –3 9 (–3,9)

–2 4 (–2,4)

–1 1 (–1,1)

0 0 (0,0)

1 1 (1,1)

2 4 (2,4)

3 9 (3,9)

y = x2

(–3, –9)

X

Y

O

(– 3,9)

(– 2,4)

(– 1,1) (0,0)

(1, 1)

(2, 4)

(3, 9)

(– 2, –4)

(– 1,1)

(1, –1)

(2, –4)

(3, –9)

x y Titik –3 –9 (–3,–9)

–2 –4 (–2,–4)

–1 –1 (–1,–1)

0 0 (0,0)

1 –1 (1, –1)

2 –4 (2, –4)

3 –9 (3, –9)

y = – x2

LANJUT

GRAFIK FUNGSI KUADRATPersamaan grafik y = –

(x–p)2

x y Titik

0 0 (0,0)

1 –1 (1,–1)

3 –9 (3,–9)

X

Y

O(0,0)

(1, – 1)

(2, –

4)

(3, -9)

y = – x2

x y Titik –2 –9 (–2,–9)

–1 –4 (–1,–4)

0 –1 (0,–1)

1 0 (1, 0)

2 –1 (2,–1)

3 –4 (3,–4)

4 – 9 (4, –9)

y= –(x–1)2

Perhatikan, bandingkan

(2, – 1)(– 1,1)

(– 3,9)

(– 2,–4)

(0, – 1)

(1,0)

(3, – 4)

(4, – 9)(– 2, – 9)

(– 1,– 4)

Bagaimana cara memperoleh grafik y = – (x–1)2 dari grafik y = x2?

Coba perhatikan! (klik untuk terus)


(klik untuk terus)

2 –4 (2,–4)

–3 –9 (–3,–9)

–2 –4 (–2,–4)

–1 –1 (–1,–1)

LANJUT

Grafik y = – (x – 3)2

+2

Grafik y = –(x – 3)2

X

Y

O(0,0)

Perhatikan kembali

grafik y = – x2

Berdasar langkah sebelumnya maka untuk memperoleh

grafiknya dari grafik y = x2 :

Geserlah grafik y = x2 ke kanan

sejauh p = 3 satuan

dan ke atas sejauh q = 2 satuan

Grafik y = – a(x – p) 2 + q

Titik baliknya

(3, 2)

y = x2

Grafik y =–(x–3)2

+233333 22222

LANJUT

XO

Y

1. Persamaan grafik fungsi kuadrat di samping adalah ....

a. y = x2 + 2x + 3

b. y = x2 + 3x + 2

c. y = (x 3)2 + 2

d. y = (x 3)2 + 2

e. y = (x 2)2 + 3

LANJUT

XO

Y

Grafik diperoleh dari grafik y = x2

Digeser ke kanan 3 satuan

y = (x 3)2

Digeser ke atas 2 satuan

Perhatikan cara menyelesaikannya

D. y = (x 3)2 + 2

Dari puncak, x bergeser + 1, y bertambah 1, x bergeser + 2, y bertambah 4. Berarti:

y = (x 3)2

LANJUT

XO

Y


A. y = x2 + 2x 3B. y = x2 + 3x 2C. y = (x + 2)2 3D. y = (x 3)2 + 2

E. y = (x + 2)2 + 3

LANJUT

•

XO

Y


Digeser ke kiri 2 satuan

y = (x + 2)2

Digeser ke bawah 3 satuan


y = (x + 2)2 3


y = (x + 2)2

LANJUT

XO

Y


A. y = (x + 8)2 + 2

B. y = (x 8)2 + 2

C. y = (x + 2)2 + 8

D. y = (x + 2)2 + 8

E. y = (x 2)2 + 8

LANJUT

•

XO

Y



y = (x + 2)2 Digeser ke atas 8 satuan

Perhatikan cara menyelesaikannyay = (x + 2)2 + 8

Dari puncak, x bergeser + 1, y berkurang 1, x bergeser + 2, y berkurang 4. Berarti:

y = (x + 2)2

y = (x + 2)2 + 8

LANJUT

XO

Y


A. y = 0,5x2 + 4x + 1

B. y = 0,5(x 4)2 1C. y = 0,5(x 4)2 1D. y = 2(x 4)2 + 1

E. y = 2(x 4)2 1

LANJUT

XO

Y

21Grafik diperoleh dari grafik y = x2




Digeser ke bawah 1 satuan

C. y = ( x 4)2 121

y = ( x 4)2

21

y = ( x 4)2

21

atau y = 0,5 (x 4)2 1

LANJUT

XO

Y


A. y = 0,5x2 + x + 8

B. y = 0,5x2 + 2x + 8

C. y = x2 + 4x + 12

D. y = 0,5x2 + 2x + 6

E. y = 2x2 2x + 6

LANJUT

XO

Y

y = ( x2 4x + 4) + 821

21Grafik diperoleh dari grafik y= x2

Digeser ke kanan 2 satuan


Dari puncak, x bergeser + 2, y berkurang 4, x bergeser + 4, y berkurang 8. Berarti:

Digeser ke atas 8 satuan

y = ( x 2)2

21

y = ( x 2)2 + 821

y = x2 + 2x + 621

atau y = 0,5x2 + 2x + 6LANJUT

DAFTAR ISI

1 Pertidaksamaan Linear.

2 Pertidaksamaan Kuadrat

3 Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat Dengan menggunakan sketsa grafik fungsiKuadrat..

4 Menyelesaikan Pertidaksamaan KuadratDengan menggunakan garis bilangan.

LANJUT

PERTIDAKASAMAAN LINEAR

2x – 6 > 0

2x > 6 x > 3

Penyelesaian tersebut dapat disajikan dengan garis bilangan sebagai berikut .

Di SLTP kita telah mempelajari cara penyelesaian pertidaksamaan linear, seperti :

+ + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - -

Penyelesaian 2x – 6 > 0 menunjukkan nilai-nilai x sedemi-kian sehingga ruas kiri pertidaksamaan bernilai positif (+).

3

3

daerah penyelesaian 2x – 6 > 0*) x = 3 disebut pembuat nol.

*) Garis yang dicetak tebal menunjukkan penyelesaian pertidaksamaan di atas.

Dengan cara yang sama kita juga dapat menentukan daerah penye-lesaian pertidaksamaan 2x – 6 < 0, sebagai berikut :

2x – 6 < 0 2x < 6 x < 3

- - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + +

daerah penyelesaian 2x – 6 < 0

3

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang varia-belnya berpangkat paling tinggi 2.

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dalam x dapat dinyatakan dengan salah satu bentuk di bawah ini :

A. Pengertian

(i) ax2 + bx + c > 0 (ii) ax2 + bx + c 0(iii) ax2 + bx + c < 0 (iv) ax2 + bx + c 0Dengan a, b, c dan x R, dan a 0.

Contoh :

1). x2 – x – 6 > 0 2). 2x2 – x – 3 0

B. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat.Sebelum kita membahas cara menyelesaikan pertidaksamaan kua-

drat, perlu kita tinjau ulang pengertian tentang selang atau interval dan grafik fungsi kuadrat. Pengertian ini akan sangat membantu kita dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.

1. Pengertian selang atau interval.

Selang atau interval adalah himpunan bagian bilangan real R. Sebuah selang (interval) dapat dilukiskan pada garis bilangan real berbentuk ruas garis (segmen garis) yang ditandai lebih tebal pada selang (interval) yang bersesuaian. Berbagai kemungkinan selang (interval) yang sering kita jumpai dapat dilihat pada tabel berikut ini.

No. Selang Atau Interval Grafik Selang

a

a

a

a

a

a

b

b

b

b

b

b

1

2

3

4

5

6

7

8

a < x < b

a x b

x < a

x a

x > b

x b

x < a atau x > b

x a atau x b

Contoh :

Grafik dari { x / 1 < x < 5 } adalah :

51

2. Pengertian Grafik Fungsi Kuadrat.Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persama-an y = f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c R dan a 0.

Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat (parabola) adalah :

1. Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas, dan jika a < 0 parabola terbuka ke bawah.

2. Memotong sumbu X jika y = 0 atau ax2 + bx + c = 0, memotong sumbu Y jika x = 0 atau y = a.02 + b.0 + c

3. Titik potong dengan sumbu X ditentukan oleh nilai Diskriminan (D = b2 – 4.a.c).

a. Jika D > 0 parabola memotong sumbu X di dua titik

b. Jika D = 0 parabola menyinggung sumbu X.

c. Jika D < 0 parabola tidak memotong sumbu X.

Macam-macam grafik fungsi kuadrat (parabola) dapat dilihat pada tabel di bawah ini :

a > 0 a < 0

D > 0

D = 0

D < 0

X

X

X

X

X

X

Definit positif Definit negatif

Contoh :

Diketahui persamaan parabola y = x2 – 7x + 10.

Tentukan sifat-sifat dan gambar grafik parabola di atas !

Jawab :

Pada persamaan parabola y = x2 – 7x + 10 nilai a = 1, b = -7, dan c = 10 .

Karena nilai a = 1 ( a > 0), maka parabola terbuka ke atas.

D = b2 – 4.a.c = (-7)2 – 4.1.10 = 49 – 40 = 9 . Karena D = 9 (D > 0), maka parabola memotong sumbu X di dua titik.

Parabola memotong sumbu X jika y = 0 , maka

x2 – 7x + 10 = 0 (x – 2)(x – 5) = 0 x = 2 atau x = 5

Jadi parabola memotong sumbu X di titik (2 , 0) dan (5 , 0).

Parabola memotong sumbu Y, jika x = 0, maka :

Y = 02 – 7.0 + 10 = 10. Jadi parabola memotong sumbu Y di (0,10)

Gambar grafiknya ada-lah sebagai berikut :

X(2,0)

(5,0)

Kesimpulan :

Parabola y = x2 – 7x + 10, terbuka ke atas, memotong sumbu X di (2,0) dan (5,0), serta memotong sumbu Y di (0,10).

0

Y(0,10)

3. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Sketsa Grafik

Fungsi Kuadrat.Langkah-langkah :

4. Memilih bagian grafik yang sesuai dengan pertidaksamaan kuadrat yang akan diselesaikan.

1. Tentukan nilai a ( ke mana parabola terbuka).

2. Tentukan titik potong dengan sumbu X.

3. Menggambar sketsa grafiknya.

Absis titik-titik pada bagian grafik yang terletak di atas sumbu X merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ax2 + bx + c >0 atau ax2 + bx + c 0.

Absis titik-titik pada bagian grafik yang terletak di bawah sumbu X merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ax2 + bx + c < 0 atau ax2 + bx + c 0.

Contoh :

1.Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 3x – 10 > 0.

Jawab :

x2 – 3x – 10 > 0 atau

y = 1x2 – 3x – 10

(a > 0) , maka parabola terbuka ke atas

Memotong sumbu X jika y = 0, maka

x2 – 3x – 10 = 0

(x – 5)(x + 2) = 0

x = 5 atau x = -2

Jadi parabola memotong sumbu X

Nilai a =1

X-2 5

di (-2 , 0) dan (5 , 0)

X

-2 5

Dari sketsa grafik di atas terlihat bahwa absis titik-titik pada bagian grafik yang terletak di atas sumbu X adalah:

x < -2 x > 5

Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah :

{ x / x < -2 atau x > 5 }

Daerah himpunan penyelesaian HP = { x / x < -2 atau x > 5 }

atau

2.Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 2x – 3 0.

Jawab :

x2 – 2x – 3 0 atau

y = 1x2 – 2x – 3

(a > 0) , maka parabola terbuka ke atas

Memotong sumbu X jika y = 0, maka

x2 – 2x – 3 = 0

(x – 3)(x + 1) = 0

x = 3 atau x = -1

Jadi parabola memotong sumbu X

Nilai a =1

X-1 3

di (-1 , 0) dan (3 , 0)

X

-1 3

Dari sketsa grafik di atas terlihat bahwa absis titik-titik pada bagian grafik yang terletak di bawah sumbu X adalah:

-1 x 3

Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah :

{ x / -1 x 3 }

Daerah himpunan penyelesaian

HP = {x / -1 x 3}

4. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan Garis

Bilangan.Langkah-langkah :

1. Menentukan pembuat nol dari ruas kiri pertidaksamaan.

2. Membuat garis bilangan beserta pembuat-pembuat nol ruas kiri.

3. Menentukan tanda dari nilai ax2 + bx + c pada masing-masing

interval dengan cara mengambil titik-titik uji yang sesuai.

4. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan yang diberikan dengan

memilih tanda pada interval yang sesuai.

Contoh :

1. Tentukan himpunan penyelesaiaan pertidaksamaan x2 + x – 6 < 0.

Jawab :

x2 + x – 6 < 0

-3 2

-) mengambil titik-titik uji pada masing-masing interval:

x = -4

-4

pada interval sebelah kiri

x = 0

pada interval tengah

pada interval sebelah kananx = 3

0 3

-) pembuat nol ruas kiri

x2 + x – 6 = 0

(x + 3)(x – 2) = 0

x = -3 atau x = 2

-4 0-3 2 3

Titik uji Nilai x2 + x - 6 Tanda

x = -4

x = 0

x = 3

(-4)2 + (-4) – 6 = 6

02 + 0 – 6 = -6

32 + 3 – 6 = 6

+ atau > 0

- atau < 0

+ atau > 0

+ + + + + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - -

-) menentukan tanda x2 + x – 6 pada masing-masing interval.

-4 0-3 2 3

+ + + + + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - -

Berdasarkan tanda-tanda pada garis bilangan di atas, maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + x – 6 < 0 adalah interval yang bertanda negatif atau < 0 yaitu.

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { x / -3 < x < 2 }

-3 < x < 2

Jawab :

x2 + 3x – 10 0

-5 2

-) mengambil titik-titik uji pada masing-masing interval:

x = -6

-6

pada interval sebelah kiri

x = 0

pada interval tengah

pada interval sebelah kananx = 3

0 3 -) pembuat nol ruas kiri

x2 + 3x – 10 = 0

(x + 5)(x – 2) = 0

x = -5 atau x = 2

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + 3x – 10 0

-6 0-5 2 3

Titik uji Nilai x2 + 3x - 10 Tanda

x = -6

x = 0

x = 3

(-6)2 + 3(-6) – 10 = 8

02 + 3(0) – 10 = -10

32 + 3(3) – 10 = 8

+ atau > 0

- atau < 0

+ atau > 0

+ + + + + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - -

menentukan tanda x2 + 3x – 10 pada masing-masing interval.

-6 0-5 2 3

+ + + + + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - -

Berdasarkan tanda-tanda pada garis bilangan di atas, maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + 3x – 10 0 adalah interval yang bertanda positif atau > 0 yaitu.

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { x / x -5 atau x 2 }

x -5 atau x 2

UJI PEMAHAMAN.1

Pilihlah satu jawaban yang anda anggap paling benar

1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + x – 2 ≥ 0 adalah …..

a. { x | x ≤ -2 atau x ≥ 1 }b. { x | x ≤-2 atau x ≥ -1}c. { x | -2 ≤ x ≤ 1 }d. { x | -1 ≤ x ≤ 2}e. { x | x ≤ -1 atau x ≥ 2 }

LANJUT


2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 -3x – 10 < 0 adalah …..

a. { x | x > 5 }b. { x | 0 < x < 5 }c. { x | -2 < x < 5 }d. { x | x ≤ 2 }e. { x | -5 < x < 2 }

LANJUT


3. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + x – 6 ≤ 0 adalah …..

a. { x | x ≤ -3 atau x ≥ 2 }b. { x | x ≤ -2 atau x ≥ 3}c. { x | -2 ≤ x ≤ 3 }d. { x | -3 ≤ x ≤ -2 }e. { x | -3 ≤ x ≤ 2 }

LANJUT


4. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 7x + 10 < 0

adalah …..

a. { x | x < -5 atau x > 2 }b. { x | x < -2 atau x > 5}c. { x | -2 < x < 5 }d. { x | 2 < x < 5 }e. { x | x < 2 atau x > 5}

LANJUT


5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + 4x – 12 ≥ 0 adalah …..

a. { x | x ≤ -2 atau x ≥ 6 }b. { x | x ≤ -6 atau x ≥ 2}c. { x | -2 ≤ x ≤ 6 }d. { x | -6 ≤ x ≤ 2 }e. { x | x ≤ -6 atau x ≥ -2 }

LANJUT

SELESAI

Klik di sini untuk belajar kembali

LANJUT

My Full Name’s : Misbachul Munirul Ehwan

My nick name’s : Munir

I was born : Amuntai, 10 Oktober 1995

Address: South Kalimantan, Banjarmasin, Amuntai, Brigjend H. Hasan Baseri street, Kandang Halang, RT3, Number

106

School: SMAN1 Amuntai

Grade: XC

Hobbies: Playing Badminton, Read The Book of Mathematics

My Blog: Munir4731mtk.blogspot.com

My Account Facebook: Misbachul Munirul Ehwan / [email protected]

My Profile

LANJUT

How to get what do you want?

you have to become the diligent of student in your

school. you must study hard,

any time, and any where. don’t be afraid to do something during it’s

positive for you.

Do you want to exit? VIELEN DANKE

Nein / NoJa / Yes

Documents

ma an Fungsi, Dan Pertidaksamaan Fungsi Kelas x Best of the Best