Paralelismo Perpendicularidade Triangulos Exercıcios e atividade

MA093 – Matematica basica 2Paralelismo e perpendicularidade. Triangulos

Francisco A. M. Gomes

UNICAMP - IMECC

Agosto de 2018

Paralelismo Perpendicularidade Triangulos Exercıcios e atividade

Topicos importantes

O objetivo dessa aula e investigar

1 As definicoes de circunferencia, de retas paralelas eperpendiculares e de triangulo.

2 As propriedades de angulos gerados quando uma reta cortaduas outras retas paralelas.

3 Como tracar retas paralelas e perpendiculares.

4 Outras definicoes relacionadas a paralelismo,perpendicularidade e triangulos.

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Circunferencia

Definicao

A circunferencia e o conjunto dos pontos de um plano que estao auma mesma distancia – denominada raio – de um ponto do plano– denominado centro.

O: centro da circunferencia

P: ponto da circunferencia

r : raio da circunferencia

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Retas concorrentes e paralelas

Definicao

1 Duas retas sao concorrentes se tem um unico ponto comum.2 Duas retas sao paralelas se

a) Sao coincidentes; oub) Sao coplanares e nao tem pontos em comum.

Postulado de Euclides

Por um ponto passa uma unica reta paralela a uma reta dada.

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Duas paralelas e uma transversal

Definicao

Dadas as retas r , s e t ao lado,sao angulos correspondentes:

A e E .

B e F .

C e G .

D e H.

Teorema

As retas r e s sao paralelas se e somente se dois anguloscorrespondentes sao iguais.

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Duas paralelas e uma transversal

Definicao

1 Sao angulos alternos internos:

C e E .D e F .

2 Sao angulos alternos externos:

A e G .B e H.

Teorema

As retas r e s sao paralelas se e somente se dois angulos alternosinternos (ou dois angulos alternos externos) sao iguais.

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Duas paralelas e uma transversal

Definicao

1 Sao angulos colaterais internos:

C e F .D e E .

2 Sao angulos colaterais externos:

A e H.B e G .

Teorema

As retas r e s sao paralelas se e somente se dois angulos colateraisinternos (ou dois angulos colaterais externos) sao suplementares.

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Retas perpendiculares

Definicao

Duas retas sao perpendiculares sesao concorrentes e formam umangulo reto.

Retas concorrentes que nao formam um angulo reto sao ditasoblıquas.

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Retas perpendiculares

Teorema

Dado um ponto P de uma reta r em um plano α, existe uma unicareta s em α que passa por P e e perpendicular a r .

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Retas perpendiculares

Teorema

Dado um ponto P que nao pertence a uma reta r ,existe uma unica reta s que passa por P e e perpendicular a r .

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Ponto medio e mediatriz

Definicoes

1 Ponto medio de um segmento de reta AB e o ponto M talque AM ≡ MB.

2 Mediatriz de um segmento de reta e a reta que eperpendicular ao segmento e passa pelo seu ponto medio.

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Projecao

Definicoes

1 A projecao (ortogonal) de um ponto P sobre uma reta r e oponto P ′ que esta na intersecao de r com a reta que passapor P e e perpendicular a r .

2 A projecao de um segmento AB sobre uma reta r (naoperpendicular a AB) e o segmento A′B ′, em que A′ e B ′ sao,respectivamente, as projecoes de A e B sobre r .

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Distancia

Definicoes

1 A distancia entre dois pontos A e B e o comprimento (oumedida) do segmento AB.

2 A distancia de um ponto P a uma reta r e o comprimento dosegmento PP ′, em que P ′ e a projecao de P em r .

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Triangulo

Definicao

Dados tres pontos nao colineares A,B e C , a reuniao dos segmentos AB,BC e CA e denominada triangulo.

Elementos do 4ABC :

Vertices: A, B e C .

Lados ou arestas: AB (de medida c), BC (de medida a) eCA (de medida b).

Angulos (internos): BAC (ou A), ABC (ou B) e ACB (ou C )

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Angulo externo

Definicao

Seja dado um triangulo ABC e a semirreta−→BD, oposta a aresta

AB. O angulo CBD e chamado angulo externo adjacente aovertice B.

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Angulo externo

Teorema

Em um triangulo, a medida de um angulo externo e igual a somadas medidas dos angulos internos nao adjacentes a ele.

Teorema

A soma dos angulos (internos) de um triangulo mede 180◦.

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Exercıcio 1

Problema

Sabendo que as retas a e b sao paralelas, determine o valor de α.

α = 40◦

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Exercıcio 2

Problema

Sabendo que as retas a e b sao paralelas, determine o valor de α.

α = 20◦

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Exercıcio 3

Problema

Determine o valor de α na figura abaixo.

α = 15◦

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Exercıcio 4

Problema

Calcule x e y indicados na figura abaixo.

x = 70◦ e y = 125◦

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Exercıcio 5

Problema

Sabendo que, na figura abaixo, os segmentos AB e CD saoparalelos, determine os valores de α e β.

α = 25◦ e β = 55◦

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Atividade

Problema

Desenhe as retas abaixo usando regua e compasso.

1 Dada uma reta r e um ponto P que nao pertence a r , traceuma reta s que passe por P e seja perpendicular a r . Mostre aprojecao de P sobre r .

2 Sobre a reta s, marque um ponto Q que diste 3 cm de r .

3 Trace uma reta t que seja paralela a reta r e que passe por Q.