PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

Sistema Diédrico. Paralelismo y perpendicularidad

Jesús Modesto González de la Calle.

Página 2Unidad Docente de Expresión Gráfica. ETSIA BORRADOR

ÍÍndice de diapositivas:ndice de diapositivas:

Punto 1: Rectas paralelas.Punto 1: Rectas paralelas.

Punto 2: Paralelismo entre recta y plano.Punto 2: Paralelismo entre recta y plano.

Punto 3: Planos paralelos.Punto 3: Planos paralelos.

Punto 4: Perpendicularidad.Punto 4: Perpendicularidad.

Punto 5: Rectas perpendiculares.Punto 5: Rectas perpendiculares.

Punto 6: Perpendicularidad entre recta y plano.Punto 6: Perpendicularidad entre recta y plano.

Punto 7: Planos perpendiculares.Punto 7: Planos perpendiculares.

Punto 8: DistanciasPunto 8: Distancias



- Si dos rectas son paralelas en el espacio, sus proyecciones sobre cualquier plano son paralelas.

- Dos rectas son paralelas en el espacio cuando tengan las proyecciones paralelas en la planta y en el alzado. (La única excepción son las rectas de perfil, que se deben comprobar en la vista de perfil)



RECTA PARALELA A OTRA QUE PASE POR UN PUNTO DADO.

- La solución es única.- Si son paralelas en el espacio deben ser paralelas sus proyecciones sobre el mismo plano de proyección: r’’ // t’’ y r’ // t’



- Una recta es paralela a un plano si existe una recta paralela a ella contenida en el plano.- Un plano es paralelo a una recta r, si contiene una recta t paralela a la recta r.

RECTA PARALELA A UN PLANO QUE PASE POR UN PUNTO:- Infinitas soluciones.



PLANO PARALELO A UNA RECTA QUE PASE POR UN PUNTO.

- Este problema tiene infinitas soluciones, como el problema anterior.- Se define el plano por dos rectas. La recta t paralela a r y otra cualquiera.- El paralelismo está garantizado, y por cada recta cualquiera se obtiene un plano distinto.



PLANO PARALELO A UNA RECTA r QUE PASE POR OTRA RECTA s.

- Se elige un punto cualquiera de la recta s. Se le llama P.- Se traza una paralela a la recta r por el punto P. Se le llama t.- El plano que definen s y t, obviamente contiene a s. Y es paralelo a r por contener a t.



- Cuando dos planos son paralelos entre sí, las rectas de intersección de éstos con cualquier plano no paralelo a ellos, son rectas paralelas.- Eligiendo planos paralelos a los coordenados. Si dos planos son paralelos en el espacio, tienen sus rectas notables paralelas.

- Dos planos son paralelos si tienen sus respectivas RECTAS NOTABLES, paralelas.- Serán paralelos si sus rectas horizontales y frontales son paralelas.- Serán paralelos si sus rectas lmp son paralelas.- Serán paralelos si sus rectas lmi son paralelas.



PLANO PARALELO A OTRO PLANO QUE PASE POR UN PUNTO.



- Teorema de las tres perpendiculares: Si dos rectas son perpendiculares en el espacio, y una de ellas es paralela a un plano, las proyecciones ortogonales de ambas rectas sobre ese plano son perpendiculares.

- Una recta es perpendicular a un plano si lo es a dos rectas no paralelas de ese plano.- Si una recta es perpendicular a un plano, es perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano.



- Dos rectas son perpendiculares si una de ellas está contenida en un plano perpendicular a la otra.

- Un plano es perpendicular a otro si contiene una recta perpendicular al otro plano.- Un plano es perpendicular a otros dos planos si es perpendicular a la recta de intersección de esos dos planos. Esta condición se cumple recíprocamente.


Punto 5: Rectas perpendiculares.Punto 5: Rectas perpendiculares.

- Para resolver este problema se aplica el teorema de las tres perpendiculares.- Por lo tanto se necesita tener una vista en la que la recta dada sea paralela. Es decir, que se vea en verdadera magnitud.- Si se trata de una recta oblicua, es necesario hacer un cambio de plano para convertirla en proyectante. (horizontal o vertical).


Punto 6: Perpendicular entre recta y plano.Punto 6: Perpendicular entre recta y plano.

PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA POR UN PUNTO.

- Para resolver ese problema se utiliza la segunda definición directamente. Una recta es perpendicular a un plano si existen en el plano dos rectas no paralelas, que sean perpendiculares a la recta:

- Una vez conocido el plano perpendicular, todas las rectas contenidas en él son perpendiculares a r.


Punto 6: Perpendicular entre recta y plano.Punto 6: Perpendicular entre recta y plano.

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO QUE PASA POR UN PUNTO.

- Similar a caso anterior. Debe haber dos rectas en el plano ABC perpendiculares a r. Uso horizontal y frontal.



- Un plano es perpendicular a otro si contiene una recta perpendicular al primero.- De la imagen se desprenden infinitas soluciones.- Calculada la recta perpendicular, forma plano con cualquier otra.



PLANO PERPENDICULAR A OTROS DOS.

- Ejemplo de resolución con técnicas descritas anteriormente, de dos maneras:- DATOS: plano ABC, plano DEFG, y punto P.

Forma 1 -Calcular la recta r perpendicular a DEFG y que pasa por el punto P.- Calcular la recta s perpendicular a ABC y que pasa por el punto P.- La solución es el plano que forman r y s.

Forma 2

- Calcular la intersección I, de los planos ABC y DEFG.- Calcular un plano perpendicular a la recta I y que pase por el punto P.


Punto 8: Distancias.Punto 8: Distancias.

ENTRE PUNTO Y RECTA. - Se tienen como datos la recta r y el punto P.- Se calcula la perpendicular d que pase por P y corta a r.- Se calcula la intersección I de las rectas d y r.- La distancia es la longitud del segmento IP.



ENTRE PUNTO Y RECTA.

- Se traza una plano perpendicular a la recta dada y que pase por el punto P.- Se calcula la intersección de ese plano con la recta dada. Ese punto se llama I.- La distancia entre la recta y el punto es la longitud del segmento PI.- Se calcula la verdadera magnitud de ese segmento. (cualquier método).



ENTRE RECTAS PARALELAS.

- Es la longitud de un segmento perpendicular a las dos rectas, que pase por ellas. Y que empiece en una y termine en la otra.- Se reduce al caso anterior, al elegir como punto P, un punto cualquiera de una de las dos rectas.



ENTRE PUNTO Y PLANO.

- Es la longitud de un segmento perpendicular al plano , que pase por el punto P y que termine en el plano.- A partir del punto P y el plano, se traza la perpendicular al plano que pasa por P.- Se calcula el punto I, intersección entre esa recta y el plano.- Se calcula la verdadera magnitud del segmento PI.



ENTRE PLANOS PARALELOS.

- Es la longitud de un segmento perpendicular a los dos planos. Que empiece en uno y termine en el otro.- Se reduce al caso anterior, al elegir como punto P, un punto cualquiera de una de los dos planos.



ENTRE RECTAS QUE SE CRUZAN.

- Es la longitud de un segmento perpendicular a las dos rectas, que pase por ellas. Y que empiece en una y termine en la otra.- Igual definición que en rectas paralelas pero no se puede elegir cualquier punto de una de ellas para resolverlo.







- Recta q y recta d tienen igual longitud y es la distancia entre r y s.- La recta d es además la mínima distancia en posición. Entre puntos B y C.

Documents

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD