Upload
dinhtruc
View
238
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Kuliah Sebelumnya
9.4 Deret Positif: Uji Lainnya
Memeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji perbandingan dan uji rasio
9.5 Deret Ganti Tanda: Kekonvergenan Mutlakdan Kekonvergenan Bersyarat
Memeriksa kekonvergenan mutlak/bersyaratderet ganti tanda
2/21/2014 2(c) Hendra Gunawan
Sasaran Kuliah Hari Ini
9.6 Deret Pangkat
Menentukan selang kekonvergenan deretpangkat
9.7 Operasi pada Deret Pangkat
Melakukan operasi pada deret pangkat (yang diketahui jumlahnya) untuk mendapatkanderet pangkat lainnya (dan jumlahnya)
2/21/2014 3(c) Hendra Gunawan
9.6 DERET PANGKATMA1201 MATEMATIKA 2A
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4
Menentukan selang kekonvergenan deretpangkat
Deret Fungsi
Sejauh ini kita baru membahas deret bilanganreal. Sekarang kita akan mempelajari deretfungsi, yang secara umum berbentuk .
Sebagai contoh,
Perhatikan jika kita substitusikan nilai x tertentu, misal x = π/2, maka kita peroleh deret bilangan.
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 5
...3
3sin
2
2sin
1
sinsin
1
xxx
n
nx
n
)(xun
Deret Pangkat
Deret pangkat adalah deret yang berbentuk
dengan an ϵ R untuk tiap n ϵ N.
Pertanyaan yang perlu kita ajukan terkaitdengan deret pangkat adalah:
1. Untuk nilai x manakah deret tsb konvergen?
2. Apakah kita dapat menentukan fungsi yang merupakan jumlah deret tsb?
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 6
0
2
210 ...n
n
n xaxaaxa
Contoh 1
Jika a ≠ 0, maka deret pangkat
Merupakan deret geometri dengan sukupertama a dan rasio x. Kita tahu deret inikonvergen ke
untuk |x|< 1.
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 7
0
2 ...n
n axaxaax
x
axS
1)( BAGAIMANA
DENGAN DERET PANGKAT LAINNYA?
Contoh 2
Tentukan untuk x mana sajakah deret berikutkonvergen?
Dengan Uji Rasio Mutlak, kita hitung
Jadi deret konvergen untuk |x| < 1 dan divergenuntuk |x| > 1. Untuk |x| = 1, Uji Rasio tidakmemberikan kesimpulan apapun. So?2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 8
1
32
...32n
n xxx
n
x
.1
lim1
lim1
xn
nx
n
x
n
x
n
nn
n
Kita selidiki apa yang terjadi dengan untuk|x| = 1, yakni untuk , secara tersendiri.
Jika x = 1, maka deret menjadi deret harmonik
yang divergen.
Jika x = -1, maka deret menjadi deret harmonik
ganti tanda yang konvergen.
Jadi deret pangkat konvergen pada [-1,1).
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 9
n
1
n
n)1(
n
xn
n
xn
1x
Latihan
Tentukan pada selang manakah deret berikutkonvergen.
1.
2.
3.
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 10
132n
n
n
n
x
1 !n
n
n
x
1
2!n
nxn
Teorema Selang KekonvergenanDeret Pangkat
Himpunan kekonvergenan deret pangkat
selalu berupa salah satu dari tiga kemungkinanberikut:
(i) Himpunan {0}.
(ii) Selang (–R,R), mungkin dengan salah satuatau kedua titik ujungnya.
(iii)Seluruh garis bilangan real R.
Bila (i), (ii) atau (iii) terjadi, deret dikatakan mem-punyai jari-jari kekonvergenan 0, R, atau ∞.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 11
n
n xa
Contoh
selang jari-jari
kekonvergenan kekonvergenan
1. [–2,2] 2
2. R ∞
3. {0} 0
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 12
132n
n
n
n
x
1 !n
n
n
x
1
2!n
nxn
Teorema
Deret pangkat konvergen mutlak disetiap titik di dalam selang kekonvergenannya.
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 13
n
n xa
Deret Pangkat dalam x – a
Deret pangkat berbentuk
disebut deret pangkat dalam x – a.
Selang dan jari-jari kekonvergenan deretpangkat dalam x – a dapat ditentukan melaluideret pangkat dalam t, dengan t = x – a.
Sebagai contoh, konvergen
utk -2 ≤ t ≤ 2, yakni utk -1 ≤ x ≤ 3. 2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 14
...)()()( 2
210 axaaxaaaxa n
n
13
13 22
)1(
nn
n
nn
n
n
t
n
x
Soal
Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 15
12 13
)1()1(
n
nn
n
x
9.7 OPERASI PADA DERET PANGKAT
MA1201 MATEMATIKA 2A
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 16
Melakukan operasi pada deret pangkat (yang diketahui jumlahnya) untuk mendapatkanderet pangkat lainnya (dan jumlahnya)
Jumlah Deret Pangkat
Deret pangkat yang merupakan deret
geometri dengan suku pertama a dan rasio xmempunyai jumlah
Bagaimana dengan deret pangkat lainnya?
Apakah kita dapat menentukan jumlahnya?
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 17
0n
nax
.11,1
)(
xx
axS
Penurunan dan PengintegralanSuku demi SukuTeorema. Misalkan S(x) adalah jumlah suatuderet pangkat pada selang I, yakni
Maka, untuk x di dalam selang I, berlaku
(i)
(ii)2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 18
0
2
210 ...)(n
n
n xaxaaxaxS
0
2
321
1 ...32)('n
n
n xaxaaxnaxS
0
32210
1
0
...321
)(n
nn
x
xa
xa
xaxn
adttS
Contoh 1Kita sudah tahu bahwa
Penurunan suku demi suku menghasilkan
Pengintegralan suku demi suku menghasilkan
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 19
0
2 .11...,11
1
n
n xxxxx
0
1
2.11...,210
)1(
1
n
n xxnxx
.11...,321
)1ln(32
0
1
xxx
xn
xx
n
n
Contoh 2 (Substitusi Peubah)Kita sudah tahu bahwa
Ganti x dengan –x, kita peroleh
Ganti lagi x dengan x2, kita peroleh
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 20
0
2 .11...,11
1
n
n xxxxx
0
2 .11...,1)(1
1
n
n xxxxx
0
422
2.11...,1)(
1
1
n
n xxxxx
Contoh 3
Tentukan deret pangkat untuk tan-1 x.
Petunjuk:
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 21
.1
1tan
0
2
1
x
dtt
x
Contoh 3
Tentukan jumlah dari deret pangkat berikut:
Catatan. Deret ini konvergen pada R.
Jawab: Penurunan terhadap x menghasilkan
Solusi persamaan diferensial ini adalah S(x) = Cex. Karena S(0) = 1, maka C = 1. Jadi S(x) = ex.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 22
...!3!2
1)(32
xx
xxS
).(...!3!2
10)('32
xSxx
xxS