Upload
others
View
9
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
U.U.D.M. Project Report 2014:38
Examensarbete i matematik, 15 hpHandledare och examinator: Gunnar Berg Juni 2014
Gaussiska heltal
Maja Wallén
Department of MathematicsUppsala University
2
Innehållsförteckning
1 Inledning .................................................................................................................. 3
1.1 Bakgrund ............................................................................................................ 3
1.2 Syfte ................................................................................................................... 3
2 Gaussiska heltal....................................................................................................... 4
2.1 Normen ............................................................................................................... 5 2.1.1 Normen är multiplikativ ............................................................................. 5
2.2 Heltal och enheter ............................................................................................... 6
2.3 Delbarhet ............................................................................................................ 6
2.4 Divitionsalgoritmen ............................................................................................ 9
2.5 Euklides algoritm ............................................................................................. 10
2.6 Entydig faktorisering ........................................................................................ 12
2.7 Modulär aritmetik ............................................................................................. 13
2.8 Irreducibelt tal .................................................................................................. 14
2.8.1 Gaussiska primtal ..................................................................................... 14 2.8.2 Vilka vanliga primtal är även Gaussiska primtal? ................................... 15
2.8.3 Samband och konsekvenser i talteori ....................................................... 16
2.9 Olösta problem ................................................................................................. 19 2.9.1 Gauss cirkelproblem ................................................................................. 19 2.9.2 Gauss vallgravsproblem ........................................................................... 19
3 Konklusion ............................................................................................................. 21
4 Referenser .............................................................................................................. 22
3
1 Inledning
1.1 Bakgrund
År 1832 introducerade Carl Friedrich Gauss (1777-1855) teorin om Gaussiska
heltal. Gauss, ofta kallad matematikernas konung, hade nu infört benämningar för
komplexa tal och det komplexa talplanet som öppnande upp nya möjligheter i
matematiken. I dessa områden uppkom en ny typ av heltal som är uppkallades
efter Gauss som Gaussiska heltal. Gaussiska heltal är tal på formen a bi där a
och b är heltal. Frågan är varför Gauss hade börjat intressera sig för heltalen i det
komplexa talplanet. Svaret finner vi i den kvadratiska reciprocitetssatsen som han
lyckades bevisa år 1796. Kvadratiska reciprocitetssatsen kopplar samman
lösbarhet av två relaterade kvadratiska kongruenser. Gauss studerade även
reciprocitetsatser av högre grad som kubisk och bikvadratisk. Vid lagen om
bikvadratisk reciprocitetsats insåg Gauss att denna enklast kunde uttryckas med de
hela komplexa talen som vi idag kallar Gaussiska heltal.
1.2 Syfte
Syftet med studien att sammanställa egenskaper och räkneregler för Gaussiska
heltal. I första hand jämförs Gaussiska heltal med de vanliga heltalen med
avseende på algebraiska räkneregler. Avslutningsvis klargörs likheter mellan
Gaussiska primtal och vanliga primtal.
4
2 Gaussiska heltal
Gaussiska heltal är tal på formen a + bi, där a och b är vanliga heltal. Mängden av
de gaussiska heltalen betecknas med Z i . Gaussiska heltal gör det möjligt att
studera primtalen på ett nytt sätt. I Z i kan vi nu faktorisera några av våra gamla
primtal, låt oss studera talet 2 i Z i . Då kan vi skriva 2 (1 )(1 )i i och detta
visar att 2 som är ett vanligt primtal i Z, inte är det i Z i .
För två Gaussiska heltal z a bi och w c di definieras summan z + w
som ( )z w a c b d i och produkten z w som ( )z w ac bd ad bc i .
Additionen och multiplikationen mellan vanliga heltal och gaussiska heltal
fungerar på samma sätt, undantaget sker vid beräkningar mellan de gaussiska
heltalen då det gäller att 2 1i .
De gaussiska heltalen utgör i likhet med de hela talen, Z, en så kallad
kommutativ ring. Detta eftersom mängden Z i kan definieras med operationer
som innehåller addition och multiplikation som ges på samma sätt i det komplexa
talplanet. Vidare skall även ett antal lagar vara uppfyllda (se nedan).
1. a + b ∈ Z i
2. a ∙ b ∈ Z i
3. a + b = b + a
4. a ∙ b = b ∙ a
5. a + (b + c) = (a + b) + c
6. a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c
7. a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
8. Heltalet 0 ∈ Z i uppfyller a + 0 = a
9. Heltalet 1 ∈ Z i uppfyller a ∙ 1 = 1
10. För varje gaussiskt heltal a finns ett gaussiskt heltal – a sådant att
a + (-a) = 0
5
2.1 Normen
Genom att bestämma normen för ett Gaussiskt heltal får vi ett mått på hur stort
talet är. Om vi antar att a bi där ,a b Z så betecknar vi normen för α med
N(α). Normen definieras 2 2( )( ) aN a a bi a bi b . Normen beräknas
nästan på samma sätt som vi beräknar absolutbeloppet av ett tal. Exempelvis har
2+3i normen 13 och 1+2i normen 5. Vi väljer att räkna med ( )N istället för
eftersom det handlar om heltal och absolutbeloppet av tal ger ofta kvadratrötter.
Normen av varje gaussiskt heltal är ett heltal på formen 2 2a b där ,a b Z .
Normen kan inte vara negativ utan är alltid ett positivt heltal eller noll. Dock är
det inte sant att varje positivt heltal är en norm. Alla positiva heltal är inte
summan av två kvadrater såsom 3, 7, 11, 15, 19 och 21. Det finns inget Gaussiskt
heltal som har normen lika med värdet av dessa tal.
2.1.1 Normen är multiplikativ
Att normen för Gaussiska heltalen är multiplikativ betyder att om talen Z i
och Z i så gäller det att ( ) ( ) ( )N N N . Vi bevisar detta genom att
sätta a bi och c di , sedan följer:
( )( ) ( )a bi c di ac bd (ad +bc)i
2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) (a )( ) ( ) ( ) ( ) ( )N N b c d ac ad bc bd
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )
( ) ( ) ( ) ( )
N ac bd ad bc
ac abcd bd ad abcd bc
ac ad bc bd
Normen uppfyller alltså ( ) ( ) ( )N N N
6
2.2 Heltal och enheter
Ett tal som har en multiplikativ invers är en enhet. Om vi kallar talet för x och
inversen för y, då måste 1x y . Har alla heltal en invers? Svaret är nej. De
vanliga heltalen har endast två enheter, 1 och -1.
Vilka enheter har de Gaussiska heltalen? De har samma enheter som heltalen,
men det finns även två enheter till. De gaussiska heltalen har enheterna 1, -1, i och
–i. Detta eftersom inversen till i är –i ty ( ) 1i i och inversen till –i är i eftersom
( ) 1i i .1 De gaussiska heltalen har fyra enheter.
Vi kan även bevisa att i Z i är det endast ±1 och ±i som är inverterbara och
därmed enheter bland de Gaussiska heltalen. Vi antar att Z i är inverterbar
och att inversen till α är β. Detta medför då att 1 och nu ska vi visa att
1, i . Vi vet att ( ) ( ) (1) 1N N N enligt heltalen i Z. Men både
( )N och ( )N är positiva heltal och då måste båda vara lika med 1. Vidare ger
2 2( ) a 1N b att antingen är 1a , b=0 eller a=0 och 1b så vi får fyra
fall ±1 och ±i.
2.3 Delbarhet
Delbarhet i Z i är densamma som i Z. Om vi låter β och α var heltal så är β
delare till α om för något Z i . Om α delar β skriver vi men
om α inte delar β så skriver vi .
Ett gaussiskt heltal a bi där ,a b Z är delbart med c där c Z om och
endast om c delar a och c delar b.
( ) ( ) ( )c a bi a bi c m ni där m, n är heltal och detta medför att
a c m och att b c m som i sin tur medför att c a och c b .
1 a + b = b + a, ab = ba (kommutativa lagen)
7
Vi kan använda delbarhet för att studera om delaren till tal tillhör de gaussiska
heltalen Z i . Detta gör vi genom att studera om delaren är ett heltal eller inte.
Om delaren inte är heltal tillhör den inte Z i . Låt oss studera några exempel med
Gaussiska heltal som har delare som tillhör och inte tillhör Z i .
Gäller (1 ) (2 3 )i i ?
2 3 (2 3 )(1 i) 5 1
1 (1 )(1 ) 2 2
i ia i
i i i
Eftersom 5
2 och
1
2 inte är heltal så tillhör inte a Z i .
Gäller (4 5 ) (14 3 )i i ?
14 3 (4 3 )(4 5 ) 71 58
4 5 (4 5 )(4 5 ) 41 41
i i ia i
i i i
Eftersom 71
41 och
58
41i inte är heltal så tillhör a inte Z i .
Gäller (3 2 ) (8 i)i ?
8 (8 )(3 2 )2
3 2 (3 2 )(3 2 )
i i ia i
i i i
Eftersom 2 och -1 är heltal så tillhör a Z i .
Gäller (1 ) (6 4 )i i ?
6 4 (6 4 )(1 )3 2
1 2
i i ia i
i
Eftersom 3 och 2 är heltal så tillhör a Z i .
8
Om α, β ϵ Z i och i Z(i) så kan vi bevisa att ( ) ( )N N i Z (se
nedan). Detta är mycket användbart då vi vill studera om ett gaussiskt heltal är
delare till ett annat gaussiskt heltal, genom att enkelt beräkna normen för båda
talen. Dock är det viktigt att uppmärksamma att omvändningen inte alltid
stämmer. Låt oss studera några exempel med Gaussiska heltal och normens
betydelse.
Från tidigare exempel vet vi att (3 2 ) (8 i)i så låt oss studera normen
(8 ) 65N i
(3 2 ) 13N i
13 delar 65 och detta medför att 3+2i delar 8+i
Är 3+7i delare till 10+3i?
(3 7 ) 58N i
(10 3 ) 109N i
58 delar inte 109 och detta medför att 3+7i inte delar 10+3i
Är 14+3i delare till 4+5i?
(14 3 ) 41N i
(4 5 ) 205N i
41 delar 205 men 14+3i delar inte 4+5i. Detta är ett exempel som visar att
omvändningen inte alltid stämmer.
Om där ( )Z i så medför detta om vi istället tar normen för
båda sidorna att ( ) ( ) N( )N N . Detta gör att ( ) ( )N N . Så vi ser att om
ett Gaussiskt heltal delar ett annat så måste ( )N dela ( )N .
Normen för ett gaussiskt heltal är ett jämnt tal om och endast om det är en
multipel av 1 + i. Detta bevisas på följande sätt. Vi vet att (1 ) 2N i vilket
9
medför att varje multipel av 1+i är ett jämnt tal. Omvänt antar vi nu att ( )N m ni
är ett jämnt tal alltså att 2 2 0m n (mod 2) dvs. att 2 2m n är delbart med 2.
Utifrån detta vet vi att m och n är jämna eller udda båda två så m n (mod 2)
dvs. att m n är delbart med 2.
Vi vill ha ( ) (1 )( )m ni i u vi , dvs. ( ) ( )m ni u v u v i och detta är
ekvivalent med m u v och n u v eller ( ) / 2u n m och ( ) / 2v n m .
Detta medför att u och v är heltal eftersom vi visste att m n är delbart med 2
och då måste även (1 ) ( )i m ni gälla. Omvändningen är bevisad.
2.4 Divitionsalgoritmen
Till varje heltal a och heltal b, då b>0 finns det ett unikt heltal q och ett unikt
heltal r så att a q b r där 0 r b . Man brukar kalla r för rest och q för
kvot.
Att vi lyckats överföra resultat från Z till Z i är delvis tack vare
divitionsalgoritmen. Det är viktigt att påpeka att när vi räknar med
divitionsalgoritmen i Z i kan vi få en lösning som är entydig eller inte entydig.
Vi har två tal , (i)Z med 0 , då finns det två andra tal , Z i
sådana att med ( ) N( )N . Knepet är att vi kan välja ρ så att
( ) ( ) / 2N N och då är γ kvoten och ρ resten. Låt oss studera ett exempel hur
vi räknar divitionsalgoritmen med Gaussiska heltal.
Låt 27 32i och 8 i , ( ) 65N
Målet är att skriva där ( ) 65N och vi söker kvot och rest.
27 23 (27 23 )(8 ) 193 211
8 (8 )(8 ) 65
i i i i
i i i
1932,696..
65
2113,246..
65
10
Vi vill nu välja närmaste heltal till 2,696 och -3,246 och då får vi 3 3i
(27 23 ) (8 )(3 3 )i i i
2i
65 ( )( ) 4
2 2
NN
(8 )(3 3 ) 2i i i
3 3i är en tänkbar kvot med resten -2i. Det är viktigt att påpeka att denna
lösning inte är entydig eftersom det finns andra kvoter och rester som uppfyller
villkoret vid divisionen.
2.5 Euklides algoritm
Euklides algoritm används för att bestämma största gemensamma delare till två
heltal. Största gemensamma delare av a och b kan vi förkortat skriva SDG(a,b).
Vi börjar med att definiera SGD innan vi studerar Euklides algoritm för gaussiska
heltal. Om vi låter n vara ett heltal och sedan betraktar mängden
( ) : 0,D n a Z a a n så är den här mängden delarmängden till n. Alla
positiva delare till n finns alltså i mängden D(n).
Euklides algoritm för gaussiska heltal följer ett mönster för att finna den
största gemensamma delaren. Om vi låter , Z i då α, β ≠ 0 och följer
nedanstående räkningar får vi tillslut fram en sista rest som är skild från noll och
detta är största gemensamma delaren. I den meningen att det är en gemensam
delare med maximala normen.
1 1 2 1N( ) N( )
1 2 2 1( ) N( )N
1 2 3 3 3 2( ) N( )N
11
Vi studerar ett exempel med Gaussiska heltal. Frågan är om 4 5i och 4 5i
är relativt prima i Z i och de är det om och endast om deras SGD är lika någon
av enheterna för Gaussiska heltalen.
4 5i
4 5i
4 5 9 40
4 5 41
i i
i
90,21
41
401
41
1 väljer vi genom att ta närmaste heltal och får då att 1 0 i i
1 1
14 5 (4 5 )i i i
1 1 (1 )i i
1
(4 5 )(1 ) 4 4 5 5 9
2 2 2
i i i i i
94
2
10
2
2 får vi precis som 1 genom att ta nästa heltal och får då att 2 4
1 1 2
24 5 (1 )( 4)i i
2 i (sista resten)
1
2
(1 ) (1 ) (1 )
1
i i i i
i i
3 1i
12
1 2 3 3
3(1 ) i( i 1)i
31 1i i
3 0
SGD i vilket medför att α, β är relativt prima i Z i .
2.6 Entydig faktorisering
Faktorisering i Z är då vi uttrycker ett tal som en produkt av flera faktorer.
Exempelvis kan talet 4 skrivas som 2 2 . Vi ska nu studera faktoriseringen av de
Gaussiska heltalen.
Genom entydig faktorisering kan vi studera hur Gaussiska heltal kan skrivas
som produkter av minimala faktorer. Detta medför att vi kan se vilka Gaussiska
heltal som kan och inte kan skrivas som produkter. Något som är värt att anmärka
är att vi alltid kan lägga till enheter i faktoriseringen av Gaussiska heltal eftersom
för varje z ∈ Z i så gäller 1z z och ( )z i i z .
Vi vet att ett Gaussiskt heltal z sägs vara ett primtal om vi bara kan skriva z
som en produkt av Gaussiska heltal eller använda enheterna i Z i och z som
faktorer. Om vi dessutom kan skriva z som en ändlig produkt av irreducibla
element i Z i har z en irreducibel faktorisering, en primtalsfaktorisering. Det
finns bevis att varje element i talringen Z i som är skiljt från 0 har en irreducibel
faktorisering. Dock är den irreducibla faktoriseringen inte entydig men det finns
minst en sådan av varje Gaussiskt heltal. Om vi låter p vara ett primtal i Z
kommer faktoriseringen i Z i att bestämmas av mod 4p
1. 22 (1 )(1 ) (1 )i i i i
2. Om p 1(mod4) så är p en produkt av två konjugater som inte
är enhets multiplar
3. Om 3(mod 4)p förblir p ett primtal i Z i
13
Vi kan studera talet 7+i för att visa hur de kan faktoriseras på olika sätt. En
trivial faktorisering av 7 i är (1 7 )i i och en icke trivial faktorisering av 7 i är
(1 2 )(1 3 )i i .
2.7 Modulär aritmetik
Moduloräkning är ett sätt att beräkna heltal på med hjälp av de vanliga
räknesätten. All moduloräkning utgår från att vi låter n ≥ 1 vara ett heltal. Sedan
definierar vi vad som menas när vi säger att a och b som båda är heltal är
kongruenta modulo n. Detta skriver vi a b (mod n) om ( )n a b .
Gaussiska heltal behandlas på samma sätt som de vanliga i Z genom
kongurensräkning som vi definierar genom delbarhet. Så för de gaussiska heltalen
α, β och γ skriver vi precis lika vi tidigare skrivit med heltal (mod ) då
( ) . Addition och multiplikation i kongruensen i Z i fungerar precis som
vanlig. Låt oss studera ett exempel med moduloräkning av Gaussiska heltal.
Beräkna 2(3 2 ) mod(4 )i i
2(3 2 ) 9 12 4 5 12i i i
5 12 (5 12 )(4 ) 32 43
4 17 17
i i i i
i
322
17
433
17
2 3i
5 12 (4 )(2 3 ) 2i i i i
14
2i
5 12 (4 )(2 3 ) 2i i i i
Vi kommer slutligen fram till att 2(3 2 ) 2 (mod(4 ))i i i
2.8 Irreducibelt tal
Ett irreducibelt tal är ett primtal. Ett heltal p i Z är ett primtal om p>1 och om de
enda positiva heltal som är delare till p är 1 och p. Ett primtal kan inte
faktoriseras, det kan inte skrivas som en produkt av andra tal förutom 1. Primtal
som 3, 7, 11 och 19 i Z känner vi redan till men vilka är de Gaussiska primtalen?
Vi ska nu studera primtalen i Z i med hjälp av tidigare resultat.
2.9 Gaussiska primtal
Om α är ett gaussiskt heltal med normen större än 1 sägs α vara ett
sammansatt tal om α har icke triviala faktorer. De triviala faktorerna är enheterna
till de gaussiska heltalen, ±1 och ±i. Om α endast innehåller triviala faktorer sägs
α vara ett primtal. Ett heltal som inte är sammansatt i Z i förblir då primtal även
i Z. Exempel på tal som inte är sammansatta är heltal som 3, 7, 11, och 19. Det
kan påpekas att tal som inte är sammansatta i Z kan bli sammansatta i Z i , ett
exempel är 2 som sönderfaller i (1 )(1 )i i .
Om Z i och dess norm ( )N är ett primtal så är α även ett primtal i
Z i . Detta kan vi bevisa genom att visa att om α är sammansatt i Z i så är
( )N sammansatt i Z. Vi antar att α är ett sammansatt tal, . Då blir
normen ( ) N( ) N( )N . Men ( )N och ( )N är båda större än 1 så ( )N
är sammansatt. Exempelvis om α= 4+5i så blir (4 5 ) 41N i och 41 är ett
primtal i Z vilket medför att 4 5i är ett primtal i Z i . Detta resulterar även i att
konjugatet 4-5i är ett primtal i Z i . Ett Gaussiskt heltal och dess konjugat är
15
Gaussiska primtal, detta gäller eftersom normen för talet och konjugatet är
detsamma.
Omvändningen gäller inte vilket vi kan se om α=3 så blir (3) 9N och 9 är
inte ett primtal i Z. Normen 9 medför att en icke-trivial faktor måste ha normen 3,
men det finns inte något Gaussiskt heltal med normen 3 eftersom 2 2 3a b
saknar heltalslösning. Ett tal kan alltså ha en sammansatt norm även om talet är ett
primtal.
2.9.1 Vilka vanliga primtal är även Gaussiska primtal?
Vi har nu introducerat de Gaussiska primtalen och studerat normens betydelse för
primtalen. Nu ska vi försöka att undersöka vilka vanliga primtal som även är
Gaussiska primtal. Till att börja med studerar vi konjugater och vad de har för
betydelse för primtalen.
Låt p N vara ett primtal. Då är p ett primtal i Z i om och endast om p
inte är en summa av två kvadrater. Detta kan vi bevisa, vi antar att p är summan
av två kvadrater, dvs. 2 2 ( )( )p a b a bi a bi Då p inte är en kvadrat måste
a≠0 och b≠0 eftersom varken a+bi eller a-bi är enheter. Detta medför att
( )( )a bi a bi är en icke trivial faktorisering av p och p är då inte ett primtal i
Z i .
Omvändningen till detta bevisas genom att använda normen för p. Vi antar att
p inte är ett primtal i Z i och får då att p är ett sammansatt tal, p där
, Z i . Ingen av dessa är enheter eller har normen 1 men då får vi att
2( ) ( ) (p)N N N p . Så 2( )N p men både ( )N och ( )N är lika med p
eftersom p är ett primtal i Z. Om vi sätter a bi ger ( )N p att
2 2p a b vilket skulle visas.
Vi antar att p N är ett primtal i Z och att p inte är ett primtal i Z i dvs.
p där α, β inte är enheter i Z i . Vi ska nu visa att .
2( ) ( )N N p
( ) ( )N N p
16
Primtal i Z
Reella primtal i Icke-reellt primtal i
2 2 ( )( )p a b a bi a bi
( )p a bi
Om p N är ett primtal i Z och 2 2p a b så är a bi och a bi
primtal i Z i vilket vi kan se av tidigare exempel.
Det vi har studerat nu visar att det finns ett samband mellan teorin för
Gaussiska primtal och det talteoretiska problemet om vilka heltal som kan skrivas
som en summa av två kvadrater. Detta är ett klassiskt problem inom talteorin som
går tillbaka till Fermat. Fermats sats säger att om vi låter p vara ett primtal så är
2 2p a b för något ,a b Z om och endast om 2p eller 1(mod 4)p . Detta
kommer från Lagranges hjälpsats om ett primtal 4 1p n kan divideras med
2 1m för något m Z .
Exempelvis är 5 inte ett primtal enligt Fermats sats eftersom 5 kan skrivas som
en summa av två kvadrater 2 25 2 1 eftersom 5 1(mod 4) .
2.9.2 Samband och konsekvenser i talteori
Vi har nu studerat Gaussiska primtal på flera olika sätt. Vi har sett att det finns
flera centrala sätt för att studera vilka vanliga primtal som även är Gaussiska
primtal. Genom flera beräkningar har vi kunnat konstatera att vissa av våra
vanliga primtal inte är Gaussiska primtal. Det finns olika former av Gaussiska
primtal som är reella eller icke-reella. Vi förtydligar detta med en bild som visar
hur primtalen fördelar sig:
Ett primtal p i Z på formen 4 1p n vet vi är summan av två kvadrater
2 2p a b enligt Fermats bevis. Utifrån detta kan vi då utesluta dessa från de
reella primtalen på den formen eftersom vi vet att ett reellt Gaussiskt primtal inte
kan vara summan av två kvadrater. Vi vet att ett primtal p i Z som är summan av
17
två kvadrater är inte ett Gaussiska primtal men dess faktorer är icke-reella
Gaussiska primtal.
För att tydliggöra detta och kvalificera dessa kan vi utgå från nedanstående
villkor för att bestämma vilka vanliga primtal som även är Gaussiska primtal:
(Dessa villkor gäller för alla Gaussiska primtal, både reella och icke-reella.)
Ett Gaussiskt heltal a + bi är ett Gaussiskt primtal om och endast om något av
dessa nedanstående två villkor är uppfyllda.
Antingen är a eller b lika med noll och den andra är ett primtal på
formen 4n + 3, där n är ett positivt heltal
Både a och b är skilda från noll där 2 2p a b är ett primtal som inte
är på formen 4n + 3
Moduloräkning kan även vara till hjälp för att studera om ett tal är sammansatt
och därmed inte ett primtal. Om ett primtal α uppfyller villkoret 3(mod 4)
förblir ett primtal i Z i då är inte α inte ett sammansatt tal och förblir då ett
primtal. Vilket gör att vi slutligen kommer fram till att alla Gaussiska primtal är
enhetsmultiplar av följande primtal
1 i
eller där ( )N p , där p är ett primtal i Z som även är
kongruent med 1(mod 4)
p, där p är ett primtal i Z som även är kongruent med 3 (mod4)
18
Målet var att studera vilka av de vanliga primtalen i Z som även är primtal i Z i . I tabellen
nedan visas primtal i Z mellan heltalen 1 och 50.
Primtal i
Z
Sammansatta
tal 4n+3 4n+1
Reella primtal
i Z i
Exempel på icke-reella
primtal i Z i
2 2 21 1 1 i
3 4 0 3 3
5 2 22 1 4 1 1 1 2i
7 4 1 3 7
11 4 2 3 11
13 2 23 2 4 3 1 3 2i
17 2 24 1 4 4 1 4 i
19 4 4 3 19
23 4 5 3 23
29 2 25 2 4 7 1 5 2i
31 4 7 3 31
37 2 26 1 4 9 1 6 i
41 2 25 4 4 10 1 5 4i
43 4 10 3 43
47 4 11 3 47
Vi kan tydligt se att det finns primtal i Z som inte består i Z i . Primtal i Z
som kan skrivas som summan av två kvadrater eller på formen 4n+1 motsvaras av
icke-reella tal i Z i . Primtalet 13 i Z motsvaras till exempel av primtalet 3 2i i
Z i . Primtal i Z av typen 4n+3 ger samma primtal i Z i multiplicerat med
någon av Gaussiska enheterna.
19
2.10 Olösta problem
Gauss lämnade en hel del olösta problem när de gäller Gaussiska heltal. De flesta
problemen är relaterade till fördelningen i planet för Gaussiska primtalen. Gauss
cirkelproblem och vallgravsproblem är två problem som är olösta än idag.
2.10.1 Gauss cirkelproblem
Gauss cirkel problem behandlar inte de gaussiska heltalen i sig utan tar istället
upp antalet gitterpunkter inuti en cirkel med en given radie centrerad i origo. Detta
är samma sak som att bestämma antalet gaussiska heltal med normen mindre än
eller lika med ett givet värde. Om vi har en cirkel i planet i origo och en radie som
är större än ett vill vi veta hur många punkter det finns inuti denna cirkel på
formen (m, n) där m och n är heltal. Cirkelns ekvation ges i kartesiska koordinater
på formen 2 2 2x y r och detta gör att frågan hur många par av heltal m och n
finns det sådan att 2 2 2m n r . Eftersom en kvadrat med sida ett i allmänhet
innehåller en gitterpunkt, och en cirkel med radie r har area 2r så antar man att
antalet ( )N r Gaussiska heltal på och inom denna cirkel har formen
2( ) ( )N r r E r men en ”felterm” ( )E r . Gauss visade att ( ) 2 2E r r och
man förmodar, men har ännu inte bevisat att ( )E r har storleksordningen 1/2Ar
.
2.10.2 Gauss vallgravsproblem
Att gå till oändligheten med hjälp av Gaussiska primtalen som språngbrädor och
vidta åtgärder med begränsad längd är ett olöst problem som många under lång tid
försökt att bevisa. Det är bevisat att det inte går att genomföra med hjälp av de
vanliga primtalen men kvarstår olöst med hjälp av Gaussiska primtalen eftersom
problemet blir alltför komplext.
Det klassiska resultatet att det finns godtyckligt stora luckor av primtal har ett
enkelt bevis att det finns följder av heltal av längd k, som inte innehåller några
20
primtal, visas av följden ( 1)! 2,( 1)! 3,...( 1)! ( 1)k k k k . Problemet blir
mycket svårare och med komplext på grund av att vi måste studera ännu en
dimension. En person som ofta upprepas i detta problem är Paul Erdös även om
Basil Gordon 1962 var den första att studera problemet. Erdös är en av de få som
skrivit om Gauss vallgravs problem som gissade att de existerar en promenad till
oändligheten.
21
3 Konklusion
Gaussiska heltal är en utvidgning av vanliga heltal i det komplexa talplanet. Vid
beräkningar med Gaussiska heltal används likande tillvägagångssätt som för
vanliga heltal. Gaussiska heltal kräver fyra enheter till skillnad från två enheter
som krävs vid vanliga heltal. Normen ger värdefull information om Gaussiska
heltal och är dessutom nödvändig vid många beräkningar. Gaussiska primtal
skiljer sig från vanliga primtal. Det visar sig att vissa vanliga primtal inte är
Gaussiska primtal eftersom de kan faktoriseras i komplexa faktorer. Gaussiska
heltal utvecklar och ger nya synsätt på talteorin för vanliga heltal. Ett problem är
dock att teorierna blir mer komplexa och svårare att hantera eftersom flera
dimensioner måste beaktas.
22
4 Referenser
Björk, Lars-Eric, Brolin, Hans, Eliasson, Lennart och Ljungström, Lars-Fredrik. 1980.
Matematik – Gymnasieskolans treåriga linje. Stockholm: Natur och Kultur
Conrad, Keith, The Gaussian integers
Engblom, Andreas och Sola, Alan. 2008. Talteori. Stockholm: KTHs Matematiska Cirkel,
Institutionen för matematik
Gethner, Ellen, Wagon, Stan och Wick Brian. 1998. A Stroll Through the Gaussian Primes.
Katz, Victor J. 2009. A History of Mathematics. 3rd
Edition.
Upper Saddle River, New Jersey: Pearson
Keijo, Hildén. Några valda ämnen I algebra och talteori.
Linköping: Linköpings universitet
Kiselman, Christer. Gaussiska primtal.
Uppsala:Institutionen Mittag-Leffler & Uppsala universitet
Nagell, Trygve. 1984. Lärobok i algebra. Almquist & Wiksells Akademiska Handböcker.
Uppsala: Hugo cebers förlag.
Rosen, Kenneth H. 2011. Elementary Number Theory
Monmouth University: Pearson
Thompson, Jan - under medverkan av Martinsson, Thomas. 1991. Matematiskt lexikon.
Stockholm: Wahlström & Widstrand
Thompson, Jan. 1996. Matematiken i historien. Uppl 1:15.
Lund: Studentlitteratur AB
Vretblad, Anders och Ekstig, Kerstin. 2006. Algebra och geometri. 2. Uppl.
Malmö: Gleerups Utbildning AB