Máquina de Turing e Computabilidade

•Máquinas de Turing são os autôma-tos mais potentes que estudaremos. •Elas podem computar qualquer fun-ção computável;•Há até quem acredite que tudo que é efetivamente computável é computá-vel por uma MT.

Outras noções de computabilidade

- cálculo (Church 1933);• Funções - recusivas (Gödel 1936);• Combinadores lógicos (Schönfinkel

1924, Curry 1929);• Sistema de Post (Post 1943);• Máquiinas de Turing (Turing 1936-7).

Tese de Church-Turing Todos os sistemas acima captam a

noção de computável.

SIMULAÇÃO UNIVERSAL OU PROGRAMAS COMO DADOS.

Máquina de Turing (Descrição Informal)

├ a b b a b a ■ ■ ■

Q

ambos sentidos, lê/escreve

■ ...

Máquina de Turing:•conjunto finito de estados Q;•uma fita semi-infinita, isto é, ela é delimitada à esquerda pelo símbolo ├ e infinita a direita;•o cabeçote da fita pode se mover para a direita e para esquerda da fita e pode escrever símbolos sobre a fita;•a entrada da fita é de tamanho finito e inicialmente está logo após o ├ (à direita);•as infinitas células a direita da cadeia de entrada todas também contém o símbolo especial nulo ■;

•funcionamento começa no estado inicial S e o cabeçote sobre ├;•a cada passo a MT lê o símbolo sobre o ca-beçote, e dependendo deste símbolo e do estado corrente, escreve um novo símbolo nesta célula, move o cabeçote para a direita ou para a esquerda e entra num novo estado (função de transição );•a MT aceita a cadeia de entrada indo para um estado especial t e rejeita indo para um estado especial r;•para algumas cadeias de entrada a MT pode funcionar infinitamente sem nunca aceitá-la ou rejeitá-la.

Uma Máquina de Turing é uma 9-tupla M = (Q,,,■,├,,s,t,r) onde:•Q é o conjunto finito de estados; é o alfabeto de entrada (finito); é o alfabeto da fita contendo como um subconjunto (finito)•u \ , símbolo nulo;

•├ \ , delimitador à esquerda: Qx Qxx{L,R}, função de transição•sQ, estado inicial•tQ, estado de aceitação•rQ, estado de rejeição

Restrições: • Nunca escrever sobre├ e nunca se

mover para fora da fita à esquerda. – Para todo pQ existe um qQ tal que (p,├)

= (q,├,R)

• Uma vez que a TM entra no estado de aceitação/rejeição ela nunca sai. – Para todo b existe c,c’ e d,d’{L,R}

tal que (t,b) = (t,c,d) (r,b) = (r,c’,d’)

EXEMPLO: MT que aceita { anbncn / n 0}.Informalmente: •A MTcomeça no estado inicial S, varre a entrada a direita, checando se é da forma a*b*c*. •Ela não escreve no seu caminho (formalmente ela escreve o que leu).•Até encontrar o primeiro ■, daí troca este símbolo por um delimitador à direita .

•Agora a MT varre a fita a esquerda apagando o primeiro c que encontra, então o primeiro b e também o primeiro a. •A MT varre a direita apagando um a, um b, e um c. •A MT continua indo da direita para esquerda (e vice-versa) apagando uma ocorrência de cada letra a cada passo.

• Se em algum passo ela encontra uma ocorrência de um símbolo e nenhuma de outra, ela rejeita a cadeia.

• Senão, ela vai apagar todas as letras e no passo final terá somente nulos entre├ e , neste ponto a MT aceita a cadeia.

Formalmente: Q={s,q1,…,q10,t,r} ={a,b,c} ={,■,}

Função de transição: ├ a b c ■ S (S,├,R) (S,a,R) (q1,b,R) (r, _ , _ ) (q3,,L) _

q1 _ (r, _ , _ ) (q1,b,R) (q2,c,R) (r, _ , _ ) _

q2 _ (r, _ , _ ) (r, _ , _ ) (q2,c,R) (q3,,L) _

q3 (t, _ , _ ) (r, _ , _ ) (r, _ , _ ) (q4,■, L) (q3,■,L) _

q4 (r, _ , _ ) (r, _ , _ ) (q5,■,L) (q4,c,L) (q4,■,L ) _

q5 (r, _ , _ ) (q6,■,L) (q5,b,L) _ (q5,■,L) _

q6 (q7,├,R) (q6,a,L) _ _ (q6,■,L) _

q7 _ (q8,■,R) (r, _ , _ ) (r, _ ,_ ) (q7,■,R) (t, _ _ )

q8 _ (q8,a,R) (q9,■,R) (r, _ , _ ) (q8,■,R) (r, _ , _ )

q9 _ _ (q9,b,R) (q10,■,R) (q9,■,R) (r , _, _ )

q10 _ _ _ (q10,c,R) (q10,■,R) (q3,,L)

•Configuração inicial (S,├ x■,o)•■ representa um número infinito de ■’s•0 significa que a máquina está varrendo o delimitador ├•Uma MT aceita uma cadeia de entrada x* se (S,├ x■,0) * (t,y,n) para algum y e n e •rejeita se (S,├ x■,0)*(r,y,n) para algum y e n.•M pára para uma entrada x se ela aceita x ou rejeita x. M pode ficar rodando infinita-mente com a entrada x. •O conjunto L(M) representa o conjunto de todas as cadeias aceitas por M.

• Um conjunto de cadeias é Recursiva-mente Enumerável (RE) se é L(M) para alguma máquina de Turing M, e

• Recursivo se é L(M) para alguma má-quina de Turing M que pára em todas as entradas.

Máquinas de Turing com múltiplas fitas •Fitas extras não adicionam poder computacional

├

a a b b b a ■■■

├ b b a b b a a ■■

├ a b b a b a a ■■

Q

...

...

...

•Uma MT com 3 fitas é similar a MT com uma fita exceto que a de 3 fitas tem as 3 fitas e 3 cabeçotes de leitura. •Em cada passo a máquina lê os três símbolos sobre seus cabeçotes, e baseada nesta informação e no estado corrente, ela imprime um símbolo em cada fita, move os cabeçotes (eles não precisam se mover na mesma direção) e entra num novo estado.

• A função de transição é do tipo : Q x 3 Q x 3 x {L,R}3

• Chamemos a MT com 3 fitas de M. Podemos construir uma máquina de Turing com uma fita N que simula M (EXERCÏCIO).

•Máquinas de Turing infinita dos dois lados.•Infinitude para ambos os lados não adiciona poder computacional.

a b a a b a a b b a a ......

quebre aquia b b a a

a b a a b ├

...

...

• Podemos quebrar a fita original em qualquer lugar e simular a MT em uma outra MT infinita só a direita com duas fitas.

• A fita de cima é usada para simu-lar a MT original quando seu cabeçote está a direita da quebra, e a trilha de cima é usada para simular a MT original quando seu cabeçote está a esquerda da quebra, movendo-se na direção oposta.

EXERCÍCIOS1. Construir uma gramática livre de contexto para a linguagem formada pelo conjunto de cadeias sobre {a,b} que não são Palindromes. Mostre que sua gramática está correta.

2. Construa uma gramática na forma Normal de Chomsky para o conjunto não vazio de cadeias com o número balanceado de parênteses ( ) e colchetes [ ].

3. Descreva a MT N com uma fita que simula M com três fitas (veja notas de aula).

Gramáticas Tipo 0 ( Sem Restrição)

G = (V,T,P ,S) onde as produções de P tem a forma com e sendo cadeias arbitrárias de símbolos da gramática e .

quando P. L(G) = {W| W T* e S * W}

EXEMPLO: A gramática geradora de {ai |i é uma potência positiva de 2}

1)SACaB 2)CaaaC 3)CBDB 4)CBE5)aDDa 6)ADAC

7)aEEa 8)AE

• A e B são delimitadores a direita e a esquerda das formas sentenciais.

•C é um marcador que se move entre A e B duplicando o número de a’s pela produção 2.•Quando C alcança o delimitador a direita B ele se transforma em D ou E pelas produções 3 ou 4.•Se D é escolhido ele migra pela produção S até chegar ao delimita-dor A.

• Neste ponto D se transforma em C pela produção 6 e o processo co-meça novamente.

Se E é escolhido, o delimitador a di-reita é consumido. E migra para a esquerda pela produção 7 e conso-me o delimitador a esquerda, resul-tando em uma cadeia de 2i a’s para i > 0.

Equivalência entre Gramáticas Tipo 0

e Máquinas de Turing

TEOREMA: Se L é L(G) para uma gramática tipo 0 G=(V,T,P ,S), então L é uma linguagem recursivamente enumerável.

PROVA: •Construiremos uma máquina de Turing não-determinística com duas fitas M para reconhecer L. •A primeira fita é uma fita de entra-da, onde a cadeia W será colocada. •A segunda fita é usada para armaze-nar a forma sentencial de G. M inicializa com S. Então M repeti-damente faz:

1)seleciona, não deterministicamente, uma posição i em , 1 i | |. Isto é, começa na esquerda e repetidamente se move para direita ou seleciona a posição atual.

2)seleciona aleatoriamente uma produ-ção de G.

3)se aparece começando na posição i de , troque por nesta posição (shifting over).

4)compare a forma sentencial resultante com W na fita 1. Se a forma sentencial for igual a W, aceita w como uma sen-tença de G. Senão volta para o passo 1.

Obs: Todas e somente as formas sentenciais de G aparecem na fita 2 quando o passo 2 é executado depois de algumas escolhas.

• L(M) = L(G) = L então L é recursivamente enumerável.

q.e.d.

TEOREMA: Se L é uma linguagem recursivamente enumerável, então L = L(G) para alguma gramática tipo 0 G.

• a prova é mais elaborada e é omitida

Linguagens Sensíveis ao Contexto

G = (V,T,P,S) onde as produções em P tem a forma com e sendo ca-deias arbitrárias de símbolos da gra-mática, e tem que ser pelo menos tão grande (longo) quanto . •O nome sensível ao contexto vem da forma normal para estas gramáticas onde cada produção tem a forma

1A2 12 com .

Isto é, a variável A pode ser substi-tuída pela cadeia somente no contexto 1 _ 2.

Obs: Quase todas as linguagens que trabalhamos são sensíveis ao con-texto. As únicas provas que certas linguagens não são sensíveis ao contexto são baseadas em diago-nalização.

Autômatos Linearmente Limitados (ALL)

Um ALL é uma máquina de Turing não determinística satisfazendo as seguintes condições:1)o alfabeto de entrada inclui dois símbolos especiais ¢ e s, delimita-dores a esquerda e a direita.2)o ALL não pode se mover a esquer-da de ¢ e a direita de s, nem pode trocar os símbolos ¢ e s na fita.

Obs: Um ALL é uma MT que,ao invés de ter uma fita potencial-mente infinita para computar, tem somente uma porção da fita contendo o símbolo x mais duas células contendo os delimitado-res.

Existe uma equivalência entre ALL e gramáticas sensíveis ao contexto.

HIERARQUIA DE CHOMSKY

TEOREMA: (a) os conjuntos regulares estão conti-dos propriamente nas linguagens livres de contexto. (b) LLC não contendo a palavra vazia estão contidas propriamente nas LSC. (c) LSC estão propriamente contidas nos conjuntos recursivamente enume-ráveis.