Marching Cubes von Arnfried Weber. Überblick Motivation Marching Cubes Algorithmus Topologisch korrekter MC Extended MC

Marching Cubes

vonArnfried Weber

Überblick

• Motivation• Marching Cubes Algorithmus• Topologisch korrekter MC• Extended MC

Motivation

• Marching Cubes (Wofür?)

Motivation

• Marching Cubes (Wofür?)– Visualisierungstechniken (1987) waren

entweder ineffizient oder zu ungenau

Motivation

• Marching Cubes (Wofür?)– Visualisierungstechniken (1987) waren

entweder ineffizient oder zu ungenau– Technik zum extrahieren einer Oberfläche aus

medizinischen 3D-Daten musste gefunden werden

Marching Squares(2D)- Ni x Nj Dichteraster

- Objekt liegt im Raster



- jeder Punkt besitzt einen gemessenen Dichtewert F(i,j) = [0,0…1,0]



- jeder Punkt besitzt einen gemessenen Dichtewert F(i,j) = [0,0…1,0]

- Approximation des Linienzuges mit Dichtewert 0,5 := Isowert α

Marching Squares(2D)Vorgehen

- Punkte mit größerer Dichte als Isowert werden markiert F(i,j) >= Isowert

















Marching Squares(2D)- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Markierungen eines Quadrates?


- 2^4 = 16 , denn es gibt 4 Punkte mit je 2 Zuständen



- Reduktion der Konfigurationen auf 8 durch Komplementbildung













- Reduktion der Konfigurationen auf 4 durch Rotationssymmetrie

















Marching Squares(2D)- Tabelle erstellen in der alle möglichen Konfigurationen gespeichert sind


- Nun erstellt man sich für ein Quadrat einen 4-Bit Vektor [v3,v2,v1,v0] mit v0,v1,v2,v3 € [0,1], der als Binärzahl aufgefasst einen Index zwischen 0 und 15 liefert, wobei markierte Punkte gleich 1, unmarkierte gleich 0 gesetzt werden


- Nun erstellt man sich für ein Quadrat einen 4-Bit Vektor [v3,v2,v1,v0] mit v0,v1,v2,v3 € [0,1], der als Binärzahl aufgefasst einen Index zwischen 0 und 15 liefert, wobei markierte Punkte gleich 1, unmarkierte gleich 0 gesetzt werden

- anhand dieses Index kann nun aus der Tabelle ermittelt werden welche Kanten e0,e1,e2,e3 geschnitten werden


- nehme erstes Quadrat- errechne Index für dieses- siehe in der Tabelle nach welche Schnitte auftreten- interpoliere entlang der Schnittkanten um die genauen Schnittpunkte zu errechnen- verbinde die Schnittpunkte



- fahre mit nächstem Quadrat fort (marschiere)



- fahre mit nächstem Quadrat fort (marschiere)

- usw.

Marching Cubes(3D)- 3-Dimensionales Raster Ni x Nj x Nk mit gemessenem Dichtewert an jedem Punkt F(i,j,k) = [0,0…1,0]

Marching Cubes(3D)- 3-Dimensionales Raster Ni x Nj x Nk mit gemessenem Dichtewert an jedem Punkt F(i,j,k) = [0,0…1,0]

- Statt Quadraten werden Würfel(Cubes) benutzt

Marching Cubes(3D)-Tabelle der verschiedenen Würfelkonfigurationen muss erstellt werden


- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Markierungen eines Würfels ?



- 2^8 = 256 , da es 8 Punkte mit je 2 Zuständen gibt




- durch Komplementbildung noch 128 verschiedene Konfigurationen





- durch Rotationssymmetrie kann man die Zahl der Konfigurationen auf 15 reduzieren

-Tabelle der verschiedenen Würfelkonfigurationen muss erstellt werden




- durch Rotationssymmetrie kann man die Zahl der Konfigurationen auf 15 reduzieren

Marching Cubes(3D)- auch hier wird der Tabellen-Index über die Markierungen des Würfels als Binärzahl aufgefasst dargestellt


- die Tabelle liefert daraufhin die Kanten e1,…,e12 die geschnitten werden


- die Tabelle liefert daraufhin die Kanten e1,…,e12 die geschnitten werden- nun interpoliert man entlang der gelieferten Strecken die Schnittpunkte und verbindet diese zu Dreiecken wie in der Tabelle beschrieben


- die Tabelle liefert daraufhin die Kanten e1,…,e12 die geschnitten werden- nun interpoliert man entlang der gelieferten Strecken die Schnittpunkte und verbindet diese zu Dreiecken wie in der Tabelle beschrieben- nun „marschiert“ man zum nächsten Würfel und wiederholt den Vorgang

Marching Cubes(3D)- Nachdem man alle Würfel des Rasters bearbeitet hat erhält man ein Drahtgittermodell, das die Isofläche mit Isowert α approximiert


- als letztes werden nun noch die Normalen für jeden Dreiecks-Eckpunkt zur besseren Darstellung des Modells berechnet



- hierfür wird an allen Ecken des Würfels, der gerade betrachtet wird, der Gradient über die Differenz von zwei Dichtewerten entlang der drei Koordinatenachsen x,y,z, die den aktuell betrachteten Punkt F(i,j,k) einschließen, berechnet

Marching Cubes(3D)- Nachdem man alle Würfel des Rasters bearbeitet hat erhält man ein Drahtgittermodell das die Isofläche mit Isowert α approximiert



G:x(i,j,k) = (F(i+1,j,k) - F(i-1,j,k)) / ∆x wobei F(i,j,k) den Dichtewert des G:y(i,j,k) = (F(i,j+1,k) - F(i,j-1,k)) / ∆y Punktes mit Koordinaten i,j,k G:z(i,j,k) = (F(i,j,k+1) - F(i,j,k-1)) / ∆z repräsentiert und ∆x, ∆y, ∆z die Länge

der Würfelkante entlang der jeweiligen Achse

Marching Cubes(3D)- Nachdem man alle Würfel des Rasters bearbeitet hat erhält man ein Drahtgittermodell das die Isofläche mit Isowert α approximiert



G:x(i,j,k) = (F(i+1,j,k) - F(i-1,j,k)) / ∆x wobei F(i,j,k) den Dichtewert des G:y(i,j,k) = (F(i,j+1,k) - F(i,j-1,k)) / ∆y Punktes mit Koordinaten i,j,k G:z(i,j,k) = (F(i,j,k+1) - F(i,j,k-1)) / ∆z repräsentiert und ∆x, ∆y, ∆z die Länge

der Würfelkante entlang der jeweiligen Achse

- nun muss nur noch dIe Normale an jedem Schnittpunkt interpoliert und normalisiert werden

Topologisch korrekter MC- da bei der Bearbeitung eines Cubes seine Nachbarn nicht mit einbezogen werden, können topologische Inkonsistenzen (Löcher) im approximierten Drahtgittermodell des MC Algorithmuses auftreten

Topologisch korrekter MC- da bei der Bearbeitung eines Cubes seine Nachbarn nicht mit einbezogen werden, können topologische Inkonsistenzen (Löcher) im approximierten Drahtgittermodell des MC Algorithmuses auftreten

- bei diesem Beispiel entsteht ein Loch durch die Kombination des Würfels mit Konfiguration 6 und dem Würfel mit Komplement und 90° gedrehter Konfiguration 3

Topologisch korrekter MC- für dieses Beispiel gibt es zwei Möglichkeiten wie die Würfel aussehen müssten um zusammenzupassen


- im oberen Beispiel wurden die Schnittpunktverbindungen der Konfiguration 6 verändert

- im unteren Beispiel die von der Konfiguration 3


- im oberen Beispiel wurden die Schnittpunktverbindungen der Konfiguration 6 verändert

- im unteren Beispiel die von der Konfiguration 3

Topologisch korrekter MC- diese gemeinsame Fläche besteht aus zwei diagonal gegenüberliegenden markierten Punkten und ist mehrdeutig, was die Verbindung der Schnittpunkte der Kanten angeht


- die zwei möglichen Begebenheiten für diese Fläche könnten wie folgt aussehen







- durch bilineare Interpolation entlang der Fläche ist es nun möglich den Dichtewert am Schnittpunkt der Asymptoten der Hyperbelähnlichen Funktion mit dem Isowert zu vergleichen




- wenn F(s,t) < α, dann liegt der linke Fall vor

- wenn F(s,t) >= α, dann liegt der rechte Fall vor




- im linken Fall sind die markierten Punkte auf der Fläche getrennt

- im rechten Fall sind die markierten Punkte auf der Fläche verbunden

Topologisch korrekter MC- nach dieser Feststellung muss nun die Tabelle der Konfigurationen angepasst werden

- es sind zwar alle Konfigurationen an Markierungen in der Tabelle enthalten, jedoch gibt es Konfigurationen die mehrdeutige Flächen aufweisen



- aus diesem Grund müssen diese Konfigurationen in mehrere Unterfälle gegliedert werden um die 2 Möglichkeiten pro mehrdeutiger Fläche abzudecken




- am Algorithmus selbst ändert sich nicht viel, man muss lediglich bei jeder Konfiguration die mehrdeutige Flächen aufweist, genau diese Flächen wie gezeigt testen und daran den Unterfall der Konfiguration bestimmen




- am Algorithmus selbst ändert sich nicht viel, man muss lediglich bei jeder Konfiguration die mehrdeutige Flächen aufweist, genau diese Flächen wie gezeigt testen und daran den Unterfall der Konfiguration bestimmen

- die Konfigurationen, die mehrdeutige Flächen aufweisen, sind 3,6,7,10,12 und 13

Topologisch korrekter MC- diese müssen nun wie folgt erweitert werden

- Konfiguration 3 hat eine mehrdeutige Fläche und daher 2 verschiedene Möglichkeiten der Schnittpunktverbindungen



- Konfiguration 6 hat ebenfalls eine mehrdeutige Fläche und daher auch 2 Möglichkeiten



- Konfiguration 6 hat ebenfalls eine mehrdeutige Fläche und daher auch 2 Möglichkeiten

- Konfiguration 7 hat 3 mehrdeutige Flächen und daher eigentlich 2^3 = 8 verschiedene Möglichkeiten, jedoch können auch hier durch Rotationssymmetrie einige Fälle weggelassen werden

Topologisch korrekter MC-Konfiguration 10 hat 2 mehrdeutige Flächen und daher 4 verschiedene Möglichkeiten der Schnittpunktverbindungen

Topologisch korrekter MC-Konfiguration 10 hat 2 mehrdeutige Flächen und daher 4 verschiedene Möglichkeiten der Schnittpunktverbindungen

- Konfiguration 12 hat ebenfalls 2 mehrdeutige Flächen und daher auch 4 Möglichkeiten

Topologisch korrekter MC- bei Konfiguration 13 sind alle Flächen mehrdeutig und daher gibt es theoretisch 2^6 = 64 verschiedene Möglichkeiten, jedoch können auch hier durch Rotationssymmetrie einige Fälle weggelassen werden, so dass nur noch 9 übrigbleiben

Topologisch korrekter MC- Cubes können nicht nur mehrdeutig auf einer Fläche sein, sondern auch mehrdeutig im Würfel selbst sein


- dieser Fall kann auftreten, wenn zwei markierte Punkte sich im Cube diagonal gegenüberliegen, wie es zum Beispiel bei Konfiguration 4 der Fall ist


- dieser Fall kann auftreten, wenn zwei markierte Punkte sich im Cube diagonal gegenüberliegen, wie es zum Beispiel bei Konfiguration 4 der Fall ist

- auch in diesem Fall kann man nicht direkt sehen ob die markierten Punkte im Cube verbunden oder getrennt sind

- um diese Tatsache zu entscheiden gibt es zwei verschieden Möglichkeiten

Topologisch korrekter MC- die zwei Möglichkeiten wie die Isofläche den Cube schneidet, können wie folgt aussehen

Topologisch korrekter MC- die zwei Möglichkeiten wie die Isofläche den Cube schneidet, können wie folgt aussehen

- bei der ersten Methode zum Entscheiden der internen Mehrdeutigkeit betrachtet man sich den Cube von oben und sieht sozusagen die Projektion der Isofläche

Topologisch korrekter MC- die zwei Möglichkeiten wie die Isofläche den Cube schneiden können wie folgt aussehen

-bei der ersten Methode zum Entscheiden der internen Mehrdeutigkeit betrachtet man sich den Cube von oben und sieht sozusagen die Projektion der Isofläche

- im ersten Fall erkennt man, dass keine Verbindung zwischen den markierten Punkten besteht

- im zweiten Fall sieht man, dass ein Schnitt der beiden Hyperbelähnlichen Funktionen vorliegt, und deshalb die Punkte im Cube verbunden sind

Topologisch korrekter MC- die zweite Methode die interne Mehrdeutigkeit zu lösen geht über die trilineare Interpolation über den Cube


- man nehme den Cube und unterteile ihn in verschiedene Ebenen







- Annahme: die Punkte A0 und C1 sind im Cube verbunden




also muss eine Ebene im Cube existieren auf der die beiden Punkte verbunden sind




also muss eine Ebene im Cube existieren auf den die beiden Punkte verbunden sind

- auf dieser Ebene kann nun wie schon bei den mehrdeutigen Flächen durch bilineare Interpolation der Dichtewerte geprüft werden, ob die Punkte im Cube verbunden oder getrennt sind

Topologisch korrekter MC- auch in diesem Fall der Mehrdeutigkeit müssen die Konfigurationen in der Tabelle, die solch eine interne Mehrdeutigkeit aufweisen in mehrere Unterfälle gegliedert werden, dabei entstehen insgesamt 33 verschiedene Konfigurationen, daher auch der Name „Marching Cubes 33“ der genau diesen Algorithmus mit den beiden Lösungen für die interne Mehrdeutigkeit beschreibt.

Topologisch korrekter MC

Extended MC- ein weiteres Problem des MC Algorithmus ist, dass er keine Kanten und Ecken erkennt und diese abschneidet


- das liegt daran, dass der Algorithmus die Schnittpunkte auf den Würfelkanten mit Strecken verbindet





- in diesem Fall liegt ein skalares Distanzraster vor, dass die selben Ergebnisse erzielt wie ein Dichteraster

Extended MC- zur ersten Verbesserung der Kantenerkennung wir ein gerichtetes skalares Distanzraster erstellt


- mit diesem Raster als Grundlage kann man erkennen, dass nun entlang jeder der drei Koordinatenachsen der richtige Schnittpunkt errechnet wird


- zum Vergleich: - links, der Originaldatensatz- in der Mitte, MC mit skalarem Distanzfeld- rechts, MC mit gerichtetem skalarem Distanzfeld

Extended MC

Extended MC

- zur weiteren Verbesserung ist ein neuer Punkt nötig, der nicht auf einer Kante liegt, sondern im Quadrat

Extended MC

- zur weiteren Verbesserung ist ein neuer Punkt nötig, der nicht auf einer Kante liegt, sondern im Quadrat

- hierfür werden die Tangentialgeraden der Fläche, gegeben durch die Normalen, die an den Schnittpunkten anliegen, geschnitten um die Ecke durch einen neuen Punkt zu approximieren

Extended MC- um nun zu entscheiden, ob eine solche Ecke vorhanden ist, wird der Winkel betrachtet, den die an den Schnittpunkten anliegenden Normalen aufspannen

- es hat sich hier erwiesen, dass der Kosinus des Winkels kleiner sein sollte als 0.9, um die Ecke neu zu samplen



- um nun diese Anschauung ins 3-dimensionale zu übertragen, muss man berücksichtigen, dass nun Kanten und Ecken auftreten können



- um nun diese Anschauung ins 3-dimensionale zu übertragen, muss man berücksichtigen, dass nun Kanten und Ecken auftreten können

- um nun für einen Cube zu entscheiden, ob eine Ecke oder Kante vorliegt, ist analog zu dem 2-dimensinalen Beispiel.

- hier wird für alle Normalen der interpolierten Schnittpunkte das Minimum der Winkel, die je von 2 Normalen aufgespannt werden , berechnet

- ist der Kosinus des Winkels kleiner als 0.9 wird eine Ecke/Kante im Cube vermutet

Extended MC- für die Erkennung, ob eine Kante oder Ecke vorliegt wird das Kreuzprodukt der Normalen gebildet die den größten Winkel aufspannen, und das Maximum aller Winkel zwischen den anderen Normalen der Schnittpunkte und dieser gebildet

- ist der Kosinus dieses Winkels größer als 0.7 wir eine Ecke im anderen Fall eine durchgängige Kante erwartet

Extended MC- für die Erkennung, ob eine Kante oder Ecke vorliegt wird das Kreuzprodukt der Normalen gebildet die den größten Winkel aufspannen, und das Maximum aller Winkel zwischen den anderen Normalen der Schnittpunkte und dieser gebildet

- ist der Kosinus dieses Winkels größer als 0.7 wird eine Ecke im anderen Fall eine durchgängige Kante angenommen

- jetzt ist es möglich mit Hilfe der Schnittgeraden der Tangentialebenen der Normalen eine Kante zu approximieren

- im anderen Fall ist es möglich unter weiterer zu Hilfenahme der Tangentialebene, der Normalen des zweiten Tests einen Eckpunkt zu approximieren

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