Upload
auryon
View
47
Download
3
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Vajs áblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK18. Margita Vajsáblová. Perspektívna (osová) afinita. Vajs áblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK19. Perspektívna afinita roviny na rovinu '. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Margita VajsáblováVajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 18
Perspektívna afinita roviny Perspektívna afinita roviny na rovinu na rovinu ''
s
Definícia 1: Nech a ´ sú dve rôzne roviny a s je priamka, ktorá nie je rovnobežná so žiadnou z rovín a ´. Zobrazenie, ktoré každému bodu A priradí bod A´ ´, kde AA ´ ∥ s, nazývame perspektívna afinita roviny na rovinu ´.
´o
a
A´
´ = o – os afinity (silne samodružná priamka), každý jej bod sa zobrazuje sám na seba, B ≡ B´.
s – smer afinity A
a´
Poznámky: - Afinne združené priamky, t. j. a, a´ sa pretínajú na osi afinity:
a a ´ o - Perspektívna afinita ´ je bijekcia.
B ≡ B´
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 19
Perspektívna afinita roviny Perspektívna afinita roviny na seba na seba
Definícia 2: Perspektívna afinita roviny na seba je bijekcia s vlastnosťami:
´o
a
A´
A
a´
Poznámka: Rovnobežným priemetom perspektívnej afinity roviny na rovinu ´ do roviny je perspektívna afinita roviny na seba vtedy, ak priemetom žiadnej z rovín a ´ nie je priamka.
s
o
a
A ´
A
a´B ≡ B´
B ≡ B´
s
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 20
1. bodu A priradí bod A´ , kde AA´ ∥ s – smerom afinity,
2. ak 3 body ležia na jednej priamke, potom aj ich obrazy ležia na jednej priamke,
3. existuje jedna silne samodružná priamka – os afinity.
Vlastnosti pVlastnosti perspektívnerspektívnejej afinit afinityy
Veta 1: Perspektívna afinita roviny na seba (perspektívna afinita roviny α na rovinu α´) zachováva:
1. kolinearitu 3 bodov na priamke,
´
o
a
A´
A
a´
Poznámka: Veta je dôsledkom vlastností rovnobežného premietania.
B
C
B´C´
≡≡
2. deliaci pomer 3 bodov na priamke,
3. rovnobežnosť dvoch priamok.
o
a
A´
A
a´
B
C
B´C´
≡≡
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 21
CharakteristikaCharakteristika p perspektívnerspektívnejej afinit afinityy
Veta 2: Majme perspektívnu afinitu roviny na seba, ktorej osou je priamka o a bod AA´, teda smer afinity je AA´. Nech AA´ o = A0, potom platí, že deliaci pomer k = (A´, A; A0) je konštantný pre všetky body A , Ao a nazývame ho charakteristika perspektívnej afinity.
Dôkaz: žB je ľubovoľný bod roviny , ktorý neleží na osi o,
A
A´
o
a
a´
B
B´
A0
B0
P
0
0
0
0
PA
PB
AA
BB
0
0
0
0
'
'
PA
PB
AA
BB
0
0
0
0
'
'
AA
BB
AA
BB k
BB
BB
AA
AA
0
0
0
0 ''
PB0B PA0A
PB0B´ PA0A´
teda
nech P = AB o.
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 22
Zobrazovacie rovniceZobrazovacie rovnice p perspektívnerspektívnejej afinit afinityy
Veta 3: V súradnicovej sústave [O, x, y] majme perspektívnu afinitu roviny na seba, ktorej osou je o x a bod A[0, 1] A´[, ], 0, potom obrazom ľubovoľného bodu B[x, y] je B´[x´, y´] a platí:
o xP
,´
,´
yy
yxx
čo sú zobrazovacie rovnice perspektívnej afinity roviny na seba.
A[0, 1]
A´[, ]
B[x, y]
B´[x´, y´]
y
O
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 23