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Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 1 www.acreo.se
Problema: descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra
conhecendo o pulso inicial E (z=0, t)
Solução: determine ∂E / ∂z (i.e., como E varia ao longo de z)
∆
ρf = 0
E = - ∂ B/ ∂t
∆H = Jf + ∂ D/ ∂t
• ∆
D =
• ∆
B = 0
Equações constitutivas:
D = εo E + P
B = µo H + M
D, H fluxo elétrico e magnético
P descreve a resposta do material à presença do campo elétrico
Óptica não-linear em fibras
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 2 www.acreo.se
∆
E) = - ∂/∂t B = ( - ∂ / ∂t ( µo
∆
∆
H ) = - µo ∂2 / ∂t2(εo E + P)
∆
∆
(
∆
E) = - 1/c2 ∂2 E /∂t2 - μo ∂2 P /∂t2
Elimina termos magnéticos B e H
∆Para resolver para P precisa-se de mecânica quântica. Longe de resonâncias,
vale a expansão de Taylor :
P = εo [ χ(1) E + χ(2) E•E + χ(3) E•E•E + …] Aproximação de dipolo elétrico
(termos do tipo B E, E. E, etc são desprezados)
∆
Óptica não-linear em fibras
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 3 www.acreo.se
∆
E) = (
∆ ∆
•E) - 2 E(
∆ ∆
2 E - 1/c2 ∂2 E /∂t2 = μo ∂2 P /∂t2
∆Pulse propagation equation
Óptica não-linear em fibras
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 4 www.acreo.se
-
∆2E Pµo=∂
2
∂ t2
1c2
E ∂2
∂ t2Equação de onda para luz em materiais
P = o (1) E + o (2) E.E + o (3) E.E.E + ...
não-linearlinear
[1 + χ(1)]+∂2
∂ z2
E ω2
c2E = 0
Caso linear: P ~ E
Assuma modos transversais: autoestados de propagação
Seja Etot = E (z) exp (iωt) + E* (z) exp (-iωt)
n2 (depende de ω = dispersão)
Óptica não-linear em fibras
∂2
∂ y2
E∂2
∂ x2
E + +
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 5 www.acreo.se
Sellmeier equation
n
ωα/c ω
ω
ωo
Normal dispersion
Anomalous dispersion
n decreases with ω
Refractive index is well described far from resonances by:
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 6 www.acreo.se
Equação de onda para luz em materiais
Solução:
Separa variáveis e elimina x e y: E (r,t) = F(x,y) A(z,t) exp [i(βz-ωt)] x
Equação transversal: ∂2 F /∂x2 + ∂2 F /∂y2 + [ε(ω)Ko2 - β2] F = 0
Condições de contorno fazem aparecer modos
F(x,y) são funções de Bessel, combinadas em HEmn e EHmn
LP01 LP11 LP02
+
∆2E Pµo=∂
∂ t2
n2ω2
c2
E ∂2
∂ t2
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 7 www.acreo.se
P = o (1) E + o (3) E.E.E
Seja Etot = E (z) exp (iωt) + E* (z) exp (-iωt)
E.E.E = E 3 exp 3(iωt) + 3 E E* E exp (iωt) + 3 E* E E* exp (-iωt) + E *3 exp 3(-iωt)
ITHG
E.E.E = E 3 exp (i 3ω t) + 3 I E exp (iωt) + cc
O termo não-linear pode ser expresso como uma correção de n P = o (1) E + (3 o (3) I.) E
(n0 + n2I)Índice de refração depende da intensidade
Automodulação de fase
Assuma modos transversais: autoestados de propagação
I
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 8 www.acreo.se
Consequências da automodulação de fase
• o índice de refração é alterado pelo próprio pulse de luz
• SPM depende da intensidade do pulso
• Na presença de SPM a onda se adianta ou se atrasa
• Isto se traduz na mudança da frequência do pulso
• O espectro se alarga: as caudas não sofrem SPM
o pico sofre SPM, λ muda
λ
λ
t
No SPM
SPM
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 9 www.acreo.se
Pulso = cos (ωot-kz)Fase instantânea = (ωot-kz) = (ωot-2πnz/λ)Frequência instantânea ∂Φ/∂z = ωo if n = no
ωo-2πn2z/λ dI/dz if n = no + n2I
Chirp: varredura de frequências, Desenvolvido durante a 2a guerra para compressão de radar
Com SPM o espectro alarga mesmo se a forma do pulso permanecer constante (na ausência de dispersão)Depende de dI/dT, altas intensidades criam um chirp grande
Óptica não-linear em fibras
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 10 www.acreo.se
A frente do pulso se torna avermelhada
A causa se desloca para o azul
Varredura linear onde o pulso é mais intenso
Varredura positiva: frequência aumenta
Pulsos quadrados só tem SPM durante as rampas
Qual é o chirp induzido por um laser CW de 200 W ao longo de uma fibra de 1 km-long devido a SPM?
frentecauda
ω+ δω ω
ωo
ω - δω
Time
Time
Automodulação de fase
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 11 www.acreo.se
ω
Time
Mesma frequência, diferentes temposinterferência
Qualitativamente: porque oscilações?
Automodulação de fase
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 12 www.acreo.se
Em fibras de vidro
P = o (1) E + o (2) E.E + o (3) E.E.E + ...
Quando um campo DC é gravado (poling)
P = o (1) E + o (2) E.E + o (3) Erec Eappl E + ...
(2)eff
Quando um campo intenso é aplicado
P = o (1) E + o (2) E.E + o (3) Eappl Eappl E + ...
Kerr
effect
Outros efeitos não-lineares de 3a ordem
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 13 www.acreo.se
Outros efeitos não-lineares de 3a ordem
SHG com campo gravado
Efeito eletro-óptico com um campo DC gravado
22==+++ 0(3)
0dc
22==+++ 0(3)(3)
0dc0dc0dc
=++0
0dc(3) =++0
0dc0dc0dc(3)(3)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 14 www.acreo.se
Poling
(2) = 0 in fibras(2) = 0 in fibras
Não exibe não-linearidade de segunda ordemNão exibe não-linearidade de segunda ordem
Vidro é um material simétricoVidro é um material simétrico
Quebrando a simetria: Grava-se um campo permanente DC!
Poling
Quebrando a simetria: Grava-se um campo permanente DC!
Poling
Apesar de (2) ainda ser zero, Apesar de (2) ainda ser zero,
(3) EDC . E . E ~ (2)eff E . E(3) EDC . E . E ~ (2)eff E . E
P
E
P
E
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 15 www.acreo.se
Gravando o campo elétrico
IR, visible (optical poling)
Visible + electric field (optical-field assisted poling)
UV + electric field (UV poling)
Fs + electric field (fs poling)
-rays + electric field (gamma-ray poling)
Heat + electric field (thermal poling)
Ion implantation
Heat + electrostatic charging (thermal charging)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 16 www.acreo.se
Poling óptico
FiberNd:YAG laser
SH
IR.
Fiber
Seeded
Nd:YAG laser
SH
IR.KTP
P2ω ~ Eω Eω Erec
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 17 www.acreo.se
Poling óptico
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 801E-7
1E-6
1E-5
1E-4
1E-3
0.01
0.1
1
10
SH
Pow
er (
mW
)
Time (minutes)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 18 www.acreo.se
Optical poling
Fibra atacada com HF e examinada num microscópio
Rede com QPM é gerada pelo campo óptico
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 19 www.acreo.se
++
--
silicasilica
280 280 ooCCR. Myers, S. Brueck et al, Opt. Lett. 16, 1732 (1991)
Strong recorded electric field~108 - 10 9 V/m !
Top layer < 15 µm
2 mm
Poling fused silica
Create an effective (2) Create an effective (2)
(3) Edc . E . E ~ (2)eff E . E(3) Edc . E . E ~ (2)eff E . E
Poling térmico
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 20 www.acreo.se
Poling sobre um hot-plate
3 dB 3 dB
Active arm
Reference arm
HOT-PLATE~265 oC
High voltage
280 oC
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 21 www.acreo.se
Fibras electroópticas
Índice depende fracamente do campo aplicadoÍndice depende fracamente do campo aplicado
Applied fieldLow amplitude
Small phase shift
Antes do polingSó efeito Kerr
P = PL + Eω Eappl Eappl
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 22 www.acreo.se
Applied field
P = PL + Eω Erec Eappl
Low amplitudeSmall phase shift
Depois do polingSó efeito Kerr
Erecorded
P = PL + Eω Eappl Eappl
Antes do polingSó efeito Kerr
Índice depende do campo aplicadoÍndice depende do campo aplicado
Fibras electroópticas
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 23 www.acreo.se
Applied field
P = PL + Eω Erec Eappl
Erecorded
P = PL + Eω Eappl Eappl
Large phase shiftLow amplitude
Índice depende do campo aplicadoÍndice depende do campo aplicado
Fibras electroópticas
Depois do polingSó efeito Kerr
Antes do polingSó efeito Kerr
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 24 www.acreo.se
0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Vo
lta
ge
[kV
]
Time [s]
-0,06
-0,04
-0,02
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
In
ten
sity [
mV
]
Caracterização
Mach-Zehnder
3 dB3 dB 3 dB3 dB
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 25 www.acreo.se
Modulador de fase electroóptico
Componente a fibra polarizada
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 26 www.acreo.se
Modulador eletroóptico a fibraModulador eletroóptico a fibra
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14-60
-40
-20
0
20
40
60
80
Phase
shift
( r
ad
ian
s
Applied voltage (kV)
110 π phase shiftΧ(2) = 0.25 pm/V
Vπ = 110 V
Phase modulator
Typical values @ 1 µm
Vπ ~ 100 V
Electrical bandwidth: 20 MHz
Loss: 1 dB (fast axis)
10 dB (slow axis)
Χ(2) = 0.25 pm/V
Typical values @ 1 µm
Vπ ~ 100 V
Electrical bandwidth: 20 MHz
Loss: 1 dB (fast axis)
10 dB (slow axis)
Χ(2) = 0.25 pm/V
Slow
Fast
OE 17, 1553 (2009)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 27 www.acreo.se
Depois do poling
1540 1545 1550 1555 1560-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
Tra
nsm
issi
on (
dB)
Wavelength (nm)
U = 0 V U = 38 V
ΔL = L2 – L1 ~ 200 µm
Vπ = 38 V
2x2 push-pullfiber switch/modulator
3 dB3 dB
Interferometro Mach-Zehnder a fibra
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 28 www.acreo.se
Transmissão de vídeo
Poled fibre modulator for video transmission
Det.Det.
1V1V 15Vpp15VppVideosourceVideosource
fiber interf.fiber interf.ElectroopticalElectrooptical
Fiber linkFiber link
CW laserCW laser
TVTV
Acreo – ECOC 2004 exhibition
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 29 www.acreo.se
Transmissão de vídeo
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 30 www.acreo.se
Quasi-phase matching in poling óptico
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 31 www.acreo.se
Length
Phase matched
QPM in Xtal
QPM by Erasure
SHG
Not phase matched
Coherencelength
Comprimento de coerência:
• em cristais ~5 µm • em fibras ~40 µm
Quasi phase-matching
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 32 www.acreo.se
Apagamento periódico com UV
Poling creates a uniform (2) in the coreχ
Periodic UV erasure
Metal-filled contacted fiber
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 33 www.acreo.se
Determinando o período necessário
FiberNd:YAG laser
SH
IR.
Fiber
Seeded
Nd:YAG laser
SH
IR.KTP
P2ω ~ Eω Eω Erec
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 34 www.acreo.se
Optical poling
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 801E-7
1E-6
1E-5
1E-4
1E-3
0.01
0.1
1
10
SH
Pow
er (
mW
)
Time (minutes)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 35 www.acreo.se
Optical poling
Etched fiber under microscope
36.1 µm
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 36 www.acreo.se
500 510 520 530 540 550 5600
10
20
30
40
50
60
70
80
Sig
nal (
nW)
Wavelength (nm)500 510 520 530 540 550 5600
20406080
100120140160180200
Sig
nal (
nW)
Wavelength (nm)
Two sets of gratings
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 37 www.acreo.se
500 510 520 530 540 550 5600
20406080
100120140160180200
S
ign
al (
nW
)
Wavelength (nm)
Reproducibility in wavelength
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 38 www.acreo.se
510 515 520 525 530 535 540 545 550
34.0
34.5
35.0
35.5
36.0
36.5
37.0
37.5
38.0
Q
PM
per
iod
(µm
)
Wavelength (nm)
531.0 nm - 36.276 m532.0 nm - 36.400 m532.2 nm - 36.429 m
Linearidade: período para QPM
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 39 www.acreo.se
High-average-power second-harmonic generationfrom periodically poled silica fibers, A. Canagasabey et al, Opt Lett, 15 Aug 2009
Fibra poled periodicamente
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 40 www.acreo.se
Stimulated Raman scattering (Blillouin…)
Energy is lost to vibrations (in silica peak ~440 cm-1)
Shift from 1.06 µm to 1.12 µm, and then 1.18 µm, 1.24 µm…
Shift at 1.48 µm is to 1.58 µm
At room temperature, most atoms are in their vibrational ground state
Laser excites vibrations (Stokes)
Laser de-excites vibrations extremely unlikely (no anti-Stokes peak seen)
Espalhamento Raman
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 41 www.acreo.se
Espalhamento Raman
Espalhamento Raman estimuladoGanho do espalhamento Raman
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 42 www.acreo.se
Espalhamento Raman estimulado
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 43 www.acreo.se
Na aproximação de envelope variando lentamente
∂A/∂z + β1 ∂A/∂t + i/2 β2 ∂2A/∂t2 + αA/2 = + i γ |A|2 A
Redefine time origin (travel with pulse referential)
i∂A/∂z = -iαA/2 + 1/2 β2 ∂2A/∂T2 - γ |A|2 A
γ = n2ωo/cAeff nonlinear coefficient of the fiber (in STF γ ~2/W km)
β1 = 1/vG
β2 = GVD parameter
Equação de onda para luz em materiais2
+
∆2E Pµo=∂
∂ t2
n2ω2
c2
E ∂2
∂ t2
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 44 www.acreo.se
i∂A/∂z = -iαA/2 + 1/2 β2 ∂2A/∂T2 - γ |A|2 A
AbsorptionDispersion
Nonlinearity
Como estimar a importância destes efeitos?
(Govind rules ok!)
LD = To2 /|β2| Comprimento de dispersão
LNL = 1/γPo Comprimento de não-linearidade
Equação não-linear de Schroedinger (when α~0)
i∂A/∂z = 1/2 β2 ∂2A/∂T2 - γ |A|2 A
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 45 www.acreo.se
i∂A/∂z = 1/2 β2 ∂2A/∂T2 - γ |A|2 A
Normalizing for pulse duration and power
t = T/To
A(z,t) = √Po exp(-αz/2)U(z,t)
i∂U/∂z = ± 1/2LD ∂2U/∂T2 – 1/LNL exp(-αz) |U|2 U
(sign of β2)
Third order dispersionn(I) leads to ∆β(ω)Self-steepening
Delayed material responseRaman SFS
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 46 www.acreo.se
Four regimes:
1) L<<LD and L<<LNL no dispersion, no nonlinearity
2) L>LD and L<<LNL dispersion, no nonlinearity
3) L<<LD and L>LNL no dispersion, nonlinearity
4) L>LD and L>LNL dispersion, nonlinearity
Quatro regimes de pulsos
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 47 www.acreo.se
LD = To2/β2 large: long pulse (or low dispersion)
LNL =1/γPo large: low power (or low nonlinearity)
i∂U/∂z = ± 1/2LD ∂2U/∂t2 – 1/LNL exp(-αz) |U|2 U
i∂A/∂z = -iαA/2
A = Ao exp(- αz)
i∂A/∂z = -iαA/2 + 1/2 β2 ∂2A/∂T2 - γ |A|2 A
Caso 1
Pulso apenas se atenua
time
λ
time
λ
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 48 www.acreo.se
No nonlinearity (intensity or γ too low)
For example, To = 1 ps, Po = 1 mW
L>LD and L<<LNL dispersion, no nonlinearity
GVD governs propagation: i∂U/∂z = β2/2 ∂2U/∂T2
Solve using Fourier transform
The phase depends on the frequency (and propagated distance)
Red and blue are phase shifted by different amounts
Caso 2: dispersão
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 49 www.acreo.se
dispersiontime time
λ λ
redblue
What happens to a chirped pulse when it propagates under a regime dominated by GVD? Predispersed
If the pulse is chirped to start with, the pulse duration can narrow due to GVD
Caso 2: dispersão
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 50 www.acreo.se
Chromatic dispersion
Dispersão cromática
Broadband optical input
Broadband optical output
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 51 www.acreo.se
Problema em telecom
Input
Output
1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 52 www.acreo.se
No dispersion but SPM; L<<LD and L>LNL α = 0
∂U/∂z = i/LNL |U|2 U
Typically for SMF: LNL ~1 km (at 1W power)
Solution: U gains a nonlinear phase along z
U(z,T) = U(0,T) exp (iΦNL(z,T))
where
ΦNL(z,T) = 1/LNL |U(0,T)|2
How does the shape of the pulse change under SPM only?
|U(z,T)|2 = |U(0,T)|2 exp(iΦNL(z,T) exp(-iΦNL(z,T)
No change!
zeff
Caso 3: não-linearidade (SPM)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 53 www.acreo.se
Caso 3: não-linearidade (SPM)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 54 www.acreo.se
SPM broadens spectrum of unchirped pulse
New frequencies appear on front and trailing edges
The pulse becomes less coherent
In the absence of dispersion, no change in pulse shape in time
SPMtimetime
λλ
Caso 3: não-linearidade (SPM)
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 55 www.acreo.se
SPM and Dispersion; L>LD and L>LNL
i∂U/∂z = ± 1/2LD ∂2U/∂t2 – 1/LNL |U|2 U
The sign of β2 is decisive:
- the effects of dispersion and SPM add to each other (normal regime)
+ the effects of dispersion and SPM can cancel each other (anomalous)
Soliton!
Caso 4: dispersão e não-linearidade
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 56 www.acreo.se
Regime de dispersão normal, β2 positivo (D negativo)
Pulso alarga
Espectro alarga
Caso 4: dispersão e não-linearidade
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 57 www.acreo.se
Dispersão anômala, β2 negativo (D positivo)
Pulso e espectro atingem
Um regime estacionário
Forma do pulso U(t) = sech (t)
Caso 4: dispersão e não-linearidade
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 58 www.acreo.se
Dispersion
No dispersionSoliton
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 59 www.acreo.se
Cross-phase modulation
Refractive index at λ1 is affected by the presence of pulse at λ2
PNL(ω1) = χeff ( |E1|2 + 2|E2|2)E1
PNL(ω2) = χeff ( |E2|2 + 2|E1|2)E2
PNL(2ω1- ω2) = χeff E12 E2*
PNL(2ω2- ω1) = χeff E22 E1*
Parametric mixing, four-photon mixing
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 60 www.acreo.se
Parametric amplification
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 61 www.acreo.se
Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 62 www.acreo.se
The end