Upload
asuencei-vlad
View
257
Download
25
Embed Size (px)
Citation preview
Hidrodinamica apelor subterane. Proprietatile fizice ale apei. 1
Capitolul 1
PROPRIETĂŢILE FIZICE ALE APEI
Cele mai importante caracteristici fizice ale apei naturale sunt: temperatura,
densitatea, greutatea specifică, conţinutul de substanţe solide, vâscozitatea, tensiunea
superficială, capacitatea termică, entalpia, presiunea de vaporizare, căldura de
vaporizare.
Temperatura normală a apei este cuprinsă între 0 şi 350 C. Majoritatea
proprietăţilor fizice ale apei variază în funcţie de temperatură ( tabelul 1.1 ).
Vom defini câteva din proprietăţile fizice ale apei, fără a intra în descrieri
amănunţite.
.
1.1. DENSITATEA
Densitatea apei este masa cuprinsă în unitatea de volum ( densitatea medie ) .
V
m
Densitatea într-un punct din domeniul fluid
dV
dm
V
mlim
0V
Unitatea de măsură pentru densitate, în Si este kg/m3. SI = ML
-3
Densitatea apei pure are un maxim, egal cu 1000 kg/m3 la temperatura de 4
0 C şi
descreşte cu temperatura ( 350 C, a = 994 kg/m
3 ). Între 0
0 C şi 4
0 C densitatea creşte cu
temperatura. La 00C, apa pură are = 999,87 kg/m
3. Densitatea poate fi calculată, în
funcţie de temperatură cu relaţia Thiesen-Scheel-Diesselhorst :
29863,3T
12963,68T2,508929
94,288T11000 ( 1.1 )
Greutatea specifică gV
G este forţa de atracţie gravitaţională care se
exercită pe unitatea de volum . SI = N/m3. Apa pură, la 20
0 C, are = 9789 N/m
3 .
Pentru substanţe solide, dizolvate în apă , dacă notăm
S = densitatea apei care conţine solide dizolvate
Hidrodinamica apelor subterane. Proprietatile fizice ale apei. 2
a
S
a
S
S
aaS
SS
V
V1
C1
V
V1
m
m1
V
m
VV
mm ( 1.2 )
dizolvatsoliduluiiaconcentrat)apa(solventmasa
dizolvatsolidmasa
V
VC
a
SdS
- densitatea apei normale ( depinde de T ) ;
ds - densitatea solidului dizolvat ;
VS - volumul solidului ;
Va - volumul apei ;
mS = S VS - masa solidului ;
m = a Va - masa apei .
Concentraţia solidului dizolvat se poate exprima în ( mg/l, concentraţia ); ( ppm
(o/oo) sau g/kg - salinitatea ), ( kg/m
3 - densitatea ).
Concentraţia unei substanţe solide dizolvate în apă pură, în mg/l este
aproximativ aceeaşi ca salinitatea * 1000 sau concentraţia în ppm .
Salinitatea este masa de sare în g/ (kg de apă marină = masă de sare + masă de
apă ). Ecuaţia (1.2 ) poate fi folosită pentru determinarea concentraţiei sau salinităţii în
funcţie de densităţile S , a .
În practică se folosesc formule aproximative .Dacă:
S - salinitatea în ( g/kg ) ,
T - temperatura în ( 0 C ) .
S ( kg/m3 ) = 0 + AS + BS
3/2 + CS
2 ( 1.3 )
A = 8,24493 10-1
- 4,0899 10-3
T + 7,643810-5
T2 - 8,246710
-7 T
3 + 5,3675 10
-9 T
4
B = -5,724 10-3
+ 1,0227 10-4
T - 1,6546 10-6 T
2
C = 4,8314 10-4
1.2.VÂSCOZITATEA
Vâscozitatea este proprietatea fluidelor de a prezenta tensiuni tangenţiale la
suprafaţa de separaţie între două straturi de mişcare relativă unul faţă de celălalt.
Vâscozitatea dinamică , este o mărime a rezistenţei fluidului la efortul
tangenţial de frecare vâscoasă. Pentru fluidele newtoniene ( apa ) este o constantă de
proporţionalitate care leagă efortul tangenţial de frecarea vâscoasă de gradientul de
viteză du/dy ( legea lui Newton pentru vâscozitate ) :
dy
du ( 1.4 )
unde u - este viteza orizontală, iar y - este direcţia normală la curgere .
Vâscozitatea cinematică, = / .
Hidrodinamica apelor subterane. Proprietatile fizice ale apei. 3
SI = N s / m2
= Pa s ;
SI = m2 / s .
şi descresc cu creşterea agitaţiei moleculare ( cu creşterea temperaturii ).
Exemple de formule empirice pentru vâscozitatea dinamică sunt cele recomandate de
Hardy şi Cottington şi Swidells în Weast , Handbook of Chemistry and Physics 1986 .
30233,1)20T(00585,0)20T(1855,8333,998
1301)
100(log
210
pentru T = ( 00 - 20
0 ) C şi
105T
)20T(001053,0)T20(3272,1)(log
2
2010
pentru T = ( 200 - 100
0 ) C ;
unde este exprimată în Ns/m2 , T în (
0 C ) iar
20 = 0,001002 Ns/m2 ( vâscozitatea dinamică la 20
0 C )
U.S. National Bureau of Standards .
Valorile calculate sunt prezentate în tabelul 1.1
1.3. TENSIUNEA SUPERFICIALA .
Tensiunea superficială la interfaţa dintre apă şi aer sau dintre două fluide
imiscibile rezultă din interacţiunea dintre moleculele care formează suprafaţa liberă şi
moleculele aflate în interiorul fluidului . Moleculele care formează suprafaţa liberă sunt
puternic atrase spre interiorul fluidului. Se crează astfel o pătură de molecule tensionată
ca o membrană ce este acţionată de forţe ca cele din figură ( în cazul unui fluid care udă
peretele , de exemplu apă + sticlă ). Dacă apa se află într-un tub subţire ( tub capilar ,
d 5 mm ) , datorită existenţei tensiunii superficiale , va apărea un fenomen numit
capilaritate .
Fig. 1.1 Tub capilar
F=2r
h
Hidrodinamica apelor subterane. Proprietatile fizice ale apei. 4
Apa în tub va urca până la o înălţime h ( înălţimea capilară ) , ce poate fi
calculată cu formula lui Jurin . Forţa datorată tensiunii superficiale este : F=2r .
La echilibru 2rcos = h r2
g
Rezultă : gr
cos2h
( 1.7 )
unde - este densitatea lichidului ( kg/ m3 ) ,
g - este acceleraţia gravitaţională ( m/s2
) ,
r - raza tubului (m ),
- este unghiul dintre peretele tubului şi F ( tangente la menisc în punctul de
intersecţie cu tubul ) ,
- tensiunea superficială a apei ( N / m ).
După cum a rezultat din exemplul dat forţa datorată tensiunii superficiale acţionează
perpendicular pe suprafaţa liberă , în lungul unei linii care formeză meniscul ( fig. 1.1 ) ,
tensionând suprafaţa .
F=L , = F / L , SI = N / m .
Tensiunea superficială a apei la 200 C, este = 0,073 N/m. variază puţin cu
temperatura ( tabelul 1.1 ).
1.4. PRESIUNEA VAPORILOR
Pentru a simula fenomenul de evaporaţie este necesar să se cunoască presiunea
vaporilor la saturaţie şi presiunea vaporilor din mediul ambiant. Pentru unele gaze
dizolvate, transferul de masă între aer şi apă poate fi legat de schimbul de vapori de apă
Presiunea vaporilor de apă în aer rezultă din energia cinetică a moleculelor de
apă care provoacă ieşirea moleculelor prin suprafaţa liberă, în aer. Moleculele de apă se
evaporă în aer, până ce acesta devine saturat. La echilibru, când este atinsă presiunea
vaporilor de saturaţie, în aerul de deasupra apei, schimbul cinetic de molecule dintre apă
şi aer şi dintre aer şi apă este în echilibru. Perturbaţiile acestui echilibru , cauzate de
schimbările de temperatură în aer sau apă provoacă creşterea fluxului dinspre un mediu
spre celălalt, până ce echilibrul este atins din nou. Presiunea vaporilor creşte cu cât
creşterea temperaturii forţeaza mai mult moleculele de apă să iasă în aer. Variaţia
presiunii vaporilor saturaţi, cu temperatura, este prezentată în tabelul 1.2. (valori
rezultate din formularea Goff-Gratch ).
Presiunea vaporilor se măsoară, în SI, în Pa ( N/m2 ) . Dăm în continuare câteva
formule pentru determinarea presiunii vaporilor saturaţi :
pVS = 3,38639(0,00738TS+0,8072)8-0,0000191,8TS+48 +0,001316 (1.8 )
unde pVS - presiunea vaporilor la saturaţie ( kPa ) ,
TS - temperatura apei la suprafaţă ( 0
C ) .
Formula Magnus-Tetens :
pVS (Pa ) = 107,5
T
S/(T
S+237,3)+2,7858
(1.9 )
Hidrodinamica apelor subterane. Proprietatile fizice ale apei. 5
Pentru calculul presiunii vaporilor deasupra gheţii se poate folosi formula:
pVS (Pa ) = 109,5
T
S/(T
S+265,5)+2,7858
( 1.10 )
Presiunea vaporilor de apă din mediul ambiant , pV ( KPa ) se poate calcula cu relaţia :
pV = pVS - 0,00066 / pa ( Ta - Tu ) ( 1+0,00115 Tu ) ( 1.11 )
unde pa ( KPa ) - presiunea barometrică ,
Ta ( 0 C ) - temperatura aerului uscat ,
Tu ( 0 C ) - temperatura aerului umed ,
pVS (kPa ) - presiunea vaporilor la saturaţie , calculată cu formula ( 1.8 ).
1.5 ENERGIA CALORICĂ
Cantităţile de căldură se măsoară în J ( 1 J = 1N m ) , în SI sau cal. în cgs .
Capacitatea calorică este cantitatea de energie calorică necesară pentru a creşte
temperatura apei cu un grad.
Capacitatea calorică a apei este 4186,8 J/kg 0 C în SI şi 1 cal./g
0 C în cgs.
Prin cal. ( calorie ) se înţelege căldura necesară pentru a creşte temperatura unui
gram de apă cu un grad. Se lucrează cu:
cal. 4 ( caloria mică 3,50 C - 4,5
0C ),
cal. 15 ( caloria normală 14,5 0C - 15,5
0C ).
Caloria medie = 1/100 din căldura necesară pentru a încălzi un gram de apă de la 00C la
1000C
1 cal. 15 / g. 0C = 4186,8 J/ kg
0C ,
1 cal. 15 = 4,1868 J.
Schimbările de energie calorică, ale apei , Q , sunt legate de schimbările de
temperatură, de volumul V, densitatea şi capacitatea calorică c:
Q = c V T
Fluxul de căldură este cantitatea de căldură care trece prin unitatea de suprafaţă .
Cel mai important flux de căldură, în hidrologie este fluxul de radiaţii solare şi de
radiaţii de lungime de undă mare ( long wave radiation ), prin suprafaţa apei. În SI
fluxul de căldură se expimă în W/m2 ( J /s m sau N / sm ), iar in cgs în kcal /m
2 h sau
longley /zi ( 1 longley = 1 cal. / cm2 ).
Căldura de vaporizare sau de evaporare (căldura latentă de vaporizare ) este
cantitatea de căldură necesară pentru a evapora sau condensa o unitate de masă de apă.
Căldura de vaporizare poate fi calculată, în intervalul de temperatură ( 00C -
400C ), cu relaţia :
QV = 2,501 106
- 2361 T
Hidrodinamica apelor subterane. Proprietatile fizice ale apei. 6
unde QV este exprimată în J/kg iar temperatura apei T în 0C. Valorile obţinute cu
această relaţie sunt trecute în tabelul 1.2.
Căldura latentă de topire este cantitatea de căldură necesară pentru a transforma
un gram de gheaţă în apă. Ea are valoarea 0,3337 MJ / kg sau 79,7 cal.15 / g ( este
aproximativ 1/7 din căldura latentă de vaporizare ). Aceeaşi cantitate de căldură este
eliberată când 1 kg de apă este transformat în gheaţă la temperatura 00C .
Tabelul 1.1 - Proprietăţile fizice ale apei pure în funcţie de temperatură
T
(0C)
Densitate
kg/m3
Vâscozitate
(kg/ms)
Vâscozitate
(m2/s)
Tensiunea
superficială(N/m)
Capacitatea
termică (J/g 0C
)
0 999,87 0,001787 1,787E-06 0,076 4,2177
1 999,93 0,001728 1,728E-06 4,2141
2 999,97 0,001671 1,671E-06 4,2107
3 999,99 0,001618 1,618E-06 4,2077
4 1000,00 0,001567 1,567E-06 4,2048
5 999,99 0,001518 1,518E-06 0,075 4,2022
6 999,97 0,001472 1,472E-06 4,1999
7 999,93 0,001428 1,428E-06 4,1977
8 999,88 0,001386 1,386E-06 4,1957
9 999,81 0,001346 1,346E-06 4,1939
10 999,73 0,001307 1,308E-06 0,074 4,1922
11 999,63 0,001270 1,271E-06 4,1902
12 999,53 0,001235 1,236E-06 4,1893
13 999,41 0,001202 1,202E-06 4,1880
14 999,27 0,001169 1,170E-06 4,1869
15 999,13 0,001139 1,140E-06 0,073 4,1858
16 998,97 0,001109 1,110E-06 4,1849
17 998,80 0,001081 1,082E-06 4,1840
18 998,62 0,001053 1,055E-06 4,1832
19 998,43 0,001027 1,029E-06 4,1825
20 998,23 0,001002 1,004E-06 0,073 4,1819
21 998,02 0,000978 9,799E-07 4,1813
22 997,80 0,000955 9,570E-07 4,1803
23 997,57 0,000933 9,349E-07 4,1804
24 997,33 0,000911 9,136E-07 4,1800
25 997,08 0,000891 8,931E-07 0,072 4,1796
26 996,81 0,000871 8,733E-07 4,1793
27 996,54 0,000851 8,543E-07 4,1790
28 996,26 0,000833 8,359E-07 4,1788
29 995,98 0,000815 8,182E-07 4,1786
30 995,68 0,000798 8,011E-07 0,071 4,1785
31 995,37 0,000780 7,845E-07 4,1784
32 995,06 0,000765 7,686E-07 4,1783
Hidrodinamica apelor subterane. Proprietatile fizice ale apei. 7
33 994, 73 0,000749 7,531E-07 4,1783
34 994,40 0,000734 7,382E-07 4,1782
35 994,06 0,000719 7,237E-07 4,1782
Tabelul 1.2 - Proprietăţile fizice ale apei pure în funcţie de temperatură
T
(0C)
Entalpie
(J/g)
Căldură de
vaporizare(J/kg)
Presiunea vaporilor la
saturaţie(Pa)
Presiunea vaporilor la
saturaţie(m)
0 0,1024 2,501E+06 611 0,062
1 4,3184 2,499E+06 657 0,067
2 8,5308 2,496E+06 705 0,072
3 12,7400 2,494E+06 758 0,077
4 16,9462 2,492E+06 813 0,083
5 21,1408 2,489E+06 872 0,089
6 25,5496 2,487E+06 935 0,095
7 29,5496 2,484E+06 1001 0,102
8 33,7463 2,482E+06 1072 0,109
9 37,9410 2,480E+06 1147 0,117
10 42,1314 2,477E+06 1227 0,125
11 46,3255 2,475E+06 1312 0,134
12 50,7041 2,473E+06 1402 0,143
13 54,7041 2,470E+06 1497 0,153
14 58,8916 2,468E+06 1598 0,163
15 63,0779 2,466E+06 1704 0,174
16 67,2632 2,463E+06 1817 0,186
17 71,4476 2,461E+06 1937 0,198
18 75,6312 2,459E+06 2063 0,211
19 79,8141 2,456E+06 2196 0,224
20 83,9963 2,454E+06 2337 0,239
21 88,1778 2,451E+06 2486 0,254
22 92,3589 2,449E+06 2643 0,270
23 96,5395 2,447E+06 2809 0,287
24 100,7196 2,444E+06 2983 0,305
25 104,8994 2,442E+06 3167 0,324
26 109,0788 2,440E+06 3361 0,344
27 113,2580 2,437E+06 3565 0,365
28 117,4369 2,435E+06 3780 0,387
29 121,6157 2,433E+06 4006 0,410
30 125,7943 2,430E+06 4243 0,435
31 129,9727 2,428E+06 4493 0,460
32 134,1510 2,425E+06 4755 0,487
33 138,3293 2,423E+06 5031 0,516
34 142,5078 2,421E+06 5320 0,546
35 146,6858 2,418E+06 5624 0,577
Hidrodinamica apelor subterane. Proprietatile fizice ale apei. 8
Căldura latentă de sublimare este cantitatea de căldură necesară pentru a
transforma 1 gram de gheaţă în vapori de apă ( sau invers ). Căldura latentă de
sublimare, la 00C este aproximativ 2,83 MJ / kg .
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
8
Capitolul 2
NOŢIUNI GENERALE DE HIDRAULICĂ SUBTERANĂ
2.1. CICLUL APEI IN NATURĂ
Precipitaţiile sub formă de ploaie şi zăpadă constituie aporturile de apă în sol. Când
ploaia atinge solul iau naştere trei procese:
- umezirea solului şi infiltraţia ;
- curgrea superficială (şiroirea);
- evaporaţia.
Un profil obişnuit al cantităţii de apă conţinută în sol, în funcţie de cotă are
următorul aspect:
Zonă
nesaturată
Zonă
saturată
(conţinutul de apă din sol)
Suprafaţa pânzei freatice
Suprafaţa solului
z
N
Fig. 2.1 - Profilul conţinutului de apă din sol
Conţinutul de apă este funcţie de porozitatatea şi permeabilitatea solului. Sub o cotă
N conţinutul de apă nu mai creşte cu adâncimea. Această zonă este saturată şi o numim
pânză freatică. Zona aflată deasupra pânzei freatice se numeşte nesaturată. In zona saturată
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
9
apa este supusă în principal forţelor de greutate, în timp ce în zona nesaturată sunt
preponderente forţele de capilaritate.
Apa care cade pe suprafaţa solului umezeşte fracţiunea superioară a solului (câţiva
cm), profilul conţinutului de apă din sol modificându-se. Această creştere a umidităţii la
suprafaţa solului nu produce o scurgere verticală imediată. Atât timp cât forţele de
capilaritate sunt superioare celor gravitaţionale apa este reţinută ca într-un burete. Când
conţinutul de apă depăşeşte o valoare limită numită capacitate de retenţie specifică, apa se
propagă spre pânza freatică umezind o zonă mai profundă a solului. Dacă ploaia durează
mult timp umezirea solului va fi tot mai puternică şi va determina infiltraţia, adică
deplasarea apei spre pânza freatică.
Acest fenomen este foarte lent, depinzând de permeabilitatea solului şi de
adâncimea pânzei freatice. De exemplu, apa dintr-o ploaie poate ajunge la pânza freatică
după săptămâni sau luni. În zona temperată se poate estima că media lamei de apă infiltrată
până la pânza freatică este 300 mm/an.
Dacă intensitatea ploii este mare, solul nu poate primi tot aportul de apă şi asfel
apare un exces de apă numit scurgere de suprafaţă. Profilul conţinutului de apă din sol se
modifică, prezentând o saturaţie pe o înălţime mică, imediat în apropierea supafeţei solului.
Fig.2.2 Modificarea conţinutului de apă din sol
La suprafaţa solului se formează o peliculă de apă care poate circula dacă există o
pantă a terenului.
Scurgerea de suprafaţă din primii centimetri de sol sau de vegetaţie se numeşte
“scurgere hipodermică”.
Dacă solul este impermeabil scurgerea de suprafaţă apare instantaneu. Vegetaţia are
un rol important în procesul de infiltraţie şi de scurgere de suprafaţă. Un rol important în
circulaţia apei îl are evaporaţia. Ea are loc chiar şi în timpul ploii. După încetarea ploii se
z
Suprafaţa pânzei freatice
Suprafaţa solului
(conţinutul de apă din sol)
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
10
evaporă atât apa interceptată de vegetaţie cât şi cea de la suprafaţa solului şi chiar din sol.
Apa din zona nesaturată urcă prin capilaritate spre suprafaţă şi aici se evaporă.
Fig.2.3 - Profilul conţinutului de apă din sol în cazul în care intensitatea ploii este mare
Fenomenul de evaporaţie este influenţat de condiţiile atmosferice
(temperatură, vânt, radiaţii solare) şi de conţinutul de umiditate din sol - cu cât acesta este
mai mic, cu atât apa este legată prin capilaritate de sol şi este nevoie de mai multă energie
pentru a o desprinde şi a o ridica.
Fenomenul de evapotranspiraţie constă în aceea că plantele recuperează apa
pierdută prin evaporaţie folosind, prin intermediul rădăcinilor, apa din sol. Procesul de
uscare a zonei nesaturate datorită rădăcinilor încetează la o anumită valoare a conţinutului
de umiditate - punctul de ofilire, la care rădăcina nu mai are energia necesară pentru a
desprinde apa din sol.
În cazul în care pânza freatică nu este la mare adâncime, evapotranspiraţia puternică
la suprafaţa solului antrenează o curgere ascendentă a pânzei freatice. Micşorarea
conţinutului de umiditate la suprafaţa solului produce apariţia unor forţe de capilaritate
foarte puternice (legea lui Jurin)
În cazul unui bilanţ global al ciclului apei pe planetă rezultă următoarele cifre:
- înălţimea stratului de apă căzut pe uscat: 720 mm;
- înălţimea stratului de apă căzut pe oceane: 1120 mm;
- evapotranspiraţie: 410 mm;
- evaporaţie deasupra oceanelor: 1250 mm;
- curgere de suprafaţă şi subterană spre ocean: 310 mm.
Apa infiltrată până la pânza freatică circulă în acvifer, spre râuri, pe care le
alimentează în absenţa ploii. Acest aport al apelor subterane pentru apele de suprafaţă
formează debitul de bază al râurilor.
Pelicula de apă
(continutul de apa din sol)
z
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
11
Precipitaţiile căzute sub formă de zăpadă nu produc iniţial umezirea, infiltraţia şi
scurgerea superficială. Evaporaţia are loc sub forma sublimării zăpezii. La topire se
produce atât infiltraţie cât şi scurgere de suprafaţă. Procesul de infiltraţie fiind mai lent
decât în cazul ploii, umezirea solului se face mai profund. În cazul în care solul este
puternic îngheţat se produce o saturare a zonei de suprafaţă şi o scurgere superficială
importantă.
Volumul total al precipitaţiilor anuale în lume poate fi estimat la 0,5 milioane Km3,
deci 0,04 din volumul de apă de pe glob, de 40 de ori volumul de vapori de apă din
atmosferă. Aceasta implică o reînoire foarte rapidă a umidităţii atmosferice. În medie,
timpul de reţinere al vaporilor de apă în atmosferă este de aproximativ nouă zile.
Apa subterană provenită din ciclul natural al apei descris mai sus se numeşte apă
vadoasă.
Alte origini posibile ale apelor subterane sunt:
a) condensarea vaporilor din porii solului (echivalentul fenomenului de rouă);
b) apele juvenile provenite din răcirea magmei gravifice;
c) apele fosile sunt ape vadoase datând din perioade mai umede ale cuaternarului;
d) apele geotermale sunt ape vadoase care urmează un drum complicat, se încălzesc
la adâncime şi urcă apoi la suprafaţă.
Studiul ciclului apei este divizat în trei discipline distincte: meteorologia,
hidrologia, şI hidrogeologia.
Meteorologia sau climatologia studiază:
- compoziţia şi circulaţia generală a atmosferei;
bilanţul energetic al atmosferei;
- precipitaţiile;
- evaporaţia şi evapotranspiraţia.
Hidrologia de suprafaţă analizează curgerea în reţeaua hidrografică:
- evaluarea resurselor disponibile în regim natural sau amenajat şi calculul
volumelor de retenţie necesare pentru asigurarea unui debit dat;
- prognoza viiturilor şi a riscurilor implicate;
- lucrări necesare pentru combaterea viiturilor.
Metodele utilizate în hidrologie sunt de tip stochastic sau de tip determinist. Bazinul
hidrografic poate fi reprezentat ca o cutie neagră şi studiat cu ajutorul teoriei sistemelor,
având ca intrare ploaia (zăpada) şi ca ieşire debitul, sau ca un sistem fizic deosebit de
complex, luând în considerare toţi parametrii fizici, chimici sau geologici care intervin.
În figura 2.4 este prezentat ciclul apei în natură (Eagleson 1970), iar în tabelul 2.1
sunt estimate volumele de apă disponibile în lume.
2.2 NOTIUNEA DE MEDIU POROS
În general putem defini mediul poros ca un material care are goluri interiore ce pot
comunica între ele. Aceste goluri poartă numele de interstiţii, spaţii poroase sau pori. Forma
şi dimensiunile lor sunt variabile şi distribuite aleator în interiorul materialului respectiv (de
la interstiţiile moleculare la golurile extrem de mari, numite caverne).
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
12
Mediile poroase naturale sunt, de obicei, rocile sedimentare (nisipurile, gresiile,
calcarele, dolomitele, argilele şi marnele). Rocile eruptive şi rocile metamorfice pot fi
considerate practic impermeabile, cu excepţia cazurilor când sunt fisurate.
Datorită neuniformităţii mediului poros definirea parametrilor caracteristici se face pe baza
unor valori medii. Există două moduri de definire a proprietăţilor locale ale unui mediu
poros:
- prin noţiunea de volum elementar reprezentativ (VER);
- prin noţiunea de funcţii aleatoare.
Analiza unui VER presupune atribuirea proprietăţilor medii ale unui volum de
material, unui punct din spaţiu. Aceasta presupune o integrare în spaţiu a acestor
proprietăţi.
Mărimea VER trebuie să fie:
- suficient de mare pentru a conţine un mare număr de pori, astfel încât să se poată
defini o proprietate medie globală, cu asigurarea că efectul fluctuaţiilor de la un por la altul
este neglijabil;
- suficient de mic pentru ca variaţiile parametrilor de la un domeniu la altul să poată
fi reprezentate prin funcţii continue, pentru a putea utiliza analiza infinitezimală (fără a
introduce astfel erori caracteristice aparatelor de măsură la scară microscopică).
2.3 POROZITATEA
Dacă se consideră un anumit volum dintr-un mediu poros, raportul dintre volumul
porilor şi volumul total al rocii se numeşte porozitate (totală sau absolută). În cazul rocilor
consolidate unii pori sunt închişi. Astfel în calculul porozităţii efective se ia în considerare
doar volumul porilor aflaţi în intercomunicaţie.
Tabelul 2.1 - Estimarea volumelor de apă disponibile în lume,în milioane de Km3 şi
procente
106Km
3
Oceane 1320 97,2
Zăpadă şi gheaţă 30 2,15
Ape subterane la adâncimi mai mici de 800 m 4 0,31
Ape subterane la adâncimi mai mari de 800 m 4 0,31
Nesaturat 0,07 0,005
Lacuri cu apă dulce 0,12 0,009
Lacuri cu apă sărată 0,10 0,008
Râuri 0,001 0,0001
Atmosfera 0,013 0,001
Nisipul şi gresiile au o porozitate totală de aproximativ 30 . Există şi roci compactate
(calcarul şi dolomitele) care au o porozitate mare. Rocile cristaline şi metamorfice au o
porozitate de 1..5 .
Argilele constituie o categorie specială. Ele sunt constituite din formaţiuni lamelare
aproximativ paralele, separate prin straturi variabile în care poate exista sau nu apă.
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
13
Argilele au proprietatea de “umflare” în prezenţa apei. Particulele de apă sunt puternic
legate de particulele solide argiloase. Procentajul porilor poate ajunge până la 90.
În cazul rocilor compactate pot exista fisuri sau falii ce apar în general după direcţii
principale, formându-se astfel blocuri. Aceste fisuri pot fi colmatate cu argile, calcite, cuarţ
etc.
SUPRAFAŢA SOLULUI
VEGETAŢIE
Evapo-
transpiraţie
Transpiraţie
Ploaie
interceptată
ZAPADA ŞI
GHEAŢA
Topire
Sublimare Ninsoare
RÂURI
LACURI
Curgere
superficială
Curgere
hipodermică
CapilaritateUmezire
NESATURAT
ACVIFER
AscensiuneInfiltraţii
OCEAN
Curgere
subterană
Precipitaţii Evaporaţie
Curgere de
suprafaţă
Evaporaţie
ATMOSFERA
Fig.2.4 - Ciclul apei (Eagleson 1970)
Din punctul de vedere al condiţiilor genetice ale porilor, aceştia pot fi:
1. porii primari:
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
14
- golurile între particulele care alcătuiesc rocile granuloase;
- golurile în formă de bule din unele roci eruptive;
2. porii secundari:
- golurile formate prin acţiunea dizolvantă a apelor care circulă prin roci;
- fisurile şi porii formaţi prin contractarea rocilor;
- fisurile şi porii formaţi prin procesle de cristalizare a rocilor;
- fisurile şi porii formaţi din cauze tectonice.
Porozitatea poate varia în timp datorită cimentării rocilor granuloase sau tasării.
Porozitatea totală n defineşte:
ps
p
VV
V
rocii al total Volumul
porilor Volumuln
(2.1)
Se mai poate folosi o mărime numită indicele porilor e
1e
en ;n een ;
V
V
solid.ischeletulu Volumul
porilor Volumule
s
p
(2.2)
Porozitatea şi granulozitatea
Dacă un mediu poros teoretic ar fi format din sfere de acelaşi diametru, se poate
demonstra că există şase cazuri posibile de aranjare a sferelor învecinate, obţinându-se
porozităţile 26, 30, 40, 48.
În cazul sferelor de mărimi diferite porozitatea este întotdeauna mai mică pentru că
sferele mici vor ocupa spaţiul dintre sferele mari.
Pentru particulele nesferice, tendinţa de scădere a porozităţii este compensată de
neregularităţile de formă ale particulelor. Pentru mediile poroase neconsolidate se poate
analiza, prin cernere, compoziţia granulometrică a materialului respectiv.
Vom numi curbă granulometrică graficul care reprezintă variaţia procentului (în
volume sau greutate) din particulele care traversează o sită cu ochiuri de diametru dat.
Se numeşte diametru eficace (d10) dimensiunea pentru care 10 din elementele
mediului sunt mai mici decât d10.
În general este de dorit să se măsoare porozitatea mediului fără perturbarea
structurii solide. Porozitatea depinde de aşezarea particulelor, deci de consolidarea şi
tasarea mediului.
Pentru o secţiune a mediului poros se poate defini porozitatea de suprafaţă totală
totala.Suprafata
porilor Suprafatans (2.3)
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
15
Dacă distribuţia mărimii porilor este aleatoare, porozitatea de suprafaţă este
independentă de orientarea suprafeţei studiate şi are aceeaşi valoare cu porozitatea de
volum.
Fig. 2.5 - Curba granulometrică
Fig. 2.6. Diagrama ternară
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
16
Suprafaţa specifică (Ssp) este definită ca:
mediului al total Volumul
einterstial golurilor a totalaSuprafataSsp (2.4)
şi variază foarte mult de la un mediu la altul, fiind cu atât mai mare cu cât mediul este mai
divizat (mai fin).
De exemplu, pentru sfere de rază R aranjate într-un domeniu cubic
2R
Ssp
(2.5)
MATERIAL Ssp (cm2/cm
3)
nisip 150-220
gresie fină 1500
argilă 106
2.4. RELATIILE LICHID SOLID ŞI LICHID GAZ ÎNTR UN MEDIU
POROS
2.4.1. Apa legată şi apa liberă Într-un mediu poros saturat există două feluri de apă: apa legată şi apa liberă.
Apa este “legată” de suprafaţa particulelor prin forţele de atracţie moleculară.
Aceste forţe descresc cu distanţa dintre molecula de apă şi particula solidă. Un prim strat
“adsorbit” are o grosime de 0,1 şi corespunde unei orientări a moleculelor de apă cu
structură dipolară H-OH perpendiculare pe suprafaţa solidului. Forţele de atracţie care apar
sunt de ordinul 10000 bar şi scad în raport cu distanţa.
În acest strat “adsorbit” proprietăţile apei sunt puternic modificate: vâscozitatea
foarte mare, densitatea foarte mare (1,5). Numeroşi ioni, în special cationi, pot fi reţinuţi
prin atracţia conjugată a moleculelor de apă şi ale solidului. Între distanţele de 0,1 şi 0,5
există o zonă de tranziţie care conţine molecule de apă imobile care suportă atracţii
suficient de mari. De la distanţa 0,5 forţele de atracţie sunt neglijabile, iar apa devine
“liberă”. Apa liberă se poate deplasa sub acţiunea gravitaţiei şi a gradienţilor de presiune.
Fenomenul de adsorbţie a moleculelor de apă şi a ionilor este legat de suprafaţa
specifică a mediului poros şi este foarte semnificativ pentru cazul argilelor (apa şi ionii
circulă foarte greu prin argilă).
Porozitatea cinematică a unui mediu poros saturat este
nVolumul de apa care poate circula
Volumul total al mediului porosc (2.6)
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
17
Fig. 2.7 - Structura stratului de apa adsorbita la contactul cu o particula solida
Variatia fortelor de atractie in functie de distanta fata de particula
(dupa Palubarinova - Kochina)
Volumul porilor prin care poate circula apa este întotdeauna mai mic decât volumul
total al porilor.
Într-un mediu poros nesaturat există trei faze: solid, lichid, gaz. Pentru un VER se
poate defini conţinutul volumic de umezeală sau umiditatea ca fiind
totalVolumul
cotinuta apă de Volumul (2.7)
Vt
şi saturaţia volumică sau gradul de saturaţie Sw
porilor al totalVolumul
continuta apa de VolumulSw (2.8)
poate varia de la 0 la n (porozitatea totală), iar Sw de la 0 la 1 (sau de la 0 la
100). Gradul de saturaţie este legat de umiditate prin relaţia
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
18
nSw
; n = porozitatea totală. (2.9)
Conţinutul masic de apă reprezintă masa de apă aflată într-un eşantion de sol
raportată la masa de sol uscat.
s
a
M
M (2.10)
Un sol este convenţional uscat după ce ţinut în etuvă la 105C ajunge la o greutate
constantă. Conţinutul masic de apă este mai ridicat în argile decât în solurile grosiere. Între
conţinutul masic şi conţinutul volumic de umiditate există relaţia
d (2.11)
d = densitatea aparentă a scheletului de sol (kg/m3);
= densitatea apei (kg/m3);
tsd VM (2.12)
Ms = masa solului uscat;
Vt = volumul total al solului.
În cazul în care solul conţine atât apă cât şi aer, apa înconjoară particulele solide, iar
aerul are tendinţa de a sta în centrul porilor. În funcţie de umiditatea din sol se pot distinge
următoarele situaţii:
1. în cazul în care faza lichidă este continuă şi poate circula sub influenţa gravitaţiei, iar
faza gazoasă (10-15 din porozitate) este discontinuă şi nu circulă - solul este “aproape”
saturat (zona de la suprafaţa liberă a pânzei freatice).
2. “solul atinge capacitatea de câmp” - expresie utilizată în agronomie, în cazul unui sol
din care apa gravifică a părăsit profilul (la câteva zile după ploaie).
În cazul în care faza lichidă este continuă dar nu circulă doar sub acţinea gravitaţiei,
se spune că solul se află la saturaţia de echilibru sau la capacitatea de retenţie capilară. Faza
gazoasă este continuă, dar nu circulă prin pori.
Se numeşte porozitate de drenaj (specific yield) partea din porozitate care poate fi
drenată gravitaţional (nd), adică diferenţa dintre conţinutul de apă al mediului saturat şi cel
obţinut la saturaţia de echilibru.
3. în cazul unui sol slab saturat apa înconjoară particulele formând inele discontinue
(apă pendulară)
Faza lichidă, pe ansamblu, este continuă, presiunile se transmit dar mişcările apei
sunt foarte lente datorită dimensiunilor reduse ale particulelor. Faza gazoasă este continuă
dar imobilă. În cazul în care conţinutul de apă continuă să scadă (gravitaţional sau prin
evaporaţie), în final va rămâne doar apa legată (higroscopică).
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
19
Zonă
nesaturată
Apă capilară sau
pendulară, insensibilă
la gravitaţie
Porozitate de drenaj nd
Apă gravitaţională
(circulă sub acţiunea
gravitaţiei)
Saturaţie de
echilibru
Saturaţie
totală
100
Capacitate de retenţie capilară
Zonă
saturată
Apă
legată
Porozitate cinematică
sau eficace nc
Pori
neconectaţi
Porozitate
totală
100
Capacitate de retenţie
Saturaţie ireductibilă
Apă
legată
higroscopic
Zonă de circulaţie lentă
(funcţie de timp şi scară)
Fig.2.8 - Profilul conţinutului de apă în sol
Pelicula de apă legată formează un film continuu care înconjoară particulele
indiferent de starea de saturaţie a solului. Acestei stări îi corespunde saturaţia ireductibilă.
Profilul conţinutului de apă în sol este schematizat în fig.2.8, iar în fig 2.11 este reprezentat
profilul de saturaţie şi de presiune în sol (în coordonate logaritmice). În general, cu cât
particulele unei roci sunt mai fine, cu atât porozitatea eficace scade şi capacitatea de
retenţie creşte
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
20
Tabelul 2.3 - Porozitatea totală pentru diferite tipuri de sol
TIPUL SOLULUI POROZITATEA
TOTALA ()
Granit nealterat 0,02-1,8
Cuarţite 0,8
Şisturi, micaşisturi, ardeziţi 0.5-7.5
Calcare, dolomite primare 0,5-12,5
Dolomite secundare 10-30
Cretă 8-37
Gresie 3,5-38
Tufuri vulcanice 30-40
Nisipuri 15-48
Argile 44-53
Argile gonflate până la 90
Soluri de cultură 45-65
2.4.2 Reprezentarea grafică a variaţiei umidităţii în profilul de sol
Prin profil hidric se înţelege variaţia umidităţii () în funcţie de adâncime într-un loc
dat şi la un moment dat. Profilul hidric permite calculul stocului de apă din sol între două
cote date.
(z)S0-z1
Z1
Z
Fig.2.9- Profilul hidric
Cantitatea de apă stocată între suprafaţă şi
orizontala z=z1 este
1
1
z
0z0 dzS (2.13)
şi se exprimă în înălţime de coloană
echivalentă
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
21
z
(z)S0-z1
t2 t1
Z1
11
2111211
z
0
z
021
t,z0t,z0tt,z0
dzdzt,zt,z
SSSS
(2.14)
Fig 2.10 - Profilul hidric - calculul variaţiei stocului de apă din sol
Presiunile negative, foarte mici la care poate fi supusă apa dintr-un sol nesaturat
măsoară starea energetică a apei din sol, mai precis cantitatea de energie ce trebuie dată
unei molecule de apă pentru a fi desprinsă de particula de sol (molecula de apă este legată
de sol prin forţe electrostatice).
Sub nivelul pânzei freatice se află o zonă saturată 100. Deasupra acestui nivel se
află o zonă numită franj capilar, în care are loc ridicarea apei datorită capilarităţii (în tuburi
capilare, conform legii lui Jurin). Saturaţia este aproximativ 100 (85-90), iar presiunea
este mai mică decât presiunea atmosferică.
Variaţia stocului de apă din sol S
în timp se calculează astfel
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
22
Zonã cu o micã
variaþie a
conþinutului
de apã
A
BDreapta
echilibrului
presiunii
Profil de
echilibru
Sol umezit dupã ploaie
(infiltraþie)
Sol uscat la suprafa]ã
(saturaþie ireductibilã)Cota z
Stare
tranzitorie
Suprafaþa
solului
Franj capilar saturat
100%
Nivelul pânzei freatice
observat într-un puþ
Presiunea de
intrare a aerului
100 SaturaþiePres. +Pres. -
sucþiune
Fig. 2.11 - Profilul de saturaţie şi de presiune în sol în coordonate logaritmice
2.5 MASURAREA POROZITĂŢII
Măsurarea porozităţii se poate face prin metode directe, pe eşantioane sau prin
metode indirecte, “in situ”. În cazul metodelor directe se măsoară volumul total al
eşantionului obţinut prin carotaj. Se impermeabilizează eşantionul cu o răşină şi se
introduce într-un vas cu lichid.
V(a) V(b) V(c)
Vs Vs
Vp
(a) (b) (c)
Fig. 2.12 - Masurarea porozitatii
În vasul din (fig.2.12.a) se introduce mai întâi proba impermeabilizată (fig.2.12.c ),
diferenţa de volum V(c ) - V(a) este volumul total al porilor şi al scheletului solid. În vasul
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
23
(b) s-a introdus proba neimpermeabilizată şi apa poate umple toţi porii care sunt în legătură.
Diferenţa de volum V(b) - V(a) reprezintă volumul scheletului solid.
V(a)-V(c)
V(b)-V(c)
totalVolumul
porilor Volumul=n (2.15)
Volumul porilor conectaţi se mai poate măsura prin injectarea de mercur la presiuni
înalte, în rocă (şi făcînd în prealabil vid în eşantion pentru a deplasa aerul conţinut în probă)
sau prin cântărirea eşantionului uscat şi apoi saturat cu apă.
Dintre metodele indirecte amintim metoda de măsurare a rezistivităţii solului.
În general, mineralele uzuale conţinute în sol sunt slab conducătoare de electricitate
(excepţie face argila). Curentul electric poate circula în sol doar prin faza lichidă.
Rezistivitatea este deci funcţie de porozitate. Geofizicienii propun următoarea relaţie
empirică:
formatie defactor rocain continute apei atearezistivit
rocii atearezistivit=F (2.16)
Pe de altă parte, în formula lui Archie [de Marsily, 1981]
1)(C ; n
CF
m , (2.17)
m este un factor de cimentare care variază între 1,3 pentru rocile neconsolidate şi 2 pentru
calcare, iar n este porozitatea totală. Formula trebuie modificată în cazul unui conţinut de
argilă în rocă.
2.6 MĂSURAREA UMIDITĂŢII SOLULUI
Metodele directe constau în extragerea apei din sol şi determinarea acestei cantităţi
prin cântărirea probei înainte şi după extragere. Astfel conţinutul masic de umezeală va fi:
s
a
s
su
M
M
M
MM=
( 2.18)
unde:
Mu=masa probei umede (sol+apă)
Ms=masa sol uscat (schelet) la 105C
Ma=masa apei din sol
iar conţinutul volumic de umezeală
t
sd
d
V
M;=
(2.19)
unde
d=densitatea aparentă a solului uscat
=densitatea apei
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
24
Vt=volumul total al probei
Inconvenientele metodei directe sunt următoarele:
-este necesar să se ia un număr mare de probe, iar rezultatele reflectă proprietăţi
locale;
-metoda este foarte laborioasă;
-metoda este destructivă;
-temperatura de 105 C este arbitrară.
Metodele indirecte se bazează pe faptul că proprietăţile fizice şi fizico chimice ale
solului variază cu conţinutul volumic de umezeală.
Cu ajutorul curbelor de etalonare ale aparatelor, se poate măsura conţinutul de
umezeală măsurând proprietăţile fizice (rezistenţa electrică, atenuarea radiaţiilor gama,
constanta dielectrică).
a) Metoda neutronică (sonda de neutroni)
Se face în prealabil un tub de acces în sol. Prin acest tub se introduce sonda de
neutroni care conţine o sursă de neutroni rapizi şi un detector de neutroni lenţi. Un
computer care rămâne la suprafaţa solului, măsoară fluxul de neutroni lenţi, proporţional cu
umiditatea solului. Sursa (amestec de Am-Be sau Ra-Be) emite neutroni rapizi 91600km/s
care ciocnesc atomii elementelor constituente ale solului şi îşi pierd gradual energia
cinetică. După un anumit număr de ciocniri (18 pentru H, 114 pentru C, 150 pentru O)
neutronii sunt “termalizaţi” şi formează un nor de neutroni lenţi (3 km/s) în jurul sondei.
Atomii de hidrogen, având aceiaşi masă ca şi neutronii, prezintă cea mai mare
putere de încetinire. În concluzie numărul de neutroni încetiniţi este proporţional cu
conţinutul de hidrogen din sol şi deci cu conţinutul de apă al solului. Fluxul de neutroni
lenţi este înregistrat de un detector care trimite impulsuri la calculator. Ecuaţia curbei de
etalonare este de forma:
dcb)(a=N dd (2.20)
unde
N=numărul de impusuri detectate
a,b,c=contante caracteristice solului
d=densitatea aparentă a solului uscat
=conţinutul volumic de umezeală.
b) TDR (Time Domain Reflectometry)-reflectometrie în domeniul temporal.
Se măsoară timpul de propagare a unui semnal electromagnetic. Acesta este funcţie
de constanta dielectrică a mediului în care se propagă unda. Constanta dielectrică a apei
(80)este foarte diferită faţă dee cea a solului uscat (3-5). Pentru un sol umed are valori
cuprinse între 5 şi40.
Constanta dielectrică relativă este obţinută măsurînd timpii de parcurs ai unui
impuls electromagnetic trimis în lungul unei linii de transmisie formate din două tije
metalice înfipte în sol (mediu conductor) şi din dielectricul format de sol între tije şi în jurul
lor. Impulsul de înaltă frecvenţă (1Mhz-1Ghz) se propagă sub forma unei unde plane
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
25
(asemănătoare cu undele radio) prin dielectricul dintre tije .La extremitatea liniei de
transmisie, impulsul EM este reflectat şi se întoarce la sursă.
GENERATOR DEIMPULSURI,
OSCILOSCOP
Cablu coaxial
Tija
Fig . 2.13. Schema instalaţiei TDR
Se măsoară timpul t în care unda parcurge tijele conductoare de lungime L.
Viteza de propagare a undei, în sol, va fi:
c=v (2.21)
unde
c=3 108m/s =viteza luminii.
=constanta dielectrică a solului.
Rezultă 2
2
v
c . (2.22)
Viteza v se poate calcula ca spaţiul L parcurs în timpul t.Dacă l este lungimea reală
a tijelor v =L
t
2 l
t .
Deci
222
L
tc
l2
tc
. (2.23)
Legătura dintre conţinutul volumic de umezeală şi constanta dielectrică este de
forma recomandată de Topp et all (de Marsily,1981),
:
=(0,0433-5,5
2+292-530)/10
4 (2.24)
Sonda propriuzisă constă dintr-un generator de impulsuri cuplat la un osciloscop
care permite detectarea, vizualizarea şi analiza deplasării undei în lungul tijelor, şi din două
tije de oţel inoxidabil. Tijele, de diametru de câţiva mm sunt aşezate la o distanţă de 2-5
cm. Lungimea lor este variabilă (1m în argile şi câţiva m în nisipuri şi pietrişuri). Tijele
sunt legate la aparatul de măsură printr-un cablu coaxial cu impedanţă constantă.
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
26
2.7 POTENŢIALUL APEI DIN SOL
Apa din sol este supusă la un mare număr de forţe, de origini diferite:
-forţele masice (datorită gravitaţiei orice element de sol este atras spre centrul
Pământului)
-într-un sol saturat moleculele de apă sunt supuse unor forţe de presiune
-într-un sol nesaturat apa este reţinută în sol sub efectul forţelor de absorbţie şi de
capilaritate
-în prezenţa sărurilor, apa este supusă forţelor de presiune osmotică.
Aceste forţe acţionează asupra apei după diferite direcţii astfel încât este foarte
greu de determinat forţa rezultantă în fiecare punct.
Este preferabil să fie calculată energia de care dispune apa din sol în fiecare punct.
Astfel se poate calcula o energie cinetică (Ec˜0) apoximativ nulă datorită vitezelor relativ
mici şi o energie potenţială (Epot 0) care depinde de poziţia punctului şi de starea internă a
fazei lichide.
Curgerea apei se produce dinspre punctele cu energie potenţială mare spre cele cu
energie potenţială mică. Nu valoarea absolută a energiei potenţiale a apei din sol, provoacă
transferul de masă ci diferenţa de potenţial dintre două regiuni vecine.
Vom defini:
1) Energia potenţală relativă este diferenţa dintre valoarea absolută a energiei într-
un punct şi o valoare de referinţă. Această valoare de referinţă este energia apei libere pure
(supusă doar gravitaţiei), aflată la presiunea atmosferică, într-o poziţie şi la o temperatură
de referinţă.De obicei energiei de referinţă i se atribuie valoarea zero.
2) Energia potenţială specifică este raportul dintre energie şi masă, volum sau
greutate, deci reprezintă energia corespunzătoare unei valori unitare.
Deplasarea apei se face din punctele cu potenţial ridicat spre cele cu potenţial
scăzut. De exemplu apa se deplasează dintr-un plan cu suprafaţa liberă (stare de referinţă)
spre un punct din solul nesaturat unde energia este mai scăzută, sub acţiunea forţelor de
sucţiune.
Potenţialul total, Pott cuprinde mai multe componente, fiecare dintre acestea fiind
legată de o forţă care acţionând asupra apei îi modifică energia potenţială relativă, în raport
cu cea a apei libere şi pure.
Aceste componente pot fi:
-Pot g= potenţialul gravitaţonal(datorat forţelor gravitaţionale);
-Pots = potential de submersie (datorat presiunii apei în mediile poroase saturate);
-Potm = potenţial matricial(datorat atracţiei matricei solide asupra apei);
-Poto = potenţial osmotic(datorat prezenţei sărurilor);
-Potn = potenţal pneumatic(datorat suprapresiunii aerului din pori în raport cu
presiunea atmosferică).
Pott = Potg+Pots+Potm+Poto+Potn (2.25)
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
27
Potenţialul osmotic se manifestă în prezenţa unor membrane semipermeabile, iar
Potn este în final neglijabil. Astfel se înţelege, în mod uzual, prin potenţial hidraulic
Pott=Potg+Pots+Potm. (2.26)
Vom numi sarcină hidraulică H, raportul dintre energia potenţială relativă şi
greutatea unei particule de fluid:
g M
relativa potentiala Energia=H (m) . (2.27)
H reprezintă o energie specifică şi se exprimă în m.
Potenţialul gravitaţional, Hg, este raportul dintre energia necesară pentru a ridica o
masă M de apă la înălţimea z deasupra unui nivel de referinţă şi greutatea masei M
zg M
EH
z gV=z g ME
gg
ag
(2.28)
Potenţialul de submersie, Hs, este legat de presiunea pozitivă la care este supusă
apa sub nivelul suprafeţei libere a pânzei freatice
Vh g E
gp=h ,h g =p
V pE
s
s
(2.29)
unde h este adâncimea punctului faţă de suprafaţa liberă.
h=g M
EH s
s
(2.30)
Potenţialul matricial Deasupra unei pânze freatice solul este nesaturat, iar apa este reţinută în sol datorită
forţelor de atracţie dintre matricea solidă şi apă. Aceste forţe sunt:
-forţele de adsorbţie a moleculelor de apă spre suprafeţele solide, (de tip London-
Van der Waals). Ele sunt foarte puternice dar descresc cu puterea a şasea a distanţei faţă de
peretele solid. Ca urmare particulele solide sunt înconjurate de o peliculă fină de lichid.
-forţele de capilaritate datorate existenţei unei tensiuni superficiale. Astfel apa se
ridică prin spaţiile cu aspect capilar din matricea poroasă.
Potenţialul matricial este negativ deasupra pânzei freatice, zero corespunzător
suprafeţei libere şi pozitiv sub pânză. Energia potenţială matriceală este
g
iva)pori(negatdin presiunea=h V;h g=Em
(2.31)
iar potenţialul matricial:
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
28
h=g M
EH m
m
, (2.32)
h în acest caz nu are sens de cotă a punctului, ci este raportul dintre presiunea din pori în
(Pa) şi greutatea specifică a apei.
Potenţialul hidraulic, H, se exprimă adesea prin energie potenţială relativă
specifică:
H = Hg + Hs sau H = Hg + Hm
(2.33)
H = z + h (m) (2.34)
H = sarcina hidraulică totală a apei din sol;
z = sarcina gravitaţională (m);
h=sarcina de presiune sau de submersie (m) (h > 0) într-un mediu saturat sau sarcina de
presiune matricială (h < 0) pentru mediul nesaturat. S-a neglijat energia cinetică specifică
v2g
2
.Dacă axa z este orientată în jos H = h-z.
În mediul nesaturat sarcina matricială h este întotdeauna negativă. Această sarcină
se înlocuieşte uneori cu o mărime numită sucţiune care reprezintă valoarea absolută a
presiunii h.
= -h sau =| h|0 (2.35)
Sarcina hidraulică devine:
H = - + z dacă axa este în sus (2.36)
H = - - z dacă axa este în jos. (2.37)
Succţiunea caracterizează intensitatea forţei cu care apa este reţinută de matricea
solidă.Se mai utilizează notaţia
pF = log |h| = log ( în cm)
(2.38)
deoarece poate atinge valori foarte mari;
= 10 cm, pF=1
` = 1000cm, pF=3.
Corespunzător umidităţii volumice de ofilire a plantelor (în această situaţie forţele
de succtiune care apar în rădăcini sunt egale cu forţele matriciale) apare o presiune h =-
16000 cm respectiv o suctiune = 16000cm, deci pF = 4,2.
Măsurarea suctiunii se face cu tensiometrul. Un tensiometru este format dintr-un tub
din material plastic, plin cu apă, pus în legătură cu o capsulă poroasă, din material ceramic,
permeabil.Tubul este legat la un manometru cu mercur. După un timp apa din sol se
echilibrează cu apa din aparat, traversând pereţii ceramici. Presiunea din interior va egala
pe cea din exterior.
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
29
În figura 2.14 este prezentată schema tensiometrului.
Dacă vom considera p, presiunea din porii mediului poros nesaturat iar la suprafaţa
liberă a mercurului presiunea este pat, atunci în regim hidrostatic se poate scrie:
sg +dg -=hg
hg p-p
sg +dg -=p-p
dg -p=sg -p
Hg
at
Hgat
Hgat
(2.39)
Presiunea în pori în (m) va fi:
s+d-13,6=s+d-=hHg
(2.40)
iar potenţialul faţă de originea sistemului ales (suprafaţa solului):
u+d-12,6=u+d+d-13,6=u)-d-(s-s+d-13,6=z-h=H (2.41)
Presiunea din pori este negativă iar dacă în locul manometrului cu mercur se
foloseşte un manometru metalic acesta va măsura un vid parţial, în raport cu presiunea
atmosferică (o presiune relativă).
Scala de măsură este limitată la 800-900 milibari datorită unor efecte secundare (la
o presiune de 23 cm sau 2,3 kPa-presiunea vaporilor de apă la temperatura considerată, apa
se evaporă instantaneu).
z
u
d
s
z
Hg
Capsula
poroasa
Tub PVC
plin cu
apa
Fig. 2.14 - Măsurarea sucţiunii
În practică se observă o degajare a gazelor prezente în apă la presiuni absolute de
ordinul 100cm (sau 10kPa).
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
30
` Aparatul are un anumit timp de răspuns, necesar realizării echilibrului presiunilor
din interiorul şi din exteriorul capsulei poroase.
Fig. 2.15 - Variaţia conţinutului de umiditate în funcţie de gradul de compactare
şi texura solului
Suctiunea variază în funcţie de textura solului (fig.2.15.a) şi în funcţie de gradul de
compactare al solului (fig.2.15.b).
2.8 SARCINA HIRAULICA ŞI SARCINA PIEZOMETRICĂ ÎNTR-UN
MEDIU POROS SATURAT
z
B
A
zA
zB=HB
Suprafata libera
Fig.2.16 - Sarcina hidraulică
(a) (b)
Sol compactat
Sol
necompactat
Sol argilos
Sol nisipos
Hidrodinamica apelor subterane Noţiuni generale de hidraulică subterană
31
În cazul unui mediu poros saturat se defineşte sarcina hidraulică, într-un punct M,
dintr-un fluid incompresibil supus forţelor gravitaţionale, ca fiind:
z+g
p
g 2
v=H
2
(2.42)
unde v este viteza reală a fluidului în punctul de cotă z.
Această sarcină descreşte în sensul curgerii sau este constantă în cazul repausului.
Viteza reală v este foarte mică, astfel termenul v2/2g este neglijabil iar sarcina
hidraulică devine:
zg
p=H
(2.43)
numită înălţime piezometrică sau sarcină piezometrică. Aceasta depinde de poziţia originii
axei z.
Dacă se practică un foraj în sol şi se introduce un tub deschis la ambele capete, apa
se va ridica în tub până la nivelul B (fig.2.16.)
Cota zB faţă de sistemul de axe ales reprezintă sarcina H în punctul de deschidere
inferior al tubului. Acest tub se numeşte piezometru.
BBB
AABB
AA
A H=z+g
p=z+
g
)z-(zg +p=z+
g
p=H
(2.44)
Dacă fluidul este imobil în tubul piezometric şi dacă vom considera presiunea
atmosferică egală cu zero (de referinţă), atunci HA = HB = zB.
Cota zB din piezometru defineşte suprafaţa liberă a pânzei, adică limita care separă
mediul poros saturat de cel nesaturat.
Dacă pânza freatică are o curgere orizontală sarcina rămâne constantă pe o verticală
iar cota suprafeţei libere este cea măsurată de piezometru, indiferent de adâncimea acestuia.
Dacă curgerea nu este orizontală sarcina variază cu adâncimea şi suprafaţa liberă
este definită prin cota la care piezometrul pătrunde în mediul saturat.
În practică piezometrul este perforat pe toată lungimea şi astfel se măsoară o sarcină
medie în pânza freatică.
Dacă se ţine seama de compresibilitatea fluidului sarcina piezometrică este:
p
pog (p)
dp+z=H (2.45)
unde p = presiunea la origiunea axei 0z
p = presiunea in punctul aflat la cota z.
0
32 Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
Capitolul 3
DINAMICA APEI DIN SOL ŞI DIN PÂNZA FREATICĂ
3.1 NOTIUNI GENERALE PRIVIND MODELELE MATEMATICE
Un fluid newtonian este un fluid izotrop, la care presiunea nu depinde decât de
variabilele de stare şi T0, iar tensorul de vâscozitate are o formă liniară în funcţie de
gradientul vitezei.
În mecanica şi în termodinamica fluidelor newtoniene, toate problemele de
curgere se reduc la determinarea a şase necunoscute:
- densitatea fluidului [ ML-3
] ;
p - presiunea [ ML-1
T-2
] ;
T0 - temperatura [ T ] ;
vx,vy,vz - componentele câmpului de viteze [ LT-1
],
având la dispoziţie :
- cele trei ecuaţii ale sistemului Navier-Stokes , care exprimă pentru un fluid vâscos
principiul
amf
( 3.1 )
- ecuaţia de continuitate, care exprimă conservarea masei pentru un volum fix :
t
vdiv
=0, ( 3.2 )
- ecuaţia de stare a fluidului
= 0 e(p-po)
, ( 3.3 )
- ecuaţia transportului conductiv şi convectiv al căldurii prin fluid.
În mediul poros se poate considera, în general, curgerea izotermă (dispare
necunoscuta T0)
Având în vedere specificul aspectelor fizice, ale curgerii în medii poroase,
aceste ecuaţii pot fi înlocuite cu altele ce sunt obţinute pe baza unor cercetări
experimentale. De exemplu sistemul de ecuaţii Navier-Stokes se înlocuieşte cu o ecuaţie
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
33
ce descrie legea lui Darcy şi care permite o simplificare considerabilă a abordării
matematice a problemei.
Determinarea celor şase necunoscute, amintite mai sus, se face prin realizarea
unui model al relităţii fizice.
Realitatea fizică este reprezentată de:
- mediul poros saturat ( pânza freatică );
- mediul poros nesaturat (solul );
- un sistem format din cele două zone suprapuse ( nesaturat , saturat ).
Modelele matematice utilizate în fizica solului sau în hidrogeologie pot fi, în
general, analitice sau numerice ( din punct de vedere al modului de rezolvare ). Aceste
modele se pot clasifica în două categorii : modele deterministe şi modele stohastice.
Empirice
Deterministe Conceptuale Funcţionale
Mecaniciste
Modele
Empirice
Stohastice Conceptuale Funcţionale
Mecaniciste
În modelele deterministe, parametrii şi variabilele au o valoare perfect
determinată şi rezultatul este unic.
Modelele empirice stabilesc o relaţie între o caracteristica necunoscută a solului
şi alte proprieţăţi ale acestuia fără să ia în considerare mecanismele fundamentale.
Cele mai comune sunt modelele regresive care reprezintă corelaţii simple sau
multiple între un parametru necunoscut şi celelalte caracteristici ale solului ( funcţii de
pedotransfer ) .
Modelele conceptuale se bazează pe concepte, adică pe o schemă de
funcţionare incompletă voit, care simplifică realitatea.
Modelele funcţionale se bazează pe o schematizare grosieră a realitaţii. Ele sunt
simple din punct de vedere matematic, necesită un număr mic de date de intrare, sunt
uşor de rezolvat şi sunt folosite, în special , pentru gestiunea resurselor .
Modelele mecaniciste descriu procesele la scară macroscopică prin ecuaţii cu
derivate parţiale. Aceste ecuaţii sunt deduse din legile fizice ce guvernează procesele de
transfer (Darcy, Fick, Fourier, legea de continuitate ). Astfel de modele introduc un
mare număr de parametrii, se rezolvă, în general , prin metode numerice şi trebuie să fie
verificate prin încercări experimentale . Numărul mare de parametrii necesari limitează
uneori folosirea modelelor în condiţiile de teren .
În modelele stohastice variabilele de intrare şi parametrii sunt mărimi aleatoare,
reprezentate prin funcţii de distribuţie de probabilitaţi. Rezultatele sunt, de asemenea,
caracterizate de o funcţie de distribuţie. Modelele stohastice non-mecaniciste fac apel la
o funcţie de transfer care transformă semnalul de intrare într-un semnal de ieşire ţinând
seama, într-un mod global, de totalitatea proceselor care se desfăşoară în sistem.
Modelele stohastice mecaniciste iau în consideraţie variabilitatea spaţială a datelor de
intrare, luându-se drept funcţii de distribuţie de probabilitaţi. Aceste date sunt introduse
în modelul mecanicist. Intoducând un mare număr de astfel de date se obţine o lege de
distribuţie a variabilelor de ieşire.
Modelele matematice se mai pot clasifica după modul de rezolvare:
- modele analitice ;
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
34
- modele numerice ;
şi după obiectivul lor : cercetare, gestiune, regularizare, educaţie, prognoză.
3.2. IPOTEZE SIMPLIFICATOARE IN MODELAREA
MATEMATICA A CURGERII IN MEDII POROASE
În modelele mecaniciste se fac, în general, următoarele ipoteze simplificatoare :
- matricea poroasă este rigidă ( de multe ori este considerată un mediu omogen şi
izotrop ),
- faza lichidă este incompresibilă,
- faza gazoasă este continuă şi la presiunea atmosferică,
- curgerea se face la temperatură constantă,
- diferite mărimi care intervin în transfer ( flux, conţinut de apă, viteză … ) sunt
reprezentate prin valori medii la scară macroscopică .
3.3. DESCRIEREA MATEMATICA A TRANSFERURILOR CE AU
LOC INTR-UN MEDIU POROS
Transferurile de materie sau de energie într-un sol, indiferent de natura acestora
( apă, gaz, soluţii, căldură ), constau în suprapunerea a două procese :
- O mişcare descrisă printr-o lege dinamică ( mişcarea poziţiei particulelor în raport cu
matricea solidă ).
- O variaţie a stocurilor în timp (acumulare sau pierdere). Această variaţie are loc
datorită influenţelor externe (precipitaţii, evaporaţie, radiaţii), consumurilor locale
(necesarul prelevat de rădăcini) sau schimburilor cu alte faze (îngheţ, evaporaţie,
condensare).
Variaţiile stocului sunt descrise cantitativ prin legea conservării materiei (ecuaţia
de continuitate).
Deci descrierea globală a transferurilor se obţine prin asocierea unei legi
dinamice cu ecuaţia de continuitate.
3.3.1. Legea dinamică
exprimă faptul că mişcarea ( fluxul ) rezultă din acţiunea unei forţe motrice ( gradient de
potenţial ).
gradKJ (3.4)
J - flux sau densitate de flux;
K - coeficient de transfer;
- potenţial;
grad - forţa motrice.
Legile dinamice utilizate în mecanica mediilor poroase sunt:
- Legea lui Darcy care exprimă faptul că fluxul de apă este proporţional cu gradientul
de potenţial hidraulic;
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
35
- Legea lui Fourier exprimă proporţionalitatea dintre fluxul de căldură şi temperatură ;
- Legea lui Fick traduce proporţionalitatea dintre fluxul de gaz sau de soluţie şi
gradientul de concentraţie.
Se constată experimental că mişcarea apei într-un mediu poros poate fi produsă
de existenţa unor gradienţi (diferiţi de gradientul de sarcină).
Astfel, apa se deplaseză dinspre zona cu voltaj ridicat spre cea cu voltaj scăzut.
Acest principiu a fost folosit pentru drenajul electrocinetic a solurilor puţin permeabile
(Terzaghi şi Peck 1967). De asemenea apa se delpasează din zonele cu concentraţie
mare spre cele cu concentraţie mică şi din zonele cu temperatură mare spre cele cu
temperatură redusă. Se poate scrie o lege dinamică generalizată sub forma:
Viteza în mediul poros este:
gradTKgradCKgradEKgradhKU 4321
Coeficienţii de transfer iK pot fi scalari sau tensori.
Similar, alte fluxuri în mediul poros (de electricitate, de elemente în soluţie, de
căldură) vor fi legate de acesti gradienţi prin alţi coeficienţi.
De exemplu, intensitatea curentului electric într-un mediu poros:
gradCKgradEKgradhKi I3
I2
I1
În tabelul 3.1 sunt date numele legilor dinamice (pe diagonală) şi efectele dinamice care
exprimă legătura dintre flux şi gradient, în general (cele notate cu litere mari sunt
universal admise).
Tabelul 3.1
Gradient de
Flux de
Sarcină
Hidraulică
Potenţial
Electric
Temperatură Concentraţie
Fluid
legea
DARCY
efect
Electroosmoză
Casagrande
efect Osmoză
termică
efect Osmoză
chimică
Electricitate
efect REUSS
legea OHM
efect Seebeck
sau Thomson
efect Curent
de
sedimentare
Căldură
efect Filtraţie
termică
efect PELTIER
legea FOURIER
efect
DUFOUR
Elemente în
soluţie
efect
Ultrafiltrare
efect
Electroforeză
efect SORET
legea FICK
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
36
3.3.2.Legea de conservare a materiei se exprimă sub forma :
iJdivt
E
( 3.5 )
E - concentaraţia volumică de element considerat ;
J - fluxul sau densitatea de flux ;
i - aporturi sau prelevări din sistem.
Ecuaţia de continuitate în mediul poros
Fie v viteza reală a fluidului în porii mediului poros (viteză microscopică) şi
densitatea fluidului la această scară . Notăm cu n porozitatea punctuală (n = 1 într-un
por şi n = 0 în particula solidă).
Ecuaţia de continuitate pentru curgerea unui fluid printr-un mediu poros este o
ecuaţie diferenţială cu derivate parţiale care exprimă conservarea masei.
Cantităţile microscopice sau medii în mediul poros n,,v se pot defini fie
prin integrare în spaţiu printr-o convoluţie (cu o funcţie de pondere m), fie printr-o
definire probabilistică (prin speranţa matematică a marimilor v , , n în punctul x
considerat, pentru ansamblul de realizări posibile ale mediului.
Ecuaţia de continuitate pentru mediul poros va fi [de Marsily 1981]:
0nt
vdiv
( 3.6 )
unde are semnificaţia de medie .
Această ecuaţie arată că într-un volum închis, suma fluxurilor masice care intră
este egală cu variaţia masei conţinută în acest volum.
Deşi se exprimă punctual, legea se stabileşte pentru un volum elementar, fix în
spaţiu
D S
dnvdVvdiv
( 3.7 )
unde n este normala exterioară la S .
Prin aplicarea formulei Ostrogradski este evident că div [ v ] reprezintă
fluxul masic care traversează suprafaţa S a domeniului D. Viteza v este o viteză
medie fictivă, astfel integrarea se face pe toată suprafaţa S a domeniului D (nu numai a
porilor).
Masa de fluid conţinută în D nu este D
dV ci D
n dV pentru că fluidul este doar
în pori (n este porozitatea totală).
În continuare vom nota v = U
viteza reală medie în mediul poros, =
si n = n.
Ecuaţia de continuitate macroscopică pentru cazul general ( fără sursă ) va fi :
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
37
0nt
Udiv
( 3.8 )
Dacă mediul poros este alimentat de o sursă exterioară, debitul masic primit sau
cedat din exterior fiind ( q ), ecuaţia de continuitate se scrie:
0qnt
Udiv
( 3.9 )
Dacă fluidul este incompresibil şi scheletul solid nedeformabil ecuaţia de
continuitate devine :
0Udiv
( 3.10 )
Dacă fluidul este compresibil şi curgerea este permanentă 0t
şi
0Udiv
( 3.11 )
Viteza microscopică medie : Cn
Uv
( 3.12 )
reprezintă viteza medie reală în pori şi este mai mare decât viteza de filtraţie (nC1 este
porozitatea cinematică) -în cazul în care mediul poros este şi izotrop din punct de vedere
al repartiţiei porozitaţii într-o secţiune.
În cazul în care mediul este anizotrop se defineşte o porozitate cinematică de
suprafaţă:
tiuniisecatotalarafatasup
eficaceporilorrafatasupnCS
( 3.13 )
iar viteza reală în pori va fi :
SCn
Uv
( 3.14 )
Curgerea într-un mediu poros poate fi:
- uniformă (caracteristicile curgerii sunt invariabile în timp şi spaţiu),
- permanentă ( constantă în timp ),
- nepermanentă.
- Din punct de vedere al regimului vitezelor curgerea poate fi :
- laminară (curgerea este lentă şi se desfăşoară în straturi paralele, fără amestec de
masă şi energie între ele),
- turbulentă (curgere cu viteze mari, având loc transferul de masă şi energie între
straturi).
Stabilirea regimului de curgere se face pe baza numărului Reynolds
corespunzător:
dURe
U - viteza medie a apei (m/s),
d - diametrul porilor ( m ),
- vâscozitatea cinematică ( m2/s).
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
38
Dacă Re 10 mişcarea este laminară,
Re 10 mişcarea este turbulentă.
3.4. CIRCULATIA APEI INTR -UN MEDIU POROS SATURAT
3.4.1. Legea lui Darcy
Vom analiza curgerea într-un mediu poros saturat de lungime x şi secţiune S ,
prin care curge un debit volumic Q, constant în timp. O astfel de curgere poate fi
realizată într-o instalaţie ca cea din figura 3.1.
Vom defini curgerea în mediul poros 1-2 printr-un vector “ fluxul de curgere “
care este debitul specific q = Q
Ssau viteza medie Darcy
U . Această mărime reprezintă
media globală a fluxurilor microscopice într-un volum de sol suficient de mare în
comparaţie cu dimensiunile porilor şi cu eterogenităţile microscopice.
Darcy a stabilit experimental relaţia dintre debitul Q ( m3/s ) ce stăbate proba şi
denivelarea H (m) dintre cele două rezervoare :
Q K SH
x
(3.15 )
H
h1 h2
1 2
H1
z1
Dx z2 H2
z
x1 x2
Fig. 3.1 Deducerea legii Darcy
Relaţia (3.15) reprezintă legea lui Darcy pentru un mediu poros saturat
.
H = H2-H1 = (z2 + h2 ) - (z1 + h1 ) 0
x
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
39
H - pierderea de sarcină la traversarea probei
Ix
H
= pierderea de sarcină pe unitatea de lungime, în direcţia de curgere =
gradientul hidraulic = forţa motrice = panta hidraulică , x = x2 - x10
K - conductivitatea hidraulică sau permeabilitatea hidrogeologică ( [K]SI = LT-1
)
UqS
Q ( m/s ) ( 3.16 )
Debitul specific, q ( debit prin unitatea de suprafaţă sau flux ) reprezintă volumul de apă
scurs prin unitatea de suprafaţă în unitatea de timp. Acest flux are dimensiunile unei
viteze (este viteza fictivă pe care ar avea-o apa dacă ar traversa toată suprafaţa S a
solului).
Viteza medie reală, microscopică, în pori va fi: CC n
q
n
Uv
, nC fiind porozitatea
cinematică sau eficace. În literatură U se numeşte viteza Darcy sau viteza de filtrare iar
q flux sau debit specific.
Legea lui Darcy se poate scrie sub forma diferenţială:
ds
dHKq sau
s
HKU
( 3.17 )
s fiind o direcţie oarecare .
Într-un sistem tridimensional :
gradHKq
sau gradHKU
( 3.18 )
Această lege arată că mişcarea se face în direcţia forţei motrice reprezentată de
gradientul hidraulic, fluxul q fiind un vector perpendicular pe liniile echipotenţiale (H =
ct.)
kz
Hj
y
Hi
x
HH)k
zj
yi
x(HgradH
Conductivitatea hidraulică K este un tensor.
3.4.2. Limite de valabilitate ale legii lui Darcy
Legea lui Darcy este valabilă pentru regimurile de curgere laminară care au loc,
de obicei, în nisipurile fine, silţuri şi argile.
În nisipurile grosiere şi pietrişuri, vitezele cresc şi regimul devine turbulent. În
acest caz relaţia dintre flux şi gradientul sarcinii nu mai este liniară ci de forma: 2UUgradH ( 3.19 )
U reprezintă pierderile de sarcină datorate frecării vâscoase la pereţii matricei solide
iar U2 - pierderile datorate inerţiei fluidului (disipaţii de energie cinematică în pori -
asemănătoare celor care apar la îngustarea unui tub).
Se defineşte un număr Reynolds al mediului poros, adimensional:
dUdUkURe ( 3. 20 )
U - viteza de filtrare ( m/s ) ;
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
40
k - rădăcina pătrată a permeabilităţii intrinsece ( m) ;
- densitatea fluidului ( kg/m3 );
- vâscozitatea dinamică a fluidului ( kg/ms ) ;
- vâscozitatea cimematică a fluidului ( m2/s ) ;
d - diametrul mediu al particulelor sau diametrul eficace d10 ( m ).
În practică se admite că legea lui Darcy este valabilă pentru numere Re mai mici
decât o limită cuprinsă între 1 şi 10. În acest caz curgerea este pur laminară în
interiorul porilor.
Între 10 şi 100 începe un regim de tranziţie în care forţele de inerţie nu mai sunt
neglijabile şi unde legea lui Darcy nu se mai aplică. Pentru Re 100 regimul devine
turbulent iar relaţia lui Darcy trebuie înlocuită cu o relaţie de forma ( 3.19 ).
În practică curgerea rămâne laminară în majoritatea cazurilor de curgere în
medii poroase, excepţie făcând regimul carstic şi zona din imediata apropiere a
lucrărilor de captare.
Sichardt recomandă o valoare limită pentru gradientul hidraulic (până la care
este valabilă legea lui Darcy) :
K15
1I ( 3.21 )
K ( m/s ) - conductivitatea hidraulică .
Limita inferioară de valabilitate variază mult cu tipul de argilă. Astfel când
vitezele sunt foarte mici ele nu mai sunt proporţionale cu gradientul sarcinii. Forţele de
adsorbţie sunt predominante şi legea lui Darcy nu mai este valabilă.
3.4.3. Conductivitatea hidraulică şi permeabilitatea intrinsecă
Conductivitatea hidraulică la saturaţie K, numită şi permeabilitatea
hidrogeologilor, caracterizează posibilitatea solului de a lăsa să circule apa prin el.
ds
dH
qK ( 3.22)
Conductivitatea hidraulică este influenţată atât de proprietăţile mediului poros
cât şi de cele ale fluidului.
Un sol grosier (pietriş, nisip) lasă să circule apa mai uşor decât un sol argilos.
Circulaţia apei va fi influenţată de structura solului şi de distribuţia porilor. Astfel
influenţa mediului poros se defineşte printr-o mărime numită permeabilitate intrinsecă
( k ). Această mărime se măsoară în ( m2
) şi reprezintă capacitatea unui mediu poros de
a lăsa să circule un fluid oarecare. Ea este definită la scară macroscopică.
Dacă considerăm că adevăratele cauze ale deplasării unui fluid într-un mediu
poros sunt gradienţii de presiune şi forţele exterioare (gravitaţionale în cazul de faţă),
( H=p/g+z), legea lui Darcy se poate exprima sub forma generală :
gradzggradpk
U
( 3.23 )
qU
fiind o mărime macroscopică iar , , p vor fi valorile medii ;
k - permeabilitatea intrinsecă ;
- vâscozitatea dinamică a fluidului .
Dimensiunea permeabilităţii intrinseci este : [k] = L2
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
41
2
222
1113
1L
TLML
TLMTL
LpS
Qk
( 3.24 )
Permeabilitatea intrinsecă se mai măsoară în DARCE = 10-12
m2 sau în
DARCY=0,987*10-12
m2, 1 DARCY este permeabilitatea unui mediu care sub diferenţa
de presiune de 1 At (760 mm Hg ) pe un cm, lasă să curgă printr-o suprafaţă de1 cm2 un
debit de 1 cm3/s, pentru un fluid cu vâscozitatea dinamică de 1 centipoise (Bear, 1972 ).
1 MILIDARCY = 10-3
DARCY
Presupunând fluidul incompresibil :
)zgp(gradk
U
zg
pH
( 3.25 )
gradHKgradHgk
U
( 3.26 )
Mărimea
gkK se numeşte conductivitate hidraulică sau permeabilitatea
hidrogeologilor şi ţine seama atât de permeabilitatea intrinsecă a mediului (k) cât şi de
natura fluidului (densitate şi vâscositate). Dimensiunea conductivităţii hidraulice:
1
11
232
TLTLM
TLLMLK
[ K ]SI = m/s ( 3.27 )
Conductivitatea hidraulică depinde de temperatură (vâscositatea depinde de
temperatură)
)t(K)t(
)t()t(K 1
2
12
( 3.28 )
K(t2) este corespunzătoare temperaturii t2 iar K(t1) temperaturii t1 .
La temperatura de 200 C, petru o permeabilitate intrinsecă de 1 milidarcy
permeabilitatea hidrogeologică este:
8
3
315
10966,010002,1
81,91010987,0
m
2/s
3.4.4. Permeabilitatea intrinsecă şi porozitatea
Formulele empirice cele mai cunoscute sunt [ de Marsily 1981 ]:
Koseny-Carman : 22
0
3
n1S5
nk
( 3.29 )
unde S0 este suprafaţa expusă fluidului de unitate de volum a mediului solid ( nu poros )
şi n este porozitatea totală .
Haazen :
log10 k = 2 log10 d10 -3 ( 3.30 )
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
42
unde d10 ( cm ) este diametrul eficace al particulelor solului, k ( cm2 ) .
Bretjinski ( pentru nisip ) : 7 K117,0n , K ( m/zi ) . ( 3.31 )
Krumbein şi Monk ( 1942 ) : k = 0,617*10-11
*d2 ; k( cm
2 ) , d ( m ) .( 3.32 )
În tabelul 3.2 sunt date câteva valori ale conductivităţii hidraulice pentru diferite
tipuri de soluri iar în tabelul 3.3 pentru diferite tipuri de roci.
Tabelul 3.2
Natura solului Conductivitate hidraulică
m/s
Conductivitate hidraulică
m/zi
Sol argilos 10-7
- 10-6
0,01 - 0,1
Sol aluvionar de suprafaţă 10-6
- 10-5
0,1 - 1
Nisip fin 10-5
- 5*10-5
1 - 5
Nisip mediu 5*10-5
- 2,5*10-3
5 - 20
Nisip grosier 2,5*10-5
- 10-3
20 - 100
Pietriş 10-3
100
Materialele consolidate ( gresii, roci diverse, elemente carbonatate ) au valori ale
lui K variabile în funcţie de porozitatea fisurală ( fisuri, canale de alteraţie sau de
dizolvare a rocilor carbonatate ).
3.4.5. Tensorul conductivităţii hidraulice
Straturile de nisip sedimentare sau argilo-nisipoase au, datorită stratificaţiei o
permeabilitate orizontală mai mare decât cea verticală. Mediile aluvionare sunt formate
din straturi sau lentile alternative de nisip, pietriş si argile. Pentru aceste medii curgerea
va avea tendinţa de a urma direcţia cu permeabilitatea cea mai mare.
Conductivitatea hidraulică trebuie considerată o proprietate tensorială.
Se defineşte un tensor de ordinul doi prin regula transformării componentelor
tensorului printr-o rotaţie a sistemului de coordonate .
Dacă într-un sistem ( x1 , x2 , x3) componentele tensorului sunt Kij ,
componentele KijI într-un sistem ( x1
I , x2
I , x3
I ) vor fi :
KijI = m,lmjli
ml
Kcoscos (3.34)
li este unghiul dintre axa OXl şi OXIj .
Într-un mediu stratificat, direcţiile paralele şi perpendiculare pe stratificaţii sunt
direcţii principale ale curgerii, pentru care componentele tensorului se reduc la
componentele diagonale.
Dacă o matrice este simetrică , valorile sale proprii sunt distincte iar direcţiile
proprii sunt ortogonale.
k este o matrice cu 9 coeficienţi :
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
kkk
kkk
kkk
k cu kxy=kyx , kxz = kzx , kyz = kzy ( 3.35 )
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
43
Dacă ]gradzggradp[k
U
, componentele vitezei vor fi :
)gz
p(
k
y
pk
x
pkU xzxyxx
x
)gz
p(
k
y
pk
x
pkU
yzyyxyy
( 3.36 )
)gz
p(
k
y
pk
x
pkU zzzyxz
z
Se vor deduce axele X,Y,Z, din primele, printr-o rotaţie astfel ca tensorul de
permeabilitate să se reducă la componentele diagonalei principale. Matematic
X,Y,Z,sunt direcţiile vectorilor proprii ai matricei k . Fizic X,Y,Z sunt direcţiile pentru
care curgerea este efectiv paralelă cu gradientul sarcinii ( în practică o direcţie este
ortogonală la stratificaţie şi două paralele cu aceasta ). Aceste direcţii sunt numite
direcţii principale de anizotropie . Tensorul k devine :
zz
yy
xx
k00
0k0
00k
k ( 3.37 )
iar vitezele : x
pkU xx
x
y
pkU
yyy
( 3.38 )
)gz
p(
kU zz
z
În practică, în mediile sedimentare cu stratificaţii orizontale, se observă două
permeabilităţi ( una verticală kzz şi una orizontală kxx=kyy ). Raportul de anizotropie
kxx/kzz este în general cuprins între 1 şi 100.
Un mediu poros este omogen atunci când permeabilitatea intrinsecă, într-o
direcţie dată, este constantă. Dacă acest coeficient rămâne constant, oricare ar fi
direcţiile la care ne referim, mediul se cheamă omogen şi izotrop; în caz contrar mediul
este anizotrop (eterogen).
În general, mediile poroase naturale sunt neomogene şi anizotrope,
permeabilitatea lor variind de la un punct la altul şi având în acelaşi timp proprietăţi
direcţionale .
Dacă raportul de anizotropie rămâne constant în tot domeniul mişcării mediul
este ortotrop.
Având în vedere egalitatea :
gkK aceleaşi aprecieri pot fi făcute în
legătură cu conductivitatea hidraulică a mediului poros.
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
44
Diferenţierea între rocile permeabile şi impermeabile se face în mod arbitrar la
10-9
m/s.
Argilele sunt impermeabile în ciuda porozităţii totale mari ( din cauza
dimensiunilor mici ale porilor, porozitatea eficace este mică ).
Gresiile au o permeabilitate analoagă nisipului dacă nu sunt cimentate. Dacă
gresiile sunt cimentate cu calcar acesta poate fi dizolvat de apele ce conţin CO2 şi
permeabilitatea creşte.
Tabelul 3.3
Tipul de rocă sau de
material
Conductivitate
hidraulică K m/zi
Permeabilitate intrinsecă
k (m2)
Argile 10-7
- 10-3
10-19
- 10-15
Mâluri aluvionare (silţuri) 10-4
- 100 10
-16- 10
-12
Nisipuri 10-2
- 103 10
-14 - 10
-9
Pietrişuri 102 - 10
5 10
-10 - 10
-7
Şisturi argiloase , marne 10-8
- 10-4
10-20
- 10-16
Marne fracturate şi
erodate
10-4
- 10-0
10-16
- 10-12
Gresie bine cimentată 10-5
- 10-2
10-17
- 10-14
Gresie friabilă 10-3
- 10-0
10-15
- 10-12
Sare 10-10
- 10-8
10-22
- 10-20
Anhidrite 10-7
- 10-6
10-19
- 10-18
Roci metamorfice
nefracturate
10-9
- 10-5
10-21
- 10-17
Roci metamorfice
fracturate
10-5
- 10-1
10-17
- 10-13
O unitate hidrogeologică este omogenă dacă proprietăţile sale hidraulice sunt
aceleaşi în orice punct. Eterogenitatea unei zone depinde de scara la care este analizat
fenomenul. Se pune problema stabilirii unei valori medii a conductivitaţii
(conductivitate hidraulică efectivă Ke) astfel încât să poată fi folosită în modelele
aproximative.
Pentru curgerea permanentă, cu un gradient hidraulic spaţial uniform, se folosesc
următoarele reguli de mediere:
1. Mediu perfect stratificat ( N straturi de grosime li şi conductivitate hidraulică Ki
Pentru curgerea paralelă cu stratul
N
1iN
1ii
iie
l
KlK ( 3.39 )
Pentru curgerea perpendiculară pe strat :
N
1iN
1i i
i
ie
K
l
lK ( 3.40 )
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
45
2. Mediu eterogen , nestratificat , în care s-au făcut m măsurători :
Modele bidimensionale
Ke = KG = ( K1K2…Km) 1/m
( 3.41 )
Modele tridimensionale
Ke = KG = ( 1+y2 / 6 )
( 3. 42 )
unde y2
este varianţa logaritmilor naturali ai măsurătorilor conductivităţii.
Dacă gradientul hidraulic nu este constant nu există reguli de mediere a
conductivităţii.
3.4.6. Transmisivitatea z
M
Fig. 3.2.
0
l
x
Dacă apa subterană circulă într-un strat de grosime l şi dacă dorim să calculăm
fluxul printr-o suprafată transversală, pe direcţia de curgere, acesta este :
l
0
l
0
x dzUdznUl
Q ( 3.43 )
n
- normala la oz
Ux- componenta vitezei în direcţia x.
Presupunând că z este direcţia principală de anizotropie ( celelalte direcţii x,y
sunt în planul stratului ), atunci în toate punctele M ale lui oz.
(3.44)
MK este tensorul conductivităţii în planul xy care trece prin M şi grad H este
gradientul sarcinii în acest plan . Presupunând grad H constant pe direcţia Oz:
l
0
M itatetransmisivTdzK (3.45)
Dacă mediul este izotrop ( K =ct după z ) T=Kl ( m2/s ) ( 3.46 )
gradHKU M
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
46
3.4.7. Metode de determinare a conductivităţii hidraulice
a) În laborator, conductivitatea hidraulică se măsoară cu permeametre. Acestea sunt cu
sarcină constantă sau cu sarcină variabilă. Calculele au la bază legea lui Darcy.
În cazul permeametrului cu sarcină constantă din figura 3.3 se măsoară debitul Q
care traversează un eşantion de sol de înălţime L şi secţiune S, sub sarcină constantă.
Q = -( Kgrad H ) S ( 3.47 )
S)hLh(
LQK
21
(3.48 )
h1
L
h2
Fig 3.3 Permeametru cu sarcină constantă
Permeametrul cu sarcină variabilă din fig . 3.4 se foloseşte pentru K 10-5
m/s. Tubul de
secţiune s S crează o sarcină mare H. Se măsoară variaţia nivelului în tubul de
secţiune s într-un interval de timp t - t0. Debitul prin tubul de alimentare este
dt
dHs
dt
dVQ ( 3.49 )
iar prin proba de sol : L
)t(HSKQ ( 3.50 )
Fig. 3.4 Permeametrul cu sarcină variabilă
L
)t(HSK
dt
dHs
S
S
H s
L
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
47
L
dtK
s
S
H
dH
H
H
t
t 00
H
dHdt
Ls
SK
00
H
Hln)tt(
Ls
SK
)tt(S
Ls)
H
Hln(K
00
( 3.51 )
Pe un grafic ( ln H în funcţie de timp ) făcut pe baza mai multor măsurători se
obţine o dreaptă a cărei pantă este proporţională cu K.
K se poate obţine simplicficat, din două măsurători, făcute la t=t1 şi t=t2.
)tt(S
Ls)
H
Hln(K
121
2
( 3.52 )
În teren, se fac măsurători prin încercări de pompare în puţuri ce pătrund în pânza
freatică. Vom descrie aceste experimente în capitolul 9.
3.4.8. Formulele empirice pentru determinarea conductivităţii
hidraulice
Formula lui HAAZEN
K=C de2 ( 0,7 + 0,03 t ), ( m/zi ) ( 3.53 )
C - coeficientul care depinde de porozitatea şi omogenitatea materialului;
C = 400 + 40 ( n-26 )
n - porozitatea totală a rocii (%)
de - diametrul efectiv ( mm )
de = d10
d10 - diametrul particulelor care reprezintă 10% din greutatea probei căreia i s-a făcut
analiza granulometrică ;
t - temperatura apei ( 0 C ).
Domeniul de utilizare a formulei este :
pentru nisipuri uniforme : d
d
60
10
5 ; 0,01mm de 3 mm ;
curgere laminară : I 1%.
Formula lui SLICHTER
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
48
1
md3,88K 2e , ( m/zi ) ( 3.54 )
88,3 - coeficientul pentru omogenizarea dimensională
de - diametrul echivalent ( mm )
N
1i
i
ii
N
1ie
g
dg
d
N - numărul fracţiunilor granulometrice
gi - fracţiunea cu diametrul di ()
di - diametrul mediu ( mm )
2
ddd 1ii
i
di , di+1 - diametrul inferior şi superior al fracţiunii gi ( mm );
m - numărul lui Slichter ( este funcţie de porozitate , ca în tabelul 3.4 ;
- vâscozitatea dinamică a apei ( poise ).
Tabelul 3.4.
Nr.
crt
n ( % ) m Nr.crt. n ( % ) m
1 26 0,01187 12 37 0,03808
2 27 0,01350 13 38 0,04154
3 28 0,01517 14 39 0,04524
4 29 0,01684 15 40 0,04922
5 30 0,01905 16 41 0,05339
6 31 0,02122 17 42 0,05789
7 32 0,02356 18 43 0,06267
8 33 0,02601 19 44 0,06776
9 34 0,02878 20 45 0,07295
10 35 0,03163 21 46 0,07838
11 36 0,03473 22 47 0,08455
Domeniul de utilizare al formulei este :
Pentru nisipuri fine ( 0,01mm de 5 mm ) ;
5d
d
10
60 ; de = d10 ( diametrul efectiv );
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
49
5d
d
10
60 ;
N
1i
i
ii
N
1ie
g
dg
d ( diametrul echivalent )
Formula lui ZAMARIN
2e
2
210 dan1
n5572K
, (m/zi) ( 3.55 )
n- porozitatea rocii ( fracţiuni de unitate );
a = 1,275 - 1,5n ( ia în consideraţie apa legată );
de - diametrul echivalent ( mm ) se calculează cu relaţia :
N
2 i
1i
i1i
i
1
1
e
d
dln
dd
g
d
g
2
3
100d
g1 - fracţiunea cea mai fină ( % );
d1 - diametrul mediu al fractiunii fine ( mm );
di+1 , di - diametrul superior şi inferior al fracţiunii “ i “ în ( mm ).
Domeniul de utilizare a formulei este :
pentru toate nisipurile.
3.4.9. Aplicaţii
1. Curgerea într-o coloană verticală
Fie o coloană verticală omogenă , saturată , de lungime L , secţiune S şi
conductivitate
hidraulica K. La intrarea în coloană se păstrează un nivel constant l. Să se calculeze
fluxul şi debitul la ieşirea din coloană , în regim permanent .
Dacă considerăm ca plan de referinţă baza coloanei ( ieşirea ):
sarcina la intrare : Hi = hi +zi = l + L
sarcina la ieşire : He = he +ze = 0 +0
z
pat
l
intrare
L
ieşire în aer
pat
Coloană
de
sol
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
50
Fluxul ( viteza ) la ieşire :
L
LlK
zz
HHK
z
HK
dz
dHKq
ie
ie
unde q are sens opus luiz , iar debitul :
L
LlSKSqQ
2.Curgerea verticală într-un sol stratificat
Fie o coloană de sol saturat , constituită din 2 straturi suprapuse , alimentată , la
partea
superioară , sub nivel constant . Straturile au înălţimile L1 , L2 , şi conductivităţile K1, K2
. Să se calculeze fluxul în regim permanent , sarcina Hs, la interfaţă, Ke(conductivitate
echivalentă).
În regim de curgere permanent , saturat : 0z
q
Fluxul este acelaşi în cele două straturi q1 = q2 = q
Hi - sarcina la intrare ;
He - sarcina la ieşire ;
HS - sarcina la separaţia între straturi;
z
pat
l
Hi - intrare
L1
HS
L2
He - ieşire în aer
Fluxul fiind constant , gradientul de sarcină este invers proporţional cu valorile
conductivităţii K în straturi . Considerăm modulul fluxului q :
S1i111
Si1 HKHKLq
L
HHKq
e2S222
S2 HKHKLq
L
HeHKq
2
2e
1
1iS
K
LqH
K
LqHH
K1
K2
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
51
1
1
2
2
21
1
1
2
2
ei
1
1
2
2ei
K
L
K
L
LLl
K
L
K
L
HHq
K
L
K
LqHH
Hi =h+z = l+z =l + L1 + L2 , He = 0, Hs =hs+z = hs + L2
K1 K2 se dezvoltă o presiune pozitivă pe interfaţă ;
K1 K2 cazul degradării structurii , încrustare la suprafaţă , compactare şi tasare .
1
1
1
1
2
2
2121
1
1
1
1
2
2
21i
1
1iS
K
L
K
L
K
L
LLlLLl
K
L
K
L
K
L
LLlH
K
LqHH
K1 K2
Ki
K
L
K
L
LL
LL
LLl
K
L
K
L
LLl
K
L
K
L
HHq e
1
1
2
2
21
21
21
1
1
2
2
21
1
1
2
2
ei
1
1
2
2
21e
K
L
K
L
LLK
3. Să se calculeze conductivitatea hidraulică a unei roci nisipoase , cu porozitatea
n=28% , la t=100C folosind formula SLICHTER. Curba granulometrică a probei este
:
0,005 - 0,05 mm - 15 %
0,05 - 0,25 mm - 10 %
0,025 - 0,50 mm - 20 %
0,50 - 1,00 mm - 55 %
10
60
d
d10
05,0
5,0
d
d
15
45
d15 max = 0,05 mm se poate folosi formula cu :
N
1i
i
ii
N
1ie
g
dg
d =
mm51,0100
2
15,055
2
5,0025,020
2
25,005,010
2
05,0005,015
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
52
Pentru n = 28 % , m = 0,01517
t = 100C , = 0,013 Poise
8,26013,0
101517,051,03,88
1md3,88K 22
e m/zi
4. Să se detemine conductivitatea hidraulică a unei probe de rocă cu lungimea l=10 cm,
cu ajutorul unui permeametru cu sarcină variabilă ( un tub Kamenski ), cu care s-a
măsurat evoluţia în timp a nivelului în tub :
h (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ti (s) 40 100 154 200 240 300 360 440 520
Sarcina piezometrică iniţială este h0=20 cm .
hi
h0
2
1
12 T
Tln
S)tt(
LsK
s = S , t1 = 0 , t2 = ti , T1 = h0 , T2 = h0 - hi
i0
0
i hh
hlg
t
l3,2K
i0
0i
hh
hlg
K
l3,2t
Se reprezintă grafic punctele ( ti , i0
0
hh
hlg
) şi se trasează o dreaptă printre
ele ( trece prin origine ).
apă
Sol
Hidrodinamica apelor subterane. Dinamica apei din sol şi din pânza freatică
53
h (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
i0
0
hh
hlg
0,022 0,046 0,071 0,097 0,125 0,154 0,187 0,222 0,260
i0
0
hh
hlg
i0
0
hh
hlg
t t(s)
Se alege un punct de pe dreapta trasată şi se determină t şi i0
0
hh
hlg
corespunzător.
Cu aceste valori rezultă:
i0
0
i hh
hlg
t
l3,2K
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 54
Capitolul 4
CIRCULAŢIA APEI ÎNTR-UN MEDIU POROS
NESATURAT (SOL)
4.1 LEGEA LUI DARCY ÎNTR-UN MEDIU POROS NESATURAT
În cazul unui sol nesaturat, porii sunt ocupaţi atât cu aer cât şi cu apă. Se
presupune că faza gazoasă este continuă şi că produce rezistenţă neglijabilă la înaintarea
fazei lichide. Practic curgerea nesaturată presupune curgerea simultană a două fluide
imiscibile, apa şi aerul printr-un mediu poros.
Presupunând curgerea,în mediul nesaturat, izotermă şi neinfluenţată de
conţinutul de săruri (izomotică) al fazei lichide şi neglijând transportul vaporilor de apă
din sol, Buckingham (1907) a modificat ecuaţia lui Darcy, generalizând conceptul de
conductivitate hidraulică, K şi de presiune în pori, h, definite pentru mediul poros
saturat. Conductivitatea hidraulică, K, este o funcţie de conţinutul volumic de apă din
sol () şi este numită conductivitate capilară sau conductivitate hidraulică nesaturată.
Datorită forţelor de sucţiune capilară, presiunea din pori este negativă şi este o
funcţie h(). Ea mai poartă numele de sucţiune (=h()), sau de sarcină de sucţiune
a matricei solide, sau “soil water matric potential head”.
Noi vom numi, în acest capitol:
K() - conductivitate hidraulică
Ks - conductivitatea hidraulică la saturaţie
h() - presiunea din pori (h()<0)
Legea lui Darcy modificată, devine:
- Pentru o curgere unidimensională verticală, fluxul (viteza aparentă Uz) este:
qz = -K()z
H
= -K()
z)(h
z= -K()
1
z
)h( (4.1)
(dacă se consideră axa Oz în sens descendent, potenţialul hidraulic H = h-z)
Buckingham a introdus, deasemenea o notaţie: D() = K()
d
dh, numită
difuzivitatea apei din sol.
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 55
Cu această notaţie fluxul vertical se poate calcula cu relaţia:
qz = -
)K(
z)D( (4.2)
După direcţia x, orizontală, fluxul sau viteza Ux este:
qx = -K()x
)h()K(
x
H
(4.3)
Generalizând, fluxul va fi proporţional cu gradientul sarcinii hidraulice:
)gradHK(q
z)))grad(h(K(q
(4.4)
Dacă aerul din pori nu poate circula cu uşurinţă, atunci, circulaţia lui va
influenţa mişcarea apei, în sensul micşorării infiltraţiei.
Unii cercetători (Morel-Seytoux şi Noblanc) au analizat curgerea simultană a
apei şi aerului. Presupunând densitatea aerului mult mai mică decât a apei se obţin
ecuaţiile:
vw = -K() )K(z
hw
(4.5)
z
hkKv a
raa
wsa
(4.6)
unde:
vw - viteza apei în pori
va - viteza aerului în pori
hw - presiunea apei (m)
ha - presiunea aerului (m)
w - vâscozitatea apei
a - vâscozitatea aerului
kra - permeabilitatea relativă a aerului
hw= h+ha
h - sarcina potenţială a apei din matricea poroasă (soil water matric potential head)
kra este o funcţie de conţinutul de apă al solului şi se micşorează când solul tinde spre
saturaţie şi circulaţia aerului este mocşorată.
4.2 ECUAŢIA DE CONTINUITATE PENTRU CURGEREA
ÎNTR-UN MEDIU POROS NESATURAT
Fie un volum elementar de sol de dimensiuni S şi z respectiv de volum V = Sz .
Într-un interval de timp t, prin suprafaţa de intrare, pătrunde în V o MASĂ de fluid Mi,
iar prin suprafaţa de ieşire Se, iese o masă Me.
Dacă Mi Me va apare o variaţie a stocului S.
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 56
Fig. 4.1. Volum elementar de sol nesaturat
Mi - Me = M (stocat) (4.7)
qiSit - qeSet = Vstocat (4.8)
Si = Se = S
Pentru un fluid incompresibil = ct.
(qi - qe)St = Vstocat (4.9)
Vstocat = V = Sz
(qi - qe)St = Sz (4.10)
Dacă luăm axa Oz în jos: (qi - qe) = -q
(q = q2- q1, z = z2- z1, = 2- 1 , 2=e, 1=i )
- qSt = Sz
z
q
t
(4.11)
Prin trecere la limită se obţine:
z
q
t
. (4.12)
Ecuaţia (4.12) arată că rata de înmagazinare a apei în sol corespunde variaţiei
fluxului între intrare şi ieşire.
Dacă există un termen sursă sau puţ, corespunzător unui aport sau unei extracţii
(de exemplu prezenţa rădăcinilor), ecuaţia de continuitate devine:
z
qi Si
Se qe
z
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 57
rz
q
t
, (4.13)
unde r este rata de aport sau de extracţie pentru unitatea de volum de sol (m3apă/m
3sol-
secundă) sau s-1
Generalizând la trei dimensiuni, ecuaţia de continuitate devine:
rz
q
y
q
x
qrdivq
t
zyx
. (4.14)
Variaţia conţinutului de apă din sol, în timp, este egală cu variaţia spaţială a
fluxului (vitezei Darcy), în absenţa termenului sursă (r).
divqt
(4.15)
4.3 ECUAŢIA GENERALĂ, DE MIŞCARE A APEI
4.3.1 Deducerea ecuaţiei
Dacă introducem expresia fluxului (viteza Darcy) în ecuaţia de continuitate, vom
obţine:
gradHKdivt
sau (4.16)
zhgradKdivt
(4.17)
Pentru o curgere unidimensională verticală ecuaţia generală de mişcare este:
zh
zK
zt , (4.18)
1
z
hK
zt . (4.19)
În cazul existenţei unei surse sau a unei extracţii (rădăcina plantelor), r(z,t),
ecuaţia (4.19) devine:
1
z
z,hz,K
zt)r(z,
t
tz,
Dacă mediul devine saturat, = ct. şi 0t
0KgradHdiv . (4.20)
Dacă solul este izotrop (Kx=Ky=Kz) şi omogen (K = ct. în toate punctele)
0gradHdiv sau
0z
H
y
H
x
H
2
2
2
2
2
2
.
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 58
sau H = 0 (2H = 0) (Ecuaţia lui Laplace)
Deci curgerea într-un mediu poros omogen saturat este un caz particular al
curgerii într-un mediu poros nesaturat.
Pentru rezolvarea ecuaţiei generale a mişcării apei într-un mediu poros nesaturat
trebuie cunoscute funcţiile caracteristice ale mediului: h() şi K().
Fig. 4.2. Variaţia conductivităţii hidraulice
Aceste curbe trebuie determinate experimental, ele fiind funcţii de structura şi
textura solului. Relaţia funcţională K(h) prezintă, în general, un histerezis între perioada
de umezire şi cea de uscare.
Se observă că, conductivitatea hidraulică scade puternic în perioada în care solul
se usucă.
La saturaţie toţi porii sunt plini şi contribuie la transportul apei. Pe măsură ce
solul se usucă porii mari se golesc iar apa circulă prin porii mai mici urmând căi mai
lungi (creşte tortuozitatea).
Astfel conductivitatea hidraulică scade mai rapid în solurile grosiere decât în
solurile fine, deşi pentru valori scăzute ale umidităţii, solurile fine pot fi mai bune
conductoare decât cele grosiere.
4.3.2 Diferite forme ale ecuaţiei generale de mişcare a apei într-un
mediu poros nesaturat.
Ecuaţia (4.18) poate fi scrisă în două moduri:
- în funcţie de presiunea h,
- în funcţie de conţinutul volumic de umiditate .
a) Richards (1931) defineşte mărimea:
K()
Ks
r
s h(cm)
Sol nisipos
Sol argilos
-101 -10
2 -10
3
10-3
10-5
10-7
K(cm/s)
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 59
c(h) = dh
d (4.21)
Mărimea c(h) este definită ca fiind capacitatea unui sol de a reţine sau de a elibera apa
conţinută, ca urmare a variaţiei sucţiunii. Această mărime poartă numele de capacitate
capilară sau capacitate de umezire specifică.
Dacă h = f() şi = f(x,y,z,t), atunci,
thc
1
td
dh
t
h
(4.22)
t
hhc
t
(4.23)
iar ecuaţia (4.18) devine:
zhgradhKdivt
hc(h)
. (4.24)
Ecuaţia (4.24) este cunoscută sub numele de ecuaţia lui Richards (1931). Ea
poate fi folosită atât pentru regim nesaturat (K(h) ct., ct., h < 0), cât şi pentru
regim saturat (K(h) = Ksaturaţie = ct., = saturaţie = ct., h > 0 şi c(h) = 0). Relaţiile
c(h) şi K(h) trebuie determinate experimental (diferă în funcţie de tipul solului).
La saturaţie ecuaţia lui Richards devine:
0zhgradKdiv s , (4.25)
respectiv, după direcţia z:
01z
t)h(z,(z)K
zs
. (4.26)
Condiţii de integrare pentru ecuaţia Richards
- Condiţiile iniţiale (t = 0): se dă presiunea în pori, variabilă cu adâncimea.
- Condiţii pe frontieră.
La suprafaţa solului, dacă intensitatea ploii este mai mică sau egală cu
conductivitatea hidraulică la saturaţie Ks, toată cantitatea de apă se infiltrează şi nu
apare nici o scurgere de suprafaţă.
Pentru intensităţi mari ale ploii, apa se infiltrează în sol până când umiditatea
devine egală cu cea de saturaţie = s, h 0. Din acest moment infiltraţia devine mai
mică decât intensitatea ploii şi apare scurgerea de suprafaţă.
Aceste condiţii pot fi exprimate astfel:
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 60
R1z
hK(h)
, (0,t) s , t tp ;
h = h0 , (0,t) = s , t > tP ,
unde:
R - intensitatea ploii,
h0 - înălţimea stratului de apă care se formează la suprafaţă după ce primul strat
s-a saturat,
tP - timpul după care s-a produs saturaţia.
La limita inferioară a domeniului se poate pune condiţia de sarcină h(z)
constantă. Aceasta implică:
q(L,t) = K(,L) pentru t > 0.
b) Fokker - Plank propun introducerea unei mărimi D() numită funcţie de
difuzivitate:
D() =
d
dh)K(
c(h)
)K( (4.27)
Dacă h = f() şi = f(x,y,z,t), atunci:
xd
dh
x
h
,
yd
dh
y
h
, (4.28)
zd
dh
z
h
.
Introducând derivatele parţiale în ecuaţia.(4.17) se obţine ecuaţia Fokker -
Planck:
zd
dKgrad)D(div
z
)K(grad)D(div
t
. (4.29)
Funcţiile D() şi K() se determină experimental.
Rezolvarea unei probleme de infiltraţie într-un mediu poros nesaturat (sol)
presupune integrarea ecuaţiei lui Richards (4.24) sau a ecuaţiei Fokker - Planck (4.29),
în condiţii la limită specifice problemei reale (condiţii iniţiale şi condiţii pe frontieră).
Condiţiile pe frontieră pot fi de două tipuri:
- valori impuse pe frontieră
- flux impus
Sub oricare din cele două forme (4.24 sau 4.29) ecuaţia ce descrie mişcarea apei
din sol este puternic neliniară şi nu poate fi integrată analitic decât în cazuri foarte
restrictive. Philip a propus în 1957 o soluţie cvasi-analitică pentru ecuaţia:
1
z
hK(h)
zt
hc(h) ,
în condiţii de sarcină impusă la suprafaţă [Vauclin ,M.,1979].
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 61
c) Uneori se preferă scrierea ecuaţiei în h(), sub formă adimensională:
1
z
h(h)K
zt
h(h)c
*
**
**
** (4.30)
unde:
z*=
z
L , t
*=
T
t, h
*=
no
n
hh
hh
c*(h) = c(h)
hh
no
no
şi K
*(h)=
sK
K(h)
unde:
hn şi ho sunt două valori particulare ale presiunii iar o şi n sunt valorile conţinutului
volumic de umezeală corespunzătoare. Ks este conductivitatea hidraulică la saturaţie.
Scara lungimilor L = ho- hn , iar scara timpului T =
Ks
hh nono
4.4 DETERMINAREA EXPERIMENTALĂ A FUNCŢIILOR h(),
K(), D(), c(h), K(h)
Funcţia h() se obţine măsurând într-un profil de sol presiunea în pori, cu
ajutorul unui tensiometru şi conţinutul volumic de umiditate, , cu o sondă cu neutroni.
Din curba (h), prin derivare se obţine curba c(h) = dh
d.
Funcţia K() se poate determina, în teren, prin mai multe metode:
- infiltraţie la flux constant
- drenaj intern
- bilanţ natural.
În cazul infiltraţiei cu debit constant se pot face măsurători în regim permanent
sau în regim nepermanent.
Dacă se poate realiza un regim permanent în condiţiile în care infiltraţia la
suprafaţă nu produce saturaţia, gradientul de sucţiune z
h
tinde la zero, iar ,
q = -K() )K(1z
h
Conductivitatea hidraulică devine egală cu fluxul infiltrat.
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 62
Se începe încercarea în condiţiile unui sol uscat şi se realizează mai multe
paliere de infiltraţie. Pentru fiecare debit de intrare se măsoară conţinutul de umezeală.
Se obţine astfel curba K().
În cazul măsurătorilor în regim nepermanent se realizează o curgere cu debit
constant qs la suprafaţa solului şi se trasează profilele hidraulice (z) şi h(z) în timp.
Conductivitatea hidraulică la o adâncime dată, la un moment dat se poate
calcula:
K() = -
dzdH
q (4.31)
Fluxul qz care traversează o secţiune transversală la axa de curgere, la adâncimea
z este obţinut prin integrarea ecuaţiei de continuitate.
z
q
t
dzz
qdz
t
2
1
2
1
z
z
z
z
21
2
1
2
1zz
z
z
z
zqq)(qdz
t
(4.32)
unde:
2
1
z
z
dzt
- variaţia temporală a stocului S între z1 şi z2
21 zz qq - diferenţa de flux între z1 şi z2
Fig. 4.3. Variaţia stocului de apă în profilul de sol
qs
z=z1=0
S0 - z
t2
t1
(z,t2) (z,t1)
z
q
z
z = z2
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 63
21
21zz
zzqq
t
S
,
zSz0 qq
t
S
s1
,
qz = qS-t
S zo
. (4.33)
qz - fluxul la adâncimea z,
qS - fluxul la suprafaţă,
t = t2- t1,
So - z- variaţia stocului de apă între suprafaţă şi adâncimea z în intervalul de timp t.
Dacă se cunosc curbele (z), h(z) la diferiţi t şi debitul de alimentare la
suprafaţă, qs se calculează: -dH/dz, So-z, qz.
K(,z)=
z
z
dz
dH
q
(4.34)
zdz
dH
- panta profilului mediu de sarcină la cota z.
Se fac calcule pentru diferite adâncimi, la diferite intervale de timp. Se obţin
perechi de valori (K,).
În cazul acestor metode este foarte greu de realizat un debit constant.
Metoda drenajului intern constă în trasarea curbelor h(z), (z) la diferite
intervale de timp, în condiţii de qs= 0 (debit nul la suprafaţă). Pentru a se evita
evaporarea se acoperă solul.
Calculul lui K(,z) se face cu aceeaşi relaţie (4.33) ca şi în cazul precedent.
Fluxul la adâncimea z este:
t
S0q zo
z
.
Cu această metodă se obţin valori bune pentru umidităţi ridicate (la valori mici
procesul de redistribuire devine foarte lent). În cazul în care nu se împiedică evaporaţia
metoda se numeşte “a bilanţului natural”.
Pentru a calcula fluxul la o adâncime dată trebuie aflat planul de flux nul
01z
h
.
qz=-t
S zz0
(4.35) q0=-t
S00z
(4.36)
În rest calculele se fac similar cu cazurile anterioare.
Funcţia D() = K()d
dh se calculează dacă se cunosc curbele K() şi h().
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 64
d
dh - reprezintă panta curbei h() într-un punct.
Fig. 4.4. Fig. 4.5.
4.5 APLICAŢII
4.5.1 Integrarea numerică a ecuaţiei lui Richards pentru cazul
bidimensional
Să se determine variaţia presiunii şi umidităţii într-un sol nesaturat, în timpul
unei ploi de intensitate P. Să se determine rezerva de apă din sol la diferite adâncimi.
Solul are o pantă dată de unghiul (fig. 4.6).
Variaţia conţinutului volumic de umezeală într-un mediu poros nesaturat este
dată de ecuaţia (4.16) care în cazul bidimensional devine:
z
H)K(
zx
H)K(
xt (4.37)
- conţinutul volumic de umezeală
H - potenţialul total al vitezei (cm)
K() - conductivitatea hidraulică a solului (cm/s).
Plan de flux nul
Regim evaporatie
Regim redistribuire
h
z
Sz0-0
Sz0-z
qz
z
plan de flux nul
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 65
Fig. 4.6 Secţiune prin profilul de sol
Potenţialul total al vitezei H(x,z) este:
H(x,z) = h(x,z) + (L - x)sin + z cos (4.38)
dacă axa Oz este orientată ca în fig. 4.6
h(x,z) - presiunea în pori (cm coloană de apă)
L - lungimea domeniului (cm)
- panta terenului
Definind capacitatea de umezire a solului:
c(h) = h
,
se obţine ecuaţia lui Richards, pentru cazul bidimensional:
cos
z
hK(h)
zsin
x
hK(h)
xt
hc(h) . (4.39)
Prin integrarea acestei ecuaţii, în condiţii pe frontieră date, se obţine funcţia
h(x,z), în toate nodurile reţelei.
Componentele vitezei se pot obţine din legea lui Darcy:
sin
z
z)h(x,)K(
x
H)K(vx , (4.40)
cos
z
z)h(x,)K(
z
H)K(vz . (4.41)
Vom integra ecuaţia (4.39) prin metoda direcţiilor alternante, (ADI)(o schemă
implicită).
Derivatele parţiale din ecuaţia (4.39) vor fi aproximate prin diferenţe finite:
L
x
D J=M
J=1
I=1
I=N
A
B
C
P z
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 66
t
hh
t
hn
ji,1n
ji,
(4.42)
sinx
hh
x2
KK
sinx
hh
x2
KKsin
x
hK
x
1nj1,i
1nji,
nji,
nj1,i
1nji,
1nj1,i
nj1,i
nji,
1n
(4.43)
cosz
hh
z2
KK
cosz
hh
z2
KKcos
z
hK
z
n1ji,
nji,
nj_1i,
nji,
nji,
n1ji,
n1ji,
nji,
n
(4.44)
cosz
hh
z2
KK
cosz
hh
z2
KKcos
z
hK
z
2n1ji,
2nji,
1nj_1i,
1nji,
2nji,
2n1ji,
1n1ji,
1nji,
2n
(4.45)
unde { }n reprezintă valorile calculate la timpul (n).
Ecuaţia (4.39), scrisă în diferenţe finite devine:
- la momentul t = n+1
cosz2
KKsin
x2
KK+
z2
KKh
t
c
z2
K2KKh
z2
KKh=
x2
KKh
t
c
x2
K2KKh
x2
KKh
n1ji,
n1ji,
nj1,i
nj1,+i
2
n1ji,
nji,n
1ji,
nji,
2
n1ji,
nji,
n1ji,n
ji,2
n1ji,
nji,n
1-ji,
2
nj1,i
nji,1n
j1,i
nji,
2
nj1,i
nji,
nj1,i1n
ji,2
nj1,i
nji,1n
j1,i
(4.46)
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 67
- la momentul t = n+2
cosz2
KKsin
x2
KK
x2
KKh
t
c
x2
K2KKh
x2
KKh
z2
KKh
t
c
z2
K2KKh
z2
KKh
1n1ji,
1n1ji,
1nj1,i
1nj1,i
2
1nj1,i
1nji,1n
j1,i
1nji,
2
1nj1,i
1nji,
1nj1,i1n
ji,
2
1nji,
1nj1,i1n
j1,i2
1n1ji,
1nji,2n
1ji,
1nji,
2
1n1ji,
1nji,
1n1ji,2n
ji,2
1nji,
1n1ji,2n
1ji,
(4.47)
Algoritmul pentru determinarea presiunii în domeniul ABCD este:
1. Determinarea condiţiilor iniţiale 0ji,
h
2. Calculul parametrilor caracteristici ai solului, la momentul iniţial.
)f(hK 0ji,
0ji,
)g(hc 0ji,
0ji,
3. Aprecierea condiţiilor pe frontieră.
4. Rezolvarea sistemului [An]{H
n+1} = {D
n} (ecuaţia (4.46) scrisă pentru j =
2,...,M-1 în punctele i = 2,...,N-1).
5. Calculul parametrilor caracteristici ai solului la t = n+1 :
)f(hK 1nji,
1nji,
,
)g(hc 1nji,
1nji,
.
6. Rezolvarea sistemului [An+1
]{Hn+2
} = {Dn+1
} ( ecuaţia (4.47) scrisă
pentru i=2,...,N-1, în punctele j=2,...,M-1).
7. Calculul parametrilor caracteristici ai solului la t = n+1.
Ecuaţiile (4.46) şi (4.47) trebuie completate cu ecuaţiile rezultate din condiţiile
de pe frontiere (acestea pot fi: condiţii de sarcină impusă sau de debit impus).
Presupunând frontierele:
DC - permeabilă
DA, AB, BC - impermeabile
vom pune următoarele condiţii:
pe DA şi BC : vx= 0 0sinx
h0
x
H
(4.48)
pe AB : vz= 0 0cosz
h0
z
H
(4.49)
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 68
pe DC :
a) Dacă frontiera superioară este nesaturată:
vz=-Pcos
Pcos
z
HK(h)
K(h)
cosPcos
z
h
cos1
K(h)
P
z
h (4.50)
P - intensitatea ploii (cm)
vz - viteza de intrare a ploii în sol (viteză Darcy, viteza reală va fi: vreal=vz/n)
b) Dacă frontiera DC este saturată (primul strat), viteza de infiltraţie în sol se
poate calcula cu relaţia:
1
zcos
1)Mh(i,M)h(i,
4
M)3K(i,1)MK(i,M)P1(i, (4.51)
sau se poate pune condiţie de sarcină H dată respectiv h(x,M) = 0 (corespunzător
presiunii atmosferice).
Observaţie:
1. Când o zonă devine saturată K() = Ks (conductivitatea hidraulică la
saturaţie),
c() = cs (capacitatea de umezire la saturaţie).
2. Când un punct din domeniu devine saturat (h = 0), ecuaţia (4.37) devine
eliptică iar sistemul de ecuaţii rezultat, trebuie rezolvat iterativ.
- Pentru iteraţiile 1,3,5...2m+1
ch h
th h
K K
2 x
h h
xsin
K K
2 x
h h
xsin
K K
2 z
h h
zcos
i, j
n i, j
n 1,2m 1
i,j
n
m
i,j
n 1,2m 1
i,j
m
i 1,j
n
i, j
n
i 1,j
n 1,2m 1
i,j
n 1,2m 1
i,j
n
i 1,j
n
i, j
n 1,2m 1
i 1,j
n 1,2m 1
i,j 1
n
i,j
n
i, j 1
n
i,j
n
K K
2 z
h h
zcos
i, j
n
i, j 1
n
i,j
n
i,j 1
n
(4.52)
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 69
Pentru iteraţiile 2,4,6...2m+2
cosz
hh
z2
KK
cosz
hh
z2
KK
sinx
hh
x2
KK
sinx
hh
x2
KK
hht
hhc
21,2mnj_1i,
21,2mnji,
n1ji,
nji,
21,2mnji,
21,2mn1ji,
nji,
n1ji,
11,2mnj1,i
11,2mnji,
nj1,i
nji,
11,2mnji,
11,2mnj1,i
nji,
nj1,i
11,2mnji,
21,2mnji,
m
11,2mnji,
21,2mnji,n
ji,
(4.53)
unde: =
L
l4
ksinK
z
4
z
232
, k = 0,1,2...m (4.54)
K3=[ K(i-1,j)+K(i+1,j)+4K(i,j)+K(i,j-1)+K(i,j+1)] / 2 (4.55)
z - pasul de spaţiu în direcţia z(cm)
lz - lungimea domeniului în direcţia z(cm)
Pentru punctele saturate c = 0, K = Ks.
Rezultatele integrării sunt prezentate în fig. 4.9, 4.10
Fig.4.7. Variatia conductivităţii hidraulice cu presiune din pori (adimensionalizate)
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 70
Fig.4.8. Variaţia capacităţii de umezire cu presiunea din pori (adimensionalizate)
Fig.4.9.; 4.10. Variaţia presiunii în pori (în timp şi spaţiu)
=2 o , L=3 m , x = 50 cm, z = 30 cm.
a) RI = 0.0028 cm s-1
b) RI = 0.0014 cm s-1
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 71
4.6 CONCLUZII CU PRIVIRE LA CIRCULAŢIA APEI ÎNTR-UN
MEDIU POROS NESATURAT. SCHIMBURI ŞI LEGĂTURI ÎNTRE
SOL ŞI ATMOSFERĂ
4.6.1 Infiltrabilitatea şi infiltraţia totală
Între sol şi atmosferă au loc schimburi regulate sub formă de :
- aporturi intermitente datorate precipitaţiilor şi irigaţiilor;
- evaporaţie şi evapotranspiraţie (acestea au un regim variabil în funcţie de
intensitatea radiaţiilor, temperatură şi de umiditatea relativă a aerului).
Apa se deplasează continuu fie spre suprafaţă (urcă) unde se evaporă sau este
absorbită de rădăcini, fie spre pânza freatică (coboară). Apa poate urca dinspre pânza
fratică prin capilaritate.
Vom numi infiltraţie pătrunderea apei în sol, prin traversarea suprafeţei solului.
Procesul de pătrundere a apei în sol va fi caracterizat de:
- regimul de alimentare (ploaie, irigaţii),
- regimul de infiltraţii (fluxul maxim pe care solul poate să îl absoarbă la
suprafaţă.
Regimul de infiltraţie este caracterizat de capacitatea de infiltraţie
(infiltrabilitate).
Există două situaţii:
a) regimul de alimentare < regimul de infiltraţie:
În acest caz solul nu ajunge la saturaţie, la suprafaţă şi toată apa se infiltrează în
sol (infiltraţie sub flux = intensitatea ploii)
b) regimul de alimentare > regimul de infiltraţie
Solul nu poate absorbi toată cantitatea de apă căzută. Apa în exces se
acumulează la suprafaţă sau formează curgerea de suprafaţă. Infiltraţia se face sub
sarcină(la capacitate) şi solul este saturat, la suprafaţă.
Fig.4.11. Variaţia infiltrabilităţii în timpul unei ploi
intensitatea aportului
apă în exces
timp
P
i
Infiltrabilitatea finala
timp
if
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 72
Fig. (4.11) reprezintă variaţia infiltrabilităţii “i”în timpul unei ploi. Scăderea
infiltrabilităţii “i” se datorează pe de o parte micşorării gradientului de sucţiune şi pe de
altă parte modificării proprietăţilor solului (degradarea structurii, formarea unei cruste la
suprafaţă, migrarea particulelor, umflarea argilelor, înglobarea bulelor de aer).
Fig 4.12. Variaţia infiltraţiei totale
Infiltraţia cumulată I va tinde către o valoare maximă.
Forţele ce provoacă infiltraţia provin din combinaţia gradienţilor de sucţiune şi
gravitaţie. Pe măsură ce frontul de umiditate pătrunde mai profund, gradientul mediu de
sucţiune scade (diferenţa de sucţiune între suprafaţă şi zona uscată se repartizează pe o
distanţă crescătoare). După un timp gradientul de sucţiune devine neglijabil în partea
superioară a profilului iar gradientul gravitaţional rămâne singura forţă motrice). Legea
lui Darcy devine:
q = i = -K() sK)K()K(dz
dh)K(zh
dz
d
pentru că 0dz
dh iar K() = Ks (la saturaţie).
Deci fluxul prin suprafaţa solului tinde în cazul (b) spre o valoare egală cu
conductivitatea hidraulică la saturaţie, Ks.
4.6.2 Modele empirice şi semiempirice de apreciere a infiltraţiei
1. Modelul empiric Kostiakov
I = atb (4.56)
a, b - constante ce se determină experimental
i = 1babtdt
dI (4.57)
Când t 0 , i
timp
I
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 73
t , i0
deci modelul nu este util pentru infiltraţia verticală.
2. Modelul empiric Horton
Fig. 4.13.
i = if+(i0-if)e-t
(4.58)
I = ift+1
(i0-if)(1-e
-t)- (4.59)
if - capacitatea de infiltraţie finală
i0 - capacitatea de infiltraţie iniţială
- constantă
if, i0, se determină experimental
3. Modelul semiempiric Green şi Ampt
Se poate utiliza pentru soluri grosiere, iniţial puţin umede, în care frontul de
umezire este foarte bine definit (fig. 4.14).
Modelul este valabil în următoarele ipoteze:
- în zona de transmisie, este presupus constant şi egal cu s (conţinutul
volumic de umezeală la saturaţie) şi K = Ks;
- i = constant;
- frontul de umiditate abrupt (orizontal);
- sarcina de presiune pe frontul hf este constantă, indiferent de poziţia frontului;
- deplasarea apei este asemănătoare cu aceea de sub influenţa mişcării unui
piston (efect piston).
if
i0
i
t
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 74
Fig 4.14 Înaintarea frontului de umiditate
Dacă un sol omogen este supus, la suprafaţă la o sarcină constantă h0> 0
1
dz
dhKq s (4.60)
f0
f0
zz
hh
z
h
dz
dh
(4.61)
Dacă z0= 0
h0=0
1
z
hKq
f
fs
i = q =
f
fs
z
h1K (4.62)
I =
0zis ()dz( s-i)zf (4.63)
i = dt
dz)(
dt
dI fis (4.64)
dt
dz
z
h1Ks f
isf
f
(4.65)
Prin integrarea ecuaţiei (4.65) se obţine relaţia dintre zf şi t.
s
zonă de transmisie
= s
K = Ks
i
0
z
hf
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 75
t =
f
fff
s
is
h
z1lnhz
K (4.66)
t - timpul necesar pentru a atinge adâncimea zf
hf > - 80 cm (pentru soluri fine)
hf < - 5 cm (pentru soluri grosiere)
Philip propune hf = înălţimea de ascensiune capilară.
4. Modelul semiempiric al lui Philip,
reprezintă o integrare semianalitică a ecuaţiei lui Richards pentru cazul unidimensional,
vertical. Această ecuaţie este puternic neliniară şi nu poate fi integrată analitic decât în
anumite condiţii restrictive.
z = 0
t 0
= 0
z = z0
t = 0
= i
z 0
z
Philip (1957) a arătat că pentru faza iniţială de infiltraţie, soluţia ecuaţiei:
1
z
hK(h)
zt
hc(h)
în condiţii de sarcină impusă pe frontieră, ia forma unei dezvoltări în serie:
z(,t) = 2mM
1mm )t(f
(4.67)
Funcţia z(,t) reprezintă înaintarea verticală în timp, a unui conţinut volumic de
apă .
Coeficienţii fm() sunt soluţii ale unui sistem de ecuaţii diferenţiale.
z(,t) = ()t1/2
+x()t + ()t3/2
+()t2 (4.68)
unde coeficienţii , x, , sunt daţi de ecuaţiile:
d
dD2d)(
n
(4.69)
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 76
)(K)(Kd
xdPd)(x n
n
(4.70)
Q3
2
d
dP
2
3=)d(
n
(4.71)
R2
1
d
dP
2
1d)(
n
(4.72)
cu: P = D
2
d
d
(4.73)
Q = D
2
d
xd
d
d
(4.74)
R = Q
d
dx
dx
d2 (4.75)
şi cu relaţiile:
(0) = x(0) = (0) = (0) = 0 (4.76)
În [Vauclin 1979] este dată rezolvarea semianalitică a acestei probleme precum
şi programul de calcul în limbaj FORTRAN.
Dacă reducem cei patru termeni ai ecuaţiei (4.68) la doi [Mermoud, 1996].
I(t) = St1/2
+At (4.77) I
I - infiltraţia cumulată (lama de apă
infiltrată la timpul t)
A - parametru legat de I(t)
S = S0
s
i1 = sorbtivitate (4.78)
S0 - sorbtivitatea solului uscat
i - conţinutul de umiditate iniţial
s - conţinutul de umiditate la saturaţie
i(t) = ASt2
1
dt
dI 1/2 (4.79)
t
i - infiltrabilitate (rată de infiltraţie)
S conţine atât influenţa sucţiunii cât şi a conductivităţii. S şi A se determină prin
încercări de infiltraţie. Ele depind de sol şi de starea de umiditate iniţială.
Pentru valori mari ale timpului:
- rata de infiltraţie tinde spre o constantă egală cu valoarea K(0), (în general
diferă de A), i tinde spre K(0).
- frontul înaintează păstrându-şi forma
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 77
- viteza de înaintare a frontului tinde spre o valoare dată:
vf = i0
i0 )K()K(
(4.80)
În cazul unei infiltraţii orizontale:
I = St1/2
şi i = 1
2St
-1/2 . (4.81)
S poate fi determinat ca panta funcţiei I = f(t1/2
) .
4.6.3 Evapotranspiraţia
Din punct de vedere al posibilităţilor de aport sau prelevare de apă, zona
nesaturată se poate împărţi în două zone:
- zona nesaturată, cu rădăcini şi cu evaporaţie şi evapo-transpiraţie puternică.
- zona nesaturată, fără rădăcini şi în care evaporaţia nu se simte.
De exemplu pentru a realiza un model de transfer a compuşilor azotului, în sol,
este necesar să se aprecieze atât fluxul de apă absorbit de plante cât şi fluxul pierdut prin
evaporaţie, suprafaţa solului.
Prin evapotranspiraţie de referinţă sau evapotranspiraţie potenţială (ETP) se
înţelege (prin convenţie) ansamblul de pierderi de apă ale unei culturi de referinţă
(gazon) care acoperă total terenul, având o înălţime uniformă de câţiva centimetri, la
stadiul maxim de dezvoltare vegetativă.
Plantele absorb în continuu apa prin sistemul lor de rădăcini. O parte din apă
formează apa de constituţie iar o altă parte traversează planta şi se pierde în atmosferă
sub formă de apă de transpiraţie . Vom numi coeficient la de transpiraţie raportul
între greutatea apei pierdute prin transpiraţie şi greutatea materiei uscate produse în
acelaşi timp. El variază în funcţie de:
- climat
- densitatea de plantare
- specia vegetală
- natura solului şi conţinutul său de umezeală.
Este dificil de despărţit evaporaţia directă, de la suprafaţa solului de transpiraţia
plantelor; de aceea se analizează, global, evapotranspiraţia.
Formule empirice pentru evapotranspiraţie:
1. Formula lui Thornthwaite
ETP = 1.6 )(FI
10ta
t
(cm) (4.82)
ETP - evapotranspiraţie potenţială lunară (cm)
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 78
t - temperatura medie (măsurată la umbră) în perioada considerată (0C)
a = 6,75 10-7
It3-7,71 10
-5It
2+179 10
-2It+0,49239
It - indice termic anual, sumă a 12 indici termici lunari i
i = t
5
1,514
, It = i
ian
dec
F() - coeficient de corecţie care ţine seama de durata reală a lunii şi de gradul de
luminozitate. În tabelul (4.1) este dată F() în funcţie de latitudine şi de lună, pentru
latitudinile 440, 45
0, 46
0 lat N şi 44
0, 46
0 lat S.
Tabelul 4.1 Coeficientul de corecţie F() din formula Thornthwaite.
Lat ,
N
I F M A M I I A S O N D
440 0.81 0.82 1.02 1.13 1.27 1.29 1.30 1.20 1.04 0.95 0.80 0.76
450 0.80 0.81 1.02 1.13 1.28 1.29 1.31 1.21 1.04 0.95 0.79 0.75
460 0.79 0.81 1.02 1.13 1.29 1.31 1.32 1.22 1.04 0.94 0.79 0.74
Lat S
440 1.30 1.08 1.07 0.92 0.83 0.74 0.81 0.91 0.99 1.17 1.23 1.33
460 1.32 1.10 1.07 0.91 0.82 0.72 0.79 0.90 0.99 1.17 1.25 1.35
F() = N r
N - durata astronomică a zilei în luna considerată, în ore/zi, în funcţie de latitudinea
locului.
r - un parametru care depinde de numărul de zile din lună
Pentru luna cu 28 zile: r = 0.0778
Pentru luna cu 29 zile: r = 0.0806
Pentru luna cu 30 zile: r = 0.0833
Pentru luna cu 31 zile: r = 0.0861
2. Formula lui Turc
- Dacă umiditatea relativă medie (Um) este mai mare de 50% (în zonele
temperate).
50)(Rg15t
t0,13
10zile
mmETP
(4.83)
- Dacă umiditatea relativă medie (Um) este mai mică de 50%.
70
Um50150Rg
15t
t0,13
10zile
mmETP (4.84)
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 79
t - temperatura medie (măsurată la umbră) în perioada considerată (0C)
Rg - radiaţia solară globală
H
h0.620.18IgaRg (4.85)
h - durata reală de insolaţie
H- durata maximă de insolaţie posibilă (durata astronomică a zilei este funcţie de
latitudine) - Tabelul 4.2
Iga - radiaţia solară directă în absenţa atmosferei (este funcţie de latitudine)-Tabelul 4.3
Tabelul 4.2 Valori lunare Iga în calorii mici pe cm2 de suprafaţă orizontală şi
pe zi(Brochet şi Gerbier 1968)
Latitudine N 300 40
0 50
0 60
0
Ianuarie 508 364 222 87.5 Februarie 624 495 360 215
Martie 764 673 562 432 Aprilie 880 833 764 676
Mai 950 944 920 880 Iunie 972 985 983 970 Iulie 955 958 938 908
August 891 858 800 728 Septembrie 788 710 607 487 Octombrie 658 536 404 262 Noiembrie 528 390 246 111 Decembrie 469 323 180 55.5
Tabelul 4.3 Durata astronomică a zilei H - valori medii lunare în ore/zi (Brochet şi
Gerbier, 1968)
Latitudine N 300 40
0 50
0 60
0
Ianuarie 10.45 9.71 8.58 6.78 Februarie 11.09 10.64 10.07 9.11
Martie 12.00 11.96 11.90 11.81 Aprilie 12.90 13.26 13.77 14.61
Mai 13.71 14.39 15.46 17.18 Iunie 14.07 14.96 16.33 18.73 Iulie 13.85 14.68 15.86 17.97
August 13.21 13.72 14.49 15.58 Septembrie 12.36 12.46 12.63 12.89 Octombrie 11.45 11.15 10.77 10.14 Noiembrie 10.65 10.00 9.08 7.58 Decembrie 10.23 9.39 8.15 6.30
3. Alte formule [ Mermoud, 1996 ]
Formula lui Penman
Formula lui Penman - Montheith
Formula lui Blaney - Criddle
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 80
4.7. METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE
CURGERE ÎN MEDII POROASE NESATURATE
După cum s-a văzut în capitolele precedente procesele fizice care au loc într-un
mediu poros nesaturat sunt deosebit de complexe, iar simularea comportării unui astfel
de sistem reprezintă o problemă dificilă. Abordarea unei astfel de probleme presupune o
bună cunoaştere a fenomenului în vederea stabilirii unor ipoteze simplificatoare
corespunzătoare.
Pentru simularea comportării unui sistem “prototip” se poate construi un sistem
“model”. Procesul de simulare constă în obţinerea unor rezultate pe model care să
prezică răspunsul sistemului prototip. În acest sens, ecuaţiile diferenţiale care
guvernează curgerea apelor subterane sunt modele matematice. Integrarea ecuaţiilor
poate fi făcută analitic sau numeric. Un model matematic reprezintă un sistem abstract.
Simularea sistemelor reale include folosirea unor modele fizice şi a unor modele
analogice.
Modelele fizice şi analogice vor reprezenta subiectul unui capitol special.
Astfel în hidraulica subterană vor exista diferite metode de studiu:
“Metodele hidraulice” vor permite simplificarea ecuaţiilor generale pe baza unor
aprecieri de ordin fizic. Aceste considerente vor reprezenta: ipotezele simplificatoare.
De exemplu: mişcarea apei subterane poate fi studiată cu ajutorul teoriei
mişcărilor potenţiale plane (în condiţiile în care se poate considera H = 0).
Există numeroase probleme practice ce pot fi rezolvate, relativ simplu în cazul
unor astfel de ipoteze (de exemplu ipoteza Dupuit permite rezolvarea simplificată a unor
probleme de curgere spre puţuri sau drenuri).
În concluzie, am putea clasifica metodele de rezolvare a problemelor de curgere
în medii poroase în:
- Metode matematice (analitice, numerice)
- Metode hidraulice
- Metode geostatistice
- Metode experimentale (fizice)
- Metode experimentale (analogice)
Pentru ca un model matematic să reprezinte realitatea el trebuie să fie tarat
(calibrat) pe baza unor măsurători experimentale (în laborator sau in situ) şi validat prin
urmărirea comportării sistemului real, în timp.
Modelele matematice descriu sistemul prototip printr-un set de formule
algebrice sau printr-un sistem de ecuaţii. Aceste ecuaţii sunt rezolvate analitic sau
numeric, iar pentru a putea fi integrate, trebuie cunoscută geometria domeniului şi
condiţiile pe frontieră:
- condiţii de tip Dirichlet - dacă se cunosc valorile variabilelor dependente pe
frontieră;
- condiţii de tip Newman - dacă se cunoaşte fluxul prin frontiere;
- condiţii mixte.
În cazul problemelor nepermanente trebuie specificate condiţiile iniţiale ale
problemei şi variaţia în timp a condiţiilor de pe frontiere (dacă este cazul).
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 81
4.7.1 Metode analitice
Integrarea analitică a ecuaţiilor ce descriu curgerea prin medii poroase, se poate
face doar în cazul mediilor omogene, în condiţii simplificate.
Amintim câteva din încercările de abordare analitică sau semi-analitică a unor
astfel de probleme:
- Formula lui Theis şi Hantush pentru curgerea radială, nepermanentă spre un
puţ. Aceste ecuaţii sunt importante pentru aproximarea performanţelor puţurilor şi
acviferelor, în absenţa unor date suficiente. În acest scop, proprietăţile acviferului şi
condiţiile pe frontieră sunt idealizate.
- O soluţie semi-analitică este obţinută de Brebbra (1978) prin metoda
elementelor de frontieră. Frontiera domeniului bidimensional este împărţită intr-o serie
de elemente.
- Van der Veer (1978) a folosit o distribuţie continuă de puţuri (de încărcare şi
de extragere) şi de vârtejuri, plasate la frontiere pentru a genera un anumit spectru în
domeniu.
- Metoda semi-analitică propusă de Philip (1955) pentru curgerea în mediu poros
nesaturat a fost prezentată în capitolul 4.
- Crank (1956), Carslaw şi Jaeger (1959) integrază analitic ecuaţia
unidimensională Fokker-Plank, care pentru D = ct. şi K = ct. se reduce la ecuaţia de
difuzie liniară:
2
2
xD
t
Soluţiile analitice şi semi-analitice nu pot fi utilizate în general în problemele
practice, dar ele permit o înţelegere mai corectă a fenomenului decât soluţiile numerice.
Este de dorit ca atunci când este posibil, soluţiile numerice să fie comparate cu
cele analitice.
4.7.2 Metode numerice
Integrarea ecuaţiilor diferanţiale ce guvernează curgerea se poate face prin
aproximări numerice folosind metoda elementelor finite sau a diferenţelor finite.
t
n+1
n (i,n)
t x
n-1
1
0
1 i-1 i i+1 m x
Fig 5.1 Reţeaua de aproximare
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 82
În cazul aproximării prin diferenţe finite se defineşte o reţea ale cărei dimensiuni
depinde de numărul de variabile independente din reţeaua diferenţială.
Fiecare punct din reţeaua din fig.5.1 corespunde unui punct din spaţiu la un
moment dat.
Dacă se aproximează prin diferenţe finite ecuaţia:
2
2
xD
t
(4.85)
într-un nod (i,n) se va obţine ni
.
Pentru n=0 se dau condiţiile iniţiale pentru , iar condiţiile pe frontieră vor fi
corespunzătoare lui i = 0 şi i = m (la fiecare pas de timp).
Aproximarea constă în înlocuirea derivatelor parţiale prin diferenţele finite
corespunzătoare şi conduce la scheme implicite sau explicite.
Schemele explicite sunt obţinute dacă derivata în timp este înlocuită printr-o
diferentă “forward” între timpii n şi n+1 iar derivatele în spaţiu sunt înlocuite prin
diferenţele finite la timpul anterior, n.
x
xxDt
n1i
ni
ni
n1in
i1n
i (4.86)
din care rezultă:
n1i
ni
n1i2
ni
1ni
2x
tD
(4.87)
Valorile 1ni sunt exprimate explicit în funcţie de valorile de la timpul anterior.
Pentru a rezolva ecuaţia (4.87) trebuie specificate condiţii Dirichlet.
Condiţia de flux implică o ecuaţie suplimentară. Dacă la frontiera xm există un
flux qm
n , se introduce un nod imaginar.
nm
n1m
n1m q
x2D
(4.88)
n
1mnm
n1m
qD
x2
(4.89)
Astfel în condiţii de flux impus pe frontieră, poate fi calculat la sfârşitul
primului pas de timp, prin aplicarea repetată a ecuaţiei (4.87).
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 83
Din păcate metoda este instabilă şi conduce la soluţii lipsite de sens, în afară de
cazul în care:
2
1
x
tD
2
(Richtmyer şi Horton 1967) (4.90)
Dacă derivata se înlocuieşte printr-o diferenţă “bacward” se obţine o schemă
implicită.
2
n1i
ni
n1i
1ni
ni
x
2D
t (4.91)
Dacă la primul pas de timp se scrie ecuaţia (4.91) în fiecare nod rezultă (m-1)ec.
cu (m-1)necunoscute.
Procedeul se repetă “forward” în timp.
Prin scrierea derivatei în diferenţe finite se realizează o trunchere a seriei
Taylor în care poate fi dezvoltată funcţia. Astfel apare o eroare de trunchere.
Această eroare poate fi redusă folosind o schemă Crank-Nicolson care foloseşte
diferenţe centrate în timp prin aproximarea derivatelor spaţiale prin media dintre (n) şi
(n-1).
2
1n1i
1ni
1n1i
n1i
ni
n1i
1ni
ni
x
22
12
2
1
Dt
(4.92)
Aproximaţiile bacward (4.91) şi centrate (4.92) conduc la scheme implicite,
similare, care sunt necondiţional stabile.
Matricea coeficienţilor ecuaţiilor (4.91) şi (4.92) este tridiagonală. Sistemul se
poate integra printr-o tehnică de eliminare Gauss.
În cazul unei probleme bidimensionale, Peaceman şi Rachfort (1955) au propus
metoda direcţiilor alternante ADI (o metodă implicită).
Pentru fiecare aplicaţie sunt necesari doi paşi de timp. Folosirea metodei ADI a
fost exemplificată în capitolul 4, Aplicaţia 4.5.
În 1963, Douglas şi Jones propun pentru, ecuaţiile parabolice, unidimensionale,
neliniare, metoda predictor-corector.
Metoda este stabilă când este folosită în combinaţie cu un algoritm tridiagonal.
Ea implică aplicarea schemei Crank-Nicolson de două ori.
Primul pas : PREDICTOR, rezolvă sistemul de ecuaţii la timpul t = n+1
2. Se
exprimă coeficienţii ecuaţiei la acest timp.
La pasul următor: CORECTOR, este folosită schema Crank-Nicolson pentru
a avansa soluţia de la t = n la t = n+1, folosind valorile coeficienţilor de la timpul
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 84
t = n+1
2. Metoda prezintă dezavantajul unui timp dublu de calcul.
Metode iterative
- Metoda iterativă Jacobi
Pentru o ecuaţie eliptică:
0yx 2
2
2
2
(4.93)
dacă x = y,
cea mai simplă schemă iterativă este:
4
r1ji,
r1ji,
rj1,i
rj1,i1r
ji,
(4.94)
unde r este indicele de iterare. Se porneşte de la o valoare i
0 , dată arbitrar, în tot
domeniul.
- Metoda iterativă Gauss-Seidel
i, j
r 1 i 1,j
r 1
i,j 1
r 1
i 1,j
r
i,j 1
r
4
(4.95)
Se obţine astfel o schemă implicită.
- Metoda iterativă SOR (succesive over relaxation)
r1ji,
rj1,i
1r1ji,
1rj1,i
rji,
1rji, 4
1
(4.96)
unde 1 2 este numit indice de relaxare.
Se obţine o schemă implicită.
- Metoda iterativă LSOR (line succesive over-relaxation)
Pentru fiecare linie orizontală, j, se aplică schema iterativă:
r1ji,
1r1ji,
1r1i
1rj1,i
rji,
1rji, 4
1
(4.97)
dacă se cunoaşte valoarea 1r1ji,
, din valorile obţinute în nodurile de pe linia (j-1).
- Metoda iterativă ADIPIT
Această metodă este varianta iterativă a metodei ADI.
- Metoda elementului finit va fi prezentată într-un capitol special.
Hidrodinamica apelor subterane. Circulaţia apei într-un mediu poros nesaturat 85
4.7.3 Modelarea matematică a regimului nesaturat. Dificultăţi de
modelare Tabelul 4.5
Autorul Dimensiuni
Tipul problemei Dimensiunile domeniului
Aproximarea numerică şi metoda de rezolvare
Rubin (1968) 2 - D
plan vertical
Curgere spre canal 0,3m x 0,3m Schemă implicită în diferenţe finite
ADIPIT Taylor şi Luthin
(1969) 2 - D
axial simetric
Curgere spre puţ şi freatic puţin adânc.
2m x 1,2m Schemă explicită în diferenţe finite în zona
nesaturată Gauss-Seidel
Hornberger (1969) 2 - D
plan vertical
Curgere spre canal 0,3m x 0,5m Schemă implicită în diferenţe finite Gauss-
Seidel. Verma şi Brutsaert
(1970) 2 - D
plan vertical
Curgere spre canal 3m x 3m Predictor explicit + corector implicit
ADI
Guitjens şi Luthin (1971) 2 - D
axial simetric
Curgere spre puţuri (cu efect histerezis)
3,7m x 2,5m Schemă implicită în diferenţe finite Gauss-
Seidel.
Cooley (1971) 2 - D
axial simetric
Curgere spre puţuri (Întârzierea răspunsului fraticului)
20m x 396m Schemă implicită în diferenţe finite LSOR (line succesive over-
relaxation) Freeze (1971)
3 - D General 53m x 40m
x 6m Schemă implicită în
diferenţe finite LSOR Newman (1973/75)
2 - D plan vertical
Câteva Diferite Schemă implicită cu elemente finite
(Galerkin) Eliminare Gauss
(iterativ) Pikul (1974)
2 - D plan vertical
Câteva Diferite Predictor-Corector
Vachaud/Vauclin (1975) 2 - D
plan verticală
Curgere spre canal 3m x 2m Schemă implicită în diferenţe finite
ADIPIT
Rovey (1975) 3 - D
Sistem acvifer + râu
6000m x 6000m x x(diferite adâncimi)
Schemă implicită cu diferenţe finite. Eliminare Gauss
În tabelul (4.5) sunt prezentate rezultate de referinţă în domeniul problemelor
cuplate: saturat-nesaturat.În majoritatea cazurilor domeniile în care s-a făcut integrarea
sunt de mici dimensiuni. Ecuaţia de curgere este puternic neliniară.În cazul unui front
de umezire ascuţit, schimbul presiunii matriciale poate fi de la câteva mii de mbari la
mai puţin de 10cm. Astfel mărimea reţelei, în direcţia verticală trebuie să fie de ordinul
centimetrilor (funcţiile K(h) şi (h) fiind puternic neliniare).Pasului de timp i se impun
restricţii pentru a respecta condiţiile de convergenţă ale schemelor.
Hidrodinamica apelor subterane. Sisteme acvifere. 86
Capitolul 5
SISTEME ACVIFERE
5.1. CLASIFICAREA ACVIFERELOR
Prin acvifer se înţelege o formaţiune geologică care conţine apă şi care permite,
în condiţii normale, circulaţia unei cantităţi semnificative de lichid. (aqua = apă, ferre =
a purta, a duce, phreatos = puţ).
5.1.1. Pânza freatică sau acviferul cu suprafaţă liberă
Presupunem un sol poros, uniform şi permeabil. Apa de ploaie se infiltrează şi
saturează roca poroasă până la un anumit nivel, numit suprafaţă liberă.
Numim pânza freatică sau acvifer freatic, zona saturată, aflată între suprafaţa
liberă şi stratul impermeabil de la bază.
a) In pânza freatică apa circulă spre zona de izvorâre care cuprinde punctele de cotă
minimă ale topografiei (izvoare, râuri din reţeaua hidrografică de supafaţă).
Fig. 5.1: Schematizarea unei pânze freatice “de vale”
In Figura 5.1 sunt reprezentate liniile de curent şi liniile de egală sarcină (echipotenţiale,
curbe izopieze, curbe piezometrice, hidroizohipse).
Dacă permeabilitatea este izotropă, liniile de curent sunt ortogonale la liniile
echopotenţiale.
Hidrodinamica apelor subterane. Sisteme acvifere. 87
Panta suprafeţei libere indică sensul circulaţiei în pânză. Apa circulă pe toată
grosimea acviferului, vitezele fiind mai mari la suprafaţă decât la adâncime, întrucât
traiectoriile sunt mai scurte pentru aceeiaşi diferenţă de sarcină.
In cursul anului, suprafaţa liberă a pânzei oscilează între valori maxime (aprilie-
mai) şi valori minime (octombrie-noiembrie) datorită timpului de parcurgere a zonei
nesaturate, de către apa rezultată din ploaie. In multe cazuri panta suprafeţei libere este
mică, echipotenţialele sunt practic verticale, iar liniile de curent sunt practic paralele cu
suprafaţa liberă (aproape orizontale). Excepţie face zona din imediata apropiere a
regiunilor de izvorâre şi de alimentare (Figura 5.2).
Fig. 5.2: Pânză freatică cu curgere orizontală
b) Pânză freatică din zonele aride.
Fig. 5.3: Pânză freatică alimentată din apele de suprafaţă
In cazul în care alimentarea pânzei din precipitaţii este slabă, suprafaţa liberă a
pânzei este coborâtă iar aspectul suprafetei libere este ca cel din figura 5.3. Alimentarea
pânzei se face din apele de suprafaţă.
c) Pânze aluvionare. In câmpiile aluvionare, materialul aluvionar depus de râu (nisip, pietriş), este
foarte permebil, legătura dintre apele de suprafaţă şi apele subterane fiind foarte
puternică. In figura 5.4 se observă că, pe anumite porţiuni, apa subterană alimentează
pânza freatică. Suprafaţa liberă a pânzei freatice este foarte apropiată de suprafaţa
Hidrodinamica apelor subterane. Sisteme acvifere. 88
solului şi de multe ori deasupra nivelului râului. Astfel de pânze se mai numesc şi
subfluviale.
Legătura dintre râu şi pânza freatică poate fi împiedicată prin colmatarea
fundului râului sau lacului.
Fig. 5.4: Pânză freatică aluvionară
d) Pânze nealimentate de râu şi suprapuse.
Aceste pânze au la bază un strat impermeabil (de exemplu marne, argile) şi sunt
cantonate într-un mediu poros foarte permeabil. Curgerea se face spre punctele cele mai
coborâte, unde apar zone de izvorâre. Se poate întâmpla ca, sub stratul impermeabil să
existe un alt strat permeabil (de exemplu, calcar) în care să se formeze o altă pânză
freatică. Intre cele două pânze pot exista legături verticale, prin drenanţă.
Hidrodinamica apelor subterane. Sisteme acvifere. 89
Fig. 5.5. Pânze freatice suprapuse
5.1.2. Pânza captivă sau acviferul sub presiune
Fig. 5.6. Acviferul sub presiune
Un acvifer sub presiune (confinat) este limitat deasupra şi dedesubt prin
formaţiuni impermeabile. Intr-un puţ care străbate un acvifer sub presiune, nivelul apei
se ridică deasupra stratului impermeabil superior (coperiş). Acest nivel indică sarcina
piezometrică din centrul puţului. Nivelul apei dintr-un număr infinit de astfel de puţuri
de observaţie reprezintă o suprafaţă imaginară, numită suprafaţă piezometrică. Un
acvifer artezian este un acvifer sub presiune pentru care nivelul suprafeţei piezometrice
este deasupra suprafeţei solului. Un puţ practicat într-un astfel de acvifer va permite
curgerea apei in sus, spre suprafaţa solului, fără pompare. Numele vine de la localitatea
Artesia din nordul Franţei unde, in secolul XII, au fost construite astfel de puţuri. Două
acvifere pot comunica între ele, pe anumite porţiuni din suprafaţa lor, prin intermediul
straturilor semimpermeabile ce le despart –( leaky acvifer). Astfel, pot exista acvifere
sub presiune, alimentate prin drenanţă, dintr-un strat cu presiune mai mare.
Hidrodinamica apelor subterane. Sisteme acvifere. 90
Fig. 5.7. Analogia între o pânză captivă şi un permeametru “U”
5.1.3. Tipuri de acvifere în funcţie de condiţiile de margine
În figura 5.8 este schematizata o clasificare a principalelor tipuri de acvifere, din
punct de vedere al condiţiilor de margine, respectiv al condiţiilor de alimentare.
Astfel, atât pentru acviferele cu suprafaţă liberă cât şi pentru acviferele sub
presiune, se pot defini urmatoarele tipuri:
1. acvifere infinite, la care zona de alimentare se afla la mare distanta de puţul
de extracţie,
2. acvifere semiinfinite, la care una din zonele de alimentare se afla la mare
distanta iar in apropiere de puţul de extracţie se află o limită impermeabilă
sau o altă zonă de alimentare,
3. acvifere tip bandă, la care zonele de alimentare sau limitele impermeabile
se afla la mică distanţă de puţul de extracţie şi sunt în general paralele,
4. acvifere unghiulare, la care limitele amintite mai sus formează un unghi
oarecare, cunoscut,
5. acvifere închise pe contur, la care limita de alimentare sau limita
impermeabilă este reprezentată de un contur închis, bine determinat,
cunoscut.
Hidrodinamica apelor subterane. Sisteme acvifere. 91
Fig. 5.8. Tipuri de acvifere
Hidrodinamica apelor subterane. Sisteme acvifere. 92
5.1.4. Definirea acviferelor conservative şi neconservative.
Caracterul conservativ sau neconservativ al mişcării apelor subterane spre
lucrările de captare şi drenaj rezultă din condiţiile de margine pe verticală.
wi = modul de infiltrare eficace (m3/m
2zi) (debit uniform distribuit)
wd’ = modul de alimentare prin drenanţă prin acoperiş (m3/m
2zi)
wd” = modul de alimentare prin drenanţă prin culcuş (m3/m
2zi)
Fig. 5.9. Condiţii de frontieră
Hidrodinamica apelor subterane. Sisteme acvifere. 93
5.2. ROLURILE UNUI ACVIFER
Sursă de apă reînnoibilă.
Un acvifer poate fi alimentat din precipitaţii în funcţie de distribuţia şi de
intensitatea ploii, de topografia terenului, de acoperirea cu vegetaţie şi de
permeabilitatea solului. Apele de suprafaţă pot constitui condiţii de frontieră pentru
apele subterane. Ele pot alimenta freaticul sau pot fi alimentate de acesta.
Există acvifere de adâncime, în care apa provine din înmagazinarea în ere
îndepărtate, în condiţii climatice diferite de cele actuale. Acestea reprezintă surse
nereînnoibile.
Rezervor de înmagazinare.
Mari cantităţi de apă pot fi stocate într-un acvifer freatic, folosind tehnici de
încărcare artificială (pentru perioade mai lungi sau mai scurte).
Mediu conductor.
Apa poate fi introdusă într-un punct din freatic şi captată, prin pompare,
într-un alt punct. Apa injectată va curge dinspre zona cu nivel ridicat, din zona de
încărcare, spre puţul de pompare (cu nivel scăzut).
Filtru.
Prin tehnica de încărcare artificială, un acvifer poate fi folosit ca filtru şi purificator
pentru apa injectată, încărcată cu impurităţi. Astfel filtrarea va consta din:
reţinerea suspensiilor;
reacţii chimice (adsorbţia şi schimburi ionice la suprafaţa materiei solide, în special
în solurile argiloase);
amestecul apei poluate, injectate, cu apa din acvifer (datorită geometriei
traiectoriilor şi mecanismului dispersiei hidrodinamice).
Controlul curgerii de bază,
se poate realiza (în izvoare şi râuri) prin controlul nivelului apei în acviferele care le
alimentează.
5.3. MANAGEMENTUL SISTEMULUI APELOR SUBTERANE
Se poate considera că apele subterane constituie un sistem care îndeplineşte
diferite funcţii specifice şi care poate fi exploatat astfel încât să fie realizate anumite
obiective.
Managementul sistemului apelor subterane constă în luarea unor decizii de
modificare a stării actuale a sistemului, în vederea realizării unor scopuri şi obiective.
Hidrodinamica apelor subterane. Sisteme acvifere. 94
Managementul include selecţia celor mai bune seturi de decizii (poliţii) care să
ducă la realizarea unuia sau a mai multor obiective, simultan.
Funcţia scalară a variabilelor decizii care măsoară eficienţa diferitelor poliţii
alternative este numită funcţie obiectiv.
Managementul unui acvifer înseamnă determinarea valorilor numerice ale unor
variabile “decizii” prin maximizarea sau minimizarea unor funcţii obiectiv, ţinând
seama de anumite constrângeri.
Exemple de variabile de stare:
nivelul apei;
concentraţia soluţiei;
denivelarea terenului;
intruziunea apei mării.
Exemple de variabile de decizie.
Distribuţia spaţială şi temporară a pompajului;
Distribuţia spaţială şi temporară a încărcării artificiale;
Nivelul apei în râurile sau lacurile aflate în contact cu acviferul;
Calitatea apei ce urmează a fi folosită pentru încărcarea artificială;
Calitatea apei pompate;
Capacitatea noilor instalaţii de pompare sau de injecţie (încărcare artificială),
localizarea lor şi planificarea în timp a construcţiei lor;
Localizarea puţurilor folosite pentru operaţiile de depoluare a acviferului.
Exemple de funcţii obiectiv.
Beneficiile totale nete, rezultate din acţiunea asupra sistemului acvifer, într-o
anumită perioadă de timp. Se doreşte maximizarea acestei funcţii;
Costul operaţiilor de depoluare, a acviferului. Se doreaşte minimizarea costului;
Costul unităţii de volum de apă, furnizată la consumator. Se doreşte minimizarea
acestei funcţii;
Consumul total de energie (se minimizează);
Suma valorilor absolute, ale diferenţelor între nivelul apei dorit şi cel actual (sau
suma pătratelor diferenţelor) (se minimizează).
Exemple de constrângeri hidrologice.
Nivelul apei să nu depăşească un anumit nivel maxim;
Nivelul apei să nu scadă sub un anumit nivel limită, admisibil;
Debitul unui izvor să nu scadă sub o valoare minimă admisă;
Scurgerea de bază dintr-un râu, alimentată din acvifer, să nu scadă sub un minim
admisibil;
Concentraţia unor anumite specii în soluţie, în apa pompată, să nu depăşească
valorile specifice admisibile;
Pompajul total trebuie să satisfacă cererea de apă dintr-o anumită zonă
Hidrodinamica apelor subterane. Sisteme acvifere. 95
Debitul de pompare (sau de încărcare artificială) nu trebuie să depăşească
capacitatea instalată admisibilă a puţului;
Perioada de timp în care apa injectată rămâne în acvifer înainte de a fi pompată
trebuie să depăşească o valoare minimă;
Lungimea distanţei de pătrundere, a apei mării în acvifer nu trebuie să depăşească o
valoare dată.
Prognozarea răspunsului sistemului acvifer este o parte intrinsecă a managementului
optim.
Trebuie cunoscute valorile viitoare ale variabilelor de stare caracteristice unui
acvifer, ca rezultat al implementării unui set de decizii propus,
astfel încât să respecte constrângerile hidrologice specifice;
şi să fie minimizate (maximizate) funcţiile obiectiv.
5.4. MODELAREA MATEMATICA A CURGERII IN ACVIFERE
Un model poate fi definit ca o versiune simplificată a sistemului real care
simulează aproximativ relaţia excitaţie-răspuns a acestuia.
Simplificările sunt introduse sub forma unui set de ipoteze care exprimă
înţelegerea noastră privind natura sistemului şi comportarea sa. Ca urmare, nu va exista
un model unic pentru un sistem acvifer dat. Fiecare set de ipoteze va duce la un alt
model. Astfel, pot fi definite modelele matematice numerice, fizice, analogice.
Alegerea celui mai potrivit model, pentru un caz dat, depinde de obiectivele
investigaţiei şi de resursele disponibile (timp, buget, computere).
Majoritatea modelelor exprimă bilanţul, cantităţilor considerate (masa de apă,
masa de poluant, căldura).
Primul pas de modelare este construirea unui model conceptual al domeniului
acvifer. Acesta constă dintr-un set de ipoteze care reduc problema reală şi domeniul
real, la o versiune simplificată, acceptabilă din punct de vedere al obiectivelor şi al
problemelor de management asociate.
Aceste ipoteze trebuie să fie referitoare la:
geometria frontierelor domeniului acvifer;
tipul materialului acviferului (omogenitate, izotropie);
tipul de curgere (unidimensional, bidimensional, tridimensional, orizontal);
regimul de curgere (laminar, turbulent);
proprietăţile apei (referiri la omogenitate şi compresibilitate);
efectul solidului dizolvat, al temperaturii, densităţii şi vâscozităţii;
prezenţa unor frontiere lichid-lichid în cazul intruziunilor apelor sărate sau a
poluanţilor;
variabilele de stare relevante şi aria sau volumul pe care se poate lua în considerare
o medie a acestora;
surse şi puţuri de extracţie de apă sau de poluant,in domeniu (se referă la tipul
acestora: punctuale sau distribuite);
Hidrodinamica apelor subterane. Sisteme acvifere. 96
condiţiile de frontieră, care exprimă interacţiunea domeniului acvifer cu zonele
limitrofe.
Modelul conceptual trebuie exprimat printr-o formă matematică, numită model
matematic. Acesta trebuie să conţină:
Definirea geometriei domeniului considerat şi a frontierelor;
Ecuaţiile care exprima bilanţul mărimilor considerate;
Ecuaţiile care descriu fluxurile cantităţilor extensive considerate (variabilele de stare
relevante);
Ecuaţiile constitutive care definesc comportarea materialelor (fluid, solid);
Condiţiile iniţiale care descriu starea sistemului la momentul iniţial;
Condiţiile pe frontiere, care descriu interacţiunea acviferului cu mediul înconjurător.
Odată construit modelul matematic, în funcţie de variabilele de stare relevante,
acesta trebuie rezolvat pentru cazuri de interes practic.( Sunt preferate metodele
analitice, acestea dând soluţii general valabile). De cele mai multe ori metodele analitice
nu pot fi folosite din cauza dificultăţii modelului. În acest caz se folosesc metode
numerice, pentru care:
Soluţia este dată prin valori discrete în timp şi spaţiu (nu prin valori continue);
Ecuaţiile cu derivate parţiale sunt înlocuite printr-un set de ecuaţii algebrice care
conţin valori discrete ale variabilelor de stare;
Soluţia este obţinută folosindu-se un set de valori numerice ale coeficienţilor
caracteristici acviferului.
O etapă importantă a modelării o reprezintă calibrarea modelului. Aceasta
presupune estimarea parametrilor caracteristici acviferului astfel încât rezultatele
modelului să coincidă cu cele măsurate.
Modelul astfel obţinut trebuie validat. Validarea se face prin compararea valorilor
obţinute cu ajutorul modelului cu valorile măsurate sau pentru cazuri simple cu cele
obţinute analitic. Astfel se pot înlătura erorile rezultate din aproximarea numerică.
Modelarea unui caz concret de curgere într-un acvifer va conţine:
1. Descrierea problemei.
2. Obiectivele modelării.
3. Ipoteze de calcul.
4. Modelul conceptual.
5. Ecuaţiile matematice ale modelului.
6. Coeficienţii şi parametrii modelului.
7. Modelul numeric. Programul utilizat.
8. Calibrarea şi estimarea parametrilor.
9. Simulări ale fenomenelor.
10. Studiul sensibilităţii modelului.
11. Concluzii.
Hidrodinamica apelor subterane. Sisteme acvifere. 97
Fig. 5.10. Dezvoltarea unui model numeric hidrogeologic (Peck, 1988)
Hidrodinamica apelor subterane. Sisteme acvifere.
98
5.5. IPOTEZA LUI DUPUIT
Dupuit (1863) a observat că în cele mai multe cazuri panta suprafeţei libere a pânzei
freatice este foarte mică (1/1000, 10/1000).
Fig. 5.11. Secţiune verticală, prin pânza freatică
Într-o curgere staţionară, intersecţia suprafeţei freatice cu planul vertical xOz este
linie de curent. În fiecare punct P de pe această linie, debitul specific qs este tangent la linia
de curent şi este dat de legea lui Darcy.
Ksinds
dzK
ds
dHKsU (5.1)
deoarece în lungul suprafeţei freatice p=0 şi H=z. Cum este foarte mic, Dupuit sugerează
ca sin să fie înlocuit prin panta dx
dhtg
.
Ipoteza că unghiul este mic este echivalentă cu ipotezele:
Suprafeţele echipotenţiale sunt verticale.
H=H(x) şi nu H(x,z).
Curgerea este orizontală.
,dx
dhKxU (5.2)
În general h=h(x,y).
Hidrodinamica apelor subterane. Sisteme acvifere.
99
hKjyUixUU
y
hKyU
x
hKxU
(5.3)
Debitul total printr-o suprafaţă verticală de înălţime h şi lăţime l, normală la direcţia
de curgere, ca cea din figura 5.11 este:
dx
dhhlKxQ
(5.4)
dy
dhhlKyQ
(5.5)
sau scris sub formă vectorială:
hhlKQ (5.6)
Debitul pe unitatea de lăţime este:
hhKl
Qq (5.7)
Aceste relaţii sunt valabile în cazul în care stratul impermeabil de la baza freaticului este
orizontal, este mic şi curgerea este aproximativ orizontală.
Ipoteza conform căreia curgerea este orizontală, este echivalent cu aceea că
distribuţia presiunii este hidrostatică g-
z
p
.
O relaţie similară cu (5.7) se poate obţine prin integrare fără a pune condiţia ca
culcuşul acviferului să fie orizontal.
Fie b (x,y) cota culcuşului. Relaţia (5.7) va deveni :
hbhKl
Q (5.8)
Ca o aplicaţie simplă a ecuaţiei (5.7) vom considera cazul unei curgeri staţionare
într-o pânză freatică limitată de două rezervoare ca în Figura 5.12.
În ipoteza Dupuit debitul total, în direcţia x, pe unitatea de lăţime, printr-o secţiune
verticală de înălţime h(x), este:
ctdx
dhxhK
lxQ
q (5.9)
dhxhKdxq (5.10)
Prin integrare între limitele x=0 (h=h0) şi x (h=h(x)) se obţine ecuaţia suprafeţei libere în
pânza freatică, (5.12).
Hidrodinamica apelor subterane. Sisteme acvifere.
100
xh
0hdhxhK
x
0dxq (5.11)
2
x2h20
hKxq
(5.12)
Figura 5.12. Secţiune longitudinală printr-o pânză freatică
Cu relaţia 5.12, care descrie o parabolă, se poate determina debitul pe unitatea de
lăţime de acvifer, intr-un punct x, dacă se măsoară h(x) şi se cunoaşte K.
În Figura 5.12 sunt trasate două curbe ale suprafeţei libere. Cea continuă, este
suprafaţa reală. Ea se termină la cota hs>hL. Distanţa AB se numeşte suprafaţă de izvorâre.
Curba întreruptă este parabola (5.12), obţinută prin ipoteza Dupuit. Ea este o aproximare a
suprafeţei reale.
Dacă se aproximează curba reală cu cea obţinută prin ipoteza lui Dupuit, atunci
debitul poate fi calculat cu relaţia:
L2
2L
h20
hKq
(5.13)
cunoscută ca formula Dupuit – Forchheimer.
În practică ipoteza Dupuit, deci relaţia (5.12) este valabilă pentru o zonă care se află
la o distanţă de (1.5÷2)hmediu faţă de capătul aval al domeniului. Ea nu poate fi aplicată în
regiunile în care componenta verticală a curgerii este semnificativă.
Hidrodinamica apelor subterane. Sisteme acvifere.
101
5.6 ECUAŢIA DE CONTINUITATEA. BILANŢUL MASEI.
Fie un volum de control paralelipipedic, de dimensiuni dx, dy, dz, centrat într-un
punct P(x,y,z) şi aflat într-un acvifer. Un volum de control are o formă arbitrară, dar
constantă, deşi cantitatea şi identitatea materialului aflat în interior se poate schimba în
timp.
Figura 5.13
Abordarea Euleriană a ecuaţiei de continuitate constă în realizarea unui bilanţ între
masa de fluid intrată şi ieşită prin feţele volumului de control şi masa acumulată în interior.
(Într-o formulare Euleriană se observă ce se întâmplă într-un punct fix din domeniu şi în
vecinătatea sa).
Fie vectorul qJ =U , fluxul de masă de apă de densitatea , în punctul
P(x,y,z) (masa care trece prin unitatea de suprafaţă în unitatea de timp). q este debitul
specific, respectiv viteza Darcy în acvifer (U).
Variaţia masei de apă din interiorul volumului de control, într-un interval de timp dt,
va fi:
dzdyz,y,
2
dxxxJz,y,
2
dxxxJdtdm
Hidrodinamica apelor subterane. Sisteme acvifere.
102
dzdxz,
2
dyy,xyJz,
2
dyy,xyJdt
dydx
2
dzz,y,xzJ
2
dzz,y,xzJdt
dx
z,y,2
dxxxJz,y,
2
dxxxJ
dtdxdydz
dm
dy
z,2
dyy,xyJz,
2
dyy,xyJ
dz
2
dzz,y,xzJ
2
dzz,y,xzJ
(5.14)
Când dx, dy, dz, tind la zero, volumul tinde spre punctul P, iar
JJdivz
zJ
y
yJ
x
xJ
dzdydxdt
dm
(5.15)
Diferenţa dintre ieşirea şi intrarea fluxului oricărei mărimi caracteristice, în unitatea
de volum şi în unitatea de timp, este exprimată prin divergenţa vectorului flux al acelei
mărimi.
Într-un mediu poros saturat, masa de apă aflată în unitatea de volum este:
ndzdydx
dm
(5.16)
În cazul general, în care fluidul este considerat compresibil, iar scheletul solid
deformabil, (n) variază în timp.
Variaţia masei de fluid din unitatea de volum va fi:
t
n
t
tn
ttn
0tlim
(5.17)
t
n
tn
t
n
(5.18)
Ecuaţia de bilanţ a masei de fluid, numită ecuaţia de continuitate, exprimă egalitatea
dintre variaţia masei de fluid din unitatea de volum şi diferenţa dintre fluxurile de intrare şi
ieşire din volumul de control.
Hidrodinamica apelor subterane. Sisteme acvifere.
103
Udivt
nsau Jdiv
t
n
(5.19)
a) În cazul unui fluid incompresibil omogen (=ct) aflat într-un mediu poros nedeformabil
(n=ct) precum şi în cazul mişcării permanente a unui fluid omogen
0
t
n, ecuaţia
de continuitate devine
0Udiv (5.20)
b) Dacă în domeniul analizat există surse distribuite de apă (pozitive sau negative), pentru
care volumul de apă injectat sau extras în unitatea de volum, în unitatea de timp, este
P(x,y,z,t) (puterea sursei), ecuaţia de continuitatea devine:
t,z,y,xPUdivt
n
(5.21)
c) Dacă se ia în considerare cazul general în care ecuaţia de stare pentru faza fluidă este
=(p, C,T), respectiv densitatea fluidului variază în funcţie de presiunea p de
concentraţia C a diferitelor componente (solid dizolvat, specii chimice) şi de
temperatura absolută T,
t
n
tn
t
n
(5.22)
În condiţii izoterme (T=ct):
dCCdpp(dC
ctT,pCdp
ctT,Cpd
(5.23)
unde
ctT,Cp
1p
(5.24)
este coeficientul de compresibilitate al fluidului la temperatură şi concentraţie constante, iar
ctT,pC
1C
(5.25)
este un coeficient care introduce efectul concentraţiei.
Dacă p şi C pot fi considerate constante, soluţia ecuaţiei (5.26)
)dCdp(d Cp
Hidrodinamica apelor subterane. Sisteme acvifere.
104
va fi
...0CCC0ppp100CCC0pppexp0 (5.27)
unde =0 pentru p=p0 şi C=C0.
Dacă se neglijează următorii termeni rezultaţi din dezvoltarea în serie, rezultă o
relaţie empirică folosită mult în practică:
0CCC0ppp10 (5.28)
Primul termen din membrul drept al ecuaţiei (5.22) va fi:
t
CCn
t
ppn
t
C
Cn
t
p
pn
tn
(5.29)
În cazul în care se consideră scheletul solid incompresibil, cu porozitate constantă n:
t
CCn
t
ppn
tn
t
n
(5.30)
d) Dacă se ia în considerare variaţia porozităţii mediului poros în funcţie de presiune, se
poate demonstra că
t
pn1
t
p
p
n
t
n
(5.31)
unde este coeficientul de compresibilitate al solului
p
n
n1
1
(5.32)
Astfel, în cazul general
t
pn1
t
CCn
t
ppn
t
n
(5.33)
iar dacă se consideră C=C0=ct, p coeficientulde compresibilitate al fluidului la
temperatură ţi concentraţie constante:
t
pn1n
t
n
(5.35)
şi ecuaţia de continuitate devine:
t
pn1nUdiv
(5.36)
Ecuaţia de continuitate pentru cazul solului nesaturat a fost dezvoltată în Capitolul4.
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 105
Capitolul 6
ACVIFERE CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ
6.1. ECUAŢIA DE DIFUZIVITATE ÎN ACVIFERELE CU
SUPRAFAŢĂ LIBERĂ
O pânză freatică liberă este un mediu poros care nu este saturat decât sub o
anumită cotă. Deasupra acestei cote mediul este nesaturat. În acest caz se poate neglija
compresibilitatea apei (=ct) şi a mediului poros (n=ct). Toate variaţiile sarcinii vor
antrena o mişcare a suprafeţei libere.
Vom considera o prismă dintr-un acvifer cu suprafaţă liberă, de înălţime h, aflată
între substratul impermeabil b(x,z) şi suprafaţa liberă H(x,y,t). Vom presupune că în
această pânză cu suprafaţă liberă toate vitezele sunt orizontale şi paralele între ele, pe
aceiaşi verticală (ipoteza lui Dupuit).
Fig. 6.1. Schematizarea unui volum elementar dintr-o pânză freatică
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 106
Presupunem că tensorul permeabilităţii admite verticala ca şi una din direcţiile
principale. Vom considera sarcina H(x,y) ca necunoscută, independentă de z. Deci H
reprezintă sarcina pe verticală şi în particular, cota suprafeţei libere a pânzei. Dacă nu
există gradienţi de sarcină verticali, din legea lui Darcy rezultă că nu există componente
verticale ale vitezei.Vom alege axele x, y ca fiind cele două direcţii principale de
anizotropie, în plan.
Ecuaţia de continuitate pentru prisma dx, dy, (H-b) se poate exprima făcând bilanţul
intrărilor si ieşirilor, astfel:
a) Fluxul masic care intră în unitatea de timp prin cele două feţe perpendiculare pe Ox:
)z,y,dxx(J)z,y,x(JJ xxx (6.1)
(6.2)
Ux este componenta vitezei de filtraţie (viteza lui Darcy) după direcţia x.
dxdzUx
dyJH
b xx
(6.3)
Conform legii lui Darcy:
x
Hz,y,xKU xxx
(6.4)
H
b xxx dzx
HK
xdydxJ (6.5)
x
H
nu depinde de z.
Fluxul prin suprafeţele perpendiculare pe Oy va fi:
dzz,dyy,xUdxdzz,y,xUdxJ
t,y,xH
y,xb yt,y,xH
y,xb yy (6.6)
yz
H
b
yxy ddUy
dJ
(6.7)
y
H)z,y,x(KU yyy
(6.8)
y
H
nu depinde de z.
)t,y,x(H
)y,x(b
)t,y,x(H
)y,x(b
dz)z,y,dxx(Uxdydz)z,y,x(UxdyJx
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 107
dz
y
HK
ydxdyJ
H
b yyy (6.9)
dzK
y
H
ydzK
x
H
xdydxJJJ
H
b yyH
b xxyx (6.10)
b) Pentru a se ţine seama de schimburile pânzei freatice cu exteriorul, se introduce în
bilanţul masic
– fie debitul masic prin unitatea de suprafaţă a pânzei freatice )dydxw( , w
fiind debitul prelevat pe unitatea de suprafaţă a pânzei freatice
tL
L
2
3
– fie debitul masic Qm de fluid prelevat în element dintr-o sursă exterioară
(pozitiv dacă este prelevat şi negativ dacă este injectat), de exemplu printr-un
puţ.
c) Variaţia masei elementului considerat se va face prin ridicarea sau coborârea
nivelului suprafeţei libere (apa este liberă să se ridice în stratul permeabil).
d) Masa de apă gravitaţională conţinută în elementul de volum este:
dydxbHndM d (6.11)
nd este porozitatea de drenaj (nu porozitatea totală).
Variaţia acestei mase în timp, va fi:
dydxt
Hn
dt
dMd
(6.12)
Bilanţul intrărilor şi ieşirilor, ţinând seama de conservarea masei va fi
reprezentat de ecuaţia:
dzK
y
H
ydzK
x
H
xdydx
H
b yyH
b xx
dydxwdydxt
Hnd
(6.13)
Cum 0, dxdy 0, rezultă
wdzK
y
H
ydzK
x
H
x
t,y,xH
y,xb yyt,y,xH
y,xb xxt
Hdn
(6.14)
Această ecuaţie se numeşte “ecuaţia de difuzivitate a pânzei freatice cu suprafaţă
liberă”. Ea este neliniară în H.
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 108
Cazuri particulare:
1. Dacă conductivităţile Kxx şi Kyy sunt constante de toată verticala, ecuaţia
difuzivităţii devine:
t
HnwbHK
y
H
ybHK
x
H
xdyyxx
(6.15)
sau
ty,x,hb-H unde,t
HnwhK
y
H
yhK
x
H
xdyyxx
(6.16)
2. Pentru un mediu anizotrop, ţinând seama de definirea transmitivităţii:
h.K)bH(KdzKT xxxx
H
b
xxxx
ecuaţia difuzivităţii devine:
t
Hnw
y
HT
yx
HT
xdyyxx
(6.17)
Vom presupune că transmisivitatea variază puţin cu sarcina h, adică variaţiile lui h
sunt neglijabile faţă de (H – b), de exemplu mai mici de 10% sau repartiţia verticală a
lui K este astfel încât variaţiile lui h nu antrenează o variaţie a lui T mai mare de 10%.
3. Dacă mediul este izotrop, transmisivitatea este constantă (Txx = Tyy = T), ecuaţia
difuzivităţii devine:
t
H
T
n
T
w
y
H
x
H d
2
2
2
2
(6.18)
Această ecuaţie cu derivate parţiale este de tip parabolic şi este asemănătoare cu ecuaţia
căldurii.
4. Dacă stratul b(x,y) este orizontal şi luăm b(x,y) = 0, ca plan de referinţă pentru
potenţial,
H(x,y,t) – b(x,y) = h(x,y,t) = H(x,y,t), (6.19)
iar ecuaţia difuzivităţii devine:
h.K)bH(KdzKT yyyy
H
b
yyyy
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 109
t
hnw
y
hhK
yx
hhK
xdyyxx
(6.20)
5. Dacă mediul este izotrop şi uniform, Kxx =K yy =K, ecuaţia difuzivităţii devine:
t
hnw
y
hh
yK
x
hh
xK d
(6.21)
sau
t
h
K
n
K
w
y
hh
y
h
y
h
x
hh
x
h
x
h d
2
2
2
2
(6.22)
t
h
K
n2
K
w2h d22
(6.23)
6. Dacă regimul este permanent 0t
h
şi ecuaţia este liniară în h
2:
K
w2h22 (6.24)
7. Dacă pânza nu este alimentată la suprafaţă (w = 0) şi regimul este permanent,
ecuaţia difuzivităţii va fi:
0y
h
x
h
2
2
2
2
(6.25)
6.2. PÂNZA FREATICĂ, PLAN VERTICALĂ, ÎN REGIM
STAŢIONAR, CONSERVATIV, ÎNTR-UN MEDIU POROS.
6.2.1. Cazul mişcării uniforme
Existenţa mediului poros izotrop presupune o conductivitate hidraulică constantă
în strat, respectiv transmisivitatea Txx=Tyy=T=constantă. Regimul conservativ
presupune inexistenţa unei alimentări exterioare. În aceste condiţii ecuaţia (6.16)
devine:
0y
y,xHy,xhK
yx
y,xHy,xhK
x
(6.26)
sau
0y
H
x
H
2
2
2
2
(6.27)
H(x,y) este cota suprafeţei libere a freaticului faţă de un nivel de referinţă, iar h(x,y) este
adâncimea curentului.
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 110
tgIdx
dH
tgidx
dz0 , I=i
Fig. 6.2. Mişcare uniformă într-o pânză freatică
În cazul unei mişcări permanente, uniforme, liniile de curent sunt rectilinii şi
paralele, viteza şi secţiunea de curgere rămân constante, h1 = h2 = h0.
Panta patului impremeabil i = tg este identică cu panta profilului de depresiune I = tg
= sin (pentru unghiuri mici).
În acest capitol vom nota cu debitul unitar q (debitul care traversează o secţiune
cu înălţimea egalăcu grosimea acviferului şi lăţimea unitară, normală la direcţia de
curgere) şi Q, debitul printr-o suprafaţă de lăţime l şi înălţime h0.
Q = ql (L3T
-1) (6.28)
Conform legii lui Darcy:
Q = Kh0i = Kh0I (L2T
-1) (6.29)
unde
K – conductivitatea hidraulică (LT-1
),
h0 – grosimea acviferului normală la direcţia de curgere.
În cazul mişcării permanente uniforme (I = ct), în direcţia x, ecuaţia (6.27)
devine:
0dx
Hd
2
2
(6.30)
tgIttanconsdx
dH (6.31)
dH = - tg dx
x
0
)x(H
HdxtgdH
1
H(x) – H1 = - tg x
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 111
H(x) = H1 - tg x (6.32)
Aceasta este ecuaţia suprafeţei libere.
iKIKtgK
dx
xdHKUx (6.33)
000x hIKhiKhUq (6.34)
În cazul general, soluţia ecuaţiei 0H2 este de forma
H = ax + by + cz + d (6.35)
Aceasta fiind ecuaţia suprafeţei libere,
Ux = -Ka; Uy = -Kb; Uz = -Kc (6.36)
Constantele a, b, c, d se determină din condiţiile pe frontieră.
6.2.2. Cazul mişcării neuniforme
a) Pânză freatică cu pat impermeabil orizontal.
Fig. 6.3. Mişcarea neuniformă într-o pânză freatică cu pat impermeabil orizontal
Problema este reprezentată în Figura 6.3. Ecuaţia (6.26) devine în acest caz
0dx
xdHxhK
dx
d
(6.37)
şi cum H(x) = h(x)
0dx
xdhxhK
dx
d
(6.38)
H2=h2
H1=h1
dh dx
H
L
x
x
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 112
Rezultă, prin integrare,
)unitar debitul( qttanconsdx
)x(dh)x(hK (6.39)
dxK
qdhh
L
0
h
hdx
K
qdhh
2
1
L
0
h
h
2
xK
q
2
h2
1
LK
q
2
hh 21
22
IhKL
hh
2
hhK
L2
hhKq mm
212122
21
(6.40)
Relaţia astfel obţinută este identică cu formula Dupuit Forcheimer (5.18), obţinută
aplcând ipoteza lui Dupuit.
Ecuaţia suprafeţei libere se obţine prin integrare:
x
0
)x(h
hdx
K
qdhh
1
xK
q
2
h)x(h 21
2
xK
q2h)x(h 2
12 sau x
L2
)hh(K
K
2h)x(h
22
212
12
xL
)hh(h)x(h
22
212
12
(6.41)
xL
)hh(h)x(h
22
212
1
(6.42)
Concluzie. În cazul unui acvifer cu suprafaţă liberă, cu pat impermeabil orizontal,
nealimentat la suprafaţă, în mişcare neuniformă, suprafaţa liberă este o parabolă (a lui
Dupuit), descrisă de ecuaţia data de relaţia (6.42), iar debitul unitar q = Q/l este dat de
relaţia (6.40). Trasarea suprafeţei libere necesită executarea a două foraje în lungul
direcţiei principale de curgere (in care se masoară h1 şi h2).
b) Pânză freatică cu pat impermeabil înclinat. Un astfel de acvifer este reprezentat în Figurile 6.4, 6.5, 6.6, în care se pot urmări
cele trei cazuri posibile.
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 113
H
h1
h0
h2
H1 H2
z01 z0(x)
z02 x
x
L
Fig. 6.4. Mişcarea neuniformă într-o pânză freatică cu pat impermeabil înclinat
(curent consecvent ascendent)
Panta patului impermeabil poate fi:
negativă: idx
dz0 , în cazul curenţilor consecvenţi;
pozitivă: idx
dz0 , în cazul curenţilor obsecvenţi.
Panta suprafeţei libere a curentului poate fi:
negativă: Idx
dH , curent consecvent descendent (Figura 6.5), curent obsecvent
(Figura 6.6);
pozitivă: Idx
dH , curent consecvent ascendent (Figura 6.4 ).
H(x) = z0(x) + h(x) (6.43)
dx
xdh
dx
xdz
dx
xdH 0
Ecuaţia (6.37) devine:
0dx
xdh
dx
xdzxhK
dx
d 0
(6.44)
Prin integrare se obţine:
constantqdx
dh
dx
dzxhK 0
(6.45)
limpermeabi patului pantaidx
0dz .
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 114
H
h1
h0
h2
H1 H2
z01 z0(x) z02
x
x
L
Fig. 6.5. Mişcarea neuniformă într-o pânză freatică cu pat impermeabil înclinat
(curent consecvent descendent)
H
h1
h0 h2
H1 H2
z01 z0(x) z02
x
x
L
Fig. 6.6. Mişcarea neuniformă într-o pânză freatică cu pat impermeabil înclinat
(curent obsecvent)
Rezolvarea ecuaţiei (6.45) constă în înlocuirea curentului acvifer real cu mişcare
neuniformă cu un curent acvifer imaginar, cu mişcare uniformă, de grosime h0,
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 115
echivalent din punct de vedere hidrodinamic.
ihKdx
xdhixhK 0
(6.46)
i
dx
xdhi
h
xh
0
(6.47)
Notăm
ărelativ grosimeh
xh
0
.
Pentru curentul consecvent:
idx
dhi
(6.48)
dx
dh1i
11i
dx
dh (6.49)
Pentru curentul obsecvent:
idx
dhi
(6.50)
dx
dh1i
11i
dx
dh (6.51)
in cazul curenţilor consecvenţi ascendenţi.
Înlocuind variabila h cu :
h = h0 (6.52)
dh = h0 d
11i
dx
dh0
d
1dx
h
i
0
, pentru curenţi consecvenţi (6.53)
x = 0, 0
11
h
h
x = L, 0
22
h
h .
Pentru - curenţi ascendenţi 1 ,hh 0 ,
- curenţi descendenţi 1 ,hh 0 .
Prin integrare, pentru curentul consecvent ascendent (h0 < h1< h2)
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 116
1ln1lnLh
i1122
0
(6.54)
În cazul curentului consecvent descendent (h0 > h1 > h2)
1122
1ln1lnLh
i
0
(6.55)
iar în cazul curentului obsecvent descendent (h0 < h2 < h1 )
11220
1ln1lnLh
i (6.56)
Concluzii:
1. Pentru curenţii consecvent ascendenţi (Figura 6.4), folosind datele rezultate din două
foraje aliniate în lungul direcţiei principale de curgere (h1, h2, L, i) se calculează mai
întâi grosimea h0 a curentului cu mişcare uniformă echivalent din punct de vedere
hidrodinamic, din relaţia (6.54).
1
h
hln
h
h1
h
hln
h
h
h
Li
0
1
0
1
0
2
0
2
0
Din ecuaţia (6.54) , i L = f(h0), se deduce h0, q = K i h0.
Din (6.54), scrisă pentru un punct oarecare (x,h)
1
h
hln
h
h1
h
xhln
h
xh
h
xi
0
1
0
1
000
(6.57)
se poate trasa suprafaţa liberă a curentului de coordonate (x,z)
1
h
hln
h
h1
h
xhln
h
xh
i
hx
0
1
0
1
00
0 (6.58)
1
h
hln
h
h1
h
xhln
h
xhhzzhz
0
1
0
1
0000201 (6.59)
Se dau valori lui h(x) între h1 şi h2 şi se calculează ( x(h(x)), z(h(x)) ) cu ecuaţiile
parametrice (6.58), (6.59).
2. Pentru curentul consecvent descendent, (Figura 6.5):
Din ecuaţia grosimii echivalente rezultă h0:
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 117
0
1
0
1
0
2
0
20
h
h1ln
h
h
h
h1ln
h
hhLi
h0 h1 h2, ihKq 0 .
Cu h0 astfel determinat se calculează x şi z folosind ecuaţiile parametrice ale
curbei de depresiune:
0
1
0
1
00
0
h
h1ln
h
h
h
xh1ln
h
xh
i
hx (6.60)
0
1
0
1
0000201
h
h1ln
h
h
h
xh1ln
h
xhhzzxhz (6.61)
dând valori lui h(x) între h1 şi h2.
3. Pentru curentul obsecvent-descendent:
Din ecuaţia grosimii echivalente rezultă h0:
0
1
0
1
0
2
0
20
h
h1ln
h
h
h
h1ln
h
hhLi .
Ecuaţiile parametrice ale curbei de depresiune sunt:
0
1
0
1
00
0
h
h1ln
h
h
h
xh1ln
h
xh
i
hx (6.62)
0
1
0
1
00001
h
h1ln
h
h
h
xh1ln
h
xhhzxhz (6.63)
Observaţie:
Suprafaţa liberă astfel obţinută se poate compara cu o soluţie aproximativă,
recomandată de Kamenski.
L
HH
2
hhKIhKq 2121
mm
(6.64)
hhiL
HHhh
hhx
121
21
221
(6.65)
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 118
hhi
L
HHhh
h2h21
i
zzhz
121
21
0201
(6.66)
02012121 zzhhHH
Aplicaţie
Intr-un interfluviu cu lăţimea L = 320m trebuie executată o platformă la cota z =
251m. Cu elementele din Figura 6.4 să se calculeze distanţa minimă x la care trebuie
amplasată platforma, faţă de cursul A, pentru ca suprafaţa liberă a pânzei freatice să se
găsească la h = 1m sub cota impusă.
Distanţa MP trebuie să fie adâncimea curentului acvifer consecvent descendent
(z1z2 şi h1h2). Din Figura 6.7 rezultă
m85.1815.23110.251zhzMP 23
Fig. 6.7.
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 119
Calculul grosimii echivalente a acviferului, h0.
0
1
0
1
0
2
0
20
h
h1ln
h
h
h
h1ln
h
hhLi
10
20
0
120
21
hh
hhln
h
hhhL
L
zz
00
0
00 hf
2.16h
5.11hln
h
2.165.11h05.19
h0 (m) 17.00 17.5 17.8 17.9 18.0
f(h0) 28.07 22.0 19.69 19.02 18.41
9.17h05.19hf 00
Este impusă ordonata punctului P, z(x) = MP.
Calculul grosimii acviferului h(x) corespunzătoare ordonatei MP = 18.85 = z(x).
0
1
0
1
00021
h
h1ln
h
h
h
xh1ln
h
xhhzzxhz
0
100
0
x001
h
hhlnh
h
hhlnhhxhzxhz
0
1
10
x0
h
xzhz
hh
hhln
MP
916,0
9,17
85,182,1605,19
2.169,17
xh9,17ln
916,0e7,1xh9,17
stratului adâncimea65,13e7,19,17xh 916,0
Calculul abscisei exacte xp a punctului P.
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 120
0
1
0
1
00
0p
h
h1ln
h
h
h
xh1ln
h
xh
i
hx
10
0
0
1
21
0p
hh
xhhln
h
hxh
zz
Lhx
m 68,2322,169,17
65,139,17ln
9,17
2,1665,13
05,19
3209,17xp
Deci, la distanţe mai mari de 233 m faţă de cursul A nivelul apei se va afla la adâncimi
mai mari de 1 m faţă de cota de 251,00 m la care trebuie construită platforma.
Metoda aproximativă Kamenski
calculul grosimii acviferului corespunzătoare ordonatei, z(x) = MP = 18,85 m
(impusă de topografie).
212121
21
221
21
hhiL
zzhhhh
hhizzhhz
L
zi
hhL
z
L
z
L
hhhh
hhL
z
zhhz
121
21
221
h2,1605,1905,195,112,165,112,16
h2,1605,1905,19hhz
22
18,85
Rezultă h = 14,27 m.
calculul abscisei
hhiL
zzhhhh
hhx
12121
21
221
m07,243
27,142,16320
05,19
320
05,195,112,165,112,16
27,142,16x
22
k
….punctul k.
xkxp curba de depresiune aproximativă se situează deasupra curbei de depresiune
exactă.
Utilizând metoda aproximativă pentru cazul curenţilor consecvenţi ascendenţi şi
obsecvenţi se obţin valori subestimate( este de evitat).
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 121
6.3. PÂNZA FREATICĂ, PLAN VERTICALĂ, ÎN REGIM
STAŢIONAR, NECONSERVATIV, ÎNTR-UN MEDIU POROS
IZOTROP .
Dinamica acviferelor cu suprafaţă liberă este puternic influenţată de alimentarea
prin infiltraţii. Principalele surse ale infiltraţiilor sunt precipitaţiile, apa pierdută din
sistemele hidrotehnice şi de irigaţii, apa provenită din zonele platformelor industriale.
Ecuaţia difuzivităţii în cazul regimului staţionar va fi:
0wy
HT
yx
HT
xiyyxx
(6.67)
unde Txx, Tyy sunt transmisivităţile după direcţiile principale, H este sarcina
piezometrică (cota suprafeţei libere faţă de un nivel de referinţă), g
pzH
, wi
reprezintă debitul din infiltraţii prelevat prin unitatea de suprafaţă a pânzei freatice
(L3/L
2T) (modulul de infiltraţie).
Dacă pânza este alimentată din precipitaţii wi se ia pozitiv, iar dacă apar pierderi
prin evaporaţie wi se ia negativ.
y,xhyyKyyT
y,xhxxKxxT
Vom analiza cazul în care patul acviferului este orizontal şi îl vom lua ca nivel
de referinţă.
Ecuaţia difuzivităţii devine:
0wy
hhK
yx
hhK
xiyyxx
(6.68)
unde h(x,y) reprezintă grosimea acviferului cu suprafaţă liberă.
6.3.1. Variaţia suprafeţei libere a pânzei freatice în cazul alimentării
din precipitaţii.
Pentru interfluviul din Figura 6.8 presupunem că alimentarea din precipitaţii este
uniformă şi că modulul de infiltraţie este wi. Considerăm patul acviferului, orizontal.
Suprafaţa liberă (P.D) va fi dată de funcţia h(x), fiind constantă după direcţia y. Punctul
corespunzător maximului funcţiei h(x) reprezintă cumpăna apelor subterane.
Ecuaţia difuzivităţii (6.68) va deveni:
iwdx
dhhK
dx
d
(6.69)
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 122
(variaţia debitului unitar într-o secţiune este datorată precipitaţiilor).
Integrând ecuaţia diferenţială (6.69) în condiţiile de frontieră:
2hh ,Lx
1hh ,0x
(6.70) şi ţinând seama că în punctul C (cumpăna apelor subterane) derivata funcţie h(x)
se anulează (
0dx
xdh ), obţinem expresia funcţiilor h(x), q(x), xC, h(xC), q1, q2,
necesare calculelor de prognoză.
x
0
dxiw
xh
0xhdx
dhhKd
Fig. 6.8. Acvifer cu suprafaţă liberă, alimentat din precipitaţii
x0
xiw
0xhdx
dhhK
xhdx
dhhK
(6.71)
Notăm : )0x(h
1dx
dhhKq
şi )x(h
xdx
dhhKq (6.72)
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 123
q1 este debitul (l
Q1 ) prin unitatea de lăţime a acviferului în originea sistemului. Acest
debit este negativ dacă există o cumpănă a apelor în C, ca în Figura 6.8, dx
dh fiind
pozitiv.
Integrând ecuaţia (6.71), scrisă sub forma:
xwqdx
xdhxhK i1 (6.73)
rezultă:
dxxwdxqxdhxhK
x
0
i
x
0
1
xh
0xh
2
xwxq
2
hK 2
i1
xh
0xh
2
2
xwxq
2
hK
2
xhK 2
i1
21
2
2
x
K
w2x
K
q2hxh
2i12
12
(6.74)
2i121 x
K
wx
K
q2hxh (6.75)
Dacă integrăm ecuaţia (6.73) între x = 0 şi x = L, obţinem:
2
LwLq
2
Kh 2
i1
Lxh
0xh
2
LwLq
2
hhK 2
i1
21
22
Rezultă legătura dintre debitul unitar q1 şi cotele h1, h2 şi debitul uniform distribuit, al
precipitaţiilor wi:
2
Lw
L2
hhKq i
22
21
1
(6.76)
pe care îl înlocuim în expresia suprafeţei de dispersie (6.75):
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 124
2i
i
22
212
1 xK
wx
2
Lw
L2
hhK
K
2hxh
2ii22
212
1 xK
wx
K
Lwx
L
hhhxh
(6.77)
Debitul unitar într-o secţiune x va fi:
xiw1q
xhdx
dhhKxq
x
2
Lw
L2
hhKq i
22
21
x (6.78)
Debitul unitar în secţiunea de ieşire (x = L) va fi:
2
12
22
12
22
2 2q
K h h
Lw
LL
K h h
Lw
L
(6.79)
Punctul de cumpănă C este caracterizat de abscisa xC şi de ordonata hC (Figura
6.8). El reprezintă punctul de pe suprafaţa liberă a pânzei freatice cu cea mai înaltă cotă
(hC>h1>h2). Coordonatele acestui punct se vor obţine din condiţia ca derivata funcţiei
h(x) să se anuleze în x = xC.
Cxpentru x 0
dx
xdh (6.80)
2ii22
212
1
ii22
21
xK
wx
K
Lwx
L
hhh
xK
w2
K
Lw
L
hh
2
1
dx
xdh
(6.81)
Condiţia (6.80) devine:
0xK
w2
K
Lw
L
hh ii22
21
2
L
L
hh
w2
K
K
w2
K
Lw
L
hh
x
21
22
ii
i21
22
C
(6.82)
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 125
iar hC se obţine în expresia lui h(x), (6.77).
2
i
222
21
2i2
122C
Lw4
hhK3
K4
Lwhh2h
(6.83)
Cazuri particulare
Dacă nivelele h1 = h2 (cotele de la oglinda apei în cele două văi sau drumuri orizontale),
din (6.77) şi (6.78) rezultă:
2ii21 x
K
wx
K
Lwhxh
(6.84)
x
2
Liwxq , (6.85)
respectiv 0
2Lq ,
2
Lwq ,
2
Lwq i2i1 .
Cumpăna apelor va fi în 2
LxC şi va avea cota:
K4
Lwhh
2i2
1C
(6.86)
Reprezentarea grafică a curbei (6.84) este în Figura 6.9. Dacă se ia nivelul h1 = h2 = 0 ca
nivel de referinţă (Figura 6.10), relaţiile (6.84) şi (6.85) devin:
2ii xK
wx
K
Lwxh
(6.87)
K4
Lwh
2i
C
(6.88)
Determinarea modulului de infiltraţie (eficace) din măsurători experimantale.
Din măsurări sistematice într-un sistem de foraje de observaţie (piezometre), se
poate determina wi din relaţia (6.77), rezultând:
xLx
xhh
xLL
hhKw
221
22
21
i (6.89)
În concluzie se poate spune că determinarea modulului de infiltraţie eficace
presupune executarea a minimum trei foraje aproximativ coliniare, plasate în lungul
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 126
direcţiei principale de curgere. Două dintre foraje vor fi în apropierea centrilor de drenaj
şi vor indica h1 şi h2, iar unul din interiorul interfluviului va indica h(x).
Fig. 6.9. Acvifer simetric, alimentat din precipitaţii
Fig. 6.10. Scurgere simetrică spre drenuri.
Aplicaţia 1
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 127
Fig. 6.11. Pentru curentul acvifer din interfluviul AB (figura 6.11), să se traseze curba de
depresiune şi să se calculeze debitul unitar pentru secţiunile corespunzătoare absciselor
x = 100 m, x = 477,61 m şi x = 2000 m.
Rezolvare
1. Modulul de infiltraţie eficace:
xLx
xhh
xLL
hhKw
221
22
21
i
zim
m
zi
m 1035,3
120020001200
75,3840
120020002000
3040
zi
m10w
2
33
2222
i
(3,37 dm3 pe o suprafaţă de 1m
2 într-o zi)
2. Trasarea curbei de depresie:
2ii22
212
1 xK
wx
K
Lwx
L
hhhxh
23
322
2 x10
1035,3x
zi
m10
2000zi
mL1035,3
x2000
304040xh
x (m) 100 200 300 400 477,6 500 600 700 800 900
h(x) 40,36 40,63 40,81 40,91 41 40,94 40,88 40,74 40,52 40,21
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 128
(m)
x (m) 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000
h(x)
(m)
39,8 39,32 38,75 38,08 37,3 36,42 35,42 34,21 33,02 31,60 30,00
3. Determinarea punctului de cumpănă a apelor subterane.
Lw2
Khh
2
Lx
i
22
21C
m 61,477
2000zi
m102
zi
m10
30402
2000x 22
C
2
i
222
21
2i2
122C
Lw4
hhK3
K4
Lwhh2h
hC=40,94m
4. Calculul debitului unitar într-o secţiune:
x
2
Lw
L2
hhKq i
22
21
x
a) pentru x = 100 m
zi
m27,1m100
2
2000
zi
m1035,3
m20002
m3040zi
m10
)100(q2
3
222
;
Semnul (-) indică o curgere în sens invers direcţiei x, deci de la punctul de cumpănă
spre râul A.
b) pentru x = 477,61 m (corespunde punctului de cumpănă C)
q(477,61) = 0;
c) pentru x = 2000 m
zi
m1,5m2000
2
2000
zi
m1035,3
m20002
m3040zi
m10
)2000(q2
3
222
Semnul (+) indică o curgere în sensul axei 0x, deci de la punctul de cumpănă C spre
râul B.
Aplicaţia 2
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă.. 129
Prin construirea unui baraj de pământ în valea A, se realizează un lac de acumulare.
Până la ce cotă se poate ridica nivelul apei din lac, fără a avea pierderi de apă din lac în
interfluviul AB?
Rezolvare Pentru a nu avea pierderi de apă din lac în interfluviu este necesar ca nivelul apei în lac
să nu depăşească cota punctului de cumpănă a apelor subterane C. 1. Calculul punctului de cumpănă:
Fig. 6.9.
Lw2
Khh
2
Lx
i
22
21C
m 99,330
m1000zi
m4,02
zi
m100
m7,146,392
m1000x 222
C
Deci, nivelul în lac nu trebuie să se ridice cu mai mult de 5,19 m deasupra nivelului h1.
2C
iC
iC
22
212
1C xK
wx
K
Lwx
L
hhhh
m 79,4499,3301000
4,099,330
100
10004,099,330
1000
7,146,396,39h 2
222
C
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă..
130
6.4. INFLUENŢA INFILTRAŢIILOR ÎN ZONA PLATFORMELOR
INDUSTRIALE
h0
Fig. 6.10.
Fie r0 raza zonei în care se produce infiltraţia eficace wi. Această infiltraţie va
modifica nivelul iniţial h0 al acviferului până la o distanţă R numită rază de influenţă
(rază de alimentare).
Suprafaţa liberă a acviferului va deveni h(r), având valoarea h(r0) la raza r0.
În interiorul incintei (r < r0), ecuaţia de continuitate se poate scrie:
rhr2
dr
rdhKwrQ i
2 , (6.90)
drk2
wrrdhrh i
, (6.91)
1
i22
Ck
w
4
r
2
rh . (6.92)
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă..
131
Constanta C1 rezultă punând condiţia ca la distanţa r = r0, h(r) = h(r0).
1
i200
2
Ck
w
4
r
2
rh ,
k
w
4
r
2
rhC i
200
2
1 , (6.93)
k
w
4
r
2
rh
k
w
4
r
2
rh i200
2i
22
.
Suprafaţa liberă în interiorul incintei va fi dată de:
k
w
2
r
k
w
2
rrhrh i
2i
20
022 . (6.94)
Pentru un punct aflat în afara incintei ecuaţia de continuitate se scrie:
rhr2
dr
rdhKwrQ i
20
, (6.95)
r
dr
K2
wrrdh
i20
rh . (6.96)
Prin integrare
2
i20
2
CrlnK2
wr
2
rh
. (6.97)
Constanta C2 se poate determina punând condiţia ca la distanţa R suprafaţa
liberă a acviferului să nu fie influenţată de infiltraţii.
0hRh ,
2i
20
20 CRln
K2
wr
2
h
,
RlnK2
wr
2
hC
i20
20
2
. (6.98)
Suprafaţa liberă va fi:
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă..
132
Rln
K2
wr
2
hrln
K2
wr
2
rh i20
20i
20
2
,
r
Rln
K
wrhrh
i202
02
. (6.99)
Punând condiţia ca în punctul r = r0
0rhrh ,
0
i202
002
rRln
K
wrhrh
. (6.100)
h2(r0) astfel obţinut se introduce în relaţia (6.94).
K2
wr
K2
wr
rRln
K
wrhrh i
2i
20
0
i202
02
.
Ecuaţia suprafeţei libere a acviferului va fi:
2r2
0r
K2
iw
rRln
K
wrhrh
0
i202
0. (6.101)
Punctul cu nivel maxim hmax va corespunde acelui r pentru care
0dr
rdh , adică pentru
r = 0.
20
0
i202
0max rK2
iw
rRln
K
wrhh
. (6.102)
Se vede că, pentru a trasa suprafaţa liberă este necesar să cunoaştem raza de influenţă R.
Relaţia (6.102) poate fi folosită pentru determinarea infiltraţiei eficace wi, măsurând
hmax corespunzătoare razei r = 0.
2
1
r
Rln
k
r
hhw
0
20
20
2max
i . (6.103)
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă..
133
6.5. PÂNZA FREATICĂ, PLAN VERTICALĂ, ÎN REGIM
NESTAŢIONAR, NECONSERVATIV.
În cazul acviferelor cu nivel liber şi dezvoltare mare în plan orizontal, regimul
nestaţionar şi neconservativ este determinat de caracterul neuniform al alimentării.
Curgerea nepermanentă se manifestă prin modificări ale nivelului apelor
subterane, în timp.
Cauzele naturale ale nepermanenţei sunt:
- variaţia cantităţilor de precipitaţii pe zona de alimentare a acviferelor;
- topirea zăpezii;
- inundaţii.
Cauzele artificiale ale nepermanenţei sunt:
- exploatarea apelor prin foraje;
- creşterea nivelului apei în râuri prin construirea de baraje;
- irigarea sau asecarea terenurilor.
Mişcarea apei în regim nepemanent, neconservativ este descrisă de ecuaţia
difuzivităţii, care scrisă pentru cazul pânzei freatice, plan verticale, va lua forma
(6.104).
id wx
t,xHt,xhxK
xt
t,xHxn
(6.104)
În cazul unui acvifer izotrop :
id wx
t,xHt,xh
xxK
t
t,xHxn
(6.105)
Rezolvarea analitica a acestei probleme este foarte dificilă si ea a fost abordata
de mulţi cercetători, în conditii iniţiale si la limită simplificate.
În cazul în care se dispune de măsurători sistematice în trei foraje situate la
distanţe l1-2, l2-3, ca în figura 6.11, ecuaţia (6.105) se poate aproxima, în diferenţe finite,
rezultînd o relaţie de forma:
i3221
32
3232
21
2121
d w
2
ll
l
HH
2
hh
l
HH
2
hh
Kt
Hn
(6.106)
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă..
134
Fig. 6.11
i32
3232
21
2121
3221d w
l
HH
2
hh
l
HH
2
hh
ll
K2
t
Hn
(6.107)
H este variaţia cotei suprafeţei de depresie în forajul din centru (F2), în intervalul de
timp t.
h1, h2, h3, H1, H2, H3 sunt grosimile pânzei freatice, respectiv cotele suprafeţei libere faţă
de un sistem de referinţă, la momentul tm (mijlocul intervalului t).
Dacă se dispune de măsurători sistematice în cele trei foraje:
1. Se alege o perioadă de iarnă în care solul este îngheţat (wi = 0).
- se măsoară H (negativ) într-o perioadă t în F2;
- se fixează momentul tm = (t2 - t1)/2, mijlocul intervalului t pentru
care se extrag valorile h1, h2, h3, H1, H2, H3;
- se calculează nd.
2. Cu nd cunoscut se poate determina wi (modulul de infiltraţie eficace) pentru oricare
altă perioadă a anului).
Hidrodinamica apelor subterane Acvifere cu suprafaţă liberă..
135
În cazul general ( când conductivitatea hidraulică variază), pentru trei foraje
oarecare Fn-1, Fn, Fn+1, ecuaţia (6.104), scrisă în diferenţe finite (Figura 6.12), devine:
Fig. 6.12
n,1n1n,nn,1nd
l
t,nHt,1nH
2
t,nht,1nhn,1nK
ll
2
t
nHn
i1n,n
wl
t,1nHt,nH
2
t,1nht,nh1n,nK
(6.108)
t este timpul aflat la jumătatea intervalului t-1, t+1, K este conductivitatea hidraulică
medie pe distanţa n-1,n, respectiv n,n+1 şi este cunoscută iar nd este porozitatea de
drenaj sau cinematică. Având la dispoziţie măsurătorile de nivel în foraje se pot
determina modulul de infiltraţie eficace şi porozitatea cinematică.
Hidrodinamica apelor subterane. Acvifere sub presiune..
136
Capitolul 7
ACVIFERE SUB PRESIUNE
7.1. ACŢIUNEA APEI INTERSTIŢIALE ASUPRA MEDIULUI
POROS
Fie un mediu poros neconsolidat, format din particule de nisip, saturat cu apă.
Dacă se urmăreşte acţiunea unei forţe exterioare asupra acestui mediu se poate constata,
experimental, că în cazul în care la suprafaţa nisipului saturat acţionează o coloană de
apă de înălţime "l" şi greutate "G", grosimea stratului de nisip nu se modifică în timp.
Dacă pe suprafaţa nisipului se pun granule de plumb având aceeaşi greutate cu apa, în
timp stratul de nisip se tasează.
Fig.7.1. Tasarea unui mediu poros
Deşi greutatea G este aceiaşi şi în cazul b şi în cazul c, tasarea apare doar în
cazul granulelor de plumb.
În concluzie numai sarcinile aplicate direct pe scheletul solid provoacă efecte de
tasare asupra mediului poros.
Efectul unei sarcini de apă constă doar în creşterea presiunii lichidului care
saturează nisipul şi cum particulele solide sunt practic incompresibile, în domeniul de
presiuni despre care vorbim, nu rezultă nici un efect aparent.
7.1.1. Eforturi efective şi presiunea neutrală.
Terzaghi numeşte eforturi efective acele eforturi care sunt transmise direct, de
la particulă solidă la particulă solidă, ( ca în cazul granulelor de plumb). Doar ele au o
acţiune asupra fazei solide.
apa G
Nisip
saturat
l
e
e
Granule
de plumb
a b c
Hidrodinamica apelor subterane. Acvifere sub presiune..
137
Presiunea lichidului interstiţial este numită presiune neutrală.
Efortul total aplicat complexului solid-lichid se descompune în eforturi
efective şi presiune neutrală p.
p . (7.1)
În cazul cel mai general şi sunt tensori având trei eforturi normale şi trei
eforturi tangenţiale.
Vom face ipoteza că lichidul este incompresibil (=constant), particulele solide
sunt incompresibile, iar mediul poros este compresibil (prin reducerea porozităţii "n").
Fig.7.2 Coloană sol uscat
În cazul unei coloane de sol uscat de înălţime "l" baza coloanei suferă o
presiune corespunzătoare greutăţii coloanei (G/S).
Prin definiţie acest efort este un efort efectiv pentru că se transmite prin
particulele solide.
lgn1lg sdz , (7.2)
unde z - efort efectiv în direcţia verticală
d - densitatea terenului uscat
s - densitatea particulelor solide
n - porozitatea totală
Efortul total este in acest caz, egal cu efortul efectiv
zz . (7.3)
Dacă coloana este saturată cu apă în repaus, efortul total la baza coloanei va fi
dat de (greutatea terenului + greutatea apei):
lglgnlgn1 wsz , (7.4)
nn1sw (densitatea terenului saturat) , (7.5)
- densitatea apei .
Efortul efectiv va fi, conform definiţiei:
l
S
Hidrodinamica apelor subterane. Acvifere sub presiune..
138
lglglgp wwzz . (7.6)
Din punct de vedere mecanic totul se petrece ca şi cum densitatea terenului ar fi:
swa n1 , (7.7)
a - densitatea aparentă .
Reducerea aparentă a densităţii solului nu este decât rezultatul împingerii
Arhimedice, a apei, asupra particulelor . Îl vom numi susţinere hidrostatică.
Vom calcula presiunea curentului sau "împingerea curgerii" .
Fig.7.3 Repartiţia presiunilor pe feţele unui volum elementar
Să considerăm un volum elementar dxdz1, din mediul poros, în care apa
interstiţială este în mişcare cu viteza U în planul (x, z).
Să calculăm rezultantele celor trei forţe aplicate elementului:
- forţe de presiune datorate fluidului;
- forţe de greutate (datorate gravitaţiei);
- forţe de contact între particule (datorate eforturilor efective).
Presiuni: - pe suprafaţa AD : o forţă normală pdz,
- pe suprafaţa BC : o forţă normală dzdxx
pp
.
Rezultanta lor (după direcţia x): dzdxx
p
.
- pe direcţia AB: pdx,
- pe direcţia DC: dxdzz
pp
,
Rezultanta lor (după direcţia z): dzdxz
p
.
Rezultanta generală a forţelor de presiune pe unitatea de volum, va fi: (-gradp).
z
p
p
A
D C
B
dz
dx x
dzz
pp
dxx
pp
Hidrodinamica apelor subterane. Acvifere sub presiune..
139
Gravitaţie: Forţa de greutate pentru unitatea de volum va fi:
gradzgw .
Dacă introducem noţiunea de sarcină piezometrică, în locul presiunii:
zg
ph
,
rezultanta celor două forţe va fi:
gradzggradhggradzggradzggradhgR aw . (7.8)
Termenul (-ggradh) este presiunea curentului sau împingerea curentului. Este o forţă
de volum, dirijată în sens invers gradientului de sarcină ( în sensul vitezei de filtrare U,
dacă mediul este izotrop).
Variaţia eforturilor efective echilibrează aceste apăsări pentru a realiza
stabilitatea elementului.
În concluzie, curgerea apei provoacă variaţii ale eforturilor efective, acţionând
asupra fazei solide.
7.1.2. Definirea gradientului critic de antrenare hidrodinamică
Se realizează următoarea experienţă: fie o curgere ascendentă într-o coloană de
nisip. Curgerea este uniformă, iar gradientul de sarcină este l
Hgradh , îndreptat în
sus. Rezultanta R a împingerii curentului şi a greutăţii (pentru unitatea de volum) va fi:
ggradhR a . (7.9)
Dacă se creşte gradual sarcina H, la un moment dat, această forţă de volum se va
anula: nisipul devine (aparent) sustras de la gravitaţie.
Fig. 7.4. Instalaţie pentru determinarea gradientului critic
l
H
alimentare
Hidrodinamica apelor subterane. Acvifere sub presiune..
140
Un obiect greu pus pe coloana de nisip se va scufunda. Dacă se măreşte în
continuare H, întreaga coloană de nisip se va ridica. Gradientul critic, corespunzător
dispariţiei întregii forţe de volum este:
a
cr gradhi . (7.10)
Acest fenomen este fundamental în mecanica solurilor.
Să considerăm de exemplu, un dig de pământ, omogen, fără mască de etanşare.
La prima vedere, am putea gândi că forţa amonte a digului este supusă la o apăsare
hidrostatică a apei din amonte. Este fals. De fapt presiunea care acţionează pe un
element al paramentului amonte este o presiune neutrală care este transmisă prin
intermediul particulelor solide.
Apăsarea apei nu se transmite asupra paramentului amonte al digului ci se
descompune într-un sistem de forţe de volum, care acţionează asupra întregului volum
saturat. Rezistenţa digului va depinde esenţial de caracteristicile curgerii de filtraţie la
traversarea digului.
În concluzie, în caz general, când gradientul hidraulic depăşeşte valoarea critică,
apare fenomenul de antrenare hidrodinamică .
Pentru pământurile necoezive, care sunt şi cele mai sensibile la instabilitate sub
acţiunea curenţilor subterani, criteriul de apreciere a posibilităţilor de antrenare
hidrodinamică se bazează pe analiza granulozităţii.
Fig.7.5. Diagrama Istomina pentru determinarea gradientului critic în funcţie
de coeficientul de neuniformitate al nisipurilor.
Dacă se cunoaşte coeficientul de conductivitate hidraulică al rocii, viteza critică
de antrenare hidrodinamică se poate calcula cu relaţia K15
1vcr (m/sec), (7.11)
unde K se măsoară în m/sec, folosindu-se un coeficient de siguranţă C = 1,5 –2.
.[Marchidanu, 1996]
7.1.3 Sufozia, eroziunea, afuierea şi ruperea hidraulică
Antrenarea hidrodinamică a particulelor solide se poate manifesta sub formă de
sufozie, eroziune, afuiere şi rupere hidraulică.
Fig.7.4. Instalatie pentru determinarea
gradientului critic
Hidrodinamica apelor subterane. Acvifere sub presiune..
141
Sufozia se manifestă prin dislocarea şi transportul particulelor fine prin spaţiile
intergranulare fără ca structura generală a pământului să fie deranjată. Pământurile cele
mai succeptibile la sufozie sunt nisipurile necoezive, afânate, cu un grad mare de
neuniformitate. Peste o anumită limită de producere a sufoziei, structura pământului
cedează prin prăbuşire.
Fig.7.6 Sufozia nisipului
Eroziunea apare la contactul construcţiilor cu terenul nisipos. Golurile de
dimensiuni variabile create prin eroziune, de curenţii subterani, sunt periculoase pentru
stabilitatea construcţiilor. Eroziunea se produce progresiv, începând de la suprafeţele
libere către interiorul masivului de pământ, curentul de apă antrenând în mişcare toate
fracţiunile granulometrice.
În figura 7.7 este dată viteza critică de eroziune şi antrenare hidrodinamică a
pământurilor, în funcţie de dimensiunile particulelor. Această viteză depinde de
asemenea de forţele de coeziune. Astfel pentru particulele foarte fine forţele de coeziune
pot fi mai mari decât cele de antrenare hidrodinamică.
Fig.7.7 Viteza critică de eroziune a pământurilor în albii deschise, în funcţie de
granulozitate (după W.Creager şi J.Justin)
Afuierea (refularea) este un fenomen care se declanşează în momentul în care
viteza de curgere a curentului subteran provoacă trecerea în stare de lichefiere a
nisipului.
NRN
Hidrodinamica apelor subterane. Acvifere sub presiune..
142
Fig.7.8. Refularea nisipului în gropile de excavaţie
Ruperea hidraulică se produce în cazul unor terenuri stratificate sau a unor
terenuri neomogene din punct de vedere al permeabilităţii, în care perbeabilitatea
descreşte în sensul curgerii. Când subpresiunea care acţionează asupra stratului mai
puţin permeabil depăşeşte forţa de greutate a stratului respectiv, aceasta începe să se
ridice, apar fisuri şi crăpături şi în final cedează prin rupere.
Concomitent cu ruperea stratului puţin permeabil, apa iese către suprafaţa
terenului, antrenând cantităţi mari de nisip.
Fig.7.9. Producerea fenomenului de rupere hidraulică în zona paramentului aval al unui
dig de pământ.
7.2. TEORIA CONSOLIDĂRII (TERZAGHI).
Dacă se încarcă mecanic terenuri puţin permeabile, saturate de apă, nu se
constată decât tasări mici.Totuşi tasarea finală, obţinută după o perioadă lungă de timp,
este considerabilă. Acest fenomen, de tasare în timp, este numită consolidare. Ea se
manifestă, în special, în terenuri argiloase.Terzaghi a arătat că această consolidare se
explică prin curgerea lentă a apei interstiţiale conţinute în sol.
Dacă recipientul “a” este gol (nu conţine apă), sarcina aplicată (greutatea) este
integral preluată de resorturi. Tasarea este instantanee şi elastică. Dacă recipientul “a”
este plin cu apă şi dacă găurile din piston sunt foarte mici, mişcarea pistonului
(comprimarea resorturilor) nu se va face imediat. Suprasarcina va fi resimţită printr-o
creştere a presiunii apei (fără tasare dacă apa este considerată incompresibilă). Apa va
Hidrodinamica apelor subterane. Acvifere sub presiune..
143
ieşi din sistem prin găurile din piston şi suprapresiunea va fi preluată treptat de resorturi.
Acestea se vor comprima. În acelaşi mod (fig.7.10.b) tasarea argilei se va face prin
expulzarea apei prin porii plăcii poroase.
Fig.7.10. Analogie privind consolidarea
Teoria consolodării presupune că:
a. Curgerea apei interstiţiale se face după legea lui Darcy;
b. Permeabilitatea terenului nu variază în cursul consolidării (aproximare a
realităţii);
c. Apa şi elementele solide ale terenului sunt incompresibile, compresiunea
corespunde deci unei micşorări a porozităţii;
d. Compresibilitatea solului (micşorarea porozităţii) este elastică, adică există o
relaţie liniară între efortul de compresibilitate efectivă şi dimensiunea
volumului solului (aproximare a realităţii).
Mecanismul consolidării presupune că o suprasarcină exterioară aplicată solului
este suportată pe de o parte de faza solidă (creşterea eforturilor efective), iar pe de altă
parte de apa interstiţială (creşterea presiunii).
Ca urmare a acestei creşteri a presiunii ia naştere o curgere tranzitorie, drenajul
apei şi creşterea progresivă a eforturilor efective. Astfel apare tasarea.
Vom căuta să stabilim ecuaţia de stare pentru sol. În timpul consolidării sarcinile
exterioare rămân constante. Deci, eforturile totale rezultate sunt:
constp (7.12)
0dpd (7.13)
La începutul consolidării suprapresiunea este preluată în întregime prin p. Apoi
ea se transformă puţin câte puţin în creşteri de eforturi efective, până ce presiunea
revine la o repartiţie hidrostatică (în absenţa curgerii).
Conform ipotezei (d) variaţia relativă a volumului unui element de sol trebuie să
se scrie:
dV
dV (7.14)
- coeficient de compresibilitate specifică a solului M-1L
1T
2;
Argila
saturata
Placa poroasa
G
pistoane
apa
resort
G
a b
Hidrodinamica apelor subterane. Acvifere sub presiune..
144
- eforturi efective.
Conform ipotezei (c) variaţia volumului unui element este în întregime datorată
variaţiei porozităţii sale. Dacă V este volumul total al elementului de sol, Vp volumul
porilor, Vs volumul fazei solide, atunci
V = Vs + Vp (7.15)
dV = dVp (7.16)
ps
p
VV
Vn
- porozitatea totală (7.17)
p2
ppsdV
V
VVVdn
(7.18)
dpn1dn1V
dVn1dV
V
n1dn p
dpn1dn (7.19)
Astfel, derivatele locale vor fi legate de ecuaţia:
t
pn1
t
n
(7.20)
Tasarea este dată de relaţia:
dV
dV , (7.21)
dacă se cunoaşte variaţia efortului efectiv .
dpd (7.22)
dacă se cunoaşte evoluţia presiunii.
Trebuie deci să calculăm evoluţia tranzitorie a presiunii în teren.
Deci alegem presiunea ca necunoscută principală şi scriem ecuaţia consolidării
plecând de la :
- ecuaţia de continuitate 0qnt
Udiv
(7.23)
- legea lui Darcy gradzggradpg
KU
(7.24)
- ecuaţia de stare a apei const (fluidul incompresibil)
- ecuaţia de stare a mediului poros dt
dpn1
dt
dn (7.25)
Rezultă
Hidrodinamica apelor subterane. Acvifere sub presiune..
145
0qdt
dnUdiv (7.26)
qdt
dpn1Udiv (7.27)
gradzggradpk
U
gradp
g
Kdivgradzg
kdivgradp
kdivUdiv
qdt
dpn1gradp
g
Kdiv
gqdt
dpn1ggradpKdiv (7.28)
Aceasta este ecuaţia consolidării. q reprezintă debitul prelevat sau intrat (dacă
este negativ) în unitatea de volum de mediu poros. Vom considera q=0.
Dacă mediul este izotrop K = const.
t
pn1g)gradp(divK
(7.29)
t
p
K
gn1p2
(7.30)
2
2
2
2
2
22
z
p
y
p
x
pp
(operatorul Laplacian)
Coeficientul
K
gn1Cv
L
-2T (7.31)
se numeşte coeficient de consolidare.
Uneori se neglijează 1n1
Freeze (1979) recomandă valorile pentru (compresibilitatea solului),
(Marsily,1981), după cum urmează:
Argile: = 10-6 10
-8 m
2/N (Pa
-1)
Nisipuri: = 10-7 10
-9 m
2/N (Pa
-1)
Pietriş: = 10-8 10
-10 m
2/N (Pa
-1)
Roci fisurate: = 10-8 10
-10 m
2/N (Pa
-1)
Roci compacte: = 10-9 10
-11 m
2/N (Pa
-1)
Odată calculată evoluţia presiunii p
constp , (7.32)
se deduce tasarea
l
l
V
V
(7.33)
Hidrodinamica apelor subterane. Acvifere sub presiune..
146
l – înălţimea stratului care se consolidează, dacă tasarea se face doar după
direcţia verticală.
În cazul argilelor compresiunea nu este elastică, iar tasările nu sunt reversibile.
7.3. ECUAŢIA DE DIFUZIVITATE ÎN CAZUL ACVIFERELOR
SUB PRESIUNE
Ecuaţia de difuzivitate se obţine din expresia ecuaţiei de continuitate pentru un
volum elementar reprezentativ, pentru care se iau în considerare atât compresibilitatea
apei cât şi a scheletului solid. Compresibilitatea scheletului solid se ia în calcul prin
modificarea porozităţii “n” a mediului poros datorită acţiunii unui efort .
Vom prezenta o deducere a ecuaţiei de difuzivitate, dată de Raudkivi (1976).
Deducerea se face pentru un caz particular, al unui mediu izotrop KKKK zzyyxx ,
iar tasările se fac în mod special după direcţia z (cele orizontale sunt neglijabile în
raport cu cele verticale).
Ecuaţia de continuitate pentru un volum paralelipipedic dzdydxdV , având
porozitatea “n” , saturat cu apă (cu densitatea ), este:
zyxnt
dzdydxUz
Uy
Ux
zyx
, (7.34)
unde Ux, Uy, Uz sunt componentele vitezei Darcy.
Dacă mediul poros este incompresibil (n=const) şi elementul de volum
considerat nu îşi schimbă mărimea
t
nUz
Uy
Ux
zyx
. (7.35)
Dacă mediul poros este compresibil, porozitatea mediului poate varia în spaţiu şi
timp.
Raudkivi (1976) face ipoteza că variaţiile dimensiunilor y,x sunt neglijabile
în comparaţie cu z . Astfel:
yxt
znt
nzz
tnzyxn
t
. (7.36)
Încercăm să evaluăm toţi termenii din ecuaţia (7.36), introducând noţiunile de
compresibilitate a solului şi a apei. Astfel se ştie că modulul de elasticitate a solului Es
este legat de coeficientul de compresibilitate al solului, M-1
LT2, prin relaţia:
z
zd
d1E zz
s , (7.37)
unde zz este componenta verticală a efortului de presiune intergranulară (ML-1
T-2
).
Hidrodinamica apelor subterane. Acvifere sub presiune..
147
zzdzzd , (7.38)
tzz
t
zz
, (7.39)
tznz
tn zz
. (7.40)
Pentru a evalua termenul t
nz
ţinem seama de ipoteza că volumul
particulelor solide din elementul de volum de mediu poros rămâne constant. Schimbarea
volumului elementar se face datorită modificării volumului porilor.
constzyxn1 . , (7.41)
Dacă constx , consty .,
t
n1t
z
z
n1
t
n zz
, (7.42)
tzn1
t
nz zz
. (7.43)
Pentru a evalua termenul t
zn
vom ţine seama de conservarea masei de
fluid.
constVV 00 . , (7.44)
0)V(dVd , (7.45)
V
Vdd
. (7.46)
Dacă se ţine seama de compresibilitatea fluidului:
dpV
dV
E
1
w , (7.47)
unde p - presiunea fluidului,
- coeficient de compresibilitate a apei,
Ew - modul de elasticitate al apei,
dp
V
Vdd
, (7.48)
t
p
t
. (7.49)
După cum s-a arătat în 7.1.,
constpzz . în timp.
Hidrodinamica apelor subterane. Acvifere sub presiune..
148
Deci t
p
t
zz
. (7.50)
În aceste condiţii termenul din dreapta ecuaţiei (7.36) devine:
nzt
pnn1nz
t
p
t
pnz
tzn1
tzn
yxt
znt
nz
t
zn
zzzz (7.51)
Ecuaţia de continuitate (7.34) devine:
nzyx
t
pzyxU
zU
yU
xzyx . (7.52)
Vom înlocui, în ecuaţia de continuitate, presiunea p cu sarcina piezometrică
zp
h
(z nu este funcţie de x, y, t). (7.53)
zghgp , (7.54)
g
pg
xx
hgzhg
xx
hg
xzg
xhg
x
hg
x
p
, (7.55)
p
yy
hg
y
p , (7.56)
p
z1
z
hg
zzghg1
z
hg
z
p , (7.57)
p
tt
hg
t
p , (7.58)
dpd , (7.59)
t
p
t
, (7.60)
p
xx
hg
x
p
x , (7.61)
y
p
y
hg
y
p
y , (7.62)
Hidrodinamica apelor subterane. Acvifere sub presiune..
149
z
p1
z
hg
z
p
z , (7.63)
t
p
t
hg
t .
(7.64)
Din relaţiile (7.61), (7.62), (7.63), (7.64) rezultă:
x
p
x
hg
x
2
, (7.65)
x
hgp1
x
2
, (7.66)
x
h
p1
g
x
2
, (7.67)
y
h
p1
g
y
2
, (7.68)
)1z
h(
p1
g
z
2
, (7.69)
t
p
t
, (7.70)
iar
t
pp
t
hg
t
p
t
hg
t
p
,
t
hgp1
t
p
,
t
h
p1
g
t
p
, (7.71)
Dacă se ţine seama de ordinul de mărime al modulului de elasticitate:
Ew = 2,07 GPa, 1210 Nm10829,4 ;
1p48,010
10
p1
1
9
9
şi se poate neglija.
Primul termen al ecuaţiei de continuitate (7.34) devine:
Hidrodinamica apelor subterane. Acvifere sub presiune..
150
BAz
Uy
Ux
Uz
U
y
U
x
Uzyx
zyx
(7.72)
şi ţinând seama de relaţia Darcy pentru componentele vitezei:
z
hKU
y
hKU
x
hKU
z
y
x
(7.73)
hKz
h
y
h
x
hKA 2
2
2
2
2
2
2
, (7.74)
z
h
z
h
y
h
x
h
p1
Kg
1z
h
p1
g
z
hK
y
h
p1
g
y
hK
x
h
p1
g
x
hKB
2222
222
(7.75)
Ecuaţia de continuitate (7.34) devine:
t
h
p1
gn
z
h
z
h
y
h
x
h
p1
Kg
z
h
y
h
x
hK
2222
2
2
2
2
2
2
(7.76)
1p1
1
, iar termenul al doilea din partea stângă a ecuaţiei (7.76) este neglijabil.
Astfel: t
hgn
z
h
y
h
x
hK 2
2
2
2
2
2
2
, (7.77)
t
h
K
gn
z
h
y
h
x
h
2
2
2
2
2
2
. (7.78)
A B
Hidrodinamica apelor subterane. Acvifere sub presiune..
151
1s LSng
- coeficient de înmagazinare specifică
Ecuaţia de difuzivitate pentru cazul unui acvifer sub presiune având K=const. va fi:
t
h
K
S
z
h
y
h
x
h s
2
2
2
2
2
2
. (7.79)
În [Marsily 1981] este dată o demonstraţie pentru cazul general, în care tensorul
conductivităţilor hidraulice nu are toate componentele constante. În acest caz ecuaţia de
difuzivitate pentru acviferele sub presiune, se scrie:
qt
hSgradhKdiv s
. (7.80)
Presupunând:
b
a xxxx dzKT - transmisivitatea după direcţia x , (7.81)
b
a yyyy dzKT - transmisivitatea după direcţia y , (7.82)
b
a s dzSS , (7.83)
b
adzqQ , (7.84)
a - cota culcuşului (cota stratului impermeabil de la baza acviferului sub presiune),
b - cota coperişului (cota stratului impermeabil de deasupra acviferului sub presiune).
Presupunând Kxx, Kyy, Ss, constante pe toată înălţimea acviferului, se pot defini:
Txx = Kxx M - transmisivitatea după direcţia x ,
Tyy = Kyy M - transmisivitatea după direcţia y ,
S = Ss M=
nMg . (7.85)
S este denumit coeficientul de înmagazinare al acviferului sub presiune
(adimensional) şi variază între 10-3
şi 10-5
.
Presupunând culcuşul şi coperişul paralele (M=const), ecuaţia de difuzivitate
devine:
Qt
hSgradhTdiv
. (7.86)
Dacă mediul poros este izotrop, T = const. după toate direcţiile, iar ecuaţia de
difuzivitate devine:
T
Q
t
h
T
S
z
h
y
h
x
h
2
2
2
2
2
2
. (7.87)
Raportul S/T este numit difuzivitatea acviferului, iar Q este aportul de debit din
exterior (+Q dacă este injectat sau –Q dacă este pompat).
Hidrodinamica apelor subterane. Acvifere sub presiune..
152
Dacă mişcarea este permanentă
0
t
h şi Q = 0 ecuaţia de difuzivitate
devine:
0z
h
y
h
x
hsau,0h
2
2
2
2
2
22
. (7.88)
7.4. ANIZOTROPIA.
Vom studia în special soluţiile analitice ale ecuaţiei difuzivităţii, pentru terenuri
omogene izotrope.
Terenurile anizotrope se pot studia ca şi cele izotrope printr-o schimbare de
coordonate.
Dacă cele trei direcţii principale de anizotropie sunt x, y, z , iar Kx, Ky, Kz sunt
cele trei conductivităţi hidraulice după aceste direcţii legea lui Darcy se scrie:
x
hKU xx
y
hKU yy
(7.89)
z
hKU zz
iar ecuaţia de difuzivitzte este:
t
hS
z
hK
y
hK
x
hK s2
2
z2
2
y2
2
x
. (7.90)
Făcând o schimbare de coordonate:
xK
Kx
x
' yK
Ky
y
' zK
Kz
z
' (7.91)
unde K este un coeficient având dimensiunile conductivităţii hidraulice.
x
h
K
K
dx
dx
x
h
x
h x
''
, (7.92)
2
2x
'2'
2
x
h
K
K
dx
dx
x
h
xx
h
. (7.93)
Ecuaţia de difuzivitate se va scrie:
t
h
K
S
z
h
y
h
x
h s
2'
2
2'
2
2'
2
. (7.94)
Fie o ecuaţie Laplace ordinară în noul sistem de axe. Trebuie remarcat că odată
cu anizotropia dispare ortogonalitatea dintre echipotenţiale şi liniile de curent din
Hidrodinamica apelor subterane. Acvifere sub presiune..
153
sistemul de coordonate reale xyz, dar care există în sistemul x’y
’z
’. Componentele
vitezelor în noul sistem sunt:
'
'
xx
hKU
'
'
yy
hKU
(7.95)
'
'
zz
hKU
Se deduce că:
'
xx
x UK
KU
'
y
y
y UK
KU (7.96)
'
zz
z UK
KU
Dacă se calculează fluxul Q’ al vectorului U
’ la traversarea unei suprafeţe
oarecare ’
''
dvduJUJUJUdnUQ '
3
'
z
'
2
'
y
'
1
'
x
''' , (7.97)
'
iJ fiind cosinuşii directori ai normalei la ' şi u, v coordonate parametrice
oarecare ale suprafeţei ' .
Dacă se caută fluxul vectorului U prin suprafaţa omoloagă definită prin
aceleaşi coordonate parametrice u, v, se obţin următoarele relaţii între Jacobienii
(cosinuşii directori) J1, '
1J ai celor două suprafeţe şi ’
1
zy
2'''
1 JKK
K
v,uD
z,yDJ
,
v,uD
z,yDJ1 ,
înlocuind '
xU cu Ux în integrala (7.97) se vede că:
QKKK
KQ
zyx
3'
(7.99)
sau
'
3
zyxQ
K
KKKQ
. (7.100)
Acestea sunt relaţiile dintre debitele din sistemul anizotrop şi sistemul izotrop
echivalent. Pentru ca aceste debite să fie identice este suficient ca :
3zyx KKKK . (7.101)
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
154
Capitolul 8
SURSE ŞI CAPTĂRI DE APE SUBTERANE
Apele subterane, alimentate din precipitaţii, din apele de suprafaţă sau din apele
de condensare de la mari adâncimi, pot constitui surse de apă potabilă. Clasificarea şi
descrierea acestora s-a făcut pe larg în capitolele anterioare. Alegerea unei scheme de
exploatare a apei subterane, în vederea folosirii acesteia ca apă potabilă se face pe baza
unor studii hidrologice, hidrogeologice şi tehnico economice.
Sursa de apă potabilă aleasă trebuie să satisfacă urrmătoarele cerinţe:
1) Asigurarea debitului de apă necesar consumatorilor.
2) Asigurarea calităţii apei, necesare la consumator, utilizând un minim de
tratări.
3) Siguranţă în exploatare (asigurarea debitelor minime şi a calităţii admisibile).
4) Eficienţă economică maximă ţinând seama de costul minim pe metru cub de
apă furnizată şi de efectul economic general în cadrul gospodăririi apei.
Captarea apelor subterane se poate face prin puţuri sau foraje, drenuri şi izvoare.
Pentru determinarea elementelor necesare proiectării captărilor de apă subterană
sunt necesare studii hidrogeologice. Acestea se întocmesc prin efectuarea de foraje şi
pompări experimentale, analize de laborator şi calcule hidrogeologice.
Datele necesare în proiectarea captărilor de ape subterane sunt:
1) Structura geologică a bazinului din care este alimentată sursa subterană.
- modul de alimentare a acviferului,
- întinderea bazinului de alimentare,
- caracteristicile rocii purtătoare de apă,
- adâncimea stratului impermeabil de bază.
2) Compoziţia granulometrică şi porozitatea efectivă a acviferului.
3) Caracteristicile hidraulice ale stratului acvifer:
- nivelul hidrostatic,
- permeabilitatea,
- direcţia şi panta de curgere,
- debitul minim al acviferului,
- posibilităţi maxime de captare (lungimea de front şi debit),
- potenţialul total al bazinului hidrogeologic, stabilit pe baza unui bilanţ
general al debitelor intrate şi ieşite.
4) Influenţa regimului de precipitaţii sau a apelor de suprafaţă asupra nivelului
apelor subterane, în vederea stabilirii nivelului minim pe timp de secetă
îndelungată.
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
155
5) Nivelul de inundabilitate al zonei de captare.
6) Caracteristicile fizice, chimice, biologice şi bacteriologice ale apei.
7) Stabilirea zonelor de protecţie sanitară a sursei de apă subterană.
Amplasarea captărilor de apă potabilă trebuie făcută în amonte de centrele
populate. În cazul în care nu este respectată această condiţie trebuie stabilite corect
zonele de protecţie sanitară.
Şirul de puţuri se amplasează perpendicular pe direcţia de curgere a acviferului
iar captările prin infiltraţie din malul râurilor se amplasează paralel cu albia minoră.
În cazul puţurilor de mare adâncime situate în zone populate trebuie realizată
izolarea stratelor acvifere superioare, contaminabile.
8.1. CAPTĂRILE DE APĂ SUBTERANĂ PRIN PUŢURI
Calculul captării constă din determinarea debitului unui puţ, a numărului de
puţuri, a distanţei între puţuri şi deci a lungimii captării şi a distanţei de protecţie
sanitară pentru perimetrul de regim sever (STAS 2707 - 72).
Zonele de protecţie sanitară sunt delimitate în vederea prevenirii impurificării
apei de către diverşi factori exteriori. Pentru sursele de apă sunt stabilite trei perimetre:
1) perimetrul de regim sever,
2) perimetrul de restricţie,
3) perimetrul de observaţie.
Prin Decretul nr. 1059/67 privind delimitarea zonelor de protecţie sanitară s-a
admis că timpul necesar de parcurgere de la limita perimetrului de regim sever până la
punctul de captare a apei, este de 20 de zile iar cel corespunzător perimetrului de
restricţie este de 50 zile.
În interiorul perimetrului de regim sever se interzice construirea de locuinţe şi de
canale. Zonele inundabile sunt protejate prin indiguiri.
În zona perimetrului de restricţie trebuie menţionată permanent o stare de
salubritate controlată, pentru evitarea modificării calităţii apei şi reducerii debitului.
8.1.1. Alcătuirea puţurilor
Puţurile de captare se pot realiza prin forare, prin săpare şi prin înfigere.
Puţurile săpate au diametrele de 1 - 1,5 m şi sunt folosite în gospodării izolate,
în special în cazul straturilor cu adâncimi şi grosimi relativ reduse. Captarea apei se face
în special prin fundul puţului.
Puţurile forate (forajele) au în general diametre cuprinse între 100 şi 1000 mm
şi se folosesc pentru captarea apelor din strate acvifere de grosime mare. Captarea se
face prin suprafaţa laterală.
Puţurile înfipte sunt utilizate pentru debite mici şi adâncimi mici ale nivelului
hidrostatic (3 - 4 m sub nivelul terenului).
Forajele pot fi folosite atât pentru captare cât şi pentru observaţie.
Puţurile (fig.8.1) sunt alcătuite din:
- capul puţului (1),
- coloană oarbă (2),
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
156
- coloană filtrantă propriuzisă (3),
- decantor (4),
- filtru de nisip şi pietriş (filtru invers) (5),
- gaură de foraj (6).
Coloana filtrantă este formată dintr-un filtru care poate fi din oţel cu fante
obţinute prin presare, din oţel cu fante tăiate, din material plastic, etc. Suprafaţa
golurilor trebuie să fie 15 - 30% din suprafaţa totală a coloanei.
Între coloana filtrată (3) şi peretele găurii de foraj (6) se introduce un material
filtrant alcătuit din nisip şi pietriş mărunt, mărgăritar. Acesta va forma un filtru invers
(5).
Fig. 8.1.Schema constructivă a unui puţ
8.1. a) Secţiune verticală printr-un puţ
1. - capul puţului
2. - coloană oarbă
3. - coloană filtrantă propriuzisă
4. - decantorul
5. - straturile filtrului de pietriş şi nisip
6. - peretele găurii de foraj
8.1.b) Secţiunea orizontală ( I- I) Dc-- diametrul coloanei filtrante
Df – diametrul găurii de foraj
I
1
2
3
4
5
6
I
hf
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
157
a b c
Fig. 8.2. Tipuri de puţuri : a) Puţ total în acvifer sub presiune
b) Puţ total în acvifer cu nivel liber
c) Puţ parţial în acvifer sub presiune
Din punct de vedere al gradului de deschidere (pătrundere în stratul
permeabil), puţurile pot fi:
- cu pătrundere totală (puţ total sau perfect),
- cu pătrundere parţială (puţ parţial sau imperfect).
După modul de deschidere puţurile pot fi:
- puţ de apă cu filtru, (perfecte şi imperfecte),
- puţ de apă fără filtru sau puţ perfect.
Din punct de vedere al poziţiei nivelului apei din jurul puţului, în raport cu
acoperişul impermeabil puţurile pot fi:
- puţ total în acvifer sub presiune (fig.8.2.a),
- puţ total în acvifer cu nivel liber (fig.8.2.b),
- puţ parţial în acvifer sub presiune (fig.8.2.c).
Un puţ perfect sau o sondă hidrodinamic perfectă îndeplineşte următoarele
condiţii:
1) în timpul extragerii fluidului nu există pierderi de presiune la intrarea apei prin filtru,
2) lungimea filtrului corespunde grosimii stratului.
În primul caz sonda este hidrodinamic perfectă după modul de deschidere iar în
al doilea caz, hidrodinamic perfectă după gradul de deschidere a stratului.
O sondă este considerată hidrodinamic perfectă dacă îndeplineşte amândouă
condiţiile.
8.1.2. Viteza maximă admisibilă de intrare a apei în gaura forajului.
În practică viteza prin filtrul puţului nu trebuie să depăşească anumite valori deci
debitul care poate fi captat este limitat.
Pentru prelungirea duratei de exploatare a puţului se recomandă reducerea
vitezei de pătrundere în puţ astfel încât mişcarea apei în filtru să rămână laminară. În
caz contrar apar fenomene ce reduc capacitatea de captare a puţurilor (colmatare,
încrustare).
Viteza maximă de intrare a apei în gaura forajului poate fi calculată cu:
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
158
a) Relaţia lui Sichardt,
vaK
15
în (m/s), (8.1)
în care K este coeficientul de filtraţie (conductivitatea hidraulică în m/s).
Din practica hidrogeologică s-a constatat că această relaţie conduce la valori
prea mari ale vitezei admisibile. Pentru evitarea fenomenelor negative sunt
recomandate, în practică, valori ale vitezei maxime admisibile de două sau de trei ori
mai mici:
60
K
30
Kva în (m/s). (8.2)
b) Relaţia lui Truelsen,
vad
10
280 in (m/s), (8.3)
în care d10 este diametrul eficace (d10 din curba granulometrică) al nisipului din stratul
acvifer, în mm.
c) În [Pâslăraşu] sunt recomandate valorile vitezei admisibile în funcţie de
granulozitate (tabelul 8.1).
Debitul maxim ce poate fi extras din foraj va fi limitat:
Q r h j vamax 2 0 (m3/s), (8.4)
unde r0 este raza puţului iar hj este lungimea coloanei filtrante prin care pătrunde apa în
gaura forajului.
Tabelul 8.1
va (m/s) Caracteristici granulometrice
0,0005 40% din granule cu diametrul 0,25 mm
0,001 40% din granule cu diametrul 0,50 mm
0,002 40% din granule cu diametrul 1 mm
8.1.3. Dimensionarea filtrului invers
Filtrele inverse au rolul de a proteja pământurile traversate de curenţi de apă
împotriva antrenării hidrodinamice. Rolul lor este:
- să oprească particulele fine care sunt antrenate de curentul de apă,
- să evacueze rapid debitul de infiltraţie,
- să reducă gradientul hidraulic.
Filtrele inverse se realizează din mai multe straturi cu granulozităţi diferite.
Grosimea filtrului se calculează astfel încât să se realizeze o reducere a
gradientului hidraulic.
Debitul prin filtru fiind egal cu cel prin stratul acvifer:
fK if K i , (8.5)
gradientul hidraulic în filtru este:
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
159
i f iK
Kf . (8.6)
Alegându-se o granulozitate mai mare pentru filtru, va rezulta KfK şi deci if i.
Dimensionarea mai multor straturi ale filtrului se face astfel încât (if icr )
gradientul hidraulic al filtrului să fie mai mic decât o valoare critică, corespunzătoare
antrenării materialului. icr se determină experimental [Marchidanu, 1996]
Fig. 8.3. Schema unui filtru invers
În tabelul 8.2. este dată grosimea stratului filtrant în funcţie de granulozitatea
filtrului.
Tabelul 8.2.
Fracţiunile granulometrice ale
filtrului df (mm)
Grosimea minimă a stratului
filtrant (mm)
0,75 — 4,0 60
4,00 — 12.00 70
12,00 — 35,00 80
Raportul dintre dimensiunile particulelor a două straturi vecine reprezintă
factorul filtrului. Acesta se alege astfel încât particulele fine sa nu poată trece prin
porii stratului mai grosier.
Pentru puţuri se recomandă ca factorul filtrului să fie f=4 (Normele germane
DIN).
Dacă dc este diametrul de calcul al particulelor stratului acvifer, care se
protejează,
(dc = d90 d95 ) iar df este dimensiunea pietrişului mărgăritar din filtru, atunci:
df = 4 dc (8.7)
Dacă filtrul are mai multe straturi:
df1 = 4 dc ¸ df2 = 4 df1 ; df3 = 4 df2 (8.8)
Dacă gradul de neuniformitate al stratului: 5d
dU
10
60n , diametrul de calcul,
Sensul de curgere
Stratul protejat Q=Kf if Q=Ki
Filtru invers Stratul protejat
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
160
dc = d90 d95.
Dacă Un 5, se corectează curba granulometrică prin eliminarea fracţiunilor mari până
când Un 5 şi se ia în calcul noul dc corespunzător procentului de 90%.
În literatura de specialitate [Marchidanu p. 143] sunt recomandate şi alte criterii
de dimensionare a filtrelor inverse. Ţinând seama de aceste criterii se recomandă
respectarea următoarelor condiţii:
d f
d
15
855 ;
d f
d
50
5025
4015
154 5
d f
d, Uf 10. (8.9)
Dimensionarea filtrului invers se face astfel:
- se trasează curba granulometrică a stratului acvifer,
- se trasează curba granulometrică a materialului filtrului, paralelă cu cea a materialului
de protejat, astfel încât ea să treacă prin punctul d50f = 10 d50,
- se verifică dacă sunt îndeplinite condiţiile (8.9),
- pentru următorul strat al filtrului se procedează analog, în funcţie de primul strat al
filtrului.
Dimensiunile orificiilor coloanei filtrante trebuie să fie mai mici decât
dimensiunea minimă a particulelor filtrelor.
În practică, pentru ca materialul din filtru să nu treacă în tubul de drenaj trebuie
avute în vedere condiţiile:
d85f 1,2 D,
d85f l ,
d85f 2 l , (8.10)
unde D este diametrul perforaţiilor de formă circulară, l este lăţimea şliţurilor în cazul
tuburilor şliţuite iar l reprezintă deschiderea rosturilor de îmbinare a tuburilor.
Fig. 8.4. Tuburi de foraj
D l
l l
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
161
8.1.4. Construcţia şi exploatarea captărilor prin puţuri
Construirea unei captări de ape subterane prin puţuri presupune:
- realizarea forajului,
- tubarea găurilor de foraj,
- testarea straturilor acvifere,
- echiparea forajelor cu filtre,
- echiparea puţurilor cu pompe.
Tehnologiile de execuţie a forajelor sunt diversificate în funcţie de
echipamentele tehnice utilizate, de metodologiile de săpare a puţurilor, de testare şi
exploatare a acviferelor.
Tipurile de sisteme de foraj se pot clasifica:
a) după modul de dislocare a rocii:
- rotative,
- percutante,
b) după modul de evacuare a detritusului:
- uscate,
- cu circuit de fluid de foraj (hidraulic).
c) după modul de acţionare al instalaţiilor de foraj:
- manuale,
- semimecanice,
- mecanice.
d) din punct de vedere al circulaţiei fluidului de foraj pot fi:
- foraje cu circulaţie directă, cu noroi de foraj, cu aer, apă, noroi aerat,
- foraj cu circulaţie inversă prin absorţie şi prin aerlift.
Tubarea găurilor de foraj se face în vederea menţinerii stabilităţii pereţilor
găurii sau pentru izolarea straturilor acvifere.
Testarea fiecărui strat se face prin pompări experimentale din acel strat. În
timpul testării stratul acvifer trebuie să fie izolat de celelalte straturi. Dacă sunt mai
multe straturi, testarea se face începând cu stratul de jos.
Echiparea forajelor cu filtre se face prin introducerea unei coloane filtrante
(burlane de tablă de oţel sau material plastic) în gaura de foraj. Între coloana filtrantă şi
tubul de foraj se construieşte filtru invers. La sfârşitul operaţiei se scoate tubul de foraj.
Echiparea cu pompe a puţurilor se face în funcţie de condiţiile locale.
Pompele utilizate pot fi:
- pompe cu piston;
- pompe centrifuge cu ax orizontal;
- pompe centrifuge cu ax vertical;
- pompe de adâncime;
- pompe cu aer comprimat (Mamuth).
Schemele posibile ale captărilor cu puţuri diferă între ele în funcţie de tipul
conductelor de colectare a apei din puţuri şi de amplasamentul pompelor. Pot exista
următoarele tipuri de scheme:
- cu conductă de sifonare şi puţ colector,
- cu conductă de aspiraţie şi rezervor de vacuum,
- cu pompe individuale şi conductă de refulare.
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
162
În cazul puţurilor cu debite mari de exploatare sau al celor pentru care nivelul
hidrodinamic minim de exploatare este la adâncimi mai mari de 8 - 10 m sub nivelul
terenului se instalează o pompă în fiecare puţ. Pomparea se face într-o conductă comună
pentru tot şirul de puţuri.
Fig. 8.5. Schema pompării executate cu pompă amplasată la suprafaţă
Fig. 8.6. Pompa submersibilă cu aer lift, tip Mamuth
5
5
1- sorb
2- conductă de aspiraţie
3- pompă
4- rezervor de refulare
5- conductă de refulare
N.h. Hmax7m
H0max4-5m
s0
1
2
3
4
1 – compresor
2 – coductă aer
3 – sorb
4 – coloană de pompare(apă şi aer)
5 – rezervor de refulare
N.h.
s0
1
2
3
4
5
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
163
Capătul inferior al conductei de aspiraţie sau sorbul pompelor nu trebuie
amplasate în dreptul coloanei perforate pentru a evita înnisiparea puţului. Antrenarea
particulelor fine din stratul filtrant ar strica echilibrul exterior al nisipului, antrenându-l
în puţ. Capătul conductei de aspiraţie se va fixa fie în dreptul coloanei definitive pline a
puţului, în cazul în care nivelul hidrodinamic minim depăşeşte cu cel puţin 1m partea
superioară a coloanei filtrante, fie în interiorul decantorului, la partea superioară
(decantorul trebuie să aibă o lungime de minim 3m în acest caz).
În cazul nivelelor hidrodinamice minime de exploatare aflate la cel mult 5-6 m
sub nivelul terenului se pot folosi conducte sifon spre un puţ colector.
Figura 8.7. Schema captării din puţuri cu conductă de sifonare de tip clasic
1- puţuri de captare,
2- nivelul hidrodinamic al apei din pânză,
3- nivel hidrostatic,
4- conductă de sifonare,
5- puţ colector,
6- cap de aspiraţie a aerului (pentru amorsare)
7- conductă de vacuum, de la pompa de vid,
8- conductă de aspiraţie din puţul colector.
8.2. CALCULUL PUŢURILOR PERFECTE ÎN CAZUL
REGIMULUI STAŢIONAR, CONSERVATIV.
Teoria hidraulică a puţurilor perfecte a fost elaborată încă din anul 1863 de către
J. Dupuit, având la bază unele ipoteze simplificatoare:
1) Este valabilă legea lui Darcy;
2) Stratul acvifer este omogen şi izotrop;
3) Pentru înclinaţii mici ale suprafeţei libere a apei dintr-un sistem acvifer în
mişcare gravitaţională, liniile de curent pot fi considerate orizontale, iar vitezele
asociate acestor linii sunt proporţionale cu panta suprafeţei libere şi sunt independente
de adâncime. Aceasta este ipoteza lui Dupuit;
1
2
3
4
5
6 7
8
N.h.
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
164
Această ipoteză implică neglijarea componentelor verticale ale vitezei.
Suprafeţele echipotenţiale pot fi asimilate cu suprafeţe cilindrice având generatoarele
verticale;
4) Debitul pompat provine din exteriorul razei de influenţă a pompării. Stratul
acvifer este alimentat pe un contur circular având centrul în axul puţului şi raza egală cu
raza de influenţă;
5) Suprafaţa de denivelare nu suferă discontinuităţi la contactul dintre mediul
poros şi peretele puţului;
6) Mişcarea apei subterane către puţul pompat este permanentă.
8.2.1. Calculul puţurilor perfecte în straturi acvifere sub presiune.
Determinarea debitului maxim de pompare.
Fig. 8.8. Puţ perfect în acvifer sub presiune
Viteza radială a mişcării, în toate punctele unei echipotenţiale este:
v K i Kdh
dr , (8.11)
unde v( r ) reprezintă modulul vitezei ( direcţia ei fiind spre axul puţului),
h( r ) este sarcina hidraulică la distanţa r de axul puţului,
K este conductivitatea hidraulică (coeficientul de filtrare) a stratului.
Relaţia dintre debitul pompat şi gradientul sarcinii piezometrice este:
Q r M Kdh
dr 2 (8.12)
Q1 = f(s0)
(a)
R
Q2 = f(va)
O
1
Qmax
s
D
2 r.M.va
A
B
2
C
O’
Q
N.pmin
r
Hmin
r0
r
s0 s
Q
N.p. Studii
M h0
h(r)
v(r)
(b)
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
165
dhQ
M K
dr
r
2 (8.13)
Prin integrare între două secţiuni curente ale domeniului de mişcare se obţine
relaţia :
(8.14)
respectiv, h hQ
M Kr r0 02
ln ln
h hQ
M K
r
r
0
02ln . (8.15)
Dacă notăm denivelarea creată prin pompare, la peretele puţului s H h0 0 ,
iar la distanţa r de axul puţului s H h , h h s s 0 0 , relaţia (8.15) devine:
s sQ
M K
r
r002
ln (8.16)
Din această relaţie rezultă că există o rază convenţională R pentru care
denivelarea s = 0. Această rază este numită rază fictivă de influenţă a pompării.
Introducîndu-se raza de influenţă R în (8.16) se poate calcula denivelarea în puţ:
sQ
M K
R
r
Q
M K
R
r00 02
0 366
ln
,log . (8.17)
Debitul puţului s-ar putea calcula în funcţie de raza de influenţă, de denivelarea
din puţ şi de transmisivitatea stratului T M K , cu relaţia:
Q
M K s
R r
T s
R r
T s
R rC s
2 2 2 730
0
0
0
0
00
ln / ln /
,
log / (8.18)
unde
CT
R r
2 73
0
,
log / (8.19)
Deci în cazul unei pompări cu debit constant Q, relaţia dintre denivelarea în puţ
şi debit este liniară (teoretic). Reprezentarea grafică a acestei dependenţe, Q f s1 0 ,
reprezintă curba caracteristică a puţului (fig.8.8.b).
Din punct de vedere economic ar rezulta că exploatarea puţului trebuie făcută cu
denivelări cât mai mari dar pentru o funcţionare normală a puţului nu este permisă
depăşirea unei viteze maxime admisibile, în vecinătatea peretelui puţului.
dh
hQ
M Kr
h r
r
0
0
2ln
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
166
În paragraful 8.1.2. s-au dat formule pentru viteza admisibilă, folosite în
practică, astfel încât să fie evitată antrenarea continuă a particulelor fine de nisip prin
filtrul puţului. Acest proces poate provoca distrugerea scheletului mineral al stratului şi
colmatarea filtrului.
Condiţia de neînisipare a unui puţ este:
Q r M va 2 0 , (8.20)
unde va este viteza admisibilă de intrare a apei în puţ.
Debitul maxim (capabil) al puţului rezultă din intersecţia curbei caracteristice a
puţului (8.18) cu reprezentarea grafică a relaţiei (8.20) (punctul B din fig. (8.8.b).
Relaţia (8.20) se reprezintă grafic printr-o linie frântă. Pe grosimea stratului
acvifer debitul variază liniar între zero şi valoarea Q r M vamax 2 0 .
Din dreptul acoperişului stratului acvifer, până la nivelul piezometric al stratului
N.p., debitul rămâne constant.
Curba debitului în funcţie de denivelare se trasează cu datele obţinute la probele
de pompare, însă raportate la nivelul piezometric al apei subterane după perioadele de
secetă (N.pmin), adică la nivelul Hmin faţă de stratul impermeabil de bază. Se duce o
curbă (O’ B C) paralelă cu cea experimentală (O A D) (fig.8.8b). Punctul corespunzător
funcţionării satisfăcătoare este B. Lui îi corespunde valoarea debitului Qmax..
În practică, la denivelări importante au loc pierderi de sarcină în filtrul puţului,
în coloana forajului şi în mediul poros din imediata vecinătate a puţului. Astfel debitul
nu mai este proporţional cu denivelarea.
s H hQ
M K
R
rB Q A Q B Qn n
0 002
ln (8.21)
unde n 2 (C.E.Jacob)
Rezultă o variaţie parabolică a denivelării în puţ:
s A Q B Q02 . (8.22)
Parametrii A şi B depind de coeficientul de conductivitate hidraulică şi de
pierderile de sarcină la traversarea filtrului puţului şi a tubajului forajului.
Determinarea parametrilor A şi B se poate face experimental. Măsurându-se
denivelările corespunzătoare la două pompări cu debite Q1, Q2.
s A Q B Q01 1 12
s A Q B Q02 2 22
rezultă
B
s Q s Q
Q Q Q Q
02 1 01 2
1 2 2 1
, (8.23)
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
167
As
QB Q
01
11 . (8.24)
Raportul dintre debitul puţului şi denivelarea corespunzătoare reprezintă debitul
specific al puţului:
s
M K
R
r
0
0
2 73,
log
(8.25)
În cazul straturilor acvifere sub presiune debitul specific este o constantă care
depinde numai de natura litologică a stratului şi este denumită capacitatea specifică a
puţului.
- pentru nisipuri: q = 3 13
- pentru gresii: q = 0,5
- pentru calcare fisurate:q = 100 150
După modul de variaţie a debitului specific cu denivelarea, în practică pot apare
următoarele situaţii:
a) Creşterea debitului specific odată cu denivelarea indică faptul că datele
pompării nu sunt corecte şi că pomparea nu s-a făcut în regim permanent.
b) Debitul specific constant indică regimul liniar de filtraţie. Valorile
rezistenţelor hidraulice la curgerea spre puţ sunt neglijabile.
c) Corelaţii logaritmice, exponenţiale şi parabolice între debit şi denivelare
indică abateri de la situaţia ideală, teoretică. Forma acestor curbe dă indicaţii privind
procesele nepermanente şi pierderile de sarcină din zona puţului, colmatarea puţului.
Suprafaţa piezometrică, în jurul puţului, rezultă din (8.15):
h r hQ
T
r
r 0
02ln . (8.26)
Ţinând seama de faptul că la distanţa R nu se observă nici o denivelare:
h R H hQ
T
R
r 0
02ln ,
h HQ
T
R
r002
ln , (8.27)
h r HQ
T
R
r
Q
T
r
r
2 20 0 ln ln .
Ecuaţia suprafeţei piezometrice în funcţie de raza de influenţă R este:
h r HQ
T
R
r
2ln . (8.28)
Eliminând debitul între relaţiile (8.26 ) şi (8.27) se obţine:
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
168
0
0
r/Rln
T2hHQ
, (8.29)
h r h H hr r
R r 0 0
0
0
ln /
ln /. (8.30)
Relaţia liniară (8.30) dintre sarcina hidraulică h(r) şi (ln r/r0) fiind independentă
de Q, permite calculul suprafeţei piezometrice şi în cazul puţurilor de injecţie. În acest
caz sensul mişcării apei este invers celui creat în timpul pompării. Curba denivelării va
fi imaginea răsturnată a curbei definite de (8.30), în raport cu suprafaţa piezometrică
iniţială.
Raza r0 a puţului este un termen convenţional deoarece întotdeuna în jurul
puţului se dezvoltă în mod natural (ca urmare a unei pompări forţate sau alternate) sau
artificial (când solul natural este înlocuit cu un filtru de pietriş mărgăritar), o zonă cu
conductivitate hidraulică ridicată care diferă de cea a stratului acvifer adiacent.
Creşterea conductivităţii hidraulice în zona din exteriorul perforaţiilor coloanei filtrante
conduce la diminuarea denivelării apei din puţul pompat.
Se defineşte raza efectivă a puţului ca fiind distanţa la care denivelarea teoretică
determinată de relaţia:
s r H h rQ
TR r
2 0ln /
este egală cu denivelarea dezvoltată în filtrul puţului.
Datorită dependenţei logaritmice a parametrilor h(r) şi Q, de r0, estimarea
eronată a razei puţului nu afectează esenţial valorile calculate ale sarcinii hidraulice şi
ale debitului pompat.
În cazul în care în jurul puţului conductivitatea hidraulică se reduce în raport cu
aceea a stratului acvifer, ca urmare a proceselor de colmatare, raza efectivă a puţului are
o deosebită importanţă în dinamica parametrilor h(r) şi Q.
Determinarea parametrilor hidrogeologici ai stratului acvifer sub presiune,
K şi T se poate face:
1) cu relaţia:
KQ
M s sr r
2 1 22 1
ln / . (8.31)
Această relaţie se obţine prin integrarea ecuaţiei (8.31) între două puţuri de
observaţie amplasate la distanţele r1 şi r2 de puţul central. Dacă denivelările măsurate în
cele două puţuri sunt s1şi s2: s H h r1 1 ( ) şi s H h r2 2 ( )
dhQ
M K
dr
rr
r
h r
h r
2 1
2
1
2
( )
( ), deci h r h r
Q
M K
r
r( ) ( ) ln2 1
2
12
cum H s H s h r h r 2 1 2 1( ) ( ) , s sQ
M K
r
r2 12
12
ln
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
169
Rezultă conductivitatea hidraulică :
KQ
M s sr r
2 1 22 1
ln
şi transmisivitatea stratului :
T K MQ
M s sr r
2 1 22 1
ln . (8.32)
2) cu relaţia :
KQ
M s s
r
r
2 0 1
1
0ln , (8.33)
dacă măsurătorile se fac în puţul de pompare (s0) şi într-un singur puţ de observaţie,
situat la distanţa r1, în care denivelarea este s1.
dhQ
M K
dr
rr
r
h r
h r
2 0
1
0
1
( )
( ) ,
h r h rQ
M K
r
r( ) ( ) ln1 0
1
02
,
s sQ
M K
r
r0 11
02
ln ,
rezultă relaţia (8.33) pentru conductivitatea hidraulică iar transmisivitatea va fi:
T K M
Q
s s
r
r
2 0 1
1
0ln (8.34)
8.2.2. Calculul puţurilor perfecte în strate acvifere cu nivel liber.
Determinarea debitului maxim de pompare.
În cazul unui acvifer cu nivel liber suprafaţa piezometrică este chiar suprafaţa
liberă a acestuia. Ecuaţia suprafeţei libere se obţine pornind de la expresia debitului:
Q r h r Kdh r
dr 2 (8.35)
h dhQ
K
dr
r
2 (8.36)
Prin integrare între un punct oarecare (h, r) şi un punct de referinţă (h1, r1) se obţine:
h hQ
K
r
r
212
1
ln . (8.37)
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
170
Dacă r1 = R, h1 = H, iar relaţia (8.37) devine:
H hQ
K
R
r
2 2
1
ln (8.38)
a. Schema puţului b. Determinarea grafică a debitului
maxim capabil
Fig. 8.9. Puţ perfect în acvifer cu nivel liber.
Dacă integrarea se face între un punct oarecare şi un punct aflat pe peretele
puţului se obţine ecuaţia curbei de depresiune (a lui Dupuit).
h hQ
K
r
r
202
0
ln (8.39)
h hQ
K
r
r 0
2
0ln (8.40)
Denivelarea apei în puţul pompat este:
s H h H HQ
K
R
r0 02
0
ln (8.41)
Dacă se consideră un punct aflat la distanţa R de axul puţului (R = raza de
influenţă), pentru care h = H, ecuaţia (8.39) devine:
H hQ
K
R
r
202
0
ln (8.42)
r0 r
Hmin
Q
N.h. Studii
h(r)
h0
s0
Hstudii
N.h min
3
1
Qmax
s0
Q = 2 r0.H.Va
1’
2
Q
N
2’
3’
M
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
171
iar debitul se va calcula cu formula lui Dupuit:
QK H h
R r
202
0ln / (8.43)
În funcţie de denivelarea s0 = H - h0, se poate determina h0 = H - s0 şi debitul:
QK s H h
R r
K s H s
R r
0 0
0
0 0
0
2
ln ln (8.44)
Ecuaţia (8.44) reprezintă curba caracteristică a puţului şi este de forma
Q C s H s . 0 02 . (8.45)
Această curbă are două zone. Prima zonă, corespunzătoare denivelărilor mici (la
începutul pompării), poate fi asimilată cu o dreaptă Q C H s 2 0 (se confirmă
experimental). Există un punct critic de la care, pentru variaţii mici ale debitului,
denivelările devin mult mai mari (variaţie parabolică). Debitul furnizat de un puţ
singular, aflat într-un acvifer cu nivel liber, este limitat.
Pentru determinarea debitului optim de exploatare se utilizează o metodă
grafică bazată pe pompări experimentale (asemănătoare celei prezentate în paragraful
8.2.1).
Se intersectează curba caracteristică a puţului (8.45) ridicată experimental cu
curba de variaţie a debitului în funcţie de viteza de intrare a apei în puţ (fig.8.9.b).
Punctul M, din această figură, corespunde debitului maxim admisibil:
Q r H va0 02 , (8.46)
iar punctul N, debitului Q = 0, corespunzător denivelării în puţ.
În cazul puţurilor de captare a apei subterane pentru alimentări cu apă, curba
debitului în funcţie de denivelare se raportează la nivelul apei subterane după o perioadă
de secetă, adică la nivelul Hmin faţă de stratul impermeabil de bază.
Fig. 8.10. Schema de pompare cu două puţuri de observaţie.
r2
s2 s1
r0
r1
h1
H
h0 h2
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
172
Dacă se fac măsurători în două foraje de observaţie, aflate la distanţele r1, r2 de
axa puţului pompat, debitul se poate calcula cu relaţia.:
rrln
H2
ss
H2
ssHK2
Q12
22
2
21
1
(8.47)
Integrând ecuaţia (8.36) între două secţiuni cilindrice (r1, h1) şi (r2, h2) se obţine
relaţia:
h hQ
Kr r2
212
2 1
ln (8.48)
Considerând denivelările s H h1 1 şi s H h2 2 ,
Q Kh h s s
r rK
h h s s
r r
1 2 1 2
2 1
1 2 1 2
2 1
1 363ln
,log
. (8.49)
Această ecuaţie este cunoscută sub numele de formula Dupuit - Thiem (1906).
Ea poate fi folosită pentru determinarea coeficientului de conductivitate hidraulică, K:
K h h
Q r r
h h
Q r r
h h s s
22
12 2 1
22
12
2 1
1 2 1 2
0 73ln , log
. (8.50)
Dacă pentru determinarea conductivităţii hidraulice se folosesc măsurătorile
dintr-un singur puţ de observaţie, amplasat la o distanţă r1 de puţul central, formula de
calcul va fi:
K h h
Q R r
h h s s
Q R r
h h
22
12 1
1 0 0 1
1
12
02
ln ln
(8.51)
Se poate demonstra teoretic [Ivan - 242] că ipoteza lui Dupuit se poate folosi cu
succes cu condiţia de a utiliza, în calcule, conductivitatea hidraulică orizontală a
stratului acvifer şi să fie îndeplinită relaţia:
K
K
dh
dr
K
Ktg
x
z
x
z
22 1 (8.52)
unde este unghiul de înclinare a suprafeţei libere a apei, faţă de orizontală.
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
173
În straturile acvifere sub presiune, formulele stabilite pe baza ipotezelor lui
Dupuit sunt exacte fără restricţii.
8.2.3. Forma reală a curbei de depresiune. Zona de izvorâre de la
peretele exterior al puţului.
Fig. 8.11. Forma reală a curbei de depresiune in jurul unui puţ
Cercetările experimentale au arătat că în condiţiile curgerii cu nivel liber a apei
spre un puţ de pompare, între nivelul apei în puţ şi cel din exteriorul filtrului există o
diferenţă, care depăşeşte valoarea pierderilor de sarcină prin filtru.
Denivelarea de la peretele puţului hi, este denumită înălţime de izvorâre şi
reprezintă pierderea de sarcină la infiltraţia apei prin mediul poros cuprins între
echipotenţiala AB şi peretele puţului.
Liniile echipotenţiale reale se abat faţă de cele teoretice, presupuse verticale
(ipoteza lui Dupuit). Curba reală de depresiune se găseşte întotdeauna mai sus decât
curba Dupuit.
Factorii care generează diferenţa dintre suprafaţa liberă reală şi cea teoretică a lui
Dupuit.
Diferenţa dintre curba de depresiune reală şi cea teoretică depinde, în primul
rând, de valoarea gradientului hidraulic vertical, respectiv, de componentele verticale
ale vitezei.
Pe măsură ce distanţa de la axul puţului creşte, valoarea medie a gradientului
hidraulic vertical se micşorează.
G. Schneebeli, apreciază că începând de la o distanţă r’, faţă de axa puţului,
pentru care dh
dr0 2, , curba reală de depresiune se apropie de curba Dupuit şi poate fi
determinată cu relaţia:
Curba reala de depresiune
r’
r
Q
H
dh/dr = 0,2
Curba Dupuit
h0
z0
hi
B
C
D
A
dh/dr
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
174
h hQ
Kr r
0
20
ln / (8.53)
Alţi cercetători apreciază că suprapunerea curbelor se face după o valoare r
1,5h, h fiind nivelul piezometric real.
Diferenţa dintre suprafaţa liberă reală şi cea teoretică se poate datora şi altor
factori, legaţi de structura şi proprietăţile filtrante ale zonei adiacente puţului, de
caracteristicile constructive şi hidraulice ale filtrului şi coloanei puţului şi de mişcarea
apei subterane către puţ.
Rezistenţa hidraulică totală a unui puţ este suma următoarelor pierderi de
sarcină:
1) Pierderea de sarcină la trecerea apei prin peretele perforat al puţului (hp).
2) Pierderea de sarcină datorată mişcării apei prin coloana puţului spre sorbul
conductei de aspiraţie, sau spre pompă, în cazul când aceasta este submersată (hx).
3) Pierderea suplimentară de sarcină care apare în apropierea puţului, dacă
mişcarea iese din limita de valabilitate a legii lui Darcy (hn).
4) Pierderea suplimentară de sarcină rezultată din reducerea lungimii active a
filtrului, prin prezenţa porţiunilor de tub neperforat, la piesa de fund, la partea
superioară, uneori în dreptul pompei submersate, precum şi pierderea suplimentară de
sarcină produsă la puţurile cu penetraţie parţială în acvifer, când lungimea filtrului este
mai mică decât grosimea stratului acvifer (hs).
5) În procesul de exploatare se adaugă pierderea de sarcină suplimentară hc,
datorată modificării proprietăţilor filtrante ale stratului din zona adiacentă puţului şi
modificării structurii filtrului, ca urmare a proceselor de colmatare.
În bibliografia de specialitate [Ivan, p 246] sunt date formulele pentru calculul
înălţimii de izvorâre.
Dintre acestea amintim:
1) Formula lui R. Ehrenberger (1928)
.
H
h-H0,5=h
20
i
(8.54)
2) Formula lui S.K. Abramov (1946)
.K
Q=h
n
pi
(8.55)
unde şi n sunt coeficienţi empirici experimentali.
= 15.....25 pentru filtre din pietriş,
= 12.....22 pentru filtre metalice din bare,
= 6 .......8 pentru filtre cu orificii şi fante,
n 0,5 este independent de tipul filtrului,
p este pierderea de sarcină în puţ
3) Formula elaborată de Institutul VODGEO din Moscova (1954)
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
175
.h-H0,5=h2,2
0i (8.56)
Din prelucrarea a numeroase rezultate provenite din surse diferite se poate spune
că există o relaţie de forma:
h h
Q
K
fr
Q
K
c2
02
02
log. (8.57)
unde hc = h0 + hi
Funcţia f poate fi aproximată printr-o dreaptă [Pietraru pg. 262], rezultând o
formulă de forma:
h h h
Q
K
Q
K
r
i i
21 01 0 41
0
02
, log , (8.58)
valabilă pentru debite Q r K 2 5 02, . (8.59)
Pentru valori ale debitului mai mici decât cele date de (8.59) înălţimea de
izvorâre se poate neglija.
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
176
8.3 CURGEREA ÎN REGIM NESTAŢIONAR, CONSERVATIV, ÎN
CAZUL FORAJELOR PERFECTE, IZOLATE, EXECUTATE ÎN
ACVIFERE SUB PRESIUNE CU EXTINDERE ORIZONTALA
MARE.
Vom căuta soluţia analitică a ecuaţiei difuzivităţii, în cazul regimului
nestaţionar, conservativ,
t
h
T
Sh2
, (8.63)
în următoarele ipoteze [Zamfirescu, 1997]:
1. Acviferele au o dezvoltare mare în plan orizontal, au grosime constantă şi sunt
cantonate în depozite permeabile, omogene şi izotrope.
2. Debitul pompat din foraj provine în exclusivitate din resursa potenţială
elastică a complexului apă-rocă, din interiorul zonei de influenţă a forajului.
3. În toată zona de influenţă a forajului este valabilă legea lui Darcy.
4. Curgerea spre foraj este axial simetrică, debitul pompat fiind uniform
distribuit pe suprafaţa filtrului. Volumul de apă existent în coloana forajului este
neglijabil şi raza forajului este mică.
5. Suprafaţa piezometrică creată în jurul forajului are panta foarte mică, astfel
componentele verticale ale vitezei de filtrare pot fi neglijate.
6. Suprafaţa piezometrică nu suferă discontinuităţi în zona din vecinătatea
forajului şi nici la traversarea filtrului.
În aceste condiţii, axial simetrice, ecuaţia difuzivităţii (8.63) devine:
t
h
T
S
r
hr
rr
1
. (8.64)
Notăm
zi
m,a
S
T 2
. Această mărime poartă numele de difuzivitate hidraulică
şi este raportul dintre transmisivitatea acviferului şi coeficientul său de înmagazinare.
8.3.1. Rezolvarea analitică a problemei. Soluţia lui Theis (1935)
În cazul unui acvifer sub presiune fără dinamică iniţială, având sarcina
piezometrică iniţială H0, ecuaţia
h
t
a
r rr
h
r
(8.65)
va trebui să satisfacă condiţiile:
h (r, o) = H0 (condiţie iniţială),
h (r = , t) = H0 (condiţie la limită).
Condiţia la limită, pe peretele filtrului, este aceea de debit constant (debitul
creşte brusc la momentul t = 0, de la valoarea 0 la Q şi rămâne constant în tot timpul
pompării).
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
177
În condiţiile unei curgerii axial – simetrice, determinate de pomparea debitului
Q, vom calcula viteza de curgere radială, la o distanţă r de axa puţului, pornind de la
definirea debitului printr-un cilindru de rază r şi înălţime M. Dacă ne este porozitatea
efectivă, volumul de apă cuprins între doi cilindrii aflaţi la distanţa dr este:
drnMr2nMdrdrdV e
2
0e
,
Fig. 8.12 Elementul de volum al unui acvifer sub presiune, in jurul unui puţ de
pompare
iar debitul
dt
nMdrr2
dt
dVQ e
, (8.66)
viteza radială rezultă din:
dr
dt
Q
r M ne
2 , (8.67)
dtnM2
Qdrr
e
. (8.68)
Prin integrare între momentul iniţial, t = 0 (r = r) şi cel final, t (r = 0)
t
0e
0
r
dtnM2
Qrdr , (8.69)
se obţine:
tnM2
Q
2
r
e
2
. (8.70)
Această relaţie se poate pune sub forma:
rnM2
Q
t2
r
e . (8.71)
r1
dr
rd
r0
M
Q
d
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
178
Termenul din partea dreaptă este identic cu cel din relaţia (8.67), astfel rezultă:
dr
dt
r
t
2 . (8.72)
Vom căuta variaţia în timp şi spaţiu a nivelului piezometric h(r,t):
dhh
rdr
h
tdt
. (8.73)
Căutăm să exprimăm derivatele
h
r şi
h
t în funcţie de r şi t.
Înlocuind:
h
t
h
r
dr
d t
h
r
r
t
2 (8.74)
în (8.65), ecuaţia difuzivităţii devine:
h
r
r
t
a
r rr
h
r
2
şi poate fi pusă sub forma:
rr
h
r
rh
r
r
a t
2
,
respectiv ,
rr
h
r
r
a tln
2.
Pentru un timp fixat:
drta2
r
r
hrlnd
0
r
T2
Q
r
hr
,
ln ln
Q
Tr
h
r
r
a t2 4
2
,
ln
rh
r
Q
T
r
a t
2
4
2
, ta4
r 2
e
T2
Q
r
hr
,
rezultă :
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
179
h
r
Q
T re
r
a t
2
2
4 . (8.75)
Dacă considerăm h(r,t) , variabil cu timpul,
h
r
h
t
t
r
h
t
t
r
2,
ta4
r 2
erT2
Q
r
t2
r
h
,
h
t
Q
T te
r
a t
4
2
4 , (8.76)
înlocuind (8.75) şi (8.76) în (8.73), obţinem:
dtetT4
Qdre
rT2
Qdh ta4
r
ta4
r 22
,
dhQ
Te
dr
r
dt
t
r
a t
4
22
4
. (8.77)
Vom nota: r
a tu
2
4 . (8.78)
Astfel :
t
dt
r
dr2u
t
dt
r
dr2
ta4
rdt
ta4
rdr
ta4
r2dt
t
udr
r
udu
2
2
2
, (8.79)
rezultând
2
dr
r
dt
t
du
u . (8.80)
Cu noua variabilă, relatia (8.77) devine:
dhQ
Te
du
u
u
4 . (8.81)
Vom integra ecuaţia (8.81) în următoarele condiţii la limită:
r = r şi t = 0 implică u = ,
r = r şi t = t implică u = u, h = h(r,t) ,
r = şi t = t implică h(, t) =H0 ,
r = r şi t = 0 implică h(r, 0) =H0 .
0H
h u
u
duu
e
T4
Qdh , (8.82)
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
180
uWT4
Qdu
u
e
T4
QshH
u
u
0
. (8.83)
Soluţia (8.83) a fost dată de Theis în 1935. s este denivelarea într-un piezometru
aflat la distanţa r de puţul de pompare, măsurată la timpul t. T este transmisivitatea
acviferului.
u
u
i duu
e)u(E)u(W (8.84)
este funcţia lui Theis sau funcţia caracteristică a forajului. Ea se poate dezvolta în
serie:
96
u
18
u
4
uu
u78,1
1ln
!nn
uuln5772,0
!nn
uuln
!nn
uulnlim
ndu
!n
u1
u
1du
u
e
432
1n
n
1n
n
1n
n
u 1n
n
u
u
(8.85)
pentru că
5772,0!nn
uulnlim
1n
n
n
(constanta lui Euler) (8.86)
iar u78,1
1uln5772,0
. (8.87)
În concluzie:
96
u
18
u
4
uu
u78,1
1ln
T4
QuW
T4
Qs
432
, (8.88)
unde :ta4
ru
2
, Q este debitul pompat în puţ, T este transmisivitatea acviferului iar a
este raportul dintre transmisivitate şi coeficientul de inmagazinare.
Funcţia W(u) poate fi calculată cu relaţia (8.85) şi este dată în tabelul (8.1).
Relaţia (8.88) reprezintă legătura dintre debitul pompat, denivelarea din puţ şi
caracteristicile hidrogeologice ale acviferului. Ea se poate folosi pentru determinarea
caracteristicilor hidrogeologice ale acviferelor, prin pompări experimentale.
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
181
8.3.2. Aproximarea logaritmică Jacob
Jacob propune aproximarea funcţiei W(u) prin primii doi termeni ai dezvoltării
în serie (8.85) :
u78,1
1lnuln5772,0uW
.
Această aproximare este valabilă pentru u 0,1.
Astfel:
sQ
T
a t
r
Q
T
a t
r
Q
T
a t
r
Q
T
a t
r
4
2 250 0795
2 250 0795 2 3
2 250 183
2 252 2 2 2
ln,
, ln,
, , lg,
, lg,
,
sQ
T
a
r
Q
Tt
0 183
2 250 183
2, lg
,, lg , (8.89)
s A B t lg . (8.90)
Relaţia (8.89) reprezintă, în coordonate (s, lg t), dreapta (8.90) cu panta B şi
ordonata în origine, A :
BQ
T 0 183, ,
AQ
T
a
rB
a
r
0 183
2 25 2 25
2 2, lg
,lg
,.
Această reprezentare se poate folosi pentru determinarea parametrilor hidrogeologici ai
acviferelor.
8.3.3. Concluzii şi observaţii
1. Denivelarea într-un foraj aflat la distanţa r de puţul de pompare, se poate
calcula, la un moment dat t , cu relaţia (8.83) (soluţia lui Theis):
uWT4
Qdu
u
e
T4
Qt,rhHt,rs
u
u
0
sau cu relaţia (8.89), pentru 1,0ta4
ru
2
,
tlgT
Q183,0
r
a25,2lg
T
Q183,0s
2
(aproximaţia Jacob).
2. Soluţia lui Theis a fost determinată considerând raza puţului de pompare r0 =
0 (s-a pus condiţia ca debitul care trece prin peretele forajului este Q).
În realitate debitul care trece prin suprafaţa laterală a unui cilindru de rază r este:
r
hrT2
r
hrKM2Qr
,
în care h este dat de relaţia (8.83),
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
182
u2uu
r
eQta4
r
u
eQ
ta4
r2
u
e
2
Qr
dr
du
du
uWd
T4
QrT2
uWT4
Q
dr
drT2Q
Debitul la peretele puţului, pentru r - r0, este
0u0 eQQ
, unde
ta4
ru
20
0
,
Q Q0 când eu0 1 deci când u0 tinde la 0, respectiv când t tinde la
infinit t;0u0 .
Concluzia este că debitul calculat cu soluţia Theis este identică cu cel real după
un interval de timp mare (t).
În realitate, cu erori de 1%, pentru valori u0 0,01, timpul după care Q = Q0 se
poate calcula din condiţia :T
Sr25
a
r25t01,0
ta4
r 20
22
.
De exemplu pentru un acvifer cu transmisivitatea T = 10 m2/zi şi coeficient de
înmagazinare S = 10-2
, într-un puţ cu raza r0 = 0,5 m, formula Theis este valabilă după 9
minute de la începerea pompării.
T = 10 m2/zi, S = 10
-2, a = T/S = 10
3 m
2/zi, r0 = 0,5m,
t [25.0,52 (1/10
3)]zi = 25.0,5
2 1/10
3 .24 .3600 = 150 . 3,6 = 540 s = 9 min.
3. Din analiza valorilor funcţiei W(u) din tabelul (9.4), rezultă că pot fi făcute
următoarele aproximaţii:
- pentru u 0,1, 2r
ta25,2lnuW
(aproximare Jacob)
- pentru u 3, W(u) 0.
Astfel în perioada pompării, la distanţa r de puţul de pompare se pot distinge
următoarele faze:
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
183
Tabelul 8.1
Faza I
Nu se simte efectul
pompării a
r08,0t
2
u 3 W(u) = 0
Faza II
Denivelările cresc
repede. a
r5,2t
a
r08,0
22
0,1 u 3
Faza III
Denivelările tind
asimtotic spre
denivelarea maximă.
a
r5,2t
2
u 0,1
2r
ta25,2lnuW
Jacob
Aproximaţie Theis
a
r5,2t
2
u 0,01 W(u) din tabelul
(8.1)
4. După un interval de timp t , de la începerea pompării, în jurul puţului de
pompare se pot delimita 3 zone:
Tabelul 8.2
Zona I
Denivelări mari
Aproximare Jacob
Regim cvasistaţionar
ta6,0r0
u 0,1
2r
ta25,2lnuW
Zona II
Denivelări din ce în ce
mai mici
ta4,3rta6,0
0,1 u 3
W(u) din tabelul
(8.1)
Zone III
Nu se simte efectul
pompării
ta4,3r u 3
W(u) = 0
5. În cazul unor pompări în trepte de debit Qi denivelarea totală într-un punct
aflat la distanţa r de puţul de pompare, după un interval de timp t, se
calculează cu relaţia:
nn
22
11
00
n uWT4
Q...uW
T4
QuW
T4
QuW
T4
Qs
(8.91)
n
2
n1
2
1
2
0tta4
ru,
tta4
ru,
ta4
ru
(8.92)
Qi şi ti au semnificaţiile indicate în figura (8.13)
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
184
Fig. 8.13. Pomparea in trepte
6. În regim permanent, denivelarea într-un foraj de rază r0 este dată de formula
lui Dupuit:
0r
r
Rln
T2
Qs
0
, (8.93)
unde R este raza de influenţă a puţului. În afara cercului de rază R, denivelarea într-un
foraj se presupune nulă.
În cele mai multe cazuri această rază de influenţă este fictivă. Regimul est, de
cele mai multe ori, influenţat de existenţa unei limite (un râu sau lac), de drenanţă sau
de încărcarea de la suprafaţă.
În cazul în care se pot neglija aceste influenţe şi se poate folosi aproximaţia
logaritmică a lui Jacob, în puţul de pompare
020
rr
s/tT5,1ln
T2
Q
rS
tT25,2ln
T4
Qs
0
. (8.94)
Comparând relaţiile (8.93) şi (.8,94) rezultă:
S/tT5,1R (8.95)
Dacă pânza este influenţată şi nerealimentată, R variază cu t . Dacă t este
mare, R variază foarte lent şi se obţine un regim permanent.
8.3.4. Aplicaţii ale principiului superpoziţiei
Principiul superpoziţiei este valabil ca şi în cazul regimului permanent. Vom
folosi acest principiu pentru a calcula denivelarea în acvifer, în următoarele situaţii:
Q
Q0
Q1
Q2
Q0
Q1
Q2
t t1
t2
t3
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
185
a. Influenţa unei limite rectilinii cu flux nul (limită impermeabilă)
Fig. 8.14. Puţ în apropierea une limite impermeabile
Prezenţa unei limite cu flux nul este echivalentă cu introducerea unui puţ
imagine, fictiv, cu acelaşi debit şi acelaşi semn.
Denivelarea în punctul M va fi calculată prin superpoziţie:
22 'rS
tT4W
rS
tT4W
T4
Qs , (8.96)
22 'rS
tT25,2ln
rS
tT25,2ln
T4
Qs , (8.97)
2
2
2 'r
rln
rS
tT25,2ln2
T4
Qs . (8.98)
b. Influenţa unei limite rectilinii de realimentare (potenţial constant)
Prezenţa unei limite cu potenţial constant este echivalentă cu introducerea unui
puţ imagine,fictiv, cu acelaşi debit şi semn contrar.
22 'rS
tT4W
rS
tT4W
T4
Qs (8.99)
sau dacă se pot aproxima logaritmic cele două funcţii W
22 'rS
tT25,2ln
rS
tT25,2ln
T4
Qs , (8.100)
r
'rln
T2
Qs
. (8.101)
Denivelarea se stabilizează şi nu mai evoluează în timp (regimul devine permanent).
c. Oprirea pompării. Curba de revenire.
După întreruperea pompării nivelul suprafeţei piezometrice tinde să revină la
poziţia iniţială, dinaintea începerii pompării. Mişcarea apei are un caracter nestaţionar -
put put imagine d
r
limitã cu
debit nul
d
r’
M
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
186
conservativ. Presupunem că pomparea s-a făcut cu un debit Q, un interval de timp t0, iar
perioada de revenire este t1, t = t0 + t1.
La sfârşitul intervalului de timp t0 debitul de pompare Q devine zero. Debitul
Q = 0 se poate obţine prin suprapunerea a două debite +Q şi -Q în puţul de pompare.
Folosind principiul superpoziţiei, denivelarea s(t) se va calcula:
2
1
2
10
rS
tT4W
rS
ttT4W
T4
Qs (8.102)
Această relaţie rezultă din ipoteza că pomparea se face tot timpul t = t0 +t1 cu
debit Q şi t1 cu debit (-Q).
Denivelarea s se poate calcula în trei situaţii:
- se pot utiliza valorile lui W(u) din tabelul (8.1),
- se poate utiliza aproximaţia logaritmică (Jacob)
Fig. 8.15. Curba de revenire
1
0
1
0
2
1
2
10
t
t1ln
T4
Q
t
ttln
T4
Q
rS
tT25,2ln
rS
ttT25,2ln
T4
Qs (8.103)
- dacă pomparea a durat o perioadă t0, mare (t0 t1), funcţia
0
rS
ttT4W
2
10
şi denivelarea s se calculează ca şi pentru o pompare cu debit
Q şi durată t1, deci:
2
1
rS
tT4W
T4
Qs , (8.104)
respectiv,
t
t
t0 t
t0 t1
s
s0
Q
s(t)
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
187
2
1
rS
tT25,2ln
T4
Qs
. (8.105)
Această metodă este cunoscută sub numele ‘’Houpeurt - Pouchan’’ şi poate fi
folosită pentru determinarea parametrilor S şi T, atât în cazul puţurilor perfecte cât şi în
cazul celor imperfecte (procesul de revenire nu este influenţat de elementele
constructive ale forajului).
Folosind relaţiile obţinute în acest paragraf se pot determina parametrii hidrogeologici
ai acviferelor.
8.4. DRENANŢA
8.4.1. Definirea fenomenului de drenanţă
Ecuaţia de difuzivitate, în cazul acviferului sub presiune este, pentru un volum
elementar:
t
hSgradhKdiv s
(8.106)
Ss – coeficient de înmagazinare specifică (se referă la elementul de volum)
Fig. 8.16. Secţiune longitudinală prin acvifer
Fie un acvifer sub presiune limitat de două straturi semipermeabile. Acestea pot
alimenta acviferul sub presiune prin drenanţă.
Vom integra ecuaţia de difuzivitate în următoarele ipoteze:
1. Starturile semipermeabile sunt paralele, iar grosimea acviferului este M;
2. Cele trei direcţii principale de anizotropie sunt x1, x2 în planul culcuşului şi
x3 perpendiculară pe acest plan;
3. Gradientul de sarcină în planul x1, x2 nu este funcţie de x3. Deci:
0xx
h
xx
h
32
2
31
2
. (8.107)
x1
x2
x3
M
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
188
4. Variaţia sarcinii în unitatea de timp, t
h
, nu este funcţie de x3.
Sarcina poate varia cu x3 între cele două limite ale acviferului, dar la orice timp
gradientul sarcinii şi variaţia sarcinii sunt aceleaşi în toate punctele acviferului, pe
aceeaşi direcţie transversală Ox3.
M
0
M
0
3s3
3
3
32
2
21
1
1
dxt
hSdx
x
hK
xx
hK
xx
hK
x . (8.108)
Regula Leibnitz:
ub
ua
ub
ua
ua,uFu
aub,uF
u
bdvv,uF
udvv,uF
u. (8.109)
Conform ipotezei 1:
0ua , 0u
a
, Mub , 0
u
b
. (8.110)
Primul termen din (8.108) devine:
M
03
33
3
M
03
22
2
M
03
11
1
dxx
hK
xdx
x
hK
xdx
x
hK
x. (8.111)
Din ipoteza 3 rezultă .ctx
h
1
, .ct
x
h
2
,în orice secţiune x3 :
0x33
Mx33
M
0
3222
M
0
3111 x
hK
x
hKdxK
x
h
xdxK
x
h
x
(8.112)
Dar am definit transmisivitatea acviferului ca fiind:
M
0311 dxKT , (8.113)
M
0
322 dxKT . (8.114)
Dacă definim:
n
hKF , (8.115)
n
fiind normala la pereţi, spre acvifer,
mărimile :
s
Mx33 F
x
hK
debitul prin unitatea de suprafaţă care intră în acvifer prin
coperiş (sus), (8.116)
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
189
j
0x33 F
x
hK
debitul prin unitatea de suprafaţă care intră în acvifer prin culcuş
(jos), (8.117)
js
0x33
Mx33 FF
x
hK
x
hK
. (8.118)
Fs, Fj sunt fluxuri datorate drenanţei şi reprezintă schimbul de fluid dintre acviferul
sub presiune şi presiune şi straturi semipermeabile care limitează acviferul. Aceste
fluxuri sunt considerate pozitive dacă au sensul de intrare în acvifer.
Ecuaţia (8.112) devine:
js2
221
11
FFt
hS
x
hT
xx
hT
x
. (8.119)
M
0
3s dxSS - coeficientul de înmagazinare al acviferului (8.120)
St
hdxS
t
hdx
t
hS
M
0
3s
M
0
3s
. (8.121)
Pentru integrarea ecuaţiei (8.119) trebuie cunoscut Fs şi Fj (debitele de drenanţă)
8.4.2 Soluţia analitică a problemei radiale
Există două soluţii clasice ale problemei radiale cu drenanţă: Hantush şi Boulton.
Fig. 8.17. Secţiune printr-un acvifer alimentat prin drenanţă
Strat semipermeabil
Acvifer sub presiune
h2 (nivelul
piezometric al
acviferului sub
presiune)
h1 (suprafaţa liberă
a pânzei freatice)
h1
h2
M
e’
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
190
A) Hantush presupune că acviferul sub presiune este realimentat prin drenanţă
din pânza freatică aflată deasupra acestuia. Stratul semipermeabil care separă cele două
acvifere este astfel alcătuit încât permite trecerea unui flux de drenanţă Fs. Acest flux, în
regim permanent va fi:
'
01
02'0
se
hhKF
, (8.122)
unde:
K’ - permeabilitatea stratului semipermeabil,
e’ - grosimea stratului semipermeabil,
h2 - sarcina acviferului sub presiune,
h1 - sarcina pânzei freatice,
0 - regim permanent.
Hantush analizează reacţia unui astfel de sistem în timpul unui pompaj cu debit
constant, din acviferul sub presiune.
Se fac ipotezele:
1. Sarcina h1 a pânzei freatice nu variază cu creşterea fluxului drenant Fs (pânza
freatică este realimentată pe durata pompajului);
2. Creşterea debitului de drenanţă este presupus instantaneu şi dată de legea lui
Darcy.
Fie s denivelarea în puţul de pompare din acviferul sub presiune:
'
'
'
01
02'
'
01
02'
se
sK
e
hhK
e
hshKF
, (8.123)
'
'0
sse
sKFF
. (8.124)
Dacă regimul permanent iniţial 02
h verifică ecuaţia:
T
Fh
0s0
22 , (8.125)
denivelarea s va verifica ecuaţia de difizivitate:
seT
K
t
s
T
Ss
'
'2
. (8.126)
Hantush defineşte un factor de drenanţă:
'
'
K
eTL
, [L] . (8.127)
Pentru un debit de pompare Q, soluţia dată de Hantush este:
L
r,
Sr
tT4W
T4
Qd
e
T4
Qs
2
'
tT4
Sr
L4
r
2
2
2
. (8.128)
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
191
Se notează Sr
tT4u
2
. (8.129)
a) Dacă L
r este neglijabil, curba
L
r,uW ' corespunde curbei Theis.
b) Pentru un parametru L
r dat (o conductivitate K
’, a mediului semipermeabil,
dată şi o distanţă r faţă de foraj) curba s(t) se stabilizează în timp, tinzând
spre un regim permanent.
Curbele
L
r,uW ' sunt date prin puncte (cunoscute în literatura de specialitate
[Marsily-1981]).Un exemplu de calcul este prezentat în paragraful 9.4.3.
B) Boulton face ipoteza că o creştere a denivelării s, la momentul t generează
un flux de drenanţă q, prin unitatea de suprafaţă, care scade exponenţial cu timpul.
sefSrq tf' . (8.130)
f- un parametru [T-1
]
Integrala acestui flux între t şi infinit este:
dsefSq
t
tf' , (8.131)
sSq ' . (8.132)
S’ este coeficientul de înmagazinare al stratului semipermeabil care
realimentează acviferul prin drenanţă (o denivelare s generează un flux cumulat
sS' ).
Dar acest flux nu este instantaneu. Soluţia propusă corespunde la o variaţie
exponenţială în funcţie de timp, a aportului prin drenanţă.
Ecuaţia de difuzivitate se obţine calculând, la fiecare moment t, fluxul de
drenanţă Fs prin însumarea fluxurilor elementare produse prin denivelările is
înregistrate de la începutul pompării.
d
t
sef
T
S
t
s
T
Ss
t
0
tf'
2 . (8.133)
Boulton dă o soluţie radială a acestei ecuaţii (pentru valori r mici)
f,S,uWT4
Qs '''
. (8.134)
Sr
tT4u
2
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
192
Fig.8.18.
Evoluţia denivelării se prezintă iniţial conform cu soluţia Theis, corespunzătoare
unui cuplu de parametri (T,S). Urmează un palier care permite identificarea (eventuală)
a lui f. Rabaterea se prezintă ca o nouă funcţie Theis, decalată de prima printr-o
translaţie paralelă cu axa logu (nu translaţie verticală, ci corespunzătoare variaţiei
parametrilor (T,S+S’)).
Acest tip de drenanţă este uşor de recunoascut şi de identificat cu o curbă Theis
şi permite calcularea lui S’.
Dacă t este timpul la care palierul de rabatere interceptează a doua curbă
Berkaloff demonstrează că:
t
561,0f
8.5. PÂNZA FREATICĂ CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ,
ACVIFERE ANIZOTROPE.
Pentru un puţ perfect, cu crepine pe toată înălţimea, denivelarea într-un
piezometru (cu crepine pe toată înălţimea) este dată de relaţia dedusă de Neuman în
1975, [Marsily,1981]:
0 1n
n02/1
0 dyyuyuyJy4T4
Qt,rs , (8.135)
unde:
0
/220
220
2
020
2s
0
y1y
tanhytexp1yu
, (8.136)
n
/22n
22n
2
n2n
2s
n
y1y
tanhytexp1yu
. (8.137)
logu
LogW11
t
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
193
0 şi n sunt rădăcinile ecuaţiilor:
0chysh 020
200 22
0y (8.138)
0cosysin n2n
2nn (8.139)
cu n2
1n2 n , 1n ,
r - distanţa de la puţul de pompare la piezometru,
Q - debitul puţului (constant),
T - transmisivitatea,
J0 - funcţie Bessel de speţa întâi şi ordin zero,
2srS
tTt
timpul redus . (8.140)
S este coeficientul de înmagazinare al formaţiunii. Se presupune că de fapt
transmiterea presiunilor în acvifer se face prin elasticitatea sa, ca şi în cazul acviferului
sub presiune până la suprafaţa liberă unde intră în joc drenajul. De aici noţiunea de
drenaj întârziat.
2d
yrn
tTt
, (8.141)
unde:
nd - porozitatea de drenaj a formaţiunii
s
y
d t
t
n
S , (8.142)
h
r
K
K
20
2
r
z , (8.143)
Kz, Kr - conductivitatea anizotropă în direcţiile z şi r,
h20
- grosimea iniţială, saturată, a acviferului.
Această funcţie este tabelată (Newman 1975),[Marsily,1981]. Curbele sunt
reprezentate pentru apropiat de zero. Se obţin astfel două familii de curbe (tip A şi tip
B) care se racordează printr-un palier. Lungimea acestui palier este în funcţie de
valoarea lui .
Pentru a evita introducerea acestui parametru în abacă se reprezintă curba A în
funcţie de timpul redus ts (scala superioară) şi curba B în funcţie de ty (scala inferioară).
Scările sunt logaritmice.
Interpretarea pompărilor se face astfel:
1. Se folosesc curbele tip B în acelaşi mod ca şi curbele Theis pentru acviferele
sub presiune. Se deduc , T şi nd;
2. Se păstrează T şi şi se calculează S cu curba tip A;
3. Kr=T/h0, Kz rezultă din h
r
K
K
20
2
r
z Aceasta este una din puţinele metode
care permit estimarea anizotropiei formaţiunii.
Hidrodinamica apelor subterane. Surse si captări de ape subterane..
194
Aceste teorii stau la baza metodelor de determinare a parametrilor hidrogeologici ai
acviferelor, prezentate în capitolul 9.
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
194
Capitolul 9
DETERMINAREA EXPERIMENTALA A
PARAMETRILOR CARACTERISTICI ACVIFERELOR
9.1 DETERMINAREA PARAMETRILOR CARACTERISTICI AI
ACVIFERELOR , PRIN POMPĂRI EXPERIMENTALE
9.1.1 Generalităţi asupra pompărilor experimentale.
Pompările experimentale urmăresc stabilirea unor relaţii între debitele pompate
şi denivelările înregistrate în forajul central şi în cele de observaţie, relaţii care permit
determinarea parametrilor hidrogeologici ai stratelor acvifere.
Prelucrarea datelor şi interpretarea rezultatelor pompărilor experimentale se face
în funcţie de regimul de mişcare, al apei subterane.
Regimul permanent (stabilizat) presupune ca la pomparea unui debit constant,
nivelul apei din foraj să rămână fix, stabilizat (debitul care realimentează orizontul
acvifer este egal cu debitul extras).
Regimul permanent de mişcare este, practic, greu de realizat.
În cazul regimului nepermanent, când pomparea se prelungeşte, menţinând un
debit constant se observă că nivelul apei din foraj scade din ce în ce mai lent. Practic, nu
este posibilă realizarea unui regim stabilizat, ci numai a unui regim cvasistabilizat de
curgere, care evoluează din ce în ce mai lent.
Se recomandă evitarea aplicării metodei regimului tranzitoriu în următoarele
situaţii:
- grosimea stratelor acvifere este foarte variabilă,
- grosimea stratului acvifer este foarte redusă,
- mediul poros este foarte puţin permeabil,
- una din limitele stratului acvifer este foarte apropiată,
- anizotropia este foarte mare,
- cazul carsturilor.
Prelucrarea datelor obţinute din pompările experimentale în regim tranzitoriu se
face, în general, după două metode: Theis şi Jacob.
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
195
Metoda lui Theis dă valoarea transmisivităţii absolute a acviferului dar impune
efectuarea, la începutul pompării a unor măsurători foarte frecvente. Ea poate fi folosită
şi pentru foraje de observaţie situate la distanţa R x 2R faţă de forajul central.
Metoda lui Jacob pune în evidenţă schimbările de transmisivitate şi
reprezentarea sa grafică (sub forma unei drepte) permite, în anumite limite, prognoza
comportării orizontului acvifer după perioada reală de pompare.
9.1.2. Pompările experimentale în regim permanent
Prelucrarea datelor din pompările experimentale, în regim permanent,
presupune construirea graficelor de variaţie în timp a debitului şi a nivelului
cvasistabilizat (fig.9.1 ) şi a curbelor de indicaţie (fig.9.2 ) .
Fig. 9.1. Graficele de variaţie în timp a debitului şi nivelului cvasistabilizat.
Curba de indicaţie reprezintă graficul variaţiei debitului stabilizat în funcţie de
nivelul stabilizat, într-un puţ pompat şi se mai numeşte şi curba caracteristică a
forajului.
10 30 40 50 60 70 20
1,0
4,0
3,0
2,0
Timp (ore)
Q
(l/s)
5,0
6,0
5,70
3,20
4,50
s(m)
((m)
10 30 40 50 60 70 20
1,0
4,0
3,0
2,0
(3,85) Treapta de pompare I
III 1,40
Timp (ore)
II 2,52
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
196
Fig. 9.2. Curba de indicaţie (a) şi graficul denivelare-debit specific (b), în cazul pânzei
freatice cu suprafaţă liberă
Fig. 9.3. Curba de indicaţie (a) şi graficul denivelare-debit specific(b) în cazul
acviferelor sub presiune
9.2 CALCULUL PARAMETRILOR HIDROGEOLOGICI PE BAZA
DATELOR DIN POMPĂRILE ÎN REGIM PERMANENT
Parametrii hidrogeologici care pot fi calculaţi cu datele măsurate în timpul
pompărilor experimentale, în regim de echilibru sunt coeficientul de filtraţie
(conductivitatea hidraulică) K (m/zi), transmisivitatea T (m2/zi) şi raza de influenţă, R
(m).
q=Q/s (l/sm )
s(m )
Q (l/s) 1 3 4 5 6 7 2
4,
0
3,
0
2,
0
1,
0 2
0
1
0
3
0
1 3 4 5 2
4,
0
3,
0
2,
0
1,
0
2
0
1
0
3
0
s(m )
a b
a
q=Q/s (l/sm )
s(m )
Q (l/s) 1 3 4 5 6 7 2
4,
0
3,
0
2,
0
1,
0 2
0
1
0
3
0
1 3 4 5 2
4,
0
3,
0
2,
0
1,
0
2
0
1
0
3
0
s(m )
b
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
197
9.2.1. Calculul conductivităţii hidraulice (coeficientul de filtraţie)
a). Calculul coeficientului de filtraţie (conductivitatea hidraulică)
pe baza măsurătorilor efectuate în puţuri perfecte din punct de vedere
al modului de deschidere al stratului acvifer.
Dacă l este lungimea filtrului în m şi M este grosimea stratului acvifer sub
presiune (m), l/M = 1. Conductivitatea hidraulică a acviferului sub presiune se poate
calcula cu una din relaţiile:
- în cazul unui puţ singular,
0
0
sM
r
RlgQ366,0
K
; ( 9.1)
- în cazul unui puţ central cu un piezometru aflat la distanţa r1,
10
0
1
ssM
r
rlgQ366,0
K
; (9.2)
- în cazul unui puţ central cu două piezometre:
21
1
2
ssM
r
rlgQ366,0
K
; (9.3)
Dacă l este lungimea filtrului şi H , grosimea stratului acvifer cu suprafaţă liberă,
l/H 1. Pentru un acvifer cu nivel liber, conductivitatea hidraulica se poate calcula cu
una din relaţiile:
- în cazul unui puţ singular ,
ssH2
r
RlgQ73,0
K00
0
; (9.4)
- în cazul unui puţ central cu un piezometru aflat la distanţa r1,
ssssH2
r
rlgQ73,0
K1010
0
1
; (9.5)
- în cazul puţului central cu două piezometre,
ssssH2
r
rlgQ73,0
K2121
1
2
. (9.6)
În aceste relaţii, obţinute pe baza demonstraţiilor din capitolul 8, mărimile au
următoarele semnificaţii:
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
198
K - coeficientul de filtraţie (conductivitatea hidraulică) în (m/zi);
R - raza de influenţă în m;
Q - debitul în m3/zi;
M - grosimea stratului acvifer sub presiune, în m;
H - înălţimea coloanei de apă a stratului cu nivel liber în m;
r0 - raza puţului central, în m;
r1 - distanţa de la puţul central la piezometrul 1 (m);
r2 - distanţa de la puţul central la piezometrul 2 (m);
s0 - denivelarea în puţul central (m);
s1 - denivelarea în piezometrul 1 (m);
s2 - denivelarea în piezometrul 2 (m);
b). Calculul coeficientului de filtraţie (conductivitate hidraulică) pe
baza măsurătorilor efectuate în puţuri imperfecte, din punct de vedere
al modului de deschidere al stratului acvifer.
În cazul puţurilor imperfecte relaţiile de calcul pentru conductivitatea hidraulică
trebuie modificate utilizând o mărime de “corecţie”, , în funcţie de raportul dintre
lungimea filtrului şi grosimea stratului, l/M, şi de raportul M/r (r este distanţa faţă de
axul puţului de pompare). Valorile de corecţie sunt date în tabelul 9.1.
În cazul acviferelor cu nivel liber, pentru obţinerea lui , valorile lui M şi l din tabelul
(9.1) se vor calcula astfel:
- dacă filtrul din puţul central este inundat, valoarea lui M se obţine micşorându-
se înălţimea coloanei de apă cu jumătate din denivelarea realizată în puţul central
(fig.9.4.a).
- dacă filtrul din puţul central nu este inundat, lunginmea lui l0 se micşorează cu
jumătate din lungimea părţii uscate a filtrului (fig.9.4.b).
Tabelul 9.1
l/M M/r
0,5 1 3 10 30 100 200 500 1000 2000
0,1 0,00391 0,122 2,04 10,4 24,3 42,8 53,8 69,5 79,6 90,9
0,3 0,00297 0,091 1,29 4,79 9,2 14,5 17,7 21,8 24,9 28,2
0,5 0,00165 0,049 0,656 2,26 4,21 6,5 7,86 9,64 11,0 12,4
0,7 0,00055 0,017 0,237 0,879 1,69 2,67 3,24 4,01 4,58 5,1
0,9 0,00005 0,002 0,025 0,128 0,3 0,53 0,66 0,85 0,98 1,1
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
199
Fig. 9.4. Puţuri imperfecte din punct de vedere al modului de deschidere, în cazul
acviferelor cu nivel liber.(a.) - filtru inundat, (b.) - filtru neinundat
Relaţiile de calcul pentru conductivitatea hidraulica sunt:
Pentru un start acvifer cu nivelul liber,
- cazul unui puţ singular
00
00
ssH2
217,0r
RlgQ73,0
K
, (9.7)
- cazul puţului central cu un piezometru
1010
100
1
ssssH2
217,0r
rlgQ73,0
K
, (9.8)
- cazul puţului central cu două piezometre
2121
211
2
ssssH2
217,0r
rlgQ73,0
K
. (9.9)
(l0 - la)/2
(l0 - la)/2
l0
la
s/2
s
l
M=H-s/2
H
Q
s/2
N
P
s
s/2
l M=H-s/2
H
Q
a b
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
200
Pentru un strat acvifer sub presiune,
- cazul unui puţ singular
0
00
sM
217,0r
RlgQ366,0
K
, (9.10)
- cazul puţului central cu un piezometru
10
100
1
ssM
217,0r
rlgQ366,0
K
, (9.11)
- cazul puţului central cu două piezometre
21
211
2
ssM
217,0r
rlgQ366,0
K
, (9.12)
Valorile lui 0 se calculează din tabelul (9.1 ), corespunzător valorii M/r0, respectiv (1
M/r1), (2 M/r2). M este grosimea stratului iar l, lungimea filtrului.
9.2.2 Calculul transmisivităţii
Transmisivitatea stratului acvifer, în m
2/zi se poate calcula cu relaţiile:
- pentru stratul acvifer cu nivel liber: HKT , (9.13)
- pentru stratul acvifer sub presiune: MKT (9.14)
K (m/zi) este calculat cu una din relaţiile amintite în (9.2.1).
9.2.3 Calculul razei de influenţă, R.
a) Pentru cazul unui puţ singular se poate folosi una din următoarele formule
empirice:
- Sichardt: Ks2,10R , (9.15)
- Kusarin: KHs2R , (9.16)
- Ilin:
HI3
sH2sR
0
. (9.17)
În aceste relaţii, K se exprimă în m/zi iar s şi H în m:
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
201
Valorile lui K se pot aproxima, în funcţie de natura stratului acvifer, conform
tabelului (9.3) iar valorile lui I0 din tabelul (9.2).
Tabelul 9.2
Roca acviferului I0
Roci foarte permeabile (pietriş, nisipuri
grosiere)
0,003 - 0,006
Nisipuri grăunţoase până la nisipuri
mărunte
0,006 - 0,020
Nisipuri fine până la nisipuri argiloase 0,020 - 0,050
Tabelul 9.3
Roca acviferului
Conductivitate
hidraulică
K (m/zi)
Raza
de influenţă
R (m)
nisipuri argiloase 0,5 - 1 65
nisipuri fine 1,5 - 5 65
nisipuri argiloase cu granule
mici
10,0 - 15 75
nisipuri cu granule mici 20,0 - 25,0 75
Granulometrie
uniformă
nisipuri argiloase cu granule
mijlocii
20,0 - 25,0 100
nisipuri cu granule mijlocii 35,0 - 50,0 100
nisipuri argiloase cu granule
mari
35,0 - 40,0 100
nisipuri cu granule mari 60,0 - 75,0 125
pietrişiuri 100,0 - 125,0 150
nisipuri eterogene şi mici 5 -20 80 - 150
pietrişuri sau galeţi cu
elemente fine
20 - 60 100 - 200
Granulometrie
neuniformă
pietrişuri sau galeţi fără
elemente fine, nisipuri grosiere
şi medii
60
200 - 300
roci puţin fisurate 20 - 60 150 - 250
roci fisurate 60 500
Valorile din tabel sunt recomandate de INMH, în Îndrumar privind metodologia de
centralizare şi prelucrare a datelor provenite din reţeaua hidrogeologică.
b) În cazul puţului central cu două piezometre:
- pentru stratul acvifer cu nivel liber:
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
202
2121
122211
ssH2ss
rlgsH2srlgsH2sRlg
, ( 9.18)
- pentru stratul acvifer sub presiune:
21
1221
ss
rlgsrlgsRlg
. (9.19)
Modul de calcul al coeficientului de filtraţie (conductivitatea hidraulică), în
cazul unui puţ singular este următorul:
- se alege o valoare aproximativă a lui K, din tabelul (9.3), în funcţie de natura rocii
acvifere,
- se calculează raza de influenţă R cu una din relaţiile (9.15), (9.16), (9.17),
- se calculează K cu una din formulele (9.1), (9.4), (9.10).
9.3 CALCULUL PARAMETRILOR HIDROGEOLOGICI PE BAZA
DATELOR DIN POMPĂRILE ÎN REGIM TRANZITORIU
9.3.1 Prelucrarea datelor pompărilor experimentale prin metoda
exactă a lui Theis.
În capitolul 8 s-a demonstrat formula stabilită de C. V. Theis pentru denivelarea
dintr-un puţ, în timpul unui regim tranzitoriu de pompare. Aceasta este:
uWT4
Qs
(9.20)
unde
!nn
u
!33
u
!22
uuuln5772,0uW
n32
(9.21)
cu argumentul u:
tT4
Sru
2
(9.22)
În aceste relaţii s-au notat:
s = denivelarea în puţul pompat (m);
Q = debitul cu care se pompează (m3/s);
K = coeficientul de filtraţie (conductivitatea hidraulică ) (m/s)
M = grosimea stratului acvifer (m);
T = K.M = transmisivitatea (m2/s);
r = distanţa faţă de forajul central (m);
S = coeficientul de înmagazinare;
t = timpul scurs de la începutul pompării (s);
W(u) = funcţia caracteristică a puţului (Tabelul 9.4);
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
203
Fig. 9.5. Denivelarea într-un strat acvifer sub presiune, pompat.
Tabelul 9.4 u 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
* 1 0,219 0,049 0,013 0,0038 0,0011 0,00036 0,00012 0,000038 0,000012
*10-1
1,82 1,22 0,91 0,70 0,56 0,45 0,37 0,31 0,26
*10-2
4,04 3,350 2,96 2,68 2,47 2,30 2,15 2,03 1,92
*10-3
6,33 5,64 5,23 4,95 4,73 4,54 4,39 4,26 4,14
*10-4
8,63 7,94 7,53 7,25 7,02 6,84 6,69 6,55 6,44
*10-5
10,94 10,24 9,84 9,55 9,33 9,14 8,99 8,86 8,74
*10-6
13,24 12,55 12,14 11,85 11,63 11,45 11,29 11,16 11,04
*10-7
15,54 14,85 14,44 14,15 13,93 13,75 13,60 13,46 13,34
*10-8
17,84 17,15 16,74 16,46 16,23 16,05 15,90 15,76 15,65
*10-9
20,15 19,45 19,05 18,76 18,54 18,35 18,20 18.07 17,95
*10-10
22,45 21,76 21,35 21,06 20,84 20,66 20,50 20,37 20,25
*10-11
24,75 24,06 23,65 23,36 23,14 22,96 22,81 22,67 22,55
*10-12
27,05 26,36 25,96 25,67 25,44 25,26 25,11 24,97 24,86
*10-13
29,36 28,66 28,26 27,97 27,75 27,56 27,41 27,28 27,16
*10-14
31,66 30,97 30,56 30,27 30,05 29,87 29,71 29,58 29,46
*10-15
33,96 33,27 32,86 32,58 32,35 32,17 32,02 31,88 31,76
(Wenzel, 1942. Methods of determining permeability of water bearing materials. U S
Geol. Survey Water Supply Paper 887, 1942.)
În tabelul 9.4 sunt date valorile funcţiei W(u) ,calculată cu relaţia (8.85 ), de
Wenzel (1942)
Cu ajutorul valorilor din tabelul (9.4) se construieşte curba de referinţă.
Această curbă este trasată pe hârtie dublulogaritmică. Axa ordonatelor conţine valorile
lui w(u) şi este gradată de la 0,1 la 100 iar axa absciselor conţine valorile argumentului
u între 10-6
şi 1.
s
r0
h1
r1 R
Nivel piezometric
M
h0
H0
s
s0
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
204
Pe baza datelor experimentale din forajul pompat se construieşte curba
reprezentativă a pompării (fig.9.7). Această curbă reprezintă variaţia denivelării s(m)
în funcţie de 1/t şi se construieşte pe hârtie dublu logaritmică.
Pentru determinarea valorilor u şi w(u) se suprapune curba reprezentativă a pompării
(fig.9.7) peste curba de referinţă (fig.9.6), ţinând cont ca axele respective ale celor două
diafragme să fie riguros paralele. Se va căuta coincidenţa cea mai bună şi cea mai lungă
posibilă a celor
două curbe. Se va alege un punct A de pe porţiunea de coincidenţă. Acestui punct îi
corespund valorile u şi w(u) pe curba de referinţă şi s şi 1/t pe curba reprezentativă.
Fig. 9.6. Curba teoretică (STANDARD) a funcţiei caracteristice (curba de referinţă
THEIS), pentru curgerea în regim tranzitoriu către un puţ care pompează
un strat acvifer nerealimentat.
Fig. 9.7. Curba reprezentativă a pompării (în forajul pompat)
102
101
100
10-1
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
100
W(u)
tT4
Sru
2
s (m)
1/t
102
101
100
10-1
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
100
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
205
Cu aceste valori se calculează principalii parametrii ai stratelor acvifere:
- transmisivitatea T
- coeficientul de filtraţie K
- coeficientul de înmagazinare S
)u(Ws4
QT
(m
2/s, m
2/zi) (9.23)
M
TK (m/s, m/zi) (9.24)
2r
tT4uS
(adimensional) (9.25)
9.3.2. Metoda aproximării logaritmice a lui Jacob.
Când timpul de pompare t creşte, termenii
!nn
u
!33
u
!22
uu
n32
din
expresia
!nn
u
!33
u
!22
uuuln5772,0uW
n32
, devin neglijabili. Astfel
tT4
Sru
2
uln5772,0uW (9.26)
Sr78,1
tT4lg3,2
T4
Q)
u78,1
1(ln
T4
Q)uln78,1ln(
T4
QuW
T4
Qs
2
Sr
tT25,2lg
T
Q183,0s
2
(9.27)
Metoda Jacob presupune întocmirea unei diagrame semilogaritmice în care se
trec valorile lui t pe abscisă (pe scară logaritmică), iar pe ordonată valorile denivelărilor
s din forajul central sau din piezometre (sau denivelările specifice s/Q).
tlg
Sr
T25,2lg
T
Q183,0s
2 (9.28)
btlgas (9.29)
T
Q183,0a
Sr
T25,2lg
T
Q183,0b
2
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
206
Curba s(lgt), obţinută pe hârtie semilogaritmică este o dreaptă cu panta:
tlg
stg
T
Q183,0a
(9.30)
pentru (lgt) = 1. (ex: t = 102 ÷ 10
3)
s = c (se scoate valoarea din grafic). Cu această valoare se pot calcula
parametrii hidrogeologici:
csT
Q183,0
Transmisivitatea c
Q183,0
s
Q183,0T
(9.31)
Conductivitatea: K=T/M (9.32)
Fig. 9.8. Curba reprezentativă a pompări, utilizând metoda Jacob (într-un foraj aflat la
distanţa r de puţ)
Pentru calculul coeficientului de înmagazinare S, se determină punctul de
intersecţie al dreptei reprezentative cu axa absciselor (s=0, t=t0).
În acest punct s = 0
0btlga 0
Sr
T25,2lg
T
Q183,0tlg
T
Q183,0
20
T25,2
Srlgtlg
2
0
T25,2
Srt
2
0
t0
0,5
0,2
s (m)
1
0,1
0
103 10
4 10
2 10 t(s)
C
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
207
Coeficientului de înmagazinare S va fi:
2
0
r
tT25,2S
(9.33)
Calculul razei de influenţă R (t).
La distanţa R de axul puţului de pompare denivelarea este s = 0
0Sr
tT25,2lg
T
Q183,0s
2
1SR
tT25,2
2
tS
T5,1
S
tT25,2)t(R
(9.34)
9.3.3. Determinarea parametilor hidrogeologici pe baza datelor din
curba de revenire
Fig. 9.9. Curba de revenire.
Se notează:
t = timpul scurs de la începutul pompării;
t’ = timpul scurs de la încetarea pompării;
Se construieşte graficul s(t/t’) pe hârtie semilogaritmică.
Formula de aproximare logaritmică, în cazul revenirii este:
't
tlg
T
Q183,0s
(9.35)
Curba obţinută va fi o dreaptă:
xlgas (9.36)
t/t’
lg'
t
t
1
104
30
20
s (cm)
40
10
103 10
2 10
1
C
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
208
't
tlg
stg
T
Q183,0a (9.37)
pentru 1t
tlg
'
, rezultă
C
T
Q183,0s (9.38)
Se măsoară C pe grafic şi rezultă : C
Q183,0T
;
M
TK (9.39)
Datele obţinute la revenire sunt mai certe din următoarele motive:
1.- nu apar perturbaţii datorate neregularităţilor de funcţionare a pompelor;
2.- măsurările de nivel în foraj pot fi mai precise (nivelul mai liniştit);
3.- nu are importanţă dacă puţul este imperfect.
9.4. DETERMINREA PARAMETRILOR HIDROGEOLOGICI AI
ACVIFERELOR, CU AJUTORUL PACHETULUI DE
PROGRAME ‘AQUIFER TEST’. APLICAŢII.
Aquifer Test este un pachet de programe care permite calcularea parametrilor
hidrogeologici ai acviferelor pe baza măsurătorilor de nivel şi debit, făcute în timpul
pompărilor experimentale. Aceste măsurători se fac în timp, atât în puţul de extracţie cât
şi în puţurile de observaţie. Rezultatele măsurătorilor se folosesc în funcţie de metoda
de analiză folosită.
Aquifer Test combină o interfaţă Windows pentru introducerea datelor cu metode
grafice de analiză a datelor şi cu o interfaţă de ieşire a rezultatelor.
Interfaţa de introducere a datelor este structurată intuitiv şi permite:
Selecting Units: alegerea sistemului de unităţi de masură convenabil (se poate utiliza
sistemul SI sau alte sisteme de unităţi)
Entering Data : introducerea datelor se poate face, fie prin scriere directă, într-o
fereastră interactivă, fie prin copierea unor fişiere de date scrise sub formă: Excel (.xls),
(.csv),
ASCII text (.txt).
Data Logger Import: permite folosirea şirurilor de măsurători de nivel obţinute în
punctele de măsură monitorizate (sub formă de data logger files) şi asigură eliminarea
datelor incorecte (pe baza unor criterii de analiză a datelor).
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
209
Data Analysis Method: permite alegerea uneia din metodele de determinare a
parametrilor hidrogeologici, în funcţie de tipul problemei (tipul acviferului, desfăşurarea
pompării, tipul de date obţinute, existenţa drenanţei, existenţa unor roci fracturate…).
Astfel se poate alege, pentru analiza datelor, una din metodele clasice sau mai recente:
Theis, pentru acvifere sub presiune.
Cooper-Jacob I : Time-Drawdown, pentru acvifere sub presiune, conservative
(un puţ de pompare şi un puţ de observaţie).
Cooper-Jacob II : Distance-Drawdown, pentru acvifere sub presiune,
conservative (un puţ de pompare şi mai multe puţuri de observaţie).
Cooper-Jacob III : Distance-Time-Drawdown, pentru acvifere sub presiune,
conservative (un puţ de pompare şi mai multe puţuri de observaţie).
Hantush - no storage in the Aquitard, pentru acvifere sub presiune,
neconservative, alimentate şi prin drenanţă.
Neuman, pentru acvifere cu suprafaţă liberă.
Cooper-Jacob : Step Test, aplică principiul superpoziţiei în cazul unor
pompări cu debite variabile, din acvifere sub presiune, folosind aproximarea logaritmică
Jacob.
Theis : Step Test, aplică principiul superpoziţiei în cazul unor pompări cu
debite variabile, din acvifere sub presiune.
Hvorslev, determină conductivitatea hidraulică pentru zona imediat apropiată
filtrului piezometrelor,în acvifere sub presiune, conservative. Se defineşte mărimea time
lag (timpul necesar pentru disiparea injecţiei sau extracţiei iniţiale).
Bouwer-Rice, determină conductivitatea hidraulică pentru cazul puţurilor
imperfecte(cu pătrundere parţială in acvifer)
Well Performance Test, calculează productivitatea puţului (capacitatea
specifică).
Theis and Jacob Recovery Test, determină parametrii hidrogeologici, folosind
curba de revenire, în acvifere sub presiune.
Analysis Time Limits, permite eliminarea datelor eronate.Jacob Correction
for Unconfined Conditions, face corecţii ale măsurătorilor pentru a permite utilizarea
metodei Jacob în cazul acviferelor cu suprafaţă liberă.
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
210
Moench: Partial Penetration (1993), o generalizare a metodei Neuman
Fracture Flow (Moench), determină parametrii hidrogeologici pentru acvifere
eterogene şi anizotrope, aflate în roci fisurate.
Graphical Analysis and Reporting: rezultatele analizei se obţin sub formă de
grafice pe care sunt trecute curbele folosite în calcule, datele din măsurători, valorile
caracteristicilor hidrogeologice calculate şi tabele cu valorile măsurate.
Help: se dau explicaţii legate de modul de utilizare al programului şi este
explicat,
pentru fiecare tip de metodă de analiză:
- în ce caz poate fi folosită metoda,
- care este teoria care stă la baza metodei,
- care sunt condiţiile ce trebuie îndeplinite în legătură cu programul de
măsurători,
- care sunt datele experimentale necesare programului de calcul.
GRUPAREA COMENZILOR
File:
New
Open
Save
Save as
Printer Setup
Preferences
Exit
Edit:
Copy Data
Paste
Copy Graph
View
Zoom in
Zoom out
Change mod
Pumping Test:
Title Block ( titlul proiectului )
Units: - length: meter, cm, feet, inch
- Time: ore, zile, min, sec
- Dischange: l/s, gal/day, ml/, ml/h,ml/s
Data:
Create
Edit
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
211
Delete
Import, Options, List.
Nume foraj ………OW1
Nivelul static (m)
Tipul de puţ:
- puţ de pompare
- puţ de observare
Distanţa faţă de puţul de pompare (m)……….
Geometria puţului:
- cu pătrundere totală
- cu pătrundere parţială.
b(m)………..
L(m)……….
r(m)……….
R(m)………
Listă de date
Nume Tipul de date Tipul de puţuri Număr de puncte
Puţ de pompare Debit pompat în timp Puţ de pompare cu
debit constant
0
OW1 (puţ
observaţie)
Nivelul apei în timp puţ de observaţie 28
OW2 (puţ
observaţie)
Nivelul apei în timp puţ de observaţie 28
OW3 (puţ
observaţie)
Nivelul apei în timp puţ de observaţie 28
9.4.1. Metoda THEIS pentru acvifere sub presiune
DESCRIEREA METODEI
Soluţia dată de Theis (1935) pentru ecuaţia difuzivităţii într-un acvifer sub presiune
este:
u
u
u
due
T4
Qt,rs (9.40)
tT4
Sru
2
(9.41)
denivelarehhs 0 (9.42)
Se defineşte funcţia puţului uW :
....!33
u
!22
uuuln5772.0uW
32
(9.43)
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
212
Folosind această funcţie ecuaţia (9.40) devine:
uWT4
Qs
(9.44)
Se trasează în coordonate dublu logaritmice curba
u
1fuW , obţinându-se curba
Theis.
Se trasează în coordonate dublu logaritmice curba tfs , din măsurători făcute
într-un puţ de observaţie.
Se suprapun curbele astfel obţinute şi se caută porţiunea de curbă în care
suprapunerea se face cel mai bine.
Se alege un punct care să aparţină celor două curbe şi din valorile coordonatelor
acestui punct, pe cele două curbe, se determină transmisivitatea acviferului T,
coeficientul de înmagazinare S şi conductivitatea hidraulică M
TK ( M este grosimea
acviferului ).
CONDIŢII NECESARE FOLOSIRII METODEI THEIS
- acviferul este sub presiune şi are o extindere infinită
- acviferul este omogen, izotrop şi are o grosime uniformă în zona de influenţă a
pompării
- suprafaţa piezometrică a fost orizontală înainte de începerea pompării
- puţul este pompat cu debit constant
- filtrul puţului este pe toată adâncimea acviferului
- apa provenită din înmagazinarea în acvifer este pompată instantaneu provocând
variaţia sarcinii piezometrice
- diametrul puţului este mic (cantitatea de apă aflată în puţ la un moment dat este
neglijabilă).
DATE NECESARE PENTRU FOLOSIREA METODEI THEIS:
- denivelarea într-un puţ de observaţie în funcţie de timp
- distanţa dintre puţul de pompare şi puţul de observaţie
- debitul pompat.
APLICAŢIE
Un exemplu de calcul este prezentat în figura (9.11).
S-au utilizat valori corespunzătoare pompării unui debit zi/m65,817Q 3 , puţurile
de observaţie fiind la distanţele:
OW – 1 - 9,144m
OW – 2 - 60,960m
OW – 3 - 304,800m
Variaţia denivelărilor în timp este dată în figura 9.10.(valorile sunt date în tabelele 9.5,
9.6, 9.7)
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
213
Tabelul 9.5.
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
214
Tabelul 9.6.
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
215
Tabelul 9.7.
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
216
Fig. 9.10. Variaţia denivelării în trei puţuri de observaţie, în timp şi
variaţia debitului în puţul de pompare
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
217
Fig. 9.11. Determinarea parametrilor hidrogeologici prin metoda THEIS
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
218
9.4.2. Metoda COOPER JACOB pentru acvifere sub presiune
DESCRIEREA METODEI
Metoda reprezintă o simplificare a metodei Theis şi anume se aproximează funcţia
puţului uW prin primii doi termeni ai dezvoltării:
uln5772.0uW ,
210rS
tT25,2log
T4
Q3,2s . (9.45)
Această funcţie se desenează pe o hârtie semilogaritmică.
Timpul este în lungul axei x (logaritmică) iar denivelarea s în lungul axei y (liniare).
Pentru metoda (timp, denivelare), transmisivitatea şi coeficientul de înmagazinare se
calculează cu relaţiile:
s4
Q3,2T
, (9.46)
2
0
r
tT25,2S
, (9.47)
unde:
s - variaţia denivelării corespunzătoare unui ciclu logaritmic (ex. 65 1010 ),
t0 – valoarea timpului corespunzătoare intersecţiei curbei ts cu axa timpului.
Descrierea metodei este facută pe larg în paragraful 9.3.2.
CONDIŢII NECESARE FOLOSIRII METODEI COOPER –JACOB
- acviferul este sub presiune şi are o extindere infinită,
- acviferul este omogen, izotrop şi are o grosime uniformă în zona de influenţă a
pompării,
- suprafaţa piezometrică a fost orizontală înainte de începerea pompării,
- puţul este pompat cu debit constant,
- filtrul puţului este pe toată adâncimea acviferului,
- apa provenită din înmagazinarea în acvifer este pompată instantaneu provocând
variaţia sarcinii piezometrice,
- diametrul puţului este mic (cantitatea de apă aflată în puţ la un moment dat este
neglijabilă),
- valorile lui 01.0u .
DATE NECESARE PENTRU FOLOSIREA METODEI COOPER –JACOB
- denivelarea într-un puţ de observaţie în funcţie de timp
- distanţa dintre puţul de pompare şi puţul de observaţie
- debitul pompat
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
219
APLICAŢIE
Un exemplu de calcul este prezentat în figura (9.12.).Datele utilizate sunt date în
tabele ( 9.5, 9.6, 9.7 ).
S-au utilizat valori corespunzătoare pompării unui debit zi/m65,817Q 3 , puţurile
de observaţie fiind la distanţele:
OW – 1 - 9,144m,
OW – 2 - 60,960m,
OW – 3 - 304,800m .
Fig. 9.12. Determinarea parametrilor hidrogeologici cu metoda COOPER -JACOB
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
220
9.4.3. Metoda HANTUSH pentru acvifere sub presiune, alimentate
prin drenanţă
DESCRIEREA METODEI
Cele mai multe acvifere sub presiune nu sunt total izolate de acviferele de deasupra
sau de dedesubt, fiind despărţite de acestea prin straturi semipermeabile care permit
alimentarea prin drenanţă.
Ecuaţia difuzivităţii pentru un acvifer sub presiune alimentat prin drenanţă, în
coordonate cilindrice este:
t
h
T
S
'e
'K
T
h
r
h
r
1
r
h
2
2
(9.48)
unde:
'K - conductivitatea hidraulică verticală în stratul semipermeabil
'e - grosimea stratului semipermeabil
Soluţia ecuaţiei (8.10.), dată de Hantush şi Jacob (1955) este:
dyyL
ryexp
y
1
T4
Qs
2
2
u
(9.49)
sau
L
r,uW
T4
Qs (9.50)
unde:
Tt4
Sru
2
(9.51)
L =factor de drenanţă al stratului semipermeabil, definit de Hantush ( paragraful 8.4..2 )
'
'
K
eTL
Se trasează pe hârtie dublu logaritmică funcţia
L
r,uW în funcţie de
u
1.
Denivelările măsurate se utilizează pentru trasarea curbei s(t) sau 2r/ts .
Se determină S şi T prin suprapunerea curbelor.
CONDIŢII NECESARE FOLOSIRII METODEI HANTUSH
- acviferul este alimentat prin drenanţă şi are o extindere infinită,
- acviferul şi straturile care îl limitează sunt omogene, izotrope şi au o grosime
constantă pe toată zona de influenţă a pompării,
- suprafaţa piezometrică a fost orizontală înainte de începerea pompării,
- puţul este pompat cu debit constant,
- filtrul puţului este pe toată adâncimea acviferului,
- apa provenită din înmagazinarea în acvifer este pompată instantaneu provocând
variaţia sarcinii piezometrice,
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
221
- diametrul puţului este mic (cantitatea de apă aflată în puţ la un moment dat este
neglijabilă ),
- curgerea în straturile semipermeabile ce limitează acviferul, este verticală,
- debitul drenat prin straturile semipermeabile este vertical şi proporţional cu
denivelarea,
- sarcina în straturile semipermeabile rămâne constantă,
- înmagazinarea în straturile semipermeabile este neglijabilă.
DATE NECESARE PENTRU FOLOSIREA METODEI HANTUSH
- denivelarea într-un puţ de observaţie în funcţie de timp,
- distanţa dintre puţul de pompare şi puţul de observaţie,
- debitul pompat.
APLICAŢIE
Un exemplu de calcul este prezentat în figura (9.13). Datele utilizate sunt date în
tabelul 9.8.
S-au utilizat valori corespunzătoare pompării unui debit zi/m873Q 3 , m90r ,
m20M .
Tabelul 9.8.
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
222
Fig.9.13.Determinarea parametrilor hidrogeologici ai acviferelor neconservative,
alimentate prin drenanţă, prin metoda HANTUSH.
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
223
9.4.4. Metoda NEUMAN pentru acvifere cu suprafaţă liberă
DESCRIEREA METODEI
Soluţia ecuaţiei de difuzivitate, pentru un acvifer cu suprafaţă liberă, dată de Neuman
(1975) este:
,u,uWT4
Qs BA , (9.52.)
unde:
,u,uW BA -este cunoscută ca funcţia puţului în acvifer cu suprafaţă liberă
tT4
Sru
2
A
( curba tip A pentru valori mici ale timpului) (9.53)
tT4
Syru
2
B
( curba tip B pentru valori mari ale timpului) (9.54)
Kh
Kr
h20
v2
(9.55)
h0 = grosimea acviferului cu suprafaţă liberă, înainte de pompare.
Sunt folosite două tipuri de curbe. Curba de tip A este folosită pentru începutul
pompării când apa pompată provine din apa înmagazinată în acvifer ca şi în cazul
acviferului sub presiune ( curbă asemănătoare cu curba Theis).
Curba tip B este folosită pentru perioada finală a pompării când efectele drenajului
gravitaţional scad.
Se pot determina:
h
TK
0h -conductivitatea hidraulică orizontală (9.56)
2
h20
vr
KhK
- conductivitatea hidraulică verticală (9.57)
S este coeficientul de înmagazinare elastică, iar Sy este (specific yields) coeficientul de
cedare prin drenaj al acviferului cu suprafaţă liberă..
CONDIŢII NECESARE FOLOSIRII METODEI NEUMAN
- acviferul este cu suprafaţă liberă şi are o extindere infinită,
- acviferul este omogen, izotrop şi are o grosime constantă pe toată zona de influenţă a
pompării,
- suprafaţa piezometrică a fost orizontală înainte de începerea pompării,
- puţul este pompat cu debit constant,
- filtrul puţului este pe toată adâncimea acviferului,
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
224
- diametrul puţului este mic (cantitatea de apă aflată în puţ la un moment dat este
neglijabilă )
- curgerea spre puţ este nestaţionară
- influenţa zonei nesaturate asupra denivelării în acvifer este neglijabilă
10storavity.elastic
yield.specific
DATE NECESARE PENTRU FOLOSIREA METODEI NEUMAN
- denivelarea într-un puţ de observaţie în funcţie de timp
- distanţa dintre puţul de pompare şi puţul de observaţie
- debitul pompat
APLICAŢIE
Un exemplu de calcul este prezentat în figura (9.14). Datele utilizate sunt date în
tabelul 9.9.
S-au utilizat valori corespunzătoare pompării unui debit zi/m2,69Q 3 .
Distanţa dintre puţul de observaţie şi cel de pompare este:
m490,114P
Tabelul 9.9.
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
225
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
226
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
227
Fig. 9.14.Determinarea parametrilor hidrogeologici ai acviferelor cu suprafaţă liberă
prin metoda NEUMAN (răspuns întârziat al suprafeţei libere)
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
228
9.4.5. Metoda COOPER – JACOB – STEP TEST
DESCRIEREA METODEI
Metoda este folosită pentru cazul pompărilor cu debit variabil. Este aplicat principiul
superpoziţiei pentru soluţia Cooper – Jacob în cazul curgerii nepermanente, într-un
acvifer sub presiune.Denivelarea în funcţie de timp, corespunzătoare unei perioade de
pompare:
nnt2
n
ttSr
T25,2log
T4
3,2
Q
s (9.58)
unde: n
i
Q
Q
1n
1i'i
int
tt
tt
(9.59)
ti – timpul de începere pentru perioada i de pompare (cu debit Qi)
t - ti – perioada de timp de la începerea pompării cu debit Qi
ti’ – timpul de încetare a pompării cu debit Qi
t – ti’ – perioada de timp după încetarea pompării cu debit Qi
Qi – debitul constant, pompat în perioada i
În cazul în care pomparea este continuă dar cu debit variabil:
n
i
Q
Qn
1iinnt tttt
(9.60)
În cazul în care debitul variază cu aceeaşi cantitate în fiecare pas de timp pompa este
oprită instantaneu:
n
1n
1i'i
innt t
t
ttt
(9.61)
CONDIŢII NECESARE FOLOSIRII METODEI
- acviferul este sub presiune şi are o extindere aparent infinită,
- acviferul este omogen, izotrop şi are o grosime constantă pe toată zona de influenţă a
pompării,
- suprafaţa piezometrică a fost orizontală înainte de începerea pompării,
- puţul este pompat cu debit variabil (constant pe diferite perioade de timp),
- filtrul puţului este pe toată adâncimea acviferului,
- apa pompată provine din înmagazinarea în acvifer şi provoacă variaţia instantanee a
sarcinii piezometrice,
- diametrul puţului este mic (cantitatea de apă aflată în puţ la un moment dat este
neglijabilă,
- curgerea spre puţ este nestaţionară,
- valoarea lui u modificată cu coeficientul nt este mică (mai mică decât 0,01).
DATE NECESARE PENTRU FOLOSIREA METODEI
- denivelarea într-un puţ de observaţie în funcţie de timp,
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
229
- distanţa dintre puţul de pompare şi puţul de observaţie,
- debitul pompat.
APLICAŢIE
Două exemple de calcul sunt prezentate în figurile 9.15 ( este pompat un acvifer
sub presiune) şi 9.16 (este pompat un acvifer cu suprafaţă liberă). Datele de
pompare, utilizate sunt date în tabelele (9.10, 9.11, 9.12).
Distanţa dintre puţul de observaţie şi cel de pompare este:
m000.1a15OW
În tabelul 9.11.sunt date valorile denivelării modificate,în acviferul sub presiune, pe
baza cărora se face analiza.
Tabelul 9.10
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
230
Tabelul 9.11
Fig. 9.15.Determinarea parametrilor hidrogeologici ai acviferelor sub presiune, în cazul
pompărilor cu debit variabil, prin metoda COOPER-JACOB
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
231
Tabelul 9.12
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
232
Fig. 9.16.Determinarea parametrilor hidrogeologici ai acviferelor cu suprafaţă liberă, în
cazul pompărilor cu debit variabil, prin metoda COOPER-JACOB
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
233
9.4.6. Metoda Theis pentru pompări cu debit variabil - (STEP TEST)
DESCRIEREA METODEI
Metoda Theis pentru cazul pompărilor experimentale cu debit variabil foloseşte
principiul superpoziţiei:
u
u
n u
due
T4
1
Q
t,rs (9.62.)
nt
2
ttnT4
Sru
(9.63.)
ti – timpul de începere pentru perioada i de pompare,
t - ti – perioada de timp de la începerea pompării cu debit Qi ,
ti’ – timpul de încetare a pompării cu debit Qi ,
t – ti’ – perioada de timp după încetarea pompării cu debit Qi ,
Qi – debitul constant, pompat în perioada i.
În cazul în care pomparea este continuă dar cu debit variabil, se face o modificare a
timpului din expresia obişnuită a lui u, după cum urmează: timpul t va fi înlocuit cu
n
i
Q
Qn
1iinnt tttt
(9.64.)
În cazul în care debitul variază cu aceeaşi cantitate în fiecare pas de timp:
n
1n
1i'i
innt t
t
ttt
(9.65.)
Cu valorile astfel obţinute, pentru denivelare şi timp (modificate), se lucrează cu curba
Theis.
CONDIŢII NECESARE FOLOSIRII METODEI
Sunt aceleaşi ca în cazul metodei Jacob. Nu se impun condiţii lui u.
DATE NECESARE PENTRU FOLOSIREA METODEI Sunt aceleaşi ca în cazul metodei Jacob.
9.4.7. Corecţia JACOB pentru acviferele cu suprafaţă liberă
Această corecţie presupune modificarea denivelării măsurate în puţul de
observaţie astfel:
D2
sss
2
cor (9.66.)
scor – denivelarea corectată
s - denivelarea măsurată
D – grosimea iniţială a acviferului saturat
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
234
Această corecţie permite folosirea metodelor Theis, Cooper, şi Jacob, Theis – Jacob
Recovery (valabilă pentru acvifere sub presiune) pentru analiza acviferelor cu suprafaţă
liberă.
9.4.8. Teste de performanţă a puţurilor. Determinarea capacităţii
specifice a puţurilor de pompare.
Scopul testului este evaluarea productivităţii puţului, exprimată ca şi capacitatea
specifică:
s
QCs (9.67.)
unde:
- Q este debitul de pompare
- s –denivelarea în puţ datorată atât coborârii suprafeţei libere a acviferului cât şi
pierderilor de sarcină în pereţii puţului şi în filtru.
Pierderile în puţ sunt create de curgerea turbulentă a apei prin pereţii puţului şi la
intrarea în pompă.
Capacitatea specifică este estimată prin trasarea graficului denivelare (după oy), în
funcţie de debit (după ox) şi măsurarea pantei dreptei rezultate.
Q
1tg (9.68.)
Folosirea metodei presupune:
- puţul este pompat cu debit constant, o perioadă de timp suficient de lungă pentru a
se stabili un regim permanent (o suprafaţă piezometrică constantă),
- denivelarea totală este o combinaţie între descreşterea sarcinii piezometrice prin
acvifer şi pierderea de sarcină în filtrul puţului.
DATE NECESARE PENTRU FOLOSIREA METODEI
- denivelări în puţul de pompare în funcţie de debitul pompat (pentru diferite
debite).
APLICAŢIE Pentru un puţ de pompare debitele pompate şi denivelările sunt cele date din tabelul
9.13. Rezultatul este dat în figura 9.17.
Tabelul 9.13
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
235
Fig. 9.17. Determinarea capacităţii specifice a puţurilor de pompare.
9.4.9. Concluzii şi observaţii cu privire la pompările experimentale.
Metodologia de determinare a coeficientului de permeabilitate constă în crearea
unei denivelări, prin pompare, în gaura forajului şi măsurarea debitului de apă pompat,
corespunzător menţinerii constante a denivelării.
Denivelarea apei în foraje se face cu diverse tipuri de echipamente, în funcţie de
nivelul apei subterane şi de capacitatea de cedare a acviferului.
Dacă nivelul apei subterane se situează la o adâncime de până la 4-5m. sub cota
terenului, pomparea se poate face cu o pompă amplasată la suprafaţă. Când nivelul apei
subterane se situează în adâncimi mai mari se foloseşte pompa cu aer lift. În afara
acestor două sisteme clasice de pompare se pot utiliza şi alte tipuri de pompe
submersibile capabile să pompeze apa de la adâncimi mai mari.
Măsurarea nivelului apei în foraj se face cu instrumente de construcţie diferită.
Pentru adâncimi mici ale nivelului apei se pot folosi plutitori lansaţi în gaura forajului
prin intermediul unui cablu flexibil. Pentru adâncimi mai mari, când nu mai poate fi
sesizat momentul pătrunderii plutitorului în apa de foraj, se folosesc instrumente de mai
mare precizie. Un model de instrument de acest fel este arătat în fig.9.18. Când
dispozitivul este suspendat în cablu, cele două corpuri 1 şi 2 sunt depărtate şi circuitul
electric întrerupt. În momentul în care corpul 2 intră în apă, prin plutire acesta rămâne
Determinarea experimentală a parametrilor caracteristici acviiferelor.
236
pe loc, în timp ce corpul 1 continuă să coboare realizându-se astfel închiderea circuitului
electric, prin atingerea contactelor 4. Acest moment este sesizat la suprafaţă printr-un
semnal sonor, aprinderea unui bec, mişcarea acului unui galvanometru etc. Adâncimea
la care se găseşte nivelul apei în foraj se citeşte direct pe cablul de lansare care este
prevăzut cu marcaje din metru în metru.
Fig. 9.18. Dispozitiv pentru masurarea nivelului apei in foraje;
1-corpul superior al plutitorului;
2-corpul inferior al plutitorului;
3-burduf de cauciuc subtire care etanseaza perfect racordurile dintre corpurile
1 si 2 si permite culisarea corpului 2 in corpul 1;
4-contacte electrice;
5-cablu bifilar; 6-baterii;
7-dispozitiv de înregistrare a semnalului la închiderea circuitului electric;
8-marcaje de adincime pe cablul de lansare.
Pentru a fi concludentă, pomparea dintr-un strat acvifer trebuie să se facă la
minimum trei trepte de denivelare. Pomparea sau turnarea corespunzătoare fiecărei
trepte de nivelare se menţine până la obţinerea unui debit constant. Pentru mediile
permeabile durata de intrare a curgerii în regim staţionar este de minim 8-10 ore. Cu cât
permeabilitatea terenului este mai mică cu atât durata de intrare a curgerii în regim
staţionar este mai mare.
În timpul pompărilor experimentale trebuie culese următoarele date: coloana
litologică a forajului, schema de echipare, adâncimea nivelului apei subterane, graficele
de variaţie a debitelor în timp pentru fiecare treaptă de denivelare şi graficul de variaţie
a debitelor în funcţie de denivelare .
Cu datele obţinute pe teren prin pompări experimentale, în foraje, în funcţie de
schema hidrogeologică a acviferului şi a forajelor în care s-au efectuat testările, se
determină conductivitatea hidraulică a straturilor, transmisivitatea şi coeficientul de
înmagazinare.
Hidrodinamica apelor subterane. Calitatea apelor subterane. 237
Capitolul 10
CALITATEA APELOR SUBTERANE
În condiţiile în care calitatea apelor constituie o problemă prioritară pe plan
mondial, iar singura sursă de ape nepoluate o reprezintă rezervorul de ape subterane,
menţinerea acestei rezerve reprezintă o condiţie vitală pentru omenire. Apa subterană
este o sursă bună de apă potabilă datorită proprietăţilor solului, de purificare.
Fenomenul de poluare apare uneori şi în cazul apelor subterane, deşi acestea sunt mai
protejate decât apele de la suprafaţă.
Poluarea este o modificare a proprietăţilor fizice, chimice şi biologice ale apei,
restrângând posibilităţile de folosire a apei subterane, făcând-o neutilizabilă. Calitatea
apelor constituie o componentă ecologică şi economică a sistemului de gospodărire a
surselor de apă.
Scopul final al studiului poluării apelor subterane îl constituie realizarea unor
modele de prognoză calitativă şi cantitativă precum şi stabilirea unor programe de
optimizare a investigaţiilor asupra mediului.
Abordarea unei probleme de poluare (fig. 10.1) presupune:
1) culegerea şi tratarea informaţiilor;
2) construirea şi folosirea modelelor de prognoză;
3) verificarea modului în care se realizează prognoza.
Culegerea şi tratarea informaţiilor presupune:
- identificarea sistemului;
- înregistrarea informaţiilor numerice;
- structurarea informaţiilor ne-numerice (calitative);
- optimizarea informaţiilor şi a controlului.
Un model de prognoză a poluării apelor subterane trebuie să înglobeze:
- curgerea în mediu poros, în regim saturat;
- curgerea în mediu poros, în regim nesaturat;
- modelarea matematică a dispersiei agenţilor poluanţi în mediu poros.
Datorită interinfluenţei dintre freatic şi apele de suprafaţă există o
interdependenţă şi din punct de vedere al calităţii apelor. Apele de suprafaţă reprezintă
condiţii de frontieră pentru domeniul freatic, atât din punct de vedere hidraulic, cât şi
din punct de vedere al concentraţiei poluantului.
Obiectivele studiilor de poluare a apelor subterane sunt:
1) estimarea rapidă a probabilităţii de curgere accidentală a poluantului spre un
puţ de pompare;
Hidrodinamica apelor subterane. Calitatea apelor subterane. 238
2) definirea influenţei unor poluanţi prezenţi sau inevitabili în puţuri, în special
ca o funcţie de regimurile de pompare;
3) definirea zonelor sensibile la poluare în scopul optimizării amplasării de noi
puţuri;
4) obţinerea unui model la scară mare ca un suport cantitativ de prognoză şi
conducere;
5) informarea prin simple vizualizări privind evoluţia poluării.
Scopul cercetărilor este ca pornind de la studiul experimental, pe modele, de la
experienţe efectuate "in situ", pe baza rezolvării matematice a problemei curgerii
fluidelor în medii poroase şi a problemei dispersiei, să se elaboreze modele de prognoză
pentru cazuri reale de poluare.
Poluarea apei subterane poate fi de tip continuu sau accidental şi se poate datora
unor poluanţi industriali, agricoli, sanitari.
Poluarea agricolă este datorată apei de irigaţie sau din ploaie, care transportă
mineralele, sarea, ierbicidele, pesticidele, îngrăşămintele, spre apa subterană. O
observare atentă a poluanţilor admisibili arată că cea mai frecventă şi cea mai
periculoasă formă a poluării apelor subterane este cea cu substanţe miscibile. Trebuie să
se ţină seama de faptul că mişcarea fluidelor este uneori bine descrisă prin neglijarea
efectelor de combinare (este exemplul studiilor la scară mare şi de asemenea al mişcării
poluantului prin căi preferenţiale, în special când cantitatea de poluant este foarte mică
dar toxicitatea este mare).
Există cazuri în care fenomenul de dispersie nu poate fi neglijat. Astfel, problemele de
poluare a apelor subterane sunt de două tipuri: convective şi dispersive.
10.1. SURSE DE POLUARE
Principalele cauze de poluare ale acviferelor sunt:
1. Extragerea excesivă din puţuri (mai mult decât poate asiguraacviferul)
2. Introducerea poluanţilor în apele freatice prin intermediul apelor de suprafaţă:
a) din fosele caselor sau din tratarea apelor uzate, menajere;
b) din efluenţii industriali (apa uzată, neepurată suficient);
c) din gunoiul solid amestecat cu apa;
d) folosirea excesivă, în agricultură, a pesticidelor şi a îngrăşămintelor;
e) din scurgeri accidentale.
3. Salinitate excesivă. Aceasta se produce datorită precipitaţiilor reduse care nu
pot realimenta pânza freatică.
4. Poluare datorată sistemelor de canalizare deficitare.
5. Poluare datorată staţiilor de epurare exploatate necorespunzător.
Hidrodinamica apelor subterane. Calitatea apelor subterane. 239
10.1.1. Generalităţi asupra haldelor pentru depozitarea deşeurilor.
Influenţa haldelor asupra mediului
Haldele pentru depozitarea deşeurilor transportate mecanic sau hidraulic
influenţează în mod negativ mediul ambiant, în ceeace priveşte calitatea apelor de
suprafaţă şi subterane, calitatea aerului, a vegetaţiei şi a aspectului general al zonei, dacă
nu se iau măsuri corespunzătoare.
Hidrodinamica apelor subterane. Calitatea apelor subterane. 240
În ceeace priveşte apele subterane, având în vedere folosinţele multiple şi
cantităţile limitate ale acestora, problema principală rămâne aceea de a preveni
impurificarea, prin măsuri eficace. Trebuie avut în vedere faptul că efectele de
impurificare ale acestor ape sunt aproape ireversibile şi o îmbunătăţire a calităţii apei
chiar în timp îndelungat este pe cât de dificilă pe atât de costisitoare.
Cantitatea şi calitatea apei folosită la transportul şi depozitatrea deşeurilor
Cantităţile mari de apă folosite pentru transportul şi depozitarea deşeurilor în
halde pun în special probleme de impurificare a apelor de suprafaţă şi subterane şi mai
puţin probleme de modificare a nivelurilor şi debitelor.
Apa folosită la transportul şi depozitarea deşeurilor în halde îşi modifică total
caracteristicile fizico - chimice iniţiale, ceeace are consecinţe nefavorabile asupra
folosinţelor în zona haldelor. Raportul de diluare a amestecului apă - deşeu influenţează
compoziţia fizico - chimică a apei de transport.
Cantităţile de apă reziduală provenite de la diferite instalaţii de preparare a
minereurilor se apreciază a fi de ordinul:
- de la o flotaţie de 250 t minereu/zi rezultă 1000 m3
de apă;
- de la o cianuraţie de 250 t minereu/zi rezultă 2000 m3
de apă;
- de la o spălătorie de 250 t minereu/zi rezultă 2500 m3
de apă.
În industria energetică, în ţara noastră, cantităţile de apă folosite la transportul
cenuşii industriale în vederea depozitării au fost apreciate la cca. 50 milioane m3/an
până în 1970 ajungând, în anul 1980, la mai mult de 100 milioane m3/an.
Apa folosită la transportul deşeurilor din industria minieră şi metalurgică conţine
fracţiuni de reactivi, folosiţi în procesul tehnologic al preparării, ca varul tehnic, cianura
de sodiu, sulfatul de zinc, sulfatul de cupru, acidul sulfuric, carbonatul de sodiu,
xantatul de sodiu, flotanololul, fosfacresolul, uleiul de pin, silicatul de sodiu, substanţe
radioactive.
Indicatorul pH variază de la puternic acid (pH = 3) la intens alcalin (pH = 10 11)
la apele provenite din prelucrarea minereurilor feroase şi neferoase şi de pH = 3, la
pH = 8 9, la preparaţiile de cărbune.
Din industria coloranţilor, pigmenţilor etc. rezultă ape de transport cu o
mineralizare mare, cu o încărcare în substanţe organice generate de prezenţa acetaţilor şi
substanţelor cu toxicitate crescută cum sunt: cromul, plumbul şi zincul.
Din industria sodei rezultă ape de transport puternic mineralizate, impurificate
cu cloruri (de ordinul 75000mg/l) sulfaţi, calciu, magneziu. Indicatorul pH variază între
12 13.
În apa folosită la transportul cenuşii industriale se găsesc cantităţi mari de sulfaţi
solubili, urme de fier, aluminiu, sulfuri metalice şi alcalinoferoase, un indicator pH mare
(variabil între 8.8 şi 13).
Deşeurile provenite din industria chimică prezintă probleme deosebit de grele de
depozitare prin:
- cantităţile mari,
- diversitatea caracteristicilor fizico - chimice, mineralogice şi mecanice, a
stabilităţii lor în timp, sub influenţa mediului şi a condiţiilor de depozitare,
- marea majoritate a deşeurilor din industria chimică pun probleme deosebit de
grele de poluare, necesitând măsuri severe de protecţie a mediului,
Hidrodinamica apelor subterane. Calitatea apelor subterane. 241
- deşeurile hidrotransportate trebuie depozitate în halde realizate cu baraje de
formare, dimensionate după legile cunoscute ale barajelor,
- majoritatea terenurilor ocupate pentru depozitarea deşeurilor hidrotransportate
nu pot fi redate în circuitul agricol decât cu măsuri speciale de stabilizare sau
consolidare, întrucât deşeurile nu se pot consolida în mod natural,
- în vederea unei exploatări normale şi a protecţiei mediului, toate haldele
trebuie prevăzute cu AMC,
- în vederea micşorării cantităţilor de deşeuri de depozitat şi a problemelor de
depozitare puse de aceste deşeuri, se recomandă revizuirea proceselor tehnologice şi
valorificarea deşeurilor la maximum, ca şi evacuarea şi depozitarea lor grupată în
vederea anihilării unor efecte toxice.
10.1.2. Influenţa reciprocă dintre apele subterane şi apele de suprafaţă
Starturile de apă subterană se alimentează din apele de suprafaţă, fie prin
infiltraţie pe versanţi, fie prin infiltraţie din albia râului. În zonele în care râurile
alimentează straturile subterane, modificările de regim ale acestora modifică şi regimul
apelor subterane. Astfel, la captările din freatic, reducerea debitelor minime pe râu
provoacă o reducere a debitelor ce se pot extrage.
Schemele de gospodărire a apelor de suprafaţă pot influenţa în mod favorabil
resursele de apă subterană în zonele acumulărilor, unde datorită ridicării nivelului apei
se asigură o alimentare mai bogată a straturilor subterane. În sens invers, în urma
amenajării apelor subterane, în special ca urmare a prelevării de debite din aceste
straturi, se poate provoca o coborâre a nivelului apelor freatice şi deci se poate micşora
aportul de debite din straturile subterane în râu. În cazul prelevărilor foarte intense poate
apare chiar inversarea fenomenului, adică alimentarea resurselor subterane din cursurile
de apă de suprafaţă (pe cursurile inferioare ale râurilor în zona de şes, se întâmplă
frecvent ca stratul să alimenteze râul).
Din punct de vedere al calităţii, apele de suprafaţă constituie condiţii de frontieră
pentru apele subterane, deci soluţia problemei dispersiei în mediul poros (apa subterană)
va fi influenţată de concentraţia substanţelor poluante din apele de suprafaţă.
10.1.3. Poluarea apelor subterane datorită folosirii în agricultură a
pesticidelor, a îngrăşămintelor minerale şi a apelor uzate pentru
irigaţii.
Irigarea cu ape uzate menajere şi industriale este un procedeu de epurare
avantajos în condiţiile în care nivelul apei subterane din zona respectivă nu este aproape
de suprafaţa solului. Infiltrarea în sol a apelor uzate este condiţionată de capacitatea de
adsorbţie a solului. Această caracteristică a solului îi conferă posibilitatea de a reţine cea
mai mare parte din substanţele şi microorganismele din apa uzată, realizându - se astfel
şi epurarea ei. Dar solul poate lăsa să treacă prin el o cantitate mai mare sau mai mică de
apă poluată care ajunge la stratul acvifer.
Dacă normele de irigare corespund capacităţii de adsorbţie a solului, în cazul
unui sol omogen, teoretic, apele uzate trecute prin sol ar trebui să nu mai conţină
substanţe poluante.
În numeroase cazuri apar fenomene de poluare a solului ca urmare a
mineralizării mereu crescânde (în special nitraţi şi nitriţi). Prezenţa unui conţinut ridicat
Hidrodinamica apelor subterane. Calitatea apelor subterane. 242
de nitraţi şi amoniac indică o poluare organică cu ape uzate ca urmare a unei epurări
incomplete a apelor uzate în zona de aerare a solului.
Folosirea excesivă a îngrăşămintelor chimice şi a pesticidelor reprezintă, de
asemenea, o sursă de poluare.
10.2 INTERPRETAREA ANALIZELOR CHIMICE ŞI EVALUAREA
CALITĂŢII APELOR SUBTERANE
10.2.1. Analiza sărurilor conţinute în apele subterane
Un buletin de analize a conţinutului de substanţe chimice conţine, în general,
concentraţia anionilor şi cationilor identificaţi, în mg/l. Evaluarea calităţii apei analizate
constă în:
- verificarea corectitudinii analizei chimice pe baza echilibrului între anionii şi
cationii identificaţi,
- calculul durităţii apei,
- clasificarea apei subterane pe baza indicilor lui Palmer,
- comparaţii chimice bazate pe formula ionică.
Rezultatele unei analize chimice sunt acceptabile dacă diferenţa dintre suma
anionilor şi cationilor (exprimată în mval/l) reprezintă mai puţin de 2 % din suma
tuturor ionilor (în mval/l)
= r - r
r + r 100 < 2 %A C
A C
(10.1)
rA = suma conţinutului în miliechivalenţi a tuturor anionilor conţinuţi,
rC = suma conţinutului în miliechivalenţi a tuturor cationilor conţinuţi.
Fie următorul buletin de analiză [Gheorghe,A., Zamfirescu,F.,..Aplicaţii şi
probleme hidrogeologice, 1983]:
Tabel 10.1. Buletin de analiză
Element Simbol Conţinut (mg/l)
clor Cl- 16,0
sulfat SO4- -
10,0
carbonat HCO3- 197,0
azotat NO3- 4,0
sodiu Na+ 24,0
potasiu K+ 10,0
calciu Ca++
23,0
magneziu Mg++
19,0
amoniu NH4+ 2,0
Calculul conţinutului în miliechivalenţi (r) pentru fiecare ion se face raportând
conţinutul în mg/l al ionului respectiv în soluţie, la echivalentul chimic E al ionului.
E =
Masa atomica a elementului
Valenta elementului (10. 2)
Hidrodinamica apelor subterane. Calitatea apelor subterane. 243
Conţinutul în miliechivalenţi va fi :
r =
continutul in (mg / l)
E (mval / l)
(10.3)
r % = r
r 100e l
e l = conţinutul în miliechivalenţi, în procente = procent
echivalenţi.
re l = suma miliechivalenţilor anionilor şi cationilor din soluţie.
Pentru elementele din buletinul de analiză se face calculul lui cu relaţia (10.1),
grupând anionii şi cationii separat.
Tabelul 10. 2. Calculul echivalenţilor chimici
Ionul Masa atomică Valenţa Echivalentul chimic
E
Cl- 35,45 1 35,45
SO4- -
96,06 2 48,03
NO3- 62,00 1 62,00
HCO3- 61,02 1 61,02
Na+ 22,99 1 22,99
K+ 39,10 1 39,10
Ca++
40,08 2 20,04
Mg++
24,31 2 12,15
NH4+ 18,01 1 18,01
Tabel 10. 3. Verificarea corectitudinii analizei chimice
Anioni mg/l r
(mval/
l)
r
r
el
a c + r100
(%)
Cationi (mg/l) r
(mval/l)
r
r
el
a c + r100
(%)
Cl- 16,0 0,464 5,79 Na
+ 23,0 1,00 12,472
SO4- -
10,0 0,208 2,594 K+ 10,0 0,255 3,18
HCO3- -
199, 3,261 40,670 Ca++
23,0 1,147 14,305
NO3- 4,0 0,065 0,810 Mg
++ 19,0 1,563 19,493
NH4++
1,0 0,055 0,684
ra - 3,998 49,864 rc - 4,02 50,136
% 2 < % 0,27 = 1004,02 + 3,998
4,02 - 3,998 = ,deci analiza chimică este satisfăcătoare.
Duritatea apei este determinată de concentraţia în săruri de calciu şi magneziu a
acesteia.
Vom nota:
DT - duritatea totală (dată de conţinutul total de ioni de calciu şi magneziu);
Hidrodinamica apelor subterane. Calitatea apelor subterane. 244
DP - duritatea permanentă (dată de conţinutul de sulfaţi şi cloruri de calciu şi
magneziu);
Dt - duritatea temporară (dată de hidrocarbonaţii de calciu şi magneziu)
Duritatea apei se exprimă în grade de duritate:
- grade germane [h] 1mval
l Ca = 2,8 h
O apă cu un conţinut de 1 miliechivalent de Ca sau Mg la un litru de apă, are
duritatea de 2. 8 h (grade hidrotermetrice).
- grade franceze 1h = 1, 79 grade franceze;
- grade engleze 1h = 1, 25 grade engleze;
- grade americane 1h = 1, 04 grade americane.
Se mai poate defini duritatea de 1h ca fiind duritatea unei ape cu un conţinut de
10 mg / l de oxid de calciu (CaO).
Pentru proba de apă din buletinul de analiză, duritatea totală este:
DT = (rCa + rMg) · 2, 8 = (1, 147 + 1, 563) · 2, 8 = 7, 588 h
Pentru determinarea durităţii permanente şi temporare trebuie să se analizeze
compoziţia chimică a apei pe baza principalelor tipuri de grupări existente în soluţie.
Tabel 10.4. Calculul capacităţilor de reacţie
Tipul grupării Notaţie Componenţi Capacităţi de reacţie r (%)
pe componente total
Acizi puternici a Cl-+SO4
--+NO3
- 5,79+2,594+0,81 9,194
Acizi slabi b HCO3- 40,67 40,67
Baze puternice c Na++K
+ 12,472+3,18 15,652
Baze slabe d Ca++
+Mg++
+NH4+ 14,305+
19,493+0,68
34,484
Ţinând seama de ordinea de reacţie între principalele tipuri de grupări,
compoziţia chimică probabilă a probei de apă va fi:
NaCl = 2 · 5,79 = 11,58 %
rest Na = 12,472 - 5,79 = 6,682 %
Na2SO4 = 2 · 2,594 = 5,188 %
rest Na = 6,682 - 2,594 = 4,088 %
NaNO3 = 2 · 0,81 = 1,62 %
rest Na = 4,088 - 0,81 = 3,278 %
NaHCO3 = 2 · 3,278 = 6,556%
rest HCO3 = 40,67 - 3,278 = 37,392 %
KHCO3 = 2 · 3,18 = 6,36 %
rest HCO3 = 37,392 - 6,36 = 31,032 %
Hidrodinamica apelor subterane. Calitatea apelor subterane. 245
CA(HCO3)2 = 2 · 14,305 = 28,610 %
rest HCO3 = 31,032 - 14,305 = 16,727 %
Mg(HCO3) = 2 · 16,727 = 33,454 %
rest Mg = 19,493 - 16,727 = 2,712 %
Vor rămâne ncombinate 2,712 % Mg şi 0,686 % NH4.
În concluzie apa nu conţine sulfaţi sau cloruri de calciu sau magneziu. Duritatea
permanentă a probei Dp = 0, iar duritatea totală este identică cu cea temporară DT=Dt.
10.2.2 Clasificarea apelor subterane pe baza indicilor lui PALMER
Stabilirea echilibrului salin.
Echilibrul salin al substanţelor dizolvate în apă se stabileşte prin combinarea
(însumarea) grupelor de reacţie, exprimate prin valoarea capacităţii de reacţie.
Cele patru grupe de reacţie a, b, c, d sunt prezentate în tabelul 10. 4.
- Dacă capacitatea de reacţie corespunzătoare grupei c este mai mare decât cea
corespunzătoare grupei a (c a), se combină grupa bazelor alcaline cu grupa acizilor
puternici (salinitate primară S1), iar surplusul din grupa c se combină până la
neutralizare cu o parte din grupa acizilor slabi (alcalinitate primară A1). Restul grupei
acizilor slabi (b), se combină cu bazele alcalino - feroase (d) (alcalinitate secundară
A2).
- dacă a (r %) c (r %), surplusul grupei acizilor puternici (faţă de bazele
alcaline) se combină cu grupa bazelor alcalino - feroase (d) rezultând o salinitate
secundară S2, iar excesul de acizi puternici rămâne liber în apă (salinitate terţiară S3).
- Dacă a (r %) c (r %) + d (r %), surplusul grupei bazelor alcalino - feroase
(faţă de acizii puternici) se combină cu grupa acizilor slabi rezultând alcalinitatea
secundară A2.
Calculul indicilor de salinitate (S) şi alcalinitate (A)
Grupele de reacţie se combină numai în limitele valorii capacităţii de reacţie.
Astfel, indicii S şi A (procent - echivalentul sărurilor formate) se calculează prin suma
valorilor capacităţilor de reacţie ale grupelor de reacţie (când grupele au valori egale). În
cazul când grupele au valori diferite se calculează dublul valorii mai mici, surplusul
grupei cu valoare mai mare adăugându-se la valoarea grupei de reacţie, intrând în
reacţie în ordinea arătată mai sus.
Tabel 10.5. Indicii PALMER
Acizi Baze
puternice
c
slabe
d
foarte slabe
e
puternici
a
S1
salinitate primară
S2
salinitate secundară
S3
salinitate terţiară
slabi
b
A1
alcalinitate primară
A2
Alcalinitate secundară
A3
alcalinitate terţiară
a, b, c, d, e = grupele de reacţie, exprimate în procente echivalente.
a: r % Cl- + r % SO4
- - + r % NO3
- (produc salinitate)
Hidrodinamica apelor subterane. Calitatea apelor subterane. 246
b: r % CO3- + r % HCO3- + r % S
- - (produc alcalinitate)
c: r % Na+ + r % K
+ + r % Li
+
d: r % Ca++
+ r % Mg++
e: r % Fe++
+ r % Al+++
S1, S2, S3, A1, A2, A3 sunt indicii lui PALMER;
S1, S2, S3 - indici de salinitate;
A1, A2, A3 - indici de alcalinitate.
Tabel 10.6. Clasele de ape. Caracterizarea apelor funcţie de indicii PALMER
Clasa Indicii Formula Caracterizarea apelor
I S1, A1, A2 (A3) a c ape alcaline moi, aso-
ciate rocilor cristaline şi
zăcămintelor petolifere
II S1, A2 (A3) a = c ape de tip intermediar
III S1, S2, A1 (A2) a c
a c + d
ape dure, asociate
rocilor sedimentare
IV S1, S2 (A3) a = c + d ape cu compoziţie
apropiată de a apelor
marine sau freatice
din regiuni secetoase
V S1, S2, S3 (A3) a c + d ape acide, asociate zăcă-
mintelor de minereuri, cu
concentraţii ridicate de ioni
de hidrogen şi metale grele
Pentru proba din tabelul 10.1
a = 5, 79 + 2,594 + 0,81 = 9,194
b = 40,67
c = 12,472 + 3,18 = 9,194
d = 14,305 + 19,493 + 0,686 = 3,484
S1 = a + c = 9,194 + 9,194 (din 1,652) = 18,388
Rest c = 15,652 - 9,194 = 6,458 (bază puternică) se combină cu acid slab b
rezultând A1 (alcalinitate primară)
A1 = c + b = 6,458 + 6,458 (din 40,67) = 12,916
Rest b = 40,67 - 6,458 = 34,212 (acid slab) se combină cu bază slabă d,
rezultând A2 (alcalinitate secundară)
A2 = b + d = 34,212 + 34,212 (din 34,484) = 68,424 rest 34,484 - 34,212 = 0,272
(bază slabă).
Cu S1 = 18,388, a c, A1 = 12,916 A2 = 68,424 apa se încadrează în clasa I a
apelor alcaline moi.
10.3. REPREZENTĂRI GRAFICE PENTRU DEFINIREA
TIPURILOR DE APĂ
Cele mai utilizate diagrame sunt
- diagrama ternarã;
- diagrama semilogaritmicã (H. Schoeller - E. Berkaloff)
Hidrodinamica apelor subterane. Calitatea apelor subterane. 247
10.3.1. Diagrama ternară
Diagrama ternară constă în două triunghiuri echilaterale pe care sunt reprezentate
concentraţiile anionilor şi cationilor, în procente echivalente (r %).
Fig. 10.2. Diagrama ternară
Fiecare latură reprezintă un procent de 50 %.
Pe baza încadrării punctelor în unul din cele şapte câmpuri, în care este împărţit
triunghiul, se stabileşte denumirea apei după anioni (A) şi cationi (C).
Apa studiată este hidrocarbonată.
10.3.2. Diagrama semilogaritmică (H. Schoeller - E. Berkaloff)
Diagrama semilogaritmică(H. Schoeller - E. Berkaloff) este formată din şapte
scări logaritmice corespunzând principalilor ioni :
- cationii Ca++
, Mg++
, Na++ K
+;
- anionii Cl-, SO4
- -, CO3
- + HCO3
- -, NO3
-.
Valorile sunt în mg / l.
Două scări de referinţă ale miliechivalenţilor şi o scară pentru un ion
suplimentar. Scările sunt astfel decalate încât pe o scară (în ordonată) să se poată citi
atât conţinutul în mg /l cât şi miliechivalenţii corespunzători acestui conţinut.
Cu ajutorul acestei diagrame (figura 10.3) se poate analiza, pe baza conţinutului
chimic al probei:
- caracterul apei respective,
- compararea apelor între ele (apele cu aceiaşi compoziţie chimică au reprezentări
grafice paralele),
- compararea valorilor reale cu cele admisibile (STAS-ul de potabilitate)
În diagrama din figura 10.3 sunt reprezentate prin puncte, valorile maxime
admisibile pentru ionii respectivi precum şi reprezentarea grafică a apei din buletinul de
analiză. Apa este potabilă, cu caracter carbonat.
Hidrodinamica apelor subterane. Calitatea apelor subterane. 248
Fig. 10.3. Diagrama Schoeller - Berkaloff. Conţinuturi maxime admise
de STAS-ul de potabilitate
Hidrodinamica apelor subterane. Calitatea apelor subterane. 249
10.3.3. Diagrama PIPER-TRILINEAR
Cationii şi anionii dintr-o probă sunt desenaţi separat în două triunghiuri.
Compozitia chimică este determinată prin proiecţia acestor puncte în rombul central.
Concentraţiile ionice sunt desenate în procente de echivalenţi pe litru, calculate separat
pentru cationi şi anioni. Echivalenţii pe litru sunt calculaţi prin raportul între valoarea în
mg/l şi greutatea atomică, înmulţit cu valenţa ionului.
Fig.10.4.. Diagrama PIPER-TRILINEAR [Handbook of hydr.1992]