Uniwersytet im. Adama Mickiewicza

w Poznaniu

Michał Bereta

Praca magisterska

Martyngały i przykłady ichzastosowań

Promotor

prof. UAM dr hab. Witold Wnuk

Wydział Matematyki i Informatyki

Poznań 2008

Spis treści

Podziękowania 3

Wstęp 4

1 Wiadomości wstępne 8

1.1 Teoria miary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Elementy probabilistyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Martyngały i ich własności 28

2.1 Podstawowe pojęcia i przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Momenty zatrzymania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Zbieżność martyngałów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Nierówności martyngałowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5 Martyngały z czasem odwróconym . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Zastosowania martyngałów 49

3.1 Twierdzenie o reprezentacji martyngału . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Wycena opcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3 Granica pochodnych Radona-Nikodyma . . . . . . . . . . . . . 58

3.4 Twierdzenie Kakutaniego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5 Zagadnienie dyskryminacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.6 Zadanie o ruinie gracza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Bibliografia 67

2

Podziękowania

Na wstępie chciałbym podziękować moim rodzicom, za to że stworzyli wa-

runki, abym mógł bezproblemowo studiować. Ponadto wspierali mnie przez

cały okres studiów oraz mobilizowali do pisania niniejszej pracy.

Chciałbym również podziękować mojemu promotorowi, prof. dr. hab. Witol-

dowi Wnukowi za pomoc wpisaniu pracy, odpowiedzi na moje pytania oraz

cenne uwagi dotyczące tej pracy magisterskiej.

Ponadto dziękuję Wydziałowi Matematyki i Informatyki Uniwersytetu im.

Adama Mickiewicza oraz jego pracownikom (nie tylko naukowym) za prze-

kazywanie wiedzy oraz pomoc w rozwiązywaniu róznorodnych problemów.

3

Wstęp

Pierwszym celem, który przyświecał mi podczas pisania tej pracy, było

przygotowanie takiej rozprawy, która przy niewielkiej objętośći zawierałaby

możliwie dużo informacji na temat martyngałów. Chciałem, aby mogli z niej

korzystać studenci matematyki, którzy chcieliby rozszerzyć swoją wiedzę o

tym zagadnieniu. Zaplanowałem ją tak, aby wybrane fragmenty można wy-

korzystać jako uzupełnienie wykładów. Pierwszy rozdział mojej pracy jest

oparty na notatkach z wykładów teorii miary oraz rachunku prawdopodo-

bieństwa. Kolejna zasadnicza część opracowania zawiera materiał o wyższym

poziomie abstrakcji. Większość zawartych w niej informacji wykracza po-

za wiedzę zdobytą na wykładach podczas moich studiów. Trzeci rozdział to

omówienie zastosowań martyngałów, w tym twierdzenia o reprezentacji mar-

tyngałowej. Oczywiście moja skromna praca nie wyczerpuje tematu jakim

są martyngały. Można ją traktować jedynie jako wstęp do poważniejszych

studiów.

Starałem się przytoczyć jak najwięcej przykładów ilustrujących wprowa-

dzane pojęcia. Pozwalają one lepiej zrozumieć ich ideę. Znalazły się wśród

nich zarówno przykłady klasyczne, które są spotykane w różnych publika-

cjach, jak i takie, które sam ułożyłem. Ponadto chciałem rozważyć możliwie

najwięcej własności wprowadzonych terminów, aby możliwie głęboko anali-

zować ich istotę i poszerzyć zakres ewentualnych zastosowań. Starałem się

również prowadzić rozważania z użyciem możliwie prostych, standardowych

środków oraz zachować precyzję dowodów. Łatwo zauważyć, iż większa część

materiału została podana w typowej dla książek matematycznych struktu-

4

rze. Wyróżniłem definicje, przykłady, wnioski, twierdzenia wraz z dowodami

oraz uwagi. Pozostałą część tekstu stanowią komentarze lub opisy pewnych

postępowań. Na początku każdego rozdziału omawiam wprowadzane pojęcia

i twierdzenia. Zastosowałem ciągłą numerację twierdzeń, definicji i przykła-

dów w obrębie każdego rozdziału tzn. pierwsza liczba w numerze twierdze-

nia oznacza numer rozdziału, druga (po kropce) wskazuje, kolejność danego

twierdzenia w rozdziale. Natomiast wnioski i uwagi nie są numerowane, po-

nieważ jest ich niewiele oraz, z reguły, nie są wykorzystywane w dalszych

rozważaniach. Oddzielnie numeruję również wzory i równości, do których na-

stępuje odwołanie w dalszej części pracy. Symbol oznacza koniec dowodu.

Praca jest tak skonstruowana, aby maksymalnie obniżyć próg wymagań

wobec Czytelnika. Przystępując do jej lektury nie jest wymagana wiedza z

teorii miary, a co za tym idzie rachunku prawdopodobieństwa.

Pierwszy rozdział jest poświęcony teorii miary. Zostały w nim oddzielone

ogólne rozważania tej teorii od elementów rachunku prawdopodobieństwa.

Najpierw zostały wprowadzone definicje σ-algebry oraz miary i ich własności

wraz z przykładami. Dalej przypominam całkę Lebesgue’a, zmienne losowe

oraz pojęcia wartości oczekiwanej i warunkowej wartości oczekiwanej. W za-

sadzie większość informacji z tego rozdziału pochodzi z wysłuchanych przez

mnie wykładów z teorii miary lub rachunku prawdopodobieństwa.

W drugim rozdziale przechodzę do zasadnieczego tematu mojej pracy.

Zostaje wprowadzona wraz z przykładami definicja martyngału. Dalej jest

omówina teoria momentów stopu. Ponadto przytoczyłem wiele twierdzeń o

zbieżności martyngałów oraz pewne nierówności martyngałowe. Można do

nich zaliczyć twierdzenia Dooba, zasadnicze twierdzenie o zbieżności martyn-

gałów oraz uogólnienie nierówności Kołmogorowa- nierówność maksymalną

dla podmartyngałów. W ostatnim podrozdziale znalazły się informacje na

temat martyngałów z czasem odwróconym oraz kilka ich własności.

W rozdziale trzecim znalazły się wiadomości o zastosowaniach twierdze-

nia o reprezentacji martyngałowej. Jest ono wykorzystywane do wyceny in-

strumentów pochodnych. Co więcej wyróżniona została wycena europejskiej

5

opcji kupna. Ponadto wskazałem, wykorzystując [1], przykład zastosowania

martyngałów przy określaniu granicy pochodnych Radona-Nikodyma. Omó-

wiłem, wykorzystując [7], sposób wykorzystania martyngałów do rozróznienia

zadanych z góry rozkładów danego zdarzenia losowego. Oddzieliłem przypa-

dek, gdy ryzyko podjęcia złej decyzji wiąże się z kosztami. Ostatnim zagad-

nieniem poruszonym w tym rozdziale jest sposób obliczania prawdopodobień-

stwa ruiny w grze dwóch graczy.

Zdaję sobie sprawę, iż mimo wielu korekt, w mojej pracy mogą znaleźć się

niedoskonałości czy błędy. Będą wdzięczny za wszelkie uwagi na ten temat.

Można je przysyłać na adres d138599@atos.wmid.amu.edu.pl

Notatki z wykładów [13] wykorzystane zostały w definiowaniu procesów

stochastycznych oraz opisie własnośći funkcji wypukłych. Również twierdze-

nie o momencie zatrzymania pochodzi z tego wykładu. Bardzo pomocna była

obszerna monografia [1]. Wiele zagadnień zostało tam przystępnie opisanych.

Z niej pochodzą twiedzenia: zasadnicze twierdzenie o zbieżności martynga-

łów oraz teoria martyngałów z czasem odwróconym. Ponadto, jak już wspo-

mniałem, pochodzi z niej przykład zastosowania martyngałów w obliczaniu

granicy pochodnych Radona-Nikodyma. Co więcej twierdzenie 2.16 (o złoże-

niu martyngałów z funkcją wypukłą) też zostało tam opisane. Wykorzysty-

wane jest w uwadze dotyczącej nierówności maksymalnej dla martyngałów.

Często korzystałem z [7]. Zaczerpnąłem z niej elementy teori momentów za-

trzymania, większą część podrozdziału o zbieżności martyngałów (twierdze-

nie Dooba, twierdzenie o ciągu liczbowym i liczbie przejść w górę, wartości

oczekiwanej przejść w górę nadmartyngałów, nierówność Kołmogorowa oraz

nierówność maksymalną dla nadmaryngałów). Większość zastosowań mar-

tyngałów została zaczerpnięta z tego dzieła.

Z pozycji [2] pochodzi twierdzenie o dekompozycji Dooba. Notatki [4] by-

ły pomocne do zrozumienia roli martyngałów w wycenie instrumentów po-

chodnych. Natomiast opracowanie [6] zawierało twierdzenie o własnościach

ciągów stopu. Bardzo pomocna była pozycja [16], z której pochodzi twierdze-

nie Dooba o zbieżności oraz wniosek do twiedzenia o ograniczoności przejść w

6

górę nadmartyngału. Wykorzystałem też postępowanie użyte przez D. Wil-

liams’a do wykazania istnienia strategii hedgingu dla wyceny europejskiej

opcji kupna.

7

Rozdział 1

Wiadomości wstępne

Kluczowe dla naszych rozważań są pojęcia wartości oczekiwanej i warun-

kowej wartości oczekiwanej. Przypomnimy je w tej części pracy i dodatkowo

przytoczymy szereg innych pojęć i faktów z zakresu teorii miary i probabi-

listyki, które będziemy wykorzystywać, pośrednio lub bezpośrednio, w dal-

szych rozważaniach. Przedstawimy m. in. definicję σ−algebry, miary, całki,

a także ich własności, kilka klasycznych twierdzeń (Jegorowa, Riesza, Lebe-

sque’a o zmajoryzowanej zbieżności) oraz przykłady ilustrujące wprowadzane

pojęcia. Warte uwagi są umieszczone tutaj informacje dotyczące funkcji mie-

rzalnych. Możemy do nich zaliczyć różne rodzaje zbieżności ciągów funkcji

mierzalnych oraz twierdzenie o aproksymacji zmiennymi losowymi prostymi.

1.1 Teoria miary

Definicja 1.1. Rodzinę Σ podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub

σ-ciałem), gdy

1. X ∈ Σ,

2. Jeżeli A ∈ Σ, to dopełnienie A′ = (X \A) zbioru A także należy do Σ,

3. Jeśli ciąg zbiorów (An)n∈N jest zawarty w Σ, to⋃n∈N

An jest elementem

Σ.

8

Elementy σ−algebry nazywamy zbiorami mierzalnymi (dokładniej Σ−mierzal-

nymi).

Definicja 1.2. Niech C będzie rodziną podzbiorów zbioru Ω. Najmniejszą w

sensie inkluzji σ-algebrę σ(C) zawierającą wszystkie zbiory z C określamy ja-

ko σ−algebrę generowaną przez C- jest ona przekrojem wszystkich σ−algebr

zawierających C.

Przykład 1.1. Przykłady σ-algebr:

• Σ = ∅,Ω jest najmniejszą σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω.

• Jeżeli A ⊂ Ω, to σ(A) = ∅, A,A′,Ω.

• Największą σ-algebrą (w sensie inkluzji) jest Σ = 2Ω = P(Ω) tzn. zbiór

potęgowy zbioru Ω.

• Niech Ω będzie zbiorem nieskończonym, wtedy Σ = A ⊂ Ω : A lub (Ω\A) jest najwyżej przeliczalny jest σ-algebrą.

Dowód. Niech An ∈ Σ dla n ∈ N. Jeśli wszystkie zbiory An są prze-

liczalne, to ich suma∞⋃n=1

An jest także przeliczalna, a więc należy do

Σ. Jeżeli Ω \ Am jest przeliczalny dla pewnego m, to Ω \∞⋃n=1

An jest

najwyżej przeliczalny jako podzbiór zbioru Ω \ Am. Zatem∞⋃n=1

An ∈ Σ

również w tym przypadku. Jeżeli A ∈ Σ, to również Ω \A ∈ Σ, gdyż w

przypadku nieprzeliczalności zbioru A dopełnienie Ω\A jest przeliczal-

ne, a jeśli Ω\A jest przeliczalny, to z definicji rodziny Σ jest Ω\A ∈ Σ.

Zatem Σ jest rodziną zamkniętą na dopełnienie.

Uwaga. Do bardzo ważnych σ-algebr zalicza się σ-algebrę B(Ω) zbiorów

borelowskich przestrzeni topologicznej Ω = (Ω, τ). Tę σ-algebrę definiuje

równość B(Ω) = σ(τ). Nie jest rzeczą łatwą wskazanie zbioru A /∈ B(R)

(chociaż takich zbiorów jest wiele, gdyż dobrze wiadomo, że card B(R) = c

podczas gdy card P(R) = 2c > c).

9

Definicja 1.3. Miarą nazywamy funkcję µ: Σ→ [0,+∞] taką, że

• µ(∅) = 0

• µ(⋃n∈N

An) =∑n∈N

µ(An), gdy Ai ∩ Aj = ∅ dla i 6= j (tj. µ jest przeli-

czalnie addytywna)

Ponadto miarę µ na σ-algebrze podzbiorów zbioru Ω nazywamy:

• skończoną, gdy µ(Ω) <∞,

• σ-skończoną, gdy istnieje ciąg podzbiorów w Σ taki, że miara każdego

zbioru jest skończona oraz ich suma mnogościowa jest równa przestrzeni

Ω,

• probabilistyczną (unormowaną), gdy µ(Ω) = 1.

Uwaga. Każda miara µ jest skończenie addytywna, tj. µ(k⋃i=1

Ai) =k∑i=1

µ(Ai)

o ile Ai ∩ Aj = ∅ dla i 6= j. Istotnie, wystarczy przyjąć Ai = ∅ dla i > k.

Przykład 1.2. Przykłady miar.

1. Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, a µ:P(Ω)→ [0,+∞] funkcją taką,

że

µ(A) =

+∞ gdy card A> ℵ0

card(A) gdy card A< ℵ0.

Funkcja µ jest miarą nazywaną miarą liczącą.

2. Dla ustalonego elementu x0 ∈ Ω określamy µ:P(Ω)→ 0, 1 przyjmu-

jąc

µ(A) =

0 gdy x0 /∈ A1 gdy x0 ∈ A.

Wówczas µ jest miarą. Nazywamy ją miarą Diraca.

10

3. Niech Σ będzie σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. Funkcje ν, µ postaci

µ(A) =

0 gdy A = ∅+∞ gdy A 6= ∅

ν(A) = 0, dla każdego zbioru A ∈ Σ

są miarami. Nazywamy je miarami trywialnymi.

4. Niech (an) będzie ciągiem liczb nieujemnych. Równość µ(∅) = 0 i

µ(A) =∑n∈A

an = supk∈N

∑n∈1,...,k∩A

an dla A 6= ∅ definiuje miarę na P(N).

Dowód. Musimy pokazać przeliczalną addytywność miary µ. Niech (Ai)

będzie ciągiem zbiorów rozłącznych i niech A =⋃i∈N

Ai, a ponadto niech

wi,k =∑

n∈1,...,k∩Aian. Wówczas wi,k 6 wi,k+1 oraz wi,k µ(Ai). Dla

dowolnych j, k ∈ N mamy, wobec rozłączności zbiorów Ai, µ(A) >∑n∈1,...,k∩

j⋃i=1

Ai

an =j∑i=1

wi,k. Zatem dla każdego j będzie µ(A) >j∑i=1

µ(Ai),

a w konsekwencji µ(A) >∞∑i=1

µ(Ai). Ustalmy k ∈ N. Wtedy istnieje

j(k) ∈ N o własności

∑n∈1,...,k∩A

an =∑

n∈1,...,k∩j(k)⋃i=1

Ai

an =j(k)∑i=1

wi,k 6

6j(k)∑i=1

µ(Ai) 6∞∑i=1

µ(Ai).

Ponieważ k możemy wybrać dowolne, to µ(A) 6∞∑i=1

µ(Ai). Ostatecznie

µ(A) =∞∑i=1

(Ai).

5. Do ważniejszych miar należy miara Lebesgue’a.

11

Dla dowolnego A ⊂ Rn jego n-wymiarową miarą zewnętrzną Lebesgue’a

m∗n definiuje się wzorem

m∗n(A) =

= inf∞∑i=1

|Pi|:∞⋃i=1

Pi ⊃ A, Pi− przedziały ograniczone i domknięte w Rn,

przy czym przez |P | rozumiemy objętość przedziału n- wymiarowego,

tj. |P | =n∏i=1|Ii|, gdzie Ii są przedziałami jednowymiarowymi, takimi,

że P = I1 × I2 × ...× In, a |Ii| oznacza długość przedziału Ii.

Zbiory E ⊂ Rn spełniające tzw. warunek Caratheodory’ego

∀A⊂Rn m∗n(A) = m∗n(A \ E) +m∗n(A ∩ E)

tworzą σ-algebrę L zwaną σ-algebrą zbiorów Lebesgue’a mierzalnych,

a m∗n zawężona do L jest miarą- zawężenie to, oznaczane przez mn,

określa się mianem miary Lebesgue’a w Rn.

Dodatkowe informacje dotyczące miar zewnętrznych oraz miar Lebes-

gue’a można znaleźć w [1].

Twierdzenie 1.1. Niech µ będzie miarą określoną na σ-algebrze Σ podzbio-

rów zbioru Ω. Zachodzą wtedy następujące własności:

a. Jeżeli zbiory A,B ∈ Σ i A ⊂ B to µ(A) 6 µ(B).

b. Jeżeli zbiory A,B ∈ Σ i A ⊂ B oraz µ(A) <∞ to µ(B \ A) = µ(B)−µ(A).

c. Dla dowolnego ciągu (An)∞n=1 ⊂ Σ zachodzi µ(∞⋃n=1

An) 6∞∑n=1

µ(An).

d. Jeżeli A =∞⋃n=1

An, gdzie An ∈ Σ, An ⊂ An+1 dla n ∈ N to µ(A) =

limn→∞

µ(An).

e. Jeżeli A =∞⋂n=1

An, gdzie An ∈ Σ, An+1 ⊂ An dla n ∈ N i µ(Am) < ∞dla pewnego m ∈ N, to µ(A) = lim

n→∞µ(An).

12

Dowód. a. Niech A i B będą takimi zbiorami, że A ⊂ B. Ponieważ

A ∩ (B \ A) = ∅ to z addytywności miary µ mamy

µ(B) = µ(A) + µ(B \ A) > µ(A). (1.1)

b. Z zależności (1.1) i faktu µ(A) <∞ otrzymujemy

µ(B \ A) = µ(B)− µ(A).

c. Niech B1 = A1, Bn = An \n−1⋃i=1

Ai dla n > 2.

Wtedy (Bn)∞n=1 jest ciągiem zbiorów mierzalnych o właściwościach:

(a) Bn ⊂ An dla n ∈ N.

(b)∞⋃n=1

Bn =∞⋃n=1

An, a ponadto Bi∩Bj = ∅ dla i 6= j, i, j ∈ N. Istotnie

inkluzja Bn ⊂ An implikuje∞⋃n=1

Bn ⊂∞⋃n=1

An. Niech x0 ∈∞⋃n=1

An

i niech j będzie najmniejszą liczbą, dla której zachodzi x0 ∈ Aj.Wówczas x0 ∈ Bj ⊂

∞⋃n=1

Bn.

Zatem z faktu, że µ jest miarą otrzymujemy:

µ(∞⋃n=1

An) = µ(∞⋃n=1

(Bn)) =∞∑n=1

µ(Bn) 6∞∑n=1

µ(An).

d. Niech B1 = A1, Bn = An \ An−1 dla n = 2, 3, ...

Wówczas Bn ∈ Σ, Bi ∩Bj = ∅ dla i 6= j oraz i, j = 1, 2, ...

Ze względu na równość An =n⋃k=1

Bk otrzymujemy

µ(An) = µ(n⋃k=1

Bk) =n∑k=1

µ(Bk) (1.2)

oraz

µ(A) = µ(∞⋃k=1

Bk) =∞∑k=1

µ(Bk)

bo∞⋃k=1

Ak =∞⋃k=1

Bk. Wykorzystując równość (1.2) otrzymujemy µ(A) =

limn→∞

(n∑k=1

µ(Bk)) = limn→∞

µ(An).

13

e. Bez zmniejszania ogólności można przyjąć, że m = 1, bo∞⋂n=1

An =∞⋂n=m

An dla każdego m ∈ N. Niech Cn = A1 \ An. Wówczas C1 ⊂ C2 ⊂... ⊂ Cn ⊂ ... Stąd z własności b. oraz d. wynika, że µ(A1) − µ(A) =

µ(A1\A) = µ(A1\∞⋂n=1

An) = µ(∞⋃n=1

A1\An) = µ(∞⋃n=1

Cn) = limn→∞

µ(Cn) =

limn→∞

µ(A1 \ An) = limn→∞

[µ(A1)− µ(An)] = µ(A1)− limn→∞

µ(An)

Zatem otrzymujemy µ(A) = limn→∞

µ(An).

Przykład 1.3. Pokażemy teraz, że założenie µ(Am) <∞ jest istotne. Niech

Σ = B(R), An = [n,∞) oraz niech µ będzie miarą liczącą. Wtedy∞⋂n=1

An = ∅,An+1 ⊂ An dla n ∈ N oraz

µ(A) = µ(∞⋂n=1

An) = 0 6= limn→∞

µ(An) =∞

Definicja 1.4. Jeżeli Σ jest σ-algebrą w zbiorze Ω i µ jest miarą na Σ

to (Ω,Σ) nazywamy przestrzenią mierzalną, a trójkę (Ω,Σ, µ) nazywamy

przestrzenią z miarą.

Definicja 1.5. Zbiór R = R ∪ −∞,∞ nazywamy rozszerzonym zbiorem

liczb rzeczywistych.

Definicja 1.6. Niech (Ω,Σ) będzie przestrzeną mierzalną. Odwzorowanie

f : Ω→ R nazywa się mierzalnym (Σ-mierzalnym) jeśli

f−1(B) ∈ Σ dla każdego zbioru borelowskiego B.

Funkcje mierzalne nazywa się również zmiennymi losowymi, zwłaszcza w

przypadku przestrzeni probalistycznej. Jeżeli Σ = P(Ω) to każde odwzo-

rowanie jest mierzalne, a jeśli Σ = ∅,Ω to mierzalne są tylko funkcje stałe.

Warto pamietać, że na mierzalność funkcji f potrzeba i wystarcza, aby ω :

f(ω) < r ∈ Σ dla wszystkich r ∈ R (lub równoważnie ω : f(ω) > r ∈ Σ

dla dowolnego r ∈ R).

Definicja 1.7. Funkcję χA : Ω → R nazywamy funkcją charakterystyczną

zbioru A ⊂ Ω, gdy jest ona postaci

14

χA(x) =

1 dla x ∈ A0 dla x /∈ A.

Przykład 1.4. Przykłady odwzorowań mierzalnych.

1. Gdy f : Ω → R jest dowolnym odwzorowaniem stałym, to f jest mie-

rzalna. Istotnie, dla f(Ω) = y0 jest

f−1(A) =

∅ gdy y0 /∈ AΩ gdy y0 ∈ A.

2. Niech f : Ω→ R przyjmuje przeliczalnie wiele wartości, przy czym każdą

z nich na zbiorze mierzalnym, to znaczy f(Ω) = ri : i ∈ N oraz

f−1(ri) ∈ Σ. Ponieważ dla dowolnego zbioru B jest B ∩ ri = ∅lub B ∩ ri = ri to przyjmując I = i : B ∩ ri 6= ∅ możemy

napisać f−1(B) = f−1(B ∩ f(Ω)) =⋃i∈If−1(ri) ∈ Σ gdyż f−1(ri) ∈

Σ, a I jest najwyżej przeliczalny. Szczególnym przypadkiem takiego

odwzorowania jest funkcja charakterystyczna χA zbioru A ∈ Σ.

Twierdzenie 1.2. Niech f : Ω → R będzie funkcją mierzalną i niech g :

R→ R będzie B(R) mierzalna. Wtedy złożenie g f jest Σ-mierzalne.

Definicja 1.8. Niech Σ będzie σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. Funkcję f :

Ω→ R nazywamy prostą, gdy spełnione są warunki:

1. f(Ω) jest zbiorem skończonym.

2. ∀y∈f(Ω) f−1(y) ∈ Σ.

Zatem funkcja f : Ω → R jest prosta wtedy i tylko wtedy, gdy jest mie-

rzalna i ma skończony zbiór wartości.

Przypomnimy teraz kilka rodzajów zbieżności ciągów funkcyjnych i twier-

dzenia pokazujące związki między tymi rodzajami zbieżności.

15

Definicja 1.9. Ciąg funkcji mierzalnych (fn) jest zbieżny µ−prawie wszędzie

do funkcji mierzalnej f , gdy

∃A∈Σ ∧ µ(A)=0∀ω∈(Ω\A) fn(ω)→ f(ω).

Gdy mówimy o mierze probablistycznej P powyższy warunek możemy sfor-

mułować następująco:

P (ω: limn→∞

fn(ω) = f(ω)) = 1.

Definicja 1.10. Mówimy, że funkcja f : Ω→ R jest µ-prawie wszędzie skoń-

czona, gdy jest skończona z wyjątkiem wartości przyjmowanych w punktach

pewnego zbioru miary zero.

Definicja 1.11. Mówimy, że ciąg funkcji mierzalnych (fn), określony na

przestrzeni (Ω,F , µ) jest jednostajnie zbieżny na Ω do funkcji mierzalnej f ,

jeśli

∀ε>0∃N(ε)∀ω∈Ω∀n>N |fn(ω)− f(ω)| < ε.

Definicja 1.12. Mówimy, że ciąg funkcji mierzalnych (fn) określonych na

przestrzeni (Ω,F , µ) jest zbieżnym punktowo do funkcji mierzalnej f , kiedy

zachodzi

∀ω∈Ω lim fn(ω) = f(ω).

To znaczy, że

∀ε>0∀ω∈Ω∃N(ε,ω)∀n>N |fn(ω)− f(ω)| < ε.

Twierdzenie 1.3. (Jegorowa) Niech (Ω,Σ, µ) będzie przestrzenią miary

skończonej i niech f, fn: Ω → R dla n ∈ N będą funkcjami mierzalnymi, µ-

prawie wszędzie skończonymi. Jeżeli fn → f µ-prawie wszędzie to fn → f µ

niemal jednostajnie na Ω tzn.

∀δ>0∃A∈Σ µ(Ω \ A) < δ i fn → f jednostajnie na A.

W konsekwencji istnieje ciąg rosnący (Ek) zbiorów mierzalnych taki, że

µ(X \∞⋃k=1

Ek) = 0 i fn → f jednostajnie na każdym Ek, a zatem jeżeli

funkcje są mierzalne i zbieżne punktowo to istnieją zbiory, na których są

zbieżne jednostajnie.

16

Definicja 1.13. Niech (Ω,Σ, µ) będzie przestrzenią z miarą i niech f, fn :

Ω → R będą funkcjami mierzalnymi. Mówimy, że ciąg fn jest zbieżny

według miary µ do f (fnµ→ f) na zbiorze E ∈ Σ jeżeli

∀ε>0 limn→∞

µ(x ∈ E: |fn(x)− f(x)| > ε) = 0.

Gdy µ jest miarą probabilistyczą P to mówimy, że ciąg jest zbieżny według

prawdopodobieństwa i piszemy wówczas XnP→ X.

Przykład 1.5. Przytoczymy teraz przykłady ciągów funkcyjnych, które przy-

bliżą pojęcie zbieżności według miary.

1. Niech fn(x) = xn dla x ∈ [0, 1]. Oznaczmy przez m miarę Lebesgue’a

na R. Pokażemy, że ciąg fn jest zbieżny według miary do f(x) = 0.

Istotnie, m(x ∈ [0, 1] : xn > ε) =

=

m(∅) dla ε > 1

m([ n√ε, 1)) dla ε ∈ (0, 1)

=

0 dla ε > 1

1− n√ε dla ε ∈ (0, 1)

Stąd limn→∞

m(x ∈ [0, 1] : |xn| > ε) = 0

2. Niech In,k = [k−12n ,

k2n ) dla n ∈ N, k = 1, 2, 3, ..., 2n. Ustawiamy przedzia-

ły w ciąg (Jm) następująco: I1,1, I1,2, I2,1, I2,2, I2,3, I2,4, ... Wówczas

χJm → 0 według miary Lebesgue’a, ale nie jest on zbieżny w żadnym

punkcie przedziału [0, 1).

Twierdzenie 1.4. (Riesza) Jeżeli ciąg (fn) funkcji mierzalnych fn : Ω→ Rµ- prawie wszędzie skończonych jest zbieżny według miary do funkcji mie-

rzalnej f : Ω→ R µ-prawie wszędzie skończonej na E ∈ Σ to istnieje podciąg

(fnk)∞k=1 ciagu (fn) taki, że fnk → f µ- prawie wszędzie na Ω.

Dowód poniższego twierdzenia sformułowanego dla zmiennych losowych

na przestrzeni probabilistycznej można znaleźć w [9]. To twierdzenie zostanie

udowodnione, ponieważ w dalszej części pracy będzie wiele odwołań do niego.

Ponadto bardzo ciekawy jest sposób konstrukcji ciągu zmiennych losowych

prostych.

Twierdzenie 1.5. Jeżeli f : Ω→ [0,+∞] jest funkcją mierzalną to istnieje

ciąg (Sn)∞n=1 mierzalnych funkcji prostych określonych na Ω takich, że

17

1. ∀n∈N 0 6 Sn 6 Sn+1 6 f

2. ∀x∈Ω limn→∞

Sn(x) = f(x).

Dowód. Dla każdego n ∈ N i i ∈ 1, 2, ..., n2n przyjmujemy

Eni = f−1([i− 12n

,i

2n)) = x ∈ X :

i− 12n6 f(x) <

i

2n

Fn = f−1([n,∞)) = x ∈ X : f(x) > n

z mierzalności funkcji f wynika, że Eni, Fn ∈ Σ dla n ∈ N, i ∈ 1, 2, ..., n2nJeśli zdefiniujemy funkcję prostą

Sn =n2n∑i=1

i− 12n

χEni + nχFn

to zachodzi warunek 1., bo i−12n 6 f(x) < i

2n wtedy i tylko wtedy, gdy 2(i−1)2n+1 6

f(x) < 2i2n+1 i dlatego ciąg (Sn) nie może być malejący.

Wykażemy, że zachodzi 2.

Jeśli x ∈ Ω, f(x) < +∞ oraz n ∈ N to x ∈ Eni dla pewnego i, a więc

|f(x)− Sn(x)| = |f(x)− i− 12n| = f(x)− i− 1

2n<

i

2n− i− 1

2n=

12n.

Stąd limn→∞

Sn(x) = f(x)

Jeżeli f(x) = +∞ to Sn(x) = n, czyli limn→∞

Sn(x) = +∞ = f(x)

Jeżeli funkcja f jest ograniczona to powyższa konstrukcja ciągu Sn pro-

wadzi do jednostajnej zbieżności.

Definicja 1.14. Jeżeli f : Ω→ R jest funkcją, to przez jej część dodatnią, od-

powiednio ujemną, rozumie się funkcje f+, f− postaci f+(x) = maxf(x), 0oraz f−(x) = max−f(x), 0.

Definicja 1.15. (Całki z funkcji mierzalnej) Niech (Ω,Σ, µ) będzie prze-

strzenią z miarą, wtedy:

• Jeśli f jest nieujemną funkcją mierzalną prostą w postaci kanonicznej

f =n∑k=0

ckχAk , gdzie f(Ω) = c1, ..., cn, An = f−1(cn) ∈ Σ, to

przyjmuje się∫Ωfdµ =

n∑k=1

ckµ(Ak). (Zakładamy, że ∞ · 0 = 0 · ∞ = 0).

18

• Jeżeli f : X → R+ jest funkcją mierzalną, to przyjmujemy∫Ω

fdµ = sup∫Ω

sdµ : s-funkcja prosta mierzalna taka, że 0 6 s 6 f

• Jeśli f : Ω→ R jest mierzalna, to∫Ω

fdµ =∫Ω

f+dµ−∫Ω

f−dµ

o ile chociaż jedna z całek po prawej stronie jest skończona.

• Funkcję f : Ω→ R nazywamy całkowalną, gdy jej całka∫Ωfdµ istnieje

i jest skończona.

• Gdy istnieje całka∫Ωfdµ, to dla A ∈ Σ przyjmuje się

∫A

fdµ =∫Ω

fχAdµ.

Twierdzenie 1.6. (Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej) Niech

(fn)∞n=1 będzie ciągiem funkcji mierzalnych na przestrzeni (Ω,Σ, µ) takim,

że:

1. fn → f µ-prawie wszędzie lub wg miary µ.

2. Istnieje funkcja g całkowalna względem miary µ taka, że ∀n∈N |fn| 6 g

µ-prawie wszędzie.

Wtedy

1. f jest całkowalna,

2. limn→∞

∫Ω|fn − f |dµ = 0,

3. limn→∞

∫Ωfndµ =

∫Ωfdµ.

19

1.2 Elementy probabilistyki

Definicja 1.16. σ-algebrą generowaną przez zmienną losową X nazywamy

najmniejszą σ-algebrę względem której X jest mierzalna.

Definicja 1.17. Mówimy, że zmienna losowa X na przestrzeni probabili-

stycznej (Ω,Σ, P ) jest

• dyskretna, gdy istnieje przeliczalny podzbiór A w R taki, że P (Ω \X−1(A)) = 0.

• ciągła, gdy istnieje funkcja fX : R → R całkowalna w sensie Lebes-

gue’a względem miary Lebesgue’a taka, że P (X−1(E)) =∫EfX(t)dt dla

każedego E ∈ B(R). Funkcję fX nazywamy gestością zmiennej losowej

X.

Definicja 1.18. Wartością oczekiwaną zmiennej losowej określownej na prze-

strzeni probalistycznej (Ω,Σ, P ) nazywamy liczbę

E[X] =∫Ω

XdP,

gdy powyższa całka istnieje.

Definicja 1.19. Zmienne losowe X1...Xn na przestrzeni probabilistycznej

(Ω,Σ, P ) nazywamy niezależnymi , gdy

P (X−11 (E1) ∩ ... ∩X−1

n (En)) = P (X−11 (E1)) · ... · P (X−1

n (En))

dla dowolnego n i dowolnych E1, .., En ∈ B(R).

Twierdzenie 1.7. (Własności wartości oczekiwanej).

1. Jeżeli X = χA, to E[X] = P (A).

2. Jeżeli X > 0, to E[X] > 0.

3. E[aX + bY ] = aE[X] + bE[Y ], gdzie a,b ∈ R o ile istnieją E[X] i E[Y ].

20

4. Jeżeli X > Y , to E[X] > E[Y ].

5. |E[X]| 6 E[|X|].

6. JeżeliX i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, to E[XY ] = E[X]E[Y ].

Dowód. Dowód powyższego twiedzenia znależć można w [9]. Uzasadnienie

punktów 3. i 6. wymaga twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem

całki (twierdzenie B. Levi’ego). Celem skrócenia rozważań, zasygnalizowania

jedynie idei dowodu, w tych częściach ograniczymy się do szczególnego przy-

padku funkcji prostych. Z tych samych powodów wykażemy 4. przyjmując

dodatkowo, iż E[Y ] ∈ R.

1. Ponieważ χA jest dwuwartościową funkcją prostą oraz A = χ−1A (1),

Ω \A = χ−1A (0), to z definicji całki E[χA] = 1 ·P (A) + 0 ·P (Ω \A) =

P (A).

2. Wynika od razu z definicji całki.

3. Niech X =k∑i=1

xiχAi , Y =m∑j=1

yjχBj będą funkcjami prostymi w postaci

kanonocznej. Ze względu na Ai1 ∩ Ai2 = ∅ = Bj1 ∩ Bj2 dla różnych

indeksów i1, i2 ∈ 1, ..., k, j1, j2 ∈ 1, ...,m oraz równościk⋃i=1

Ai =m⋃j=1

Bi = Ω otrzymujemy

E[aX + bY ] = E[k∑i=1

m∑j=1

(axi + byj)χAi∩Bj ] =

=k∑i=1

m∑j=1

(axi+byj)P (Ai∩Bj) = ak∑i=1

xiP (Ai∩m⋃j=1

Bj)+bm∑j=1

yjP (Bj∩k⋃i=1

Ai) =

= ak∑i=1

xiP (Ai) + bm∑j=1

yjP (Bj) = E[X] + E[Y ].

4. Ponieważ X − Y > 0, to E[X − Y ] istnieje i korzystając z 3. oraz 2.

otrzymujemy E[X] = E[X − Y ] + E[Y ] > E[Y ].

21

5. Ze względu na własność 2. i 3. możemy napisać

|E[X]| =

∣∣∣∣∣∣∫Ω

X+dP −∫Ω

X−dP

∣∣∣∣∣∣ 6∣∣∣∣∣∣∫Ω

X+dP

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∫Ω

X−dP

∣∣∣∣∣∣ =

=∫Ω

X+dP +∫Ω

X−dP =∫Ω

(X+ +X−)dP =∫Ω

|X|dP = E[|X|].

6. Jeżeli X =k∑i=1

xiχAi , Y =m∑j=1

yjχBj są niezależnymi funkcjami pro-

stymi w postaci kanonicznej, to E[XY ] =k∑i=1

m∑j=1

xiyjP (Ai ∩ Bj). Po-

nieważ zbiory jednopuktowe są borelowskie oraz Ai = X−1(xi), Bj =

Y −1(yi), to niezależność funkcjiX i Y oznacza P (Ai∩Bj) = P (Aj)P (Bj),

a stąd

E[XY ] =k∑i=1

m∑j=1

xiP (Ai)yjP (Bj) =

= (k∑i=1

xiP (Ai))(m∑j=1

yjP (Bj)) = E[X]E[Y ].

Przykład 1.6. Przykłady zmiennych losowych i ich wartości oczekiwanych.

• Niech X będzie taką zmienną losową, że P (X = 1) = p oraz

P (X = −1) = 1− p, gdzie p ∈ [0, 1]. Wtedy

E[X] = 1 · p+ (−1) · (1− p) = p− 1 + p = 2p− 1.

• Niech X będzie zmienną losową ciągłą dla której fX(x) = 1λe−

xλχ(0,∞),

gdzie λ > 0. Wtedy

E[X] =∞∫0

x

λe−

xλdx =

∞∫0

zλe−zdz = λ

∞∫0

ze−zdz =

= λ[−ze−z|∞0 +∞∫0

e−zdz] = λ[−ze−z − e−z]∞0 = λ.

22

Definicja 1.20. Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę

V ar(X) = E[[X − E(X)]2]

jeśli wartość oczekiwana po prawej stronie nierówności istnieje. Ponadto licz-

bę√V ar(X) nazywamy odchyleniem standardowym. Zauważmy, że z włas-

ności wartości oczekiwanej wynika

V ar(X) = E[X2]− [E[X]]2.

Definicja 1.21. Niech (Ω,Σ, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Niech

X będzie zmienna losową na (Ω,Σ, P ) taką, że E[|X|] <∞. Niech A będzie

σ-algebrą podzbiorów zawartą w Σ. Zmienną losową Y nazywamy warun-

kową wartością oczekiwaną zmiennej X względem σ-algebry A i oznaczamy

symbolem E[X|A], gdy

∀E∈A∫E

Y dP =∫E

XdP.

Istnienie warunkowej wartości oczekiwanej wynika z twierdzenia Radona-

Nikodyma (patrz podrozdział 3.6).

Niech X będzie zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej (Ω,Σ, P )

i niech (En) będzie ciągiem parami rozłącznych elementów Σ takich, że

P (En) > 0 oraz∞⋃n=1

En = Ω. Ponadto przez A oznaczmy σ-algebrę gene-

rowaną przez ciąg (En). Wówczas

E[X|A] =∞∑n=1

∫En

XdP

P (En)χEn prawie wszędzie.

Ponieważ E[X|A] jest A mierzalna, to na każdym zbiorze En funkcja E[X|A]

ma stałą wartość en. Z definicji warunkowej wartości mamy

enP (En) =∫En

XdP

Zatem na każdym En

E[X|A] =

∫En

XdP

P (En)Stąd otrzymujemy tezę.

23

Definicja 1.22. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych (Xn), określony na

przestrzeni (Ω,F , P ) jest zbieżny według p-tej średniej (0 < p < ∞) do

zmiennej losowej X , gdy

limn→∞

E(|Xn −X|p) = 0

Symbolicznie fakt zbieżności wg p-tej średniej odnotowywać będziemy pisząc

XnLp→ X.

Twierdzenie 1.8. Własności warunkowej wartości oczekiwanej.

Niech X, Y : Ω → R będą Σ-mierzalne i niech A ⊂ Σ będzie σ-algebrą.

Wówczas

1. Jeśli X jest stała, to E[X|A] jest również stała P-prawie wszędzie.

2. Dla liczb a, b zachodzi E[aX + bY |A] = aE[X|A] + bE[Y |A] P-prawie

wszędzie.

3. Jeśli X 6 Y to E[X|A] 6 E[Y |A] P-prawie wszędzie.

4. E[X|∅,Ω] = E[X]χΩ.

5. E[X|Σ] = X P -prawie wszędzie.

6. Jeżeli G,H są σ-algebrami oraz G ⊂ H ⊂ Σ toE[E[X|H]|G] =E[X|G] =

E[E[X|G]|H] P-prawie wszędzie.

7. Dla każdej σ-algebry A ⊂ Σ zachodzi E[E[X|A]] = E[X].

8. Niech ciąg zmiennych losowych (Xn) będzie zbieżny do zmiennej loso-

wej X z prawdopodobieństwem 1, oraz niech |Xn| 6 Y , gdzie zmienna

losowa Y jest całkowalna. Wtedy limn→∞

E[Xn|A] = E[X|A] z prawdo-

podobieństwem 1.

9. Jeżeli G ⊂ Σ jest σ-algebrą oraz zmienna losowa X jest G- mierzalna

i ponadto zmienne losowe X, oraz XY są całkowalne to E[XY |G] =

XE[Y |G] P-prawie wszędzie.

24

Dowód. Dowód został oparty na [1] oraz [9].

1. Niech X(ω) = c. Wtedy dla każdego A ∈ A jest∫AE[X|A]dP =∫

AXdP =

∫AcdP . Stąd E[X|A] = c (P-prawie wszędzie).

2.∫AE[aX + bY |A]dP =

∫A

(aX + bY )dP = a∫AXdP + b

∫A Y dP =

= a∫AE[X|A]dP + b

∫AE[Y |A]dP =

∫A

(aE[X|A] + bE[Y |A])dP . Z do-

wolności A ∈ A otrzymujemy tezę.

3. Niech X 6 Y . Dla każdego zbioru E ∈ Σ z definicji całki otrzymu-

jemy∫EXdP 6

∫EY dP . W szczególności nierówność zachodzi dla zbio-

rów A ∈ A. Zatem z definicji warunkowej wartości oczekiwanej mamy∫AE[X|A]dP 6

∫AE[Y |A]dP przy wszystkich A ∈ A skąd wynika żąda-

na nierówność.

4. Ponieważ funkcje ∅,Ω-mierzalne są stałe, to E[X|∅,Ω] = c. W

konsekwencji

c = cP (Ω) =∫Ω

E[X|∅,Ω]dP =∫Ω

XdP = E[X].

5. Ponieważ∫AE[X|Σ]dP =

∫AXdP dla wszystkich A ∈ Σ, to E[X|Σ] = X

P-prawie wszędzie.

6. Z definicji dla każdego zbioru A ∈ G jest∫AE[X|G]dP =

∫AXdP

Ale z założenia A ∈ G pociąga A ∈ H i dlatego∫A

E[E[X|H]|G]dP =∫A

E[X|H]dP =∫A

XdP =∫A

E[X|G]dP

dla każdego A ∈ G, a więc

E[E[X|H]|G] = E[X|G] P-prawie wszędzie.

Ponieważ E[X|G] jest G-mierzalna, to jest także H-mierzalna. Stosując

5. dla Σ = H otrzymujemy

E[E[X|G]|H] = E[X|G] P-prawie wszędzie.

25

7. Z definicji wartości oczekiwanej mamy E[E[X|A]] =∫ΩE[X|A]dP =∫

ΩXdP = E[X].

8. NiechXn → X prawie wszędzie. Funkcje Zn = supk>n|Xk−X| są Σ−mierzalne,

(Zn) jest nierosnacy oraz limn→∞

Zn = lim supn→∞

|Xn −X| = 0 prawie wszę-

dzie, a także |Zn| = Zn 6 2Y . Ponadto

|E[Xn|A]− E[X|A]| = |E[Xn −X|A]| 6 E[|Xn −X||A] 6 E[Zn|A].

(1.3)

Ciąg (E[Zn|A]) jest nierosnącym (patrz część 3) ciągiem funkcji nie-

ujemnych, więc istnieje (prawie wszędzie) f = limn→∞

E[Zn|A]. Ponadto

E[Zn|A] 6 2E[Y |A] i funkcja E[Y |A] jest całkowalna wobec całkowal-

ności zmiennej Y oraz części 7. Wykorzystując twierdzenie Lebesgue’a

o zmajoryzowanej zbieżności możemy, dla dowolnego zbioru A ∈ A,

napisać ∫A

fdP =∫A

limn→∞

E[Zn|A]dP = limn→∞

∫A

E[Zn|A]dP =

= limn→∞

∫A

ZndP =∫A

limn→∞

ZndP = 0

W konsekwencji f = 0 prawie wszędzie, tj. E[Zn|A]→ 0 prawie wszę-

dzie, co oczywiście oznacza (wobec 1.3), że E[Xn|A]→ E[X|A] prawie

wszędzie.

9. Dowód tej równości przeprowadzimy w kilku krokach. Najpierw udo-

wodnimy ją dla X = χA gdzie A ∈ G. Zauważmy, że zmienna losowa

χAE(Y |G) jest G-mierzalna.

Dla dowolnego B ∈ G prawdziwe są równości∫B

E[(χAY )|G]dP =∫B

χAY dP =∫

A∩B

Y dP =

=∫

A∩B

E[Y |G]dP =∫B

χAE[Y |G]dP

26

Stąd E[(χA)Y |G] = χAE[Y |G] prawie wszędzie.

Dalej, dla X =n∑i=1

aiχBi oraz Bi ∈ G (i = 1, ..., n) otrzymujemy

∫B

E[(XY )|G]dP =∫B

XY dP =n∑i=1

ai

∫B∩Bi

Y dP =

=n∑i=1

ai

∫B∩Bi

E[Y |G]dP =n∑i=1

ai

∫B

χBiE(Y |G)dP =

=∫B

n∑i=1

aiχBiE[Y |G]dP =∫B

XE[Y |G]dP

Zatem E[(XY )|G] = XE[Y |G] prawie wszędzie.

Niech (X1n), (X2

n) będą ciągami zmiennych losowych prostych takimi,

że 0 6 X1n X+, 0 6 X2

n X− (patrz twierdzenie 1.5). Zachodzi

|X1n −X2

n| 6 |X|, a więc na mocy 8. oraz 2. możemy napisać

E[(XY )|G] = limn→∞

E[(X1n −X2

n)Y |G] =

= limn→∞

E[(X1nY )|G]− lim

n→∞E[(X2

nY )|G] =

= limn→∞

X1nE[Y |G]− lim

n→∞X2nE[Y |G] =

= X+E[Y |G]−X−E[Y |G] = XE[Y |G].

27

Rozdział 2

Martyngały i ich własności

W niniejszym rozdziale zostaną opisane podstawowe pojęcia i twierdzenia

związane z martyngałami. W pierwszym podrozdziale wprowadzimy pojęcie

martyngału i zilustrujemy je przykładami. Następnie zostanie opisane zagad-

nienie momentów stopu wraz z ich podstawowymi własnościami. W kolejnym

podrozdziale dotyczącym zbieżności martyngałów przytoczymy twierdzenia,

które można spotkać w prawie każdym opracowaniu dotyczącym martynga-

łów. Można wymienić tutaj twierdzenie Dooba lub zasadnicze twierdzenie o

zbieżności. Ponadto badane są tutaj własności tzw. przejść w górę. Dalej opi-

szemy ważne nierówności martyngałowe, takie jak nierówność maksymalna

dla podmartyngałów, która jest uogólnieniem nierówności Kołmogorowa. W

ostatnim podrozdziale wspomnimy o przypadku martyngałów z czasem od-

wróconym. Procesy te mają wiele ciekawych własności, które warto pokazać.

2.1 Podstawowe pojęcia i przykłady

Definicja 2.1. Niech (Ω,Σ, P ) będzie przestrzenią probabilistystyczną i niech

T będzie podzbiorem zbioru R+ ∪ 0. Rodzinę zmiennych losowych Xt :

t ∈ T na przestrzeni (Ω,Σ, P ) nazywamy procesem stochastycznym. Tra-

jektorią (realizacją procesu) zdarzenia s ∈ Ω nazywamy funkcję rzeczywistą

t → Xt(s). Zbiór Xt(s) : s ∈ Ω, t ∈ T nazywamy przestrzenią stanów.

28

Zbiór T interpretujemy jako czas.

Przykład 2.1. (Błądzenie losowe na Z) Niech (Xn) będzie ciągiem nieza-

leżnych dyskretnych zmiennych losowych przyjmujących wartości w zbiorze

liczb całkowitych Z. Definiujemy

S0 = 0,

Sn = X1 + ...+Xn dla n ∈ N.

Ciąg (Sn) nazywamy błądzeniem losowym.

Definicja 2.2. Niech (Ω,Σ, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną i niech

T będzie podzbiorem zbioru R+ ∪ 0.Filtracją nazywamy niemalejącą rodzinę σ-algebr Ft : t ∈ T tzn. Fs ⊂Ft ⊂ Σ dla s, t ∈ T i s < t.

Mówimy, że proces stochastyczny Xt : t ∈ T (T ⊂ R+ ∪ 0) jest zgodny z

filtracją Ft (lub jest do niej adaptowalny), gdy Xt jest mierzalna względem

Ft dla każdego t ∈ T . Piszemy wówczas Xt,Ft, t ∈ T.Proces stochastyczny Xt,Ft, t ∈ T jest martyngałem, gdy:

1) E[|Xt|] <∞ dla wszystkich t ∈ T ,

2) E[Xt|Fs] = Xs dla wszystkich t ∈ T takich, że s < t.

Jeżeli drugi warunek zmienimy na

E[Xt|Fs] 6 Xs dla dowolnych s < t,

to proces nazywamy nadmartynagałem.

Natomiast w przypadku, gdy

E[Xt|Fs] > Xs dla dowolnych s < t,

to proces nazywamy podmartynagałem.

29

Warto zauważyć, iż gdy Xt,Ft, t ∈ T jest podmartyngałem to −Xt,Ft, t ∈T jest nadmartyngałem.

Jeśli T = N ∪ 0 to na to, aby proces Xt,Ft, t ∈ T był martynga-

łem potrzeba i wystarcza, aby E[Xn+1|Fn] = Xn dla wszytkich n. Istot-

nie, dla każdego k > 1 mamy E[Xn+k|Fn] = E[E[Xn+k|Fn]|Fn+k−1] =

E[E[Xn+k|Fn+k−1]|Fn] = E[Xn+k−1|Fn]. Postępując indukcyjnie mamy

E[Xn+k|Fn] = E[Xn+1|Fn] = Xn.

Przykład 2.2. Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych

o własności E[Xn] = 0 dla n ∈ N. Wówczas ciąg zmiennych losowych M0 =

0, Mn =n∑i=1

Xi jest martyngałem względem σ−algebr Fn generowanych przez

X1, X2, ..., Xn.

Dowód.

E[Mn+1|Fn] = E[Mn +Xn+1|Fn] = E[Mn|Fn] + E[Xn+1|Fn]

Ponieważ zmienne losowe X1, ..., Xn, Xn+1 są niezależne, a Fn jest σ-algebrą

generowaną przez X1, ..., Xn to (patrz [15] uwaga(x) strona 160)∫A

Xn+1dP = P (A)∫Ω

Xn+1dP dla A ∈ Fn.

W konsekwencji, gdy A ∈ Fn to∫A

E[Xn+1|Fn]dP =∫A

Xn+1dP = P (A)E[Xn] = 0,

więc E[Xn+1|Fn] = 0 prawie wszędzie. Ostatecznie

E[Mn+1|Fn] = E[Mn|Fn] + E[Xn+1|Fn] = Mn.

Przykład 2.3. Niech Xn : n ∈ N będą ciągiem niezależnych zmiennych

losowych takich, że E[Xn] = 0 i V ar[Xn] = σ2 dla n ∈ N.

Definiujemy M0 = 0, Mn = (n∑i=1

Xi)2 − nσ2. Wówczas Mn : n ∈ N ∪ 0jest martyngałem względem σ-algebr Fn generowanych przez X1, X2, ..., Xn.

30

Dowód. W poniższym dowodzie wykorzystałem elementy rozumowania za-

wartego w [2].

Niech Sn =n∑i=1

Xi. Zauważmy najpierw, iż σ2 = V ar[Xi] = E[X2i ]−E2[Xi] =

E[X2i ] dla i ∈ N. Sprawdzimy warunek skończonej wartości oczekiwanej. Ko-

rzystając z niezależności zmiennych losowych Xi otrzymujemy

E[S2n] = E[(

n∑k=1

Xk)2] = E[n∑k=1

X2k + 2

n−1∑j=1

n∑k=j+1

XjXk] =

=n∑k=1

E[X2k ] + 2

n−1∑j=1

n∑k=j+1

E[Xj]E[Xk] = nσ2.

Zatem E[|Mn|] = E[|S2n − nσ2|] 6 E[S2

n] + nσ2 = 2nσ2 <∞.

Zachodzi następująca równość:

E[Mn+1|Fn] = E[S2n+1 − (n+ 1)σ2|Fn] = E[(Sn +Xn+1)2 − (n+ 1)σ2|Fn] =

= E[S2n + 2SnXn+1 +X2

n+1 − (n+ 1)σ2|Fn] = E[S2n|Fn] + 2E[SnXn+1|Fn] +

E[X2n+1|Fn]− E[(n+ 1)σ2|Fn].

Dla dowolnego zbioru A ∈ Fn mamy∫A

E[X2n+1|Fn] =

∫A

X2n+1dP = P (A)

∫Ω

X2n+1dP =

= P (A)σ2 =∫A

σ2dP =∫A

σ2χΩdP,

a zatem E[X2n+1|Fn] = σ2χΩ prawie wszędzie.

Ponieważ, ze względu na niezależność Xn+1 od Fn mamy dla dowolnego A ∈Fn, równość

∫AE[Xn+1|Fn]dP =

∫AXn+1dP = P (A)E[Xn+1] = 0, a zatem

E[Xn+1|Fn] = 0 prawie wszędzie. Otrzymujemy więc

E[S2n|Fn] + 2E[SnXn+1|Fn] + E[X2

n+1|Fn]− E[(n+ 1)σ2|Fn] =

= S2n + 2SnE[Xn+1|Fn] + σ2χΩ − (n+ 1)σ2χΩ = S2

n − nσ2χΩ = Mn.

2.2 Momenty zatrzymania

Definicja 2.3. Zmienną losową τ przyjmującą wartości w T∪∞ nazywamy

momentem stopu (momentem zatrzymania) dla filtracji Ft, gdy

τ 6 t ∈ Ft dla wszytkich t ∈ T .

31

Twierdzenie 2.1. Niech T będzie przeliczalnym podzbiorem zbioru R+ ∪0. Zmienna losowa τ : Ω → T ∪ +∞ jest momentem stopu względem

filtracji (Ft)t∈T wtedy i tylko wtedy, gdy τ = t ∈ Ft dla każdego t ∈ T .

Dowód. Teza wynika z następujących równości.

τ 6 t =⋃

T3s6tτ = s oraz τ = t = τ 6 t \

⋃s6t∧s 6=t

τ 6 s.

Twierdzenie 2.2. 1. Dla dowolnego momentu stopu τ zdarzenie τ < tnależy do σ−algebry Ft dla każdego t ∈ T = [0,∞].

2. Niech T = R+ ∪ 0 i niech filtracja Ft, t ∈ T spełnia warunek Ft =⋂t<s, t,s∈T

Fs. Jeśli τ : Ω → R+ ∪ ∞ jest zmienną losową oraz τ < t ∈ Ftdla każdego t ∈ T to τ jest momentem stopu.

Dowód. Wzorując się na dowodzie twierdzenia zawartego w [6] (strona 68)

możemy napisać

τ < t =∞⋃k=1

τ 6 t− 1

k

∈ Ft oraz τ 6 t =

⋂n

τ < t+

1n

∈ Ft.

Twierdzenie 2.3. (Własności momentów stopu).

a. Niech T = [0,∞]. Jeżeli τ1, τ2 są momantami stopu, to

• τ1 ∧ τ2 = min(τ1, τ2)

• τ1 ∨ τ2 = max(τ1, τ2)

• τ1 + τ2

są momentami stopu.

b. Niech τn, gdzie n ∈ N są momentami stopu i niech T = [0,∞]. Wtedy

supnτn i inf

nτn są momentami stopu.

32

c. Niech τ będzie momentem stopu, oraz niech T = [0,∞]. Wtedy istnieje

ciąg momentów stopu (τn)∞n=1 przyjmujących skończoną liczbę wartości,

takich że τn ↓ τ .

Dowód. Postępująć analogicznie jak w [6] str. 79 możemy napisać:

a. τ1 ∧ τ2 6 t = τ1 6 t ∪ τ2 6 t ∈ Ft,τ1 ∨ τ2 6 t = τ1 6 t ∩ τ2 6 t ∈ Ftτ1 + τ2 < t =

⋃s,u∈Q∩T,s+u<t

τ1 < s ∩ τ2 < u ∈ Ft

b. supnτn 6 t =

⋂nτn 6 t ∈ Ft

infnτn < t =

⋃nτn < t ∈ Ft

c. Wystarczy zdefiniować momenty stopu następująco:

τn(ω) =

0, gdy τ(ω) = 0k+12n , gdy τ(ω) ∈ ( k

2n ,k+12n ] k = 0, 1, 2..., n2n − 1

∞, gdy τ(ω) > n

Twierdzenie 2.4. (O momencie zatrzymania) Niech ciąg (Mn,Fn)∞n=0 bę-

dzie martyngałem. Wtedy proces zatrzymania (Mn∧τ ,Fn)n∈N∪0 jest mar-

tyngałem.

Dowód. Sprawdzimy mierzalność funkcji Mn∧τ . Ponieważ

Mn∧τ (ω) = Mn∧τ(ω)(ω) =

Mτ(ω)(ω) gdy τ(ω) 6 n

Mn(ω) gdy τ(ω) > n,

to dla r ∈ R możemy napisać

ω : Mn∧τ (ω) < r =n⋃k=0

(ω : Mk(ω) < r ∩ ω : τ(ω) = k)∪∪(ω : Mn(ω) < r ∩ ω : τ(ω) > n) ∈ Fn.

ZatemMn+1∧τ = (n∑k=0

χτ=kMk)+χτ>n+1Mn+1 = Mn∧τ−Mnχτ>n+1+Mn+1χτ>n+1,

bo τ > n = τ = n ∪ τ > n+ 1. Otrzymujemy E(Mn+1∧τ |Fn) =

= Mn∧τ +E[(Mn+1−Mn)χτ>n+1|Fn] = Mn∧τ +χτ>n+1E(Mn+1−Mn|Fn) =

= Mn∧τ + χτ>n+1(Mn −Mn) = Mn∧τ .

33

2.3 Zbieżność martyngałów

Definicja 2.4. Niech τ będzie momentem stopu dla filtracji (Ft)t∈T i niech

F oznacza tu σ-algebrę zawierającą wszystkie σ-algebry Ft. Wtedy przez Fτoznaczamy klasę takich zbiorów B ∈ F , iż dla każdego t należącego do T

zachodzi B ∩ τ 6 t ∈ Ft. Rodzina Fτ jest σ-algebrą.

Twierdzenie 2.5. (J. L. Doob) Załóżmy, że ciąg (Xn,Fn)∞n=0 jest nad-

martyngałem (martyngałem) a ponadto τ1 6 τ2 są dwoma ograniczonymi

momentami stopu. Wówczas ciąg ((Xτ1 ,Fτ1), (Xτ2 ,Fτ2)) jest nadmartynga-

łem (odpowiednio martyngałem).

Dowód. W dowodzie wykorzystamy elementy rozumowania zawarte w [7]. Za-

uważmy, że zmienne losowe Xτ1 oraz Xτ2 są mierzalne względem odpowiednio

Fτ1 i Fτ2 , gdyż dla ustalonego j oraz i = 1, 2 jest

ω : Xτi(ω)(ω) < r ∩ ω : τi(ω) 6 j =

=⋃k6j

(ω : Xk(ω) < r ∩ ω : τi(ω) = k) =

=⋃k6j

ω : Xk(ω) < r ∩ ω : τi(ω) 6 k ∩ ω : τi(ω) 6 k − 1′ ∈ Fj.

Niech τ1 6 τ2 6 N . Pokażemy, że dla A ∈ Fτ1 zachodzi∫A

Xτ1dP >∫A

Xτ2dP (2.1)

Ustalmy 0 6 k 6 N . Niech Bk = A ∩ τ1 = k. Wtedy Bk1 ∩ Bk2 = ∅dla k1 6= k2 oraz A =

N⋃k=0

Bk. Udowodnimy, że∫Bk

Xτ2∧mdP jest nierosnącą

funkcją m, dla m ∈ [k,N ]. Widać, że Bk ∈ Fk ⊂ Fm, τ2 > m ∈ Fm, gdyż

na podstawie twierdzenia 2.1

Bj = A ∩ ω : τj(ω) = j = A ∩ ω : τj(ω) 6 j ∩ ω : τj(ω) = j ∈ Fj.

Zatem Bk ∩ τ2 > m ∈ Fm. Stąd∫Bk

Xτ2∧(m+1)dP −∫Bk

Xτ2∧mdP =∫

Bk∩τ2>m

(Xm+1 −Xm)dP 6 0

34

Zauważmy, że dla τ2 6 m zmienne losowe Xτ2∧(m+1) i Xτ2∧(m) są równe.

W przeciwnym przypadku Xτ2∧(m+1) = Xm+1 oraz Xτ2∧(m) = Xm. Zatem

z definicji nadmartyngału otrzymujemy nierówność. Udowodniliśmy (2.1).

Natomiast jeżeli (Xn) jest martyngałem to ciągi (Xn) oraz (−Xn) tworzą

nadmartyngały i zachodzi równość w (2.1).

Rysunek 2.1: Ciąg (xn)

Niech [α, β] będzie przedziałem, gdzie α < β. Niech ponadto (xn) będzie

ciągiem liczbowym. Tzw. „przejście w górę” ciągu możemy opisać następują-

co. Przesuwamy się zgodnie z indeksami ciągu. Przejście w górę zaczyna się w

momencie kiedy wyraz ciągu będzie mniejszy od α, a kończy gdy przekroczy

β. Postępując analogicznie można wyliczyć następne przejścia w górę.

Na rysunku 2.1 został zaznaczony przykładowy przedział [α, β] oraz ciąg

(xn). Liniami oznaczono przejścia między elementami ciągu. Przejścia w górę

zostały pogrubione. Oznaczmy:

ξ0 = infn : xn < α

ξ1 = infn : n > ξ0, xn > β

...

35

ξ2k = infn : n > ξ2k−1, xn < α

ξ2k+1 = infn : n > ξ2k, xn > β

Łatwo zauważyć, że (k+1)-sze przejście ciągu (xn) w górę przez przedział

[α, β] wyznaczane jest przez moment ξ2k+1. Zdefiniujmy liczbę przejść w górę

ciągu (xn)

Uβα =

supk > 0 : ξ2k+1 <∞ gdy ξ1 <∞0 gdy ξ1 =∞

Przykład 2.4. Niech

xn =

||n− 10| − 3| dla n = 1, 2, ..., 22

(x− 25)2 dla n = 22, 23, ...

oraz niech[α, β] = [1, 6]. Wtedy

ξ0 = 7, ξ1 = 20, ξ2 = 25, ξ3 = 28 oraz U61 = 2.

Twierdzenie 2.6. Ciąg liczbowy (xn)∞n=0 jest zbieżny (ewentualnie do nie-

skończoności) wtedy i tylko, gdy Uβα < ∞ dla wszystkich par liczb wymier-

nych α, β takich, że α < β.

Dowód. W poniższym dowodzie wykorzystamy dowód z [7] (strona 237).

(⇐)

Załóżmy, że ciąg (xn) nie jest zbieżny. Wtedy istnieją α, β ∈ Q takie, że

lim infn→∞

xn < α < β < lim supn→∞

xn. Stąd wnioskujemy, że istnieją podciągi

(xnk) i (xnl) takie, że xnk < α i xnl > β dla każdego k, l ∈ N ∪ 0. Ciąg

(xn) ma nieskończenie wiele elementów większych od α oraz nieskończenie

wiele elementów mniejszych od β, czyli musi przejść nieskończenie wiele razy

w górę, a więc Uβα =∞.

(⇒)

Niech α < β oraz przypuśćmy, że Uβα =∞. Mamy wtedy dwa podciągi (xnk)

i (xnl), dla których xnk < α i xnl > β. Jednak wówczas ciąg (xn) nie jest

zbieżny.

36

Oznaczmy przez Uβα [m](ω) liczbę przejść w górę ciągu (X1(ω), ..., Xm(ω)).

Zatem Uβα [m] jest zmienną losową Fn-mierzalną dla F0 = ∅,Ω oraz Fk =

σ(X1, ..., Xk).

Twierdzenie 2.7. Niech (Xn,Fn)mn=1 będzie nadmartyngałem. Wtedy dla

α < β mamy

E[Uβα [m]] 6

1β − α

E[(Xm − α)−].

Dowód. Poniższy dowód zaczerpnięto z [7] (strona 238).

Oznaczmy ξ′k = min(ξk,m). Przeanalizujemy teraz zmienne losowe

Xξ′2k+1−Xξ′2k

. Mamy następujące możliwości:

1. (k + 1)-sze przejście w górę skończyło się przed momentem m, Mamy

Xξ′2k+1−Xξ′2k

= Xξ2k+1 −Xξ2k > β − α, bo ξ2k 6 m oraz ξ2k+1 6 m.

2. (k + 1)-sze przejście w górę trwa. Mamy Xξ′2k+1−Xξ′2k

= Xm −Xξ2k >

−(Xm − α)−, gdyż

Xm −Xξ′2k=

0 gdy ξ′2k = m

Xm −Xξ′2kgdy ξ′2k < m,

bo ξ2k 6 m oraz ξ2k+1 > m.

3. (k+1)- sze przejście w górę jeszcze się nie zaczęło przed momentem m.

Mamy Xξ′2k+1−Xξ′2k

= Xm −Xm = 0, bo ξ2k > m oraz ξ2k+1 > m.

W konsekwencji (dla k=0,1,...,m)m∑k=1

(Xξ′2k+1−Xξ′2k

) > (β − α)Uβα [m]− (Xm − α)−.

Z twierdzenia Dooba mamy E(Xξ′2k) > E(Xξ′2k+1

). Po obliczeniu wartości

oczekiwanej lewej i prawej strony mamy 0 > (β−α)E(Uβα [m])−E(Xm−α)−.

Zmienna losowa Uβα [m] jest całkowalna, gdyż jest zmienną losową prostą.

Uzasadniając Wniosek sformułowany niżej korzystać będziemy z jednego

z klasycznych twierdzeń o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki (jego

dowód znajduje się w [16] (strona 213).

37

Twierdzenie 2.8. (O monotoniczej zbieżności) Niech fn będzie niemale-

jącym ciągiem funkcji nieujemnych, mierzalnych oraz całkowalnych. Jeśli

fn → f dla n→∞ to∫Ωfndµ zbiega niemalejąco do

∫Ωfdµ.

Wniosek z twierdzenia 2.7.

Niech (Xn,Fn) będzie nadmartyngałem takim, że supnE[|Xn|] < +∞. Niech

α, β ∈ R, (α < β). Oznaczmy przez Uβα [∞] granicę niemalejącego ciągu

Uβα [m]. Wtedy

(β − α)E[Uβα [∞]] 6 |α|+ sup

nE[|Xn|] <∞

oraz P (Uβα [∞] =∞) = 0.

Dowód. Z Twierdzenia 2.7 mamy dla m ∈ N

(β − α)E[Uβα [m]] 6 E[|Xm − α|] 6 |α|+ E[|Xm|] 6 |α|+ sup

nE[|Xn|].

Stosując Twierdzenie 2.8 i przechodząc do nieskończoności otrzymujemy pierw-

szą część tezy. Druga jej część jest konsekwencją całkowalności funkcji Uβα [∞].

Twierdzenie 2.9. (Dooba o zbieżności) Niech (Xn,Fn) będzie takim

nadmartyngałem, że supnE[|Xn|] < ∞. Wówczas granica X∞ = lim

n→∞Xn ist-

nieje prawie na pewno i jest prawie wszędzie skończona.

Dowód. Dowód oprzemy na rozumowaniu przedstawionym w [16]. Zdefiniuj-

my Λ = ω : (Xn(ω)), nie zbiega do granicy w Roraz Λa,b = ω : lim inf Xn(ω) < a < b < lim supXn(ω). Wtedy

Λ = ω : lim inf Xn(ω) < lim supXn(ω) =⋃

a,b∈Q:a<bΛa,b

Ale

Λa,b ⊂ ω : U ba[∞](ω) =∞

więc na mocy Wniosku z Twierdzenia 2.7. mamy P (Λa,b) = 0. Ponieważ Λ

jest przeliczalną sumą zbiorów Λa,b zatem P (Λ) = 0, co oznacza istnienie

38

funkcji X∞ = limn→∞Xn prawie na pewno. Korzystając z lematu Fatou

otrzymamy

E[|X∞|] = E[lim inf |Xn|] 6 lim inf E[|Xn|] 6 supE[|Xn|] <∞,

więc P (X∞ jest skończone) = 1, ze wzgęldu na całkowalność X∞.

Twierdzenie 2.10. (Zasadnicze twierdzenie o zbieżności martyngałów) Niech

(Xn,Fn) będzie podmartyngałem oraz supnE[|Xn|] < ∞. Wówczas istnie-

je zmienna losowa X taka, że Xn → X z prawdopodobieństwem 1 oraz

E[|X|] 6 supnE[|Xn|].

Dowód tego twierdzenia można znaleźć w [1]. Wiele elementów tego dowodu

jest wspólnych z twierdzeniem Dooba o zbieżności.

Twierdzenie 2.11. Jeżeli proces (Xn,Fn)∞n=0 jest nadmartyngałem oraz

supnE[X−n ] < ∞ to ciąg (Xn) jest zbieżny prawie na pewno do zmiennej

losowej całkowalnej.

Dowód. Poniższy dowód oparty jest na rozumowaniu zawartym w [7]. Za-

uważmy, że ciąg Uβα [m] jest niemalejący a więc zbieżny do pewnego Uβ

α . Po-

nadto na mocy twierdzenia 2.7 mamy

E[Uβα [m]] 6

1β − α

E[(Xm − α)−] =1

β − αE

[|Xm − α| −Xm + α

2

]6

61

β − αE

[|Xm| −Xm

2+|α|+ α

2

]=

1β − α

(E[X−m] + α+) 6

61

β − α(supnE[X−n ] + α+) <∞.

W konsekwencji, z prawdopodobieństwem 1 zmienna losowa Uβα jest skończo-

na dla par α, β ∈ Q, α < β. Na mocy twierdzenia 2.6 ciąg (Xn) jest zbieżny

(ewentualnie do nieskończoności) z prawdopodobieństwem 1. Pokażemy, że

ta granica jest skończona. Zauważmy, że

|Xn| = X+n +X−n = Xn + 2X−n ,

39

a więc

E[|Xn|] = E[Xn] + 2E[X−n ] 6 E[X0] + 2 supnE[X−n ]

gdyż (Xn,Fn) jest nadmartyngałem. Lemat Fatou daje

E[lim infn→∞

|Xn|] 6 lim infn→∞

E[|Xn|]

i stąd limn→∞

Xn jest prawie wszędzie skończona i całkowalna.

Dowody poniższych dwóch twiedzeń można znależć w [1] (strony 471 i 468).

Twierdzenie 2.12. Niech (Fn)∞n=1 będzie filtracją zawartą w σ-algebrze F ,

gdzie F = σ(∞⋃n=1Fn) oraz niech Z oznacza zmienną losową całkowalną. Wte-

dy

E[Z|Fn]→ E[Z|F ]

z prawdopodobieństwem 1.

Twierdzenie 2.13. Niech (Xn,Fn) będzie podmartyngałem. Wtedy dla licz-

by przejść z dołu w górę Uβα [n] zachodzi

E[Uβα [n]] 6

E[|Xn|] + α

β − α.

2.4 Nierówności martyngałowe

Definicja 2.5. Mówimy że funkcja f : R → R jest wypukła, gdy f(αx +

βy) 6 αf(x) + βf(y) dla wszystkich x, y ∈ R oraz dowolnych α, β > 0

spełniających warunek α + β = 1.

Wniosek

Zauważmy, że funkcja wypukła f ma poniższe własności

40

1. f(z)−f(x)z−x 6 f(y)−f(x)

y−x 6 f(y)−f(z)y−z o ile x < z < y. Istotnie, zauważmy, że

z−xy−x + y−z

y−x = 1. Z definicji wypukłości otrzymamy

f(z) = f

((z − x)yy − x

+(y − z)xy − x

)6 f(y)

z − xy − x

+ f(x)y − zy − x

.

W konsekwencji możemy napisać

f(z)− f(x) 6 f(y)z − xy − x

− f(x)z − xy − x

a także

f(z)− f(y) 6 −f(y)y − zy − x

+ f(x)y − zy − x

.

Zatem f(z)−f(x)z−x 6 f(y)−f(x)

y−x 6 f(y)−f(z)y−z .

2. Pochodne lewostrone i prawostronne funkcji f istnieją w każdym punk-

cie dziedziny i są rosnące. W rzeczy samej, z 1. wynika, że funkcjaf(x+h)−f(x)

hjest rosnąca dla h 6= 0. Stąd funkcja f ma lewostronną i

prawostronną pochodną w punkcie x oraz

f(x+ s)− f(x)s

6 f ′−(x) 6 f ′+(x) 6f(x+ t)− f(x)

t

gdzie s < 0 < t.

3. Dla dowolnych x, y ∈ R zachodzi nierówność

f(x) + f ′+(x)(y − x) 6 f(y).

Istotnie, jeśli y < x to wystarczy przyjąć na podstawie punktu 2. x+s =

y. W przeciwnym przypadku podstawiamy x+ t = y.

Twierdzenie 2.14. (Nierówność Jensena) Niech X będzie zmienną lo-

sową na przestrzeni (Ω,Σ, P ) taką, że E[|X|] < +∞ oraz niech f będzie

funkcją wypukłą. Wtedy

f(E[X]) 6 E[f X].

41

Dowód. Z powyższej uzasadnionionej własności 3. wynika dla dowolnej liczby

x ∈ R, że

f(x) > f(E[X]) + f ′+(E[X])(x− E[X]).

A zatem dla każdego ω ∈ Ω otrzymujemy

f(X(ω)) > f(E[X]) + f ′+(E[X])(X(ω)− E[X]).

Całkując powyższą nierówność otrzymujemy tezę:

E[f X] > f(E[X]) + E[f ′+(E[X])(X − E[X])] =

= f(E[X]) + f ′+(E[X])(E[X]− E[X]) = f(E[X]).

Twierdzenie 2.15. (Nierówność Jensena dla warunkowych wartości

oczekiwanych) Niech X będzie zmienną losową na przestrzeni (Ω,Σ, P )

taką, że E[|X|] < +∞ oraz niech f będzie funkcją wypukłą. Wtedy

f(E[X|]) 6 E[f(X)|F ]

z prawdopodobieństwem 1, gdzie F jest σ-algebrą zawartą w Σ.

Dowód jest analogiczny do dowodu twierdzenia 2.14. Znajduje się w [1]

(strona 450).

Twierdzenie 2.16. 1. Niech (Xn,Fn) będzie martyngałem oraz niech f

będzie funkcją wypukłą. Jeśli zmienne losowe f(Xn) są całkowalne to

ciąg (f(Xn),Fn) jest podmartyngałem.

2. Niech (Xn,Fn) będzie podmartyngałem oraz niech f będzie niemalejącą

funkcją wypukłą. Jeżeli zmienne losowe f(Xn) są całkowalne to ciąg

(f(Xn),Fn) jest podmartyngałem.

Dowód. Dowód na podstawie [1] (strona 466).

42

1. Z definicji martyngału zachodzi równość E[Xn+1|Fn] = Xn. Po zło-

żeniu z funkcją f otrzymujemy f(E[Xn+1|Fn]) = f(Xn). Funkcja f

jest wypukła, zatem po zastosowaniu twiedzenia 2.15, otrzymujemy

f(Xn) = f(E[Xn+1|Fn] 6 E[f(Xn+1)|F ].

2. Wykorzystując defincję podmartyngału otrzymujemy E[Xn+1|Fn] >

Xn. Funkcja f ject niemalejąca, więc f(E[Xn+1|Fn] > f(Xn). Podob-

nie jak w 1. korzystając z wypukłości f możemy napisać f(Xn) 6

f(E[Xn+1|Fn]) 6 E[f(Xn+1)|F ]

Twierdzenie 2.17. (Nierówność Kołmogorowa) Niech X1, ..., Xn będą

niezależnymi zmiennymi losowymi i niech Sj =j∑i=1

Xi dla 1 6 j 6 n.

a. Jeśli E[Xi] = 0 oraz E[X2i ] <∞, to dla dowolnego ε > 0

P ( max16i6n

|Si| > ε) 6E[S2

n]ε2

b. Jeżeli ponadto istnieje C > 0 takie, że P (|Xi| 6 C) = 1 dla i =

1, 2, ..., n, to w przypadku E[S2n] > 0

P ( max16i6n

|Si| > ε) > 1− (C + ε)2

E[S2n]

dla ε > 0.

Dowód. Niech A = ω : max16i6n

|Si| > ε oraz A1 = ω : |S1(ω)| > ε,

Aj =j−1⋂i=1ω : |Si(ω)| < ε ∩ ω : |Sj(ω)| > ε dla j = 2, 3, ..., n. Oczywiście

zbiory Ai, i = 1, ..., n są parami rozłączne, a także A =n⋃i=1

Aj.

a. Ze względu na E[Xj] = 0 otrzymujemy

E[S2n] > E[S2

nχA] =n∑j=1

E[S2nχAj ] =

=n∑j=1

E[((Sn − Sj)2 + S2j + 2(Sn − Sj)Sj)χAj ] >

43

>n∑j=1

E[S2jχAj ] + 2

n−1∑j=1

E[(Sn − Sj)SjχAj ]

Niezależność zmiennych losowychX1, ..., Xn pociąga niezależność zmien-

nych Sn − Sj i SjχAj dla j = 1, ..., n − 1. Stąd E[(Sn − Sj)SjχAj ] =

E[Sn − Sj]E[SjχAj ] = 0.

W konsekwencji

E[S2n] >

n∑j=1

E[S2jχAj ] > ε2

n∑j=1

P (Aj) = ε2P (A),

a więc wykazaliśmy a.

b. Powtarzając rozumowanie z początku dowodu części a. możemy napisać

E[S2nχA] =

n∑j=1

E[S2nχAj ] =

=n∑j=1

E[(Sn − Sj)2χAj ] +n∑j=1

E[S2jχAj ] + 2

n∑j=1

E[(Sn − Sj)SjχAj ] 6

6n∑j=1

E[(Sn − Sj)2χAj ] + (C + ε)2n∑j=1

P (Aj)

ponieważ dla ω ∈ Aj mamy |Sj(ω)| 6 |Sj−1(ω)| + |Xj(ω)| < ε + C

prawie wszędzie.

Niezależność zmiennych losowych X1, ..., Xn implikuje, że dla dowolne-

go k ∈ 1, ..., n zachodzi

E[(n∑j=k

Xj)2] = E[n∑j=k

X2j +

∑i,j∈k,...,n,i 6=j

XiXj] =

= E[n∑j=k

X2j ] +

∑i,j∈k,...,n

i 6=j

E[Xi]E[Xj] =n∑j=k

E[X2j ]

gdyż E[Xi] = 0. W konsekwencji

E[(n∑j=k

Xj)2] 6n∑j=1

E[X2j ] = E[(

n∑j=1

Xj)2] = E[S2n].

44

Wobec powyższego i niezależności zmiennych losowych X1, ...Xn

E[S2nχA] 6

n∑j=1

E[(Sn − Sj)2χAj ] + (C + ε)2n∑j=1

P (Aj) =

=n∑j=1

P (Aj)E[(n∑

k=j+1

Xk)2] + (C + ε)2P (A) 6 [E[S2n] + (C + ε)2]P (A).

Z drugiej strony

E[S2nχA] = E[S2

n]−E[S2nχΩ\A] > E[S2

n]−ε2P (Ω\A) = E[S2n]−ε2+ε2P (A).

Stąd

P (A) >E[S2

n]− ε2

E[S2n]− ε2 + (ε+ C)2

= 1− (ε+ C)2

E[S2n] + 2εC + ε2

> 1− (ε+ C)2

E[S2n]

.

Twierdzenie 2.18. (Nierówność maksymalna dla podmartyngałów) Załóż-

my, że (Xi,Fi)ni=1 jest podmartyngałem. Wówczas dla r > 0 zachodzi

rP (maxi6n

Xi > r) 6∫

maxi6n

Xi>r

XndP 6 E[X+n ] 6 E[|Xn|]

Dowód. Zdefiniujmy τ = infi ∈ N : Xi > r. Zauważmy, że tak określone τ

jest pierwszym momentem, który przekracza poziom r. Zdefiujmy ponadto

zbiory A = maxi6n

Xi > r oraz Ai = A ∩ τ = i, gdzie i = 1, 2, ..., n.

Zauważmy, że Ai ∈ Fi dla i 6 n oraz A =n⋃k=1

Ak. Stąd wynika

∫A

XndP =n∑i=1

∫Ai

XndP =n∑i=1

∫Ai

E[Xn|Fi]dP >n∑i=1

∫Ai

XidP >

> rn∑i=1

P (Ai) = rP (A).

Zatem otrzymujemy tezę, gdyż

rP (maxi6n

Xi > r) 6∫A

XndP 6 E[X+n ] 6 E[|Xn|].

45

Uwaga 1. Przyjmijmy założenia takie samie jak w pierwszej części

twierdzenia 2.16. Dla martyngału (Xn,Fn) i funkcji wypukłej f(t) = t2

proces (f(Xn),Fn) jest podmartyngałem, co pociąga, że spełnia nierówność

z twierdzenia 2.18. Niech Ui będą niezależnymi zmiennymi losowymi takimi,

że E[Ui] = 0, V ar[Ui] <∞ oraz Xk =k∑i=1

Ui, gdzie k = 1, 2, ..., n. Wtedy

otrzymujemy nierówność Kołmogorowa

P (maxk6n|k∑i=1

Ui| > r) 61r2

n∑k=1

E[U2k ].

Uwaga 2. Niech (Mn,Fn)∞n=0 będzie martyngałem, takim że E[|Mn|p] <∞,

dla pewnego p ∈ [1,∞). Wtedy dla dowolnego r > 0 i n ∈ N mamy:

rpP (max06k6n

|Mk| > r) 6 E[|Mn|p].

2.5 Martyngały z czasem odwróconym

Definicja 2.6. Jeśli ciąg (X−n,F−n)1n=∞ spełnia warunki definicji martyn-

gału, to mówimy, że jest on martyngałem z czasem odwróconym.

Warto zauważyć, że martyngał z czasem odróconym nie ma elementu

pierwszego, ma za to ostatni.

Definicja 2.7. Mówimy, że na przestrzeni mierzalnej (Ω,F) miara µ jest

absolutnie ciągła względem miary ν, co oznaczamy symbolem µ ν, gdy

zachodzi:

∀A∈F ν(A) = 0⇒ µ(A) = 0.

Ponadto jeżeli zachodzi µ ν oraz ν µ to mówimy o równoważności miar

µ i ν co oznaczamy pisząc µ ≡ ν.

Dla miary skończonej ν powyższa definicja jest równoważna warunkowi

∀ε>0 ∃δ>0 ∀A∈F ν(A) < δ ⇒ µ(A) < ε.

46

Definicja 2.8. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych (Xn)∞n=1 jest jednostaj-

nie (jednakowo) całkowalny jeśli:

limc→∞

supn

∫Xn>c

|Xn|dµ = 0.

Twierdzenie 2.19. Jeśli µ(Ω) < ∞, a limn→∞ fn = f prawie wszędzie dla

jednostajnie całkowalnych funkcji fn to f jest całkowalna oraz∫Ωfndµ→

∫Ωfdµ.

Dowód twierdzenia znajduje się [1] (strona 215).

Twierdzenie 2.20. Jeżeli Fn jest dowolną rodziną σ−algebr zawartą w Foraz X jest całkowalną zmienną losową, to warunkowe wartości oczekiwane

E[X|Fn] są jednostajnie całkowalne.

Dowód tego twierdzenia można znaleźć w [1] (strona 471).

Twierdzenie 2.21. Niech (X−n,F−n) będzie martyngałem z czasem odwró-

conym. Wtedy granica X∞ = limn→∞

X−n istnieje i jest całkowalna. Ponadto

zachodzi E(X∞) = E(X−n).

Dowód twierdzenia jest analogiczny jak twierdzenia 2.6.

Twierdzenie 2.22. Niech X będzie całkowalną zmienną losową oraz niech

(Fn)∞n=1 będzie ciągiem σ−algebr zawartym w F0 =∞⋂n=1Fn, takim że Fn+1 ⊂

Fn. Wtedy E[X|Fn]→ E[X|F0] z prawdopodobieństwem 1.

Dowód. W poniższym dowodzie wykorzystano elementy rozumowania za-

warte w [1]. Zdefiniujmy ciąg (X−n) równaniem X−n = E[X|Fn]. Wte-

dy (X−n,Fn)1n=∞ jest martyngałem. Na podstawie twierdzenia 2.21 granica

Y = limn→∞

X−n tego ciągu istnieje i jest całkowalna. Ponadto z twierdzenia

2.20 ten ciąg zmiennych losowych jest jednostajnie całkowalny. Zmienna lo-

sowa Y jest Fk mierzalna dla k 6 n, gdyż jest granicą zmiennych losowych

47

E[X|Fn]. Z dowolności k wynika, że Y jest również F0 mierzalne. Z jedno-

stajnej całkowalności mamy dla A ∈ F0∫A

Y dP = limn

∫A

E(X|Fn)dP = limn

∫A

E(E(X|Fn)|F0)dP =

= limn

∫A

E(X|F0) =∫A

E(X|F0)dP.

Stąd wynika Y = E(X|F0) prawie wszędzie.

48

Rozdział 3

Zastosowania martyngałów

Celem tego rozdziału jest pokazanie jak można zastosować martynga-

ły do różnych zagadnień związanych z sytuacjami, które możemy spotkać

w życiu, jak i w dowodzeniu pewnych twierdzeń. Najpierw zostaną przyto-

czone twierdzenia Dooba o dekompozycji martyngału oraz o reprezentacji

martygału. Później opiszemy sposób wyceny europejskiej opcji kupna wraz

z postacią portfela replikującego wypłatę z powyższego kontraktu. Następ-

nym poruszonym zagadnieniem będzie wykorzystanie teorii martyngałów dla

dowodu twierdzenia o granicy pochodnych Radona-Nikodyma. W kolejnym

podrozdziale będziemy ustalać, który z dwóch zadanych rozkładów prawdo-

podobieństwa bardziej odpowiada danemu zdarzeniu losowemu, aż dojdziemy

do Twierdzenia Kakatuniego. Później wybór będziemy opierać na podstawie

zbioru krytycznego, który stworzymy uwzględniając koszty podjęcia błęd-

nej decyzji. Będzie to tzw. zagadnienie dyskryminacji. W końcu obliczymy

prawdopodobieństwo ruiny gracza w pewnej grze.

3.1 Twierdzenie o reprezentacji martyngału

Definicja 3.1. Mówimy, że proces stochastyczny (Xn)Nn=0 jest prognozowal-

ny, jeżeli zmienna losowa Xn jest Fn−1 mierzalna dla każdego n > 0.

Warto zauważyć, że z własności warunkowej wartości oczekiwanej zachodzi

49

E[Xn|Fn−1] = Xn dla każdego n naturalnego, gdzie (Xn) jest procesem

prognozowalnym.

Przykład 3.1. Udowodnimy, że martyngał prognozowalny (Xn,Fn) jest pra-

wie wszędzie stały. Zauważmy, że z definicji martyngału E[Xn+1|Fn] = Xn,

a z prognozowalności E[Xn+1|Fn] = Xn+1. Stąd Xn = Xn+1 prawie wszędzie.

Twierdzenie 3.1. (Dooba) Niech ciąg (Xn,Fn) będzie podmartyngałem.

Wtedy można go przedstawić jednoznacznie w postaci tzw. dekompozycji

Dooba

Xn = Mn + An,

gdzie (Mn,Fn) jest martyngałem, a (An) niemalejącym ciągiem zmiennych

losowych prognozowalnych nazywanym kompensatorem.

Dowód. Na podstawie [2] oraz [6]. Załóżmy M0 = X0 oraz A0 = 0. Zdefiniuj-

my, dla n = 1, 2, 3, ... następujące ciągi

Mn = M0 +n−1∑i=0

[Xi+1 − E[Xi+1|Fi]]

oraz

An =n−1∑i=0

[−Xi + E[Xi+1|Fi]].

Wtedy pierwsza część tezy jest spełniona. Istitnie udowodnimy, że (Mn,Fn)

jest martyngałem. Zauważmy, że dla i 6 n zmienne losowe Xi są Fn mierza-

lne. W konsekwencji E[Mn+1|Fn] = E[M0 +n∑i=0

[[Xi+1 − E[Xi+1|Fi]]|Fn] =

= E[M0|Fn] +n∑i=0

(E[Xi+1|Fn]− E[E[Xi+1|Fi]|Fn]) =

= X0 +n−1∑i=0

[[Xi+1 − E[Xi+1|Fi] + E[Xn+1|Fn]− E[E[Xn+1|Fn]|Fn] =

= X0 +n−1∑i=0

[Xi+1 − E[Xi+1|Fi]] + E[Xn+1|Fn]− E[Xn+1|Fn] = Mn.

Ponadto proces (An,Fn) tworzy ciąg prognozowalny. Zauważmy, iż, zachodzi

An+1−An = E[Xn+1|Fn]−Xn > Xn−Xn = 0, gdyż ciąg (Xn) jest podmar-

tyngałem.

Wykażemy teraz jednoznaczność rozkładu. Niech (M∗n) i (A∗n) są inną pa-

rą procesów spełniającą warunki twierdzenia. Wówczas dla każdego n =

50

0, 1, 2, ... jest spełniona równość Mn + An = M∗n + A∗n. Zatem dla procesu

Un = Mn − M∗n otrzymujemy Un = Mn − M∗

n = A∗n − An. Z powyższych

równości wynika, że Un jest martyngałem i jest prognozowalny, czyli na pod-

stawie przykładu 3.1 jest stały prawie wszędzie.

Przykład 3.2. Załóżmy, że ciąg ograniczonych zmiennych losowych (Yn)∞n=0

jest prognozowalny, a ciąg (Xn,Fn)∞n=0 jest martyngałem. Niech ponadto

Zn = X0 + Y1(X1 − X0) + ... + Yn(Xn − Xn−1). Wówczas zmienne losowe

Zn są całkowalne, a proces (Zn,Fn)∞n=0 jest martyngałem i jest nazywany

transformatą martyngałową (Xn) przez (Yn). Zakładamy, że F0 = ∅,Ω.

Dowód. Procesy (Xn) i (Yn) są całkowalne więc całkowalny jest również pro-

ces (Zn).

E[Zn+1|Fn] = E[(X0 + Y1(X1 −X0) + ...+ Yn+1(Xn+1 −Xn))|Fn)] =

= E[X0|Fn] + E[Y1(X1 −X0)|Fn)] + ...+ E[Yn+1(Xn+1 −Xn)|Fn)] =

= E[X0|Fn] +Y1E[(X1−X0)|Fn)] + ...+E[Yn+1Xn+1|Fn]−E[Yn+1Xn|Fn] =

= X0 + Y1(X1 −X0) + ...+ Yn(Xn −Xn−1) + Yn+1E[Xn+1|Fn]−−XnE[Yn+1|Fn] = Zn + Yn+1Xn −XnYn+1 = Zn.

Zatem zachodzi E[Zn+1|Fn] = Zn, więc Zn jest martyngałem.

Niech S oznacza dwupunktowy zbiór −1, 1 i niech Σ = σ(S). Niech

ponadto p ∈ (0, 1) i niech µ będzie miarą probalistyczną na (S,Σ) taką, że

µ(1) = p = 1− µ(−1).Niech N ∈ N. Zdefiniujmy (Ω,F , P ) = (S,Σ, µ)N . Zdarzenia elementarne

na tej przestrzeni są postaci ω = (ω1, ω2, ..., ωN), gdzie ωk ∈ −1, 1.Zdefiniujmy εk : Ω → R następująco εk(ω) = ωk, więc (ε1, ε2, ..., εN) są

niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie. Niech

Zn =n∑k=1

(εk − 2p+ 1) oraz Fn = σ(Z0, Z1, ..., Zn) = σ(ε1, ε, ...εn)

dla 0 6 n 6 N. Zauważmy, że E[εk] = 2p−1. Stąd wynika, że ciąg (Zn,Fn)Nn=0

jest martyngałem, ponieważ jest on sumą niezależnych zmiennych losowych

o zerowej wartości oczekiwanej (por. przykład 2.2).

51

Twierdzenie 3.2. Niech Y będzie zmienną losową o wartościach w Rn i

niech X będzie zmienną losową mierzalną względem σ(Y ). Wtedy istnieje

funkcja borelowska h : RN → R taka, że X = h(Y ).

Dowód powyższego twierdzenia znajduje się w [7] (strona 134).

Twierdzenie 3.3. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi oraz

niech f będzie ograniczoną funkcją borelowską. Wówczas

E[f(X, Y )|σ(Y )] = E[f(X, t)]|t=Y .

Wskazówki na temat sposobu udowodnienia tego twierdzenia znajdują się w

[7] (strona 422).

Twierdzenie 3.4. Jeżeli (Yn,Fn) jest martyngałem, to istnieje dokładnie

jeden proces prognozowalny (An) taki, że

Yn = Y0 +n∑k=1

Ak(Zk − Zk−1). (3.1)

Dowód. Poniższy dowód został oparty na rozumowaniu zawartym w [7]. Aby

proces (At) spełniał równanie (3.1) musi zachodzić

An =Yn − Yn−1

Zn − Zn−1.

Taka postać procesu wymusza jego jednoznaczność. Z Twierdzenia 3.2 i faktu,

iż zmienna losowa Yn jest Fn-mierzalna mamy

Yn(ω) = fn((ε1(ω), ..., εn(ω)) = fn(ω1, ..., ωn).

Niech

An =fn(ω1, ..., ωn−1, 1)− fn−1(ω1, ..., ωn−1)

2(1− p).

Stąd widać, że proces (An) jest prognozowalny. Ciąg (Yn,Fn) jest martynga-

łem. Zmienne losowe εk są niezależne. Ponadto z Twierdzenia 3.3 wynika

E[Yn|Fn−1] = pfn(ω1, ..., ωn−1, 1) + (1− p)fn(ω1, ...., ωn−1,−1) =

52

= fn−1(ω1, ..., ωn−1) = Yn−1

oraz

fn(ω1, ..., ωn−1, 1)− fn−1(ω1, ..., ωn−1)2(1− p)

=fn(ω1, ..., ωn−1,−1)− fn−1(ω1, ..., ωn−1)

−2p.

(3.2)

Zatem

An =Yn − Yn−1

Zn − Zn−1.

3.2 Wycena opcji

Rozważmy rynek, na którym handlujemy obligacjami o ustalonej stopie

procentowej r i akcjami, których cena zmienia się losowo. Ustalmy N ∈ N.

Przypuśćmy, że wartość akcji i obligacji zmienia się w momentach 1, 2, ..., N .

Oznaczmy dla n = 1, 2, ..., N :

- Bn = (1 + r)nB0 wartość jednej obligacji w czasie (n, n+ 1)

- Sn wartość jednej akcji w otwartym przedziale czasowym (n, n+ 1).

Zaraz po momencie 0 początkowy kapitał naszego portfela wynosi x. Po-

siadamy A0 akcji i V0 obligacji. Zatem mamy

x = A0S0 + V0B0.

Pomiędzy momentami 0 i 1 inwestujemy nasz kapitał w akcje i obligacje tak,

że tuż przed chwilą 1 mamy A1 akcji V1 obligacji, czyli

x = A1S0 + V1B0.

Niech (A1, V1) reprezentuje portel składający się akcji i obligacji po momencie

1. Podobnie po chwili n − 1 (dla n > 1) mamy An−1 jednostek akcji i Vn−1

jednostek obligacji o wartości

Xn−1 = An−1Sn−1 + Vn−1Bn−1,

53

gdzie Xn oznacza wartość portfela w chwili n. Zakładamy, że transakcje nic

nie kosztują. Poprzez sprzedawanie akcji za obligacje lub obligacji za akcje

możemy zmienić swój portfel, w czasie (n− 1, n), w taki sposób, że wartość

portfela tuż przed chwilą n wyniesie

Xn−1 = AnSn−1 + VnBn−1 dla n > 1.

Taki portfel nazywamy samofinasującym. Następnie, tuż chwili n jego war-

tość wyniesie

Xn = AnSn + VnBn. (3.3)

Zatem zmianę wartości portfela możemy przedstawić następująco

Xn −Xn−1 = An(Sn − Sn−1) + Vn(Bn −Bn−1). (3.4)

Niech teraz Bn − Bn−1 = rBn−1 oraz Sn − Sn−1 = RnSn−1, gdzie Rn jest

losową stopą procentową dla akcji w momencie n. Zatem otrzymujemy

Xn−Xn−1 = An(Sn−Sn−1)+Vn(Bn−Bn−1) = AnRnSn−1+rVnBn−1+rAnSn−1−

−rAnSn−1 = r(VnBn−1+AnSn−1)+AnSn−1(Rn−r) = rXn−1+AnSn−1(Rn−r).

Stąd

Xn − (1 + r)Xn−1 = AnSn−1(Rn − r).

Oznaczmy

Yn = (1 + r)−nXn. (3.5)

Zauważmy, że Yn to zdyskontowana wartość potfela z chwili n. Wówczas

Yn − Yn−1 = (1 + r)−nAnSn−1(Rn − r). (3.6)

Niech Ω,F , εn, Zn,Fn będą takie same jak w poprzednim podrozdziale.

Zbudujemy model, w którym Rn przyjmuje tylko wartości a, b z przedziału

(−1,∞), gdzie a < r < b. Mamy

Rn =a+ b

2+b− a

2εn. (3.7)

54

Wtedy

Rn − r =12

(b− a)(εn − 2p+ 1) =12

(b− a)(Zn − Zn−1), (3.8)

gdzie

p =r − ab− a

. (3.9)

Europejską opcją kupna nazywamy kontrakt zawarty tuż po chwili 0 po-

zwalający na kupno danej liczby akcji w momencie N za cenę K. K jest

nazywaną ceną wykonania. Opcję wykonamy jeśli Sn > K, nie wykonamy

w przeciwnym wypadku. Zatem wartość takiego kontraktu w momencie N

wynosi (SN −K)+. Możemy zadać pytanie ile powinniśmy zapłacić za opcję

w chwili 0, aby cena była sprawiedliwa. Odpowiedzi na to pytanie udzielili

Black i Scholes. Bazuje ona na teorii tzw. transakcji hedgingowych, które

mają za zadanie zmniejszenie ryzyka związanego z wahaniem cen.

Strategia hedgingowa z kapitałem początkowym x dla opisanej opcji jest

schematem zarządzania portfelem (An, Vn) : 1 6 n 6 N, gdzie procesy

(An) oraz (Vn) są prognozowalne względem filtracji (Fn) i gdzie Xn spełnia

równania (3.3) oraz (3.4). Zachodzą ponadto

1. X0(ω) = x,

2. Xn(ω) > 0 (0 6 n 6 N),

3. XN(ω) = (SN −K)+

dla każdego ω.

Zauważmy, że Black i Scholes wymagają iż Xn(ω) > 0. Nie wymagają

natomiast tego, aby procesy (An) i (Vn) były dodatnie. Ujemna wartość Vndla pewnego n oznacza pożyczenie obligacji na ustalony procent r, a dla

ujemnego An oznacza krótką sprzedaż akcji.

Twierdzenie 3.5. Strategia hedgingu z kapitałem początkowym x istnieje

wtedy i tylko wtedy, gdy

x = x0 = E[(1 + r)−N(SN −K)+],

55

gdzie E jest wartością oczekiwaną względem miary P z poprzedniego pod-

rozdziału, a p jest takie jak w równaniu (3.9). To jest jedyna strategia z

kapitałem początkowym x0 gdzie nie ma krótkiej sprzedaży.

Dowód. Wykorzystano wiadomości [16] (strona 158) oraz odwozorowano do-

wód i objaśnienia [7] (strony 261 i 458). W definicji strategii hedgingu nie jest

wspomniane o zasadniczej mierze probabilistystycznej. Ponieważ wymagamy,

że strategia zachodzi „dla każdego ω” powinniśmy rozważyć tylko miary na

Ω dla których każdy punkt ω ma dodatnie prawdopodobieństwo. Oczywiście

miara P jest taką miarą.

Niech strategia hedgingu ma wartość początkową x i niech (An), (Vn),

(Xn), (Yn) oznaczają towarzyszące procesy. Z równości (3.6) i (3.7) zachodzi

Yt = Y0 +t∑

k=1

Fk(Zk − Zk−1),

gdzie proces (Fn) jest prognozowalny oraz

Fn =12

(b− a)(1 + r)−nAnSn−1.

Oczywiście (Fn) jest ograniczony, gdyż jest skończenie wiele kombinacji n i

ω. Ponieważ (Zn,Fn) jest martyngałem to (Yn,Fn) jako transformata mar-

tyngałowa jest martyngałem względem miary P . Niech Yn będzie takie samo

jak w równaniu (3.5). Z warunków Y0 = x i YN = (1 + r)−N(Sn−K)+ otrzy-

mujemy x = x0.

Niech teraz

Yn = E[(1 + r)−N(SN −K)+|Fn].

Wtedy (Yn,Fn) jest martyngałem. Stosując twierdzenie 3.4 do równania (3.8)

widzimy, że dla pewnego jedynego procesu (An) zachodzi (3.6). Zdefiniujmy

Xn = (1 + r)nYn, oraz Vn =Xn − AnSn

Bn

.

Wtedy zachodzą równania (3.3) oraz (3.4) ponieważ

X0 = x i XN = (SN −K)+.

56

Pozostaje udowodnić, że proces (An) nie jest nigdy ujemny. Nasz portfel jest

samofinansujący, więc zachodzi

An−1Sn−1 + Vn−1Bn−1 = AnSn−1 + VnBn−1

co jest równoważne warunkowi

Xn

Bn

− Xn−1

Bn−1= An

(SnBn

− Sn−1

Bn−1

). (3.10)

Zauważmy bowiem, że jeśli portfel jest samofinansujący to mamy

Xn

Bn

− Xn−1

Bn−1=AnSn + VnBn

Bn

− An−1Sn−1 + Vn−1Bn−1

Bn−1=

= AnSnBn

+ Vn − AnSn−1

Bn−1− Vn.

Jeśli natomiast spełnione jest równanie (3.10) to

Vn −An−1Sn−1 + Vn−1Bn−1

Bn−1= −AnSn−1

Bn−1.

Zatem na podstawie powyższych rozważań wynika, że An > 0 wtedy i tylko

wtedy, gdy zachodzi Yn − Yn−1 > 0 ⇔ Zn − Zn−1 > 0, gdzie Yn = XnBn

.

Ponieważ mamy Zn − Zn−1 > 0 ⇔ Rn = b ⇔ Sn = (1 + b)Sn−1, musimy

pokazać, że na zbiorze Rn = b zachodzi

E[(SN −K)+|Fn] > E[(SN −K)+|Fn−1],

natomiast na zbiorze Rn = a zachodzi nierówność odwrotna. Niech terazXnBn

= 1 + Rn. Wówczas zmienne losowe XnBn

(dla 0 6 n 6 N) są niezależne i

Sn =n∏k=1

XkBk

. Na podstawie Twierdzenia 3.3 mamy

E[(SN −K)+|Fn−1] = E

[(x

N∏k=n

Xk

Bk

)−K

]+

|x=Sn−1

,

a stąd wynikają żądane równości.

57

Uwaga. Niech Xn = (1 + r)nYn. Jeśli X0 jest kapitałem początkowym to

portfel o składzie An = Fn2Bn

(b−a)Sn−1akcji oraz Vn = (Xn − AnSn)B−1

n

obligacji jest jedynym portfelem replikującym wypłatę (SN −K)+. Co

więcej jest on samofinasujący i prognozowalny.

Dowód. Poniższy dowód został odwzorowany z [7]. Mamy (SN −K)+ =

= BNYN = XN = ANSN + VNBN . Prognozowalność ciągu An wynika z

prognozowalności procesu Fn. Aby wykazać, że portfel jest samofinansujący

pokażemy, że zachodzi równanie (3.10). Dla dowodu wykorzystamy postać

martyngału (Yn,Fn) i procesu Rn oraz definicję An wraz z równaniem (3.8).

Zatem mamy

Xn

Bt

− Xt−1

Bt−1= Fn(Zn − Zn−1) =

12

(b− a)(1 + r)−nAnSn−1(2(Rn − r)b− a

) =

= AnSn−1

Bn

(Rn − r) = AnSn−1

Bn

Sn − Sn−1(1 + r)Sn−1

= An

(SnBn

− Sn−1

Bn−1

).

Aby dowieść prognozowalność Vn wystarczy zauważyć, że An jest

prognozowalny oraz zachodzi

Vn+1 − Vn =An − An+1

Bn

Sn.

3.3 Granica pochodnych Radona-Nikodyma

Twierdzenie 3.6. (Radona - Nikodyma) Niech µ i ν będą miarami

σ−skończonymi na przestrzeni mierzalnej (S,Σ). Ponadto niech ν będzie

dodatnia. Jeżeli µ jest absolutnie ciągła względem ν to istnieje funkcja cał-

kowalna f :S → R wobec ν taka, że dla każdego zbioru A ∈ Σ zachodzi

µ(A) =∫A

fdν. (3.11)

Ponadto funkcja f jest ustalona z dokładnością do zbioru miary zero, tzn.

jeśli funkcje f i g spełniają tezę twierdzenia to ν(ω ∈ S : f(ω) 6= g(ω)) = 0.

58

Dowód twierdzenia znajduje się w [1] (strona 425).

Definicja 3.2. Funkcję f będziemy nazywać gęstością lub pochodną Radona-

Nikodyma µ względem ν i oznaczać przez dµdν

.

Definicja 3.3. Klasę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy monotoniczną,

jeśli:

• A1, A2, ... ∈M oraz A1 ⊂ A2 ⊂ ... implikuje⋃nAn ∈M.

• A1, A2, ... ∈M oraz A1 ⊃ A2 ⊃ ... implikuje⋂nAn ∈M.

Twierdzenie 3.7. (O klasach monotonicznych) Niech F będzie ciałem, a

M klasą monotoniczną. Jeżeli F ⊂M, to σ(F) ⊂M.

Dowód tego twierdzenia można znaleźć w [1] (strona 51).

Definicja 3.4. Miary probabilistyczne µ i ν na przestrzeni mierzalnej (Ω,Σ)

są wzajemnie osobliwe (singularne) jeżeli istnieje taki zbiór A ∈ Σ, że µ(Ω \A) = ν(A) = 0.

Twierdzenie 3.8. Niech (Ω,F , P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, ν

miarą skończoną na σ-algebrze F oraz Fn jest filtracją taką, że limn→∞

Fn =

F∞ ⊂ F . Niech ν będzie miarą absolutnie ciągłą względem miary P na σ-

algebrze Fn a zmienna losowa Xn pochodną Radona-Nikodyma ν względem

P . Wtedy Xn → X z prawdopodobieństwem 1, gdzie X jest zmienną losową

całkowalną.

Ponadto jeśli miara ν jest absolutnie ciągła względem miary P na σ-algebrze

F∞, to zmienna losowa X jest pochodną Radona-Nikodyma ν względem P .

Co więcej jeśli miary P i ν są wzajemnie osobliwe na σ-algebrze F∞, to X = 0

z prawdopodobieństwem 1.

Dowód. Rozumowanie oparte na dowodzie zawartym w [1] (strona 473). Je-

żeli Xn = dνndP

, gdzie νn = ν|Fn to dla każdego A ∈ Fn zachodzi∫A

XndP = ν(A).

59

Zauważmy, że jeśli A ∈ Fn to również A ∈ Fn+1, więc∫A

Xn+1dP = ν(A).

A zatem dla A ∈ Fn ∫A

XndP =∫A

Xn+1dP.

Ale Xn jest Fn-mierzalna, więc E[Xn+1|Fn] = Xn. Stąd ciąg zmiennych

losowych (Xn,Fn) jest martyngałem. Ponadto Xn jest nieujemna. Zatem

E[|Xn|] = E[Xn] = ν(Ω) < ∞. Z twierdzenia 2.10 wynika zbieżność zmien-

nych losowych Xn do całkowalnej zmiennej losowej X, gdzie granica X jest

F∞-mierzalna.

Załóżmy teraz, że ν jest absolutnie ciągła względem miary P na σ-algebrze

F∞. Niech Z = dν∞dP

, gdzie ν∞ = ν|F∞ . Mamy∫A

ZdP =∫A

XndP dla A ∈ Fn,

tj. Xn = E[Z|Fn]. Z twierdzenia 2.12 wynika, że Xn → E[Z|F∞] = Z.

Załóżmy, że miary P i ν są wzajemnie osobliwe na σ-algebrze F∞, czyli

istnieje taki zbiór S należący do F∞, że ν(S) = 0 oraz P (S) = 1. Ponadto z

lematu Fatou ∫A

XdP 6 lim infn→∞

∫A

XndP.

Jeśli A ∈ Fi to∫AXndP = ν(A) dla i 6 n, czyli

∫AXdP 6 ν(A) dla A ∈

∞⋃i=1Fi.

Z twierdzenia 3.7 zachodzi to dla każdego zbioru A ∈ F∞. A zatem∫S

XdP 6 ν(S) = 0.

Stąd P (X = 0) = 1.

Poniższe trzy podrozdziały zostały odwzorowane z [7].

60

3.4 Twierdzenie Kakutaniego

Przykład 3.3. Rzucamy monetą. W codziennym życiu najprawdopodobniej

nie jest ona symetryczna. Nasze zadanie polega na decyzji, czy szansa otrzy-

mania orła przy rzucie monetą wynosi p czy r, gdy p 6= r oraz p, r ∈ [0, 1].

Niech Xn będzie zmienną losową taką, że

Xn =

1 gdy w n-tym rzucie wypadł orzeł,

0 gdy w n-tym rzucie wypadła reszka.

Niech ponadto ρ i π będą takimi funkcjami, że

ρ(1) = r, ρ(0) = 1− r, π(1) = p, π(0) = 1− p.

Zdefiniujmy

Zn =ρ(X1)...ρ(Xn)π(X1)...π(Xn)

oraz Fn = σ(X1, ..., Xn).

Niech P będzie miarą probabilistyczną taką, że P (Xn = 1) = p. Wówczas

ciąg (Zn,Fn) jest martyngałem, gdyż

E

[ρ(Xn)π(Xn)

]=r

pp+

1− r1− p

(1− p) = 1

oraz

E[Zn+1|Fn] = E

[ρ(X1)π(X1)

ρ(X2)π(X2)

...ρ(Xn+1)π(Xn+1)

|Fn]

=

=ρ(X1)π(X1)

ρ(X2)π(X2)

...ρ(Xn)π(Xn)

E

[ρ(Xn+1)π(Xn+1)

|Fn]

=ρ(X1)π(X1)

...ρ(Xn)π(Xn)

E

[ρ(Xn+1)π(Xn+1)

]= Zn,

gdzie przedostatnia równość wynika z twierdzenia 3.3.

Zauważmy, że Zn > 0. Z twierdzenia 2.11 wynika, że ciąg (Zn) jest zbieżny

P-prawie wszędzie. Ponadto granica jest równa zero, gdyż równość

Zn+1 = Znρ(Xn+1)π(Xn+1)

implikuje

lim supn→∞

Zn+1 6 lim supn→∞

Zn lim supn→∞

ρ(Xn+1)π(Xn+1)

.

61

Ale ciąg (Zn) jest zbieżny P-prawie wszędzie, a zatem

lim supn→∞

Zn+1 = lim supn→∞

Zn lim supn→∞

ρ(Xn+1)π(Xn+1)

.

Z założenia, że r 6= p wynika, iż lim supn

ρ(Xn+1)π(Xn+1)

6= 1. Więc lim supn

Zn = 0

P−prawie na pewno.

Jeśli P (Xn = 1) = r to proces (Z−1n ,Fn) jest martyngałem zbieżnym do zera

Q−prawie na pewno, czyli ciąg (Zn) dąży do nieskończoności.

Zwiększając ilość rzutów można zaobserwować, czy martyngał dąży do

nieskończoności, czy do zera. Na tej podstawie można podjąć decyzję, czy

prawdopodobieństo wyrzucenia orła wynosi r, czy p. Niestety nigdy nie mo-

żemy mieć całkowitej pewności, czy nasza decyzja jest dobra.

Następujące twierdzenie jest uogólnieniem przypadku z poprzedniego przy-

kładu. Niech (Ω0,F) będzie przestrzenią mierzalną i niech (Pn) i (Qn) bę-

dą ciągami rozkładów prawdopodobieńswa na tej przestrzeni. Niech Ω =

Ω0×Ω0× ..., niech ponadto zmienna losowa Xn oznacza rzut na n-tą współ-

rzędną. Niech Fn = σ(X1, ..., Xn) i F∞ = σ(X1, X2, ...) będą σ-algebrami.

Ponadto na F∞ = σ(X1, X2, ...) zdefiniujmy prawdopodobieńtwa produkto-

we następująco P = P1 ⊗ P2 ⊗ ... oraz Q = Q1 ⊗Q2 ⊗ ...

Twierdzenie 3.9. (Kakutaniego) Niech dla każdego n miara Qn będzie

absolutnie ciągła względem Pn, niech gn będzie odpowiednią gęstością i niech

fn = g1(X1)...gn(Xn).

Wtedy

1. (fn,Fn) jest martyngałem na (Ω,F∞, P ),

2. jeśli τ jest momentem stopu względem (Fn), skończonym prawie wszę-

dzie względem miary P + Q, to fτ jest gęstością Q względem P na

σ−algebrze Fτ ,

3. Q jest albo absolutnie ciągła, albo singularna względem P . Jeśli∞∏n=1

∫Ω0

√gndPn > 0,

62

to (fn) jest zbieżny prawie na pewno do zmiennej losowej całkowalnej

f∞, która jest gęstością Q względem P na F∞; jeśli natomiast

∞∏n=1

∫Ω0

√gndPn = 0,

to limn→∞

fn = 0 P -prawie na pewno oraz limn→∞

fn = ∞ Q-prawie na

pewno.

Dowód tego twiedzenia znajduje się w [7] (strona 254).

3.5 Zagadnienie dyskryminacji

Niech (Ω,F) będzie przestrzenią mierzalną i niech P oraz Q będą miarami

probabilistycznymi na tej przestrzeni. Ponadto niech istnieje gęstość g =dQdP

. Mamy zdecydować na podstawie zdarzenia elementarnego ω0 ∈ Ω czy

faktycznym rozkładem doświadczenia losowego jest P czy Q.

Naszą decyzję podejmiemy na podstawie tzw. zbioru krytycznego A ∈ F .

W przypadku, gdy w0 ∈ A to wybieramy rozkład Q w przeciwnym przypadku

P . Ponadto w przypadku błędnych decyzji poniesiemy pewne koszty. Niech

wybranie Q zamiast P oznaczmy przez stratę lQ, a wybranie P zamiast Q

jako lP . Załóżmy, że szansa wybrania rozkładu P wynosi p, a rozkładu Q

równa się q = 1− p. Ostatnie założenie nie zawsze jest realistyczne.

Średnia strata dla rozkładu P wynosi lQP (A) + 0 ·P (A′) = lQP (A), a dla

Q jest równa 0 ·Q(A)+lPQ(A′) = lPQ(A′). Niech ryzyko r oznacza całkowitą

średnią stratę, która wynosi

r(A) = plQP (A) + qlPQ(A′) = aP (A) + bQ(A′),

gdzie plQ = a i qlP = b. Zakładamy, że a, b > 0. Pokażemy jaki zbiór kry-

tyczny minimalizuje ryzyko.

r(A) = aP (A) + b∫A′

gdP =∫A

adP +∫A′

bgdP >

63

>∫Ω

min(a, bg)dP =∫

a6bg

adP +∫

a>bq

bgdP =

= aP(g >

a

b

)+ bQ

(g <

a

b

).

Zatem ryzyko minimalne wynosi rmin =∫Ω

min(a, bg)dP i jest osiągane dla

zbioru A = g > ab. Jeżeli wykonamy doświadczenie n razy to ryzyko mini-

malne wyniesie

rn =∫Ω

min(a, bfn)dP⊗n,

gdzie fn jest gęstością rozkładu z Twierdzenia 3.9 dla rozkładu Q⊗Q⊗ ...⊗Q = Q⊗n względem P ⊗ P ⊗ ... ⊗ P = P⊗n. (fn,Fn) jest martyngałem na

(Ω,F∞, P∞) co implikuje, że ciąg (min(a, bfn),Fn) jest nadmartyngałem.

Istotnie, niech (fn,Fn) będzie martyngałem. Ustalmy liczby a, b > 0. Przyj-

mijmy oznaczenie Bn = ω : bfn(ω) 6 a. Dla dowolnego A ∈ Fn jest

A ∩Bn ∈ Fn oraz A \Bn ∈ Fn, a zatem∫A

min(a, bfn) =∫

A\Bn

adP + b∫

A∩Bn

fndP =

=∫

A\Bn

E[a|Fn]dP +∫

A∩Bn

E[bfn+1|Fn]dP >

>∫

A\Bn

E[min(a, fn+1)|Fn]dP +∫

A∩Bn

E[min(a, bfn+1)|Fn]dP =

=∫A

E[min(a, bfn+1)|Fn)]dP.

Z dowolności A ∈ Fn otrzymujemy min(a, bfn) > E[(min(a, bfn+1))|Fn] pra-

wie wszędzie.

Zatem dla n = 1, 2, 3, ... mamy rn > rn+1. Ponadto limn→∞

rn = 0, gdyż

limn→∞

fn = 0 P∞-prawie na pewno.

3.6 Zadanie o ruinie gracza

W grze bierze udział dwóch graczy z kapitałami odpowiednio a i b, gdzie

a+ b = z. Oznaczmy wygrane pierwszego gracza w kolejnych partiach nieza-

64

leżnymi zmiennymi losowymi ξ1, ..., ξn, .... Jeśli gracz wygra rundę to zmienna

losowa ξn z prawdopodobieństwem p przyjmuje wartość 1, jeśli przegra to z

prawdopodobieństwem 1−p = q przyjmuje wartość −1, gdzie p, q > 0. Niech

Sn = ξ1 + ...+ ξn. Moment ruiny dla pierwszego gracza możemy zdefiniować

jako

τ1 = infn : Sn = −a.

Jest to moment stopu, dla którego P (τ1 <∞) < 1. Moment ruiny dla pierw-

szego lub drugiego gracza definiujemy jako

τR = infn : Sn ∈ −a, b.

Dla tego momentu stopu zachodzi P (τR < ∞) = 1, ponieważ z prawdopo-

dobieństwem 1 pojawi się na przykład kiedyś a + b wygranych pierwszego

gracza.

Prawdopodobieństwo ruiny dla obu graczy

Znajdziemy prawdpopodobieństwa p1 i p2 takie, że p1 = P (SτR = −a) oraz

p2 = P (SτR = b). Najpierw rozważymy przypadek symetryczny, tzn. p =

q = 12 . Wtedy proces (Sn, σ(ξ1, ..., ξn))∞n=1 jest martyngałem oraz E[Sn] = 0

dla n = 1, 2, 3, ... Zauważmy, że τR ∧ n jest ograniczonym momentem stopu.

Zatem z Twierdzenia 2.5 mamy E[SτR∧n] = 0. Co więcej |SτR∧n| 6 max(a, b).

Zauważmy, że limn→∞

SτR∧n = SτR . Istotnie, mamy

P (supn>k|SτR ∧ n− SτR | > ε) 6 P (

⋃n>k

|SτR∧n − SτR | 6= 0) 6 P (τR > k)

dla każdego k ∈ N i dla każdego ε > 0. P (τR > k) → 0 ponieważ P (τR <

∞) = 1. Na podstawie powyższych rozważań wnioskujemy, że E[SτR ] = 0,

wobec czego −ap1 + bp2 = 0

p1 + p2 = 1,

skąd p1 = bz

oraz p2 = az.

W przypadku, gdy p i q nie są równe martyngałem jest ciąg(qp

)Sn, σ(ξ1, ..., ξn)

∞n=1

.

65

Powtarzając rozumowanie z przypadku symetrycznego mamy (− qp)−ap1 + ( q

p)bp2 = 1

p1 + p2 = 1,

skąd

p1 =( qp)a − ( q

p)z

1− ( qp)z

.

Nieskońkończony kapitał.

Niech pierwszy gracz ma kapitał a i niech drugi ma nieskończony kapitał.

Aby obliczyć prawdopodobieństwo ruiny pierwszego gracza wykorzystamy

poprzednie wyniki i dokonamy przejścia granicznego (z →∞).

Oznaczmy przez Aa zdarzenie polegające na ruinie gracza z kapitałem a, a

przez Aa,z zdarzenie polegające na tym, że zanim gracz został zrujnowany,

jego wygrana była zawsze mniejsza od z. Zauważmy, że P (Aa,z) oznacza

prawdopodobieństwo ruiny gracza z kapitałem a w grze o łącznym kapitale

a+z. Co więcej zachodzą następujące zależności Aa,z ⊂ Aa,z+1, Aa =∞⋃z=1

Aa,z.

Zatem możemy napisać

P (Aa) = P (∞⋃z=1

Aa,z) = limz→∞

P (Aa,z) =

1 dla q > p,

( qr)a dla q < p.

66

Bibliografia

[1] P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, Tyt. oryg. Probability

and Measure, Państwowe Wyd. Naukowe, Warszawa 1987.

[2] D. Bobrowski, Ciągi losowe, Wyd. Naukowe UAM, Poznań 2002.

[3] J. Diestel, J. J. Uhl, Vector Measures, Mathematical Surveys vol.15,

Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island 1977.

[4] R. Doman, Wykłady: Inżyneria Finansowa, UAM, rok akademicki

2006/2007.

[5] G. Grimmett, D. Stirzaker, Probability and Random processes,

Oxford Univ. Press, Oxford 2001.

[6] J.Jakubowski, A. Palczewski, M. Rutkowski, Ł.Stettner, Matematyka

finansowa. Instrumenty pochodne., Wyd. Naukowo-Techniczne, War-

szawa 2003.

[7] J.Jakubowski, R.Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa,

Script, Warszawa 2004.

[8] M. Krzyśko, Wykłady: Wstęp do rachunku prawdopodobieńśtwa,

UAM, rok akademicki 2005/2006.

[9] M. Krzyśko, Wykłady z teorii prawdopodobieństwa, Wyd. Naukowo-

Techinczne, Warszawa 2003.

67

[10] M. Mastyło, Wykłady: Teoria miary i całki, UAM, rok akademicki

2004/2005.

[11] P. A. Meyer, Martingales and Stochastic Integrals I, Springer Berlin,

1972.

[12] P. A. Meyer, Probability and potentials, Tyt. oryg.: Probabilites et

potentiel, Blaisdell Publishing Company, Waltham, MA 1966.

[13] A. Michalak, Wykłady: Procesy stochastyczne,UAM, rok akademicki

2006/2007.

[14] J. Neveu, Discrete- Parameter Martingales, North-Holland Publishing

Company, Amsterdam 1975.

[15] R. L. Schiling, Measures, integrals and martingales, Cambridge Univ.

Press, Cambridge 2005.

[16] D. Williams, Probability with martingales, Cambridge Univ. Press,

Cambridge 1991.

68