Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 11 aprile 20081 / 18 Repetita iuvant VariabileScala di misura Operazioni ammissibili Indice di

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Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I

Repetita iuvant

Variabile Scaladi

misura

Operazioniammissibili

Indice di intensità /posizione

Indice di variabilità

Qualitativa

Nominale = ≠Moda:

Modalità più frequente

EterogeneitàGini

Ordinale = ≠ > <

Mediana:modalità dell’unità

centrale della distribuzione

ordinata

((n+1)/2)oppure

(n/2) e (n/2+1)

2

1

G 1m

ii

f

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Repetita iuvant

Neoplasia ni fi

Grado I 56 0,31

Grado II 28 0,16

Grado III 76 0,42

Grado IV 20 0,11

Totale 180 1,00

Errata corrige: Ni = Ni-1 + ni

Fi = Fi-1 + fi

Ni = ni-1 + ni

Fi = fi-1 + fi

Ni Fi

56 0,31

84 0,47

160 0,89

180 1,00

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Rappresentazioni grafiche per variabili qualitative

Diagramma a barre verticali

In un sistema di assi cartesiani, si dispongono le modalità sull’asse delle ascisse, le frequenze (assolute o relative) sull’asse delle ordinate e in corrispondenza delle modalità si traccia una barra (rettangolo) di altezza proporzionale alla frequenza

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

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Esempio

Tumore SNC

ni fi

A 141 0,78

B 9 0,05

C 9 0,05

D 14 0,07

E 0 0,00

F 7 0,04

Totale 180 1,00

0

20

40

60

80

100

120

140

160

A B C D E F

Tumore SNC

n

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

A B C D E F

Tumore SNC

%

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Diagramma a barre orizzontali

In un sistema di assi cartesiani, si dispongono le modalità sull’asse delle ordinate, le frequenze (assolute o relative) sull’asse delle ascisse e in corrispondenza delle modalità si traccia una barra (rettangolo) di larghezza proporzionale alla frequenza

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90

A

B

C

D

E

F

Tu

mo

re S

NC

%

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0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

I II III Iv

Grado di neoplasia

N

Diagramma a barre verticali per freq. ass. cumulate

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

I II III Iv

Grado di neoplasia

F

Diagramma a barre verticali per freq. rel. cumulate

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Diagramma a settori circolari

L’attenzione è rivolta alle frequenze relative. Se il tutto è rappresentato da un cerchio, i settori circolari hanno ampiezza α proporzionale alla frequenza relativa delle modalità.

360i if I

31%

II16%

III42%

IV11%

Neoplasia ni fi αi

Grado I 56 0,31 111,6

Grado II 28 0,16 57,6

Grado III 76 0,42 151,2

Grado IV 20 0,11 39,6

Totale 180 1,00 360,0

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Sintesi statistica di una variabilequantitativa

Unità Genere Età Tumore SNC Neoplasia Anno prima diagnosi …

1 M 19 Meningioma Grado I 2000

2 M 18 Craniofaringioma Grado II 2003

3 F 20 Medulloblastoma Grado II 1999

… … … … … …

29 F 21 Tum. pineale Grado I 2001

Unità statistica: individuo

Variabile oggetto di studio: età

Modalità: continua / discreta….

Gruppo di osservazione: 29 unità

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19 18 18 20 18 21 18 20 18 1818 19 19 20 20 20 18 21 21 2018 20 21 21 21 21 21 18 21

Età ni fi Ni Fi fi2

18 10 0,345 10 0,345 0,119

19 3 0,104 13 0,449 0,011

20 7 0,241 20 0,690 0,058

21 9 0,310 29 1,000 0,096

Totale 29 1,000 0,284

moda: 18mediana: 20G = 1 – 0,284 = 0,716max(G) = 3/4 = 0,750

G = max( ) = 0,955G G

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min(età) = min(xi) = 18

max(età) = max(xi) = 21

Indice di tendenza centrale / posizione: Media aritmetica

Definizione

Chisini:

Dato un insieme di valori osservati x1, x2,…, xn, ed una funzione criterio f, si definisce Media dei valori x1, x2,…, xn secondo il criterio f quel valore M tale che

f(x1, x2,…, xn ) = f(M, M,…, M)

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la funzione f rappresenta l’aspetto dei dati che vogliamo rappresentare

Es. se f(x1, x2,…, xn)=i xi , M rappresenta il valore che,

sostituito ai singoli valori, mantiene inalterato il totale:

f(x1, x2,…, xn)=i xi = i M = n M

da cui

M = i xi /n

ovvero la Media Aritmetica.

Altre funzioni f conducono a diversi tipi di media.

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Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I Modificando la funzione criterio si ottengono altre medie

Es.:Se tutte le modalità osservate sono positive, possiamo definire la funzione prodotto (invece della somma)

f(x1, x2,…, xn)= i xi

e ottenere, secondo il criterio di Chisini,

i xi = i M = Mn

da cui M = (i xi)1/n

(media geometrica)

Media armonica (i (1/xi)), media quadratica (i xi2)…

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1 1 2 ...

n

ii n

XX X X

n n

19 18 18 20 18 ... 2119,517

29x

Data una variabile X

Es. 1 X = età

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Proprietà della media:

1. Internalità: min( ) max( )i iX X

1

0n

ii

x x

2. Baricentro dei dati:

scarti dalla media

M

18 19 2221

20M

18 19 23

20

M

13 18 20 24 25

20

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3. Linearità: la media di una variabile Y, esprimibile comecombinazione lineare di un’altra variabile X(la cui media è μ), ovvero Y = α + β X , èM(Y) = α + β μ

Es: X=temp °C Y=temp °F

Y = 32 + 9/5 X → M(Y) = 32 + 9/5 M(X)

4. i (xi – )2 i (xi – )2 per qualsiasi

osservazioni: utilizza tutti i valori osservati

(l’individuazione della mediana si basa sul numero di osservazioni e sulle posizioni) è espressa nella stessa unità di misura dei dati (dipende dall’ordine di grandezza)

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x1=15 x2=20 x3=25 x4=30 x5=350

media=88 mediana=25

è influenzata dai valori anomali:

x1=15 x2=20 x3=25 x4=30 x5=35

media=25 mediana=25

Età ni

18 10

19 3

20 7

21 9

Totale 29

Media ponderata:Ad ogni modalità si attribuisce un peso pari alla propria frequenza

1 1 1 2 2 ...

m

i ii m m

x nx n x n x n

xn n

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Età ni

18 10

19 3

20 7

21 9

Totale 29

4

1 18 10 19 3 20 7 21 919,517

29

i ii

x nx

n

1 1 1 2 2 ...

m

i ii m m

x nx n x n x n

xn n

1 1 2 21

...m

i i m mi

x x f x f x f x f

fi

0,345

0,104

0,241

0,310

1,000

1

18 0,345 19 0,104 20 0,241 21 0,310 19,516m

i ii

x x f

11 aprile 2008 18 / 18


altezza cm ni fi xifi

171 10 0,345 58,995

173 3 0,104 17,992

175 7 0,241 42,175

178 9 0,31 55,18

Totale 29 1 174,342

altezza m ni fi xifi

1,71 10 0,345 0,58995

1,73 3 0,104 0,17992

1,75 7 0,241 0,42175

1,78 9 0,31 0,5518

Totale 29 1 1,74342

influenza dell’unità di misura

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