Unitarni prostor

Vektorski prostor u kojima je definisan skalarni proizvod naziva se unitarni prostor.Def.Vektorski prostor V nad poljem K realnih ili kompleksnih brojeva je unitarni prostor.Ako je svakom uredjenom paru vektora x,y iz V pridruzen skalar <x,y>€K tako da za svako x,y,z€V i α€K vazi:<x+y,z>=<x,z>+<y,z>,<αx,y>=α<x,y>,<x,y>=<y,x>,<x,x>>=0,<x,x>=0 x=0. Ovako def. f-ja naziva se skalarni proizvod vektora x i y.Def.Norma(duzina,intezitet) vektora x iz unitarnog prostora V u oznaci ||x||(norma) je negativan broj ||x||=

√¿ x , y>¿¿.Za normu vazi sledeca nejednakost Kosi-Svarc-Bunjakovski:Teor.1:Zaproizvoljne vektore x,y iz unitarnog prostora V vazi nejednakost |<x,y>|≤||x||*||y|| sa jednakoscu ako i samo ako su x,y linearno zavisni.Teor.2:Za proizvoljne vektore x,y u prostoru V vazi ||x+y||≤||x||+||y|| sa jednakoscu ako i sam ako je y=0ili x=αy(α≥0).Norma vektora ima sledece osobine:Teor.3:Za proizvoljne vektore x,y iz unitarnog prostora V i proizvoljan skalar α€K vazi: ||x||≥0,||x||=0 x=0,|α|*||x||,||x+y||≤||x||+||y||.Def.Vektorski prostor V takav da je pridruzen ||x|| za koji vaze osobine 1i2 naziva se normirani vektorski prostor.F-ja ||x|| naziva se norma prostora.Def.Za dva vektora x i y iz unitarnog prostora V kazemo da su ortogonalni ako je <x,y>=0.Skup vektora x1,...xn je ortogonalan,ako je

<xi,yi>=0 (i≠j).Ako je ||xi||=1,i=1,...n onda

kazemo da je skup vektora x1..xm

ortonomiran.Za dva vektora kazemo da su kolinearni (paralelni) ako su linearno zavisni.Def.Neka su V i V' dva vektorska prostora nad istim poljem K kazemo da je vek.prostor V izomorfan sa vek.prostorom

V' ako postoje bijekcija f:V→V' ako vazi(

∀ x , y∈V ¿ f(x+y)=f(x)+f(y) i ¿K) f(αx)=αf(x).

Monotoni nizovi

Def.Za niz (xn) kazemo da je monotono rastuci ako za skoro svako n€N vaze redom

sledece nejednakosti xn+1>xn(xn+1<x

n,x≥xn ,xn+1≤).Za niz koji ima jednu od

ovih osobina kazemo da je monoton niz.Pod supremumom niza podrazumjevamo supremum skupa njegovih elemenata tj. sup xn=sup{xn|n€N} inf xn=inf{xn|n€N}Teor.1 Svali monoton niz ima konacnu ili beskonacnu gr. Vrij.Ako je niz xn monotono neopadajuci tada je lim xn=sup xn a ako je monotono nerastuci inda je lim xn=infxn.Monotono ograniceni niz je konvergentan tj.Ima konacno gr.vrijednosti.

Broj e

Broj e, osnova tzv. Priorodnih algoritama, je jedan od 4 najvaznija realna broja u

matematici pored brojeva 0,1 i π .Broj e se

definise pomocu gran.vrijednosti.e=lim(1+1/n)n .Ova gr.vrijed. postoje jer je niz xn(1+1/n)n monotono rastuci i ogranicen.Bernulijeva nejednakost:

(1+x)n≥1+n*x,x>-1,n€N.Teor.2:Svaka

familija umetnutih intervala ima jednu i samo jednu tacku.Def.Neka je xn dati niz i neka je n1,n2,....nk monotono rastuci niz prirodnih br.Tada kazemo da je (xn)podniz niza xn.Teor.3:Niz xn ima gran.vr. a€Rkonj. Ako i samo ako svaki njegov podniz ima gr.vrij. a.Za monotone nizove dovoljno je da znamo gr.vrij. samo jednog podniza sto vazi sledece tvrdjenje:Teor.4.:Ako je niz (xn) monoton i ako jedan njegov podniz ima gr.vrij.a€Rkonj. tada lim xn=a.Teor.5.:Svaki ogranicen niz ima konvergentan podniz.

Nizovi u metrickim prostorima

Def.Neka je x neprazan skup i funk. D: x+x

→R tako da za svako x,y,z€x vazi: d(x,y)≥0 i d(x,y)=0 <>x=y,,d(x,y)=d(y,x)-simetricnost,,d(x,y)=d(x,z)+d(z,y)-nejednakost trougla.Kada kazemo da je d rastojanje ili metrika na skupu x a uredjenji par (x,d) nazivamo metricki prostor.Uskupovima R,R2 I R3 je rastojenje izmedju dvije tacke duzina duzi ili kraj spoja

tj d(x,y)=|x-y| d((x1,y1)(x2,y2))=√ (x1-x2)2+

(y1-y2)2.Navedene metrike se nazivaju euklidskim metrika i one su uobicajne.Nejednakost trougla slijedi nejed.Minkovskog.Takodje se u Rn moze

uvesti metrika i pomocu d(a,b)=∑i−1

n

¿a

i-bi|p)1/p,p>=1. Skup A u metrickom prostoru je ogranicen ako postoji neka kugla K tako da AcK.Za skup AcX kazemo da je otvoren skup ako zajedno sa svakom svojom tackom sadrzi i neku njenu okolinu.Skup A je zatvoren ako je njegov komplement x\A otvoren skup.Za niz koji konvergira ka nekoj tacki x kazemo da je konvergentan.Ako ne postoji a€x limxn=a onda je (xn) divergentan skup.Def.Za niz (αn) u metr. Prostor(x,d) kazemo da je Kosijev niz ako vazi(Ve>0) (En0€N) (Vm,n>=n0) d(xm,xn)<e.U skupu R je svako Kosijev niz konvergentan to ne mora da vrijedi u proizvoljnom metrickom prostoru.

Ravan i prava u En

Def: Neka su r0 i n (n0) dati vektori iz Rn. Skup vetora r takvih da je <r-r0,n>=0, tj (r-r0)*n=0 naziva se (n-1)-dimenziona ravan (hiperravan). Iz ove definicije slijedi da vektor r0 pripada ravni (1) I da je vektor r0 ortogonalan na vektor n, pa ova ravan predstavlja ravan kroz zadatu tacku sa zadatim normalnim vektorom r0 *n=c. Jednacina (1) postaje r*n=c. Ovo je drugi oblik jednacine ravni. Stavljajuci r=(x1,…,xn), n=(p1,…,pn), dobijamo opsti skalarni oblik jednacine ravni: p1x1+…+pnxn=c. Specijalno za n=3 u trodimenzionom prostoru opsti oblik jednacine ravni ce biti: Ax+By+Cz+D=0. Def: Neka su r0 i a (a0) dati vektori iz Rn. Skup vektora n takvih da je r-r0=t (tR) naziva se prava. Iz ove definicije slijedi da je vektor r-r0 kolinearan sa vektorom a I da vektor r0 pripada pravoj (2), pa se (2) naziva prava kroz tacku r0 paralelena datom vektoru a. Ako je r=(x1,…,xn), r0=(x01,…,x0n), a=(a1,…,an) skalarni oblik jednacine (2) glasi: (3)

X 1−X 01a1

= X 2−X 02a2

=…= Xn−X0nan

=t

– kanonski. Ako za vektor a uzmemo a=r1-r0, r1 – dati vektor, iz (2) i (3) dobijamo da je (4) r-r0=t(r-r0) (tr).

(5)

X−X 01X 11−X 01

=…= Xn−X 0nX 1n−X0n

Vektor r1 ce takodje pripadati pravoj (2), pa je sa (5) data jednacina prave kroz 2 tacke. Def: Skup vektora r odredjen sa (4),

odnosno (5) pri cemu je 0≤ t ≤1

naziva se duz cije su krajnje tacke r0 i r1. Def:

Skup KcR n je konveksan ako za bilo

koja 2 vektora r0,r1K i 0≤ t ≤1 vazi

r1=r0+t(r1-r0)K.

Realni nizovi

Vidjeli smo da je skup R realnih brojeva potpuno uredjeno polje u kome vazi aksioma neprekidnosti. Skup R prosirujemo

sa dva simbola +∞ i−∞ za koje vazi

(Vx R )−∞<x<+∞ i

R (konj )=R∪ {−∞,+∞ } nazivamo prosirenim skupom realnih brojeva. U R vaze sledeca pravila:

∞+∞=∞ ,−∞−∞=−∞

a ± ∞=± ∞ (a∈R ) ,∞∗∞=∞ ,−∞∗(−∞ )=∞ ,−∞∗∞=∞. Def: Kazemo da je aR donja granica

skupa S ako za svako xS vazi x≥ a . Za

skup koji ima konacnu donju granicu kazemo da je ogranicen odozdo. Analogno je bR gornja granica skopa S ako je

x≤ b za svako xS. Za skup koji ima konacnu gornju granicu kazemo da je ogranicen odozgo. Ogranicen skup je skup koji ima konacnu I donju I gornju granicu. Ekvivalentno ovome skup S je ogranicen ako

postoji pozitivan broj M takav da je |x|≤M

za svako XS. Def: Svako preslikavanje skupa prirodnih brojeva N u skup nazivamo realnim nizom. Broj koji se ovim preslikavanjem dodjeljuje prirodnom broju n oznacava se sa Xn,an i zove se n-ti clan niza. Takodje, Xn nazivamo I opstim clanom niza. Za niz ciji su clanovi x1,x2,…,xn koriste se oznake: (Xn), (Xn)nN, {Xn}. Na slican nacin se mogu definisati I nizovi konacnih brojeva, nizovi funkcija I u opstem slucaju nizovi elemenata proizvoljnog skupa. Def: Kazemo

da je realan broj a granicna vrijednost ili

limes niza X I pisemo da je

limn → ∞

Xn=a ili Xn → a ako

(Vx>0 ) (∃n0N ) (Vn ≥ n0 ) ( Xn−a )<ε

. limn → ∞

¿>limXn. Ako je

limXn=a kazemo da niz Xn

konvergira ka a ili da tezi ka a , kada

n → ∞. T1: 1 ° Niz ne moze imati

vise od jedne granicne vrijednosti, 2 °

Svaki konvergentan niz je ogranicen T2:

1 ° Ako je Xn=CR okda je

limXn=c , 2 ° Neka je

limXn=x , limYn= y , ( x , y R ) i neka su a,b,cR proizvoljni tada je

lim (aXn+bYn )=ax+by ,limXnYn=xy ,lim Xn

Yn=X

Y, ( y0 ) .

Def: Kazemo da niz (Xn) ima granicnu

vrijednost +∞ I pisemo

limXn=+∞ ako

(VM>0 ) (∃n0N ) (Vn ≥ n0 ) Xn>M. U tom slucaju kazemo da niz divergira ka beskonacnosti. T4(Stolcova Teorema): Neka su ispunjeni uslovi:

1 °limYn=+∞ ,2° niz(

Yn) je monotono rastuci,

Y (n+1)>Yn za skoro svako n

3 °postoji (konacna ili beskonacna) granicna vrijednost

lim X n+1−Xn

Y n+1−Y n

, tada postoji i

lim XnYn

=lim Xn+1−Xn

Y n+1−Y n

.