Upload
gadj-ahmada
View
235
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
1/22
duMairy — FEB UGM, (c) 2016
M A T R I K S
Matriks ialah kumpulan-bilangan non-numeris*) ygtersaji teratur dalam baris dan kolom sertatermuat di antara sepasang tanda kurung.
Bilangan2 di dalam sebuah matriks disebut unsur.Tanda kurung yang mengapit unsur2 matriks bisa
berupa tanda kurung biasa atau tanda kurungsiku, tetapi bukan tanda kurung kurawal.
*) Non-numeris maksudnya bukan merupakanbilangan tertentu, bukan mrpk nilai penyelesaian
tertentu.
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
2/22
duMairy — FEB UGM, (c) 2016
a a2 !!! an
a2 a22 !!! a2n. . . .
Am×n = . . . .
. . . .amam2 !!! amn
m"n menunjukkan dimensi atau ordo matriks#m $ jumlah baris, n $ jumlah kolom)
aij merujuk ke unsur pada baris dan kolom ter- tentu
#baris ke-i dan kolom ke- j )
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
3/22
duMairy — FEB UGM, (c) 2016
Beberapa Contoh Matriks
2 % &' ( ' (
&+
( + 2 ' '
ordo 2"( ("2 2"2
Matriks yg jumlah barisnya sama dengan jumlahkolomnya #m$n) disebut matriks bujursangkar.
ektor matriks sebaris #disebut /ektor baris)
matriks sekolom #disebut /ektor kolom)
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
4/22
duMairy — FEB UGM, (c) 2016
Pengoperasian Matriks [1]
0perasi 1enjumlahan1engurangan
3ua buah matriks hanya dapat dijumlahkan
#atau dikurangkan) apabila keduanya seordo
#sama2 berdimensi m"n).
Am"n4 Bm"n $ Cm"n
A("'4 B("'$ C("'
dalam hal ini c ij $ aij 4 bij
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
5/22
duMairy — FEB UGM, (c) 2016
Pengoperasian Matriks [2]
5yarat 1erkalian
3ua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila
jumlah-kolom matriks-terkali sama dengan
jumlah-baris matriks-pengali.
Am"n"Bn" p$Cm" p
A("'"B'"%$C("%
dalam hal ini c ij $ Σ#aij ⋅ bii )
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
6/22
duMairy — FEB UGM, (c) 2016
Matriks-matriks Khas
Matriks Uaha! (transpose matrix )matriks hasil pengubahan matriks yang sudah ada
sebelumnya, baris2 dan kolom2nya saling bertukar letak.
Matriks "ia#$!a%
matriks bujursangkar yg semua unsurnya angka 6 ke7ualipada diagonal utama.
Matriks &ka%ar
matriks bujursangkar yg semua unsurnya pada diagonal
utama sama, selebihnya angka 6.Matriks &atua! atau Matriks 'd!titas
matriks bujursangkar yg semua unsurnya pada diagonal
utama angka , selebihnya angka
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
7/22duMairy — FEB UGM, (c) 2016
Matriks-matriks Khas
Matriks $%matriks yang semua unsurnya angka 6 #nol).
Matriks Ba%ika! (inverse matrix )
matriks yang merupakan hasil pembalikan matriks
bujursangkar tertentu
&imtrik (symmetric matrix )
matriks bujursangkar yang sama dengan matriks
ubahannya.Matriks &imtrik-Miri!# (skew symmmetric m*)
matriks bujursangkar yang sama dengan negati8
matriks ubahannya
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
8/22duMairy — FEB UGM, (c) 2016
Matriks-matriks Khas
Matriks +rt$#$!a%
matriks yang perkaliannya dengan matriks ubahannya
menghasilkan matriks satuan.
Matriks &i!#u%ar (singular matrix )matriks bujursangkat yang nilai determinannya nol.
Matriks $!-si!#ur%ar (non-singular matrix )
matriks bujursangkar yang nilai determinanya tidak nol
#ada, exists).
Matriks singular tidak mempunyai balikan. 5edangkan
matriks non-singular memiliki balikan #inverse).
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
9/22duMairy — FEB UGM, (c) 2016
"EEM'A
3eterminan ialah gugus bilangan berbentuk bujur-sangkar yg memiliki nilai numerik #penyelesaian).
a a2 . . . an
a2 a22 . . . a2n . . . . . . ! . . .
an an2 . . . ann
Matriks tidak memiliki nilai penyelesaian, hanyasekadar gugus bilangan, dan tidak selaluberbentuk bujursangkar.
.A.n/n $
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
10/22duMairy — FEB UGM, (c) 2016
EEE&A'A "EEM'A
Nilai penyelesaian sebuah determinan ialah jumlahhasil-kali unsur2 9kitas-kawah: dikurangi jumlah
hasil-kali unsur2 9kiwah-katas:.
kitas
ki3ah ka3ah
katas 4 $ s i t i 5
! ( # a t i 5
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
11/22
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
12/22
duMairy — FEB UGM, (c) 2016
!y%saia! "trmi!a!
.A.(;( $ #aa22a(( 4 a2a2(a(4 a(a(2a2) —#a(a22a( 4 a(2a2(a4 a((a2a2)
.A.(;( $ aa22a(( 4 a2a2(a(4 a(a(2a2
a(a22a( a(2a2(a a((a2a2
Contoh
( 2 % % ' ( % 2
( 2 ' (
..(;($ ..(;($
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
13/22
duMairy — FEB UGM, (c) 2016
M ' +
Minor # ij ) ialah sub-determinan yang diperolehdengan mengabaikan baris #i ) dan kolom # j )
tertentu dari determinan asalnya.
162 #ba7a minor
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
14/22
duMairy — FEB UGM, (c) 2016
C$!t$h-c$!t$h Mi!$r
( % 2 ( % 2
2 ' 2 '
=umlah minor untuk setiap determinan $ n"n $ n2.
>itunglah minor-minor lainnya dari determinan di
atas?
.A. $ .A. $
µ
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
15/22
duMairy — FEB UGM, (c) 2016
7uu!#a! Mi!$r d!#a! "trmi!a!
.A.(;( $ aa22a(( 4 a2a2(a(4 a(a(2a2 a(a22a( a(2a2(a a((a2a2
.A.(;(
$ #a
a22
a((
a(2
a2(
a
) 4 #a2
a2(
a(
a((a2a2) 4 #a(a(2a2 a(a22a( )
.A.(;( $ a#a22a(( a(2a2() 4 a2#a2(a( a((a2)
4 a(#a(2a2 a(a22)
.A.(;( $ a#a22a(( a(2a2() 4 a2# a2a(( 4 a(a2() 4 a(#a2a(2 a(a22)
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
16/22
duMairy — FEB UGM, (c) 2016
7uu!#a! Mi!$r d!#a! "trmi!a!
.A.(;( $ a#a22a(( a(2a2() 4 a2# a2a(( 4 a(a2() 4 a(#a2a(2 a(a22)
.A.(;( $ a#a22a(( a(2a2() a2#a2a(( a(a2() 4 a(#a2a(2 a(a22)
.A.(;( $ a. µ
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
17/22
duMairy — FEB UGM, (c) 2016
.A.n;n $ aij . µ ij @i,j $, 2, . . ,nA
jika #i+j ) genap tanda positi8
jika #i4j) ganjil tanda negati8
.A.n;n $ aij. µ ij
i tertentu #konstan)
j $ , 2, ! , n
i disebut operator
.A.n;n $ aij. µ ij
i $ , 2, ! , n j $ tertentu #konstan)
j disebut operator
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
18/22
duMairy — FEB UGM, (c) 2016
.A.n;n $ aij. µ ij j $ , 2, !. ,n
.A.n;n $ aij. µ ij i $ , 2, !. ,n
.A.(;( $ a. µ
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
19/22
duMairy — FEB UGM, (c) 2016
K+FAK+
o8aktor # ij ) adalah i;j $ #-)i+j . i;j
jika #i+j ) genap κ i;j $ µ i;j
jika #i4j) ganjil κ i;j $ µ i;j
Nilai determinan dapat juga dihitung melalui nilai2
ko8aktor, dengan rumus dasar
.A.n;n $ aij .κ ij @i,j $, 2, . . ,nA
i tertentu #konstan)
j $ , 2, ! , n
i $ , 2, ! , n
j tertentu #konstan)
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
20/22
duMairy — FEB UGM, (c) 2016
MA'K& K+FAK+
Matriks o8aktor ialah matriks bujursangkar yang
unsur2nya terdiri atas ko8aktor2 #κ ij ) yang berasal
dari sebuah matriks asal.
κ κ 2 . . . κ n
κ 2 κ 22 . . . κ 2n
. . . . . . ! . . .κ n κ n2 . . . κ nn
ij n/n $
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
21/22
duMairy — FEB UGM, (c) 2016
A"8+'
Cdjoin sebuah matriks ialah matriks-ubahan darimatriks ko8aktor sebuah matriks asal.
adj. A $ ij n/n κ κ 2 . . . κ n
κ 2 κ 22 . . . κ 2n
. . . . . . ! . . .
κ n κ n2 . . . κ nn
$
8/18/2019 Mat2-5 Matriks
22/22
duMairy — FEB UGM, (c) 2016
ma%ika! Matriks
Membalik matriks #inverting a matrix ) berarti
menemukan matriks-balikan dari sebuah matriks
asal. Balikan A dilambangkan dengan A—1. A—1
benar mrpk balikan dari A jika terbukti A.A
—1
$ '.=adi, membalik A berarti men7ari A—1 yg meme-
nuhi syarat A.A—1$ '. Matriks-balikan A—1 dapat
diperoleh dengan rumus
adj. A
. A . A—1 $