MAT2 Tutorial - Diferencijalne Jednadzbe

STUDENTSKA TRIBINA NA FERu

IZ

DIFERENCIJALNIH JEDNADBI:

333 zadataka

Mervan Pai

Faculty of Electrical Engineering and Computing

University of Zagreb, CROATIA

A302, FER, subota 02. 07. 2012.

Obaranje rekorda: 333 zadatka Mervan Paic: 333 zadataka 1/24

1. Supstitucijom do separacije

Ogledni primjer 1.1

(Z1) Rijeiti diferencijalnu jednadbu:

y + 1 = (x + y)7ex .

Rjeenje.

z = x + y , z = z(x), z = 1+ y ;

z = z7ex , dzz7

= exdx ,z7dz =

exdx , z

6

6 = ex + c ;

z(x) =( 6ex + c

)1/6 y(x) = ( 6ex + c)1/6 x .

Ogledni primjer 1.1

y + 1 = (x + y)7ex .

Rjeenje.

z = x + y , z = z(x), z = 1+ y ;

z = z7ex , dzz7

= exdx ,z7dz =

exdx , z

6

6 = ex + c ;

z(x) =( 6ex + c

)1/6 y(x) = ( 6ex + c)1/6 x .

Ogledni primjer 1.1

y + 1 = (x + y)7ex .

Rjeenje.

z = x + y , z = z(x), z = 1+ y ;

z = z7ex , dzz7

= exdx ,z7dz =

exdx , z

6

6 = ex + c ;

z(x) =( 6ex + c

)1/6 y(x) = ( 6ex + c)1/6 x .

Ogledni primjer 1.1

y + 1 = (x + y)7ex .

Rjeenje.

z = x + y , z = z(x), z = 1+ y ;

z = z7ex , dzz7

= exdx ,z7dz =

exdx , z

6

6 = ex + c ;

z(x) =( 6ex + c

)1/6 y(x) = ( 6ex + c)1/6 x .

Prva varijacija na ogledni primjer 1.1

y + 1 = (x + y)nf (x),

gdje znamo integrirati f (x), te neka je F (x) =f (x)dx .

Rjeenje.

z = x + y , z = z(x), z = 1+ y ;

z = znf (x), dzzn = f (x)dx ,zndz =

f (x)dx ,

zn+1

n+1 = F (x) + c ;

z(x) =[(n + 1)F (x) + c

] 1n+1

y(x) =[(n + 1)F (x) + c

] 1n+1 x .

y + 1 = (x + y)nf (x),

Rjeenje.

z = x + y , z = z(x), z = 1+ y ;

f (x)dx ,

zn+1

n+1 = F (x) + c ;

z(x) =[(n + 1)F (x) + c

] 1n+1

y(x) =[(n + 1)F (x) + c

] 1n+1 x .

y + 1 = (x + y)nf (x),

Rjeenje.

z = x + y , z = z(x), z = 1+ y ;

f (x)dx ,

zn+1

n+1 = F (x) + c ;

z(x) =[(n + 1)F (x) + c

] 1n+1

y(x) =[(n + 1)F (x) + c

] 1n+1 x .

y + 1 = (x + y)nf (x),

Rjeenje.

z = x + y , z = z(x), z = 1+ y ;

f (x)dx ,

zn+1

n+1 = F (x) + c ;

z(x) =[(n + 1)F (x) + c

] 1n+1

y(x) =[(n + 1)F (x) + c

] 1n+1 x .

Druga varijacija na ogledni primjer 1.1

y + 1 = g(x + y)f (x),

gdje znamo integrirati f (x) i 1/g(s), te neka je F (x) =f (x)dx i

G (s) =

1g(s)ds.

Rjeenje.

z = x + y , z = z(x), z = 1+ y ;

z = g(z)f (x), dzg(z) = f (x)dx ,

dzg(z) =

f (x)dx + c ,

G (z) = F (x) + c ;

z(x) = G1(F (x) + c

) y(x) = G1

(F (x) + c

) x .

y + 1 = g(x + y)f (x),

G (s) =

1g(s)ds.

Rjeenje.

z = x + y , z = z(x), z = 1+ y ;

z = g(z)f (x), dzg(z) = f (x)dx ,

dzg(z) =

f (x)dx + c ,

G (z) = F (x) + c ;

z(x) = G1(F (x) + c

) y(x) = G1

(F (x) + c

) x .

y + 1 = g(x + y)f (x),

G (s) =

1g(s)ds.

Rjeenje.

z = x + y , z = z(x), z = 1+ y ;

z = g(z)f (x), dzg(z) = f (x)dx ,

dzg(z) =

f (x)dx + c ,

G (z) = F (x) + c ;

z(x) = G1(F (x) + c

) y(x) = G1

(F (x) + c

) x .

y + 1 = g(x + y)f (x),

G (s) =

1g(s)ds.

Rjeenje.

z = x + y , z = z(x), z = 1+ y ;

z = g(z)f (x), dzg(z) = f (x)dx ,

dzg(z) =

f (x)dx + c ,

G (z) = F (x) + c ;

z(x) = G1(F (x) + c

) y(x) = G1

(F (x) + c

) x .

1. Supstitucijom do separacije -

najjednostavniji sluaj

Primjer za samostalni rad 1.1

xy = y xey

x .

xy y = (x + y) ln x + yx

.

Primjer za samostalni rad 1.3 (oprez)

xy = y cos lny

x.

(y + 1) lny + x

x + 3=

y + x

x + 3.

y =y + 2

x + 1+ tg

y 2xx + 1

.

(Z9) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: 2xy + y = y2

x x2y2.

Rjeenje: 2

1xy2 1 = ln(cx); singularno: xy2 = 1.

2. Supstitucijom do homogenog stupnja -

prvi klasini sluaj

Ogledni primjer 2.1

(2x 4y + 6)dx + (x + y 3)dy = 0.

Rjeenje.

u = x x0, v = y y0, du = dx , dv = dy ;

x0 i y0 su rjeenja sustava: 2x 4y + 6 = 0, x + y 3 = 0;

u = x 1, v = y 2, (2u 4v)dx + (u + v)dy = 0,....

prvi klasini sluaj

Ogledni primjer 2.1

(2x 4y + 6)dx + (x + y 3)dy = 0.

Rjeenje.

u = x x0, v = y y0, du = dx , dv = dy ;

u = x 1, v = y 2, (2u 4v)dx + (u + v)dy = 0,....

prvi klasini sluaj

Ogledni primjer 2.1

(2x 4y + 6)dx + (x + y 3)dy = 0.

Rjeenje.

u = x x0, v = y y0, du = dx , dv = dy ;

u = x 1, v = y 2, (2u 4v)dx + (u + v)dy = 0,....

prvi klasini sluaj

Ogledni primjer 2.1

(2x 4y + 6)dx + (x + y 3)dy = 0.

Rjeenje.

u = x x0, v = y y0, du = dx , dv = dy ;

u = x 1, v = y 2, (2u 4v)dx + (u + v)dy = 0,....

prvi klasini sluaj

(Z11) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: (x + 4y)y = 2x + 3y 5.

Rjeenje: (y x + 5)5(x + 2y 2) = c .

(Z12) Rijeiti diferencijalnu jednadbu:(y + 2)dx = (2x + y 4)dy .

Rjeenje: (y + 2)2 = c(x + y 1); singularno: y = 1 x .

(Z13) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: y = 2(

y+2x+y1

)2.

Rjeenje: y + 2 = ce2 arctgy+2x3 .

drugi klasini sluaj

Ogledni primjer 2.2

(2x 4y + 6)dx + (x 2y 3)dy = 0.

Rjeenje.

z = x 2y , z = z(x), y = (x z)/2, y = (1 z )/2;

(2z + 6) + (z 3)(1 z )/2 = 0 5z+9z3 = z ;

z35z+9dz = dx

z35z+9dz =

dx .

drugi klasini sluaj

Ogledni primjer 2.2

(2x 4y + 6)dx + (x 2y 3)dy = 0.

Rjeenje.

z = x 2y , z = z(x), y = (x z)/2, y = (1 z )/2;

(2z + 6) + (z 3)(1 z )/2 = 0 5z+9z3 = z ;

z35z+9dz = dx

z35z+9dz =

dx .

drugi klasini sluaj

Ogledni primjer 2.2

(2x 4y + 6)dx + (x 2y 3)dy = 0.

Rjeenje.

z = x 2y , z = z(x), y = (x z)/2, y = (1 z )/2;

(2z + 6) + (z 3)(1 z )/2 = 0 5z+9z3 = z ;

z35z+9dz = dx

z35z+9dz =

dx .

drugi klasini sluaj

Ogledni primjer 2.2

(2x 4y + 6)dx + (x 2y 3)dy = 0.

Rjeenje.

z = x 2y , z = z(x), y = (x z)/2, y = (1 z )/2;

(2z + 6) + (z 3)(1 z )/2 = 0 5z+9z3 = z ;

z35z+9dz = dx

z35z+9dz =

dx .

drugi klasini sluaj

(Z15) Rijeiti diferencijalnu jednadbu:(2x + y + 1)dx (4x + 2y 3)dy = 0.Rjeenje: 2x + y 1 = ce2yx .

(Z16) Rijeiti diferencijalnu jednadbu:x y 1+ (y x + 2)y = 0.Rjeenje: (y x + 2)2 + 2x = c .

y = 13x3y1+x+y .

Rjeenje: 3x + 2y ln |x + y 1| = c .Obaranje rekorda: 333 zadatka Mervan Paic: 333 zadataka 10/24

neklasini sluaj

Ogledni primjer 2.3

2x4yy + y4 = 4x6.

Rjeenje.

y = zm, y = mzm1;

2mx4z2m1z + z4m = 4x6 4+ (2m 1) = 4m = 6 m = 32 ;

y = z3/2 3x4z2z + z6 = 4x6.

neklasini sluaj

Ogledni primjer 2.3

2x4yy + y4 = 4x6.

Rjeenje.

y = zm, y = mzm1;

2mx4z2m1z + z4m = 4x6 4+ (2m 1) = 4m = 6 m = 32 ;

y = z3/2 3x4z2z + z6 = 4x6.

neklasini sluaj

Ogledni primjer 2.3

2x4yy + y4 = 4x6.

Rjeenje.

y = zm, y = mzm1;

2mx4z2m1z + z4m = 4x6 4+ (2m 1) = 4m = 6 m = 32 ;

y = z3/2 3x4z2z + z6 = 4x6.

neklasini sluaj

Ogledni primjer 2.3

2x4yy + y4 = 4x6.

Rjeenje.

y = zm, y = mzm1;

2mx4z2m1z + z4m = 4x6 4+ (2m 1) = 4m = 6 m = 32 ;

y = z3/2 3x4z2z + z6 = 4x6.

neklasini sluaj

y /2+ x/4 =y .

2

3xyy =

x6 y4 + y2.

2xy + y = y2

x x2y2.

3. Supstitucijom do linearne jednadbe -

Lagrange

Ogledni primjer 3.1

y = xf (y ) + g(y ).

Rjeenje.

y = p, p = p(x), y = xf (p) + g(p);

y = f (p) + xf (p)p + g (p)p p f (p) = p(xf (p) + g (p)

);

dxdp f (p)

pf (p)x =g (p)pf (p) uz uvjet p f (p) 6= 0;

mogue singularno rjeenje nalazimo iz uvjeta: y = f (y ).

Lagrange

Ogledni primjer 3.1

y = xf (y ) + g(y ).

Rjeenje.

y = p, p = p(x), y = xf (p) + g(p);

);

dxdp f (p)

Lagrange

Ogledni primjer 3.1

y = xf (y ) + g(y ).

Rjeenje.

y = p, p = p(x), y = xf (p) + g(p);

);

dxdp f (p)

Lagrange

Ogledni primjer 3.1

y = xf (y ) + g(y ).

Rjeenje.

y = p, p = p(x), y = xf (p) + g(p);

);

dxdp f (p)

Lagrange

Ogledni primjer 3.1

y = xf (y ) + g(y ).

Rjeenje.

y = p, p = p(x), y = xf (p) + g(p);

);

dxdp f (p)

Lagrange

(Z23) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: y = xy 2 2y 3.Rjeenje:

x = c(p 1)2 + 2p + 1, y = cp2(p 1)2 + p2;singularna: y = 0, y = x 2.

(Z24) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: 2y 2(y xy ) = 1.Rjeenje: 2c2(y cx) = 1; singularno: 8y3 = 27x2.

(Z25) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: y 3 = 3(xy y).Rjeenje: c3 = 3(cx y); singularno: 9y2 = 4x3.

Lagrange

(Z23) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: y = xy 2 2y 3.Rjeenje: x = c(p 1)2 + 2p + 1, y = cp2(p 1)2 + p2;singularna: y = 0, y = x 2.

Lagrange

(Z23) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: y = xy 2 2y 3.Rjeenje: x = c(p 1)2 + 2p + 1, y = cp2(p 1)2 + p2;singularna: y = 0, y = x 2.

3. OPREZ: iako je Clairaut-ova jednadba

specijalni oblik Lagrange-ove jednadbe,

postupak je drukiji

Ogledni primjer 3.2

(Z26) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: y = xy + g(y ).

Rjeenje.

y = p, p = p(x), y = xp + g(p);

y = p + xp + g (p)p 0 = p(x + g (p)

);

ako je x + g (p) 6= 0, tada je p = 0 odnosno p = c , rjeenje:y = cx + g(c);

ako je p 6= 0, tada je x + g (p) = 0, odnosno singularno rjeenje:x = g (p), y = pg (p) + g(p).

postupak je drukiji

Ogledni primjer 3.2

Rjeenje.

y = p, p = p(x), y = xp + g(p);

y = p + xp + g (p)p 0 = p(x + g (p)

);

postupak je drukiji

Ogledni primjer 3.2

Rjeenje.

y = p, p = p(x), y = xp + g(p);

y = p + xp + g (p)p 0 = p(x + g (p)

);

postupak je drukiji

Ogledni primjer 3.2

Rjeenje.

y = p, p = p(x), y = xp + g(p);

y = p + xp + g (p)p 0 = p(x + g (p)

);

postupak je drukiji

Ogledni primjer 3.2

Rjeenje.

y = p, p = p(x), y = xp + g(p);

y = p + xp + g (p)p 0 = p(x + g (p)

);

3. OPREZ: Clairautova jednadba

(Z27) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: y = xy y 2.Rjeenje:

y = cx c2; singularna: 4y = x2.

(Z28) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: y = xy (2+ y ).Rjeenje: y = cx c 2; singularno: NEMA.

(Z29) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: xy y = ln y .Rjeenje: y = cx ln c ; singularno: y = ln x + 1.

(Z27) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: y = xy y 2.Rjeenje: y = cx c2; singularna: 4y = x2.

Bernoulli

Ogledni primjer 3.3

y + f (x)y = g(x)yn.

Rjeenje.

yny + f (x)y1n = g(x), z = z(x), z = y1n;

z = (1 n)yny yny = z /(1 n);

z + (1 n)f (x)z = (1 n)g(x); F (x) = (1 n)f (x),G (x) = (1 n)g(x);

y(x) = z1

1n (x), z(x) = eF (x)dx

(c +

G (x)e

F (x)dx)

).

Bernoulli

Ogledni primjer 3.3

Rjeenje.

z = (1 n)yny yny = z /(1 n);

y(x) = z1

1n (x), z(x) = eF (x)dx

(c +

G (x)e

F (x)dx)

).

Bernoulli

Ogledni primjer 3.3

Rjeenje.

z = (1 n)yny yny = z /(1 n);

y(x) = z1

1n (x), z(x) = eF (x)dx

(c +

G (x)e

F (x)dx)

).

Bernoulli

Ogledni primjer 3.3

Rjeenje.

z = (1 n)yny yny = z /(1 n);

y(x) = z1

1n (x), z(x) = eF (x)dx

(c +

G (x)e

F (x)dx)

).

Bernoulli

Ogledni primjer 3.3

Rjeenje.

z = (1 n)yny yny = z /(1 n);

y(x) = z1

1n (x), z(x) = eF (x)dx

(c +

G (x)e

F (x)dx)

).

Lagrange

(Z32) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: (x + 1)(y + y2) = y .Rjeenje:

y(x + 1)(ln |x + 1|+ c) = 1; singularno: y = 0.

(Z33) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: xy2y = x2 + y3.Rjeenje: y3 = cx3 3x2.

(Z34) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: xy 2x2y = 4y .Rjeenje: y = x4 ln2 cx ; singularno: y = 0.

Lagrange

(Z32) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: (x + 1)(y + y2) = y .Rjeenje: y(x + 1)(ln |x + 1|+ c) = 1; singularno: y = 0.

Lagrange

(Z32) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: (x + 1)(y + y2) = y .Rjeenje: y(x + 1)(ln |x + 1|+ c) = 1; singularno: y = 0.

4. Zamjena poretka: y(x) x(y)

Ogledni primjer 4.1

f (x , y , y ) = 0,

zamjenom poredka: y(x) x(y).

Rjeenje.

f(x , y(x), dydx

)= 0 f

(x(y), y , 1

dx/dy

)= 0;

f(x(y), y , 1

dx/dy

)= 0 g

(y , x(y), dxdy

)= 0.

Ogledni primjer 4.1

f (x , y , y ) = 0,

Rjeenje.

f(x , y(x), dydx

)= 0 f

(x(y), y , 1

dx/dy

)= 0;

f(x(y), y , 1

dx/dy

)= 0 g

(y , x(y), dxdy

)= 0.

Ogledni primjer 4.1

f (x , y , y ) = 0,

Rjeenje.

f(x , y(x), dydx

)= 0 f

(x(y), y , 1

dx/dy

)= 0;

f(x(y), y , 1

dx/dy

)= 0 g

(y , x(y), dxdy

)= 0.

(Z36) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: ydx + x(2xy + 1)dy = 0.Rjeenje:

y2e 1

xy = c ; singularna: y = 0 i x = 0.

(Z37) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: (sin2 y + xctgy)y = 1.Rjeenje: x = (c cos y) sin y .

(Z38) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: y = y3xy2 .

Rjeenje: x = cy3 + y2; singularno: y = 0.

(Z36) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: ydx + x(2xy + 1)dy = 0.Rjeenje: y2e

1xy = c ; singularna: y = 0 i x = 0.

(Z36) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: ydx + x(2xy + 1)dy = 0.Rjeenje: y2e

1xy = c ; singularna: y = 0 i x = 0.

5. Parametarsko rjeavanje: x = F (y )

Ogledni primjer 5.1

x = F (y ),

pomou parametra: p = y .

Rjeenje.

x = F (y ) i y = p x = F (p);

x = F (p) dx = F (p)dp dy = pdx = pF (p)dp;

rjeenje u parametarskom obliku: x = F (p), y =pF (p)dp;

ako je to mogue, eliminariti parametar p i napisati rjeenje uobliku y=f(x).

Ogledni primjer 5.1

x = F (y ),

Rjeenje.

x = F (y ) i y = p x = F (p);

Ogledni primjer 5.1

x = F (y ),

Rjeenje.

x = F (y ) i y = p x = F (p);

Ogledni primjer 5.1

x = F (y ),

Rjeenje.

x = F (y ) i y = p x = F (p);

Ogledni primjer 5.1

x = F (y ),

Rjeenje.

x = F (y ) i y = p x = F (p);

(Z40) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: x = y 3 + y .Rjeenje:

x = p3 + p, 4y = 3p4 + 2p2 + c .

(Z41) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: x = y

y 2 + 1.

Rjeenje: x = p

p2 + 1, 3y = (2p2 1)

p2 + 1+ c .

(Z42) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: y (x ln y ) = 1.Rjeenje: x = ln p + 1p , y = p ln p + c .

(Z40) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: x = y 3 + y .Rjeenje: x = p3 + p, 4y = 3p4 + 2p2 + c .

y 2 + 1.

Rjeenje: x = p

p2 + 1, 3y = (2p2 1)

p2 + 1+ c .

(Z40) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: x = y 3 + y .Rjeenje: x = p3 + p, 4y = 3p4 + 2p2 + c .

y 2 + 1.

Rjeenje: x = p

p2 + 1, 3y = (2p2 1)

p2 + 1+ c .

5. Parametarsko rjeavanje: x = F (y , y )

Ogledni primjer 5.2

x = F (y , y ),

Rjeenje.

x = F (y , y ) i y = p x = F (y , p);

x = F (y , p) dx = Fy dy +Fp dp

dy = pdx = p Fy dy + pFp dp 0 =

(p Fy 1

)dy + p Fp dp;

x = F (y , p), y = G (p); ako je to mogue, eliminariti parametar p i napisati rjeenje uobliku y=f(x).

Ogledni primjer 5.2

x = F (y , y ),

Rjeenje.

x = F (y , y ) i y = p x = F (y , p);

(p Fy 1

)dy + p Fp dp;

Ogledni primjer 5.2

x = F (y , y ),

Rjeenje.

x = F (y , y ) i y = p x = F (y , p);

(p Fy 1

)dy + p Fp dp;

Ogledni primjer 5.2

x = F (y , y ),

Rjeenje.

x = F (y , y ) i y = p x = F (y , p);

(p Fy 1

)dy + p Fp dp;

Ogledni primjer 5.2

x = F (y , y ),

Rjeenje.

x = F (y , y ) i y = p x = F (y , p);

(p Fy 1

)dy + p Fp dp;

x = F (y , p), y = G (p);

Ogledni primjer 5.2

x = F (y , y ),

Rjeenje.

x = F (y , y ) i y = p x = F (y , p);

(p Fy 1

)dy + p Fp dp;

(Z44) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: y = exy

y .

Rjeenje:

cx = ln(cy), singularno: y = ex .

(Z45) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: y 3 + y2 = xyy .

Rjeenje: pxy = y2 + p3, y2(2p + c) = p4, singularno: y = 0.

(Z46) Rijeiti diferencijalnu jednadbu: 2xy y = y ln(yy ).Rjeenje: y2 = 2cx c ln c , 2x = 1+ 2 ln |y |.

y .

Rjeenje: cx = ln(cy), singularno: y = ex .

y .

Rjeenje: cx = ln(cy), singularno: y = ex .

Documents

MAT2 Tutorial - Diferencijalne Jednadzbe