Mat4 Ejemplos de Modelado

MODELADOS CON E.D. DE PRIMER ORDEN 1

MAT4 EJERCICIOS DE MODELADO 1. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una rapidez

proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento t. Si la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará?

i) Leer el problema en su totalidad para tener un panorama global o

general de éste.

ii) Leer el problema de nuevo, pero ahora detenidamente, e ir haciendo un listado de la información (datos) explícita e implícita que el enunciado de éste proporciona. Hacer diagramas, bosquejos o dibujos. Anotar también, las preguntas o interrogantes a resolver.

Datos: Población inicial: 0P

Población para 0=t es: ( ) 00 PP =

Población se duplico en cinco años: ( ) 025 PP =

Interrogantes: (a) ¿en cuánto tiempo se triplicara? ( ) 03PtP =

(b) ¿en cuánto tiempo se cuadruplicara? ( ) 04PtP =

iii) Escoger el modelo matemático a utilizar o construir la ecuación

diferencial, basados en el enunciado del problema. Debido a que el problema plantea aumento en la población el modelo matemático a utilizar es el correspondiente a crecimiento y decaimiento:

kPdtdP

=

Donde k es la constante de proporcionalidad.

MATEMÁTICA IV [email protected]


iv) Resolver la ecuación diferencial (Variables Separables, Exactas, Lineales, Homogéneas o Bernoulli). La E.D. es lineal, pero también se puede resolver por variables separables. Entonces, resolviéndola por variables separables, se tiene: a) Separando variables, tenemos:

kdtPdP

kPdtdP

kPdtdP

=

=

=

b) Integrando ambos miembros y luego reduciendo, se tiene:

∫ ∫= dtkdtdP

kt

Ckt

CktP

CePeePee

CktP

=

=

=

+=+ln

ln

Puede observarse que en la solución general hay dos parámetros (constantes), cuyo valor numérico hay que hallar utilizando las condiciones iniciales (datos) del problema.

v) Hallar el valor numérico de la constante de integración y/o la constante de proporcionalidad evaluando las condiciones iniciales (datos).

a) Evaluando en: ( ) 00 PP =

( )

( )CPCPCeP

CeP k

===

=

0

0

00

00

1



b) Evaluando en: ( ) 025 PP =

( )

k

k

ke

ePP

ePP

k

k

k

=

=

==

=

=

1386.05

2ln52lnln2ln

22

5

5

0

0

500

Tenemos que 14.01386.0 0 ≈=∧= kPC

vi) Escribir la Solución Particular.

Sustituir los valores encontrados de C y k en la solución general para

tener la solución particular con la que se responderán a las interrogantes:

( ) tePtP 14.00 =

Nota: Si bien en la solución particular se ha sustituido k por 0.14, al

momento de hacer operaciones utilizando su calculadora usar todos los decimales.

vii) Responder a las interrogantes del problema.

a) ¿en cuánto tiempo se triplicara?

Evaluar en: ( ) 03PtP =

t

t

te

ePP

ePP

t

t

t

=

=

==

=

=

9248.714.03ln

14.03lnln3ln

3 3

14.0

14.0

0

0

14.000



Se triplicará en añost 92.7=

b) ¿en cuánto tiempo se cuadruplicara?

Evaluar en: ( ) 04PtP =

t

t

te

ePP

ePP

t

t

t

=

=

==

=

=

1014.04ln

14.04lnln4ln

4 4

14.0

14.0

0

0

14.000

Se cuadruplicará en añost 10=



2. Un termómetro se lleva del interior de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es 5º F. Después de un minuto, el termómetro indica 55º F; cinco minutos después marca 30º F. ¿Cuál era la temperatura del interior?


general de éste. ii) Leer el problema de nuevo, pero ahora detenidamente, e ir haciendo un

listado de la información (datos) explícita e implícita que el enunciado de éste proporciona. Hacer diagramas, bosquejos o dibujos. Anotar también, las preguntas o interrogantes a resolver.

Datos: Temperatura del aire (ambiental): FTm0 5=

Temperatura después de un minuto ( ) FT 0551 =

Temperatura después de cinco minutos ( ) FT 0305 =

Interrogantes: (a) ¿Temperatura del interior? (temperatura inicial

del termómetro ( ) 00 TT = )


diferencial, basados en el enunciado del problema. Debido a que el problema es acerca de Temperaturas, el modelo matemático a utilzar es el de Calentamiento y enfriamiento de Newton:

( )mTTkdtdT

−=

Donde k es la constante de proporcionalidad.

iv) Resolver la ecuación diferencial. La E.D. es lineal, pero también se puede resolver por variables separables. Entonces, resolviéndola por variables separables, se tiene:



a) Separando variables, tenemos:

( )

( )

kdtTdT

kdtTT

dTdtTTkdT

TTkdtdT

m

m

m

=−

=−

−=

−=

5

b) Integrando ambos miembros y luego reduciendo, se tiene:

∫ ∫=−

dtkTdT

5

( )( )

55

5ln5ln

+=

=−

=

+=−+−

kt

kt

CktT

CeTCeT

eeCktT

Puede observarse que en la solución general hay dos parámetros (constantes), cuyo valor numérico hay que hallar utilizando las condiciones iniciales (datos) del problema.

v) Hallar el valor numérico de la constante de integración y/o la constante

de proporcionalidad evaluando las condiciones iniciales (datos).

a) Evaluando en: ( ) FT 0551 =

( )

k

k

k

eC

dondedeCeCe

50:

50555 1

=

=

+=



b) Evaluando en: ( ) FT 0305 =

( )

k

k

k

eC

dondedeCeCe

5

5

5

25:

25530

=

=

+=

c) Resolver el sistema de ecuaciones que se ha generado al evaluar

las condiciones iniciales:

keC 50= (a) ke

C 5

25= (b)

Usando el método por igualación (a) = (b), se tiene

( )( )( )

17328.04

2/1ln2/1ln4

2/1lnln

5025

2550

4214

5

5

−=

=

==

=

=

=

k

k

ke

eee

ee

k

k

k

k

kk

d) Sustituyendo el valor de en (a), tenemos:

( )

4603.59

2517328.05

=

= −

Ce

C

Tenemos que 17.017328.0 46.59 −≈−=∧= kC



vi) Escribir la Solución Particular. Sustituir los valores encontrados de y en la solución general para

tener la solución particular con la que se responderán a las interrogantes:

C k

( )

( ) 546.59:

5 46.59

17.0

17.0

+=

+= −

t

t

etT

luegoetT


a) Temperatura del interior? (temperatura inicial del termómetro)

( ) 00 TT =

( )

46.64

5146.59

546.59

0

0

017.00

=

+=

+=

T

T

eT

La temperatura al interior era de FT 00 46.64=



3. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 voltios a un circuito en serie RC, donde la resistencia es de 200 ohmios y la capacitancia es de 10– 4 faradios. Determine la carga q(t) del capacitor si q(0) = 0. Halle la carga cuando t → ∞. Halle la corriente i(t).


general de éste. ii) Leer el problema de nuevo, pero ahora detenidamente, e ir haciendo un

listado de la información (datos) explícita e implícita que el enunciado de éste proporciona. Hacer diagramas, bosquejos o dibujos. Anotar también, las preguntas o interrogantes a resolver.

Datos: Fuerza electromotriz: ( ) voltiostE 100=

Resistencia: ohmiosR 200=

Capacitancia: faradiosC 10 4−=

Circuito: RC

Interrogantes: (a) ¿carga del capacitor: ( ) ( ) 00 , =qsitq ?

(b) carga cuando ∞→t

(c) corriente ( )ti


diferencial, basados en el enunciado del problema. El problema es de circuitos eléctricos. En este caso un circuito en serie RC, por lo que hay que usar la segunda ley de Kirchhoff (página 96 del libro texto).



La E.D. a usar es:

( )tEqCdt

dqR =+1

La caída de voltaje de la resistencia R es dtdqRRi = ya que

dtdqi = ;

más la caída de voltaje del capacitor C , la cual es qC1 , es igual a

la fuerza electromotriz ( )tE , la cual se considera constante.

Luego, al sustituir los valores de: ( ) RyCtE , , , la E.D. queda de la

siguiente manera:

10010000200

10010200

10010

1200

4

4

=+

=+

=+ −

qdtdq

qdtdq

qdtdq

iv) Resolver la ecuación diferencial (Variables Separables, Exactas,

Lineales, Homogéneas o Bernoulli). La E.D. es lineal, así es que se seguirá el método respectivo para resolverla:

a) Escribir la E.D. 10010000200 =+ qdtdq , en la forma estándar

( ) ( )tfqtPdtdq

=+ :

5.050

200100

20010000

200

200

10010000200

=+

=+

=+

qdtdq

qdtdq

qdtdq

Donde: ( )( ) 5.0

50==

tftP



b) Calcular el factor integrante: ( ) ( )∫=dttP

etµ :

( ) tdteet 5050

=∫=µ

c) Escribir la E.D. en la forma: ( )( ) ( ) ( )dttftqtd µµ =

( ) ( )( )( )∫ ∫

∫ ∫=

=

dteqed

dteqedtt

tt

5050

5050

5.0

5.0

d) Integrar ambos miembros:

Ceqe

Ceqe

Ceqe

tt

tt

tt

+=

+=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

5050

5050

5050

01.0100

505.0

e) Despejar q :

t

t

eCq

eCq

50

50

01.0

1001

+=

+=

v) Hallar el valor numérico de la constante de integración y/o la constante

de proporcionalidad evaluando las condiciones iniciales (datos). En este caso no hay constante de proporcionalidad, así que solo se

hallara el valor de la constante de integración, evaluando en: ( ) 00 =q

( )

C

Ce

C

=−

=−

+=

01.01

01.0

01.00 050



vi) Escribir la Solución Particular. Sustituyendo el valor de C en la solución general se tiene la solución

particular:

( ) tetq 50

01.001.0 −=


(a) Carga del capacitor: ( ) ( ) 00 , =qsitq :

Esta es (en este caso) la solución particular encontrada:

( ) tetq 50

01.001.0 −=

(b) Carga cuando ∞→t

Para encontrar la carga para un periodo bastante largo ( ∞→t )

se encuentra evaluando el límite:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

∞→∞→ ttt etq 50

01.001.0limlim

( )

01.0001.0

01.001.0

01.001.0

01.001.0 50

=−=

∞−=

−=

−=

∞

∞

e

e

Por lo tanto: ( ) 01.0lim =∞→

tqt

coulombs

(c) Corriente ( )ti

Se sabe que ( )dtdqti = , entonces para hallar ( )ti lo que se hará

es hallar la derivada de la solución particular:



( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) t

t

t

t

eti

etieti

edtdti

dtdqti

50

50

50

50

5.05.0

5001.00

01.001.0

=

=

−−=

−=

=

−

−

−



4. El modelo demográfico P(t) de un suburbio en una gran ciudad está descrito con el problema de valor inicial:

( )NNdtdN 71 1010 −− −= , ( ) 50000 =N

en donde t se expresa en meses. ¿Cuál es el valor límite de la población? ¿Cuándo igualará la población la mitad de ese valor límite?

i) Leer el problema en su totalidad para tener un panorama global o general de éste.

ii) Leer el problema de nuevo, pero ahora detenidamente, e ir haciendo un listado de la información (datos) explícita e implícita que el enunciado de éste proporciona. Hacer diagramas, bosquejos o dibujos. Anotar también, las preguntas o interrogantes a resolver.

Datos: Población inicial: ( ) 50000 =N

Interrogantes: (a) ¿Cuál es el valor límite de la población?, Es decir,

( )tNt ∞→lim

(b) ¿Cuándo igualará la población la mitad de ese valor límite?


diferencial, basados en el enunciado del problema. El modelo matemático a usar ya esta dado en el problema. Es decir, que la E.D. a utilizar es:

( )NNdtdN 71 1010 −− −=

iv) Resolver la ecuación diferencial (Variables Separables, Exactas,

Lineales, Homogéneas o Bernoulli). La E.D. se puede resolver como variables separables o Bernoulli. Se resolverá como Bernoulli: Tenemos:

( )NNdtdN 71 1010 −− −=



a) Escribir la E.D. en la forma: ( ) ( ) nNtfNtPdtdN

=+ , e identificar:

( ) ( ) nytftP ,

( ) ( ) 2, 10, 10:

1010

1010

71

271

271

=−=−=

−=−

−=

−−

−−

−−

ntftPdonde

NNdtdN

NNdtdN

b) Hacer: nNW −= 1

NNNW 1121 === −−

c) Formar la E.D. Lineal Reducida: ( ) ( ) ( ) (tfnWtPndt

dW−=−+ 11 )

( )( ) ( )( )

( ) ( ) 71

71

71

10 10:

1010

10211021

−−

−−

−−

==

=+

−−=−−+

tfytPdonde

Wdt

dW

Wdt

dW

d) Resolver la E.D.lineal reducida:

71 1010 −− =+ Wdt

dW

Calcular el factor integrante: ( ) ( )∫=dttP

etµ :

( ) 10/1010 11ttdt

eeet ==∫=−−

µ



Escribir la E.D. en la forma: ( )( ) ( ) ( )dttftWtd µµ = :

( ) ( )( )( ) dteWed

dteWedtt

tt

10/710/

710/10/

1010

−

−

=

=

Integrar ambos miembros:

( )

CeWe

CeWe

dteWed

tt

tt

tt

+=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

−

−

−∫ ∫

10/610/

10/710/

10/710/

10

10/110

10

Despejar W

10/6

10/

6

6

10/

10/6

10/

10/6

10

1010 10

10

t

t

t

t

t

t

eCeW

eCeW

eCeW

+=

⋅+

=

+=

−

−

e) Sustituir W para recobrar la variables originales y reducir:

CeeN

eCe

N

t

t

t

t

+=

+=

10/

10/6

10/6

10/

1010

1



v) Hallar el valor numérico de la constante de integración evaluando las condiciones iniciales (datos).

Evaluando en: ( ) 50000 =N , tenemos:

( )

1995000

9950009950005000

10500050001015000

1105000

105000

6

6

6

10/0

10/06

=

=

==+

=++

=

+=

C

C

CC

CC

Cee


La solución particular es: ( )

19910

10/

10/6

+= t

t

eetN


a) ¿Cuál es el valor límite de la población?, Es decir, ( )tNt ∞→lim

( )

∞∞

=

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

∞

∞

∞→

∞→

19910

19910lim

lim

10/

10/6

10/

10/6

ee

ee

tN

t

t

t

t



Usando la Regla de L´Hopital, tenemos:

( )

000,000,110

1010lim

1010lim

19910lim

lim

6

1

5

10/1

10/5

10/

10/6

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= −∞→−∞→∞→

∞→

tt

t

tt

t

t

t

ee

ee

tN

b) ¿Cuándo igualará la población la mitad de ese valor límite? Tenemos que:

( )000,500

2000,000,1

2

lim==∞→

tNt

Entonces, se evaluará la solución particular ( )199

1010/

10/6

+= t

t

eetN en:

( ) 000,500=tN

19910000,500 10/

10/6

+= t

t

ee

y se despeja t :

mesestt

te

ee

eee

e

t

t

t

tt

t

t

93.52199ln10

10199ln

ln199ln199

000,500000,500,9910000,500,99000,500

19910000,500

10/

10/

10/

10/610/

10/

10/6

=⇒=

=

=

=

=

=++

=



OTRA FORMA DE RESOLVERLA: iv) Resolver la ecuación diferencial (Variables Separables, Exactas, Lineales,

Homogéneas o Bernoulli). La E.D. se puede resolver como variables separables o Bernoulli. Se

resolverá como variables separables:

Tenemos:

( )NNdtdN 71 1010 −− −=

a) Separando variables, se tiene:

( ) dtNN

dN=

+− −− 17 1010

b) Integrando ambos miembros:

( )

10/17

10/17

10/1010ln

1117

171

17

1010

1010

10101010

ln

1010ln

101

1010

17

t

Ct

CtNN

CeNN

eeNN

ee

CtNN

CtNN

dtNN

dN

=+−

=+−

=

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=+−

−−

−−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−−−−

−−−

−−

−−

∫ ∫



c) Despejando N , se tiene:

( )

( )

10/7

10/6

7

7

10/7

10/1

10/110/7

10/110/7

10/110/7

1710/

10/17

1010

1010

10110

101011010

10101010

1010

t

t

t

t

tt

tt

tt

t

t

CeCeN

CeCeN

CeCeNCeCNeN

CeCNeNNCeN

CeNN

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+=

=+

=+

+−=

+−=

=+−

−

−

−−

−−

−−

−−

−−

v) Hallar el valor numérico de la constante de integración evaluando las

condiciones iniciales (datos).

Evaluando en: ( ) 50000 =N , tenemos:

( )

( )

25628.5025110510

10510510105

1010510510105000

10105000

10105000

36

10

3610

6310

67

7

6

10/07

10/06

=×−

×=

×−=×

=×+×

=++

=

+=

C

C

CCC

CCC

CCe

Ce




La solución particular es: 10/47

10/10

10025.51010025.5

t

t

eeN

×+×

=


a) ¿Cuál es el valor límite de la población?, Es decir, ( )tNt ∞→lim

( )

∞∞

=

×+×

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+

×=

∞

∞

∞→

∞→

10/47

10/10

10/47

10/10

10025.51010025.5

10025.51010025.5lim

lim

ee

ee

tN

t

t

t

t

Usando la Regla de L´Hopital, tenemos:

000,000,1

1010025.510025.5

10025.510025.5lim

10025.510025.5lim

10025.510025.5lim

10025.51010025.5lim

63

9

3

9

10/3

10/9

10/3

10/9

10/47

10/10

=

=××

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

/×/×

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+

×=

∞→

∞→

∞→

∞→

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

ee

ee

ee



b) ¿Cuándo igualará la población la mitad de ese valor límite?

Tenemos que:

( )000,500

2000,000,1

2

lim==∞→

tNt

Entonces, se evaluará la solución particular 10/47

10/10

10025.51010025.5

t

t

eeN

×+×

=

en: ( ) 000,5000=tN , luego:

mesest

te

ee

eee

e

t

t

t

tt

t

t

93.52199ln1010

199ln

ln199ln199

10512.210510025.510512.2105

10025.51010025.5000,500

10/

10/

10/1012

10/1010/1012

10/47

10/10

==⇒

=

=

=

×=×

×=×+××+

×=


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