Mat_4_U_za_web.pdf

7/18/2019 Mat_4_U_za_web.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/mat4uzawebpdf 1/120

Boπko JagodiÊIvan Mrkonjić

NA©A MATEMATIKA 4

UDÆBENIK ZA ČETVRTI RAZRED OSNOVNE ©KOLE



Nakladnik

NIP ©kolske novine d.o.o.A. Hebranga 40, Zagreb

Za nakladnika

Ivan Vavra

Urednik i lektor

Ivan RodiÊ

Recenzentica

Blanka CrnkoviÊ, učiteljica savjetnica

GrafËka urednica

Morana Kukec

Ilustracije

Maja KriπkoviÊSunËana ©priovan

Design naslovne stranice

Morana Kukec

Slog i prijelom

Grafički studio ©kolskih novina

Tisak



BO©KO JAGODI∆ − Ivan MrkonjiÊ

NA©A

MATEMATIKA4

UDÆBENIKZA »ETVRTI RAZRED OSNOVNE ©KOLE

Zagreb, 2014.



4



SADRÆAJ

PONAVLJANJE 7 BROJEVI DO 1000 8 USPOREĐIVANJE BROJEVA DO 1000 9 PISANO ZBRAJANJE I ODUZIMANJE BROJEVA DO 1000 10 PISANO MNOÆENJE DVOZNAMENKASTOG BROJA JEDNOZNAMENKASTIM BROJEM 14

DIJELJENJE DVOZNAMENKASTOGA BROJA JEDNOZNAMENKASTIM BROJEM 15

PISANO DIJELJENJE DVOZNAMENKASTOGA I TROZNAMENKASTOGA BROJAJEDNOZNAMENKASTIM BROJEM 16

PRAVAC, POLUPRAVAC I DUÆINA 18 MJERENJE DUÆINE 21 KRUG I KRUÆNICA 22 MJERENJE OBUJMA TEKUĆINE 23 MJERENJE MASE 24

1. BROJEVI DO MILIJUN 25 ČITANJE I PISANJE VIŠEKRATNIKA BROJA 1 000 U SKUPU BROJEVA DO 10 000 25 ČITANJE I PISANJE ČETVEROZNAMENKASTIH BROJEVA 26

ČITANJE I PISANJE BROJEVA DO 100 000 28ČITANJE I PISANJE BROJEVA DO MILIJUN 30

ČITANJE I PISANJE ŠESTEROZNAMENKASTIH BROJEVA 31DEKADSKE JEDINICE I MJESNA VRIJEDNOST ZNAMENKE 33USPOREĐIVANJE BROJEVA DO MILIJUN 34ZBRAJANJE I ODUZIMANJE U SKUPU BROJEVA DO 1 000 000 35PISANO ZBRAJANJE I ODUZIMANJE U SKUPU BROJEVA DO 1 000 000 36VEZA ZBRAJANJA I ODUZIMANJA 44

2. KUT 46

RAVNINA (PONAVLJANJE) 46KUT 48 UNUTARNJE, RUBNE I VANJSKE TOČKE KUTA 49USPOREĐIVANJE KUTOVA. PRAVI KUT. ŠILJASTI KUT. ISPRUÆENI KUT. TUPI KUT 50

3. PISANO MNOÆENJE 53

MNOÆENJE BROJEVA (PONAVLJANJE) 53MNOÆENJE ZBROJA BROJEVA I RAZLIKE BROJEVA S BROJEM 54PISANO MNOÆENJE VIŠEZNAMENKASTOG BROJA JEDNOZNAMENKASTIM BROJEM 56

PISANO MNOÆENJE VIŠEZNAMENKASTOG BROJA DVOZNAMENKASTIM BROJEM 60

4. TROKUT, PRAVOKUTNIK, KVADRAT 63

PRAVOKUTNIK, KVADRAT I TROKUT KAO PLOHE UGLATIHGEOMETRIJSKIH TIJELA (PONAVLJANJE) 63

STRANICE, VRHOVI I KUTOVI TROKUTA 64

VRSTE TROKUTA S OBZIROM NA DULJINE STRANICA 66CRTANJE JEDNAKOSTRANIČNOG, JEDNAKOKRAČNOG IRAZNOSTRANIČNOG TROKUTA 67

ŠILJASTOKUTNI, TUPOKUTNI I PRAVOKUTNI TROKUT 69OPSEG TROKUTA 71VRHOVI, STRANICE I KUTOVI PRAVOKUTNIKA 75CRTANJE PRAVOKUTNIKA 77VHOVI, STRANICE I KUTOVI KVADRATA 79



6

OPSEG PRAVOKUTNIKA 81OPSEG KVADRATA 84MJERENJE POVRŠINE 86POVRŠINA PRAVOKUTNIKA 89POVRŠINA KVADRATA 92

5. PISANO DIJELJENJE 94

PISANO DIJELJENJE VIŠEZNAMENKASTOGA BROJAJEDNOZNAMENKASTIM BROJEM 96

PISANO DIJELJENJE VIŠEZNAMENKASTOGA BROJADVOZNAMENKASTIM BROJEM 101

VEZA MNOÆENJA I DIJELJENJA 104IZVOĐENJE VIŠE RAČUNSKIH RADNJA 106

6. KOCKA I KVADAR 108

KOCKA 108KVADAR 110MJERENJE OBUJMA 112OBUJAM KVADRA 115OBUJAM KOCKE 117



Mi smo u četvrtome razredu. UËit Êemo matematiku.

Ponovimo najprije jedan dio gradiva iz treÊega razreda.

Čitanje i pisanje brojeva do 1000Uspore�ivanje brojeva do 1000Pisano zbrajanje i oduzimanje brojeva do 1000Pisano mnoæenje dvoznamenkastoga broja

jednoznamenkastim brojemDijeljenje dvoznamenkastoga broja jednoznamenkastim brojemPisano dijeljenje dvoznamenkastoga i troznamenkastog broja jednoznamenkastim brojemPravac, polupravac i duæina kao dijelovi pravcaMjerenje duæineKrug i kruænicaMjerenje obujma tekućineMjerenje mase

PONAVLJANJE



8

»ITANJE I PISANJE BROJEVA DO 1000

Zapiši redom stotice, od veÊe prema manjoj.

900, 800, ______, ______, ______, ______, ______, ______, 100.

Zapiπi redom sve desetice.

420, 430, ______, ______, ______, ______, ______, ______, 500.

Sljedeće brojeve zapiπi rijeËima.

200 ______________________________ 321 ______________________________

430 ______________________________ 529 ______________________________

1000 _____________________________ 907 ______________________________

Zapiπi brojeve:

Ëetiristo __________ osamsto dvadeset sedam __________

petsto pedeset __________ πeststo pet __________

devetsto devedeset __________ sedamsto trinaest __________

DjeËak broji po dva, djevojËica po tri, a zatim zapisuju te brojeve.

Provjeri jesu li djeËak i djevojËica pravilno upisali brojeve. Ako uoËiπ pogreπku, ispravi jui redom napiπi odgovarajuÊe brojeve.

BROJEVI DO 1000

1.

2.

3.

4.

5.



PRIKAZIVANJE BROJEVA DO 1000 NA BROJEVNOJ CRTI

Na brojevnoj crti kriæiÊem oznaËi toËke koje pripadaju brojevima 400, 600, 700 i 900.Ispod svakoga kriæiÊa napiπi odgovarajuÊi broj.

KriæiÊem oznaËi toËke koje pripadaju brojevima 220, 240, 260, 270, 290. Ispod svakogakriæiÊa napiπi odgovarajuÊi broj.

U pravokutnike upiπi odgovarajuÊe brojeve.

Napiπi sve brojeve veÊe od 497, a manje od 505.

______________________________________________________________________

Poredaj po veliËini brojeve od najmanjega prema najveÊemu:781, 326, 950, 890, 120, 416.

Poredaj po veliËini brojeve od najveÊega do najmanjega:103, 254, 723, 810, 314, 902, 500.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

USPORE–IVANJE BROJEVA DO 1000

0 100 200 10005

200 210 220 3005

300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400



10

1.

2.

3.

4.

5.

6.

PISANO ZBRAJANJE I ODUZIMANJE BROJEVA DO 1000

ZBRAJANJE TROZNAMENKASTOGA I DVOZNAMENKASTOGA BROJA

IzraËunaj usmenim naËinom.

300 + 50 = 830 + 70 = 780 + 50 =

430 + 40 = 740 + 60 = 660 + 70 =520 + 60 = 920 + 80 = 150 + 90 =


627 + 30 = 898 + 20 = 10 + 698 =349 + 50 = 654 + 60 = 70 + 473 =777 + 20 = 471 + 80 = 90 + 599 =

Zbroji.

524+ 60

Zbroji.

670+ 30

Zbroji. 625 10+ 4

PËelar je dobio 287 kilograma medaiz polovice svih koπnica.Iz druge polovice koπnica dobio je13 kilograma viπe.Koliko je ukupno dobio meda?

____________________________

____________________________

____________________________

487+ 12

958+ 41

720+ 50

513+ 69

74+125

364+ 36

196+ 87

542+ 28

429+ 38

245+ 98

526 37+ 42

8 425+ 99

325 23+ 34

754 9+ 31

879 36+ 5



1.

2.

3.

4.

5.

6.

ODUZIMANJE DVOZNAMENKASTOGA OD TROZNAMENKASTOGA BROJA

Oduzmi.

460 − 60 = 500 − 40 = 430 − 50 =

570 − 30 = 800 − 90 = 220 − 60 =390 − 60 = 1000 − 30 = 740 − 70 =

Oduzmi.

797 − 30 = 808 − 50 = 959 − 90 =

284 − 50 = 702 − 60 = 656 − 60 =

491 − 60 = 313 − 70 = 125 − 80 =

Oduzmi.

473− 30

Oduzmi.

900− 45

IzraËunaj usmenim i pisanim postupkom.

a) 254 + 25 − 64 = b) 473 + 27 − 78 =

c) 623 − 54 + 67 = d) 852 − 79 − 99 =

VoÊar je na trænicu dovezao205 kilograma lubenica.Prvoga je dana prodao 98,a drugoga dana 99 kilograma lubenica.

koliko mu je kilograma lubenica ostalo?

__________________________________

__________________________________

__________________________________

__________________________________

797− 42

576− 59

946− 34

642− 27

398− 89

723− 85

555− 66

200− 94

306− 87

162− 87



12

ZBRAJANJE TROZNAMENKASTIH BROJEVA

IzraËunaj.

453 + 216 = 325 + 542 =

= (400 + 50 + 3) + (200 + 10 + 6) = = ________________________________= (400 + 200) + (50 + 10) + (3 + 6) = = ________________________________

= 600 + 60 + 9 = ____________________ = ________________________________


234 + 545 = 652 + 131 =

413 + 376 = 123 + 321 =

Zbroji. 524+ 351

Zbroji.

345+ 237

Zbroji. 456+ 289

Na slici su prikazane udaljenosti (u kilometrima) izmeu mjesta A i B, B i D, A i Cte C i D. VozaË kreÊe iz mjesta A u mjesto D.Koja je cesta kraÊa: od A preko B do D ili od A preko C do D?

______________________________________________________________________

1.

2.

3.

4.

5.

6.

705+ 193

370+ 629

232+ 645

800+ 198

404+ 505

347+ 258

394+ 306

119+ 798

623+ 177

555+ 245

536+ 244

653+ 254

428+ 437

724+ 195

370+ 330





14

Pomnoæi.

43 · 3 52 · 4 71 · 9 82 · 4

Pomnoæi.

24 · 3 19 · 5 38 · 2 16 · 4

Pomnoæi.

95 · 3 78 · 4 29 · 9 67 · 8 84 · 6

77 · 7 80 · 9 99 · 9 67 · 5 28 · 0

Popuni tablicu.

a 2 3 5 8 9 1 4

68 · a 136

Promotri sliku.

6 · 25 = 25 · 6 =

7 · 37 = 37 · 7 =

8 · 24 = 24 · 8 =

PËelar je posude napunio medom. NaznaËeno je koliko kilograma meda sadræi svakaposuda. IzraËunaj koliko je ukupno meda u posudama.

Ako je uËenik u πkoli po 4 sata dnevno, koliko sati provede u πkoli za 3 mjeseca?RaËunaj da je uËenik u πkoli 23 dana mjeseËno.

______________________________________________________________________

1.

2.

3.

4.

5.

6.

PISANO MNOÆENJE DVOZNAMENKASTOGA BROJAJEDNOZNAMENKASTIM BROJEM



1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

DIJELJENJE DVOZNAMENKASTOGA BROJAJEDNOZNAMENKASTIM BROJEM

Popuni tablicu.

DJELJENIK 96 52 98 91 84 90 96 99 84

DJELITELJ 3 4 2 7 6 5 8 9 6

KOLI»NIK

IzraËunaj i odgovarajuÊe brojeve upiπi u pravokutnike.

91

Za koliko je koliËnik brojeva 81 i 3 manji od njihove razlike?

______________________________________________________________________

Koliko je puta zbroj brojeva 50 i 46 veÊi od njihove razlike?

______________________________________________________________________

Ocu je 36 godina, a kÊi je 9 puta mlaa. Za koliko Êe godina kÊi biti 5 puta mlaa?

______________________________________________________________________

U vrtu su zeËevi i kokoπi. DjeËak je izbrojio ukupno 126 nogu i 25 kokoπjih glava.Koliko je zeËeva tada bilo u vrtu?

______________________________________________________________________

DjevojËica broji kokoπi i zeËeve. Izbrojila je 19 glava i 56 nogu. Koliko je tada bilo zeËe-va, a koliko kokoπiju?

__________________________

__________________________

__________________________

__________________________

__________________________

: 7 · 2: 3· 6 + 48



16

1.

2.

3.

4.

5.

PISANO DIJELJENJE DVOZNAMENKASTOGA I TROZNAMENKASTOGA BROJA JEDNOZNAMENKASTIM BROJEM

Podijeli ove brojeve i mnoæenjem provjeri rezultate.

96 : 6 = 72 : 3 = 95 : 5 = 84 : 7 =

Provjera:

Svaki od brojeva 78, 36 i 90 podijeli redom brojevima 2, 3 i 6.

______________________________________________________________________

Podijeli sljedeÊe brojeve:

64 98

72 77

96 70

76 91

52 63

Ako 3 knjige stoje 87 kuna, koliko stoji 5 knjiga?

______________________________________________________________________

DjeËaci su kupili dvije jednakelopte za koπarku po 59 kuna.DjevojËice su kupile 3 jednakelopte za rukomet.Sve su zajedno platili 214 kuna.Koliko je stajala

jedna rukometna lopta?

____________________________________________________

__________________________

__________________________

__________________________

: 4 : 7



1.

2.

3.

4.

5.

6.

IZVO–ENJE VI©E RA»UNSKIH RADNJA

IzraËunaj:

a) 124 + 76 : 4 + 60 · 8 − 45 · 9 =

______________________________________________________________________b) 128 · 4 − 28 · 4 + 16 − 62 · 7 =

______________________________________________________________________

c) 201 + 9 · 4 + 10 − 480 : 3 =

______________________________________________________________________

Broj 734 rastavi na dva pribrojnika tako da je jedan za 68 veÊi od drugoga.

______________________________________________________________________

Zbroj dvaju brojeva je 360. Jedan je Ëetiri puta veÊi od drugoga. Koji su to brojevi?

______________________________________________________________________

Otac je Ivici, Dinku i Mirni podijelio 500 kuna tako da je Dinko dobio dva puta viπe odIvice, a Mirna 50 kuna viπe od Dinka. Koliko je kuna dobilo svako dijete?

______________________________________________________________________

Vinogradar planira proπiriti vinograd.“Koliko sada imaπ Ëokota u vinogradu?” pitaju vinogradara.“Kad dodam dvostruko viπe Ëokota nego πto ih imam sada, nedostajat Êe mi 7 Ëokota do1000.” Koliko Ëokota ima u vinogradu?

______________________________________________________________________

Odredi za koliko je razlika brojeva 72 i 6 veÊa od njihova koliËnika.

______________________________________________________________________



18

Kakve su crte nacrtane na slici?a) b)

__________________________________ __________________________________

c) d)

__________________________________ __________________________________

Nacrtaj jednu ravnu crtu, istakni Ëetiri toËke A, B , C i D , tako da toËke A i B pripadaju tojravnoj crti, a da toËke C i D ne pripadaju toj ravnoj crti.

1.

2.

PRAVAC, POLUPRAVAC I DUÆINA



3.

4.

5.

6.

Istakni dvije toËke, oznaËi ih slovima A i B i nacrtaj duæinu AB .

Kako se zovu ove ravne crte?

a)

__________________________________

b)

__________________________________

c)

__________________________________

Istakni toËke C i D te nacrtaj pravac koji prolazi tim toËkama.

Zadana je toËka T . Nacrtaj pet pravaca koji prolaze toËkom T .

A

a

b

B

T



20

7.

8.

9.

10.

11.

Koliko pravaca moæe prolaziti jednom toËkom?

______________________________________________________________________

Koja je razlika izmeu pravca i polupravca?

______________________________________________________________________

Nacrtaj tri duæine koje imaju zajedniËku toËku A. Krajeve tih duæina oznaËi slovima A i B ,A i C , A i D .

Nacrtaj sve duæine odreene:a) dvjema toËkama b) trima toËkama c) Ëetirima toËkama

Promotri sliku. Kvačicom označi toËne tvrdnje.

ToËka A pripada pravcu a . ToËka A ne pripada pravcu b . ToËka L pripada pravcu b .

ToËka K ne pripada pravcu a . ToËka M pripada pravcu a .

ToËka M ne pripada pravcu b .

A

A

B

D

C

E

D

A

C

B

A

L

K

M

b

a



1.

2.

3.

4.

5.

6.

MJERENJE DUÆINE

Izmjeri duljinu i πirinu sobe.

Duljina __________ cm. ©irina ___________ cm.

Popuni.

4 m = 40 dm 50 dm = 5 m

8 m = ______ dm 90 dm = ______ m

3 dm = ______ cm 70 cm = ______ dm

5 cm = ______ mm 60 mm = ______ cm

Popuni.

5 m i 4 dm = 54 dm 87 dm = 8 m i 7 dm6 m i 7 dm = ______ dm 75 dm = ______ m i ______ dm

8 dm i 3 cm = ______ cm 38 cm = ______ dm i ______ cm

9 cm i 1 mm = ______ mm 99 mm = ______ cm i ______ mm

Duljina jedne cijevi iznosi 28 m, druge 34 m, a treÊe 19 m. Kolika je njihova ukupnaduljina?

______________________________________________________________________

Asfaltirano je 47 km ceste koja je duga 75 km. Koliko kilometara treba joπ asfaltirati?

______________________________________________________________________

Izmeu dvaju mjesta treba izgraditi cestu duljine 94 km. S jedne je strane izgraena

cesta duga 23 km, a s druge strane 36 km. Koliko kilometara te ceste treba joπizgraditi?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________



22

1.

2.

3.

4.

KRUG I KRUÆNICA

Promotri sliku i dopuni reËenice.

Na slici su _________________________.

Kako se zove ravna ploha valjka?

Ravna ploha valjka zove se ____________________.

Kako se zove zakrivljena crta koja omeuje krug?

______________________________________________________________________

PomoÊu vrpce od debljega papira nacrtana je kruænica. Nacrtaj i ti kruænicu na taj naËin.

− Kruænici na slici oznaËi srediπte.− Na kruænici oznaËi jednu toËku i nacrtaj jedan polumjer.

PomoÊu papirnate vrpce nacrtaj dvije kruænice sa srediπtem u toËki S .

PomoÊu πestara nacrtaj neku kruænicu. Njezino srediπte oznaËeno je slovom S .Nacrtaj jedan promjer te kruænice.

S



1.

2.

3.

4.

5.

6.

MJERENJE OBUJMA TEKU∆INE

Promotri sliku i rijeπi.

1 l = __________ dl

100 dl = __________ l

100 l = __________ dl

PreraËunaj u decilitre.

4 l = ______ dl 17 l = ______ dl 98 l = ______ dl

7 l 5 dl = ______ dl 25 l 6 dl = ______ dl 99 l 9 dl = ______ dl

PreraËunaj u litre.

40 dl = ______ l 70 dl = ______ l 90 dl = ______ l

230 dl = ______ l 460 dl = ______ l 870 dl = ______ l

PreraËunaj u litre i decilitre.

56 dl = ______ l ______ dl 94 dl = ______ l ______ dl248 dl = ______ l ______ dl 759 dl = ______ l ______ dl

Zdenko je popio 1 l i 2 dl voćnog soka u jednom danu, a njegova sestra u isto vrijeme8 dl soka. Koliko su Zdenko i njegova sestra ukupno popili voćnoga soka u tom danu?

____________________________________________________________________

U posudi je 357 dl jabuËnoga soka. Koliko je to litara i decilitara?

______________________________________________________________________



24

MJERENJE MASE

ProdavaË je vagao ovako: Koliko je ?

1 kg = ______ dag

1 kg = ______ g

1 dag = ______ g

Objasni kako je prodavaË vagao. Koliko je voÊa izvagao?

______________________________________________________________________

PreraËunaj u dekagrame.

6 kg = ______ dag 70 g = ______ dag 9 kg 70 dag = ______ dag



PreraËunaj u kilograme, dekagrame i grame.

200 dag = ______ kg 258 dag = ____ kg ____ dag 269 g = ____ dag ____ g



IzraËunaj.

7 kg + 17 kg = ______ dag 489 kg + 268 kg = ______ kg

25 kg − 9 kg = ______ dag 782 kg − 396 kg = ______ kg 520 g + 96 g = ______ g 346 g − 157 g = ______ g

612 dag − 17 dag = ______ dag 125 dag − 99 dag = ______ dag

U jednoj kutiji nalazi se 6 čokolada, svaka je mase 30 dag.U drugoj je kutiji 8 čokolada, svaka mase 20 dag.Kolika je ukupna masa čokolada u te dvije kutije?

______________________________________________________________

Tomica i πkolska torba ukupno imaju 43 kg 9 dag.Tomica bez torbe ima 39 kg.

Kolika je masa torbe?

__________________________________

__________________________________

1.

2.

3.

4.

5.

6.



BROJEVI DO 20

»ITANJE I PISANJE VIłEKRATNIKA BROJA 1000U SKUPU BROJEVA DO 10 000

Naučili ste čitati i pisati brojeve: 1, 10, 100, 1000.

jedan deset sto tisuću

Koliko jedinica ima broj 10? Koliko desetica ima broj 100? Koliko stotica ima broj 1 000?

Višekratnici broja 1 000 u skupu brojeva do 10 000 jesu:

1 · 1 000 = 1 000 jedna tisuća 1 tisuća

2 · 1 000 = 2 000 dvije tisuće 2 tisuće3 · 1 000 = 3 000 tri tisuće 3 tisuće4 · 1 000 = 4 000 četiri tisuće 4 tisuće5 · 1 000 = 5 000 pet tisuća 5 tisuća6 · 1 000 = 6 000 šest tisuća 6 tisuća7 · 1 000 = 7 000 sedam tisuća 7 tisuća8 · 1 000 = 8 000 osam tisuća 8 tisuća9 · 1 000 = 9 000 devet tisuća 9 tisuća

10 · 1 000 = 10 000 deset tisuća 10 tisuća

1 000 1 000 1 000 1 000 1 000

1 000 1 000 1 000 1 000 1 000

1.

2.

3.

4.

1 1 1 1 11 1 1 1 1

10 10 10 10 1010 10 10 10 10

1 100100 100 100 100100 100 100 100 100

1 00010010

Poredajte po veličini višekratnike broja 1 000 do 10 000:1 000 < 2 000 < 3 000 < 4 000 < ... < 9 000 < 10 000. Pročitajte prethodni zapis.

Poredajte po veličini od manjega prema većemu ove višekratnike broja 1 000:

7 000, 8 000, 3 000, 9 000, 10 000, 2 000

2 000

10 000

deset tisuća

Popunite tablicu.

a 6 9 3 7 1

a · 1 000 6 000

1



26

Čitajte i zapisujte sljedeće brojeve:

1 000 1 1 001 tisuću jedan

1 000 1 1 1 002 tisuću dva

1 000 1 1 1 1 003 tisuću tri itd.

1 000 10 1 010 tisuću deset

1 000 10 1 1 011 tisuću jedanaest

1 000 1010 1 020 tisuću dvadeset

1 000 101010101010101010 1 1 091 tisuću devedeset jedan

1 000 100 1 100 tisuću sto

1 000 100 100 100 100 1 1 401 tisuću četiristo jedan

1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000

9 999 devet tisuća devetsto devedeset devet10 000 deset tisuća

1.

2.

3.

»ITANJE I PISANJE »ETVEROZNAMENKASTIH BROJEVA

100 100 100 100 100100 100 100 100

10 10 10 10 1010 10 10 10

1 1 1 1 11 1 1 1

1 000 1 000 1 000 1 000 100 100 100 100 100 100 10 10 1 1 1 1 1

4 625 četiri tisuće šeststo dvadeset petUočite vrijednost znamenaka prema mjestu na kojemu se nalaza.

Znamenka 5 označava broj jedinica (5 J).Znamenka 2 označava broj desetica (2 D).Znamenka 6 označava broj stotica (6 S).Znamenka 4 označava broj tisućica (4 T).

Koliko jedinica, desetica, stotica i tisuća ima broj 8 753?8 753 = ____T + ____ S + ____ D + ____ J

T S D J7 4 5 6 sedam tisuća četiristo pedeset šest9 8 4 2

_____________________________________________

6 5 3 0 _____________________________________________

3 0 7 4 _____________________________________________

7 2 0 8 _____________________________________________

5 0 0 5 _____________________________________________

9 9 0 0 _____________________________________________

U tablici mjesnih vrijednosti upisani su brojevi. Pročitajte i napišite riječima te brojeve.



4

5

6

7

8

9

10

11

U tablicu mjesnih vrijednosti upišite ove brojeve:

Napišite sve prirodne brojeve izme�u 4 797 i 4 804.

______________________________________________________________________

Napiši dan, mjesec i godinu svoga ro�enja. ___________________________________

Napišite sljedbenik najmanjega i sljedbenik najvećega četveroznamenkastoga broja.______________________________________________________________________

Broj 5 984 moæemo napisati ovako:

5 984 = 5 · 1 000 + 9 · 100 + 8 · 10 + 4 · 1.

Broj 8 509 moæemo napisati:

8 509 = 8 · 1 000 + 5 · 100 + 0 · 10 + 9 · 1 = 8 · 1 000 + 5 · 100 + 9 · 1.

Kao u prethodnom zadatku napišite brojeve:

9 236 = ________________________________________________________ 6 904 = ________________________________________________________

4 078 = ________________________________________________________

T S D Jpet tisuća četiristo devedeset tri 5 4 2 3

dvije tisuće tristo devedeset

tisuću šeststo šestsedam tisuća petsto devet

devet tisuća sedamstoosam tisuća sedam

VozaËica tramvaja prodala je jednoga dana prvu kartus rednim brojem 17, azadnju kartu s rednimbrojem 37. Drugoga je

dana prodala prvu kartu srednim brojem 63, a zadnjus rednim brojem 91. Koliko

je ukupno karata prodalavozaËica u ta dva dana?



28

Naučite sada kako se čitaju i pišu brojevi do 100 000.

Brojite po deset tisuća do sto tisuća.

Naučite višekratnike broja 10 000.Napisani su neki višekratnici broja 10 000. Ispišite ostale.

1 · 10 000 = 10 000 deset tisuća 10 tisuća2 · 10 000 = 20 000 dvadeset tisuća 20 tisuća3 · 10 000 = ______ ________________ ________________4 · 10 000 = ______ ________________ _________________________________ ________________ _________________________________ ________________ _________________________________ ________________ ________________

8 · 10 000 = ______ ________________ _________________________________ ________________ ________________

10 · 10 000 = ______ ________________ ________________

Naučite kako se čitaju i pišu peteroznamenkasti brojevi.

Pročitajte brojeve i ispišite ih riječima.

10 001 deset tisuća jedan10 002 _______________________________________________________

10 007 _______________________________________________________

10 010 _______________________________________________________ 10 100 _______________________________________________________ 45 560 _______________________________________________________ 78 936 _______________________________________________________ 10 200 _______________________________________________________ 50 000 _______________________________________________________ 90 000 _______________________________________________________100 000 _______________________________________________________

Broj 85 749 peteroznamenkasti je broj.

Znamenka 8 znači osam desettisućica,znamenka 5 znači pet tisućica,znamenka 7 znači sedam stotica,znamenka 4 znači četiri desetice,znamenka 9 znači devet jedinica.U tablici mjesnih vrijednosti taj broj pišemo ovako:

»ITANJE I PISANJE BROJEVA DO 100 000

1.

2.

3.

4.

DT T S D J8 5 7 4 9



5.

6.

7.

8.

9.

10.

Napišite u tablicu mjesnih vrijednosti ove brojeve:30 048, 58 045, 98 001, 100 000.

U sljedećoj rečenici brojeve napišite riječima.Ukupna površina Republike Hrvatske iznosi 87 661 četvornih kilometara.Kopno je veličine 56 594 četvornih kilometara.____________________________________________________________________________________________________________________________________________

Napišite brojeve veće od 77 996, a manje od 78 003.

________________________________________________________________________

Napišite najmanji šesteroznamenkasti broj i najveći peteroznamenkasti broj.

________________________________________________________________________

Sljedeće brojeve usporedite po veličini pa izme�u njih upišite znak < ili >:

23 002 9 875 91 999 92 001

70 008 70 007 99 999 100 000

Najviši neposredni prethodnik i neposredni sljedbenik brojeva.

Koristeći se s ponu�enih 5 znamenaka zapiši najmanji i najveći četveroznamenkasti broj.

Dobivene četveroznamenkaste brojeve poredaj po veliËini poËevπi od najmanjega.

________________________________________________________________________

ST DT T S D J

PRETHODNIKBROJ 34 569 70 301 19 209 60 009 99 999SLJEDBENIK

2346 7643

76

2

4

3

54

1

9

8

29

8

6

7

97

6

8

5



30

1.

2.

3.

4.

5.

»ITANJE I PISANJE BROJEVA DO MILIJUN

Sada ćete upoznati brojeve od sto tisuća do milijun. Brojimo po sto tisuća od sto tisuća

do milijun.

To su brojevi: sto tisuća, dvjesto tisuća, tristo tisuća, itd. do devetsto tisuća, pa milijun.

Ti su brojevi višekratnici broja 100 000.

Naučimo pisati i čitati višekratnike broja 100 000, uključivši broj 1 000 000.

1 · 100 000 = 100 000 sto tisuća 2 · 100 000 = 200 000 dvjesto tisuća 3 · 100 000 = 300 000 tristo tisuća 4 · 100 000 = 400 000 četiristo tisuća 5 · 100 000 = 500 000 petsto tisuća 6 · 100 000 = 600 000 šesto tisuća 7 · 100 000 = 700 000 sedamsto tisuća

8 · 100 000 = 800 000 osamsto tisuća 9 · 100 000 = 900 000 devetsto tisuća10 · 100 000 = 1 000 000 milijun

Pročitajte brojeve: 400 000, 600 000, 900 000 i 1 000 000.

Napišite brojeve:

a) tristo tisuća __________________b) sedamsto tisuća __________________

c) milijun __________________

Brojite po 100 000:

a) od 100 000 do 600 000b) od 300 000 do 1 000 000.

Višekratnike broja 100 000 moæemo poredati po veličini:

100 < 200 000 < 300 000 < 400 000 < ... < 900 000 < 1 000 000.

Pročitajte prethodni zapis.

Poredajte po veličini od manjega prema većemu brojeve:

400 000, 700 000, 500 000, 1 000 000, 100 000, 600 000.

100 000



»ITANJE I PISANJE łESTEROZNAMENKASTIH BROJEVA

1

2

Pročitajte i riječima napišite peteroznamenkaste brojeve:

10 001 deset tisuća jedan

10 002 deset tisuća dva

10 003 ___________________________________________

10 099 deset tisuća devedeset devet

10 100 deset tisuća sto

10 101 ___________________________________________

10 999 ___________________________________________

20 000 dvadeset tisuća

20 001 ___________________________________________

20 787 ___________________________________________

60 325 ___________________________________________98 937 ___________________________________________

99 999 ___________________________________________

Pročitajte i riječima napišite šesteroznamenkaste brojeve:

100 000 _____________________________________________________100 001 sto tisuća jedan100 002 sto tisuća dva

100 028 _____________________________________________________100 278 _____________________________________________________175 428 sto sedamdeset pet tisuća četiristo dvadeset osam

100 000 _____________________________________________________

200 001 _____________________________________________________

275 034 _____________________________________________________

307 528 _____________________________________________________875 031 osamsto sedamdeset pet tisuća trideset jedan

900 009 _____________________________________________________

999 999 _____________________________________________________1 000 000 milijun

Zapamtite: Izme�u znamenke stotice i znamenketisućice postoji razmak da bi se broj lakše pročitao.



32

Pročitajte i riječima zapišite sljedeće brojeve:

149 565 _________________________________________________

387 997 _________________________________________________

989 546 _________________________________________________

Napišite riječima ove brojeve:

39 900 _________________________________________________405 001 _________________________________________________729 348 _________________________________________________

Nastavite upisivati brojeve u nizu prema redoslijedu prva tri broja.

10 991 10 992 10 993 10 99750 710 50 720 50 730 50 75091 000 92 000 93 000 96 000

100 000 200 000 300 000 700 000200 020 200 030 200 040561 000 562 000 563 000101 500 102 000 102 500 103 500 104 500

Napišite sve prirodne brojeve izme�u 309 000 i 309 010.

______________________________________________________________________

Prema popisu stanovništva 2011. godine, Zagreb je imao 828 021 stanovnika, Rijeka128 192 stanovnika, a Split 178 192 stanovnika. Napišite riječima te brojeve.

Zagreb _______________________________________________________________

Rijeka _______________________________________________________________

Split _______________________________________________________________

3.

4.

5.

6.

7.



1

2

3

Broj 375 869 šesteroznamenkasti je broj.

Čitamo ga: tristo sedamdeset pet tisuća osamsto šezdeset devet.

Znamenka 3 znači tri stotisućice 3 ST.

Znamenka 7 znači sedam desettisućica 7 DT.Znamenka 5 znači pet tisućica 5 T.

Znamenka 8 znači osam stotica 8 S.

Znamenka 6 znači šest desetica 6 D.

Znamenka 9 znači devet jedinica 9 J.

U tablici mjesnih vrijednosti taj broj pišemo ovako:

Broj 100 000

ST

10 000

DT

1 000

T

100

S

10

D

1

J375 869 3 7 5 8 6 9

U tablicu mjesnih vrijednosti upisan je broj 243 571.Upišite brojeve: 309 780, 800 500, 705 001.

Broj ST DT T S D J243 571 2 4 3 5 7 1309 780800 500

705 001

Napišite znamenkama sljedeće brojeve:

sedamdeset osam tisuća ___________________________

petsto devedeset tisuća ___________________________

sedamsto trideset tisuća pet ___________________________

devetsto devedeset tisuća pedeset tri ___________________________

osamsto tisuća dvadeset devet ___________________________

devetsto devedeset tisuća devet ___________________________

osamsto tisuća petsto pedeset pet ___________________________

DEKADSKE JEDINICE I MJESNA VRIJEDNOST ZNAMENKE



34

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

USPORE�IVANJE BROJEVA

U trećem ste razredu uspore�ivali brojeve do 1 000 i naučili znakove <, = i >.

Sada ćemo uspore�ivati i ostale brojeve.

Od dva broja veći je onaj broj koji ima više znamenaka.

Usporedimo brojeve 573 984 i 98 769. Koji je od tih brojeva veći?

Jasno vam je da je broj 573 984 veći od broja 98 769.

To zapisujemo ovako: 573 984 > 98 769.

Zadani su brojevi 99 898 i 110 001.Je li istinita ova tvrdnja:

Od dva broja manji je onaj koji ima manji broj znamenaka.

Ako dva broja imaju jednak broj znamenaka, onda ih uspore�ujemo po prvoj znamencikoja je različita.

Usporedimo brojeve 349 871 i 349 698.

Prva znamenka koja se razlikuje jest znamenka stotica. Veći je broj 349 871 od broja349 698 jer je znamenka stotica prvoga broja 8, a drugoga 6, pa je:

349 871 > 349 698.

Usporedite brojeve i napišite znakove <, = ili >.

73 845 110 001, 455 432 455 342 234 567 99 999, 123 505 123 505

777 777 888 000, 876 540 876 542

Napišite sljedbenik najmanjega šesteroznamenkastoga broja i sljedbenik najvećegašesteroznamenkastoga broja.

______________________________________________________________________

Poredajte po veličini od najmanjega do najvećega broja:

380 456, 987 001, 110 345, 78 987, 380 449, 978 001. __________________________________________________

Odredite brojeve x za koje vrijedi:

807 548 < x < 807 553x = ____________________________________________________



ZBRAJANJE I ODUZIMANJE VIŠEKRATNIKA BROJEVA10, 100, 1 000, 10 000, 100 000

Izračunajte.

4 + 2 = 65 + 3 =4 + 5 =2 + 7 =1 + 9 =

Proučite ove zadatke i izračunajte.

5 000 + 4 000 = 5 · 1 000 + 4 · 1 000 = 9 · 1 000 = 9 0009 000 − 4 000 = 9 · 1 000 − 4 · 1 000 = 5 · 1 000 = 5 000

6 000 + 2 000 =8 000 − 6 000 =

Izračunajte.5 000 − 4 000 = 1 0008 000 − 3 000 = _______

Moæemo i ovako zbrajati i oduzimati višekratnike broja 1 000.

3 000+ 2 000

5 000Zbrojite.

20 000 + 60 000 = 80 00030 000 + 50 000 =80 000 + 10 000 =60 000 − 40 000 =

Oduzmite.

70 000 − 30 000 = 40 000

90 000 − 60 000 =80 000 − 70 000 =100 000 − 50 000 =

1

2

3

4

5

6

7

ZBRAJANJE I ODUZIMANJE U SKUPU BROJEVA DO 1 0OO OOO

40 + 20 = 6050 + 30 =40 + 50 =20 + 70 =10 + 90 =

400 + 200 = 600500 + 300 =400 + 500 =200 + 700 =100 + 900 =

4 000 + 2 000 = 6 0005 000 + 3 000 =4 000 + 5 000 =2 000 + 7 000 =1 000 + 9 000 =

9 000 − 6 000 = _______10 000 − 7 000 = _______

5 000− 3 000

2 000

9 000+ 1 000

10 000

10 000− 4 000

6 000

200 000 + 600 000 = 800 000300 000 + 500 000 =800 000 + 100 000 =600 000 + 400 000 =

700 000 − 300 000 = 400 000

900 000 − 600 000 = 800 000 − 700 000 =1 000 000 − 500 000 =

Mirko je posudio 10 000 kuna. Dug je otplaćivao godinu dana po 1000 kuna mjesečno.Koliko je Mirko više kuna dao nego što je posudio?

_____________________________________________________________________



36

1.

2.

3.

4.

5.

PISANO ZBRAJANJE I ODUZIMANJE U SKUPU BROJEVA

DO 1 0OO OOO

Zbrajat ćemo i oduzimati brojeve tako da ćemo ih najprije upisivati u tablice mjesnihvrijednosti, a zatim bez tablica potpisivati jedan ispod drugoga. Zapamtite kako sepotpisuju brojevi:

Potpisuju se jedinice pod jedinice, desetice pod desetice, stotice pod stotice, tisućice

pod tisućice, desettisućice, pod desettisućice, stotisućice pod stotisućice .

Zbrojimo brojeve 8 936 i 42

Zbrajat ćemo jedinice s jedinicama i desetice s deseticama.

U tablicama mjesnih vrijednosti to računamo ovako:

T S D J

+8 9 3

4

6

28 9 7 8

Dobro uočite kako se potpisuju brojevi.

Od broja 9 485 oduzmimo broj 53.Oduzet ćemo jedinice od jedinica i desetice od desetica.

T S D J

−

9 4 8

5

5

39 4 3 2

Izračunajte.

Zbrojite na dva načina (usmeno i pisano).

1 735 + 43 =3 241 + 58 =

Oduzmite na dva načina (usmeno i pisano).

3 576 − 51 =8 099 − 38 =

Ili, kraće: 8 936

+ 42 8 978

Govorimo:6 više 2 je 83 više 4 je 7

9 više 0 je 98 više 0 je 8

pa je zbroj:8 936 + 42 = 8 978

Ili, kraće: 9 485

− 53 9 432

Govorimo:5 manje 3 je 28 manje 5 je 34 manje 0 je 49 manje 0 je 9

pa je razlika:9 485 − 53 = 9 432

6 789− 46

7 023+ 73

1 181− 51

3 004+ 44

7 903 + 95 =8 017 + 81 =

4 586 − 76 =5 093 − 93 =



6

7

8

9

10

11

Zdravko se rodio 1974. godine. U kojoj je kalendarskoj godini slavio 25. ro�endan?

____________________________________________

Zbrojimo brojeve 7 358 i 36. Potpišimo ih pa zatim zbrojimo.

Oduzmimo broj 68 od broja 5 493. Brojeve smo potpisali, a zatim oduzeli.

Izračunajte.

Popunite tablice.

Zbrojimo brojeve 6 478 i 65.

Ili kraće:

T S D J

+

7 3 531

86

7 3 9 147 3 9 4

8 više 6 je 14; 4 pišemo, a jednu deseticu zbrojimos deseticama.5 više 3 više 1 je 9.3 i 7 prepišemo.

7 358+ 36

7 394

T S D J

−

5 4 916

103

85 4 2 5

Umanjeniku smo dodali 10 jedi-nica, a umanjitelju 1 deseticu.13 manje 8 je 5. 6 više 1 je 7, 9manje 7 je 2. 4 i 5 smo prepisali.

5 493− 685 425

8 059

+ 38

5 224

+ 38

3 078

+ 19

2 134

+ 56

6 478+ 65

6 543

Računamo:8 više 5 je 13, tri pišemo, a deseticuzbrajamo s deseticama.7 više 6 više 1 je 14, četiri pišemo,a stoticu zbrajamo sa stoticama.4 više 1 je 5. 6 više 0 je 6.

T S D J

+

6 41

761

85

6 5 14 136 5 4 3

a 3 546 7 018 83

b 49 66 5 007

a + b

a 6 395 7 080 9 571

b 67 71 69

a − b



38

Od broja 9 832 oduzmimo broj 67.

Zbrojite.

Oduzmite i izvedite provjeru.

Popunite tablice.

Izračunajte.

Proučite ove zadatke i objasnite postupak.

Izračunajte.

− 52 82 97

5 382 5 330

6 146

+ 31 42 79

7 648 7 679

2 069

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

T S D J

−

9 8

1

103

61

102

7

9 7 6 5

U tablici je prikazan postupak.Ili kraće:9 832

− 67

9 765

1 509+ 99

4 087+ 18

8 067+ 95

7 359+ 64

1 135− 99

8 236− 79 + 99+ 79

5 736 + 97 =5 833 − 97 =

84 + 1 356 =1 440 − 84 =

7 150 − 94 =7 056 + 94 =

Ili kraće:7 987

+ 658 052

T S D J

−

61

1001

10219

101

7

5 9 2 4

Ili kraće:6 021

− 975 924

T S D J

+

7

1

9

1

861

75

8 10 15 128 0 5 2

9 008− 69

4 053− 75

7 914+ 86

5 945+ 79



19

20

21

22

23

24

Majka je kupila knjige za Sanju i Zorana.Sanjine knjige stajale su 678 kuna,a Zoranove 102 kune viπe od Sanjinih.Koliko je ukupno kuna majka dala za knjige?

______________________________________________________________________________

Majka je ro�ena 1973. godine. Otac je ro�en 4godine prije. Sin je 32 godine mla�i od oca. Koje

je godine ro�en otac, a koje sin? Koliko godinasada imaju otac, majka i sin?

______________________________________________________________________________

Izračunajte x .

7 293 + 57 = x x =

5 632 − 44 = x x =

Zbrojimo brojeve 7 543 i 621.

Oduzmimo brojeve 8 735 i 914.

Zamijenite mjesta pribrojnicima i zbrojite.

3 007 + x = 4 106 x =

2 176 − x = 2 085 x =

Ili kraće:7 543

+ 6218 164

T S D J

+

7

1

5

6

4

2

3

18 11 6 48 1 6 4

Objašnjenje:3 J više 1 J je 4 J4 D više 2 D je 6 D

5 S više 6 S je 11 S,1 S pišemo, a 10 S = 1 Tpribrajamo tisućicama.

T S D J

−

81

1079

31

54

7 8 2 1

Ili kraće:8 735

− 9147 821

Objašnjenje:5 J manje 4 J je 1 J3 D manje 1 D je 2 D17 S manje 9 S je 8 S(umanjeniku smo dodali 10 S)8 T manje 1 T je 7 T

(umanjitelju smo dodali 1 T).

5 076+ 935

523+ 8 759

217+ 3 471

3 471+ 217 ++



40

Oduzmite i izvedite provjeru.

Popunite tablicu.

a 7 345 2 837 3 085 8 742 6 789 789b 645 125 370 605 567 9 211

a + b

Popunite tablicu.

a 6 347 5 498 8 006 5 099 7 101 9 000b 128 707 342 999 808 999

a − b

Zbrojimo brojeve 5 928 i 3 495 i oduzimanjem provjerimo točnost rezultata.

Potpisali smo jedinice pod jedinice, desetice pod desetice, stotice pod stotice itisućice pod tisućice.

Objašnjenje ovoga postupka:8 (J) više 5 (J) je 13 (J).3 (J) pišemo, a 1 (D) pribrajamo deseticama.2 (D) više 9 (D), više 1 (D) je 12 (D), 2 (D) pišemo,a 1 (S) pribrajamo stoticama.9 (S) više 4 (S), više 1 (S) je 14 (S), 4 (S) pišemo,a 1 (T) pribrajamo tisućicama.5 (T) više 3 (T) više 1 (T) je 9 (T).

Proučite zadatke.

25.

26.

27.

28.

29.

5 000− 935

7 005− 867

7 381− 572 + + 572 +

Ili kraće:5 928

+ 3 4959 423

T S D J

−

913

10414

10219

103

55 9 2 8

Ili kraće:9 423

− 3 4955 928

T S D J

+

531

941

291

85

9 14 12 139 4 2 3

2 864+ 7 13610 000

7 538+ 1 065

8 603

10 000− 7 803

2 197

8 135− 4 097

4 038

13 (J) manje 5 (J) je 8 (J).12 (D) manje 10 (D) je 2 (D).14 (S) manje 5 (S) je 9 (S).9 (T) manje 4 (T) je 5 (T).



30

31

32

33

34

35

Zbrojite.

Oduzmite.

Neka je obitelj u jednome mjesecu potrošilaza hranu 3 750 kuna, a u drugome 455 kuna više.Koliko je ta obitelj potrošila za hranuu dva mjeseca?_____________________________________

_____________________________________

Darko kupuje štednjak i odijelo. Ako štednjak stoji 3 270 kuna, a odijelo 1 500 kuna manje, koliko iznosi račun za oba predmeta?______________________________________________________________________

Zbrojimo brojeve 345 216 i 23 483. Zadane brojeve upišimo u tablicu pa ih zbrojimo.

ST DT T S D J

+3 4

253

24

18

63

3 6 8 6 9 9

Zbrojili smo jedinice s jedinicama, desetice s deseticama,stotice sa stoticama, i tako redom.

Zbrojimo brojeve 457 389 i 278 659.

ST DT T S D J

+

421

571

781

361

851

99

77

133

166

100

144

188

Govorimo i pišemo:9 više 9 je 18, 8 pišemo, a jednu deseticu zbrajamo s deseticama.8 više 5 više 1 je 14, 4 pišemo, a stoticu zbrajamo sa stoticama.3 više 6 više 1 je 10, 0 pišemo, a tisuću zbrajamo s tisućama.7 više 8 više 1 je 16, 6 pišemo, a desettisućicu zbrajamo s desettisućicama.5 više 7 više 1 je 13, 3 pišemo, a stotisućicu zbrajamo sa stotisućicama.4 više 2 više 1 je 7.

3 570+ 4 815

6 009+ 2 541

3 081+ 1 758

8 587+ 1 326

7 000− 3 504

3 001− 2 009

8 094− 5 096

3 456− 1 789

Zbrojimo bez tablice.Pazimo na potpisivanje:

345 216+ 23 483

368 699

Ili kraće:457 389

+ 278 659736 048



42

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

Zbrojite brojeve.

Zadane brojeve potpišite pa ih zbrojite.a) 7 986 i 379 989,b) 45 076 i 780 326.

Od broja 758 329 oduzmimo broj 437 126.Zadane brojeve upišimo u tablicu pa ih oduzmimo.

ST DT T S D J

−

7

4

5

3

8

7

3

1

2

2

9

63 2 1 2 0 3

Od broja 573 284 oduzmimo broj 275 376.

ST DT T S D J

−

512

10717

10315

102

3

817

104

62 9 7 9 0 8

Oduzimali smo jedinice od jedinica, desetice od desetica, stotice od stotica, i tako redom. Prioduzimanju ne zaboravite „prenijeti” jedinicu ako ste u prethodnome stupcu dodali deseticu.

Oduzmite brojeve.

763 458− 231 357

807 456− 205 857

763 804− 364 714

987 654− 321 065

Zbroj brojeva 548 071 i 234 805 umanji za njihovu razliku.

_____________________________________________________________________

Broju 325 748 dodaj razliku brojeva 805 432 i 654 809.

_____________________________________________________________________

452 031+ 47 953

574 081+ 325 979

230 047+ 659 857

456 789+ 123 456

Zadane brojeve oduzmimo bez tablice.

758 329

− 437 126

321 203

Objasnite postupak.

Ili kraće:573 284

− 275 376297 908



Slika prikazuje predmete za igru koje je Darko kupio za sebe i sestru. ProdavaËu je dao1 000 kuna. Koliko mu je kuna vratio prodavaË?

Kolika je ukupna cijena svih predmeta na slici?

Ukupna je cijena:

_______________________________________________

Jedan član obitelji zaradio je u

jednome mjesecu 7 955 kuna, adrugi član 780 kuna više od njega.Koliko je tog mjeseca zaradiodrugi član obitelji?

_________________________________

U nekoj je školi bilo 726 učenika i 873 učenice. Jednog dana zbog bolesti izostane 27učenika i 18 učenica. Koliko je ukupno učenika i učenica došlo tog dana u školu?_____________________________________________________________________

43

44

45

46

47

899 kn1 790 kn

2 240 kn

U knjiænici su knjige na dvije police. Na prvoj je polici 2 135 knjiga, a na drugoj 200 knjiga manje. Koliko je ukupno knjiga na obje police?_____________________________________________________________________



44

1.

2.

3.

4.

5.

Već ste naučili da postoji veza (izme�u) zbrajanja i oduzimanja.to ćemo ponoviti i uvjeæbati računajući s brojevima do 1 000 000.

Ako od zbroja dvaju brojeva oduzmemo jedan pribrojnik,dobit ćemo drugi pribrojnik.

− 7 = 8Na primjer: 8 + 7 =

− 8 = 7

Proučite sljedeći primjer pa provjerite je li sve točno izračunano.

− 317 159 = 625 849 625 849 + 317 159 =

− 625 849 = 317 159

Na osnovi poznatog zbroja pribrojnika napišite razlike brojeva:

a) 200 000 + 650 000 = 850 000 850 000 − 650 000 =

850 000 − 200 000 =

b) 412 345 + 345 755 = 758 100 758 100 − 345 755 =

758 100 − 412 345 =

Izračunajte i napišite odgovarajuće brojeve.

− 390 180 = 78 54078 540 + 390 180 =

468 720 − = 390 180.

Popunite tablicu.

a 738 496 470 563 234 567b 96 513 375 400

a + b 670 563 800 000 765 432

Tomislavov otac kupuje auto čija je cijena 114 000 kuna. Uštedio je 97 900 kuna.Koliko mu kuna još treba da kupi auto?

______________________________________________________________________

VEZA ZBRAJANJA I ODUZIMANJA

1515

15

943 008943 008

943 008



6

7

8

9

10

11

Mjesto točkica napišite znamenke tako da zbroj bude točan.

285 432+ . . . . . .

697 789

Izračunajte nepoznati pribrojnik.

587 042 + x = 898 021 x + 472 065 = 910 443______________________________ ___________________________________

Ako razlici dvaju brojeva dodamo umanjitelj, dobit ćemo umanjenik.

Na primjer: Iz 9 − 4 = 5 slijedi 5 + 4 = 9.

Izračunajmo razliku 873 569 − 209 478. slijedi

Ako od umanjenika oduzmemo razliku, dobit ćemo umanjitelj.

Na primjer: Iz 9 − 4 = 5 slijedi 9 − 5 = 4

Izračunajte.

654 321− 567 890

Izračunajte nepoznati broj.

x − 12 786 = 780 954 826 064 − x = 32 769 _____________________________ _____________________________

. . . . . .+ 584 372

949 629

4 . 7 63 .+ 23 . 3 . 3

. 89 . 57

45 . 791+ . 65 . 06

819 5 . .

873 569− 209 478

664 091

664 091+ 209 478

873 569

654 321− 86 431

86 431+ 567 890

Nikola je kupio mobitel, zvuËnike i radio za 1025 kuna. Za mobitel je dao 399 kuna, a za

zvuËnike 299 kuna. Koliko je platio radio?____________________________________



46

Promotrite najprije kocku i kvadar, a zatim valjak i kuglu,pa uočite ravne i zakrivljene plohe.

Promotrite kocku i kvadar.

Promotrite valjak i kuglu.

Slika nam predočuje jednu ravnu i jednu zakrivljenu plohu.

RAVNINA

1.

2.

3.

4.

KUT2.

I kvadar ima samo ravne plohe.Kako se zovu plohe kvadra?

________________________________

RAVNINA (PONAVLJANJE)

Kocka ima samo ravne plohe.Kako se zovu plohe kocke?

__________________________

Valjak ima dvije ravne i jednu zakrivljenu plohu.Kako se zovu ravne plohe valjka?

_____________________________________

Kugla ima samo zakrivljenu plohu.

Zamislimo da se kvadrat neograničenopovećava. Tako nastane ravnina.

Slika predočuje ravninu R.

Ravnina je neome�ena ravna ploha.

R



5

6

7

8Nacrtajte u biljeænicu:

Ravna ploha stola, školske ploče, poda učionice i školskog igrališta predočuju namdijelove ravnina. List papira na kojemu crtamo tako�er nam predočuje ravninu. Sve štonacrtamo na listu papira pripada ravnini koju taj list predočuje.

Nacrtajte u biljeænicu:

ravnu crtu zakrivljenu crtu izlomljenu crtu

Svaka točka tih crta pripada istoj ravnini.

6. Nacrtajte:

pravac polupravac duæinu

Sve točke pravca, polupravca i duæine nacrtani na ovom listu pripadaju istoj ravnini.

Nacrtajte u biljeænicu:

dva pravca koji se sijeku dva usporedna pravca

Pripadaju li sve točke ovih pravaca ravnini u kojoj su nacrtane?

S

dva polupravca kojiimaju istu početnu točku

dva polupravca kojima supočetne točke različite

V A

B



48

Ponovimo o polupravcu:

Polupravac je dio pravca. To je ravna crta. Označuje se malim slovima: a, b, c, ...

P i T dvije su različite točke pravca b .Kako se zovu dijelovi pravca koje odre�uju te dvije točke?

I. II. III.

Dio I.____________ Dio II.______________ Dio III._______________

Nacrtajmo dva pravca koji se sijeku.

R

Dio ravnine ome�en dvama polupravcima s istom početnom točkom zove se kut .

Na slici je nacrtan kut.

Oznaka za kut: kut (a, b ), ili (a, b ). Čitamo: kut a, be .Na primjer, na slici su nacrtana tri kuta. Prvi slijeva je (k, l ). Napišite oznake drugadva kuta.

1.

2.

3.

4.

KUT

a T

T

T Točka T rastavlja pravac na dva dijela.Svaki se dio, zajedno s točkom T , zovepolupravac. T je početna točka

polupravca.

a c b

P T b

T

a

b

Pravci a i b sijeku se u točki T . Kolikopolupravca s početnom točkom T vidite naslici?_____________________________

Ravnina R podijeljena je na četiri dijela.Svaki dio ravnine odre�en je dvama polu-pravcima koji imaju istu početnu točku T .

Polupravci koji ome�uju kut zovu sekraci i oni tako�er pripadaju kutu.Početna točka obaju polupravaca jevrh kuta. Vrh kuta označen je slovom V .Kraci kuta označeni su slovima a, b .

l

m

n

c

d

k



Promotrite odnos točke i kuta.

Na slici je nacrtan kut (a, b ). Nacrtajte:

U kakvom su odnosu pravci a i b prema kutu na slici?

Pravac b i i kut (m, n ) nemaju ni jednu zajedničku točku. Pravac a siječe kut (m, n ).Svaka točka duæine AB ujedno je i točka kuta (m, n ), tj. pripada kutu (m, n ).

Promotrimo me�usobni odnos kuta (k, l ) i pravaca c i d .

Pravac c i kut (k, l) imaju samo jednu zajedničku točku V .Točke koje pripadaju polupravcu s početnom točkomV ujedno pripadaju i kutu (k, l ).

Nacrtajte kut i jednu duæinu koja nema ni jedne zajedničke točke s kutom.

1.

2.

3.

4.

5.

UNUTARNJE, RUBNE I VANJSKE TO»KE KUTA

Točka B pripada kutu (c, d ).Točka A pripada kraku kuta (c, d ) i ujedno kutu (c, d ).Točka C ne pripada kutu (c, d ).

a) točku A koja pripada kutu (a, b ),

b) točku B koja pripada kutu (a, b ) i jednom nje-govu kraku,

c) točku C koja ne pripada kutu (a, b ).

Pravac a siječe kut (m, n ).Pravac b ne siječe kut (m, n ).

c

d

k

l

n

m



50

USPORE�IVANJE KUTOVA. PRAVI KUT. łILJASTI KUT.ISPRUÆENI KUT. TUPI KUT

1.

2.

3.

4.

Usporedite ova dva kuta:

Usporedite pomoću prozirnog papira ova dva kuta:

Što opaæate?Kutovi koji se mogu dovesti do prekrivanja sukladni su.

Sukladni su kutovi jednake veličine.

Usporedite kutove na slici što ih čine prvaci koji se sijeku a i b .Koji su kutovi jednaki (sukladni)?

Mogu li sva četiri kuta što ih čine dva pravca koja se sijeku biti jednaka? DA − NE.Nacrtajte sliku u tom slučaju.

Dva me�usobno okomita pravca dijele ravninu na četiri jednaka dijela, tj. na četiri kuta jednake veličine. Kraci svakoga od ta četiri kuta me�usobno su okomiti.Kut kojemu su kraci me�usobno okomiti zove se pravi kut.

Radite ovako:Preslikajte kut (a, b ) na prozirni

papir pa prekrijte kut (c, d ). Pritome pazite da krak a pokrije krakc , a vrh A vrh B . Što opaæate?Koji je kut veći?

m

n

C

D k

l

b

a

c

d



1

2

3

CRTANJE PRAVOG KUTA

Pravi se kut crta ovako: a

a

a

a

b a

©ILJASTI, ISPRUÆENI I TUPI KUT

Usporedite ova dva kuta pomoću prozirnog papira:

Nacrtajte dva šiljasta kuta.

Povećanjem kuta (c, d ) moæe se dogoditi da krak d padne na produæenje kraka c . Nastali kut zove se ispruæeni kut .

1. Nacrtajte polupravac a .

2. Postavite manji brid pravokutnog trokutauz polupravac a .

3. Prislonite ravnalo uz najveći brid trokuta.

4. Pomičite trokut duæ ravnala dok drugikraći brid ne pro�e točkom V pa točkom V nacrtajte polupravac b.

5. Dobili ste pravi kut.

V

V

V

V

Kut (c, d ) je______ od kuta (a, b )

Svaki kut koji je manji od pravogakuta zove se šiljasti kut .



52

4.

5.

6.

Na slici je nacrtan ispruæeni kut s vrhom V . Nacrtajte jedan polupravac s rubnomtočkom V koji pripada kutu i označitenastale kutove.

Usporedite te kutove.

Mogu li ta dva kuta biti sukladna? Da − NE. (Odgovor obrazloæite.)

Nacrtajte tri kuta veća od pravog kuta, a manja od ispruæenog kuta.

1. kut 2. kut 3. kut

Ti se kutovi zovu tupi kutovi .

Svaki kut veći od pravoga, a manji od ispruæenog kuta zove se tupi kut .

Nacrtajte:

a) pravi kut, b) šiljasti kut, c) tupi kut.

Nacrtamo li polupravac p okomito napravac a , tada je ispruæeni kut podijeljenna dva prava kuta.

Polupravac p moæemo nacrtati i tako da

nastane kut veći od pravoga, a manji odispruæenoga.



1

2

3

PISANO MNOŽENJE 3MNOÆENJE BROJEVA (PONAVLJANJE)

Izračunajte:

23 · 369

75 · 5

87 · 9

57 · 10

Ponovimo osnovna svojstva mnoæenja.

Popunite tablicu.

a 8 5 7 9 4 7 6b 2 4 6 3 9 8 10

a · b 16b · a 16

Uočite da je: a · b = b · a

Za mnoæenje brojeva vrijedi svojstvo komutativnosti (zamjene faktora).

Popunite tablicu.

a 7 5 9 2 10 7

b 6 8 6 4 7 8

c 9 3 5 8 4 9

a · b 42

b · c 54

(a · b ) · c 378

a · (b · c ) 378

Uočite da je: (a · b ) · c = a · (b · c )

Za mnoæenje brojeva vrijedi svojstvo asocijativnosti (zdruæivanje faktora).

Zdruæivanje faktora prikazano je zagradama.

Umnoæak ostaje isti ako faktorima zamijenimo mjesta.

Umnoæak se neće promijeniti ako faktore zdruæimo.



54

MNOÆENJE ZBROJA BROJEVA I RAZLIKE BROJEVA BROJEM

1.

2.

Učenici 4. a i 4. b razreda iduna izlet. Iz 4. a na izlet idu 34,a iz 4. b ide 29 učenika.Za autobus svaki učenik trebadati 9 kuna.

Koliko je ukupno iznosio računza autobus?

Mirjana skuplja novac u 4. a, a Branko u 4. b razredu.

Zatim zbrajaju: 306 + 261 = 567. Ukupno je za autobus plaćeno 567 kuna.

Cjeli ovaj račun kratko zapisujemo ovako:

(34 + 29) · 9 = 63 · 9 = 567.

Ovdje smo zbroj brojeva 34 i 29 mnoæili s devet.

Svaki smo pribrojnik pomnoæili s devet i dobivene umnoške zbrojili.

Popunite tablicu.

Uočite da je: (a + b ) · c = a · c + b · c

Za mnoæenje zbroja brojeva vrijedi svojstvo distributivnosti (raspodjele).

Zbroj mnoæimo nekim brojem tako da svaki pribrojnikpomnoæimo tim brojem i dobivene umnoške zbrojimo.

Branko računa:29 · 9 = 261

Mirjana računa:34 · 9 = 306

a 28 50 28 41 27

b 46 30 42 39 48

c 8 6 5 9 4a + b 74

a · c 224

b · c 368

(a + b) · c 592

a · c + b · c 592



3

4

5

Sad ćemo naučiti kako se razlika brojeva mnoæi nekim brojem.

Popunite tablicu.

Uočite da je: (a − b ) · c = a · c − b · c

Razliku dvaju brojeva mnoæimo nekim brojem tako da oba člana razlikepomnoæimo tim brojem i dobivene umnoške oduzmemo.

Izračunajmo: 28 · 7 + 42 · 7.

Taj bismo zadatak mogli riješiti ovako:

28 · 7 = 196, 42 · 7 = 294, 196 + 294 = 490.

Zadatak lakše riješimo ovako:

28 · 7 + 42 · 7 = (28 + 42) · 7 = 70 · 7 = 490.

Ovdje smo primijenili formulu za distributivnost (čitanu zdesna ulijevo):

a · c + b · c = c · (a + b )

Izračunajte na najbræi način: 89 · 9 − 39 · 9.

89 · 9 − 39 · 9 = (89 − 39) · 9 = 50 · 9 = 450.

Sada smo se koristili jednakošću:

a · c − b · c = (a − b ) · c

Zadatak riješite na drugi način i provjerite jeste li dobili isti rezultat.

a 83 70 95 87 91

b 37 30 45 24 26

c 6 10 5 7 9

a − b 46

a · c 498

b · c 222

(a − b) · c 276

a · c − b · c 276



56

1.

2.

3.

4.

PISANO MNOÆENJE VI©EZNAMENKASTOGA BROJAJEDNOZNAMENKASTIM BROJEM

U ovome ćete poglavlju naučiti kako se troznamenkasti, četveroznamenkasti ipeteroznamenkasti brojevi mnoæe jednoznamenkastim brojevima.

Napišite brojeve 357, 505, 1 784, 37 586, 257 349, 807 500 u tablicu mjesnih vrijed-nosti, a zatim u obliku zbroja višekratnika dekadskih jedinica.

Pomnoæite broj 324 brojem 2.

Račun kraće zapisujemo ovako:

324 · 2648

Provjerite rezultat zbrajanjem: 324 + 324 =

Izračunajte:

323 · 3 124 · 2 222 · 4 103 · 3 234 · 2 431 · 2

132 · 3 411 · 2 220 · 4 402 · 2 310 · 2

123 · 3

Rezultate provjerite zbrajanjem.

U kinu sa 320 sjedišta prikazuje se lm jednom na dan. U tri dana rasprodane su sveulaznice za svaki dan. Koliko je gledalaca gledalo taj lm u ta tri dana?_____________________________________________________________________

Najprije mnoæimo jedinice, zatimdesetice i napokon stotice.Govorimo ovako:

2 puta 4 je 82 puta 2 je 42 puta 3 je 6.

ST DT T S D J3 5 7 = 3 · 100 + 5 · 10 + 7 · 1 = 300 + 50 + 7

= __________________________ = = 1 · 1 000 + 7 · 100 + 8 · 10 + 4 · 1 = = ________________________________ == ___________________________________ =

8 0 7 5 0 0 = 8 · 100 000 + 0 · 10 000 + 7 · 1 000 + 5 · 100 =

T S D J

3 2 4 · 26 4 8



Pomnoæite 328 brojem 3.

Izračunajte:

318 · 3 261 · 2 213 · 4 732 · 3 252 · 4

4 · 116 6 · 115 7 · 113 3 · 217 3 · 129

Umnoæak brojeva 732 i 2 zbroji s umnoškom brojeva 262 i 2.______________________________________________________________________

Jedna litra mlijeka stoji 560 lipa.Koliko stoje dvije litre mlijeka?Izrazite rezultat u kunama i lipama.

_______________________________

Jedan kilogram jabuka stoji 6 kuna.

Koliko treba platiti za 115 kilograma?_______________________________

Pomnoæite 154 brojem 4.

Ili kraće: 154 · 4

616

Pomnoæite: 148 · 5 425 · 3 321 · 8 418 · 5 921 · 9

Tijekom jednog sata prošlo je autoputom 215 putničkih automobila. Koliko su ljudi tiautomobili mogli prevesti ako bi se u svakom autu vozila 4 čovjeka?_____________________________________________________________________

T S D J1 5 4 · 4

2 14 20 166 1 6

T S D J3 2 8 · 3

29 6 249 8 4

5

6

7

8

9

10

11

12

3 puta 8 je 24; to su 4 jedinice i 2desetice. Jedinice zapisujemo, a 2desetice pribrajamo deseticama.

Izgovaramo ovako:3 puta 8 je 24; 43 puta 2 je 6; 6 i 2 je 83 puta 3 je 9

Izgovaramo ovako: 4 puta 4 je 16; 6 4 puta 5 je 20; 20 i 1 je 21; 1 4 puta 1 je 4; 4 i 2 je 6.

Račun kraćezapisujemoovako:

328 · 3984



58

Zamislio sam dvostruki zbroj brojeva 154 i 199. Koji sam broj zamislio? _____________

Nepoznati je broj za 18 veći od umnoška brojeva 186 i 5. Koji je to broj?_____________

Koji brojevi mogu biti x ako je: 123 · 5 < x < 155 · 4? ____________________________

Pomnoæite broj 845 sa 4.

Ili kraće: 845 · 4

3380

Izvedite ova mnoæenja:

287 · 7 354 · 3 475 · 8 259 · 6

T S D J8 4 5 · 4

3 1 2 32 16 20

3 3 8 0

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

Šaljivi zadatak:Lete dva jata ptica.Ptica iz jednoga jata kaæe:„Dajte nam jednu pticu, pa Êe nasbiti jednak broj kao u vaπem jatu.”

Ptica iz drugoga jata odgovori:„Dajte vi nama jednu pticu, pa Êenas biti dva puta viπe nego vas.”Koliko je ptica u jednome,a koliko u drugome jatu?

____________________________

____________________________

Izgovaramo ovako: 4 puta 5 je 20; 0 4 puta 4 je 16; 16 i 2 je 18; 8 4 puta 8 je 32; 32 i 1 je 33.

„Koliko imate ovaca?” upita djeËakstarca. „Izbroji ih!” reËe starac. DjeËak

je brzo brojio i rekao: „Ovaca je 23.”„Ne”, odgovori starac. „Pri brojenju si

izostavio svaku petu ovcu.” DjeËak jenakon toga brzo odgovorio koliko staracima ovaca. Na to pitanje odgovori i ti.

_____________________________________________________________________________________________



Pomnoæimo broj 43 142 brojem 2.

Umnoæak brojeva 43 142 i 2 je 86 284, tj. 43 142 · 2 = 86 284.

Mnoæiti moæemo i bez potpisivanja:

43 142 · 2 = . . . . 4 Umjesto točkica, upišite odgovarajuće znamenke.

Pomnoæite:

320 143 · 2 320 143 · 2 = . . . . . .

Pomnoæimo broj 78 051 sa 6.

Pomnoæimo bez tablice: 78 051 · 6

468 306

ili 78 051 · 6 = 468 306

Provjerite jesu li točno riješeni sljedeći zadatci:

23 456 · 7164 192

38 095 · 8304 760

50 403 · 9453 627

137 095 · 6822 570

Pomnoæite:

4 532 · 3; 70 532 · 2; 25 000 · 8; 123 456 · 7;

7 203 · 8; 38 490 · 6; 70 005 · 6; 204 067 · 8.

ST DT T S D J7 8 0 5 1 · 6

4 4 3 42 48 0 30 6

4 6 8 3 0 6

20

21

22

23

24

Sa 2 mnoæimo najprije jedinice, zatimdesetice pa stotice, itd.

Mnoæimo bez tablice:43 142 · 286 284

6 · 1 = 6, pišemo 6.6 · 5 = 30, pišemo 0, 3 (dalje)6 · 0 = 0, 0 + 3 = 3, 3 pišemo6 · 8 = 48, 8 pišemo, 4 (dalje)6 · 7 = 42, 42 + 4 = 46.

DT T S D J4 3 1 4 2 · 2

8 6 2 8 4



60

1.

2.

3.

PISANO MNOÆENJE VI©EZNAMENKASTOGA BROJADVOZNAMENKASTIM BROJEM

Mnoæenje brojeva sa 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 i 90.

Pomnoæite:

378 · 10 = 3 780 Zadanom broju 378 dopisali smo nulu.

378 · 20 = 378 · (2 · 10) = (378 · 2) · 10 = 756 · 10 = 7 560 378 · 30 = 378 · (3 · 10) = (378 · 3) · 10 = 1 134 · 10 = 11 340

378 · 40 = 378 · (4 · 10) = __________________

378 · 80 = ______________________________

Izračunajte:

Pomnoæimo broj 328 sa 32.

Najprije mnoæimo u tablici.

DT T S D J3 2 8 · (30 + 2)

9 8 4 0 328 · 306 5 6 328 · 2

1 0 4 9 6

Broj mnoæimo višekratnikom broja 10 (do broja 90) tako da gapomnoæimo brojem desetica, a zatim dobivenom broju dopišemo nulu.

2 300 · 30 =

4 805 · 50 =

3 254 · 60 =

7 560 · 70 =

8 675 · 90 =

7 806 · 50 = 390 300

8 768 · 90 = 789 120

2 900 · 70 = 203 000

3 960 · 40 = 158 400

6 758 · 80 = 540 640

Broj 32 napisali smo kao 30 + 2Broj 328 pomnoæili smo najprijesa 30, a zatim sa 2.Dobivene smo umnoške zbrojili.

Broj 328 najprije smo mnoæili sa3 desetice, a zatim sa 2 jedinice.Trebamo paziti na pisanje brojeva tako da

jedinice do�u u stupac jedinica, deseticeu stupac desetica itd.

DT T S D J3 2 8 · 32

9 8 4 0 328 · 3 D6 5 6 328 · 2 J

1 0 4 9 6



4

5

6

7

8

9

Mnoæimo bez tablice:

328 · 32984

+ 656

10 496

Broj 656 pomaknut je za jedno mjesto udesno radi točnog upisivanja znamenaka utablici mjesnih vrijednosti. Jedinice pišemo na odgovarajuće mjesto jedinica, deseticena odgovarajuće mjesto desetica itd.

Govorimo i pišemo:3 puta 8 je 24, 4 pišemo, 2 dalje3 puta 2 je 6, 6 više 2 je 8, 8 pišemo3 puta 3 je 9, 9 pišemo

Mnoæenjem sa 3 desetice dobili smo umnoæak 984.

Sada mnoæimo sa 2 jedinice.2 puta 8 je 16, 6 pišemo, 1 dalje2 puta 2 je 4, 4 više 1 je 5, 5 pišemo2 puta 3 je 6, 6 pišemo

Mnoæenjem sa 2 jedinice dobili smo umnoæak 656.

Pomnoæite brojeve:230 · 45 6 325 · 38 4 082 · 64 8 765 · 97

Koji je broj 75 puta veći od broja 6 500? ______________________________________

U knjiæari je prodano 3 728 knjiga iz matematike po cijeni od 39 kuna.Koliko je ukupno plaćeno za te knjige?_______________________________________

Zbroj brojeva 2 378 i 4 572 pomnoæite brojem 78._____________________________________________________________________

Razliku brojeva 5 876 i 986 pomnoæite brojem 93.

______________________________________________________________________

U jednome zooloπkom vrtuæivi 5 deva i 6 magaraca.Svaka od tih æivotinja,uz stalnu hranu, pojedetjedno i po 2 kilograma

jabuka. Koliko ukupno ki-lograma jabuka te æivotinjepojedu u 12 tjedana?



62

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Izračunajte:

a) 2 358 · 67 + 3 142 · 67.

b) 38 · 4 958 + 38 · 3 153.

Izračunajte:

a) 98 · 8 956 − 98 · 1956.

b) 9 090 · 56 − 56 · 7 085.

UËenici su 3 mjeseca redovito iπli uπumu hraniti srne. UËenici 4. b razredadavali su srnama mjesečno 1 103 ki-

lograma hrane, a uËenici 4. a razreda4 kilograma hrane manje. Koliko suukupno hrane uËenici dali za srne?

_____________________________________________________________________

Meu 61 uËenikom 4. a i 4. b razreda 32 su djevojËice. Lovci su djevojËicama dali ko-laËe, a svakomu djeËaku po dvije jabuke. Koliko su jabuka lovci dali djeËacima?

_____________________________________________________________________

Voćar je prodao 875 kg jabuka prvog dana i 525 kg drugog dana po cijeni od 12 kunaza kilogram. Prodao je i 270 kg krušaka prvog dana i 380 kg drugog dana po cijeni od14 kuna za kilogram.Koliko je ukupno kuna dobio za kruške i jabuke?______________________________________________________________________

Povratna karta od jednoga grada do drugoga stoji 280 kuna za odrasle osobe, a zadjecu 180 kuna. Koliko Êe ukupno platiti za prijevoz mama, tata i troje djece?

______________________________________________________________________



1

2

3

TROKUT, PRAVOKUTNIK I KVADRATPRAVOKUTNIK, KVADRAT I TROKUT KAO PLOHE UG-LATIH GEOMTERIJSKIH TIJELA (PONAVLJANJE)

4

Promatrajte razne predmete i gra�evine te uočite njihove oblike.

Upoznali ste različita geometrijska tijela: kvadar, kocku, piramidu, valjak i kuglu.

Nacrtana su neka uglata geometrijska tijela. Promotrite njihove plohe.

Plohe ovih tijela su pravokutnici, kvadrati i trokuti.

Na slici su piramide. Nacrtana je piramida,promotrite njezine strane.

Nacrtana su tri geometrijska lika. Napišite kako se oni zovu.

_______________ ________________ ______________



64

1.

2.

STRANICE, VRHOVI I KUTOVI TROKUTA

Trokut je geometrijski lik koji ste već upoznali.U ovom poglavlju trokut ćete detaljnije proučavati.

U ravnini označimo tri točke A, B , C koje ne pripadaju istom pravcu. Spojimo li te tritočke duæinama AB , BC i CA, nacrtali smo trokut ABC .

Na slici je nacrtan trokut ABC .

Po dvije susjedne stranice imaju jednu zajedničku točku.

Na slici su to točke: ______, ______, ______.

Točke A, B , C zovu se vrhovi trokuta.

Duljine stranice trokuta označujemo: |AB |, |BC |, |CA|. Izmjerite stranice trokuta.

|AB | = ________ mm, |BC | = _________ mm, |CA| = __________

Duljine stranica trokuta označujemo i malim slovima abecede: a , b i c .Često kaæemo da su stranice trokuta a , b i c .Uočite da se stranica duljine a nalazi nasuprot vrhu A, stranica duljine b je nasuprotvrhu B i stranica duljine c je nasuprot vrhu C . Dakle, a = |BC |, b = |AC | i c = |AB |.

Na slici je trokut s vrhovima D , E i F . Govorimo i pišemo: trokut DEF ili DEF .

Duæine AB , BC i CA zovu se stranice trokuta. One ome�uju trokut.

Trokut je dio ravnine ome�en s tri duæine.

Koje su stranice toga trokuta?Izmjerite duljine stranica trokuta DEF.

|DE | = __________________

|EF | = __________________

|FD | = __________________



Nacrtan je trokut ABC. Označene su neke točke ravnine. Promotri sliku.

Označite još neke unutarnje točke trokuta ABC .

Točke M i N ne pripadaju trokutu ABC.

Označite tri točke koje ne pripadaju trokutu ABC .

Na slici je nacrtan kut (m, n ) s vrhom A. Pravac p dijeli kut na dva dijela: dio I. i dio II.

Dio I., uključujući duæinu BC , trokut je ABC .Stranice trokuta su duæine: ___, ___, ___.Vrhovi trokuta su točke: ___, ___, ___.

Dvije susjedne stranice trokuta ABC nalaze sena kracima kuta (m, n ). Kaæemo da stranicetrokuta ABC, AB i AC zatvaraju kut (m, n ).

Trokut ABC dio je kuta (m, n ).

Trokut ABC moæemo shvatiti i kaodio kuta (p, m ), odnosno i kao diokuta (p, n ).

Prema tome, trokut ABC ima tri kuta: kut pri vrhu A, kut pri vrhu B , kut pri vrhu C . Kaæemo još da trokut ABC ima tri kuta. Po tome je dobio naziv.

Nacrtan je trokut ABC .

Označeni su kutovi (c, b) , (c, a ) i(a, b ) te stranice a, b i c .

3

4

Točke D , E , F , G točke su nastranicama trokuta ABC .

Te točke pripadaju trokutu.

Sve točke stranica trokuta pripadajutom trokutu. To su rubne točketrokuta.

Označite još neke rubne točketrokuta ABC.

Točke K i L točke su trokuta ABC .

To su unutarnje točke trokuta.

p

n

m

p

m

n



66

Razvrstat ćemo trokute prema duljinama njihovih stranica.

Izmjerite stranice nacrtanog trokuta u milimetrima pa odredite zbroj njihovih duljina.

Ovaj trokut ima sve stranice

različitih duljina.

U ovom su trokutu sve tri stranice jednake duljine. Provjerite tomjerenjem.

U ovom su trokutu dvije stranice jednake duljine. Provjerite tomjerenjem.

Stranice BC i CA, koje su jednake duljine, zovemo kracima trokuta ABC . Stranica AB zove se osnovica jednokračnog trokuta.

Izmjerite i izrazite u milimetrima zbroj duljina stranica trokuta ABC .

S obzirom na duljinu stranica trokute smo podijelili na raznostranične, jednakostraničnei jednakokračne.Nacrtana su tri trokuta. Izmjerite njihove stranice i napišite koji su to trokuti.

__________________ ________________ _________________

1.

2.

3.

4.

VRSTE TROKUTA S OBZIROM NA DULJINE STRANICA

Trokut kojemu su sve stranice različitihduljina zove se raznostraničan trokut .

Trokut koji ima sve tri stranice jednakeduljine zove se jednakostraničan ili

pravilan trokut .

Trokut koji ima dvije stranice jednakeduljine zove se jednokračan trokut.



Poznato vam je da su sve stranice jednakostraničnog trokuta jednake duljine.Sada ćete naučiti kako se crta jednakostraničan trokut.

Nacrtajmo jednakostraničan trokut ABC kojemu je duljina stranice 3 cm.

1. Nacrtamo duæinu čija jeduljina 3 cm.

2. Nacrtamo dvije kruænicekojima su radijusi duljine3 cm.Središte jedne kruænice jetočka A, a druge točka B .

3. Sjecište kruænica označimosa C .

4. Spojimo li točke A i B stočkom C (ravnim crtama),nacrtali smo trokut ABC .

Dakle, jednakostraničantrokut crtamo na sljedećinačin:

1. Nacrtamo jednu stranicutrokuta, npr. stranicu AB .

2. Nacrtamo samo dio

kruænice (kruæne lukove)sa središtima A i B teradijusom AB , tako da sesijeku u točki C .

3. I na kraju nacrtamo duæineAC i BC .

Nacrtajte jednakostraničantrokut kojemu je duljinastranice 27 mm.

CRTANJE JEDNAKOSTRANI»NOGA, JEDNAKOKRA»NOGA I RAZNOSTRANI»NOGA TROKUTA

1

2

A B

C

B A



68

Nacrtajmo jednakokračan trokut ABC kojemu je duljina jedne stranice (osnovice) 20 mm,

a duljina kraka 25 mm.

1. Najprije nacrtamo stranicu AB

čija je duljina 20 mm.2. Nacrtamo dvije kruænice radi-

jusa 25 mm i sa središtem utočkama A i B .

3. Sjecišta tih kruænica označimosa C i D .

4. Nacrtamo li duæine AC i BC ,dobili smo trokut ABC .

Ubuduće nećemo crtati cijelekruænice nego njihove lukovetako da se presijeku u točki C .

Nacrtajte jednakokračan trokut ABC kojemu je duljina osnovice a = 3 cm, a duljina

kraka b = 2 cm.

Nacrtajmo raznostraničan trokut kojemu su duljine stranica a = 25 mm, b = 30 mm,

c = 35 mm.1. Nacrtamo najprije stranicu AB

duljine 35 mm.2. Nacrtamo dio kruænice (kruæni

luk) sa središtem u točki A iradijusom duljine 30 mm.

3. Nacrtamo dio kruænice (kruæniluk) sa središtem u točki B iradijusom duljine 25 mm.

4. Sjecište kruænica (kruænih lu-

kova) označimo sa C .5. Spojimo ravnom crtom točke A i B s točkom C.

Nacrtajte raznostraničan trokut kojemu su duljine stranica

a = 28 mm, b = 32 mm i c = 4 cm.

3.

4.

5.

6.



Nacrtan je trokut čija su sva tri kuta šiljasta.

Trokut kojemu su sva tri kuta šiljastazove se šiljastokutni trokut.

Nacrtan je trokut kojemu je jedan kut tupi. Ostala dva kuta su šiljasti kutovi.

Trokut koji ima jedan tupi kut zove setupokutni trokut .

3. Nacrtan je trokut koji ima jedan pravi kut.

Trokut koji ima jedan pravi kut zovemopravokutnim trokutom . U trokutu ABC pravi kut je kut (a , b ). Kakvi su kutovi(b , c ) i (a , c )?

Nacrtana su tri trokuta. Kako se oni zovu s obzirom na veličinu njihovih kutova?

_____________ ______________ ______________

Drugi trokut ima jedan pravi kut i dva šiljasta kuta.

Treći trokut ima ___________________ kut i dva __________________________kuta.

1

2

3

4

łILJASTOKUTNI, TUPOKUTNI I PRAVOKUTNI TROKUT

b

c a



70

Nacrtajmo pravokutni trokut ABC ako su duljine stranica koje zatvaraju pravi kut|CA| = 30 mm, |CB |= 25 mm.

1. Nacrtamo pravi kut s vrhom u točkiC .

2. Na jedan krak nanesemo stranicuCA duljine 30 mm.3. Na drugi krak nanesemo stranicu CB duljine 25 mm.4. Nacrtamo stranicu AB .

Nacrtajte pravokutni trokut ABC kojemu su duljine stranica |CB | = 3 cm, |CA| = 4 cm.Izmjeri treću stranicu.

Nacrtajte dva trokuta tako da jedan ima tupi kut, a drugome su sva tri kuta šiljasta.

Koliko trokuta vidiš na slici?

a) b) c)

_________________ ________________ _______________

Nacrtajte jedan pravokutan jednakokračan trokut i jedan tupokutan jednakokračan trokut.

5.

6.

7.

8.

9.



Sad ćete naučiti što je opseg trokuta.

Mladen je napravio trokut od letvica, tako da se stranice mogu pomicati, a trokut „ot-voriti”.

Na slici c) letvice su ispruæene pa čine jednu duæinu.

Duljina te duæine jednaka je zbroju duljina svih stranica toga trokuta.

Nacrtan je trokut ABC kojemu su duljine stranica a = 25 mm, b = 28 mm i c = 26 mm.

Zbrojimo duljine stranica tog trokuta:

25 + 28 + 26 = 79.

Zbroj duljina svih stranica zadanogtrokuta je 79 mm.

Stranice trokuta prenijeli smo na

jednu duæinu. Izmjerite duæinu.Kolika je njezina duljina?

Zbrajanjem duljina svih stranica trokuta odredili smo njegov opseg.

Oznaka za opseg je slovo o .

Ako su duljine stranica trokuta a , b i c njegov je opseg:

1

2

OPSEG TROKUTA

Opseg trokuta je zbroj duljina svih stranica trokuta.

o = a + b + c





Izračunajmo opseg jednakokračnog trokuta kojemu je duljina osnovice a = 378 m iduljina kraka b = 311 m.

o = a + 2 · b o = 378 + 2 · 311o = 378 + 622o = 1 000

Opseg zadanog trokuta je 1 000 m ili 1 km.

Izračunaj opseg jednakokračnog trokuta kojemu je duljina osnovice a = 54 dm i duljinakraka b = 43 dm. Izrazi opseg tog grokuta u metrima.

______________________________________________________________________

Opseg jednakokračnga trokuta iznosi 23 m, a duljina njegova kraka b = 8 m.

Kolika je duljina osnovice tog trokuta?o = a + 2 · b 23 = a + 2 · 823 = a + 16a = 23 − 16a = 7

Duljina osnovice zadanoga trokuta je 7 metara.

Izračunajte duljinu kraka jednakokračnoga trokuta kojemu je duljina osnovice a = 15 cmi opseg o = 65 cm.

Nacrtajmo jednakostranični trokut kojemu je duljina stranica a = 4 cm.Izračunajmo opseg tog trokuta.

Znamo da su sve stranice jednakostraničnog trokuta jednakeduljine.Zbrojimo duljine svih stranica togatrokuta:

4 + 4 + 4 = 12.

Opseg tog trokuta je 12 m.

Ako je duljina stranice jednakostraničnoga trokuta a, opseg tog trokuta je

o = a + a + a ili o = 3 · a

1.

2.

3.

4.

7

8

9

10

11



74

Izračunajmo opseg jednakostraničnoga trokuta kojemu jeduljina stranica a = 278 metara.

o = 3 · a

o = 3 · 278

o = 834 Opseg toga trokuta je 834 metara.

Dječje igralište ima oblik jednakostraničnoga trokuta. Duljina jedne strane igrališta je 28metara. Koliki je opseg tog igrališta?

Kolika je duljina stranice jednakostraničnoga trokuta kojemu je opseg o = 81 cm?

o = 81 cm

o = 3 · a , 81 = 3 · a , a = 81 : 3, a = 27

Duljina stranice toga trokuta je 27 cm.

Izračunajte duljinu stranice jednakostraničnoga trokuta kojemu je opseg 96 metara.

Nacrtaj raznostraničan trokut. Izmjeri mu stranice i izračunaj njegov opseg.

Nacrtaj pravokutan jednakokračni trokut. Izmjeri mu stranice i izračunaj opseg.

12.

13.

14.

15.

16.

17.



Ranije ste upoznali pravokutnik, a sad ćeteo njemu više naučiti.

Pogledajte nacrtani lik. Na slici je likkoji zovemo četverokut.Četverokut je dio ravnine ome�ensa četiri duæine.

Na slici su nacrtana tri četverokuta.

Prvi četverokut ima 2 tupa kuta i 2 šiljasta kuta.Drugi četverokut ima 2 prava, 1 tupi i 1 šiljasti kut.Treći četverokut ima četiri prava kuta.

Nacrtan je pravokutnik. Točke označeneslovima A, B, C i D zovu se vrhovi pravokutnika. Duæine AB , BC , CD i DA zovu sestranice pravokutnika.Izmjeri stranice:IAB | = __________ |CD | =____________|BC | = __________ |DA| = ____________

Nacrtan je pravokutnik ABCD . Njegove straniceAB i CD nalaze se na usporednim (paralelnim)pravcima e i f , pa su i te stranice me�usobnousporedne. Tako�er su i stranice BC i DAme�usobno usporedne, jer se nalaze na us-

porednim pravcima h i g .

Stranice AB i CD pravokutnika ABCD nasuprot-ne su stranice. U pravokutniku su nasuprotnestranice i stranice BC i DA. Dakle, nasuprotnestranice pravokutnika me�usobno su usporedne .

Nasuprotne stranice pravokutnika jednake su duljine.

VRHOVI, STRANICE I KUTOVI PRAVOKUTNIKA

1

2

3

4

Četverokut koji ima sva četiri kuta prava zove se pravokutnik .

Promotrite sliku.



76

Stranice pravokutnika koje imaju zajedničku točku (zajednički vrh) zovu se susjednestranice. Parovi susjednih stranica su AB i BC, BC i CD, CD i DA, DA i AB .

Susjedne stranice nalaze se na okomitim pravcima pa su me�usobno okomite.Na primjer, me�usobno su okomite stranice AB i DA. Napišite ostale parove okomitih

stranica: ________________, ________________, ________________.

U ravnini je nacrtan pravokutnik ABCD , te su istaknute neke točke ravnine.

Točke E , F , G pripadaju stranicamapravokutnika. One pripadaju ipravokutniku ABCD .Sve točke koje pripadaju strani-cama pravokutnika pripadaju ipravokutniku. Zovemo ih rubnim

točkama pravokutnika.

Točke H i K pripadaju pravokutniku, a nisu rubne točke. To su unutarnje točke pravokut-nika. Točke M i N ne pripadaju pravokutniku.

Nacrtan je pravokutnik EFGH .Istaknite i označite tri rubne i tri unutarnje točke ovog pravokutnika.

Pripadaju li točke E , F , G i H pravokutniku EFGH ?

Pogledajte sliku:

Kakav oblik ima ploha:a) školske ploče

_______________________b) vrata učionice

_______________________c) jedna strana spuæve

_______________________

5.

6.

7.



1

2

CRTANJE PRAVOKUTNIKA

Nacrtajte pravokutnik bilo koje veličine.

Nacrtajte dva para usporednih pravaca koji sesijeku tako da čine prave kutove. Zatim sjecištepravaca označite slovima, npr. A, B , C , D .

Četverokut ABCD je pravokutnik.

Pravokutnik crtamo ovako:

1. Nacrtamo pravac p i na njemu označimoneke dvije točke, npr. A i B .

2. Nacrtamo okomice na pravac p tako da

prolaze točkama A i B.

3. Na jednoj okomici označimo neku točku,

npr. D na okomici koja prolazi točkom A.

4. Kroz točku D nacrtamo usporedan pravac

s pravcem p . Sjecište toga pravca i druge

okomice (koja prolazi točkom B ) označimo sa C .

Točka C je četvrti vrh pravokutnika.

Tako smo nacrtali pravokutnik ABCD .

B

D C

A

A B

B

B

B

D C

A

A

Ap

p

p

D

p



78

Zadane su duljine stranica pravokutnika ABCD : a = |AB | = 40 mm i b = |AD | = 17 mm.

Nacrtaj taj pravokutnik.Najprije nacrtaj pravi kut (slika I.).

S mjerila uzmite u otvor šestara duæinuod 40 mm i prenesite je počevši odvrha pravoga kuta na jedan njegov krak(slika II.).

Zatim uzmite s mjerila u otvor šestaraduæinu od 17 mm i prenesite je počevšiod vrha pravoga kuta na njegov drugikrak (slika III.).

Tako otvoren šestar prenesite iznadtočke B i u nju zabodite vrh igle, aolovkom na drugom kraku šestaranacrtajte mali dio kruænice, kruæni luk(slika IV.).

Sada uzmite ponovo u otvor šestaraduæinu od 40 mm (to je duæina AB ) tezabodite vrh igle u točku D , a olovkomna drugom kraku šestara nacrtajte luktako da presiječete onaj luk koji ste većnacrtali iz točke B (slika V.).

Nacrtani se lukovi sijeku u točki C ,

koja je četvrti vrh pravokutnika i zato tutočku spojite s točkama B i D (slika VI.).

Nacrtajte pravokutnik ABCD kojemu su duljine stranice: a = 4 cm, b = 3 cm.

3.

4.

I.

II.

III.

IV.

V.

VI. b

a

a

b



1

2

3

4

VRHOVI, STRANICE I KUTOVI KVADRATA

Nacrtaj plohu kocke tako da je prisloniš na papir i uz bridove povučeš crtu.

Nacrtana je kocka.

Poznato vam je da su strane (plohe) kockekvadrati. Jedan kvadrat na kocki je obojen.

S koliko je kvadrata ome�ena kocka?

Promotrite sliku.Slika prikazuje četverokut kojemu su svi kutovi pravi. Na osnovi toga zaključujemo da jenacrtan pravokutnik.

Stranice ovog pravokutnika jednake su duljine.

Pravokutnik kojemu su sve stranice jednake duljine zovemo kvadrat.

Nacrtan je jedan kvadrat.Točke označene slovima A, B , C i D zovu sevrhovi kvadrata.Duæine AB , BC , CD i DA zovu se stranicekvadrata.Sve stranice kvadrata jednake su duljine:a = |AB | = |BC | = |CD | = |AD |.

Slika plohe kocke:

Izmjerite stranice nacrtanog pravokutnika.|AB| = ____________ cm|BC| = ____________ cm|CD| = ____________ cm|DA| = ____________ cm

a

a

a

a



80

5.

6.

7.

8.

Nacrtajmo kvadrat bilo koje veličine.

Kvadrat moæemo nacrtati jošbræe nego pravokutnik jer u otvoršestara treba s mjerila uzeti

samo jednu stranicu. Tu duæinuprenesite iz vrha pravoga kutana jedan i na drugi njegov krak,a zatim i iz točke B i D , kao kodpravokutnika.

Slika prikazuje kako se korakpo korak crta kvadrat.

Nacrtajte kvadrat kojemu je duljina stranice 35 mm.

Koliko kvadrata vidiš na slici?

a) b)

Na slici je _____________ kvadrata. Na slici je _____________ kvadrata.

Nacrtajte kvadrat kojemu je duljina stranice 50 mm i 4 kvadrata kojima je duljinastranice 25 mm.



OPSEG PRAVOKUTNIKA

1

2

3

4

Iz papira izreæite usku traku pa napravite pravokutnik, kao na slici.

Promotrimo duljine stranica pravokutnika ABCD .

Duljine stranica pravokutnika označavamo:|AB |, |CD |, |BC |, |DA| ili malim slovimaa i b . U svakome pravokutniku nasuprotnestranice jednake su duljine pa je:

a = |AB | = |CD |,b = |BC | = |DA|.

Nacrtan je pravokutnik ABCD kojemu su duljine stranica a = 36 mm, b = 24 mm.Zbrojite duljine svih stranicapravokutnika ABCD .

Stranice pravokutnika prenijeli smo na duæinu. Kolika je duljina te duæine?

Izmjerimo stranice ovoga pravokutnika:|AB | = 5 cm|CD | = 5 cm|BC | = 2 cm|DA| = 2 cm

Duljina stranice AB je 5 cm, a duljina stranice CD je 5 cm. Te dvije stranice imaju jed-nake duljine. Za njih kaæemo da su sukladne.Stranice BC i DA tako�er imaju jednake duljine. I te su stranice sukladne.



82

5.

6.

7.

8.

5. Duljine stranica ovoga pravokutnika jesu:

|AB | = 4 cm|CD | = 4 cm|BC | = 3 cm|DA| = 3 cm

Zbrojimo: 4 + 4 + 3 + 3 = 8 + 6 = 14.To moæemo pisati: 2 · 4 + 2 · 3 = 8 + 6 = 14.

Opseg ovoga pravokutnika je 14 cm.

Ako duljine stranica pravokutnikaoznačimo slovima a , b , tada opsegpravokutnika o moæemo pisati ovako:

o = a + a + b + b ili

Koliki je opseg ovoga pravokutnika?

o = _________ cm

Izmjerite stranice ovoga pravokutnika iizračunajte mu opseg.

o = _________ cm

Zbroj duljina svih stranica pravokutnika zove se opseg pravokutnika.Opseg označujemo slovom o .

o = 2 · a + 2 · b.



Duljine stranica pravokutnika jesu a = 7 cm i b = 9 cm. Koliki je opseg toga pravokut-nika?______________________________________________________________________

Koliko je potrebno metara daske da se ogradi vrt pravokutnog oblika ako je duljina vrta18 metara, a širina 17 metara?Daske treba postaviti u 3 reda.

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Duljine stranica pravokutnika jesu: a = 27 m i b = 18 m.Koliki je opseg toga pravokutnika?

______________________________________________________________________

Slika ima oblik pravokutnika duljine 7 dm i širine 5 dm.Kolike je duljine potrebna ukrasna letvica da se uokviri slika?

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

Riješimo sljedeći zadatak:Opseg pravokutnika je 34 cm. Duljina njegove stranice a = 8 cm. Kolika je duljinastranice b ?

o = 2 · a + 2 · b , 34 = 2 · 8 + 2 · b , 34 = 16 + 2 · b , 18 = 2 · b , b = 9 cmDuljina stranice ovoga pravokutnika je 9 cm.

Opseg igrališta pravokutnog oblika iznosi 294 m. Širina igrališta je 50 m. Kolika je dulji-na toga igrališta?

______________________________________________________________________

9

10

11

12

13

14



84

1.

2.

3.

4.

OPSEG KVADRATA

Na slici je kvadrat kojemu je stranicaduga 5 cm. (Dovoljno je izmjeriti jednustranicu, a ostale su jednake duljine.)

Zbrojimo:

5 + 5 + 5 + 5 = 4 · 5 = 20.

Opseg ovog kvadrata je 20 cm.

Ako duljinu stranice kvadrataoznačimo sa a , tada opseg kvadratamoæemo pisati ovako:

o = a + a + a + a ili

Koliki je opseg ovoga kvadrata?

o = ________________

Izmjerite stranicu kvadrata iizračunajte mu opseg.

o = ________________

Zbroj duljina svih stranica kvadrata zove se opseg kvadrata.

o = 4 · a



5

6

7

8

9

10

Duljina stranice kvadrata je 7 cm.

Koliki je opseg tog kvadrata?

______________________________________________________________________

Zoran je imao vrt pravokutnog oblika duljine 18 m i širine 15 m. Proširio ga je još za 3metra, tako da je dobio vrt kvadratnog oblika.

Za koliko se povećao opseg toga vrta?

______________________________________________________________________

Riješimo sljedeći zadatak.

Ako je opseg kvadrata 20 cm, kolika je duljina njegove stranice?Budući da kvadrat ima 4 stranice jednake duljine, do rezultata dolazimo tako da 20podijelimo sa 4.

Duljina stranice toga kvadrata je 5 cm.

Ako je opseg kvadrata 28 cm, duljina njegove stranice je 7 cm.Kako smo to izračunali?

______________________________________________________________________

Kolika je duljina stranice kvadrata kojemu je opseg 12 cm?

______________________________________________________________________

Školsko igralište ima oblik kvadratakojemu je stranica duga 600 metara.Na slici je prikazan dio ograde koji jepostavljen.

a) Izračunajte koliko metara ograde joštreba kupiti da bi se moglo ograditi cijeloigralište.

__________________________________

__________________________________

b) Izračunajte opseg igrališta.

__________________________________

__________________________________



86

Kvadrat kojemu je duljina stranice 1 cm zove kvadratni centimetar,

a kraće se piše: 1 cm2

.

1.

2.

MJERENJE POVR©INE

Provjerite svoju procjenumjerenjem.

Kada æelimo doznati opsegpravokutnika, mjerimo duæinekoje ome�uju taj pravokutnik.

Duæine uvijek mjerimo duæinama.Mjerne jedinice za duæine jesu:1 mm, 1 cm, 1 dm, 1m, 1 km.

1 cm

2

Procijenite odoka koji od ova tri pravokutnika ima najveći opseg, a koji najmanji.

Kako ćemo doznati koliki dio ravnine ome�uju stranice svakoga ovog pravokutnika?Promotrite dobro sva tri pravokutnika i procijenite odoka jesu li oni jednako veliki ili nisu.

Da bismo točnije (nego procjenom) odredili veličine tih pravokutnika, potrebno je mjeritipovršine. Treba naučiti jedinice za mjerenje površine.

Za mjerenje pravokutnika I., II. i III. na našoj slici dovoljno je kao mjernu jedinicu uzetikvadrat kojemu je stranica duga 1 cm.

Izreæite od papira nekoliko kvadrata čija je duljina stranice 1 cm. Ispitajte s koliko takvihkvadrata možete pokriti I., II. i III. pravokutnik.Vidimo da se na svaki od ta tri pravokutnika moæe postaviti 12 takvih kvadrata, a taj sebroj (12 cm2) zove površina tih pravokutnika.

To se kraće piše: P = 12 cm2.

Povrðina je broj mjernih kvadratnih jedinica kojima se moæe pokriti lik koji mjerimo.

Prema tome, sva tri naša pravokutnika imaju jednaku površinu.



Za mjerenje vrlo malih površina kao mjerna jedinica uzima se kvadrat kojemu jestranice 1 mm.Takav se kvadrat zove kvadratni milimetar, a piše se kraće 1 mm2.

Veće plohe mjere se kvadratom kojemu je duljina stranice 1 dm.

To je kvadratni decimetar, koji se kraće piše 1 dm2.

Promotrite sliku kvadratnogdecimetra. Uočite kvadratnecentimetre i kvadratne mili-metre.

Napišimo koliko kvadratnihcentimetara i kvadratnihmilimetara ima kvadratni

decimetar.1 dm2 = 10 · 10 cm2

1 dm2 = 100 cm2

1 dm2 = 100 · 100 mm2

1 dm2 = 10 000 mm2

Plohe zidova, podova, gradilišta, vrtova i njiva mjere se većom mjernom jedinicom.To je kvadrat duljine stranice 1 m i zove se kvadratni metar, a piše se kraće 1 m2.Izreæite od papira 1 dm2, a iz omotnog papira načinite 1 m2, pa ispitajte koliko kvadratnihdecimetara sadræi 1 m2.

Napomena!Postoje i veće mjerne jedinice od navedenih.

One sluæe za mjerenje polja, šuma, gradova i dræava, a to su ar, hektar i kvadratni kilo-metar.Kvadrat kojemu je duljina stranice 10 m zove se 1 ar, a piše se kraće 1 a.Kvadrat duljine stranica 100 m zove se 1 hektar, a piše se kraće 1 ha.Kvadrat kojemu je stranica duga 1 000 m zove se 1 kvadratni kilometar, a piše se kraće1 km2.

3

4

5



88

Ponovimo.

Kako mjerimo površine?

Površine mjerimo jediničnim kvadratima koje prenosimo po mjerenoj površini jedan dodrugoga. Manje površine mjerimo manjima, a veće površine većim jediničnim kvadra-

tima. U tablici su napisane neke veličine jediničnih kvadrata koje najčešće upotreblja-vamo.

Duljina stranicekvadrata

Veičina kvadrata(površina)

Čitanje znaka

1 cm 1 cm2 1 kvadratni centimetar

1 dm 1 dm2 1 kvadratni decimetar

1 m 1 m2 1 kvadratni metar

10 m 1 a 1 ar

100 m 1 ha 1 hektar1 km 1 km2 1 kvadratni kilometar

Proučite veze me�u jedinicama za mjerenje površine:

m2 dm2 cm2 mm2

1 100 10 000 1 000 000

1 100 10 000

1 100

km2 ha a m2

1 100 10 000 1 000 000

1 100 10 000

1 100

Izračunaj i napiši koliko je:

7 m2 = _________________ dm2 9 dm2 = ________________ cm2

7 m2 = _________________ cm2 9 dm2 = ________________ mm2

17 m2 = _________________ dm2 19 dm2 = ________________ cm2

17 m2 = _________________ cm2 19 dm2 = ________________ mm2

6.

7.

8.

*



1

2

3

4

POVR©INA PRAVOKUTNIKA

Lako je utvrditi koji je od ova dvapravokutnika veći.

Me�utim, za ova dva pravokutnika

ne bismo na prvi pogled mogliustanoviti koji je veći. Potrebno jemjeriti, odnosno odrediti njihoveveličine mjerenjem.

Pravokutnik ABCD sadræi 6 jediničnihkvadrata. Kaæemo da je površina pravokutnika6 cm2. Znakovima to pišemo ovako:

P = 6 cm2.

Broj 6 je mjerni bro j koji kaæe koliko se jediničnih kvadrata veličine 1 cm2 nalazi u pravo-kutniku ABCD .

Nacrtan je pravokutnik kojemu su duljine susjednih stranica a = 5 cm i b = 3 cm.Kolika je površina ovoga pravokutnika?

Površinu moæemo odrediti kao uprethodnome zadatku. Odredimokoliko je kvadratnih centimetarapotrebno staviti na pravokutnik.Na jednu stranicu moæemo staviti5 cm2 u jednome redu, a u 3 takvareda nalazi se 15 cm2.

Površina ovoga pravokutnika je: P = 3 · 5 cm2, P = 15 cm2.

Površinu pravokutnika odredili smo mnoæenjem duljina njegovih susjednih stranica.

Površinu pravokutnika moæemo dobiti i računom. Pokaæimo to na primjeru pravokutnikakojemu su duljine stranica 3 cm i 4 cm.U svakom se redu nalaze četiri

jedinična kvadrata od 1 cm2.Redova ima tri. Dakle, 3 · 4 = 12.Površina pravokutnika je 12 cm2,kraće P = 12 cm2.

Ako duljine susjednih stranica označimo slovima a i b , tada je površina pravokutnika P jednaka umnošku a · b , tj.

Dakle, površina pravokutnika jednaka je umnošku duljina njegovih susjednih stranica.Duljine stranica pravokutnika mjerimo jedinicama za duæinu (cm, dm, m itd.), a površinupravokutnika odgovarajućim jedinicama za površinu (cm2, dm2, m2 itd.).

2 cm

3 cm 2 cm

2 cm

b

= 3 c m

a = 5 cm

1. red

2. red

3. red

P = a · b



90

5.

6.

7.

8.

9.

Izmjerite stranice nacrtanog pravokutnika i izračunajte mu površinu.

Izračunajte površine pravokutnika kojima suduljine stranica dane u tablici.

Izračunajte površinu poda vaše učionice. Dulja stranica ima ______ m ______ dm. P = _____________

Kraća stranica ima ______ m ______ dm.

Izmjerite susjedne stranice pravokutnika pa usporedite površine tih pravokutnika.

a) površina pravokutnika ABCD je ______ cm2.b) Površina pravokutnika EFGH je ______ cm2.c) Razlika površina je ____ cm2.

Površina pravokutnika ABCD _________________ je od površine pravokutnika EFGH .

Izračunajte površine pravokutnika kojima su zadane duljine stranica. Rezultate upišite utablice.

a b P

2 cm 8 cm4 cm 5 cm

12 dm 8 dm45 m 76 m

Uputa: Višeimene veličine preračunajte u jednoimene, a zatim pomnoæite mjerne brojeve.

a

b b

a

a = _____ cm

b = _____ cmP = _____ cm2

I. 2 cm 5 cm

II. 3 m 15 dm

III. 10 m 20 m

E F

G H

A B

C D

a b P

3 dm 2 cm 4 dm 5 cm8 m 4 dm 5 m 8 dm4 cm 3 m 5 cm 8 mm4 dm 4 cm 15 dm 2 cm



10

11

12

13

14

Na slici je nacrtan tlocrt (pogled odozgo) kuće s dvorištem i vrtom.

Izračunajte površine:a) dvorišta _____________ m2,b) vrta ________________ m2,c) kuće _______________ m2.

Na gradilištu će se graditi 17 m duga i 12 m široka kuća. Promotrite sliku i izračunajtekoliko će m2 još ostati za dvorište i vrt.

Površina pravokutnika je 56 cm2. Duljina jedne njegove stranice je 7 cm.Kolika je duljina njegove stranice b ?

Površina pravokutnika je: P = a · b

Budući da je P = 56 cm2 i a = 7 cm, dobivamo:56 = 7 · b pa jeb = 56 : 7

b = 8 cm.

Nacrtajte jedan pravokutnik površine 10 cm2.

Nacrtajte dva različita pravokutnika tako da svaki ima površinu 12 cm2.



92

Nacrtan je kvadrat kojemu je duljina stranice a = 3 cm.Kolika je površina toga kvadrata?

Znamo da je kvadrat pravokutnik kojemu susve stranice jednake duljine.

Površinu pravokutnika izračunavamo tako dapomnoæimo duljine njegovih susjednih stranica.

Primijenimo li to na nacrtani kvadrat, dobivamonjegovu površinu: P = 3 · 3 cm2, P = 9 cm2.

Promatranjem slike zadanoga kvadrata zaključujemo: U jednome se redu nalaze trikvadrata veličine po 1 cm2. U tri se reda nalazi 3 · 3 cm2 = 9 cm2.Na isti način izračunavamo površinu kvadrata kojemu je duljina stranice a :

Površina kvadrata izračunava se tako da se duljina njegove stranice pomnoæi sama sasobom.

Nacrtajte kvadrat kojemu je duljina stranice 2 cm i odredite mu površinu na dva načina:

a) mjerenjem,b) izračunavanjem.

Nacrtajte neki kvadrat. Izmjerite mu stranicu i duljinu izrazite u milimetrima. Izračunajte

površinu toga kvadrata.

Promatrajte redom ove pravokutnike:

Duljina stranice (maloga) kvadrata kojim mjerimo površinu pravokutnika je 5 mm.Odredite redom i napišite površine pravokutnika na slici.Koji je od nacrtanih pravokutnika kvadrat?

1.

2.

3.

4.

POVR©INA KVADRATA

P = a . a



5

6

7

8

Površina kvadrata je 25 cm2. Kolika je duljina stranice tog kvadrata?

Znamo da je površina kvadrata P = a · a .

Budući da je P = 25 cm2, slijedi: 25 = a · a

Pitamo se koji broj pomnoæen samim sobom daje 25.

To je broj 5.

Dakle, duljina stranice kvadrata površine 25 cm2 iznosi 5 cm.

Nacrtajte kvadrat kojemu je površina 16 cm2.

Kvadrat ima duljinu stranice 5 cm 6 mm, a pravokutniku su duljine dviju susjednihstranica 4 cm 2 mm i 7 cm 3 mm. Izračunajte površinu pravokutnika i kvadrata, a zatimodgovorite za koliko je kvadratnih milimetara površina pravokutnika manja od površinekvadrata.

______________________________________________________________________

Pogledajte sliku:

Pao je veliki snijeg.Učenici æele očistitiokoliš svoje škole.

Dvorište škole ima oblikkvadrata duljine stranice54 metra.

a) Kolika je površina dvorišta koje čiste učenici?

______________________________________________________________________

b) Učenici su očistili stazu oko ograde dvorišta. Kolika je duljina te staze?

______________________________________________________________________



94

Ponovimo najprije vezu dijeljenja i mnoæenja.Ako umnoæak dvaju brojeva podijelimo jednim faktorom, dobit ćemo drugi faktor.

Na primjer:30 : 6 = 5

6 · 5 = 30 30 : 5 = 6

To ćemo svojstvo primjenjivati u sljedećim zadatcima.

Proučite zadatak i izračunajte:

3 · 10 = 30 30 : 3 = 10 5 · 10 = ______ 50 : 5 = ______

3 · 100 = 300 300 : 3 = 100 5 · 100 = ______ _____________

3 · 1 000 = 3 000 3 000 : 3 = 1 000 5 · 1 000 = ______ _____________

Popunite tablice.

x 6 · x

3 18479

Izračunajte x :

8 · x = 56

x = 56 : 8 x =

_____

x · 7 = 42x = 42 : 7

x = _____

x : 5 = 7x = 7 · 5

x = ____

24 : x = 3x = 24 : 3

x = _____

Iznos od 693 kune treba podijeliti na tri jednaka dijela. Koliko kuna iznosi svaki dio?To ćemo izračunti tzv. pisanim postupkom na dva načina:

a) pomoću tablice,b) kraćim postupkom (bez tablice).

1. način (pomoću tablice) 2. način (bez tablice

S D J6

− 6

9 3

0 9− 9

0 3− 3

0

1.

2.

3.

4.

PISANO DIJELJENJE5.PISANO DIJELJENJE VI©EZNAMENKASTOGA BROJAJEDNOZNAMENKASTIM BROJEM

x x : 618 3244254

: 2 3 6 154486072

S D J : 3 = 2 3 1 693 : 3 = 231

− 6 09 −9 03 −3 0



5

6

7

Govorimo: 6 podijeljeno s 3 je 2; 2 puta 3 je 6; 6 manje 6 je 0; dopisujemo 9, 9 podijeljeno s 3 je 3; 3 puta 3 je 9; 9 manje 9 je 0; dopisujemo 3, 3 podijeljeno s 3 je 1; 1 puta 3 je 3; 3 manje 3 je 0.

Odgovor: Svaki dio iznosi 231 kunu.

Provjera: 693 : 3 = 231 jer je 3 · 231 = 693.

Podijelite:

468 : 2 = 688 : 2 = 633 : 3 =

Podijelite:424 : 2 = 848 : 4 = 999 : 3 =

U restoranu se za 6 dana potroši 672 kg kruha. Koliko se kilograma kruha potrošiprosječno svakoga dana?

Broj 672 treba podijeliti sa 6. Radit ćemo na dva načina:

1. način (pomoću tablice) 2. način (bez tablice)

S D J6

− 67 2

0 7− 6

1 −1

220

Govorimo ovako:

6 podijeljeno sa 6 je 1; 1 puta 6 je 6; 6 manje 6 je 0; dopisujemo 7,7 podijeljeno sa 6 je 1; 1 puta 6 je 6; 7 manje 6 je 1; dopisujemo 2,12 podijeljeno sa 6 je 2; 2 puta 6 je 12; 12 manje 12 je 0.

Odgovor: U tom se restoranu svakoga dana potroši prosječno 112 kilograma kruha.U navedenom primjeru broj desetica nije djeljiv sa 6, ostala je jedna desetica;1 desetica i 2 jedinice je 12 i taj je broj djeljiv sa 6.

S D J : 6 = 1 1 2 672 : 6 = 112

− 6 07 −6 12 −12 0



96

Podijelite: 656 : 2 872 : 4 565 : 5 678 : 6

Broj 978 podijelimo brojem 6.

1. način (pomoću tablice) 2. način (bez tablice)S D J9

− 67 8

3− 3

7 6

1 −1

880

Govorimo ovako:9 podijeljeno sa 6 je pribliæno 1; 1 puta 6 je 6; 9 manje 6 je 3; dopisujemo 7,37 podijeljeno sa 6 je pribliæno 6; 6 puta 6 je 36; 37 manje 36 je 1; dopisujemo 8,18 podijeljeno sa 6 je 3; 3 puta 6 je 18; 18 manje 18 je 0.

U ovome primjeru ni stotica (broj 9) ni broj desetica (broj 37) nisu dijeljivi brojem 6.Pri oduzimanju stotica ostatak je bio 3, pri oduzimanju desetica ostatak je bio 1.Na kraju nije bilo ostatka. Da bismo podijelili i ostatke, postupamo ovako: ostatakstotica pretvaramo u desetice i pribrajamo ga deseticama, a ostatak deseticapretvaramo u jedinice i pribrajamo ga jedinicama.

Još kraće dijelimo ovako:

Podijelite:

774 : 6 920 : 8 538 : 2 950 : 5

U ovome primjeru najveća dekadska jedinica nije djeljiva sa 5. Zato stotice mijenjamo u

desetice i pribrajamo ih deseticama. Radimo ovako:

Još kraće:

8.

9.

10.

11.

S D J : 6 = 1 6 3 978 : 6 = 163

− 6 37 −36 18 −18 0

978 : 6 = 1633718 0

Govorimo:9 podijeljeno sa 6 je pribliæno 1; 1 puta 6 je 6;9 manje 6 je 3; dopisujemo 7.37 podijeljeno sa 6 je pribliæno 6; 6 puta 6 je 36; 37manje 36 je 1; dopisujemo 8;18 podijeljeno sa 6 je 3; 3 puta 6 je 18; 18 manje 18 je 0.

315 : 5 = 6315

0

315 : 5 = 63− 30 15 −15 0



Podijelite i mnoæenjem provjerite točnost.

584 : 4 = ________ jer je ___________ 213 : 3 = ________ jer je ____________

992 : 8 = ________ jer je ___________ 695 : 5 = ________ jer je ____________

Koje su jednakosti točne (istinite)? 52 : 2 = 21 0 : 5 = 0 658 : 7 = 94 316 : 4 = 79

______________________________________________________________________

Izračunajte: 408 : 2, 505 : 5, 650 : 3.

Radite ovako: 408 : 2 = 204008 0

I pri dijeljenju višeznamenkastoga broja jednoznamenkastim moæe se pojaviti ostatak,tj. broj koji je manji od djelitelja. U tom slučaju kaæemo da djeljenik nije djeljiv djeliteljem.

Primjer: 553 : 3 = 18425 13 1

Broj 1 je u ovom primjeru ostatak

Ako pri dijeljenju dobijemo ostatak, točnost dijeljenja provjeravamo ovako:a) pomnoæimo količnik djeliteljem,b) umnošku količnika i djelitelja pribrajamo ostatak,c) moramo dobiti djeljenik.

Provjera: 3 · 184 + 1 = 553.

Sad ćemo dijeliti brojeve do milijun jednoznamenkastim brojevima.Pri dijeljenju četveroznamenkastog broja jednoznamenkastim brojem postupamo istokao i pri dijeljenju troznamenkastoga broja jednoznamenkastim.

Primjer:U pekarnici se za tri mjeseca potrošilo 4 515 vreća brašna. Koliko se vreća brašnatrošilo prosječno u jednome mjesecu?

12

13

14

15

16

I govorite:4 podijeljeno s 2 je 2; 2 puta 2 je 4;4 manje 4 je nula;0 podijeljeno s 2 je 0; 2 puta 0 je 0;0 manje 0 je 0, dopisujemo 8;8 podijeljeno s 2 je 4; 4 puta 2 je 8;8 manje 8 je 0.

Ostatak je manji od djelitelja.



98

Treba 4 515 podijeliti brojem 3.

a) Pomoću tablice. b) Bez tablice.

T S D J4 5 1 51 5

1 50

Pekarnica je mjesečno trošila prosječno 1505 vreća brašna.

Provjera: 1 505 · 3 = 4 515.

Upamtite:

Odredite broj znamenaka u količniku, a da ne dijelite.

Naznačeni količnik: 158 : 2 285 : 5 644 : 7 6 564 : 3Broj znamenakau količniku: ________ ________ ________ ________

Riješite zadatak:

Tomica s prijateljima bere kruške i jabuke tri dana.Ubrali su 825 kilograma krušaka, te 201 kilogram

jabuka više nego krušaka.a) Koliko su kilograma voća ukupno ubrali?

________________________________________b) Koliko su voća ubrali u jednom danu, ako susvakog dana brali jednako.

________________________________________

Putnički zrakoplov je za 3 sata preletio 2 505 km. Koliko je kilometara taj zrakoplov

preletio za 1 sat? _______________________________________________________Od dva broja jedan je četvrtina od 3 584, a drugi je trećina od 1 794. Koji je broj veći? _______

Rastavite broj 2 184 na dva dijela tako da jedan dio bude tri puta veći od drugoga.

jedan dio tri puta veći dio

17.

18.

19.

20.

21.

T S D J : 3 = 1 5 0 5 4 515 : 3 = 1 505

15 15 0

Pri mnoæenju počinjemo mnoæiti od jedinica, a pri dijeljenju

počinjemo dijeliti od najveće dekadske jedinice.Dakle: 1 505 · 3 4 515 : 3



Izračunajte vrijednost izraza (a − b ) : c ako je a = 5 746, b = 2 855, c = 7. _________________________________

Odredite x :a) x · 4 = 1 200, x = __________ c) 7 · x = 2 135, x = __________

b) 8 · x = 3 616, x = __________ d) x · 9 = 2 295, x = __________

Kojim jednoznamenkastim brojevima moæemo podijeliti bez ostatka broj 30? _________

Koliko je puta 1 644 veći od 6? _____________________Koliko se puta 3 nalazi u 1 644? _____________________Kolika je četvrtina broja 1 644? _____________________Za koliko je broj 1 644 veći od polovine toga broja?______________

Opseg prvoga kvadrata iznosi 348 cm, drugoga kvadrata 452 cm.Za koliko je centimetara stranica prvoga kvadrata manja od stranice drugoga kvadrata?______________________________________________________________________

Broj 17 544 podijelimo sa 6.

Desettisućice su prva znamenka u djeljeniku,ali 1 desettisućicu ne moæemo dijeliti sa 6, pa

je treba pretvoriti u tisućice. To je 10 tisućica i 7tisućica je 17 tisućica. Dakle, počet ćemo dijelititisućice. Znači da će u količniku prvo mjesto biti

tisućice. Prema tome, količnik će imati 4 mjesta.Sada počinjemo dijeliti.

Postupak pri tom dijeljenju moæemo skratiti ovako:17 tisućica podijeljeno sa 6 je 2 tisućice;2 tisućice puta 6 je 12 tisućica;17 manje 12 je 5, dopisujemo 5.Tako postupamo i s ostalim mjesnim vrijednos-tima, sve do kraja dijeljenja.

Podijelimo 17 544 sa 6 izvan tablica.

Govorimo i pišemo:17 podijeljeno sa 6 pribliæno je 2, 2 · 6 = 12 do 17 je 5, 5pišemo i dopišemo 5. 55 podijeljeno sa 6 je pribliæno 9, 9 · 6= 54 do 55 je 1, jedan pišemo 4 dopišemo.14 podijeljeno sa 6 je pribliæno 2, 2 · 6 = 12 do 14 je 2, 2pišemo i 4 dopišemo.24 podijeljeno sa 6 je 4, 6 · 4 = 24., do 24 je 0. Ostatak je 0.

22

23

24

25

26

27

DT T S D J1

−172

5 4 4

5−5

541

−1422

−2

4

40

T S D J : 6 = 2 9 2 4

DT T S D J1 7 5 4 4

5 51 4

2 40

17 544 : 6 = 2 9245 5

14 24 0



100

Podijelite: 91 752 : 8 = 168 287 : 7 =

75 324 : 4 = 417 384 : 9 =

Podijelimo broj 31 684 sa 7.

Provjera rezultata:

Ostatak je broj 2.

Podijelite i provjerite rezultat:

Zbroj brojeva 23 781 i 8 261 podijelite sa 7. ___________________________________

Razliku brojeva 130 164 i 24 786 podijelite sa 6._______________________________

Škola je nabavila (kupila) 8 jednakihračunala i platila 44 560 kuna. Kolika jecijena jednog takvog računala?

_______________________________

_______________________________

U devet ormara sloæeno je 3 465 knjiga

tako da je u svakome ormaru jednakbroj knjiga. Koliko je knjiga u jednomeormaru?

_______________________________

_______________________________

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

31 684 : 7 = 4 5263 6

18 44 2

4 526 · 731 682

+ 2 31 684

196 152 : 8 =

394 075 : 4 =

938 321 : 3 =

784 032 : 9 =

57 428 : 5 =

23 196 : 7 =

48 605 : 9 =

20 560 : 6 =



PISANO DIJELJENJE VI©EZNAMENKASTOGA BROJADVOZNAMENKASTIM BROJEM

DjeËak je kupio 2 sladoleda po 3 kuglice.Platio je 42 kune. Koliko stoji jedna kuglica?

___________________________________

___________________________________

___________________________________

Podijelite s ostatkom i rezultat provjerite mnoæenjem i pribrajanjem ostatka.

58 : 7 = ___ i ostatak ___, 78 : 5 = ___ i ostatak ___ , 7 · 8 + 2 = ___ i ostatak ___

Podijelimo troznamenkasti broj 240 dvoznamenkastim brojem 15.

a) Pomoću tablice b) Bez tablice

T S D J

−21

45

0

−99

000

Govorimo: 24 podijeljeno sa 15 je pribliæno 1; 1 puta 15 je 15; 24 manje 15 je 9, nuludopisujmo, 90 podijeljeno sa 15 je 6; 6 puta 15 je 90; 90 manje 90 je 0.

Podijelite i mnoæenjem provjerite rezultat:

629 : 17 = 874 : 46 =

U voćnjaku je 12 stabala jabuka. Sa svih stabala ubrano je 936 kg jabuka.Koliko se prosječno ubralo kilograma jabuka s jednog stabla?

____________________________________________________________________

S D J: 15 = 1 6 240 : 15 = 16

−15 90 −90 0



102

Naučili ste kako se dijele troznamenkasti brojevi dvoznamenkastima.

Slično postupamo i pri dijeljenju četveroznamenkastoga broja dvoznamenkastimbrojem.

Primjer. Podijelite broj 6 144 brojem 16.

a) Pomoću tablice b) Bez tablice

T S D J6

−418

4

4

1−1

32

486

−644

0 0

Govorimo:61 podijeljeno sa 16 je pribliæno 3; 3 puta 16 je 48; 61 manje 48 je 13, 4 dopisujemo;134 podijeljeno sa 16 je pribliæno 8; 8 puta 16 je 128; 134 manje 128 je 6, 4 dopisujemo;64 podijeljeno sa 16 je 4; 4 puta 16 je 64; 64 manje 64 je 0.

Podijelimo 7 356 sa 45 i provjerimo točnost rezultata:

Podijelimo:

9688 : 28 = 346− 84 128 −112 168

−168 0

Govorimo i pišemo:96 podijeljeno s 28 je pribliæno 3; 3 puta 8 je 24 do 26 je 2, 2 pišemo, a 2 dalje; 3 puta 2

je 6 i 2 je 8 do 9 je 1, pišemo 1, broju 12 dopišemo 8 i nastavimo dijeliti.U skraćenom smo postupku oduzimali, a nismo potpisivali umanjitelje.

6.

7.

8.

T S D J: 16 = 3 8 4 6144 : 16 = 384

− 48 134 −128 64 −64 0

7356 : 45 = 163− 45 285 −270

156 −135 21

163 · 45652

815 7335

7 335+ 217 356

Skratimo postupak:

9688 : 28 = 346 128 168 00



Podijelimo na kraći način i provjerimo točnost rezultata:

Podijelite na dulji i na kraći način:

1 150 : 25 = 1 656 : 92 = 7 830 : 84 =

Podijelite s ostatkom i provjerite točnost rezultata:

a) 899 : 37, b) 7 845 : 28.

Koji je broj označen slovom n ?

a) 15 · n = 1 260 b) 32 · n = 768

Izračunajte:

a) (485 + 1 765) : 5, b) (1 404 − 468) : 18.

U spremnicima benzinske crpke ima 58 hl 50 l benzina.

Koliko se automobila moæe opskrbiti tim gorivom ako svaki automobil moæe prosječnoprimiti 45 l benzina?

______________________________________________________________________

Putnički zrakoplov potrošio je za 11 satileta 4 510 l benzina.

Koliko goriva potroši taj zrakoplov za 1sat leta?

__________________________________

9

10

11

12

13

14

15

85 · 86680 5107310

7358 : 86 = 85478

48

7 310+ 48 7358



104

Otprije ste naučili da postoji veza izme�u mnoæenja i dijeljenja.Ponovite to na primjerima:

56 : 7 = 87 · 8 = 56

56 : 8 = 7

Provjerimo vrijedi li:

4 104 : 76 = 5476 · 54 = 4 104 4 104 : 54 = 76

Izračunan je umnoæak brojeva 83 i 24:

83 · 24 = 1 992

Izračunajte x .

75 · x = 2 625 x · 35 = 2 590 98 · x = 3 626

x = ________ x = ________ x = ________

Popunite tablicu.

a 78 45 89b 59 80 100

a · b 1 710 7 600 10 000 6 764

Nikola je zamislio neki broj, pomnoæio ga sa 40 i dobio 3 800.Koji je broj zamislio?______________________________________________________________________

1.

2.

3.

4.

5.

VEZA MNOÆENJA I DIJELJENJA

4 104 : 76 = 54 304 00

4 104 : 54 = 76 324 00

Ako umnoæak dvaju brojeva podijelimo jednimfaktorom, dobijemo drugi faktor.

Bez računanja napišite koliko je:

1 992 : 24 =

1 992 : 83 =



Poznato vam je da umnoæak djelitelja i količnika daje djeljenik, npr.

42 : 6 = 7, 6 · 7 = 42.

Tim se svojstvom koristimo u provjeri točnosti rezultata pri dijeljenju.

Podijelite 1 776 sa 37 i provjerite točnost rezultata.

Izračunajte x :

63 : x = 9

U ovom zadatku traæimo nepoznati djelitelj:

x = 63 : 9, x = 7

Dakle, djeljenik podijelimo količnikom pa dobijemo djelitelj.

Izračunajte x ako je 8 712 : x = 99.

8. Popunite tablicu.

a 1 470 1 204 5 082 5 000b 35 73 77

a : b 43 46 100

Izračunajte x .

3 960 : x = 22, x : 68 = 95, 3 384 : x = 47

Mirjana je zamislila neki broj pa kaæe: „Umnoæak zamišljenog broja i broja 70 jednak je3 850. Koji sam broj zamislila?”

______________________________________________________________________

6

7

8

9

10



106

IZVO�ENJE VI©E RA»UNSKIH RADNJA

Ako se u zadatku (nekome matematičkom izrazu) na�e više računskih radnja, ondanajprije mnoæimo i dijelimo, a zatim zbrajamo i oduzimamo.

Kad su u zadatku zagrade, tada prije svega izračunamo ono što je u njima.

Izračunajmo: 73 586 + 3964 · 78 − 5 664 : 96 =

= 73 586 + 309 192 − 59 =

= 382 778 − 59 = 382 719

Izračunajte:

775 486 − 5 486 · 29 − 2 652 : 34 + 2 652 · 7 =

Izračunajmo:

987 345 − 100 · (423 570 − 423 314) − (347 + 2 876). Najprije ćemo izračunti ono što je u zagradama:

987 345 − 100 · 256 − 3 223 =

= 987 345 − 25 600 − 3 223 =

= 961 745 − 3 223 = 958 522.

Izračunajte:

375 864 + 524 136 − 80 000 : 40 + (3798 − 798) · 20 =

Izračunajte:

a) 545 + (545 + 55) b) 8 084 − 3 804 · 2 c) (1 856 − 256) : 100

d) 4 + 5733 : 3 e) 5 278 − 3 542 : 7 f) 125 : 5 · 28.

Izračunajte:

a) 6 000 + 400 : 10 · 1;

b) 3 · 275 − 19 : 19 · 455;

c) 53 · 12 · 12 + 756 : 756;

d) 800 : 20 − 356 · 0;

e) 1 384 · 20 : 40 − 2 080 : 40;

f) 2 590 : 70 · 10 + 8 640 : 40;

g) 840 · 6 + 840 · 10 − 840 · 16;

h) 8 520 : 60 · 40 + 868 · 2.

1.

2.

3.

4.

5.

6.



Zbroj brojeva 4 567 i 4 529 pomnoæite njihovom razlikom.

Broj 6 450 podijelite razlikom brojeva 453 292 i 453 217.

U jednom se hladnjaku nalazi 478 sladoleda po 12 kuna, a u drugome 526 sladoleda po14 kuna. Kolika je ukupna vrijednost sladoleda u oba hladnjaka?

Otac je sa svojom obitelji ljetovao na moru. Za dvije sobe platio je 4 560 kuna. Dnevno je trošio 585 kuna. Koliko mu je ostalo kuna pri povratku ako je na odmoru proveo 25dana, a prije polaska imao je 20 000 kuna?

Dinko reče: „Ako broju koji sam zamislio pribrojim 8540, dobivam broj koji podijeljen s 4daje 2 385.” Koji je broj zamislio Dinko?

IzraËunaj.

a) 378 + 526 − 89 − (248 + 99) =b) 929 − (96 + 378) − (125 − 78) =c) 1000 − 115 − (97 − 9) + (231 − 97) =

IzraËunaj.

(39 + 48) · 6 = (58 + 23 + 9) · 7 =(724 − 625) · 8 = (67 − 28 − 5) · 9 =

IzraËunaj.

(600 + 138) : 6 = (112 + 72 + 576) : 8 =(852 − 412) : 4 = (546 + 252 − 203) : 7 =

IzraËunaj.

28 · 8 + 72 · 8 = 813 : 3 + 87 : 3 =66 · 9 − 34 · 9 = 912 : 6 − 312 : 6 =

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16Brod niz rijeku za 7 satiprijee 217 kilometara.Uzvodno prijee na sat 8

kilometara manje nego nizrijeku. Koliko Êe kilometaraprijeÊi uzvodno za 9 sati?

____________________

____________________



108

Kocku i kvadar upoznali ste već u prvom razredu. Promatrajte predmete oko sebe.

Uočit ćete da mnogi od njih imaju oblik kvadra ili kocke.

Sad ćemo pobliæe proučavati kocku.1.

KOCKA I KVADAR6.

KOCKA

Prava „matematička” kocka jepravilno geometrijsko tijelo.

Nacrtana je takva kocka.

Uočili ste neke predmete kojiimaju oblik kocke.



Kocka ima šest strana. Strane kocke su jednaki (sukladni) kvadrati.

Na slici je nacrtana kocka.Istaknuta je gornja strana te kocke. To je kvadrat EFGH .

Uočite i zapišite ostale strane kocke:donja strana ABCD

desna strana __________

lijeva strana ___________

prednja strana _________

straænja strana _________

Znamo da kocku ome�uju kvadrati.

Stranice kvadrata koji ome�uju kocku zovu se bridovi kocke.

Kocka ima 12 bridova.Bridovi kocke su duæine AB , BC , CD itd.

Napišite ostale bridove:

______________________________

Krajnje točke bridova kocke ujedno su vrhovi kvadrata koji ome�uju kocku.

Te se točke zovu vrhovi kocke.

Kocka ima 8 vrhova; to su točke A, B , C,...

Napišite ostale vrhove kocke:

_________________________________

Koliko bridova „izlazi” iz svakog vrha kocke?

___________________________________

2

3

4



110

Mnogi predmeti u našoj okolini imaju oblik kvadra, npr. razne kutije, ormari, zgraderavnih krovova, sobe, učionice i drugo.

Navedite neke predmete koji imaju oblik kvadra.

U matematičkom smislu kvadar je geometrijsko tijelo. Nacrtan je jedan kvadar.

Kvadar je omeen pravokutnicima.

Na slici je obojena jedna strana kvadra.

Pravokutnici koji ome�uju kvadar zovu se strane kvadra. Kvadar je ome�en sa 6 pravo-kutnika od kojih su po dva jednaka (sukladna). Istaknuti su pravokutnici:

donji ABCD prednji ABFE desni BCGF

Napišite slovima pravokutnike koji su jednaki obojenim pravokutnicima.

1.

2.

KVADAR



Stranice pravokutnika koji ome�uju kvadar zovu se bridovi kvadra.

Kvadar ima 12 bridova.Bridovi kvadra su duæine.Po četiri brida kvadra jednake su duljine.

Napisani su neki bridovi kvadra, a vinapišite ostale:

AB , CD ______________AE , CG ______________

AD , FG ______________

Koji su bridovi kvadra me�usobno jednake duljine?

Kocka je kvadar kojemu su svi bridovi jednake duljine.

Kojim je geometrijskim likovimaome�ena kocka?

_____________________________

Krajnje točke bridova kvadra zovu se vrhovi kvadra.

Vrhovi kvadra su ujedno i vrhovipravokutnika koji ome�uju kvadar.Kvadar ima 8 vrhova; to su točke: A, B , E .

_________________________________

Napišite ostale vrhove kvadra.

Koliko bridova izlazi iz jednog vrha kvadra?__________________________________

Napišite bridove kojima pripada vrh F :

__________________________________

3

4

5



112

Promatrajte razne predmete koji vas okruæuju. Svaki predmet zauzima dio prostora.Predmete često uspore�ujemo po veličini, pa kaæemo: ovaj je veći, a ovaj je manji ili onisu jednaki.

To su predmeti naše okoline. Svi ti predmeti imaju isti oblik.

Ako promatramo razne predmete, na primjer oblika kvadra: kutije za šibice, kutije zacipele, ormare, sobe, zgrade ravnih krovova i druge, uočit ćemo koji su jednaki, a koji surazličite veličine.

Znamo da je kutija za šibice manja od kutije za cipele, kutija za cipele manja od ormara itd.

Često postavljamo pitanje koliko je neko tijelo veliko, odnosno koliki mu je obujam (volu-men). To znači da treba odrediti koliki dio prostora zauzima tijelo.

Nacrtane kocke imaju različite obujme (vol-umene).

Kvadri prikazani na slici imaju jednakeobujme (volumene).

1.

2.

MJERENJE OBUJMA



Da bismo odredili obujam (volumen) nekoga tijela, to je tijelo potrebno mjeriti.Ako æelimo mjeriti neko tijelo, potrebno je odabrati mjernu jedinicu.Do sada ste mjerili duæine.Duæine ste često mjerili duæinom kojoj je duljina 1 cm.

1 cmNaučili ste mjerne jedinice za duæinu. Navedimo ih:

1 cm, 1 dm, 1 m, 1 km.

Koliko 1 metar ima decimetara, centimetara, milimetara?

1 m = ___________ dm 1 m = ___________ cm 1 m = ___________ mm

Koliko 1 kilometar ima metara, decimetara, centimetara?

1 km = ___________ m 1 km = ___________ dm 1 km = ___________ cm

Površine smo mjerili kvadratima.

Osnovna jedinica za mjerenje površine je 1 cm2.

Nacrtan je kvadrat kojemu je duljina stranice 1 cm.

Navedimo mjerne jedinice za površine:

1 cm2, 2 dm2, 1 m2, 1 mm2.Odgovorite koliko je:1 m2 ________ dm2, 1 m2 ________ cm2, 1 m2 ________________ mm2.

Na slici je predočena kocka kojoj je duljina brida 1 cm.

Obujam (volumen) te kocke je kubični centimetar.Umjesto „kubični centimetar” kratko pišemo cm3.1 cm3 jedinica je za mjerenje obujma.

Dakle, 1 cm3 je obujam kocke kojoj je duljina brida 1 cm.

Ako neku kutiju, npr. oblika kvadra,moæemo potpuno ispuniti s 2 400 koca-ka kojima je duljina brida 1 cm, kaæemo

da je obujam te kutije 2 400 cm3

.

Ako kutiju oblika kocke moæemo potpunopopuniti sa 8 malih kocaka od kojih svakaima obujam 1 cm3.

Koliki je obujam te kutije?

3

4

5



114

Veća jedinica za obujam od 1 cm3 jest jedan kubični decimetar.

Kubični decimetar je obujam kocke kojoj je duljina brida 1 dm. Jedan kubični decimetarkratko pišemo 1 dm3. Slika pokazuje kocku kojoj je obujam 1 dm3.

Poznato vam je da vrijedi:

1 dm = 10 cm 1 dm2 = 10 cm · 10 cm = 100 cm2

Uočite da je: 1 dm3 = 10 cm · 10 cm · 10 cm = 1000 cm3.

Napomena:Posuda oblika kocke čija je duljina brida 1 dm sadræi 1 l tekućine. Posuda oblika kockeduljine brida 1 m ima 10 · 10 · 10 dm3 = 1000 dm3, to jest sadræi 1000 l tkućine.

6.



Sada ćete naučiti kako se izračunava obujam kvadra.Tada ćete znati izračunati obujam raznih predmeta oblika kvadra.

Na slici su nacrtane dvije kutije oblika kvadra.Označena je njihova duljina, širina i visina.

Jasno vam je da će volumen tih kutija ovisiti o njihovoj duljini, širini i visini.

Uočite da su duljina, širina i visinakvadra ujedno duljine triju bridova kojiizlaze iz istog vrha.

Na slici je kvadar koji sadræi tri kocke.

Obujam svake kocke je 1 cm3.

Jasno je da obujam nacrtanog kvadraiznosi 3 cm3.

Duljine bridova koji izlaze iz istoga vrha redom su 3 cm, 1 cm, 1 cm, pa je:

3 cm · 1 cm · 1 cm = 3 cm3.

Nacrtan je kvadar. Koliko taj kvadar sadræi kocaka čiji je brid duljine 1 cm?

Duljine bridova kvadra koji izlaze iz jed-nog vrha redom su 4 cm, 3 cm i 1 cm.

Obujam tog kvadra je 12 cm3.

12 = 4 · 3 · 1

OBUJAM (VOLUMEN) KVADRA

1

2

3



116

Nacrtani su kvadri „sastavljeni” od kocaka čiji je obujam 1 cm3.

Koliki su obujmi tih kvadara?

_________________ _________________

Promotrite ovaj kvadar:

Duljine bridova ovog kvadra iz istog vrha su:

2 cm, 3 cm i 5 cm.

Uočite da kvadar sadræi 30 kocaka čiji je obujam 1 cm3. Obujam toga kvadra je 30 cm3.

Računamo: 2 · 3 · 5 = 30.

Pomnoæili smo duljine bridova iz istog vrhakvadra i dobili njegov obujam.

Obujam kvadra jednak je umnošku duljinatriju njegovih bridova iz istog vrha.

Ako obujam kvadra označimo slovom V , onda za kvadar na slici vrijedi:

V = 2 · 3 · 5 cm3, V = 30 cm3. Vrijedi općenito:Ako su duljine triju bridova iz istoga vrha kvadra redom jednake a , b , c , tada je obujamV tog kvadra jednak umnošku a · b · c , tj.

Koliki je obujam kvadra čije suduljine triju bridova iz istog vrha4 cm, 3 cm i 2 cm?

___________________________

4.

5.

6.

V = a · b · c



OBUJAM (VOLUMEN) KOCKE

Izračunajmo obujam kvadra čije su duljine bridova iz istog vrha 7 cm, 9 cm i 10 cm. V = 7 · 9 · 10 cm2, V = 630 cm2.

Izračunajte obujam kvadra čije su duljine bridova iz istog vrha 27 cm, 19 cm i 47 cm.

______________________________________________________________________

Odredi obujam sobe čija je duljina 6 m, širina 5 m i visina 3 m.______________________________________________________________________

Koliko vode stane u posudu oblika kvadra čija je duljina 40 cm, širina 25 cm, a visina 20 cm?

_________________________________________________________________________

Poznato vam je da kocka čiji je brid duljine 1 cm ima obujam 1 cm 3 , kocka čiji je brid

duljine 1 dm ima obujam 1 dm 3 itd .Sad ćete naučiti kako se računa obujam kocke kojoj je poznata duljina brida.

Nacrtana je kocka. Odredimo njezin obujam.

Ova kocka sadræi 27 kockica čiji je obujam 1 cm3.

Prema tome, obujam ove kocke je 27 cm3.

Računamo:

V = 3 · 3 · 3 cm3, V = 27 cm3.

Uočite da je duljina brida te kocke 3 cm.

Svaka je kocka kvadar čiji su svi bridovi jednake duljine. Obujam kvadra jednak jeumnošku duljina triju bridova iz istoga vrha. Prema tome, ako je duljina brida kocke 3cm, njezin je obujam 3 · 3 · 3 cm3 = 27 cm3.

Općenito:

Ako je duljina brida kocke jednaka a , onda je obujam V kocke jednak a · a · a , tj.

7

8

9

1

2

V = a · a · a

a

a a



118

Izračunajmo obujam kocke kojoj je duljina brida 17 cm.

V = 17 · 17 · 17 cm3, V = 4 913 cm3

_____________________________________________________________________

Zgrada ima oblik kocke čiji je brid 15 m dugačak.Koliki je obujam te zgrade?

_____________________________________________________________________

Koliko vode stane u posudu oblika kocke čija je duljina brida 20 cm?

_____________________________________________________________________

Jedna sportska dvorana ima oblik kvadra duæine 28 m, širine 25 m i visine 5 m.Druga dvorana ima oblik kocke kojoj je jedan brid dugačak 16 m.

Koja dvorana ima veći obujam i za koliko?_____________________________________________________________________

3.

4.

5.

6.





Documents

Mat_4_U_za_web.pdf