Recull PAAU Matemtiques. Classificats

Recull

PAU-LOGSE

Matemtiques

Classificaci per temes

Notes

Aquest document inclou tots els exercicis de les PAU de Batxillerat Logse des de la seva primera convocatria de l'any 1997.

La classificaci dels exercicis s'ha fet a partir dels segents temes:

TRIGONOMETRIA

GEOMETRIA DELPLA

CIRCUMFERNCIA

FUNCIONS

DERIVABILITAT

PROBLEMES D'OPTIMITZACI

CLCUL INTEGRAL

MATRIUS I SISTEMES D'EQUACIONS LINEALS

GEOMETRIA DE L'ESPAI

En quant a la codificaci de l'exercici: PAUNNCSXN:

NN indica l'any; C la convocatria (Juny/Setembre); S la srie; X Problema/Qesti; N el nmero d'exercici

Salvador Cardona,

scardon1@pie.xtec.es

http://www.xtec.es/~scardon1

IES de Gironella,

http://www.xtec.es/iesgironella

TRIGONOMETRIA

[PAU97J3AP1] La figura ens mostra tres jardins circulars mtuament tangents. Els radis d'aquests jardins sn respectivament de 8, de 10 i de 12 metres. La zona del jard ms petit que est ombrejada en el dibuix (sector circular delimitat pels dos radis pels punts de tangncia amb els altres dos jardins i l'arc de circumferncia corresponent) es vol sembrar d'una gespa especial i es vol envoltar completament amb una petita tanca metllica. Quina superfcie t? Quina longitud de tanca far falta?

[PAU97J3BQ2] Quina s la superfcie del cercle en el qual podem inscriure un triangle equilter de permetre 60 centmetres?

[PAU97S1AQ4] Determineu l'amplada d'un riu sabent que des d'una torre de 40 metres d'altura i situada a 30 metres en horitzontal de la riba del riu l'amplada d'aquest es veu sota un angle de 45 graus.

[PAU97S1BP1] Per fixar exactament una direcci terrestre respecte als quatre punts cardinals (nord, sud, est i oest) convindrem a mesurar l'angle que la direcci nord forma amb la direcci donada, prenent com a sentit positiu el sentit nord - est - sud -oest. Aix, per exemple, una direcci de 0 graus voldr dir la direcci nord, i una direcci de 270 graus voldr dir la direcci oest.

Un vaixell demana ajut per rdio i els senyals es reben en dues estacions P i Q distants entre si 65 km. L'estaci P veu l'estaci Q en una direcci de 132 graus (utilitzant el conveni anterior). P rep el senyal de rdio del vaixell en una direcci de 135 graus. Q rep el senyal de rdio del vaixell en una direcci de 264 graus. A quina distncia de cada estaci es troba el vaixell?

[PAU97S4AP1]. Estic situat davant la paret d'una casa illuminada pel sol. Em trobo a una distncia de 2 metres d'aquesta paret. En aquest moment el meu cos fa una ombra sobre terra que t una longitud d'1,6 m i segueix una direcci perpendicular al pla de la paret (a la figura I, el meu cos est representat pel segment AB; l'ombra, pel segment AB', i la lnia discontnua representa el raig de sol que passa pel meu cap). Si avano un pas d'un metre en direcci a la paret (si em situo, doncs, a 1 metre de la paret), la meva ombra es trencar en dos trossos, un tros estar contingut al pla de terra (segment AC de la figura II) i l'altre estar contingut al pla de la paret (segment CB' de la figura II). Sabent que la meva alada s d'1,7 metres, calculeu l'alada que atenyer l'ombra sobre la paret (segment CB').

[PAU98J3P1] Suposem que les rbites de la Terra i de Venus al voltant del Sol sn circumferncies de radis respectius 15107 km i 10,9107 km.

a) A quina distncia es troba Venus de la Terra quan l'angle d'observaci Sol -Terra - Venus s de 20 ?

b) A quina distncia es trobaran la Terra i Venus quan l'angle Terra - Sol -Venus sigui de 90 ?

[PAU98J6P1] Es vol mesurar l'amplada d'un riu. A una distncia de 25 m d'una de les ribes hi ha una torre de telecomunicacions de 35 m d'alria. Pugem dalt de la torre i observem l'angle que formen les visuals que van cap a una riba i cap a l'altra, que s de 20.

Feu un croquis de la situaci i calculeu, amb aquestes dades, l'amplada del riu.

[PAU98S5P1] Des dels dos extrems de la badia d'Alcdia (Mallorca), que sn a 15,25 km l'un de l'altre, es pot veure el cim del Puig Major. Un equip de topgrafs ha pres les mides dels angles que es poden veure en el croquis segent:

on A i B sn els dos extrems de la badia i C, el peu del cim. A ms, l'angle d'elevaci del cim vist des del punt A s de 3 .

Calculeu:

a) L'angle entre la lnia AC i la lnia BC.

b) Les distncies de A a C i de B a C.

c) L'alria del cim.

[PAU98S2Q1] Les diagonals d'un parallelogram mesuren 30 cm i 20 cm i es tallen formant un angle de 40. Calculeu-ne els costats.

[PAU99J1Q4] Des d'una certa distncia, l'angle amb l'horitzontal de la visual cap al punt ms alt d'un arbre s de 60 . Ens allunyem 10 metres i l'angle anterior s ara de 30. Quina s l'alria de l'arbre?

[PAU99J6Q3] Des de terra veiem el terrat d'un gratacel sota un angle de 60 . Amb quin angle el veurem des d'una distncia al peu del gratacel doble de l'anterior?

[PAU99J6P2] Per mesurar l'altura d'un nvol s'han fet simultniament dues observacions des dels punts A i B distants entre si 1 quilmetre i situats tots dos al nivell del mar. La inclinaci de la visual des de A al nvol respecte a l'horitzontal s de 47 . Els angles que formen les visuals des de A i des de B amb la recta AB sn, respectivament, de 38 i 53 tal com s'indica a la figura segent:

Calculeu l'altura del nvol respecte al nivell del mar.

[PAU99S2Q4] L'angle entre els dos costats iguals d'un triangle issceles s de 40 i el costat desigual t una longitud de 40 centmetres. Quina s la longitud de cada un dels costats iguals d'aquest triangle?

[PAU99S5Q4] Us situeu en un punt d'un terreny horitzontal i l'angle que forma la visual dirigida al punt ms alt d'un arbre amb l'horitzontal s de 60 . Quin ser l'angle que formar amb l'horitzontal la visual dirigida al punt ms alt de l'arbre si us n'allunyeu a una distncia triple de la que reu abans?

[PAU99S5P2] Volem penjar un llum a una certa distncia del sostre d'una habitaci. Per fer-ho, agafem una corda, hi lliguem el llum i la clavem pels extrems en dos punts del sostre separats per una distncia de 140 centmetres, de manera que els angles entre la corda i el sostre sn de 40 i 60 a cada un dels extrems.

a) Quina ser la longitud total de la corda?

b) A quina distncia del sostre quedar el llum?

[PAU00J1Q4] El circ s a la ciutat i s'ha d'installar. L'especialista a muntar-lo encara no ha arribat i els altres no saben la quantitat de cable d'acer que necessiten. El ms espavilat recorda que, un cop tensat el cable des de l'extrem del pal principal fins a un punt determinat del terra amb el qual forma un angle de 60, calen dos metres ms de cable que si forma amb el terra un angle de 70. En total han de posar sis cables tensats formant amb el terra un angle de 60 . Quants metres de cable necessiten?

[PAU00J3Q4] Els costats d'un triangle sn de longituds 8 cm, 11 cm i 13 cm. Calculeu el valor del sinus de l'angle ms petit.

[PAU00S2Q4] D'un angle del primer quadrant coneixeu que sin = 1/3. Calculeu el valor exacte de:

a) tan b) sin 2

[PAU00S6P2] Dos amics, l'lex i la Berta, sn cadascun al terrat de casa seva, veuen un vaixell i els interessa determinar la distncia a qu es troba.

a) Primer de tot volen calcular la distncia que separa el teodolit de l'lex del de la Berta. Sigui A el punt on l'lex t plantat el teodolit i B el punt on la Berta t situat el seu. L'lex mesura exactament al seu terrat una distncia AC = 10 m, de manera que el triangle ACB s rectangle a A. Llavors la Berta mesura l'angle a B d'aquest triangle i resulta que s de 5,6 . Calculeu la distncia AB.

b) Per determinar a quina distncia s el vaixell, l'lex mesura l'angle que formen a A les visuals A-vaixell i A-B, que resulta que s 75,5 , i la Berta l'angle que formen a B les visuals B-A i B-vaixell, que s de 81,6 . A quina distncia s el vaixell de la Berta? Es pot saber, sense fer ms clculs, qui s ms a prop del vaixell? Per qu?

[PAU01S2Q4] Els tres costats d'un triangle mesuren 3 cm, 4 cm i 5 cm. Calculeu els seus angles i la seva rea.

[PAU01S2P1] Hem de fer un mapa d'una certa zona geogrfica. A, B i C sn els cims de tres muntanyes de la mateixa alria, de manera que les posicions de A i B sn ben conegudes i ja estan representades en el mapa, mentre que la posici de C s'ha de determinar. Pugem a dalt del cim A i mesurem l'angle entre la lnia AB i la lnia AC, que s de 68. Pugem a dalt del cim B i aqu mesurem l'angle entre les lnies BC i BA, que resulta ser de 35. En el mapa que tenim, la distncia sobre el paper entre A i B s de 3 cm.

a) Feu un diagrama de la situaci i determineu quin angle formen en C les lnies CA i CB.

b) Quines seran, sobre el mapa, les distncies entre A i C i entre B i C?

c) Si el mapa s a escala 1:50000, calculeu la distncia real entre els punts A,B i C.

[PAU01S5P2] L'rea del triangle de vrtexs A, B i C s de 50 m2 . L'angle en A d'aquest triangle s de 45 i l'angle en B s de 30. Sigui D el peu de l'altura des del vrtex C, s a dir, el punt del segment AB tal que CD s perpendicular a AB.

Calculeu la longitud dels segments CD, AD, BD, AB, BC i AC.

GEOMETRIA DEL PLA

[PAU97J2AP1] De la representaci d'un rombe en uns eixos cartesians en sabem que t dos vrtexs situats en els punts (3, 1) i (2, 1), i que una de les diagonals est sobre la recta d'equaci . Determineu les coordenades de tots els vrtexs del rombe. Justifiqueu la resposta.

[PAU97J2Q3] Considereu els dos punts del pla P (2, 5) i Q (6, 1) i la recta d'equaci. Digueu quants punts hi ha sobre aquesta recta que equidistin de P i de Q. Calculeu les coordenades de tots aquests punts.

[PAU97J3AQ3] Expliqueu raonadament algun mtode per decidir si tres punts del pla donats per les seves coordenades, A = (a1, a2), B = (b1, b2) i C = (c1, c2), estan alineats o no ho estan. Decidiu, tot aplicant el mtode que hagueu explicat, si els punts (2, 3), (3, 0) i (6, 2) estan alineats o no.

[PAU97S1AP1] Considereu les tres rectes del pla d'equacions , i . Digueu per a quins valors del parmetre a formen un triangle. Digueu per a quins valors de a formen un triangle d'rea 2. Expliqueu en general com es pot saber si tres rectes del pla determinen un triangle.

[PAU97S1BQ4]. Quantes rectes del pla passen pel punt (1, 2) i formen un angle de 45 graus amb la recta d'equaci ? Doneu les equacions de totes les que hi hagi.

[PAU98J6P2] L'eix OX representa la banda d'una taula de billar. Una bola que est situada al punt A = (1, 6) ha de tocar una bola situada al punt B = (5, 2) desprs d'haver rebotat a la banda (quan una bola de billar rebota a la banda, els angles i de la figura sn iguals).

Determineu:

a) El punt exacte P on la bola hauria de topar amb la banda.

b) L'equaci de la trajectria inicial que ha de seguir la bola.

c) L'equaci de la trajectria que segueix la bola desprs d'haver topat amb l a banda, fins a tocar la bola en el punt B.

d) L'angle entre les trajectries AP i PB.

[PAU98S5Q3] Siguin i els dos vectors del pla:

Calculeu l'angle que formen i .

CIRCUMFERNCIA

[PAU97J2AQ4] D'una circumferncia representada en uns eixos cartesians de coordenades sabem que t el centre sobre l'eix de les x, i que s tangent a la recta en el punt (6, 2). Quines sn les coordenades del centre? Quina s la longitud del radi?

[PAU97J3BQ3] Calculeu un punt P de coordenades (a, 0), amb a > 0, tal que les dues tangents a la circumferncia traades des del punt P formin un angle de 60 graus.

[PAU98S2P2] Considereu dues circumferncies C1 i C2 del pla que compleixen les condicions segents:

C1 passa pel punt P = (2, 0) i en aquest punt t per tangent la recta .El centre de C1 s a sobre de la recta y = x.C2 t per equaci , on k s una certa constant.Les circumferncies C1 i C2 sn tangents exteriors, tal com s'indica en la figura segent:

a) Calculeu el centre i el radi de C1 i escriviu l'equaci de C1.

b) Calculeu les coordenades del centre C2.

c) Calculeu les coordenades del punt d'intersecci de C1 amb C2.

Calculeu el valor de la constant k de l'equaci de C2.

[PAU99J6Q1] Calculeu el radi i les coordenades del centre de la circumferncia que t per equaci .

[PAU99S5Q1] Una circumferncia del pla passa pels punts (1, 3) i (3, 5) i t el centre sobre la recta . Trobeu el centre, el radi i l'equaci d'aquesta circumferncia.

[PAU00S6Q4] Considereu la circumferncia del pla d'equaci

a) Calculeu-ne el centre i el radi.

b) Comproveu que el punt (4, 0) pertany a la circumferncia i determineu l'equaci de la seva tangent en aquest punt (la recta tangent en un punt d'una circumferncia s la que s perpendicular al radi que passa per aquest punt).

[PAU01S2Q2] La circumferncia C passa pel punt A = (4, 0) i s tangent a la recta y = x en el punt B = (4, 4).

a) Determineu l'equaci de la recta que passa per B i pel centre de la circumferncia C.

b) Trobeu el centre de C i calculeu el seu radi.

[PAU01S5Q3] Considereu en el pla els punts P = (1, 1) i Q = (3, 5) i la recta r d'equaci x + y + 2 = 0. Calculeu l'equaci de la circumferncia que passa per P i Q i que t el centre a r.

FUNCIONS

[PAU97J2BQ2] Calculeu el lmit quan i quan de la funci polinmica , on els coeficients a0, a1, , an sn nombres reals, i (haureu de considerar el cas que n sigui parell i el cas que sigui senar). Justifiqueu desprs el fet que tot polinomi de grau senar amb els coeficients reals t sempre, pel cap baix, una arrel real.

[PAU97S1AQ3] Feu un esquema de la representaci grfica del polinomi

i digueu quantes arrels reals t. Per a cada arrel, determineu la seva part entera.

[PAU97S4AQ4] El carboni 14 es desintegra seguint la llei exponencial segent: , on t indica el temps transcorregut a partir d'un cert instant inicial que es pren com a origen per comptar el temps (aquest origen s arbitrari i es pot prendre com a tal qualsevol constant de temps), Q(t) indica la quantitat d'toms que encara no s'han desintegrat a l'instant t, Q0 la quantitat d'toms que no s'havien desintegrat a l'instant que s'ha escollit com a instant inicial, i k s una certa constant. El carboni 14 t un perode de semidesintegraci de 5.770 anys. Aix vol dir que cada 5.770 anys la quantitat d'toms que encara no s'han desintegrat es redueix a la meitat. A partir d'aquesta dada determineu el valor de la constant k. Digueu desprs quin tant per cent d'toms encara no s'han desintegrat al cap de 30.000 anys de l'instant inicial.

DERIVABILITAT

[PAU97J2BQ4] Calculeu els extrems relatius de la funci

[PAU97J3AQ2] a) En quin punt la corba d'equaci t una recta tangent horitzontal?

b) s possible que aquesta corba tingui una tangent parallela a la recta en algun punt d'abscissa x negativa?

[PAU97J3BP1] a) Calculeu els mxims i mnims locals de la funci i doneu en funci de b el valor que pren la funci en aquests mxims i mnims.

b) Feu un esbs de la grfica de la funci quan el parmetre b s positiu, i quan aquest parmetre s nul.

c) Calculeu el valor negatiu de b per al qual la grfica de f(x) s tangent a l'eix de les x en el mxim local d'aquesta funci. Dibuixeu la grfica de la funci per a aquest valor de b.

d) Determineu (fent servir l'estudi de la funci realitzat en els apartats anteriors) els valors de b per als quals l'equaci f(x) = 0 noms t una soluci.

[PAU97S1BQ3] Expliqueu la relaci que hi ha entre la derivada d'una funci en un punt i l a tangent a la grfica d'aquesta funci en el mateix punt. La corba i la recta sn tangents en algun punt?

[PAU97S4BQ2] Determineu per a quins valors de n la recta s tangent a la grfica de la funci.

[PAU98J3Q4] En quin punt de la corba la recta tangent s parallela a la corda AB determinada pels punts A=(1, 0) i B=(e, 1)

[PAU98J6Q2] Sigui . Trobeu els valors de a i b de manera que la grfica de f(x) tingui la tangent horitzontal per a x = 1 i, a ms, la corba passi pel punt

[PAU98S2Q4] Trobeu el punt de la grfica de tal que la recta tangent sigui perpendicular a la recta .

[PAU98S2P1] Sigui

a) Trobeu l'equaci de la recta tangent a la grfica de f(x) en el punt d'abscissa x = 2.

b) Estudieu el domini de definici de f(x) i les asmptotes.

c) Estudieu els intervals de creixement i decreixement. Feu-ne la representaci grfica

[PAU99J6P1] Considereu la funci

a) Feu un estudi de les seves asmptotes.

b) Calculeu els punts en qu aquesta funci t extrem relatiu i digueu per a quins intervals del domini la funci s creixent.

c) Feu un esbs de la grfica de la funci a partir de les dades obtingudes en els apartats anteriors.

[PAU99S2Q1] La grfica d'una funci s la que hi ha en el dibuix segent. Quina s la grfica de la seva funci derivada? En quins punts s discontnua la derivada?

[PAU99S2P1] Considereu la funci

a) Trobeu el domini de f(x) i les asmptotes.

b) Determineu el signe de la funci en el seu domini (determinar el signe de f(x) vol dir establir per a quins valors de x es compleix i per a quins).

c) Trobeu-ne els intervals de creixement i decreixement i els extrems relatius.

d) Feu un esquema de la grfica de la funci.

[PAU00J1Q1] Calculeu els valors de a tals que les tangents a la grfica de la funci en els punts d'abscisses x = 1 i x = 1 siguin perpendiculars entre si.

[PAU00J3Q2] Determineu els punts de la grfica de on la recta tangent s parallela a la bisectriu del primer quadrant. Calculeu l'equaci d'aquestes rectes tangents.

[PAU00J3P1] Considereu la funci , on a s un parmetre.

a) Calculeu a sabent que la recta y = x + 2 s una asmptota obliqua d'aquesta funci.

b) Prenent el valor de a obtingut en l'altre apartat, calculeu el domini, les interseccions de la grfica amb els eixos, els intervals de creixement i decreixement i els extrems relatius de la funci f. Feu una grfica aproximada d'aquesta funci a partir de les dades que heu obtingut.

[PAU00S2Q1] a) Trobeu els extrems relatius de la funci polinmica

i calculeu els valors de f(x) en aquests punts. A partir d'aquestes dades, feu un

dibuix aproximat de la seva grfica.

b) Demostreu que l'equaci t, exactament, tres solucions reals.

[PAU00S6Q1] D'una funci y = f (x ) sabem

a) El seu domini de definici s tot R.

b) La seva funci derivada s

c) f(x) s contnua en tot punt i f (1) = 2.

Determineu el valor de f(1) i dibuixeu la grfica de la funci f(x).

[PAU00S6Q2] Donada la funci , determineu l'equaci de la recta tangent a la seva grfica en el punt on s'anulla la segona derivada.

[PAU01S2P2] Considereu la funci

a) Determineu les seves asmptotes.

b) Calculeu els intervals on creix i on decreix, i els extrems relatius.

c) D'acord amb els resultats que heu obtingut, dibuixeu aproximadament la seva grfica.

d) Fixant-vos en la grfica anterior, expliqueu quina seria la grfica de la funci (feu-ne un esquema). En quins punts t mxims la funci g(x)?

[PAU01S5Q1] Per a cada valor del parmetre R, considereu la funci (definida per a tots els valors de x diferents de 0).

a) Determineu per a cada valor del parmetre a, els extrems relatius que t la funci f(x).

b) Per a quins valors del parmetre a la funci f(x) s sempre creixent?

[PAU01S5Q2] Teniu una funci f(x) definida per a sabeu que el grfic de s de la forma

(on f ' (1) = 0, f' (0) = 1, f' (1) = 1) i que f (0) = 2.

Dibuixeu un grfic aproximat de f(x) indicant en quins punts hi ha extrems relatius.

PROBLEMES D'OPTIMITZACI

[PAU97J2BP1] Una noia vol travessar el riu Ebre des d'un punt A fins a un punt B, tal com ens indica el dibuix adjunt. Per fer-ho anir nedant fins a un punt C que encara no sabem quin ha de ser, i des d'all anir corrent fins a B. Podem considerar que en aquesta zona el riu t una amplada constant de 300 metres i que la distncia entre A i B mesurada sobre el mateix marge del riu s de 4 quilmetres (sobre el dibuix, distncia entre A' i B). Aquesta noia sap que durant tota l'estona que vagi nedant podr mantenir una velocitat constant de 6 km/h, i que tota l'estona que vagi corrent podr mantenir una velocitat constant de 12 km/h. Fins a quin punt C haur d'anar nedant per tal d'arribar al ms rpidament possible a B?

[PAU97J3BQ4] S'ha d'editar un llibre i cada full ha de contenir 18 centmetres quadrats de text. Els marges superior i inferior de cada full han de tenir 2 centmetres cada un, i els marges laterals, 1 centmetre cada un. Calculeu les dimensions de cada full del llibre per tal que la despesa de paper sigui mnima.

[PAU97S4BP1] L'ajuntament d'una ciutat que passa greus dificultats pressupostries ha decidit acceptar l'oferiment d'una coneguda fbrica de galetes de contribuir a les despeses del parc municipal a canvi d'installar sis metres de tanca publicitria dins del parc. Aquesta tanca encerclaria una zona que passaria a ser per a s privat del personal de la fbrica. Per raons esttiques l'empresa vol que la tanca s'installi segons una de les tres possibilitats segents: delimitant un recinte quadrat, delimitant un recinte circular o b dos recintes, un de circular i l'altre de quadrat. Suposant que a l'ajuntament l'interessa preservar el mxim de superfcie del parc per a s pblic, decidiu quina de les tres possibilitats s l a millor i quina seria l'rea (mnima) de parc que es perdria per a s pblic.

[PAU98J3P2] Una via de tren passa a 2 km del poble A i a 3 km del poble B, de manera que el tram de via comprs entre ambds pobles s de 5 km, tal com s'indica en l a figura. Volem construir una nova estaci ferroviria i una carretera formada per dos trams rectes que uneixi A amb B passant per l'estaci. En quin punt del tram de via hem de collocar l'estaci si volem que el recorregut de A a B passant per la nova carretera sigui mnim? Quina ser la longitud total de la nova carretera?

[PAU98J6Q1] Trobeu els costats d'un rectangle d'rea mxima inscrit a l'ellipse d'equaci , tal com s'indica en la figura segent:

[PAU98S5Q2] Considereu els rectangles del pla, els vrtexs A, B, C i D dels quals compleixen les condicions segents: a) A s l'origen de coordenades; b) B s a sobre del semieix de les y; c) C s a sobre del semieix de les ; d) D s a sobre de la recta d'equaci , tal com es veu en la figura segent:

De tots aquests rectangles, trobeu l'rea del que la t mxima.

[PAU99S5P1] Trobeu l'altura i el radi de la base del cilindre de volum mxim inscrit en una esfera de radi 1.

[PAU00J1P1] Un terreny t forma de triangle rectangle, els catets mesuren AB = 60 m i AC = 45 m. En aquest terreny es pot construir una casa de planta rectangular com indica la part ombrejada de la figura segent:

Voleu vendre aquest terreny i us paguen 5.000 pessetes per cada metre quadrat no edificable i 25.000 pessetes per cada metre quadrat edificable.

a) Determineu la relaci que hi ha entre l'amplada x i la profunditat y del rectangle que determina la part edificable.

b) Determineu l'expressi que dna el valor del terreny en funci de l'amplada x del rectangle edificable.

c) Quines sn les dimensions de la part edificable que ens permeten obtenir un valor mxim per a aquest terreny?

d) Quin s aquest valor mxim?

[PAU00S2P1] El costat desigual d'un triangle issceles mesura 12 m, i l'altura sobre aquestcostat s de 5 m.

a) Donat un punt arbitrari sobre aquesta altura, obtingueu una expressi de la suma de les distncies d'aquest punt a cada un dels vrtexs del triangle.

b) Determineu els punts sobre l'altura que compleixen que la suma de les distncies als tres vrtexs del triangle sigui mxima i els punts per als quals

sigui mnima.

CLCUL INTEGRAL

[PAU97J2AQ2] Calculeu els valors de m de manera que la recta i la parbola delimitin una rea de 36 unitats de superfcie.

[PAU97S1BQ2] Calculeu l'rea que en el primer quadrant tanquen les corbes, i .

[PAU97S4AQ2] Qu vol dir que una funci F(x) sigui primitiva d'una altra funci f(x)? Quantes primitives t una determinada funci? Calculeu la primitiva de la funci (cotangent de x) que compleix la condici que la seva grfica passa pel punt .

[PAU98J3Q3] Considereu la funci la grfica de la qual s aproximadament la del dibuix segent:

Calculeu l'rea de la regi ombrejada.

[PAU98S5Q1] Trobeu el valor de k per tal que

[PAU98S2Q3] Calculeu l'rea limitada per les corbes , i la recta vertical x = 2.

[PAU99J1Q2] Calculeu l'rea determinada per les corbes d'equacions

i

representada en el dibuix segent:

[PAU99J1Q3] Calculeu raonadament l'expressi d'una funci f(x) tal que i que .

[PAU99J1P1] Donada la funci

a) Estudieu-ne la continutat.

b) Estudieu-ne els intervals de creixement i decreixement i els mxims i mnims locals.

c) Calculeu l'rea limitada per la grfica de la funci, l'eix OX i les rectes verticals x = 0 i x = 2.

[PAU99J6Q2] Sigui . Calculeu l'rea de la regi que limita la grfica de f(x) i l'eix d'abscisses i que est representada en el dibuix segent:

[PAU99S5Q3] Trobeu el valor del coeficient k de manera que l'rea limitada per la funci i l'eix d'abscisses sigui igual a 36 u2 .

[PAU00J1Q2] Calculeu l'rea que t l'nic recinte tancat limitat per les grfiques de les funcions i representat en el dibuix segent:

[PAU00J3Q1] El polinomi s'anulla per a x = 2 i compleix .

Calculeu raonadament a i b.

[PAU00S2Q2] Calculeu per integraci la superfcie del recinte delimitat per les corbes i la recta d'equaci representat en el dibuix segent:

[PAU01S2Q1] a) Quin s l'angle x en radians (0 < x < ) tal que sin(x) = cos(x)?

b) Considereu les funcions f(x) = sin(x) i g(x) = cos(x). Calculeu la superfcie del recinte delimitat superiorment per les grfiques d'aquestes funcions, inferiorment per l'eix d'abscisses i lateralment per les rectes verticals x = 0 i x = representat en l'esquema segent:

[PAU01S5Q4] Calculeu l'rea de la regi limitada per la grfica de la funci per a , l'eix d'abscisses i la recta vertical x = 1.

MATRIUS I SISTEMES D'EQUACIONS LINEALS

[PAU97S4BQ4] Expliqueu qu vol dir que un sistema d'equacions lineals sigui compatible i qu vol dir que sigui indeterminat. Poden haver-hi sistemes que siguin a la vegada incompatibles i indeterminats? Digueu finalment per a quins valors del parmetre a el sistema d'equacions segent s indeterminat, i per a quins valors de a s incompatible:

[PAU98J3Q1] Donada la matriu , utilitzeu la matriu inversa per trobar una matriu X tal que BXB = .

[PAU98S5Q4] Discutiu el sistema d'equacions

segons els valors del parmetre a.

[PAU99J1Q1] Resoleu el sistema segent per als valors de k que el facin compatible

[PAU00J1Q3] Donat el sistema d'equacions

a) Afegiu-hi una equaci lineal de manera que el sistema resultant sigui incompatible.

b) Afegiu-hi una equaci lineal de manera que el sistema resultant sigui compatible indeterminat. Resoleu el sistema que s'obtingui.

[PAU00J3Q3] Se sap que el sistema d'equacions

t ms d'una soluci.

Calculeu a i digueu quina s la interpretaci geomtrica que t el conjunt de totes les solucions d'aquest sistema.

GEOMETRIA DE L'ESPAI

[PAU97J2BQ3] Estudieu la posici relativa de les dues rectes r i s de l'espai donades per les equacions segents:

[PAU97J3AQ4] Estudieu, segons els diferents valors que pot tenir el parmetre m, les posicions relatives del pla p i de la recta r que es donen a continuaci:

[PAU97S1AQ2]. a) Si A, B i M sn tres punts de l'espai que compleixen la relaci

digueu quin ser el valor de r a l'expressi

b) Si la relaci anterior entre vectors s'hagus produt al pla i les coordenades de A i B fossin respectivament (3, 5) i (5, 7), quines serien les coordenades del punt M? Justifiqueu la resposta.

[PAU97S4AQ3] Un vector de l'espai forma un angle de 60 graus amb l'eix de les x i de 30 graus amb l'eix de les y. Sabent que les seves dues primeres coordenades sn positives i que el seu mdul s 7, calculeu les seves tres coordenades.

[PAU97S4BQ3] Considereu els punts de l'espai O (0, 0, 0), A (1, 1, 2) i B (1, 1, 3). Expresseu el vector OA com a suma d'un vector de la mateixa direcci que OB i d'un vector perpendicular a OB. Calculeu la distncia del punt A a la recta determinada per O i per B.

[PAU98J3Q2] Trobeu les equacions d'un pla parallel al pla d'equaci i que dista d'aquest sis unitats. N'hi ha ms d'un, de pla, que compleixi aquestes condicions ?

[PAU98J6Q3] Sigui el pla de l'espai que passa pel punt (0, 0, 3) i que cont els vectors i . Sigui r la recta d'equacions:

a) Escriviu l'equaci cartesiana de pla (equaci de la forma ax+by+cz=d).

b) Estudieu la posici relativa de r respecte a (heu de dir si r s parallela a , si est continguda en o b si talla )

[PAU98J6Q4] a) Sigui P un punt de l'espai, i , un pla. Definiu el concepte de distncia del punt P al pla .

b) Sigui P en punt de coordenades (1, 1, 0), i , el pla d'equaci . Trobeu la distncia de P a .

[PAU98S5P2] Donat el pla d'equaci i sent A, B i C els punts d'intersecci d'aquest pla amb els eixos de coordenades OX, OY i OZ, respectivament:

a) Determineu les coordenades dels punts A, B i C.

b) Determineu les equacions de la recta perpendicular al pla que passa per l'origen de coordenades.

c) Calculeu el volum del tetredre determinat per OABC, on O s l'origen de coordenades.

d) Calculeu la distncia de l'origen de coordenades al pla . Determineu l'rea del triangle ABC (podeu utilitzar el volum calculat en l'apartat anterior).

[PAU98S2Q2] Donat el pla d'equaci i el punt H = (1, 3, 2), determineu les coordenades de la projecci ortogonal de H sobre . (Recordeu que la projecci ortogonal d'un punt H sobre un pla s el peu de la perpendicular a traada des de H.)

[PAU99J1P2] Donat el tetredre de vrtexs A = (0, 0, 0), B = (1, 1, 1), C = (3, 0, 0) i D = (0, 3, 0)

a) Calculeu l'equaci del pla que cont la cara BCD i la del pla que cont la cara ACD.

b) Calculeu les equacions de dues de les altures del tetredre, la que passa pel vrtex A i la que passa pel vrtex B, respectivament. (Nota: altura d'un tetredre s la recta que passa per un vrtex i s perpendicular al pla que determina la cara oposada.)

c) Comproveu que les dues altures anteriors es tallen en un punt P.

d) Comproveu si la recta que uneix qualsevol vrtex del tetredre amb P s perpendicular a la cara oposada (i s, per tant, una altura del tetredre).

[PAU99J6Q4] Considereu les rectes i

Comproveu que aquestes dues rectes sn paralleles i calculeu l'equaci del pla que les cont.

[PAU99S2Q2] Considereu la recta r de l'espai d'equacions

Trobeu l'equaci cartesiana del pla que cont r i que passa pel punt P = (1, 1, 1) (equaci cartesiana vol dir la de la forma ax + by + cz = d).

[PAU99S2Q3] Si el rang de la matriu d'un sistema de tres equacions amb tres incgnites s 2 i el de la matriu ampliada s 3, quines interpretacions geomtriques podeu donar a aquest sistema? Doneu un exemple de sistema amb aquestes caracterstiques i la seva interpretaci geomtrica.

[PAU99S2P2] Donats els punts de l'espai A = (2, 1, 0), B = (0, 2, 0), C = (3, 0, 0) i D = (0, 1, 0)

a) Sn coplanaris? Formen un parallelogram?

b) Calculeu l'rea del polgon ABCD.

c) Calculeu el punt simtric del punt E = (1, 1, 2) respecte del pla que determinen A, B i C.

d) Calculeu la distncia entre la recta que passa per E i A i la recta que passa per B i C.

[PAU99S5Q2] Donades les rectes i

Calculeu l'equaci del pla parallel a les dues rectes que passa per l'origen.

[PAU00J1P2] Donats el pla d'equaci x + 2y + 3z 1 = 0, la recta r d'equacions

i el punt P = (2, 1, 1), calculeu:

a) Unes equacions de la recta que passa per P i s perpendicular a .

b) L'equaci del pla que passa per P i s perpendicular a la recta r.

c) Unes equacions de la recta que passa per P i talla perpendicularment r.

d) Unes equacions de la recta que passa per P, s parallela al pla i tal que el seu vector director s perpendicular al de r.

[PAU00J3P2] Un quadrat de l'espai t tres dels seus vrtexs consecutius situats en els punts de coordenades enteres P = (3, 2, 4), Q = (a, 1, a + 1) i R = (2, 3, 0).

a) Tenint en compte que els vectors i han de ser perpendiculars, calculeu el valor del nombre enter a.

b) Calculeu l'equaci del pla que cont aquest quadrat.

c) Calculeu el quart vrtex d'aquest quadrat.

d) Calculeu l'rea d'aquest quadrat.

[PAU00S2Q3] Donats els vectors , i

a) Determineu si sn vectors linealment dependents o independents.

b) Calculeu la relaci que hi ha d'haver entre els valors de a i b per tal que el vector (a, 1, b) sigui combinaci lineal de i

[PAU00S2P2] Considereu la recta

el pla, on a s un parmetre.

a) Per a quin valor de a la recta i el pla sn parallels? Quina ser llavors la distncia entre el punt P = (1, 0, 1) de la recta i el pla?

b) Existeix algun valor de a per al qual la recta i el pla siguin perpendiculars?

c) Determineu el valor de a perqu la recta i el pla formin un angle de 30.

[PAU00S6Q3] Calculeu el peu de la recta perpendicular a la recta (x, y, z) = (1, 1, 1) + (0, 1, 1) traada des del punt (1, 0, 1).

[PAU00S6P1] Considereu la recta r de l'espai que passa pel punt P = (1, 1, 3) i t per vector director = (1 a, a, 1). Sigui el pla que t per equaci 2x + y z = 1.

a) Determineu per a cada valor del parmetre a la posici relativa de la recta r respecte al pla (parallela, continguda o amb un punt d'intersecci).

b) Hi ha alguna de les rectes r que sigui perpendicular al pla ?

c) Calculeu la distncia que hi ha entre el punt P i el pla .

[PAU01S2Q3] Donats els punts de l'espai A = (2, 0, 0), B = (0, 1, 0) i C = (0, 0, 3).

a) Determineu l'equaci del pla que els cont.

b) Calculeu l'equaci de la recta r perpendicular al pla i que passa per l'origen.

[PAU01S5P1] Considereu a l'espai la recta r d'equacions i la recta s d'equacions

a) Determineu el punt de tall de la recta r amb el pla z = 0.

b) Comproveu que les rectes r i s sn paralleles i calculeu la distncia entre elles.

c) Quina s l'equaci del pla que cont les dues rectes?

d) Calculeu la distncia del pla anterior a l'origen de coordenades.

_1049742986.unknown

_1049747985.unknown

_1049751479.unknown

_1049828300.unknown

_1063136759.unknown

_1063137202.unknown

_1063137363.unknown

_1063137581.unknown

_1063137613.unknown

_1063137378.unknown

_1063137235.unknown

_1063137006.unknown

_1063137025.unknown

_1063136819.unknown

_1063136155.unknown

_1063136230.unknown

_1049828309.unknown

_1049828318.unknown

_1049828303.unknown

_1049752692.unknown

_1049828287.unknown

_1049828297.unknown

_1049752841.unknown

_1049827623.unknown

_1049752711.unknown

_1049751833.unknown

_1049752237.unknown

_1049752328.unknown

_1049752290.unknown

_1049752200.unknown

_1049751739.unknown

_1049751758.unknown

_1049751695.unknown

_1049751711.unknown

_1049751679.unknown

_1049750167.unknown

_1049751193.unknown

_1049751254.unknown

_1049751405.unknown

_1049751427.unknown

_1049751269.unknown

_1049751242.unknown

_1049750429.unknown

_1049750682.unknown

_1049751001.unknown

_1049750835.unknown

_1049750648.unknown

_1049750430.unknown

_1049750262.unknown

_1049749708.unknown

_1049750135.unknown

_1049750151.unknown

_1049749731.unknown

_1049748810.unknown

_1049749181.unknown

_1049749677.unknown

_1049749691.unknown

_1049749631.unknown

_1049749133.unknown

_1049748862.unknown

_1049748697.unknown

_1049748753.unknown

_1049748786.unknown

_1049748739.unknown

_1049748023.unknown

_1049748115.unknown

_1049748638.unknown

_1049744535.unknown

_1049747788.unknown

_1049747960.unknown

_1049747817.unknown

_1049747622.unknown

_1049744075.unknown

_1049744133.unknown

_1049744272.unknown

_1049744195.unknown

_1049744100.unknown

_1049743335.unknown

_1049743398.unknown

_1049743451.unknown

_1049743363.unknown

_1049743061.unknown

_1049743082.unknown

_1049645995.unknown

_1049654905.unknown

_1049655157.unknown

_1049742161.unknown

_1049742392.unknown

_1049742795.unknown

_1049742287.unknown

_1049742052.unknown

_1049655043.unknown

_1049655085.unknown

_1049654432.unknown

_1049654849.unknown

_1049646100.unknown

_1049618042.unknown

_1049618428.unknown

_1049618545.unknown

_1049644812.unknown

_1049644832.unknown

_1049618757.unknown

_1049644748.unknown

_1049618728.unknown

_1049618477.unknown

_1049618509.unknown

_1049618457.unknown

_1049618165.unknown

_1049618183.unknown

_1049618121.unknown

_1049617425.unknown

_1049617524.unknown

_1049617744.unknown

_1049617824.unknown

_1049617840.unknown

_1049617634.unknown

_1049617457.unknown

_1049408254.unknown

_1049408268.unknown

_1049408423.unknown

_1049408155.unknown

_1049407659.unknown