Mate Ma Tika

Ganesha Study Club Matematika 9 SMP

Bab 1

Bilangan1. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif.

2. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat.

a. Sifat tertutup

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku: a + b = c dengan c juga bilangan bulat.

b. Sifat komutatif

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku: a + b = b + a

c. Sifat asosiatif

Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku: (a + b) + c = a + (b + c)

d. Mempunyai unsur identitas

Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku: a + 0 = 0 + a.

Bilangan nol (0) merupakan unsur identitas pada penjumlahan.

e. Mempunyai invers

Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku: a + (–a) = (–a) + a = 0.

Invers dari a adalah –a, sedangkan invers dari –a adalah a.

3. Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku: a – b = a + (–b).

4. Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.

5. Jika n adalah sebarang bilangan bulat positif maka berlaku

6. Jika p dan q bilangan bulat maka

a. p x q = pq c. p x (–q) = –(p x q) = –pq

b. (–p) x q = –(p x q) = –pq d. (–p) x (–q) = p x q = pq

7. Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifat

a. tertutup terhadap operasi perkalian;

b. komutatif: p x q = q x p

c. asosiatif: (p x q) x r = p x (q x r)

d. distributif perkalian terhadap penjumlahan: p x (q + r) = (p x q) + (p x r)

e. distributif perkalian terhadap pengurangan: p x (q – r) = (p x q) – (p x r)

8. Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiap bilangan bulat p berlaku: p x 1 = 1 x p = p

9. Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian.

10. Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.

11. a2 = b sama artinya dengan:

12. a3 = b sama artinya dengan:

13. Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan

sifatsifat operasi hitung berikut.

a. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan

terlebih dahulu.

b. Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan

terlebih dahulu.

c. Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–),

artinya operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan

pengurangan (–).

http://ganeshastudyclub.blogspot.com/ Do the Best for your life

1

http://ganeshastudyclub.blogspot.com/


BAB 2

PECAHAN1. Pecahan merupakan bilangan yang menggambarkan bagian dari keseluruhan.Pecahan adalah bilangan yang dapat

dinyatakan sebagai ; dengan p, q bilangan bulat dan q ≠ 0. Bilangan p disebut pembilang dan q disebut penyebut.

2. Pecahan senilai adalah pecahan-pecahan yang bernilai sama. Pecahan senilai diperoleh dengan cara mengalikan atau

membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama.Suatu pecahan, , q ≠ 0 dapat disederhanakan

dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan faktor persekutuan terbesarnya.

3. Jika penyebut kedua pecahan berbeda, untuk membandingkan pecahan tersebut, nyatakan menjadi pecahan yang

senilai, kemudian bandingkan pembilangnya.

4. Pada garis bilangan, pecahan yang lebih besar berada di sebelah kanan, sedangkan pecahan yang lebih kecil berada di

sebelah kiri.

5. Di antara dua pecahan yang berbeda selalu dapat ditemukan pecahan yang nilainya di antara dua pecahan tersebut.

6. Setiap bilangan bulat p, q dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan , di mana p merupakan kelipatan dari q, q ≠ 0.

10. Bentuk pecahan campuran dengan r ≠ 0 dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa:

11. Untuk mengubah bentuk pecahan ke bentuk persen dapat dilakukan dengan cara mengubah pecahan semula menjadi

pecahan senilai dengan penyebut 100. Jika hal itu sulit dilakukan maka dapat dilakukan dengan cara mengalikan

pecahan tersebut dengan 100%.

12. Untuk menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan dua pecahan, samakan penyebut kedua pecahan tersebut,

yaitu dengan cara mencari KPK dari penyebut-penyebutnya, kemudian baru dijumlahkan atau dikurangkan

pembilangnya.

13. Untuk menentukan hasil perkalian dua pecahan dilakukan dengan cara mengalikan pembilang dengan pembilang dan

penyebut dengan penyebut.

14. Invers perkalian dari pecahan adalah atau invers perkalian dari adalah

15. Suatu bilangan jika dikalikan dengan invers perkaliannya hasilnya sama dengan 1.

16. Untuk sebarang pecahan dan dengan q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 berlaku:

17. Untuk sebarang bilangan bulat p dan p, q ≠ 0 dan m bilangan bulat positif berlaku:

Bilangan pecahan disebut sebagai bilangan pokok.

18. Untuk sebarang bilangan bulat p, q dengan q ≠ 0 dan m, n bilangan bulat positif berlaku sifat-sifat berikut:

19. Penjumlahan dan pengurangan pecahan desimal dilakukan pada masing-masing nilai tempat dengan cara bersusun.

Urutkan angka-angka ratusan, puluhan, satuan, persepuluhan, perseratusan dan seterusnya dalam satu kolom.

20. Hasil kali bilangan desimal dengan bilangan desimal diperoleh dengan cara mengalikan bilangan tersebut seperti

mengalikan bilangan bulat. Banyak desimal hasil kali bilangan-bilangan desimal diperoleh dengan menjumlahkan

banyak tempat desimal dari pengali-pengalinya.

21. Bentuk baku bilangan lebih dari 10 dinyatakan dengan: a x 10n dengan 1 ≤ a < 10 dan n bilangan asli.


2



22. Bentuk baku bilangan antara 0 sampai dengan 1 dinyatakan dengan: a x 10–n dengan 1 ≤ a < 10 dan n bilangan asli.

BAB 3

Persamaan, Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Dan Dua VariabelA. Persamaan

1. Pernyataan adalah kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya (bernilai benar atau bernilai salah). Kalimat

terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya. Himpunan penyelesaian

dari kalimat terbuka adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga

kalimat tersebut bernilai benar. Persamaan adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=).

2. Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan hanya

mempunyai satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah ax + b = 0 dan a

≠ 0.

3. Penyelesaian persamaan linear adalah pengganti variabel x yang menyebabkan persamaan bernilai benar.

4. Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dan

dinotasikan dengan tanda “ ↔ ”.

5. Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen dengan cara:

a. menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama;

b. mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

B. Pertidaksamaan

1. Suatu ketidaksamaan selalu ditandai dengan salah satu tanda hubung berikut.

a. “<” untuk menyatakan kurang dari.

b. “>” untuk menyatakan lebih dari.

c. “ ≥ ” untuk menyatakan tidak lebih dari atau kurang dari atau sama dengan.

d. “ ≥ ” untuk menyatakan tidak kurang dari atau lebih dari atau sama dengan.

2. Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan ketidaksamaan (>, <, ≥ , atau ≥ ).

3. Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel, dapat dilakukan dalam dua cara sebagai

berikut.

a. Mencari lebih dahulu penyelesaian persamaan yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda

ketidaksamaan dengan tanda “=”.

b. Menyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen.

C. Persamaan Linear Satu Variabel (SPLSV)

Persamaan Linear Satu Variabel adalah suatu persamaan matematik yang memiliki satu jenis variabel.

Misal, x + 5 = 6, variabelnya x

8p + 6 = 24, variabelnya p

D. Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah sistem yang memiliki dua persamaan matematik dengan

dua jenis variabel dan memiliki himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan linear dua variabel

tersebut.

4. Metode grafik adalah salah satu cara menyelesaikan SPLDV berupa dua garis lurus dan dapat ditemukan titik

potong dari dua garis lurus tersebut, dengan langkah-langkah penyelesaian sebagai berikut:

(1) Tentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y pada masing-masing persamaan linear dua variabel.

(2) Gambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius.

(3) Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV


3



5. Metode Substitusi adalah salah satu cara menyelesaikan SPLDV dengan menyatakan salah satu variabel dalam

bentuk variabel lain, kemudian nilai variabel tersebut menggantikan variabel yang sama dalam persamaan yang

lain, dengan langkah-langkah penyelesaian sebagai berikut:

(1) Tuliskan masing-masing persamaan dalam bentuk persamaan (1) dan (2).

(2) Pilih salah satu persamaan, misalkan persamaan (1). Kemudian, nyatakan salah satu variabelnya dalam

bentuk variabel lainnya.

(3) Nilai variabel y pada persamaan (3) menggantikan variabel y pada persamaan (2).

(4) Nlai x pada persamaan (4) menggantikan variabel x pada salah satu persamaan awal, misalkan persamaan

(1).

(5) Tentukan penyelesaian SPLDV

6. Metode Eliminasi adalah salah satu cara menyelesaikanSPLDV dengan menghilangkan salah satu variabel untuk

dapat menentukan nilai variabel yang lain, dengan langkah-langkah penyelesaian sebagai berikut:

(1) Hilangkan salah satu variabel dari SPLDV tersebut. Misalkan, variabel y yang akan dihilangkan maka kedua

persamaan harus dikurangkan.

(2) Hilangkan variabel yang lain dari SPLDV tersebut, yaitu variabel x. Perhatikan koefisien x pada SPLDV

tersebut, jika tidak sama. Jadi, harus disamakan terlebih dahulu.

(3) Tentukan penyelesaian SPLDV tersebut.

Bab 3

Faktorisasi AljabarA. Bentuk Aljabar

1. Beberapa macam bentuk aljabar dijelaskan berikut ini.

- Suku satu (monomial) dapat berupa angka, variabel.

- Suku banyak (polinomial) adalah penjumlahan dan pengurangan dari beberapa suku satu.

- Polinomial dengan dua suku disebut suku dua (binomial)

- Polinomial dengan tiga suku disebut suku tiga (trinomial)

2. Variabel, konstanta, faktor, serta suku sejenis dan tak sejenis.

a. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas.

b. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel.

c. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.

d. Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak

sama

B. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Pada dasarnya, sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku pada bilangan riil, berlaku juga untuk

penjumlahan dan pengurangan pada bentuk-bentuk aljabar, sebagai berikut.

a. Sifat Komutatif → a + b = b + a, dengan a dan b bilangan riil

b. Sifat Asosiatif → (a + b) + c = a + (b +c), dengan a, b, dan c bilangan riil

c. Sifat Distributif → a (b + c) = ab + ac, dengan a, b, dan c bilangan riil

1. Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar dilakukan pada suku-suku yang sejenis.

2. Untuk menyederhanakan suatu bentuk aljabar dapat digunakan berbagai cara, yaitu:

- Mengelompokkan suku-suku sejenis, kemudian menghitungnya.

- Menggabungkan suku-suku sejenis dengan cara menjumlahkan koefisien-koefisiennya.


4



C. Perkalian dan pembagian Bentuk Aljabar

1. Perkalian suku dua bentuk aljabar dengan cara skema, yaitu: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

a. Sifat distributive merupakan konsep dasar perkalian pada bentuk aljabar. Secara skema, perkalian ditulis

2. Rumus perpangkatan suku dua bentuk aljabar adalah :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

3. Perpangkatan suku dua bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menggunakan pola segitiga Pascal.

4. Rumus pemfaktoran suku dua bentuk aljabar adalah:

a. Sifat distributif → ax + ay = a(x + y)

b. Selisih dua kuadrat → (a2 – b2) = (a + b)(a – b)

c. Pemfaktoran bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1 → ax2 + bx + c = x2 + (p + q)x + pq = (x + p) (x +

q)

d. Pemfaktoran Bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1

1) Uraikan bx menjadi penjumlahan dua suku yang apabila kedua suku tersebut dikalikan hasilnya sama

dengan (ax2)(c).

2) Faktorkan bentuk yang diperoleh menggunakan sifat distributif

D. Pecahan dalam Bentuk Aljabar

1. Penjumlahan dan pengurangan dalam Bentuk Aljabar

Cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan bentuk aljabar adalah sama dengan menjumlahkan dan

mengurangkan pada pecahan biasa, yaitu dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu. Perkalian dan

Pembagian Pecahan Bentuk Aljabar

2. Perkalian dalam Bentuk Aljabar

Cara mengalikan pecahan bentuk aljabar sama dengan mengalikan pecahan biasa, yaitu

3. Pembagian dalam Bentuk Aljabar

Aturan pembagian pada pecahan bentuk aljabar sama dengan aturan pembagian pada pecahan biasa, yaitu :

4. Menyederhanakan pecahan bentuk aljabar, adalah dengan membagi pembilang dan penyebut dengan faktor

persekutuan dari pembilang dan penyebut tersebut

BAB 4

PERBANDINGAN DAN ARITMETIKA SOSIAL


5



1. Harga pembelian, harga penjualan, untung, dan rugi.

a. Harga pembelian adalah harga barang dari pabrik, grosir, atau tempat lainnya.

b. Harga penjualan adalah harga barang yang ditetapkan oleh pedagang kepada pembeli.

c. Untung atau laba adalah selisih antara harga penjualan dengan harga pembelian jika harga penjualan lebih dari

harga pembelian. Untung = harga penjualan – harga pembelian

d. Rugi adalah selisih antara harga penjualan dengan harga pembelian jika harga penjualan kurang dari harga

pembelian. Rugi = harga pembelian – harga penjualan

2. Menentukan persentase untung atau rugi

a. Persentase untung =

b. Persentase rugi =

3. Menentukan harga pembelian dan harga penjualan jika persentase untung atau rugi diketahui.

a. Jika untung maka berlaku

- harga penjualan = harga pembelian + untung

- harga pembelian = harga penjualan – untung

b. Jika rugi maka berlaku

- harga penjualan = harga pembelian – rugi

- harga pembelian = harga penjualan + rugi

4. Bruto, tara, dan neto

a. Bruto = neto + tara b. Neto = bruto – tara c. Tara = bruto – neto

5. Persen tara dan harga bersih

a. Tara = persen tara x bruto

b. Harga bersih = neto x harga/satuan berat

6. Ada dua jenis bunga tabungan, yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Bunga tunggal adalah bunga yang dihitung

berdasarkan besarnya modal saja, sedangkan bunga majemuk adalah bunga yang dihitung berdasarkan besarnya modal

dan bunga.

7. Pajak adalah suatu kewajiban yang dibebankan kepada masyarakat untuk menyerahkan sebagian kekayaan kepada

negara menurut peraturan-peraturan yang telah ditetapkan pemerintah.

8. Ada dua cara dalam membandingkan dua besaran sebagai berikut.

a. Dengan mencari selisih.

b. Dengan mencari hasil bagi.

9. Menyederhanakan perbandingan hanya dapat dilakukan pada dua besaran yang sejenis.

10. Skala adalah perbandingan antara jarak pada gambar dengan jarak sebenarnya. Pada gambar berskala selalu berlaku

hal berikut.

a. Mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk.

b. Ukuran dapat diperbesar atau diperkecil.

12. Pada perbandingan senilai, nilai suatu barang akan naik/turun sejalan dengan nilai barang yang dibandingkan. Grafik

perbandingan senilai berupa garis lurus.

13. Pada perbandingan berbalik nilai, jika nilai sebuah barang naik maka nilai barang yang dibandingkan akan turun atau

sebaliknya. Grafik perbandingan berbalik nilai berupa kurva mulus.

14. Perbandingan antara dua besaran dapat dinyatakan dengan tabel seperti berikut.

Variabel Pertama Variabel Kedua


6



a ↔ p b ↔ q

(i.) Pada perbandingan senilai berlaku:

(ii.) Pada perbandingan berbalik nilai berlaku:

Bab 5


7



Himpunan1. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang ciri-cirinya jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek

yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

2. Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda

atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

3. Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpunan, dan

dengan mendaftar anggota-anggotanya.

4. Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga. Himpunan yang memiliki banyak

anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.

5. Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan

yang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan S.

6. Himpunan Bagian

a. Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan dinotasikan:

A ⊂ B atau B ⊃ A

b. Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jika terdapat anggota A yang bukan anggota B dan

dinotasikan:

A ⊄ B

c. Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan A sendiri, ditulis: A ⊂ A

d. Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah 2n, dengan n banyaknya anggota himpunan

tersebut.

e. Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan tersebut tidak

mempunyai anggota persekutuan.

f. Dua himpunan dikatakan sama, jika kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.

g. Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika; n(A) = n(B)

7. Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua

himpunan tersebut. Irisan himpunan A dan B dinotasikan dengan: A ¿ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

8. Gabungan (union) himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota-anggota A atau

anggota-anggota B. Gabungan himpunan A dan B dinotasikan dengan: A ¿ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}

Banyak anggota dari gabungan himpunan A dan B dirumuskan dengan: n(A ¿ B) = n(A) + n(B) – n(A ¿ B)

9. Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif.

Bab 6

Fungsi Dan Persamaan Garis LurusA. Fungsi

1. Relasi antara dua himpunan A dan B adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan A dengan

anggota – anggota himpunan B.

2. Relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu diagram panah, himpunan pasangan terurut, dan diagram

Cartesius.

3. Fungsi atau pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

4. Setiap fungsi mempunyai domain (daerah asal), kodomain (daerah kawan), dan range (daerah hasil).


8



5. Suatu fungsi dinotasikan oleh f : x → ax + b dan x anggota domain f, rumus fungsi f adalah f(x) = ax + b.

6. Grafik fungsi, terdapat beberapa langkah untuk menggambarkan suatu grafik fungsi, sebagai berikut:

(1) Tentukan domainnya. Untuk memudahkan, ambil beberapa bilangan bulat di sekitar nol.

(2) Buat tabel pasangan berurutan fungsi tersebut.

(3) Gambarkan noktah-noktah pasangan berurutan tersebut pada bidang Cartesius. Kemudian, hubungkan

noktah-noktah itu dengan garis lurus

B. Persamaan Garis Lurus

1. Persamaan garis lurus adalah persamaan matematika yang jika digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius

akan membentuk sebuah garis lurus. Cara menggambar persamaan garis lurus adalah dengan menentukan nilai x

atau y secara acak. Untuk memudahkan menggambar persamaan garis lurus:

1) tentukan titik yang memotong sumbu-y dengan cara memisalkan x = 0.

2) Kemudian, tentukan titik yang memotong sumbu-x dengan cara memisalkan y = 0.

2. Dalam koordinat Cartesius, setiap titik di nyatakan dengan pasangan terurut ( x, y) di mana koordinat x disebut

absis dan koordinat y disebut ordinat.

3. Gradien adalah tingkat kemiringan garis. Gradien dilambangkan dengan m.

Mencari gradien garis dengan persamaan ax + by + c = 0 adalah dengan menghitung nilai

4. Berbagai bentuk persamaan garis, antara lain:

a. y = mx b. y = mx + c c. ax + by + c + 0

C. Gradien

1. Gradien garis yang melalui dua titik dicari dengan rumus:

2. Gradien garis yang sejajar dengan sumbu-x adalah nol.

3. Garis yang sejajar dengan sumbu-y tidak mempunyai gradien.

4. Garis yang saling sejajar memiliki gradien yang sama. → m1 = m2

5. Hasil kali gradien garis yang saling tegak lurus adalah –1. → m1 x m2 = -1

6. Rumus untuk menentukan persamaan garis dari gradien dan titik koordinat, yaitu: y – y1 = m (x – x1)

7. Rumus untuk menentukan persamaan garis dari dua titik koordinat, yaitu:

8. Menentukan Koordinat Titik Potong dari Dua Garis Lurus

Ada dua cara yang dapat digunakan, yaitu :

a. Cara menggambar (cara grafik)

Dua persamaan garis digambar ke dalam bidang koordinat Cartesius sehingga koordinat titik potong kedua garis

tersebut dapat dilihat dari gambar

b. Cara substitusi.

Salah satu variabel dari persamaan garis yang diketahui dimasukkan (disubstitusikan) ke dalam variabel yang

sama dari persamaan garis yang lain, dengan langkah-langkah penyelesaian sebagai berikut:

(1) Ambil salah satu persamaan garis

(2) Tentukan salah satu variabel dari garis tersebut.

(3) Substitusikan nilai y tersebut ke dalam persamaan garis yang lain.

(4) Substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan garis.

Bab 7

Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun DatarA. Kesebangunan


9



1. Bangun Datar

Dua atau lebih bangun dikatakan sebangun jika memenuhi syarat-syarat berikut:

a. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang senilai

b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

2. Segitiga

Jika dalam suatu segitiga terdapat garis yang sejajar dengan salah satu sisi segitiga tersebut, maka garis sejajar

tersebut membagi kedua sisi lainnya pada segitiga itu atas dua ruas garis dengan perbandingan yang sama.

Syarat kesebangunan pada dua atau lebih segitiga adalah:

a. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian senilai (s.s.s)

b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar (sd.sd.sd)

c. Dua sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama dan sudut bersesuaian yang diapit sama besar

(s.sd.s)

B. Kekongruenan

1. Bangun Datar

Dua atau lebih bangun dikatakan kongruen jika memenuhi syarat-syarat berikut:

a. Bentuk dan ukurannya sama

b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar (sd.sd.sd)

2. Segitiga

Dua segitiga yang kongruen mempunyai sifat, yaitu sisi-sisi yang seletak sama panjang dan sudut-sudut yang

seletak sama besar.

Syarat kekongruenan dua atau lebih segitiga adalah:

a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (s.s.s)

b. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit sama besar (s.sd.s)

c. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang (sd.sd.s)

Bab 8

Segitiga, Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada SegitigaA. Segitiga

1. Segitiga siku-siku dapat dibentuk dari sebuah persegi panjang yang dipotong menurut diagonalnya. Besar salah

satu sudut pada segitiga siku-siku adalah 90o.

2. Sifat-sifat segitiga sama kaki:

a. dapat dibentuk dari dua buah segitiga siku-siku yang sama besar dan sebangun;

b. mempunyai satu sumbu simetri;

c. mempunyai dua buah sisi yang sama panjang;

d. mempunyai dua buah sudut yang sama besar;

e. dapat menempati bingkainya dengan tepat dalam dua cara.

3. Sifat-sifat segitiga sama sisi:

a. mempunyai tiga buah sumbu simetri;

b. mempunyai tiga buah sisi yang sama panjang;

c. mempunyai tiga buah sudut yang sama besar (60o);

d. dapat menempati bingkainya dengan tepat dalam enam cara.

4. Jumlah ketiga sudut segitiga adalah 180o.

5. Ketidaksamaan segitiga Jumlah dua buah sisi pada segitiga selalu lebih panjang daripada sisi ketiga.


10



6. Pada setiap segitiga berlaku sudut terbesar terletak berhadapan dengan sisi terpanjang, sedangkan sudut terkecil

terletak berhadapan dengan sisi terpendek.

7. Besar sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berpelurus dengan sudut luar

tersebut.

a. Keliling segitiga yang panjang sisinya a, b, dan c adalah: K = a + b + c

b. Luas segitiga dengan panjang alas (a) dan tinggi (t) adalah:

B. Pythagoras

Pythagoras adalah seorang ahli matematika dan filsafat berkebangsaan Yunani yang hidup pada tahun 569–475

sebelum Masehi. Sebagai ahli metematika, ia mengungkapkan bahwa kuadrat panjang sisi miring suatu segitiga siku-

siku adalah sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi yang lain.

1. Teorema Pythagoras menyatakan bahwa kuadrat panjang sisi miring segitiga siku-siku adalah sama dengan

jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya. Selain menghitung panjang sisi segitiga siku-siku, teorema Pythagoras pun dapat

digunakan untuk menentukan jenis-jenis segitiga. Berdasarkan besar sudutnya segitiga dibagi menjadi tiga jenis,

yaitu:

a. Segitiga lancip, semua titik sudutnya berukuran kurang dari 90˚.

b. Segitiga siku-siku, salah satu titik sudutnya berukuran 90˚

c. Segitiga tumpul, salah satu titik sudutnya berukuran lebih dari 90˚

2. Teorema Pythagoras ditulis sebagai berikut.

3. Tiga bilangan asli yang memenuhi teorema Pythagoras disebut tripel Pythagoras, yang juga merupakan tetapan

phytagoras.

a c b3 4 55 7 127 24 258 15 179 40 41

11 60 61C. Garis-Garis pada Segitiga

4. Proyeksi merupakan dasar perhitungan garis tinggi pada segitiga. Proyeksi sebuah

titik adalah pembentukan bayangan suatu titik terhadap satu bidang, dengan syarat

garis hubung titik dan titik hasil proyeksinya harus tegak lurus dengan bidang

tersebut. Berdasarkan materi persamaan garis lurus , dapat diuraikan sebagai berikut:

a. Menentukan panjang proyeksi titik P (x1, y1), jika titik hasil proyeksi P' (x2, y2)

diketahui.

b. Menentukan panjang proyeksi titik P (x1, y1), jika persamaan garis ax + by + c = 0 diketahui.

Bab 9

Segi Empat1. Persegi panjang adalah bangun segi empat dengan panjang sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar. Sifat-sifat

persegi panjang sebagai berikut:

a. Mempunyai empat sisi, dengan sepasang sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.

b. Keempat sudutnya sama besar dan merupakan sudut siku-siku (90o).

c. Kedua diagonalnya sama panjang dan berpotongan membagi dua sama besar.


11



d. Dapat menempati bingkainya kembali dengan empat cara.

e. Keliling: K = 2(p + l)

f. Luas: L = p x l

2. Persegi adalah bangun segi empat yang memiliki empat sisi sama panjang dan empat sudut siku-siku.

a. Sifat-sifat persegi sebagai berikut:

(i) Semua sifat persegi panjang merupakan sifat persegi.

(ii) Suatu persegi dapat menempati bingkainya dengan delapan cara.

(iii) Semua sisi persegi adalah sama panjang.

(iv) Sudut-sudut suatu persegi dibagi dua sama besar oleh diagonal- diagonalnya.

(v) Diagonal-diagonal persegi saling berpotongan sama panjang membentuk sudut siku-siku.

b. Keliling: K = 4s

c. Luas: L = s2

3. Jajargenjang adalah bangun segi empat yang dibentuk dari sebuah segitiga dan bayangannya yang diputar setengah

putaran (180o) pada titik tengah salah satu sisinya.

a. Sifat-sifat jajargenjang sebagai berikut:

(i) Sisi-sisi yang berhadapan pada setiap jajargenjang sama panjang dan sejajar.

(ii) Sudut-sudut yang berhadapan pada setiap jajargenjang sama besar.

(iii) Jumlah pasangan sudut yang saling berdekatan pada setiap jajargenjang adalah 180o.

(iv) Pada setiap jajargenjang kedua diagonalnya saling membagi dua sama panjang.

b. Keliling: K = 2(a + b)

c. Luas: L = a x t

4. Belah ketupat adalah bangun segi empat yang dibentuk dari gabungan segitiga sama kaki dan bayangannya setelah

dicerminkan terhadap alasnya.

a. Sifat-sifat belah ketupat sebagai berikut:

(i) Semua sisi pada belah ketupat sama panjang.

(ii) Kedua diagonal pada belah ketupat merupakan sumbu simetri.

(iii) Kedua diagonal belah ketupat saling membagi dua sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus.

(iv) Pada setiap belah ketupat sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi dua sama besar oleh diagonal-

diagonalnya.

b. Keliling: K = 4s

c. Luas:

5. Layang-layang adalah segi empat yang dibentuk dari gabungan dua buah segitiga sama kaki yang alasnya sama

panjang dan berimpit.

a. Sifat laying-layang sebagai berikut:

(i) Masing-masing sepasang sisinya sama panjang.

(ii) Sepasang sudut yang berhadapan sama besar.

(iii) Salah satu diagonalnya merupakan sumbu simetri.

(iv) Salah satu diagonal layang-layang membagi diagonal lainnya menjadi dua bagian sama panjang dan kedua

diagonal itu saling tegak lurus.

b. Keliling dan luas layang-layang dengan sisi pendek a dan sisi panjang b serta diagonal d1 dan d2 adalah

K = 2(a + b)

c. Luas:

6. Trapesium adalah bangun segi empat yang mempunyai tepat sepasang sisi yang berhadapan sejajar.


12



a. Jumlah sudut yang berdekatan di antara dua sisi sejajar pada trapesium adalah 180o.

b. Trapesium sebarang adalah trapesium yang keempat sisinya tidak sama panjang.

c. Trapesium siku-siku adalah trapesium yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku (90o).

d. Trapesium sama kaki adalah trapesium yang mempunyai sepasang sisi yang sama panjang, di samping

mempunyai sepasang sisi yang sejajar.Trapesium sama kaki mempunyai ciri-ciri khusus, yaitu:

1) diagonal-diagonalnya sama panjang;

2) sudut-sudut alasnya sama besar;

3) dapat menempati bingkainya dengan dua cara.

e. Keliling dan luas trapesium dengan panjang sisi sejajar a dan b, panjang sisi tidak sejajar c dan d, serta tinggi t

adalah:

K = a + b + c + d

f. Luas:

Bab 10

Lingkaran Dan Garis Singgung LingkaranA. Lingkaran

Ada beberapa bagian lingkaran yang termasuk dalam unsur-unsur sebuah lingkaran di antaranya:

a. Titik Pusat

Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran. Titik O

merupakan titik pusat lingkaran, dengan demikian, lingkaran tersebut dinamakan

lingkaran O.

b. Jari-Jari ( r)

Jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran.

Jari-jari lingkaran ditunjukkan oleh garis OA, OB, dan OC.

c. Diameter ( d)

Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan melalui titik pusat.

Garis AB pada lingkaran O merupakan diameter lingkaran tersebut. Perhatikan bahwa AB = AO + OB. Dengan

kata lain, nilai diameter merupakan dua kali nilai jari-jarinya, ditulis bahwa d = 2r.

d. Busur

Dalam lingkaran, busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan

menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut. Garis lengkung AC (ditulis AC (), garis lengkung CB

(ditulis CB ), dan garis lengkung AB (ditulis AB ) merupakan busur lingkaran O.

e. Tali Busur

Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan

lingkaran. Berbeda dengan diameter, tali busur tidak melalui titik pusat lingkaran O. Tali busur lingkaran tersebut

ditunjukkan oleh garis lurus AC yang tidak melalui titik pusat.

f. Tembereng

Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Tembereng ditunjukkan

oleh daerah yang diarsir dan dibatasi oleh busur AC dan tali busur AC.

g. Juring

Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah

busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut. Juring lingkaran ditunjukkan oleh daerah yang diarsir

yang dibatasi oleh jari-jari OC dan OB serta busur BC, dinamakan juring BOC.

h. Apotema


13



Pada sebuah lingkaran, apotema merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur

lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur. Garis OE merupakan garis apotema

pada lingkaran O.

i. Keliling lingkaran (K) = πd ; dengan menggunakan diamter (d)

= 2πr ; dengan menggunakan jari-jari (r)

Catatan: π = 3,14 ; untuk r atau d bukan kelipatan 7 dan

π = ; untuk r atau d kelipatan 7

j. Luas lingkaran (L):

k. Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring.

l. Jika sudut pusat dan sudut keliling lingkaran menghadap busur yang sama maka besar sudut pusat adalah dua kali

dari besar sudut keliling.

m. Sudut keliling:

- Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran selalu membentuk sudut 90˚ atau sudut siku-siku.

- Semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar sudut yang sama.

- Jumlah sudut keliling yang saling berhadapan sama dengan 180°.

n. Sudut antara dua tali busur:

- Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran adalah setengah kali dari jumlah

sudut-sudut pusat yang berada di depan dan di belakangnya.

- Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan diluar lingkaran adalah setengah kali dari selisih sudut

pusat yang terletak di antara kedua kakinya

- Dua sudut yang saling bertolak belakang adalah sama. Sudut-sudut

yang saling bertolak belakang adalah sudut AOD dengan sudut BOC

dan sudut AOC dengan sudut BOD; maka besar sudut AOD = besar

sudut BOC dan besar sudut AOC = besar sudut BOD.


14

227



B. Garis singgung lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik yang disebut titik singgung

lingkaran. Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik

singgungnya. Dari satu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung. Dari satu titik di luar lingkaran

dapat dibuat dua garis singgung lingkaran. Garis singgung persekutuan adalah garis yang tepat menyinggung dua

lingkaran. Dari dua lingkaran yang saling lepas dapat dibuat dua garis singgung persekutuan luar dan dua garis

singgung persekutuan dalam.

a. Panjang garis singgung persekutuan luar (l) dapat dicari dengan:

b. Panjang garis singgung persekutuan dalam (d) dapat dicari dengan:

di mana: l = panjang garis singgung persekutuan luar

d = panjang garis singgung persekutuan dalam

k = jarak kedua titik pusat lingkaran

R = jari-jari lingkaran pertama

r = jari-jari lingkaran kedua

c. Panjang Sabuk Lilitan Minimal yang menghubungkan Dua Lingkaran:

Jika α˚ menyatakan besar sudut yang menghadap busur ASC maka

besar sudut yang menghadap busur BTD adalah 360˚ – α˚.

Panjang sabuk lilitan minimal = 2AB + ASC + BTD

dengan;

d. Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang melalui semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong

ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga.

Jari-jari (R) lingkaran luar segitiga, adalah hasil kali ketiga sisi segitiga

dibagi 4 kali luas segitiga, dinyatakan dengan rumus:

e. Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkar an yang berada di dalam segitiga dan menyinggung semua sisi segitiga

dan berpusat di titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga.

Jari-jari (r) lingkaran dalam segitiga, adalah Luas segitiga dibagi setenah

keliling segitiga, dinyatakan dengan rumus:


15



Bab 11

Bangun Ruang Sisi Datar1. Kubus

a. Sisi/Bidang

Sisi kubus adalah bidang yang membatasi kubus. Kubus memiliki 6 buah sisi

yang semuanya berbentuk persegi, yaitu ABCD (sisi bawah), EFGH (sisi atas),

ABFE (sisi depan), CDHG (sisi belakang), BCGF (sisi samping kiri), dan ADHE

(sisi samping kanan).

b. Rusuk

Rusuk kubus adalah garis potong antara dua sisi bidang kubus dan terlihat seperti kerangka yang menyusun

kubus. Kubus ABCD.EFGH memiliki 12 buah rusuk, yaitu AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG, dan

DH.

c. Titik Sudut

Titik sudut kubus adalah titik potong antara dua rusuk. Kubus ABCD. EFGH memiliki 8 buah titik sudut, yaitu

titik A, B, C, D, E, F, G, dan H.

d. Diagonal Bidang/Sisi

Garis AF yang menghubungkan dua titik sudut yang saling berhadapan dalam satu sisi/bidang. Ruas garis tersebut

dinamakan sebagai diagonal bidang.

e. Diagonal Ruang

Ruas garis HB yang menghubungkan dua titik sudut yang saling berhadapan dalam satu ruang. Ruas garis tersebut

disebut diagonal ruang.

f. Bidang Diagonal

Bidang ACGE disebut sebagai bidang diagonal.

g. Sifat-Sifat Kubus

- Semua sisi kubus berbentuk persegi.

- Semua rusuk kubus berukuran sama panjang.

- Setiap diagonal bidang pada kubus memiliki ukuran yang sama panjang.

- Setiap diagonal ruang pada kubus memiliki ukuran sama panjang.

- Setiap bidang diagonal pada kubus memiliki bentuk persegipanjang.

h. volume kubus dapat dinyatakan sebagai berikut: V = r3

i. luas Selimut kubus atau Luas sisi tegak kubus dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut: Ls = 4r2

j. luas permukaan kubus atau Luas seluruh sisi kubus, dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut: Lp = 6r2

2. Balok

a. Sisi/Bidang

Sisi balok adalah bidang yang membatasi suatu balok. Balok

ABCD.EFGH memiliki 6 buah sisi berbentuk persegipanjang.

Keenam sisi tersebut adalah ABCD (sisi bawah), EFGH (sisi atas),

ABFE (sisi depan), DCGH (sisi belakang), BCGF (sisi samping kiri),

dan ADHE (sisi samping kanan). Sebuah balok memiliki tiga pasang

sisi yang berhadapan yang sama bentuk dan ukurannya. Ketiga

pasang sisi tersebut adalah ABFE dengan DCGH, ABCD dengan

EFGH, dan BCGF dengan ADHE

b. Rusuk


16



Balok ABCD.EFGH memiliki 12 rusuk. Rusuk-rusuk balok ABCD. EFGH adalah AB, BC, CD, DA, EF, FG,

GH, HE, AE, BF, CG, dan HD.

c. Titik Sudut

Balok ABCD.EFGH memiliki 8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H.

d. Diagonal Bidang

Ruas garis AC yang melintang antara dua titik sudut yang saling berhadapan pada satu bidang, yaitu titik sudut A

dan titik sudut C, dinamakan diagonal bidang balok ABCD.EFGH.

e. Diagonal Ruang

Diagonal ruang terbentuk dari ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang saling berhadapan di dalam

suatu bangun ruang. Ruas garis CE yang menghubungkan dua titik sudut C dan E pada balok ABCD.EFGH

disebut diagonal ruang balok

e. Bidang Diagonal

Bidang BDHF adalah bidang diagonal balok ABCD.EFGH.

f. Sifat-Sifat Balok

- Sisi-sisi balok berbentuk persegipanjang.

- Rusuk-rusuk yang sejajar memiliki ukuran sama panjang.

- Setiap diagonal bidang pada sisi yang berhadapan memiliki ukuran sama panjang.

- Setiap diagonal ruang pada balok memiliki ukuran sama panjang.

- Setiap bidang diagonal pada balok memiliki bentuk persegipanjang.

g. volume balok dapat dinyatakan sebagai berikut: V = plt

i. luas Selimut atau Luas sisi tegak balok dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut: Ls = 2t(p +l)

j. luas permukaan atau Luas seluruh sisi balok, dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut: Lp = 2(pl + pt +

lt)

Catatan:

p = panjang rusuk balok l = lebar rusuk balok t = tinggi rusuk balok

3. Prisma

Kubus dan balok memiliki sisi alas dan sisi atas yang sama bentuk dan ukurannya. Oleh karena itu, kubus dan balok

termasuk prisma.

a. Jumlah titik sudut suatu limas sangat bergantung pada bentuk alasnya.

b. Prisma memiliki bentuk alas dan atap yang kongruen.

c. Setiap sisi bagian samping prisma berbentuk persegipanjang.

d. Prisma memiliki rusuk tegak.

e. Setiap diagonal bidang pada sisi yang sama memiliki ukuran yang sama.

f. Volume prisma (V) = luas alas (La) × tinggi (t)

g. Luas Selimut atau jumlah luas sisi tegak prisma (Ls) = Keliling alas (Ka) X tinggi (t)

h. Luas permukaan prisma (Lp) = 2 x luas alas (La) + luas selimut (Ls)

4. Limas

Setiap limas memiliki sisi samping yang berbentuk segitiga.

a. Jumlah titik sudut suatu limas sangat bergantung pada bentuk alasnya.

b. Volume prisma (V) =

c. Luas Selimut jumlah luas sisi tegak Limas (Ls) = Keliling alas (Ka) X garis pelukis (s)

d. Luas permukaan Limas (Lp) = luas alas (La) + luas selimut (Ls)

e. Garis pelukis (s) dihitung dengan menggunakan rumus phytagoras.


17



Bab 12

Bangun Ruang Sisi LengkungA. Tabung

Tabung memiliki unsur-unsur sebagai berikut:

a. Sisi alas, yaitu sisi yang berbentuk lingkaran dengan pusat P1, dan sisi atas, yaitu sisi yang berbentuk lingkaran

dengan pusat P2.

b. Selimut tabung, yaitu sisi lengkung tabung.

c. Diameter lingkaran alas, yaitu ruas garis AB, dan diameter lingkaran atas, yaitu ruas garis

CD.

d. Jari-jari lingkaran alas (r), yaitu garis P1A dan P1B, serta jari-jari lingkaran atas (r), yaitu

ruas garis P2C dan P2D.

e. Tinggi tabung, yaitu panjang ruas garis P2P1, DA, dan CB.

Pada sebuah tabung, berlaku rumus-rumus:

1. Luas selimut (ls) = keliling alas (Ka) X tinggi (t)

= 2πrt (dengan jari-jari) atau

= πdt (dengan diameter)

2. Luas permukaan dengan tutup (lp) = 2 X Luas alas (La) + Luas Selimut (ls)

= 2πr (r + t) (dengan jari-jari) atau

= πdt (

d2 + t) (dengan diameter)

3. Luas permukaan tanpa tutup (lp) = Luas alas (La) + Luas Selimut (ls)

= πr (r + 2t) (dengan jari-jari) atau

= πd(

d4 + t) (dengan diameter)

4. Volume (V) = Luas alas (La) X tinggi (t)

= πr2t (dengan jari-jari) atau

= (dengan diameter)

B. Kerucut

Kerucut memiliki unsur-unsur sebagai berikut:

a. Bidang alas, yaitu sisi yang berbentuk lingkaran.

b. Diameter bidang alas (d), yaitu ruas garis AB.

c. Jari-jari bidang alas (r), yaitu garis OA dan ruas garis OB.

d. Tinggi kerucut (t), yaitu jarak dari titik puncak kerucut ke pusat bidang alas (ruas

garis CO).

e. Selimut kerucut, yaitu sisi lengkung kerucut.

f. Garis pelukis (s), yaitu garis-garis pada selimut kerucut yang ditarik dari titik

puncak C ke titik pada lingkaran.

Hubungan antara r, s, dan t pada kerucut merupakan persamaan segitiga phitagoras ,dinyatakan dengan persamaan-

persamaan berikut:

s2 = r2 + t2 (untuk mencari S) ; r2 = s2 − t2 (untuk mencari r) dan t2 = s2 − r2 (untuk mencari t)Pada sebuah kerucut, berlaku rumus-rumus sebagai berikut:


18

πd2 t4



Luas selimut (ls) =

= πrs (dengan jari-jari) atau

= (dengan diameter)

Luas permukaan (lp) = Luas alas (La) + Luas Selimut (ls)

= πr (r + s) (dengan jari-jari) atau

= πd(

d4 + ) (dengan diameter)

Volume (V) =

= (dengan jari-jari) atau

= (dengan diameter)

C. Bola

Bola merupakan bangun ruang sisi lengkung yang dibatasi oleh satu bidang lengkung. Bola dapat dibentuk dari

bangun setengah lingkaran yang diputar sejauh 3600 pada garis tengahnya.

Pada sebuah bola, berlaku rumus-rumus sebagi berikut:

Luas permukaan (lp) = Luas selimut (ls) = 4 X luas Lingkaran

= 4πr2 (dengan jari-jari) atau

= πd2 (dengan diameter)

Volume (V) = (dengan jari-jari) atau

= (dengan diameter)

Bab 13

Statistika dan PeluangA. Statistika

Statistika adalah ilmu yang berhubungan dengan pengumpulan data, perhitungan atau pengolahan data, serta penarikan

kesimpulan berdasarkan data yang diperoleh. Datum adalah fakta tunggal. Adapun data adalah kumpulan datum. Data

biasanya disajikan dalam bentuk tabel dan diagram (diagram gambar, batang, garis, dan lingkaran). Diagram batang

dapat digunakan untuk membandingkan frekuensi. Diagram garis digunakan untuk menggambarkan keadaan yang

kontinu (serba terus). Diagram Lingkaran menyatakan bagian dari keseluruhan jika data dinyatakan dalam persen

dengan jumlah total 100%.

a. Mean suatu data adalah jumlah seluruh datum dibagi oleh banyaknya datum. Mean dirumuskan sebagai berikut.

b. Modus adalah nilai yang paling sering muncul.

c. Median adalah nilai tengah suatu data.

Jika pada suatu data jumlah datumnya ganjil, mediannya adalah nilai tengah data yang telah diurutkan. Jika pada

suatu data jumlah datumnya genap, mediannya adalah mean dari dua datum yang di tengah setelah data diurutkan.

d. Jangkauan (range) suatu data adalah selisih datum terbesar dengan datum terkecil. Jangkauan dirumuskan sebagai

berikut:

r = datum terbesar – datum terkecil


19

keliling alas ( Ka) X tinggi ( t )2

π ds2

s2

Luas alas ( La ) X tinggi ( t )3

πr2 t3πd2 t12

4 πr3

3

πd3

6



e. Kuartil terdiri atas tiga macam, yaitu kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil atas (Q3). Cara

menentukan kuartil sebagai berikut:

1. Urutkan data dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar.

2. Tentukan Q2 atau median.

3. Tentukan Q1 dengan membagi data di bawah Q2 menjadi dua bagian yang sama besar.

4. Tentukan Q3 dengan membagi data di atas Q2 menjadi dua bagian sama besar.

A. Peluang

Kumpulan atau himpunan semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan disebut ruang sampel. Adapun

anggota-anggota ruang sampel disebut titik sampel. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. frekuensi

adalah perbandingan banyaknya kejadian yang diamati dengan banyaknya percobaan. kejadian acak, yaitu kejadian

yang tidak dapat diperkirakan sebelumnya hasil yang terjadi. Kejadian majemuk adalah kejadian yang diperoleeh dari

kejadian-kejadian sederhana yang dihubungkan kata dan atau kata atau. Cara menentukan ruang sampel dari titik

sampel ada tiga, yaitu:

1. Menentukan Ruang Sampel dengan Mendaftar

Misalkan, pada pelemparan dua keping uang logam sekaligus, sisi yang muncul adalah angka (A) pada uang

logam pertama dan gambar (G) pada uang logam kedua, ditulis AG. Kejadian lain yang mungkin muncul pada

pelemparan kedua uang logam tersebut adalah AA, GA, dan GG. Jika ruang sampelnya dituliskan dengan cara

mendaftar, hasilnya adalah S = {AA, AG, GA, GG} dengan n (S) = 4.

2. Menentukan Ruang Sampel dengan Tabel

Untuk menentukan ruang sampel dengan tabel, buatlah tabel dengan jumlah

baris dan kolom yang diperlukan. Untuk percobaan pelemparan dua uang

logam sekaligus, diperlukan tabel yang terdiri atas tiga kolom dan tiga baris.

Isi kolom pertama dengan hasil yang mungkin muncul dari uang logam ke-1

dan isi baris kedua dengan hasil yang mungkin dari uang logam ke-2.

Kemudian, lengkapi tabel yang kosong.

Ruang sampelnya adalah S = {AA, AG, GA, GG} dengan n(S) = 4.

3. Menentukan Ruang Sampel dengan Diagram Pohon

Cara lain yang digunakan untuk menentukan ruang sampel adalah dengan

diagram pohon. Cara ini merupakan cara yang paling mudah. Berikut adalah

diagram pohon untuk pelemparan dua uang logam sekaligus.

Ruang sampelnya adalah S = {AA, AG, GA, GG} dengan n(S) = 4

Sifat Perhitungan Dasar:

Jika suatu kejadian A dapat terjadi dalam p cara, dan untuk masing-masing p cara tersebut, kejadian B dapat

terjadi dalam r cara, maka kejadian A dan B dapat terjadi, secara berkelanjutan dalam (pxr) cara.

Frekuensi relatif suatu kejadian dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

a. Jika setiap titik sampel anggota ruang sampel S memiliki peluang yang sama maka peluang kejadian K yang

memiliki anggota sebanyak n(K) dinyatakan sebagai berikut:

b. Kisaran nilai peluang munculnya kejadian K adalah sebagai berikut:

0 ≤ P(K) ≤ 1


20



c. Jika P(K) bernilai 1 maka kejadian K pasti terjadi.

Jika P(K) bernilai 0 maka kejadian K mustahil terjadi.

Misalkan, L merupakan kejadian komplemen dari K. Besar peluang kejadian L adalah sebagai berikut.

P(L) = 1 – P(K) atau P(L) + P(K) = 1

d. Frekuensi harapan suatu kejadian adalah harapan banyaknya muncul suatu kejadian dari sejumlah percobaan yang

dilakukan (n). Frekuensi harapan biasanya dilambangkan dengan Fh. Secara matematis ditulis

Fh =P(K) × n

e. Peluang dari kejadiankejadian saling bebas;

Istilah Peluang dari dua kejadian bebas diperoleh dari hasil kali peluang kejadian pertama dan peluang kejadian

kedua. Simbol : P (A dan B) = P (A) x P (B)

f. Peluang dari kejadiankejadian terpisah satu sama lain:

Istilah Peluang dari dua kejadian yang terpisah satu sama lain diperoleh dengan menambahkan peluang kejadian

pertama dengan peluang kedua. Simbol:

P (A atau B) = P (A) + P (B)

g. Peluang dari kejadian-kejadian yang tidak terpisah satu sama lain:

Istilah Peluang dari dua kejadian yang tidak terpisah satu sama lain diperoleh dengan menambahkan peluang

kedua kejadian, kemudian menguranginya dengan peluang kejadian bersama. Simbol:

P (A atau B) = P (A) + P (B) - P (A dan B)

h. Kepastian dan Kemustahilan

Kepastian adalah kejadian yang pasti terjadi dan peluang kepastian adalah 1 Kemustahilan adalah kejadian yang

tidak mungkin terjadi dan peluang kemustahilan adalah 0.

Bab 14

Bilangan berpangkatBilangan berpangkat sebenarnya adalah bilangan berpangkat bulat positif. Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan

berpangkat bulat positif adalah sebagai berikut.

1. am × an = am + n , dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif.

2. , dengan a bilangan real yang tidak nol dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m > n.

3. (am)n = am × n = an × m , dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m ≥ n.

4. an + am = an(1+ am – n) , dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m ≥ n.

5. am – an = an(am – n – 1) , dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m ≥ n.

Bilangan berpangkat tak sebenarnya terdiri atas bilangan berpangkat bulat negatif, berpangkat nol, dan berpangkat

pecahan. Bilangan berpangkat pecahan dapat diubah menjadi bentuk akar, yang memiliki sifat-sifat sebagai berikut.

1. , dengan a dan b bilangan real positif.

2. , dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0.

3. , dengan a, b, c bilangan real dan c ≥ 0.

4. , dengan a, b, p, q bilangan real dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0.


21

am

an=am−n



5. , dengan a, b, p, q bilangan real dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0.


22


Documents

Mate Ma Tika