Anul II, nr. 1, martie 2007

Revista de matematica a elevilor si profesorilor din Grupul Scolar “Iordache Golescu” Gaesti

Marea teorema a lui FermatVarianta de Bac rezolvataO altfel de matematica

Probleme cu chibrituriIstoria matematicaBlaise Pascal

rala. Mai mult, acest om are in fata o cale regala catre meditatia filozofica, matematica exercitand asupra activ-itatii spiritului o influenta de netagaduit.

Victor Hugo spunea: "Inima si spiritul sunt doua platouri ale unei balante. Cufundati-va spiritul instudiu, va veti ridica inima spre inaltimi!" iar Gheorghe Titeica: "Arta, matematica si morala sunt trei fazedeosebite ale armoniei omenesti: armonie in simtire, armonie in gandire, armonie in viata"

Incercati sa va puneti armonie in sufletul, in mintea si in viata voastra!

Director,Prof. Ioana Dinca

Cuvant inainte

Matematica, prin esenta salogic-deductiva poate contribuiintr-o masura eficienta la mode-larea spiritului, la formareagandirii omului.

Este bine stiut ca posesorulunei culturi matematice este sibeneficiarul unei igienizari intelec-tuale, care permite exersarea suplaa gandirii, cu consecinte faste si inplanul de coordonate al sinceritatiisi corectitudinii. Orice om pasionatde matematica, insusindu-si tehni-ca gandirii matematice isi disci-plineaza intelectul si zestrea natu-

Colegiul Director

Prof. Ioana Dinca - DirectorProf. Florin Dorobantu - Director Adjunct

Casuta redactionala

Prof. Elena Ivascu - coordonatorProf. Simona Pirsan - coordonatorProf. Iulian Alexe - coordonatorProf Florin Stanescu - coordonator

Cristina Marinescu (XI C) - redactor-sefMarin Alexandra (XII A) - redactor-adj.

Bucur Cristina (X A) - redactorRadu Ana-Maria (XII A) - redactorBogdan Stoica (XII A) - redactor

Madalina Mitrea (UniBuc) - reporter specialMarius Ivascu (ASE) - Grafic & DTP Design

3

Cuprins

3 Cuprins

4 Analiza SWOT

5 Marea teorema a lui Fermat

8 Polinoame

9 Blaise Pascal

11 Probleme rezolvate

13 Bancuri matematice

14 Numerele si legile hazardului

15 Bacalaureat - Varianta 13

18 Matematica interesanta

19 Triunghiul lui Pascal

21 Grupuri

23 Stiati ca...

25 Magia numerelor

26 Probleme cu chibrituri

27 O altfel de matematica

29 Mai sunt 105 zile...

Grup scolar “Iordache Golescu” Gaesti

Repere istorice:Scoala a fost infiintata in anul 1972 ca Centrul Scolar pentru industrie chimica, sub patronajul Intreprinderiide Utilaj Chimic Gaesti, care i-a asigurat baza materiala si pentru care a pregatit forta calificata de munca.In 1976 a devenit Grupul Scolar Industrial de Chimie Gaesti. Intre anii 1980-1990 s-a numit LiceulIndustrial nr.1 Gaesti. Din 1990 pana in 2006 denumirea a fost din nou Grup Scolar Industrial de ChimieGaesti. Incepand cu 01.09.2006 unitatea se numeste Grupul Scolar "Iordache Golescu" Gaesti.

Misiunea scolii:"Garantarea realizarii unei educatii de calitate pentru dezvoltarea personala si profesionala a elevilor, invederea asigurarii sanselor egale de integrare in societatea europeana, asigurarea dezvoltarii unei person-alitati bazate pe sistemul de valori democratice."

Analiza SWOT:

Puncte tari:Singura scoala de profil din zona;Oferta atractiva de specializari si meserii;Colaborare buna cu agentii economici si consiliul local;Baza corespunzatoare de practica la agentii economiciIncadrarea corespunzatoare cu profesori si maistri instruc-tori titulari si cu grade didactice;Initierea unor relatii de parteneriat cu scoli europene pentruproiectul SocratesCentrarea tuturor actiunilor pe elevSpirit de echipaEntuziasm, angajament si actiune a unor cadre didactice sia directorului.

Puncte slabe:Nivel de pregatire mediu al elevilor care opteaza pentruliceul nostru;Nr. insuficient de calculatoare, raportat la nr. de elevi;Nr. mare de absente si situatii de abandon la Scoala de Artesi Meserii. Absenta cabinetului de consiliere;Slaba implicare a agentilor economici - parteneri sociali inangajarea absolventilor. Neaplicarea permanenta a metodelor interactive depredare-invatare, de catre toate cadrele diodactice;Neefectuarea unor activitati extracurriculare cu eleviiStarea economica precara a unor elevi.

Oportunitati:Relatii de colaborare cu alte scoliRelatii de colaborare cu agentiieconomici,Implicarea agentilor economici informarea profesionala a elevilor de la Scoalade Arte si Meserii.Bune relatii de colaborare cu comunitatealocalaExista in zona cerere de forta de munca pen-tru anumite calificari de la Scoala de Arte siMeserii.

Amenintari:Se estimeaza ca numarul tinerilor de varstascolara ani va scadea in urmatorii 10 anidatorita scaderii ratei natalitatii si acest lucruva avea ca efect scaderea nr de clase dinscoala (www.insse.ro).Refuzul parintilor de a-si inscrie copii laS.A.M.Cresterea somajului in randul parintilor.Migrarea in strainatate a elevilor si absolven-tilor.Interes scazut al unor elevi, profesori si parinti

PROFILUL ECONOMIC LA NIVELUL ORASULUI GAESTI SC ARCTIC SA Gaesti;Microferme agricole;SRL -uri cu activitati comercial, alimentatie publica,servicii. micro - productie (mobila) ;Avicola Titu - filiala Gaesti;

SC MAIRON SA- Gaesti;SC MECANPETROL SA Gaesti;Centrul de Protectia plantelor Gaesti SEMROM Gaesti Retea turistica

4

Marea Teorema a lui Fermat

Frumusetea Marii Teoreme a lui Fermat (In multimea numerelor intregi ecuatia xn +yn =zn nu aresolutii pentru n<=3) consta in aceea ca problema insasi este de o simplitate uimitoare. Pierre de Fermat a puso intrebare pe care nimeni nu se gandise sa o puna si astfel a zamislit ceea ce va deveni cea mai dificila prob-lema cunoscuta. El a oferit omenirii o iluzie, lasand generatiilor viitoare un mesaj prin care sugera ca posedaun raspuns, dar fara a spune in ce consta el. Acesta a fost inceputul unei curse care a durat trei secole.

In cartea matematicianului E.T. Bell - "Ultima problema " se face trecerea de la ecuatia lui Pitagora

(x2 + y2 =z2) la o ecuatie inrudita in care x, y, z sunt la cub ( x3 + y3 =z3). Generatii de matematicieni auesuat in a gasi numere care sa verifice ultima ecuatie. Daca inlocuim exponentul cu un numar mai mare de

3, se pare ca e imposibil ca ecuatia sa aiba solutii intregi. Deci se ajunge la ecuatia xn +yn =zn, n>=2 desprecare Pierre de Fermat a afirmat ca motivul pentru care nimeni nu a gasit solutii pana atunci este pentru canu are solutii pentru n>=3. Teorema si-a castigat reputatia de a fi cea mai complicata enigma matematica.

Povestea Marii Teoreme a lui Fermat este legata indisolubil de istoria matematicii atingand toatepunctele esentiale ale teoriei numerelor. Pentru matematica, importanta teoremei consta in faptul ca prinincercarea de a o demonstra au fost faurite noi metode puternice care au dus la crearea unei vaste ramuri amatematicii - "teoria algebrica a numerelor ".

Marea Teorema e punctul de plecare al unei impresionante saga despre curaj, eforturi intelectuale,avand ca personaje pe toti marii eroi ai matematicii. Ea ne ofera o perspectiva unica asupra elementelor caredetermina progresul matematicii si, poate si mai important, asupra factorilor care-i inspira pe matematicieni.

Teorema coreleaza fundamentele matematice create de Pitagora cu cele mai sofisticate idei ale matem-aticii moderne.

De regula demonstratiile teoremelor date de Fermat nu ne-au parvenit. Ele au fost restabilite ulteriorde matematicieni, in special de Euler. Unele din afirmatiile facute de el s-au dovedit chiar a fi gresite. De exem-

plu, Fermat s-a inselat afirmand ca toate numerele de forma 22n +1 sunt prime ( pentru n=5 nu e prim ).Totusi, in toate cazurile in care Fermat a afirmat categoric ca a demonstrat o afirmatie sau alta,

s-a reusit ulterior demonstrarea ei. In ceea ce priveste Marea Teorema a lui Fermat, Fermat a notat ca agasit "o demonstratie cu adevarat minunata " a acestui fapt, dar "aceasta margine este prea ingusta pentrua o cuprinde ".Cel mai complet calcul pe care Fermat l-a facut in legatura cu teorema sa a fost pentru n=4. El a folosit

metoda coborarii infinite. Pentru a demonstra ca nu exista solutie pentru aceasta ecuatie el a presupus caexista o solutie ipotetica (x1 ,y1 ,z1) cu proprietatea ca e minima. Atunci se demonstreaza ca exista o solu-

tie si mai mica decat aceasta, de unde contradictia.Primul mare matematician cu contributii importante in demonstrarea teoremei lui Fermat este

Leonard Euler (n. 1707). Pentru a extinde demonstrarea teoremei de la n=4 la n=3 Euler introduce"bizaranotiune" de numar imaginar.

In 1825 Dirichlet trimitea Academiei de Stiinte din Paris o lucrare unde pretindea ca are demon-stratia pentru cazul n=5. S-a dovedit ca el neglijase un caz posibil.

Legendre gaseste independent o demonstratie completa, in timp ce Dirichlet incerca sa-si terminedemonstratia.Demonstratia lui Dirichlet foloseste proprietati ale aritmeticii domeniului K=Q( 5). Demonstratia este destulde greoaie. Este suficient sa spunem ca ea se realizeaza considerand doua cazuri separate. Primul caz e destulde usor. Cel de-al doilea caz a fost tratat folosind descresterea infinita.

5

In 1839 Lame a demonstrat teorema lui Fermat pentru n=7. El a fost precedat de Dirichlet care ademonstrat teorema pentru exponentul 14 in 1832. Demonstratia pentru n=14 este insa mult mai usoara decatpentru n=7. In 1840 Lebesgue a gasit o demonstratie mult mai simpla decat cea a lui Lame.

Desi matematicienii progresau umilitor de incet, situatia nu era asa de disperata deoarece oricedemonstratie care functioneaza pentru n=4 functioneaza si pentru n=8,12,16,20 (si alti multiplii de 4). Deasemenea o demonstratie pentru n=3 functioneaza si pentru cazurile n=6,9,12,15…

O contributie hotaratoare in studiul teoremei a avut-o una din putinele femei matematiciene: SophieGermain. Germain a adoptat o alta strategie fata de cei de dinaintea ei care au incercat sa rezolve cazuri par-ticulare ale problemei. Ea ii descrie lui Gauss intr-o scrisoare o asa numita abordare generala a problemei.Ea furnizeaza asadar un calcul concentrat asupra unui tip particular de numere prime p astfel incat 2p+1 safie tot prim. Lista lui Germain de numere prime il include astfel pe 5 dar nu pe 13. Pentru n egal cu acestenumere prime ea a aratat ca "probabil" nu exista solutii ale ecuatiei lui Fermat. Cand spunea probabil, eaexprima de fapt ca este neverosimil sa existe solutii, caci daca ar exista vreuna asta ar insemna ca fie x, fiey, fie z ar fi multiplu de n si asta ar impune o restrictie serioasa asupra oricareia dintre solutii. In 1925 meto-da ei si-a dovedit succesul multumita lui Gustav -Lejeune Dirichlet si Adrien-Marie Legendre. Ambii stiausa faca demonstratia teoremei pentru n=5, dar succesul dobandit si-l datorau Sophiei Germain. Cei doi vorrezolva in 1832 teorema pentru n=14.

14 ani mai tarziu Gabriel Lame a demonstrat cazul numarului prim n=7.In 1847 Augustin Cauchy si Lame afirma in cadrul Academiei Franceze de Stiinta ca poseda rezolvarea

acestei enigme. Evident se inselau.Pe 24 mai 1847 Joseph Liouville a socat audienta citind continutul unei scrisori de la matemati-

cianul german Ernst Kummer. Kummer a realizat ca atat Lame cat si Cauchy se indreptau catre un impaslogic. Atat Lame cat si Cauchy foloseau o proprietate a numerelor si anume descompunerea unica in fac-tori primi a numerelor. La prima vedere nu ar exista un motiv pentru care cei doi sa nu foloseasca aceas-ta proprietate a numerelor reale, dar din nefericire ei se foloseau de numere imaginare. Kummer a scos inevidenta faptul ca aceasta proprietate nu e neaparat adevarata pentru numere imaginare. Kummer a demon-strat si ca unicitatea descompunerii putea fi depasita pentru toate numerele prime pana la n=31 inclusiv. n=37 este caz aparte.Alte doua cazuri ciudate sunt n=59 si n=67 numite de Kummer si numere prime neregulate

Kummer a evidentiat ca nu exista o metoda cunoscuta de a ataca simultan toate aceste numere primeneregulate. Cum numarul lor e infinit, demonstrarea pentru fiecare pas in parte ar fi imposibila. Kummer ademonstrat teorema pentru n=37,59,67.

Dupa Kummer pasi importanti nu au mai fost facuti pana la Vandiver (1929).O data cu aparitia calculatoarelor teorema s-a rezolvat pana la n=10 000 , apoi pana la n=25 000 si

chiar pentru n<4 000 000 .Marea enigma a lui Fermat si-a gasit in cele din urma rezolvarea abia in 1996. Cel ce reusea acest lucru

era matematicianul englez Andrew Willes.Pentru Andrew Willes enigma avea o importanta exceptionala devenind nici mai mult nici mai putin

decat ambitia vietii sale.Prima dezvaluire a unei demonstratii in vara anului 1993 a venit la capatul a 7 ani de munca sustinuta.

Cand a inceput lucrul multe din tehnicile folosite nici nu fusesera create. Ceea ce a facut Willes a fost sapuna in legatura domenii ale matematicii aparent foarte indepartate intre ele. Esenta demonstratiei lui Willesconsta in confirmarea unei idei cunoscute sub numele de conjectura Shimura-Taniyama, care a constituit opunte intre lumi matematice fundamental diferite.

Willes a inceput prin a studia tot ceea ce se demonstrase pana atunci in acest domeniu. De o mareinsemnatate in demonstrarea teoremei se va dovedi studiul efectuat de Willes in timpul facultatii: teoria

6

curbelor eliptice. Acest domeniu ii va furniza tehnicile de care avea nevoie pentru o noua abordare a Mariiteoreme a lui Fermat.

Curbele eliptice nu sunt nici elipse si nici macar curbate in sensul obisnuit al cuvantului. Ele sunt ecu-

atii de forma y2=x3+ax2+bx+c unde a, b, c sunt numere intregi. Ele se numesc ecuatii eliptice deoarece intrecut au fost folosite la masurarea perimetrelor elipselor si lungimilor orbitelor planetare.

Provocarea ecuatiilor eliptice consta in a stabili daca ele admit ca solutii numere intregi si cate solutiiadmit. Deoarece nu se putea de multe ori stabili toate solutiile unei ecuatii eliptice, matematicienii s-au decis sa sta-bileasca numarul solutiilor in diverse aritmetici circulare. Pentru a-si rezuma rezultatele, matematicienii enu-mera solutiile in fiecare aritmetica circulara si numesc aceasta lista L-seria ecuatiei eliptice sau E-seria ecu-atiilor eliptice.

In paralel cu incercarile de a stabili solutiile unei ecuatii eliptice, se desfasoara, intr-un domeniu almatematicii fara aparent nici o legatura cu acestea, cercetari intense realizate printre altii de Shimura siTaniyama. Este vorba de domeniul formelor modulare. Acestea sunt entitati matematice cu o simetrie infini-ta. Ele pot fi permutate, comutate, interschimbate, reflectate si rotite intr-o infinitate de moduri si ramantotusi neschimbate.

O forma modulara este definita de doua axe insa ambele complexe. Deci ele se reprezinta intr-un spatiucu 4 dimensiuni numit spatiu hiperbolic. Fiecarei forme modulare i se asocieaza o M-serie continand diferite informatii (forme, marimi, etc.). Se puneproblema legaturii dintre formele modulare si ecuatiile eliptice. Shimura si Taniyama sunt cei care au incer-cat sa demonstreze ca oricarei forme modulare i se poate asocia o ecuatie eliptica. Ipoteza de mai sus for-mulata de ei se numeste conjectura Shimura-Taniyama.

De la formularea ei, cu toate ca nu era demonstrata, o intreaga noua constructie matematica se realizeazape baza ei.

In 1984, matematicianul Gerhard Frey face observatia ca cine demonstreaza conjectura Shimura-Taniyama va demonstra imediat si Marea Teorema a lui Fermat.

Asadar, scopul lui Andrew Willes a devenit acela de a demonstra conjectura Shimura -Taniyama.Prima metoda pe care a incercat sa o foloseasca a fost inductia. Primul pas al inductiei l-a gasit in operalui Evariste Galois. Folosind teoria grupurilor lui Galois, Willes, dupa luni de analiza, arata ca cele cate-va solutii ale fiecarei ecuatii eliptice puteau fi folosite la formarea unui grup si ca grupul conducea la oconcluzie indubitabila : primul element al fiecarei E-serii coincidea cu primul element al unei M-serii.Urmatorul pas al inductiei ii cerea sa arate ca daca un element oarecare al unei E-serii coincidea cu ele-mentul corespunzator al unei M-serii, atunci urmatoarele elemente trebuie sa coincida si ele.Dupa incercari disperate, de-a lungul a mai multor ani, cu multe nereusite, Willes se opreste la o tehnicainitiata de Iwasawa. Teoria lui Iwasawa este de fapt o metoda de analiza a ecuatiilor eliptice, pe careWilles o imbunatateste. Pentru a-si atinge scopul el va imbunatati si o alta metoda, de altfel noua, meto-da Kolivaghin-Flach.

Combinate cele doua metode au dus, in sfarsit, la demonstrarea completa a conjecturii Shimura-Taniyama si implicit a Marii Teoreme a lui Fermat, de catre Andrew Willes, in anul 1996.

Director,

Prof. Ioana Dinca

7

POLINOAME

1 Forma algebrica a unui polinom:

2 Gradul unui polinom:

3 Egalitatea polinoamelor:

4 Operatii cu polinoame:

Proprietati: - comutativa f+g=g+f- asociativa (f+g)h=f(g+h)- exista element neutru fata de adunare f+f0=f- exista polinom opus oricarui polinom f+(-f)=0

Proprietati:- comutativa - asociativa - element neutru 15 Valoarea unui polinom

Proprietati:1.

2.

3.

6 Functia polinomiala asociata unui polinom

7 Teorema impartirii cu rest

Teorema lui BezoutRestul impartirii unui polinom prin X-a este egal cu valoarea polino-

mului in a.Daca f(a)=0 atunci polinomul f este divizibil prin X-a.

ipolinomulu iicoeficient Ca,...,a,a,a

Xa...XaXaXaaf

n310

nn

33

2210

−∈+++++=

−∞=−

++++++=

−=≠

00

n320

nn

f grad alconvention nul, polinomul f

...0X...0X0X0X0f particular caz

dominant coeficienta n,f grad 0a daca

}{0,1,2,..ni ba sin mgf

Xb...XbXbXbbg

Xa...XaXaXaaf

ii

mm

33

2210

nn

33

2210

∈∀==⇔=+++++=

+++++=

g) gradf, max(gradg)grad(f

polinom.un este polinoame doua a Suma

)Xb(0...)Xb(0)Xb(a...)Xb(a)Xb(a)b(agf

ORPOLINOAMELADUNAREA m

m1n

1nn

nn2

221100

≤+

+++++++++++++=+ ++

g gradf gradgf grad

...)Xbab(abagf

ORPOLINOAMEL INMULTIREA

011000

+=⋅

+++=⋅

atei.nedetermin data

oareapentru val ipolinomulu valoareanumeste seobtinut Numarul

...)f(

fixat- C, fie ,

...f

10

10

α

ααα

ααn

n

i

n

n

aaa

Ca

XaXaafie

+++=

∈∈+++=

BCA)f(á forma de este baápentru f lui eaiar valoar

BCA)f(á forma de este baápentru f lui valoarea

atunci rationali icoeficientcu polinomun este f Daca

conjugate complexe numeresunt z si zpentru

f lui valorileatunci reali icoeficientcu polinomun este f Daca

22

11

_

−=−=

+=+=

ipolinomulu

radacinile numesc se 0)f( carepentru lui =ααValorile

f ipolinomulu asociata apolinomial functie

xa...xaxaaf(x) nn

2210

−++++=

X. atanedetermin si Cin icoeficientcu or polinoamel multimeaC[X]

rgqf a.i C[X]r q, C[X]gf,

−+=∈∃∈∀

8 Cel mai mare divizor comun a doua polinoame

C.m.m.d.c este ultimul rest diferit de 0.OBS. In cazul determinari prin algoritmul lui Euclid a c.m.m.d.c adoua polinoame la pasul in care se optine restul un numar sededuce ca polinoamele sunt prime intre ele.9 Ecuatii algebrice

Teorema fundamentala a algebrei:Orice ecuatie algebrica de grad mai mare sau egal cu 1 sicu coeficienti complicsi are cel putin o radacina complexa.ConsecintaOrice polinom f de grad n are n radacini.Teorema lui Abel-RuffiniEcuatia algebrica generala de grad mai mare decat patru nupoate fi rezolvata prin radicali.10 Relatii intre radacinile si coeficientii unei ecuatiialgebrice

OBS:Relatiile lui Viete in sine nu ajuta la rezolvarea uneiecuatii dar cu inca o informatie pot fi folosite la rezolvareaecuatiei.11 Formarea unei ecuatii cand se cunosc radacinile

Marin Alexandra - XII A

d|dd f,|d daca g|d g,|d g)d(h,

ghf a.ih nenule polinoame - gf, Fie DEF.''' ⇒

=∃

0n dacan grad de algbrica ecuatieCa

0;axa...xaxa

i

011n

1nx

n

≠−∈=++++ −

−

−=

−=+++

=+++

−=+++

=+++++

−−−

−−

−

−=

−−

n

0nn54321

n

3nn1n2n421321

n

2nn1n3121

n

1nn21

011n

2n1n

1nn

n

a

a1)(...xxxxxx

..............................................

a

axxx....xxxxxx

a

axx...xxxx

a

ax...xx

0axa...xaxaxa

VIETE LUI RELATIILE

0.SxS...xSxSx

0a

ax

a

a...x

a

ax

a

axa

0axa...xaxaxa

n1n2n

21n

1n

n

0

n

11n

n

2n1n

n

1nnn

011n

2n1n

1nn

n

=−−−−−

⇒=

+++++

=+++++

−−−

−=−−

−=

−−

8

Blaise Pascal

Dintre contemporanii lui Descartes, nici unul nu a aratat un geniu natural mai binedecat Pascal. Reputatia lui in matematica consta mai mult in ceea ce ar fi putut facedecat in ceea ce a facut efectiv, deoarece o lunga perioada din viata a considerat cadatoria lui este de a se concentra asupra exercitiilor religioase.Blaise Pascal s-a nascut pe 19 iunie 1623 in Clermont si a murit la Paris in 19 august

1662. Tatal lui, un judecator din Clermont, avand la randul sau un anumit renume in stiinta, s-a mutat in Paris in1631, pentru a-si continua propriile studii pe o parte, si pentru a-si educa unicul sau fiu care dovedise deja abil-itati exceptionale. Micul Blaise a fost tinut acasa pentru nu se obosi prea mult si din acelasi motiv educatia lui afost mai intai restransa la invatarea limbilor straine, neincluzand evident matematica. Acest program a simulatcuriozitatea baiatului si, intr-o zi, la doisprezece ani, a intrebat ce este geometria. Invatatorul lui i-a raspuns caeste stiinta construirii figurilor exacte si a determinarii proportiilor dintre diferite parti ale lor. In curand Pascalse apuca de studiat geometria, sacrificandu-si timpul de joaca si in ciuda restrictiilor care ii erau impuse, si incateva saptamani descopera singur multe proprietati ale figurilor. Cea mai importanta este aceea privitoare lasuma unghiurilor unui triunghi care este egala cu doua unghiuri drepte, respectiv 180 de grade. Se pare ca dova-da consta simplu in impaturarea unghiurilor peste figura astfel incat varfurile lor sa se intalneasca in centrul cer-cului inscris in triunghi. O demonstratie similara se poate obtine prin impaturarea unghiurilor astfel incat ele sase intalneasca pe piciorul perpendicularei duse din varful unghiului cel mai mare pe latura opusa. Impresionat deaceasta demonstratie inteligenta, tatal sau i-a dat o copie a cartii Elementele de Euclid, pe care Pascal o citestecu interes pana cand o invata.La varsta de paisprezece ani este admis la intalnirile saptamanale tinute de Roberval, Mersenne, Mydorge si dealti matematicieni francezi. In final din aceste sedinte se naste Academia Franceza. La varsta de saisprezece aniPascal scrie un eseu despre conice, iar la optsprezece ani construieste prima masina aritmetica, un calculator rudi-mentar, pe care o va imbunatatii peste opt ani. Scrisorile lui catre Fermat arata ca aproximativ in aceasta perioa-da se concentra asupra geometriei analitice si fizicii. A repetat si experimentele lui Toricelli.In 1650 la mijlocul carierei lui stiintifice, Pascal si-a abandonat brusc idealurile lui in favoarea religiei, asa cumzice in Pensées, "contempleaza maretia si misterul omului". In 1653 a trebuit sa administreze mosia tatalui sau. Acum a adoptat iarasi vechile lui ocupatii si a facut catevaexperimente asupra presiunii exercitate de lichide si gaze. In aceeasi perioada a inventat triunghiul aritmetic, siimpreuna cu Fermat a creat calculul probabilitatilor.Medita asupra casatoriei cand un accident l-a determinat iarasi sa se concentreze asupra religiei. S-a mutat la PortRoyal unde a trait pana in 1662.Singura lucrare matematica care o mai scrie o a fost un eseu despre cicloida in 1685. Suferea de insomnie si deo durere de dinti cand i-a venit idea si spre surprinderea lui suferinta i-a trecut. Privind aceasta ca un semn divina continuat problema, lucrand fara oprire opt zile, si a terminat o lucrare relativ completa despre geometriacicloidei.Prima lucrare asupra geometriei conicilor, scrisa in 1639, a fost publicata doar in 1779. Conica este o curba planarezultata din intersectia unui con circular cu un plan. Se pare ca a fost scrisa sub indrumarea lui Desargues. Pascalsi-a imbunatatit triunghiul aritmetic in 1653, dar nu exista nici o consemnare a metodei lui pana in 1665.Triunghiul este o figura simpla (ca cele doua si se poate continua la infinit). Fiecare linie este formata din numereegale cu suma numerelor din stanga pozitiei de pe linia precedenta. De exemplu 20=1+3+6+10. Daca asezam tri-unghiul altfel (ca in dreapta) este mai usor sa vedem ca un numar este egal cu suma celor doua numere de dea-supra lui, respectiv suma dintre numarul din stanga si cel de deasupra in prima figura. varful triunghiului fiind 1.Cele doua reguli sunt echivalente.Numerele unei linii se numesc numere figurate. Primele se numesc numere de ordinul intai, cele din a doua linienumere de ordinul doi, cele din a treia linie numere de ordinul trei s.a.m.d. Se poate usor demonstra ca a m-lea

9

numar de pe al n-lea rand este: (m+n-2)!/(m-1)!·(n-1)! .Triunghiul se obtine, in cazul primei figuri, trasand o diagonala in jos din coltul dreapta sus. Numarul pe fiecarediagonala dau coeficientii binomiali al unei dezvoltari, sunt coeficientii binomiali ai binomului lui Newton. De

exemplu a cincia diagonala 1, 4, 6, 4, 1 sunt coeficientii binomiali ai dezvoltarii (a+b)4 . Pascal a folosit tri-unghiul pe de-o parte pentru diferite calcule proprii si pe de alta parte pentru a calcula combinari de m luate caten pentru cate a gasit formula corecta: [(n+1)·(n+2)·(n+3)·...·m]/(m-n)! .Probabil ca matematician Pascal este cel mai bine cunoscut pentru corespondenta lui cu Fermat din 1657 in carea stabilit principiile probabilitatii. Totul a pornit de la o problema propusa lui Pascal de un jucator numitChavalier de Méré (Cavalerul Marii). La randul sau acesta i-a transmis-o lui Fermat. Problema era urmatoarea:Doi jucatori de valori egale vreau sa plece de la masa inainte de a termina o partida. Daca se cunoaste scorul (inpuncte) si numarul de punctelor pana la care vroiau sa joace (adica numarul turelor daca o tura castigata inseam-na un punct) se cere sa se afle in ce proportie trebuie sa imparta miza. Fermat si Pascal au dat acelasi raspunsdar demonstrati diferite. Urmatoarea este demonstratia celui din urma:Aceasta este metoda mea de a determina partea fiecarui jucator cand, de exemplu, doi jucatori joaca pe trei turesi fiecare au pus 32 de galbeni.Sa zicem ca primul jucator a castigat doua puncte, iar al doilea unul. Acum trebuie sa joace ultima tura pentru unpunct. Daca primul jucator ar castiga ar lua toata miza adica 64 de galbeni, in timp ce daca al doilea ar castigafiecare ar avea doua puncte si ar trebui impartita miza, adica 32 de galbeni la fiecare. Asadar daca primul juca-tor ar castiga 64 de galbeni i-ar apartine, daca nu ar lua 32 de galbeni. Atunci daca cei doi jucatori doresc sa seopreasca aici primul ar zice: "Am asigurat un castig de 32 de galbeni chiar daca pierd tura urmatoare, cat despreceilalti 32 poate ii voi castiga eu poate tu, sansele sunt egale. Haide sa impartim cei 32 de galbeni ramasi egal iareu voi lua si pe cei 32 care imi sunt asigurati." Primul jucator va avea 48 de galbeni iar al doilea 16.Mai departe sa zicem ca primul jucator a obtinut doua puncte iar al doilea nici unul si sunt pe cale sa mai joaceo tura pentru un punct. Daca primul jucator castiga acest punct va castiga si jocul si va lua 64 de galbeni, iar dacaal doilea castiga atunci jucatorii vor fi in situatia analizata anterior. Dar, daca nu mai doresc sa joace, primul juca-tor ar zice: "Daca mai obtin un punct castig 64 de galbeni, daca pierd tot primesc 48 (ca inainte). Da-mi 48 degalbeni pe care ii am sigur si restul de 16 ii impartim in doua egal cum sansele sunt egale." Asadar primul juca-tor ia 56 de galbeni iar al doilea 8.Si in sfarsit primul jucator are un punct si al doilea nici unul. Daca mai joaca pentru un punct si primul jucatorar castiga s-ar afla in situatia anterioara in care el are dreptul la 56 de galbeni, iar daca al doilea ar castiga fiecarear avea un punct si castigul ar fi impartit. Dar daca nu ar mai dori sa continue primul ar zice: "Da-mi 32 de gal-beni pe care ii iau sigur, si imparte restul din 56 respectiv 24 (deoarece am deja 32) in doua." Atunci primul vaavea 32+12=44 de galbeni si in consecinta, al doilea va avea 20 de galbeni.Pascal continua rezolvand probleme asemanatoare cand jocul este castigat de cine obtine m+n puncte. Raspunsuleste dat de triunghiul sau aritmetic. Solutia problemei generalizate in care valoarea jucatorilor este diferita poatefi gasita in majoritatea cartilor de algebra si este in concordanta cu raspunsul lui Pascal, desi notatiile pot fidiferite.Pascal a folosit aceasta noua teorie in al noualea capitol al cartii sale Pensées. El spune urmatoarele: Daca val-oarea fericirii eterne este infinita chiar daca probabilitatea ca o viata religioasa sa asigure fericirea eterna estemica, totusi speranta perspectiva, masurata prin produsul celor doua, trebuie sa fie destul de mare pentru a meri-ta sa fi religios. Daca se poate trage vreo concluzie din afirmatia aceasta este neclaritatea obtinuta cand se apli-ca formule matematice intrebarilor morale ale caror date nu sunt de obicei in sfera stiintelor exacte, de aceea afir-matia nu a fost apreciata pozitiv.

Bibliografie: A short Account of the History of Mathematics de W. W. Rouse Ball a patra editie 1908 transcris de D.R. Wilkins

School of Mathematics, Trinity College, Dublin

Bucur Cristina - X A

10

Probleme rezolvate

I Sã se determine pentru care limita sirului definit prin termentul generaleste finita si nenula.

Pentru a disparea radicalul de la numitor, scriem an in forma urmatoare:

Pentru , obtinem egalitate de grade la numarator si la numitor, lucru care ne va conduce la o limita finita nenula

amplificam cu conjugata numitorului si avem:

( ) 1≥nna ∑= −+

=n

k

p

n

kk

na

1 2 1

( )( )∑∑==

=

−−⋅−+

−−

=

−−

−+

−−

=n

k

p

n

k

p

n

kkkk

kkn

kkkk

kkn

a1 22

2

1 22

2

11

1

11

1

∑∑==

−−=

+−

−−

n

k

pn

k

p

kknkk

kkn

1

2

122

2

11

1

Limita ºirului ( ) 1≥nna are acum forma: pn n

nn−∞→

−−++−−+−− 1...122111lim

22

; fãcând calculele obþinem

nedeterminarea ∞∞

(pentru p<0)

Pentru a elimina nedeterminarea folosim teorema Stolz -Cesaro, ºi avem:

( )=

−−

−−−−−−−−−−−−−−+−−−−++−−+−−−−∞→ ppn nn

nnnnnn

1

1)1(1...12211111)1(1...122111lim

22222

2

1−=p

( ) ( ) ( )1

1lim

1

1lim

1

1lim

2

2

12

1

22

−−−−

=−−

−−=

−−−−

=∞→∞→−−∞→ nn

nn

nn

nn

nn

nn

nnppn a

( )( )( )( ) ( )( )

( )( )( )( )

−−−+=

+−

−−−+

=−−⋅−+

−−−+

=∞→∞→∞→

11lim1

11lim

11

11lim 2

22

nnnnnn

nnnn

nnnn

nnnn

nnn

amplificãm din nou cu conjugata ºi avem:

( )( ) ( )( ) =

−+

+−−+=

−+

−+⋅

−−

−+∞→∞→

1

11lim

1

111lim

2

22

2

22

nn

nnnn

nn

nnnn

nnnn

=

−+⋅

++

=

−+

++

=

−+

++

=−+

++=

∞→∞→∞→∞→

222

22 1

11

111

lim1

1

111

lim1

1

11

lim1

1lim

nn

nn

nnn

nn

nnn

nnn

nn

nn

nnnn

111

11

111

111

lim

2

=++

=

−+

++

=∞→

nn

nn

n

Deci pentru 2

1−=p limita ºirului ( ) 1≥nna este finitã ºi nenulã

11

In fond, trebuie sa gasim doua valori a caror produs sa fie a, lucru care este usor de realizat pentru a,numar natural, dar va fi mult mai dificil in cazul numerelor rationale. I) Sa luam a=1, atunci avem [x]*{x}=1; gasim ca una dintre solutii ar fi x=4,25, pentru ca 4*0.25=1.Pentru a=2 avem [x]*{x}=1cu o solutie x=4,5, pentru ca 4*0,5=2.Aparent formula generala nu ar avea o forma fixa la aceasta problema, deoarece, pentru un a oarecare, a=2in cazul de fata, obtinem doua forme pentru x: x=2a+0.5 si x=4a+0.5. Prelucrand aceste forme ale lui x,

ajungem la concluzia ca , unde t este un numar natural nenul oarecare. Formula aceasta este

valabila numai pentru a, numar natural.

II) In cazul in care a este un numar rational, ne inspiram de la punctul I) al acestei probleme.Sa luam, de exemplu a=5,34; gasim 2*5,35*100+0,005. Explicatia acestei forme pentru x ar fi urmatoarea:

Se dubleaza a, se inmulteste cu puterea (minima) a lui 10 (sa zicem 10k) astfel incat sa devina numar natu-

ral, iar apoi ii adunam un numar subunitar rezultat din impartirea numarlui 1 la 10k+1, iar apoi inmultimacest numar subunitar cu 5.

corecta

Concluzie: Cheia acestei probleme este compensarea. Astfel, trebuie ca, numarul natural care reprezinta parteaintreaga a lui x, inmultit cu numarul rational ce reprezinta partea fractionara a lui x sa faca 1(element neutrula inmultire).

Sursa: www.didactic.ro

Cules de: Marinescu Cristina - XI C

II. Dacã ( )∞∈ ,0a , sã se rezolve ecuaþia [ ] [ ] { } { }x

ax

x

ax +=+ .

Discuþie. Ecuatia se poate scrie si astfel:

Aducem la acela si numitor in paranteza si avem:

[ ] { } { } [ ][ ] { } 0=

⋅−

+−⇔xx

xxaxx Inmultim ecuatia cu -1 si avem:

{ } [ ] { } [ ][ ] { } { } [ ]( ) [ ] { } 010 =

⋅

−−⇔=

⋅−

−−⇔xx

axx

xx

xxaxx

Aducem la acela si numitor in paranteza si avem:

{ } [ ]( ) [ ] { }[ ] { } { } [ ]xx

xx

axxxx =⇔=

⋅

−⋅− 0 , nu are solu tie!

sau [ ] { } axx =⋅ , are solutii, iar acum trebuie s a aflam ce forma

generala are o astfel de solu tie, atunci c and ( )∞∈ ,0a .

[ ] [ ] { } { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } ⇔=

−+−⇔=−+−⇔=−−+ 0

1100

xxaxx

x

a

x

axx

x

ax

x

ax

tatx

1+⋅=

Deci formula general a, pentru knnnna ..., 21= ar fi: 110

15102 +⋅+⋅⋅=

k

knx

Pentru a verifica formula aceasta vom lua, de exemplu, a=8,745.

Avem 0005,174900005,01749010000

517490

10

1510745,82

133 =+=+=⋅+⋅⋅= +x

Daca vom calcula [ ] { }xx ⋅ vom obtine: 745,80005,017490 =⋅ (A), deci formula este corecta

12

Bancuri matematice

--Matematica Iubirii--* Barbat inteligent + femeie inteligenta = poveste de dragoste * Barbat inteligent + femeie naiva =sex * Barbat naiv + femeie inteligenta = casatorie * Barbat naiv + femeie naiva =graviditate

--Matematica la Serviciu--* Sef inteligent + angajat inteligent = profit * Sef inteligent + angajat incompetent= productie * Sef incompetent + angajat inteligent = promovare * Sef incompetent + angajat incompetent= munca peste program

--Matematica la Cumparaturi--* Un barbat va plati 2 $ pentru un produs de 1 $ de care însa are nevoie. * Femeia va plati 1$ pentru un produs de 2 $ de care însa nu are nevoie.

--Egalitati & Statistici--* Femeia se va îngrijora cu privire la viitorul ei pîna la momentul casatoriei. * Un barbat nu se va îngrijora niciodata cu privire la viitorul sau pîna cînd se va casatori. * Un barbat de succes este acela care cîstiga mai mult decît poate cheltui sotia sa. * Femeia de succes este aceea care se marita cu un asemenea barbat.

--Fericire--* Pentru a fi fericita cu un barbat trebuie sa-l întelegi mereu si sa-l iubesti putin. * Pentru a fi fericit cu o femeie trebuie sa o iubesti enorm si sa nu încerci* niciodata sa o întelegi.

--Despre schimbare--* Femeia se casatoreste cu gîndul ca sotul ei se va schimba, dar chestia asta nu se va întîmpla. * Un barbat se casatoreste cu gîndul ca sotia sa nu se va schimba lucru care însa se va întîmpla cu siguranta.

--Tehnica discutiei--* În orice confruntare verbala, femeia are întotdeauna ultimul cuvînt. * Orice cuvînt rostit de barbat dupace ea a încheiat conversatia este de fapt începutul unei noi runde de discutii.

--Cum sa-ti convingi rudele sa nu te mai bata la cap sa te casatoresti--* Matusile în vîrsta obisnuiau sa ma sicaneze la fiecare nunta spunîndu-mi: "Tu urmezi!"* S-au potolit însa dupa ce le-am soptit acelasi lucru la fiecare înmormantare

--Concurs de matematica--Un politist vine-ntr-o zi acasa cu un televizor ultimul racnet. - De unde ai televizoru'? intreaba sotia. - L-am cistigat la un concurs organizat de politie. - Ce fel de concurs? - De matematica. - Si ce v-au dat de facut? - "Cat fac 5x5?" Iar eu, cu 17, am iesit pe locul trei.

13

Numerele si legile hazardului

Numerele sunt prezente in viata noastra zi de zi, fie ca invatam,muncim sau pur si simplu mergem pestrada.

Istoria lor este insa mult mai indepartata decat ne-am putea imagina.Numaratul, util inca de lainceputul vietii pe pamant, le-a dat mare bataie de cap stramosilor nostri indepartati.

Numerele mici sunt usor de apreciat si memorat. Un mod primitiv de numarare este folosirea piet-ricelelor, cate una pentru fiecare obiect. Dificultatile apareau insa in cazul numerelor mai mari.Unele soci-etati numarau pe degetele mainilor, dar nu puteau sa treca de zece, solutia ramanand memorarea numaru-lui de zeci numarate.Dar au existat abateri si de la acest sistem.

De exemplu, cu 4.000 de ani in urma, babilonienii isi bazau numaratoarea pe zeci, pana la numarul60.Un rezultat al acestui fapt este ca in prezent avem un sistem temporal cu 60 de secunde intr-un minutsi 60 de minute intr-o ora.Odata cu dezvoltarea limbilor, oamenii au putut sa foloseasca cuvintele pentrua reprezenta numere.Un alt mod a fost folosirea picturilor, dar este mult mai rapid sa se foloseasca un felde simboluri pentru a reprezenta numerele.

Egiptenii foloseau o serie de linii simple pentru numerele pana la noua si apoi un simbol specialpentru zece.Babilonienii aveau un sistem similar, pe cand romanii au introdus un sistem nou cand numara-toarea ajungea la cinci.Altii aveau un sistem separat pentru fiecare numar pana la noua, ca si in sistemularabic pe care il folosim astazi, iar grecii aveau si ei un simbol special pentru zece.

Utilizarea neincetata a numerelor a dus la necesitatea aparitiei unor metode mai performante de anumara si a calcula.Astfel, dupa indelungata folosire diferitalor mijloace, cum ar fi abacul,a aparut si oforma apropiata a ceea ce azi numim calculator.

Termenul de calculator se refera la un dispozitiv cu roti dintate rotative.Primul calculator de acestfel a fost inventat in anul 1642, in Franta, de catre Blaise Pascal.Curand s-au introdus motoarele electricepentru a grabi actiunea calculatoarelor macanice si s-au incorporat imprimatoare incastrate in unele masi-ni pentru a asigura inregistarea permanenta a calculelor.Cu multi ani mai tarziu de la aparitia primelor cal-culatoare electronice, aceasta tehnologie de baza, dar in forma miniaturizata, ne-a oferit inca un dispozi-tiv pentru lucrul cu numerele-calculatorul de buzunar.

In afara insa de utilizarea comuna a numerelor, acestea ne influenteaza viata prin generarea legilorhazardului.S-ar putea ca maine sa castigam un premiu, dar la fel de bine s-ar putea sa suferim un acci-dent.Nu se stie niciodata ce ne asteapta, insa daca avem la dispozitie toate datele necesare, atunci putemevalua sansele de aparitie a unui eveniment.

Uneori vorbim despre sansa in loc de probabilitate, adica de cate ori este mai probabil sa ca un eveni-ment sa nu aiba loc, decat sa se intample.De exemplu, daca dam cu banul,o posibilitate este ca rezultatul sa fiecap, cealalta este sa fie pajura, sansela fiind de unu la unu.Daca insa aruncam cu doua monede simultan,rezul-tatul poate sa fie doua capete, doua pajure sau un cap si o pajura.S-ar putea crede ca probabilitatea fiecaruirezultat este de o treime.La 100 de incercari se observa insa ca probabilitatea de doua capete este de 25%,probabilitatea de doua pajure este de 25%, in timp ce sansa de a avea cap si pajura este de 50%, deoarecenumarul de cazuri posibile este de patru si nu de trei datorita sansei de aparitie a rezultatului cap-pajura, dar sipajura-cap, fapt usor de observat in cazul folosirii a doua monede diferite.

O aplicatie in viata de zi cu zi a probabilitatilor este aparitia pariurilor bazate pe sansa de a castigasau, pe cea de a pierde.In practica, casele de pariuri schimba raporturile de pariere in functie de marimeasumelor pariate, pe termen lung, casa facand profit, iar jucatorul pierzand.

Multi oameni dezaproba orice fel de pariu, si totusi toata lumea risca intr-un fel sau altul.De exem-plu, problemele cauzate de accidente pot fi conracarate intr-o oarecare masura prin asigurari.Asigurareaeste o forma speciala a pariului, cand jucatorul pariaza ca va pierde, in sensul ca de fapt facem un pariu cusocietatea de asigurare ca vom suferi un accident.Daca acesta se produce, atunci am castigat pariul, iarcompania de asigurare ne va plati o suma ca recompansa, sau in caz de deces, celor mai apropiaterude.Societatile de asigurari, asemanator cu casele de pariuri, realizeaza profit, pentru ca in ansamblu seplateste mai mult decat se incaseaza.

Nita Cristina - XII A

14

15

16

Rezolvare

Sursa: www.edu.ro

17

Matematica interesanta

63 = 64 = 65 (demonstratie cu arii)

63 = 64 = 65. Pare imposibil dar asa este. Poate aritmetic e mai greu de demonstrat insa lucrul asta se poateface foarte usor pe cale geometrica. Pentru aceasta demonstratie am ales un patrat de latura 8 (patratele) care,dupa cunostiintele mele, are aria egala cu 8 x 8 = 64. Acest patrat l-am impartit in patru parti distincte dupa cum se poate vedea in figura alaturata. S-au formatastfel 2 triunghuri si 2 trapeze dreptunghice pe care le-am colorat diferit pentru a va fi dvs mai usor saurmariti firul demonstratiei. De asemeni am notat pe fiecare figura si dimensiunile acesteia. Recombinandapoi aceste piese (si bineinteles pastrand dimensiunile), ar fi trebuit sa obtin o noua figura de aceeasi arie64 . M-am inselat insa. Alaturat aveti 2 moduri in care am recombinat cele 4 figuri. Observati ca au aceleasi dimensiuni (am micso-rat un pic dimensiunea patratelului de baza - din considerente de asezare in pagina, insa fiecarei figuri com-ponente i-am acordat aceleasi numar de patratele) si totusi figurile rezultate au arii diferite. In primul caz amobtinut o figura (un dreptunghi) cu aria 5 x 13 = 65 iar in al doilea caz o figura cu aria 5 x 5 + 1 x 13 + 5 x5 = 63. Va las pe dvs, ca in continuare sa gasiti raspunsul la aceasta egalitate .... inegala.

Un ... paradox

Exista un joc ce se cheama Tangram, un fel de Lego, in care suntdate tot felul de piese, de toate formele, marimile si culorile si cucare se pot face, cu un pic de imaginatie, tot felul de figuri intere-sante. O astfel de figura este si cea din dreapta, figura ce, desi este con-stuita din aceleasi piese, pare a avea arie diferita daca pieselesunt aranjate altfel. Mai precis, a doua figura are aceeasi palarie, acelasi cap, aceleasibrate, acelasi corp (ca arie) dar pare a mai avea un picior in plus.... Puteti spune dvs de unde apare acel picior?

Curba lui KleinO suprafata cu ecuatia x3y + y3z + z3x = 0 in coordonate com-plexe si cu suprafata ideala determinata de ecuatia x3y + y3 + x =0 se numeste curba lui Klein

Radu Ana-Maria - XII A

18

TRIUNGHIUL LUI PASCAL

Numerele din figura (1) sunt coeficientii binomiali, iar dispunerea lor sub forma de tabel triunghiular se numestetriunghiul lui Pascal. Insusi Pascal numea acest triunghi aritmetic.La triunghiul din figura (1) pot fi adaugate noi linii, el poate fi extins oricatde mult.

Reteaua din figura (2) este de fapt, o portiune patrata "taiata" dintr-un tri-unghi mai mare.

Unii dintre coeficientii binomiali sidescompunerea lor intr-un tabel tri-unghiular apar si in scrierile altor autori, anterioare lucrarii luiPascal. Meritele lui Pascal in aceasta descoperire sunt suficiente pen-tru a justifica utilizarea numelui lui.In primul rand trebuie sa introducem o notatie pentru numerele con-tinute in triunghiul lui Pascal. Pentru noi fiecare numar asociat unuipunct din acest triunghi are o semnificatie geometrica: el indicanumarul de trasee distincte, in zigzag, de lungime minima, de la var-ful triunghiului pana la punctul respectiv. Fiecare din aceste traseetrece de-a lungul unui aceluiasi numar de cvartale - sa spunem de-alungul a n cvartale. Mai mult, toate aceste trasee concorda intre elesi in ceea ce priveste numarul de cvartale strabatute mergand spre

sud-vest si numarul de cvartale strabatute mergand spre sud-est.Fie l si respectiv r aceste numere (l -inseamna deplasari spre stanga, r - inseamna deplasari spre dreapta,bineinteles in fiecare caz directia generala este de sus in jos).Evident: n=l+r.Daca notam doua din cele trei numere n, l si r, al treilea este complet determinat, si tot asa este si punctulla care ele se refera.

Vom nota cu Crn (combinari de n luate cate r) numarul de trasee minime de la varful triunghiului lui Pascal

pana la punctul specificat de numarul n (numarul total de cvartete) si numarul r (cvartetele strabatute mer-gand spre dreapta). De exemplu in figura (3): C3

8=56; C510=252. Simbolurile pentru numerele din figura (1), au fost grupate

in mod corespunzator in figura (3). Simbolurile cu acelasi numar "inferior n"se aliniaza pe orizontala in lungul "bazei"de ordinul n, este vorba de baza unui tri-unghi dreptunghic.Simbolurile cu acelasi numar "superior r"se aliniaza oblic in lungul "bulevardului"cu numarul r.

In al doilea rand pe langa aspectul geo-metric, triunghiul lui Pascal prezinta siun aspect legat de proprietati numerice side calcul. Toate numerele de-a lungulfrontierelor (strada zero, bulevardul zerosi punctul lor comun de plecare) sunt egale cu 1.Prin urmare: C0

n=Cnn=1.

Aceasta relatie se numeste conditia la limita a triunghiului lui Pascal. Orice numar din interiorul triunghiului lui Pascal este situat pe un anumit rand orizontal, sau pe o anumita"baza". Un numar oarecare de pe baza (n+1) se calculeaza "mergand inapoi" sau "recurgand" la cele doua

fig. 1

fig. 2

fig. 3

19

numere vecine de pe baza n: Crn+1=Cr

n+Cr-1n.

Aceasta formula se numeste formula de recurenta a triunghiului lui Pascal.

Din punctul de vedere al proprietatilor de calcul, numerele Crn sunt determinate de formula de recurenta si

de conditia la limita a triunghiului lui Pascal.Cand calculam un numar din triunghiul lui Pascal folosind formula de recurenta, trebuie sa ne bazam pecunoasterea prealabila a doua numere de pe baza "precedenta". Exista insa o schema de calcul care esteindependenta de cunostintele prealabile si o vom numi formula explicita a coeficientilor binomiali:

Tratatul lui Pascal contine formula explicita, Pascal nu spune insa cum a descoperit-o dar in schimb da odemonstratie cu totul remarcabila a formulei explicite. In demonstratie Pascal utilizeaza doua leme, in primalema arata ca formula explicita este valabila si pentru prima linie iar in cea de-a doua lema arata ca daca for-mula este valabila pentru o baza oarecare n, atunci ea este valabila si pentru baza imediat urmatoare (n+1).Pascal spunea: "Vedem deci ca propozitia este, in mod necesar, valabila pentru toate valorile lui n. Caci eaeste valabila pentru n=1, in virtutea primei leme, prin urmare ea este valabila si pentru n=2, in virtutea lemeia doua; prin urmare ea este valabila si pentru n=3, in virtutea aceleiasi leme si asa mai departe, ad infinitum."Cuvintele lui Pascal citate aici au o importanta istorica, fiindca demonstratia data de el constituie primulexemplu de aplicare a unei scheme fundamentale de rationament, care se numeste in mod obisnuit: inductiematematica. Pana acum am dat trei moduri distincte de abordare a numerelor din triunghiul lui Pascal: - interpretarea geometrica (un coeficient binomial este numarul de drumuri distincte minime, intre douanoduri ale unei retele de strazi);- abordarea formala (adica exclusiv prin calcul, coeficientii binomiali pot fi definiti prin formula lor derecurenta si prin conditia la limita);- formula explicita;Denumirea numerelor ne mai aminteste o cale:- teorema binomului:Pentru orice x (fix sau variabil) si pentru orice intreg nenegativ n, are loc egalitatea:

Exista si alte moduri de a aborda numerele din triunghiul lui Pascal, numere ce joaca un rol important in foartemulte probleme interesante si se bucura de foarte multe proprietati interesante."Acest tabel de numere are proprietati eminente si admirabile" spunea Jaques Bernoulli, "in el sta esenta com-binatoricii, iar cei familiarizati cu geometria stiu ca in el sunt ascunse secrete capitale din toata matematica".

Bibliografie:

"Descoperirea in matematica" Gheorghe Polya, Editura Stiintifica Bucuresti 1971

Prof. Pirsan Simona

20

Exercitii - Grupuri

1) Fie }1{\),0( ∞=G . Aratati ca urmatoarea corespondenta : ydef xyxyx ln),( =∗→ este o lege de

compozitie pe G si ca ),( ∗G este grup comutativ

Rezolvare: Fie .0,, ln

>yxyxGyx =∗∈ Cum ''''11,1 ln ∗⇒≠⇒≠≠ yxyx este lege de compozitie pe G

Verificam axiomele grupului:

)1G '''')()()( ln)

ln(lnlnlnlnln ln

∗⇒∗∗=∗====∗=∗∗ zyxyxxxxzxzyx zyzyzyyz

asociativa )2G ""∗ admite element neutru G∈∃⇔ 0 astfel incat Gxxxx ∈∀=∗=∗ ,00 .

.,

010ln0lnln

0ln

Gxxxexe

Gexxxx

ex ∈∀===∗

∈=⇒=⇔=⇔=∗ Deci e este elementul neutru

)3G Gexx

xxxxexexx

Gxexxxx

xx ∈=′⇔≠=′⇔=′⇔=⇔=′∗

∈∀=∗′=′∗

′ ln

1ln )1(

ln

1ln1lnln

,

)4G "",,lnln ∗∈⇒∀∗===∗ yxxyyxyx xy este comutativ Deci ),( ∗G este grup comutativ.

2) Pe Z se defineste legea de compozitie 1),(, −+=⊥→→× yxyxyxZZZ def . Aratati ca ( ), ⊥Z este grup abelian Rezolvare:

)1G Fie .,, Zzyx ∈ Avem "")(1)1()( ∗⇒∗∗=−++=∗−+=∗∗ zyxzyxzyxzyx asociabila )2G ""∗ admite element neutru Ze ∈∃⇔ astfel incat

ZexexxexZxxxeex ∈=⇒=−+⇔=∗∈∀=∗=∗ 11., )3G Fie xZx ;∈ este simetrizabil Zx ∈′∃⇔ astfel incat

ZxxxxexxZxxxxxx ∈−=′⇒=−′+⇔=′∗∈∀=∗′=′∗ 211,, Deci orice element este simetrizabil )4G "",,11 ∗⇒∈∀∗=−+=−+=∗ Zyxxyxyyxyx este comutativa

Deci ),( ∗Z este grup abelian

3) Fie ),( •G un grup cu proprietetea : ,)( 222 yxxy = Gyx ∈∀ , . Aratati ce G este grup abelian. Rezolvare :

),(,,

))()(())()(()()()( 222

•⇒∀=⇒==′′=′′⇒′′=′′⇔=⇒=

Gyxxyyxexye

eyxeyyxyxxyyyxxxyxxyyxyxyxyxxxyyxyxyyxxy

Este grup abelian 4) Fie ),( ∗G un grup si .Ga ∈ Aratati ca functiile:

GGg

GGf

→→

:

:

axxg

xaxf

∗=∗=

)(

)(

Gx

Gx

∈∀∈∀

sunt bijective

Rezolvare:

fxxxexexaaxaaxaxaxfxf ⇒=⇒∗=∗⇒∗∗′=∗∗′⇒∗=∗⇒= 2121212121 )()( este injectiva Fie GyaxyeyaxaayxaGy ∈∗′=⇒∗⇒∗′=∗∗′⇒=∗∈ ;

21

Avem : fyyaayafxf ⇒=∗′∗=∗′= )()()( este sujectiva gxxexexaaxaaxaxaxxgxg ⇒=⇒∗=∗⇒′∗∗=′∗∗⇒∗=∗⇒= 2121212121 )()( este injectiva

Fie gyeyaayaygxgGayxyaxGy ⇒=∗=∗′∗=∗=∈′∗=⇒=∗∈ )()()(,, Sujectiva 5) Fie ),( •G un grup si e elementu sau neutru . Daca elementele Gba ∈, satisfac conditiile:

eb =6 si abab4= atunci eb =3 si baab =

Rezolvare:

baabbababbabababababab

ebaabababaabbababbabab

ababaababaababbbbbabababab

=⇒=⇒=⇒=⇒=

=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=

=⇒=====⇒= −−−−

322322

3322624

22121144622144

;

;,

6)Aratati ca functia ZkkfQZf k ∈∀−=→ ,)1()(,: este morfism de la grupul ),( +Z la grupul ),( •∗Q Rezolvare:

fyfxfyxfxfQZf yxyxx ⇒⋅=−⋅−=−=+−=→ + )()()1()1()1()(;)1()(,: este morfism de la ),(),( •+ QlaZ

7) Aratati ca functia ),0(,

1

1)(

)1,1(),0(:

∞∈∀+−

=

−→∞

xx

xxf

f

Rezolvare:

invectivfxx

xxxxxxxxxxx

x

x

xxfxf

,

22111

1

1

1)()(

21

21122121212

2

1

121

⇒=⇒

⇒=⇒−−+=−−++=+−

=+−

⇒=

Fie ),(1

1)1(1

1

1);1,1( ∞∈

−+

=⇒+=−⇒=+−

−∈ oy

yxxyxy

x

xy deoarece ).1,1(−∈y Deci

),0(1

1),1,1( ∞∈

−+

=∃−∈∀y

yxy astfel incat fy

y

yfxf ⇒=

−+

= )1

1()( este surjectiva.

Deci f este bijectiva.

)1,1(,,1

,)1,1(,),,(),().()()(,Re1

1

22

22

11

11

1

1

1

11

1

1

1

1

)()(1

)()()()(;

1

1)(

−∈∀++

=

=∗−=∗≅•∗=+−

=+−

=

=+−−++++−+−+−−+

=

+−

⋅+−

+

+−

++−

=+

+=∗

+−

=

∗+

yxxy

yx

yxsiGundeGRAsadaryfxfxyfzultaxy

xy

xy

xy

yxxyyxxy

yxxyyxyx

y

y

x

x

y

y

x

x

yfxf

yfxfyfxf

xy

xyxyf

Prof. Ivascu Elena

22

Stiati ca …

… In anul 2700 i. Hr. egiptenii introduc calendarul bazat pe 365 de zile.… In anul 2400 i. Hr. In Mesopotamia se dezvolta sistemul de numeratie pozitional in baza 60. Numarul60 este ales, probabil, ca o consecinta a listei mari de divizori ai acestui numar (adica 12 divizori).... Sumerienii utilizeaza un calendar solar de 360 de zile impartit in 12 luni.… In anul 1800 i. Hr. mesopotamienii alcatuiesc primele tabele de inmultire.… In anul 585 i. Hr. utilizand proprietatile de divizibilitate a numerelor, Thales din Milet (636 - 546 i.Hr.) prezice o eclipsa de Soare.… In anul 500 i. Hr. pitagorienii, lucrand cu numere reprezentate prin figuri, atribuie cate un sex fiecaruinumar, cele impare sunt de sex masculin, cele pare, de sex feminin. Tot ei introduc notiunile de numarprim, numar compus, numere relative prime, numere prime perfecte, numere prietene (amiabile).… In anul 440 i. Hr. Meton din Atena dezvolta conceptul de ciclu metonic, o perioada de aproximativ 19ani, in care miscarea Soarelui si a Lunii observate de pe Pamant par a se suprapune. Acest ciclu sta labaza calendarelor grecesc si evreiesc.… In anul 300 i. Hr. Euclid (330 - 275 i. Hr.) prezinta o formula a numerelor perfecte si anume: 2 p -1 ·(2 p - 1 ), unde p si 2 p - 1 sunt numere prime.… In anul 230 i. Hr. Eratostene din Cyrene (275 - 195 i. Hr.) dezvolta o metoda de determinare a tutur-or numerelor prime mai mici decat un numar dat: Ciurul lui Eratostene.… In anul 180 i. Hr. intr-o lucrare de astronomie Hypsicles introduce uzanta impartirii cerului in 360 degrade in matematica greaca.… In anul 46 i. Hr. Iulius Cezar introduce, la sfatul astronomului Sosinge, calendarul compus din trei anide 365 de zile si un an de 366 de zile … In anul 100 d. Hr. Nichomachus din Gerasa (secolul 1 - 2) strange laolalta toate cunostintele vremii indomeniul teoriei numerelor. Sunt prezentate cele patru numere perfecte cunoscute: 6, 28, 416 si 8128.… In anul 250 d. Hr. intr-un tratat de matematica a chinezului Sun - Tzi (secolul 3) apare problema: "Sase gaseasca un numar care impartit prin 3, 5, 7 sa dea resturile 2, 3, respectiv 4", problema provenita dinnecesitatea intocmirii calendarului. In algebra moderna, o astfel de problema poarta numele de "lemachineza a restului".… In anul 620 d. Hr. Indianul Brahmagupta din Ujain (598 - 660) a scris o lucrare care contine remarca-bile cercetari asupra ecuatiilor diofantice.... Indienii folosesc regula lui 9 (daca numerele naturale se aduna, se scad, se inmultesc sau se impartfara rest, rezultatul este congruent modulo 9 cu numarul obtinut prin adunarea, scaderea, inmultirea sauimpartirea resturilor impartirii la 9 a numerelor date ) pentru verificarea corectitudinii operatiilor aritmet-ice.… In anul 1100 d. Hr. Jia Xien stabileste o metoda de constructie a triunghiului de numere numit maitarziu triunghiul lui Pascal.… In anul 1150 d. Hr. Aciarya Bhaskara (1114 - 1185) in lucrarea "Giuvaerul unui sistem astronomic"rezuma cunostintele indiene ale vremii din domeniul algebrei si aritmeticii, concentrandu-se asupra ecu-atiilor diofantice.… In anul 1200 d. Hr. Leonardo Pisano cunoscut sub numele de Fibonacci scrie lucrarea "Liber abaci",considerata timp de doua secole cea mai competenta sursa de cunostinte in teoria numerelor.… In anul 1623 d. Hr. Wilhelm Schickardt construieste prima masina de calculat capabila sa faca adunarisi scaderi, iar ajutata de operator - inmultiri si impartiri. Visul matematicienilor de a putea utiliza o masi-na pentru efectuarea calculelor se apropie de realitate.… In anul 1766 d. Hr. prin legea lui Johann Bode, "distantele la care se afla planetele fata de Soare suntproportionale cu termenii sirului 3, 6, 12, 24, 48, 96", se incearca legarea astronomiei de teorianumerelor. Descoperirea, in anul 1836, a planetei Neptun va dovedi ca legea e gresita

23

Stiati ca …

… Din cantitatea imensa de informatie, primita de creier, doar 126 biti/secunda sunt receptionati in modconstient, restul fiind apanajul subconstientului?!... Matematicianul John von Neumann a calculat ca mintea umana poate inmagazina 280 de catralioane debiti de memorie? ... In procesul comunicarii, 55% ii revine fiziologiei (limbajul corpului), 37% vocii (ritm si ton), si numai8% cuvintelor purtatoare de informatie? ... Daca mesajul non-verbal il contrazice pe cel verbal, oamenii au tendinta de a ignora cuvintele, tinandseama doar de limbajul non-verbal. ... Einstein a afirmat ca "foarte rar gandea in cuvinte", el atribuindu-si rezultatele exceptionale unei combi-natii de imagini, emotii, intuitii si "sentimente musculare"? ... Mozart isi scria intreaga opera muzicala in minte, auzind si perfectionand fiecare nota in parte, si abia apoio asternea pe hartie? ... Un studiu extraordinar de interesant a fost realizat de Moray, in1969: subiectii care au participat la exper-iment purtau casti audio, in care se difuzau doua mesaje diferite, in acelasi timp. Ei au fost rugati sa se con-centreze asupra unuia singur, de exemplu - cel furnizat de difuzorul de la urechea dreapta, si sa redea cu vocetare ceea ce auzeau; evident ca, dupa aceea, nu au putut da nici o informatie despre continutul mesajuluiauzit in stanga, ci doar lucruri vagi despre acesta - daca vocea era a unei femei sau a unui barbat.Mai departe insa, Moray a folosit subiecti carora le aplicase, anterior, socuri electrice, la auzul anumitorcuvinte. El a constatat ca acestia reactioneaza prin modificari fiziologice (modificarea rezistentei electrice apielii, ESR) daca aceste cuvinte au fost introduse in mesajul furnizat de difuzorul stang, la care ei nu eraudeloc atenti! Mai mult, au prezentat aceleasi modificari ESR chiar si la sinonime ale cuvintelor cu pricina,ceea ce a demonstrat ca, in mod evident, subconstientul percepe si analizeaza toate aceste informatii si deter-mina reactii conforme cu experienta anterioara, fara ca persoana sa fie constienta de ce se petrece cu ea.

1 = 0 (demonstratie algebrica)

Fie a = 1 si deci a - 1 = 0 (a este un numar intreg).

Atunci si a 2 - 1 = 0.

a - 1 = 0 si a 2 - 1 = 0 rezulta ca a - 1 = a 2- 1 Egalitatea se transforma in a - 1 = (a - 1)(a + 1) Simplificand obtinem 1 = a + 1 si deci a = 0 . Dar am pornit de la ipoteza ca a = 1 si am ajuns la a = 0. Deci 1 = 0

Murphy stie mai bine logica alegerilor :)

In fata votului:1 prost este egal cu 1 destept2 prosti nu sunt egali cu 2 destepti, pentru ca din 2 destepti, unul n-o sa vina la vot, fiindca i se pare ca totule lipsit de sens.3 prosti nu fac nici atata 3 destepti, pentru ca din 3 destepti, unul are probleme existentiale si nu vine la vot,iar altul e sigur ca o sa iasa tot aia si n-are sens sa se mai duca.4 prosti contra 4 destepti?Exclus: din 4 destepti, unul n-are Mercedes si i se pare ca n-o sa se schimbe nimic, altul stie el cine o sa iasa,iar al treilea prefera sa adoarma la un film bun de cinemateca.Concluzia:Asta e Democratia: 100 de destepti n-or sa faca niciodata cat 1 prost care voteaza!

24

Magia numerelor

Ghicirea unui numarCereti cuiva sa scrie pe o bucata de hartie un numar oarecare, format din patru cifre cuprinse intre 0 si 9,in ordine consecutiva. Apoi, sa scrie acelasi numar in ordine inversa. Se vor obtine asadar 2 numere for-mate din cata patru cifre. In final sa se scada numarul mai mic din numarul mai mare. Asta-i tot pentru a deveni vrajitor . Adica nu-i tocmai totul pentru ca mai aveti nevoie de ceva. Rugatideci pe cel ce a facut operatia amintita sa va comunice ziua si luna nasterii (nu si anul, intrucat femeile... va pot induce in eroare!). Acum intr-adevar sunteti in posesia datelor necesare. Ca atare, luati un creionsi o hartie si... printr-o simpla inmultire spuneti rezultatul scaderii amintite mai sus. Ce inmultire amfacut?

RaspunsInmultirea de care am vorbit in legatura cu scaderea celor 2 numere ... nu este de fapt nici o inmultire sau- daca vreti - o inmultire cu 1! Am introdus-o in "scenariu" tocami pentru a justifica, macar de ochii lumii,pretentia de "vrajitor" si pentru a abate pe moment atentia de la faptul ca cele 2 numere formate din ace-leasi cifre consecutive, scazute unul din celalat inversat dau totdeauna ca rezultat 3087 . Asa ca dvscunoasteti dinainte acest rezultat!

Rapid Va puteti lauda fara nici o teama ca sunteti in posesia "secretului" de a executa rapid, fara hartie si creion,diferite operatii aritmetice cu numere alcatuite din doua cifre. Asadar, rugati perosoana care nu credeacest lucru sa aleaga doua numere formate din cate doua cifre astfel incat unul sa fie mai mare ca celalaltcu o unitate. Apoi cereti-i sa imnulteasca fiecare din numerele alese cu el insusi. Dupa aceea rugati-l sascada produsul mai mic din cel mai mare si sa va comunice restul. Plecand acum de la valoarea restuluiii puteti spune imediat care au fost cele doua numere alese.

RaspunsDin restul care vi s-a comunicat, scadeti cifra 1, iar ceea ce va ramane impartiti la doi. Procedand astfelobtineti unul din cele 2 numere (cel mic) ales de persoana respectiva: celalalt, este cu o unitate mai mare.De exemplu, interlocutorul dumneavoastra a ales numerele 25 si 26. Imnultite cu ele insesi dau 625 sirespectivi 676. Scazand 625 din 676, se obtine 51. Acesta este numarul pe care vi-l comunica interlocu-torul, din care dumneavoastra scadeti 1, iar restul il impartiti apoi la 2. Obtineti 25, adica numarul cel micdintre cele doua numere alese de interlocutor.

Numarul 22Scrieti pe o hartiuta un numar format din doua cifre, impaturiti hartiuta si puneti-o pe masa. Dupa aceea,rugati trei persoane sa ia fiecare cate o bucatica de hartie si sa noteze pe ea cate o cifra, fara a comunicacelorlalti numarul scris. Cele trei hartiute vor fi imnanate apoi a unei a patra persoane, care va fi rugatasa alcatuiasca din cifrele scrise de cei trei, toate cele sase combinatii posibile din cate doua cifre. Deexemplu, presupunand ca cifrele scrise de cele trei persoane au fost 4, 8 si 1, combinatiile acestor cifre,luate cate doua, vor fi: 48, 84, 41, 14, 81, 18. Apoi rugati pe cineva sa adune toate aceste sase numere.De asemenea, rugati sa se faca si suma celor trei cifre scrise pe bucatele de hartie. In sfarsit, ca ultimaoperatie, cereti sa se efectueze impartirea sumelor obtinute. Cu acestea totul e gata. Spre uimirea celor defata, rezultatul impartirii va fi acelasi cu numarul de doua cifre pe care l-ati scris la inceput pe hartiaimpaturita!

RaspunsCum se explica ca ati stiut de la inceput rezultatul? Foarte simplu. Numarul scris de dvs pe bucatica de hartie a fost... 22. Oricare ar fi cifrele alese de cele trei persoane, suma celor sase numere, de cate doua cifre, obtinute princombinarea lor impartita la suma celor trei cifre va da totdeauna ca rezultat numarul 22.

Costache Andra - XI C

25

Probleme cu chibrituri

O intrebare: Poate fi construit un patrat din douazeci si sapte de chibrituri?

RaspunsRaspunsul este "da". Solutia o constituie cuvantul "patrat",scris cu ajutorul a 27 de bete de chibrit

1=2 ? Deplasati un bat astfel incat sa se obtina o egalitate adevarata :

Raspuns1=11 Corect!

Fractii Cu ajutorul a sase bete de chibrit a fost realizata o fractie subunitara. Deplasati un singur batpentru a obtine o fractie cu valoarea 1.

RaspunsO solutie ingenioasa:

Un cubIntr-un punct de intalnire a trei bete de chibrit putem avea zero, unul, doua sau trei capete cu fosfor, decipatru posibilitati. Din douasprezece bete realizati un cub in care pe fiecare fata sa se gaseasca toate celepatru combinatii.

RaspunsTot ce trebuie sa facem este sa realizam un cub in care varfurile fetelor opuse sa fieidentice si toate cele patru combinatii sa apara in aceste perechi de varfuri.Constructia la care se ajunge este cea din figura.

Numarul minim Care este cel mai mic numar care poate fi scris cu ajutorul a trei bete de chibrit?

Raspuns La prima vedere, solutia il reprezina 3 roman. Dar fractia 1/1 are valoare mai mica, iar 1-1 este chiar 0.Insa nici acesta nu este raspunsul corect, caci putem admite si numere negative. Gandindu-ne la cifre arabe,ramanem la -11, dar solutia este reprezentata cu ajutorul cifrelor romane: -L=-50.

26

Relizarea corelaþiei chimie - matematica prin utilizareaalgoritmilor matematici in rezolvarea

problemelor de chimie

"Noi deducem cele nevazute din cele prezente"(Euripides)

Printre metodele active utilizate in procesul de predare-invatare al chimiei se numara si rezolvarea de prob-leme. Chimia devine astfel o disciplina logica, in care studiul individual este conditia esentiala pentru perfor-manta.Ritmul rapid al evolutiei lumii in care traim aduce in lumea chimistilor provocari extraordinare: invatareaelectronica se refera la intreaga gama de posibilitati de utilizarea a calculatorului in domeniul invatariiumane.In rezolvarea problemelor de chimie se utilizeaza:- Algoritmul sumei (probleme de termochimie si termodinamica, amestecuri gazoase si tehnologie chimica);- Extragerea radacinii patrate (probleme de pH, solubilitate);- Calcularea logaritmului(cinetica chimica);- Algoritmul produsului (calcularea stabilitatii combinatiilor complexe);- Rezolvarea ecuatiei de gradul al II-lea (probleme de chimie organica);- Probleme de chimie organica - structura compusilor organici.Majoritatea algoritmilor respectivi fiind cunoscuti de elevi din lectiile de matematica, metodologia utilizariise bazeaza pe redescoperirea lor in cadrul activitatii de rezolvare a problemelor de chimie.De exemplu, redescoperirea algoritmului sumei, legarea notiunii de suma de cele de entalpie se face plecan-du-se de la simplu, de la concret, pe baza urmatoarei situatii problema:Stiind ca:

b) Sa se generalizeze rezultatul obtinut.Se scot concluziile cu ajutorul elevilor.Se precizeaza ca semnifica suma algebrica. Se cere elevilor sa exprime matematic legea lui Dalton pentruamestec din "n" gaze.

Exercitiul nr.1. Calculati masa atomica relativa a oxigenului cunoscand proportiile:

ÄHo=Hoprod - Ho

react (Ho – entalpie standard)

a) Sa se scrie Hoprod, respectiv Ho

react pentru reactia dDcCbBaA +→+

Ó

%)20,0(O

%)04,0(O

%)76,99(O

188

178

168

Rezolvare: A=p1A1+ p2A2+…+ pnAn

p1, p2, … pn – reprezinta procentele A1, A2+… An – reprezinta masele atomice ale izotopilor

0028,16A

18100

20,017

100

04,016

100

76,99A

0

0

=

⋅+⋅+⋅=

Se observa ca masa atomica relativa, A0 este un numar fractionar.

Exercitiul nr.2. Calculati masa atomica relativa a magneziului, cunosc and ca abundenta izotopilor lui este: %).11(Mg%);10(Mg%);79(Mg 26

122512

2412

Rezolvare:

36,2426100

1125

100

1024

100

79A =⋅+⋅+⋅=

27

O altfel de matematica

100100100Se observa ca: - procentele in care izotopii unui element chimic sunt r aspanditi in natura poarta denumirea de

abundenta izotopica. - masele atomice relative ale elementelor au valori fractionare, deoarece sunt calculate ca medie

ponderala a izotopilor componenti. Exercitiul nr.3. Sa se calculeze echivalentul chimic al H 3PO4 in reactia cu NaOH, stiind ca s-au

inlocuit 2 atomi de hidrogen. Raspuns:

492

98E

OH2HPONaNaOH2POH

43POH

24243

==

+→+

Exercitiul nr.4. Sa se calculeze echivalentul chimic al KMnO 4 in reactia de oxido-reducere:

↑+++→+ Cl5OH8KCl2MnCl2HCl16KMnO2 224 Raspuns:

61,315

158E

MnMn

4KMnO

2e57

==

→ +++ −

Exercitiul nr.5. Ce volum ocup a 14,2 Kg Cl 2 la temperatura de 273 oC si p=6 atmosfere? Rezolvare: T=273+t=273+273= 546 K

3m49,1671

546082,02,14

pM

mRTV

RTM

mnRTpV

=⋅

⋅⋅=

⋅=

⋅==

Exercitiul nr.6. Sa se determine ce cantitate (mas a) este continuta in 200 m3 NH3 la 227oC si presiunea de 5 at? (1atm=1,033 at).

Rezolvare: V1=200 m3NH3

t1=227oC p1=5 at

m= ? g NH3

=

=

M

mn

at033,1atm1

°=+=+==⋅+=⋅+=K500273227273tT

171314A3AM HNNH3

RTM

mnRTpV

atm84,4atm033,1

5at5

⋅==

==

RT

pVMm =

Kg013,4m

500082,0

171020084,4m

3

=⋅

⋅⋅⋅=

Intrebari recapitulative cu rezolvare teoretica, iar la unele cazuri si practica in care eleviireusesc sa parcurga intr-un singur exercitiu materia unui capitol, a unui semestru sauchiar a unui an scolar intreg.I.) Rezolvati prin ecuatii chimice (aplicand proprietatile substantelor organice studiate)transformarile: Hidr. Deriv. halog. Nitril Acid clorura acida Amida EsterII.) ALCHENA Deriv.halog. Deriv.org.magn Acid Clorura acida amida nitril aminaaminoacid peptidaIII.) HIDR. AROM. Nitroderivat Amina Nitril Acid carboxilicTipurile de probleme cel mai des intalnite in manuale, culegeri si reviste sunt:- Probleme cantitative (probleme care se rezolva prin calcul matematic)- Probleme calitative sau probleme-intrebari (cele care se rezolva fara calcul matematic)- Probleme cu rezolvare grafica- Probleme practice.

prof. Bucur Florenta

28

Mai sunt 105 zile …

Mai sunt 105 zile … Poate va intrebati pana cand. Daca a-ti sta sa numarati, a-ti realiza ca mai sunt 105 zile pana la Examenul de Bacalaureat.

Unii poate va vor spune ca mai e destul, altii, de cealalta parte, vor gandi ca deja timpul s-a scursfoarte repede si ca "timpul nu mai are rabdare" ("Ion" - Liviu Rebreanu) - ca tot a venit vorba deBacalaureat.

Sunt multi care inca mai cred ca acest examen e un lucru foarte simplu…eu insami am trecut prinemotiile acestui examen, si credeti-ma, nu este tocmai usor. Multi se gandesc la aceasta etapa intr-un modsuperficial, astfel ca rezultatele vor fi pe masura.

Am prieteni care acum sunt in clasa a XII-a. Ei inca nu constientizeaza ce-i asteapta. Pana la urma,nu cred ca sunt foarte multi care stiu exact ce simbolizeaza acest examen. Trecuta prin el, va pot spune caBacalaureatul va poate deschide portile pentru o noua viata (facultate) sau, dimpotriva, vi le poate inchide.El trebuie tratat cu cea mai mare seriozitate. Daca, din nefericire, n-ati reusit sa intelegeti pana acum acestlucru, eu va dau un sfat: sa o faceti pana nu e prea tarziu! Incercati sa va ganditi ca viitorul vostru depindede acest obstacol.

Mi-ar parea bine sa aud ca ati reflectat la ceea ce am scris eu aici si v-ati hotarat sa-i acordati unmaximum de importanta.

Sper din tot sufletul sa nu ma considerati o persoana anosta care nu are alta treaba decat sa vaspuna sa invatati. Aici am vrut doar sa va fac sa realizati ce inseamna acest examen, sau macar sa va gan-diti un pic inainte de a spune: Mai am timp destul!, pentru ca timpul nu a fost niciodata prietenul nostrumsi trebuie sa invatam sa-l valorificam la maximum.

Pana peste 105 zile, eu va spun doar atat:Faceti din timpul vostru un aliat de nadejde si veti reusi!

Va urma …

Madalina Mitrea

29

Facem igolescu

Ce e “igolescu”?Site-ul Grupului Scolar “Iordache Golescu” Gaesti

De ce faceti “igolescu”?Pentru ca ei vor un site, iar noi stim sa facem un site.

Cat va ia sa faceti “igolescu”?Asta e o intrebare cu un raspuns relativ. E greu de estimat.

Si totusi?Doua luni

Cum faceti “igolescu”?Pai intai avem cateva discutii preliminare cu cei din comisia pentru site a GrupuluiScolar “Iordache Golescu”; aflam ce vor ei sa fie pe site. Apoi noi le prezentam un lay-out, iar daca ei sunt de acord cu el, ne apucam de treaba.

Ce asteptati?Ca elevii Grupului Scolar “Iordache Golescu” sa ne trimita pe adresa“ivascuyvy@gmail.com” ce ar vrea sa fie pe site, pareri, opinii si propuneri, si saurmareasca desfasurarea actiunii pe “projectd.ivascucristian.com/facem-igolescu/”.

Altceva?Atat

Anul II, nr. 1, martie 2007

Revista de matematica a elevilor si profesorilor din Grupul Scolar “Iordache Golescu” Gaesti

Acest supliment se distribuie numai impreuna cu revista Simbol

DICTIONAR DETERMENI - MATEMATICA

ABSCISA (absurdus), termen introdus de Leibniz. Pentru un punct de pe o ax a reprezinta numarul care indica lungimea segmentului cuprins intre punct si originea axei. E: absciss; F: abscisse (O.M.). ABSURD (absurdus), contrar cu logica, cu ra tiunea. O demonstra tie sau un ra tionament prin absurd poate fi realizat in doua moduri: (a) se stabileste ca o propozitie este adevarata aratand ca daca nu este se ajunge la o consecin ta falsa; (b) se stabile ste ca o propozitie este falsa aratand ca consecintele sale sunt false. E: absurd; F: absurde (O.M.). ADUNARE (additio), operatie care consta in reunirea intr-un singur numar (numit suma) a doua numere. Operatia se defineste analog si pentru alte entit ati matematice asem anatoare, ca: polinoame, functii, vectori etc. E: addition; F: addition (O.M.). AFIX (affixus = atasat), numarul complex z= a + bi ata sat punctului din planul complex (C) raportat la un reper ortonormat. (O.M.). ALGORITM succesiune determinat a de prescrip tii precise avand ca obiectiv rezolvarea problemelor dintr-o anumita clasa, dupa un numar finit de pasi. Ex: algorit mul lui Euclid pentru aflarea (a, b) = c.m.m.d.c. al numerelor a si b. E: algorithm; F: algorithme (O.M.). ANALITIC care procedeaz a prin calea de analiz a ce considera lucrurile prin elementele lor (o metod a analitica, un spirit analitic) in opozitie cu sintetic care consider a lucrurile in ansamblul lor. E: analytic; F: analytique (O.M.). APARTENENTA relatie intre un element a si multimea A, din care face parte, ceea ce se scrie a ∈A. Sensul de apartenen ta a fost introdus de Peano in 1897. E: membership; F: appartenence (O.M.). APLICATIE (applicatio = actiunea de a lega), func tie. E si F: application . APROXIMARE (approximare = a apropia), opera tie de determinare a unui element dintr -un spatiu metric, a carui distanta fata de un element dat s a fie mai mica decat un numar pozitiv dat. E: approach . ARGUMENT (argumentum = dovada), variabila independent a a unei functii sau pentru un num ar

complex z = a + bi, prin arg z = arctgb

a . E: argument .

ASIMPTOTA a se contopi, a coincide, dreapt a asociata unei curbe plane cu p uncte la infinit astfel incat atunci cand un punct al curbei se deplaseaz a spre infinit, distan ta sa de la dreapt a tinde catre zero. E: asymptote . ASOCIATIVITATE ( asociare = a uni), proprietate a unei opera tii binare o : MxM, de a satisface relatia: xo(yoz) = (xoy)oz. E si F: association AXA DE COORDONATE ( axis = osie), dreapt a orientata pe care se alege un punct fix (numit origine) si o unitate de m asura. E: axis of coordinates; F: axe de coordonées AXIOMA LUI ARHIMEDE oricare ar fi num erele reale 0<x<y, exist a totdeauna un num ar natural n, asa incat nx>y. AXIOMA (axioma = opinie), enun t primar dintr -un sistem axiomatic. BARICENTRU (gr: barus = greu), centru de greutate al unei figuri, al unei suprafe te, al unui corp cu masa distribuit a uniform. E: barycentre; F: barycentre (O.M.). BAZA (basis = sprijin), una din laturile unui triunghi sau a unui paralelogram cu ajutorul c areia se calculeaza aria. Intr-un spatiu vectorial prin baz a se intelege o familie minimal a de vectori liniar

independenti care genereaz a intreg spatiul vectorial. Ex: i→

, j→

, k→

formeaza o baza pentru R3). E si F: base (O.M.). BIJECTIVA o functie (aplicatie) injectiva si surjectiva. O astfel de func tie se mai numeste si bijectie. E si F: bijective (O.M.). BINOM (bis = din doi), o expresie algebric a in care figureaz a doar doi termeni sub form a de suma sau diferenta. Ex: 3a2 – 2b. E: binomial; F: binôme (O.M.). BINOMUL LUI NEWTON formula care d a dezvoltarea puterii de ordinul n unui binom: (a+ b)n = an + Cn

1an-1b + Cn2an-2b2 + ...+ Cn

nbn. F: binôme de Newton (O.M.). BINORMALA (bis = de doua ori normala), normala la o curb a in spatiu intr-un punct dat al curbei, perpendiculara pe planul osculator al curbei in acel punct. E: binormal; F: binormale (O.M.). CARACTERISTICA UNUI CORP K numarul p∈N minim astfel incat p·1 = 0, unde 1 este elementul neutru din K in raport cu inmultirea, iar 0 este elementul neutru al lui K in raport cu adunarea. Daca Q⊂K atunci p = 0 iar in caz contrar p = num ar prim. (O.M.).

CARACTERISTIC A (a unui logar itm), partea intreaga a logaritmului. (O.M.). CARDINALUL UNEI MUL TIMI (cardinalis = principal), num ar atasat unei multimi si clasei multimilor echivalente cu mul timea data. In cazul unei mul timi cu un numar finit de elemente cardinalul sau reprezinta numarul elementelor sale, iar in cazul multimilor infinite este un num ar transfinit. Ex: card N = ℵ0 (alef zero); cardR= ℵ1 astfel ca ℵ0<ℵ1. notiunea a fost introdus a in 1879 de G. Cantor. Cardinalul unei mul timi se mai nume ste si puterea acelei mul timi. E si F: cardinal (O.M.). CENTRU (gr: kentron = indicator), punctul in raport cu care o figur a geometrica ramane neschimbata printr-o simetrie fa ta de el. E: centre (O.M.). CERC TRIGONOMETRIC ( circulus), cercul cu raza egal a cu unitatea, pe care s -a stabilit o ori gine A (de la care se face m asurarea arcelor) si un sens (de obicei antiorar). E: unit circle (O.M.).

COMBINATIE LINIARA

1

n

i

ai xi∑=

, unde x i apartine unui spatiu vectorial E, iar a i sunt scalari din

corpul numerelor reale. E: linear combination; F: combinaison liné aire (O.M.). COMUTATIVITATE ( comutatio), proprietate a unei opera tii binare o : MxM ? M de a satisface relatia xoy = yox. F: commutativité (O.M.). CONDITII INITIALE conditii impuse solu tiei unei ecua tii diferentiale sau cu derivate par tiale. E: initial conditions; F: conditions initiales (O.M.). CONSTANTA (constantiis = neschimbator), o marime a carei valoare ramane aceeasi. E si F: constant (O.M.). CONTINUITATE ( continuitatis ), proprietatea unei func tii de a fi continu a (graficul ei nu are intreruperi). E: continuity; F: continuité (O.M.). CONVERGENTA (convergere) a se apropia, Ex: sir convergent, serie convergent a. E: convergency; F: convergence (O.M.). COORDONATE numere care fixeaz a pozitia unui punct pe o dreapt a, in plan sau in spatiu in raport cu un sistem de referin ta. F: coordonné (O.M.). COORDONATE CARTEZIENE coor donate raportate la un reper format din dou a drepte (in plan) sau de trei drepte ( in spatiu) numite axe de coordonate. (O.M.). CORESPONDENTA (corespondere = a se potrivi), rela tia dintre doua multimi A si B, conform careia fiecare element al mul timii A este pus in legatura cu unul sau mai multe elemente din mul timea B. E: association; F: correspondence (O.M.). CURBA (curvus = curbat), curb a plana = {(x, y) | x = x(t), y = y(t), t ∈T∈R}. In ipoteza ca exista si a treia coordonat a z = z(t) atunci este vorba de o curba stramba (in spatiu). (O.M.). DEMONSTRATIE (demonstratio = dovedire), procedeu logic pentru stabilirea deductiv a a adevarului unei propozi tii. Tales (sec. VI i. Hr.) a fost primul matematician care a enun tat o teorema insotita de demonstratie. E: demonstration; F: démonstration (O.M.).

DERIVATA =x0x

f x( ) f x0( )−

x x0−lim→

daca exista si este finita, unde f : I ? R, I ⊆R si x0∈I. A fost introdus a

in 1665 de Newton ( in legatura cu definirea vitezei la un moment dat a unui mobil ce se mi sca neuniform si nerectiliniu) si de Leibniz in 1673 (in legatura cu problema determin arii tangentei la o curba in punctul x0. E: derivate of a function; F: deriveé (O. ⊆M.). DETERMINANT num arul care se ob tine insumand cele n! produse formate cu elementele a ij ale matricei patrate A=(a ij) cu i, j = 1, 2, ... ,n si aij∈R, atunci det A =

υεSn

1−( ) invυ a j 1( )a 2j2( )....a njn( )∑

unde υ1

i1

2

i2

....

....

n

in

ε Sn:=....

este multimea permutarilor de ordinul n, iar inv õ este numarul inversiunilor

permutarii õ. Denumirea de determinant se datoreaz a lui A. Cauchy. E: determinant; F: déterminant (O.M.). DIAMETRU ( unei mul timi A ce apar tine unui spa tiu metric) este sup d(x, y) unde d(x, y) este distan ta dintre x si y, ambele din A. (O.M.). DIFERENTIALA (differentiare = a face diferen ta), df = f'(x)dx, unde f'(x) este derivata func tiei f(x) iar dx este diferen tiala argumentului x. (O.M.). DIMENSIUNE (dimensio), a unui spa tiu liniar (vectorial) num arul maxim de vectori liniar independenti din spatiul liniar respectiv. E: dimension; F: dimension (O.M.).

DISCRIMINANT (discriminans = care spera), care spera. Ex: pentru ecua tia de gradul 2: ax 2 + bx + c = 0, expresia Ä = b2 + 4ac reprezint a discriminantul ecua tiei, deoarece „deosebe ste” natura radacinilor sale. F: discriminant (O.M.). DISJUNCTIE (disjunctio = separare), a dou a propozitii p si q este propozi tia pvq = p sau q (este adevarata cand cel putin una din propoz itii este adevarata). (O.M.). DISTANTA (distantia) pe o multime A, o aplica tie d : AxA ? [0, ? ) care indeplineste conditiile: (1) d(x,y)=0? x= y; (2) d(x,y)=d(y,x); (3) d(x,z)?d(x,y)+d(y,z). Distan ta euclidiana (in Rn) este d(x, y) = [? (x i-yi)

2]1/2 unde x=(x1,x2,..., xn); y = (y1, y2, ..., yn). E si F: distance (O.M.). DIVIZIBILITATE rela tie intre doua numere intregi (sau polinoame) a si b, atunci cand exista un intreg (polinom) c, astfel incat a = bc. F: divisibilité (O.M.). DIVIZORI AI LUI ZERO elementele a?0 si b?0 din inelul A, astfel incat ab = 0 sau ba = 0. F: diviseur de zéro (O.M.). DOMENIU DE INTEGRITATE un inel comutativ unitar, f ara divizori ai lui zero. E: domain of integrity; F: domaine d’intégrité (O.M.). ECHIVALENTA (aequus = egal), doua propozitii p si q se zic echivalente si se scrie p? q, dac a ambele sunt adev arate sau ambele false. E: echivalence; F: échivalence (O.M.). ECUATIE (aequatio = egalare), egalitate intre doua expresii care con tin elemente de aceea si natura (numere, functii, vectori, etc) dintre care unele sunt cunoscute iar altele necunoscute, adev arata numai atunci cand elementele necunoscute sunt inlocuite cu anumite elemente numite solu tii. Termenul a fost introdus de Fibonacci ( in lucrarea Liber abaci din 1202). Tipuri de ecua tii: (1) ecuatie algebrica: P(x1, x2, ..., xk) = 0 unde P este un polinom de un grad oarecare cu necunoscutele x 1, x2, ..., xk; (2) ecuatie diferentiala: F(x, y, y', y'',..., y (n)) = 0 unde x = argumentul, y = func tia necunoscuta si derivatele sale y', y'',..., y(n); (3) ecuatie functionala: ecuatia in care necunoscuta este o func tie. (4) ecuatie diofantica (dupa numele lui Diofant), ecua tie algebrica cu coeficien ti intregi, in care se caut a numai solutiile intregi. E: equation; F: écuation ( O.M.). EGALITATE (equalitatis „=”), o rela tie binara definita pentru elementele unei mul timi, care este o relatie de echivalen ta (reflexiva, simetrica si tranzitiva). E: equality; F: égalité (O.M.). ELEMENT NEUTRU ( elementum neuter ), in raport cu o lege de compozitie definita pe multimea A, astfel incat xoe = eox= x unde o : AxA ? A. (O.M.). EVENIMENT ALEATOR ( aleatorius = intamplator), element al unui c amp de evenimente. E: event; F: événiment (O.M.). EXPRESIE (expressio = exprimare), ansamblu de elemente (numere, litere, etc) legate intre ele prin simboluri ce exprim a operatii matematice. (O.M.). EXTRAPOLARE (extrappolere = afara are putere), determinarea unei func tii (polinom) care s a aproximeze, in afara unui interval [a, b] o func tie f(x) ale carei valori sunt cunoscute in punctele: a=x0<x1<x2<…<xn=b. E si F: extrapolation (O.M.). FACTORIAL DE N n ∈N, n! = 1·2·3·...·n. A fost introdus de C. Kramp in 1808 (O.M.). FIGURI ECHIVALENTE sunt dou a figuri geometrice care au aceea si arie sau volum. (O.M.).

FLUX (fluxus = curgere), al unui vector v→

= a x y, z,( ) i→

b x y, z,( ) j→

+ c x y, z,( ) k→

+ printr-o suprafata S

este integrala de suprafa ta a componentei normale a vectorului v→

. Daca n este versorul normalei la S,

atunci fluxul lui v→

, este : ∫∫ v→

n→⋅ dS = yxa x y, z,( ) dydz b x y, z,( ) dzdx+ c x y, z,( )+

⌠⌡

d⌠⌡

d (O.M.).

FORMA PATRATICA in nedeterminatele x 1, x2, ..., xn este polinomul omogen de gradul doi : q(x 1, x2, ..., xn) = a11·x1

2 + ...+ ann··xn2 + 2a12·x1·x2 + 2ann-1·xn·xn-1 (O.M.).

FORMULA LUI LEIBNIZ -NEWTON a

b

xf x( )⌠⌡

d = F(b) - F(a) unde F'(x) = f(x) (O.M.).

FORMULA LUI TAYLOR f(x) =

f a( )x a−( )

1!+

x a−( )2 f 1( ) a( )

2!+ ....+

x a−( ) n f n( ) a( )

n!+ Rn x( )+ unde Rn(x) este restul de ordinul n, care are mai

multe expresii, dintre care una este R(x) = x a−( ) n 1+

n 1+( )!f n 1+ c( ) unde c∈(a, x). (O.M.).

FRACTIE (fractio = frangere), = m

n unde unde m,n ∈N si n?0. Se mai numeste si numar rational.

Scrierea ei sub aceast a forma dateaza de la Fibon acci (O.M.).

FRACTIE CONTINUA = [a1,a2,...,an] = a 1 + 1

a21

a3 ....++

care are un num ar finit de termeni,

ai∈Z. (O.M.). FRACTIE ZECIMALA fractie al carei numitor este o putere natural a a lui 10. (O.M.). FUNCTIE DENSITATE DE PROBABILITATE este ö(x) ce defineste probabilitatea elementar a dP ca o variabila aleatoare continu a X sa ia o valoare din intervalul (x, x + dx): dP = ö(x)dx cu ö(x)?0

si oo−

oo

xφ x( )⌠⌡

d = 1 (O.M.).

FUNCTIE ANALITICA (gr: ana = prin, litikos = descompunere), este func tia reala (complexa) f(z) unde z = x + iy definit a univoc in fiecare punct din domeniul s au de defini tie D si care poate fi reprezentata in jurul fiecarui punct din D printr -o serie de puteri. Deci pentru orice z 0∈D, avem f(z) =

n

an z z0−( )n∑ unde n∈N si k∈Z. E: analytic function; F: fonction ana lytique (O.M.).

FUNCTIE BIJECTIVA (bis = de doua ori, jeter = a pune), o func tie f : A ? B care este injectiv a (oricare ar fi x 1 ? x2 din A sa avem f(x1) ? f(x2)) si surjectiva (oricare ar fi y ∈B sa existe un x ∈A, asa incat y= f(x)) (O.M.). FUNCTIE CARACTERISTIC A a unei variabile aleatoare este valoarea medie a variabilei aleatoare eitx unde i2 = -1. (O.M.). FUNCTIE CONTINUA intr-un punct x0∈A (domeniul de defini tie al functiei) este daca are proprietatea

x0xf x( )lim

→= f(x0) (O.M.).

FUNCTIE RATIONALA (ratio = raport) P x( )

Q x( )=

a0 xn a1 xn 1−+ ....+ an+

b0 xm b1 xm 1−+ ....+ b m+ (O.M.).

FUNCTII HIPERBOLICE (de argument real), sunt: shx = ex e x−−

2 (sinus hiperbolic); chx = ex e x−+

2

(cosinus hiperbolic); thx = shx

chx (tangenta hiperbolica). Exista relatia ch2x – sh2x = 1 (O.M.).

FUNCTIONALA functie definita pe o multime de functii reale. E: functiona; F: fonctionelle (O.M.). GENERATOARE (generatoris = care produce) , curba care deplasandu-se dupa o anumita lege genereaza o suprafata. E: ruling; F: génératrice (O.M.). GEOMETRIE (geo = pamant; metron = masura), ramura a matematicii care studiaz a formele corpurilor si rapoartele lor spa tiale. E: geometry; F: géométrie ( O.M.). GEOMETRIE ANALOGMATEMATIC A ramura a geometriei care studiaz a figurile generate de cercuri si sfere. (O.M.). GEOMETRIE ANALITIC A (gr: ana= prin litikos = descompunere), ramur a a geometriei in care se studiaza proprietatile figurilor geometrice cu aju torul calculului algebric. A fost creat a de Descartes si Fermat in secolul al XVII. (O.M.). GEOMETRIE INTEGRAL A studiaza proprietatile masurilor de elemente geometrice, probabilit atile geometrice si invariantii integrali ai unui grup. Denumirea se datore ste matematicianului german W. Blaschke care a introdus -o in 1935 (O.M.). GEOMETRIE NEEUCLIDIAN A ramura a geometriei care difer a de geometria euclidian a prin axioma paralelelor. (O.M.). GEOMETRIE RIEMANIAN A ramura a geometriei care studiaz a proprietatile unui spatiu cu n dimensiuni in care s-a introdus o metric a printr-o forma diferentiala patratica. (O.M.). GRAF (gr: graphe = scriere), ansamblu format dintr -o multime E si o aplicatie f a lui E in multimea partilor sale = P(E). E: graph; F: graphe (O.M.). GRAFIC (gr: graphicos = scriere), al func tiei f : A ? B este G f={(x, f(x))|x ºE}⊂AxB. E: graphic; F: graphique (O.M.).

GRUP o multime nevida G, pe care s -a definit o lege de compozi tie o : GxG ? G cu propriet atile: xo(yoz) = (xoy)oz; exist a eºG, asa incat eox = xoe = x (element neutru) si oricare ar fi xºG, exista x'ºG, asa incat xox' = x'ox = e (element simetric). E: group; F: groupe (O.M.). IDEAL daca A este un inel si I<A, atunci I se zice ideal in A, daca oricare ar fi x, y ∈I, x-y∈I si daca ar fi a∈A, avem ax∈I. E: ideal; F: idéal (O.M.). IDEMPOTENT un element x dintr -un monoid se zice idempotent dac a x2=x. E si F: idempotent (O.M.). INCLUZIUNE ( in = in, cludere = cuprinde), rela tie intre doua multimi A si B, notata A⊂B (se citeste A este inclus in B) care are proprietatea c a orice element al lu i A este si element al lui B. E si F: inclusion (O.M.). INDUCTIE COMPLETA (inductio = dovedire), procedeu de demonstrare a unei propriet ati P(n) care depinde de num arul natural n, ce se efectueaz a parcurgand urmatoarele etape: (a) stabilirea celui mai mic numar natural n 0 pentru care proprietatea este adev arata; (b) verificarea propriet atii in cazul n = n 0; (c) demonstrarea faptului c a P(n+1) este adev arata pe baza presupunerii c a P(n) este adev arata. Caracterul demonstrativ al principiului induc tiei complete a fost stabilit de c atre H. Poincaré. E: complete induction (O.M.). INECUATIE (in = ne, aequatioI = egalare), inegalitate cu una sau mai multe variabile, numit a adevarata numai pentru anumite valori ale lor. E: inequation; F: inéquation (O.M.). INEGALITATE (in = ne, aequalis = egal), rela tie intre doua elemente care arat a ca unul e mai mic (sau mai mare), dec at celalalt, reprezentat a prin simbolurile „<” sau „>”. In caz ca inegalitatea poate deveni si egalitate, nota tia corespunzatoare este „?” sau „?”. (O.M.). INEL o multime A inzestrata cu doua legi de compozi tie (numite adunare si inmultire si notate „+” respectiv „·”, care satisface axiomele: (1) (A,+) este grup abelian (comutativ); (2) x(yz) = (xy)z, oricare ar fi x,y,z∈A; (3) x(y+ z) = xy + xz si (x+y)z= xz + yz E: ring; F: annéau (O.M.). INFINIT (in = fara, finis = sfarsit), simbolurile + ? ; - ? . Primul simbol este considerat limita sirului numerelor naturale, iar al doilea ca limita sirului numerelor intregi strict negative. In matematica se considera doua aspecte cu privire la infinit: infinitul poten tial si infinitul actual. Prin infinit poten tial (conceput de Aristotel) intelegem un procedeu constructiv viz and o infinitate poten tiala de elemente ale unei multimi, pe cand prin infinit actual (conceput de G. Cantor) intelegem conceperea unei mul timi infinite ca o prezen ta simultana a tuturor elementelor sale. E: endless; F: infini (O.M.).

INTEGRALA DEFINITA = a

b

xf x( )⌠⌡

d = oon

1

n

i

f ξi( ) xi xi 1−−( )∑=

lim→

, ξι∈(xi-1, xi). (O.M.).

IPOTEZA (gr: laypo = sub, thesis = pozitie), ansamblul elementelor care sunt si pe baza carora se demonstreaza o teorema sau se rezolv a o problema. Denumirea a fost dat a de Platon. E: hypothesis; F: hypothése (O.M.). IZOMORFISM ( isos = egal, morphe = forma), un omomorfism intre doua multimi care au aceea si structura algebrica si care este o func tie bijectiva. E: isomorphism; F: isomorphisme (O.M.). LEGE DE COMPOZITIE INTERNA o functie definita pe o parte a produsului cartezian AxA cu valori in A. In caz ca legea e definit a pe KxA ? A atunci se nume ste lege de compozi tie externa. (O.M.). LEMA (lemma = propozitie luata ca argument) propozi tie ajutatoare folosit a la demonstrarea unei teoreme. Notiunea a fost introdus a in Elemente de Euclid (sec. III i.Hr.) E: lemma; F: lemme ( O.M.). LIMITA UNEI FUNC TII (limes-limitis = limita) intr-un punct x 0 este numarul l astfel incat oricare ar fi sirul (xn) cu xn ? x0 din domeniul de defini tie al functiei, sirul (f(xn)) al valorilor func tiei tinde catre l; se scrie l =

x0xf x( )lim

→ pentru f : A ? B. ( O.M.).

LIMITA UNUI SIR (de numere reale), = oon

anlim→

a∈R astfel incat in afara oricarei vecinatati a lui a se

afla mai cel mult un num ar finit de termeni ai sirului. Sirurile care au limit a se numesc convergente, iar celelalte divergente. (O.M.). LOGARITM (gr: logos = proportie, arithmos = numar) al unui num ar real x>0, in baza b>0, b?1, exponentul la care trebuie ridicat a baza b, pentru a ob tine x; se scrie log bx = n cu bn = x. E: logarythm; F: logarithme (O.M.). MAJORANT (major = mai mare), al unei mul timi M<R, numarul a cu proprietatea c a a?x, pentru orice x∈M. E si F: majorant (O.M.).

MARGINE INFERIOAR A (margoinis = extremitate), a unei mul timi M⊂R, numarul real α cu proprietatile: (1) α?x pentru orice x ∈M; (2) pentru orice å>0, exista un xº , astfel incat α+å>xå. Marginea inferioar a a unei multimi M, este cel mai mare minorant al mul timii M. (O.M.). MARGINE SUPERIOAR A a unei multimi M⊂R, numarul real α cu proprietatile: (1) α?x pentru orice x∈M; (2) pentru orice å>0, exista un xº , astfel incat α-x<xå. Marginea superioara a unei mul timi M, este cel mai mic majorant al mul timii M. (O.M.). MATRICE (matrix-icis) tablou format din mn numere (reale sau complexe) a ij cu i=1,2,...,m si

j=1,2,...,n, dispuse in m linii si n coloane, astfel: A =

a11

a21

....

am1

a12

a22

....

am2

....

....

....

....

a1n

a2n

....

amn

perechea (m,

n) se numeste tipul matricei A. E: matrix; F: matrice (O.M.). MASURA (mensura = marime), o func tie m : K ? R unde K este un c amp de evenimente sau un clan, si are propriet atile: (1) m(A) ? 0; (2) m(A ∪B) = m(A) + m(B) pentru A,B ∈K cu A∩B = ∅. Exista mai multe tipuri de m asuri: masura Jordan, m asura Borel, masura Lebesgne etc. E: measure of a set; F: mesure d’un ensemble (O.M.). MEDIANA a unei variabile aleatoare, este num arul real m e care satisface rela tiile: P(X?m e)?1/2 si P(X?me)?1/2 (O.M.). METODA REDUCERII LA ABSURD ( argumentum ad absurdum = dovedire prin absurd), este un rationament in care se presupune c a ceea ce trebuie demonstrat nu e adev arat si, prin deduc tii logice, aceasta presupunere duce la o absurditate. Metoda a fost conceput a de Zenon (sec. V i.Hr.) si are la baza principiul ter tului exclus di n logica. METODA AXIOMATIC A este o metoda de a construi o teorie folosind un sistem axiomatic. Parintele acestei metode este considerat Euclid (sec. III i.Hr.) MULTIME notiune primara a matematicii, desemn and o colectie de obiecte de natur a arbitrara, numite elemente. E: abstract set; F: ensemble abstrait (O.M.). MULTIME VIDA (viduus = gol), Ö, multime care nu con tine niciun element (O.M.). MULTIMI ECHIVALENTE mul timi intre care se poate stabili o coresponden ta biunivoca. O multime echivalenta cu multimea numerelor naturale N se nume ste numarabila. (O.M.). NORMA (norma = model), ||x||, func tie definita pe un spatiu vectorial (peste corpul de scalari K) cu valori reale pozitive, cu propriet atile: (1) ||x|| = 0 dac a si numai daca x = 0; (2) ||αx|| = |α| ||x|| pentru α∈K; (3) ||x+y|| < ||x|| + ||y|| pentru orice x, y ∈V spatiu vectorial. E: norm; F: norme (O.M.). NUMAR COMPLEX (complexus = cuprinzator), numar de forma a + bi unde a,b ∈R multimea numerelor reale; i 2 = -1. multimea numerelor complexe notat a C, formeaza corp in raport cu adunarea si inmultirea. (O.M.). NUMAR INTREG (integrum = intreg, complet), orice num ar din multimea Z = {…, -n,…, -2, -1, 0, 1, 2,…, n,...} (O.M.). NUMAR NATURAL (naturalis = firesc), orice num ar din N = {0, 1, 2, 3, …} (O.M.). NUMAR RATIONAL (ratio = raport), orice num ar de forma p/q cu p ∈Z, q∈Z*. Multimea numerelor rationale Q, formeaz a corp in raport cu adunarea si inmultirea. (O.M.). OCTANT (octaus = a opta parte), fiecare din cele opt regiuni in care trei plane concurente or togonale (perpendiculare) dou a cate doua impart spatiul (O.M.). OMOMORFISM (homos = la fel, morphe = forma), o functie f intre doua multimi cu aceeasi structura, astfel incat compunerii a dou a elemente dintr -o multime sa-i corespunda compunerea imaginilor din cealalta multime. Denumirea se datoreaz a matematicianului Felix Klein (1892). (O.M.). OPERATOR (operator = care actioneaza), functie definita pe un spatiu vectorial V cu valori in alt spatiu vectorial V `. Deci T : V ? V `. Operatorul T este liniar dac a oricare ar fi x, y ∈V si α, β∈K (corpul de scalari) avem f( αx+βy) = αf(x)+ βf(y) E: operator; F: opérateur (O.M.). ORDONATA (ordinatus = in ordine), al doilea num ar (coordonata) a unui punct M raportat la un re per cartezian. Notiunea a fost introdus a de Fermat. (O.M.). ORIGINE (origo-originis = inceput), punct fix al unui sistem de coordonate de la care incep masuratorile coordonatelor punctelor figurilor raportate la reperul considerat. Termenul a fost introdus de F. Lahire (1679). (O.M.). PARABOLA (gr: parabole = comparare), curb a obtinuta prin sectionarea unei suprafe te conice circulare cu un plan paralel cu o generatoare. Are ecua tia y2 = 2px. E: parabola; F: parabole (O.M.).

PARAMETRU (gr: para = alaturi, metron = masura), variabila ce intervine in anumite ecua tii sau in anumite functii de probabilitate ale unei variabile aleatoare. E: parameter; F: paramètre (O.M.). PARTITIE (partitio = impartire), a unei mul timi este o mul time formata din submultimi ale lui A, disjuncte doua cate doua si a caror reuniune este mul timea A. E: partition; F: partition (O.M.). POPULATIE STATISTICA orice colectivitate care face obiectul unui studiu statistic. (O.M.). PROBABILITATE ( probabilitas = verosimilitate), o func tie definita pe K unde (E, K) este c amp de evenimente, cu urm atoarele propriet ati: P(E) = 1; P(A) mai mare dec at oricare A∈K;

P(∪Ai) =

1

n

i

P Ai( )∑=

cu Ai∩Aj = ∅. In cazul unui c amp finit: P(A) este num arul cazurilor favorabile

supra numarul cazurilor posi bile (J. Bernoulli, 1705). E: probability; F: probabilité (O.M.). PROBA (proba = dovada), metoda prin care se constat a justetea unui calcul. E: assaz; F: épreuve (O.M.). PROCENT (proI = la, centum = suta), raportul intre un numar si 100. E: percent; F: pou r-cent (O.M.). PRODUS CARTEZIAN (a dou a multimi), AxB = {(x, y) | x ∈A, y∈B}. a fost introdus de G. Cantor. E: cartesian product; F: produit cartesien (O.M.). PRODUS SCALAR <x, y> opera tie definita pe un spatiu vectorial V, cu valori in corpul K peste care e definit V, cu propriet atile: (1) <x, x>?0; (2) <x, y> = <y, x>; (3) <x 1 + x2, y> = <x1, y> + <x2, y>; (4) < αx, y> = α<x, y> E: dat product; F: produit scalaire (O.M.).

PRODUS VECTORIAL este un vector care se ob tine din vectorii v1

→= x1 i

→y1 j→

+ z1 k→

+ ,

v2

→= x2 i

→y2 j→

+ z2 k→

+ , astfel: deti

→

x1

x2

j→

y1

y2

k→

z1

z2

E: vector product; F: produit vectoriel (O.M.).

PROPORTIE (proportio) egalitate a dou a rapoarte: a/b = c/d. E: proportion; F: proportion (O.M.). RADIAN (radius = raza), unitate de m asura a unghiurilor ( in SI), egala cu unghiul care avand varful in centrul unui cerc, sub intinde un arc a c arui lungime este egal a cu raza cercului (1rd ? 57º17`45``). Denumirea se datore ste fizicianului J. Thomson -Kelvin (1873). E si F: radin (O.M.).

RADICAL (radicalis = radacina), semnul matematic n care indica operatia de extragere a r adacinii de ordinul n dintr-un numar dat. Numarul n (n?2) se nume ste indicele radicalului. A fost introdus de K. Rudolf (1525) si utilizat curent in lucrarile lui M. Rolle (1690). E si F: radical (O.M.). RATIONALIZARE (rationalis = rational), transformarea unei frac tii, care are ca numitor o expresie

algebrica irationala, intr-o functie echivalenta cu numitorul ra tional. ( 1

1 3−= 1 3+

2− ) (O.M.).

RADACINA fiecare dintre valorile necunoscutei care verific a ecuatia data; sau radacina de ordinul n din numarul a, adica n a . E: root of an equation; F: racine d?une écuation (O.M.). REST PATRATIC daca n∈N, atunci solu tiile congruen tei x2 = x (mod n) se numesc resturi p atratice. (O.M.). SCALAR (scalaris = masurat), element al unui corp K peste care se consider a un spatiu vectorial. Termenul a fost introdus de W. Hamilton (1846). (O.M.). SELECTIE (selectio = alegere), orice mul time finita de elemente observate x 1, x2, ..., xn ale unei populatii statistice (n = volumul selec tiei). E: sample; F: échantion (O.M.). SEMIGRUP mul time pe care s -a definit o lege de compozi tie interna asociativa. (O.M.). SISTEM DE ECUATII (gr: syn = impreuna, istemi = a aseza), este ansamblul de ecua tii

fk(x1,x2,...,xn)=0 cu k=1,2,...,m. In caz ca fk(x1,x2,...,xn) =

1

n

i

aki xi∑=

= bk se obtine un sistem liniar cu m

ecuatii si cu n necunoscute. Acest sistem se scrie matricial AX = B unde A = (a ij); X=(x 1, x2,...,xn)

ô, B=(b1,b2,...,bm)ô (O.M.). STRUCTURA ALGEBRICA (structura = alcatuire), o mul time pe care s -a definit una sau mai multe

SIR (an) o functie reala (complexa) definita pe N. E: sequence; F: suite (O.M.).

VALOARE MEDIE a unei variabile aleatoare X = M(X): (1) c and X este discret a M(X) =

1

n

i

pi xi∑=

unde pi= P(X= x i); (2) cand este continu a cu functia de reparti tie F(X), atunc i

M(X) = oo−

oo

Fx⌠⌡

d x( ) . E: average; F: moyenne valeur (O.M.).

VALOARE NUMERIC A (a unei expresii algebrice) este num arul care se ob tine inlocuind literele cu numere si efectuand operatiile (O.M.). VARIABILA ALEATOARE (alea = zar), func tia definita pe E cu valori reale, m asurabila in raport cu corpul borelian K, unde (E, K) este un c amp de evenimente. (O.M.).

VECTOR (vecto-vectore = a trage), se noteaz a v→

si reprezinta un element al unui spa tiu liniar (vectorial). E: vector; F: vecteur (O.M.).

STRUCTURA ALGEBRICA (structura = alcatuire), o mul time pe care s -a definit una sau mai multe operatii interne sau ( si) externe supu se la anumite condi tii (asociativitate, element neutru etc). (O.M.). SUBGRUP al unui grup G este o submul time G´⊂G care este grup in raport cu acelea si operatii ca cele din G. E: subgroup; F: sous -groupe (O.M.).

Prof. Ivascu Elena

S

IM

BO

L