Matejaš- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)

8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)

1/565

UVOD

Ovi nastavni materijali namijenjeni su studen-

tima koji slusaju predmet matematika a re-

zultat su visegodisnjeg rada u nastavi iz ovogpredmeta. U svrhu lakseg pracenja i boljeg

razumijevanja, gradivo je izlozeno na pristupa-

can nacin sa detaljnim objasnjenjima i brojnim

primjerima. Iako ovi materijali cine sustinu

nastave, studentima se preporuca pohadanje

nastave gdje ce dobiti, po potrebi, i sva do-

datna objasnjenja i informacije. Svaka suges-

tija i konstruktivna kritika, u svrhu poboljsanja

ovih materijala, je dobrodosla.

Zelim vam sto uspjesnije savladavanje izloze-

nog gradiva !!

J.M.


2/565

SADRZAJ

Matrice . . . 1Tipovi matrica . . . 2

Racunske operacije sa matricama . . . 8

Vektorski prostor Rn . . . 17

Linearna (ne)zavisnost vektora . . . 19Rang matrice . . . 22

Sustavi linearnih jednadzbi . . . 28

Determinanta kvadratne matrice . . . 41

Inputoutput analiza . . . 54


3/565

+ +

MATRICE

Definicija: Neka su m i n prirodni brojevi.

MatricaAtipa (reda ili formata)mnje svakapravokutna tablica elemenata (brojeva) pore-

danih u m redaka i n stupaca.

Simbolicki

A=

a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23 . . . a2n

... ... ... ...am1 am2 am3 . . . amn

ili krace

A= [aij], i= 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n .

Oznake: A , B , C , . . . za matrice;

aij, bkl, cir, . . . za matricne elemente,

npr. a42, b15,12, c11, d25,7, . . .

Promatrat cemo samo realne matrice (matric-ni elementi su realni brojevi).

Skup svih matrica istog tipamnoznacavamosa Mmn (ili Mmn ili Rmn), npr. R1020,M144, M23, M15, M51, . . .

+ 1


4/565

+ +

Ako je m = n matricu nazivamo kvadratna

matrica reda n. Skup svih kvadratnih matrica

istog reda oznacavamo sa Mn, npr. M2, M4,

M8, . . .

TIPOVI MATRICA

Pravokutna (m =n) i kvadratna (m=n).

Nulmatrica (oznaka O ili Omn) je matrica ciji

su svi elementi jednaki nuli.

Glavna dijagonala kvadratne matrice A Mnje uredeni skup {a11, a22, a33, . . . , ann} .

Trag kvadratne matrice A je broj

tr(A) =a11+ a22+ a33+ . . . + ann .

+ 2


5/565

+ +

Tipovi kvadratnih matrica

Kvadratna matrica A Mn moze biti:

gornja trokutasta: aij = 0 za i > j;

donja trokutasta: aij = 0 za i < j;

dijagonalna: aij = 0 za i

=j;

skalarna: dijagonalna i

a11=a22=. . .=ann;

jedinicna (oznaka I ili In): dijagonalna i

a11=a22=. . .=ann= 1.

+ 3


6/565


7/565

+ +

PRIMJERI

1. Zadane su matrice

A=

4 1/2

x 33 1

0 x

, B = 0

10.725

.Odredite a21, a12, a42, b13, b31.

2. Napisite matricu A M23 ako jeaij =i

2 j2.

3. Napisite matricu X M4 ako je

xij = 1 za i < j1 za i > j0 za i=j .

+ 5


8/565

+ +

4. Zadane su matrice A=

0 x/y

x y2

,

B =

0 2

x 9

, C=

x 2

x 3x

.

Odredite parametre x i y tako da je:(a) A=B, (b) B =C.

5. Zadana je matrica

T =

1 4 x

x2 0 x3

x 8 5

.Za koju vrijednost parametra x je matrica

T simetricna?

6. Odredite trag matrice T iz primjera 5.

+ 6


9/565

+ +

7. Karakterizirajte slijedece matrice

A=

0 1

7 0.4

2 1 0 3

, B =

0 00 0

0 0

,

C= [6 2 0], D = 0

1 , E= [ 7 ],

F =

1 2 30 0 1

0 0 5

, G=

6 0 0 00 0 0 00 0 0 07 0 0 0

,

H=

8 0 00 8 0

0 0 8

, K=

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

.

8. Odredite tr(K) iz primjera 7 te zakljucite

koliki je tr(In)?

+ 7


10/565

+ +

RACUNSKE OPERACIJE SA MATRICAMA

Zbrajanje matrica

Matrice mozemo zbrajati samo ako su istog

reda i to tako da zbrajamo odgovarajuce ele-

mente. SimbolickiA= [aij], B = [bij] Mmn

A + B = [aij+ bij] Mmn.Mnozenje matrica brojem (skalarom)

Matricu mnozimo brojem tako da njime pom-

nozimo svaki njezin elemenat. Simbolicki

A= [aij] Mmn, R A= [aij] Mmn.Za = 0 je 0 A=O (nul-matrica).Za =1 je (1) A =A (suprotna mat-rica).Oduzimanje matrica je zbrajanje sa suprot-

nom matricom: A B =A + (B) .Ocito je: A A=A + (A) =O .

+ 8


11/565

+ +

Linearna kombinacija matrica

Definicija: Neka su dane matrice

A1, A2, . . . , Ak Mmni brojevi

1, 2, . . . , k R.Tada matricu

A=1A1+ 2A2+ . . . + kAk Mmnnazivamo linearna kombinacija danih ma-

trica. Pri tome brojeve1, 2, . . . , k nazivamo

koeficijenti linearne kombinacije.

Linearna kombinacija je trivijalna ako su svi

koeficijenti jednaki nuli (ona je tada jednaka

nul-matrici).

U protivnom (barem jedan koeficijent je raz-

licit od nule) linearna kombinaciju nazivamo

netrivijalna.

+ 9


12/565

+ +

PRIMJER

Zadane su matrice

A= y x2

9 y , B = 1 6

2x y .Odredite parametre x i y tako da matrica

2A 3B bude: (a) donja trokutasta;(b) dijagonalna; (c) skalarna.

RJESENJE:

2A 3B =

2y 3 2x2 1818 6x y

.

(a) 2x2 18 = 0 x {3, 3}, y R;(b) 2x2 18 = 0 i 18 6x= 0

x= 3, y R;(c) uvjeti pod (b) i 2y 3 = y

x= 3, y = 1.

+ 10


13/565

+ +

SVOJSTVA ZBRAJANJA MATRICA I

MNOZENJA MATRICA BROJEM

Za sve A, B , C Mmn i , R

vrijedi

1. (A+B)+C=A+(B+C) (asocijativnost)

2. A + B =B+ A (komutativnost)

3. (A + B) =A + B,

( + )A=A + A (distributivnost)

4. (A) = ()A (asocijativnost)

+ 11


14/565

+ +

MNOZENJE MATRICA

Dvije matrice mozemo pomnoziti medusobnosamo ako su ulancane (prva matrica ima to-liko stupaca koliko druga redaka). Produkt jematrica sa toliko redaka kao prva, a stupacakao druga matrica u umnosku. Simbolicki

A(m n) B(n p) = C(m p) .Pri tome elemenat umnoska na mjestu (i, j)dobijemo skalarnim mnozenjem i-tog retka pr-ve matrice sa j-tim stupcem druge matrice(prvi elemenat i-tog retka mnozimo sa prvimelementomj-tog stupca, drugi sa drugim, itd.

te tako dobivene produkte zbrojimo). Sim-bolicki

cij =ai1b1j+ ai2b2j+ ai3b3j+ . . . + ainbnj .

PRIMJERI

1. Ako imamo matrice A(3 3), B(4 3)i C(3 1), koje umnoske od dva clanamozemo sastaviti?

+ 12


15/565

+ +

2. Za matrice

A=

1 0 10 2 1

, B =

2 01 10 1

,odredite A B i B A.RJESENJE:

Imamo A(2 3) B(3 2) =AB(2 2),(AB)11= 1 (2 ) + 0 1 + (1) 0 = 2,(AB)12= 1 0 + 0 1 + (1) (1) = 1,(AB)21= 0 (2 ) + 2 1 + 1 0 = 2,(AB)22= 0 0 + 2 1 + 1 (1) = 1, pa je

AB =2 1

2 1

.

Slicno je B(3 2) A(2 3) =BA(3 3) i

BA= 2 0 2

1 2 00 2 1 .

Uocimo da je opcenito

A B = B A .

+ 13


16/565

+ +

3. Ako su definirani matricni produkti AB i

BA, tada vrijedi tr(AB) = tr(BA). Prov-

jerite to na matricama iz primjera 2.

4. Primijetimo da za kvadratnu matricu A

mozemo definirati potencije: A2 = A A,A3 = A A A = A A2 = A2 A, . . .An =An1 A=A An1.

5. Neka je A Mn proizvoljna matrica teO, I Mn. Provjerite da vrijedi

AO=OA =O, AI =IA=A .

+ 14


17/565

+ +

SVOJSTVA

Za matrice A, B , C odgovarajucih formata i

R vrijede:Svojstva matricnog mnozenja

1. (AB)C=A(BC)

2. A(B+C) =AB+AC, (A+B)C=AC+BC

3. (AB) = (A)B =A(B)

Za kvadratnu matricu A vrijedi i

4. AI=IA=A

5. AO =OA =O

Svojstva transponiranja

1. (A + B)T =AT + BT

2. (A)T

=AT

3. (AT)T =A

4. (AB)T =BTAT

+ 15


18/565

+ +

INVERZNA MATRICA

Definicija: Ako za matricu A Mn postojimatrica A1 Mn takva da vrijedi

A A1 =A1 A=I ,

tada je A1

inverzna matrica matrice A.Uocimo da se inverzna matrica definira samo

za (neke) kvadratne matrice.

Ako kvadratna matrica ima inverz, nazivamo

je regularna. U protivnom je singularna.

Inverzna matrica, ako postoji, je jedinstvena.Naime ako su B i C inverzne matrice od A

tada je

B =BI=B(AC) = (BA)C=IC=C .

Svojstva invertiranja

1. (A1)1 =A2. (A)1 = 1 A13. (AT)1 = (A1)T4. (AB)1 =B1A1

+ 16


19/565

+ +

VEKTORSKI PROSTOR Rn

Skup

Rn =

x1x2

...xn

: x1, x2, . . . , xn R

nazivamo realni vektorski prostor.

Imamo R1 = R, R2, R3, R4, . . .Primijetimo da je Rn =Mn1 (ili M1n).Elemente vektorskog prostora nazivamo vek-tori. Svaki vektor ima n komponenti.Nul-vektor (O) ima sve komponente nule.

Skalarni produkt u Rnje preslikavanje koje svakom paru vektorax, y Rn pridruzuje realni broj

xTy =x1y1+ x2y2+ x3y3+ . . . + xnyn .

Svojstva skalarnog produkta

Za sve x, y, z Rn

i R vrijedi:1. xTx 0,xTx= 0 x=O (pozitivna definitnost)

2. xTy =yTx (simetrija)3. (x + y)Tz =xTz+ yTz (aditivnost)4. (x)Ty =(xTy) (homogenost)

+ 17


20/565

+ +

Okomitost vektora

Ako je skalarni produkt dvaju vektora nula,kazemo da su vektori medusobno okomiti iliortogonalni, i obratno. Simbolicki

xTy = 0 x y .

PRIMJERI

1. Zadani su vektori

x=

13

, y =

3

1

, z =

40

.

Odredite xTy, xTz i yTz.Kakvi su vektori x i y ?

2. Zadani su vektori

A= t

10 , B =

1

23 .

Za koju vrijednost parametra t su vektoriA + B i A B medusobno okomiti?RJESENJE: t= 13.

+ 18


21/565

+ +

LINEARNA (NE)ZAVISNOST VEKTORA

Definicija: Skup vektora

{A1, A2, . . . , Ak} Rn je linearno nezavisanako je samo trivijalna linearna kombinacija tih

vektora jednaka nul-vektoru, tj. ako vrijedi1A1+ 2A2+ . . . + kAk =O

1=2=. . .=k = 0 .

Skup vektora

{A1, A2, . . . , Ak} Rn je linearno zavisan akopostoji i netrivijalna linearna kombinacija tihvektora jednaka nul-vektoru, tj. ako vrijedi

1A1+ 2A2+ . . . + kAk =O i = 0 bar za jedan i {1, 2, . . . , k} .

Drugim rijecima, skup vektora je linearno zavi-

san ako se bar jedan vektor iz tog skupa mozeprikazati pomocu preostalih (kao njihova line-

arna kombinacija). Ako to nije moguce, skup

je linearno nezavisan.

+ 19


22/565

+ +

PRIMJER

Ispitajte linearnu (ne)zavisnost skupa:

1.

12

,

11

R2

1 12 + 2 11 = 00 1+ 2 = 0

21+ 2 = 0 1 = 0, 2= 0 .

Skup vektora je linearno nezavisan.

2.

22

,

11

R2

1

22

+ 2

11

=

00

21+ 2 = 021+ 2 = 0 2 = 21, 1 R .

npr. 1= 1, 2= 2ili 1 = 3, 2 = 6, itd.Skup vektora je linearno zavisan.

+ 20


23/565

+ +

Skup vektora generira ili razapinje vektorski

prostor Rn ako se svaki vektor iz Rn moze

prikazati pomocu vektora iz tog skupa (kao

njihova linearna kombinacija).

Skup vektora je baza prostora Rn ako:

je linearno nezavisan; razapinje prostor Rn.

Broj vektora u bazi ne ovisi o izboru baze i

naziva se dimenzija vektorskog prostora.

PRIMJER: Kanonska baza prostoraR

n

.

B =

100...0

,

010...0

,

001...0

, . . . ,

000...1

Uocimo da su vektori kanonske baze stupci

jedinicne matrice reda n.

Dimenzija prostora Rn: dim(Rn) =n.

+ 21


24/565

+ +

RANG MATRICE

Rang matrice je najveci broj linearno neza-

visnih redaka (ili stupaca) te matrice.

Moze se pokazati da je rang po recima isti

kao i rang po stupcima, pa je

A Mmn r(A) min{m, n} .Rang odredujemo primjenom elementarnih

transformacija na retke ili stupce matrice.

Elementarne transformacije su: zamjena dvaju redaka (stupaca); mnozenje retka (stupca) brojem razlicitim

od nule;

zbrajanje dvaju redaka (stupaca).

Primjenom elementarnih transformacija rangmatrice se ne mijenja. Cilj je pomocu elemen-

tarnih transformacija svesti matricu na ekviva-

lentnu matricu iz koje je rang ocigledan.

+ 22


25/565

+ +

PRIMJERI

Odredite rang slijedecih matrica

1. A=

1 1 1 11 2 3 44 3 2 1

2. M =

3 3 3 t1 1 1 22 2 1 14 4 4 8

3. A M4: aii=b, aij = 1 za i =j.Rjesenje:

A=

b 1 1 11 b 1 11 1

b 1

1 1 1 b

b= 1 r(A) = 1,b= 3 r(A) = 3,b = 1, b = 3 r(A) = 4.

+ 23


26/565

+ +

RJESENJA

1.

A 1 1 1 1

1 2 3 44 3 2 1

(1)(4)

|

1 1 1 1

0 1 2 30

1

2

3

1

|1 1 1 10 |1 2 3

0 0 0 0

r(A) = 2.

Nakon provedenih transformacija rang je

broj neponistenih redaka ili broj stepe-nica. Pri tome u svakom retku treba biti

nova stepenica.

+ 24


27/565

+ +

2. M

1 1 1 22 2 1 14 4 4 83 3 3 t

(2)

(4)|

(3)||

1 1 1 20 0 3 50 0 0 00 0 0 t 6

|1 1 1 20 0 |3 50 0 0 |t 60 0 0 0

t 6 = 0 t= 6 r(M) = 2 ,t 6 = 0 t = 6 r(M) = 3 .

+ 25


28/565

+ +

Skup vektora {A1, A2, . . . , Ak} Rn

je linearno nezavisan ako jer(A) =k (broju vektora);

je linearno zavisan ako jer(A)< k (broja vektora);

razapinje prostor Rn ako je r(A) =n;

baza prostora Rn ako jer(A) =n=k (broju vektora).

Pri tome je A matrica ciji su stupci (ili reci)

vektori A1, A2, . . . , Ak.

+ 26


29/565

+ +

PRIMJER

Za koju vrijednost parametra t R skup vek-tora

10t

,

0t0

,

t01

,

cini bazu vektorskog prostora R3 ?

RJESENJE

A =

1 0 t0 t 0t 0 1

(t)|

1 0 t0 t 0

0 0 1 t2

t= 0 r(A) = 2 ,1

t2 = 0

t=

1

r(A) = 2 ,

t = 0 i t = 1 r(A) = 3 .Skup vektora je baza za t R\ {1, 0, 1}.Postaviti i ostala pitanja za ovaj i prethodne

primjere!

+ 27


30/565


31/565

+ +

Ako je B = O =

0...

0

, imamo homogen

sustav, u protivnom (B = O) nehomogen.Svaku matricu X koja zadovoljava jednadzbu

AX = B, nazivamo rjesenje sustava. Sus-

tav koji ima rjesenje nazivamo rjesiv, moguc,

konzistentan ili kompatibilan.

Teorem (Kronecker-Capelli):

Sustav linearnih jednadzbi ima rjesenje ako i

samo ako je r(A) = r(A|B) (rang matrice sus-tava jednak rangu prosirene matrice sustava).

Dokaz: Neka su A1, A2, . . . , An Rm stupcimatrice A. Sustav AX = B sada mozemopisati u obliku x1A1 + x2A2 + . . . + xnAn=B.

Ako sustav ima rjesenje, tada je B linearna

kombinacija vektora A1, . . . , An. To znaci da

dodavanje linearno zavisnog vektora B, skupu

stupaca matrice A, nece promijeniti rang.

Ako je r(A) = r(A|B), tada je B linearno za-visan u odnosu na stupce matrice A, pa se

moze napisati kao njihova linearna kombina-

cija. Koeficijenti te kombinacije su rjesenje

sustava, dakle, sustav ima rjesenje.

+ 29


32/565

+ +

Homogeni sustav AX=O uvijek ima bar jed-

no rjesenje i to trivijalno

X=O (x1=x2=. . .=xn= 0),

jer je r(A) = r(A|O).

Opcenito za sustav AX=B vrijedi:

1. r(A) = r(A|B)

ima rjesenje i to:

jedinstveno ako je r(A) jednak broju ne-

poznanica,

beskonacno mnogo rjesenja ako je r(A)

manji od broja nepoznanica;

2. r(A) = r(A|B) nema rjesenje.

+ 30


33/565

+ +

U slucaju beskonacno mnogo rjesenja sustav

ima toliko slobodnih parametara (nepoznani-

ca) za koliko je r(A) manji od broja nepoz-nanica.

Za homogeni sustav slucaj 2. ne moze nas-

tupiti.

Sustav rjesavamo GaussJordanovom me-

todom. Ona se sastoji u primjeni elemen-tarnih transformacija na retke prosirene mat-

rice sustava. Kako elementarne transforma-

cije ne mijenjaju rjesenje sustava, pomocu njih

sustav prevodimo u ekvivalentni iz kojeg se

rjesenje moze direktno ocitati.

+ 31


34/565

+ +

PRVI PRIMJER

Rijesite sustav

2x y + 3z = 12x + y z = 1

3x + 2y + 2z = 5 .

Sastavimo prosirenu matricu sustava A

|B:

1 1 1 | 12 1 3 | 123 2 2 | 5

(2) (3)|

1 1 1 | 1

0 3 5 | 140 1 5 | 8

1 1 1 | 10 1 5 | 8

0 3 5 | 14

(3)

|1 1 1 | 10 |1 5 | 8

0 0 |10 | 10

r(A) = 3 = r(A|B) = broju nepoznanica, sus-tav ima jedinstveno rjesenje;

+ 32


35/565

+ +

unutar matriceAformiramo jedinicnu matricu

reda 3:

|1 1 1 | 10 |1 5 | 8

0 0 |10 | 10

: (10)

1 1 1 | 10 1 5 | 80 0 1 | 1

(5)|1

1 1 0 | 00 1 0 | 30 0 1 | 1

1

1 0 0 | 30 1 0 | 3

0 0 1 | 1

(1)

1 0 0 | 30 1 0

| 3

0 0 1 | 1 x = 3y = 3z = 1 .

+ 33


36/565

+ +

DRUGI PRIMJER

Rijesite sustav

3x1 x2 + 4x3 5x4 = 1

x1 + 3x2

x3 + 2x4 = 0

2x1 + 2x2 + 3x3 3x4 = 3 .Sastavimo prosirenu matricu sustava A|B:

1 3 1 2 | 03 1 4 5 | 12 2 3 3 | 3

3

2|

1 3 1 2 | 00 8 1 1 | 1

0 8 1 1 | 3

(1)

|1 3 1 2 | 0

0 |8 1 1 | 10 0 0 0 | |4 r(A) = 2, r(A|B) = 3 sustav nema rjesenje.Zadnja jednadzba glasi 0 = 4 !?

+ 34


37/565

+ +

TRECI PRIMJER

Rijesite sustav

x + y + z = 22x y + z = 33x + 2z = 5 .

Sastavimo prosirenu matricu sustava A|B: 1 1 1 | 22 1 1 | 3

3 0 2 | 5

(2) (3)|

1 1 1 | 20 3 1 | 1

0 3 1 | 1

(1)

|1 1 1 | 20

|3

1

| 1

0 0 0 | 0

r(A) = 2 = r(A|B) < 3 = broj nepoznanica,sustav ima beskonacno mnogo rjesenja sa jed-

nim slobodnim parametrom;

+ 35


38/565

+ +

unutar matriceAformiramo jedinicnu matricu

reda 2:

1 1 1 | 20 3 1 | 1

0 0 0 | 0

: (3)

1 1 1 | 20 1 1/3 | 1/30 0 0 | 0

(1)

1 0 2/3 | 5/30 1 1/3 | 1/30 0 0

| 0

x +

23 z =

53

y + 13 z = 1

3

x = 53 23 zy = 13 13 zz R

Ovo je opce rjesenje sustava u parametarskom

obliku (z je slobodni parametar sustava).

+ 36


39/565

+ +

CETVRTI PRIMJER

Cetiri trgovacke firme A, B, C i D narucujurobu od istog dobavljaca, dakle, svaku vrsturobe po istoj cijeni. Firma A je narucila 5tbrasna (t = tona), 3t secera i 1t kave zasto je platila 110 000 kuna. Firma B je za3t brasna, 2t secera i 2t kave platila 179 000

kuna. Firma C za 4tbrasna, 4t secera i 3tkaveplaca 272 000 kuna. Koliko ce platiti firma Dza svoju narudzbu od 1t brasna, 1t secera i 1tkave? Zadatak rijesite matricnim racunom.

RJESENJE: Oznacimo cijene za 1t brasna,

secera i kave sa x, y i z. Imamo sustav5x + 3y+ z = 110 000

3x + 2y+ 2z = 179 000

4x + 4y+ 3z = 272 000 ,

koji rijesimo matricno (najbolje je uzeti re-dosljed nepoznanica z, y, x).Dobijemo x= 3 000, y = 5 000 i z = 80 000.Rjesenje zadatka je x + y+ z = 88 000 kuna.

Napomena: zadatak mozemo rijesiti i tako davektor [1, 1, 1] prikazemo kao linearnu kombi-naciju vektora [5, 3, 1], [3, 2, 2] i [4, 4, 3].

+ 37


40/565

+ +

PETI PRIMJER

Kako broj rjesenja sustava

tx + ty + 4z = 2x + y + tz = 1

3y tz = 3ovisi o vrijednosti realnog parametra t ?

Imamo:

1 1 t | 10 3 t | 3t t 4 | 2

(t)|

1 1 t | 10 3 t | 3

0 0 4 t2 | 2 + t

t= 2 r(A) = 2, r(A|B) = 3 sustav nemarjesenja,

t =2 r(A) = 2 = r(A|B) < 3 sustavima beskonacno mnogo rjesenja,

t=2 r(A) = 3 = r(A|B) sustav imajedinstveno rjesenje.

+ 38


41/565


42/565

+ +

1 0 1 | 1 0 00 1 3 | 3 1 0

0 1 4 | 1 0 1

1

1 0 1 | 1 0 00 1 3 | 3 1 0

0 0 1 | 2 1 1

3

|(1)

1 0 0 | 3 1 10 1 0 | 9 4 30 0 1 | 2 1 1

(1)(1)

1 0 0 | 3 1 10 1 0 | 9 4 3

0 0 1 | 2 1 1

= I| A1

Dakle, A1 = 3

1

1

9 4 32 1 1

.Provjera: A A1 =A1 A=I .

+ 40


43/565

+ +

DETERMINANTA KVADRATNE MATRICE

Svakoj kvadratnoj matriciApridruzen je jedin-stveni realni broj koji nazivamo determinantai oznacavamo sa|A| ili det(A). Determinantudefiniramo na slijedeci nacin:

Determinanta reda 2:

A= 4 1

3 2

det(A) =

4 13 2

= 4 2 (1) 3 = 11

Determinanta reda 3 (Sarrussovo pravilo):

B =

2 1 03 2 1

4 0 5

|B| = 2 1 0

3 2 14 0 5 2 1

3 24 0= 2 2 5 + (1) 1 4 + 0 (3) 0

0 2 4 2 1 0 (1) (3) 5= 20 4 + 0 0 0 1 5 = 1

+ 41


44/565

+ +

Determinante viseg reda (n >3):

A Mn, |A| = ?Ako u matrici A izostavimo (izbrisemo) i-ti

redak i j-ti stupac dobivamo novu matricu

Aij Mn1. Njena determinanta naziva sesubdeterminanta ili minora|Aij|.Kofaktor ili algebarski komplement Aij ele-

menta aij definiramo kao

Aij = (1)i+j |Aij| .

|A

|dobijemo Laplaceovim razvojem po jed-

nom (proizvoljnom) retku ili stupcu:

|A| =n

j=1

aij Aij (razvoj po i-tom retku)

|A| =n

i=1aij Aij (razvoj po j-tom stupcu)

PRIMJER: Provjerite da je determinanta tro-

kutaste (dijagonalne) matrice jednaka umnos-

ku njenih dijagonalnih elemenata.

+ 42


45/565

+ +

SVOJSTVA DETERMINANTI

1. Zamjenom dvaju redaka ili stupaca deter-

minanta mijenja predznak.

2. Determinantu mnozimo brojem tako da

njime pomnozimo samo jedan (bilo koji) redak

ili stupac.

3. Determinanta se ne mijenja ako jednom

retku ili stupcu dodamo linearnu kombinaciju

preostalih redaka ili stupaca.

4. Determinanta koja ima nul-redak ili nul-

stupac jednaka je nuli.

5. Determinanta koja ima dva ista retka ili

stupca jednaka je nuli.

6. Determinanta ciji su reci (stupci) linearno

zavisni jednaka je nuli.

7. Determinanta ciji su reci (stupci) linearno

nezavisni razlicita je od nule.

+ 43


46/565

+ +

PRIMJER

1 3 1 02 2 2 1

3 0 3 13 0 0 5

= razvoj po cetvrtom retku =

= (

3)

(

1)4+1

3 1 02 2 10 3 1

+ 0 + 0

+ 5 (1)4+4 1 3

1

2 2 23 0 3

= 3 1 + 5 0 = 3

+ 44


47/565

+ +

Napomena: prije razvijanja determinante neke

elemente mozemo ponistiti, npr.

1 3

1 0

2 2 2 13 0 3 1

3 0 0 5

1

(5)|

=

1 3 1 02 2 2 1

1 2 1 07 10 10 0

= razvoj po cetvrtom stupcu =

= 1

(

1)2+4

1 3 11 2

1

7 10 10

=. . .= 3

+ 45


48/565

+ +

Jos neka svojstva determinanti

Za A, B Mn i R vrijedi1. |AT| = |A|2. |A B| = |A| |B| (Binet-Cauchyjev teorem)3. |Ak| = |A|k4. |A1| = |A|1 = 1

|A

|5.|A| =n|A| (uocimo da jenred matrice)

PRIMJERI

1. Za matrice

A=

4 32 2

, B =

3 14 4

izracunajte det

5A4B1A3

.

RJESENJE:

5A4B1A3 = 52 A4B1A3= 25 |A|4 |B|1 |A|3= 25 24 (16)1 23= 200 .

+ 46


49/565

+ +

2. Za matricu

K=

2 0 0 03 1 0 0

4 7 1 08 6 4 2

odrediteK1= ? i 2K3= ?

RJESENJE: Kako je K donja trokutasta

matrica imamo

|K

|= 2

(

1)

1

2 =

4,

pa jeK1 = 1|K| = 1

4 ,

2K3

= 24 K3

= 24 |K|3

= 24 (4)3 = 1024 .

+ 47


50/565

+ +

DETERMINANTA, RANG I

REGULARNOST MATRICE

Rang matrice jednak je najvecem redu minore

te matrice koja je razlicita od nule.

Za matricu A Mn slijedece tvrdnje su ekvi-valentne:

A je regularna rang(A) =n (najveci moguci rang)

det(A) = 0 stupci (reci) od A su linearno nezavisniZa matricu A Mn slijedece tvrdnje su ekvi-valentne:

A je singularna rang(A)< n det(A) = 0 stupci (reci) od A su linearno zavisni

+ 48


51/565

+ +

PRIMJER

Ispitajte regularnost matrice

A=

1 0 1x 2 33 x 2

RJESENJE:

Prvi nacin:

|A| =

1 0 1x 2 33 x 2

1 0x 23 x

= 4 x2 + 6 3x

|A| = x2 3x + 10 = 0 x {5, 2}

Za x {5, 2} matrica A je singularna,za x R\ {5, 2} matrica A je regularna.

+ 49


52/565

+ +

Drugi nacin:

A 1 0 13 2 x

2 x 3

3 2|

1 0 10 2 x + 30 x 5

2

1 0 10 2 x + 3

0 2x 10

(x)

|1 0 10 |2 x + 3

0 0 x2 3x + 10

Ako jex2

3x + 10 = 0 tj. x {5, 2} tadaje r(A) = 2


53/565

+ +

PRIMJENA DETERMINANTI NA

RACUNANJE INVERZNE MATRICE

Ako u matrici A Mn sve matricne elementeaij zamijenimo sa njihovim kofaktorima Aij,

dobijemo matricu kofaktora. Njezinim trans-

poniranjem nastaje adjungirana matrica ili

adjunkta adj(A). Moze se pokazati da vrijedi

adj(A) A = A adj(A) = |A| I .Ako je A regularna (AA1 =A1A=I) tada,usporedbom ovih jednakosti, slijedi

A1 = 1

|A| adj(A) .

+ 51


54/565

+ +

PRIMJER

A=

a bc d

, A1 = ?

RJESENJE:

Matrica kofaktora (1)1+1 d (1)1+2 c(1)2+1 b (1)2+2 a

=

d cb a

adj(A) =

d bc a

Adjungirana matrica matrice reda 2 2 dobijese tako da dijagonalnim elementima zamijeni-

mo mjesta a izvandijagonalnim predznake.

A1 = 1|A| adj(A) = 1

ad bc

d bc a

+ 52


55/565

+ +

CRAMEROV SUSTAV LINEARNIH

JEDNADZBI

Ako je u sustavu AX=B broj jednadzbi jed-

nak broju nepoznanica tada sustav nazivamo

Cramerov. Matrica A tada je kvadratna.

Ako je matrica sustava A regularna (|A| = 0)tada je X = A1 B, pa sustav ima jedin-stveno rjesenje (homogeni sustav trivijalno a

nehomogeni netrivijalno).

Ako je matrica sustava A singularna (|A| = 0)tada homogeni sustav ima beskonacno mnogo

rjesenja (dakle osim trivijalnog i beskonacno

mnogo netrivijalnih) a nehomogeni sustav mo-

ze ili imati beskonacno mnogo rjesenja ili biti

nemoguc.

+ 53


56/565


57/565

+ +

Pretpostavke modela:

1. Proizvodnja svakog sektora je homogena

(povecamo li ili smanjimo sve faktore proiz-

vodnje isti broj puta, proizvodnja se takoder

poveca ili smanji toliko puta).

2. Svaki sektor za proizvodnju koristi fiksniodnos utroska (fiksnu kombinaciju faktora).

Osnovne oznake i relacije:

Ukupni output (izlaz) iz i-tog sektora ozna-

cavamo sa Qi. To je sve sto taj sektor daje

(proizvodi). Neki sektori za svoj input (ulaz)koriste dio outputa drugih sektora. Te velicine

oznacavamo sa Qij (dio outputa i-tog sektora

koji prelazi u j-ti sektor). Nakon sto se zado-

volji ovakva medusektorska potraznja, ostaje

qi - dio outputa i-tog sektora namjenjen final-

noj potraznji (potrosnja, prodaja, izvoz). Sve

ove velicine mogu biti izrazene u vrijednos-

nim (novcanim) ili kolicinskim jedinicama. Iz

navedenih velicina sastavljamo I-O tabelu.

+ 55


58/565

+ +

INPUT-OUTPUT TABELA

Qi Qij qi

Q1 Q11 Q12 . . . Q1n q1

Q2 Q21 Q22 . . . Q2n q2... ... ... ... ...

Qn Qn1 Qn2 . . . Qnn qn

.

ukupni medusektorska finalna

outputi potraznja potraznja

Osnovna relacija I-O tabele:

Qi=n

j=1

Qij+ qi, i= 1, 2, . . . , n .

Dio proizvoda i-tog sektora koji koristi j-ti

sektor za proizvodnju jedne jedinice svog pro-

izvoda je konstantan i nazivamo ga tehnickikoeficijent proizvodnje aij .

aij =Qij

Qj, i, j = 1, 2, . . . , n .

+ 56


59/565

+ +

Sada je Qij =aijQj, pa osnovna relacija glasi

Qi =n

j=1

aij Qj+ qi , i= 1, 2, . . . , n .

Uvedemo li matrice: ukupnih outputaQ, final-

ne potraznje q i tehnickih koeficijenata A,

Q=

Q1Q2

...Qn

, q =

q1q2...

qn

, A=

a11 . . . a1na21 . . . a2n

... ...an1 . . . ann

,osnovnu relaciju mozemo pisati u matricnom

obliku

Q=AQ + q

ili Q AQ=q , odnosno (I A)Q=q .Uvedemo li matricu tehnologije T =I A ,imamo

T Q=q ili Q=T1q .Primijetimo da su u ovom modelu matrice A,

T i T1 konstantne. To znaci da, kad ih jed-nom izracunamo, mozemo ih primijeniti na

razlicite vrijednosti ukupnih outputa i finalne

potraznje.

+ 57


60/565

+ +

APROKSIMATIVNO IZRACUNAVANJE

MATRICE T1

Osnovne karakteristike matrice A:

1. aij 0, i, j = 1, 2, . . . , n

2.n

i=1 aij


61/565

+ +

PRIMJERI

1. Zadana je inputoutput tabela neke dvo-

sektorske privrede

Qi Qij qi1000 250 600 150

1200 250 300 650

.

Odredite pripadne matrice A, T i T1.

RJESENJE:

A= 250

1000

600

12002501000

3001200

= 1/4 1/21/4 1/4

T =

1 0

0 1

1/4 1/2

1/4 1/4

=

3/4 1/21/4 3/4

T1 = 1|T| adj(T) = 1916 18

3/4 1/21/4 3/4

=

12/7 8/7

4/7 12/7

+ 59


62/565

+ +

2. Zadana je inputoutput tabela neke trosek-

torske privrede

Qi Qij qi100 10 30 40 20150 20 30 60 40200 30 60 80 30

.

Napisite novu IO tabelu ako se ukupni out-

puti prvog i drugog sektora povecaju za 20%

a finalna potraznja treceg sektora smanji za

80%.

+ 60


63/565


64/565

RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKE

Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradivaza kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputamapredmetnog nastavnika dr. Josipa Matejas.

Zadatke je izabrala, pripremila i rijesila Ksenija Puksec

(demonstratorica iz matematike na EF).

Materijale je pregledala i recenzirala Martina Nakic(demonstratorica iz matematike na EF).

Tehnicku realizaciju materijala u programskom paketu LATEX napravio jeKresimir Bokulic (demonstrator iz racunarstva na PMF-MO).

1


65/565

MATRICE

1. Nadite sve vrijednosti parametra x Rtakve da za matricu

A=

4

5 x

35

4

5

vrijediA1 =AT.

Rjesenje:

A A1 =IA1 =AT

A AT =I

A AT =

4

5 x

35

4

5

4

5 3

5

x 45

=

4

5 4

5+x x 4

5 (3

5) +x 4

5

35 4

5+ 4

5 x ( 3

5) 3

5 + 4

5 4

5

=

16

25+x2 12

25 + 4

5x

1225

+ 45

x 1

A AT =I

16

25+x2 12

25 + 4

5x

1225

+ 45

x 1

=

1 00 1

16

25+x2 = 1 x1,2=

3

5

x= 35

ne odgovara jer

12

25+

4

5x= 0

4

5x=

12

25x =

3

5

Konacno rjesenje je x= 35

2


66/565

2. Za koje vrijednosti parametra a R matrice A i parametra b R matrice

B, matrice A i B tvore komutativni par u odnosu na mnozenje matrica, akoje:

A=

1 10 a

B =

b 10 1

Rjesenje:A B =B A

A B =

1 10 a

b 10 1

=

1 b+ 1 0 1 1 + 1 10 b+a 0 0 1 +a 1

=

b 20 a

B A=

b 10 1

1 10 a

=

b 1 + 1 0 b 1 + 1 a0 1 + 1 0 0 1 + 1 a

=

b b+a0 a

A B =B A b 20 a

=

b b+a0 a

2 =b+aa= 2 b, b R

3


67/565

3. Odredite sve matrice koje sa matricom M =1 1

0 1

cine komutativan par sobzirom na matricno mnozenje.

Rjesenje:

M X=X M

X=a b

c d

M X=

1 10 1

a bc d

=

1 a+ 1 c 1 b+ 1 d0 a+ 1 c 0 b+ 1 d

=

a+c b+d

c d

X M=

a bc d

1 10 1

=

a 1 1 +b 0 a 1 +b 1

c 1 +d 0 c 1 +d 1

=

a a+bc c+d

M X=X M

a+c b+dc d

=

a a+bc c+d

a+c= a ,c= 0

b+d= a+b ,d= ac= c

d= c+d,c= 0

X=

a bc d

X=

a b0 a

, a , b R

4


68/565

4. Odredite sve antisimetricne matrice A M2, koje s matricom B tvore ko-

mutativan par s obzirom na mnozenje ako je

B =

0 11 0

Rjesenje:

A= 0 x

x 0

A B =

0 xx 0

0 11 0

=

0 0 + (x) (1) 0 1 + (x) 0

x 0 + 0 (1) x 1 + 0 0

=

x 00 x

B A=

0 11 0

0 xx 0

=

0 0 + 1 x 0 (x) + 1 01 0 + 0 x 1 (x) + 0 0

=

x 00 x

A B =B A

x 00 x

=

x 00 x

Svaka antisimetricna matrica s matricom B tvori komutativan par, tj.

A=

0 xx 0

, x R

5


69/565

5. Odredite sve skalarne matrice AM2, koje s matricom B tvore komutativan

par ako je:

B =

0 33 0

Rjesenje:

A= x 0

0 x

A B =B A

A B =

x 00 x

0 33 0

=

x 0 + 0 3 x (3) + 0 00 0 +x 3 0 (3) +x 0

=

0 3x3x 0

B A=

0 33 0

x 00 x

=

0 x+ (3) 0 0 0 + (3) x

3 x+ 0 0 3 0 + 0 x

=

0 3x3x 0

A B =B A

0 3x3x 0

=

0 3x3x 0

Svaka skalarna matrica s matricom B tvori komutativan par, tj.

A=

x 00 x

, x R

6


70/565

6. Odredite sve dijagonalne matrice AM2, koje s matricom B tvore komu-

tativan par s obzirom na mnozenje ako je,

B =

0 11 0

Rjesenje:

A=

x 00 y

A B =B A

A B =

x 00 y

0 11 0

=

x 0 + 0 1 x (1) + 0 00 0 +y 1 0 (1) +y 0

=

0 xy 0

B A=

0 11 0

x 00 y

=

0 x+ (1) 0 0 0 + (1) y

1 x+ 0 0 1 0 + 0 y

=

0 yx 0

A B =B A0 xy 0

=

0 yx 0

0 = 0

x= y

y=x

0 = 0

A=

x 00 y

A=

x 00 x

, x R

7


71/565

7. Zadane su matrice,

A=

t 02 1

i

B= (A+AT)2

Odredite parametar t Rtakav da je matrica B skalarna.

Rjesenje:

B =

t 02 1

+

t 20 1

2=

2t 22 2

2=

=

2t 22 2

2t 22 2

=

4t2 + 4 4t+ 44t+ 4 8

4t2 + 4 = 8

4t2 = 4

t2 = 1

t1=1

t2= 1, ne odgovara4t+ 4 = 0

4t= 4t= 1

Konacno rjesenje:

t= 1

8


72/565

8. Zadane su matrice A =t 0

2 1

i B = A2

2A. Odredite parametart R

takav da je matrica B dijagonalna. Koliki je tada tr(B)?

Rjesenje:

B =A2 2A

A2 =A A= t 0

2 1

t 0

2 1=

t2 0

2t+ 2 1

2 A= 2

t 02 1

=

2t 04 2

B =A2 2A=

t2 0

2t+ 2 1

2t 04 2

=

t2 2t 02t 2 1

2t 2 = 0

2t= 2

t= 1

B =

1 00 1

tr(B) =1 + (1) =2

9


73/565

9. Zadani su vektori A=1

t

i B =t

2

. Odredite parametar tR

takav dasu vektori 2A B i A+2B medusobno okomiti.

Rjesenje:

2A B = 2

1t

t2

=

22t

t2

=

2 t

2t 2

A+ 2B =

1t

+ 2

t2

=

1t

+

2t4

=

1 + 2tt+ 4

(2A B)T (A+ 2B) = 0

[2 t 2t 2]

1 + 2tt+ 4

= 0

(2 t)(1 + 2t) + (2t 2)(t+ 4) = 0

2 + 4t t 2t2 + 2t2 + 8t 2t 8 = 09t= 6

t=2

3

10


74/565

10. Odredite inverznu matricu matrice A=1 0 30 1 2

2 0 7

Rjesenje:

1 0 3 | 1 0 00 1 2 | 0 1 0

2 0 7 | 0 0 1

1 0 3 | 1 0 00 1 2 | 0 1 0

0 0 1 | 2 0 1

1 0 3 | 1 0 00 1 2 | 0 1 0

0 0 1 | 2 0 1

1 0 0 | 7 0 3

0 1 0 | 4 1 20 0 1 | 2 0 1

A1 =

7 0 34 1 2

2 0 1

11


75/565

11. Odredite rang matrice A ako je A=1 0 1 22 1 3 1

1 2 3 3

Rjesenje:Radimo elementarne transformacije nad matricom...

1 0 1 22 1 3 11 2 3 3

1 0 1 20 1 1 3

0 2 2 1

1 0 1 20 1 1 3

0 0 0 7

r(A) = 3

12


76/565

12. Odredite rang matrice A ako je A=2 1 1 21 3 4 1

0 1 1 0

Rjesenje:Radimo elementarne transformacije nad matricom...

2 1 1 21 3 4 10 1 1 0

1 3 4 12 1 1 20 1 1 0

1 3 4 10 7 7 0

0 1 1 0

1 3 4 10 1 1 0

0 1 1 0

1 3 4 10 1 1 0

0 0 0 0

r(A) = 2

13


77/565

13. Odredite parametar x Rtako da je r(A)=2 ako je

A=

x 14 8 56 5 4 3

2 4 0 1

Rjesenje:

x 14 8 56 5 4 32 4 0 1

5 14 8 x3 5 4 6

1 4 0 2

1 4 0 23 5 4 6

5 14 8 x

1 4 0 20 17 4 12

0 34 8 x+ 10

1 4 0 20 17 4 12

0 0 0 x 14

x 14 = 0

x= 14

14


78/565

14. Kako rang matrice

A=

2 5 21 2 0

3 7 x

ovisi o realnom parametru x?

Rjesenje:

2 5 21 2 0

3 7 x

1 2 02 5 2

3 7 x

1 2 00 1 2

0 1 x

1 0 40 1 2

0 0 x 2

Ako jex= 2 onda je r(A) = 2.Ako jex= 2 onda je r(A) = 3.

15


79/565

15. Kako rang matrice

H=

1 1 13 2 t

2 3 6

ovisi o paramteru t?

Rjesenje:

1 1 13 2 t

2 3 6

1 1 12 3 6

3 2 t

1 1 10 5 8

0 5 t+ 3

1 1 10 5 8

0 0 t 5

Ako jet= 5 onda je r(H) = 2.Ako jet= 5 onda je r(H) = 3.

16


80/565

16. Gauss-Jordanovom metodom rijesite sustav:

2x + 3y z = 85x y + z = 93x 4y + 3z = 10

Rjesenje:

2 3 1 | 85 1 1 | 93 4 3 | 10

1 32

12

| 45 1 1 | 93 4 3 | 10

1

3

2 1

2 | 4

0 172

7

2 | 11

0 172

9

2 | 2

1

3

2 1

2 | 4

0 1 717

| 2217

0 172

9

2 | 2

1 0

2

17 | 35

17

0 1 717

| 2217

0 0 1 | 9

1 0 0 | 10 1 0 | 5

0 0 1 | 9

x= 1, y= 5, z= 9

17


81/565

17. Rijesite sustav linearnih jednadzbi,

2x + 4y 6z = 65x + 8y 11z = 11

2y 4z = 4

Rjesenje:

2 4 6 | 65 8 11 | 11

0 2 4 | 4

1 2 3 | 35 8 11 | 11

0 2 4 | 4

1 2 3 | 30 2 4 | 4

0 2 4 | 4

1 2 3 | 30 1 2 | 2

0 2 4 | 4

1 0 1 | 10 1 2 | 2

0 0 0 | 0

x+z=1

y 2z= 2

x= 1 z

y= 2 + 2z

z R

18


82/565

18. Rijesite sustav,

3x + y + 2z 2w = 03x + 2y z + 3w = 42x y + 2z w = 2

Rjesenje:

3 1 2 2 | 03 2 1 3 | 42 1 2 1 | 2

2 1 2 1 | 23 2 1 3 | 43 1 2 2 | 0

1

1

2 1 1

2 | 1

3 2 1 3 | 43 1 2 2 | 0

1

1

2 1 1

2 | 1

0 72

4 92

| 10 5

2 1 1

2 | 3

1

1

2 1 1

2 | 1

0 1 87

9

7 | 2

7

0 52

1 12

| 3

1 0

3

7

1

7 | 8

7

0 1 87

9

7 | 2

7

0 0 137

267

| 267

1 0 37

1

7 | 8

7

0 1 8

7

9

7 | 2

7

0 0 1 2 | 2

1 0 0 1 | 2

0 1 0 1 | 20 0 1 2 | 2

x+w = 2

y w= 2

z 2w= 2

x= 2 wy= 2 +w

z= 2 + 2w

w R

19


83/565


x + y = 1x y = 5

2x + 3y = 0

Rjesenje:

1 1 | 11 1 | 52 3 | 0

1 1 | 10 2 | 40 1 | 2

1 1 | 10 1 | 2

0 1 | 2

1 1 | 10 1 | 2

0 0 | 0

1 0 | 30 1 | 2

0 0 | 0

x= 3, y=2

20


84/565


2x y + z = 3x + 2y 3z = 1

3x + y 2z = 6

Rjesenje:

2 1 1 | 31 2 3 | 13 1 2 | 6

1 2 3 | 12 1 1 | 33 1 2 | 6

1 2 3 | 10 5 7 | 10 5 7 | 3

1 2 3 | 10 5 7 | 10 0 0 | 2

r(A) = 2, r(A|b) = 3

r(A)=r(A|b)

, sustav nema rjesenja!

21


85/565

21. Kako broj rjesenja sustava

x1+x2+x3= 8

x1+x2+x3= 5

3x1+x2+ 2x3= 5

ovisi o realnom parametru ?

Rjesenje:

1 1 | 81 1 | 5

3 1 2 | 5

1 1 | 80 1 1 | 3

0 2 2 3 | 19

1 1 | 80 1 1 | 3

0 1 322

| 192

1 1 | 80 1 32

2 | 19

2

0 1 1 | 3

1 0

22

| 32

0 1 322

| 192

0 0 332

2 | 19

2(1 ) 3

Ako je 332

2 = 0 onda je r(A) = 3 i r(A|b)=3 i sustav ima jedinstveno

rjesenje.Ako je 33

2

2 = 0 onda jer(A) = 2 i r(A|b) = 3 i sustav nema rjesenja.

3 32

2 = 0

3(1 )

2 = 0

3= 0 = 0

1 = 0 = 1

Za {0, 1} sustav nema rjesenja, u protivnom ima jedinstveno rjesenje.

22


86/565


x + y + tz = 1x + 2y z = 2

2x + 3y + (t 1)z = 3

ovisi o parametrut R?

Rjesenje:

1 1 t | 11 2 1 | 2

2 3 t 1 | 3

1 1 t | 10 1 t 1 | 1

0 1 t 1 | 1

1 1 t | 10 1 t 1 | 1

0 0 0 | 0

n(broj nepoznanica) =3r(A) =r(A|b) = 2r(A) = r(A|b) = 2


87/565


x + y + tz = 1x + 2y z = 2

2x + 3y + (t 1)z = 4

ovisi o parametrut R?

Rjesenje:

1 1 t | 11 2 1 | 2

2 3 t 1 | 4

1 1 t | 10 1 t 1 | 1

0 1 t 1 | 2

1 1 t | 10 1 t 1 | 1

0 0 0 | 1

r(A) = 2, r(A|b) = 3r(A)=r(A|b) Sustav nema rjesenja za svakit R.

24


88/565

24. Tvornica proizvodi dvije vrste camaca, camac za jednu (T1) i camac za dvije

osobe (T2). Svaki camac mora se obraditi u dva odjela, odjel za rezanje ma-terijala i odjel za spajanje. Tehnoloske karakteristike proizvodnje dane su usljedecoj tablici:

Broj radnih sati Broj radnih sati Kapacitet upo camcu po camcu satima

T1 T2

Odjel za rezanje 3 2 110

Odjel za spajanje 1 2 70Izracunajte kolicine proizvodnje za oba tipa camca tako da se kapacitetiu potpunosti iskoriste. (UPUTA: problem treba svesti na sustav dvije jed-nadzbe s dvije nepoznanice).

Rjesenje:

3T1+ 2T2= 110

1T1+ 2T2= 70

3 2 | 1101 2 | 70

1 2 | 703 2 | 110

1 2 | 700 4 | 100

1 2 | 700 1 | 25

1 0 | 200 1 | 25

T1= 20T2= 25

25


89/565

25. Osoba ima na raspolaganju 22000 kn koje ulaze u dionicu A s prinosom

od 8% godisnje, u dionicu B sa prinosom od 5% godisnje i u dionicu C sprinosom od 4% godisnje. Koliko osoba mora uloziti u svaku dionicu daostvari prinos od tocno 1340 kn? Takoder, strategija je osobe u dionicu Culoziti 4000 kn manje nego u dionicu A. (UPUTA: problem treba svesti nasustav tri jednadzbe s tri nepoznanice gdje su nepoznanice ulaganja.)

Rjesenje:

A+B+C= 22000

0.08A+ 0.05B+ 0.04C= 1340

A C= 4000 1 1 1 | 220000.08 0.05 0.04 | 1340

1 0 1 | 4000

1 1 1 | 220000 0.03 0.04 | 420

0 1 2 | 18000

1 1 1 | 220000 1 2 | 180000 0.03 0.04 | 420

1 1 1 | 220000 1 2 | 18000

0 0.03 0.04 | 420

1 0 1 | 40000 1 2 | 18000

0 0 0.02 | 120

1 0 1 | 40000 1 2 | 18000

0 0 1 | 6000

1 0 0 | 100000 1 0 | 6000

0 0 1 | 6000

A= 10000

B = 6000

C= 6000

26


90/565

26. Tvrtka reklamira svoj proizvod. Mogucnosti reklamiranja su: TV spot, ra-

dio spot i oglas u novinama. Tv spot stoji 16000 kn, radio spot 5000 kn,oglas u novinama 8000 kn, a tvrtka ima na raspolaganju 249000kn, takoder,strategija tvrtke je da proizvod reklamira s dva puta vise oglasa u novinamanego radio spotova. Nadalje, kada bi tvrtka novac koji ce uloziti radio spo-tove orocila na dvije godine uz godisnji kamatnjak 2 te godisnje slozeno idekurzivno ukamacivanje, na kraju bi druge godine taj iznos vrijedio 26010kn. Koliko ce TV spotova, koliko radio spotova i koliko oglasa u novinamatvrtka uplatiti tako da iskoristi raspolozivi budzet? Zadatak rjesite Gauss-

Jordanovim postupkom.

Rjesenje:

x TV spot

yradio spot

zoglas

16000x+ 5000y+ 8000z= 249000

z= 2yz 2y= 0

Co=Cnrn

=26010

1.022 = 25000

25000 = 5000y

16000x+ 5000y+ 8000z= 249000

2y+z= 05000y= 25000

27


91/565

16000 5000 8000 | 2490000 2 1 | 0

0 5000 0 | 25000

16 5 8 | 2490 2 1 | 0

0 1 0 | 5

16 5 8 | 2490 1 0 | 5

0 2 1 | 0

1 6 5 8 | 2490 1 0 | 5

0 0 1 | 10

1 6 5 0 | 1690 1 0 | 50 0 1 | 10

1 6 0 0 | 1440 1 0 | 50 0 1 | 10

1 0 0 | 90 1 0 | 5

0 0 1 | 10

T V = 9

radio= 5

novine= 10

28


92/565

27. Prikazite vektor B = (1, 2, 3) kao linearnu kombinaciju vektora

A1= (1, 2, 1),A2= (1, 0, 1) iA3= (0, 1, 1).

Rjesenje: 1 1 0 | 12 0 1 | 2

1 1 1 | 3

1 1 0 | 10 2 1 | 4

0 2 1 | 4

1 1 0 | 10 2 1 | 40 0 2 | 0

1 1 0 | 10 2 1 | 40 0 1 | 0

1 1 0 | 10 2 0 | 4

0 0 1 | 0

1 1 0 | 10 1 0 | 2

0 0 1 | 0

1 0 0 | 10 1 0 | 2

0 0 1 | 0

x1=1

x2= 2

x3= 0

Linearna kombinacija

B=x1 A1+x2 A2+x3 A3

B =1 A1+ 2 A2+ 0 A3

B=A1+ 2A2

29


93/565

28. Izracunajte determinantu matrice2 3 10 5 2

0 4 2

Rjesenje:

2 3 10 5 20 4 2

=

rjesavamo po prvom stupcu jer u njemu imamo samo jedan element razlicitod 0.

= 2 (1)1+1

5 24 2

= 2 1 (5 (2) 2(4)) =

= 2 (10 (8)) = 2(10 + 8) = 2 (2) =4

30


94/565

29. Izracunajte detCako jeCM4 i znamo da je det 12C= 18.Rjesenje:

det(A) =ndetA, A Mn

det

1

2C

=

1

8, CM4

12

4detC=1

81

16detC=

1

8/ 16

detC=16

8detC= 2

31


95/565

30. Za koji je parametar t Rmatrica1 1 10 1 0

t 0 1

regularna?

Rjesenje:MatricaAje regularna kad je detA= 0.

1 1 10 1 0t 0 1

=

1 1 10 1 0

t 1 1 0

=

= 1 (1)1+3 0 1t 1 1

== 1 (1)4 (0 (1) (1) (t 1)) =(t+ 1) =t 1

t 1= 0

t= 1

t R\{1}

32


96/565

31. Za koji su parametar t R vektori a1 =12

3

,a2 = 1

12

, a3 = 1

2t

linearno nezavisni?

Rjesenje:Vektori su linearno nezavisni kad je detA= 0.

1 1 12 1 2

3 2 t

=

1 1 11 0 3

5 0 2 +t

=

=1 (1)1+21 35 2 +t

=1 (1)3 (1 (2 +t) (3) 5) == (2 +t (15)) =t+ 17

t+ 17= 0

t=17

t R\{17}

33


97/565

32. Izracunajte sve vrijednosti parametrat R da bi skup vektora{A,B,C}bio

baza vektorskog parostora R3 ako suA= (t 2, 3, 1),B = (0, t 3, 1),C=(0, 3, t 1).

Rjesenje:Vektori cine bazu kad je detA= 0.

t 2 0 0

3 t 3 3

1 1 t 1

= (t 2) (1)

1+1

t 3 3

1 t 1 =

= (t 2) (1)2 [(t 3)(t 1) 3] = (t 2) 1 (t2 t 3t+ 3 3) =

(t 2)(t2 4t) =t(t 2)(t 4)

t(t 2)(t 4)= 0

t= 0

t= 2

t= 4t R\{0, 2, 4}

34


98/565

33. Da li vektoriA1, A2, A3 i A4 cine bazu od R4 ako su

A1=

1111

, A2=

11

11

, A3=

111

1

iA4=

1111

Rjesenje:

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

=

1 1 1 10 0 2 20 2 0 20 2 2 0

=

= 1 (1)2

0 2 22 0 22 2 0

= (2)3

0 1 11 0 11 1 0

=

=8 0 1 11 0 11 0 1

=8 1 (1)3 1 11 1

== 8 (1 (1) 1 1) = 8 (2) =16= 0

A1, A2, A3 i A4 jesu baza od R4.

35


99/565

34. Za koji parametar t R, je matrica

A=

1 1 10 2 1

t 1 0

singularna?

Rjesenje:MatricaAje singularna kad je setA= 0.

1 1 10 2 1t 1 0

=

1 1 11 1 0

t 1 0

=

= 1 (1)1+31 1t 1

= 1 (1)4 (1 1 1 t) = 1 1 (1 t) =1 t

1 t= 0

t= 1

t= 1

36


100/565

35. Za koji su parametar t R vektoria1=12

t

,a2= 0

0t

, a3= 1

2t

linearno zavisni?

Rjesenje:Vektori su linearno zavisni kad je detA= 0.

1 0 12 0 2

t t t

=t (1)

3+2 1 1

2 2 =

=t (1)5 (1 (2) 1 2) =

=t (1)(2 2) =t(1)(4) = 4t

4t= 0

t= 0

37


101/565

36. Za koji parametar t R vektori a1 =21

1

, a2 = 1

10

i a3 = 1

0t

ne cinebazu od R3?

Rjesenje:Vektori ne cine bazu kad je detA= 0.

2 1 1

1 1 01 0 t

=

2 1 1

1 0 11 0 t

=

=1 (1)1+21 11 t

=1 (1)3 (1 t (1) 1) == (1) (1) (t (1)) = (t+ 1) =t+ 1

t+ 1 = 0t= 1

t= 1

38


102/565

37. Odredite sve skalarne matrice A M4 cija je determinanta jednaka 16.

Rjesenje:Napomena: determinanta dijagonalne te gornje i donje trokutaste matrice

jednaka je umnosku elemenata na glavnoj dijagonali.

A=

x 0 0 00 x 0 00 0 x 0

0 0 0 x

x 0 0 00 x 0 00 0 x 00 0 0 x

=x x x x= x4

x

4

= 16x1,2=2

A1=

2 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 2

A2=

2 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 2

39


103/565

38. Odredite sve antisimetricne matriceA M2 cija je determinanta jednaka 4.

Rjesenje:

A=

0 bb 0

0 bb 0

= 0 0 (b) b= 0 (b

2) =b2

b2 = 4

b= 2

A1=

0 22 0

A2=

0 22 0

40


104/565

39. Ispitajte je li matrica A AT

M2 regularna ako je A=0 1

1 0

Rjesenje:

det(A AT)= 0

detA detAT = 0

detA

=detA

T

detA detA= 0

0 11 0 = 0 0 (1) 1 = 1

detA detA= 1 1 = 1= 0

MatricaA AT je regularna.

41


105/565

40. Zadana je matrica A M3 svojim elementima aij = (i+j 1)2. Je li ta

matrica regularna?

Rjesenje:

A=

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11= (1 + 1 1)

2 = 1

a12= (1 + 2 1)2 = 4

a13= (1 + 3 1)2 = 9

...

A=1 4 94 9 16

9 1 6 2 5

1 4 9 1 44 9 16 4 99 1 6 2 5 9 1 6

= 1 9 25 + 4 16 9 + 9 4 16 4 4 25 1 16 16 9 9 9 ==8= 0

MatricaAje regularna.

42


106/565

41. Rjesite matricnu jednadzbuAX=B ako su

A=

1 1 30 1 2

0 0 1

, B =

1 0 10 0 2

1 1 0

Rjesenje:

A1 /AX=B

A1

A X=A1

BI X=A1 B

X=A1B

detA= 1 A1

1 1 3 | 1 0 00 1 2 | 0 1 00 0 1 | 0 0 1

1 1 3 | 1 0 00 1 2 | 0 1 00 0 1 | 0 0 1

1 0 1 | 1 1 00 1 2 | 0 1 0

0 0 1 | 0 0 1

1 0 1 | 1 1 00 1 2 | 0 1 0

0 0 1 | 0 0 1

1 0 0 | 1 1 10 1 0 | 0 1 2

0 0 1 | 0 0 1

A1

=1 1 1

0 1 20 0 1

X=

1 1 10 1 2

0 0 1

1 0 10 0 2

1 1 0

=

0 1 12 2 2

1 1 0

43


107/565

42. Rjesite matricnu jednadzbuAX+A= Xgdje je

A=

2 0 10 2 0

0 0 2

.

Rjesenje:

AX+A= X

AX X=A

AX IX=A

(A I)1 /(A I)x=A

(A I)1 (A I) X= (A I)1 (A)

I X= (A I)1 (A)

X= (A I)1 (A)

A I=

2 0 10 2 0

0 0 2

1 0 00 1 0

0 0 1

=

1 0 10 1 0

0 0 1

det(A I) = 1 (A I)11 0 1 | 1 0 00 1 0 | 0 1 0

0 0 1 | 0 0 1

1 0 0 | 1 0 10 1 0 | 0 1 0

0 0 1 | 0 0 1

(A I)1 =

1 0 10 1 00 0 1

X=

1 0 10 1 0

0 0 1

2 0 10 2 0

0 0 2

=

2 0 10 2 0

0 0 2

44


108/565

Provjera:

AX+A= X4 0 00 2 0

0 0 2

2 0 10 2 0

0 0 2

+

2 0 10 2 0

0 0 2

=

=

2 0 10 2 0

0 0 2

4 0 10 4 0

0 0 4

+

2 0 10 2 0

0 0 2

=

2 0 10 2 0

0 0 2

45


109/565

43. Izracunajte detXako jeAXB=C, gdje su

A=

0 11 0

, B=

1 11 2

, C=

4 22 1

.

Rjesenje:

AXB =C/det

det(AXB) =detCdetA detX detB =detC/: detA detB

detX= detC

detA detB0 11 0 = 0 0 1 1 =1

1 11 2

=1 2 1 (1) =1

4 22 1 = 4 1 2 2 = 0

detX= 0

1 (1)

detX= 0

46


110/565

44. Zadana je matrica tehnickih koeficijenata jedne trosektorske ekonomije

A=

1

2

1

4 0

0 12

1

2

0 18

0

Izracunajte outpute svih sektora tako da se zadovolji finalna potraznja

q=

80

220

120

Rjesenje:

T =I A

T =

1 0 00 1 0

0 0 1

1

2

1

4 0

0 12

1

2

0 18

0

=

1

2 1

4 0

0 12

12

0 18

1

12 14 0 | 800 1

2 1

2 | 220

0 18

1 | 120

1 12 0 | 1600 1

2 1

2 | 220

0 18

1 | 120

1

1

2 0 | 160

0 1 1 | 4400 1

8 1 | 120

1 0

12

| 3800 1 1 | 4400 0 7

8 | 175

1 0 12

| 3800 1 1 | 4400 0 1 | 200

1 0 0 | 4800 1 0 | 6400 0 1 | 200

Q=

480640

200

47


111/565

45. Zadana je matrica tehnologije T = 35 14

14

25

i vektor finalne potraznje

q=

9

14

jednog dvosektorskog gospodarstva. Sastavite input output tablicu

tog gospodarstva.

Rjesenje:

35 14 | 914

25 | 14

1 512 | 1514

25 | 14

1 512

| 150 71

240 | 71

4

1 5

12 | 15

0 1 | 60

1 0 | 400 1 | 60

Q=

4060

A= I T =

1 00 1

3

5

14

14

2

5

=

2

5

1

41

4

3

5

48


112/565

Qij =aij Qj

Q11=a11 Q1=25

40 = 16

Q21=a21 Q1=1

4 40 = 10

Q12=a12 Q2=1

4 60 = 15

Q22=a22 Q2=3

5 60 = 36

Qi Qij qi40 16 15 9

60 10 36 14

49


113/565

46. Zadana je inverzna matrica tehnologije jedne dvosektorske ekonomije

T1 = 23

2 11 2

. Kolika je kolicina outputa prvog sektora potrebna da se

proizvede jedinica outputa istog sektora?Rjesenje:

T =

a bc d

T1 = 1

ad bc

d bc a

(T1)1 =T

T =

2

3

2 11 2

1=

2

3

1

2 11 2

1=

=3

2

1

2 2 1 1

2 11 2

=

1 1

212

1

A= I T =1 0

0 1

1 12

12 1

=

0 1212 0

a11= 0

50


114/565

47. Zadana je inverzna matrica tehnologije T1

= 4

53 2

2 3

i vektor finalne po-

traznje q=

38

. Sastavite pripadnu I-O tablicu.

Rjesenje:

(T1)1 =T

T =

3

4

12

12

3

4

3

4

12

| 312

3

4 | 8

1 2

3 | 4

12

3

4 | 8

1 2

3 | 4

0 512

| 10

1 2

3 | 4

0 1 | 24

1 0 | 200 1 | 24

Q= 2024

A= I T =

1

4

1

21

2

1

4

51


115/565

Qij =aij Qj

Q11=a11 Q1=14

20 = 5

Q21=a21 Q1=1

2 20 = 10

Q12=a12 Q2=1

2 24 = 12

Q22=a22 Q2=1

4 24 = 6

Qi Qij qi20 5 12 3

24 10 6 8

52


116/565

48. Napisite input-output tablicu ako je T1

= 5

114 1

1 3

iQ=40

30

Rjesenje:

(T1)1 =T

T =

3

5

15

15

4

5

A= I T =25

1

51

5

1

5

Qij =aij Qj

Q11=a11 Q1=2

5 40 = 16

Q21=a21 Q1=1

5 40 = 8

Q12=a12 Q2=1

5 30 = 6

Q22=a22 Q2=1

5 30 = 6

q1= 40 16 6 = 18

q2= 30 8 6 = 16

Qi Qij qi

40 16 6 1830 8 6 16

53


117/565

49. Zadana je matrica tehnickih koeficijenata neke trosektorske privrede

A=

0.1 0.25 0.150.3 0.25 0.25

0.15 0.2 0.1

Napisite input-output tabelu ako je ukupni output prvog sektora 100, ukupnioutput drugog sektora 120, a finalna potraznja treceg sektora 105 jedinica.

Rjesenje:

Q=

100120

Q3

, q=

q1q2

105

T =I A=

0.9 0.25 0.150.3 0.75 0.25

0.15 0.2 0.9

T Q= q

0.9 0.25 0.150.3 0.75 0.250.15 0.2 0.9

100120

Q3

=

q1q2

105

60 0.15Q3= q1

60 0.25Q3= q2

39 + 0.9Q3= 105

54


118/565

Q3= 160

q1= 36

q2= 20

Qi Qij qi100 10 30 24 36

120 30 30 40 20

160 15 24 16 105

55


119/565


120/565

51. Zadana je input-output tabela neke dvosektorske ekonomije,

Qi Qij qi200 80 60 60

300 160 120 20

Napisite tabelu ako se ukupni output prvog sektora smanji za 20%, a ukupnioutput drugog sektora poveca za 40%.

Rjesenje:

Q1= 200 20

100 200 = 160

Q2= 300 + 40

100 300 = 420

Q

=160

420

,

A=

80

200

60

300160

200

120

300

=

0.4 0.20.8 0.4

57


121/565

Qij =aij Qj

Q11=a11 Q1= 0.4 160 = 64...

Qi Qij qi160 64 84 12

420 128 168 124

q1= 160 64 84 = 12

q2= 420 128 168 = 124

58


122/565

52. Zadana je input-output tablica

Qi Qij qi200 40 80 80

240 80 60 100

Ako se ukupni output prvog sektora smanji za 10%,a drugog poveca za 50%,za koliko se % promijeni finalna potraznja pojedinih sektora?

Rjesenje:

Q1= 200 10

100 200 = 180

Q2= 240 + 50

100 240 = 360

A=

40

200

80

24080

200

60

240

=

1

5

1

32

5

1

4

T =I A=

4

5

13

25

3

4

T Q =q

4

5

13

25

3

4

180360

=

24

198

Finalna potraznja 1. sektora smanjila se za 56 jedinica.x100

80 = 56 X= 70%.Finalna potraznja 1. sektora smanjila se za 70%.Finalna potraznja 2. sektora povecala se za 98 jedinica.x100

100 = 98 X= 98%.Finalna potraznja 2. sektora povecala se za 98%.

59


123/565

53. Zadana je input-output tablica neke dvosektorske ekonomije

Qi Qij qi20 5 12 3

24 10 6 8

Napisite novu I-O tablicu ako je novi vektor finalne potraznje q=

5

10

.

Rjesenje:

A=14

12

1

2

1

4

T =I A=

3

4

12

12

3

4

3

4

12

| 512

3

4 | 10

1 2

3 | 20

312

3

4 | 10

1 2

3 | 20

3

0 512

| 403

1 2

3 | 20

3

0 1 | 32

1 0 | 280 1 | 32

Q=

2832

Qij =aij Qj

Q11=a11 Q1=1

4 28 = 7

...

Qi Qij qi28 7 16 5

32 14 8 10

60


124/565

54. Zadana je input output tabela neke trosektorske privrede

Qi Qij qi150 30 40 50 30

200 50 80 50 20

250 30 60 100 60

Napisite novu tabelu ako se ukupni output prvog sektora poveca za 20%,drugog sektora za 25%, a finalna potraznja prvog sektora smanji se za 20%.

Rjesenje:

Q1= 150 + 20

100 150 = 180

Q2= 200 + 25

100 200 = 250

q1= 30 20

100

30 = 24

Q =

180250

Q3

, q =

24q2

q3

A=

30

150

40

200

50

25050

150

80

200

50

25030

150

60

200

100

250

=

1

5

1

5

1

51

3

2

5

1

51

5

3

10

2

5

T =I A=

4

5

15

15

13

3

5

15

15

310

3

5

61


125/565

T Q =q

45

15

15

13

3

5

15

15

310

3

5

180250

Q3

=

24q2

q3

Q3= 350, q2= 20, q

3= 99

Qij =aij Qj

Q11=a11 Q1

Q11= 15

180 = 60 . . .

Qi Qij qi180 36 50 70 24

250 60 100 70 20

350 36 75 140 99

62


126/565

55. Zadana je matrica tehnickih koeficijenata A =15 1517

37

. Za koliko treba

promijeniti ukupnu proizvodnju pojedinih sektora ako se ocekuje promjena

finalne potraznje za vektor q=

2010

Rjesenje:

T =I A= 4

5

15

1

7

4

7

Q= T1 q

T1 = 1

4

5 4

5 (1

5) (1

7)

4

7

1

51

7

4

5

=

4

3

7

151

3

28

15

Q=

4

3

7

151

3

28

15

2010

=

2212

63


127/565

56. Zadana je matrica tehnickih koeficijenata

A=

0.1 0.3 0.20.3 0.2 0.1

0.2 0.1 0.3

Za koliko se treba promijeniti vektor finalne potraznje ako se planira povecanje

proizvodnje za vektor Q=

3010

20

i tehnoloski uvjeti se ne mijenjaju da bi

promatrana trosektorska ekonomija ostala u ravnotezi?

Rjesenje:

T Q= q

T =I A=

0.9 0.3 0.20.3 0.8 0.1

0.2 0.1 0.7

q= 0.9 0.3 0.20.3 0.8 0.1

0.2 0.1 0.7

30

1020

= 20

37

64


128/565

UVOD

Ovi nastavni materijali namijenjeni su studen-

tima koji slusaju predmet matematika a re-

zultat su visegodisnjeg rada u nastavi iz ovogpredmeta. U svrhu lakseg pracenja i boljeg

razumijevanja, gradivo je izlozeno na pristupa-

can nacin sa detaljnim objasnjenjima i brojnim

primjerima. Iako ovi materijali cine sustinu

nastave, studentima se preporuca pohadanje

nastave gdje ce dobiti, po potrebi, i sva do-

datna objasnjenja i informacije. Svaka suges-

tija i konstruktivna kritika, u svrhu poboljsanja

ovih materijala, je dobrodosla.

Zelim vam sto uspjesnije savladavanje izloze-

nog gradiva !!

J.M.


129/565

SADRZAJ

Funkcije . . . 1

Realne funkcije jedne varijable . . . 3

Granicna vrijednost (limes) funkcije . . . 7

Neprekidnost funkcije . . . 14

Derivacije funkcija jedne varijable . . . 15

Tehnika deriviranja . . . 19

Diferencijal funkcije . . . 39

Teorem srednje vrijednosti . . . 41

LHospitalBernoulijevo pravilo . . . 46

Primjena derivacija na ispitivanje toka

i graficko predocavanje funkcija . . . 48

Primjena derivacijana ekonomske funkcije . . . 68

Elasticnost . . . 74

Engelovi zakoni . . . 81


130/565

SADRZAJ (NASTAVAK)

Funkcije vise varijabli . . . 83

Parcijalne derivacije . . . 85

Homogene funkcije . . . 89

Diferencijali funkcija vise varijabli . . . 92

Elasticnost funkcija vise varijabli . . . 96

Ekstremi funkcija dvije varijable . . . 100

Metoda najmanjih kvadrata . . . 108

Uvjetni ekstremi . . . 111


131/565


132/565


133/565

+ +

REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE

Prirodna domena ovih funkcija je skup

D(f) = {x R : f(x) R} .Mozemo ih zadati tablicom, graficki i anali-

ticki (formulom). Primjeri ...

Klasifikacija

Algebarske:

polinomi (operacije +, , )

y =a0+ a1x + a2x2

+ . . . + anxn

racionalne (razlomljene) funkcije(operacije +, , , :)

y =

a0+ a1x + a2x2 + . . . + anxn

b0+ b1x + b2x2 + . . . + bmxm

iracionalne funkcije(operacije +, , , :, n )

+ 3


134/565


135/565


136/565

+ +

4. Odredite domene slijedecih funkcija

a(x) = xx2 9, b(x) = xx2 + 9,

c(x) =

1 x, d(x) = 31 x,

f(x) = log(x2 4), g(x) =ln(x3 8)

3 x,

h(x) = log log x, k(x) =

2x 21x.

Rjesenje:

D(a) = R

\ {3, 3

}, D(b) = R,

D(c) = , 1], D(d) = R,

D(f) = , 2 2, +,

D(g) = 2, 9, D(h) = 1, +,

D(k) =

1

2, +

.

Pravila: B/N N= 0, parni 0,loga >0.

+ 6


137/565


138/565

+ +

Na primjer:

x f(x)

0.9 2.710.99 2.9701

0.999 2.997...0.9999 2.9997...

0.99999 2.99997...

1 3

x f(x)

1.1 3.311.01 3.0301

1.001 3.003...1.0001 3.0003...

1.00001 3.00003...

1+ 3

Dakle, naslucujemo da bi moglo biti

limx1 f(x) = 3 .Zaista,

limx1

x3 1x 1 =

0

0

= limx1 (x 1)(x

2

+ x + 1)x 1

= limx1(x

2 + x + 1)

= 3 .

+ 8


139/565

+ +

Definicija(konacni limes u konacnosti): Ne-ka su c, L R. Kazemo da je L limes funkcijef(x) kada x tezi broju c i pisemo

limxc f(x) =L

ako za svaki >0 postoji >0 tako da vrijedi

0< |x c| < |f(x) L| < .Primijetimo da je

0< |x c| < x c , c +

okolina tocke ci x =c,

|f(x) L| < f(x) L , L + okolina tocke L

.

Drugim rijecima, funkcija poprima vrijednosti

po volji blizu broju L kad se argumenat do-

voljno priblizi broju c. To mozemo zapisati i

ovako:

f(x) =L + (x), limxc (x) = 0 .

Skica ...

+ 9


140/565


141/565

+ +

Beskonacni limes u beskonacnosti

(c= , L= ):lim

x f(x) = ili limx f(x) = (ili)Funkcija poprima proizvoljno velike pozitivne

(ili negativne) vrijednosti kad argumenat po-

primi dovoljno velike pozitivne ili negativne

vrijednosti. Skica ...Kazemo da funkcija konvergira u nekoj tocki

ako u njoj ima konacni limes. U protivnom

(ako je limes beskonacan ili ga nema) kazemo

da divergira.

Svojstva limesa:Limes zbroja, razlike, produkta ili kvocjenta

dviju funkcija jednak je zbroju, razlici, pro-

duktu ili kvocjentu limesa tih dviju funkcija

(ako su svi navedeni izrazi odredeni), tj.

limxc(f(x) g(x)) = limxc f(x)limxc g(x),pri cemu je

{+, , , :}. Specijalno ako

je g(x) =k (konstanta), imamo npr.

limxc(k f(x)) =k limxc f(x).

+ 11


142/565

+ +

Neki vazniji limesi:

(1) limx

a

x= 0, lim

x

a

x= 0 za a R,

(2) limx0+

a

x= , lim

x0a

x= za a >0,

(3) limx a

x =

0 za 0< a 1,

(4) limx

xa= 1 za a >0, limx

xx= 1,

(5) limx

1 +

1

x

x= 2.71828182...=e ,

limx1 +

k

xx

=ek, k

R .

+ 12


143/565


144/565

+ +

NEPREKIDNOST FUNKCIJE

Definicija: Funkcija f(x) je neprekidna u

tocki x=c ako vrijedi

limx

cf(x) =f(c) .

Primijetimo da definicija podrazumijeva da je

funkcija definirana u tocki c, da ima limes u

tocki c i da su te dvije vrijednosti jednake.

U protivnom (ako nesto od navedenog nije

ispunjeno) kazemo da funkcija ima prekid u

tocki c.

Slikovito receno, funkcija je neprekidna u ne-

koj tocki ako njezin graf kroz tu tocku moze-

mo nacrtati jednim potezom.

PRIMJER: Ispitajte neprekidnost funkcija

f(x) =x2 1

x 1 i g(x) =x + 1 .

+ 14


145/565


146/565

+ +

Dakle,

f(x) = limx0

yx= lim

x0koef. smjera sekante

= koef. smjera tangente

Geometrijska interpretacija derivacije:Derivacija funkcije u nekoj tocki je koefici-jent smjera tangente na graf funkcije u tojtocki. Drugim rijecima, derivacija je mjerabrzine promjene funkcije uzrokovane malompromjenom argumenta.

Primjer: interpretirajte slijedece tvrdnjef(2) = 3, f(5) = 1/4 .

Napomenimo da se osnovna formula (defini-cija) derivacije moze pisati na vise nacina, npr.stavimo li z = x+ x tada jex = z x i

x

0

z

x, pa je

f(x) = limx0

f(x + x) f(x)x

= limzx

f(z) f(x)z x

+ 16


147/565

+ +

DERIVABILNOST I NEPREKIDNOST

Ako je funkcija derivabilna u nekoj tocki tada

je u njoj i neprekidna. Obrat ne mora vrijediti.

Dokazimo ovu tvrdnju!

Ako je funkcija f(x) derivabilna u tocki x=c,bit ce

f(c) = limxc

f(x) f(c)x c ,

odnosno

f(x) f(c)x c =f

(c) + (x), limxc (x) = 0

ili

f(x) f(c) = (x c)f(c) + (x c)(x) .Uzmemo li u ovoj jednakosti limes kad x

c,

desna strana postane nula, pa dobijemo

limxc f(x) f(c) = 0 ,

a sto je definicija neprekidnosti.

+ 17


148/565

+ +

Tvdnju da obrat ne mora vrijediti pokazuje

primjer funkcije

f(x) = |x| = x za x 0x za x


149/565

+ +

TEHNIKA DERIVIRANJA

Da bi postupak deriviranja ucinili jednostavni-

jim, koristeci definiciju derivacije, izvest cemo:

opcenita pravila deriviranja (derivacijuzbroja, razlike, produkta i kvocjenta),

tablicu derivacija(izraze - formule za de-rivaciju elementarnih funkcija) i

derivaciju slozenih funkcija.

+ 19


150/565

+ +

PRAVILA DERIVIRANJA

Neka su u i v derivabilne funkcije a c kon-

stanta. Tada vrijedi

1. (c u) =c u

2. (u v) =u v

3. (uv) =uv+ uv

4.

u

v

=

uv uvv2

Ova pravila dobijemo primjenom definicije de-

rivacije

f(x) = limh0

f(x + h) f(x)h

,

(tu smo prirast argumenta xoznacili kracomoznakom h). Pokazujemo pravila 2 i 3.

+ 20


151/565

+ +

Pravilo 2: u definiciju derivacije stavimo

f(x) =u(x) + v(x) (slicno za razliku).Imamo

(u(x) + v(x))

= lim

h0

[u(x + h) + v(x + h)] [u(x) + v(x)]

h

= limh0

u(x + h) u(x)

h +

v(x + h) v(x)h

= u(x) + v(x)

+ 21


152/565

+ +

Pravilo 3: u definiciju derivacije stavimo

f(x) =u(x) v(x) .Imamo

(u(x) v(x))

= limh0

u(x + h)v(x + h) u(x)v(x)h

= limh0

u(x + h)v(x + h) u(x)v(x + h)

h

+ u(x)v(x + h) u(x)v(x)

h

= limh0

u(x + h) u(x)h

v(x + h)

+ limh0

u(x) v(x + h) v(x)h

= u(x)v(x) + u(x)v(x)

+ 22


153/565

+ +

TABLICA DERIVACIJA ELEMENTARNIH

FUNKCIJA

1. (konstanta) = 0

2. (xn) =nxn1, n R, (x) = 1

3. (

x ) = 12

x

4.

1

xn

= n

xn+1, n R

5. (ax)=ax ln a

6. (ex) =ex

+ 23


154/565

+ +

7. (loga x) = 1x ln a

=loga ex

8. (ln x) =1x

9. (sin x) = cos x

10. (cos x) = sin x

11. (tan x) = 1cos2 x

12. (cot x) = 1sin2 x

Sve navedene formule dobijemo iz definicije

derivacije. Pokazujemo neke od njih.

+ 24


155/565

+ +

Formula 2: U definiciju derivacije stavljamo

f(x) = xn. Formulu pokazujemo za n N.U izvodu koristimo binomni teorem. Imamo

(xn) = limh0

(x + h)n xnh

= limh0

1

h

xn +

n1

xn1h

+

n2

xn2h2 +

n3

xn3h3

+ . . . + n

n 1

xhn1 + hn xn

= limh0

n1

xn1 +

n2

xn2h

+n3xn3h2 + . . . + hn1= nxn1

+ 25


156/565

+ +

Formula 3: U definiciju derivacije stavljamo

f(x) =

x. Imamo

(

x) = limh0

x + h x

h

= limh0

x + h x

h

x + h +

x

x + h +

x

= limh0

x + h xh (x + h + x)

= 1

2

x

+ 26


157/565

+ +

Formula 7: U definiciju derivacije stavljamof(x) = loga x. Imamo

(loga x) = lim

h0loga(x + h) loga x

h

= limh01

h loga x + h

x

= limh0

1

xx

h loga

1 +

h

x

= limh01

x loga 1 +1xh

xh

=

t=

x

h, h 0 t

=

1

x limt loga 1 +1

tt

= 1

x loga e

+ 27


158/565

+ +

PRIMJERI

Derivirajte slijedece funkcije

1. y = 6x3 2x + 4x + 2 ln x 9y = 6 (x3) 2 (x)+ 4 (x)

+ 2 (ln x) 9= 6 3x2 2 1 + 4 1

2

x

+

2 1x 0

= 18x2 2 + 2x

+ 2x

2. y = 8 4

x3 + 2x3

y = 8x3/4 + 2x3

y = 8 (x3/4

)+ 2 (x3

)= 8 3

4x1/4 + 2 (3) x4

= 6x1/4 6x4 = 64

x 6

x4

+ 28


159/565

+ +

3. y =x4 ln x

y = (x4) ln x + x4 (ln x)

= 4x3

ln x + x4

1

x= 4x3 ln x + x3

4. y = x

x2 + 1

y = (x) (x2 + 1) x (x2 + 1)

(x2 + 1)2

= 1 (x2 + 1) x 2x

(x2 + 1)2

= 1 x2(x2 + 1)2

+ 29


160/565

+ +

DERIVACIJA SLOZENE FUNKCIJE(KOMPOZICIJE)

y = (f u)(x), tj. y =f(u(x))

f(x) = limx0

fx

= limx0

fu

ux

= {x 0 u 0 f 0}

= limu0

fu limx0

ux

= f(u)

u

(x)

ili fx=fu ux

+ 30


161/565


162/565


163/565

+ +

DERIVACIJA INVERZNE FUNKCIJE

Znamo, da ako funkcija ima inverznu, tada

vrijedi y =f(x) x=f1(y).Ako je f(x) poznato, koliko je f1(y)

?

f1(y)

= lim

y0xy

= {y 0 x 0}

= limx01

yx =

1

f(x)

PRIMJER

y =ex

x= ln y, (ex

) =ex

, (ln y) = ?

(ln y) = 1(ex)

= 1

ex=

1

y

+ 33

Documents

Matejaš- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)