MATEK4 5-Ruang Vektor

MATEMATIKA 4Ruang Vektor

Ruang Vektor

Sub Pokok Bahasan : Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang

Beberapa Aplikasi Ruang Vektor : Beberapa metode optimasi Sistem Kontrol Operation Research Dll

Ruang Vektor Umum

Misalkan dan k, l Riil

V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma :

1. , untuk setiap (sifat tertutup terhadap

penjumlahan)

2. (komutatif terhadap penjumlahan)

3. (assosiatif terhadap penjumlahan)

4. Terdapat sehingga untuk setiap berlaku

5. Untuk setiap terdapat sehingga

Vwvu ,,

Vvu ∈,

uvvu +=+

wvuwvu

uuu 00

V0 Vu

Vu u 0 uuuu

Vvu ∈+

Ruang Vektor Umum

6. V tertutup terhadap operasi perkalian dengan skalar

Untuk setiap dan k Riil maka

7.

8.

9.

10.

Vu Vuk

vkukvuk ulukulk ukluklulk

uu .1

Ruang Vektor Umum

Contoh Ruang vektor :

1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi

penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar).

Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n)

2. Himpunan matriks berukuran m x n dengan operasi

standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks

dengan skalar).

Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn)

3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar.

Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)

Subruang (Subspace)

Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang

vektor V .

W dinamakan subruang (subspace) V jika W juga

merupakan ruang vektor yang tertutup terhadap operasi

penjumlahan dan perkalian dengan skalar.

Syarat W disebut subruang dari V adalah :

1. W { }

2. W V

3. Jika maka

4. Jika dan k Riil maka

Wvu

Wuk

Wvu ,

Wu

Subruang (Subspace)

Contoh (1) :

Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2x2

Jawab :

2. W M2x2

3. Ambil sembarang matriks A, B W

contoh :

dan

maka00

001. WO

W

0

0

2

1a

aA

0

0

2

1b

bB

Subruang (Subspace)

Perhatikan bahwa :

Ini menunjukan bahwa

4. Ambil sembarang matriks A W dan k Riilmaka :

Ini menunjukan bahwa

Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.

0

0

0

0

0

0

22

11

2

1

2

1

ba

ba

b

b

a

aBA

WBA

Wka

kakA

0

0

2

1

WkA

Subruang (Subspace)

Contoh (2) :

Periksa apakah himpunan D yang berisi semua matriks

orde 2x2 yang determinannya nol merupakan subruang

dari ruang vektor M2x2

Jawab :

Ambil sembarang matriks A, B W . Pilih a ≠ b :

00

baA

abB

00

, det (A) = 0

, det (B) = 0

Subruang (Subspace)

Perhatikan bahwa :

Karena a ≠ b, Maka det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0

Jadi D bukan merupakan subruang karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan

BA

ab

ba =

Kombinasi Linear

Sebuah vektor dinamakan kombinasi linear

dari vektor-vektor , Jika vektor –

vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

dimana k1, k2, …, kn adalah skalar Riil.

u

1v 2v nv, … ,

nnvkvkvku ...2211

Kombinasi Linear

Contoh :Misal = (2, 4, 0), dan = (1, –1, 3) adalah vektor-vektor di R3.

Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear

dari vektor – vektor di atas

u v

a

b

c

= (4, 2, 6)

c. = (0, 0, 0)

b. = (1, 5, 6)

a.

Kombinasi Linear

Jawab :a.Tulisakan diperiksa apakah ada k1, k2, sehingga

persamaan tersebut dipenuhi.

Dapat ditulis menjadi :

avkuk 21

6

2

4

3

1-

1

0

4

2

21 kk

6

2

4

3 0

1- 4

1 2

2

1

k

k

Kombinasi Linear

Dengan OBE diperoleh :

Dengan demikian, merupakan kombinasi linear

dari vektor dan

Atau

0 0 0

2 1 0

2 1

~

6 3 0

6- 3- 1

2 1 21

21

au v

vua

2

Kombinasi Linear

Latihan :1. kerjakan b) dan c) untuk contoh

sebelumnya !2. Apakah vektor a = (1,- 2,0) merupakan

kombinasi linear dari vektor b = (- 1,1,- 2) dan c = (2,- 2,4) ? Bila ya, tentukan skalar kombinasinya.

Span (membangun/merentang)

Himpunan vektor

dikatakan membangun suatu ruang vektor V jika setiap

vektor pada V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi

linear dari vektor-vektor di S.

Contoh (1) :

Tentukan apakah

1.

2.

3.

nvvvS ,...,, 21

)2,1,1(=1v

)1,0,1(=2v

)3,1,2(=3v

membangun V ???


Jawab :Ambil sembarang vektor di R3. Misalkan :

Tulis :

Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :

3

2

1

u

u

u

u

3

2

1

3

2

1

312

101

211

u

u

u

k

k

k

332211 vkvkvku


Jawab :

Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear SPL tersebut harus mempunyai

solusi (konsisten).


Agar SPL konsisten haruslah u3 – u2 – u1 = 0

Dengan demikian, vektor-vektor tersebut tidak membangun R3.

1 1 2 u1

0 -1 -1 u2 u1

0 0 0 u3 u1 u2

Kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang (unsur-unsurnya bebas , tak

bersyarat)

Bebas Linear

Misalkan adalah himpunan

vektor di ruang vektor V.

S dikatakan bebas linear (linearly independent)

jika : SPL homogen

Hanya mempunyai satu solusi (solusi tunggal),

yaitu : Jika solusi tidak tunggal maka S dinamakan tak

bebas linear (bergantung linear / linearly dependent)

nuuuS ,...,, 21

0...1211 nnukukuk

, 01 k 02 k 0nk,...,

Bebas Linear

Arti geometri dari bebas linear :

Di R2

Misal 2 vektor digambar pada ruang koordinat

dengan titik asal berada di titik origin. Himpunan

2 vektor itu bebas linear jika dan hanya jika

kedua vektor tidak berada dalam satu garis.

Bebas Linear

Arti geometri dari bebas linear :

Di R3

Misal 3 vektor digambar pada ruang koordinat dengan titik

asal berada di titik origin. Himpunan 3 vektor itu bebas

linear jika dan hanya jika ketiga vektor tidak berada

dalam satu bidang.

Bebas Linear

Contoh (1) :

Diketahui dan . Apakah kedua

vektor ini saling bebas linear di R3 ?

Jawab :

atau


diperoleh solusi

tunggal

2,3,1u 1,1,1 a

021

akuk

0

0

0

12

13

11-

2

1

k

k

~

0

0

0

12

13

11-

~

0

0

0

10

40

11

0

0

0

00

10

01

ū dan ā Saling bebas linear

Bebas Linear

Contoh (2) :

Diketahui :

Apakah ketiga vektor tersebut saling bebas linear di R3 ?

Jawab :

atau


diperoleh solusi tak hingga

banyak

bergantung linear bergantung linear

2

3

1

a

1

1

1

b

4

6

2

c

ckbkak 3210

412

613

211

3

2

1

k

k

k

0

0

0

=

~

010

040

211

000

010

211

cba ,,

Basis dan Dimensi

Jika V adalah sembarang ruang vektor dan

S = { ū1, ū2, … , ūn } merupakan himpunan

berhingga dari vektor – vektor di V,

maka S dinamakan basis bagi V Jika kedua

syarat berikut dipenuhi :

S membangun V

S bebas linear

Basis dan Dimensi

Contoh :

Tunjukkan bahwa himpunan matriks berikut

merupakan basis matriks berukuran 2x2 !

Jawab :

Tulis kombinasi linear :

21

01,

412

80,

01

10,

63

63M

dc

bakkkk

21

01

412

80

01

10

63

634321

Basis dan Dimensi

Jawab :

Atau :

dengan menyamakan setiap unsur pada kedua

matriks, diperoleh SPL :

dc

ba

kkkkkkk

kkkkk

4314321

32141

246123

863

d

c

b

a

k

k

k

k

4

3

2

1

2406

11213

0816

1003

Basis dan Dimensi

Jawab :

Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48 • det(MK) 0 SPL memiliki solusi untuk setiap a,b,c,d

Jadi, M membangun M2 x 2 • Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0,

det(MK) 0 SPL homogen punya solusi tunggal.

Jadi, M bebas linear.Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2 maka M

merupakan basis bagi M2 x 2.

Ingat…

Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal.

Basis dan Dimensi

Misalkan matriks :

Dengan melakukan OBE diperoleh :

1221

1321

1121

A Vektor baris

Vektor kolom

1 2 0 -1

0 0 1 0

0 0 0 0

Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE !!!

Basis dan Dimensimatriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :

basis ruang baris diperoleh dengan cara,

mentransposkan terlebih dahulu matriks A,

lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :

2

3

1

,

1

1

1

1 0-12

0 112

0 0 0

0 0 0

11/04/23 16:33 MA-1223 Aljabar Linear 30

Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki

satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A).

Ini berarti,

matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :

1

3

2

1

,

1

1

2

1

Dimensi basis ruang baris = ruang kolom

dinamakan rank.

Jadi rank dari matriks A adalah 2.


Contoh :

Diberikan SPL homogen :

2p + q – 2r – 2s = 0

p – q + 2r – s = 0

–p + 2q – 4r + s = 0

3p – 3s = 0

Tentukan basis ruang solusi dari SPL

diatas

Jawab :

SPL dapat ditulis dalam bentuk :

03003

01421

01211

02212


00000

00000

00210

01001

ba

s

r

q

p

0

1

2

0

1

0

0

1

dengan melakukan OBE diperoleh :

Solusi SPL homogen tersebut adalah :

dimana a, b merupakan parameter.


Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah :

0

1

2

0

,

1

0

0

1

Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas.

Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.

Documents

MATEK4 5-Ruang Vektor