Click here to load reader
Upload
citta-devi-guntari
View
2.012
Download
31
Embed Size (px)
Citation preview
BAB V
RUANG VEKTOR UMUM
5.1 Ruang Vektor Umum
Konsep sebuah vektor yang menyatakan serangkaian himpunan aksioma
yang jika dipenuhi oleh sekelompok obyek, maka obyek tersebut dinamakan
vektor. Aksioma-aksioma tersebut akan dipilih dengan mengabstraksikan sifat-
sifat yang paling penting dari vektor-vektor pada Rn
Definisi:
- Misal V sembarang himpunan obyek yang dua operasinya
didefinisikan yaitu penambahan dan perkalian dengan skalar (bilangan
riil).
- Penambahan untuk mengasosiasikan aturan dengan setiap pasang
obyek u dan v dalam V, yang mengandung elemen u + v, disebut jumlah u
dan v.
- Perkalian skalar untuk mengasosiasikan baik untuk setiap skalar k
maupun setiap obyek u pada V yang mengandung elemen ku, disebut
perkalian skalar (skalar multiple) u oleh k.
- Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua obyek u, v, w
pada V dan oleh semua skalar k dan l, maka dinamakan V sebuah ruang
vektor (vector space) dan obyek-obyek pada V dinamakan vektor.
1. Jika u dan v adalah obyek-obyek pada V, maka u + v berada di V
2. u + v = v + u
3. u + (v + w) = (u + v) + w
4. ada sebuah obyek 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u
di V.
5. Untuk setiap u di V, ada sebuah obyek -u di V yang dinamakan negatif
u sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0
6. Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang obyek di V,
maka ku berada di V
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 1
7. k(u+v) = ku + kv
8. (k+l)u = ku + lu
9. k(lu) = (kl)(u)
10. 1u = u
Contoh-1:
Misalkan V adalah sembarang bidang yang melalui titik asal pada R3.
Akan diperlihatkan bahwa titik-titik V adalah vektor-vektor pada R3
Penyelesaian:
Karena bidang V lewat melalui titik asal, maka bidang tersebut
mempunyai persamaan yang berbentuk:
ax + by + cz = 0
Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) V, maka:
au1 + bu2 + cu3 = 0 dan av1 + bv2 + cv3 = 0
Dengan menambahkan persamaan, didapat:
a(u1 + v1) + b(u2 + v2) + c(u3 + v3) = 0
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) terletak pada bidang V
Dengan mengalikan au1 + bu2 + cu3 = 0 dengan -1, maka
a(-u1) + b(-u2) + c(-u3) = 0
Jadi -u = (-u1, -u2, -u3) terletak pada V
Contoh-2:
Jika V adalah himpunan semua fungsi riil pada sebuah garis.
Jika f = f(x) dan g = g(x) adalah dua fungsi adn k adalah sembarang bilangan
riil, maka:
f + g = f(x) + g(x) = (f + g)(x)
kf = k f(x) = (kf) (x)
Contoh-3:
Misalkan V adalah himpunan semua titik (x, y) pada R2, terletak pada
kuadran pertama, sehingga: x ≥ 0 dan y ≥ 0
Maka:
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 2
v = (1, 1) terletak pada V, tetapi (-1)v = -v = (-1, -1) tidak terletak pada V
Teorema
Misalkan V adalah sebuah ruang vektor, v sebuah vektor pada V, dan k
sebuah skalar, maka:
a. 0v = 0
b. k0 = 0
c. (-1)u = -u
d. Jika ku = 0, maka k = 0. atau u = 0
5.2 Subruang
Definisi:
Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan subruang
(subspace) V jika W itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penambahan dan
perkalian skalar yang didefinisikan pada V.
Teorema:
Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruang
vektor V, maka W adalah subruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi
berikut berlaku:
a. jika u dan v adalah vektor-vektor dalam W, maka u+v terletak di W
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 3
(1, 1)
(-1, -1)
b. jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor pada W, maka
ku berada di W.
Kondisi a. dan b. dinyatakan bahwa W tertutup di bawah penambahan dan
perkalian skalar.
Pada gambar di atas memperlihatkan bahwa: semua vektor dalam sebarang
bidang yang melalui titik asal R3 membentuk sebuah ruang vektor, yakni bidang
yang melalui titik asal subruang R3.
Bukti, misalkan W sebarang bidang yang melalui titik asal dan u serta v sebarang
vektor pada W. Maka u+v harus terletak pada W karena u+v adalah diagonal
jajaran genjang yang ditentukan oleh u dan v. Dan ku harus terletak pada W untuk
sebarang skalar k karena ku terletak pada garis yang melalui u. Jadi W adalah
subruang dari R3
Contoh-1:
Perlihatkan bahwa himpunan W dari semua matriks 2x2 yang mempunyai
bilangan nol (0) pada diagonal utamanya adalah subruang dari ruang vektor M22
dari semua matriks 2x2
Penyelesaian:
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 4
W
u
v
ku
u+v
Misalkan , adalah sebarang matrik pada W
dan k adalah sebarang skalar, maka:
dan
Oleh karena kA dan A+B mempunyai bilangan nol pada diagonal utama, maka
kA dan A+B terletak pada W. Jadi W adalah subruang dari M22
Contoh-2
Misalkan n adalah sebuah bilangan bulat positif dan W terdiri dari fungsi
nol serta fungsi polinomial riil yang mempunyai derajat ≤ n. Jadi W adalah
himpunan semua fungsi yang dapat dinyatakan dalam bentuk:
p(x) = a0 + a1x + ..... + anxn dimana a0, ..... an adalah bilangan riil, dan W adalah
subruang dari ruang vektor semua fungsi bernilai riil.
Misalkan:
p(x) = a0 + a1x + ..... + anxn
dan q(x) = b0 + b1x + ..... + bnxn
maka (p+q)(x) = p(x) + q(x)
= (a0+b0) + (a1+b1)x + ..... + (an+bn)xn
Juga (kp)(x) = kp(x)
= (ka0) + (ka1)x + ..... + (kan)xn
Maka p+q dan kp terletak di W
Contoh-3
Tinjau sistem m persamaan linier pada n bilanga tak diketahui:
a11x1 + a12x2 + ….. + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ….. + a2nxn = b2
. . . .
. . . .
am1x1 + am2x2 + ….. + amnxn = bm
Atau dalam notasi matrik Ax = b
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 5
Sebuah vektor pada Rn disebut vektor pemecahan (solution
vector) dari sistem tersebut jika x1 = s1, x2 = s2, ..... xn = sn merupakan pemecahan
dari sistem tersebut.
Akan diperlihatkan bahwa himpunan vektor pemecahan dari sistem homogen
adalah subruang dari Rn
Maka:
Ax = 0 adalah sistem homogen m persamaan linier pada n bilangan tak
diketahui. W adalah himpunan vektor pemecahan, serta s dan s1 adalah vektor-
vektor pada W.
Diperloeh:
As = 0 dan As1 = 0
Sehingga
A(s+s1) = As + As1 = 0 + 0 = 0
A(ks) = k(As) = k0 = 0
Persamaan ini memperlihatkan bahwa s+s1 dan ks memenuhi persamaan Ax = 0.
Jadi s+s1 dan ks adalah vektor-vektor pemecahan. Subruang W dinamakan ruang
pemecahan (solution space) dari sistem Ax = 0
Definisi:
Sebuah vektor disebut Kombinasi Linier dari vektor-vektor 1,
2, ... r jika vektor tersebut dapat ditulis dalam bentuk:
= k1 1 + k2 2 + ... + kr r, dimana k1, k2, ... kr adalah skalar.
Contoh:
Misal = (1, 2, -1), = (6, 4, 2) ε R3
Tunjukkan bahwa = (9, 2, 7) Kombinasi Linier dari dan
Dan 1 = (4, -1, 8) bukan Kombinasi Linier dari dan
Jawab:
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 6
Untuk memperlihatkan = (9, 2, 7) Kombinasi Linier dari dan ,
harus dicari k1 dan k2 sehingga: = k1 + k2
yaitu: (9, 2, 7) = k1(1, 2, -1) + k2(6, 4, 2)
(k1, 2 k1, - k1) + (6 k2, 4 k2, 2 k2) = (9, 2, 7)
Ini berarti: k1 + 6k2 = 9
2k1 + 4k2 = 2
-k1 + 2k2 = 7
Dengan memecahkan sistem ini akan diperoleh: k1 = -3 dan k2 = 2
Jadi Kombinasi Linier yang diminta adalah: = -3 + 2
(Apakah 1 = (4, -1, 8) bukan Kombinasi Linier dari dan ??)
Definisi:
Jika 1, 2, ... r adalah vektor-vektor pada R dan V dan jika masing-
masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai Kombinasi Linier 1, 2, ... r
maka vektor-vektor tersebut dinyatakan sebagai merentang V.
Contoh-1:
Vektor-vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) merentang R3 karena
setiap vektor (a, b, c) pada R3 dapat ditulis sbg:
(a, b, c) = ai + bj + ck yang merupakan kombinasi linier i, j, k
Contoh-2:
Polinom-polinom 1, x, x2, ..... xn merentang ruang vektor Pn, karena setiap
polinom p pada Pn dapat ditulis sbg:
p = a0 + a1x + ..... + anxn merupakan kombinsi linier 1, x, x2, ..... xn
Contoh-3:
Tentukan apakah v1 = (1,1,2), v2 = (1, 0, 1) dan v3 = (2, 1, 3) merentang R3
Penyelesaian:
Ambil sebarang vektor b = (b1, b2, b3) pada R3 dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linier: b = k1 1 + k2 2 + k3 3
Maka:
(b1, b2, b3) = k1 1 + k2 2 + k3 3
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 7
(b1, b2, b3) = k1 (1, 1, 2) + k2 (1, 0,1) + k3 (2, 1, 3)
Atau (b1, b2, b3) =( k1 + k2 + 2k3, k1 + k3, 2k1 + k2 + 3k3)
Dapat juga:
k1 + k2 + 2k3 = b1
k1 + k3 = b2
2k1 + k2 + 3k3 = b3
Maka sistem tersebut akan konsisten untuk semua nilai b1, b2, b3 jika dan hanya
jika matrik koefisien-koefisien dapat dibalik. Tetapi det(A) =
0, sehingga A tidak mempunyai invers, maka 1, 2 dan 3 tidak merentang R3
Teorema:
Jika 1, 2, ... r vektor-vektor pada R dan V, maka:
a) Himpunan W dari semua Kombinasi Linier 1, 2, ... r adalah subruang
V
b) W adalah subruang terkecil dari V yang mengandung 1, 2, ... r
dalam arti setiap subbidang lain dari V yang mengandung 1, 2, ... r
harus mengandung W.
Perhatikan :
a) Jika dan W, maka :
= c1 1 + c2 2 + ... + cr r dan = k1 1 + k2 2 + ... + kr r
Dimana ci dan ki skalar, maka:
+ = (c1+ k1) 1 + (c2+ k2) 2 + ... + (cr+ kr) r
Dan untuk sembarang skalar k:
k = (kc1) 1 + (kc2) 2 + ... + (kcr) r
Jadi + dan k Kombinasi-kombinasi Linier 1, 2, ... r
Sehingga + dan k terletak di W
b) Setiap vektor i adalah kombinasi-kombinasi linier 1, 2, ... r, karena:
i = 0 1 + 0 2 + ... + 0 r
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 8
Oleh karena itu, subruang W mengandung setiap vektor 1, 2, ... r
Karena
W1 tertutup terhadap penambahan dan perkalian skalar, maka W1 harus
mengandung semua kombinasi linier :
c1 1 + c2 2 + ... + cr r dari 1, 2, ... r
Jadi W1 mengandung setiap sektor W.
Ruang Linier W yang direntang oleh himpunan vektor s = { 1, 2, ... r}
dinyatakan oleh: lim(s) atau lim{ 1, 2, ... r}
Contoh:
Jika v1, v2 tidak terletak pada satu garis di R3, maka lin { v1, v2} terdiri dari semua
kombinasi linier k1v1, k2v2 adalah bidang yang ditentukan oleh v1, v2 . Juga dengan
vektor tak nol pada R2 dan R3, maka lin {v} yang merupakan himpunan semua
perkalian skalar kv, adalah garis yang ditentuka oleh v.
Contoh Soal
1. Diketahui vektor di R5, dimana
= (3, 2, 1, -1, 4)
= (1, 2, -3, -2, 4)
= (11, 10, -3, -7, 20)
Apakah merupakan kombinasi linier dari dan
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 9
k1v1 + k2v2
k1v1
v1
k2v2
v2
Lin(v1 +v2)
●0
v
kv
lin(v)
2. Diketahui vektor di R4, dimana
= (3, 2, 4, 5)
= (2, 1, 3, -4)
= (16, 10, 22, 1)
Apakah merupakan kombinasi linier dari dan
5.3 Kebebasan Linier
Definisi:
Jika S = { 1, 2, ... r} adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor
k1 1 + k2 2 + ... + kr r = mempunyai paling sedikit satu pemecahan,
yaitu: k1 = 0, k2 = 0, ..... kr = 0
Jika ini satu-satunya pemecahan, maka S dinamakan himpunan bebas
linier. Jika ada pemecahan lain, maka S dinamakan himpunan tak bebas
linier (bergantungan linier).
Contoh 1:
Himpunan vektor-vektor S = { 1, 2, 3}, dimana 1 = (2, -1, 0, 3), 2
= (1, 2, 5, -1), 3 = (7, -1, 5, 8) himpunan tak bebas linier karena,
misalkan:
3 1 + 2 - 3 = .
Contoh 2:
Vektor-vektor = (1, 0, 0) = (0, 1, 0) = (0, 0, 1) di R3
k1(1, 0, 0) + k2 (0, 1, 0) + k3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0)
Maka k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0
Jadi himpunan S = { , , } bebas linier.
Teorema:
Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah :
b) Tak bebas linier, jika dan hanya jika satu diantara vektor S dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor S lainnya.
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 10
c) Bebas linier, jika dan hanya jika tidak ada vektor S yang dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor S lainnya.
Contoh:
Himpunan vektor-vektor S = { 1, 2, 3}, dimana 1 = (2, -1, 0, 3), 2
= (1, 2, 5, -1), 3 = (7, -1, 5, 8) tak bebas linier karena
3 1 + 2 - 3 = .
Dapat ditulis bahwa satu vektor adalah kombinasi linier dari dua vektor
lainnya :
Contoh 1
Apakah dan bebas atau tidak bebas liner?
Jawab a):
= 3(1, 3) = 3 dan tidak bebas linier (bgl)
Jawab b):
λ1 + λ2 =
λ1 + λ2 =
λ1 = -3λ2 , jawab non trivial, jadi dan tidak
bebas linier (bgl)Jawab c):
A . =
= 1.9 – 3.3 = 9-9 = 0 dan tidak bebas linier (bgl)
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 11
Jawab d):
dan tidak bebas linier
(bgl)
Contoh 2
Apakah dan bebas atau tidak bebas liner?
Jawab a:
b = (2, 1)
2a = 2 (1, 3) = (2, 6)
b ≠ 2a, maka bebas linier (bbl)
Jawab b:
λ1 + λ2 =
λ1 + λ2 =
λ1 = λ2 = 0 (jawab trivial)
Jadi a dan b bebas linier
Jawab c:
Jadi a dan b bebas linier
Contoh 3
Apakah , dan bebas atau tidak bebas liner?
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 12
Jawab :
λ1 + λ2 + λ3 =
λ1 + λ2 + λ3 =
-λ2 - 2 λ3 = 0
Jadi λ2 = -2 λ3
Maka : λ1 + λ2 + 5 λ3 = 0
λ1 - 2 λ3 + 5 λ3 = 0
jadi λ1 = - 3 λ3
Jadi jawab:
λ1 = - 3 λ3
λ2 = -2 λ3
λ3 = λ3
mempunyai jawab non trivial, maka bergantungan linier (bgl)
Contoh 4
Apakah , dan bebas atau tidak bebas liner?
Jawab :
λ1 + λ2 + λ3 =
λ1 + λ2 + λ3 =
6 λ1 = 0 λ1 = 0
2λ1 + 5λ2 = λ2 = 0
3λ1 - λ2 + 7λ3 = λ3 = 0
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 13
Jadi λ1 = λ2 = λ3 = 0 (jawab trivial)
Jadi a, b dan c bebas linier
Teorema:
1. Jika sebuah himpunan mengandung vektor nol, maka himpunan itu
tak bebas linier.
2. Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua vektor tak bebas
linier jika dan hanya jika salah satu dari vektor itu adalah perkalian
dari skalar lainnya.
3. Misalkan S = {v1, v2, ...... vr} adalah himpunan vektor-vektor pada
Rn. Jika r > n, maka S tak bebas linier
Soal Latihan
Apakah vektor-vektor , dan bebas atau tidak bebas liner?
1. Diketahui: Vektor di R3
2. Diketahui: Vektor di R3
3. Diketahui: Vektor di R4
4. Diketahui: Vektor di R5
5.4 Basis Dan Dimensi
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 14
Definisi :
Jika V ruang vektor dan S = { 1, 2, ... r} himpunan berhingga vektor-
vektor di V, maka S disebut basis untuk V jika :
a) S bebas linier
b) S merentang V
Contoh 1 :
Himpunan bebas linier dalam Rn.
Setiap vektor = (v1, v2, ... vn) di Rn dapat ditulis sebagai :
maka S merentang Rn sehingga S
adalah basis, disebut basis baku untuk Rn
Contoh 2 :
1 = (1, 2, 1), 2 = (2, 9, 0), 3 = (3, 3, 4)
Akan diperlihatkan S = { 1, 2, 3} basis untuk R3
Jawab :
Akan diperlihatkan S merentang R3 dan bebas linier.
Sebarang vektor = (b1, b2, b3) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
:
= k1 1 + k2 2 + k3 3
(b1, b2, b3) = k1(1, 2, 1) + k2 (2, 9, 0) + k3 (3, 3, 4)
atau : k1 + 2k2 + 3k3 = b1
2k1 + 9k2 + 3k3 = b2 .................. (*)
k1 + 4k3 = b3
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 15
Jadi untuk memperlihatkan bahwa S merentang V maka harus diperlihatkan
sistem (*) mempunyai pemecahan untuk semua pilihan = (b1, b2, b3).
Untuk memperlihatkan bahwa S bebas linier, harus diperlihatkan bahwa satu-
satunya pemecahan dari : k1 1 + k2 2 + k3 3 =
Adalah : k1 = k2 = k3 = 0
Dengan perkataan lain harus diperlihatkan bahwa sistem homogen :
k1 + 2k2 + 3k3 = 0
2k1 + 9k2 + 3k3 = 0 .................. (**)
k1 + 4k3 = 0
hanya mempunyai pemecahan trivial.
Karena sistem (*) dan (**) mempunyai matriks koefisien yang sama, maka dapat
dikatakan S bebas linier dan merentang R3 dengan memperlihatkan bahwa
matriks koefisien :
maka A mempunyai invers. Jadi S adalah sebuah basis untuk R3
Contoh 3 :
Misalkan
Himpunan S = {M1, M2, M3, M4} adalah basis untuk ruang vektor M22
dari matriks-matriks 2x2. Untuk melihat bahwa S merentang M22, perhatikan
bahwa vektor khas (matriks) :
Dapat ditulis sebagai :
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 16
Untuk melihat bahwa S bebas linier, anggaplah bahwa :
= 0
Atau :
Jadi a = b = c = d = 0 sehingga S bebas linier.
Teorema:
Jika S = {v1, v2 …. vn} adalah basis untuk ruang vektor V, maka setiap
himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas linier.
Misalkan:
S¹ = {w1, w2, …..wm} sembarang himpunan m vektor pada V, m > n
Perlihatkan S¹ tak bebas linier
Maka:
Basis S = {v1, v2, …..vn} dan wi dinyatakan sebagai kombinasi linier dari
vektor-vektor S
w1 = a11 v1 + a21 v2 + ….. + an1 vn
w2 = a12 v1 + a22 v2 + ….. + an2 vn
.
.
.wm = a1m v1 + a2m v2 + ….. + anm vn
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 17
Untuk memperlihatkan bahwa S¹ tak bebas linier, maka harus dicari skalar-skalar
k1, k2, ..... km yang tidak semuanya nol, sehingga:
k1 w1 + k2 w2 + ..... + km wm = 0
Dengan menggunakan persamaan-persamaan di atas, maka dapat ditulis sebagai:
(k1 a11 + k2 a12 + ….. + km a1m) v1
+ (k1 a21 + k2 a22 + ….. + km a2m) v2
. . .
+ (k1 an1 + k2 an2 + ….. + km anm) vn = 0
Maka skalar k1, k2, ..... km yang tidak semuanya nol, memenuhi:
a11 k1 + a12 k2 + ….. + a1m km = 0
a21 k1 + a22 k2 + ….. + a2m km = 0...an1 k1 + an2 k2 + ….. + anm kn = 0
Teorema:Sebarang dua basis untuk ruang vektor berdimensi berhingga mempunyai
jumlah vektor yang sama
Misalkan:
S = {v1, v2 …. vn} dan S¹ = {w1, w2, …..wm} adalah dua basis untuk
ruang vektor V yang berdimensi berhingga.
Karena S adalah basis dan S¹ bebas linier, maka m ≤ n
Demikian juga karena S¹ adalah basis dan S bebas linier, maka n ≤ m
Maka m = n
atau
Misal {e1, e2, ..... en} basis dari V
Dan {f1, f2, ..... fm} basis lain dari V
{ei} membangun V
{fi} bebas linier
Sebaliknya:
{fi} membangun V
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 18
m ≤ n
n ≤ m
{ei} bebas linier
Contoh:
Tentukan basis dan dimensi dari SPL homogen:
Jawab:
dengan OBE diubah menjadi matriks eselon
Sederhanakan:
x5 = variabel bebas
Misalkan x5 = t
Maka x4 =
x3 = =
x2 = =
x1 = = =
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 19
jadi = = t
Dimensi = jumlah variabel yg tak diketahui – banyaknya persamaan = 5 – 4 = 1
Jadi Basisnya adalah
Teorema:
1. Jika S = {v1, v2 …. Vn} adalah sebuah himpunan n vektor bebas linier
pada sebuah ruang V yang berdimensi n, maka S adalah sebuah basis
untuk V
2. Jika S = {v1, v2 …. Vn} adalah sebuah himpunan n vektor yang
merentang ruang V yang berdimensi n, maka S adalah sebuah basis
untuk V
3. Jika S = {v1, v2 …. Vn} adalah sebuah himpunan bebas linier pada
ruang V yang berdimensi n dan r < n, maka S dapat diperbesar menjadi
basis untuk V, yakni vektor-vektor vr+1, …. vn sehingga {v1, v2 …. vr,
vr+1, …. vn } adalah sebuah basis untuk V
5.4 Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Nul
Rank, Penerapan terhadap Pencarian Basis
Definisi:
Jika diketahui matriks m x n
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 20
Dan
Vektor-vektor
Dalam Rn yang dibentuk dari baris-baris A disebut vektor-vektor baris dari A, dan
vektor-vektor:
Dalam Rm yang dibentuk dari kolom-kolom A disebut vektor-vektor
kolom dari A
Contoh-1:
Vektor-vektor baris dari A adalah:
dan
Vektor-vektor kolom dari A adalah:
, dan
Teorema:
Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks
Teorema:
Vektor-vektor baris tak nol berbentuk eselon baris dari matriks A
membentuk basis untuk ruang baris A.
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 21
Contoh-2:
Carilah sebuah basis untuk ruang yang direntang oleh vektor-vektor:
v1 = (1, -2, 0, 0, 3) v2 = (2, -5, -3, -2, 6) v3 = (0, 5, 15, 10, 0) v4 = (2, 6, 18, 8, 6)
Penyelesaian:
Ruang yang direntang oleh vektor-vektor ini adalah ruang baris dari
matriks:
Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon baris, maka didapat:
Vektor-vektor baris tak nol pada matriks ini adalah
w1 = (1, -2, 0, 0, 3) w2 = (0, 1, 3, 2, 0) w3 = (0, 0, 1, 1, 0)
Vektor-vektor ini membentuk basis bagi ruang baris tersebut dan sebagai
konsekuensinya maka akan membentuk basis untuk ruang yang direntang oleh v1,
v2, v3 dan v4
Contoh-3:
Carilah basis untuk ruang kolom A =
Penyelesaian:
Dengan mentransposkan matriks tersebut, didapat: At =
Dengan mereduksi ke bentuk eselon baris, maka didapat:
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 22
Jadi vektor (1, 3, 0) dan vektor (0, 1, 2) membentuk basis bagi ruang baris
At atau secara ekivalen:
dan membentuk basis untuk ruang kolom A
Contoh-4:
Carilah sub-himpunan vektor-vektor
v1 = (1, -2, 0, 3) v2 = (2, -5, -3, 6) v3 = (0, 1, 3, 0)
v4 = (2, -1, 4, -7) v5 = (5, -8, 1, 2)
yang membentuk basis untuk ruang yang direntang oleh vektor-vektor ini.
Pemecahan:
Mulai dengan memecahkan persamaan vektor
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 + c4 v4 + c5 v5 = 0 .......... *
Dengan mensubtitusi dan menyamakan komponen-komponennya maka
didapat sistem yang homogen:
Selesaikan dengan eliminasi Gauss-Yourdan, maka didapat:
c1 = -2s-t c2 = s-t c3 = s c4 = -t c5 = t
dimana s dan t sembarang. Dengan mensubtitusikan ke dalam (*), maka:
(-2s-t) v1 + (s-t ) v2 + s v3 - t v4 + t v5 = 0
Sehingga: s(-2v1 + v2 + v3) + t(-v1 - v2 – v4 – v5) = 0
Karena s dan t sembarang, maka dapat dipilih misalnya s = 1, t = 0 dan s =0, t = 1
Maka akan menghasilkan persamaan ketergantungan (dependency equation)
-2v1 + v2 + v3 = 0
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 23
-v1 - v2 – v4 – v5 = 0
Misalkan vektor-vektor v3 dan v5 sebagai kombinasi linier, maka:
v3 = 2v1 - v2
v5 = v1 + v2 + v4
sehingga v1 , v2 , v4 bebas linier dan karenanya membentuk basis untuk ruang yang
direntang oleh v1 , v2 , v3 , v4 , v5 jika:
c1 v1 + c2 v2 + c4 v4 = 0
maka berlaku c3 = 0 dan c5 = 0, jadi s = c3 = 0 dan t = c5 = 0
Jadi c1 = 0 c2 = 0 c4 = 0
Teorema:
Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom A
mempunyai dimensi yang sama.
Pada contoh-3 di atas, matriks setelah direduksi terhadap eselon
baris, mempunyai ruang kolom berdimensi 2 dan ruang baris tersebut juga
berdimensi 2
karena matriks ini mempunyai dua baris taknol,
maka ruang baris A berdimensi 2
Definisi:
Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan Rank A dan
dinyatakan dengan rank (A)
Misalnya pada contoh-3 mempunyai rank 2
Teorema:
Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen
satu sama lain:
a. A dapat dibalikAndiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 24
b. Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial
c. A ekivalen baris dengan In
d. Ax = b konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berukuran n x
1
e. Det(A) ≠ 0
f. A mempunyai rank n
g. Vektor-vektor baris A bebas linier
h. Vektor-vektor kolom A bebas linier
Tinjau sistem persamaan linier Ax = b
=
Dengan mengalikan matriks-matriks pada ruas kiri, maka sistem dapat ditulis:
= atau
=
Karena ruas kiri kombinasi linier vektor-vektor kolom A, maka sistem Ax = b
konsisten jika dan hanya jika b adalah kombinasi linier vektor-vektor kolom A.
Teorema:
Sebuah sistem persamaan linier Ax = b adalah konsisten jika dan hanya
jika b berada pada ruang kolom A.
Contoh-5:
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 25
Diketahui bahwa Ax = b adalah sistem linier, maka:
Tunjukkan bahwa b berada dalam ruang kolom A dan nyatakan b sebagai
kombinasi linier dari vektor-vektor kolom dari A.
Penyelesaian:
dengan eliminasi Gaussian maka didapat:
x1 = 2, x2 = -1 x3 = 3
Maka:
Karena sistem konsisten, b berada dalam ruang kolom A, sehingga:
2 - + 3 =
Teorema:
Sebuah sistem persamaan linier Ax = b akan konsisten jika dan hanya jika
rank dari matriks koefisien A sama dengan rank dari matriks yang
diperbesar [A|b]
Contohnya matriks yang diperbesar untuk sistem:
Adalah:
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 26
Yang mempunyai bentuk eselon baris tereduksi berikut (buktikan)
Maka dari teorema di atas yang dimaksud adalah
0 0 0 0 1
Teorema:
Jika Ax = b adalah sistem linier konsisten dari m persamaan n bilangan
tak diketahui, dan jika A mempunyai rank r, maka pemecahan sistem tersebut
mengandung n-r parameter.
Misalkan:
Jika A adalah matriks 5 x 7 dengan rank 4, dan jika Ax = b adalah
sistem linier konsisten maka pemecahan tersebut mengandung sistem
7 – 4 = 3 parameter
Hubungan Antara Penyelesaian Ax = 0 dan Ax = b
Teorema:
Jika x0 adalah sebarang penyelesaian tunggal dari suatu sistem linier tak
homogen yang konsisten Ax = b, dan juga v1, v2, ... vk membentuk suati
basis untuk ruang-kosong A, yaitu ruang penyelesaian dari sistem
homogen Ax = 0, maka setiap penyelesaian Ax = b dapat dinyatakan
dalam bentuk:
x = x0 + c1 v1 + c2 v2 + .... + ck vk
dan sebaliknya untuk semua pilihan skalar c1, c2, ... ck vektor x dalam
rumus ini merupakan suatu penyelesaian dari Ax = b
Selesaikan sistem persamaan tak homogen berikut:
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 27
Penyelesaian:
dengan Gaussian didapat:
x1 = -3r -4s -2t
x2 = r
x3 = -2s
x4 = s
x5 = t
x6 = 1/3
maka:
Jadi Penyelesaian umumnya adalah: dan penyelesaian khususnya adalah:
x0 =
Andiani /Aljabar Linier/FTUI-2011 28