SEMANA 1

M A T R I C E S

DEFINICIÓN

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos a¡j dispuestos en filas y columnas. Estos

elementos o entradas son encerrados entre corchetes. A las matrices se les simboliza con las

letras mayúsculas A, B, C, etc.

Representación General:

A =

a a a 11 12 1 n

a a a 21 22 2 n

a a a L m l m 2 mn Jmxn

Orden de una matriz

El orden de una matriz queda determinado por el número de filas y columnas que tenga la

matriz.

Si, A-[a ] es una matriz , entonces /' = 1 ; 2 ; 3 ; ; m, y j = 1 ; 2 ; 3 ; n. y mxn

determinan el orden, que en este caso es m x n (se lee "m" por "n"). Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento está en la fila 1 y en la columna 2.

CONSTRUCCIÓN DE MATRICES

EJERCICIOS:

Elaborar las matrices siguientes:

1) A = [a ] /a ^\ 2) A = [a„ l ^ la„ =• y 3 A- 2 y

3) B = íb ] /b i + j ; i>j 2' •,i<j

[j + 2 •i>j

5) C = [c ] /c ' ^ iJ hx3 ij

j + 3i ,i<j

i-2j ,i>j 6) C = lc„ ] lc„ =

V 3 A 2 i]

í-1 ; i^j

4 \i

V - 3' : í > 7 ímax ( / , / ) ; / ij 2xi ij min (z J ) ; i<j

9) M = I m =

3'*j ; i< j

7' - i

I n = •JTj ; i-j

IGUALDAD DE MATRICES

Las matrices A = [a 1 y = [¿ 1 son iguales, si y solo si tienen el mismo orden y ij mxn ' i} mxn " '

sus entradas correspondientes son iguales.

A = B <=> = h^- , para todo ¿,

EJERCICIOS:

Si las matrices A y B son iguales, entonces:

1. Calcule: £ = i si: A = 6x-2y 8

4 z - 2 x~\ y B =

6 8

2 5

2. Calcule: £ : = í + m+p , si X ' = 10

27 125

64 10

3. Calcule: E= j - , si ^ = y 81 25

8 2

4. Calcule: £ = 2 x z + - , s i : A=[a ] /a„= i '^ -^ ' ' . ^, y B = 2x-y 2

x+y z'-'

5. Calcule: £ = i l l , si: A=[a ] / a , = j ' ^ - ' ' ' ^ y B = 2x-y

x + y z

2 x-3

16 2 - 7

4 O j

m-s 3 T

25 1 7

4 O j

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

La transpuesta de una matriz A se obtiene al intercambiar las filas por las columnas y se

denota . El orden original es m x n y el orden de es n x m.

Propiedades

• (A^f=A

- iA+Bf=A^+B^

' {k-Af =kÁ^

6. Calcule: £' = í + m + /? si: A =

0,5' 2

4 O

p + \

- 7

s

\_

7

B =

7. Calcule: E = xy + xz + yz si: A =

0,2^

4

Z - \

1

O

3

MATRICES E S P E C I A L E S

Matriz Fila: Es aquella matriz que tiene solo una fila.

Matriz Columna: Es aquella matriz que tiene solo una columna.

Matriz Cero o Nula: Es aquella matriz cuyos elementos son todos iguales a cero.

Matriz Cuadrada: Es aquella matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas y se denota A^. En una matriz cuadrada de orden n, las entradas A J , , ' ^33' > " m , forman la

diagonal principal.

Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuadrada donde todas las entradas que se encuentran fuera

de la diagonal principal son ceros.

Matriz Escalar: Es una matriz diagonal, donde todas las entradas que pertenecen a la diagonal principal son iguales.

Matriz Identidad: Es una matriz diagonal donde todas las entradas que pertenecen a la

diagonal principal son iguales a uno.

Matriz Triangular Superior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas debajo de la

diagonal principal son ceros.

Matriz Triangular Inferior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas por encima de la

diagonal principal son ceros.

Matriz Simétrica: Es una matriz cuadrada que cumple: A=Á^.

Matriz Antisimétrica: Es una matriz cuadrada que cumple: A = - . En una matriz

antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son todos igual a cero.

EJERCICIOS:

1. Si: A= x+5 z-10

j+5 O es una matriz nula, calcule E=x+y+z.

2. Si: B= 8 -16 z-16 2 y - 1 0 4 O O 3 Z + 2 1 O

es una matriz diagonal, halle los valores de x,y ,z

3. Si: TV-

'Ax-y a+b-A O

O 10 a-b-e c-A d+3 5x-2y~l

es una matriz escalar, halle: £ = Ad+2b-3c

2(x+y)

A. Si: A= 3 0,25 x+y

2' z yz

- 6 8 7 es una matriz simétrica, halle E--

x+y

5. Si: M =

5^

7 y-z

o 0,25

6v es una matriz simétrica, calcule: E= x+2 y

6. Si: A = 4

5

Ix-y

12

5

243 es una matriz simétrica, calcule £ = 2 x+'i y+z

7. Halle los valores de a, b y c, si A =

0 1 3

A = a

0 - 1 es antisimétrica.

2 3 0 . h c

0

8. Si: A =

9. Si: A =

a+h-\6 -125

a-h + \ es antisimétrica, calcule E = 3 x^ +2 j - 4 z

a + b^

a-b 5 d+c

- 5 c - 9

- 6 3a O

, es antisimétrica, calcule: £ =

10. Sea M la matriz antisimétrica dada por: M =

E=ab+c-p+mn

a (m+n)" m—n p b m+n 3 - 1 c

, Calcule

V